Mefisto Número 7
Abril de 2013
Mefisto
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno. San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, capítulo xviii, verso 37.
En este número: Presentación
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El cielo de primavera
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Las piedras del cielo
3
Sobre San Lorenzo Tezonco
18
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Frases célebres 21
Fausto Cervantes Ortiz
Sobre un tal Pierre (o Pèire) de Fermat
Anayatzin Salazar Rodríguez
Carlos Infante Vargas
Tripletas pitagóricas
Daniel Maisner Bush
Acertijos
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Sudoku
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Presentación Octavio Campuzano Cardona
Academia de Cultura Científico-Humanística
La imagen colectiva de los científicos y matemáticos de hoy es que éstos son personas geniales que obtienen resultados relevantes dentro de sus cubículos o laboratorios. Sin embargo, desde las reflexiones de Thomas S. Kuhn en los años sesentas sobre la actividad científica, hasta los recientes planteamientos de los llamados estudios sociales de la ciencia, se ha modificado esa percepción idílica de los científicos. Entre otros argumentos, para comprender de manera más profunda el lugar en la dinámica científica, de los científicos podemos mencionar: 1) Los científicos trabajan sólo sobre algunos problemas y su quehacer está inserto en tradiciones de investigación. Desde sus carreras, a los estudiantes de ciencia se les “inicia” en el estudio de su área de investigación y les enseñan las teorías, modelos y, sobre todo, el tipo de problemas relevantes para su comunidad. 2) Para realizar su investigación, los científicos no sólo requieren recursos e infraestructura, sino también de la colaboración de una multitud de personas (no necesariamente científicos). 3) Los resultados de las investigaciones patrocinadas por transnacionales dejan de lado a los autores y los presentan como desarrollo de la corporación. En síntesis, un científico no sólo requiere de talento personal para su desarrollo, también debe pertenecer a una comunidad y a una institución que lo respalde.
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Las preocupaciones cotidianas sobre las catástrofes que podrían acabar con la Tierra se abordan con un enfoque científico en MEFISTO, describiendo las historias de dos objetos celestes, el primero que impactó la ciudad rusa de Cheliábinsk y el asteroide 2012 DA14, mucho más grande que el primero, el cual pasó muy cerca de nuestro planeta. En el artículo se explican algunos fenómenos asociados a estos objetos y el tipo de estrategias para detectar sus trayectorias y medir sus riesgos. Finalmente, agregamos aquí un breve ensayo sobre la historia y características del pueblo de San Lorenzo Tezonco, lugar que alberga la sede más grande de nuestra universidad, escrito por una egresada de la Licenciatura en Ciencias Sociales, de este plantel.
Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno
Editor Fausto Cervantes Ortiz
Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio Octavio Campuzano Cardona Fausto Cervantes Ortiz Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera
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Sin embargo, en la historia encontramos casos de científicos extraordinarios, como es el caso de Pierre de Fermat, que rompe con todos los esquemas. En este número damos a conocer, por medio de un relato, a este genio que nunca imaginó ser el padre de uno de los problemas más fascinantes de la historia de las matemáticas: el último teorema de Fermat. En el artículo “tripletas pitagóricas” se abordan algunos elementos para entender en qué consiste el problema planteado por el matemático francés.
Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto http://gacetamefisto.webs.com Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.
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Las piedras del cielo Fausto Cervantes Ortiz
Academia de Matemáticas
El cielo suculento no sólo tuvo nubes, no sólo espacio con olor a oxígeno, sino una piedra terrestre aquí y allá, brillando, convertida en paloma, convertida en campana, en magnitud, en viento penetrante: en fosfórica flecha, en sal del cielo. Pablo Neruda
El bólido de Cheliábinsk La mañana del 15 de febrero, la ciudad de Cheliábinsk, en Rusia, sufrió un fenómeno poco usual: recibió un bólido que destruyó ventanas y provocó daños en edificios, además de producir heridas a casi 1500 personas, de las cuales, más de 100 tuvieron que ser hospitalizadas.
Figura 1. Bólido de Cheliábinsk.
Este fenómeno celeste ocurrió cuando una roca de unos 15 por 17 metros ingresó a la atmósfera a muy alta velocidad, aproximadamente a 65 mil kilómetros por hora. Al tocar la atmósfera, el choque con el aire provocó una explosión (que a su vez produjo una onda expansiva) equivalente a la detonación de treinta bombas atómicas como la de Hiroshima.
Figura 2. Dos aspectos de la trayectoria del bólido de Cheliábinsk.
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Figura 3. Cráter provocado por el impacto del meteorito de Cheliábinsk en Kasajztán.
Aunque el objeto se desintegró casi totalmente al contacto con la atmósfera, hubo algunos fragmentos que alcanzaron la Tierra y fueron hallados por las fuerzas armadas de Kazajstán en su territorio. El impacto dejó un cráter de más de 20 metros de diámetro cerca del lago Chebarkul, localizado a más de 50 km al suroeste de Cheliabinsk. De las imágenes captadas, videos tomados por aficionados, rastros dejados en el cielo, etcétera, fue posible calcular la trayectoria de dicho objeto, encontrándose que aparentemente no tuvo relación
Figura 4. Aspecto del teatro de Cheliábinsk después de la explosión del bólido. alguna con otro evento celeste, en el que un asteroide pasó a una distancia mínima de la superficie terrestre sólo unas pocas horas más tarde.
El asteroide 2012 DA14 El 22 de febrero de 2012, astrónomos de la Universidad de Granada (España) descubrieron un asteroide de diámetro aproximado de 50 metros.
Algunas definiciones útiles Meteoroide: Cuerpo menor del Sistema Solar, de entre 100 micrómetros y 50 metros de diámetro (o cualquier otra dimensión máxima, pues sus formas pueden ser altamente irregulares). El límite inferior en tamaño es para diferenciarlos del polvo cósmico, mientras que el límite superior es para diferenciarlos de los asteroides y cometas. Meteoro: Fenómeno luminoso producido por la entrada de un meteoroide en la atmósfera terrestre. La fricción produce calentamiento y evaporación, y la ionización atmosférica produce luz. Si el fenómeno es más brillante que el planeta Venus, se le llama “bólido”. Meteorito: Meteoroide que no se desintegra por completo al atravesar la atmósfera y alcanza la superficie terrestre. Puede producir un cráter debido al impacto. Asteroide: Cuerpo menor del Sistema Solar, de tamaño mayor que el de un meteoroide y menor que el de un planeta. La mayoría de los asteroides orbitan entre Marte y Júpiter, pero hay muchos que tienen órbitas que cruzan entre los planetas mayores o los planetas interiores.
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Figura 6. Representada a escala, se muestra la distancia a la que pasó el asteroide 2012 DA14. Siguiendo su trayectoria y calculando a futuro, se concluyó que el 15 de febrero de 2013 dicho asteroide pasaría a unos 27 700 km de la superficie terrestre, lo que constituiría un récord para un objeto de tales dimensiones. La imagen a escala está en la figura 5. El asteroide 2012 DA14 es uno más de los muchos objetos que orbitan el Sol en trayectorias elípticas notablemente excéntricas, lo que hace que atraviese la órbita de la Tierra acercándose también a la de Venus en su mayor lejanía con la Tierra, como se ve en la figura 6.
Interacciones gravitacionales Si bien al calcular las órbitas de los objetos anteriormente descritos nos encontramos que las trayectorias se calculan en base a los datos que se
tienen a la mano. Si bien en el caso del asteroide 2012 DA14 se tenían datos desde hace más de un año, para el caso del meteoroide de Cheliábynsk sólo se conocen los datos que dejó al ingresar a la atmósfera de la Tierra y caer en su corteza. De este modo, realmente no sabemos qué pasó anteriormente con este cuerpo. Sin embargo, lo que sí es seguro es que el meteoroide no pudo ser un fragmento que se haya desprendido del asteroide. ¿Por qué podemos estar seguros de ello? Porque si eso hubiese ocurrido, su masa hubiera disminuido en forma sensible, lo que habría afectado la fuerza gravitacional con el Sol, teniendo como consecuencia un cambio orbital considerable. Pero no se reportó absolutamente ningún cambio en la órbita que no se pudiera explicar sin la suposición inicial de que hubo una disminución de masa. En el caso del meteoroide, no sabiendo más que lo que pasó al ingresar a la Tierra, no sabemos si hubo cambios orbitales de importancia. Pudo haber interacciones gravitacionales no sólo con la Tierra, sino también con el asteroide 2012 DA14, que sin embargo no lo afectaron, dada la gran diferencia de masas.
Rodeados de rocas Los meteoritos, o piedras celestes, se conocen desde hace mucho. La utilización del hierro por las culturas prehistóricas está vinculada con el aprovechamiento del hierro de los meteoritos. Algunos de los meteoritos grandes sirvieron de objetos divinos a los pueblos primitivos. Hasta antes de los viajes a la Luna, de donde se trajeron muestras rocosas, los meteoritos eran los únicos cuerpos cósmicos que se podían investigar directamente en los laboratorios terrestres. De ahí que la recolección e investigación de meteoritos tenga tanta importancia científica.
Figura 5. Órbitas de los planetas Mercuro, Venus, Tierra y Marte, así como del meteoroide de Chelia- Hasta antes de la segunda mitad del siglo pasado, bynsk y el asteroide 2012 DA14. los fenómenos celestes en donde había caída de ro-
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Mefisto cas del cielo eran reportados en forma altamente imprecisa, dado que no se tenían instrumentos ni personal que cubriera el cielo en busca de tales objetos. Sin embargo, conforme fue desarrollándose la tecnología de las telecomunicaciones, así como la de los telescopios, aunado al interés creciente de astrónomos aficionados de todo el mundo, tales fenómenos se fueron reportando con precisión cada vez mayor. Hoy se dice que diariamente caen a la Tierra tres trailers de meteoritos.
Después de ver las consecuencias de ese fenómeno, el primer ministro ruso Dmitri Medvédev declaró que era “una prueba de la vulnerabilidad del planeta” y que éste “necesita protegerse contra sucesos futuros”.
Esto es precisamente lo que se viene advirtiendo a los gobiernos de todos los países del mundo para promover el desarrollo de la astronomía del Sistema Solar, que ha caído en crisis después de los grandes descubrimientos de la astronomía exDe ello se cayó en la cuenta de que estamos ro- tragaláctica. deados de rocas que en cualquier momento podrían impactar en nuestro planeta (como acaba de ocurrir en Chéliabynsk), y de que era importante Referencias monitorear a los objetos que pasaran cerca de la Tierra. Dicho monitoreo se ha llevado a cabo con Bakulin et al. Curso de Astronomía General. Mir. gran precisión, lo que permitió predecir el paso Moscú, 1987. del asteroide 2012 DA14, sin embargo, seguimos te- Diario La Jornada. México. niendo eventos imprevistos, como lo fue el bólido Wikipedia, The Free Encyclopedia. de Cheliábynsk.
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Sobre un tal Pierre (o Pèire) de Fermat Dr. Carlos Infante Vargas
Profr. del Instituto Barcelona
Hoy es una mañana fría de invierno, como cada frío invierno en Toulouse desde que llegó aquí a estudiar derecho, enviado por su padre Dominique, abandonando su pequeño pueblo natal en Beaumont de Lomagne. Hace un año se ha casado con Louise de Long (prima de su madre) y hace un par de meses ha nacido el primero de sus hijos, Clemont, quien después de su muerte llegará a ser su albacea científico; pero eso él aún no lo sabe. Antes de salir de su apartamento, vuelve a mirar su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto (aquella traducción latina de Bachet) que, hasta entrada la madrugada, ha estado leyendo. Lo ha entretenido una de las muchas proposiciones del matemático alejandrino (la quaestio VIII) sobre ternas pitagóricas y aunque sabe que no es posible generalizar el resultado a tercias de grado superior, aún no ha podido demostrarlo. Sigue pensando en ello mientras baja las escaleras de su casa para dirigirse a la Rue de Metz, mientras pasa por la Cathèdrale de St. Etienne (cuyo retablo y órgano están recién terminados) y mientras gira a la derecha para coger la Rue de Changes hacia el Capitoli. Hoy tiene la sesión del pleno más importante desde que trabaja como consejero real en el Parlamento de Toulouse: la condena a muerte del duque de Montmorency -gobernador del Languedoc- por su rebelión contra el rey Luis XIII y, sobre todo, contra su excelencia el cardenal Richelieu. Durante uno de los intermedios del pleno, en las escaleras del Parlamento, habla con su amigo Carcavi y le comenta la posibilidad de publicar un tra-tado que ha titulado Novus secundarum et ulterioris radicum in analyticis usus. A pesar de los enormes esfuerzos de Carcavi, esto nunca será publicado, al igual que ninguno de sus escritos matemáticos. La sesión del Parlamento ha terminado ya entrada la noche y, una semana después,
Figura 1. Pierre de Fermat. Montmorency acabará ejecutado en el interior del Capitoli: el Midi nunca será liberado de la corona. El problema de las tercias pitagóricas vuelve a ocupar sus pensamientos mientras atraviesa las estrechas y húmedas calles del casco antiguo, hasta llegar al convento de los Agustinos. Hace un frío terrible y las manos se le hielan. Toca en el gran portón de madera y uno de los sesenta monjes que ahí se albergan lo introduce hasta el claustro menor donde, entre bóvedas acanaladas y frías imágenes de piedra, le entrega a otro monje dos cartas: una dirigida a su padre Dominique donde le comenta la gran variedad de pieles y cueros que se encuentran en el mercado al otro lado del recién acabado Pont Neuf (que une la Gascuña con el Languedoc), y otra dirigida a Monsieur Blas Pascal relativa a sus avances en el cálculo de probabilidades. Después de cuatro meses, Pascal le contestará: “Señor, buscad en otras partes quien os siga en vuestras inven-
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Mefisto ciones numéricas; en cuanto a mí, os confieso que estoy muy lejos de ello”. Al salir del convento, observa la silueta flaca de un perro que busca comida en una de las estrechas calles medievales, Por fin llega a casa. Está cansado. Sin hacer ruido, se dirige a la habitación donde Louise y el niño ya duermen. Desde el marco de la puerta observa la tranquilidad de su sueño. Entonces se dirige a su despacho, toma la Arithmetica, y, en un perfecto latín (lengua que, junto al griego y la mayoría de las lenguas europeas, también domina), en el margen de la página donde aparece la quaestio VIII, escribe: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet1 Sí. Ha logrado completar la prueba -una hermosa prueba- utilizando un razonamiento que él llama “descenso infinito”. Sin embargo, los matemáticos tardarán más de tres siglos en demostrar que tiene razón. Pero eso, él aún no lo sabe…
Figura 2. Páginas del libro de Aritmética de Diofanto, la primera con el comentario de Fermat, editado por su hijo en 1670.
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1 La traducción es la siguiente: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.
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Tripletas pitagóricas Daniel Maisner
Academia de Matemáticas, SLT
Tripletas Pitag´ oricas Daniel Maisner Bush 20 de mayo de 2013
Introducci´ on Pierre Fermat (1601-1665) es, sin lugar a dudas, uno de los m´ as grandes matem´ aticos de todos los tiempos. Tuvo importantes contribuciones en diferentes ´ areas de la matem´ atica, entre las que podemos destacar: c´ alculo diferencial (espec´ıficamente, estudi´ o c´ omo calcular rectas tangentes a curvas y su aplicaci´ on para la soluci´on de problemas de m´ aximos y m´ınimos con anterioridad a los dos grandes padres del ´ area: Newton y Leibnitz), probabilidad (desarrollando sus bases en conjunto con Pascal), geometr´ıa anal´ıtica (que desarroll´ o de forma paralela e independiente a Descartes), y especialmente aritm´ etica, en donde sus trabajos forman un pilar del ´algebra moderna, particularmente de la teor´ıa de n´ umeros. En algunas biograf´ıas se le conoce con el sobre nombre de pr´ıncipe de los aficionados porque, por incre´ıble que parezca, Fermat no ten´ıa una profesi´ on cient´ıfica. Oficialmente, era experto en derecho, ´ area en la que trabaj´ o remuneradamente durante su vida, ocupando cargos judiciales en la ciudad de Toulouse. Desde esta perspectiva, sus trabajos cient´ıficos fueron un pasatiempo, un trabajo no remunerado pero, sin lugar a dudas, profundamente m´ as trascendentes y con mayor trabajo en el sentido amplio de la palabra. Quiz´ a por ello, pr´ acticamente nunca public´ o sus resultados cient´ıficos, los cuales s´ olo se conocen por algunas cartas dirigidas a matem´ aticos contempor´ aneos ´ o encontrados como apuntes personales tras su muerte. Tal es el caso de su extraordinaria contribuci´ on a la teor´ıa de n´ umeros. Fermat aprendi´ o aritm´etica estudiando el libro Aritm´etica del matem´ atico griego Diofanto, editado y co´ mentado por Bachet de M´eziriac. Este libro resume gran parte del conocimiento de la teor´ıa de n´ umeros de la antig¨ uedad. Sus reflexiones sobre este texto las fue anotando en los m´ argenes de su ejemplar. A su muerte, su hijo Samuel public´ o una nueva edici´ on de Aritm´etica, a˜ nadiendo las notas de su padre en forma de ap´endice. Ser´ıa injusto considerar a este nuevo libro como una versi´ on de Difanto con peque˜ nas notas, explicando y reescribiendo resultados. Los apuntes de Fermat hallados son de una profundidad asombrosa y no es exagerado afirmar que son la base de la teor´ıa de n´ umeros moderna. En estos apuntes se encontr´ o el enunciado que a veces se conoce como u ´ltimo teorema de Fermat, teorema grande de Fermat o conjetura de Fermat, que en lenguaje moderno dice que para enteros n ≥ 3 no existe soluci´ on entera, no trivial, de la ecuaci´ on: xn + y n = z n . Adem´ as, Fermat comenta que tiene una demostraci´ on sencilla pero que no cabe en el margen (la cita exacta se puede encontrar en el relato de Infante, publicado en este mismo n´ umero). En este art´ıculo abordaremos el enunciado de la conjetura de Fermat explicando el caso n = 2, mucho m´as sencillo, ampliamente conocido antes de la ´epoca de Diofanto y expuesto en su libro de aritm´etica. La conjetura de Fermat generaliza este resultado, por lo cual la comprensi´ on de su enunciado se facilita al conocer a fondo este caso. En la primera parte del art´ıculo (secciones 1 y 2) presentamos el problema, damos una soluci´ on parcial y enunciamos la soluci´ on general. En la secci´ on 3, explicamos con detalle la prueba, tal secci´ on sugerimos saltarla a los lectores que s´ olo quieren tener una idea general del problema. Finalmente, en la secci´ on 4 enunciamos la conjetura de Fermat y damos brevemente algunas ideas sobre los primeros trabajos dirigidos a su soluci´on.
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Mefisto 2
1.
Tripletas pitag´ oricas
El teorema de Pit´ agoras nos dice que, dado un tri´ angulo rect´ angulo, si se traza un cuadrado sobre cada lado, entonces la suma de las ´ areas de los cuadrados formados sobre los catetos es igual al ´ area del cuadrado trazado sobre la hipotenusa. Ver figura 1.
Figura 1: Ilustraci´ on del teorema de Pit´ agoras. Si denotamos con a y b a la longitud de los catetos y c a la longitud de la hipotenusa, Pit´ agoras se expresa algebraicamente como: a 2 + b2 = c 2 .
(1)
La pregunta sobre la que reflexionaremos en este art´ıculo es, ¿qu´e condiciones se deben cumplir para que exista una terna de n´ umeros enteros: (a, b, c) satisfaciendo la igualdad (1)? A estas ternas se les conoce como tripletas pitag´ oricas. En otras palabras, queremos encontrar las ternas de n´ umeros enteros (a, b, c) que satisfacen la ecuaci´on: x2 + y 2 = z 2 .
(2)
Ejemplo 1. (Soluci´ on trivial) El problema algebraico de encontrar soluciones enteras a la ecuaci´ on (2)admite dos familias de soluciones triviales a = 0 y b = c, b, c enteros o ´ a = c enteros y b = 0, es decir las tripletas (0, b, b) y (a, 0, a). Desde el punto de vista geom´etrico estas soluciones corresponden a tri´ angulos degenerados, es decir, se est´ a considerando a una recta de lado a ´ o c como un tri´ angulo de altura cero. El problema enunciado admite tambi´en soluciones no triviales como podemos ver en el siguiente Ejemplo 2. (Soluci´ on cl´ asica) En la mayor´ıa de las exposiciones tradicionales del teorema de Pit´ agoras suele presentarse el ejemplo de la tripleta pitag´ orica (3, 4, 5) que cumple la ecuaci´ on (1). En efecto, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 .
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Mefisto 3 Utilizando el ejemplo anterior podemos generar una familia infinita de ejemplos considerando cualquier m´ ultiplo de (3, 4, 5). M´ as espec´ıficamente, cualquier tripleta de la forma λ(3, 4, 5) := (3λ, 4λ, 5λ)
siendo λ un n´ umero entero
es una pitag´ orica. En efecto, (3λ)2 + (4λ)2 = 32 λ2 + 42 λ2 = (9 + 16)λ2 = 25λ2 = 52 λ2 = (5λ)2 .
(3)
De hecho el comportamiento de la ecuaci´ on (3) es general: Proposici´ on 1. Si (a, b, c) es una tripleta pitag´ orica, entonces λ, (λa, λb, λc),
λ entero
tambi´en lo es. Demostraci´ on: Como (a, b, c) es una tripleta pitag´orica: a 2 + b2 = c 2 y en consecuencia se tiene (aλ)2 + (bλ)2 = a2 λ2 + b2 λ2 = (a2 + b2 )λ2 = c2 λ2 = (cλ)2 . Llamaremos tripleta pitag´ orica primitiva a una tripleta (a, b, c), siendo a, b, c primos entre s´ı, es decir, en donde los u ´nicos divisores en com´ un de a, b y c son ±1. Claramente, toda tripleta pitag´orica ´o es primitiva o es un m´ ultiplo de una primitiva, por lo cual, para determinar todas las tripletas pitag´oricas, basta encontrar todas las primitivas. Ejemplo 3. (18, 24, 30) es una tripleta pitag´ orica pero no es primitiva, dado que todos los miembros son divisibles entre 6. Como 6 es el m´ aximo divisor com´ un, si lo factorizamos obtenemos una tripleta pitag´ orica o primitiva que no es otra que nuestra vieja conocida: (18, 24, 30) = (6(3), 6(4), 6(5)) = 6(3, 4, 5). Ejemplo 4. Entre los hallazgos de la cultura babil´ onica existe una tablilla en escritura cuneiforme con tripletas pitag´ oricas de gran tama˜ no, que hacen pensar que los babilonios conoc´ıan el teorema de Pit´ agoras varios milenios antes de la vida de ´este. Entre otras tripletas se puede ver (4961, 6480, 8161). Se deja al lector comprobar que es una tripleta pitag´ orica primitiva. En resumen podemos reducir nuestro problema a: Problema 1. Describir todas las tripletas pitag´ oricas primitivas.
2.
Soluci´ on al problema 1
En esta secci´ on daremos respuesta al problema 1. A partir de ahora, para no hacer cansada la lectura, diremos simplemente tripleta en vez de tripleta pitag´orica. Comenzaremos esta secci´ on dando un m´etodo general para construir tripletas, aunque no necesariamente, primitivas. La clave est´ a en la siguiente identidad derivada de la f´ormula del binomio al cuadrado: (u − v)2 + 4uv = (u + v)2 .
(4)
La ecuaci´ on (4) nos permite construir una tripleta haciendo:
√ √ 4uv = 2 uv y c = u + v √ siempre y cuando aseguremos que b es entero ´o equivalentemente si uv lo es. a = u − v, b =
(5)
Nota: Claramente existe simetr´ıa entre los valores de a y b y tambi´en se puede construir una tripleta haciendo: √ a = 2 uv, b = u − v, y c = u + v.
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Mefisto
El cielo de primavera Fases de la Luna Luna nueva 10 de abril 9 de mayo 8 de junio Cuarto creciente 18 de abril 17 de mayo 16 de junio Luna llena 25 de abril 24 de mayo 23 de junio Cuarto menguante 2 de abril 2 de mayo 31 de mayo 30 de junio
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Mefisto Planetas Mercurio en Acuario Venus en Piscis Marte en Piscis Júpiter en Tauro Saturno en Libra
Lluvias de estrellas Líridas 21-22 de abril Eta Acuáridas 4-5 de mayo
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Mefisto 4 Ejemplo 5.
1. Si u = 9 y v = 4 entonces tenemos una tripleta pitag´ orica � (9 − 4, (4)(9)(4), 9 + 4) = (5, 12, 13).
2. Si u = 32 y v = 18 tenemos: (32 − 18,
�
(4)(32)(18), 32 + 18) = (14, 48, 50) = 2(7, 24, 25).
En el inciso 1 obtuvimos una tripleta primitiva, no as´ı en el 2. Esto nos muestra que para resolver completamente el problema 1 debemos refinar el m´etodo propuesto. De la ecuaci´ on (5) observamos que √ para el funcionamiento del m´etodo descrito es necesario que uv sea un cuadrado, porque en caso contrario uv no ser´ıa entero. Adem´as, de los ejemplos se desprende que esto no es suficiente para que la tripleta obtenida sea primitiva. Es decir, para garantizar que con el procedimiento descrito obtenemos una tripleta primitiva debemos imponer condiciones adicionales. El resultado preciso es el siguiente: Teorema 2. Si existen enteros u y v tales que: 1. u, v son primos relativos, es decir, no tienen divisores comunes salvo ±1, 2. u y v son cuadrados, digamos u = s2 , v = t2 y 3. u, v son de paridad contraria entonces, haciendo a = u − v,
a=
√ 4uv,
b=
√ 4uv
y
c=u+v
o ´
(6)
b = u − v,
y
c=u+v
obtenemos una tripleta pitag´ orica primitiva. Rec´ıprocamente, si (a, b, c) es una tripleta pitag´ orica primitiva, entonces a y b son de paridad contraria, y definiendo: c−a si a es non, u = c+a 2 , v = 2
u=
c+b 2 ,
v=
c−b 2
si
b es non,
se tiene que u y v son enteros que satisfacen alguna de las ecuaciones (6) y las propiedades 1, 2 y 3. En la pr´ oxima secci´ on daremos en detalle la prueba del teorema. Para finalizar ´esta demos un ejemplo de c´ omo funciona el rec´ıproco del teorema. Observaci´ on: Por razones te´ oricas en muchas ocasiones s´olo se consideran como tripletas pitag´ oricas aquellas en que a, b y c sean n´ umeros estrictamente positivos, eliminando el caso trivial. Por esta raz´on a veces se impone la condici´ on adicional v > u ≥ 1. Ejemplo 6. Si consideramos la tripleta (24, 7, 25) entonces, al ser 7 non: c+b 25 + 7 25 − 7 c−b = = 16 = 42 , v = = = 9 = 32 2 2 2 2 cumpliendo los incisos del teorema: √ √ 24 = 2 42 32 = 2 uv, 7 = 16 − 9 = u − v y 25 = 9 + 16 = u + v. u=
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3.
Prueba del teorema Para la prueba del teorema 2 utilizaremos sin prueba los siguientes resultados de los n´ umeros enteros:
Lema 3. Sean r, n y m n´ umeros enteros, entonces: 1. Si r divide a n y m, entonces tambi´en divide a su suma n + m y a su diferencia n − m. 2. Sea A = u2 un n´ umero entero cuadrado. Si A = mn y m y n son primos relativos, entonces m y n tambi´en son cuadrados. 3. Si n2 divide a m2 entonces n divide a m. Demostraci´ on del teorema: Demostremos primero que dados dos enteros u y v cumpliendo u, v primos relativos, u = s2 , v = t2 , u y v de paridad contraria entonces haciendo: a = u − v, b =
√ 4uv y c = u + v
obtenemos una tripleta pitag´orica primitiva. Para probar el enunciado del teorema debemos probar que b es entero y que a, b y c primos relativos. Como u y v son cuadrados, existen r y s cumpliendo u = r2 y por lo tanto
y
v = r2
√ b = 2 uv = 2rs
es entero. Veamos ahora que (a, b, c) es primitiva. Como u y v son de paridad contraria, a = u − v, c = u + v √ son n´ umeros nones mientras que b = 2 uv es par. Sea m un divisor com´ un de a, b y c, vamos a demostrar que necesariamente m = ±1. Como m divide a a y c, por el lema 3 tambi´en m divide a a + c = 2u
y
c − a = 2v.
Como u y v son primos relativos las u ´nicas posibilidades son: m = ±2 ´ o m = ±1. Pero, m = ±2 es imposible porque implicar´ıa a y c pares. Rec´ıprocamente, supongamos que (a, b, c) es una tripleta pitag´orica primitiva. Probemos primero que se cumple: • a y b son de paridad contraria y consecuentemente c es non. Si a y b fueran ambos pares, digamos a = 2k1 y b = 2k2 , entonces: a2 = 4k12 , b2 = 4k22 y por tanto c2 = a2 + b2 = 4(k12 + k22 ). ultiplo de 4 y c es par, contradiciendo que la tripleta es primitiva. En consecuencia c2 es m´ Si a y b fueran ambos nones, entonces existir´ıan k1 y k2 cumpliendo a = 2k1 + 1 y b = 2k2 + 1, y por lo tanto c2 = a2 + b2 = 4(k12 + k22 + k1 + k2 ) + 2,
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u = r2 y por lo tanto
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y
v = r2
√ b = 2 uv = 2rs
es entero. Veamos ahora que (a, b, c) es primitiva. Como u y v son de paridad contraria, a = u − v, c = u + v √ son n´ umeros nones mientras que b = 2 uv es par. Sea m un divisor com´ un de a, b y c, vamos a demostrar que necesariamente m = ±1. Como m divide a a y c, por el lema 3 tambi´en m divide a a + c = 2u
y
c − a = 2v.
Como u y v son primos relativos las u ´nicas posibilidades son: m = ±2 ´o m = ±1. Pero, m = ±2 es imposible porque implicar´ıa a y c pares. Rec´ıprocamente, supongamos que (a, b, c) es una tripleta pitag´ orica primitiva. Probemos primero que se cumple: • a y b son de paridad contraria y consecuentemente c es non. Si a y b fueran ambos pares, digamos a = 2k1 y b = 2k2 , entonces: a2 = 4k12 , b2 = 4k22 y por tanto c2 = a2 + b2 = 4(k12 + k22 ). ultiplo de 4 y c es par, contradiciendo que la tripleta es primitiva. En consecuencia c2 es m´ Si a y b fueran ambos nones, entonces existir´ıan k1 y k2 cumpliendo a = 2k1 + 1 y b = 2k2 + 1, y por lo tanto c2 = a2 + b2 = 4(k12 + k22 + k1 + k2 ) + 2,
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Mefisto 6 lo cual es imposible, dado que si c es par, c2 es de la forma 4k y si c es non, entonces c2 es de la forma 4k + 1. Supongamos que a es non y b es par y sean c−a c+a y v= . 2 2 Como c tambi´en es non, u y v son enteros. Veamos que cumplen las propiedades enunciadas en el teorema. Las igualdades: u=
c + a − (c − a) = a, u−v = 2 c + a + (c − a) u+v = = c, 2 2 2 4uv = 4 (c + a) (c − a) = 4 c − a = c2 − a2 = b2 2 2 4 muestran que se satisfacen las ecuaciones (6). Veamos ahora que se cumplen cada uno de los incisos del teorema: 1. Vamos a probar que u y v son primos relativos. Sea m un divisor com´ un de u y v, entonces m divide a: a=u−v
y
c = u + v,
en particular m �= 2 y por tanto, de 4uv = b2 concluimos m2 divide a b2 y, por el lema 3, que m divide a b. Como la tripleta es pitag´orica esto implica m = ±1. 2. Como u y v son primos relativos y uv = (b/2)2 , por el lema 3 ambos son cuadrados. 3. Mostrar que u y v son de paridad contraria equivale a ver que 2u y 2v dejan diferente residuo m´odulo 4, es decir, uno es de la forma 4k (m´ ultiplo de 4) y otro es par pero no m´ ultiplo de 4, esto es, de la forma 4k + 2. Si ambos son m´ ultiplos de 4 digamos 2u = 4k1 y 2v = 4k2 entonces: 2u + 2v = 4(k1 + k2 ) = 2c y por tanto c = 2(k1 + k2 ) contradiciendo que c es non. Si ninguno es m´ ultiplo de 4, entonces 2u = 4k1 + 2,
y
2v = 4k2 + 2
y 2c = 2(u + v) = 2(4k1 + 2 + 4k2 + 2) = 4(2k1 + 2k2 + 1), y nuevamente se tiene c par, lo cual es imposible.
4.
La conjetura de Fermat
Para finalizar este art´ıculo enunciemos la conjetura de Fermat y hagamos algunos comentarios sencillos sobre la misma. En las secciones anteriores trabajamos en el problema de determinar todas las tripletas pitag´oricas primitivas. La conjetura de Fermat generaliza el problema para exponentes mayores a 2. Espec´ıficamente, la pregunta es: ¿Cu´ ales son las soluciones enteras de una ecuaci´on:
17
Mefisto 7
xn + y n = z n
n ≥ 3 entero?
La respuesta hallada en los apuntes de Fermat es: Para n ≥ 3 s´olo existen las soluciones triviales: (x, 0, x)
´o
(0, y, y).
No se sabe a ciencia cierta si Fermat ten´ıa una demostraci´on correcta para esta afirmaci´on, aunque en general, parece poco probable. Lo que s´ı podemos afirmar, sin lugar a dudas, es que Fermat reflexion´o ampliamente en el problema y que contaba con una amplia evidencia de su veracidad, esto es, conoc´ıa su veracidad en casos concretos. En particular, se conoce la prueba de Fermat para el caso n = 4, que no reproduciremos aqu´ı por razones de espacio, pero que puede construirse con lo explicado a lo largo del art´ıculo. La idea es la siguiente, si existen x, y, z positivos tales que: x4 + y 4 = z 4 tambi´en son soluciones para: (x2 )2 + (y 2 )2 = (z 2 )2
(7)
y por tanto deben cumplir las condiciones del teorema 2. A partir de aqu´ı se puede construir una nueva soluci´ on x1 , y1 , z1 con 0 < xi < x, 0 < yi < y y 0 < zi < z, lo cual es una contradicci´ on porque implicar´ıa que iterando el proceso puede construirse una infinidad de soluciones positivas, m´ as peque˜ nas que la inicial, lo cual es imposible porque entre 0 y x no puede haber una infinidad de n´ umeros diferentes. En toda su generalidad, la conjetura de Fermat permaneci´o como un problema sin resolver hasta los a˜ nos noventa del siglo pasado, en que el matem´ atico ingl´es Andrew Wiles (con ayuda de su estudiante Richard Taylor) prob´ o otra conjetura: la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, de la cual previamente se hab´ıa probado (por Frey y Ribet) que, si era cierta, tambi´en lo era la de Fermat. Para los rom´ anticos, debemos agregar que la demostraci´on definitiva no utiliza t´ecnicas elementales y que definitivamente no estaba al alcance de Fermat. Por otro lado, debemos remarcar que la demostraci´on de WilesTaylor tiene muchas aplicaciones de gran importancia para las matem´aticas modernas, que no se reducen a probar la conjetura de Fermat. Decir que el teorema permaneci´ o sin demostrar hasta 1995 es una afirmaci´on que debe tomarse con cuidado porque no significa que durante tres siglos no se haya avanzado en la comprensi´on de la conjetura y en resultados parciales de ella, s´ olo quiere decir que no se hab´ıa demostrado por completo. Tampoco quiere decir que el trabajo realizado en busca de probar la conjetura haya sido in´ util o est´eril. Los diferentes intentos por probar la conjetura nos heredaron una gran base para el ´algebra y la teor´ıa de n´ umeros moderna. De forma an´ aloga a la ecuaci´ on (7) puede mostrarse que basta probar la conjetura para n primo; y para algunos primos espec´ıficos existen pruebas desde hace siglos (Euler para 3, Lam´e para 5, 7 y 11). Lo que no estaba probado, hasta muy recientemente, es que la conjetura fuera cierta para absolutamente todos los primos. Por ejemplo, de los trabajos de Sophie Germain se desprende una prueba de que Fermat es verdadero imponiendo ciertas condiciones adicionales al enunciado para los hoy llamados primos de Sophie Germain. Kummer prob´ o el teorema para una familia de primos llamados primos regulares, sin embargo, no se sabe si existe una infinidad de primos de Sophie Germain, tampoco si hay una infinidad de primos regulares, y s´ı se sabe que estas dos familias est´ an lejos de cubrir al total de n´ umeros primos. Como vemos, la demostraci´ on de la conjetura de Fermat fue alcanzada hasta el siglo pasado, pero dej´ o en el camino much´ısimos resultados de valor incalculable a la teor´ıa de n´ umeros.
Referencias [Edwards] Harold M. Edwards, Fermat’s last theorem, 1977, Springer-Verlag.
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Mefisto
Frases célebres
Fácilmente se contraen hábitos de lujo y difícil se hace después prescindir de ellos, cuando se han convertido en necesidad.
La experiencia de los siglos prueba que el lujo anuncia la decadencia de los imperios.
Fiódor Dostoievski (1821 1881) Escritor ruso
Francis Bacon (1561 - 1626) Filósofo inglés
En Hollywood te pagan mil dólares por un beso y cincuenta centavos por tu alma.
Todo lo que necesito para hacer una comedia es un parque, un policía y una chica guapa.
Marilyn Monroe (1926 1952) Actriz estadunidense
Charlie Chaplin (1889 1977) Actor británico
La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica.
Inteligencia es lo que usas cuando no sabes qué hacer.
Aristóteles (384 AC-322 AC) Filósofo griego.
Jean Piaget (1896-1980) Filósofo y psicólogo suizo.
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Mefisto
Sobre San Lorenzo Tezonco Anayatzin Salazar Rodríguez
Lic. en Ciencias Sociales, UACM
San Lorenzo Tezonco es un pueblo que se ubica en la Delegación Iztapalapa. Tezonco es una palabra de origen náhuatl compuesta por dos vocablos: Tezontl y co, y juntos significan “donde abunda el tezontle”. Cabe mencionar que existen otras interpretaciones sobre el significado de Tezonco, pero ésta es la más aceptada por los habitantes del pueblo. Geográficamente, San Lorenzo Tezonco colinda al Sur con el pueblo de Santiago Zapotitlán, Tláhuac, al Este con el pueblo de Tomatlán, Iztapalapa, al Norte con los ejidos de San Gregorio Atlapulco, Xochimilco y al Oriente con el pueblo de Santa Cruz Meyehualco, Iztapalapa. Una característica importante del pueblo de San Lorenzo Tezonco ha sido su ubicación a las orillas del Cerro de San Nicolás, Yehualichan o Yehualiztla, que significa “en el lugar redondo” y que debido a su significado el cerro es conocido por sus habitantes como el cerro del cajete o molcajete. Hasta nuestros días, el cerro es importante porque ha dado identidad a los habitantes del pueblo de San Lorenzo Tezonco. Los habitantes comentan que antiguamente el pueblo estaba dividido en dos calpullis o barrios antiguos llamados Tetzoneros y Texcaleros, pero actualmente están subdivididos en cuatro espacios simbólicos: San Salvador, Guadalupe, San Lorenzo y San Antonio; los dos primeros pertenecen al barrio antiguo de los Tetzoneros y los otros dos al barrio de los Texcaleros. Existen varias celebraciones religiosas que son producto de la historia colectiva de los originarios de San Lorenzo Tezonco, como la historia oral del “Señor de la Salud”, a quien se le atribuye el milagro de sanación del cólera, que atacaba comúnmente a la población en 1850. La gente comenta que el
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agua del pozo que se encuentra frente a la Iglesia de San Lorenzo Diácono y Mártir es milagrosa, porque con ella se curaron los habitantes en esos días. La celebración del Señor de la Salud es el 29 de mayo. Otras celebraciones importantes son la de San Lorenzo Diacono y Mártir el 10 de agosto, San Antonio el 14 de junio, San Salvador el 5 de agosto y la Virgen de Guadalupe el 12 de diciembre. Las celebraciones religiosas corres-ponden a un ciclo festivo que por medio de mayordomías, fiscalías, comités y otras organizaciones compuestas por las familias originarias del pueblo de San Lorenzo Tezonco se pueden disfrutar año tras año. Cohetes, recorridos en las calles principales, música, comida, colores y un ambiente de alegría forman parte de las celebraciones anuales de San Lorenzo Tezonco. Pese a los incesantes cambios de la Ciudad de México, San Lorenzo Tezonco mantiene vivo su territorio por medio de las actividades de su propio calendario ritual y de las organizaciones sociales que se encargan de representar a la población. La iglesia, el panteón vecinal, la comisaria ejidal, la Plaza Benito Juárez, la biblioteca, el mercado y otros espacios han sido producto de negociaciones con los gobiernos en curso, donaciones de terrenos o luchas por espacios para la comunidad. Cada uno de los espacios construidos en su territorio ha sido parte de la dinámica del pueblo, y hoy forman parte de su historia, como es el plantel San Lorenzo Tezonco de la UACM, que defienden y consideran parte del pueblo. Para ellos es una victoria que uno de los planteles de la UACM se encuentre ubicado dentro de su territorio simbólico y que lleve por nombre San Lorenzo Tezonco. Además, para la población, el proyecto de la UACM repre-senta mejorar las condiciones de vida de los alrede-dores de la universidad.
Mefisto Presento esta pequeña reseña para dar a conocer apenas un acercamiento al gran trabajo de investigación que significa el pueblo de San Lorenzo Tezonco, pues es rico en cultura, su gente es alegre
y siempre está dispuesta a trabajar por el bien de su pueblo. Hago entonces una invitación a conocer un poco más de los alrededores de nuestra universidad.
Agradezco a los habitantes del Pueblo de San Lorenzo Tezonco el haberme permitido entrevistarlos, y agradezco también a los investigadores que han podido publicar material sobre el pueblo, pues su ayuda es imprescindible para elaborar este tipo de trabajos.
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Mefisto
Acertijos 1 Un beduino deja como herencia a sus tres hijos 3 Un pintor pinta una pared en 4 horas. Otro pinun rebaño con 17 camellos. En su testamento, el tor tarda 3 horas en pintar la misma pared. ¿Cuánbeduino dispone que, al mayor de sus hijos, le to- to tardarán si pintan la pared entre los dos? cará la mitad de los camellos, al segundo, la tercera parte y al último, la novena parte. Los tres hermanos no pueden llegar a un acuerdo sobre cómo repartirlos, puesto que no desean sacrificar a ningún animal, por lo que solicitan ayuda. Otro beduino toma uno de sus propios camellos y procede a repartirlos. Como ahora ya hay 18 camellos, al primer hijo le tocan 9, al segundo 6 y al tercero 2. Pero como sólo se repartieron 17, el beduino que los ayudó toma nuevamente su camello y se retira. ¿Cómo es que primero no se podían repartir los 17 camellos y después se repartieron exactamente sin sacrificar a ninguno?
3
0
z
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2
4 Un tren sale de México a Guadalajara en el mismo momento que otro tren sale de Guadalajara a México. El primer tren va a 80 km/h, mientras que el segundo va a sólo 50 km/h. ¿Cuál de los dos trenes está más lejos de México en el momento en que se cruzan?
x
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2 Una llave de agua tarda 5 horas en llenar un tinaco. Otra llave tarda 6 horas en llenar el mismo tinaco. ¿Cuánto tardará en llenarse el tinaco si ambas laves funcionan al mismo tiempo?
y
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Mefisto
Acertijos Solución a los anteriores
2
x 4
9
7
2 Si el primero dice todos somos, es mentira, pues si fuera verdad él no sería político. Entonces él es político y hay alguien que no lo es. Si el segundo dice que sólo 2, puede ser verdad y él no lo es. Entonces, el tercero sí es político. Y como la segunda resuesta es verdadera, el tercero miente. Si el segundo es político, miente y entonces sólo hay un político. Pero como el primero es político y el segundo también, eso no puede ser verdad. Entonces el tercero es político.
1
3 Como B tiene una hermana, no es el copiloto. Tampoco lo es C, pues gana más que el piloto, entonces el copiloto es A. Y como C tampoco es el piloto, entonces es el ingeniero. Por lo tanto, el piloto es B.
?
¿ 2
z
4 Por a), el mejor y el peor jugador son del mismo sexo. Tienen que ser dos hombres o dos mujeres. Por b), no puede ser el padre, que no puede tener la misma edad que su hijo. Tienen que ser dos mujeres. Entonces el mejor jugador es la hija, porque es gemela de su hermano. La hermana del padre no puede ser gemela, pues tendría la misma edad que el padre, y eso no es posible.
y2
1 Sólo puede haber uno. El primero contesta que NO siempre, pues si no es político la verdad es contestar que no, y si es político, la mentira también es contestar que no. El segundo dice que el primero lo negó, lo que es cierto, entonces no es político. El tercero dice que el primero es político. Si el tercero no es político, es verdad y entonces hay un político, que es el primero. Si el tercero sí es político, es mentira y entonces hay un político, el tercero.
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Mefisto
Sudoku F谩cil
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6
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Soluci贸n al anterior
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8 1 5 9 7 3 4 5 2
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1 2
3 6
3 8 2 3 4 7 9 6
2 7
9 5
5 7
3 1 5 2 2 1 4
3
1 5 7 6 4 2 8 9 3 9 4
9 8 6 7 8 3 5 1 1 6 2 4 7 2 4 7 6 8 8 9 1 3 5 5 7 4 2 9
2 4 3
6 1 8 7 6 1 5 9 4 5 8 9 2 6 1 3 1 4 3 5 8 7 2
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Dif铆cil
5
Soluci贸n al anterior 9 4 2 3 8 7 1 3 4 2 5 8 6 1 7 6 3 5 8 4 4 7 8 9 1 2 9 1 6 5
5 6 9 2 3
7 6 5 8 3 4 9 1 2 5
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8 3 4
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9 2 6
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2 7 6
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2 8