Statik og styrkelære, 3. udgave, 01. oplag, 2016

t

Statik og styrkelære Bogen behandler den grundlæggende statik og styrkelære efter Eurocodes.

Statik og styrkelære er beregnet til bygningskonstruktøruddannelsen, htx-uddannelsen og teknikeruddannelserne, hvor der undervises i de grundlæggende regler og deres praktiske anvendelse inden for elementær konstruktion.

Statik-delen omhandler emner som kræfter, tyngdepunkter, belastninger og gitterkonstruktioner.

For styrkelærens vedkommende gennemgås den grundlæggende viden inden for stålkonstruktioner, trækonstruktioner og maskinelementer.

Statik og styrkelære

Preben Madsen

Preben Madsen

Statik og Teknisk styrkelære Matematik

Preben Madsen

4. udgave

3. udgave

Bogen går logisk og pædagogisk frem med opstilling af regler, eksempler og opgaver. Facitliste findes på omtalen af bogen på praxis.dk Statik og styrkelære er en sammenskrivning af de to bøger Teknisk Statik og Teknisk Styrkelære. Bogen er gennemrevideret, moderniseret og opdateret.

ISBN 978-87-571-2868-0

9 788757 128680

praxis.dk

varenr. 104018-1

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

104018-1_Statik_og_styrkelaere_omslag.indd 1

28-06-2016 11:30:50

Statik og styrkelĂŚre Preben Madsen

3. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 1

01-07-2016 14:37:02

Statik og styrkelære 3. udgave, 1. oplag 2016 © PRAXIS - Nyt Teknisk Forlag 2016 Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@praxis.dk Omslag: Henrik Stig Møller Omslagsfoto: (ARoS, Århus) Adam Mørk og schmidt/hammer/lassen/architects Tegninger: Ebbe Lastin Grafisk tilrettelæggelse og dtp: Stig Bing Tryk: PNB Print ISBN: 978-87-571-2868-0 Varenummer: 104018-1 Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 115 g silk Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes.

Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer.

Se mere på www.copydan.dk

PRAXIS - Nyt Teknisk Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ info@praxis.dk praxis.dk Tlf. +45 63 15 17 00

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 2

01-07-2016 14:37:02

3

Forord 2. udgave I forhold til 1. udgave er der foretaget en del ændringer og rettelser. Afsnittet Snitkræfter er forenklet, og symboler er rettet til i overensstemmelse med de nye Eurocodes normer, som er blevet indført i Danmark fra januar 2009. I den forbindelse en stor tak til adjunkt Johan Clausen, Institut for Byggeri og Anlæg, Aalborg Universitet, for mange gode kommentarer og forslag.

Statik og Styrkelære erstatter bøgerne Teknisk statik og Teknisk styrkelære og er skrevet med henblik på anvendelse inden for erhvervs- og erhvervsakademiuddannelser og htx-uddannelsen.

I bogen er der en del billedkompositioner, der skal vise, at hverdagen er fyldt med mange situationer, hvori der indgår elementer, der kan relateres til statik og styrkelære.

Nogle af billederne refererer til relevante situationer, mens andre appellerer til den enkelte om at bruge fantasien og se mulighederne.

Som eksempel er der bænken i solnedgangen. Personen påvirker gennem sin tyngde bænken, som i statik- og styrkelære-terminologi er et bøjningspåvirket konstruktionselement.

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 3

01-07-2016 14:37:03

4

Teknisk matematik · Forord

Bogen er en elementær grundbog og omhandler de grundlæggende principper inden for statik og styrkelære. Endvidere giver bogen eksempler på beregning af enkle konstruktionselementer inden for stålkonstruktion, trækonstruktion og maskinelementer.

Bogen er opbygget i en passende rækkefølge med opstilling af regler, eksempler og opgaver.

Sidst i hvert afsnit er der et resumeafsnit, hvor de vigtigste formler og regler fra det pågældende afsnit er gengivet.

Opgaverne er integreret i bogens enkelte afsnit, og der er facitliste til disse opgaver. Facitlisten finder du på bogens side på ef.dk; gå ind på ef.dk og søg 104018, så ligger de under fanebladet Extra.

Endvidere er der et kapitel med blandede opgaver uden facitliste.

Bagest i bogen er der et afsnit med bjælkeformler og stikord.

Det skal bemærkes, at der findes en del it-beregningsprogrammer og ligeledes en del tegneprogrammer. Bogen indeholder ikke en instruktion til et bestemt program, men det kan anbefales at inddrage itprogrammer og ligeledes tegneprogrammer til afprøvning af de mange grafiske løsningsprincipper, der er i bogen.

Januar 2013 Preben Madsen

3.udgave I forhold til 2.udgave er der kun foretaget enkelte rettelser og tilføjelser.

Juni 2016 Preben Madsen

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 4

01-07-2016 14:37:03

5

Indhold Indledning

7

1. Kræfter og momenter 9 Kraftbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Definition på kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 28 Kraft- og tovpolygonmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Parallelle kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kraftpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Parallelforskydning af kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Loven om aktion og reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ligevægtsbetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Resume 1.kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Tyngdepunkt for trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Tyngdepunkt for cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tyngdepunkt for halvcirkel, cirkeludsnit og cirkelafsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tyngdepunkt for sammensat areal . . . . . . . . . . . 178 Linjers tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Inertimoment af rektangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Inertimoment af cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Flytningsformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Modstandsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Modstandsmoment af rektangel og cirkel . . . . . 199 Polært inerti- og modstandsmoment . . . . . . . . . 200 Normalspænding – træk/trykspænding . . . . . 209 Forskydningsspænding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Bøjningsspænding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Torsionsspænding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sammensatte spændinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Trækprøvning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Forlængelsen ΔL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Styrkebetingelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Resume 4. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2. Konstruktioner påvirket til bøjning 69 Hvordan virker en belastning? . . . . . . . . . . . . . . . 69 Belastningsfigurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Understøtningstyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ydre kræfter, aktioner og reaktioner . . . . . . . . . . . 74 Simple understøtninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Indspændinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Beregningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Statisk ubestemte konstruktioner . . . . . . . . . . . . . 78 Bestemmelse af reaktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Ydre kræfter, indre kraft og snitkraft . . . . . . . . . . 90 Snitkræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Sammenhænge mellem V- og M-kurver . . . . . . 107 Momentkurver for aksler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Momentpåvirkede konstruktionselementer . . . 124 Resume 2. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5. Stålkonstruktioner 229 Normer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Areal-, linje- og punktlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Materialedata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Partialkoefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Centralt påvirkede trækstænger . . . . . . . . . . . . . 232 Centralt påvirkede trykstænger . . . . . . . . . . . . . 240 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer . . . 249 Forskydningspåvirkede konstruktions­‑ elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Nedbøjning (deformation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Fladetryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Profiltabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Resume 5. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3. Gitterkonstruktioner 131 Opbygning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Beregningsgrundlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Bestemmelse af reaktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Ritters metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Knudepunktsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Grafisk bestemmelse af stangkræfter . . . . . . . . . 149 Resume 3. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6. Trækonstruktioner 273 Normer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Styrke- og stivhedstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Centralt påvirkede trækstænger . . . . . . . . . . . . . 276 Centralt påvirkede søjler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer . . . 287 Nedbøjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Profiltabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Resume 6. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

4. Styrkelærens grundprincipper 163 Styrkelærens opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Grundbelastningstyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Tværsnitskonstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Legemers tyngdepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Arealers tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Tyngdepunkt for kvadrat, rektangel, parallelogram og rombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 5

7. Maskinelementer 297 Styrkeberegning af maskinelementer . . . . . . . . . 297 Karakter af en belastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Konstruktionsmaterialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Trækpåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . . . . 301 Trykpåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . . . . 303 Forskydningspåvirkede maskinelementer . . . . 305

01-07-2016 14:37:03

Teknisk matematik · Indhold

6

Bøjningspåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . 306 Torsionspåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . 308 Fladetryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Resume 7. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 8. Opgaver

323

Bjælkeformler

343

Stikord

345

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 6

01-07-2016 14:37:03

7

Indledning Bogens titel er Statik og styrkelære, så det vil være naturligt, at du stiller spørgsmålene: Hvad er statik? og hvad er styrkelære?

For at besvare disse spørgsmål kan du kaste et blik rundt på mange af de ting, du har omkring dig.

Det kan være ting, som er udformede til ganske bestemte funktioner - det kan være en simpel ting som en gaffel, og det kan være komplicerede ting som fx en bil, der jo er sammensat af rigtig mange dele, hvor den enkelte del er udformet for netop at udfylde en ganske bestemt funktion.

I hvert tilfælde kan du opstille nogle krav til den enkelte komponent, for at den netop kan være dig til den nytte, du ønsker.

Du får her eksempler på krav, der kan stilles: • Ønske om størrelse.

• Ønske om holdbarhed.

• Ønske om nem betjening.

• Ønske om miljøvenlighed.

• Ønske om at overholde normer og standarder.

• Ønske om flot design.

• Ønske om at overholde en pris.

De krav, du skal beskæftige dig med i denne bog, er: • Styrkekrav og modstand mod deformation.

Hvad betyder så det? – jo, de komponenter og dele, du anvender i en konstruktion, skal kunne holde til de påvirkninger, du udsætter dem for. Sagt på en anden måde må konstruktionen simpelthen ikke gå i stykker og falde fra hinanden.

Du skal derfor beskæftige dig med statik, som er læren om legemer i ligevægt.

Statikken vil også sætte dig i stand til at bestemme det punkt i en konstruktion, som er maksimalt belastet.

Med den viden kan du så få styrkelæren på banen.

Styrkelæren hjælper dig derefter med at bestemme de rigtige og nødvendige dimensioner på din konstruktion.

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 7

01-07-2016 14:37:03

8

Teknisk matematik · Indledning

For at illustrere et sådant forløb har du en håndværker på en stige.

Du skal forestille dig, at du skal bestemme dimensionerne på trinet, han står på.

1. Du skal starte med at bestemme belastningen.

Kender du håndværkerens masse (vægt), kan statikken hjælpe dig med at bestemme belastningen (kraften på trinet).

2. Du skal så videre og se på konstruktionen.

I statikken er trinet et konstruktionselement, som du kalder en bjælke. I kapitlet ”Konstruktioner påvirket til bøjning”, kan du finde frem til det punkt på bjælken, der er maksimalt belastet.

3. Nu skal du vælge materiale, og i kapitlet ”Trækonstruktioner” kan du finde et egnet materiale.

4. Med det maksimalt belastede punkt på bjælken og materialet som udgangspunkt har du så muligheden for at komme videre og bestemme en nødvendig dimension på trinet.

5. I profiltabellerne kan du gå ind og finde et tværsnit, der kan leve op til den nødvendige dimension, du har bestemt.

Du har dermed løst opgaven, og som det fremgår af eksemplet, kommer du langt omkring i bogen.

Du kan så stille spørgsmålet: Hvordan skal bogen så anvendes?

De enkelte kapitler er opbygget med eksempler og opgaver og fremstår hver for sig som selvstændige enheder.

Som illustreret ved eksemplet er det også muligt at ”springe” i bogen og gennemgå de afsnit eller dele deraf, der er nødvendige for at komme til en helhed set ud fra et undervisningsmæssigt synspunkt.

I den forbindelse kan der peges på de eksempler og opgaver, der er gennemgående fra afsnit til afsnit og som netop illustrerer sådanne forløb.

104018-1_statik_styrkelaere00_2012.indd 8

01-07-2016 14:37:05

9

Kræfter og momenter

1

Kraftbegrebet I dette kapitel skal du arbejde med kræfter og momenter. På billedet herover har du en kran, og skal kranen løfte en byrde, kan du omsætte byrdens masse til en kraft. Kender du den vinkelrette afstand fra kraften og til kranens drejningspunkt, kan du gange kraften med den vinkelrette afstand, og du har et moment. Som sagt er det disse to størrelser, du skal i gang med.

Du skal nu starte med at se lidt nøjere på kraftbegrebet.

Du har et billede af en mand med en kuffert.

Kufferten vil give et træk i armen, som skyldes jordens tiltrækningskraft. Tiltrækningskraften kalder du kuffertens tyngdekraft.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 9

01-07-2016 14:33:47

10

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Bliver kufferten skiftet ud med en kuffert med en anden masse, vil trækket i armen på tilsvarende vis være forskelligt.

Du kan derfor formulere følgende sætning: En kraft kan opfattes som en størrelse, der holder ligevægt med tyngdekraften.

Du skal nu forestille dig, at der bliver givet slip på kufferten som vist på figur 1.01, og den falder frit mod jorden.

Fig.1.01

På grund af tyngdekraften vil kuffertens hastighed stige og stige.

Du kan derfor formulere en ny sætning: En kraft kan opfattes som en størrelse, der giver et legeme en hastighedsændring.

Definition på kraft Du skal have defineret en kraftenhed, og du har det såkaldte S.I.- målesystem, som er en forkortelse af Systeme Internationale d’Unites. Dette målesystem er opbygget af seks grundenheder for størrelserne: • Længde.

• Masse.

• Tid. • Elektrisk strøm.

• Temperatur.

• Lysstyrke.

Ud fra disse grundenheder afledes så alle øvrige enheder.

I statik har kraftenheden den største interesse. Du måler kræfter i enheden Newton, som forkortes N. Definitionen lyder: 1 N (Newton) er den kraft, der ved at påvirke et legeme med masse 1 kg, giver det en acceleration på 1 m/s².

Med denne baggrund får du, at et legeme med masse 1 kg placeret et sted, hvor tyngdeaccelerationen er 9,81 m/s², bliver påvirket af en kraft på 9,81 N.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 10

01-07-2016 14:33:47

Definition på kraft

11

Hvis du vender tilbage til billedet med kufferten og sætter dens masse til 20 kg, får du, at tyngdekraften G bliver: G = 20 · 9,81 G = 196,2 N Generelt kan du opstille følgende ligning:

G=m·g hvor G er tyngdekraften i N, m er legemets masse i kg og g er tyngdeaccelerationen i m/s2 Inden for statikken kan du ved langt de fleste opgaver afrunde og regne tyngdeaccelerationen g til 10 m/s².

Hvor meget er 1 Newton?

For at give dig fornemmelsen af størrelsesbegrebet 1 N, må du forestille dig et æble med masse 0,1 kg eller 100 gram placeret som vist på billedet.

Du kan bestemme tyngdekraften, idet du kan sætte tyngdeaccelerationen g til 10 m/s².

G = 0,1 · 10 G=1N Du har altså, at et æble med masse 0,1 kg (100 gram) udøver en tyngdekraft på 1 N.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 11

01-07-2016 14:33:50

12

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Når du regner kræfter i måleenheden Newton (N), vil det for fleste opgavers vedkommende give store tal. Du kan derfor for overskuelighedens skyld arbejde i kiloNewton (kN) eller MegaNewton (MN). Du får her omregningsfaktorerne: 1 kN = 10³ N 1 MN = 106 N

Afbildning af kræfter Det har primært været tyngdekraften, du har set på, men andre fysiske forhold kan give samme virkning, og så må du naturligvis også kalde dem for kræfter.

Du får nogle eksempler.

Figur 1.02 viser en bjælke i balance under påvirkning af et legeme med tyngdekraft G.

Figur 1.02

På figur 1.03 opnår du balancen ved hjælp af tiltrækningskraften mellem to magneter.

Figur 1.03

På figur 1.04 opnår du balancen ved hjælp af en fjeder.

Figur1.04

Endelig har du figur 1.05, hvor du opnår balancen ved hjælp af muskelkraft.

Figur 1.05

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 12

01-07-2016 14:33:50

Definition på kraft

13

Det vil være mest praktisk, at du benytter et fælles symbol, når du afbilder en kraft.

Da kræfter virker efter rette linjer, vil det være naturligt at afbilde en kraft ved hjælp af et linjestykke forsynet med en pilespids, der angiver, hvilken retning kraften virker i.

Figur 1.06

På figur 1.06 har du billedet af en kraft, og på figur 1.07 har du bjælken forsynet med dette symbol.

Figur 1.07

I matematikken kalder man sådan en ”pil” for en vektor, og du skal i de kommende afsnit se på de specielle regneregler, som er gældende for vektorer eller kræfter. Langt de fleste opgaver kan du løse ved hjælp af to metoder, enten grafisk (tegningsmæssig løsning) eller analytisk (beregningsmæssig løsning).

Har du adgang til et it-tegneprogram, vil det være oplagt at benytte det til grafiske løsninger.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 13

01-07-2016 14:33:51

14

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Bestemmelse af kraft Du skal forestille dig, at du har en bokser, som bliver slået ud som vist på figur 1.08. Du er ikke i tvivl om, hvor kraften rammer, og i hvilken retning den har virket.

Figur 1.08

Skal den slagne bokser hjælpes op som vist på figur 1.09, skal kraften og dens retning placeres et helt andet sted.

Figur 1.09

Du får et andet eksempel.

Du har en vogn, der er vist i tre situationer som vist på figur 1.10.

Figur 1.10

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 14

01-07-2016 14:33:53

Definition på kraft

15

Kraften er den samme i de tre situationer, men retning og angrebspunkt er forskelligt.

Virkningen på vognen i de tre situationer vil være forskellig, og du kan derfor fastslå, at følgende tre punkter hører med til en fuldstændig bestemmelse af en kraft (se figur 1.11).

1. Kraftens angrebspunkt.

2. Kraftens retning.

3. Kraftens størrelse.

Figur 1.11

Når du løser opgaver, er det altså ikke tilstrækkeligt at ”nøjes” med at angive kraftens størrelse – angrebspunktet og retningen skal du også have med.

Du får et eksempel.

En kraft er indlagt i et koordinatsystem som vist på figur 1.12.

Figur 1.12

Du kan beskrive kraften således: Angrebspunkt: (x,y) = (2,1) Retning: vinkel v = 35º Størrelse: F = 25 kN

Grundsætninger om kræfter Når du skal arbejde med kræfter, og hvordan kræfter påvirker et legeme, er teorien bygget om nogle grundsætninger eller regler.

Du kan ikke bevise disse grundsætninger, da de er et resultat af iagttagelser og erfaringer.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 15

01-07-2016 14:33:54

16

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Du får grundsætning nr. 1: En kraft kan forskydes i sin virkelinje, uden at det ændrer noget i legemets bevægelsestilstand, blot forbindelsen mellem kraft og legeme bibeholdes (se figur 1.13).

Figur 1.13

Umiddelbart er denne regel kendt, idet du jo får samme resultat ud af at skubbe en vogn som at trække med samme kraft som vist på figur 1.14.

Figur 1.14

Du får grundsætning nr. 2: To lige store modsatrettede kræfter, som har samme virkelinje, ophæver hinandens virkning på et legeme (se figur 1.15).

Figur 1.15

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 16

01-07-2016 14:34:09

Definition på kraft

17

Du får grundsætning nr. 3, som omhandler kræfternes parallelogram: To kræfter, der angriber i samme punkt på et legeme, kan sammensættes og erstattes af en kraft R, som du kalder resultanten.

Konstruktionen fremgår af figur 1.16.

Figur 1.16

Figur 1.17

Du behøver imidlertid ikke at konstruere hele parallelogrammet, men kan tegne som vist på figur 1.17 eller figur 1.18.

Figur 1.18

Denne måde at bestemme resultanten på kan du formulere således: Kræfterne afsættes efter hinanden – resultanten er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft.

Ud fra sætningen om kræfternes parallelogram kan du også løse den omvendte opgave, nemlig at opløse en enkeltkraft i to kræfter, når deres virkelinjer er givet.

Du får et eksempel.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 17

01-07-2016 14:34:11

18

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

På figur 1.19 har du en kraft, som skal erstattes af to kræfter med virkelinjer m og n.

Figur 1.19

På figur 1.20 har du den geometriske løsning.

Figur 1.20

Gennem R’s endepunkt tegner du linjer, der er parallelle linjer med de givne linjer m og n.

Herved får du kræfterne Fm og Fn. Disse to kræfter kalder du i almindelighed for komposanter, – altså, kraften R kan du erstatte af to komposanter Fm og Fn. Det var som nævnt den geometriske løsning, du fik vist. Skal du beregne en løsning, skal du have hjælp af trigonometri. Det får du at se i det kommende eksempel.

Eksempel 1.01 På figur 1.21 har du en kraft på 75 N, der danner en vinkel på 25º med vandret.

Figur 1.21

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 18

01-07-2016 14:34:13

Definition på kraft

19

Du skal beregne størrelsen på kraftens vandrette og lodrette komposant.

Du tegner som vist på figur 1.22 og kan anvende formlerne for beregning af retvinklede trekanter.

Figur 1.22

Rækkefølgen er vilkårlig, men du kan starte med at beregne den vandrette komposant H: cos 25° =

H : 75

H = 75 ⋅ cos 25° = 67,97 N

Herefter den lodrette komposant: sin 25° =

V : 75

V = 75 ⋅ sin 25° = 31,70 N

Eksempel 1.02

Du har et legeme, der er påvirket af to kræfter F1 = 20 N og F2 = 30 N som vist på figur 1.23.

Figur 1.23

Du skal bestemme resultanten både grafisk og analytisk.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 19

01-07-2016 14:34:18

20

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Grafisk løsning Du kan starte med at vælge en passende kraftmålestok.

Du benytter grundsætning nr. 3 – kræfterne afsættes efter hinanden, først F1 og derefter F2.

Resultanten R er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft.

F1

F2 R

Figur 1.24

Du har løsningen på figur 1.24 og kan måle resultanten og får: R = 50 N Analytisk løsning Da kræfterne virker i samme linje, kan du lægge dem sammen direkte.

Du kan vælge at regne positivt mod højre, som er anskueliggjort ved den lille pil. Det giver: →+ R = 20 + 30 = 50 N

Eksempel 1.03 Du har et legeme, som er påvirket af to kræfter F1 = 40 N og F2 = 60 N som vist på figur 1.25.

Figur 1.25

Du skal bestemme resultanten både grafisk og analytisk.

Grafisk løsning Du vælger en passende kraftmålestok og benytter grundsætning nr. 3.

Kræfterne afsættes efter hinanden – først F1 og derefter F2. Resultanten R er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft.

Figur 1.26

Du har løsningen på figur 1.26 og kan måle resultanten og får: R = 20 N

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 20

01-07-2016 14:34:19

Definition på kraft

21

Analytisk løsning Du kan benytte figur 1.25 som udgangspunkt for beregningen og vælge at regne positivt mod højre. Du får: →+ R = 40 − 60 = −20 N Minustegnet viser dig, at resultantens retning er mod venstre.

Du kunne også have valgt at regne positivt mod venstre. Beregningen ville da være kommet til at se således ud: ←+ R = −40 + 60 = 20 N Plus-tegnet viser dig, at resultantens retning er mod venstre, nemlig den retning du valgte at regne positivt i.

De to gennemregnede eksempler viser dig, at du frit kan vælge, hvilken retning du vil regne positivt i.

Eksempel 1.04

Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 5.02.

Du har en byrde med masse 3000 kg, som er hængt op i et stangsystem som vist på figur 1.27.

Figur 1.27

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 21

01-07-2016 14:34:23

22

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Du skal beregne størrelsen af kræfterne, som bliver overført i de to stænger.

Du bestemmer først byrdens tyngdekraft og regner tyngdeaccelerationen til 10 m/s².

G=m·g G = 3000 · 10 = 30.000 N = 30 kN Du benytter grundsætning nr. 3, men denne gang omvendt, idet kraften G skal opløses i de to retninger, som stængerne danner.

Du har den geometriske konstruktion på figur 1.28, og da kræfterne i stængerne er lige store, kan du benytte den viste trekant til at bestemme S1.

Figur 1.28

Du får:

30 cos 30° = 2 S1

1

=

15 = 17, 32 N cos 30°

Da S1 og S2 er lige store, kan du skrive løsningen: S1 = S2 = 17,32 kN

Eksempel 1.05 På et fundament til forankring af en opspændt mast er to stålwirer fastgjort som vist på figur 1.29.

Figur 1.29

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 22

01-07-2016 14:34:24

Definition på kraft

23

Du har givet, at kræfterne i de to stålwirer er henholdsvis F1 = 1200 N og F2 = 700 N. Du skal ved beregning bestemme den resulterende kraft på fundamentet.

Figur 1.30

Du kan starte med at tegne krafttrekanten og bestemme vinklen v (se figur 1.30): v = 180º - 30º = 150º Du har dermed en beregningstrekant med tre kendte størrelser som vist på figur 1.31.

Figur 1.31

Du skal nu have fat i en af beregningsformlerne fra trigonometri, som gælder for vilkårlige trekanter. Du kan benytte cosinus-relationen, som ser således ud: a² = b² + c² -2bc cos A Du kan overføre det til beregningstrekanten og får: R2 = 1200 2 + 700 2 − 2 ⋅ 1200 ⋅ 700 ⋅ cos 150° R = 1200 2 + 700 2 − 2 ⋅ 1200 ⋅ 700 ⋅ cos 150° R = 1839 , 8 N ≅ 1840 N Du skal også bestemme resultantens retning, og det gør du ved at finde vinkel x.

Du har igen en formel fra trigonometrien, som kan hjælpe dig: b2 + c 2 − a2 2⋅b⋅c Overført til beregningstrekanten får du: cos A =

cos x =

1200 2 + 1840 2 − 700 2 2 ⋅ 1200 ⋅ 1840

x = 10,95°

Opgave 1 Du har givet en kraft på 130 N, som danner en vinkel på 48º med vandret.

Du skal beregne størrelsen af kraftens vandrette og lodrette komposant.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 23

01-07-2016 14:34:27

24

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Opgave 2 Du har givet to kræfter på henholdsvis 60 N og 80 N, som danner 90º med hinanden. a) Du skal ved beregning bestemme resultanten. b) Du skal ved beregning bestemme den vinkel, resultanten danner med kraften på 60 N.

Opgave 3 Du har givet to kræfter på henholdsvis 135 N og 360 N, som danner en vinkel på 110º med hinanden. a) Du skal ved beregning bestemme resultanten. b) Du skal ved beregning bestemme den vinkel, resultanten danner med kraften på 360 N.

Opgave 4 Du har givet, at resultanten af to kræfter er 10 N. Resultanten danner en vinkel på 120º med den ene komposant, der også er 10 N. Du skal ved beregning bestemme størrelsen af den anden komposant.

Opgave 5

Du har givet en byrde med masse 50 kg, der er ophængt i en ring C som vist på figur 1.32.

Figur 1.32

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 24

01-07-2016 14:34:31

Definition på kraft

25

Ringen C er fastholdt af to tove, der er fastgjort til i punkterne A og B. Målene er AB = 5 m, BC = 4 m og AC = 3 m.

Du skal bestemme størrelsen på kræfterne, der bliver overført i de to tove.

Opgave 6 Du har givet en del af en gitterkonstruktion, hvor to vinkelstål er svejst til en plade som vist på figur 1.33.

Figur 1.33

Trækkræfterne i vinkelstålene er F1 = 450 N og F2 = 500 N. a) Du skal ved beregning bestemme den resulterende trækkraft. b) Du skal ved beregning bestemme den vinkel, den resulterende trækkraft danner med vandret.

Opgave 7 Du har givet et støbejernsrør med masse 200 kg, der er hængt op som vist på figur 1.34.

Figur 1.34

Du skal bestemme størrelserne på trækkræfterne, der bliver overført i tovene.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 25

01-07-2016 14:34:33

26

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Opgave 8

Du har en trappestige, som står på en skrå flade som vist på figur 1.35.

Figur 1.35

En person med masse 70 kg står på det øverste trin.

Du skal bestemme kræfterne, som bliver overført i stigens ben.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 26

01-07-2016 14:34:36

Definition på kraft

27

Opgave 9 Du har en del af et spærfag som vist på figur 1.36.

Figur 1.36

I et af knudepunkterne virker en kraft som vist.

Du skal ved beregning bestemme kraftens vandrette og lodrette komposant.

Opgave 10 Du har en byrde med tyngde G = 1 kN, som holdes som vist på figur 1.37.

Figur 1.37

Vinklen a kan variere.

Du skal grafisk bestemme størrelsen af trækkræfterne i de to tovparter, når vinklen a er: a) 0º b) 45º c) 90º d) 120º e) 150º

Opgave 11 Du har givet en kraft på 500 N. Du skal opløse kraften i to komposanter, der danner henholdsvis 25º og 115º med den givne kraft.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 27

01-07-2016 14:34:38

28

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Opgave 12 Du har givet en byrde med masse 450 kg, som bliver fastholdt i den viste stilling på figur 1.38.

Figur 1.38

Du skal bestemme størrelsen af den resulterende trækkraft i stangen.

Større kraftsystemer med samme angrebspunkt

Du har hidtil arbejdet med to kræfter, men grundsætningerne kan du uden problemer overføre til større kraftsystemer, hvor der er mere end to kræfter.

Du får først den grafiske metode.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 28

01-07-2016 14:34:41

Større kraftsystemer med samme angrebspunkt

29

Du har et kraftsystem med tre kræfter F1, F2 og F3, der har samme angrebspunkt og retninger som vist på figur 1.39.

Figur 1.39

Du benytter grundsætningen om kræfternes parallelogram og bestemmer først resultanten R1-2 af kræfterne F1 og F2.

Derefter sammensætter du R1-2 sammen med F3 til den endelige resultant R. Du kunne have også have benyttet den fremgangsmåde, som er vist på figur 1.40.

Figur 1.40

Du starter ud fra et vilkårligt punkt med at afsætte F1, fra dens pilspids afsættes F2 osv.

Du kan forbinde begyndelsespunktet med pilpunktet af den sidst afsatte kraft. Resultanten R har du så i størrelse og retning fra begyndelsespunktet og ud til pilpunktet af den sidst tegnede kraft.

Figur 1.40 kalder du en kraftpolygon.

Hvis du skulle løse samme opgave analytisk, altså ved beregning, vil du med fordel kunne indlægge et koordinatsystem på figuren. Koordinatsystemet indlægger du således, at kræfternes angrebspunkt er placeret i koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0) som vist på figur 1.41.

Figur 1.41

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 29

01-07-2016 14:34:44

30

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Kræfterne opløser du i komposanter, der virker i henholdsvis horisontal og vertikal retning.

Kræfternes virkelinjer får du på denne måde reduceret til to, nemlig en i horisontal retning og en i vertikal retning.

Du kan sammensætte kræfterne, der virker i horisontal retning til en resultant, som du kalder ΣH. På tilsvarende kan du sammensætte kræfterne, der virker i vertikal retning til en resultant, som du kalder ΣV. Σ-tegnet er det græske bogstav sigma, som du her benytter som summationstegn.

Du kan bestemme den endelige resultant R ved at sammensætte ΣH og ΣV som vist på figur 1.42.

Figur 1.42 2

2

2

R = (ΣH ) + (ΣV ) 2

2

R = (ΣH ) + (ΣH )

Du skal også bestemme resultantens retning, og det kan du gøre ved at finde vinklen a således: tan a =

ΣV ΣH

Eksempel 1.06 Du har givet fire kræfter F1 = 48 kN, F2 = 25 kN, F3 = 23 kN og F4 = 13 kN, som er indlagt i et koordinatsystem med retninger som vist på figur 1.43.

Figur 1.43

Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning.

Du kan løse opgaven på flere måder. Du får mulighed for at se på to løsninger.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 30

01-07-2016 14:34:47

Større kraftsystemer med samme angrebspunkt

31

Løsning 1 Du forskyder kraften F1, således at alle kræfterne udgår fra (0,0) som vist på figur 1.44. Endvidere bestemmer du de vinkler, kræfterne danner med den vandrette akse.

Figur 1.44

Du opløser kræfterne hver for sig i to komposanter, der virker i henholdsvis x- og y- aksens retning.

Herefter skal du have beregnet størrelserne på komposanterne og benytter: V sin a = V = F ⋅ sin a F cos a =

H F

H = F ⋅ cos a

Du kan herefter beregne størrelsen på komposanterne: V1 = 28 ⋅ sin 15° = 7 , 25 V2 = 25 ⋅ sin 80° = 24 , 62 V3 = 23 ⋅ sin 25° = 9 , 72 V4 = 13 ⋅ sin 30° = 6 , 5

H1 = 28 ⋅ cos 15° = 27 , 05 H 2 = 25 ⋅ cos 80° = 4 , 34 H 2 = 23 ⋅ cos 25° = 20 , 85 H 4 = 13 ⋅ cos 30° = 11, 26

Du kan bestemme resultanterne, der virker i henholdsvis x- og y-aksens retning: ΣV = −7 , 25 + 24 , 62 + 9 , 72 − 6 , 5 = 20 , 59 ΣH = −27 , 05 + 4 , 34 − 20 , 85 + 11, 26 = −32 , 3 Minus-tegnet viser, at ΣH’s retning er mod venstre.

Du kan placere ΣH og ΣV i koordinatsystemet som vist på figur 1.45, og du kan beregne den endelige resultant R.

Figur 1.45 2

2

R = (ΣH ) + (ΣV) 2

R = (−32 , 3) + 20 , 59 2 = 38 , 3 kN

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 31

01-07-2016 14:34:50

32

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Du kan også bestemme resultantens retning ved at finde vinklen v: tan v =

ΣV 20 , 59 = ΣH 32 , 3

v = 32, 52°

Løsning 2 Du forskyder igen F1, således at alle kræfter udgår fra (0,0) som vist på figur 1.46. Endvidere bestemmer de vinkler, som kræfterne danner med x-aksens positive retning.

Figur 1.46

Du kan nu beregne størrelsen på resultanterne, der virker i henholdsvis x- og y-aksens retning: ΣV = 25 ⋅ sin 80° + 23 ⋅ sin 155° + 28 ⋅ sin 195° + 13 ⋅ sin 330° ΣV = 20 , 59 ΣH = 25 ⋅ cos 80° + 23 ⋅ cos 155° + 28 ⋅ cos 195° + 13 ⋅ cos 330° ΣH = −32 , 3 Nu foregår resten af beregningerne som ved løsning 1, så det kan du springe over.

Opgave 13 Du har givet tre kræfter F1 = 200 N, F2 = 500 N og F3 = 900 N, som angriber i samme punkt på et legeme og har samme virkelinjer som vist på figur 1.47.

F2

F1

F3

Figur 1.47

Du skal bestemme resultanten i størrelse og retning.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 32

01-07-2016 14:34:52

Større kraftsystemer med samme angrebspunkt

33

Opgave 14

Du har givet en telefonmast, som er fastgjort ved hjælp af fire wirer som vist på figur 1.48.

F3

45

F2 F1

30 F4 Figur 1.48

Trækkræfterne i wirerne er F1 = 3 kN, F2 = 2,5 kN, F3 = 2,5 kN og F4 = 3 kN. Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning.

Opgave 15 Du har givet en gitterkonstruktion, hvor fire stænger er svejst til en plade som vist på figur 1.49.

30

F3

F2

30 F1

F4 Figur 1.49

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 33

01-07-2016 14:34:56

34

Statik og styrkelære · Kræfter og momenter

Kraftpåvirkningen i de enkelte stænger er: F1 = 430 N, F2 = 490 N, F3 = 385 N og F4 = 430 N. Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning.

Opgave 16 Du har givet fire kræfter, som er indlagt i et koordinatsystem, og som alle udgår fra punktet (0,0).

Kræfterne er: F1 = 20 N, F2 = 20 N, F3 = 10 N og F4 = 25 N. Kræfterne danner følgende vinkler med x-aksens positive retning: v1= 15º, v2 = 120º, v3 = 240º og v4 = 320º.

Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning.

Opgave 17 Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning af de på figur 1.50 viste fire kræfter.

150 N

500 N 20 40

60 35

300 N 600 N Figur 1.50

Du skal kontrollere løsningen grafisk.

Opgave 18 Du har givet fire kræfter, som alle udgår fra samme punkt: F1 = 675 N, F2 = 325 N, F3 = 460 N og F4 = 325 N. Kræfterne danner følgende vinkler med x-aksens positive retning: v1 = 42º, v2 = 115º, v3 = 256º og v4 = 305º.

Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 34

01-07-2016 14:34:56

Større kraftsystemer med samme angrebspunkt

35

Opgave 19 Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning af de på figur 1.51 viste fire kræfter.

2 MN

3 MN 60

90

4 MN

90 120

3 MN Figur 1.51

Du skal kontrollere løsning grafisk.

Opgave 20

Du har givet en kileremskive, der som vist på figur 1.52 er påvirket af to kræfter S1 = S2 = 10 kN.

Figur 1.52

Du har desuden givet, at remskivens tyngde G = 2 kN. Du skal bestemme den resulterende kraft på akslen.

104018-1_statik_styrkelaere01_2012.indd 35

01-07-2016 14:34:57

t

Statik og styrkelære Bogen behandler den grundlæggende statik og styrkelære efter Eurocodes.

Statik og styrkelære er beregnet til bygningskonstruktøruddannelsen, htx-uddannelsen og teknikeruddannelserne, hvor der undervises i de grundlæggende regler og deres praktiske anvendelse inden for elementær konstruktion.

Statik-delen omhandler emner som kræfter, tyngdepunkter, belastninger og gitterkonstruktioner.

For styrkelærens vedkommende gennemgås den grundlæggende viden inden for stålkonstruktioner, trækonstruktioner og maskinelementer.

Statik og styrkelære

Preben Madsen

Preben Madsen

Statik og Teknisk styrkelære Matematik

Preben Madsen

4. udgave

3. udgave

Bogen går logisk og pædagogisk frem med opstilling af regler, eksempler og opgaver. Facitliste findes på omtalen af bogen på praxis.dk Statik og styrkelære er en sammenskrivning af de to bøger Teknisk Statik og Teknisk Styrkelære. Bogen er gennemrevideret, moderniseret og opdateret.

ISBN 978-87-571-2868-0

9 788757 128680

praxis.dk

varenr. 104018-1

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

104018-1_Statik_og_styrkelaere_omslag.indd 1

28-06-2016 11:30:50