Mefisto
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Número 3
Octubre de 2011
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno. San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, capítulo xviii, verso 37.
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Contenido Presentación 3 Octavio Campuzano Cardona
Volcanes 4 Fausto Cervantes Ortiz
Numerales 9 Agustín González Villanueva
El cielo de otoño 12 Frases célebres 21 Acertijos 22 Sudoku 24
Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz
Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio Octavio Campuzano Cardona Fausto Cervantes Ortiz Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera
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Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.
Mefisto
Presentación Octavio Campuzano Cardona
Academia de Cultura Científico-Humanística Plantel San Lorenzo Tezonco
Las regularidades en la naturaleza han inquietado y fascinado a los hombres de todas las culturas por igual. En los albores de la humanidad, encontrar eventos en secuencias regulares (en entornos espaciales y temporales) significaba la posibilidad de supervivencia, por lo que las relaciones simbólicas, primero codificadas en mitos y después expresadas en formas cada vez más complejas, fueron parte nodal de la cultura en todas las civilizaciones por igual. Indudablemente fueron los griegos quienes intentando ordenar y clarificar la vida de la Polis le dieron, por primera vez, una forma de ley a los fundamentos del debate parlamentario. De ese tipo de “formalización” con el tiempo se pasó a las descripciones de la naturaleza. En occidente, las formalizaciones en la naturaleza siguieron un rumbo incierto (pero muy vivo en monasterios y otros lugares) a lo largo de la edad media y durante el renacimiento; en palabras de Francis Bacon, se inició una apuesta por el sometimiento de la naturaleza. Entrada la modernidad (después del descubrimiento de América), demonios y magos fueron despojados del lugar de mediadores entre la naturaleza y el mundo, y sustituidos por relaciones abstractas útiles para el comercio y el emergente capitalismo. Sin embargo, occidente no sólo controló y sometió lo inanimado, también despojó a “los otros” de su identidad contando una historia donde los otros son los sometidos, la periferia de un centro que supuestamente ocupan ellos. No obstante, Europa quiere negar con su discurso colonialista que su razón de ser, su esencia misma, se ha construido a partir de las aportaciones de otras regiones: Eu-
ropa no es nada sin árabes, orientales, americanos y muchos más. La historia de los números y los numerales es una muestra de las contribuciones de muchas culturas a la constitución de occidente. Por otra parte, las manifestaciones plenas de la naturaleza incomodan al hombre moderno de la misma forma que a los primeros hombres. Las catástrofes naturales colocan al hombre frente a un espejo donde se mira impotente, donde las relaciones son insuficientes para predecir (y menos aún controlar) un ámbito de lo inanimado. Después de todo, el temor persiste entre los hombres, muchas veces culpables de su propia desgracia en su insistencia por intentar imponerle normas a la naturaleza. Aún así los sucesos naturales incontenibles despiertan inquietudes entre los científicos, quienes se empeñan en conocer las causas de los fenómenos y los llevan a proponer teorías y a establecer estándares para por lo menos medir los daños. Los volcanes, esos gigantes de fuego, son un ejemplo de los fenómenos incontrolables e impredecibles, y las catástrofes que provocan son también un llamado de atención para el hombre en su intento por colonizar lugares riesgosos en aras de pensar la Tierra como una mercancía. En este número de Mefisto se ha procurado mostrar (abordando el estudio de los numerales y de los volcanes) cómo la ciencia se ha desarrollado junto con la modernidad (y su otra cara, la colonialidad) con todas sus promesas de progreso, pero también con sus limitaciones para comprender la naturaleza como una regularidad.
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Volcanes Fausto Cervantes Ortiz
Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco
Introducción
México
Cuando se habla de volcanes, muchas veces nos llegan a la mente imágenes históricas, como son, las ciudades hundidas en lava de Pompeya o Parangaricutiro. Tales ciudades sufrieron esa fatalidad como producto, respectivamente, de las erupciones del Vesubio y del Paricutín. Sin embargo, la actividad volcánica es permanente, anterior a la llegada del hombre a la Tierra y probablemente será posterior a su extinción. En el presente artículo se reseñan algunas de las erupciones volcánicas más recientes. Se recapitulan no sólo aquellos eventos que han acaparado las pantallas, sino también aquellos que pasan casi sin notarse. Al final presentamos algunos breves comentarios sobre qué son y cómo se forman los volcanes.
En la mañana del pasado 3 de junio de 2011, a las 6:37 AM, el volcán Popocatépetl emitió una columna de ceniza de unos 3 km de altura. El Centro Nacional de Prevención de Desastres (CENAPRED) declaró: “El evento inició con una señal de tremor, la cual fue aumentando su amplitud por algunos minutos. Este tipo de eventos están considerados en la fase 2, color amarillo. Se esperan exhalaciones moderadas, algunas con emisión de ceniza, explosiones de nivel bajo a moderado y probablemente haya emisión de fragmentos incandescentes a corta distancia del cráter”. Desde el mes de diciembre de 2005 en que se tuvo la última erupción violenta del volcán, no ha habido aumento considerable en la actividad del mismo. Sin embargo, ladel año 2000 es la más recordada por la violencia de las erupciones con lava y ceniza que se presentaron el mes de diciembre de ese año.
Figura 1a. Erupción del volcán Popocatépetl en 2001.
Figura 1b. Erupción del volcán Popocatépetl en 2011.
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Chile
Islandia
El mismo 3 de junio, a las 16:30 hrs, el volcán Puyehue, ubicado en Chile, tuvo una exhalación de humo y ceniza que se extendió unos diez km a la redonda. La actividad del volcán continuó, por lo que el gobierno de ese país subió paulatinamente el nivel de alerta, hasta llegar a la fase 6. Esto afectó todo el sistema vial y carretero del sector, debido a las cenizas y piedras volcánicas que se han expulsado. También preocupó la caída de material volcánico en ríos y lagunas, pues ello provocaría daños considerables aguas abajo. Las emisiones del Puyehue poco a poco alcanzaron a otros países de Sudamérica. Esto provocó suspensiones de vuelos en Argentina, Uruguay y Brasil. Se dio el incidente de que la selección de fútbol de Argentina se quedó varada en Sao Paulo. En Chile y Argentina algunas ciudades sufrieron apagones a causa de las cenizas, que provocaron daños en las centrales del sistema eléctrico.
Unos días antes, el 21 de mayo, el volcán Grímsvötn, ubicado en Islandia, inició una erupción. Hubo exhalaciones de ceniza, acompañadas de pequeños temblores, lo que provocó la cancelación de 900 vuelos en ese país, así como en varios países de Europa, incluyendo a Inglaterra, Irlanda, Escocia, Alemania, Noruega y Groenlandia. Inclusive, se canceló un concierto de Elton John en Francia, mientras que Barack Obama tuvo que cambiar sus fechas de vuelo para una reunión del G-8.
Figura 2. Erupción del volcán Puyehue en 2011.
También en Islandia, pero en 2010, el volcán Eyjafjallajökull tuvo erupciones del 14 al 20 de abril, y del 21 al 24 de mayo. Las erupciones afectaron severamente el tráfico aéreo de Europa, llegándose a cancelar todos los vuelos, inclusive hasta en el aeropuerto de Moscú. Quizá fue esa falta de vuelos lo que hizo que se le diera un gran revuelo a la erupción de este volcán a lo largo y ancho del mundo, pero el Grimsvötn expulsó más material en un solo evento que toda la erupción de este volcán durante 2011.
Figura 3. Erupción del volcán Grímsvötn en 2011.
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Figura 4. Erupción del volcán Lokon en 2011.
Indonesia El jueves 14 de julio de 2011, el volcán Lokon, localizado en Indonesia, comenzó a hacer erupción, continuando la actividad por varios días. El domingo 17 de julio tuvo su mayor erupción, cuando lanzó al aire enormes columnas de ceniza que alcanzaron los 3.5 km de altura. La actividad volcánica se reanudó el lunes 18, con dos erupciones que lanzaron sendas columnas de cenizas y humo de 600 m de altura. Desde el jueves 14, las autoridades locales ya habían evacuado de los alrededores a unas 5000 personas, dado el nivel de alerta declarado previamente. El archipiélago de Indonesia tiene docenas de volcanes activos, los cuales también han provocado gran actividad telúrica en las islas que forman ese país. El 3 de noviembre del año pasado, el volcán Mount Merapi, ubicado también en Indonesia, tuvo una serie de erupciones violentas, que por lo sorpresivo provocaron la muerte de más de 350 personas. A la fecha, Indonesia es uno de los países con mayor actividad volcánica. De hecho, el escudo de islas que forma el país, tiene su origen sólo en la actividad volcánica.
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Figura 5. Erupción del volcán Nabro en 2011, vista desde el espacio.
Eritrea Hace unos meses se monitoreaba al volcán Nabro, en Eritrea, muy cerca de la frontera con Etiopía, dado que existía el peligro de una erupción. A principios de junio, la región experimentó una serie de terremotos moderados, seguidos por dos más intensos, de magnitud 5.7. A la media noche del 13 de junio de 2011, el volcán lanzó una enorme nube de humo, que alcanzó los 15 km de altura, y se expandió hasta 50 km de ancho y cientos de kilómetros de largo. La Secretaria de Estado de los Estados Unidos, Hillary Clinton, canceló un viaje a Etiopía, debido a la nube de cenizas. El tráfico aéreo se suspendió en Arabia Saudita y Egipto. Antes de esta erupción se creía que el Nabro estaba extinto. Eso mismo se ha pensado de muchos otros volcanes a lo largo de la historia, con consecuencias fatales.
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¿Qué son los volcanes? Los volcanes son vías de intercambio de materia entre la superficie terrestre y las capas más internas de la corteza. El intercambio básicamente es hacia el exterior, y se expulsa ceniza y gas, o en actividad más intensa, roca fundida en forma de lava. Los eventos de actividad cuando se expulsan materiales al exterior se llaman “erupciones”, las cuales a veces pueden variar en intensidad, duración y frecuencia. Dependiendo de sus características, una erupción puede causar sólo leves molestias o destrucción masiva.
Figura 6. Erupción del volcán Etna en 2011.
Italia
La forma cónica de los volcanes se debe en primer lugar a la presión que ejerce el material subterráneo sobre la corteza, y en segundo, a la acumulación de materiales en cada nueva erupción. El cráter del volcán, que está en la punta del cono, es el extremo del conducto por donde se expele material al exterior. Frecuentemente está sellado con una costra de lava endurecida, pero en periodos de actividad leve y moderada esta costra puede fragmentarse, lo que provoca que haya expulsión de rocas. También suele llenarse de agua, así que muchas veces hay eyecciones de vapor que anuncian la próxima salida de ceniza y otros materiales.
Generalmente, los volcanes se forman en las regiones de separación entre dos placas tectónicas. Por ejemplo, en México hay una zona alrededor del paralelo 19º donde existe una cordillera denominada “Eje Neovolcánico Transversal”, que es donde están los volcanes más importantes de México: Pico de Orizaba, Cofre de Perote, Malinche, Popocatépetl, Iztaccíhuatl, Ajusco, Nevado de Toluca, Nevado de Colima, etc. Sin embargo, también existen volcanes aislados en el interior de alguna placa tectónica. Este es el caso de las islas de Hawái, formadas enteramente de lava volcánica El volcán Etna es uno de los más activos en la acde los volcanes Mauna Loa, Mauna Kea, Kiliuea, tualidad, ya que en este siglo ha presentado perioHohala y Hualalai. dos de actividad frecuente. Tanto así, que George Lucas decidió filmar los eventos de erupción de Los geólogos han clasificado los volcanes como: lava en 2005, e integrarlos a su entonces más revolcanes en escudo, que tienen pendiente suave ciente producción de la saga de Star Wars, La veny están formados de erupciones sucesivas con laganza de los Sith. El 30 de julio de 2011, el volcán Etna, situado en la isla italiana de Sicilia, expulsó lava que alcanzó una altura de entre 450 y 500 m. El 6 de agosto, la actividad volcánica se repitió con una erupción de lava, y para el 12 de agosto hubo un evento más de intensidad similar. Esto se suma a otros eventos menores, donde sólo se enviaron al exterior fumarolas y nubes de ceniza. Dado que estos últimos eventos no tuvieron lava, no se han monitoreado con similar cobertura a los otros.
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Mefisto vas de baja viscosidad; conos de cenizas, que están formados por la acumulación de lava muy viscosa y cenizas y tienen pendientes más empinadas; y estratovolcanes (o conos compuestos), que están formados por cenizas y lava altamente viscosa endurecida y tienen diferentes capas, formadas por varios periodos de actividad.
quiere decir que el cruce de un aeroplano a través de una nube de ceniza sería equivalente a que ese aeroplano estuviera sometido a un proceso de esmerilado a través de toda su superficie, durante todo el tiempo que dure su vuelo.
Sin embargo, no debemos olvidar que la actividad volcánica renueva la corteza terrestre, que se va Actualmente no es posible predecir una erupción, erosionando y degradando paulatinamente. Por ni tampoco lo fuerte que podrá ser dicha erupción ejemplo, los pobladores de Amecameca y otras recuando ya hay indicios de actividad inminente, giones vecinas al Popocatépetl se resisten a abandonar sus tierras debido a que el suelo de los alrecomo las fumarolas y expulsiones de gases. dedores es muy fértil. Estudiando las rocas formadas por las lavas de un volcán se puede calcular la antigüedad de las erup- Los volcanes, pues, son parte del ambiente, de ciones. En la actualidad se acepta que un volcán manera que el ser humano debe aprender a conviestá extinguido si han pasado más de 25 000 años vir con ellos y tomar sus precauciones para evitar desde su última actividad. Este es el caso del vol- que afecten su modo de vida, cada vez más comcán Iztaccíhuatl, por ejemplo. Otros volcanes pa- plejo. recen estar temporalmente inactivos, pero un día pueden volver a mostrar actividad. Este es el caso de volcanes como el Popocatépetl, el Chichonal y Referencias otros. Enciclopedia Universal Ilustrada Espasa Calpe En la actualidad, la actividad de los volcanes se ha La Jornada vuelto un factor determinante para la transpor- The New York Times tación aérea. Esto ocurre porque las cenizas que The Ottawa Citizen expele un volcán son altamente abrasivas; lo cual Wikipedia
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Numerales Agustín González Villanueva
Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco
Conteos y símbolos
para diez que simplifique de nuevo la notación. Para ello usamos el D para diez y podemos contar Todos los pueblos del mundo han tenido la necesi- menos incómodamente hasta cien: {10, 12, 20, 37, dad de llevar la cuenta de los días. La cuenta sobre 54}, D, D||, DD, DDDG||, DDDDD||||. Podemos ver la vida, la muerte, son asuntos esenciales en la vida que si queremos registrar números mayores debede las personas. Todavía más importante es llevar mos buscar una forma mejor de usar los signos, un registro de las cuentas que hagamos. Por estas sin que aumente el número de ellos significativarazones, casi todas las culturas han desarrollado mente. distintas formas de contar y de llevar los registros. Observemos que nuestros antepasados usaron sigSi no queremos reprimendas de los dioses o de la nos de mayor valor para minimizar la aparición exnaturaleza debemos ser capaces de calcular las fe- cesiva de signos, pero eso no resuelve el problema. chas de siembra y cosecha en base a los ciclos de Lo mejor es usar los mismos signos e inventar un estrellas, animales y plantas. En otras palabras, una signo nuevo para separar los numerales menores mala gestión de la abundancia nos llevará directo de los mayores. Es decir, en lugar de usar nuevas contra las múltiples complicaciones que conlleva letras como G y D usamos letras de separación. Por la escasez. ejemplo, ||D||| representará 2 decenas más 3 uniNos es difícil hoy en día, saber cómo hicieron nuestros antepasados para llevar la cuenta de las cosas, entre otras razones porque la naturaleza tiene mala memoria y no le gusta guardar todo lo que sucede. Esta característica de la naturaleza es también la razón principal por la que debemos ir llevando registros duraderos. Los registros históricos nos muestran el uso frecuentes de líneas |,— o puntos •. Con ellos podemos formar a los primeros numerales {|, ||, |||, ...} o bien {•, ••, •••, ...}. Para números medianamente grandes estas notaciones se vuelven ineficientes, por lo que tenemos que recurrir a un sistema alternativo de representación. Lo primero que aprendió la gente fue a formar unidades mayores y a combinar los signos bajo el principio de adición, es decir, que al juntar distintos signos tenemos un número nuevo sumando el valor de cada uno de ellos.
dades, o 23. G||C|||D|||| representará 7 de cien más 3 de diez más 4 ó 734. El sistema se simplifica más si usamos comas en lugar de decenas y centenas: ||’|||’G||| = 238. Con este sistema podemos contar hasta mil o diez mil sin inventar nuevos signos.
Así al comenzar a contar, comenzamos en la primera posición hasta que se nos acaben los signos. Entonces empezamos el conteo en la segunda posición sin detener el conteo en la primera. Cuando se nos acaben los signos en la segunda posición comenzamos el conteo en la tercera posición sin detener el conteo en las dos anteriores. Así podemos reproducir cualquier cantidad con los mismos signos usando las posiciones que se necesiten. Para reproducir el sistema necesitamos saber solamente cuatro cosas:
1. Recordar un número b llamado base. 2. Definir un alfabeto numeral con b símbolos distintos. {S1, S2, S3, ... , Sb}. El último símbolo Por ejemplo, si al uno le asociamos una raya | y al es el cero. Sin él no habría sistema posicional. cinco una letra G, podemos formar más números que con un signo. Para contar del uno al diez hare- 3. Distinguir el valor de los símbolos por su posición. mos |, ||, |||, ||||, G, G|, G||, G|||, G||||, GG. Si queremos contar hasta cien este sistema es muy engo- 4. En cada posición no puede haber un símbolo de un valor mayor a b. rroso por lo que tenemos que inventar un signo
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Mefisto Con estas condiciones podemos construir el ca y jeroglífica que marcan eventos propios de los número natural que deseamos usando cuatro prin- cálculos religiosos, mientras que la representación demótica es usada por comerciantes, constructocipios básicos: res y maestros en las actividades cotidianas de los 1. Principio de adición. Sumamos el valor de to- pueblos. dos los signos. 2. Principio de sustracción. En ocasiones debe- Desgraciadamente los registros de numerales usamos restar el valor de algunos signos cuando dos por la mayoría de la gente en el antiguo Egipto se indica. se han perdido y es asunto de especialistas recu3. Principio de multiplicación. De una posición perarlos. Por el contrario, los numerales religiosos a otra, el signo toma su valor con productos se conservaron en las estelas y muros de edificaciosucesivos de la base . . . |b2|b1|b0.|b−1|b−2| . . .. nes importantes debido a la obsesión de los egip4. Principio de división. Para contar partes de un cios por trascender a la muerte. entero dividimos sucesivamente entre la base. Los egipcios usaron la numeración jeroglífica al Como las multiplicaciones y divisiones sucesivas principio y la numeración hierática después de por la base implican el concepto de potencia, cada algunos siglos, pues la escritura que al inicio era número puede ser expresado en forma compacta pictográfica pasó a ser logográfica. Es decir, al inipor una sucesión de signos: cio los símbolos representan cosas que se miran y después son usadas como raíces de la lengua para . . . SaSbSg.S S S . . . , formar palabras. Los numerales también pasaron por el procesode representar cantidades y sílabas que significa a la vez. 2 1 0 −1 −2 −3 ... + Sab + Sbb + Sgb + S b + S b + S b + ... Los egipcios construyeron sus sistemas numéricos en base 10 como lo hacemos nosotros actualmente. y los b signos con subíndice Si son obtenidos del Para costruir los diez signos básicos usaron signos grupo de numerales pertenecientes al alfabeto elementales y formaron otros compuestos. Por esta numeral elegido {S1, S2, S3, ... , Sb} en cualquier razón se dificulta a veces entender los sistemas anposición. tiguos. Un número en sistema decimal egipcio tendrá un valor determinado por: Como ejemplo tenemos que (S1S3S5.S6S2)7, (S1S1S1. Sa100 + Sb101 + Sg102 + Sdb3 + ... S3)12, (S2S2S2S2)3 y (S3S5S19S2S2.S20S17S1)20, representan números válidos en la base indicada por donde los dígitos S , k = 1, 2, . . . , 10, los comk el subíndice de los paréntesis, como lo harían los ponemos de las tablas siguientes: números 123, 64023.34, 2222.3333, en nuestra base 10.
Conteos egipcios Sistemas hierático y jeroglífico Los numerales antiguos están asociados muy fuertemente a la escritura en dos representaciones principales: la religiosa y la popular. Por esa razón encontramos numerales en representación hieráti-
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Mefisto Análogamente a los alfabetos árabe y hebreo, los números egipcios se leen de derecha a izquierda. Por ejemplo, las siguientes cantidades tienen su equivalencia en el decimal actual:
Sistema babilónico Sexagésimos Hoy en día usamos algunas herencias del sistema babilónico como son: dividimos el día en 24 horas (12 de día y 12 de noche) y cada hora en 60 minutos. A la vez dividimos cada minuto en 60 segundos. Estas divisiones sucesivas de 60 nos forman un sistema de posición en base 60 llamado sexagesimal. Los ángulos usan divisiones análogas.
Aunque los egipcios no usaron su sistema de posición para manejar decimales, centesimales, etc., definieron el primer sistema de uso de fracciones como lo usaron los griegos posteriormente. Usaron intensivamente fracciones con numerador 1 y 2, utilizando una boca en el sistema jeroglífico y un punto en el hierático.
Los babilonios fueron herederos de varias culturas. En el transcurso de milenios consolidaron un sistema de posición en base 60. Con un signo para 1 y otro para 10 construyeron los 59 numerales necesarios y el resto los obtuvieron de la posición. Contemporáneos de algunas dinastías egipcias compitieron en las obras monumentales de gran destreza técnica. Los babilonios trabajaron la posición en orden contrario al egipcio, más parecido a como lo hacemos nosotros: ... + Sab2 + Sbb1 + Sgb0 + S b−1 + S b−2 + S b−3 + ... donde los signos Sl, l = 1, 2, . . . , 59 son compuestos en base a la siguiente tabla.
Operaciones Como en cualquier sistema de posición, la suma y la resta de dos números se hace por posición. Lo Para representar algunas cantidades, debemos reinteresante del sistema egipcio es que aprendieron cordar que organizamos unidades mayores multia multiplicar usando sólo la tabla del dos. Vea- plicando por 60 en lugar de 10. mos un ejemplo. Si queremos multiplicar 21 por 13, duplicamos sucesivamente comenzando por la unidad y un factor hasta obtener por suma el otro factor. Marcamos los números cuya suma totalicen un factor y sumamos de la otra columna los correspondientes a la marca para obtener el resultado. Lo sorprendente de los babilonios es que usaron con profundidad este sistema y manejaron las partes de un entero usando la posición. (Continúa en la página 15)
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El cielo de oto単o Fases de la Luna Luna nueva 25 de noviembre 24 de diciembre 23 de enero Cuarto creciente 2 de noviembre 2 de diciembre 31 de diciembre Luna llena 10 de noviembre 9 de diciembre 8 de enero Cuarto menguante 17 de noviembre 16 de diciembre 15 de enero
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Mefisto Planetas Mercurio y Venus en Libra Marte en Piscis Neptuno en Acuario Plutón en Sagitario
Lluvias de estrellas Leónidas 18 de noviembre Gemínidas 14 de diciembre Úrsidas 23 de diciembre
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PROGRAMA DE MATERIALES EDUCATIVOS PARA ESTUDIANTES DE LA UACM
www.freewebs.com/matsedusuacm
matsedusuacm@gmail.com san lorenzo tezonco E-207 5850-1901 x 14507
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Sistema hebreo Numerales alfabéticos Los hebreos trajeron de Egipto su sistema posicional en base diez, pero a falta de signos usaron su alfabeto para formar numerales. El sistema permite mezclar la escritura y la aritmética, de tal manera que cualquier texto tiene una equivalencia numérica y permite el pensamiento proféticoaritmético. El uso de los afijos superiores (puntos) para denotar factores de 100 y de 1000 permite un buen manejo de cantidades hasta un millón. Con un alfabeto de 22 letras pueden construirse las cantidades fundamentales hasta el 400 y después usar el principio de adición 400+100=500 o bien usar un punto para multiplicar por 100 y dos puntos para multiplicar por 1000.
Sistema herodiánico Atribuido al gramático Herodiano se usó también un sistema antiguo conocido por los fenicios que se basaba en la combinación de letras con los valores | = 1, 5 = G = pente, 10 = D = deka, 100 = H = ekaton, 1000 = X = cilion, 10000 = M = murioi, GD = 50, GH = 500, GX = 5000, GM = 50000. Con este sistema se puede expresar bien un grupo grande de números como 2635 = XXGHHDDDG, 365 = HHHDDDDDD|||||, como se explicó al inicio.
Sistema geométrico Los griegos tomaron de los egipcios las artes geométricas, pero las desarrollaron a un nivel de abs-tracción nunca antes visto. Con base en la geometría construyeron un sistema formal de El sistema hebreo tiene el mismo orden que el egip- demostraciones que cimentó las bases del pensacio. Es decir, se debe leer de derecha a izquierda. miento moderno para las ciencias. Lo primero que Para escribir cantidades tendremos que escribir: establecieron fue el concepto de razón, pues con un esquema sencillo podían dividir un segmento en cualquier número de partes. Con este método podían comparar cualesquiera dos o más segmentos que desearan, de aquí nacieron los números racionales. Con estos números establecieron las medidas de todas las cantidades con un grado de precisión asombroso. Observe la figura y razonaNumerales alfabéticos miento siguientes.
Sistema griego
Los griegos usaron varios sistemas de numeración. Al igual que los hebreos con su alefato, tomaron las letras del alfabeto y les asignaron valores para representar y operar con cualquier cantidad. La tabla siguiente muestra los numerales usados y organizados al estilo egipcio.
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Mefisto Deseamos partir el segmento AB en dos partes iguales.
A los griegos les llevó un tiempo pasar de la representación por razón a la de proporción. Aquí mezclamos notaciones por claridad. El signo “=” llegó hasta el siglo XVI con el inglés Robert Recorde.
1. Primero trazamos una línea auxiliar AB’ en cualquier dirección y de cualquier tamaño. 2. Con el compás podemos marcar esta línea a partes iguales (representado por la línea de abajo) y marcamos los números 1, 2, 3, . . . por puntos {•, ••, •••}. 3. Trazar la línea bB. Sistema demótico 4. Trazar la paralela a bB que pasa por a y define el punto C. 5. En virtud del teorema de Tales, C divide a AB Todo mundo conoce como sistema maya a un sistema de numeración que apareció en nuestro en dos partes iguales. continente antes del 600 AC por Monte Albán. Es Ahora podemos comparar los segmentos nuevos decir, mientras Tales de Mileto demostraba su faescribiendo moso teorema y predecía eclipses, nuestros antepasados indígenas se aventuraban a contar los días AB = a y también AB •• = y construir el calendario sagrado de 260 unidades. AB • AB • Con el paso de los siglos, un grupo de pueblos Esta forma de expresar cantidades lleva a la repre- avecindados en la península de Yucatán refinaron sentación p/q con un profundo sentido visual. tanto el sistema que para el siglo VII DC se daMientras suma y resta son operaciones muy trivia- ban el lujo de edificar complejos arquitectónicos les, la multiplicación y la división aparecen de un propios de ser habitados por los dioses. El sistema es vigesimal o de base 20. Se compone de cuatro esquema asombrosamente estético. signos simples que combinados forman un sistema perfecto y completo de 20 signos compuestos.
Sistema mesoamericano
En estas figuras se muestra cómo multiplicar y dividir dos segmentos ya razonados con respecto a una unidad común Aa. Para multiplicar trace dos líneas auxiliares AC y AC’. Marque como se indica con el compás a los segmentos razonados AB y AB0 y trace las paralelas correspondientes al segmento que pasa por la unidad. Obtendrá la multiplicación en la primera figura y la división en la segunda, puesto que en ambas se cumple el teorema de Tales. AC : AB :: AB’ : •,
AB’ AC AB = • , AC = AB AB’,
y en la segunda AC = AC = AB’ . AB •
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Dos formas de organizar el sistema usaron los mayas. Un arreglo horizontal para representar cantidades, escrito de derecha a izquierda y otro vertical escrito de abajo hacia arriba. Los signos Sm de S1, S2, . . . , S20 se organizaban para formar la expresión . . . + Sd203 + Sg202 + Sb201 + Sa200. Los epigrafistas mayas describen el número al inicio de la página siguiente leyendo de arriba hacia abajo para organizarlo de izquierda a derecha, partiendo de las unidades mayores como en nuestro sistema decimal; así 11.2.14.19.0.5.9 se debe leer 11 alauales 2 kinchiles 14 kalabales 19 pikales 5 kales 9 hunes. Estos nombres se aclaran en la subsección siguiente.
Mefisto bulucalau tu cakinchil tu kanlahunkalabal tu bolonlahunpikal tu hokal tu bolonhun
Sistema jeroglífico Para conmemorar eventos importantes, los mayas desarrollaron un conjunto de numerales sagrados en un sistema de 20 glifos. Cabe mencionar que usan aquí varios signos de completamiento en lugar del cero. Un cero es usado para el diez porque los primeros nueve numerales de cabeza se usan para representar a los nueve dioses principales. Con el diez y los nueve dígitos básicos se forman los restantes numerales complementarios para llegar al 19. Aquí entra en uso otro signo para cero si se observa el glifo para diez.
Los numerales de cabeza tienen muchas variantes para cada signo. Aquí presento las más cercanas a la estructura fonética para entender la razón de los numerales complementarios del 11 al 19. Los mayas usaron indistintamente otros glifos o estos para llevar la cuenta de cosas ajenas a los asuntos temporales. Después del número diecinueve comienza la cuenta de un ciclo llamado kal = 201 de 20 unidades, luego comienza un ciclo llamado bak = 202 de 20 kales, entonces comienza otro ciclo llamado pik = 203 de 20 bakales, luego sigue el periodo kalab = 204 de 20 pikales para llegar a otro periodo kinchil = 205 de 20 kalabales y un último alau = 206 de 20 kinchiles. A partir de aquí se agregan consecutivamente ciclos mayores llamados kal-alau 207, bak-alau 208, pik-alau 209, kalab-alau 2010, kinchil-alau 2011 y alau-alau 2012.
El número que se encuentra al calce se ordena de abajo hacia arriba y se lee de arriba hacia abajo agregando la partícula tu cada que se cambia de posición. La lectura es oxlahunkalabal tu uacpikal tu kanbakal tu bolonhun. El valor del número en nuestro sistema decimal será 13 · 204+6·203+4·202+0·201+9 = 13(160,000)+6(8,000)+4(400)+0+9 = 2,129,609 es decir, dos millones, ciento veintinueve mil, seiscientos nueve. En la actualidad se dice 13.6.4.0.9 o 13 kalabales 6 pikales 4 bakales 9 hunes. oxlahunkalabal tu uacpikal tu kanbakal tu bolonhun
Compare estos postfijos de escala vigesimal explicados anteriormente contra el sistema de prefijos de escala usados hoy en día en la notación científica. Nuestro prefijo más grande es el yotta= 1024 y el postfijo mayor maya es el alaualau= 2012
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Mefisto
Sistema vigesimal mixto
Estos cuatro ciclos se combinaron en dos grandes calendarios llamados tzolkin de 260 días y haab de 365 días. Con ellos se hacían las correcciones Sistema calendárico hierático temporales necesarias para la organización de Para asuntos temporales, los mayas fueron muy los eventos religiosos, sociales, conmemorativos, cuidadosos. Una vez que aprendieron a manejar catastróficos, solares, lunares, siderales y planetael sistema vigesimal puro, se lanzaron a la titánica rios. Puesto que los días solar, lunar y sideral, así obra de usar su sistema perfecto para represen- como sus meses y años se desfasan, deben hacerse tar a la naturaleza. Debido a la complejidad de continuamente las correcciones pertinentes. la tarea, construyeron un sistema de numeración equivalente más cercano a los ciclos naturales y que comenzara emulando el paso del tiempo. Por esa razón, de la tercera posición quitaron dos veintenas del 400 para obtener un ciclo completo (tun=piedra) de 360 unidades, es decir, 18 meses Sistema temporal referencial o cuenta de veinte días llamados uinales o lunaciones. Con ello formaron un marco de referencia aritmético larga temporal que se acercaba a los ciclos lunares y so- Para registrar los eventos naturales, se ajustó el lares. Pero los periodos naturales son más com- sistema de base 20. Con este nuevo sistema llevaplicados que eso y tuvieron que optar por dejar ron la cuenta de varios períodos temporales y los que se acumularan los fragmentos de entero hasta registraron en un esquema vertical, de abajo hacompletar nuevos ciclos que pudieran registrar, en cia arriba. En la parte más baja contaban los días lugar de tomar nuevos lugares a la derecha para llamados kin hasta completar un ciclo (mes) de los vigesimales menores al entero. Así formaron 20 días llamado uinal, registrados en la segunda un combinado de cuatro ciclos fundamentales: un posición. Cuando completaban un ciclo de 18 uiciclo de 13 para ajustar el paso de las 13 constela- nales formaban un tun (piedra) de 360 días. A parciones de su zodiaco, dos ciclos de 20, de natura- tir de la cuarta posición comenzaban de nuevo a leza aritmética y otro de 18 de naturaleza religiosa. formar unidades mayores de 20 en 20 katun, bak-
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Mefisto tun, piktun, kalabtun, kinchiltun, alautun. El conteo de los días anteriores a nuestra era, en ciclos gigantescos, lo grabaron en la estela 10 de Tikal y se esquematiza a continuación:
es decir, se tiene 1.1.11.19.9.3.11.2.0 que se puede leer como 1 alautun 1 kilchintun 11 kalabtunes 19 piktunes 9 baktunes 3 katunes 11 tunes 2 uinales 0 kines. También se puede leer como hun alautun tu hun kilchintun tu buluckalabtun tu bolonlahunpiktun tu oxkatun tu buluctun tu canuinal. Es una proeza de cálculo si se toman en cuenta las correcciones astronómicas que tuvieron que utilizar para incluir con detalle los periodos correspondientes al tzolkin y el haab que se incluyen adicionalmente 2ahau-13ceh. Para tener una idea de su significado, el tzolkin de 260 días y el haab de 365 días forman ciclos mayores de 52 haabs con precisión. Si se agregan las correcciones correspondientes dentro de estos ciclos llamados la rueda calendárica, las diferencias entre los ciclos solar, sideral, lunar y planetarios, se corrigen dentro de un periodo de ¡20 gigaaños! El sistema de registro temporal refleja la forma en que nuestros antepasados mesoamericanos entendían la naturaleza y su lugar en ella. Con la hazaña intelectual de haber encontrado el sistema de posición vigesimal puro, y dominar los detalles de su operación, se empeñaron a representar la naturaleza con base en este marco conceptual. El universo que conocemos ha iniciado antes en periodos de tiempo que llevan la marca 13, de tal manera que nuestra era comienza en el final del treceavo piktun o 13.0.0.0.0.0, 4 ahau-8cumkú -aproximadamente el 12 de agosto de 3114 AC (-3113)-. Las útimas dos posiciones representan la cuenta del tzolkin y del haab respectivamente, más correcciones astronómicas. Esta era terminará al concluir el gran ciclo cósmico de 13’s ...13.13.13.13.13.13.13.13, es decir, según algunos (incorporado el error de conteo) el día 12.19.19.17.19, 3 cauac-2kankin (aproximadamente el 22 de diciembre de 2012) usando la correlación 584285 GMT (Goodman-MartínezThompson). Un periodo de más de (1,44 · 105) · (13) = 1872000 días o 5125 años.
Posición Nombre
Múltiplo
Días
8a
alautun
20 kinchiltunes
2.304 1010
8a
kinchiltun
20 kalabtunes
1.152 109
7a
kalabtun
20 piktunes
5.76 107
6a
piktun
20 baktunes
2.88 106
5a
baktun
20 katunes
144 000
4a
katun
20 tunes
7200
3a
tun
18 uinales
360
2a
uinal
20 kines
20
1a
kin
1 sol (día)
1
Rueda calendárica A la cuenta temporal, los mayas agregaron una cuenta dual de la forma numeral-día, numeralmes. Tzolkin Esta cuenta contiene un viejo calendario usado en toda mesoamérica de 260 días llamado tzolkin u ordenador de los días (conocido en el centro de México como tonalpoualli) que toma en cuenta los ciclos de Venus. El tzolkin combina un periodo de 13 numerales con otro ciclo de 20 días. En total se forma un gran semiciclo de 260 días, relacionado con el tiempo en el que Venus transita de ser lucero de la mañana a ser lucero de la tarde. Tun Combinando 20 numerales del 0-19 y 18 uinales o meses de 20 días, se forma un ciclo anual de 360 días. Haab El ciclo anual de 365 días era reconocido perfectamente y su desfasamiento de 1 día cada 4 años corregido en ciclos más largos que hacen la contabilidad temporal a gran escala mucho más precisa que la que tenemos hoy. Se compone de 18 periodos de 20 días (tun) y al final se agrega un diecinueveavo periodo adicional de 5 días llamado uayeb. Combinando el Tzolkin y el Haab en una cuenta única, los mayas formaron un ciclo completo de 18,980 días (52 haabs y 73 tzolkines) distinguibles con las combinaciones de los cuatro elementos mencionados: numeral-día, numeral-mes. A este ciclo se le ha denominado rueda calendárica, pen-
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Mefisto sando en una gran circunferencia seccionada en 18,980 partes y que lleva la contabilidad de las correcciones astronómicas.
Cuenta corta Dado que la cifra de los baktunes incluye periodos muy largos y el 90% de los fechamientos ocurrieron dentro del 9° baktun, las periodicidades encontradas en ciclos de 13 katunes y 52 años permitieron reducir la representación temporal a un sistema más simplificado llamado la cuenta corta. Este sistema redujo las fechas de cuenta larga a un sistema de tres posiciones, que bajo periodos conocidos del tzolkin y el haab permitieron reducciones importantes en el número de glifos, dentro del cual no se perdía la relación con la cuenta larga, si se registraban los términos de cada katun. Así aparecieron los fechamientos reducidos del tipo término katun m,x día-y mes. Este tipo de fechamiento se usó durante la llegada de los españoles al continente.
Referencias 1) A history of mathematical notations, Florian Cajori, Ed. Dover, New York, US, 1993. 2) A manual of greek mathematics, Thomas L. Heath, Ed. Dover New York, US, 2003. 3) The world of mathematics, James Newmann et al, Ed. Dover New York, US, 2000. 4) History of mathematics, David Eugene Smith, Ed. Dover New York, US, 1958.
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5) Observadores del cielo en el México antiguo, Anthony F. Aveni, Ed. Fondo de Cultura Económica, México, 2005. 6) Maya Hieroglyphs An introduction to the study of the, Sylvanus Griswold Morley, Ed. Dover New York, US, 1975. 7) The heritage of Thales Undergraduate Texts in Mathematics, W.S. Anglin & J. Lambek, Ed. Springer-Verlag, New York, US, 1995. 8) Redefining geometrical exactness Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Henk J.M. Bos, Ed. Springer- Verlag New York, US, 2001. 9) Numerología matemática maya, Paulino Romero Conde, Ed. Centro de estudios del mundo maya, México, 2004. 10) Inscripciones en monumentos mayas, Rolando Alaniz Serrano, Ed. Plaza y Valdés, México, 1999. 11) Pensamiento matemático y astronómico en el México precolombino, Guillermo Garcés Contreras, Ed. IPN, México, 2001. 12) Calendario Maya proyectos de divulgación gráfica, sin autor, Ed. Dante, México, 2001. 13) Introducción a los jeroglíficos egipcios, Mark Collier y Bill Manley, Ed. Alianza Editorial, España, 2001. 14) La biblia latinoamericana, Moisés et al, Ed. San Pablo-Verbo Divino, España, 1997. 15) Kabaláh, diccionario kabaláh contemporánea, Ione Szalay, Ed. Kier, Argentina, 2005. 16) La palmera transparente Arca de Sabiduría, Mario Satz, Ed. EDAF, España, 2000. 17) The Art of the Maya Scribe, Michael D. Coe & Justin Kerr, Ed. Harry N. Abrams, Inc, Publishers, US, 1998.
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Frases célebres
La libertad es uno de los más preciosos dones que a los hombres dieron los cielos.
¿Y para qué quieren ser libres, si no saben ser libres?
Miguel de Cervantes Saavedra. (1547 - 1616) Escritor español.
Ermilo Abreu Gómez. (1894 - 1971) Escritor mexicano.
La primera ley del arte es la verdad y la expresión.
Ama el arte; de todos los engaños es todavía el que miente menos.
Theodor Lessing. (1872 1933) Filósofo alemán.
Gustave Flaubert. (1821 1880) Escritor francés.
Internet es mucho más que una tecnología: es un medio de comunicación, de interacción y de organización social.
... maldita cultura de internet, que deseduca al mundo y enseña a todos a escribir las palabras más simples con faltas de ortografía.
Manuel Castells (1942 - ) Sociólogo español.
Robert Fisk. (1946 - ) Periodista británico.
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Acertijos
1 Dos leñadores trabajaban desde la madrugada, así que deciden sentarse a desayunar. El primer leñador llevaba 4 panes, mientras que el segundo llevaba 7 panes. En eso llega un cazador, que les pide compartir con él su desayuno. Los 11 panes se dividen en partes iguales y cada uno de ellos come la misma cantidad de pan. Cuando terminan de desayunar, el cazador les entrega 11 pesos, que es todo el cambio que trae, para que se lo repartan de la forma más justa. El primer leñador dice que deben repartirse el dinero en partes iguales, a lo que el segundo replica que, puesto que el primero sólo puso 4 panes, sólo le tocan cuatro pesos; mientras que como él puso 7 panes, a él le tocan 7 pesos. ¿Como deben repartirse el dinero? 2 Tres trabajadores entraron a un hotelito a descansar y a comer. Encargaron a la dueña que les cociera unas papas y se fueron a dormir. La dueña coció las papas, pero para no despertarlos, dejó la olla sobre la mesa y se fue. Uno de los trabajadores despertó, contó las papas, se comió su parte y se volvió a dormir. El segundo despertó, y creyendo que era el primero en despertar, conto las papas, se comió su parte y se volvió a dormir. El tercero tambien despertó, contó las papas y se comió su parte. En eso volvieron a despertar los otros dos, con lo cual se aclaró la situación. En la olla quedaban aún ocho papas. ¿Cuántas papas coció la dueña del hotelito? 3 Una campesina trae al tianguis una cesta de naranjas para vender. Llega un comprador y se lleva la mitad de las naranjas que había, más media naranja. Un segundo comprador llega y se lleva la mitad de naranjas que quedan más media naranja. El tercer comprador también se lleva la mitad de las que quedan más media naranja. Así siguen
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hasta que el sexto comprador se lleva la mitad de las naranjas que quedan más media naranja, con lo cual la campesina termina de vender sus naranjas. Los compradores sólo llevaron naranjas enteras. ¿Cuántas naranjas trajo al mercado la campesina? 4 Cuatro campesinos rusos regresaban a su rancho quejándose de no haber ganado nada en la ciudad. El primero de ellos decía: si me encontrara una cartera llena de dinero, agarraría sólo la tercera parte y lo demás se lo dejaría a ustedes. El segundo campesino dijo: si yo me encontrara la cartera, tomaría sólo la cuarta parte y lo demás lo dejaría para ustedes. El tercer campesino dijo: si yo me encontrara la cartera, me bastaría con la quinta parte del dinero y lo demás para ustedes. Y el cuarto campesino dijo: pues si yo me encontrara la cartera, me conformaría con la sexta parte del dinero. Un poco más adelante, los campesinos encuentran tirada una cartera con 8 billetes: uno de 3 rublos (el rublo es una moneda rusa), y los otros de 1 rublo, 5 rublos y 10 rublos. Pero al intentar repartirse el dinero conforme a lo expresado anteriormente, resultó que ninguno podía tomar su parte, porque no traían cambio. Entonces pasó un jinete al que le pidieron que les cambiara un billete de un rublo. El jinete les dijo que no tenía cambio, pero les propuso lo siguiente: yo pondré un rublo en la cartera y despues daré a cada uno su parte, quedándome con la cartera. A los campesinos les pareció bien el trato, e hicieron conforme a lo anterior. Cuando se retiró el jinete, notaron que ninguno de ellos tenía el billete de 3 rublos (o sea que se lo había llevado el jinete en la cartera) y sin embargo cada uno de ellos había recibido más de lo esperado. ¿Cuánto dinero había originalmente en la cartera? ¿Qué billetes dio el jinete a cada uno de los campesinos?
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Acertijos Solución a los anteriores
1 Debe cortar sólo un eslabón, el que está en la posición número 3, de modo que tiene 1, 2 y 4 eslabones. El primer día paga con el eslabón solo. El segundo día paga con dos eslabones y recibe el que entregó el día anterior como cambio. El tercer día paga con el eslabón solo. El cuarto día paga con los cuatro y recibe los otros tres de cambio. El quinto día paga con el eslabón solo. El sexto día paga con los dos eslabones y recibe uno de cambio. El último día paga con el eslabón solo.
Segunda pesada: 1, 2, 8, 9 contra 3, 4, 7, 10
2 Para distinguir los diamantes, numerémoslos del 1 al 10.
Tercera pesada: 3 contra 4
Primera pesada: 1, 2, 3, 4 contra 5, 6, 7, 8 A) Si se balancean: el falso es 9 ó 10. Entonces: Segunda pesada: 9 contra 1 Si no se balancean, entonces el 9 es el falso. Si sube, es que pesa menos, si baja es que pesa más. Si se balancean, el falso es el 10. Entonces: Tercera pesada: 10 contra 1
i) Si 1, 2, 8, 9 bajan, el falso debe ser 1 ó 2 (y más pesado), o bien 8 (y más ligero). Entonces: Tercera pesada: 1 contra 2 Si alguno baja, ése es el falso. Si se balancean, el falso es 8. ii) Si 3, 4, 7, 10 bajan, el falso es 3 ó 4 (y más pesado) ó 7 (y más ligero). Entonces:
Si alguno baja, ése es el falso, si se balancean, el falso es 7. Recomendamos al lector con conocimientos de programación hacer un diagrama de flujo para esta solución. También recalcamos que tal solución no es única. 3 Identifiquemos a cada uno de los nietos como sigue: el primero es P, el segundo es S, el tercero es T y el cuarto es C. Entonces tenemos lo siguiente:
B) Si no se balancean:
P recibió 8 hongos del abuelo S recibió 12 hongos T recibió 5 hongos C recibió 20 hongos
a) Supongamos que 1, 2, 3, 4 bajan (si no sucede así, los renumeramos para que así sea)
Al llegar a la casa, cada uno de los nietos llevaba 10 hongos.
Si 10 sube, pesa menos, si baja, pesa más.
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Sudoku F谩cil 7 4 2
7
2 9 5 8
9
4
6 1
6 5 7
5 7 1 8
Soluci贸n al anterior 1 7 4 5 9 5 8 1 2 3 6 7 3 9 1 8 6 4 7 9 5 8 2 3 7 1 9 4 4 2 5 6 8 6 3 2
3 8 9
1
4
2 9 4
2 3 6 4 8 5 1 6
9 8 6 2 3 7 9 4 5 1 4 7 6 2 2 3 8 5 7 9 1 4
3 5 8 2 6 9 8 1 7 3 7 1 5 4 9
Dif铆cil
Soluci贸n al anterior 9
6 8 5 7 1 4 2 3 1 7 3 8 2 4 5 6 9 2 4 5 3 9 6 7 8 1 6 3
9 2 7 1 5 8 5 4 6 8 2 9 7 8 1 9 4 3 2 5 3 9 2 6 7 1 4 2 7 1 3 8 6 8 1 6 4 5 9 3
24
3 1 5 4 9
1
4 9
4 7 6 8
3 8
4
3 2 7
5
7 2
6
8
5 6 8
9
7
9 3 6
8 6
3
5 4 7
5