GACETA MEFISTO 01

Mefisto

Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno

Mefisto Número 1

Abril de 2011

Rectora María Esther Orozco Orozco

Coordinadora académica Minerva Camacho Nuez

Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz Comité editorial Fausto Cervantes Ortiz Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera Galdino Morán López Octavio Campuzano Cardona Ana Beatriz Alonso Osorio

gaceta.mefisto@gmail.com

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, xviii, 37.

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a:

Mefisto

Contenido

Presentación Daniel Maisner Bush

3

Los modelos en los textos científicos: el caso de la mecánica Octavio Campuzano Cardona

4

El cielo de primavera

11

Frases célebres

14

Encuesta sobre las propiedades de la integral definida Fausto Cervantes Ortiz

15

19

Acertijos

23

Sudoku

24

Terremotos Fausto Cervantes Ortiz

Mefisto

Presentación Daniel Maisner Bush

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

Ya viejo, Fausto descubrió que su pasión por el conocimiento lo había llevado demasiado lejos y decidió vender su alma a Mefistófeles a cambio de volver a vivir y “gozar” la vida. Un mito repetido una y otra vez en Occidente: el conocimiento está peleado con la verdadera vida. Adán y Eva fueron expulsados del paraíso tras comer el fruto del saber, los Argonautas desencadenaron una serie de tragedias al buscar el vellocino de oro, Prometeo fue sometido a un suplicio por transmitir el conocimiento. Ya en plan lapidario

e irónico, no podemos dejar de mencionar el viaje de Gulliver a la isla de Laputa, en donde los científicos se encuentran tan absortos en su mundo que requieren de un ayudante que los golpee con una vejiga cada vez que alguien les dirige la palabra.

Por otro lado, una vez tentado, Fausto tuvo que elegir entre dos senderos que se bifurcan: el amor o el poder; al elegir el primer camino salva su alma porque el amor no puede ser el vehículo para adentrarse en los infiernos.

La gaceta Mefisto que hoy presentamos es producto de estas tentaciones: queremos adentrarnos en el conocimiento sin que esto signifique sacrificar el goce por la vida, tenemos la pretensión de probar que el saber no está peleado con la vida y que no necesariamente es una pérdida de tiempo.

Además, pretendemos recuperar el espíritu de generosidad y tolerancia que deben tener las publicaciones universitarias, alejándonos, en la medida de nuestras posibilidades, de la tentación que representan el dinero y el poder. Sin mantenernos al margen de los múltiples problemas que rodean nuestra vida diaria, no pretendemos que nuestra publicación sea un trampolín en la búsqueda de engordar nuestros currículos ni un medio para vender nuestras personas a quienes ostentan el poder en la búsqueda de escaños y prebendas.

La musa, burlona, y el Amor, travieso, me sueltan la lengua, antes discreta.

J. W. Goethe

Finalmente, debemos mencionar que esta publicación no sería posible sin haber tentado a nuestro editor Fausto Cervantes a salir del exilio en que vivía, de la labor que desempeña de manera tan ejemplar, tras su exilio producto de la intolerancia que desgraciadamente hoy vivimos en nuestra universidad.

Mefisto

Los modelos en los textos científicos: el caso de la mecánica Octavio Campuzano Cardona Academia de Cultura Científico-Humanística Plantel San Lorenzo Tezonco

Introducción A partir del siglo XIX, en el contexto de la institucionalización de la enseñanza de la física en Inglaterra, surgen los libros de texto científicos (LTC), y desde entonces van adquiriendo una importancia creciente, hasta su consolidación como vehículos indispensables para la enseñanza de la ciencia en la actualidad.1 Los libros recogen los logros y expectativas de una comunidad científica, como lo señala el filósofo e historiador de la ciencia Thomas Kuhn: Ciencia normal significa la investigación basada firmemente en uno o más logros científicos pasados, logros que una comunidad científica particular reconoce durante algún tiempo como el fundamento de su práctica anterior. Hoy en día tales logros se recogen en los libros de texto científicos, tanto elementales como avanzados, aunque rara vez en su forma original. Dichos libros de texto exponen el cuerpo de la teoría aceptada, ilustran muchas o todas sus aplicaciones afortunadas y confrontan tales aplicaciones con ejemplos de observaciones y experimentos.2

en esa lógica condicionada a quienes trabajan en dicho dominio. Con ello se consigue que sus acciones sean más uniformes y al mismo tiempo se congelan grandes partes del proceso histórico. ‘Hechos’ estables surgen y se mantienen a pesar de las vicisitudes de la historia.3

Con base en el tipo de ‘hechos’ descritos por Feyerabend, se van generando en parte las teorías (o modelos) que componen los LTC; en ellos se dejan de lado los intereses originales de los iniciadores de las grandes teorías (o de los autores de los grandes proyectos disciplinarios). Por ejemplo, Newton con Los principia, entre otras cosas, está tratando de caracterizar matemáticamente los fenómenos gravitacionales sin considerar sus causas,4 lo que va en contra

Hay en los LTC una narración coherente, sistemática y lineal (en sentido temporal) de hechos y explicaciones. No sólo eso, para él, los libros también permiten a los científicos seguir las mismas reglas y normas en la práctica científica; de acuerdo a su modelo de cambio científico, los libros de texto son la expresión clara del hecho que se comparte un paradigma.

Por su parte, Paul K. Feyerabend caracterizaba los libros de texto como parte de un proceso de “congelamiento del proceso histórico” que distingue la actividad científica madura: La educación científica… simplifica la ‘ciencia’ simplificando a sus participantes: en primer lugar se define un dominio de investigación. A continuación, el dominio se separa del resto de la historia (la física, por ejemplo, se separa de la metafísica y de la teología) y recibe una ‘lógica’ propia. Después, un entrenamiento completo

Figura 1. Los Principia, obra fundamental de Newton.

Mefisto de la tradición mecanicista iniciada por Boyle y Descartes.5 Está involucrado en una discusión acerca de los principios de la disciplina. Los libros de texto vienen luego, retoman algunas partes de ese tratado (Los principia), las simplifican, reformulan los problemas ahí abordados, ignoran preocupaciones metafísicas y teológicas de Newton y se centran en la caracterización de cierto tipo de herramientas para resolver problemas, el tipo de enfoque que cultivan los libros de texto científicos.6 Los LTC pueden variar en estructura y contenido de una generación a otra, y algunos de ellos pueden influir de manera determinante en la forma de aprender, representar e investigar acerca de la ciencia dentro de una comunidad. Además, los libros se escriben con diferentes estilos que responden a tradiciones regionales. En el caso de los libros de mecánica, no obstante la enorme diversidad de enfoques para abordar el tema, es posible encontrar patrones característicos que tienen lecciones interesantes para entender la manera como se plantea y se aprende la mecánica clásica.

Diferentes libros de mecánica La diversidad es el sello entre los libros de texto de mecánica y no resultaría fácil enumerar siquiera los elementos y las combinaciones de ellos que llevan a esa variedad, por ello enseguida sólo procuraré caracterizar algunas diferencias relevantes para mi estudio.

Comienzo por la distinción entre libros de diferentes épocas. Los libros utilizados por una generación son diferentes a los empleados por otras. Por ejemplo, los textos de mecánica clásica en los que estudió Richard Feynman, escritos por Lemon, Sommerfeld, Pauli y Whittaker son diferentes a los libros que se comenzaron a utilizar en la década de los sesenta del siglo pasado, pienso en los Resnick, Alonso, French, Goldstein y Marion.7 Mientras en los primeros se privilegian discusiones teóricas y muestran un fuerte contenido experimental, y en los contenidos incluyen temas como la relatividad y la mecánica cuántica; en los segundos se toman en cuenta aspectos didácticos, se pone mayor énfasis en la resolución de problemas e incluyen la teoría del caos y los teoremas de conservación como novedades entre sus contenidos.

Figura 2. Libros de texto científicos en uso a mediados del siglo pasado.

Una segunda distinción consiste en la profundidad de un libro que se propone para estudiantes de una misma disciplina, por ejemplo para físicos. Los libros para estudiantes de posgrado ofrecen contenidos más complejos con respecto a los textos empleados por los estudiantes de primeros semestres. De acuerdo al nivel al que se orienta, básico, intermedio o avanzado, los libros difieren en cuanto a énfasis en la matemática o en la física. Mientras los libros introductorios o básicos, por ejemplo Resnick, Sears–Zemansky o Savèliev, empleados por estudiantes de primer ingreso a la carrera de física, los autores se preocupan por aspectos cualitativos más que por ofrecer técnicas avanzadas de resolución de problemas, los libros para cursos de posgrado como lo son los de Goldstein y Landau manejan matemáticas muy avanzadas.

Ahora bien, los libros de mecánica dirigidos a físicos ofrecen contenidos cualitativamente diferentes a los textos escritos para ingenieros. No es lo mismo el libro Mecánica de la serie Berkeley, el cual pone énfasis en los principios fundamentales de la física e ignora temas como la estática, que los dos tomos del libro Mecánica vectorial para ingenieros de Beer y Johnston, el cual enfatiza la práctica de resolución de pro-

Mefisto se edifican otras más complejas a partir de las primeras. En cada capítulo se expone la teoría, se resuelven ejemplos y al final se plantean al lector preguntas y problemas. Los capítulos previos sirven de base para la exposición de los posteriores. En algunos casos, al comienzo se expone la matemática necesaria para abordar los temas del libro, mientras en otros la matemática se presenta conforme se va requiriendo en la elaboración de una teoría.

Ahora bien, ¿qué relación tiene esta estructura con el contenido mismo de los libros de texto? Para responder esta pregunta, primero es necesario buscar en qué consiste tal estructura. En buena medida la estructura da cuenta de la manera en que se pretende la explicación de la mecánica en sus textos más difundidos, y debería ser importante para la filosofía de la ciencia cuál es la manera en la que esas explicaciones se estructuran.

Figura 3. Textos de mecánica de uso en la actualidad.

blemas, después de una exposición teórica superficial, esto es, sin demostraciones ni discusiones profundas acerca de los conceptos y principios de la mecánica.

Asimismo, hay diferencias de estilo en los textos de mecánica, pues una distinción típica en los libros se puede observar en los libros escritos por autores franceses, soviéticos y norteamericanos. Mientras los primeros enfatizan el aspecto matemático, los últimos, se basan en buena medida en problemas muestra (ejemplares). Los textos soviéticos suelen ser muy concisos en las matemáticas y, en general, se apoyan en libros de problemas con soluciones sugeridas.8 Por supuesto, libros con diferentes estilos han circulado y circulan por todo el mundo.

¿Teorías o modelos en los libros de texto científicos?

Aparentemente, leyes, principios y problemas encontrados en la mayoría de los libros y manuales de mecánica se integran en un orden en el cual se presentan primero teorías elementales y posteriormente

Una posibilidad es que los autores plantearan la explicación en los textos del modo que eran descritos por los filósofos de la ciencia de corte lógico-empirista.

Estos autores pretenderían reproducir un modelo de explicación idéntico al propuesto por Hempel y Nagel.

Recuérdese que para éstos, la explicación en ciencia se pretende por medio de la cobertura legal inferencial, la idea básica es que las explicaciones son argumentos en los que el explanandum se infiere del explanans. En palabras de Hempel: Se responde la cuestión ¿Por qué ocurre el evento del explanandum? mostrando que el evento resultó de circunstancias particulares especificadas en C1, C2,…, Ck en concordancia con las leyes L1, L2,…, Lr.9

El diagrama característico de este tipo de explicación es el siguiente, C1, C2,…, Ck L1, L2,…, Lr E Sin embargo, este modelo, también llamado sintáctico, es insostenible en general y en particular para aplicarlo en los libros de texto. En general porque hay críticas bien conocidas a este modelo nomológico-deductivo.

Por ejemplo, las que se refieren a la irrelevancia, la asimetría y al hecho de que los científicos no siguen este modelo de explicación. La irrelevancia se refiere a que mientras por un lado la explicación es suficiente

Mefisto para la teoría, por otro la teoría no es necesaria para la explicación. La asimetría se refiere a la inexistencia de simetría entre explicación y predicción;10 hay explicaciones que no predicen (p. ej. La teoría de la evolución) y hay predicciones que no explican (p. ej. si se conoce la sombra proyectada por un mástil, se puede predecir la altura de éste, pero ello no explica por qué el mástil tiene esa altura).11 Por último, esta forma de explicación no da cuenta de las prácticas científicas reales, como lo han argumentado entre otros, Kuhn12 y Feyerabend.13 En los libros de mecánica, salvo excepciones, no hay nada semejante a una estructura nomológica-deductiva para explicar los resultados de la física; en cada capítulo no se exponen una serie de leyes (jugando el papel de axiomas), a partir de las cuales se emprenda la resolución de problemas particulares aplicándolos, por medio de la introducción de leyes puente, a los datos empíricos señalados o inferidos de la redacción del problema.

Lo anterior no sólo se sigue de una revisión empírica de los libros de mecánica, incluso algunos autores señalan la imposibilidad de partir de leyes o principios plenamente comprensibles y utilizarlos luego para resolver problemas, sugieren incluso un camino inverso, esto es, a partir de emplear repetidamente conceptos físicos, se puede alcanzar la comprensión de su significado. Por ejemplo, Keith R. Symon en su libro Mecánica escribió:

Las leyes o principios presentes en los libros no son generalizaciones empíricas bien confirmadas16 sino postulados elaborados a partir de idealizaciones, abstracciones y aproximaciones. Giere ilustra este punto con un ejemplo muy conocido: el reloj de su abuelo.17 Afirma que si la ley del péndulo se quisiera entender como un enunciado universal y verdadero acerca de todos los péndulos, habría un problema porque de hecho esa ley sólo la cumple un péndulo al cual se le han introducido abstracciones, idealizaciones y aproximaciones.18 Por ejemplo, el reloj de su abuelo realiza oscilaciones con ángulos relativamente grandes, la fricción entre la varilla del péndulo y el tornillo que la sujeta se compensan con un mecanismo que le proporciona empuje en cada oscilación, etc., esto dista mucho de ser un péndulo ideal.

Así pues, no es posible sostener el enfoque sintáctico para explicar la estructura de los libros de texto, tampoco da cuenta de cómo aprenden y utilizan los científicos la mecánica clásica en esos libros. Esta situación ha llevado a varios autores a reflexionar sobre cuáles son las estructuras de las explicaciones efectivamente utilizadas (aunque muchas no de forma explícita) en los libros de texto. Uno de estos autores es el mismo Ronald Giere, quien hace ya algunos años propuso estudiar los textos por medio de modelos.19

[…] momento lineal = masa x velocidad es una definición perfectamente clara de “momento lineal” en el supuesto de que se hayan definido con precisión la “masa” y la “velocidad”. Pero este tipo de definición no valdrá para todos los términos de una teoría, pues hemos de partir de un conjunto de conceptos básicos o “primitivos” cuyos significados se suponen conocidos. Los primeros conceptos a introducir en una teoría no pueden definirse del modo anterior, pues no tenemos nada que poner en el segundo miembro de la ecuación. El significado de estos conceptos primitivos habrá de aclararse por algunos medios que no tengan nada que ver con las teorías físicas que se trata de edificar. Así, p. ej., podríamos simplemente utilizar tales conceptos una y otra vez hasta que sus significados quedasen claros.14

El interés original de Giere en su texto de 1988 fue dar cuenta de las explicaciones en ciencia y para desarrollar su planteamiento tomó como premisa que los libros expresan en buena medida la forma de trabajar de los científicos. Plantea su argumento de la siguiente manera: Los científicos estudian en los libros, los libros están estructurados a partir de modelos, por lo tanto los científicos estudian los fenómenos, más que con teorías y leyes, por medio de modelos. Luego, cada disciplina, incluso cada problema abordado por un grupo de científicos, maneja principios generales (y no leyes) a partir de los cuales modela un problema real.

Más todavía, Ronald Giere15 señala que en los libros no se utilizan reglas de correspondencia, dado que estas últimas son irrelevantes, pues en los textos no hay distinción entre enunciados que describen hechos particulares y leyes propiamente dichas. Además, resalta que las reglas de correspondencia son una vía muy pobre para explicar la introducción de la matemática en la ciencia para representar el mundo real.

Ronald Giere entiende los modelos de dos maneras diferentes. Por un lado, como sistemas idealizados igual a los expuestos en los textos de mecánica (los llama modelos teóricos o simplemente modelos cuando el contexto es claro). Esto es, los concibe en el mismo sentido que los lógicos entienden los modelos: como aquellas interpretaciones que satisfacen un conjunto

Mefisto de axiomas. Giere ejemplifica esta primera idea de modelo, indicando que el oscilador armónico simple satisface su ecuación de movimiento. Por otro lado, concibe a los modelos como entidades no-lingüísticas, conjuntos de objetos, no de enunciados ni de ecuaciones, que pueden ser caracterizados de muy diversas maneras, empleando muy disímiles lenguajes.

Hacia una propuesta de modelos dinámicos Ahora bien, el enfoque empleado por Ronald Giere para abordar el estudio de los libros de texto científicos (como constituidos por modelos), conlleva una serie de dificultades desde su planteamiento mismo, que le impiden vislumbrar en los libros de texto una serie de características y virtudes indispensables para apreciar mejor su composición y su papel en la actividad científica.

Una de las razones básicas de las limitaciones del análisis de Giere para resolver las dificultades anteriores, es su idea de modelo. Los problemas que enfrenta éste son, entre otras, la poca importancia que confiere a las idealizaciones, abstracciones y otros elementos en la formulación de los modelos; además, en el enfoque cognitivo asumido en su idea de modelos, el establecimiento de relaciones entre modelos y familias de modelos a partir de afinidades entre ejemplares rígidos tiene poco que ver con el trabajo realizado por los científicos y sus interacciones con los modelos de los libros. Ante las limitaciones del proyecto de Giere, se requiere de una reformulación de la idea de modelo, para explicar la diversidad y el cambio en los libros, la manera en que los físicos emplean y se forman estudiando en los libros, y dé cuenta del hecho de que la actividad de los físicos (incluidos estudiantes y profesores) induce cambios en los textos, en sus enfoques, estructuras y contenidos.

Por lo anterior, propongo que los modelos son entidades incompletas, producto de idealizaciones, abstracciones, simulaciones, etc., abiertas a las interpretaciones de los lectores y que permiten, además de resolver, plantear nuevos problemas teóricos y prácticos (incluidas idealizaciones, abstracciones y aproximaciones) estrechamente relacionados con los

intereses pragmáticos de los autores de los textos, y de maneras específicas, vinculados con las investigaciones de los científicos o las aplicaciones prácticas.

Los modelos propuestos en los libros se eligen según el nivel y los fines de cada texto en particular; se basan en principios teóricos generales20 expuestos en otros libros o en artículos científicos (papers), pero no como simples instancias. Los modelos ahí expuestos constituyen la teoría con la cual se trabaja en los libros. No obstante, hay cierta autonomía entre la teoría y los modelos, pues sólo de esta manera es posible emplearlos para modelar sistemas físicos con diversos propósitos. Un modelo que sólo expresara la teoría resultaría inútil para abordar nuevos problemas o un problema con enfoques alternativos. De la misma manera, un modelo que sólo resolviera el problema para el cual se elaboró, resultaría inoperante para enfrentarse a nuevos problemas.

Para ver esto con mayor detalle, considérese que los primeros sistemas modelados por los estudiantes de física son los ejercicios propuestos al final de los capítulos, en ellos se pide al estudiante emplear la teoría vista en el capítulo para resolver cierto problema, pero para llegar a la solución el alumno debe introducir en su modelo una serie de idealizaciones, abstracciones y aproximaciones no contempladas ni en la teoría ni en los ejemplos del capítulo; el modelo con el cual se resuelve el problema requiere de información y preparación externas.

Conclusión La introducción del modelo dinámico como unidad de análisis para el estudio de los libros de texto científicos, permite comprender mejor aspectos relevantes de la práctica científica, como son el proceso de enseñanza-aprendizaje en ese ámbito del conocimiento, el cambio científico y el papel de las teorías científicas.

La aplicación de este enfoque a libros de texto de otras materias –diferentes a la mecánica–, así como a otros aspectos de la cultura científica material logrará desentrañar aún más elementos de la actividad científica.

Mefisto

Bibliografía Feyerabend, Paul. Contra el método: Esquema de una teoría anarquista del conocimiento. 2a ed, Barcelona: Ariel, 1989.

Giere, R. N. Explaining Science: A Cognitive Approach. University Of Chicago Press, 1988.

Hempel, Carl. “Two Basic Types of Scientific Explanation” en Curd, M y Cover, J. A. Philosophy of Science: the Central Issues. New York: W.W. Norton, 1998.

Kuhn, Thomas S. La estructura de las revoluciones científicas. Breviarios del Fondo de Cultura Económica; 213. México: Fondo de Cultura Económica, 2004.

Ruben, D-H. “Arguments, Laws, and Explanation” en Curd, M. y Cover, J. A. Philosophy of Science: the Central Issues. New York: W.W. Norton, 1998.

Shapin, Steven. La revolución científica, Una Interpretación Alternativa. Barcelona: Paidós Studio; Mexico: Paidós Ibérica, 2000.

Symon, Keith R. Mecánica. Madrid: Aguilar, 1974.

Fraassen, B. Van “The pragmatics of explanation” en Boyd, R., Gasper, Ph. and Trout, J. D. The Philosophy of science, Massachusetts: MIT Press, 1991.

Warwick, Andrew. Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics. Chicago: University of Chicago, 2003.

Notas [1] Warwick (2003) realiza un estudio muy detallado y original en el cual relaciona la institucionalización de la enseñanza de la física con el aprendizaje de los científicos durante el siglo XIX. [2] Kuhn (2004), p. 37.

[3] Feyerabend (1989), pp. 3-4.

[4] “No he podido todavía deducir a partir de los fenómenos de la razón de estas propiedades de la gravedad y yo no imagino hipótesis”. Citado por Shapin (1988, p. 88).

[5] Shapin afirma que desde el mismo siglo XVII

hasta la fecha sigue la discusión acerca de si Newton continuó o no la tradición mecanicista. (Ibíd. 1988, p.

89).

[6] Cfr. Warwick (2003), pp. 14–18.

[7] Un par de libros por demás interesantes y en buena medida diferentes de los aquí mencionados son Lectures on Physics de Feynman y Ensayos sobre mecánica clásica de Juan B. de Oyarzabal. No los incluyo porque no son propiamente libros de texto, pues inicialmente no estaban pensados como tales.

[8] En general, los libros editados en la ex Unión Soviética contienen muy pocos problemas de final de capítulo y suelen complementarse con textos de problemas.

[9] Hempel (1962), p. 686.

[10] Cfr. Ruben (1991), pp. 720 – 727 y Van Fraassen, (1991), p. 269.

[11] Cfr. Van Fraassen (1980), pp. 165-167.

[12] Kuhn (2004).

[13] Feyerabend (1989).

[14] Symon (1974), p. 4.

[15] Cfr. Giere (1988), p. 75.

[16] Prácticamente todos los libros mencionan que las fuerzas que se proponen para la segunda ley de Newton provienen de generalizaciones empíricas.

[17] Ibíd., p. 76.

[18] 1) aproximación para ángulos pequeños.

2) incluso antes de la aproximación, aproxima la fuerza gravitacional como uniforme. a) Si la Tierra fuera homogénea, la fuerza sería uniforme, no lo es y las heterogeneidades se conocen tan sólo de manera aproximada. b) Hay atracción gravitacional de otros cuerpos: El Sol, la Luna y los demás planetas.

3) La gravitacional no es la única fuerza que actúa sobre el péndulo, a) la fricción que existe en la unión del péndulo con el cajón del reloj; b) la resistencia del aire sobre la lenteja del péndulo. Además, se aproxima esta fricción como dependiente de la velocidad o de forma más compleja, pero ninguna función es exactamente correcta.

4) No oscila libremente, hay un mecanismo que le proporciona un empuje en cada oscilación.

[19] Giere (1988).

[20] Por ejemplo, la Ley de la gravitación universal de Newton.

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PROGRAMA DE MATERIALES EDUCATIVOS PARA ESTUDIANTES DE LA UACM

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10

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El cielo de primavera

La observación sistemática del cielo por el hombre primitivo, poco a poco llevó a la humanidad a adoptar la agricultura, y con ello, a la civilización. Conocer los ciclos de las estrellas y los planetas se volvió un asunto de supervivencia. Por supuesto que el dejar que los astros regularan las vidas de los seres humanos, también llevó a equívocos, como la astrología y otras pseudociencias. A la larga, el desarrollo científico y tecnológico tornó obsoleta a la astronomía como reguladora del tiempo (ahora existen relojes atómicos, por ejemplo).

No obstante lo anterior, la astronomía sigue siendo un placer, así que aunque no tenga ya utilidad práctica alguna, sigue siendo reconfortante observar los cuerpos celestiales en las noches (en lugar de perder el tiempo, por ejemplo, viendo la televisión).

Antiguamente los cuerpos celectes se clasificaban en estrellas fijas y planetas. En la actualidad, con el crecimiento de la tecnología en construcción de telescopios, se tienen muchas más categorías: satélites, aste-roides, cometas, nebulosas, cúmulos, galaxias, etc. Sin embargo, para el aficionado, cuente o no con telescopio, lo fundamental sigue siendo conocer la distribución de las estrellas en las constelaciones, así como la época del año en que se ve cada una de ellas. Para esto se calculan mapas celestes, que varían no sólo con el paso del tiempo, sino que también son diferentes para cada ubicación sobre la superficie terrestre.

En primavera serán visibles las constelaciones que se ilustran en las páginas 12 y 13.

Además se tendrán lluvias de estrellas según la tabla siguiente: Fecha

Lluvia

15 de marzo 22 de abril 24 de abril 6 de mayo 9 de mayo 27 de junio

g Normids Lyrids p Puppids h Aquariids h Lyrids Bootids

El nombre de la lluvia de estrellas nos indica la constelación hacia donde hay que mirar para poder observar la lluvia. Por ejemplo, para ver las Lyrids, hay que ver hacia Lyra.

Se dan las fechas de las fases de la Luna con base en el cálculo para la Ciudad de México.

Es muy importante que el observador del cielo aficionado sea cuidadoso al elegir el lugar de observación, dado que una ubicación muy cercana a una fuente de luz artificial no permitirá la visibilidad necesaria para apreciar muchas de las estrellas de algunas constelaciones. Entonces es recomendable observar desde un lugar oscuro, pero suficientemente seguro.

11

Mefisto

Luna nueva 3 de marzo 2 de abril 1 de mayo 31 de mayo

Cuarto creciente 10 de marzo 9 de abril 9 de mayo 7 de junio

12

Mefisto

Luna llena 18 de marzo 16 de abril 16 de mayo 15 de junio

Cuarto menguante 25 de marzo 24 de abril 23 de mayo 22 de junio

13

Mefisto

Frases célebres Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas.

Isaac Newton

Albert Einstein

Yo sólo sé que no sé nada.

En primer lugar acabemos con Sócrates, porque ya estoy harto de este invento de que no saber nada es un signo de sabiduría.

Sócrates

Isaac Asimov

A veces creo que hay vida en otros planetas, y a veces creo que no. En cualquiera de los dos casos la conclusión es asombrosa.

Carl Sagan

14

El pensamiento no es más que un relámpago en medio de una larga noche. Pero ese relámpago lo es todo.

Henri Poincaré

Mefisto

Encuesta sobre las propiedades de la integral definida Fausto Cervantes Ortiz Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

Introducción

La encuesta

La enseñanza de los métodos de integración forma una parte muy extensa de los cursos de cálculo integral, de tal modo que en las instituciones de educación superior públicas del área metropolitana (UNAM, UAM, UACM, IPN) se les dedica la mayor parte del tiempo que dura el ciclo escolar. Si bien es bueno que los alumnos sean capaces de resolver cualquier integral indefinida, por complicada que parezca, no se debe descuidar por ello el estudio de las propiedades de la integral definida. En charlas informales, el autor observa que al plantear integrales definidas muy simples, los alumnos no examinaban sus propiedades antes de proceder, sino que de inmediato se lanzaban a examinar el método de integración más apropiado para calcularlas. Más aun, al charlar con algunos colegas de la UACM para elaborar un examen extraordinario, el autor observó que varios profesores hacían exactamente lo mismo: tratar de encontrar el método de integración más apropiado, en lugar de examinar primero las propiedades de las integrales (inclusive observó el caso de un profesor que no era capaz de encontrar un cambio de variable para resolver una integral muy simple y se aferraba a la idea de que sólo era posible calcularla por partes, pero por ahora eso no se tratará aquí).

La encuesta se llevó a cabo durante la semana del 20 al 24 de abril de 2009. Las encuestadoras fueron las alumnas de la carrera de Arte y Patrimonio Cultural Edith Monserrat Sánchez Rodríguez, Karla Sánchez Mañón y Elizabeth Pineda Velázquez. El cuestionario contenía, entre otras, las siguientes preguntas:

Con esto en mente, el autor concibió la idea de hacer un diagnóstico de los profesores que conforman la Academia de Matemáticas en el Plantel San Lorenzo Tezonco de la UACM, acerca de sus habilidades para reconocer y calcular integrales definidas simples.

Tomando como pretexto el curso Estadística para las Ciencias Sociales que impartió durante el semestre 2009-2 en ese plantel, solicitó de la colaboracion de los profesores de la Academia para proporcionar información a algunas alumnas, de tal modo que pudiesen colectar datos para una estadística de los profesores de la Academia.

1. Edad.

2. Estudios (carrera, maestría y doctorado) y su duración.

3. Instituciones donde realizaron esos estudios.

4. Experiencia docente.

5. Tipo de institución institucion donde se obtuvo la experiencia y (pública o privada).

6. Tiempo de la experiencia en cada institución.

Las alumnas visitaron todos los cubículos de los profesores de matemáticas del plantel, encontrando a algunos y a otros no. Las instrucciones que llevaban consistían en formular cada una de las preguntas, o entregar el cuestionario a los profesores, en el caso de que así lo prefirieran. Por último, en una pieza de papel aparte, tenían que entregar a cada profesor una integral al azar del conjunto que se detalla más abajo. En el momento que el profesor la recibía, discretamente comenzaban a cronometrar, deteniendo la medición del tiempo en cuanto recibían la integral resuelta (o una negativa a hacerlo, que también se dio bastante).

Características de los profesores En la figura 1 se muestran las distribuciones de las características de los profesores en cuanto a escolaridad, que se obtuvieron en la encuesta.

Como se puede ver, la mayoría de los profesores estudiaron Matemáticas. De ellos, 59.1 % estudiaron en la UNAM, 13.6 % en el IPN, y un 23.3 % estudiaron en

15

Mefisto Física y matemáticas 4.17% Física12.5% Otras 12.5%

8.33% No contestó

62.5% Matemáticas

Figura 1. Carreras estudiadas por los profesores entrevistados.

Otras 25%

Física 8.33%

el 43.47 % lo hicieron en la UNAM. En la UAM lo hizo el 13.04 %, mientras que en el IPN un 8.79 %. Un 30.43 % hizo su maestría en otras instituciones, como la Universidad de Michigan, el Imperial College, la Universidad de Warwick, etc. En cuanto al doctorado, sólo un 16.67 % lo tiene terminado (la mayoría en la UNAM), aunque hubo un 20.8 % que aseguró estar próximo a concluirlo. Quizá para la fecha en que esto se esté leyendo, ya se habrán graduado.

Ahora se muestran las distribuciones de frecuencia que se tuvieron para la experiencia docente de los profesores entrevistados.

0

8

: escuela 2: 2 escuelas 3: 3 escuelas 4: 4 escuelas 5: 5 escuelas 6: 6 o más escuelas

6

16.67% No contestó (o no tiene) 50% Matemáticas

4

2

Figura 2. Maestrías estudiadas por los profesores entrevistados.

No tiene 83.33% (o no contestó)

0

2

3

4

5

6

Figura 4. Experiencia docente por número de escuelas donde han impartido clases.

3: 3 años 4: 4 años 5: 5 años 6: 6 años 8 7: 7 años 8: 8 o más años

0

6

4

12.5% Otros 4.17% Matemáticas Figura 3. Doctorados de los profesores entrevistados.

otras instituciones, como la UAM, U. de San Luis, U. de Colima y U. de La Habana. En cuanto a otros estudios, se tuvo que de los que estudiaron alguna maestría,

16

2

0

3

4

5

6

7

8

Figura 5. Experiencia docente por número de años que han impartido clases.

Como se puede ver, la mayoría de los docentes entrevistados tienen mucha experiencia docente, tanto en términos de tiempo, como en número de escuelas.

Mefisto De todos ellos, el 30.43% ha dado clases en escuelas privadas, el 43.47% ha dado clases a nivel bachillerato, el 4.2% ha dado clases a nivel posgrado.

Las integrales a resolver Las integrales que se dieron a los profesores, una a cada uno en forma aleatoria (obviamente que hubo repeticiones), fueron las de la figura 6.

Como podrá observar el lector, varias de las integrales dadas involucran una función impar en una región simétrica respecto al origen o en un periodo, por lo que su valor es cero. Esto se debería notar de un examen de la integral, sin necesidad de hacer cálculo alguno.

Otras integrales son impropias y divergen, resultado que también se obtiene de echar un vistazo a la integral sin hacer cálculos. El objetivo era ver si los encuestados eran capaces de darse cuenta de esto para la integral que se les planteara.

No resolvió correctamente 33.33% No resolvió 25%

41.67% Resolvió correctamente Figura 7. Desempeño en la solución de la integral.

Habilidades de los docentes Ahora se examinan los resultados del desempeño de los profesores para resolver las integrales que se les plantearon. Están divididos como sigue: a) aceptó o no resolverla, b) la resolvió bien o mal, c) tiempo que tardó en resolverla (independientemente de si lo hizo bien o mal). Esto se ilustra en la figura 7.

0: 0 a 1:59 minutos 2: 2 a 2:59 minutos . . .

20: 20 a 21: 59 minutos

6 5 4 3 2

0

Figura 6. Integrales que se dieron a los profesores para resolver.

0

5

0

15

Figura 8. Tiempo empleado en la solución de la integral.

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Mefisto a) De los 24 profesores encuestados, 6 no quisieron o no pudieron resolver la integral. b) De los restantes 18, solo 10 la resolvieron correctamente. c) En la figura 8 se muestran los intervalos de tiempo que tardaron en resolver la integral, sin tener en cuenta si es correcto o no el resultado hallado.

alumnas encargadas de aplicar las encuestas no sabían si el resultado estaba bien o mal, además de que no llevaron un registro de lo que hizo cada profesor (por supuesto, por el anonimato de las respuestas a los cuestionarios).

Análisis

Como se puede ver en los resultados anteriores, a pesar de que casi todos los profesores cuentan con el grado de maestría, y muchos tienen estudios de doctorado (aunque son menos los que han alcanzado el grado); además de que todos tienen va-rios años de experiencia, tanto en universidades públicas como privadas; el desempeño de los maestros deja muchísimo que desear. No es de sorprenderse pues, que a los alumnos les cueste trabajo examinar las propiedades de una integral, ya que ni siquiera los profesores lo hacen, por lo que tampoco les enseñan esto a sus alumnos.

De los datos mostrados, se infiere que la eficiencia al resolver correctamente la integral es demasiado baja.

En cuanto al tiempo, se observa que hay intervalos de tiempo demasiado grandes para resolver una integral tan sencilla como las que se mostraron anteriormente, y sólo hay algunos (muy pocos) casos en que el tiempo de resolución es menor que un minuto, el tiempo requerido para ver el valor de la integral si se examinan sus propiedades adecuadamente.

Observando que sólo hubo diez personas que resolvieron la integral correctamente, conviene mencionar que durante el semestre 2009-1 hubo 8 profesores que impartieron el curso de cálculo integral, de donde podemos presumir (no está claro que así sea, dado que se preservó el anonimato de los resultados) que quizá varios de los profesores que resolvieron el problema correctamente, eran de los que estaban impartiendo este curso durante el semestre en cuestión.

Por otra parte, si se toma en cuenta que los profesores que fueron capaces de resolver las integrales con tan sólo conocer sus propiedades fueron 2, vemos que ni aun siquiera los otros profesores que impartieron ese curso eran capaces de reconocer la integral, a pesar de estar enseñando ese curso. Esto último se escribe suponiendo que efectivamente fue correcto lo que se obtuvo, ya que no se tiene la relación entre los tiempos que cada profesor tardó en resolver la integral y lo correcto o no de la solución hallada, dado que las

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Conclusiones

Si lo anterior es absurdo en cualquier universidad, en el caso particular de la UACM esto muestra que la exigencia de algunos profesores hacia sus alumnos no corresponde con su propio desempeño, con lo que se contradice claramente la insistencia de algunos de ellos de que los alumnos que no sean capaces de aprobar un examen único para la materia no merecen pasar al siguiente curso. Esperamos que esto lleve a la reflexión a los profesores sobre la máxima de no pedir a sus alumnos algo que ni ellos mismos son capaces de hacer.

Referencias 1. Demidovich Problemas y ejercicios de análisis matemático Mir. Moscú, 1973.

2. Krasnov et al. Curso de matemáticas superiores URSS. Moscu, 2003 3. Piskunov Cálculo diferencial e integral Mir. Moscú, 1977.

Mefisto

Terremotos Fausto Cervantes Ortiz Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

Japón

Haití

El 11 de marzo de 2011, Japón sufrió un terremoto más, de los muchos que ha padecido ese país. La magnitud de este movimiento telúrico fue 9.0, lo que lo convierte en el peor que haya sido medido en Japón.

Como consecuencia del mismo temblor, hubo asociado un tsunami, que levantó olas hasta de diez metros, mismas que también llevaron barcos a tierra firme, con lo que se multiplicaron los destrozos. El hipocentro de este sismo se localizó a 24.4 km de profundidad y a unos 100 km al este de la costa en la prefectura de Miyagi.

El 12 de enero de 2010, Haití sufrió la peor tragedia que recuerde la gente de ese país: un sismo de magnitud 7.0 destruyó Port au Prince, capital de ese país, provocando más de 300 mil muertes, y dejando unos tres millones de damnificados (contando heridos, así como gente que se quedó sin patrimonio alguno, y en el desamparo total). El gobierno de Haití estimó que se colapsaron unas 250 mil residencias, así como unos 30 mil edificios comerciales. El hipocentro de este sismo se localizó a 13 km de profundidad y a unos 25 km al oeste de Port au Prince. Para el 24 de enero de 2010, se habían medido al menos 52 réplicas de magnitud 4.5 ó mayor.

Japón, segunda potencia económica del planeta, es un país acostumbrado a los terremotos y tsunamis, sin embargo, en este último fenómeno se reportan más de 10 mil muertos y un número de desaparecidos similar.

Por otra parte, en la prefectura de Fukushima hubo una explosión de un reactor nuclear, lo que provocó que se declarase el estado de emergencia atómica. En el mismo país que tuvo la desgracia de sufrir por primera vez en la historia un ataque nuclear, ahora la naturaleza provoca nuevamente un drama de dimensiones insospechadas. El gobierno de Japón declaró el evento la peor tragedia desde 1945.

Figura 1. Mapa de Japón, que muestra con un punto negro el lugar del epicentro del sismo de 2011.

Siendo Haití (en contraste con Japón) un país en vías de desarrollo, no acostumbrado a los terremotos, un temblor de magnitud mucho menor provocó daños muchísimo mayores que el sismo de Japón mencionado antes. Muchos países (incluyendo a México) respondieron al llamado de ayuda humanitaria, enviando alimentos, medicinas, equipo y personal de rescate, médicos, etc. Por otra parte, quedando tantas personas en el desamparo, varios países (México incluido) acogieron refugiados de ese país.

Figura 2. Mapa de Haití, que muestra con círculos concéntricos el lugar del epicentro del sismo de 2010.

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Mefisto

Canadá El 23 de junio de 2010, la capital de Canadá sufrió un sismo de magnitud 5.0, con hipocentro localizado unos 56 km al norte de Ottawa, a una profundidad de entre 16.4 y 19 km. Aunque un terremoto de magnitud 5 no está considerado como de gran intensidad, el gobierno declaró ese terremoto como el más potente en la región de Ottawa en por lo menos 65 años. Los efectos se sintieron en la mayor parte de las provincias de Ontario y Québec, así como en algunas regiones de los Estados Unidos.

No se reportaron muertes, ni daños materiales considerables, pero sí hubo un efecto psicológico importante en buena parte de la población. Los nativos declararon que era el primer terremoto que sentían en su vida, pero como la reciente historia de Haití seguía causando temores, algunos sufrieron crisis nerviosas.

Por otro lado, muchos inmigrantes (que en ese país constituyen una fracción enorme de la población total) rememoraban tragedias experimentadas en sus países de origen: los mexicanos el sismo de 1985, los chilenos el de marzo de 2010, los haitianos el mencionado anteriormente, etc.

Origen de los terremotos Un terremoto, como su nombre lo indica, es el movimiento del terreno, provocado por la sacudida de las placas tectónicas, al liberarse energía en el curso de

Figura 3. Mapa de Canadá, que muestra con un punto negro el lugar del epicentro del sismo de 2010.

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una reorganización brusca de la materia que forma la corteza terrestre. El punto en el interior de la Tierra donde se libera la energía se llama hipocentro, mientras que el punto sobre la superficie terrestre que está directamente encima se denomina epicentro.

El movimiento de un sismo se propaga sobre la superficie terrestre mediante ondas elásticas, que se clasifican en la forma siguiente: -Ondas longitudinales (u ondas P), que se propagan a velocidades entre 8 y 13 km/s, en el mismo sentido en que vibran las partículas. También se llaman ondas primarias (de ahí la P), porque son las primeras que se detectan.

-Ondas transversales (u ondas S), que se propagan a velocidades entre 4 y 8 km/s, en dirección perpendicular al movimiento de las partículas. También se llaman ondas secundarias, al ser las que se detectan en segundo lugar .

-Ondas superficiales, que son básicamente consecuencia de los reflejos e interacciones de las ondas P y S con la superficie, y son las que provocan la destrucción. Viajan a velocidades de unos 3.5 km/s.

Para medir la intensidad de un terremoto, la escala más usual en la actualidad es la de Richter, aunque algunos geofísicos la consideran obsoleta ( y por ello han introducido otras escalas).

Figura 4. Este sismograma muestra cómo primero llegan las ondas P y después las ondas S.

Mefisto

Frecuencia de los terremotos En la tabla 1 se enlistan los terremotos de magnitudes mayores que 7 que ha habido en lo que va del siglo XXI, mientras que la tabla 2 enlista los terremotos más intensos en un periodo equivalente a principios del siglo pasado.

Fecha 13 ene 2001 26 ene 2001 23 jun 2001 7 jul 2001 3 mar 2002 5 mar 2002 31 mar 2002 8 sep 2002 10 oct 2002 2 nov 2002 22 ene 2002 25 sep 2003 27 sep 2003 5 feb 2004 11 nov 2004 26 nov 2004 26 dic 2004 28 mar 2005 13 jun 2005 26 sep 2005 8 oct 2005 17 jul 2006 26 dic 2006 21 ene 2007 1 abr 2007 15 ago 2007 12 sep 2007 12 sep 2007 13 sep 2007 14 nov 2007 29 nov 2007 20 feb 2008 12 may 2008 2 sep 2008 29 sep 2009 30 sep 2009 12 ene 2010 27 feb 2010 11 mar 2011

País El Salvador India Perú Perú Afganistán Filipinas Taiwan Indonesia Indonesia Indonesia México (Colima) Japón Rusia Indonesia Indonesia Indonesia Indonesia Indonesia Chile Perú Pakistán Indonesia Taiwan Indonesia Islas Solomon Perú Indonesia Indonesia (réplica) Indonesia Chile Martinica Indonesia China Indonesia Samoa Indonesia Haití Chile Japón

Magnitud 7.6 7.6 8.4 7.6 7.3 7.5 7.1 7.6 7.5 7.2 7.5 8.3 7.3 7.0 7.5 7.1 9.3 8.6 7.8 7.5 7.6 7.7 7.0 7.5 7.0 8.0 8.5 7.9 7.1 7.7 7.4 7.3 7.9 7.0 8.1 7.6 7.0 8.8 9.0

Tabla 1. Terremotos más intensos del siglo XXI

El análisis de ambas tablas puede indicar que los terremotos de alta intensidad son más frecuentes en la actualidad que hace 100 años, pues en iguales periodos de tiempo se tienen 25 sismos en el siglo pasado contra 39 en este siglo. A esto se da como réplica que hace 100 años había menos instrumentos de medición que en la actualidad.

Por otro lado, observando que en el siglo pasado sólo hubo 3 sismos de magnitud mayor que 8, mientras que en este siglo ha habido 8 que sobrepasaron esa magnitud, dos de los cuales pasaron la magnitud 9, se puede inferir que ahora los terremotos son más intensos. A esto se da como réplica que en la actualidad los instrumentos son más precisos que en la primera década del siglo pasado.

Fecha 9 ago 1901 19 abr 1902 22 ago 1902 11 ago 1903 4 abr 1905 2 jun 1905 31 ene 1906 13 abr 1906 18 abr 1906 17 ago 1906 22 dic 1906 4 ene 1907 15 abr 1907 18 abr 1907 21 oct 1907 28 dic 1908 14 abr 1909 3 jun 1909 20 oct 1909 10 nov 1909 12 abr 1910 3 feb 1911 18 feb 1911 7 jun 1911 15 jun 1911

País Japón Guatemala China Grecia India Japón Ecuador Taiwan USA (Sn. Fco.) Chile China Indonesia México Filipinas Tayikistán Italia Taiwan Indonesia Pakistán Japón Japón Kasajstán Kirguistán México Japón

Magnitud 7.2 7.5 7.7 8.3 7.8 7.0 8.8 7.1 7.8 8.2 7.2 7.5 7.9 7.1 7.2 7.2 7.1 7.2 7.0 7.5 7.6 7.8 7.2 7.6 8.1

Tabla 2. Terremotos más intensos entre 1901 y 1911.

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Mefisto Se ha manejado como hipótesis que algunas pruebas nucleares pudieron ocasionar el reacomodo de las placas tectónicas que originaron algunos sismos. Asimismo, hay quienes proponen que los cambios en la presión atmosférica originados por el cambio climático, así como el reacomodo de las masas de hielo polares, podrían también tener como consecuencia movimientos telúricos. Aunque ninguna de tales hipótesis se ha confirmado satisfactoriamente, a la fecha tampoco se han descartado totalmente.

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Sean o no ciertas las hipótesis anteriores, lo que no está a discusión es que los terremotos actualmente son mucho más destructivos que en el siglo pasado.

Esto es porque en la actualidad las construcciones son mucho más sofisticadas, así que por lógica, entre más construcciones haya, más hay para destruir. Así pues, el propio avance tecnológico es causa de algunos efectos fatales de los movimientos naturales de la corteza terrestre.

Mefisto

Acertijos

1. Dos campesinas van al tianguis a comerciar. Cada una lleva en su canasta 30 manzanas. La primera de ellas trata de despacharlas a tres manzanas por $10, mientras que la segunda a dos manzanas por $10. Al encontrarse en el tianguis deciden asociarse y negociar las manzanas a 5 por $20. Pero cuando terminan de vender notan que sólo han logrado $240, cuando esperaban alcanzar $250, dado que de 30 manzanas a tres por $10 se obtienen $100 y de 30 manzanas a dos por $10 se obtienen $150. ¿Qué pasó con los otros $10?

nuevamente resultaran 21 por lado. Al otro día el dueño contó las botellas y no notó el hurto, creyendo que sólo habían sido desordenadas; así que el criado sustrajo otras cuatro botellas y redistribuyó las restantes para que siguiera habiendo 21 botellas en cada lado.

Esto se repitió hasta que fue imposible robar sin que se notara la ausencia de botellas, pues ya no era posible reacomodarlas para que dieran 21 por lado. ¿Cuántas botellas robó el criado? ¿Cuántos días tardó en hacerlo?

3. En lo alto de las paredes de un fuerte de forma cuadrada hay nueve torres de vigilancia. El capitán coloca a 16 guardias en las torres según la distribución de la figura 2, de tal manera que a cada lado hay cinco guardias vigilando. El coronel no está de acuerdo con esta distribución y los reacomoda de tal forma que en cada pared haya seis soldados vigilando. Finalmente, el general decide volver a cambiarlos, de manera que a cada lado haya siete guardias vigilando. ¿Cómo los distribuyó el coronel? ¿Cómo los redistribuyó el general?

Figura 1. Distribución inicial de las botellas del acertijo 2.

2. Un tendero tenía un armario cuadrado dividido en nueve secciones, como en la figura 1. Dejó la sección central libre y en las restantes colocó 60 botellas de aceite, distribuidas según se describe en la misma figura. Un criado notó que el dueño comprobaba la cantidad de botellas contando en cada lado y viendo que sumaran 21. Entonces el criado deshonesto robó cuatro botellas y distribuyó las restantes de modo que

Figura 2. Distribución inicial de los guardias del acertijo 3.

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Mefisto

Sudoku FĂĄcil 3 2

9 5

6

2

7 6

5

4

8

9 3 5

4

5

7

3

2

8

5

5 6 9

8

9

2 8

4 8

5

4

6

DifĂ­cil 9

7

5 6

3

2 8

6 5

3

9

2 8

6

4 5

24

3

7

9

4

2