GACETA MEFISTO 18

5°

Número 18

Mefisto

an ive rsa rio Abril de 2016

Mefisto

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

En este número 3

Los Simpson y las matemáticas

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Epigmenio González

Frases célebres

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Acertijos

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El cielo de primavera

12

Sudoku

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Presentación Verónica Puente Vera

La paradoja de Condorcet Daniel Maisner Bush

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Fausto Cervantes Ortiz

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Paco Ignacio Taibo II

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Mefisto

Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector Dr. Hugo Aboites

Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial

Secretaria General Ana Beatriz Alonso Osorio

Lic. Ma. Auxilio Heredia Anaya

Octavio Campuzano Cardona Coordinadora Académica

Daniel Maisner Bush

Dra. Micaela Rosalinda Cruz Monje Encargado del despacho de la Coordinación del Colegio de Ciencia y Tecnología

Verónica Puente Vera

Publicada electrónicamente en:

Dr. Igor Peña Ibarra

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Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a:

Dr. Koulsy Lamko

gaceta.mefisto@gmail.com

Responsable del área de publicaciones Felipe Vázquez

programa de materiales educativos para estudiantes de la uacm

Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

materiales.educativos@uacm.edu.mx san lorenzo tezonco E-207 5850-1901 x 14507

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Mefisto

Presentación Verónica Puente Vera

Profesora de la UACM

Cuentan que en una ocasión, Hardy le comentó a Ramanujan que había viajado en un taxi de nú­ mero 1729, agregando que era una lástima que el número fuera tan aburrido; a lo cual Ramanujan respondió que no lo era en absoluto, porque 1729 es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de forma diferente. Lo cierto es que a cualquier número que escojamos se le pueden encontrar propiedades excepcionales, y es bastante arbitrario considerar un número más importante que otro.

Sin embargo, los mortales distantes de los semi­ dioses como Ramanujan, solemos darle una espe­ cial importancia a los números que son múltiplos de 5 y de 10, y la razón es bastante simple: apren­ demos a contar con los dedos de las manos, y la mayoría de las personas tenemos 5 en cada una.

Lo importante aquí es que el presente ejemplar de Mefisto coincide con al aniversario número 5 de nuestra gaceta y por lo tanto estamos plenos de orgullo.

Y ya que sacamos el tema, ¿sería nuestro siste­ ma de numeración decimal si tuviéramos 4 dedos en cada mano? Probablemente no. Sin embargo, cuando se dibujan personas, sobre todo en carica­ turas, se les suele dibujar sólo cuatro dedos, como si el quinto no estuviera a la vista. Esta simplifi­ cación artística fue especialmente explotada por la conocida caricatura Los Simpson, en donde los personajes no sólo están dibujados con cuatro de­ dos, sino que suponen tener cuatro dedos, lo cual es motivo para jugar y hacer bromas. Y esto viene a cuento porque el divulgador de la ciencia Simon Singh se dedicó a recopilar diversas bromas mate­

máticas que se encuentran en diferentes episodios de dicha caricatura, sobre lo cual nos escribe Fausto Cervantes.

Por otro lado, ¿por qué contar con los dedos? Los babilonios, por ejemplo, contaban con las falanges de los dedos diferentes al pulgar, y su sistema de numeración era base 12 y no base 10. Este sistema es más cómodo para muchos menesteres porque 12 tiene más divisores. Así, en el mercado es más fácil servir un cuarto de docena que un cuarto de decena. ¿Sería pertinente poner a votación cuál sistema es el correcto? Ya en alguna ocasión se in­ tentó que todos los sistemas de medida fueran de­ cimales, con resultados disparejos. Los ángulos y las horas siguen midiéndose en múltiplos de 12 y los ingleses y estadunidenses se han negado, de forma sistemática, a adoptar los sistemas métricos decimales para distancias y pesos. ¿Una votación solucionaría este problema? Probablemente no.

La democracia, aún de forma ideal, tiene múlti­ ples limitaciones y aún en algo aparentemente tan simple como ponerse de acuerdo sobre las medi­ das a utilizar, puede mostrarse insuficiente. Y ya que hablamos de democracia, mencionemos que en este número de aniversario hay una reflexión sobre los resultados de Condorcet sobre este tema, por Daniel Maisner.

También, acerca de la democracia y sus héroes, presentamos una breve semblanza de uno de los héroes olvidados de nuestra independencia, por cortesía de Paco Ignacio Taibo II. Esperamos disfruten de este número y tam­ bién esperamos sus comentarios en nuestro correo electrónico.

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Mefisto

La paradoja de Condorcet Daniel Maisner Bush

Profesor de la UACM

1. Un pequeño debate electoral Carlos se quedó de piedra observando a sus convidados. Nunca pensó que un acto tan simple como poner a votación qué tipo de agua beber, iba a terminar en un gran zafarrancho. Todo comenzó cuando, habiéndose acabado la bebida, sometió a votación qué comprar, proponiendo tres opciones: agua de tamarindo, agua de limón o agua simple.

Al principio, todo transcurrió de forma típica: cada invitado levantó la mano cuando se mencionó la opción de su preferencia y, tras contar los votos obtenidos, el resultado fue: 9 votos para el agua simple, 7 para el agua de tamarindo y 5 para la de limón: S = 9; T = 7; L = 5.

Una vez realizado el recuento, Carlos anunció que iría a comprar un garrafón; pero antes de cruzar la puerta comenzó un largo debate.

debemos hacer —finalizó— es votar de qué sabor queremos el agua. Y poniendo manos a la obra, realizó una nueva votación poniendo a con­ sideración sólo agua de tamarindo y agua de limón. En esta votación ganó el agua de tamarindo por marcador 11 a 10: T vs L = 11 a 10.

Este último resultado no satisfizo del todo a los presentes, y los fervientes partidarios del agua simple reclamaron airadamente que la votación ya se había realizado, y que no había razón para hacer una nueva con nuevo formato. El agua simple había ganado y cualquier otra interpretación era romper con la democracia que siempre había imperado entre los compañeros.

Marcelino no se dio por vencido, y volvió a la carga, afirmando que les daría una prueba irrefutable de que el agua simple no era la opción mayoritaria.

Primero, Marcelino se levantó de su asiento y, a la Volteó lentamente a ver a todos y explicó que vez que hacía señas a Carlos para que se detuviera, lo demostraría realizando una votación entre el aseveró –de forma categórica– que el resultado de agua simple, ganadora inicial y el último lugar, es la votación no se estaba interpretando de forma decir, el agua de limón. Entre desconcertados y correcta: divertidos los presentes volvieron a emitir su voto, obteniendo el resultado de victoria esperado por —Si bien es cierto que el agua simple tiene la Marcelino para el agua de limón por 11 a 10: mayoría de votos, —explicó de forma pausada— no alcanza la mayoría, dado que los 9 votos que obtuvo L vs S = 11 a 10. el agua simple no rebasan los 12 que se obtienen unificando los votos del agua de tamarindo y de Buitragues, que divertido seguía el debate, limón: argumentó que lo anterior no era ninguna prueba si no se realizaba también un enfrentamiento entre S = 9 < T + L = 7 + 5 = 12. el agua simple y la de tamarindo. En realidad, explicaría después, sólo había hecho el comentario —En cambio, —agregó— existe una clara mayoría por joder, sin prever el resultado. Marcelino, que opta por agua de sabor. Por lo tanto, lo que contento porque la primera votación iba cayendo

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Mefisto

Figura 1. Las aguas de la discordia.

estudian diversos aspectos de la viabilidad de la democracia y, en general, de las decisiones colectivas. Resaltemos dos resultados en este sentido: por un lado, tenemos la proposición de la no transitividad de las preferencias electorales, mejor conocida como la paradoja de Condorcet, enunciada por el partícipe activo de la revolución S vs T = 11 a 10. francesa así conocido (1743-1794) y, por otro, el Ahí no acabó el debate, hubo otras dos teorema de la imposibilidad, de Keneth Arrow intervenciones que complicaron aún más las cosas. (1921-).

Gloria dijo que no se debía comprar nada, porque En general, la democracia como ideal tiene dos no existía un claro acuerdo, lo cual alborotó hasta a quienes habían seguido, divertidos, el altercado. grandes cuestionamientos: Finalmente, Javier se levantó y afirmó que todos eran una bola de fresas y que la solución era 1. ¿Por qué la decisión de la mayoría es comprar chelas. Estimado lector, para ti ¿qué debió necesariamente la correcta?; y 2. Aún partiendo de que la mejor decisión es hacer Carlos? la mayoritaria, ¿siempre existe un mecanismo indiscutible que permita decidir cuál es el sentir mayoritario? en el olvido, y además envalentonado por las victorias obtenidas, aceptó el reto, seguro de que el agua simple perdería. Pero, para su sorpresa, no fue así: esta vez el agua simple fue la ganadora por marcador 11 a 10:

2. Reflexiones sobre la democracia

Los resultados de Condorcet y Arrow nos animan a reflexionar sobre la segunda cuestión.

Una de las facetas menos divulgadas de la modelación matemática son los modelos que Arrow enunció una serie de axiomas para la

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Mefisto democracia ideal, y probó que eran inconsistentes.

De esto hablaremos en un escrito futuro. Por su lado, Condorcet presenta una observación casi obvia —pero demoledora— que permite dar ejemplos sencillos en casos donde determinar cuál es la decisión mayoritaria no es obvio. De esto hablaremos el resto del presente artículo.

3. La paradoja de Condorcet La pequeña recreación que hemos presentado no es un juego de palabras que utiliza sumas irrealizables para deleite y confusión de los lectores, sino un ejemplo con datos simplificados y resultados perfectamente construibles. De hecho, se trata de la ilustración de un resultado clásico conocido como la paradoja de Condorcet.

Para comenzar a analizar el relato inicial de este texto, observemos dos puntos fundamentales: 1. Al enfrentar las opciones del tipo de agua dos a dos, puede variar el resultado ganador.

2. Votar las tres opciones simultáneamente da lugar a un ganador; pero esa opción no es mayoritaria.

Figura 2. Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marqués de Condorcet.

De momento reflexionaremos sobre la primera Obsérvese que, con el objetivo de hacer cuadrar afirmación, dejando la segunda para la siguiente las cuentas que presentamos en la historia, hemos sección. escogido los siguientes datos: La variación de los resultados al enfrentar una Primera opción Segunda opción opción contra otra se explica porque esta votación Limón 6 simple no toma en cuenta las segundas opciones Tamarindo 7 Simple 1 de los votantes. En otras palabras, coincidir en Tamarindo 3 la primera opción no implica necesariamente Limón 5 Simple 2 coincidir en la segunda. Para ilustrar el punto, Tamarindo 4 analicemos el caso en el cual quienes apoyan el Simple 9 Limón 5 consumo de agua simple se imponen a quienes quieren agua de tamarindo. A pesar de que los Tabla 1: Primeras y segundas opciones de los votantes resultados anteriores podrían sugerir lo contrario.

Resulta que, entre los 5 invitados que prefieren agua de limón, 2 tienen como segunda opción Basados en la tabla apreciamos que, si cada al agua simple y los 3 restantes desean agua de individuo vota en orden de sus preferencias, y enfrentamos entre sí las diferentes votaciones, tamarindo; lo cual, sumando, da por resultado: quedan de la siguiente manera: S vs T; 2 + 9 = 11 a 3 + 7 = 10.

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Mefisto Enfrentamiento directo entre sabores Tamarindo vs Limón Limón vs Simple Tamarindo vs Simple

Resultado de la votación

Sabor ganador

7 + 4 = 11 a 9 + 1 = 10 5 + 6 = 11 a 9 + 1 = 10 7 + 3 = 10 a 5 + 5 = 10

Tamarindo Limón Simple

Tabla 2: Confrontación uno a uno entre sabores

4. Votación de Condorcet Los trabajos del marqués de Condorcet no iban encaminados a describir las paradojas de la democracia, por el contrario, Condorcet buscaba los métodos más justos de votación para representar el sentir mayoritario. Una de sus motivaciones principales está dada por la siguiente: Propiedad 4.1 Una votación simple no siempre refleja el sentir de la mayoría, porque el candidato ganador es el que tiene más votos pero, no necesariamente, la mayoría.

En nuestra historia, los problemas comienzan Los resultados de nuestro pequeño relato son esencialmente los mismos que argumentó cuando Marcelino hace notar —correctamente— Condorcet en su ya clásico Ensayo sobre la que el agua simple no es la opción mayoritaria, aplicación del análisis a la probabilidad de las dado que se tiene: decisiones sometidas a la pluralidad de voces.

S = 9 < T + L = 7 + 5.

Para enunciar el resultado de manera más En general, si en una votación tenemos n rigurosa, recordemos que una relación se opciones ordenadas por preferencia de mayor a llama transitiva si de a relacionado con b y b relacionado con c, se deduce necesariamente: menor, digamos a está relaciona­ do con c. Así, por ejemplo, la A1, · · · , An, relación de hermandad es transitiva porque si a es hermano de b y b es hermano de c, entonces podemos deducir: a es hermano de c. Sin embargo, con votos obtenidos respectivamente la relación de paternidad no lo es, porque a padre v(A1) > · · · > v(An), de b y b padre de c, no implica: a padre de c.

La relación mayor que, con que se define el orden entonces no podemos garantizar que el ganador de los números reales, también es transitiva (de sea la opción mayoritaria, porque puede suceder: hecho cualquier relación de orden lo es) porque v(A1) < v(A2) + · · · + v(An).

(1) para cualesquiera tres números reales a, b y c se cumple: Además, claramente, la probabilidad de que acontezca esta desigualdad crece conforme n lo a > b y b > c implica a > c. hace: Sin embargo, lo que hemos visto es que esto no sucede para las preferencias electorales, porque de Propiedad 4.2 A mayor número de opciones existe S > T y T > L no se deduce: S > L. De manera más una menor probabilidad de que el ganador represente el sentir mayoritario. general: Para solucionar este hueco, Condorcet propu­ Teorema 3.1 (Paradoja de Condorcet) Las preferencias electorales colectivas no son transitivas. so una forma alternativa de votación que hoy

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Mefisto conocemos como votación de Condorcet. Su idea es considerar todas las opciones de cada votante, y no sólo su primera opción. Para ello propone realizar enfrentamientos entre cada dos opciones, y que el ganador sea el que obtenga más victorias. Algo semejante al método de round robin (todos contra todos) en competencias deportivas.

Más precisamente, se construyen enfrentamientos:

Primera opción Posibles boletas Cantidad T=7 T = 3, S = 2, L = 1 6 T = 3, L = 2, S = 1 1 L=5 L = 3, T = 2, S = 1 3 L = 3, S = 2, T = 1 2 S=9 S = 3, T = 2, L = 1 4 S = 3, L = 2, T = 1 5 Tabla 3: Votación de Condorcet

Ai contra Aj para i ≠ j

Sumando los votos que obtiene cada opción podemos ver que, en efecto, hay un empate a 42 y quien obtenga más victorias será el ganador. puntos. Por ejemplo, la opción de tamarindo tiene 7 personas en primera opción, 7 en segunda, La tabla 2 muestra la votación de Condorcet de repartidos como 3 que tienen primera opción nuestra anécdota, enfrentando sucesivamente limón y 4 que tienen primera opción simple; y el todos los posibles emparejamientos de agua para resto lo tiene como tercera opción: beber. El ejemplo muestra, adicionalmente, que esta forma de votar admite la posibilidad de 7(3) + 2(3 + 4) + 1(2 + 5) = 21 + 14 + 7 = 42. empate múltiple en el primer lugar, que incluso puede ser de la totalidad de participantes. Existen Se deja, como un ejercicio sencillo para los mecanismos de desempate que refinan el método lectores, modificar las segundas opciones de de Condorcet, pero no los estudiaremos en el nuestro ejemplo, para lograr que haya diferentes presente artículo. ganadores en la votación de Condorcet. Por ejemplo, para hacer ganadora al agua de limón La manera en que votaron los amigos de Carlos, (tercera en la votación simple) podemos reasignar realizando uno a uno todos los enfrentamientos, cantidades como se muestra en el siguiente reparto: no es operativa, cuando hay muchas opciones.

Por lo anterior, en la práctica se utiliza el siguiente 1a opción T=7 L=5 S=9 método equivalente: a 2 opción L=7, S=0 T=3, S=2 T=0, L=9 Cada votante escribe en la boleta sus preferencias entre los n candidatos de mayor a menor, Entonces obtenemos: asignando n a su primera opción, n–1 a la segunda L vs S, 5 + 7 a 9 + 0 y así sucesivamente, hasta asignar 1 a su opción menos querida. Las cantidades seleccionadas por los votantes para cada participante se suman para obtener el puntaje respectivo..

y

L vs T, 5 + 9 a 7 + 0.

5. Comentarios adicionales al ejemplo inicial

Por ejemplo, si las preferencias de Buitragues son, de mayor a menor, tamarindo, simple y limón, En la sección anterior vimos cómo la afirmación de su boleta será: Marcelino, de que el agua simple no es una opción mayoritaria, es válida. Sin embargo, la conclusión T = 3; S = 2; L = 1: que de ahí desprende en su argumentación es, esencialmente, tramposa. De la siguiente relación: Con esta idea, podemos reescribir la tabla 2: S<T+L

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Mefisto Además, al sugerir que es obvio que una votación no se deduce que lo correcto es realizar primero una votación entre agua simple y agua de sabor; entre agua de sabor y agua simple darán como mucho menos que la opción agua simple deba ganadora al agua de sabor, se está suponiendo, implícitamente, que todos los que tienen por desecharse. primera opción agua de sabor, también la tienen En términos formales y generales, tendríamos como segunda opción; lo cual, como ya vimos, es una propuesta muy diferente a la de Condorcet; a falso. saber, si sucede Adicionalmente, podemos notar un problema de otra índole en el modelo de Condorcet: suponer v(A1) < v(A2) + · · · + v(An), que los votantes siempre votan de forma honesta, entonces debe realizarse un enfrentamiento entre sin realizar estrategias para ganar.

A1 y A2UA3 · · · UAn;

Pongamos, por ejemplo, que todos los votantes a favor del agua de limón detestan la de tamarindo; o, peor aún, eliminarse la opción A1 y realizar entonces, en una votación de agua simple contra una nueva votación considerando sólo las demás agua de sabor, podrían preferir la opción de agua simple como la menos mala y votar en contra de opciones. sus convicciones. Esto se puede ver muy a menudo Un principio básico que tiene que cumplir un en votaciones reales, cuando se crean alianzas o modelo matemático, es que debe funcionar en cuando se aplica un voto de castigo, etc. Sobre esto cualquier interpretación del mismo; es decir, debe volveremos más adelante. funcionar en cualquier ejemplo que se nos ocurra Antes de concluir con el ejemplo, debemos dentro del contexto que estamos trabajando, y no es el caso de la afirmación que estamos analizando. dedicarle unas líneas a las demás participaciones.

En específico, no debe confundirnos el hecho Cuando hablamos de un grupo de individuos que de que, en algunos casos concretos, existe una alegan la legalidad de la primera votación, estamos compatibilidad entre las opciones A2, · · · , An y es recordando cómo, en ocasiones, se confunde legal razonable realizar una votación entre ellas, con con justo. El hecho de que la primera votación sugerir que esto sea un comportamiento general se haya realizado —e incluso aceptado— por los cada vez que una opción es ganadora pero no presentes, no invalida el señalamiento de que la mayoría no está representada. En casos reales, mayoritaria. un resultado legal es suficiente para declarar un Para aclarar lo anterior modifiquemos nuestro ganador; pero no debe permitirse que esto se ejemplo de la siguiente manera. Tras la votación considere, necesariamente, como un sinónimo se obtuvieron los siguientes datos T = 9, S = 7, de limpieza, justicia o legitimidad, porque el L = 5, tras lo cual Carlos declaró ganadora al agua sistema de elección puede ser injusto de manera de Tamarindo. Entonces Marcelino dijo que la intrínseca. En otras palabras, el ser legal es cumplir opción de tamarindo no era mayoritaria y que con las reglas establecidas, pero éstas pueden ser la ver­dadera ganadora había sido el agua clara incorrectas.

Finalmente, comentemos las propuestas de que tienen tanto el agua simple como la de limón, y que debía escogerse una de estas opciones. Como Gloria y Javier. En ambos casos tenemos soluciones observamos, pensar en agua de sabor o simple nos fuera de contexto que, algunas veces, podrán parece natural y no vemos lo falaz del argumento, contribuir a encontrar un consenso, y algunas otras mientras que pensar en agua clara u obscura nos —desafortunadamente la mayoría—, impondrán parece ridículo y captamos la trampa de inmediato. una solución que no deje satisfecho a nadie, o a

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Mefisto casi nadie. Los casos más típicos en la realidad bajo condiciones ideales de diseño y aplicación; consisten en dejar desierto el lugar del ganador o sino también, en que cada votante vota con base elegir, por dedazo, a un interino. en sus convicciones y no siguiendo una estrategia ganadora. Por ejemplo, el modelo no acepta que se presente y se defienda una opción radical sin creer firmemente en ella sólo como un mecanismo para hacer ganar a una opción moderada.

Uno de los aspectos más fascinantes de la paradoja de Condorcet es su presencia en En concreto, podemos mencionar también que numerosos ejemplos de la realidad, más allá de el modelo Condorcet no considera fraudes, voto un ejercicio teórico. Sin embargo, por las propias duro, voto de castigo, alianzas, coerción para el voto, simplificaciones del modelo, es difícil encontrar candidaturas fantasmas, regateo y negociación entre ejemplos puros, que no se compliquen con muchas candidatos, propaganda disfrazada de encuestas de otras situaciones no contempladas. Por lo anterior, opinión, opciones que no representan a nadie y un y por razones de espacio, nos conformaremos con largo etcétera que, en tiempos modernos, no sólo explicar enseguida algunos aspectos específicos. no se consideran contrarios a un ideal democrático,

6. Condorcet y la realidad

1. Los procesos electorales formales no utilizan métodos de votación del estilo de Condorcet, en parte por ignorancia y en parte por las dificultades prácticas que supone el mismo. Sin embargo, aunque parezca raro, existen otros ámbitos donde la toma de decisiones debe considerar el sentir mayoritario en un sentido más amplio del término. Por ejemplo, para ciertas decisiones gubernamentales, como ejercer una partida presupuestal para la salud pública, es importante considerar diferentes escenarios y medir cuál será el menor impacto negativo o el mayor positivo; y en estos casos, suelen utilizarse votaciones de Condorcet o generalizaciones de este método, como el método de Schulze, para tomar la mejor decisión posible.

2. Los resultados de Condorcet están inspirados en un mundo ideal. Para ser más precisos:

sino que se han convertido en telenovela que se presenta en noticieros y supuestos debates de la televisión.

También debemos mencionar, aunque es un caso diferente a los enlistados anteriormente, que no considera la posibilidad del votante que no se siente representado por ninguna opción y, por tanto, se abstiene de emitir un voto.

3. Por otro lado, el resultado de la paradoja de Condorcet suele utilizarse como estrategia para modificar tendencias electorales. Particularmente, es de uso común realizar alianzas que trasladen los votos de un candidato virtualmente perdedor a otro para enfrentar a un tercero. Los ejemplos en este aspecto sobran y buscarlos lo dejamos como un ejercicio sencillo para el lector.

En resumen, no siempre debe considerarse a las votaciones directas como el único método para Propiedad 6.1 La democracia realmente existente tomar decisiones, y mucho menos como el mejor, es mucho más injusta que las implicaciones, ya de porque se dan bastantes casos en los que el sentir por sí impactantes, que presenta la paradoja de de la mayoría no es claro. Aunque existen diversos Condorcet. métodos para elegir la opción mayoritaria, la paradoja de Condorcet sigue siendo vigente y, en En particular, es muy importante remarcar que un sentido más general, es lo que probó Arrow, y el modelo de Condorcet supone comicios honestos, de lo que hablaremos en un artículo próximo. no sólo en el sentido de que la elección se realiza

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Mefisto

Frases célebres

El centro de nuestra fe no es solamente un libro, sino una historia de salvación.

Jorge Mario Bergoglio Sí­ vori (1936 - ) Religioso argen­ tino.

El camino hacía la riqueza depende fundamentalmente de dos palabras: trabajo y ahorro.

Benjamin Franklin (1706 - 1790) Político estaduni­ dense.

Los libros no están hechos para que uno crea en ellos, sino para ser sometidos a investigación.

Umberto Eco (1932 - 2016) Escritor italiano.

En Nueva York, la ciudad más rica del país más rico del mundo y capital del capital, uno tiene que caminar cuidadosamente para no pisar a los que están durmiendo en la calle.

David Brooks (1953 - ) Pe­ riodista estadunidense.

Dios, nosotros pagamos por todo esto, así que gracias por nada.

La oración, el último refugio de un canalla.

Bart Simpson

Lisa Simpson

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Mefisto

El cielo de primavera Fases de la Luna Abril 7 Luna nueva 14 Cuarto creciente 21-22 Luna llena 29 Cuarto menguante Mayo 6 Luna nueva 13 Cuarto creciente 21 Luna llena 29 Cuarto menguante Junio 4 Luna nueva 12 Cuarto creciente 20-21 Luna llena 27 Cuarto menguante

Tránsito de Mercurio el 9 de mayo. En la Ciudad de México se verá desde el amane­ cer y hasta aproximadamente las 13:30. No se debe observar sin protección, se debe usar un vidrio de soldar de 14 sombras.

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Mefisto

Planetas Mercurio en Aries Venus en Piscis Marte en Escorpión Júpiter en Leo Saturno en Escorpión Urano en Piscis Neptuno en Acuario

Lluvias de estrellas Líridas: p Púppidas: h Acuáridas: h Líridas: Ariétidas:

22 de abril 23 de abril 5 de mayo 8 de mayo 7 de junio

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Mefisto

Los Simpson y las matemáticas Fausto Cervantes Ortiz

Profesor de la UACM

Introducción Es muy raro encontrar referencias a la ciencia como parte del contenido de las series de televisión, y es insólito encontrar bromas de contenido científico sin que necesariamente tengan que ver con la tra­ ma. Lo más usual es que se considere que la cien­ cia sólo debe estar presente en documentales o en personajes caricaturizados de los cuales se exage­ ran sus capacidades geniales (como Iron man) o sus inhabilidades sociales (como La teoría del Bing Bang). Por eso, es sorprendente enterarnos de que, en una serie televisiva como Los Simpson, abundan referencias y chistes matemáticos.

Como lo leyó, sí, en Los Simpson, de lo cual nos habla el libro The Simpsons and their Mathematical Secrets, que vio la luz hace tres años, escrito por el matemático y divulgador estadunidense Simon Singh.

Antes de adentrarnos en la reseña del libro, re­ cordemos que Simon Singh es un importante di­ vulgador que se hizo famoso por su libro El enigma de Fermat, en el que explica la historia de la demostración del llamado último teorema de Fer­ mat o conjetura de Fermat (véase Mefisto 7).

Aunque The Simpsons and their Mathematical Secrets se tradujo al español el mismo año de su publicación en inglés, sólo se distribuyó en Espa­ ña. Fue hasta 2015 que llegó a México, bajo el título Los Simpson y las matemáticas.

Figura 1. La familia Simpson, en versión al natural.

Los matemáticos que hacen Los Simpson

Cuando se creó el programa, se contrató a varios guionistas que tenían antecedentes de estudios relacionados con las matemáticas, lo cual resulta muy extraño para nosotros; pero al parecer para ellos no lo era tanto: Al Jean, David Cohen y Mike El libro en cuestión, como el título lo indica, Reiss son matemáticos de la Universidad de Har­ trata de las bromas matemáticas que los guionistas vard; también lo es Stewart Burns, quien además se introducen frecuentemente en el famoso progra­ doctoró en la Universidad de Berkeley; Jeff West­ brook es físico de Harvard y doctor en ciencias de ma de televisión como parte de la historia. la computación por la Universidad de Princeton. A

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Figura 2. Matt Groening y algunos de los guionistas que hacen posible Los Simpson.

éstos se han agregado posteriormente otros nerds (sabihondos, mataditos, o como el lector prefiera llamarlos). La abundancia de personal familiari­ zado con las matemáticas, ha hecho que el pro­ grama muestre contenidos matemáticos con más frecuencia que ninguna otra serie que no tenga como propósito la divulgación científica.

Las matemáticas presentes en Los Simpson Quienes lean el libro mencionado, recordarán algu­ nas bromas presentes en varios episodios, aunque probablemente también se enterarán de algunas que no observaron en su momento. Esto es porque, en ocasiones las bromas matemáticas son parte del episodio (a veces, incluso son contenido esencial del mismo, alrededor del cual gira toda la trama), mientras que en otras, son simplemente imágenes fugaces que, si no se pone atención o no se tienen

los conocimientos para entenderlas, pueden pasar completamente desapercibidas.

De acuerdo con el autor del libro (y con el au­ tor del presente artículo), para crear una broma matemática se requieren conocimientos de esta ciencia; y se requiere lo mismo para apreciar la broma misma. Es por eso que Singh propone una serie de «exámenes», donde se dan varios acertijos jocosos para evaluar el nivel de comprensión del lector. Cada «examen» está graduado a un nivel diferente, desde primaria hasta doctorado. Resulta estimulante observar hasta qué punto el lector es capaz de comprender las referencias ahí expuestas.

Ahora bien, dado que algunas de ellas no sólo de­ penden del contenido matemático, sino también del idioma, vemos que, en ocasiones, el traductor tuvo que adaptar algunas de las bromas que no tie­ nen sentido en español o, en otras, las cambió por algunas que tuvieran un significado equivalente.

Debemos reconocer que la habilidad del traductor

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Figura 3. La maestra de la escuela de genios y Homero en su estudio.

en ese sentido fue aceptablemente buena. Pero lamentablemente a veces fue imposible lo uno o lo otro, por lo cual en la adaptación en español, los exámenes suelen ser más cortos que en la ver­ sión original. A continuación presentamos algunos ejem­plos extraidos del libro para ejemplificar lo que hemos descrito:

Bart, el genio

«¿No lo entiendes Bart? La derivada dy es igual a 3 r al cuadrado dr sobre tres, o r al cuadrado dr, o r dr r».

Nada de lo dicho parece ayudar a Bart, quien si­ gue con cara de desconcierto aun después de reci­ bir la respuesta detallada. ¿Qué tiene de divertida la solución final?

El último teorema de Homero

En el mismísimo primer capítulo de Los Simpson empiezan los contenidos matemáticos. Bart hace En un episodio, Homero decide convertirse en trampa en un examen y, como consecuencia, llega inventor, y para ello se encierra en el sótano y lo a una escuela para pequeños superdotados. usa como su área de trabajo. Después de bastante tiempo ahí, Homero inventa un sillón que también En el salón de clases aparece una broma que funciona como sanitario, una alarma que suena utiliza el cálculo diferencial y, sin conocimiento de cuando todo está bien, un rifle para disparar ma­ éste, el espectador sólo comprende que Bart esta quillaje, y algunos otros diseños igual de absurdos. sufriendo las consecuencias de haberse hecho pa­ sar por genio.

Sin embargo, lo interesante del caso es que, cuando aparece en su estudio improvisado, su pi­ La broma en cuestión consiste en que la profeso­ zarrón muestra algunos signos matemáticos in­ ra dice: «y es igual a r al cubo dividido entre 3, y si trigantes. Quizás los más intrigantes sean los que determinan la razón de cambio de esta curva, ten­ muestran la siguiente ecuación: drán una agradable sorpresa». Todos los alumnos ríen, excepto Bart, que se queda perplejo, por lo 398712 + 436512 = 447212 que la maestra anota algunas pistas en el pizarrón, Esto no es más que una igualdad muy simple y al final anota la solución. Aún así, Bart sigue sin entender, así que la maestra dice: que se puede comprobar con cualquier calculado­ ra. Sin embargo, y aquí es donde está lo intrigante,

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Figura 4. Lisa, la niña genio de la familia Simpson.

tal igualdad contradice abiertamente el llamado último teorema de Fermat.1 Ese teorema no fue tal, dado que Fermat no dio la demostración general: se dice que probablemente no tenía tal, o que si la tenía era errónea, aunque sí demostró algunos casos particulares. Fue hasta el año 1995 que el matemático Andrew Wiles, de la Universidad de Princeton, finalmente demostró esa conjetura (con la colaboración de Richard Taylor), por lo que se debería conocer como el teorema de Wiles.

las niñas no tomen clases de matemáticas, sino que se limiten a contemplar los números y ha­ cer comentarios emotivos acerca de ellos, en vez de resolverlos y atacarlos como hacen los machos.

Entonces, Lisa decide disfrazarse de hombre para asistir a la escuela de niños y aprender matemáti­ cas de verdad. Por supuesto que durante esas clases viene a ser víctima de bullying por parte de los chi­ cos malos. Bart, al darse cuenta de lo que Lisa está haciendo, decide ayudarla a comportarse como niño, a fin de que se acople con sus compañeros.

Al final del curso, Lisa revela su identidad secreta, El teorema en cuestión dice que la ecuación y uno de los chicos malos exclama: «we have been n n n Yentled», a lo que Simon Singh replica que, des­ x +y =z de su punto de vista, hubiera sido mejor exclamar: no tiene soluciones en números enteros para n>2. «we have been Germained». ¿A qué se refieren taSin embargo, la ecuación en el pizarrón de Home­ les expresiones? ro da una solución para n = 12. ¿Qué es lo que está mal?

Acerca del número p

Lisa y las matemáticas En un episodio, el director Skinner hace un co­ mentario sexista acerca de las matemáticas, lo que trae como consecuencia que se le reemplace por una pedagoga moderna, quien resulta ser aún más sexista que Skinner, pues separa por géneros a los alumnos de la escuela primaria de Springfield. Las ideas modernas de la nueva directora llevan a que 1 En español se le llama conjetura de Fermat, pero tanto en el libro original como en la traducción al español se le llama teorema de Fermat.

El número p también ha sido objeto de numerosas bromas, incluidas las del programa. Esto es por­ que el nombre de la letra que lo representa se pro­ nuncia en inglés diferente que en español. Por ello, cuando Apu trata de impresionar a la audiencia de un juicio diciendo que tiene tan buena memoria que es capaz de recitar el número p con 40000 de­ cimales (añadiendo que el último decimal es uno), Homero sólo se impresiona de forma tal que súbi­ tamente siente un antojo. ¿Por qué Homero siente un antojo?

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Mefisto

Figura 5. Futurama, la serie hermana de Los Simpson, incluyendo el teorema de Futurama.

Mentiritas, mentirotas y estadísticas En un episodio, Lisa se vuelve entrenadora del equipo de béisbol infantil de Springfield. Para ello, hace lo posible por usar su capacidad intelectual, y decide aplicar el método científico. Entonces toma prestados varios libros de la biblioteca, la mayo­ ría de ellos dedicados a la estadística, y la utiliza para planear las jugadas; pero su hermano decide no obedecer sus instrucciones, por lo que todo el trabajo de Lisa se va al pozo y el equipo pierde el campeonato.

Lo anterior hace referencia a la enorme can­ tidad de mentiras que se dicen para desprestigiar a las matemáticas, en particular al uso incorrecto de la estadística o a las conclusiones erróneas de cálculos estadísticos correctos. Y estas referencias burlonas se dan inclusive en nuestra Universidad, lugar en el que debería imperar la tolerancia entre diferentes disciplinas. Hace algún tiempo escuché a alguien decir (palabras más, palabras menos), que «la estadística es el arte de contar mentiras, por ejemplo, la mentira de que, si mi vecino come dos tortas y yo no como nada, en promedio cada quien se comió una torta, y ambos estamos bien alimentados». ¿Por qué esto NO es una mentira matemática? ¿Qué es lo que está mal entonces?

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Futurama Aunque el libro sólo contiene en el título a Los Simpson, el autor dedica 4 capítulos a Futurama, serie hermana de Los Simpson, que se estrenó en el año 1999. En dicha serie se contrató a otros guionistas también relacionados con varias disci­ plinas científicas, lo que permitió incluso ampliar los contenidos matemáticos del programa, com­ parado con Los Simpson. No sólo eso, además se aumenta el caudal científico con otras ciencias, en particular física, llevando a dimensiones aún más profundas el contenido de cada programa. A pesar de lo anterior, el autor del libro concentra sus esfuerzos en la parte matemática, por lo que tenemos que conformarnos, perdiéndonos de la física, ciencia sublime que también explotaron a fondo los guionistas. Y es así como nos enteramos de que el equipo de Futurama decidió demostrar un teorema única y exclusivamente para realizar un episodio de esta serie. En ese episodio, el profe­ sor Farnsworth inventa una máquina que permite intercambiar mentes, pero en un solo sentido, es decir, no es reversible. Y durante el desarrollo del programa, los personajes intercambian mentes, lle­ gando a las situaciones más absurdas. El teorema a que se alude demuestra que, para poder regresar la mente de cada quien a su cuerpo original, hacen falta otros dos cuerpos, y saber usarlos en la se­ cuencia correcta con la máquina intercambiadora.

Mefisto

Conclusión El libro que reseñamos brevemente en estas líneas, además de hacer notar y explicar algunas bromas matemáticas, contiene mucho más material mate­ mático. Asimismo, muestra que algunas de las refe­ rencias presentes en el programa de televisión son sólo para cerebritos, lo que hace ver que este pro­ grama no es sólo para gente ordinaria, sino también para otros igual de ñoños que los guionistas.

Tanto en Los Simpson como en Futurama, los científicos involucrados hacen un merecido home­ naje a las matemáticas (la física, y otras ciencias), lo que muestra su amor por la ciencia y su preocu­ pación por transmitirla. No sólo eso, sino que in­ cluso, por lo menos en un caso, se generó ciencia (demostrando un teorema exclusivamente para

completar un episodio). Esto no tiene precedentes en ningún otro programa de televisión.

Recomendamos ampliamente el libro, no sólo a los fans de la serie, sino también a quienes les agraden las matemáticas.

Y finalmente, suponemos que los lectores nota­ ron que al final de algunos párrafos aparecen unas preguntas marcadas con negritas. Para celebrar los cinco años de Mefisto, invitamos a nuestros lectores a contestar esas preguntas. Al primer lec­ tor que responda correctamente todas ellas, le re­ galaremos un ejemplar del libro Los Simpson y las matemáticas, o del libro The Simpsons and their Mathematical Secrets, a elegir.

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Mefisto

Epigmenio González Colaboración por cortesía de Paco Ignacio Taibo II

de la brigada Para leer en libertad.

Tenía treinta y dos años y solo había sido un en­ granaje menor de la conspiración. Pequeño co­ merciante de Querétaro, Epigmenio González era propietario de un taller ubicado en su casa de la calle de San Francisco. Junto a su hermano, que se llamaba (claro está) Emeterio, fabricaba las astas para las lanzas, y ayudado por unos coheteros ya habían manufacturado unos dos mil cartuchos.

Cuando la conspiración fue denunciada, su nombre fue uno de los primeros en salir a la luz y el día 15 de septiembre los alguaciles registraron su taller, encontrando un haz de largos palos y un hombre rellenando de pólvora unos cartuchos; dos escopetas, dos espadas y una lanza. Antes de ser detenido Epigmenio tuvo tiempo de enviar un mensajero a los conspiradores de Guanajuato. Lue­ go llegaron los gendarmes y a jaloneos y empujo­ nes se lo llevaron a la cárcel.

Mientras los acontecimientos de todos conoci­ dos se sucedían, los participantes en la conspira­ ción detenidos cayeron en un lamentable rosario de entregas, debilidades, vacilaciones y peticiones de perdón y clemencia. Epigmenio fue uno de los pocos que conservó su dignidad y no denunció a nadie.

Detenido en la Ciudad de México, mientras esperaba proceso, participó en la conspiración de Ferrer. Nuevamente descubierto fue condenado a cadena perpetua en el régimen de trabajos forza­ dos y enviado al Fuerte de San Diego en Acapulco, donde enfermó y quedó baldado. La humedad de los calabozos y los malos tratos hicieron que em­ peorara su condición. Más tarde fue deportado a Manila, donde siguió en régimen carcelario con una condena de por vida.

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Figura 1. Epigmenio González.

Desde lejos, siempre desde lejos, asistió como espectador impotente a los alzamientos y los fra­ casos del largo rosario de combates de guerra ci­ vil. Cuando en 1821 la defección de Iturbide y su alianza con Guerrero consumaron militarmente la independencia, Epigmenio seguía en prisión. Los españoles no reconocieron la nueva república y mantuvieron en cárcel y reclusión a los presos po­ líticos a los que no admitían en su nueva calidad de mexicanos.

Mefisto No sería sino hasta 1836, cuando se firmó la propuesta de paz, que Epigmenio fue liberado.

Había pasado veintisiete años en las prisiones imperiales. La liberación resultó tan terrible como la cárcel. Sin dinero, enfermo, sin poder pagar el viaje para retornar a México, por fin consiguió de las autoridades locales pasaje para España y allí, tras mucho peregrinar, un comerciante se compa­ deció de sus desventuras y le prestó los dineros.

Se podían contar ya veintiocho años fuera de su país. Cuando al fin llegó a Querétaro, de sus viejas amistades, de los conspiradores originales, no que­ daba nadie, ni siquiera su parentela le había sobre­ vivido, con la excepción de una anciana tía.

Se acercó al nuevo gobierno y le preguntaron: «¿Y usted quién es?» y Epigmenio González con­

testó muy orgulloso: «Yo soy uno de los padres de la patria, el primer armero de la revolución.» Y le dijeron: «No, cómo va a ser, la lista oficial es: Hi­ dalgo, Allende, Aldama, Morelos...Para ser padre de la patria hay que morir de manera gloriosa y estar en la lista oficial. Usted no está en la lista…»

Terminó su vida como velador de un museo, olvidado de todos, abandonado hasta de sus re­ cuerdos. Afortunadamente un periodista curioso lo descubrió en 1855 y Epigmenio narró al diario La Revolución su apasionante historia.

Mientras termino de escribir esta notita pensan­ do en Epigmenio González, me juro que he de co­ laborar a reparar el error, y cada vez que repase la lista oficial: Hidalgo, Guerrero, Morelos, Mina…, añadiré a Epigmenio.

Figura 2. Monumento a Epigmenio González en el mirador de los hombres ilustres de Querétaro.

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Mefisto

Acertijos 3. Tres gatos persiguen ratones, cada cual uno dife­ rente. Si los tres gatos tardan tres minutos en atra­ par a tres ratones, ¿cuánto tardarán cien gatos en atrapar a cien ratones?

1. En una isla habitada por dos tribus, los miem­ bros de la primera siempre dicen la verdad, mien­ tras que los de la segunda siempre mienten. Un explorador se encuentra con dos nativos, el alto era de una tribu y el pequeño era de la otra. Al pre­ guntarle que si es de los que dice la verdad, el alto contesta «bam». El misionero reconoce la palabra, pero no recuerda si es «sí» o es «no». Entonces pre­ gunta al pequeño qué era lo que había dicho el alto, y éste contesta: «dijo que sí, pero no le crea, él es un mentiroso». ¿Quién es de qué tribu?

x2

?

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4. Un triángulo tiene lados de las siguientes longi­ tudes: 17 cm, 35 cm y 52 cm. ¿Cuál es su área?

+

=

y

2. En una reunión, al saludarse dos hombres se dan la mano, pero si se saludan dos mujeres o un hom­ bre y una mujer, se dan un beso en la mejilla. Si en total hubo 21 apretones de mano y 34 besos, ¿cuán­ tas personas de cada sexo había en la reunión?

x

z

+

¿

y2

2

Z

Mefisto

Acertijos Soluciรณn a los anteriores 1. Algunas posibilidades son:

3. Una posibilidad es:

1=(5/5)5 2=(5+5)/5 4=5-5/5 5=5+5-5 0=(5-5)5

31=33+3+3/3

7 2. Algunas posibilidades son: 1=(4/4)(4+4) 2=4/4+4/4 3=(4+4+4)/4 4=4+(4-4)/4 5=4+(4/4)4 6=4+(4+4)/4 7=4+4-4/4 8=4+4+4-4 9=4+4+4/4

8

1

2

3

5 4. Una posibilidad es: 100=1+2+3+4+5+6+7+8*9

9

0

6

4 23

Mefisto

Sudoku Fácil

2 6 1 4 5 1 7 8 1 7 4 5 6 3 4 7 9 5

4

7

9 6 7 2 4 5 8 1 2 8 9 6 3 2 4 7

Solución al anterior 2 9 7 1 8 6 6 4 9 8 9 7 5 1 4 6 8 2 5 3 4

4 1 2 5 4 3 1 5 1 3 2

4 8 5 2 6 7 1 3 9 3 2 1

6 4 5

5 3 7

6 9 2 8 1

8

7 9

3 7

6 9

8 2

6 4 2 9 5 3 6 7 1 8 7 3 9 1 9 8 2 5 8 6 4 7

Difícil

Solución al anterior 4 1 7 3 7 8 9 1 5 5 2 3 9 6 3 9 4 5 2 8 5 6 3 9 1 7 2 8 4 6

9 6 2 3 4

24

1

5 2 7 8 4 1 7 6 8

8 9 5 4 2 3 6 8 1 7 4

5

7

9

2

7 1

6 8 1 7 4 2 6 9 5 3

3 4 9 5 5

1 8 6 7 3 2 9

3

4 9 7 1 2

6 5

2 2

9 9 8 5

4 8 5

9

6 8

6 5

9