Fisica generale, 3e - Capitolo 9 by mcgraw_hill

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CAPITOLO

9 Fluidi • Concetti da rivedere • • • • •

Oggetti in caduta libera (Paragrafo 4.3) Conservazione dell’energia (Capitolo 6) Forza come rapidità di variazione della quantità di moto (Paragrafo 7.3) Conservazione della quantità di moto negli urti (Paragraﬁ 7.7 e 7.8) Equilibrio (Paragrafo 3.2)

APPLICAZIONI BIOMEDICHE • Flusso sanguigno e pressione arteriosa (Paragrafi 9.2, 9.5, 9.9; Esempi 9.9, 9.12; Mettiti alla prova 9.7; Quesito 511; Problemi 552, 571, 574) • Fibrillazione arteriosa e aneurisma (Paragrafo 9.8; Problema 573) • Endovena, siringhe e prelievi sanguigni (Problemi 550, 579); • Animali che modificano la propria densità per galleggiare o andare a fondo (Paragrafo 9.6; Esempio 9.8; Problema di verifica 9.8) • Tensione superficiale nei polmoni (Paragrafo 9.11; Esempio 9.14; Quesito 14) • Misurazione del peso specifico di sangue e urine (Paragrafo 9.6); • Pressione su sommozzatori e animali sott’acqua (Esempio 9.3; Problema 529)

9.1

STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA

La materia viene di solito classificata in tre stati di aggregazione o fasi: stato solido, liquido e gassoso. I solidi tendono a conservare la loro forma. Molti solidi sono abbastanza rigidi; non vengono facilmente deformati da forze esterne perché le forze interne che si esercitano tra atomi o molecole adiacenti (forze di coesione) mantengono gli stessi in posizioni specifiche (posizioni di equilibrio). Sebbene gli atomi o le molecole oscillino intorno a queste posizioni di equilibrio stabile, essi non possiedono energia sufficiente per vincere le interazioni con gli atomi vicini. Per esempio, per piegare una sbarra di ferro è necessario modificare la disposizione degli atomi, un risultato non facile da ottenere. Un fabbro ferraio

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I ﬂuidi (liquidi e gas) sono materiali in grado di scorrere.

● I gas sono molto più comprimibili dei liquidi.

Parte I Meccanica

riscalda il ferro in una fucina per indebolire le forze di interazione tra gli atomi in modo da poter piegare il metallo nella forma richiesta. A differenza dei solidi, i liquidi e i gas non hanno una forma propria. Un liquido scorre e assume la forma del suo contenitore, mentre un gas si espande fino a riempire tutto il contenitore. I fluidi – sia i liquidi sia i gas – vengono deformati facilmente da forze esterne. Questo capitolo tratta principalmente delle proprietà comuni ai liquidi e ai gas. Vediamo alcune di queste proprietà. In un fluido, gli atomi o le molecole di cui è costituito non occupano posizioni fisse, pertanto un fluido non possiede una forma propria. Una forza esterna applicata può far scorrere il fluido con facilità; per esempio, la contrazione del muscolo cardiaco produce una forza tale da far scorrere il sangue attraverso i vasi sanguigni del corpo. Tuttavia, questa contrazione non modifica sensibilmente il volume del sangue. In molte situazioni possiamo infatti considerare i liquidi come incomprimibili – cioè, come se avessero un determinato volume che è impossibile modificare. La forma del liquido può essere modificata, per esempio versandolo da un contenitore con una forma in un contenitore con una forma diversa, ma il volume del liquido rimane lo stesso. Nella maggior parte dei casi, i liquidi mostrano una compattezza non molto differente da quella dello stesso materiale in fase solida. Le forze intermolecolari (o interatomiche) sono però meno intense di quelle presenti nei solidi, cosicché le molecole (o gli atomi) non occupano posizioni fisse come nei solidi. Questo è il motivo per cui il volume del liquido può restare quasi invariato (e il liquido risultare praticamente incomprimibile), mentre la sua forma può essere facilmente modificata. Rispetto a questo quadro, l’acqua presenta una caratteristica piuttosto eccezionale: nell’acqua a bassa temperatura, le molecole in fase liquida sono in realtà molto più stipate di quelle in fase solida (ghiaccio). I gas, d’altra parte, non sono caratterizzati né da un volume proprio né da una forma propria. Un gas si espande fino a riempire il suo contenitore e può essere compresso facilmente. Le molecole o gli atomi di un gas sono molto lontani in confronto a quello che si osserva con le molecole nei liquidi e nei solidi. Inoltre, le forze di interazione tra gli atomi o le molecole sono quasi del tutto trascurabili, tranne quando urtano tra di loro.

9.2

PRESSIONE

Immaginiamo di avere un fluido in equilibrio all’interno di un contenitore. Se il fluido non scorre, allora è in quiete. Si noti che se il fluido è in quiete, deve essere in quiete anche ogni sua porzione. Nello studio della statica dei fluidi (idrostatica) si assume inoltre che ogni oggetto solido a contatto con il fluido – sia esso un recipiente che contiene il fluido o un oggetto immerso nel fluido – sia in quiete. Gli atomi o le molecole in un fluido in quiete non sono tuttavia fermi, ma sono in continuo movimento. Il movimento di persone in una fila che si spingono l’un l’altra fornisce un’idea approssimata del moto degli atomi o delle molecole in un liquido; nei gas, gli atomi o le molecole sono molto più distanti tra di loro che nei liquidi, così da poter percorrere distanze maggiori tra un urto e il successivo. La pressione di un fluido è dovuta agli urti degli atomi o delle molecole che lo costituiscono sulle pareti del contenitore. Quando una singola molecola colpisce una parete del contenitore e rimbalza, la sua quantità di moto cambia a causa della forza che la parete esercita su di essa. La Figura 9.1a mostra una particella di un fluido all’interno di un contenitore che subisce un urto elastico con una delle pareti del contenitore. In questo caso, la componente y della quantità di moto non cambia, mentre la componente x cambia verso (vedi Figura 9.1b). La variazione di quantità di moto è nel verso +x e avviene in quanto la parete

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Capitolo 9 Fluidi

y I pi

I pi

pfy = piy

I pf

x I pf

Figura 9.1 (a) Una singola particella di fluido che rimbalza sulla parete di un contenitore. (b) In questo urto elastico, la componente y della quantità di moto non cambia, mentre la componente x cambia verso.

pix

piy

pfx = –pix (a)

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(b)

esercita sulla particella una forza verso destra. In base alla terza legge di Newton, durante l’urto la particella esercita una forza verso sinistra sulla parete. Se si considerano tutte le particelle che urtano contro questa parete, si può osservare che esse non esercitano in media alcuna forza nella direzione ±y, ma tutte esercitano una forza nel verso -x. Gli urti frequenti delle particelle di fluido con le pareti del contenitore determinano quindi una forza risultante che preme sulle pareti verso l’esterno.

LA FISICA NEL QUOTIDIANO Lascia cadere un minuscolo granellino di polvere o di lana in un contenitore d’acqua e spingi il granellino sotto la superﬁcie. Il moto del granellino che ne risulta – denominato moto browniano – è dovuto agli urti casuali con le molecole d’acqua in continuo movimento. Le molecole d’acqua si muovono a caso, ma con velocità molto più elevate del granellino di polvere, dato che la loro massa è molto più piccola.

Un fluido in quiete esercita una forza su qualsiasi superficie con la quale è in contatto; la direzione della forza è perpendicolare alla superficie (Figura 9.2). Un fluido in quiete non può esercitare una forza parallela alla superficie. Se fosse così, per la terza legge di Newton la superficie eserciterebbe sul fluido una forza parallela alla superficie. Questa forza dovrebbe far scorrere il fluido lungo la superficie, in contrasto con l’ipotesi che il fluido sia in quiete. La pressione media di un fluido nei punti di una superficie piana è:

● La forza che un fluido in quiete esercita su una superficie è sempre perpendicolare alla superficie.

Definizione di pressione media Pm = F A

(9-1)

dove F è l’intensità della forza che agisce perpendicolarmente alla superficie e A è l’area della superficie. Se immaginiamo una superficie generica che passi in un qualsiasi punto all’interno del fluido e misuriamo la forza che agisce su di essa, attraverso l’Equazione (9-1) possiamo determinare la pressione in quel punto. Al limite, per una piccola area A, P = F/A è la pressione del fluido nel punto in cui si trova la piccola superficie di area A. La pressione è una grandezza scalare; non ha una direzione. La forza che agisce su un oggetto immerso in un fluido – o su una porzione dello stesso fluido – è una grandezza vettoriale; la sua direzione è perpendicolare alla superficie di contatto. La pressione è definita come grandezza scalare perché, in un dato punto nel fluido, l’intensità della forza per unità di area è la stessa per qualsiasi orien-

Figura 9.2 Forze che agiscono sulle pareti del contenitore e su un corpo immerso, dovute a un fluido in quiete. Il peso del fluido è considerato trascurabile.

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Parte I Meccanica

tazione della superficie. Le molecole in un fluido in equilibrio si muovono in direzioni casuali; non può esistere una direzione privilegiata perché ciò comporterebbe un moto del fluido. Inoltre, non esiste alcun motivo perché una particolare superficie debba subire un numero maggiore di urti, o urti con molecole con maggiore energia, per una particolare orientazione della superficie rispetto a una qualsiasi altra orientazione. L’unità di misura del Sistema internazionale per la pressione è il newton per metro quadro (N/m2) e viene chiamata pascal (simbolo Pa) dal nome dello scienziato francese Blaise Pascal (1623-1662). Un’altra unità di misura per la pressione usata comunemente è l’atmosfera (atm). Una atmosfera è la pressione media esercitata dall’aria a livello del mare. Il fattore di conversione tra atmosfera e pascal è: 1 atm = 101.3 kPa = 1.013  105 Pa Nel Paragrafo 9.5 verranno introdotte altre unità di misura comuni della pressione.

Mettiti alla prova 9.2 Una moneta da 25 centesimi e una da 10 centesimi (diametri 2.4 e 1.8 cm) sono sul fondo di una piscina piena d’acqua. L’acqua esercita una forza, rivolta verso il basso, sulla faccia superiore di ogni moneta. Supponendo che la pressione sia la stessa su entrambe le monete, di quanto è differente la forza esercitata sulla moneta da 25 centesimi rispetto a quella sulla moneta da 10 centesimi ?

Esempio 9.1 Pericolo delle scarpe con tacco a spillo Una ragazza che pesa 534 N cammina verso la sua stanza da letto indossando scarpe da tennis. Quindi si prepara per l’appuntamento serale e indossa le sue nuove scarpe eleganti con il “tacco a spillo”. La superficie della sezione del tacco delle scarpe da tennis è 60.0 cm2 e la superficie del tacco delle scarpe eleganti è di 1.00 cm2. Per ciascun paio di scarpe, trovare la pressione media causata dal tacco in contatto con il pavimento quando l’intero peso della ragazza è sostenuto da un tacco.

Per il tacco delle scarpe eleganti: ⎛ 1 m ⎞⎟2 ⎟ = 1.00×10−4 m2 A = 1.00 cm2 ×⎜⎜ 2 ⎜⎝ 10 cm ⎟⎟⎠ La pressione media è il peso della ragazza diviso l’area del tacco. Per la scarpa da tennis: 534 N P= F = = 8.90×10 4 N / m2 = 89.0 kPa A 6.00×10−3 m2 Per la scarpa con il “tacco a spillo”:

Impostazione La pressione media è il rapporto tra la forza applicata al pavimento e la superficie di contatto. La forza che il tacco esercita sul pavimento è 534 N. Per sistemare le unità di misura convertiamo le superfici da centimetri quadri in metri quadri. Soluzione Per convertire l’area del tacco delle scarpe da tennis e del tacco delle scarpe eleganti da cm2 a m2, moltiplichiamo per il fattore di conversione (1 m/102 cm)2. Per il tacco delle scarpe da tennis: A = 60.0

⎛ 1 m ⎞⎟2 ⎟ = 6.00×10−3 m2 ⎜⎜ 2 ⎝ 10 cm ⎟⎟⎠

cm2 ×⎜

534 N = 5.34 ×106 N/m2 = 5.34 MPa 1.00×10−4 m2

Discussione Il valore di queste pressioni in atmosfere è, rispettivamente, 0.879 atm e 52.7 atm. La pressione dovuta alla scarpa elegante è 60 volte la pressione dovuta alla scarpa da tennis perché la stessa forza è distribuita su 1/60 di superficie. Questa pressione elevata ha causato problemi ai costruttori di pavimenti in vinile quando queste scarpe erano di moda. Segni permanenti rimanevano sui pavimenti a causa della sollecitazione dovuta all’enorme pressione esercitata da queste scarpe su una superficie minuscola. Alla fine i costruttori han-

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Capitolo 9 Fluidi

no diffuso l’avviso che i loro pavimenti non erano garantiti per i danni provocati dalle scarpe con il tacco a spillo. Le signore dovevano togliersi le scarpe prima di entrare in una cucina con il pavimento in vinile.

Problema di veriﬁca 9.1 Pressione dovuta al tacco di una normale scarpa elegante

più frequentemente di quanto siano alla moda. Supponiamo che delle scarpe da donna eleganti abbiano dei tacchi ciascuno di area 4.0 cm2. Trovare la pressione sul pavimento, quando l’intero peso agisce su un solo tacco, per questo tipo di scarpa indossata dalla stessa donna dell’Esempio 9.1. Trovare il fattore che esprime di quante volte questa pressione supera la pressione dovuta al tacco delle scarpe da tennis.

Fortunatamente per i costruttori di pavimenti e per i piedi delle donne, i tacchi a spillo sono fuori moda

Pressione atmosferica Viviamo sulla superficie della Terra al fondo di una grande massa di fluido chiamato aria. Le forze esercitate dall’aria sui nostri corpi e sulle superfici di altri oggetti possono essere sorprendentemente elevate: 1 atm corrisponde approssimativamente a 10 N/cm2. Non veniamo schiacciati da questa pressione perché la maggior parte dei fluidi nel nostro corpo si trova approssimativamente alla stessa pressione dell’aria che ci circonda. Come analogia, consideriamo un sacchetto sigillato di patatine. Perché il sacchetto non viene schiacciato dall’aria che lo spinge da tutti i lati? Semplicemente perché l’aria dentro il sacchetto è alla stessa pressione e spinge verso l’esterno sui lati del sacchetto. La pressione dei fluidi all’interno delle nostre cellule eguaglia la pressione dei fluidi circostanti che spingono sulle membrane cellulari, in modo tale che le cellule non vengano distrutte. Per contro, la pressione del sangue nelle arterie è di circa 20 kPa maggiore della pressione atmosferica. Le pareti delle arterie, forti ed elastiche, sono sotto tensione a causa della pressione del sangue all’interno; le pareti comprimono il sangue arterioso per evitare che la sua maggiore pressione venga trasmessa agli altri fluidi nel corpo. Le mutevoli condizioni climatiche provocano variazioni di circa il 5% nel valore effettivo della pressione dell’aria al livello del mare; 101.3 kPa (1 atm) è solo il valore medio. La pressione dell’aria, inoltre, diminuisce con l’aumentare dell’altitudine. La pressione media dell’aria a Leadville nel Colorado, la città più alta negli Stati Uniti (altitudine 3100 m), è 70 kPa. Alcuni tibetani vivono a oltre 5000 m di altitudine, dove la pressione media dell’aria è solamente metà del suo valore al livello del mare. Nei problemi, si assuma il valore di 1 atm per la pressione atmosferica, tranne quando il problema stesso indica un valore diverso.

9.3

PRINCIPIO DI PASCAL

Se il peso di un fluido in quiete è trascurabile, allora la pressione deve essere la stessa in tutti i punti del fluido. Nella Figura 9.3, immaginiamo che il cubo immerso sia composto dallo stesso fluido che lo circonda. Trascurando il peso del fluido, le uniche forze che agiscono sul cubo di fluido sono quelle dovute al fluido circostante che spinge verso l’interno. Le forze che agiscono su ogni coppia di lati opposti del cubo devono avere la stessa intensità, perché il fluido dentro il cubo è in equilibrio. Di conseguenza la pressione deve essere la stessa su ambedue i lati. Poiché possiamo estendere questo ragionamento a qualsiasi porzione di fluido di qualsiasi forma e dimensione, la pressione del fluido deve essere la stessa in tutti i punti all’interno di un fluido in quiete e privo di peso.

Figura 9.3 Forze che agiscono su un cubo di fluido.

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Parte I Meccanica

Se il peso del fluido non è trascurabile, la pressione non è la stessa in tutti i punti. In questo caso, l’analisi delle forze che agiscono su una porzione di fluido porta a un risultato più generale chiamato principio di Pascal.

Principio di Pascal Una variazione di pressione in un qualsiasi punto di un fluido confinato si trasmette a tutti gli altri punti del fluido.

I F2

I F1

Fluido

Figura 9.4 Rappresentazione semplificata di un montacarichi idraulico. Si noti che il pistone 1 deve percorrere una grande distanza (d1) per sollevare l’autocarro di una quantità molto minore (d2). In un montacarichi idraulico reale, il pistone 1 è di solito sostituito da una pompa che preleva acqua da una cisterna e la immette nel sistema idraulico.

Per esempio, quando è necessario sostituire la marmitta di un autocarro, questo viene sollevato tramite un meccanismo chiamato montacarichi idraulico (Figura 9.4). Una forza viene esercitata su un liquido tramite un pistone di sezione relativamente piccola; l’aumento di pressione risultante viene trasmesso in tutti i punti del fluido. Quindi l’autocarro viene sollevato dalla pressione del fluido su un pistone di sezione molto maggiore. La forza verso l’alto che agisce sull’autocarro è molto maggiore della forza applicata al pistone piccolo. Il principio di Pascal ha molte altre applicazioni, come i freni idraulici nelle macchine e negli autocarri e i controlli idraulici negli aerei. Per analizzare le forze nel montacarichi idraulico, consideriamo la forza F1 applicata al pistone piccolo di sezione A1, che provoca un aumento di pressione: ΔP =

F1 A1

Dall’altra parte del montacarichi, un autocarro è sostenuto da un pistone di sezione A2 molto maggiore. L’aumento di pressione dovuto al pistone piccolo viene trasmesso in tutto il fluido. Trascurando il peso del fluido (o assumendo che i due pistoni siano alla stessa altezza), la forza F2 esercitata dal fluido sul pistone grande è collegata a F1 dalla relazione: F1 F = 2 A1 A2 Poiché A2 è maggiore di A1, la forza esercitata sul pistone grande (F2) è maggiore della forza applicata sul pistone piccolo (F1). Come sempre, non si ottiene niente per niente; così come per il sistema a due carrucole discusso nel Paragrafo 6.2, il vantaggio della forza minore applicata al pistone piccolo è compensato dalla maggiore distanza che il pistone deve percorrere per sollevare l’autocarro: il pistone piccolo deve percorrere una grande distanza d1, mentre il pistone grande percorre un breve tratto d2. Assumendo che il liquido sia incomprimibile, il volume di fluido spostato da ciascun pistone è lo stesso, per cui: A1d1 = A2d2 Gli spostamenti dei pistoni sono inversamente proporzionali alle rispettive aree, mentre le forze sono direttamente proporzionali alle aeree; quindi il prodotto della forza per lo spostamento è lo stesso: F1 F A d = 2 A d ⇒ F1d1 = F2 d2 A1 1 1 A2 2 2 Il lavoro (forza per spostamento) compiuto spostando il pistone piccolo è uguale al lavoro compiuto dal pistone grande nel sollevare l’autocarro.

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Capitolo 9 Fluidi

Esempio 9.2 Il montacarichi idraulico Se in un montacarichi idraulico il raggio del pistone più piccolo è 2.0 cm e il raggio del pistone più grande è 20.0 cm, quale peso può sostenere il pistone più grande se sul pistone più piccolo viene applicata una forza di 250 N? Impostazione Secondo il principio di Pascal, le variazioni di pressione sono le stesse in tutti i punti del fluido. Un modo naturale di procedere è di utilizzare una proporzione, poiché le forze sono proporzionali alle aree dei pistoni. Soluzione La pressione sui due pistoni aumenta della stessa quantità: F1 F = 2 A1 A2 Quindi, le forze sono proporzionali alle aree: F2 A2 = F1 A1 Il rapporto dei raggi è r2/r1 = 10, pertanto il rapporto delle aree è A2/A1 = (r2/r1)2 = 100.

9.4

Quindi il peso che può essere sostenuto è: F2 = 100F1 = 25 000 N = 25 kN

Discussione Un errore comune in questo tipo di problemi è quello di pensare che tra le aree e le forze vi sia una legge di reciprocità – in altre parole, di pensare che sul pistone con la sezione grande sia applicata la forza piccola e viceversa. Poiché le pressioni sono le stesse, la forza esercitata dal fluido su ciascun pistone è proporzionale all’area del pistone. Il pistone che solleva l’autocarro viene costruito grande perché sappiamo che la forza su di esso sarà grande, proporzionalmente alla sua area.

Problema di veriﬁca 9.2 Applicazione del principio di Pascal Consideriamo il montacarichi idraulico dell’Esempio 9.2. (a) Qual è l’aumento di pressione causato dalla forza di 250 N sul pistone piccolo? (b) Se il pistone grande si sposta di 5.0 cm, di quanto si sposta il pistone più piccolo?

EFFETTO DELLA FORZA DI GRAVITÀ SULLA PRESSIONE DI UN FLUIDO

Durante una gita in montagna o un viaggio in un piccolo aeroplano, la sensazione sgradevole che possiamo avvertire sulle nostre orecchie dimostra che la pressione non è la stessa in tutti i punti in un fluido in quiete. La forza di gravità, infatti, modifica la pressione in funzione della posizione all’interno del fluido. Per comprendere meglio questa variazione, dobbiamo prima definire la densità di un fluido. La densità di una sostanza è data dal rapporto tra la sua massa e il suo volume (ovvero, è data dalla massa per unità di volume). Per rappresentare la densità viene usata la lettera greca r (rho). La densità di una sostanza omogenea di massa m e volume V è:

ρ= m V

(9-2)

La unità di misura della densità nel Sistema Intenazionale è il kilogrammo per metro cubo: kg/m3. Per una sostanza non omogenea, l’Equazione (9-2) definisce la densità media. Nella Tabella 9.1 sono riportate le densità di alcune sostanze comuni. Da notare che in tabella sono specificate temperatura e pressione. Per i solidi e i

Densità di una sostanza omogenea: rapporto tra la sua massa e il suo volume.

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Parte I Meccanica

Tabella 9.1

Densità di alcune sostanze comuni (a 0 °C e a 1 atm se non diversamente indicato) Densità (kg/m3)

Liquidi

Densità (kg/m3)

Idrogeno

0.090

Benzina

680

Polistirolo

100

Elio

0.18

Etanolo

790

Sughero

240

Gas

Solidi

Densità (kg/m3)

Vapore (100 °C)

0.60

Olio

800-900

Legno (pino)

350-550

Azoto

1.25

Acqua (0 °C)

999.87

Legno (quercia)

600-900

Aria (20 °C)

1.20

Acqua (3.98 °C)

1000.00

Ghiaccio

Aria (0 °C)

1.29

Acqua (20 °C)

1001.80

Legno (ebano)

1000-1300

Ossigeno

1.43

Acqua di mare

1025

Osso

1500-2000

Anidride carbonica

1.98

Sangue (37 °C)

1060

Calcestruzzo

2000

Quarzo, granito

2700

Alluminio

2702

Ferro, acciaio

7860

Rame

8920

Mercurio

13 600

917

Piombo

11 300

Oro

19 300

Platino

21 500

liquidi, in effetti, la densità dipende solo debolmente dalla temperatura e dalla pressione. I gas, invece, sono facilmente comprimibili, cosicché anche una variazione relativamente piccola della temperatura o della pressione può cambiare in modo significativo la loro densità. Adesso, utilizzando il concetto di densità, possiamo determinare come la pressione aumenti con la profondità a causa della forza di gravità. Supponiamo di avere un recipiente di vetro contenente un liquido in quiete di densità uniforme r. All’interno del liquido, immaginiamo una porzione di liquido di forma cilindrica con sezione trasversale di area A e altezza d (Figura 9.5a). La massa del liquido nel cilindro è:

A d

(a)

m = rV P1A

mentre il volume del cilindro è: y

V = Ad Il peso del cilindro di liquido è pertanto:

mg P2A

(b)

Figura 9.5 (a) Un cilindro di liquido di altezza d e area A. (b) Forze verticali sul cilindro di liquido.

mg = (r Ad)g Le forze verticali che agiscono su questo elemento cilindrico di liquido sono indicate nella Figura 9.5b. La pressione sulla superficie superiore del cilindro è P1 e la pressione sulla superficie inferiore è P2. Poiché il liquido nel cilindro è in equilibrio, in base alla seconda legge di Newton la forza verticale risultante che agisce su di esso deve essere nulla:

Fy = P2A - P1A - r Adg = 0 Dividendo per il fattore comune A e riarrangiando i termini si ottiene la legge di Stevino:

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Capitolo 9 Fluidi

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Variazione della pressione in funzione della profondità in un fluido in quiete con densità uniforme P2 = P1 + r gd

(9-3)

dove il punto 2 si trova a una profondità d al di sotto del punto 1

Poiché possiamo considerare un cilindro in qualsiasi punto all’interno del liquido, l’Equazione (9-3) collega la pressione tra due qualsiasi punti in un liquido in quiete, quando il punto 2 si trova a una profondità d al di sotto del punto 1. Per i gas, l’Equazione (9-3) può essere applicata a condizione che la profondità d sia sufficientemente piccola da poter considerare trascurabile la variazione della densità a causa della forza di gravità. Per i liquidi, che sono pressoché incomprimibili, l’Equazione (9-3) è valida fino a grandi profondità. Supponiamo di prendere il punto 1 sulla superficie libera di un liquido all’aperto in atmosfera e il punto 2 a profondità d. Allora P1 = Patm e quindi la pressione alla profondità d al di sotto della superficie libera è:

Pressione alla profondità d al di sotto della superficie libera di un liquido all’aperto in atmosfera P = Patm + r gd

(9-4)

Mettiti alla prova 9.4 La pressione in un punto all’interno di un ﬂuido in equilibrio statico dipende dalla posizione del punto lungo la direzione verticale. Potrebbe dipendere anche dalla posizione lungo la direzione orizzontale ?

Esempio 9.3 Un sommozzatore Un sommozzatore nuota fino a una profondità di 3.2 m in un lago d’acqua dolce. Qual è l’incremento della forza applicata al suo timpano rispetto a quella che c’era sulla superficie del lago? La superficie del timpano è 0.60 cm2.

P2 - P1 = rgd P = 1000 kg/m3  9.8 m/s2  3.2 m = 31.4 kPa L’incremento della forza sul timpano è:

Impostazione Possiamo trovare l’aumento di pressione a una profondità di 3.2 m e calcolare quindi il corrispondente incremento della forza sul timpano. Se la forza sul timpano in superficie è P1A e la forza alla profondità di 3.2 m è P2A, l’incremento della forza è allora (P2 - P1)A. Soluzione L’aumento di pressione dipende dalla profondità d e dalla densità dell’acqua. Dalla Tabella 9.1, la densità dell’acqua è 1000 kg/m3, a temperature ordinarie, con due cifre significative.

F = P  A dove A = 0.60

cm2

= 6.0  10–5 m2. Quindi:

F = (3.14  104 Pa)  (6.0  10–5 m2) = 1.9 N Discussione È presente anche una forza che spinge sul timpano verso l’esterno, dovuta alla pressione all’interno del canale auricolare. Se il sommozzatore scende così rapidamente che la pressione nel canale

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Parte I Meccanica

auricolare non cambia, allora una forza risultante di 1.9 N dovuta alla pressione del fluido spinge sul timpano verso l’interno. Quando l’orecchio del sommozzatore “si stura”, la pressione all’interno del canale auricolare aumenta fino a eguagliare la pressione del fluido all’esterno del timpano, in modo tale che la forza risultante dovuta alla pressione del fluido sul timpano sia zero.

Problema di veriﬁca 9.3 Limiti alla profondità di un sottomarino Un sottomarino viene costruito in modo tale da poter sopportare senza danni una pressione di 1.6  107 Pa. A quale profondità nell’oceano può scendere questo sottomarino se la densità media dell’acqua di mare è 1025 kg/m3?

Esempio 9.4 Il paradosso idrostatico Tre recipienti hanno forma diversa, ma la stessa area di base e lo stesso peso quando sono vuoti (Figura 9.6). I recipienti vengono riempiti di acqua fino allo stesso livello e quindi viene tolta l’aria al di sopra. La superficie libera dell’acqua è quindi a una pressione molto bassa che, per semplicità, assumiamo sia zero. (a) La pressione dell’acqua sul fondo di ciascun recipiente è la stessa? In caso contrario, qual è la più grande e quale la più piccola? (b) Se i tre recipienti contenenti acqua vengono pesati con una bilancia, forniscono tutti lo stesso risultato? In caso contrario, quale pesa di più e quale di meno? (c) Se l’acqua esercita la stessa forza verso il basso sul fondo di ciascun recipiente, questa forza è uguale al peso dell’acqua nel recipiente? C’è un paradosso in tutto questo? (Aiuto: riflettere sulle forze dovute alla pressione del fluido sui lati dei contenitori; hanno componenti verticali?)

piente A contiene più acqua di C, mentre il recipiente B contiene meno acqua di C. Il recipiente A pesa più di tutti e il recipiente B meno di tutti.

Soluzione e discussione (a) L’acqua sul fondo di ciascun recipiente è alla stessa profondità d al di sotto della superficie. L’acqua sulla superficie libera di ciascun recipiente è alla pressione Psuperficie = 0. Pertanto, le pressioni sul fondo devono essere tutte uguali:

F = rgV = (rV)g = mg

P = Psuperficie + rgd = rgd (b) Il peso di ciascun recipiente pieno è uguale al peso del recipiente stesso più il peso dell’acqua al suo interno. I recipienti hanno lo stesso peso, ma il reci-

(c) Ogni contenitore sorregge l’acqua al suo interno esercitando una forza verso l’alto di intensità uguale al peso dell’acqua. Per la terza legge di Newton, l’acqua esercita sul contenitore una forza verso il basso con la stessa intensità. La Figura 9.7 mostra le forze dovute all’acqua che agiscono su ciascun contenitore. Nel recipiente C, le forze orizzontali su ciascuna coppia di punti diametralmente opposti sulle pareti del contenitore sono uguali e opposte; di conseguenza, la forza risultante sulle pareti del contenitore è zero. La forza sul fondo è: F = PA = (rgd)(p r 2) Il volume dell’acqua nel cilindro è V = pr2d, per cui:

La forza sul fondo del recipiente C è uguale al peso dell’acqua, come ci si aspettava. Tuttavia, la forza sul fondo del recipiente A è minore del peso dell’acqua nel contenitore, mentre la forza sul fondo del recipiente B è maggiore del peso dell’acqua. Come può essere allora l’acqua in equilibrio? Nel recipiente A, le forze sulle pareti del contenitore hanno sia componenti verso il basso sia componenti orizzontali. Le componenti orizzontali delle forze su ogni coppia di

C d

Figura 9.6 Tre recipienti di forma diversa riempiti di acqua fino allo stesso livello.

Figura 9.7 Forze esercitate dall’acqua sui contenitori.

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Capitolo 9 Fluidi

punti diametralmente opposti sono uguali e opposte, quindi la somma delle componenti orizzontali è zero. La somma delle componenti verso il basso delle forze sulle pareti e della forza verso il basso sul fondo del contenitore è uguale al peso dell’acqua. In modo simile, le forze sulle pareti del recipiente B hanno componenti verso l’alto. In ciascun caso, la forza totale sul fondo e sui lati del contenitore dovuta all’acqua è uguale al peso dell’acqua.

9.5

Problema di veriﬁca 9.4 La pressione è determinata dall’altezza della colonna?

1 2

Figura 9.8 Due punti diversi sul fondo di un recipiente aperto.

La Figura 9.8 mostra un recipiente con due punti indicati sul fondo dell’acqua nel recipiente. Una sottile colonna d’acqua è disegnata al di sopra di ciascun punto. (a) La pressione P2 nel punto 2 ha lo stesso valore della pressione P1 nel punto 1, anche se la colonna di acqua al di sopra del punto 2 non ha la stessa altezza? (b) La relazione P = Patm + rgd implica che P2 < P1? Motivare la risposta.

METODI DI MISURA DELLA PRESSIONE

Per indicare il valore di pressione possono essere utilizzate unità di misura differenti da quelle già viste, cioè atmosfere e pascal. I servizi meteorologici registrano la pressione atmosferica in bar o millibar. I barometri di casa misurano la pressione in cm di mercurio. La pressione arteriosa, cioè la differenza tra la pressione nel sangue e la pressione atmosferica, viene misurata in millimetri di mercurio (mmHg), chiamati anche torr. Una atmosfera corrisponde a circa 1 bar (cioè a 1000 millibar) o a 76 cm di mercurio. Può sembrare strano utilizzare cm o millimetri di mercurio come unità di misura della pressione: come può una forza per unità di area essere uguale a una lunghezza (un certo numero di mm di Hg)? Per usare queste unità di misura della pressione, dobbiamo fare un’ipotesi che possiamo comprendere dopo avere studiato il manometro a mercurio.

● Unità di misura della pressione: 1 atm = 101.3 kPa = 1.013 bar = 760.0 mmHg = 760.0 torr. Aperto all’atmosfera

A′

A Livello iniziale

Manometro Un manometro a mercurio consiste in un tubo verticale a forma di U, contenente del mercurio, con un’estremità solitamente aperta all’atmosfera e l’altra collegata a un recipiente contenente un gas del quale si vuole misurare la pressione. La Figura 9.9 mostra il manometro prima che venga collegato a tale recipiente. Il livello del mercurio è lo stesso nelle due estremità del manometro, se ambedue sono aperte all’atmosfera. Adesso colleghiamo al lato sinistro del tubo a U un palloncino gonfiato (Figura 9.10). Se la pressione del gas nel palloncino è maggiore di quella atmosferica, Aperto all’atmosfera

Gas

d B

B′ Hg

Figura 9.9 Un manometro a mercurio con tutte e due le estremità aperte. I punti A e A¢ si trovano alla pressione atmosferica.

Figura 9.10 Il manometro con una estremità collegata a un recipiente contenente un gas a una pressione maggiore di quella atmosferica.

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Parte I Meccanica

il gas spingerà il mercurio verso il basso nel lato sinistro e verso l’alto nel lato destro. La densità del gas è bassa in confronto a quella del mercurio, quindi si può assumere che tutti i punti nel gas siano alla stessa pressione, indipendentemente dalla profondità. Nel punto B, la forza esercitata dal mercurio sul gas ha la stessa intensità di quella esercitata dal gas sul mercurio, quindi il punto B è alla stessa pressione del gas. Poiché il punto B¢, all’interno del mercurio, è alla stessa altezza del punto B, la pressione in B¢ deve essere uguale a quella in B. Il punto C è, invece, alla pressione atmosferica. La pressione in B è: PB = PB¢ = PC + rgd dove r è la densità del mercurio. La differenza di pressione tra i due lati del manometro è: P = PB - PC = rgd

(9-5)

Perciò, la differenza d tra i livelli del mercurio è una misura della differenza di pressione, che viene dunque comunemente riportata in millimetri di mercurio (mmHg). Si noti che la pressione misurata quando un lato del manometro è aperto è la differenza tra la pressione atmosferica e la pressione del gas, non la pressione assoluta del gas. Questa differenza è chiamata pressione relativa ed è quella che misurano la maggior parte degli indicatori di livello:

Pressione relativa Prel = Pass - Patm

(9-6)

Poiché la densità del mercurio è 13 600 kg/m3, 1.00 mmHg può essere convertito in pascal sostituendo d = 1.00 mm nell’Equazione (9-5):

1.00 mmHg = rgd = (13 600 kg/m3)(9.80 m/s2)(0.00100 m) = 133 Pa

Il liquido all’interno del manometro può essere diverso dal mercurio, per esempio acqua o olio. L’Equazione (9-5) continua a essere valida, se utilizziamo la corretta densità r del liquido presente nel manometro.

Esempio 9.5 Il manometro a mercurio Un manometro è collegato a un contenitore di gas per misurarne la pressione. Prima che il contenitore venga collegato, ambedue i bracci del manometro sono aperti all’atmosfera. Appena il contenitore viene collegato, il mercurio nel braccio collegato con il contenitore di gas risale di 12 cm al di sopra del suo livello precedente. (a) Qual è la pressione relativa del gas espressa in Pa? (b) Qual è la pressione assoluta del gas in Pa? Impostazione La colonna di mercurio è più alta nel braccio collegato al contenitore di gas, per cui con-

cludiamo che la pressione del gas al suo interno è minore della pressione atmosferica. Abbiamo bisogno di trovare la differenza tra i livelli delle colonne di mercurio nei due bracci. Attenzione: non è 12 cm! Se da un lato il mercurio è risalito di 12 cm, dall’altro lato è sceso di 12 cm, perché il manometro contiene sempre lo stesso volume di mercurio. Soluzione (a) La differenza tra i livelli del mercurio è 24 cm (Figura 9.11). Poiché il mercurio nel braccio collegato al gas è risalito, la pressione assoluta del gas è minore della pressione atmosferica. Pertanto, la

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Capitolo 9 Fluidi

Aperto all’atmosfera

Figura 9.11

Gas

Qundo il contenitore di gas viene collegato al manometro, un lato scende di 12 cm e l’altro lato sale di 12 cm.

12 cm 24 cm 12 cm

(b) La pressione assoluta del gas è: P = Prel + Patm = -32 kPa + 101 kPa = 69 kPa Discussione Come verifica, il manometro ci indica direttamente che la pressione relativa del gas è -240 mmHg. La conversione in pascal fornisce: -240 mmHg  133 Pa/mmHg = -32 kPa

pressione relativa del gas è minore di zero. La pressione relativa in Pa è: Prel = rgd dove la “profondità” è d = -24 cm (nel lato collegato al gas il mercurio si trova 24 cm più in alto). Allora Prel = 13 600 kg/m3  9.8 m/s2  (-0.24 m) = -32 kPa

Problema di veriﬁca 9.5 Le altezze delle colonne nel manometro Un manometro a mercurio è collegato a un contenitore di gas. (a) L’altezza della colonna di mercurio nel braccio collegato al gas è 22.0 cm (misurata dalla base del manometro). Qual è l’altezza della colonna di mercurio nel braccio all’aperto se si misura una pressione relativa pari a 13.3 kPa? (b) Se la pressione relativa del gas raddoppia, quali sono i nuovi valori delle altezze nelle due colonne?

Mettiti alla prova 9.5 Un tubo a U contiene due liquidi immiscibili di differente densità (Figura 9.12). Entrambe le estremità del tubo a U sono aperte. Considerando i 5 punti indicati nella ﬁgura, ordina le corrispondenti pressioni dalla maggiore alla minore.

Barometro Un manometro può funzionare come barometro, ovvero come un dispositivo per misurare la pressione atmosferica. La Figura 9.13 mostra un barometro detto “semplice”. Un tubo, di lunghezza maggiore di 76 cm e chiuso a una estremità, viene riempito di mercurio. Il tubo viene quindi capovolto in una bacinella aperta contenente anch’essa mercurio. Si può osservare che solo una parte del mercurio si riversa dal tubo nella bacinella, dato che si raggiunge una situazione di equilibrio. Possiamo fare due osservazioni. Primo, lo spazio che rimane in cima al tubo è praticamente vuoto perché non c’è nulla al suo interno tranne una quantità trascurabile di vapore di mercurio. La pressione in quello spazio è perciò nulla. Secondo, i due punti A e B si trovano alla stessa altezza nel mercurio e quindi devono avere la stessa pressione. Il punto B si trova alla pressione atmosferica, poiché la bacinella è aperta (PB = Patm); il punto A si trova a una pressione che è invece definita dalla legge di Stevino PA = rgd. Dunque, la distanza d dal punto A alla superficie libera della colonna di mercurio nel tubo chiuso è una misura della pressione atmosferica (spesso chiamata pressione barometrica perché viene misurata con un barometro) Patm = PB = PA = rgd. Il barometro fu inventato da Evangelista Torricelli, un assistente di Galileo, nel ’600; in suo onore, un millimetro di mercurio è chiamato un torr.

1 2

Figura 9.12 Un barometro contenente due liquidi diversi. Entrambe le estremità sono aperte all’atmosfera. Vuoto (P = 0)

d Pressione atmosferica A B

Figura 9.13 Un barometro semplice.

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Parte I Meccanica

LA FISICA NEL QUOTIDIANO

P1A

La prossima volta che bevi con una cannuccia, inserisci la cannuccia nella bevanda e metti un dito sull’apertura superiore della cannuccia in modo che al suo interno non possa entrare altra aria. Solleva la parte inferiore della cannuccia ﬁno a farla uscire dalla bevanda. Il liquido nella cannuccia ricade nel bicchiere? Cosa pensi che trattenga il liquido nella sua posizione? Traccia un diagramma di corpo libero su un foglio di carta. Dell’aria rimane intrappolata tra il tuo dito e la cima del liquido nella cannuccia; questa aria esercita sul liquido una forza verso il basso di intensità P1 A (Figura 9.14). Sul liquido agisce verso il basso anche la forza peso mg. L’aria al fondo della cannuccia esercita sul liquido una forza verso l’alto di intensità Patm A; questa forza verso l’alto è quella che mantiene il liquido nella sua posizione. Il liquido non fuoriesce dalla cannuccia, dato che è in equilibrio:

PatmA

Figura 9.14 Forze che agiscono sul liquido all’interno di una cannuccia.

Patm A = P1 A + mg Perciò, la pressione P1 dell’aria intrappolata al di sopra del liquido deve essere minore della pressione atmosferica. In che modo P1 è diventata minore della pressione atmosferica? Nel momento in cui hai sollevato la cannuccia fuori, un poco di liquido nella cannuccia cade, facendo aumentare il volume disponibile all’aria intrappolata sopra il liquido. Quando un aeriforme si espande in condizioni simili a queste, la sua pressione diminuisce. Quando togli il dito, l’aria può entrare dalla parte superiore della cannuccia. Quindi, la pressione sopra e sotto il liquido sarà la stessa e la forza peso spingerà il liquido verso il basso e fuori dalla cannuccia.

Sﬁgmomanometro Sﬁgmomanometro e pressione arteriosa

La pressione arteriosa viene misurata con uno sfigmomanometro. Il modello più vecchio di sfigmomanometro consiste in un manometro a mercurio con un’estremità collegata a un sacchetto chiuso - il manicotto. Il manicotto viene avvolto attorno al braccio e viene quindi gonfiato con aria. Il manometro misura la pressione relativa dell’aria nel bracciale. All’inizio, la pressione nel manicotto è più alta della pressione sistolica - la massima pressione nell’arteria brachiale che si ha quando il cuore si contrae. La pressione del manicotto comprime l’arteria fino a chiuderla e il sangue non scorre nell’avambraccio. Viene quindi aperta una valvola nel manicotto per permettere all’aria di fuoriuscire lentamente. Quando la pressione nel manicotto diminuisce fino a essere di poco inferiore alla pressione sistolica, un piccolo getto di sangue fluisce attraverso la strozzatura dell’arteria a ogni battito cardiaco. Il suono del moto turbolento del sangue attraverso la strozzatura può essere ascoltato tramite uno stetoscopio. Mentre l’aria continua a uscire dal manicotto, il suono del sangue che scorre attraverso la strozzatura nell’arteria continua a essere percepito. Quando la pressione nel manicotto raggiunge la pressione diastolica nell’arteria la pressione minima che si ha quando il muscolo cardiaco è rilassato - non vi è più strozzatura nell’arteria e il suono pulsante termina. Le pressioni relative per un cuore sano sono di norma circa 120 mmHg (sistolica) e 80 mmHg (diastolica).

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Capitolo 9 Fluidi

9.6

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

Quando un corpo è immerso in un fluido, la pressione sulla superficie inferiore del corpo è maggiore della pressione sulla sua superficie superiore. La differenza di pressione comporta una forza risultante verso l’alto che agisce sul corpo, dovuta alla pressione del fluido. Se si provasse a spingere un pallone da spiaggia sott’acqua, si sentirebbe l’effetto di una forza contraria che spinge il pallone verso l’alto. È richiesta una forza piuttosto grande per mantenere un corpo di questo tipo completamente immerso; nel momento in cui lo si lasciasse andare, il corpo ritornerebbe in superficie. Consideriamo un corpo a forma di parallelepipedo immerso in un fluido di densità uniforme r (Figura 9.15a). Per ciascuna faccia verticale (sinistra, destra, fronte e retro), c’è sempre una faccia opposta di uguale area. Dato che le aree di queste due facce sono uguali e che la pressione media su di esse è la stessa poiché si trovano alla stessa profondità, le forze che agiscono su di esse hanno la stessa intensità. I versi sono però opposti, quindi le forze che agiscono sulle facce verticali si annullano a due a due. Sia A l’area di ciascuna superficie superiore e inferiore. La forza sulla faccia inferiore del blocco è F2 = P2A; la forza sulla faccia superiore è F1 = P1A. La forza totale, dovuta al fluido, che agisce sul blocco è chiamata forza di Archimede FAed è diretta verso l’alto perché P2 > P1 e quindi F2 > F1 (vedi Figura 9.15b).    FA = F1 + F2 FA = (P2 - P1)A Poiché P2 - P1 = rgd, l’intensità della forza di Archimede può essere espressa da: Forza di Archimede FA = rgdA = rgV

(9-7)

dove V = Ad è il volume del corpo. Si noti che rV è la massa del volume V di fluido che il blocco sposta. Perciò, la forza di Archimede sul blocco immerso è uguale al peso di un uguale volume di fluido, risultato chiamato principio di Archimede.

Principio di Archimede Un fluido esercita su un corpo immerso una forza verso l’alto la cui intensità è uguale al peso del volume di fluido spostato dal corpo.

Anche se lo abbiamo ricavato per un parallelepipedo, il principio di Archimede si applica a un corpo immerso di forma qualsiasi. Immaginiamo infatti di sostituire un corpo immerso di forma irregolare con una quantità di fluido sufficiente a riempire lo spazio occupato dal corpo. Questa “porzione” di fluido è in equilibrio, quindi la forza di Archimede risulterà uguale al suo peso. La forza di Archimede è la forza totale esercitata sulla “porzione” di fluido dal fluido adiacente e rimane esattamente la stessa quando consideriamo il corpo irregolare, dato che ha la stessa forma e la stessa superficie totale della porzione di fluido. Lo stesso ragionamento può essere utilizzato per dimostrare che se un corpo è immerso solo parzialmente, la forza di Archimede è ancora uguale al peso del fluido spostato. L’Equazione (9-7) è valida fino a quando V rappresenta la parte

d F2

(a) F2

FA F1 (b)

Figura 9.15 (a) Forze dovute alla pressione del fluido sulla parte superiore e su quella inferiore di un corpo solido immerso in un fluido. (b) La forza di Archimede è la somma di   F1 e F2.

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Parte I Meccanica

Figura 9.16 Forze che

del volume del corpo al di sotto della superficie libera del fluido e non l’intero volume del corpo. La forza risultante che agisce su un corpo immerso totalmente o parzialmente in un fluido (Figura 9.16) è:    F = mg + FA   dove mg è la forza peso del corpo e FA è la forza di Archimede. Il modulo della forza peso su un corpo di volume Vo e densità media ro può essere scritto come:

agiscono su un cubo di ghiaccio che galleggia.

P = mg = rogVo mentre il modulo della forza di Archimede è: FA = rf gVf dove Vf e rf rappresentano rispettivamente il volume di fluido spostato e la densità del fluido. Se scegliamo la direzione +y verso l’alto, la forza risultante dovuta al peso e alla forza di Archimede è: Fy = rf gVf - ro gVo

(9-8)

Si noti che se il corpo fosse completamente immerso (Vf = Vo), il segno di Fy dipenderebbe direttamente dalla differenza di densità tra il fluido e il corpo. Immaginiamo di lasciare un sasso e una pallina da ping-pong sott’acqua. La densità media del sasso è maggiore della densità dell’acqua, quindi la forza risultante agente su di esso è diretta verso il basso: il sasso affonda. La densità media di una pallina da ping-pong è invece minore della densità dell’acqua e quindi la forza risultante è verso l’alto, causando la risalita della pallina verso la superficie libera dell’acqua. Fino a quando il corpo è completamente immerso, il volume del corpo e il volume del fluido spostato sono gli stessi e: Fy = (rf - ro)gV Se invece ro < rf, il corpo galleggia e solo una parte del suo volume rimane immersa. All’equilibrio, il corpo sposta un volume di fluido il cui peso è uguale al peso del corpo. In questa condizione la forza peso è uguale alla forza di Archimede e il corpo galleggia. Ponendo Fy = 0 nell’Equazione (9-8) si ottiene: rfgVf = rogVo

che può essere riordinata ottenendo: Vf ρo = Vo ρf Il membro di sinistra di questa equazione è la frazione del volume del corpo immersa, che è uguale al rapporto tra le densità.

Mettiti alla prova 9.6 Due sfere di legno identiche galleggiano, una in un bicchiere pieno d’acqua e l’altra in un bicchiere pieno di alcol. Sapendo che la densità dell’alcol è 0.8 volte quella dell’acqua, ti sembra possibile che le due sfere galleggino con lo stesso volume immerso ? Se no, in quale dei due casi il volume immerso sarà minore ?

Quando rf è la densità dell’acqua a 4 °C, il rapporto di densità r0/rf è chiamato peso specifico relativo del materiale. Il peso specifico relativo non ha unità di

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Capitolo 9 Fluidi

misura in quanto è il rapporto tra due densità. Come sostanza di riferimento si sceglie l’acqua a 4 °C perché, a tale temperatura, la densità dell’acqua presenta il suo valore massimo (alla pressione atmosferica). Si noti che l’unità di misura della massa nel sistema CGS, il grammo, era definito originariamente proprio come la massa di un centimetro cubo di acqua a 4 °C. Quindi, l’acqua a 4 °C ha una densità di 1 g/cm3 (1000 kg/m3). Il peso specifico relativo dell’acqua di mare è 1.025, quindi la densità dell’acqua di mare è 1.025 g/cm3 (1025 kg/m3).

Peso specifico relativo ρ ρ = ρacqua 1000 kg/m3

(9-9)

I gas come l’aria sono fluidi ed esercitano forze di Archimede proprio come i liquidi. Tuttavia, la forza di Archimede dovuta all’aria è spesso trascurabile, dato che in generale la densità media di un corpo è molto maggiore della densità dell’aria. Per osservare in aria una forza di Archimede significativa, dobbiamo perciò considerare un corpo con bassa densità media. Un pallone aerostatico ha un’apertura sul fondo e un fornello per riscaldare l’aria al suo interno (Figura 9.17). Essendo meno densa dell’aria fredda, l’aria calda riempe il pallone e ne diminuisce la densità media. Quando risulta meno denso dell’aria circostante, il pallone si solleva. All’aumentare dell’altezza da terra, però, l’aria circostante diventa sempre meno densa, finché a una specifica altitudine la forza di Archimede avrà la stessa intensità del peso del pallone. Quindi, in base alla seconda legge di Newton, la forza risultante sul pallone sarà nulla. La situazione è particolare, dato che il pallone a questa altitudine risulta in una condizione di equilibrio stabile: se il pallone si solleva un poco, risente di una forza risultante verso il basso, mentre se il pallone scende un poco, viene spinto nuovamente verso l’alto.

Palloni aerostatici ad aria calda

©_ig0rzh_/123RF

P.S. =

Figura 9.17 La forza di Archimede dovuta all’aria esterna mantiene questi palloni aerostatici in volo.

Esempio 9.6 Il falco d’oro (?) Una piccola statua a forma di falco pesa 24.1 N. Il proprietario della statua afferma che è fatta di oro massiccio. Se la statua viene completamente immersa in un contenitore pieno di acqua fino all’orlo, il peso dell’acqua che fuoriesce dal bordo finendo in un secchio è 1.25 N. Trovare la densità e il peso specifico relativo del metallo. Il valore della densità è coerente con l’affermazione che il falco è in oro massiccio? Impostazione Quando è completamente immersa, la statua sposta un volume V di acqua uguale al suo volume. Il peso dell’acqua spostata è uguale alla forza di Archimede. Indichiamo con msg = 24.1 N il peso della statua (in funzione della sua massa ms) e con mag = 1.25 N il peso dell’acqua. Soluzione Il peso specifico relativo della statua è:

P.S. =

ρs ms /V ms = = ρa ma /V ma

Invece di calcolare le masse in kg, sfruttiamo il fatto che il rapporto tra le masse è uguale al rapporto tra i pesi: P.S. =

ms g 24.1 N = = 19.3 ma g 1.25 N

La densità della statua è: rs = P.S.  ra = 19.3  1000 kg/m3

= 1.93  104 kg/m3

In base alla Tabella 9.1, la statua ha la giusta densità; può essere d’oro. Discussione Secondo la leggenda, questo metodo per determinare il peso specifico relativo di un solido fu scoperto da Archimede nel III secolo a.C. Il Tiranno

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Parte I Meccanica

Gerone II chiese ad Archimede di trovare un modo per verificare se la sua corona fosse realizzata in oro puro - naturalmente senza fondere la corona! Archimede ideò il suo metodo mentre faceva il bagno; notò che il livello dell’acqua si alzava quando entrava dentro la vasca e mise in relazione il livello crescente dell’acqua con il volume di acqua spostato dal suo corpo. Preso dall’eccitazione, saltò fuori dalla vasca e corse nudo per le strade di Siracusa gridando “Eureka!”

Problema di veriﬁca 9.6 Identiﬁcare una sostanza sconosciuta Una sostanza solida sconosciuta pesa 142.0 N. L’oggetto è sospeso al piatto di una bilancia ed è completamente immerso in acqua (ma senza toccare il fondo). Il peso misurato dalla bilancia è 129.4 N. Trovare il peso specifico relativo dell’oggetto e determinare se la sostanza può essere una tra quelle elencate nella Tabella 9.1.

Esempio 9.7 Le profondità nascoste di un iceberg Quale percentuale del volume di un iceberg che galleggia è al di fuori dell’acqua? Il peso specifico relativo del ghiaccio è 0.917 e il peso specifico relativo dell’acqua di mare circostante è 1.025. Impostazione Il rapporto tra la densità del ghiaccio e quella dell’acqua di mare ci fornisce il rapporto tra il volume di ghiaccio che è immerso in mare rispetto al volume totale dell’iceberg. La parte rimanente dell’iceberg è al di sopra dell’acqua. Soluzione Potremmo calcolare la densità dell’acqua di mare e del ghiaccio nelle unità SI dai loro pesi specifici relativi, ma non è necessario; il rapporto tra i pesi specifici relativi è uguale al rapporto tra le densità: P.S.ghiaccio ρghiaccio / ρacqua ρghiaccio = = P.S.acqua di mare ρacqua di mare / ρacqua ρacqua di mare La frazione del volume di iceberg immerso è uguale al rapporto tra le densità del ghiaccio e dell’acqua di mare. Perciò, il rapporto tra il volume immerso e il volume totale di ghiaccio è: P.S .ghiaccio ρghiaccio Vimmerso = = Vghiaccio ρacqua di mare P.S .acqua di mare = 0.917 = 0.895 1.025 Lo 89.5% del ghiaccio è al di sotto della superficie libera dell’acqua e solo il 10.5% rimane al di sopra della superficie. Discussione Una procedura alternativa non richiede di ricordare che il rapporto tra i volumi è uguale

Applicazioni delle misure di peso speciﬁco in medicina

al rapporto tra le densità. La forza di Archimede è uguale al peso del volume Vimmerso di acqua: forza di Archimede = ρacqua di mare Vimmerso g Il peso dell’iceberg è mg = rghiaccio Vghiaccio g. Dalla seconda legge di Newton, la forza di Archimede deve essere uguale in modulo al peso dell’iceberg quando questo galleggia in equilibrio: ρacqua di mare Vimmerso g = ρghiaccioVghiaccio g ovvero: ρghiaccio Vimmerso = Vghiaccio ρacqua di mare Il fatto che il ghiaccio galleggi è di grande importanza in natura. Se il ghiaccio fosse più denso dell’acqua, riempirebbe gradualmente gli stagni e i laghi a cominciare dal fondo. Non si formerebbe sulla superficie di laghi e non vi rimarrebbe. Per i pesci e gli altri animali abitanti i fondali le conseguenze di un congelamento dei laghi sarebbero catastrofiche. L’acqua al di sotto dello strato superficiale di ghiaccio che si forma in inverno rimane di poco al di sopra del punto di congelamento, consentendo ai pesci di sopravvivere.

Problema di veriﬁca 9.7 Galleggiare in acqua dolce o salata Se la densità media del corpo umano è 980 kg/m3, quale frazione del corpo umano galleggia al di sopra dell’acqua in un laghetto di acqua dolce e quale frazione galleggia al di sopra dell’acqua salata di un oceano? Il peso specifico relativo dell’acqua salata è 1.025.

Gli esami del sangue includono spesso la determinazione del peso specifico relativo del sangue-normalmente compreso tra circa 1.040 e 1.065. Un valore troppo basso può essere indice di anemia, poiché la presenza di globuli rossi aumenta la densità

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Capitolo 9 Fluidi

media del sangue. Prima di accettare sangue da un donatore, una gocciolina del suo sangue viene posta in una soluzione di densità nota. Se la goccia non va a fondo, non è prudente per il donatore dare il proprio sangue perché l’concentrazione di globuli rossi potrebbe essere troppo bassa. Anche la analisi delle urine comprende una misura del peso specifico relativo (normalmente compreso tra circa 1.015 e 1.030); un valore troppo alto indica una concentrazione di sali disciolti “eccezionalmente” elevata, che può essere indicazione di un problema medico. Le navi da trasporto e le navi da crociera, pur essendo molto grandi e realizzate in acciaio e in altri materiali più densi dell’acqua, galleggiano. Se una nave galleggia, la forza di Archimede che agisce sulla nave deve essere uguale al peso della nave. In effetti, una nave è costruita proprio in modo tale da spostare un volume di acqua di mare maggiore del volume dell’acciaio e degli altri materiali utilizzati per la sua costruzione. In questo modo la densità media della nave (data dal rapporto tra la sua massa e il suo volume totale, che include gran parte di spazi interni “vuoti”) risulta minore di quella dell’acqua di mare, consentendo alla nave di galleggiare. Possiamo anche comprendere in che modo un ippopotamo può scendere al fondo di uno stagno; espirando, esso può espellere parte dell’aria nel suo corpo. L’espirazione fa aumentare la densità media dell’ippopotamo fino a renderla leggermente superiore alla densità dell’acqua; così l’ippopotamo va a fondo. Un armadillo fa esattamente l’opposto: inala aria, gonfiando lo stomaco e gli intestini, allo scopo di aumentare la forza di Archimede per nuotare attraverso un lago.

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Animali in grado di sfruttare il principio di Archimede

Esempio 9.8 Un pesce sospeso Come mai un pesce è in grado di rimanere sospeso, quasi immobile fino a quando non localizza del cibo che lo attira, e con un colpo di coda nuota fino al cibo? I pesci hanno una vescica con pareti sottili, chiamata vescica natatoria, che si trova sotto la spina dorsale. La vescica natatoria contiene una miscela di ossigeno e azoto ricavata dal sangue del pesce. In che modo la vescica natatoria aiuta il pesce a mantenere bilanciate la forza di Archimede e la forza peso, così da poter rimanere sospeso? Soluzione e discussione Se la densità media del pesce è maggiore di quella dell’acqua circostante, il pesce va a fondo; se la sua densità media è minore di quella dell’acqua, esso risale. Variando il volume della vescica natatoria, il pesce riesce a modificare il suo volume e, quindi, la sua densità media. Regolando la sua densità media in modo da farla corrispondere a

9.7

quella dell’acqua circostante, il pesce può rimanere sospeso in equilibrio in una posizione. Il pesce può anche regolare il volume della vescica quando vuole risalire o scendere.

Problema di veriﬁca 9.8 Il coleottero tuffatore Un coleottero tuffatore intrappola una bolla di aria sotto le sue ali. Se si trova sott’acqua, il coleottero usa l’aria nella bolla per respirare, scambiando gradualmente ossigeno con anidride carbonica. (a) In quale modo il coleottero utilizza la bolla d’aria per potersi tuffare sott’acqua? (b) Una volta sott’acqua, cosa fa il coleottero per poter risalire in superficie? (Aiuto: considerare il coleottero e la bolla d’aria come un unico sistema. Come può il coleottero modificare la forza di Archimede che agisce sul sistema?)

FLUIDI IN MOVIMENTO

Lo studio dei fluidi in movimento è un argomento meravigliosamente complesso. Allo scopo di illustrare alcuni importanti concetti in situazioni meno complesse, limitiamo inizialmente il nostro studio a fluidi che scorrono in condizioni particolari. Una differenza tra fluidi in moto e fluidi in quiete è che un fluido in moto esercita una forza in direzione parallela a ogni superficie sulla quale o attraverso

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Figura 9.18 Una galleria del vento mostra le linee di flusso per l’aria che scorre su una macchina.

Parte I Meccanica

la quale esso scorre; un fluido in quiete no. Poiché un fluido in moto esercita una forza su una superficie, anche la superficie deve esercitare una forza sul fluido. Questa forza viscosa si oppone al flusso del fluido; essa è analoga alla forza di attrito dinamico, che si osserva tra corpi a contatto in movimento. Per mantenere in moto un fluido viscoso, una forza esterna deve agire su di esso (e pertanto compiere lavoro). La viscosità sarà trattata più avanti nel Paragrafo 9.9. Per ora, consideriamo esclusivamente il flusso di fluidi non viscosi, ovvero fluidi in cui le forze di attrito viscoso possono essere trascurate. Il flusso di un fluido può essere classificato come stazionario o non stazionario. Quando il moto è stazionario, la velocità del fluido in ogni punto è costante nel tempo. Si noti che non necessariamente la velocità deve essere la stessa ovunque, ma in ogni punto del condotto la velocità delle particelle di fluido che passano in quel punto in istanti di tempo successivi deve essere sempre la stessa (in modulo, direzione e verso). Anche la densità e la pressione di un fluido in moto in regime stazionario sono costanti nel tempo. Il moto laminare è un esempio di moto stazionario. In un moto laminare, il fluido scorre in strati ordinati così che ogni piccola porzione di fluido che attraversa un particolare punto segue la stessa traiettoria di ogni altra porzione di fluido che passa per lo stesso punto. La traiettoria che segue il fluido, partendo da un punto qualsiasi, è chiamata linea di flusso (Figura 9.18). Le linee di flusso possono curvarsi e piegarsi, ma non possono mai intersecarsi; se questo avvenisse, il fluido dovrebbe “decidere” quale percorso seguire quando raggiunge tale punto e quindi il moto non sarebbe più stazionario. La velocità del fluido in ogni punto è tangente alla linea di flusso che passa per quel punto. Le linee di flusso costituiscono un modo appropriato per descrivere schematicamente il flusso di un fluido. Consideriamo innanzitutto il caso particolare del moto di un fluido ideale. Un fluido ideale è incomprimibile, segue un flusso laminare e non è viscoso. In certe condizioni, i fluidi reali possono essere trattati come (quasi) ideali. Il moto di un fluido ideale è regolato da due leggi: l’equazione di continuità e l’equazione di Bernoulli. L’equazione di continuità è un’espressione della conservazione della massa per un fluido incomprimibile: poiché non è possibile creare né distruggere fluido, la massa totale di fluido che scorre in un condotto deve rimanere costante. L’equazione di Bernoulli, discussa nel Paragrafo 9.8, è un’applicazione della legge di conservazione della energia al moto dei fluidi. Queste due equazioni insieme ci permettono di fare previsioni sul moto di un fluido ideale.

Equazione di continuità Cominciamo ricavando l’equazione di continuità, che mette in relazione la velocità e l’area della sezione trasversale del fluido. Supponiamo che un fluido incomprimibile scorra in regime stazionario all’interno di un tubo di sezione variabile. Nella Figura 9.19, il fluido sulla sinistra si muove con velocità v1. Nell’intervallo di tempo t, il fluido percorre una distanza: x1 = v1 t

Figura 9.19 Un fluido incomprimibile che scorre orizzontalmente attraverso un condotto non uniforme.

x1 I v1

A1 1

I v2

2 Δm1 Δm2

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Capitolo 9 Fluidi

Se A1 è l’area della sezione trasversale di questa parte del tubo, allora la massa di fluido che ha attraversato il punto 1 nel tempo t è: m1 = rV1 = rA1x1 = rA1v1 t Durante lo stesso intervallo di tempo, la massa di fluido che ha attraversato il punto 2 è: m2 = rV2 = rA2x2 = rA2v2 t Nell’ipotesi di regime stazionario, la stessa massa di fluido che attraversa una sezione di tubo nell’intervallo di tempo t deve attraversare una qualsiasi altra sezione del tubo nello stesso intervallo di tempo. Pertanto: m1 = m2 ovvero: rA1v1 t = rA2v2 t

(9-10)

La quantità rAv è la portata in massa del fluido: Portata in massa Δm = ρ Av unità di misura SI: kg/s ( ) Δt

(9-11)

Dal momento che gli intervalli di tempo t sono gli stessi, l’Equazione (9.11) indice che la portata in massa attraverso due punti qualsiasi del condotto è la stessa. Poiché la densità di un fluido incomprimibile è costante, anche la portata in volume in due punti qualsiasi del condotto deve essere la stessa:

Portata in volume ΔV = Av Δt

(umità di misura SI: m3/s)

(9-12)

L’equazione di continuità per un fluido incomprimibile è una relazione di uguaglianza tra le portate in volume in due diversi punti del condotto:

Equazione di continuità per un fluido incomprimibile A1v1 = A2v2

(9-13)

Lo stesso volume di fluido che entra in un condotto in un dato intervallo di tempo deve uscire dal condotto nello stesso intervallo di tempo. La velocità del fluido è piccola dove il raggio del condotto è grande; la velocità del fluido è grande dove il raggio è piccolo. Un esempio familiare è dato da ciò che accade quando usiamo il pollice per chiudere parzialmente l’estremità di un tubo allo scopo di ottenere un getto d’acqua per annaffiare il giardino. L’acqua oltrepassa il pollice, dove la sezione è minore, con velocità maggiore di quella con la quale si muove nel tubo. Analogamente, l’acqua in un fiume accelera, formando rapide, quando il letto del fiume si restringe o è parzialmente bloccato da rocce e massi.

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Parte I Meccanica

Figura 9.20 Linee di flusso in un condotto con sezione variabile.

I v1

I v2

©Michael Bodmann/Getty Images

Le linee di flusso sono più ravvicinate dove il fluido scorre più velocemente e sono più distanziate dove il fluido scorre più lentamente (Figura 9.20). Per questo motivo le linee di flusso ci aiutano a visualizzare il moto di un fluido (come già detto, la velocità del fluido in un punto qualsiasi è tangente alla linea di flusso in quel punto).

LA FISICA NEL QUOTIDIANO

Figura 9.21 Dimostrazione della equazione di continuità in un lavandino del bagno. Si noti che il getto d’acqua è più sottile dove la velocità è maggiore.

L’equazione di continuità si applica a un fluido ideale anche se questo non sta scorrendo attraverso un tubo. Apri un rubinetto in modo tale che l’acqua fuoriesca con un flusso moderato (Figura 9.21). L’acqua che esce è in caduta libera, accelerata dalla forza di gravità fino a quando non colpisce il lavandino. Mentre l’acqua cade, la sua velocità perciò aumenta. Il getto si restringe gradualmente mentre l’acqua cade, in modo tale che il prodotto tra la velocità e la superficie della sezione trasversale si mantenga costante, come previsto dall’equazione di continuità.

Mettiti alla prova 9.7 Un’arteria con diametro interno di 1.20 cm si restringe in un punto a un diametro di 1.00 cm. Di quanto cambia (in percentuale) la velocità del sangue quando passa attraverso la sezione più stretta?

Esempio 9.9 Velocità del ﬂusso sanguigno Il cuore immette il sangue nell’aorta, che ha un raggio interno di 1.0 cm. L’aorta alimenta 32 arterie principali. Se il sangue nell’aorta si muove alla velocità di 28 cm/s, con quale velocità media, approssimativamente, scorre nelle arterie? Assumere che il sangue possa essere trattato come un fluido ideale e che ciascuna arteria abbia un raggio interno di 0.21 cm.

Soluzione Iniziamo con il calcolare la sezione trasversale dell’aorta:

Impostazione Poiché abbiamo ipotizzato che il sangue sia un fluido ideale, possiamo applicare l’equazione di continuità. Il condotto principale (aorta) è collegato a più condotti (arterie di grosso calibro), così che questo problema sembra più complesso di quello di un singolo tubo con una strozzatura. Ciò che ha importanza in questo caso è l’area totale della sezione attraverso cui il sangue scorre.

Adesso applichiamo l’equazione di continuità e ricaviamo la velocità incognita:

2 A1 = praorta

e poi la sezione trasversale totale delle arterie: 2 A2 = 32prarteria

A1v1 = A2v2 π ×(0.010 m) ⎛A ⎞ v2 = v1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ = 0.28 m/s × = 0.20 m/s 2 ⎝ A2 ⎠ 32π ×(0.0021 m) 2

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Capitolo 9 Fluidi

Discussione Il flusso di sangue nelle arterie è più lento perché la sezione trasversale totale è maggiore di quella della sola aorta. Dalle arterie il sangue passa nei molti capillari presenti nel corpo. Ciascun capillare ha una sezione minuscola, ma ce ne sono così tanti che il sangue rallenta notevolmente quando raggiunge i capillari - lasciando il tempo per lo scambio di ossigeno, anidride carbonica e sostanze nutritive tra il sangue e i tessuti corporei.

9.8

Problema di veriﬁca 9.9 Lavaggio di un secchio Un tubo per innaffiare il giardino riempie un secchio di 32 L in 120 s. L’apertura all’estremità del tubo ha un raggio di 1.00 cm. (a) Con quale velocità si muove l’acqua quando lascia il tubo? (b) Con quale velocità si muove l’acqua se metà dell’area dell’apertura viene ostruita con un dito?

EQUAZIONE DI BERNOULLI

L’equazione di continuità mette in relazione le velocità di scorrimento di un fluido ideale in due punti differenti, sulla base della variazione nella sezione del condotto. In accordo con questa equazione, la velocità di un fluido deve aumentare quando il fluido attraversa una strozzatura (Figura 9.22) e deve quindi diminuire fino al suo valore iniziale quando lascia la strozzatura. Utilizzando considerazioni energetiche, mostreremo che la pressione del fluido nella strozzatura (P2) non può essere uguale a quella prima o dopo la strozzatura (P1). Nel caso di flusso orizzontale, la velocità è maggiore dove la pressione è minore. Questo principio è spesso denominato effetto Bernoulli. A prima vista l’effetto Bernoulli può sembrare assurdo; non dovrebbe un fluido ad alta pressione muoversi rapidamente? Per esempio, se tu fossi colpito dall’acqua che fuoriesce velocemente da una manichetta, saresti buttato a terra facilmente. La forza che ti butta a terra è effettivamente dovuta alla pressione del fluido; concluderesti ragionevolmente che la pressione era elevata. Tuttavia, la pressione non è elevata fino a quando non rallenti l’acqua mettendoti lungo il suo percorso. L’acqua che si muove rapidamente nel getto si trova, infatti, approssimativamente alla pressione atmosferica (pressione relativa nulla), ma quando fermi l’acqua, la sua pressione aumenta significativamente. Troviamo la relazione quantitativa tra la variazione di pressione e la variazione della velocità di scorrimento per un fluido ideale. Nella Figura 9.23, il vo-

Effetto Bernoulli: un ﬂuido scorre con maggiore velocità dove la pressione è più bassa.

Figura 9.22 Un P1 I v1

I a

I v2

piccolo volume di fluido accelera quando attraversa una strozzatura (posizione A) e quindi rallenta quando esce dalla strozzatura (posizione B).

P1 I v1

I a

v2 > v1 P2 < P1

Δx2

I v2

Δx1

I v1

Δx1

P1 y1

(b) (a)

Figura 9.23 Applicazione della conservazione dell’energia al moto di un fluido ideale. Il volume di fluido ombreggiato in (a) sta scorrendo verso destra; (b) mostra lo stesso volume di fluido dopo un breve intervallo di tempo.

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Parte I Meccanica

lume di fluido ombreggiato scorre verso destra. Se l’estremità sinistra percorre una distanza x1, allora l’estremità destra percorre una distanza x2. Poiché il fluido è incomprimibile: A1 x1 = A2 x2 = V Durante questo movimento, sul fluido viene compiuto lavoro dal fluido adiacente. Il fluido che si trova prima dell’estremità di sinistra spinge in avanti, svolgendo lavoro positivo, mentre il fluido che si trova dopo l’estremità di destra si oppone al moto e spinge all’indietro, svolgendo lavoro negativo. In particolare: W1 = F1 x1 cos a1

W2 = F2 x2 cos a2

dove F1 = P1A1 e a1 = 0, mentre F2 = P2A2 e a2 = 180. Il lavoro totale compiuto dal fluido adiacente sul volume ombreggiato è quindi: W = W1 + W2 = P1A1 x1 - P2A2 x2 = (P1 - P2)V Poiché su un fluido ideale non agiscono forze dissipative, il lavoro compiuto è pari alla variazione totale di energia cinetica e di energia potenziale gravitazionale. L’effetto netto del moto è quello di spostare un volume V di fluido dall’altezza y1 all’altezza y2 e di cambiare la sua velocità da v1 a v2. La variazione di energia è quindi: ΔE = ΔK + ΔU = 21 m(v22 − v12 ) + mg ( y2 − y1 ) dove il verso +y è verso l’alto. Sostituendo m = rV e uguagliando il lavoro compiuto sul fluido alla sua variazione di energia E = W si ottiene:

( P1 − P2 )V = 21 ρV (v22 − v12 ) + ρVg( y2 − y1 ) Dividendo ambedue i membri per V e riordinando i termini si ricava l’equazione di Bernoulli, dal nome del matematico svizzero Daniel Bernoulli (1700-1782), ma ricavata precedentemente dal collega matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783).

Equazione di Bernoulli (per il moto di un fluido ideale) P1 + ρgy1 + 1 ρv12 = P2 + ρgy2 + 1 ρv22 2 2

(ovvero P + ρgy + 21 ρv = costante) 2

(9-14)

L’equazione di Bernoulli mette in relazione la pressione, la velocità e l’altezza in due posizioni del condotto per un fluido ideale in moto. Nonostante sia stata ricavata per una situazione relativamente semplice, l’equazione di Bernoulli si applica al flusso di tutti i fluidi ideali, a condizione che i punti 1 e 2 siano lungo la stessa linea di flusso. Ciascun termine nell’equazione di Bernoulli ha le dimensioni di una pressione, la cui unità di misura SI è il Pa o N/m2. Poiché un joule corrisponde al prodotto di un newton per un metro, un pascal è pari anche a un joule su metro cubo (J/m3). Ogni termine rappresenta quindi lavoro o energia per unità di volume.

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Capitolo 9 Fluidi

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Mettiti alla prova 9.8 Prova a considerare l’applicazione dell’equazione di Bernoulli in questi due casi: (a) condotto orizzontale; (b) ﬂuido fermo.

Esempio 9.10 Il teorema di Torricelli Una botte piena di acqua piovana ha un rubinetto in prossimità del fondo, a una profondità di 0.80 m al di sotto della superficie libera dell’acqua. (a) Con quale velocità esce l’acqua, se il rubinetto è orientato orizzontalmente (Figura 9.24a) e viene aperto? (b) Quale altezza raggiunge lo zampillo, se l’apertura è orientata verso l’alto (vedi Figura 9.24b)? Impostazione L’acqua in superficie si trova alla pressione atmosferica. Anche l’acqua che esce dal rubinetto è alla pressione atmosferica, poiché è in contatto con l’aria. Se la pressione dell’acqua che esce fosse diversa da quella dell’aria, il getto si allargherebbe o si restringerebbe fino a quando la pressione non fosse uguale. Applichiamo l’equazione di Bernoulli a due punti: al punto 1 sulla superficie libera dell’acqua e al punto 2 nel getto di acqua in uscita.

si muove lentamente, perché la botte sta sgocciolando. L’equazione di continuità impone che: v1A1 = v2A2 Poiché la sezione A2 del rubinetto è molto più piccola della sezione A1 del barile, la velocità v1 dell’acqua in superficie è trascurabile rispetto a v2. Ponendo v1 = 0, l’equazione di Bernoulli si riduce a: ρgy1 = ρgy2 + 21 ρv22 Ricaviamo v2 dopo avere diviso per r: g ( y1 − y2 ) = 1 v22 2 v2 = 2 g ( y1 − y2 ) = 4.0 m/s

Soluzione (a) Dal momento che P1 = P2 l’equazione di Bernoulli diventa:

(b) Consideriamo adesso come punto 2 quello in cima allo zampillo. Si ha allora v2 = 0 e l’equazione di Bernoulli si riduce a:

ρgy1 + 1 ρv12 = ρgy2 + 1 ρv22 2 2

rgy1 = rgy2

Il punto 1 si trova 0.80 m al di sopra del punto 2, quindi:

Lo “zampillo” ritorna esattamente fino al livello dell’acqua nella botte!

y1 - y2 = 0.80 m

Discussione Il risultato ottenuto nella parte (b) è conosciuto come teorema di Torricelli. In realtà, lo zampillo non raggiunge la stessa altezza del livello iniziale dell’acqua; parte dell’ energia viene dissipata a causa della viscosità e della resistenza dell’aria.

La velocità dell’acqua in uscita è v2. Qual è v1, la velocità dell’acqua in superficie? L’acqua in superficie 1

d=?

0.80 m v

2 (a)

(b)

Figura 9.24 Una botte piena di acqua piovana con un rubinetto aperto orientato orizzontalmente (a) e verso l’alto (b).

Problema di veriﬁca 9.10 Fluido in caduta libera Dimostrare che la velocità trovata nella parte (a) dell’Esempio 9.10 è la stessa di quella che avrebbe l’acqua se cadesse direttamente da 0.80 m verticalmente. Ciò non dovrebbe sorprendere troppo, poiché l’equazione di Bernoulli è una conseguenza della conservazione dell’energia.

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Parte I Meccanica

Esempio 9.11 Il venturimetro Un venturimetro (Figura 9.25) misura la velocità di un fluido in un condotto. Una strozzatura (di sezione A2) è inserita in un condotto di sezione normale A1. Due tubi verticali, aperti all’atmosfera, risalgono da due punti, uno dei quali in corrispondenza della strozzatura. I tubi verticali funzionano da manometri, consentendo di misurare la pressione. La velocità del fluido nel condotto può essere determinata tramite questa informazione. Supponiamo che il condotto in esame trasporti acqua, che A1 = 2.0 A2, e che le altezze del fluido nei tubi verticali siano h1 = 1.20 m e h2 = 0.80 m. (a) Trovare il rapporto tra le velocità v2/v1. (b) Trovare le pressioni relative P1 e P2. (c) Trovare la velocità v1 nel tubo. Impostazione Nessuna delle due velocità di flusso è conosciuta. L’equazione di Bernoulli non è sufficiente per risolvere questo problema. Poiché conosciamo il rapporto tra le aree, l’equazione di continuità ci fornisce il rapporto tra le velocità. L’altezza dell’acqua nei tubi verticali ci permette di trovare i valori della pressione nei punti 1 e 2. La pressione del fluido sul fondo di ciascun tubo verticale è uguale alla pressione del fluido in moto proprio al di sotto di ciascun tubo-se non fosse così, l’acqua si sposterebbe all’interno o all’esterno dei tubi verticali fino a quando le pressioni non fossero uguali. L’acqua nei tubi verticali è in quiete, quindi la pressione relativa al fondo è P = rgd. Dopo avere ottenuto il rapporto tra le velocità e i valori di pressione, applichiamo l’equazione di Bernoulli. Soluzione (a) Dall’equazione di continuità, il prodotto tra la velocità e la sezione nei punti 1 e 2 deve essere lo stesso. Pertanto: v2 A1 = = 2.0 v1 A2

h1 h2

v1 A1

Figura 9.25 Venturimetro.

A2 Linee di flusso

L’acqua scorre nella strozzatura con velocità doppia rispetto a quella nelle altri parti del condotto. (b) Le pressioni relative sono: P1 = rgh1 = 1000 kg/m3  9.80 N/kg  1.20 m = 11.8 kPa P2 = rgh2 = 1000 kg/m3  9.80 N/kg  0.80 m = 7.8 kPa (c) Applichiamo adesso l’equazione di Bernoulli. Possiamo utilizzare le pressioni relative, dal momento che lo facciamo per ambedue i membri – in effetti stiamo sottraendo la pressione atmosferica da ambedue i membri della equazione: P1 + ρgy1 + 21 ρv12 = P2 + ρgy2 + 21 ρv22 Poiché il tubo è orizzontale, y1  y2 e possiamo trascurare la piccola variazione nell’energia potenziale gravitazionale per unità di volume rgy. Quindi: P1 + 21 ρv12 = P2 + 21 ρv22 Poiché stiamo cercando di ricavare v1, possiamo eliminare v2 tramite la sostituzione v2 = 2.0v1: P1 + 21 ρv12 = P2 + 21 ρ(2.0v1 )

Semplificando: P1 − P2 = 1.5 ρv12 v1 =

11800 Pa − 7800 Pa = 1.6 m/s 1.5×1000 kg/m3

Discussione L’approssimazione y1  y2 è corretta fintantoché il raggio del tubo è piccolo in confronto con la differenza tra le altezze delle colonne di acqua in quiete (40 cm). Altrimenti, avremmo dovuto tenere conto dei diversi valori di y nell’equazione di Bernoulli. Un’acuta considerazione: ricordiamo di avere ipotizzato che la pressione del fluido al fondo dei tubi verticali fosse uguale a quella del fluido in moto al di sotto. Questa ipotesi è in contraddizione con l’equazione di Bernoulli? Dal momento che la velocità del fluido cambia in modo brusco, non dovrebbe esserci una significativa differenza di pressione? No, perché questi punti non si trovano sulla stessa linea di flusso.

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Capitolo 9 Fluidi

Problema di veriﬁca 9.11 Tubo per innaffiare il giardino Attraverso un tubo per innaffiare il giardino di raggio 1.0 cm scorre orizzontalmente acqua con

273

velocità pari a 1.4 m/s. L’acqua schizza fuori orizzontalmente da un beccuccio di raggio 0.25 cm. Qual è la pressione relativa dell’acqua all’interno del tubo?

Fibrillazione arteriosa e aneurisma Supponiamo che un’arteria si restringa a causa dalla formazione di una placca sulle sue pareti interne. Il flusso di sangue attraverso la strozzatura è simile a quello illustrato nella Figura 9.22. L’equazione di Bernoulli dimostra che la pressione P2 nella strozzatura è minore della pressione negli altri punti. Le pareti delle arterie sono elastiche piuttosto che rigide, quindi la minore pressione consente alle pareti delle arterie di contrarsi leggermente in corrispondenza della strozzatura. Di conseguenza, la velocità di scorrimento nella strozzatura tende ad aumentare e la pressione a diminuire ancora di un po’. Quando la pressione nella strozzatura diventa troppo bassa, la parete dell’arteria collassa, interrompendo il flusso del sangue. A questo punto però la pressione aumenta, facendo riaprire l’arteria e consentendo al sangue di scorrere. Il ciclo di fibrillazione arteriosa riprende. Se la parete dell’arteria è debole, si può verificare l’evento opposto. La pressione del sangue spinge le pareti arteriose a deformarsi verso l’esterno, fino a formare un rigonfiamento denominato aneurisma. La ridotta velocità di scorrimento nel rigonfiamento è accompagnata da una maggiore pressione del sangue, che dilata ulteriormente l’aneurisma. Alla fine l’arteria può rompersi a causa dell’aumento di pressione.

Placca aterosclerotica e restringimento delle arterie

Ali di un aeroplano Come fa l’ala di un aeroplano a produrre una forza ascensionale? La Figura 9.26 mostra uno schema di alcune linee di flusso per l’aria che scorre intorno all’ala di un aeroplano in una galleria del vento. Le linee di flusso si incurvano e mostrano che l’ala deflette l’aria verso il basso. Per la terza legge di Newton, se l’ala spinge l’aria verso il basso, l’aria spinge l’ala verso l’alto. Questa forza verso l’alto sull’ala è la spinta ascensionale o portanza. Tuttavia, la situazione non è così semplice come se l’aria “rimbalzasse” dal fondo dell’ala - si noti che anche l’aria che passa al di sopra dell’ala viene deflessa verso il basso. Possiamo usare qualitativamente l’equazione di Bernoulli per comprendere meglio l’origine della portanza. (L’equazione di Bernoulli si applica con buona approssimazione all’aria in movimento. Anche se l’aria non è incomprimibile, per voli subsonici le variazioni di densità sono così piccole da poter essere trascurate.) Se l’aria esercita sull’ala una forza risultante verso l’alto, la pressione dell’aria al di sopra dell’ala deve essere minore di quella dell’aria al di sotto. Nella Figura 9.26, le linee di flusso al di sopra dell’ala sono più addensate di quanto non lo siano al di sotto, mostrando che la velocità di scorrimento al di sopra dell’ala è maggiore di quanto non sia al di sotto. Questa osservazione conferma che la pressione sopra l’ala è minore, in quanto dove la pressione diminuisce la velocità aumenta.

9.9

VISCOSITÀ

L’equazione di Bernoulli trascura la viscosità (l’attrito del fluido). Secondo l’equazione di Bernoulli, un fluido ideale può continuare a scorrere liberamente con velocità costante all’interno di un condotto orizzontale, proprio come un disco da hockey scivolerebbe con velocità costante sul ghiaccio privo di attrito senza

Ali di un aeroplano e portanza

Figura 9.26 Linee di flusso che mostrano l’aria che scorre al di sopra e al di sotto di un’ala di aeroplano in una galleria del vento.

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Figura 9.27 (a) Per mantenere un flusso viscoso, è necessario applicare una forza di pressione [pari a (P1 - P2)A] nella direzione del moto per equilibrare la forza viscosa FV, che si oppone al flusso. (b) La pressione nel fluido diminuisce da P1 sul lato sinistro fino a P2 sul lato destro.

Figura 9.28 (a) In un flusso non viscoso attraverso un tubo, la velocità di scorrimento è uguale in tutti i punti. (b) Nel flusso viscoso, la velocità dipende dalla distanza dalla parete del tubo. Questo disegno semplificato mostra strati di fluido, ognuno dei quali si muove con diversa velocità, ma in realtà la velocità del fluido aumenta con continuità dal valore zero per lo “strato” più esterno fino al massimo valore nel centro.

Parte I Meccanica

Direzione del flusso (a)

P 1A

P2A x

P1 (b)

Pressione P2 x

nulla che lo spinga. Tuttavia, tutti i fluidi reali presentano una certa viscosità; per mantenere in moto un fluido viscoso, dobbiamo applicare una forza esterna, poiché le forze viscose si oppongono al moto del fluido (Figura 9.27). Tuttavia, piuttosto che parlare di forze possiamo considerare le corrispondenti pressioni. Quello che può essere facilmente ricavato (vedi Figura 9.27) è che bisogna mantenere una differenza di pressione costante tra le estremità del condotto per mantenere in moto un liquido reale attraverso un condotto orizzontale. La differenza di pressione è importante - in qualsiasi situazione, dal flusso del sangue attraverso le arterie fino al petrolio trasportato lungo un oleodotto. Per visualizzare il flusso viscoso in un tubo di sezione circolare, immaginiamo che il fluido fluisca in strati o, meglio, sotto forma di gusci cilindrici coassiali. Se non ci fosse viscosità, tutti gli strati si muoverebbero con la stessa velocità (Figura 9.28a). Nel flusso viscoso, la velocità del fluido dipende dalla distanza dalle pareti del tubo (vedi Figura 9.28b). La velocità di scorrimento è massima al centro del tubo. Gli strati più vicini alle pareti del tubo si muovono più lentamente. Lo strato di fluido più esterno, che è in contatto con il tubo, non si muove. Ogni strato di fluido esercita forze viscose sugli strati adiacenti; queste forze si oppongono al moto relativo degli strati. Lo strato più esterno esercita una forza viscosa sul tubo. In realtà, non esistono strati di spessore discreto; piuttosto, la velocità del fluido aumenta con continuità da zero (sulle pareti del tubo) fino al valore massimo (al centro). Un liquido è più viscoso se le forze di coesione intermolecolari sono più intense. La viscosità di un liquido diminuisce con l’aumentare della temperatura

(a) Flusso di un fluido non viscoso

(b) Flusso viscoso

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Capitolo 9 Fluidi

perché il legame tra le particelle del fluido diventa meno forte e, viceversa, la viscosità del fluido aumenta quando la temperatura diminuisce dato che le forze di coesione aumentano di intensità. Le conseguenze di queste variazioni di viscosità possono essere importanti. Per esempio, una diminuzione della temperatura del corpo umano è pericolosa perché la viscosità del sangue aumenta e ciò nonostante il moto del sangue attraverso il corpo. Per i gas, invece, la viscosità aumenta al crescere della temperatura. A temperature più elevate le molecole del gas si muovono più velocemente e urtano più frequentemente l’una con l’altra. Il coefficiente di viscosità (o semplicemente la viscosità) di un fluido è rappresentato con la lettera greca h (eta) e la sua unità di misura SI è il prodotto tra pascal e secondo (Pa·s). Altre unità di misura di uso comune per la viscosità sono il poise (simbolo P; 1 P = 0.1 Pa·s) e il centipoise (1 cP = 0.01 P = 0.001 Pa·s). Nella Tabella 9.2 sono riportati i valori di viscosità di alcuni fluidi comuni.

Legge di Poiseuille La portata in volume V/t per un fluido viscoso che scorre in regime laminare attraverso un condotto orizzontale cilindrico dipende da molti fattori. Prima di tutto, la portata è proporzionale alla caduta di pressione per unità di lunghezza (P/L) – o gradiente di pressione. Se una caduta di pressione P mantiene una determinata portata in un tubo di lunghezza L, allora per mantenere la stessa

Tabella 9.2

Viscosità di alcuni ﬂuidi comuni

Sostanza

Temperatura

Viscosità (Pa · s)

100 °C

1.3  10–5

0 °C

1.7  10–5

20 °C

1.8  10–5

30 °C

1.9  10–5

100 °C

2.2  10–5

Acetone

30 °C

0.30  10–3

Metanolo

30 °C

0.51  10–3

Etanolo

30 °C

1.0  10–3

Acqua

0 °C

1.8  10–3

20 °C

1.0  10–3

30 °C

0.80  10–3

40 °C

0.66  10–3

60 °C

0.47  10–3

80 °C

0.36  10–3

100 °C

0.28  10–3

Sangue, plasma

37 °C

1.3  10–3

Sangue, intero

20 °C

3.0  10–3

37 °C

2.1  10–3

20 °C

0.83

30 °C

0.63

30 °C

0.20

Gas Vapore acqueo Aria

Liquidi

Glicerina

Olio motore SAE 5W-30

275

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276

Parte I Meccanica

portata in un tubo simile di lunghezza 2L è necessaria una pressione doppia (la caduta di pressione è P per la prima metà e P per la seconda). Pertanto, la portata (V/t) deve essere proporzionale alla caduta di pressione per unità di lunghezza (P/L). Inoltre, la portata è inversamente proporzionale alla viscosità del fluido. A parità di tutte le altre condizioni, maggiore è la viscosità del fluido, minore è la portata. L’ultima considerazione riguarda il raggio del tubo. Nel corso del diciannovesimo secolo, durante uno studio del moto nei vasi sanguigni, il medico francese Jean-Louis Marie Poiseuille scoprì che la portata è proporzionale alla quarta potenza del raggio del tubo. Riassumendo:

Legge di Poiseuille (per ﬂusso viscoso) 4 Q = π ΔP / L r 4 = π r ΔP 8 η 8η L

Restringimento delle arterie ed elevata pressione arteriosa

(9-15)

dove Q = V/t è la portata in volume, P è la differenza di pressione tra le due estremità del tubo, r e L sono rispettivamente il raggio interno e la lunghezza del tubo e h è la viscosità del fluido. Una dipendenza dalla quarta potenza non è molto frequente. Perché la dipendenza dal raggio è così forte? Prima di tutto, se due fluidi scorrono attraverso due differenti condotti con la stessa velocità, le rispettive portate in volume sono proporzionali al raggio al quadrato (portata = prodotto tra velocità e area della sezione trasversale, Q = Sv). In un flusso viscoso, tuttavia, la velocità media è maggiore per condotti più larghi; il fluido più distante dalle pareti può scorrere più rapidamente. Ne consegue che anche la velocità media di scorrimento per un determinato gradiente di pressione è proporzionale al quadrato del raggio, portando alla dipendenza complessiva dalla quarta potenza del raggio del condotto nella legge di Poiseuille. La forte dipendenza della portata dal raggio è importante nel flusso sanguigno. Le arterie di un individuo con una malattia cardiovascolare possono risultare ristrette a causa della formulazione di placche aterosclerotiche. La pressione arteriosa deve perciò aumentare per mantenere il flusso di sangue necessario al funzionamento dell’organismo. Se il diametro di un’arteria si restringe fino alla metà del suo valore originario a causa di una placca, e se la caduta di pressione tra le sue estremità rimane la stessa, la portata del sangue si riduce a un sedicesimo del suo valore iniziale. Per compensare in parte questa riduzione nel flusso di sangue, il cuore esercita una forza maggiore, aumentando la pressione arteriosa. Ma anche un’elevata pressione del sangue non è un dato positivo, in quanto provoca altri problemi di salute, non ultimo lo sforzo maggiore richiesto al miocardio.

Esempio 9.12 Ostruzione arteriosa Una rileva al suo paziente che il raggio dell’arteria discendente anteriore sinistra del cuore di un suo paziente è diminuito del 10.0%. Quale aumento percentuale nella caduta di pressione del sangue ai capi dell’arteria è necessario per mantenere il normale flusso di sangue attraverso l’arteria stessa?

Impostazione Assumiamo che non siano cambiate né la viscosità del sangue né la lunghezza dell’arteria. Per mantenere il normale flusso di sangue, la portata in volume deve rimanere invariata: ΔV1 ΔV2 = Δt Δt

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Capitolo 9 Fluidi

Soluzione Se r1 è il raggio normale e r2 è il raggio effettivo, una riduzione del raggio del 10.0% significa che r2 = 0.900 r1. Quindi, dalla legge di Poiseuille, πΔP1r14 πΔP2r24 = 8η L 8η L r14ΔP1 = r24ΔP2 Ricaviamo quindi il rapporto tra le cadute di pressione: ΔP2 r14 1 = = = 1.52 ΔP1 r24 (0.900)4 Discussione Un fattore pari a 1.52 indica un aumento del 52% nella differenza di pressione arteriosa attraverso l’arteria. Questo aumento di pressione deve essere assicurato dal cuore. Se in condizioni normali

la caduta di pressione ai capi dell’arteria è 10 mmHg, adesso essa è 15.2 mmHg: o la pressione arteriosa del paziente aumenta di 5.2 mmHg, oppure vi sarà una riduzione nel flusso di sangue attraverso questa arteria. Il cuore è sottoposto a uno sforzo maggiore in quanto deve compiere più lavoro nel tentativo di mantenere un flusso di sangue adeguato.

Problema di veriﬁca 9.12 Una nuova conduttura d’acqua La fornitura d’acqua cittadina lavora quasi a pieno carico. Il Comune decide di sostituire la conduttura d’acqua principale con una più grande per aumentarne la capacità. Se la portata massima deve aumentare di un fattore 4.0, di quale fattore deve aumentare il raggio della conduttura?

Turbolenza Se la velocità di un fluido in un determinato punto cambia nel tempo, allora il moto è non stazionario. La turbolenza è un caso limite di moto in regime non stazionario. Nel moto turbolento, si formano vortici. I vortici non sono stazionari, ma si muovono con il fluido. La velocità di scorrimento cambia in modo casuale in ogni punto e, di conseguenza, in presenza di turbolenze è difficile fare previsioni sulla direzione o sulla velocità del fluido in moto.

9.10

RESISTENZA VISCOSA

Quando un corpo si muove all’interno di un fluido, il fluido esercita su di esso una forza resistente. Se la velocità relativa tra il corpo e il fluido è sufficientemente bassa da poter considerare laminare il flusso del fluido attorno al corpo, la forza resistente è una conseguenza della viscosità ed è chiamata resistenza viscosa. La resistenza viscosa è proporzionale alla velocità del corpo. Per velocità relative maggiori, il flusso può diventare turbolento e in quel caso la forza resistente diventa proporzionale al quadrato della velocità del corpo. La resistenza dell’aria discussa nel Paragrafo 4.6 era dovuta al flusso turbolento dell’aria. La forza di resistenza viscosa dipende anche dalla forma e dalle dimensioni del corpo. Per un corpo di forma sferica, la forza viscosa è descritta dalla legge di Stokes:

Legge di Stokes (forza viscosa su una sfera) FV = 6p h rv

277

(9-16)

dove r è il raggio della sfera, h è la viscosità del fluido e v è la velocità relativa del corpo rispetto al fluido.

Mettiti alla prova 9.10 Prova a mettere a confronto la forza di resistenza viscosa con la forza d’attrito dinamico.

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278

Parte I Meccanica

La velocità limite (o velocità di regime) di un corpo è la velocità che dà luogo a un valore di forza viscosa tale che compensa esattamente la forza costante agente nel senso opposto, responsabile del moto del corpo stesso. Un corpo in caduta con la sua velocità limite ha accelerazione nulla, quindi continua a muoversi con velocità costante. Utilizzando la legge di Stokes, possiamo ricavare la velocità limite di un corpo sferico in caduta all’interno di un fluido. Quando il corpo è in moto con la velocità limite, la forza risultante che agisce su di esso è zero. Se ro > rf, il corpo va a fondo; la velocità limite è verso il basso e la forza viscosa agisce verso l’alto per opporsi al moto. Per un corpo, come un pallone riempito di elio in aria o una bolla di aria in olio, che risale invece di andare a fondo (ro < rf ), la velocità limite è verso l’alto e la forza viscosa è verso il basso.

Esempio 9.13 Una gocciolina che cade Nel corso di un esperimento per misurare la carica elettrica dell’elettrone, una sottile nebbiolina di goccioline di olio viene spruzzata in aria ed esse vengono osservate con un telescopio mentre cadono. Queste goccioline sono così minuscole che raggiungono presto la loro velocità limite. Se il raggio delle goccioline è 2.40 mm e la densità media dell’olio è 862 kg/m3, trovare la velocità limite delle goccioline. La densità dell’aria è 1.20 kg/m3 e la viscosità dell’aria è 1.8  10-5 Pa · s.

Discussione Dobbiamo controllare le unità di misura nell’espressione finale:

(kg/m3 )⋅(N/kg)⋅ m2 Pa ⋅ s

Soluzione Poniamo la somma delle forze uguale a zero quando v = vL:

Fy = +FV + FA - P = 0 Se maria è la massa di aria spostata, allora: 6p h rvL + mariag - moliog = 0 Risolvendo per vL: 4 3 g (molio − maria ) 3 π r g ( ρolio − ρaria ) = 6πη r 6πη r

Dopo avere diviso numeratore e denominatore per pr, sostituiamo i valori numerici: vt =

4 3

(2.40×10

−6

m) (9.80 N/kg )(862 kg/m −1.20 kg/m 2

1.8×10−5

= 6.0×10−4 m/s = 0.60 mm/s

Pa ⋅ s)

N/m

(N/m2 )⋅ s

=m s

La legge di Stokes è stata applicata in questo modo da Robert Millikan nei suoi esperimenti condotti tra il 1909 e il 1913 per misurare la carica dell’elettrone. Utilizzando un nebulizzatore, Millikan produsse un getto vaporizzato di goccioline di olio. Le goccioline acquisivano carica elettrica per strofinìo mentre venivano spruzzate attraverso il nebulizzatore. Millikan mantenne una gocciolina sospesa impedendole di cadere applicando una forza elettrica verso l’alto. Dopo avere tolto la forza elettrica, egli misurò la velocità limite della gocciolina mentre cadeva in aria. Calcolò la massa della gocciolina utilizzando la velocità limite e la densità dell’olio tramite la legge di Stokes. Ponendo il modulo della forza elettrica uguale al peso di una gocciolina sospesa, Millikan calcolò la carica elettrica della gocciolina. Egli misurò i valori della carica di centinaia di goccioline differenti e trovò che erano tutti multipli della stessa quantità-la carica di un elettrone.

Impostazione Quando le goccioline cadono con la loro velocità limite, la forza risultante che agisce su di esse è zero. Poniamo la forza risultante uguale a zero e usiamo la legge di Stokes per la forza resistente.

vt =

Problema di veriﬁca 9.13 Una bolla che risale 3

)

Trovare la velocità limite di una bolla d’aria di raggio 0.500 mm all’interno di una tazza di olio vegetale. Il peso specifico relativo dell’olio è 0.840 e la viscosità è 0.160 Pa·s. Assumere che il diametro della bolla non cambi durante la risalita.

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Capitolo 9 Fluidi

279

LA FISICA NEL QUOTIDIANO Una dimostrazione della velocità limite può essere ottenuta a casa. Sali su una scala a pioli, oppure affacciati da un balcone a un piano alto, e lascia cadere due oggetti nello stesso momento; una moneta e due o tre filtri di carta per il caffè americano a forma di cono inseriti l’uno dentro l’altro. Noterai l’effetto della resistenza viscosa sui filtri da caffè che cadono con velocità limite costante. Fatti aiutare da un amico nell’esecuzione dell’esperimento per poter osservare i due oggetti cadere. Perché i filtri per il caffè funzionano così bene? Per particelle piccole che cadono all’interno di un liquido, la velocità limite è anche denominata velocità di sedimentazione. Spesso la velocità di sedimentazione è bassa per due ragioni. Primo, la densità della particella non è molto maggiore di quella del liquido, quindi la somma vettoriale della forza peso e di quella di Archimede è piccola. Secondo, la velocità limite è proporzionale a r2; la resistenza viscosa è più importante per particelle piccole. Perciò può essere necessario un lungo intervallo di tempo affinché le particelle sedimentino in soluzione. Poiché è proporzionale a g, la velocità di sedimentazione può essere aumentata tramite l’uso di una centrifuga, un contenitore rotante che produce un’accelerazione di gravità artificiale con intensità geff = w2r [vedi Equazione (5.12) e Paragrafo 5.7]. Le ultracentrifughe sono in grado di ruotare a 100 000 giri/min e realizzano un’accelerazione di gravità artificiale che si avvicina a circa un milione di volte g.

9.11

Velocità di sedimentazione e centrifughe

TENSIONE SUPERFICIALE

La superficie libera di un liquido possiede particolari proprietà che non si osservano all’interno del liquido, dato che tale superficie si comporta come una membrana elastica in tensione. La tensione superficiale (simbolo g) di un liquido è la forza per unità di lunghezza che la superficie libera del liquido esercita sul bordo di contatto con il recipiente. La direzione della forza è tangente alla superficie libere, il verso è verso il centro della superficie libera stessa. La tensione superficiale è dovuta alla forza di coesione tra le molecole. L’elevato valore della tensione superficiale dell’acqua permette ad alcuni piccoli insetti di camminare sulla superficie di uno stagno. La zampa dell’insetto produce una leggera rientranza sulla superficie dell’acqua; la deformazione consente alla superficie di spingere verso l’alto la zampa come se la superficie dell’acqua fosse un sottile foglio elastico. Ciò è analogo a quando una persona cammina sul tappetino di un trampolino. Altri piccoli animaletti d’acqua, come le larve di zanzara e la planaria, rimangono sospesi sulla superficie dell’acqua, utilizzando la tensione superficiale per sorreggersi. Nelle piante, la tensione superficiale contribuisce al trasporto dell’acqua dalle radici alle foglie.

LA FISICA NEL QUOTIDIANO Posa con delicatezza un ago (o un fermaglio piatto plastificato) sulla superficie dell’acqua in un bicchiere. Dopo qualche tentativo, dovresti riuscire a farlo “galleggiare” sulla superficie dell’acqua. Adesso aggiungi all’acqua un pò di detersivo e prova di nuovo. Il detersivo riduce la tensione superficiale dell’acqua, tanto da renderla incapace di sostenere l’ago. I saponi e i detersivi sono tensioattivi - sostanze che riducono la tensione superficiale di un fluido. La minore tensione superficiale permette all’acqua di spargersi più facilmente, bagnando meglio una superficie da pulire.

In che modo gli insetti possono camminare sulla superﬁcie di uno stagno

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280

Parte I Meccanica

Flusso del sangue

Figura 9.29 Nel polmone umano, milioni di minuscoli sacchetti chiamati alveoli si gonfiano a ogni respiro. Attraverso le pareti degli alveoli ha luogo uno scambio di gas. L’area totale della superficie attraverso cui avviene lo scambio di gas è circa 80 m2 - circa 40 volte l’area della superficie del corpo.

Tensioattivo nei polmoni

Bronchiolo

Sacco alveolare Rete di vasi capillari sulla superficie alveolare

Alveoli

L’elevata tensione superficiale dell’acqua rappresenta un problema nei polmoni. Lo scambio di ossigeno e di anidride carbonica tra l’aria inspirata e il sangue ha luogo in minuscoli sacchetti denominate alveoli, di raggio compreso tra 0.05 e 0.15 mm, che si trovano alla estremità dei bronchioli (Figura 9.29). Se il muco che ricopre gli alveoli avesse la stessa tensione superficiale degli altri fluidi corporei, la differenza di pressione tra l’interno e l’esterno degli alveoli non sarebbe abbastanza grande da permettere loro di espandersi e di riempirsi di aria. Gli alveoli secernono un tensioattivo che riduce la tensione superficiale nel loro rivestimento mucoso, così da potersi rigonfiare durante l’inspirazione.

Bolle In una bolla d’aria sott’acqua, la tensione superficiale della superficie d’acqua tende a far contrarre la bolla mentre la pressione dell’aria al suo interno la mantiene gonfia. In condizioni di equilibrio, la pressione dell’aria all’interno della bolla deve essere maggiore della pressione dell’acqua all’esterno, così che la forza risultante dovuta alle pressioni (rivolta verso l’esterno) possa equilibrare la forza dovuta alla tensione superficiale (rivolta verso l’interno). La differenza di pressione P = Pint - Pest dipende sia dalla tensione superficiale sia dalla dimensione della bolla. Si può dimostrare che la differenza di pressione è: ΔP =

2γ r

(9-17)

dove r è il raggio della bolla d’aria. Osservando attentamente un bicchiere di champagne e vedranno file di bollicine che risalgono, che partono dagli stessi punti nel liquido. Perché le bollicine non hanno origine da punti a caso? Una bolla molto piccola richiederebbe una differenza di pressione eccessivamente grande. Le bolle necessitano di una specie di nucleo - una piccola particella di polvere, per esempio - sulla quale formarsi, così da poter cominciare a espandersi, con un eccesso di pressione non troppo grande. Le file di bolle nel bicchiere di champagne indicano dove sono stati “trovati” nuclei adatti.

LA FISICA NEL QUOTIDIANO Prova a soffiare dentro un palloncino per gonﬁarlo e fai caso al fatto che è difficile cominciare, mentre diventa più facile quando il palloncino inizia a gonﬁarsi. Come per le bolle [Equazione (9-17)], l’eccesso di pressione che i tuoi polmoni devono fornire è maggiore quando il raggio è più piccolo.

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281

Capitolo 9 Fluidi

In questo caso le forze elastiche del palloncino prendono il posto della tensione superficiale in una bolla. Alla fine della procedura, gonfiare il palloncino diventa nuovamente difficile perché le forze elastiche aumentano (così come la tensione superficiale aumenterebbe se si trattasse di una bolla).

Esempio 9.14 Pressione nel polmone Durante l’inspirazione la pressione relativa negli alveoli è circa -400 Pa per permettere all’aria di fluire all’interno dei bronchi. Supponiamo che il rivestimento mucoso su un alveolo di raggio iniziale 0.050 mm abbia la stessa tensione superficiale dell’acqua (0.070 N/m). Quale pressione nel polmone, all’esterno degli alveoli, sarebbe necessaria per cominciare a gonfiare gli alveoli? Impostazione Trattiamo l’alveolo come una sfera rivestita di muco. A causa della tensione superficiale del muco, la pressione all’esterno dell’alveolo deve essere minore di quella all’interno, come per una bolla. Soluzione La differenza di pressione è: 2γ 2 ×0.070 N/m ΔP = = = 2.8 kPa r 0.050×10−3 m Pertanto, la pressione all’interno dell’alveolo dovrebbe essere 2.8 kPa più alta della pressione all’esterno. La pressione relativa all’interno è -400 Pa, quindi la pressione relativa esterna dovrebbe essere: Pest = -0.4 kPa - 2.8 kPa = -3.2 kPa

Discussione La pressione relativa effettiva all’esterno degli alveoli è circa -0.5 kPa invece di 3.2 kPa; allora P = Pint - Pest = -0.4 kPa (-0.5kPa) = 0.1 kPa invece di 2.8 kPa. In questo caso il tensioattivo viene in aiuto; facendo diminuire la tensione superficiale nel muco, esso fa diminuire P a circa 0.1 kPa e permette che avvenga l’espansione degli alveoli. In un neonato, gli alveoli sono inizialmente collassati e ciò porta a una differenza di pressione necessaria di circa 4 kPa. Il primo respiro è quindi un evento tanto difficile quanto importante.

Problema di veriﬁca 9.14 Bolle di champagne Una bollicina in un bicchiere di champagne è piena di CO2. Quando si trova 2.0 cm sotto la superficie libera dello champagne, il suo raggio è 0.50 mm. Qual è la pressione relativa all’interno della bollicina? Assumere che lo champagne abbia la stessa densità media dell’acqua e una tensione superficiale di 0.070 N/m.

Riepilogo • I fluidi sono materiali che scorrono e comprendono sia i liquidi sia i gas. Un liquido è quasi incomprimibile, mentre un gas si espande fino a riempire il suo contenitore. • La pressione è la forza per unità di area che un fluido esercita perpendicolarmente a ogni superficie con la quale è in contatto. L’unità di misura SI della pressione è il pascal (1 Pa = 1 N/m2). • La pressione media dell’aria al livello del mare è 1 atm = 101.3 kPa. • Principio di Pascal: una variazione di pressione in un qualsiasi punto in un fluido confinato si trasmette in tutti gli altri punti del fluido.

• La densità media di una sostanza è il rapporto tra la sua massa e il suo volume: ρ= m V

(9-2)

• Il peso specifico relativo di un materiale è il rapporto tra la sua densità e quella dell’acqua a 4 °C. • Variazione della pressione con la profondità in un fluido in quiete: P2 = P1 + rgd

(9-3)

dove il punto 2 si trova a una profondità d al di sotto del punto 1.

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282

Parte I Meccanica

• L’equazione di continuità stabilisce che la portata in volume di un fluido ideale è costante:

• Tra gli strumenti per misurare la pressione vi sono il manometro e il barometro. Il barometro misura la pressione dell’atmosfera, mentre il manometro misura una differenza di pressione. • La pressione relativa è la differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica: Prel = Pass - Patm

ΔV = A v = A v 1 1 2 2 Δt

• L’equazione di Bernoulli mette in relazione la variazione di pressione con la variazione di velocità e di altezza:

(9-6)

• Principio di Archimede: un fluido esercita su un corpo completamente o parzialmente immerso una forza verso l’alto di intensità pari al peso del volume di fluido spostato dal corpo. • Nel moto stazionario, la velocità del fluido in ogni punto è costante nel tempo. Nel moto laminare, il fluido scorre in strati ordinati, così che ogni piccola porzione di fluido che attraversa un particolare punto segue la stessa traiettoria di ogni altra porzione di fluido che passa per lo stesso punto. La traiettoria che segue il fluido, partendo da un punto qualsiasi, è chiamata linea di flusso. Il flusso laminare è stazionario, mentre il flusso turbolento è caotico e instabile. La forza viscosa si oppone al moto del fluido ed è analoga alla forza di attrito tra i solidi. • Un fluido ideale scorre con moto laminare, non ha viscosità ed è incomprimibile. Il moto di un fluido ideale è regolato da due leggi: l’equazione di continuità e l’equazione di Bernoulli.

P1 + ρgy1 + 1 ρv12 = P2 + ρgy2 + 1 ρv22 2 2

1.3  106 N/m2 = 1.3 MPa; questa pressione supera la pressione dovuta al tacco delle scarpe da tennis di un fattore 15. 9.2 (a) 2.0  105 Pa. (b) 5.0 m. 9.3 1.6 km. 9.4 (a) Sì, P2 = P1. La colonna al di sopra del punto 2 non ha la stessa altezza, ma la pressione in cima a tale colonna è maggiore della pressione atmosferica. (b) No, P = Patm + rgd fornisce il valore di pressione a una profondità d al di sotto di un punto dove la pressione è Patm. 9.5 (a) 32.0 cm. (b) 17.0 cm e 37.0 cm. 9.6 P.S. = 11.3; potrebbe trattarsi di piombo. 9.7 2% e 4%. 9.8 (a) Il coleottero può schiacciare la bolla d’aria con le sue ali, comprimendo l’aria per ridurre il volume della bolla e far diminuire la forza di Archimede. (b) Quando deve risalire in superficie, il coleottero riduce la pressione sulla bolla, permettendole di riespandersi. 9.9 (a) 0.85 m/s. (b) 1.7 m/s. 9.10 2 gh = 4.0 m/s. 9.11 250 kPa.

(9-14)

• La legge di Poiseuille fornisce il valore della portata in volume V/t per un flusso viscoso in un condotto orizzontale: ΔV = π ΔP / L r 4 Δt 8 η

(9-15)

dove P è la differenza di pressione tra le estremità del condotto, r e L sono rispettivamente il raggio e la lunghezza del condotto e h è la viscosità del fluido. • La legge di Stokes fornisce la forza di resistenza viscosa su un corpo sferico in moto in un fluido: FV = 6p h rv

(9-16)

• La tensione superficiale g di un liquido è la forza per unità di lunghezza con la quale la superficie tira sul suo bordo.

9.12 1.4. 9.13 2.85 mm/s verso l’alto. 9.14 480 Pa.

Risposte ai Problemi di veriﬁca

(9-12, 9-13)

9.1

Risposte ai quesiti Mettiti alla prova

9.2 9.4

9.5

1.8 volte. La pressione di un punto in un fluido in equilibrio statico non può dipendere dalla sua posizione orizzontale. La forza orizzontale totale in ogni punto del fluido deve infatti essere nulla, altrimenti l’accelerazione sarebbe diversa da zero e il fluido inizierebbe a muoversi. Anche la forza verticale totale deve essere nulla in ogni punto del fluido, ma questa include la forza peso della colonna di fluido al di sopra del punto considerato. Quindi, la pressione dipende dalla posizione del punto lungo la verticale. 3 = 4, 2, 1 = 5. Le pressioni in 3 e 4 sono uguali dato che i due punti sono allo stesso livello nel liquido rosso. Le pressioni 1 e 5 corrispondono alla pressione atmosferica. Il punto 2 si trova a una pressione intermedia: nel liquido blu, la pressione aumenta con la profondità e dunque P3 > P2 > P1.

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Capitolo 9 Fluidi

9.6

9.7

9.8

In entrambi i casi, il peso del liquido spostato deve essere uguale al peso della sfera di legno: rlegnoVtot = rliquidoVimm. Nel caso dell’alcol, che ha minore densità, il volume spostato dovrà essere maggiore. Quindi, la prima risposta è “no”, mentre la seconda è “il volume immerso è minore nel caso dell’acqua”. L’equazione di continuità indica che il liquido deve scorrere più velocemente dove la sezione si riduce. Quindi: v2/v1 = A1/A2 = (d1/d2)2 = 1.202 = 1.44. La velocità aumenta del 44%. (a) Se il condotto è orizzontale, allora y1 = y2 e l’equazione di Bernoulli diventa: P1 + 21 ρv12 = P2 + 21 ρv22

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La pressione risulta quindi minore dove la velocità è maggiore. (b) Se il fluido fosse fermo, allora v1 = v2 = 0 e l’equazione di Bernoulli diventa P1 + rgy1 = P2 + rgy2. Ponendo y1 - rgy2 = d, troveremo P2 - P1 = rgy1 - rgy2 = rgd, che esprime la dipendenza dalla profondità della pressione all’interno di un fluido in equilibrio statico (legge di Stevino). 9.10 La forza di resistenza viscosa e la forza d’attrito dinamico sono entrambe forze che si oppongono al moto di un corpo (relativo a un ambiente fluido nel primo caso e alla superficie solida su cui il corpo scivola nel secondo). Tuttavia, la forza di resistenza viscosa dipende dalla velocità dell’oggetto nel fluido, mentre la forza d’attrito dinamico no.