GACETA MEFISTO 08

Mefisto Número 8

Octubre de 2013

Mefisto

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, capítulo xviii, verso 37.

En este número: Presentación

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El cielo de verano

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Burbujas 14

Daniel Maisner Bush

22:22

Isaí Moreno Roque

¡Que se acaba el mundo!

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Joel García León

6

Acertijos

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Frases célebres

11

Sudoku

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Fausto Cervantes Ortiz

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Mefisto

Presentación Daniel Maisner

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco En el año de los grandes nubarrones y el cielo sangriento, cambiarán los aires de nuestra universidad, Mefisto publicará un número memorable y vendrán tiempos mejores.

Así respondió una conocida pitonisa, quien solicitó permanecer en el anonimato, cuando le cuestionamos sobre el futuro de nuestra gaceta, y de nuestra querida casa de estudios.

A partir de esta profecía una fuerte polémica se desató al interior de nuestro comité editorial. Unos comentaban que la predicción ya se había cumplido, mientras otros considerábamos que aún no; los más optimistas argumentaban que todos nuestros números han sido memorables, a la vez que otros insistían que debíamos redoblar nuestros esfuerzos en cada número venidero, para que pronto llegaran los tiempos mejores. ¿Y los grandes nubarrones? Más polémica: unos dijeron que se refieren a alguna administración de la universidad, de la ciudad o del país; mientras que otros, de forma más literal, lo atribuyeron a una época de lluvias tan grandes, que se inundará toda la ciudad, volviendo los antiguos lagos a sus cauces, resurgiendo del cemento y saliendo de los entubados. ¿Y el cielo sangriento? ¿Es una alusión al polvo de la mina que tenemos frente al plantel? ¿O a alguna represión por venir? ¿O es simplemente un magnífico atardecer que nos regalará nuestra contaminada ciudad?

No logramos ponernos de acuerdo; pero de todas formas, hemos decidido emprender algunas acciones al respecto, que iremos revelando a nuestro querido público conforme sea conveniente. Por lo pronto, acordamos que el presente número incluyera dos aproximaciones a las múltiples predicciones del próximo fin del mundo, o al menos, de la suicida especie humana a la que pertenecemos .

Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector Dr. Enrique Dussel Ambrosini Secretario General Mtro. Ernesto Aréchiga Córdoba Coordinadora Académica Mtra. María del Rayo Ramírez Fierro Coordinador de Difusión Cultural Mtro. Miguel Ángel Godínez Gutiérrez Coordinadora del Colegio de Humanidades y Ciencias Sociales Dra. Tania Hogla Rodríguez Mora Coordinador del Colegio de Ciencias y Humanidades Mtro. Guillermo Antonio Flores Carbajal Coordinador del Colegio de Ciencia y Tecnología Mtro. Raúl Soto Peredo

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La primera, es una aportación del multifacético profesor de nuestra universidad Isaí Moreno, quien nos permitió reproducir el cuento 22:22, que escribió con motivo del fin de la humanidad, que debió acaecer el 21 de diciembre del 2012 y que resultó ser, o un error calendárico, o la mala interpretación de un irrefutable oráculo. Para quien no lo conozca, mencionaremos que Isaí es simultáneamente matemático y escritor, lo cual lo lleva inevitablemente a tener rasgos de ciencia ficción en sus escritos, además de llevar impreso un fino sentido del humor.

La segunda aproximación es del incrédulo científico y editor de nuestra gaceta, Fausto Cervantes, quien descaradamente niega las diversas evidencias de las verdaderas profecías que se han realizado sobre las catástrofes por venir, y nos platica acerca de amenazas reales de extinción de la especie humana por su habitual tendencia hacia la autodestrucción.

Cierra este número, además de las secciones acostumbradas, un artículo del profesor Joel García, que reproduce esencialmente el contenido de una plática que impartió en el seminario Café y Matemáticas, y que trata sobre las relaciones isoperimétricas (Aquí no hay oráculos, pero sí pensadores que desde una tina son capaces de reflexionar sobre problemas clásicos, y proponer nuevas respuestas y nuevas preguntas; así como complicaciones por la imposibilidad de la representación de más de tres dimensiones).

Finalmente, recomendamos a nuestro amado público que siga todos nuestros números, porque alguno, en un futuro no muy lejano, será memorable, y querrán evitar la vergüenza de no haberlo leído en su momento.

Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio Octavio Campuzano Cardona Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto http://gacetamefisto.webs.com Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

Mefisto

22:22 Isaí Moreno Roque

Academia de22:22 Creación Literaria Plantel San Lorenzo Tezonco Isa´ı

deb´ıa a otra cosa, igualmente delicada. Calma entonces, acot´e. A ver, d´ımelo m´as despacio. Su voz se soseg´o un poco y me comunic´o un incidente que acababa de ocurrirle. De nueva cuenta, poca claridad brot´o de sus labios, y no es que la ret´orica le escasease, pero sus palabras se enredaron consigo mismas, como trenzadas en una disputa perruna de la que se levanta inmensa polvareda. Del discurso pude colegir que su conflicto se refer´ıa a un bicho descubierto bajo la regadera. Para ser precisos, fue su novia quien hizo el hallazgo tras la puerta plegable de la ducha. Melina es adepta de la Luz del Mundo y quer´ıa estar atildada –l´ease pulcra, interpr´etese purificada– para el Rapto, por lo que decidi´o darse un buen ba˜ no. Ah´ı vio a la criatura, destacando entre el blancor de los mosaicos, he´ cho que de inmediato comunic´o a Salvatierra. Este hab´ıa decidido beber un vaso de leche, dijo, o as´ı lo deduzco, pues hambre no sinti´o durante el d´ıa, sino sed, por eso del estr´es referido. Se dispon´ıa a encender la TV, ansioso de mirar el aerolito y o´ır alguna indicaci´on u ´til para salvar el cataclismo, cuando Melina se le acerc´o, tom´o su hombro y dijo, como sintiendo culpabilidad: Amor, creo que esto no te va a gustar, pero hay un alacr´an en el piso de la regadera. De inmediato, me confes´o Jes´ us Salvatierra, corri´o insecticida en mano donde el suceso, con Melina pis´andole los talones. Lanz´o una nebulizaci´on del cilindro antiplagas, rico en elementos qu´ımicos alacranicidas. La alima˜ na se movi´o en direcci´on de Jes´ us, quien reaccion´o lanzando un gemido prolongado, agudo, que bien hubiese podido proferir una ni˜ na, no el hombre de treinta y ocho a˜ nos que conozco. Se sent´ıa, dijo desde su auricular, avergonzado de por vida ante su novia. Presto sinti´o avanzar el anquilosamiento por los tejidos musculares. ¡Par´alisis! Era natural en su persona debido a la aracnofobia adquirida en su ni˜ nez, cuando el veneno de un alacr´an circul´o por las venas de Pody, su french poodle, cost´andole la vida.

Que el ar´acnido avanzase un poco hacia ´el, inmu-

Qu´e mejor que el mundo no se entere de las nimias tragedias que, al final del d´ıa, aquejaron en cadena a Jes´ us Salvatierra. Cataclismos sin importancia, si viene al caso, aunque nada triviales para ´el, que magnifica lo microsc´ opico. En mi haber de conocidos, Salvatierra sobresale por dominar el arte de ahogarse en un vaso sin agua. Su llamada me extra˜ n´ o porque lo supon´ıa pegado a la TV mirando el show de pago por evento que transmite la llegada del meteorito a la atm´ osfera terrestre. Hace m´ as de un a˜ no la gente se ri´ o de las predicciones de nuestros ancestros, disemin´ o burlas y pitorreos en las redes sociales hasta que la NASA revel´o toda la mierda de informaci´ on que ocultaba, desparpajada y confusa, al grado que se escindieron las opiniones de los eruditos. Un bando de optimistas afirma que el astro s´ olo rozar´ a la atm´ osfera, obsequi´andonos una suerte de aurora boreal inofensiva y espectacular. El grupo de los pesimistas se divide en dos: 1) Los ’moderados’, inclinados por la postura de que el cuerpo caer´ a en altamar, elevando tsunamis que anegar´ an las costas del Pac´ıfico, dejando apenas dos millones de muertos. 2) El segmento ’radical’, cuya creencia supone al b´ olido cayendo en tierra a la altura de Utah, EE. UU., con secuelas inenarrables para la Humanidad. Kaputt! Ya les toc´o a los dinosaurios del jur´ asico, ahora a nosotros. Eso s´ı, qu´e bendici´ on que empiece con los mormones, dije a Salvatierra, quien no disfrut´ o de la iron´ıa y se dej´ o ahogar por el p´ anico de los cient´ıficos paranoicos, no sin acumular compras copiosas, tambi´en de pavor, para refugiarse con Melina en un r´ ustico b´ unker bajo su departamento. Conozco la esperanza de ambos de que los estragos no sean tan notorios en el DF, hecho por dem´ as risible. Tan luego descolgu´e el auricular, escuch´e la voz chillona de mi amigo, hablando apresurada y con atropello.

Est´ a bien, lo detuve, entiendo lo estresado que te encuentras, no es para menos. Se apresur´o a decir que no era por eso, es decir, s´ı, por el final de los tiempos tambi´en, pero que su preocupaci´on se 1

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Mefisto ven... Conozco a Melina desde hace a˜ nos y puedo hacer constar ante notario su apego a la naturaleza y defensa a ultranza de los derechos animales, formando parte de al menos un par de asociaciones. Es de las que recogen en la calle a un perro desamparado y lo llevan a casa, por m´as sarnoso que se encuentre. Mi amigo balbuce´o que tras un intervalo de silencio, en que no supo c´omo proceder´ıa su hermosa chica dentro, y pese a la par´alisis, le fue posible mover los pies para dirigirse al sof´a y desplomarse. Luego escuch´o el sonido del inodoro vaci´andose. A los pocos segundos, o minutos, Melina asom´o por la puerta y dijo que ya todo estaba bien y no deb´ıa preocuparse m´as. Lo mir´o con ternura antes de darse el regaderazo deseado. Esa fue la cuesti´on por la que Jes´ us me llam´o hace minutos, mientras el chorro benefactor ba˜ naba el cuerpo de su novia. Subray´o su preocupaci´on porque la presencia del ar´acnido, evolucionado o involucionado, hubiera sido alg´ un tipo de heraldo y su muerte empeorase los acontecimientos venideros.

ne al parecer al roc´ıo asesino, le hizo pensar que la suya ser´ıa una variedad imposible de clasificar para los bi´ ologos. Crey´ o distinguir en ´este un par de antenas diminutas –como las de las cucarachas, agreg´ o–, producto de vaya a saberse qu´e accidentes de la selecci´ on natural de las especies. Eso no importa. Aqu´ı s´olo incumbe que Salvatierra volvi´o a gritar como una peque˜ na de seis a˜ nos, y antes de retroceder para ser presa de la inmovilidad absoluta, logr´ o balbucir a Melina que no, que eso no pod´ıa permitirse, por el bien de ambos. Amor, dijo ella moviendo las trenzas de su cabello, imagino que entornando los ojazos caf´es y arrugado la nariz respingona, s´ olo quiero que lo saques al jard´ın.

Y Salvatierra casi se infarta, vali´endole un comino que el destino de la Humanidad estaba, est´a en una situaci´ on altamente cr´ıtica. Se expres´o a gritos entrecortados que esa abominaci´ on no deb´ıa continuar ah´ı. No. No debe quedar vivo. Ni puede. Quien sabe de d´ onde sali´ o para invadirnos, o c´ omo entr´ o aqu´ı, pero no puedo permitir que quede vivo. ¡Debe morir!, sentenci´ o. Luego rog´o a su amada: ¡Ay´ udame, coraz´ on, porque yo no puedo! ¡Enc´ argate t´ u! Al llegar a este punto en la narraci´ on telef´ onica de su cataclismo personal se le fue la voz, al parecer moque´ o y se qued´ o callado un instante, de tal suerte que pude echar un ojo al televisor. Por alguna raz´ on aparecieron las conejitas de Playboy bailando en el Yankee Stadium. ¿Recepci´ on del d´ıa del Juicio?, tal vez, pero las im´ agenes pasaron a una transmisi´ on en la que los primeros ministros de Corea del Norte y Corea del Sur manten´ıan un acercamiento. Entend´ı que de sobrevivir el mundo las dos Coreas se unificar´ıan.

Y Salvatierra volvi´ o a su narraci´ on desconsolada, dici´endome que una vez hecha su petici´ on a Melina, ella interpel´ o en favor de la criatura abyecta algo as´ı como Pero quiere vivir, Chucho, ¿no ves que quiere vivir? Jes´ us insisti´ o en lo abominable del animal, en sus antenas menudas explorando al frente, de modo avieso. Logr´ o salir del ba˜ no. Una vez en la sala se entreg´ o por completo a esa comuni´on con la inmovilidad, no sin antes cerrar la puerta.

En la pantalla de la TV distingu´ı al vicepresidente de los EE. UU. dirigiendo un mensaje al mundo, despidi´endose quiz´ a, mas lo que hubiese sido result´ o inaudible para m´ı ante la voz angustiada de Salvatierra, en referencia a c´ omo, mientras ´el yac´ıa paralizado, Melina habl´ o al bicho. Ven chiquito,

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(Quiero hacer un par´entesis filos´ofico aqu´ı. Es sabido que la tragedia se soporta mejor en tanto es colectiva y no personal, verbigracia, los cataclismos. Esta ma˜ nana me machuqu´e el pulgar con la puerta del coche y mi tragedia es s´olo m´ıa. Esta noche Salvatierra no distingue que Melina contravino sus principios altruistas por amor a ´el y su tragedia es s´olo suya. Ni Jes´ us me reconfortar´ıa deseando la salud de mi pulgar doliente ni yo a ´el motiv´andolo, pues en ambos casos no nace desde el interior la conexi´on emocional debida. De ah´ı que lo que dijese a mi amigo, por m´as sincero en su contenido y forma, no encontrar´ıa la recepci´on adecuada.

(Perm´ıtaseme un par´entesis dentro del par´entesis: Soy dionis´ıaco y Salvatierra apol´ıneo, por tanto, a decir de Nietzsche, distamos de compartir el mismo sentido de lo tr´agico)).

Deja de atormentarte, querido Jes´ us, le conmin´e mirando el reloj. Es verdad que tenemos a la vuelta de la esquina acontecimientos decisivos para la Humanidad, pero cr´eeme, ninguno de nosotros es tan importante para lo que sea que ocurra. Haz como yo: desc´orchate un vinito en tu b´ unker mientras esperas a que Melina salga de la ducha, te aseguro que bien lo vale. Justo terminaba mi sugerencia cuando se oy´o desde la regadera la voz presurosa, francamente atribulada de Melina. ¡Querido... acaba de irse el agua y estoy llena 2

regrese... Pensaba colgar a la de ya mismo, sabedor de que no era ´ese un gesto civilizado. Mi mente fue invadida por la imagen de Melina y Salvatierra, a Mefisto los que quise imaginar como una pareja rom´antica, en el sentido tr´agico alem´an, por supuesto, para ser sumados a la lista de pares emblem´aticos como Marco Antonio y Cleopatra, Romeo y Julieta, etc´etera. Menudas ocurrencias las m´ıas, me estaba poniendo sensible al grado que mir´e el reloj de pulsera para registrar el suceso en mi mente, nada despreciable por la hora cabal´ıstica que se˜ nalaban las manecillas: las 22:22 horas. En momentos de tanta simetr´ıa pueden elaborarse plegarias afortunadas. Te dejo, sopl´e a Salvatierra, y no te apures tanto porque ante el Cosmos, nuestro hogar, estaremos siempre confesados. ¡Hab´ıan dado ya las 22:23! Qu´e importaba. Corr´ı por los binoculares con la certeza viva de que al ingresar alg´ un cuerpo celeste a la atm´osfera, con el despido consecuente de luz, el deseo que se pida ser´a cumplido.

de jab´ on! A´ un alcanc´e a o´ır un gemidito de Salvatierra. ¿Qu´e har´e ahora?, me pregunt´ o a punto de una crisis. Era momento de colgarle porque a trav´es del televisor empez´ o a perfilarse la cauda del astro y record´e mis binoculares guardados en el bur´o.

Nada iba a impedirme admirar el espect´aculo en los bordes del cielo defe˜ no, incluso invit´e a Jes´ us Salvatierra a imitarme, haci´endolo part´ıcipe de un ritual. ¿Pero c´ omo dejar a Melina enjabonada en el ba˜ no?, refunfu˜ n´ o ´el, adem´ as no creo que el agua regrese... Pensaba colgar a la de ya mismo, sabedor de que no era ´ese un gesto civilizado. Mi mente fue invadida por la imagen de Melina y Salvatierra, a los que quise imaginar como una pareja rom´antica, en el sentido tr´ agico alem´ an, por supuesto, para ser sumados a la lista de pares emblem´ aticos como Marco Antonio y Cleopatra, Romeo y Julieta, etc´etera. Menudas ocurrencias las m´ıas, me estaba poniendo sensible al grado que mir´e el reloj de pulsera para registrar el suceso en mi mente, nada despreciable por la hora cabal´ıstica que se˜ nalaban las manecillas: las 22:22 horas. En momentos de tanta simetr´ıa pueden elaborarse plegarias afortunadas. Te dejo, sopl´e a Salvatierra, y no te apures tanto porque ante el Cosmos, nuestro hogar, estaremos siempre confesados. ¡Hab´ıan dado ya las 22:23! Qu´e importaba. Corr´ı por los binoculares con la certeza viva de que al ingresar alg´ un cuerpo celeste a la atm´ osfera, con el despido consecuente de luz, el deseo que se pida ser´ a cumplido.

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Mefisto

¡Que se acaba el mundo!

Fausto Cervantes Ortiz

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco El 21 de diciembre de 2012, el mundo se acabó por n-ésima vez. Como cada vez que se acaba el mundo, en esta ocasión también hubo gente que se dedicó a tratar de hacer cundir el pánico (en algunos casos, con éxito), otros que aprovecharon para hacer sornas acordes al suceso, unos más para hacer dinero... Pero, a la fecha, el mundo sigue su curso.

La religión Históricamente, el mundo se ha terminado tantas veces, que es imposible llevar la cuenta. Sin embargo, hay algunas que se han documentado debido a la importancia que tuvieron en su momento.

Las crónicas de los sumerios en el poema de Gilgamesh preservan la leyenda del diluvio (que más tarde plagiarían los hebreos en la historia del Arca de Noé) como una importante memoria de un fin del mundo particular. También otros pueblos tuvieron fines del mundo que se conservan en leyendas, pero la era cristiana hizo que esto se volviera costumbre de cada generación (de ahí nace la Escatología como materia de estudio).

Si yo quiero que él quede hasta que yo venga, ¿qué a tí?

Juan 21:22.

Pero las generaciones pasaron y nada de lo anunciado sucedió.

De cierto os digo que no pasará esta generación, que todas estas cosas no sean hechas.

Marcos 13:13.

Cuando los españoles invadieron América en 1492, obligaron a los nativos a dejar sus antiguas creencias y convertirse al catolicismo. También, algunos frailes compilaron las historias de algunos pueblos, o les enseñaron a escribir en español y los persuadieron para que escribieran sus historias.

Producto de lo anterior son los códices y otros textos, como el Popol Vuh. Sin embargo, es imposible ignorar la influencia de las doctrinas católicas, bastante extendidas por la época en que se escribieron los textos referidos, al mencionar hechos como el de que Quetzalcóatl era hijo de una virgen, que hubo un diluvio, etc. Por ello, es muy difícil establecer cuáles historias del fin del mundo son legítimamente originales de los pueblos autóctonos, y cuáles fueron importadas de Europa, y por ende de la mitología hebrea y otras mitologías europeas y asiáticas.

De cierto os digo, que no pasará esta generación hasta que todo sea hecho.

Lucas21:32.

Posteriormente, conforme el cristianismo fue tomando diferentes matices en todo el mundo, y

Según la Biblia, Jesús anuncia el fin del mundo en reiteradas ocasiones, dando como plazo para ello una generación: Hay algunos de los que están aquí, que no gustarán la muerte, hasta que hayan visto al Hijo del hombre viniendo en su reino.

Mateo 18:28.

De cierto os digo que todo esto vendrá sobre esta generación.

Mateo 23:36.

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Mefisto surgieron múltiples denominaciones y sectas, cada una dio su propia profecía del fin del mundo. Los Testigos de Jehova anunciaron a principios del siglo XX que el mundo se acabaría en 1914. Después de tal año, y al ver que el mundo no se había acabado, en lugar de reconocer su error, insistían en que el mundo se había acabado pero no nos habíamos dado cuenta. Recientemente, los Testigos de Jehova ya reconocieron su error, probablemente para anunciar una nueva fecha del fin del mundo.

En los años recientes, algunas personas veían en el derrumbe de la URSS una señal inequívoca del fin del mundo, que finalmente no llegó, pero que en su momento tuvo bastante resonancia. Alguien incluso identificó a Gorbachov con el anticristo (Robert W Faid). Las “profecías” tampoco en este caso se cumplieron (pero las religiones ganaron muchos adeptos después de la caída de la URSS), y el mundo siguió su curso.

a nivel mundial, incluyendo a México, fue el de las profecías de Noatradamus.

En 1655 se publicó el libro “Las verdaderas centurias astrológicas y profecías”, de Michel de NôtreDame, mejor conocido por la forma latinizada de su nombre, Nostradamus. A partir de sus cuartetas, mucha gente se ha dedicado a leer y ajustar los sucesos del diario acontecer mundial a alguna de ellas. Profecías a la inversa, le llaman algunos.

Por ejemplo, después del ataque terrorista a las torres gemelas en Nueva York el 11 de septiembre de 2001, muchos escatólogos ajustaron cuartetas de Nostradamus para decir que éste había previsto tal suceso. Pero, ¿de verdad fue así? Juzgue el lector.

La cuarteta en cuestión se lee:

Sin embargo, hasta la fecha las diferentes religiones cristianas continúan manipulando números para ajustar fechas del fin del mundo y de la segunda venida de Jesús a la Tierra, y llamando al arrepentimiento. Es imposible llevar la cuenta de las profecías no cumplidas. Una de las más recientes ocurrió en el año 2000, cuando a las profecías religiosas se sumó la amenaza informática del llamado “efecto 2000”, que como se vio, fue tan cierta como las religiosas.

Cinco y cuarenta grados el cielo quemará, Fuego se acerca a la gran ciudad nueva: A pesar de las “profecías” no cumplidas, las reli- En un instante una gran llama dispersa saltará, giones y sectas han tenido a últimas fechas muchas Cuando se querrá hacer prueba de los Normandos. nuevas predicciones del fin del mundo, basándose en diferentes fuentes, mismas que tampoco se han Ahora bien, si el lector hubiese leído esta cuarteta cumplido, pero que han generado fabulosas ga- el 10 de septiembre de 2001, ¿hubiera pensado de nancias a sus proponentes. inmediato: “mañana unos terroristas van a estrellar unos aviones contra las torres gemelas en Nueva York”?

Nostradamus Después de que las Torres Gemelas de Nueva York se derrumbaran, aparentemente a causa de los incendios provocados por dos aviones que se estre-llaron contra ellas (hay serias dudas de que esa haya sido la causa real, pero no analizaremos esa postura aquí), uno de los libros más vendidos

Los detractores de Nostradamus también tienen algo que decir: La latitud de “cinco y cuarenta” así como la gran “ciudad nueva” se pueden aplicar a Nueva York. Pero Nueva York se encuentra debajo del 41° paralelo. Además, la palabra “cité neuve”, ciudad nueva, es el nombre de una ciudad francesa

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Mefisto que por coincidencia se encuentra en la misma latitud. “Hacer prueba de los Normandos” se interpreta en muchas maneras; “Normandos” se puede aplicar a residentes de Norteamérica, Inglaterra, o Francia. En cuanto a la frase “Hacer prueba”, ¿necesariamente implica muerte?

Como la anterior, las otras cuartetas de Nostradamus consideradas proféticas son extremadamente ambiguas, imprecisas, confusas, e igualmente se pueden aplicar a muchos otros acontecimientos con la misma “precisión” profética. Asimismo, tales profecías se pueden “reinterpretar” posterior- Esto supone peligro inminente para las comunimente, para corregir errores en las primeras inter- dades aledañas, que ya tuvieron eventos destructipretaciones en caso necesario. vos en el año 2000.

Vemos entonces que, ni las “profecías” religiosas, ni las que provienen de otra clase de creencias místicas, han resultado acertadas. Por ello, resulta harto incomprensible para el ser humano racional que aun haya gente que crea a pie juntillas en tales supercherías.

Las verdaderas amenazas a la vida Los meteoritos Como se estudió en el número 7 de Mefisto, dos eventos muy cercanos uno del otro nos recordaron que no estamos exentos de una nueva catástrofe cósmica como la que aparentemente provocó la extinción de los dinosaurios. La caída sobre la superficie terrestre de un meteorito del tamaño del asteroide 2012 DA14 es una posibilidad real de peligro para la vida sobre la Tierra.

Los volcanes Como ya se examinó en el número 3 de Mefisto, la actividad volcánica ha afectado frecuentemente las actividades humanas en forma significativa, debido a una creciente intensidad en las manifestaciones de tales fenómenos. En los últimos meses, el volcán Popocatépetl ha registrado actividad constante, que ha provocado la caída de ceniza en las áreas vecinas, incluyendo a la Ciudad de México.

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Los terremotos En Mefisto 1 se compara la actividad telúrica del siglo 20 y el siglo 21, observándose un aparente aumento en un orden de magnitud en la intensidad de los terremotos. Esta clase de fenómenos ha ocasionado tragedias terribles tanto en países donde no estaban preparados por la ausencia de sismos durante la historia conocida, como en países que históricamente siempre han estado preparados.

Los huracanes Los huracanes Katrina (2005), Sandy (2012) y otros han causado serios estragos en diferentes ciudades de los Estados Unidos, cuyos gobierno finalmente parece entender que el cambio climático es una amenaza real para todo el mundo, incluidos ellos, a pesar de su gran potencial militar y económico.

En futuras entregas de Mefisto se analizará más ampliamente esta clase de fenómenos.

El cambio climático Mucho se ha hablado del tema en múltiples medios de información, y continúa la discusión sobre si la civilización contribuye al mismo o si es un fenómeno natural inevitable. Casualmente, los que más contribuyen a la emisión de gases de efecto invernadero, son quienes rechazan que el ser hu-

Mefisto mano contribuya a este cambio. Mientras que los países de la Unión Europea discuten qué acciones tomar, Estados Unidos aún debate si ellos son o no parte de la causa.

Lo que es innegable es que el planeta se está calentando en forma acelerada. Los glaciares en los polos y las montañas altas están disminuyendo sus niveles en forma alarmante, mientras que las temperaturas invernales en Europa están provocando mortandad como no se recuerde con anterioridad.

Este problema se examinará en otras entregas de Mefisto.

La guerra Es indiscutible que por todo el mundo hay guerra: Irak, Afganistán, Palestina, Israel, Líbano, Siria, Congo, Somalia, Myanmar y un largo etcétera. En meses recientes ha llamado la atención el caso de Corea del Norte.

El 17 de diciembre de 2011, Kim Jong-Il, hasta entonces líder de Corea del Norte, muere, heredando el cargo a su hijo Kim Jong-Un. Corea del Norte es un país de contrastes, que lo mismo gana medallas de oro en los juegos olímpicos (en 2012 ganó 4 medallas de oro, contra 1 de México, país “democrático”) o en las olimpiadas de matemáticas (este año ganó 2 oros y cuatro platas, contra cero oros, tres platas y tres bronces de México), que raciona la electricidad con apagones programados por horario (en México no hay apagones, pero la electricidad se cobra a precios millonarios, sobre todo después de la extinción de Luz y Fuerza del Centro).

Durante el gobierno de Kim Jong-Il, Corea del Norte desarrolló un programa nuclear que lo llevó a obtener la bomba atómica, razón por la cual la ONU sancionó a esa nación.

Desde los años de Kim-Il Sung como presidente de Corea del Norte, las naciones de occidente bloquearon todo comercio con esa nación, lo que la llevó a un aislamiento similar (o peor) al de Cuba.

Y lo mismo que en Cuba, la publicidad imperialis-

ta exagera los problemas del país como una medida de propaganda anticomunista. Ese estado de aislamiento continuó con Kim Il-Jong, a pesar de que algunos esperaban que con la muerte de Kim Il-Sung las cosas tal vez cambiarían.

De Kim Jong-Un también se esperaba un cambio en las políticas tanto interna como externa, dado que éste estudió en Suiza, pues se pensaba que haría honor a su educación occidental e impulsaría la democratización de Corea del Norte.

El 29 de marzo de 2013, el líder supremo de Corea del Norte declaró estado de guerra con Corea del Sur y sus aliados (comenzando, por supuesto, con EUA), debido al sobrevuelo sobre suelo norcoreano de naves de guerra estadunidenses.

Sabedores de la posesión de la bomba atómica por parte de Corea del Norte, Estados Unidos no envió tropas inmediatamente después de esta declaración. Lo más que ocurrió fue que se sucedieron declaraciones de presidentes y primeros ministros condenando la posibilidad de una guerra.

La crisis de 2013 en Corea fue una escalada de tensiones que se desencadenó en febrero de este año, debido a una prueba nuclear realizada por parte de Corea del Norte en respuesta a la resolución 2087 del Consejo de Seguridad de la ONU solicitada por Estados Unidos, que la sancionó por el lanzamiento del satélite Kwangmyongsong-3.

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Mefisto La prueba nuclear llevó a Estados Unidos a solicitar nuevamente al Consejo de Seguridad la aplicación de más sanciones contra el gobierno norcoreano, lo que se produjo a través de la resolución 2094.

Días después, Corea del Sur y EUA anunciaron que se reforzarían las maniobras militares conjuntas que llevan a cabo anualmente. En respuesta a estas maniobras, Corea del Norte anuló el pacto de no agresión que mantenía con Corea del Sur y cortó las líneas de comunicación directas con su vecino.

El 29 de marzo, dos bombarderos B-2A estadunidenses con capacidad nuclear lanzaron proyectiles frente al mar de Corea, lo que fue considerado por Pionyang como el inicio de la guerra contra su nación.

A mediados de abril, tanto Corea del Sur como Corea del Norte realizaron propuestas para iniciar el diálogo entre las partes, pero no han sido aceptadas por sus contrapartes por las condiciones iniciales para reunirse.

Desde el fin de la Guerra de Corea con un armisticio en 1953, la tensión en la península coreana nunca ha desaparecido, debido a la sucesión de diversos movimientos militares a ambos lados de la frontera y en los mares adyacentes por parte de los dos países y el resto de potencias regionales.

Sin embargo, después de haber llamado la atención internacional, el 15 de junio de 2013, Corea del Norte hace un llamado a “conversaciones de alto nivel” con EUA, a fin de “aliviar la tensión en la península coreana”. Aparentemente, como algunos comentaran durante la guerra de declaraciones, Kim Jong-Un sólo trataba de llamar la atención internacional sobre su país.

El problema con una guerra entre Estados Unidos y Corea del Norte es la indiscutible posesión de la bomba atómica por ambas partes, razón por la cual EUA no ha procedido como en los casos de Afganistán e Irak, donde la invasión no resultó un problema por la certeza de que no había arsenal suficiente para contrarrestar un ataque directo. Un ataque nuclear, en cualquiera de las dos direccio-

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nes posibles, acabaría con millones de vidas en un abrir y cerrar de ojos. Hasta el país con la mayor industria de guerra del mundo se va con tiento en un caso así.

Conclusión Esta es, pues, la situación de la vida en la Tierra, y la de la humanidad. Vemos que aunque las amenazas reales están aquí, visibles y tangibles, el ser humano de inteligencia promedio prefiere hacer más caso de las amenazas religiosas y místicas que de los problemas reales. Recientemente, el diario La Jornada publicó un artículo titulado Mexicanos confían más en la fe, la magia y la suerte que en la ciencia. ¿Nos dice algo esto?

Hay más gente interesada en saber qué deberes religiosos cumplir, o qué signos astrales obedecer, que en saber cómo modificar sus hábitos de vida para disminuir la emisión de gases de efecto invernadero.

Referencias Drew, Patrick. 101 Places to Go Before They Disappear. Harry N. Abrams. New York, 2011.

Biblia Reina-Valera de 1909. SBU. Miami, 2009.

Asimov, I. y Pohl, F. La ira de la Tierra. Ediciones B. Barcelona, 1994.

Faid, Robert W. Gorby, el anticristo. Revista Nexos, 01 de julio de 1989.

Diario La Jornada.

Wikipedia, the Free Encyclopedia.

Mefisto

Frases célebres

Nuestros programas de vigilancia y seguridad nos ayudan a prevenir ataques terroristas.

¿Por qué será que uno se siente tan inseguro con tanta seguridad?

Barack Obama (1961 - ) Político estadunidense.

David Brooks (1961 - ) Periodista estadunidense.

La gente dice que reflexiono mucho sobre sexo y mujeres; pero a decir verdad, ¿qué otra cosa hay más importante?

Un intelectual es alguien que ha encontrado algo más importante en qué pensar que el sexo.

Auguste Rodin (1840 - 1917) Escultor francés.

Edgar Wallace (1875 - 1932) Escritor inglés.

Dejad á los niños, y no les impidáis de venir a mí; porque de los tales es el reino de los cielos.

Bienaventurado el que tomará y estrellará tus niños contra las piedras.

Mateo 19:14

Salmo 137:8

Jesús (4 A. C. - 29 D. C.) Rey de los judíos.

David (1040 - 970 A. C.) Rey de Israel.

11

Mefisto

El cielo de verano Fases de la Luna Luna nueva 6 de agosto 5 de septiembre 4 de octubre Cuarto creciente 13 de agosto 12 de septiembre 11 de octubre Luna llena 20 de agosto 19 de septiembre 18 de octubre Cuarto menguante 28 de agosto 26 de septiembre 26 de octubre

12

Mefisto Planetas Mercurio en Géminis Venus en Leo Marte en Géminis Júpiter en Géminis Saturno en Virgo Urano en Piscis Neptuno en Acuario

Lluvias de estrellas Delta Acuáridas 28 y 29 de julio Perséidas 12-13 de agosto Dracónidas 7 de octubre

13

Mefisto

Burbujas

.

Joel García León

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

I.

Burbujas

nos treinta del siglo pasado, el Mathematical Institute of Applied Richard Courant1 fund´o, a finales de los a˜ Mathematics para la Universidad de New York, USA. Desde 1964, el Instituto lleva su nombre: Courant Institute (ver obra de Preston [7]).

Figura 1: Richard Courant Existen algunas an´ecdotas que, por “irrelevantes”, son olvidadas en la historia oficial de algunos personajes.

He aqu´ı una de ellas: Courant invert´ıa horas en la ba˜ nera. Por supuesto no s´ olo fue el placer de regresar a la edad del feto2 : aprovechaba el descanso y el reposo para pensar en problemas matem´ aticos. Seg´ un cuentan algunos estudiosos de este asunto, pasaba horas produciendo burbujas de jab´ on. Cierto o no, esta aparente ociosidad trae consigo la siguiente pregunta: ¿Por qu´e las burbujas tienen forma esf´erica?

Existen al menos dos respuestas a la pregunta original, rastreadas a lo largo de la historia de la ciencia: 1. F´ısica: Hay dos fuerzas actuando, una interior y la otra exterior. Ambas tienen la misma magnitud y direcci´ on (es decir, son paralelas), pero con sentido contrario. Su suma vectorial (la resultante) es cero.

1 (1888-1972) Matem´ atico alem´ an de origen polaco, miembro del Partido Social-Dem´ ocrata de Alemania -de corte Socialista- y ex-combatiente en la Primera Guerra Mundial. Exiliado pol´ıtico al inicio de la Segunda Guerra Mundial.

2 Seg´ un algunos analistas, el placer por la ba˜ nera es una regresi´ on psicol´ ogica al estado fetal, adem´ as de un descanso recomendado.

14

1

Mefisto Para entender esta respuesta necesitamos conocer un poco sobre c´alculo vectorial simple: cada fuerza act´ ua de tal manera que una es el inverso aditivo de la otra. Entonces la forma obtenida -la esfera-, es la superficie que permite el “equilibrio”entre ambas.

2. Geom´ etrica: En realidad este es un replanteamiento de un problema que proviene desde la antig¨ uedad, llamado problema isoperim´etrico, su forma cl´ asica se puede plantear de dos maneras equivalentes: a) De las figuras geom´etricas con ´area dada, encontrar la que minimiza el per´ımetro3 . b) De todas las figuras geom´etricas con per´ımetro dado, encontrar la que maximiza el ´ area.

La respuesta a este problema era conocida desde la antig¨ uedad por los babilonios, los egipcios y todas las culturas que cultivaron la arquitectura, la astronom´ıa, la poes´ıa y las matem´ aticas, entre otras.

En el plano, la figura que resuelve el problema isoperim´etrico es el c´ırculo; mientras que en el espacio, la soluci´ on es dada por la esfera. Este problema aparece, junto con su soluci´ on, en diversos trabajos. Algunos son leyenda, como el caso de la reina Dido, quien construy´ o su reino a la orilla del mar, sabiendo cu´ al es la longitud de su frontera y, por tanto, su territorio tiene forma semicircular. Algunos otros han llegado a nuestros d´ıas como referencia hist´orica u ´nicamente.

Los antiguos sugieren la siguiente respuesta (claro, interpretada de manera moderna por nuestra cultura occidental): si tomamos una figura con el ´area dada, digamos representada por el n´ umero A, entonces al trazar una recta que divida en dos partes iguales el ´ area, num´ericamente representada por A , una parte del per´ımetro 2 queda del lado de una regi´on y la otra del lado contrario. Al reflejar sobre dicha recta el per´ımetro menor, obtenemos una nueva figura que tiene la misma ´ area como n´ umero, pero con menor per´ımetro; esto es, la nueva figura es sim´etrica respecto a esta recta. Por tanto, si procedemos del mismo modo para cualquier recta que cumple esta propiedad, la figura debe ser sim´etrica en toda direcci´ on; dicho de otra manera, la figura debe ser el c´ırculo.

La cultura Griega conoc´ıa perfectamente el c´ırculo y su per´ımetro: la circunferencia. Las leyes que propusieron hoy en d´ıa parecen un juego de ni˜ nos de escuela primaria. Por ejemplo, si dividimos la longitud del per´ımetro entre el di´ametro, el resultado es el n´ umero π, del cual hasta el momento se han calculado varios millones de d´ıgitos. En t´erminos num´ericos, esto significa 2πr = π.

2r Otra propiedad no tan obvia es: si tomamos el cuadrado del per´ımetro y lo dividimos entre el ´ area, el cociente resulta una constante. En n´ umeros tenemos: (2πr)2 = 4π. πr2

(1)

Esta u ´ltima ecuaci´on ya no resulta transparente para todos. Sin embargo, es su sencillez y belleza la que atrae a propios y extra˜ nos. El n´ umero 4π es conocido como constante isoperim´ etrica para el plano. La pregunta obligada es: ¿Cuales figuras geom´etricas cumplen la igualdad (1)?

Para buscar una respuesta es necesario hacer notar que, si denotamos por ℓ el n´ umero que representa el per´ımetro y A el ´area, la pregunta se convierte en la siguiente: 2

¿Cuales figuras geom´etricas cumplen la igualdad ℓA = 4π?

La respuesta tambi´en es conocida: s´olo el c´ırculo satisface dicha igualdad. Sin embargo, cualquier otra figura satisface la desigualdad: ℓ2 ≥ 4π, (2) A o bien ℓ2 ≥ 4πA. (3) De este modo, tenemos una propiedad gen´erica de las figuras geom´etricas: 3 Por per´ ımetro se entiende en ocasiones la longitud del borde de una figura geom´ etrica, aunque tambi´ en se sobre-entiende simplemente como el contorno. Aqu´ı usaremos ambas aseveraciones mientras el contexto permita su claridad.

2

15

Mefisto Proposici´ on I.1 Toda figura regular satisface la desigualdad (3). A esta desigualdad se le conoce como desigualdad isoperim´ etrica. El n´ umero 4π se conoce como constante isoperim´etrica en el plano.

Si buscamos alguna propiedad similar para los cuerpos s´ olidos, tenemos que limitarnos por el momento a la esfera. En este caso su volumen esta dado por 43 πr3 , mientras que el ´ area de su superficie es 4πr2 .

Aqu´ı obviamente tenemos el problema de los exponentes. El ejemplo anterior fue sencillo, pues bastaba con elevar al cuadrado, sin embargo aqu´ı tenemos dos exponentes: 2 y 3, lo cual no nos parece familiar. Sin embargo, se puede salvar el punto. Si A denota el ´ area de superficie y V el volumen, tenemos una forma de comparar; ´esta es: A3 y V 2 . Notemos entonces: 3

2 3

2

A = (4πr ) = 3 4π

4 3 πr 3

2

= 32 4πV 2 .

As´ı, con esta forma de comparar, tenemos la desigualdad isoperim´etrica para los cuerpos planos y s´ olidos.

Proposici´ on I.2 El plano y el espacio satisfacen la propiedad isoperim´etrica, pues cumplen la siguiente ley: 1. Las figuras planas satisfacen la desigualdad: ℓ2 ≥ 4πA. 2. Todo cuerpo geom´etrico s´ olido satisface la desigualdad: A3 ≥ 32 4πV 2 .

Una observaci´ on pertinente: En matem´ aticas, el plano lo denotamos por R2 , mientras que el espacio es 3 reconocido con el s´ımbolo R .

Parece que no tiene sentido en primera instancia; sin embargo, no es as´ı. El preguntarse: R2 es un plano y por tanto lo podemos pensar como de dimensi´ on dos, y el espacio como dimensi´ on tres, ¿se puede pensar en una dimensi´ on superior? La respuesta la obtenemos en diversas ramas de las matem´ aticas, como el ´ algebra lineal y la geometr´ıa diferencial.

II.

El problema de la dimensi´ on

El artista renacentista Alberto Durero (Albrecht D¨ urer, 1471-1528), en sus Instituciones en Geometr´ıa (ver [4]), nos define de una manera simple la diferencia entre el plano y el espacio: Empecemos con las m´ as simple de las ideas, para medir la longitud, se necesita s´ olo una cantidad, digamos ℓ.

Para medir la regi´ on plana, se necesitan dos cantidades, la primera denominada longitud y usamos al igual que antes la letra ℓ para representarla. La segunda cantidad es la anchura, representada con a. De este modo, si consideramos cu´ an grande es la regi´ on rectangular comprendida, la cantidad es el producto a · ℓ.

Para medir cu´ al es la capacidad en el espacio, necesitamos de manera obvia tres cantidades: la longitud ℓ, la anchura a y la profundidad p. De este modo, calcular dicha capacidad para un paralelep´ıpedo es lo mismo que calcular un triple producto p · a · ℓ.

No es in´ util destacar que Durero habla de cantidades que hoy conocemos con otros nombres: distancia, ´ area y volumen. Esta precisi´ on del artista nos pone en la puerta del problema matem´ atico llamado dimensi´ on: la recta tiene dimensi´ on uno, el plano dimensi´ on dos, y el espacio dimensi´ on tres. Esta idea no es contradictoria con la idea geom´etrica del significado de dimensi´ on: un punto genera un espacio de dimensi´ on cero; seg´ un

16

3

Mefisto Euclides, la recta es generada por dos puntos, el plano es generado por tres puntos y el espacio es generado por cuatro puntos, y as´ı de manera recurrente generamos espacios de dimensi´ on mayor4 .

Como vemos, la dimensi´ on entonces est´ a relacionada directamente con cantidades de n´ umeros necesarios para describir los cuerpos metidos en ese espacio. De esta manera podemos ordenarlos en funci´ on de n´ umero de cantidades: respetando la notaci´ on de Durero tenemos: (ℓ) dimensi´ on uno, (ℓ, a) dimensi´ on dos y (ℓ, a, p) dimensi´ on tres. Si continuamos “de manera recurrente”, con cuatro cantidades tenemos dimensi´ on cuatro, con cinco dimensi´ on cinco, etc. Tambi´en si seguimos con nuestros modelo de letras representado n´ umeros, estaremos condicionados a no pasar de dimensi´ on veintinueve, por ello necesitamos crear nuestra propia notaci´ on que no dependa u ´nicamente de letras, pues a´ un usando el alfabeto cir´ılico no pasar´ıamos de dimensi´ on treinta y cinco. Adoptando las letras n o k como dimensi´ on, notemos que el ´ area o volumen se convierten en algo as´ı como el producto de una cantidad de n´ umeros igual a la dimensi´ on. Algunos autores prefieren los nombres de “hiper´ area”o “hipervolumen”. Nosotros procederemos de manera natural y simplemente seguiremos usando los mismos nombres. Siguiendo entonces con la misma tradici´ on el “espacio de dimensi´ on k” lo denotaremos por Rk . De este modo, si tenemos un paralelep´ıpedo en Rk , ´este tiene k lados, digamos d1 , d2 , . . . , dk − 1 y dk .

Entonces el volumen est´ a dado por el producto V = d1 · d2 · . . . · dk .

En este tenor, notamos que el per´ımetro es la cantidad que nos mide distancia o longitud, para la cual s´ olo necesitamos una cantidad, mientras que para el ´ area se necesitan dos cantidades y ambas est´ an relacionadas por la desigualdad isoperim´etrica (3). Para el caso de la comparaci´ on entre ´ area y volumen, aunque de dimensiones distintas, hemos logrado una comparaci´ on denominada desigualdad isoperim´etrica en el espacio: A3 ≥ (32 4π)V 2 .

(4)

2

Si tomamos c(1) = 4π, c(2) = (3 4π), entonces debe existir una relaci´ on parecida a la desigualdad isoperim´etrica en el espacio de dimensi´ on cuatro, al igual que en dimensi´ on cinco, y as´ı sucesivamente; por tanto tenemos n´ umeros c(1), c(2), . . . , c(k − 1) y c(k), de tal manera que tenemos la relaci´ on Ak ≥ c(k) V k − 1 .

(5)

´ltima proposici´ on de este En efecto es la desigualdad isoperim´etrica cl´ asica para el espacio Rk , y tenemos la u apartado: Proposici´ on II.1 El espacio Rk satisface la propiedad isoperim´etrica, puesto que cualquier cuerpo regular cumple la desigualdad Ak ≥ c(k)V k − 1 .

Convencernos de la veracidad de esta proposici´ on implica dar argumentos matem´ aticos (o demostraci´ on).

Para ello se utiliza una proposici´ on matem´ atica llamada teorema de la divergencia, que es material de un curso de c´ alculo vectorial. Por cierto, es un buen ejercicio para los estudiantes avanzados calcular las cantidades A y V para las esferas, cuando la dimensi´ on es mayor que tres, y relacionarlas con los n´ umeros obtenidos c(k).

III.

Espacios curvos

Einstein, en su teor´ıa de la relatividad, nos ense˜ na que “el tiempo es una curva en R4 ”. El significado de esta frase, en un buen contexto, quiere decir que el tiempo es una dimensi´ on m´ as en nuestras vidas. Dicho de otra manera, somos seres tridimensionales, pero existe una cantidad que rige nuestras vidas y f´ısicamente estamos impedidos de ver: el tiempo. Sin embargo, ´este lo podemos medir y, gracias a ello, el desarrollo de la humanidad se ha catapultado. En la vida cotidiana hemos experimentado con curvas. En la escuela por ejemplo, aprendimos la l´ınea recta, la circunferencia, mientras que en el bachillerato aprendimos la elipse, la 4 Es

importante se˜ nalar que es imposible visualizar dimensi´ on cuatro, por ello nuestra limitaci´ on a poner gr´ aficamente solamente R, R2 y R3 .

4

17

Mefisto par´ abola y la hip´erbola, todas ellas llamadas curvas c´ onicas. Qu´e tanto es m´ as pronunciada una curva que otra (por ejemplo, la circunferencia tiene mayor curvatura que la recta), nos conduce al concepto de curvatura.

La curvatura la entenderemos como una funci´ on tal que a cualquier punto en una curva le asociamos un n´ umero real. Por supuesto, la l´ınea recta la entendemos como aquella curva que tiene curvatura cero. N´ otese que no es lo mismo decir: “no tiene curvatura”, que decir “tiene curvatura, y ´esta es cero o nula”. De este modo tenemos espacios curvos de dimensi´ on uno, llamadas curvas. El manejo anal´ıtico de las curvas se puede desarrollar con herramientas del c´ alculo vectorial y puede extenderse hasta la teor´ıa de curvas que se analiza en un curso de geometr´ıa diferencial.

Los espacios curvos de dimensi´ on dos son conocidos como superficies, y nuevamente su estudio requiere de c´ alculo vectorial. Dibujarlas en una hoja de papel en blanco, tanto curvas como superficies, puede ser simple; aunque tambi´en la computadora es de gran ayuda para este prop´ osito. Sin embargo, su manejo anal´ıtico o algebraico puede ser bastante complicado.

Existen tambi´en espacios curvos de dimensi´ on mayor que tres. Esto significa un curso avanzado de geometr´ıa diferencial, estos espacios son conocidos como variedades diferenciales.

IV.

Calculando curvaturas

Una forma de construir la funci´ on curvatura es la siguiente: Empecemos con curvas: la m´ as simple de todas ellas es la recta, cuya curvatura es la constante cero.

Figura 2: Curvaturas de circunferencias La siguiente curva es la circunferencia de radio r > 0. En la figura 2 observamos lo siguiente: 1. Si tomamos los radios de las circunferencias C1 , C2 , y C3 , vemos que se cumple r1 < r2 < r3 . Entonces la m´ as peque˜ na tiene mayor curvatura, mientras que la m´ as grande tiene tiene menor curvatura5 .

2. Si el radio de la curvatura crece indeterminadamente, entonces su curvatura decrece hasta parecer nula.

3. De este modo, si denotamos la funci´ on curvatura por κ(p)6 , ´esta debe ser constante en la circunferencia 1 y dada por: r . Notemos entonces que, en las circunferencias de la figura 2, se satisface Si r1 < r2 < r3 , entonces κ1 = 5 Una

circunferencia de radio ∞ es una recta. p es el punto correspondiente de la curva, en este caso de la circunferencia.

6 Aqu´ ı

18

1 1 1 > κ2 = > κ3 = . r1 r2 r3

5

(6)

Mefisto Como conclusi´on, la curvatura de una circunferencia de radio r > 0, esta dada por κr =

1 . r

Observaci´ on IV.1 De aqu´ı se puede afirmar que el punto es un c´ırculo de radio cero y la recta es un c´ırculo de radio infinito, cuyas respectivas curvaturas son infinito y cero respectivamente.

Proposici´ on IV.2 Para el caso de una curva arbitraria, usamos un teorema de geometr´ıa que dice los siguiente: si una curva no tiene picos, y se puede trazar por cada punto su recta tangente, entonces existe una circunferencia que se le asemeja (ver Figura 3)7 .

Figura 3: Curvatura en el plano

Pasamos al siguiente problema: c´omo construir la curvatura para superficies. Siguiendo el esquema de curvas, R2 es una superficie de curvatura cero (el equivalente al plano). Ahora, la siguiente superficie a tratar es la esfera, sin embargo el caso ya no es tan simple como el de la circunferencia. El problema es el siguiente: las superficies son espacios curvos de dimensi´ on dos. Una idea para abordar el problema es: si cortamos con un plano perpendicular la superficie en un punto determinado, entonces obtenemos de esta intersecci´ on una curva.

Por supuesto, esta curva tiene una curvatura, sin embargo, existen multitud de curvas al rotar dicho plano sin dejar de ser perpendicular. El problema es cu´ al direcci´ on o direcciones elegir entre todas ellas. Por ejemplo, en la figura 4, tenemos dos curvas α y β con esas caracter´ısticas, ambas tienen curvaturas distintas.

Existe un resultado en geometr´ıa que nos dice que existen dos curvas tales que una tiene curvatura m´axima axima y κ2 la m´ınima, entonces y la otra curvatura m´ınima, y son perpendiculares. Si denotamos por κ1 la m´ la curvatura de la superficie en el punto p es por definici´ on el producto de ambas, es decir: κ = κ 1 κ2 .

En el caso de la esfera, k1 = k2 por (6), as´ı tenemos que la curvatura en la esfera de radio r > 0 est´a dada por

1 1 1 · = 2. r r r Tambi´en tenemos una resultado en geometr´ıa que dice los siguiente: κ = κ1 κ2 =

Proposici´ on IV.3 Si S denota una superficie que tiene plano tangente en cada punto, se tiene: 7 Dicha

circunferencia es llamada circunferencia osculatriz.

6

19

Mefisto

Figura 4: Curvatura en el espacio

1. El plano R2 y el cilindro S 1 × R son espacios de curvatura constante cero, aqu´ı S 1 representa la circunferencia de radio unitario.

2. Si κ > 0 es constante, entonces S es una esfera.

Observaci´ on IV.4 Existen espacios de curvatura negativa; en particular, los espacios de curvatura negativa y constante son conocidos como “espacios hiperb´ olicos”.

En la literatura especializada abunda material sobre los espacios de curvatura constante, por ejemplo, la obra de Wolf [9]. Sin embargo, ´este es un libro dif´ıcil de entender si no se tienen herramientas matem´ aticas adecuadas. A pesar de que es una obra dirigida a estudiantes de licenciatura en matem´ aticas, suele usarse en cursos de posgrado. Su primera publicaci´ on fue en 1936, sin que pierda vigencia hasta nuestros d´ıas.

Regresando a nuestro problema original, ahora tenemos superficies, las que denotamos gen´ericamente como S, y queremos ver c´ omo generalizamos la desigualdad isoperim´etrica cl´ asica. En la figura 4 tenemos que la regi´ on Ω en gris tambi´en tiene ´ area y su borde longitud, a pesar de que ambos se encuentran dentro de un espacio curvo. El problema entonces nos plantea si la desigualdad isoperim´etrica cl´ asica sigue siendo v´ alida en superficies.

Existen desde luego varias formas de generalizar el resultado, sin embargo nos limitaremos a una forma de hacerlo, nos reduciremos solamente al caso particular de la esfera.

Supongamos que ahora queremos comparar el ´ area de pedazo de c´ ascara de naranja con la longitud de su borde, por supuesto que existe una relaci´ on, si consideramos la naranja como una esfera de radio r > 0, entonces para cualquier “conjunto flaco”como Ω en la figura 4, se cumple la desigualdad: 2 A ℓ ≥ 4πA − . r 2

Recordemos que la curvatura de la esfera es κ =

1 r2 ,

(7)

entonces la desigualdad se convierte en

ℓ2 ≥ 4πA − κA2 .

(8)

Esta u ´ltima ecuaci´ on (8) se conoce como desigualdad isoperim´etrica en espacios bidimensionales de curvatura constante, pues cualquier superficie de curvatura constante la satisface. Note, adem´ as, que es una generalizaci´ on de nuestra desigualdad isoperim´etrica para el plano, dada por la ecuaci´ on (3), esto es cuando κ = 0. Una observaci´ on m´ as, que pondremos en forma de proposici´ on: Proposici´ on IV.5 Si S es una superficie de curvatura negativa, entonces tiene la propiedad isoperim´etrica cl´ asica.

20

7

Mefisto Para notar la veracidad de la proposici´on, es de notarse que si la curvatura es negativa, entonces − κ > 0, y por tanto ℓ2 ≥ 4πA − κA2 ≥ 4πA. Tenemos que detenernos aqu´ı. Para los interesados que pretendan profundizar estos temas, se puede consultar J. Garc´ıa Le´on, [5] y [6], entre otros.

Bibliograf´ıa [1] Bell, E.T. Men of Mathematics. Simon and Schuster. New York, 1965.

[2] Courant, R. and Robbins, H. What is mathematics? Oxford University Press, New York and London 1941.

De esta obra existen dos traducciones. La primera data de 1955 y existe una reimpresi´on de 1967, realizada en Madrid por Aguilar Ediciones bajo el t´ıtulo ¿Qu´e es la Matem´ atica?.

ISBN 84-03-20032-3.

La segunda es hecha en M´exico por el Fondo de Cultura Econ´omica en 2002 (un a˜ no despu´es de la muerte de Robbins), con el nombre de ¿Qu´e son las matem´ aticas?, esta edici´on fue prologada por el acad´emico de la University of Warwick, Ian Stewart en 1995. ISBN 978-968-16-6717-7.

[3] Courant, R. Dirichlet’s Principle, Conformal Mappings and Minimal Surfaces. Interscience Publishers, New York, 1950. Existe una reimpresi´ on de esta obra por Dover Publications en 2005.

ISBN 0-486-44552-6.

[4] D¨ urer, A. Institutionum Geometricarum libris. 1557. El Instituto de Investigaciones Bibliogr´aficas de la UNAM posee la obra bajo su resguardo. En 1979 publica por primera vez una copia traducida al castellano, despu´es, en 1987, publica una segunda edici´on, ambas bajo el nombre de Instituciones de Geometr´ıa, UNAM 1987. on), ISBN 968-36-0144-8 (2a edici´on).

ISBN 968-58-2572-6 (1a edici´ [5] Garc´ıa Le´on, J. La constante de Cheeger. Por aparecer en Proceeddings de la Sociedad Matem´atica Mexicana.

[6] Garc´ıa Le´ on, J. Cheeger’s constant in balls and Isoperimetric Inequality on Riemann Manifolds Proceedings of the AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. Volume 136, Number 12, December 2008, pages 44454452. S 0002-9939(08)08824-2.

[7] Preston, R. Panic in Level 4: Cannibals, Killer Viruses, and Other Journeys to the Edge of Science. New York: Random House, 2008.

ISBN 978-1-4000-6490-8.

[8] Struik D. J. A Concise History of Mathematics. Dover Publications, Inc. Fourth edition, NY, 1987. ISBN 0-486-60255-9. De esta obra existe una traducci´on editada por el Instituto Polit´ecnico Nacional en 1980, ´ titulada Historia Concisa de las Matem´ aticas, perteneciente a la serie CIENCIA Y TECNICA. [9] Wolf J. A. Spaces of constant curvature. Publish or Perish, Inc. Fifth Edition, Wilmington, Delaware, USA 1984. ISBN 0-914098-07-1.

8

21

Mefisto

Acertijos

2

9

3 En el fondo de un pozo de 30 m de profundidad hay una rana. Cada hora sube 3 metros y descansa otra hora, bajando 2 metros desde el punto en que se encontraba. ¿Cuántas horas tardará en salir del pozo?

x

6

1 Cien zanahorias están sembradas en una fila en la tierra, a una distancia de un metro entre una y otra. A un metro de la primera zanahoria está una cesta. Un campesino decide extraer las zanahorias de una en una, depositando cada zanahoria en la cesta cada vez. ¿Cuál será la distancia total recorrida por el campesino cuando termine de recoger las zanahorias?

3

¿

2 Un hombre sale de su casa y ve un oso dormido a 100 metros al este, por lo que hecha a correr en dirección al norte para encontrar un arma. Una vez que toma su arma, dispara al oso, quien se encuentra en el mismo lugar que antes (no se ha movido), 4 ¿Cuántos toques da un reloj de campana en un apuntando en dirección hacia el sur. ¿De qué color día completo? es el oso?

z

0

22

5

8

Mefisto

Acertijos Solución a los anteriores

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 Al traer el beduino su propio camello, se completa el entero, y al repartir según las condiciones establecidas, el sobrante, 1/18, es su propio camello.

2

x

4

2 En una hora, la primera llave llena 1/5 de tinaco y, la segunda 1/6 de tinaco. Si funcionan al mismo tiempo, llenarán 1/5 + 1/6 = 11/30 de tinaco, por lo que tardarán 30/11 de hora, es decir, 2 horas 44 minutos, aproximadamente.

y

?

3 El primer pintor pinta 1/4 de pared en una hora.

El segundo pinta en una hora 1/3 de pared. Trabajando juntos, en una hora pintarían 1/4 + 1/3 = 7/12 de pared. Por lo tanto, para pintar toda la pared tardarían 12/7 de hora, es decir, 1 hora 43 minutos aproximadamente.

2

z

y2

1 Porque desde el principio no se había repartido la herencia en su totalidad:

Para los problemas 2 y 3, se puede generalizar con la fórmula: 1/T = 1/T1 + 1/T2 y si hay n:

1

1/T = 1/T1 + 1/T2 + . . . + 1/Tn

7

4 Ambos trenes están a la misma distancia de México.

23

Mefisto

Sudoku F谩cil 9 8 1 6 5 5 2 4 1 5 3 5 1 7 4 8 6 7 2

Soluci贸n al anterior

6 3 4 7 3 8 1 9

8 3 1

5

6 9 7

2 4 2 7 3 4 1 5

9 6 8 5 3 9 6 4 2 7 8 1

2

3 9 5 1 7 8

1 4 7 8 6 2 5 9 3

4 6

4 8 5 6 2 9 3 7 1

1 9 6 3 8 7 5 2 4

7 1 4 9 5 8 2 3 6

8 6 2 7 1 3 9 4 5

Dif铆cil

Soluci贸n al anterior 1 4

5 2 9

7

9 8 2 3

6 5 1 7 4 6

3 8

4 7 2 9 8 8 1 3 7 2 5 6 9 1 3 6 2 4 8 7 7 9 8 3 5 3

24

5

1 6 4

3 6 8 2 4 7 9 5 1

6 5 1 3 5 4 9 6 4 7 8 2 9 1 3 5 1 6 2 4 2 8 7 9

4 7 5 1

2 3 4

1 8

4 4 1 9 6 5 3

3 7

5 7 1 2 2 8

9 8

6 4