Manual alumne 20140718

RESUM En aquest manual es troba la part escrita per l’alumnat, la programació i les diferents activitats sense els vídeos de la matèria Matemàtiques, màgia i cinema (i sèries de TV)

Manual d’ús intern NFB [Títol del curs]

MATES, MÀGIA I CINEMA Optativa de 3r ESO

Nom i cognoms: _________________________________________________________________

1

2

TAULA DE CONTINGUTS Taula de Continguts............................................................................. 3 CUBE ................................................................................................... 5 Anècdotes diverses ............................................................................. 8 LES POMES I EL TIR AMB ARC ............................................................... 9 NUMB3RS: PRIMER SOSPITÓS ........................................................... 10 La hipòtesi de Riemann i la conjectura de Goldbach ........................... 10 QUADRATS MÀGICS .......................................................................... 12 EL NOMBRE OCULT I LES EQUACIONS................................................. 15 Variant 1: .......................................................................................... 15 Variant 2: .......................................................................................... 16 Variant 3: .......................................................................................... 16 NÀUFRAG, CULLEN I MENTS CRIMINALS (PI O PHI?) ........................... 17 Nàufrag............................................................................................. 17 Resum............................................................................................... 17 Escena, Anàlisi .................................................................................. 17 Reproducció del text ......................................................................... 17 CULLEN ............................................................................................. 18 Ments Criminals i les traduccions inoportunes ................................... 18 MÀGIA AL CALENDARI ....................................................................... 20 Calendari 1: ....................................................................................... 20 Calendari 2: ....................................................................................... 20 Calendari 3: ....................................................................................... 20 Calendari 4: ....................................................................................... 21 PLECS DE PAPER I RUMORS................................................................ 22 ANÈCDOTES ...................................................................................... 24 MÀGIA, PROBABILITAT i FALSES VERITATS ......................................... 25 Els quatre daus .................................................................................. 25 Apostes i aniversaris.......................................................................... 25 Una aparició diferent......................................................................... 25 Una segona aparició diferent ............................................................. 25 El tauler trencat? ............................................................................... 26 Els xinesos de Sam Loyd..................................................................... 26 Altres aparicions: original de Miquel Capó Caules .............................. 26 ELS SIMPSON I FUTURAMA: FRACCIONS I MÉS FRACCIONS ................. 27 ELS SIMPSON .................................................................................... 27 FUTURAMA ....................................................................................... 27 Homer en la tercera dimensió i altres................................................. 27 Jo, company de pis. ........................................................................... 29 ANÈCDOTES ...................................................................................... 29 DAUS ................................................................................................ 31 El joc de les tres copes ....................................................................... 31 Cinc caixes i moltes monedes............................................................. 31 Les 27 cartes ..................................................................................... 32 Encertant nombre i pal d’una carta qualsevol..................................... 32 Més daus .......................................................................................... 32 Juguem amb monedes ....................................................................... 33 La cinta de Möbius ............................................................................ 33

3

AMOR, EQUACIONS I DIFERÈNCIES D’EDAT ........................................ 34 Amor i lletres (2010). ........................................................................ 34 Reclutes. .......................................................................................... 34 Perdona si li dic amor (2014), també hi ha la versió italiana del 2008. 34 Hard Candy (2005). ........................................................................... 35 OPERACIONS FINANCERES ................................................................ 36 FUTURAMA Episodi: “Uns valuosos peixets” ......................................... 36 Els Simpson Episodi: “Bart el delator” ............................................... 36 Els Simpson Episodi: “Mare Simpson”................................................ 37 Futurama Episodi: “Accions futures” ................................................. 37 JOCS AMB NOMBRES ........................................................................ 38 4 IGUAL A 5! ..................................................................................... 38 3 IGUAL A -2 ..................................................................................... 38 8 = 12 ............................................................................................... 39 4>7 ................................................................................................... 39 Bibliografia ....................................................................................... 40 Webgrafia ........................................................................................ 40 Pel·lícules i sèries........................................................................................... 42

RETALLABLES .................................................................................... 41

4

CUBE Encara que la pel·lícula no està sencera, s'han tret escenes que no eren imprescindibles per veure-la, es pot analitzar tot el que conté de tipus matemàtic.

Com heu vist la pel·lícula gira entorn de les relacions que s'estableixen entre sis persones (un policia, un enginyer, un lladre professional, una metge, un autista i una brillant matemàtica). Totes elles són desconegudes entre si, però desperten un dia i es troben atrapades en un estrany i surrealista laberint format per habitacions cúbiques les parets estan plenes de trampes mortals.

Els protagonistes, per trobar la sortida, necessitaran treballar en equip i resoldre una sèrie d'operacions matemàtiques relacionades amb els nombres primers i la factorització.

Al llarg de la pel·lícula veurem com els comportaments dels personatges i les relacions entre ells experimenten un canvi, propiciat per la necessitat de supervivència.

I L · LUSTRACIÓ 1: C UBE .

Leaven s’adona que cada habitació té un número gravat: 566 472 737. 

Quentin: Què deuen significar? Nombres de sèrie? (476 804 539 és un altre).



Holloway: Nombre d’habitacles. Són diferents en cada espai.



Worth: Genial, sembla que només hi ha 566 milions d’habitacles.

És lògic pensar això en un principi, nosaltres utilitzem els nombres naturals per a comptar, per tant si veiem el número 566 472 737 el més normal no és pensar que són 9 nombres separats de 3 en 3, sinó pensar que es tracta del número cinccents seixanta-sis milions quatre-cents setanta-dos mil set-cents trenta-set, i per tant pensar que hi ha 566 milions i escaig d’habitacles. 

Quins són els nombres naturals? Per a què els necessitem i els utilitzem a més de per a comptar?

És en aquesta habitació on s’adonen que a Leaven li han deixat les ulleres, i que només les necessita per a llegir, i dedueixen que és per algun motiu: per a llegir els nombres de les portes i fer càlculs; Leaven estudia matemàtiques a la universitat!

Ensenyen més números d’habitacions: 582 434 865 149 419 568 I L · LUSTRACIÓ 2: LEAVEN AMB LES ULLERES .

645 372 649 En un principi, Leaven suposa que una habitació té trampa si algun dels tres números que la identifica és un nombre primer.

Les diferents plaques que es mostren a la pel·lícula tenen els números següents: 566 472 737

645 372 649

567 898 545

476 804 939

656 778 462

582 434 865

517 478 565

149 419 568

666 897 466

5



Quines habitacions tenen trampes?



Per a ajudar-te analitzarem junts la primera habitació:



Anem al primer grup de 3 xifres: 566. No és un nombre primer perquè es pot dividir entre 2.



Anem al segon grup de 3 xifres: 472. Tampoc és primer.



Anem al tercer grup de 3 xifres: 737. No és primer perquè es pot dividir entre 11.

Fem una observació del que passa en la pel·lícula: Leaven és capaç de deduir ràpidament que les trampes de les habitacions depenen de si els nombres són primers o no i, no obstant això, quan ha de dir si el 645 és primer ha de pensar-ho molt; el mateix ocorre quan ha de pensar si el 372 és primer. 

Per què Leaven hauria d’haver deduït, quasi sense pensar, que aquests nombres no són primers? És a dir, és molt fàcil de demostrar que no són primers, per què?

Continua la pel·lícula i ens parlen d’altres aspectes matemàtics. La teoria que les habitacions que no contenen nombres primers són segures falla ja que té trampa. 

Què passa?

Si ens donen el número 256 i en calculem la factorització en nombres primers, obtenim que és 2 elevat a 8.

I L · LUSTRACIÓ 3: KAZAN PENSANT .

En la pel·lícula Leaven diu que “Ningú al món podria calcular aquestes factoritzacions mentalment!”

Però Kazan el personatge que és autista ràpidament troba les solucions al nombre de factors! Les permutacions permeten predir el moviment dels diferents cubs.

Tot i això... se'n surten i nosaltres també podem. 

Has d’identificar, segons esta nova teoria, quins dels següents nombres que apareixen en la pel·lícula són potència d’un nombre primer i, per tant, tenen trampa.

567 545 462 805 030 656 563 206 898 779 384 911

6

Per determinar la posició relativa de les habitacions al conjunt total, s'han de sumar els dígits de cada grup entre si. Per exemple, la sala 582.434.865 donaria les coordenades (15, 11, 19). Aconsegueix les coordenades de cada sala enumerada anteriorment i comprova si en algun cas responen a estades adjacents. 

Contradiuen els resultats l'argument de la pel·lícula? (veure errades)

Suposant que els moviments dels cubs obeeixen a una llei fixa, programada, els protagonistes necessitaran conèixer en quin moment tornen a la posició original amb l'esperança de trobar la sortida. A la pel·lícula la pauta que segueixen és la següent: prenguem com a exemple la sala 567.898.545 (és a dir, la corresponent a les coordenades (18, 25, 14)). Es resten els dígits de la manera: 567 → 5 - 6 = -1; 6 - 7 = -1; 7-5 = 2 898 → 8-9 = -1; 9-8 = 1; 8-8 = 0 545 → 5 - 4 = 1; 4 - 5 = -1; 5 - 5 = 0 D'aquí resulten, prenent-los per columnes, els vectors de permutació (-1, -1, 1), (1, 1, -1), (2, 0, 0). Aquests vectors ens indiquen les tres possibles posicions per a la habitació 567.898.545, que són: (18, 25, 14) + (-1, -1, 1) = (17, 24, 15) (17, 24, 15) + (-1, 1, -1) = (16, 25, 14) (16, 25, 14) + (2, 0, 0) = (18, 25, 14) Observeu que amb aquest procediment, cada tres moviments, sempre es torna a la posició de partida.  7

Pots explicar per què?

Segons això, coneixent la posició de l'habitació actual i les de les adjacents, es pot saber si estem en posicions consecutives i en quin moviment tornem a la situació de partida. A la pel·lícula, estant en el cub de coordenades (17, 25, 14), Leaven demana als seus companys que li indiquen els números de les sales contigües, que són 666.897.466, 567.898.545 i 656.778.462. 

Corresponen aquestes codificacions a posicions consecutives per alguna de les seves permutacions?



Ah, i a la pel·lícula hi ha diverses errades... Podeu trobar alguna???

(NOTA: en el muntatge final de la pel·lícula es van descartar algunes escenes).

A NÈCDOTES DIVERSES I L · LUSTRACIÓ 4: HABITACIÓ VERMELLA .

I L · LUSTRACIÓ 5: HABITACIÓ BLAVA .

Només es va construir un cub que mesurava 14 per 14 per 14 peus, i només comptava amb una porta de treball que, en realitat, podia suportar el pes dels actors.

El color de l'habitació anava canviant per panells lliscants pintats amb diferents colors. Com era car anar variant el color totes les escenes que tenen lloc a les habitacions d'un color específic es van filmar alhora. Es pretenia que hi hagués sis colors diferents d'habitacions perquè coincidissin amb el tema recurrent de sis en tota la pel·lícula: cinc conjunts de panells de gel més blanc pur. No obstant això, el pressupost no va arribar per al sisè panell, de manera que hi ha només cinc colors diferents de l'habitació. Un altre cub parcial es va fer per les tomes d'habitacions conjuntes.

8

LES POMES I EL TIR AMB ARC Com veieu el Marc té poques ganes d'aprendre ja que normalment fracassa, però nosaltres sempre hem de pensar que les proves estan per superar-les. 

Què vol dir al llarg del vídeo la veu en off que ens comenta que un angle es transforma en línia?



Quins elements matemàtics es tracten al llarg del capítol?



Podem fer estimacions de les alçades en veure-hi el mur?



Què us suggereix la imatge de les trajectòries?



Com podem saber el que costa encertar cada color?

I L · LUSTRACIÓ 6: TRAJECTÒRIES DE

TIR .

Mireu la imatge de les dianes de diferents colors i deduïu tot el necessari tenint en compte per exemple que els radis siguin 2, 4, 6, 8 i 10 cm. 

Quines serien les superfícies dels cercles i de les diferents corones circulars?

Pot ser molt interessant observar aquesta sèrie de nombres (o sigui de superfícies de les diferents zones) ja que tenen propietats rellevants. 

Quines són aquestes propietats?

D’aquestes superfícies la groga, més la vermella, més la blau clara val igual que la blanca. 

9

Aquesta curiositat pot tenir alguna relació amb el teorema de Pitàgores?

Què és un tern pitagòric? Creieu que les relacions ens fonamenten dir que estem davant una d'elles?

I L · LUSTRACIÓ 7: DIFERENTS DIANES .

NUMB3RS: PRIMER SOSPITÓS Aquesta sèrie tracta sobre un agent de l'FBI, Don Eppes (Rob Morrow), que recluta al seu germà Charlie (David Krumholtz), un brillant geni professor de matemàtiques, perquè l'ajudi en l'agència. Charlie, amb l'ús de la ciència matemàtica, ajudarà al departament de l'FBI a resoldre els crims més actuals de la ciutat de Los Angeles.

Encara que parlem i parlem de Fibonacci, aquesta presentació és un tresor!

I L · LUSTRACIÓ 8: NUMBERS , PORTADA .

Aquest capítol correspon a la primera temporada de la sèrie. En aquest, la filla d'un matemàtic és segrestada. El mòbil és un suposat descobriment del pare sobre la demostració de la hipòtesi de Riemann.

Aquesta troballa podria tenir fatals conseqüències per a la seguretat internacional, ja que obriria el camí per obtenir la distribució dels nombres primers, en els quals es basen tots els codis de seguretat: en particular, els utilitzats a internet per a les transaccions segures.

L A HIPÒTESI DE R IEMANN I LA CONJECTU RA DE G OLDBACH Hi ha una formulació senzilla de la hipòtesi de Riemann que és la següent: Considerem la sèrie dels nombres naturals, 1, 2, 3, 4, 5, etc. i rebutgem els que siguin divisibles pel quadrat d'un natural més gran que 1; és a dir, esborrem de la llista del 4, 8, 9, 16, 18, 20, 24, etc., I obtenim els naturals lliures de quadrats: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, etc.

Cadascun dels naturals de la llista anterior, excepte l'1, té una factorització única com a producte de nombres primers diferents. Alguns d'aquests naturals lliures de quadrats són el producte d'un nombre parell de primers, i altres són el producte d'un nombre imparell de primers.

I L · LUSTRACIÓ 9: CHARLIE EXPLICANT .

Anomenarem a un nombre natural bo si és l'1 o si és el producte d'un nombre parell de primers diferents; l'anomenarem dolent si és el producte d'un nombre imparell de primers diferents.

En particular un nombre primer és dolent. Així, 10 = 2 x 5 és bo però 30 = 2 x 3 x 5 és dolent. 

Prova la hipòtesi de Riemann per al valor N = 100.

La conjectura de Goldbach diu: “Tot nombre parell més gran que dos és la suma de dos nombres primers.” Per exemple: 4=2+2

6=3+3

8=5+3

10=7+3.

Aquesta conjectura ha estat verificada fins 100 000 000 000 000 però encara no se ha trobat una demostració matemàtica. 

Expressa els primers 50 nombres parells superiors a 2 com la suma de dos nombres primers.

Es diu que un nombre p és primer bessó si p-1 i p+1 són primers, anomenats primers associats.

10

Per exemple, 4, 6 i 12 són primers bessons. La conjectura dels nombres primers bessons afirma: “Hi ha infinits nombres primers bessons”.

11



Busca tots els nombres primers bessons entre 1 i 100.



Sabries dir quins són els nombres primers bessons els associats dels quals apareixen en la xarxa del capítol?



Charlie proposa factoritzar aquest nombre de 19 xifres. Pots ajudar-lo?

I L · LUSTRACIÓ 10: NOMBRE ELEVAT .

QUADRATS MĂ€GICS Un quadrat mĂ gic ĂŠs aquell en el qual la suma dels nombres situats en qualsevol de les lĂ­nies horitzontal, vertical o diagonal donen sempre el mateix resultat, conegut com constant mĂ gica del quadrat.

Usualment els nombres emprats sĂłn consecutius de l'1 a n al quadrat, essent n el nombre de columnes i files del quadrat.

Per exemple agafant la successió aritmètica des de l'1 al 36 i disposat en dues sèries ens trobaríem amb: I L ¡ LUSTRACIÓ 11: QUADRAT MÀGIC .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

3 6

3 5

3 4

3 3

3 2

3 1

3 0

2 9

2 8

2 7

2 6

2 5

2 4

2 3

2 2

2 1

2 0

1 9

Resulta evident que qualsevol parell de nombres alineats verticalment suma el mateix, ja que a mesura que ens desplacem per les columnes en la fila superior s'hi afegeix una unitat mentre que en la inferior se n'hi resta una. La suma ĂŠs, en tots els casos, la dels extrems: n2 + 1 = 36 + 1 = 37 1

2

3

4

5

6

12

11

10

9

8

7

13

14

15

16

17

18

24

23

22

21

20

19

25

26

27

28

29

30

36

35

34

33

32

31

I L ¡ LUSTRACIÓ 12: Q UADRAT FORMAT 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

I L ¡ LUSTRACIÓ 13: Q UADRAT FORMAT 2.

Si es disposen el conjunt de nombres en sis files (vegeu il¡lustració 12), fà cilment es pot apreciar que les sumes en les diferents columnes han de ser necessà riament iguals, ja que els nombres es troben agrupats per parelles tal com ho estaven en el primer cas (compareu les parelles de files 1a-6a, 2a-5a i 3a-4a amb la disposició original). Ara, tanmateix, per ser tres (n/2) les parelles de files, la suma resulta: M2 (n) =

đ?‘› (đ?‘›2 +1) 2

quantitat anomenada constant mà gica, i que en aquest cas Ês n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Ordre n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

M2 (n)

15

34

65

111

175

260

369

505

671

870

1105

El quadrat anterior (Il¡lustració 13) no Ês pas un quadrat mà gic, ja que les sumes de cada fila són cada cop mÊs grans. No obstant això, s'han trobat sis sèries de nombres compresos entre 1 i 36 de forma tal que, sense repetir-se'n cap, les sumes de les sèries són la constant mà gica. Però, Ês mÊs, la suma de les xifres de la diagonal principal en un quadrat així construït Ês tambÊ la constant mà gica: els nombres de la diagonal principal es poden escriure de la forma (a-1)×n + a.

Calculant la suma, sabent que les files a van d'1 a n:

hagi dos nombres de la mateixa fila o columna sumarĂ la constant mĂ gica.

Escrivint el terme i, j de la matriu com (i-1)Ă—n + j, i prenent 6 termes qualssevol amb la condiciĂł que ni i, ni j es repeteixin i variĂŻn d'1 a n, l'equaciĂł resultant 12

obtinguda és exactament l'escrita per al cas anterior, que condueix de la mateixa manera cap a la constant màgica.

Com es pot demostrar, la quantitat de sèries possibles de n nombres que compleixin la condició anterior és n!, 720 en quadrats d'ordre 6, i ni tan sols són totes les possibles, ja que abans s'havien obtingut sis sèries no incloses entre elles.

En definitiva, sent possible construir (n²)! matrius en les que cap terme es repeteixi i existent almenys només n! (en realitat, moltes més) combinacions de nombres que sumin la constant màgica, s'intueix que podria ser impossible construir quadrats màgics. 

D'ordre 3, existeix un únic quadrat màgic. Podeu cercar qui va establir els quadrats màgics d'ordre 4?



I anant més enllà, podeu trobar qui o quins matemàtics han fet estimacions per conèixer quadrats màgics d'ordre superior?



L'exemple per excel·lència a Barcelona és el quadrat màgic de la Sagrada Família. Podeu trobar les característiques d'aquest quadrat màgic?

I L · LUSTRACIÓ 14: QUADRAT F AMÍLIA , B ARCELONA .

MÀGIC

S AGRADA

Un bon exemple és el següent vídeo "The Grid" de Richard Wiseman.

Però també existeixen altres quadrats màgics diferents no tant coneguts com els de Pedro Alegria que ell anomena quadrat màgic reversible.

Observeu el quadre i: 1.

Escolliu un nombre qualsevol.

2.

Elimineu tots els nombres que estan en la seva mateixa fila i columna.

3.

Dels que queden escolliu un altre.

4.

Torneu a eliminar files i columnes.

5.

Escolliu un altre nombre.

6.

Torneu a eliminar les files i columnes i us queda un únic nombre que també escollireu!

7.

Si sumeu els 4 nombres que heu escollit voluntàriament el resultat és sempre 29!!

6

9

7

11

3

6

4

8

4

7

5

9

7

10

8

12

I L · LUSTRACIÓ 15: Q UADRAT M ÀGIC REVERSIBLE .

29

2

5

3

7

5

3

7

El resultat no depèn dels nombres escollits la qual cosa és sorprenent i màgica!

Suposeu que voleu que sempre la suma sigui 29 (bé cada parell o grup ha d'escollir un altre nombre) i volem fer un quadrat de 4x4. Llavors farem el següent: 1.

Descomposeu el nombre 29 en 8 sumands perquè volem 4 files i 4 columnes, aquests poden ser repetits o no. 29 = (2+5+3+7) + (4+1+2+5)

2.

Posem els quatre primers en fila i els següents en columna.

3.

Desprès emplenem cada cel·la sumant el corresponent nombre de la seva fila i de la seva columna fins a completar el quadrat.

4 1 2 5 29

2

4

11

1

6

2 5

Si voleu donar un gir màgic o fer-ho amb cartes es pot transformar el quadrat ....

L'explicació matemàtica s'esdevé del fet que el quadrat es correspon a : 13

7

a

b

c

d

e

a+e

b+e

c+e

d+e

f

a+f

b+f

c+f

d+f

g

a+g

b+g

c+g

d+g

h

a+h

b+h

c+h

d+h

En escollir un element de cada fila i columna hem de sumar només un cop i la propietat commutativa fa la resta...

● Ara cal fer el vostre quadrat màgic!!!

Per saber més i fer-ne més: quadrats màgics

14

a+b+c+d+e+f+g+h=S

EL NOMBRE OCULT I LES EQUACIONS Aquest joc de màgia el podeu fer servir en qualsevol moment. Cal escollir un amic i dir-li que agafi una calculadora.

Acte seguit feu una mica de teatre per començar i:

● ● ● ● ●

Digueu-li que escrigui un nombre de 3 xifres.

Multiplica'l per dos.

Multiplica'l per un nombre d'una xifra diferent a zero.

Mutiplica'l per tres.

Torna a multiplicar-lo per un I L · LUSTRACIÓ 16: MATEMAG . nombre d'una xifra diferent de zero. ● Multiplica'l per sis. ● Per tercer cop multiplica'l per un nombre d'una xifra diferent a zero. ● En aquest moment comptes amb un nombre de 3 xifres. Escull una de les xifres diferent a zero i digues les altres amb l'ordre que tu vulguis.

Quan el voluntari hagi desvetllat totes les xifres excepte una el matemag adivinarà en pocs segons la xifra que falta. (Sumant les xifres i afegint un nombre per donar com a resultat el menor múltiple de 9).

Sabeu explicar la raó?

V ARIANT 1: 1.

Pensa un nombre de l'1 al 9.

2.

Resta 3.

3.

Multiplica el resultat per tres.

4.

Eleva al quadrat el resultat (recordeu que us heu de saber els quadrats de l'1 al 15!!)

5.

Suma les xifres del resultat del pas anterior. Si el nombre resultant té més d'una xifra torna a sumar... fins que només tinguis una!

6.

Si el resultat és més petit que 5 suma 5, si és superior a 5 o 5, resta quatre.

7.

Multiplica el resultat per dos.

8.

Resta 6.

9.

Assigna al resultat una lletra de l'alfabet. L'A és 1, la B és 2, la C és 3, la D és 4...

10. Pensa en un país europeu que comenci per la lletra anterior.

11. Pensa en un animal que comenci per la segona vocal del país anterior.

Comprova si ho he encertat: Què penses fer amb una Iguana a Dinamarca? 

En aquest cas també sabeu explicar la raó?

I L · LUSTRACIÓ 17: I GUANA I D INAMARCA .

15

V ARIANT 2: 1.

Pensa un nombre de tres xifres diferents.

2.

Forma un segon nombre amb les mateixes xifres però les escrius amb l'ordre invers.

3.

Resta el menor del major.

4.

El resultat és un nombre de 3 xifres, digues les centenes o les unitats i jo diré les altres! (La suma sempre donarà 9, si et diuen 4 diràs 5...).



Com ho he fet per no equivocar-me?

V ARIANT 3: Heu de demanar a un voluntari que escrigui la seva data de naixement de la forma ddmmaaaa. Reordenant les xifres formeu un nombre de 8 dígits i resteu el menor del major.

Sumeu totes les xifres del nombre fins arribar a una de sola. (Sempre és nou). 

16

Ho he endevinat? Com?

NÀUFRAG, CULLEN I MENTS CRIMINALS (PI O PHI?) Suposo que tothom coneix els dos nombres irracionals!!

NÀUFRAG NÀUFRAG (Robert Zemeckis, 2000) ens situa en la capacitat de supervivència d'un mateix per sobre de la seva condició humana adaptant-se al medi en què un ha de viure. La pel·lícula descriu els intents d'un home per sobreviure en una illa deserta.

I L · LUSTRACIÓ 18: N ÀUFRAG .

R ESUM ( WIKIPÈDIA ) Chuck Noland (Tom Hanks) és un hiperactiu executiu que viu addicte i immers en el seu treball en una empresa de correu express (FEDEX) on els rellotges són la pauta de la seva agitada vida, la seva núvia amb prou feines pot compartir temps amb ell. Tota la seva vida es basa en minuts i compliments de lliuraments; supervisa ell mateix cada operació d'importància. El seu lema és que l'home viu en funció del temps.

La promesa de Noland és Kelly (Helen Hunt), una estudiant universitària amb la qual passa algunes hores. Per Nadal, Noland lliura un regal a Kelly (aparentment un anell de compromís) i ella li dóna un rellotge de butxaca amb la seva foto a l'interior de la tapa. El protagonista ha d'anar a Hawaii, tornar en 8 dies més i aborda un avió de FEDEX. La seva vida fa un brusc canvi quan la nau en què viatja cau al mar en travessar una tempesta imprevista, deixant a Chuck com a únic supervivent en una illa tropical de tot just centenars de metres, totalment apartat de la resta del món.

El desenvolupament següent de la història mostra com es torna l'home davant semblant adversitat, aprofitant qualsevol element que estigui disponible, sigui natural o les restes del destrossat vehicle que el transportava, en aquest sentit és una versió moderna del llegendari Robinson Crusoe.

E SCENA , A NÀLISI 

Tom Hanks A nàufrag (Robert Zemeckis. 2000) utilitza adequadament la relació de l'àrea del cercle amb pi?

R EPRODUCCIÓ DEL TEXT Portàvem volant 11 hores i mitja des Menphis. Anàvem a unes 475 milles per hora, així que creurien que estàvem aquí (assenyala un punt en una roca), però vam perdre el contacte per ràdio i vam romandre en la tempesta durant una hora.

Quina distància hi haurà?

Unes 400 milles. 400 milles al quadrat són 160.000. Multiplicades per pi ... 3,14.

● Això fa, ___________ (quin és el nombre què diu?) ● Han de buscar en una àrea de 500.000 milles quadrades, dues vegades l'Estat de _____

17

I L · LUSTRACIÓ 19: ANOTANT A LA PARED .

CULLEN Sorprenentment, també calcula amb pi el vampir Edward Cullen, protagonista de Crepuscle (Catherine Hardwicke 2008) en els seus evasives quan Bella Swan, la noia, l'interroga sobre els seus estranys comportaments: - Has de donar-me algunes respostes - Sí, per arribar a l'altre costat. 1,72245 ...

- No vull saber l'arrel quadrada de pi. 

És cert que 1,72 és l'arrel de pi?

I L · LUSTRACIÓ 20: E DWARD I B ELLA .

M ENTS

C RIMINALS

I

LES

TRADU CCIONS

INOPORTUNES Ments criminals (Criminal Minds) és una sèrie de la CBS els protagonistes són un equip d'agents de l'FBI que es dedica a fer anàlisis psicològiques a criminals per facilitar la seva captura.

Cada un dels agents desenvolupa personalitats diferents que es complementen en la sèrie però en destaca el jove doctor Spencer Reid que es va graduar a una escola pública i va començar la universitats als 13 anys i compte amb tres doctorats en matemàtiques, química i enginyeria als 21 anys. També és llicenciat en Psicologia i Sociologia i té tres doctorats en Filosofia amb un coeficient intel·lectual del 187, una memòria eidètica 1 i llegint 20.000 paraules per minut.

Això fa que a la sèrie interpreti molts cops i resolgui els enigmes aplicant la seva prodigiosa ment.

I L · LUSTRACIÓ 21: EL D OCTOR S PENSER R EID .

Nekane Tokero, alumna de la UPV / EHU, va informar d'una "errada" matemàtica que havia localitzat en l'episodi 8 de la 4a temporada, titulat "Obra Mestra", errada de traducció ja que confonen en el doblatge castellà el nombre pi amb phi.

I no val justificar perquè els noms de tots dos nombres irracionals s'assemblen.

Comença l'episodi amb un recorregut de la càmera per el cau de l'assassí, decorada amb imatges sobre la raó àuria: el quadre de l'Últim Sopar de Leonardo da Vinci, l'Home de Vitruvi, la closca del Nautilus, etc. Més endavant, veiem que és el mateix assassí qui porta un penjoll amb l'espiral àuria. Quan es comunica per email, ho fa des de la direcció www.goldenratio.net. Tots els detalls anteriors apunten clarament al nombre phi.

I L · LUSTRACIÓ 22: IMATGE DE LA GUARDER IA .

Aviat coneixem l'assassí confés, que és una persona obsessiva, preocupat per la perfecció. Totes les seves víctimes són dones especialment guapes. Declara arrogant que abans de 10 hores moriran les víctimes, a qui ha tancat en una trampa mortal, llevat que l'FBI les localitzi. Acostumats com estem a la desfilada per les pantalles de matemàtics "mentalment perjudicats", ja no ens molestarem en lamentar-ho. Simplement anotem una nova variant a la col·lecció: assassí en sèrie.

Els ostatges sota amenaça són una mestra d'Educació Infantil i els seus alumnes.

En el reconeixement de l'aula buida, un agent observa que les joguines han quedat amb l'agrupació que veieu al jardí.

1

Terme culte per indicar memòria fotogràfica.

18

Fins aquí tot sembla coherent per a un thriller psicològic amb tints cultes. Però el problema ve quan el perspicaç agent explica la relació entre la Successió de Fibonacci, l'espiral àuria i el nombre phi (límit del quocient de termes consecutius de la successió).

Ho fa correctament fins que diu aquestes paraules: -"El nombre irracional anomenat phi és la raó de la circumferència respecte al seu diàmetre".

Ho ha confós amb pi ... però a qui cal atribuir la confusió?

Diu Nekane: "en la versió original donen la definició correcta; diu alguna cosa com: el nombre irracional phi està basat en la relació entre els segments d'una línia i el tot".

Així que, un cop més és un error del doblatge.

Els ha guiat la imatge de les joguines que han confós amb un cercle i el seu diàmetre?

Sigui el que sigui, quedi clar: phi no és pi.

19



Quina és la Successió de Fibonacci?



Quina relació té amb l'espiral àuria? (Imatge)



Feu una petita recerca de les diferències entre pi i phi!!

I L · LUSTRACIÓ 23: M ATEMÀTIQUES AL LLOC .

M ÀGIA AL CALENDARI Una pàgina qualsevol d'un calendari no és més que una taula numèrica amb nombres naturals consecutius. 

Quins són els nombres naturals consecutius? (És broma!!)

Els trucs explicats es poden fer amb qualsevol sèrie de nombres però és ben cert que amb una mica de teatre i un calendari queden molt millor!!

C ALENDARI 1: I L · LUSTRACIÓ 24: CALENDARI 1.

Donem a un voluntari un retolador i un calendari (dels que tenen a cada pàgina un mes ens regalen els bancs/caixes). També li facilitem l'ús d'una calculadora.

Val usar el mòbil, però...

El voluntari ha de marcat un quadrat de 4x4 qualsevol en el calendari.

I ara comença el repte, el matemag i el voluntari han de començar una batalla per veure qui pot calcular més ràpidament la suma dels 16 dies que hi ha dins el quadrat que ha dibuixat!!!

Eiii! Sempre guanyarà el matemag!!! 

Sabeu dir-me la raó??

C ALENDARI 2: Com en el cas anterior li donem un mes qualsevol (també podríeu donar tot el calendari i que esculli un mes però llavors hauríeu de portar tants calendaris com la suma de tots vosaltres dividida entre dos, o com el nombre que equival a la meitat de vosaltres!!).

També demanem que dibuixi un quadrat de 4x4 és a dir, 16 nombres que demanem al voluntari que remarqui a la vista del matemag. A continuació el matemag es girarà d'esquenes i demanarà al voluntari que esculli i marqui un dels 16 nombres. Un cop escollit tatxarà tots els nombres que estiguin en la mateixa fila i en la mateixa columna que el nombre escollit.

I L · LUSTRACIÓ 25: CALENDARI 2.

Desprès escollirà un altre nombre i farà el mateix, un tercer i un quart de manera que tots els nombres que composen el quadrat escollir queden tatxats o encerclats. Un cop acabat el matemag demanarà al voluntari que sumi els 4 nombres i li digui la xifra i, bé, l'encertarà!!!! 

Sabeu la raó?

C ALENDARI 3: Com sempre, full de calendari! Ara demanem al voluntari que esculli tres dies consecutius, i poden ser consecutius en horitzontal, vertical i/o diagonal. Amb aquests primers dies obtindrà una xifra que en aquest cas es correspon als verds i és 1917. Li demanem al voluntari que ho torni a fer amb tres nombres consecutius més i obté 71421.

I L · LUSTRACIÓ 26: CALENDARI 3.

Amb ajuda d'una calculadora li demanem que multipliqui ambdós nombres que en aquest dóna 136914057.

20

El darrer pas és demanar al voluntari que dicti les xifres però saltant-ne una que no sigui el zero. Sigui la que sigui el matemag l’endevinarà. 

En aquest cas ho podeu repetir algunes vegades per desprès endevinar la raó de l'encert?

C ALENDARI 4: En aquest darrer cas la única variació és escollir 20 nombres, és a dir, una taula de 5x4. En aquest cas cal un cop escollida aquesta començar una cursa entre el matemag i el voluntari per sumar els 20 nombres abans que l'altre. Sempre guanya el mag. 

Pots explicar que fa el mag per no perdre mai?

I L · LUSTRACIÓ 27: CALENDARI 4.

21

PLECS DE PAPER I RUMORS En l’episodi de Numb3rs “Crisi d’identitat”, Charlie intenta explicar com ha procedit un estafador utilitzant com a exemple un curiós problema de matemàtiques en què es calcula l’altura que es pot aconseguir doblegant successivament un paper.

Charlie comenta: “He doblegat aquest paper dos vegades; ara és quatre vegades més gros que abans. Si elevem els plecs a la cinquantena potència, quina altura tindria el munt de paper resultant?”.

I L · LUSTRACIÓ 28: C HARLIE PAPER .



FENT PLECS DE

25 

Amb l’ajuda de la calculadora, indica el valor de les potències següents: 73

94

(-2)4

(-3)2

(-5)3

(-6)3

Completa:

El valor de la potència d’un nombre negatiu serà positiu si l’exponent és______________ i negatiu si l’exponent és_____________ 

Calcula el valor dels productes següents: 2,54367·103 = 11,8765·104 = 3,17652·1012 = -5,00001·1099 =



Si tenim en compte que la distància de la Terra al Sol és d’aproximadament 1,5· 108 km, té raó Charlie quan afirma que el munt que en resulta arribaria al Sol?

Si analitzem l’estafa que Charlie i el seu germà estan investigant i com intenten comprendre la manera com Riley, l’estafador, s’havia pogut apoderar de 524.288 dòlars veiem que juguem amb potències i per tant podem analitzar que: “Riley era un estafador; un esquema de piràmide… En compte de treure grans sumes que cridaren l’atenció, ell aconseguia molts diners sense que es dones l’alarma… Va començar agafant 2 dòlars de cada compte. Després va tornar els diners uns dies més tard i va treure després 2 dòlars més del doble de comptes; o sigui que tornava 2 dòlars i es quedava amb els altres dos”.

I L · LUSTRACIÓ 29: QUANTITAT ESTAFADA .

Una estafa piramidal és aquella en la qual no hi ha una activitat o inversió real que la sustenti, sinó que els beneficis d'uns inversors" es paguen directament amb els diners que inverteixen altres inversors. Aquestes empreses simplement es dediquen a donar els diners dels nous als antics inversors, quedant-se amb una part.

Inicialment el sistema funciona perquè al principi entra poca gent i això fa que hi hagi més inversors nous que antics, el que permet que amb els diners de molts (els nous) puguin pagar a uns pocs (els antics) els diners que van posar més els beneficis promesos. Però a mesura que va creixent el sistema s'acosta el seu final, ja que arriba un moment en què ja els resulta molt difícil enganyar gent nova i això fa que els nous no siguin molts sinó pocs en comparació amb la gent que ha de començar a cobrar en el futur proper. Arribat aquest moment crític les persones que van muntar el sistema desapareixen per sempre amb tots els diners que estigui en aquests moments en el seu poder i ja ningú més cobra el promès.

22

I L · LUSTRACIÓ 30: ESTAFA PIRAMIDAL , ESQUEMA .

I perquè es continuen donant aquestes estafes, primer de tot perquè els primers inversos cobren i per tant donen credibilitat a la inversió, el segon ve donat per l’alta rendibilitat promesa i a més diuen que es segura i en tercer lloc perquè son recomanats per amics o persones properes que són els primer o els enreden els mateixos estafadors fent que aportin altra gent per augmentar la seva rendibilitat.

Per cert dues conegudes són les d’ “esquema Ponzi” - per Carlo Ponzi que va ser el primer en fer-ho - i la de la firma TelexFree que és la més actual ja que és del 17 de juliol de 2014 quan James Merrill, va ser detingut a Boston al juny i posat en llibertat amb una fiança de 900.000 $.

Si tenim en compte que el quadre d’inversions és el següent per als 5 primers nivells en el cas de l’episodi: Nivell

Nombre comptes

Treu

Torna

Saldo

1

1

2

0

2

2

2

4

2

2

3

4

8

4

4

4

8

16

8

8

5

16

32

16

16

23



Utilitza la potència per a indicar el saldo que aconseguirà Riley en el nivell n.



Terry: Com va aconseguir mig milió? Amb l’ajuda de la calculadora, indica quin és el primer nivell en què el seu saldo és superior a 500.000 dòlars i en quants moviments arriba a la xifra de l’estafa realitzada.

En l’episodi RUMOR el problema que comenta Charlie és prou complex, ja que, encara que pareix simple, no totes les persones exposades es contagien, i este detall n’augmenta la dificultat.

Utilitzem este exemple per a resoldre un problema més senzill.

“A les 8:30 h, a l’arribar a l’institut, tres alumnes de 2n d’ESO s’assabenten d’un xafardeig sobre un professor. Als cinc minuts, cada un d’ells l’explica a tres alumnes més. Al cap de 5 minuts, cada un dels nous coneixedors comunica la notícia a altres tres i així successivament.”

I L · LUSTRACIÓ 31: RUMORS .



Quants alumnes sabran la història al cap d’un quart d’hora?



Si aquest dia a l’institut hi ha 363 alumnes, a quina hora ho sabran tots?

ANÈCDOTES Alguns dels casos que resol Charlie són reals, documentats en els arxius del FBI Per a la resta, ha treballat en Numb3rs un equip assessor de matemàtics. Però, per tal de mantenir el ritme en una sèrie d'acció, es donen explicacions molt someres que amb prou feines deixen entreveure el fonament científic de cada solució.

Per a aquestes ràpides presentacions de les idees matemàtiques i els processos d'aplicació s'utilitzen infografies i eficaços metàfores: un aspersor de reg (Episodi Pilot), dos corredors a la platja (Episodi 7: Realitat falsificada), etc. D'aquí es passa de seguida a les escenes en què Charlie plena pissarres.

Els gràfics i símbols matemàtics desfilen per la pantalla, incomprensibles per al públic, als ulls pot semblar que es tracta d'una espècie d'endeví que ha substituït la bola de vidre per les equacions; simplificació que li treu credibilitat. I no obstant això, hi ha un fonament matemàtic versemblant en cada cas (zones de probabilitat, Hipòtesi de Riemann, transformades wavelets aplicades a gràfiques sinusoïdals en coordenades polars, vectors, anàlisis estadístiques, etc.).

La sèrie va durar 6 temporades i com a anècdota existeix més d'un programa d'activitats a les aules nord-americanes al fil de cada capítol. Activitats patrocinades per Texas Instruments, sota el suggestiu lema "We all usi Math every day", que són accessibles a Internet des de l'enllaç o de les seves universitats:

Numb3rs Math activities.

Olathe School.

Texas Instruments.

24

MÀGIA, PROBABILITAT I FALSES VERITATS EN AQUEST CAS ELS DOS PRIMERS EXEMPLES TENEN TAMBÉ UNA CERTA DE PROBABILITAT DE DESENCERT!!! NO ES POT ASSEGURAR A PRIORI QUE SEMPRE GUANYARÀ!!!!

E LS QUATRE DAUS Per realitzar el joc heu de fabricar 4 daus, es poden agafar 4 de normals i fer-los de fabricació casolana. Els daus han d’estar puntuats de la forma que surt al quadre.

El mag escollirà un voluntari al que deixarà escollir un dels 4 daus i el mag escollirà un dels daus restants. Quan cada un tingui un dau els llançaran a la vegada i s’apuntarà un punt al que tingui major puntuació. Repetiran l’operació 9 cops més i el que tingui més punts guanyarà. 

I L · LUSTRACIÓ 32:

NOMBRES DE

LES CARES DELS DAUS .

Com ho fa el mag per guanyar gairebé sempre?

A POSTES I ANIVERSARIS Per a fer-ho bé cal primer de tot comptar amb una sala que hi hagi entre 30 i 50 persones. El mag ha de dir que de ben segur hi ha dues persones que celebren el seu aniversari el mateix dia de l’any, i pot evidentment no sortir, però que són 50 dies front als 365 que té un any?

Per fer-ho cal cercar un calendari amb tots els mesos i que les persones vagin encerclant el seu dia de naixement! Normalment hi ha algun que es troba el seu dia marcat, a aquest se li demana que cridi!!!

I L · LUSTRACIÓ 33: PASTIS .

U NA APARICIÓ DIFERENT Observa les dues figures. Com pot ser que per “màgia” hagi aparegut el quadradet de la segona?

Saps explicar d’on prové i d’on surt? (en l’apartat retallables podeu retallar i jugar).

U NA SEGONA APARICIÓ DIFE RENT

I L · LUSTRACIÓ DIFERENT .

34:

UNA

APARICIÓ

Com en el cas anterior sabeu d’on han sortit els dos quadradets negres del mig del triangle? (en l’apartat retallables podeu retallar i jugar)

I L · LUSTRACIÓ 35: SEGONA APARICIÓ DIFERENT .

25

E L TAULER TRENCAT ?

Hem tallat un tauler que pots veure en la primera figura i amb les peces que ens han quedat hem fet el rectangle que confegina la figura 2. Però en el I L · LUSTRACIÓ 36: T AULER TRENCAT . moment que comptem els requadres ens trobem que el primer està format per 8 x 8 és a dir 64 caselles, el segon per 13 x 5 és a dir 65 caselles. 

Pots explicar com ens trobem amb una més en el segon cas?

(en l’apartat retallables podeu retallar i jugar)

E LS XINESOS DE S AM L OYD Al 1898 el gran inventor de jocs d’enginy, trencaclosques i altres jocs recreatius de taula Sam Loyd va crear el següent joc del qual es van produir més de 10 milions de còpies.

I L · LUSTRACIÓ 37: XINESOS DE S AM L OYD .

Cal que vagis a l’apartat retallables i tallis la segona de manera que obtinguis el cercle que es pot posar dins la primera. Primer col·local’s de manera que la fletxa apunti cap al nord-oest i compta quants xinesos veus, després apuntant cap al nord-est i compte quants hi han. 

Màgia?

A LTRES APARICIONS : ORIGINAL DE M IQUEL C APÓ C AULES Aquest és una variació de l’anterior, en principi hi ha 14 persones però si es retallen i intercanvien les peces es troba una sorpresa!  I L · LUSTRACIÓ 38: ALTRES APARICIONS .

26

Quina? Pots justificar-ho?

ELS SIMPSON I FUTURAMA: FRACCIONS I MÉS FRACCIONS ELS SIMPSON En una ciutat típicament nord-americana anomenada Springfield (és el nom de ciutat més repetit als EUA), Homer treballa en una central nuclear. És inspector de seguretat, malgrat és irresponsable, primari i bufó; al sortir de la feina es refugia a la taverna de Moe al costat d'altres bevedors de cervesa.

La seva esposa Marge és sensible i sensata. Bart el fill és gamberro a l'escola i promet seguir els passos del seu pare. Lisa és intel·ligent i generosa, amb inquietuds socials progressistes i és la que té afició per la ciència el que la fa xocar amb els perjudicis sexistes que exclouen les noies de les matemàtiques. Recordem que aquest és un fet continu al llarg de la història i en l'episodi "Les noies només volen sumar" s'arriba a fer passar per un noi per poder seguir amb la seva afició.

Maggie permanentment succiona el seu xumet. Apu, el botiguer hindú, té una gran capacitat de càlcul i és capaç de recitar 40.000 decimals del nombre PI. Diu: "l'últim és 1". Per assegurar aquest detall, es va fer una consulta a la NASA. Al llarg de tants episodis, Els Simpson no han deixat res per criticar àcidament religions, polítics, països i oficis. L'èxit d'aquesta sèrie al llarg de 25 anys ha passat d'unes generacions a unes altres i ens parla de la profunda lucidesa del retrat social contemporani que fa.

FUTURAMA Fry és un repartidor de pizzes que el 31 desembre 1999 queda tancat per accident en una càpsula criogènica durant mil anys. En aquest període se succeeixen civilitzacions i formes de vida a la Terra. En despertar al segle XXXI, troba un món d'avenços tecnològics (amb freqüents referències a la ciència ficció actual), amb barreja d'humans, extraterrestres, mutants i robots. Hi ha una única nació, l'anglès com a únic idioma i una única religió.

HOMER EN LA TERCERA DIMENSIÓ I ALTRES El més destacat matemàticament dels SIMPSON és l'episodi "Homer en la 3D" que passa a la tercera dimensió i en segon pla aparentment es refuta el Teorema de Fermat. Homer passeja sobre una trama cartesiana tridimensional i al fons a l'esquerra observem: 1.78212+ 1.84112= 1.92212 Si és certa aquesta igualtat, el teorema de Fermat, que ha ocupat durant 350 anys als millors matemàtics de la història, seria fals. Serà possible que Homer Simpson refuti aquest famosíssim teorema? Si fem la comprovació a la calculadora, obtenim: 1.78212+ 1.84112= 2.541210259 · 1039

i

1.92212= 2.541210259 · 1039

Sembla que Homer tingui raó! Però, fem els càlculs amb totes les xifres: 1.78212+ 1.84112 = 2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657 1.92212 = 2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616 L'arrodoniment de la calculadora en la 10a xifra (en negreta) es produeix en el primer cas per excés i en el segon per defecte, donant una enganyosa aparença d'igualtat.

27

I L · LUSTRACIÓ 39: H OMER EN 3D.



Podeu fer la comprovació?

Algú es va dirigir al artífex de la sèrie, Matt Groenig, adduint que aquesta igualtat era a més impossible perquè en el seu primer membre apareixen potències d'un nombre parell i d'un nombre imparell que sempre són, respectivament, nombres al seu torn parell i imparell. Però en el segon membre apareix la potència d'un nombre parell, que al seu torn és parell. I és sabut que la suma d'un parell i un senar no pot ser parell.

Com a reacció a aquest comentari, en un episodi posterior veiem a Homer escriure en una pissarra: 398.712 + 436.512 = 447.212 ... on, imparell més imparell dóna parell; i se segueix contradient (aparentment) el teorema de Fermat. El cert és que en ambdós casos és una ironia d'algú que realment sap de matemàtiques.

Quan Homer troba unes ulleres, se sent un intel·lectual i dóna la seva particular versió del Teorema de Pitàgores: I L · LUSTRACIÓ TEORIES .

40:

H OMER

REFUTANT

- El quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets en un triangle isòsceles.

Algú li replica des d'un altre vàter: - En un triangle rectangle!

En un curs de "Matemàtiques per a adults" es planteja aquest "Problema bàsic per a les nits de festa": 

I L · LUSTRACIÓ 41: M ATEMÀTIQUES ADULTS .

PER

Si tens 6 litres de sang i la teva sang és alcohol en un 80%, quant alcohol tens?

En un descans d'un partit de base ball, apareix a la pantalla de l'estadi la següent pregunta amb quatre opcions de resposta: Quina és l'assistència al partit?: A) 8.191

B) 8.128

C) 8.208

D) Ni idea

Pot semblar que són uns números sense intenció. Però no és així: A) 8.191 = 2 elevat a 13-1 és un Nombre primer de Mersenne B) 8.128 és un número Perfecte, igual a la suma dels seus divisors propis 8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.064 C) 8.208 és un número Narcisista -4, igual a la suma de les quartes potències de les seves xifres: 8.208 = 8 elevat a 4 + 2 elevat a 4 + 0 elevat a 4 + 8 elevat a 4 I L · LUSTRACIÓ 42: C ONCURS TELEVISIU .

Certament, aquestes últimes són referències només per als molt entesos i que alhora estiguin molt atents. 

Ho podeu comprovar?

Per saber més en anglès: Matemàtiques i els Simpson

I,

O N H E M D E IX A T LE S F R A CC IO NS ?

En l'episodi dels Simpson "L amic d'en Bart s'enamora" podem veure a la família davant el televisor mirant com Kent contempla com Kent Brockman, el famós presentador de Smartline, els informatius de Sprinfield, dóna la notícia següent: “Bona nit, sabien que 34 milions de nord-americans adults són obesos i que el 28

seu excés de greix podria omplir dos quintes parts del Gran Canyó del Colorado?” 

Segons aquestes proporcions, quants americans adults obesos farien falta per a omplir per complet el Gran Canyó del Colorado amb el seu excés de greix?

També en aquest petit tall podem veure com Lisa mostra la seva edat. 

Quants dies té Lisa d'edat?

J O , COMPANY DE PIS .

I a Futurama en l'episodi "Jo, company de pis" Bender fa una reflexió interessant a Fry sobre el volum del seu pis: “La meva casa fa 2 metres cúbics i només n’ocupem un i mig o poc més. Encara sobra lloc per a un terç d’un home” 

Quin volum ocupa un home?



Ocupa el mateix que un robot?

En ambdos casos haureu de fer suposicions o hipòtesi de partida, això no vol dir que no hagueu d'usar fraccions i equacions si cal!!

I L · LUSTRACIÓ 43: J O , COMPANY DE PIS .

En l'episodi l'any 3000 podem veure que Fry es va congelar el dia 1 de gener de 2000 a les 0:00 am. Fins que es descongela, el 31 de desembre de 2999, transcorren 1 .000 anys. 

Considerant que el dia 01-01-2000 va ser dissabte, quin dia de la setmana es descongelarà?



Quants anys de traspàs hi ha entre 1999 i 2999?



Si tenim en compte que un any de traspàs té 366 dies (s’afegirà un dia al mes de febrer), i un any que no ho és en té 365, quants dies transcorren entre el 31 de desembre de 1999 i el 31 de desembre de 2999?



En el vídeo es pot veure que Fry es descongela al migdia, és a dir, 12 hores abans de l’hora esperable. Com ajustaríeu, amb esta data, el càlcul de l’apartat anterior?

ANÈCDOTES L'equip de guionistes dels SIMPSON està encapçalat per Matt Groening i està format per llicenciats o doctorats en Matemàtiques, Física i Informàtica. Alguns tenen més d'una llicenciatura. Això redunda en que al llarg dels episodis de la sèrie apareguin escenes, bromes, de vegades simples detalls, amb referències matemàtiques: unes vegades ben explícits i altres només per "iniciats". L'equip de guionistes de Futurama és el mateix però en un context on hi ha més llibertat per la imaginació!! Per tant és troben més referències matemàtiques que ara us demanaria identificar!!

29

I L · LUSTRACIÓ 44: F RY CONGELAT .

I L · LUSTRACIÓ 57

I L · LUSTRACIÓ 56

I L · LUSTRACIÓ 52

I L · LUSTRACIÓ 54

I L · LUSTRACIÓ 48

I L · LUSTRACIÓ 53

I L · LUSTRACIÓ 55

I L · LUSTRACIÓ 51

I L · LUSTRACIÓ 50

I L · LUSTRACIÓ 49 I L · LUSTRACIÓ 47

I L · LUSTRACIÓ 46

30

I L · LUSTRACIÓ 45

DAUS Per poder fer aquest joc el primer que farà el matemag és donar 3 daus a un voluntari i es girarà d’esquenes. El voluntari els ha de tirar sobre la taula i observar les puntuacions i ensenyar-les a la resta de la classe.

El matemag demanarà al voluntari que amb els tres nombres faci el següent: 1.

Multiplicar per dos el resultats obtingut en un dels daus.

2.

Sumar 5 al resultat anterior.

3.

Multiplicar per 5 el darrer resultat.

4.

Afegir a aquest resultat el nombre d’un altre dels daus.

5.

Multiplicar per 10 el resultat de la suma.

6.

Sumar el valor del 3r dau i dir el resultat al matemag.

I L · LUSTRACIÓ 58: D AUS .

En escoltar el resultat el matemag no tindrà moltes dificultats en endevinar els tres valors dels tres daus. 

Com ho ha fet?

E L JOC DE LES TRES CO PES Abans de començar aquest joc hauríem de comptar amb 3 copes o 3 gots per poder fer-ho.

Es col·loquen com en la figura 1 i explicarem que el joc consisteix en aconseguir posar-les totes de cap per avall seguint només una única condició que és que en cada pas s’ha d’invertir la situació de dues de les tres copes encara que no siguin consecutives.

I L · LUSTRACIÓ 59: LES TRES COPES .

El matemag farà els tres passos marcats com a 2, 3 i 4 i ho ensenyarà a fer i després proposarà a qualsevol persona de la classe que ho faci de nou. 

Com es fa?

Variants d’aquest joc es troben amb cartes, gots, als jocs del Layton...

C INC CAIXES I MOLTES MONEDES Per poder fer el següent joc necessitem 5 petites caixes numerades de l’1 al 5 i unes 30 monedes de 2 cèntims i altres sis d’1 cèntim.

I L · LUSTRACIÓ 60: L AYTON I BEGUDES .

Escollirà un voluntari a l’atzar, li donarà les 5 capses i les monedes i es girarà d’esquenes. El voluntari ha de repartir les monedes de 2 cèntims en quatre de les caixes i per tant com a mínim haurà de posar 5 monedes en cada caixa. Després posarà totes les monedes d’1 cèntim en una caixa que ha quedat buida.

Un cop col·locades totes les monedes en les caixes, el matemag demanarà al voluntari que agafi una moneda de la caixa 1,i dos monedes de la caixa 2, tres de la tercera, quatre de la quarta i cinc de la cinquena. Quan tingui les monedes li demanarà que sumi el valor de totes elles i li comenti. Immediatament el matemag endevinarà en quina caixa estan les monedes d’1 cèntim. 

31

Com?

I L · LUSTRACIÓ 61: CAIXES I MONEDES .

L ES 27 CARTES El mag en aquest cas posarà sobre la taula 27 cartes diferents i demanarà a un voluntari que esculli una, l’ensenyarà a tot el públic i la tornarà al mall sense que es vegi de quina carta es tracta.

Dividirà les cartes en 3 fileres de 9, emplenant les files posant la primera columna, la segona i l’última. Quant les tingui distribuïdes sobre la taula demanarà al voluntari que senyali en quina de les tres fileres hi ha la seva carta, recollirà les cartes i repetirà el procediment dos cops més fins a saber quina és la carta escollida pel voluntari. 

Com?

E NCERTANT NOMBRE I PAL D ’ UNA CARTA QUALSEVOL Per fer aquest joc el matemag escollirà un voluntari i li demanarà que agafi una carta qualsevol d’un joc de cartes espanyol sense que la vegi. Quan tingui la carta la ensenya a la resta dels companys i tots saben quina és. El volunari haurà de:

I L · LUSTRACIÓ 62: C ARTES .

1.

Doblar el valor de la carta.

2.

Sumar 3.

3.

Multiplicar per 5.

4.

Si és d’espases sumar 1, si és de copes 2, 3 si és de bastos i 4 si és d’ors.

5.

Dir el resultat en veu alta.

El mag l’encertarà sense problemes. 

Com?

M ÉS DAUS El següent és un clàssic de Martin Gardner. El mag demanarà a un voluntari un parell de daus i un retolador per anar escribint a una pissarra que només veurà el voluntari i la resta de companys de classe. Un cop tingui els daus els deixarà sobre la taula. El mag d’esquenes als dos caus demanarà que es faci el següent:

32

1.

Multiplicar els nombres que apareixen en les cares superiors dels dos daus. Apuntar en la pissarra el resultats.

2.

Multiplicar els dos nombres de les cares inferiors i anotar-ho.

3.

Multiplicar el valor superior del primer dau per l’inferior del segon i apuntar-ho.

4.

El contrari i escriure-ho també.

5.

Un cop anotats els quatre nombres li demanarà que els sumi.



Acte seguit el mag dirà el resultat. Com?

J UGUEM AMB MONEDES Per poder jugar s’han de posar sobre la taula unes quantes monedes idèntiques, 4 o 5, unes de cara i altres de creu. Un cop col·locades sobre la taula es posarà d’esquenes i demanarà un voluntari. Aquest haurà d’anar girant cada cop una moneda i el mag només li demanarà que digui “CANVI” cada cop que giri una moneda. El voluntari no té límits en girar cap de les monedes de nombre de vegades i tampoc les ha de girar de forma seguida.

Quan el voluntari vulgui i cregui que ha fet els canvis oportuns, taparà una de les monedes el mag es girarà i endevinarà veient les altres com està col·locada la que tapa, si en cara o creu. 

Com?

L A CINTA DE M ÖBIUS Per aquest joc matemàtic fa falta que surtin dos voluntaris i els donarem a cada un d’ells una tira tancada de paper molt llarga (d’uns 15 cm. més o menys).

I L · LUSTRACIÓ 64: C INTA DE M ÖBIUS .

El mag també en tindrà una d’igual. Els ensenyarà com han de tallar-la partint d’un petit tall al centre i obtenint dues tires iguals però de la meitat de gruix.

Primer ho farà el mag mentre els explica el com.

Feta l’explicació els voluntaris tenen dues cintes iguals i els demana que facin el mateix però que en comptes de la meitat deixen per una banda un terç i per l’altra dos terços. En acabar no deixarà que mirin el seu resultat sinó que els demanarà que les deixin a terra. Desprès de dir unes paraules màgiques una de les dues cintes serà una única cinta del doble de longitud i l’altra en dos cintes entrelligades. Com ho ha fet?

33

I L · LUSTRACIÓ 63: M ONEDES .

AMOR, EQUACIONS I DIFERÈNCIES D’EDAT A MOR I LLETRES (2010).

Als seus 35 anys, Jesse, un professor universitari, s'enamora d'Zibby, una noia de 19 que és la filla de qui va ser el seu professor. Jesse està preocupat per la diferència d'edat entre tots dos.

A mesura que passen els anys, la diferència d'edat és menys significativa. Si Jesse tingués en compte els límits (concepte que s'estudia a BATX) el cert és que el límit d'x tendint a infinit de la divisió entre x+16/x ens donaria 1 i per tant comprendria que, en el cas d'una vida il·limitada, arribaria un moment en què pràcticament tindrien la mateixa edat. Coses de l'infinit ...

RECLUTES .

També Abbott i Costello a Reclutes (Buck Privates. Arthur Lubin 1941) dialoguen sobre aquest fet: I L · LUSTRACIÓ 65: A MOR I LLETRES .

-Tu tens 40 anys i ella 10. Ets 4 vegades més gran que aquella noia. No pots casarte amb ella, així que esperes 5 anys.

La noia té 15 i tu 45. Ets només 3 vegades més gran que la noia i esperes 15 anys més.

Llavors la noia té 30 i tu 60. Ets només 2 vegades més gran que ella.

Quant has d'esperar fins que tingui la teva mateixa edat?

-Quina mena de pregunta és aquesta? És ridícul. Si segueixo esperant, em passarà.

Arribarà a ser més gran que jo.

I també podem analitzar altres pel·lícules que contenen diferències d'edat:

P ERDONA SI LI DIC AMO R (2014), TAMBÉ HI HA LA VERSIÓ ITALIANA DEL 2008.

I L · LUSTRACIÓ 66: RECLUTES .

Basada en el llibre del mateix títol de Federico Moccia l'amor irromp a la vida d'Alex, un guapo publicista d'èxit de 37 anys, quan menys s'ho espera. Un matí, anant a la feina en cotxe, es topa en un encreuament amb Niki (17 anys) que va a l'institut amb moto. Després d'aquesta trobada, de sobte, el món tranquil i rutinari d'Alex es posa de cap per avall. La innocent alegria i la gran saviesa de Niki tira per terra les velles veritats d'Alex, els seus grisos costums i fins i tot la tristesa d'haver estat abandonat inesperadament per la seva parella.

I L · LUSTRACIÓ 67: PERDONA SI LI DIC AMOR .

34

H ARD C ANDY (2005).

Jeff un fotògraf de 32 anys, queda amb Hayley una noia adolescent de 14 anys a la qual ha conegut a través d'Internet. Després de prendre un cafè, la porta a casa amb el propòsit de fer-li unes fotos... 

Cerqueu tres pel·lícules més DE LA LLISTA que tractin de diferències d'edat. Plantegeu en tots els casos les equacions.



Quins tipus de problemes amb equacions són semblants a aquests?

Inventeu dos problemes, seqüencieu les passes i feu les resolucions.

LLISTA: ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

35

American Beauty La flaqueza del bolchevique Mejor Imposible Ghost World Lost in Traslation Manhattan Great Balls of Fire (vida de Jerry Lee Lewis) Tim El extraño caso de Benjamin Button El hombre bicentenario...

I L · LUSTRACIÓ 68: H ARD C ANDY .

OPERACIONS FINANCERES FUTURAMA E PI S O D I : “U NS

V A L UO S O S PE IX E TS ”

En aquesta escena Fry VA al seu vell banc a fi de comprovar quin és el saldo del seu compte bancari després que han transcorregut mil anys. Una vegada realitzades les comprovacions necessàries, la caixera diu: “Té un saldo de 93 centaus, més el 2,25% d’interessos anuals al llarg d’un període de 1.000 anys, fan un total de 4.300 milions de dòlars”.

I L · LUSTRACIÓ 69: F RY AL VELL BANC .



Quants dòlars equivalen a 93 centaus?



Quant val el tant per u en este cas? I l’índex de variació?



Contempla la taula següent:

Any

Comença amb (en $)

Acaba amb (en $)

1

0,93

0,950925

2

= al que acaba cada any

Cf= C0(1+1)n

3 4 

Utilitza la potència per a calcular el saldo final que tindrà Fry d’aquí a 1.000 anys.



Es correspon la quantitat que has obtingut amb els 4.300 milions de dòlars que diu la caixera?

Aquí podem veure els errors de truncament que arrossegaríem en cas contrari ens farien arribar a un resultat diferent del real.

E LS S IMPSON E PISODI : “B ART EL DELATOR ” Bart i Lisa, aconsellats per sa mare, decideixen ingressar en el banc els diners procedents d’una estranya herència. Tornant a casa Lisa comenta: “He contractat el compte de l’estalviador pròsper, 2,30% d’interès en lloc del 2,25% habitual; o sigui que d’ací a un any tindré deu centaus més”.

I L · LUSTRACIÓ 70: B ART I L ISA .



Amb el 2,30% d’interès que ha contractat Lisa, quants diners tindria al cap d’un any si haguera ingressat 50 dòlars?



Per a obtenir 10 centaus més contractant el 2,30% en lloc del 2,25% habitual, quants diners va ingressar Lisa?

Aquesta escena ens permet que expliqueu el caràcter estalviador de Lisa davant del caràcter malgastador de Bart.

36

E LS S IMPSON E PISODI : “M ARE S IMPSON ” En aquest capítol Homer fingeix la seva mort per a no haver de fer la recollida de fem de la central. La mare de Homer, que ell creia difunta, viatja a Springfield per a assistir a l’enterro del seu fill, cosa que ocasiona el seu retrobament després de 27 anys. En l’escena seleccionada Bart recrimina a la seua iaia: “…Com que tu no has estat en els grans esdeveniments de la meva vida, dic jo que em deus munts de regals: Nadal, Setmana Santa, aniversaris, entrega de notes —pren una calculadora i contínua— 75 dòlars per festa més els interessos… un total de 22.000 dòlars…” 

Bart menciona quatre festes anuals i les xifra en 75 dòlars cada una. Si considerem que té 10 anys, quina quantitat, sense interessos, obté Bart en la calculadora?



Quin tant per cent d’interès ha aplicat Bart a la quantitat anterior per a obtenir els 22.000 dòlars?



Perquè els interessos que Bart considera són superiors al 100%? Creus que s’han d’analitzar les dades de partida per a estimar la solució?

I L · LUSTRACIÓ 71: B ART CALCULANT .

F UTURAMA E PISODI : “A CCIONS FUTURES ” L’escena que es projecta en aquest capítol de Futurama, “Accions futures”, encara que tractat de manera còmica, ens ajuda no només a utilitzar els percentatges en una situació real, sinó també a introduir el món de la borsa, les accions i en general la matemàtica financera.

“La porció blava són els diners que hem guanyat repartint paquets, però la porció verda representa un benefici de només 8 dòlars...” 

Quants diners han guanyat repartint paquets?

Els protagonistes tenen el 49% de les accions de l’empresa PS, que posseeix un total d’1.000.000 d’accions en borsa. Quantes accions tenen ells? Quin percentatge té la competència? 

Quantes accions són?

Quan els protagonistes boten d’alegria per ser milionaris és perquè el preu actual de cada acció en el mercat és de 107 dòlars. 

Quants diners haurien obtingut si les hagueren venudes en aquest moment?

Quan les accions baixen a “3 com es diga...”

37



Quants diners haurien obtingut si les hagueren venudes en aquest moment?



Si les accions les van comprar per 50 dòlars cada una, quant haurien guanyat o perdut en els casos anteriors?

I L · LUSTRACIÓ 72: J UNTA D ' ACCIONISTES .

JOCS AMB NOMBRES Observa la figura i compta quantes línies verticals trobes.

Si retalles la figura que hi ha al final a retallables i mous la part superior cap a la dreta fins que la primera línia de la figura superior coincideixi amb la segona de la inferior hi ha un canvi! 

I L · LUSTRACIÓ 73: L ÍNIES .

Quin? Pots justificar-ho?

4 IGUAL A 5!

Amb la següent explicació demostrarem que 4 és igual a 5!



Màgia? Errada? O és cert que 4=5?

3 IGUAL A -2 Observa ara el següent raonament: Si A=3, B=2 i C=5, podem dir que A + B = C Multipliquem els dos membres per (A + B) i tenim que: (A + B)(A +B) = (A + B) C A2 + B2 +2AB = AC + BC A2 + AB - AC= -AB - B2 + BC Traient factor comú (A + B - C) obtenim que: A(A + B - C) = -B (A + B - C) I simplificant: A = -B Per tant: 3 = -2 

38

És a dir que tenir 3 milions d’euros és igual a deure’n dos!! On està l’errada?

8 = 12 Observa l’equació i mira com l’hem resolt:

đ?‘Ľ+4 2đ?‘Ľ − 28 −3= đ?‘Ľâˆ’8 12 − đ?‘Ľ

Obtenim: Si les dues darreres fraccions són iguals i els numeradors ja ho són significa que: 8 - x = 12 - x i per tant 8 = 12!!!!!! 

Mà gia, errada? Què ha passat?

4>7 Suposem que partim de dos nombres positius a i b amb els quals a>b llavors: a>b per tant ab>b2 per tant ab - a2 >b2 - a2 traient factor comĂş (b-a): a(b - a) > (b - a)(b + a) i a>b + a

Si agafem que a sigui 4 i b sigui 3 podem afirmar que 4>4+3 i per tant 4>7!!!!!! 

39

Mà gia, errada? Què ha passat?

B IBLIOGRAFIA Miquel Capó Dolz (2013) Mágia matemática. Barcelona: B de Books, Ediciones B. Fernando Corbalán Yuste (2007) Matemáticas de la vida misma. Barcelona: Edicions Graó.

José V. Aymerich i Sergio Macario Vives (2006) Matemáticas para el siglo XXI. Castelló de la Plana: Publicacions de la Universitat Jaume I. Xuxo Ruiz Domínguez (2013) Educando con magia. Madrid: Narcea SA de Ediciones.

WEBGRAFIA Matemáticas en el cine: http://catedu.es/matematicas_mundo/CINE/cine3.htm Magia y matemáticas: http://magiaymatematicas.blogspot.com.es/ Creamat: http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/

P EL · LÍCULES I SÈRIES .

Vincenzo Natale (1997) Cube. Canada.

Robert Zemeckis (2000) Nàufrag. EUA. Matt Groening

(1989-actualment) Los Simpson. EUA. (1999-2013) Futurama. EUA.

Tony i Ridley Scott (2005-2010) Numb3rs.EUA. Mark Gordon i Ed Benero (2005-actualment) Ments criminals. EUA.

40

RETALLABLES

41

42

43