Teknisk Matematik 1, 2. udgave, 1. oplag, 2017

TEKNISK MATEMATIK 1 er lærebogen til B-niveaus første år på det tekniske gymnasium, men er også velegnet på andre ungdomsuddannelser. Det er et dynamisk, inspirerende og letlæseligt materiale, der gør brugerne til aktive medspillere. Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der bidrager til en god indlæring.

Til serien hører bind 2 og 3, der tilsammen dækker resten af B-niveauet samt A-niveauet.

ISBN 978-87-571-2883-3

9 788757 128833

TEKNISK MATEMATIK

1

Teknisk Matematik

1

1

Teknisk Matematik Preben Madsen

praxis.dk

varenr. 121043-1

121043-1_Teknisk Matematik-B omslag.indd All Pages

2. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

08-05-2017 09:36:29

1

Teknisk Matematik Preben Madsen

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 1

04-05-2017 13:50:14

Teknisk Matematik, bind 1 2. udgave, 1. oplag 2017 © PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag 2017 Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@praxis.dk Omslag, grafisk tilrettelæggelse og dtp: Stig Bing Omslagsfoto forestiller Musikkens hus, Aalborg

Tryk: Specialtrykkeriet Arco A/S ISBN: 978-87-571-2883-3 (papir og ebog+) ISBN: 978-87-571-3386-8 (ebog) Varenummer: 121043-1

Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 100 g G-print Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes.

Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer.

Se mere på www.copydan.dk

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ info@praxis.dk praxis.dk Tlf. 45 63 15 17 00

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 2

04-05-2017 13:50:14

Forord Denne bog er en ny udgave, som har udgangspunkt i en gennemgående bearbejdning af Teknisk matematik, bind 1. Bogen er ikke udarbejdet til en bestemt uddannelse, men sigter på bred anvendelse inden for uddannelser efter folkeskolen.

Indholdet er imidlertid sammensat på en sådan måde, at bogen sammen med Teknisk matematik 2 i stor udstrækning kan anvendes som basis for undervisning i kernestoffet inden for htx-uddannelsens B-niveau.

På tilsvarende måde kan Teknisk matematik 1 sammen med Teknisk matematik 2 og Teknisk matematik 3 i stor udstrækning anvendes som basis for undervisning i kernestoffet inden for htx-uddannelsens A-niveau.

Det skal også bemærkes, at den i 2016 nedsatte matematikkommission anbefaler, at matematik i grundforløbet tager udgangspunkt i et kendt emne fra grundskolen, nemlig ”den rette linje” og løfter den op på et gymnasialt niveau. Det er der mulighed for, idet ”den rette linje” indgår i kapitel 2, 8 og 9 og ligeledes i Teknisk matematik 2 i kapitel 1 og i Teknisk matematik 3 i kapitel 1.

Det har været formålet at fremstille et dynamisk, inspirerende og letlæseligt materiale, der skulle motivere brugere til at være aktive medspillere.

Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der skulle bidrage til en god indlæring. Opgaverne består dels af typer, der kan betegnes som rene matematiske disciplinopgaver, og dels af typer, der kan betegnes som problemopgaver, som illustrerer matematikkens anvendelse i relevante praktiske situationer. Der er facitliste til alle bogens opgaver, og facitlisten finder du ved omtalen af bogen på praxis.dk.

Undervisningen i matematik har gennem de senere år udviklet sig kolossalt med anvendelse af teknologiske hjælpemidler i form af computerbaserede matematikprogrammer og grafregnere med CAS faciliteter.

CAS står for Computer Algebra Systems og kan populært oversættes til computerbaseret bogstavregning. Det giver nogle fantastiske pædagogiske muligheder, og der er vendt op og ned på meget i matematikundervisningen. Regler og teknikker skal stadig beherskes, men på en anden måde end tidligere. Bogen giver forslag til, hvordan disse informationsteknologiske hjælpemidler kan inddrages og anvendes i undervisningen. Det skal bemærkes, at bogen beskriver mulighederne, men der er ikke tale om instruktion til en bestemt grafregner eller et bestemt matematikprogram.

Det er derfor vigtigt at have manual til grafregner eller matematikprogram inden for rækkevidde, når man arbejder med bogen.

I det sidste kapitel ”10. Projektopgaver” er der samlet en del opgaver, hvor der til en del af opgaverne er formuleret spørgsmål, der kan anvendes direkte. En anden del appellerer til den enkeltes fantasi om selv at formulere spørgsmål, der kan udfordre den matematiske viden. Her er der

3

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 3

04-05-2017 13:50:14

TEKNISK MATEMATIK 1 – Forord

mulighed for at differentiere og arbejde med enkle såvel som komplicerede problemstillinger afhængig af den enkeltes viden og kunnen.

I afsnittet ”Indledninger” er der for brugere, elever såvel som lærere, en række gode råd og tips, der kan motivere og give impulser til anvendelse af bogen.

Bogen kan anvendes i den daglige matematikundervisning, men kan også anvendes som baggrundsmateriale for tværfaglige sammenhænge og desuden som udgangspunkt for selvstudier.

I tilslutning til bogen er der udgivet en formelsamling, som med fordel kan købes og anvendes sammen med bogen.

En stor tak til adjunkt Johan Clausen, Institut for Byggeri og Anlæg, Aalborg Universitet, for mange gode kommentarer og forslag.

Maj 2017 Preben Madsen

4

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 4

04-05-2017 13:50:14

Indhold INDLEDNINGER 1 | TAL OG ALGEBRA Tal Symboler

Hvordan afrundes resultater?

Algebra Addition Subtraktion Multiplikation Division Parentesmysterier Fortegn Negative tal og potenser Reduktion af bogstavudtryk CAS Mange regneoperatorer!

Tre vigtige formler Brøker Forkorte eller forlænge brøker Addition og subtraktion af brøker Multiplikation og division med brøker Potens Multiplikation af potenser med samme grundtal Division af potenser med samme grundtal Multiplikation af to potenser med samme eksponent Division af to potenser med samme eksponent En potens opløftet til en ny potens Udvidelse af potensbegrebet Meget store tal og meget små tal Kvadratrod Andre rødder Regneregler for rodstørrelser Udvidelse af rod og potensbegrebet Problemopgaver

2 | LIGNINGER OG ULIGHEDER Hvor møder du en ligning?

Hvad er en ligning?

Regneregler for løsning af ligninger Mængdebyggeren, grundmængde og løsningsmængde Ligninger med 1 ubekendt CAS Tekniske ligninger Tekstligninger Procenter Indsættelsesmetoden Lige store koefficienters metode Determinantmetoden Grafisk løsning af to ligninger med to ubekendte Hvilken metode skal jeg benytte?

Tre ligninger med tre ubekendte Enkle 2.gradsligninger Udledning af løsningsformel til 2.gradsligningen

7 11

11 13 13 14 15 16 18 19 20 22 22 23 24 26 28 29 30 31 33 34 34 34 35 35 35 36 37 38 39 40 41 42

45 45 47 47 49 51 52 55 59 60 62 63 64 65 66 67 69 71

Anvendelse af løsningsformel til 2.gradsligninger Kamuflerede 2.gradsligninger Kombination med en 1.gradsligning og en 2.gradsligning Ligninger, hvor den ubekendte er under rodtegn Numerisk værdi Ligninger med numeriske værdier Ulighedstegn og uligheder Regneregler for uligheder Løsning af enkle uligheder Intervaller Løsning af dobbeltuligheder Problemopgaver

72 74 75 76 77 78 80 80 81 82 83 84

3 | GEOMETRI

87

Hvor møder du geometri?

Geometriens grundelementer Måleenheder Punkter Linjer og linjestykker Vinkler Måling af vinkler Vinkler og deres sammenhænge Normal og midtnormal Parallelle linjer Cirklen og dens geometri Flader i cirklen Vinkler i cirklen To cirkler og deres sammenhæng Geometriske grundkonstruktioner Trekanter Vinkelsummen i en trekant Forskellige trekanter Højder i en trekant og trekantens areal Retvinklet trekant og Pythagoras læresætning Ensvinklede trekanter Medianer i en trekant Vinkelhalveringslinjer i en trekant Paralleltransversaler i en trekant Trekantens indskrevne og omskrevne cirkel Trekantkonstruktioner Firkanten Forskellige firkanter Polygoner Regulær polygon Problemopgaver

87 88 88 90 90 91 92 93 94 94 95 96 96 98 100 104 105 106 107 107 109 110 110 111 111 112 114 115 118 118 119

4 | TRIGONOMETRI

123

Hvad er trigonometri?

Koordinatsystemet Definition på sinus og cosinus Mere om sinus og cosinus Definition på tangens Omvendt sinus, cosinus og tangens Formler for den retvinklede trekant ”Værktøjskasse” Beregning af stykker i retvinklede trekanter Tips til fremgangsmåde Den ”rigtige” beregningstrekant Sinus og cosinus i 1., 2., 3. og 4. kvadrant Sinus- og cosinusværdier til vinkler og omvendt Sinusrelationen

123 124 125 126 127 128 129 131 132 133 134 136 138 140

5

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 5

04-05-2017 13:50:14

TEKNISK MATEMATIK 1 – Forord

Anvendelse af sinusrelationen Cosinusrelationen Anvendelse af cosinusrelationen Arealformler Udledning af arealformler Arealberegning i trekanter Tips og ideer til arbejdet med problemopgaver Problemopgaver med den retvinklede trekant Problemopgaver med den vilkårlige trekant

141 144 146 148 148 151 151 154 160

5 | CIRKLEN

163

Cirklens omkreds og buelængder Cirklens areal Areal af cirkelring Areal af cirkeludsnit Areal af cirkelafsnit, korde og pilhøjde Længde af ”skrue”-linje Problemopgaver

163 165 166 167 168 171 172

6 | OVERFLADE­BESTEMMELSE OG UDFOLDNINGER Overfladebestemmelse af rumlige figurer Kasse eller æske Måleenheder ved arealberegning Arealbestemmelse af tagflader Cylinder Overflade af pyramide Overflade af pyramidestub Overflade af kegle Overflade af keglestub Overflade af kugle Overflade af kugleafsnit Overflade af kugleskive Rørbøjninger Udfoldning og beregning af rørbøjninger Problemopgaver

183

7 | BESTEMMELSE AF RUMFANG Rumfang Kasse

217

8 | ANALYTISK PLANGEOMETRI Hvad er analytisk plangeometri?

Afstandsformlen Et linjestykkes midtpunkt Beregning af arealer Ret linje af formen y=ax Stigningstal

241

Måleenheder ved rumfangsbestemmelse Retvinklet prisme Cylinder og cylinderrør Pyramide Benævnelser i pyramider Pyramidestub Kegle Keglestub Kugle Kugleudsnit Guldins regler Tyngdepunktet for linjeelementer Tyngdepunkter for arealer Problemopgaver

183 185 185 186 189 190 192 195 197 200 200 201 202 204 212

217 218 218 219 220 223 224 225 226 227 228 229 230 232 233 236

241 242 244 246 248 250

Vandrette og lodrette linjer Ret linje af formen y=ax+b Skæring mellem to linjer Bestemmelse af stigningstal Vinkel mellem to linjer Opstilling af ret linjes ligning Parallelle linjer Linjer vinkelret på hinanden Cirklens centrumligning Problemopgaver

251 252 253 255 256 257 259 261 264 267

9 | FUNKTIONER

271

Hvor møder du en funktion?

Hvad er en funktion?

Regneforskrift Definitionsmængde Monotoniforhold Maksimums- og minimumspunkter Lineær funktion af formen y=ax Ligefrem proportionalitet Omvendt proportionalitet Lineær funktion af formen y=ax+b Lineær regressionsmodel Funktioner i familier Potensfunktioner Funktioner af 2.grad Parabels toppunkt og symmetriakse Parabel af formen f(x)=ax2+bx+c Andre polynomier Løsning af 2. grads uligheder Løsning af andre uligheder Ligningsløsning på en anden måde!

Stykkevis funktioner Sammensatte funktioner Omvendte funktioner Problemopgaver

271 272 273 274 277 278 280 281 281 282 283 284 286 289 290 294 297 298 299 301 302 304 305 307

10 | PROJEKTOPGAVER Matematikprojekter Problemanalyse Løsningsmodeller Valg af løsningsmodel Dokumentation Vurdering af løsning Afslutning Pejlestang Hjerting kirke Billund lufthavn Silo Udgravning Dæksel Konstruktion af ventilhus Storebæltsforbindelsen Vestbroen Østbroen Superellipsebord Varmluftballon Kloakering Broprojekt

313

STIKORD

333

313 314 314 315 315 315 316 316 317 319 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 332

6

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 6

04-05-2017 13:50:14

Til dig som elev og bruger

Indledninger TIL DIG SOM ELEV OG BRUGER Det er masser af matematik i din hverdag. Det er en påstand, som du måske ikke tror på, men hvis du ser dig godt omkring og bruger din fantasi, vil du erfare, at det er noget om snakken.

Drikker du fx en cola, er der ”matematik” i dåsen. Du kan bestemme rumfanget af dåsen, når du kender dåsens diameter og højde. Du kan også bestemme arealet af det plademateriale, der medgår til dåsens fremstilling.

Et andet eksempel – spiser du en pizzaslice, er det matematisk et cirkeludsnit, du har foran dig. Et tredje eksempel – spiser du af en tallerken, der er rund, er det matematisk en cirkel, du har foran dig.

7

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 7

04-05-2017 13:50:17

TEKNISK MATEMATIK 1 – Indledninger

Når du går i en by og ser dig omkring, vil du sikkert kunne få øje på en masse spændende bygninger, gamle som nye, som der også er en masse matematik i.

Billedet herover er af Musikkens hus i Ålborg, som har en masse matematiske elementer i sig. Her er vinkler, trekanter, firkanter, cirkler mv. så det er kun et spørgsmål om at have øjnene med sig og bruge fantasien.

Sådan kunne der fortsættes, og forhåbentlig er det lidt tankevækkende, så det kan det blive sjovt og spændende at arbejde med problemstillinger fra din hverdag, der kan løses ved hjælp af matematik. Du må så bare indstille dig på, at der en masse regler og begreber, du skal lære at kende og bruge.

Sagt på en lidt anden måde, hvis du vil lære det matematiske sprog og dets muligheder, må du indstille dig på, at der ligger en masse arbejde forude.

Du er måske elev og skal i gang med faget matematik. Du kan også have et job og skal løse nogle problemer, hvortil der kræves matematik. Ligegyldigt hvilke forudsætninger du har, skal du gribe det rigtigt an. Du får derfor nogle tips og ideer! Det er ganske få, der kan ”læse” matematik forstået på den måde, at du starter på et kapitel, og læser det fra den ene ende til den anden og så regner med at have styr på det. Det går simpelthen ikke!

8

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 8

04-05-2017 13:50:18

Til dig som lærer

Du skal for det første have noget at skrive med og masser af papir. Det vil også være en fordel, hvis du anskaffer dig en grafregner eller et matematikprogram til din computer. Fordelen er først og fremmest at du kan tegne grafer, men desuden vil der være en masse programmer og faciliteter, som du med stor fordel kan benytte. Endelig er der den fordel, at du i ”vinduet” kan se det, du taster ind og dermed følge med i et beregningsforløb.

Når du så går i gang med at ”læse”, så gør det på den måde, at du skriver de regler ned, du støder på undervejs og tilføj dine egne kommentarer, fx hvordan opfatter du reglen, hvad reglen gælder for, og hvad den ikke gælder for. Gå de gennemregnede eksempler igennem ved at skrive ned trin for trin, hvad der er sket, indtil du kommer til et resultat. Gør dig klart, hvilke regler eksemplet skal belyse, og hvordan reglerne er benyttet.

Tjek evt. beregninger på grafregner eller i matematikprogram.

På tilsvarende måde med opgaverne. En del af dem lægger op til, at du med dine egne ord beskriver, hvordan du opfatter et matematisk problem.

Til opgaverne er der facitliste, så her har du mulighed for at kontrollere dine resultater. Er du elev i en klasse, har du også mulighed for en dialog med din lærer, hvis du støder på et problem, som du har svært ved at gennemskue.

Følger du disse få og enkle tips på din gennem bogen, er jeg overbevist om, at du vil få glæde og fornøjelse af at arbejde med matematik. Det skulle gerne blive sådan, at en dag med matematik bliver en god dag!

TIL DIG SOM LÆRER Når du skal i gang med planlægning af undervisningen, kan det anbefales at samle matematiklektionerne i større blokke. Med den baggrund kan du planlægge undervisningen med følgende struktur: 1. Læreroplæg.

2. Elevarbejde i grupper.

3. Opsamling, mulighed for små test og afslutning.

Ad 1) Ved planlægningen er det vigtigt, at du sætter dig et undervisningsmål for, hvad du vil opnå i den enkelte blok. Når du så starter med eleverne, så fortæl dem, hvad du forventer, de skal kunne nå og få dem til at skrive ned, hvad de mener, de har nået, når tiden er ved at være udløbet.

Ved planlægningen af selve undervisningen er der tre ting, du skal tage stilling til, nemlig motivation, fagligt indhold og frihed. Motivation er en vigtig faktor, så det er her, du skal starte og bruge nogen tid. Har du først motiveret eleverne, er der skabt en god grobund for det faglige indhold.

Det er vigtigt, at eleverne får indtryk af, at matematik er vedkommende og indgår som elementer i hverdagen. Du kan fx inddrage elementer fra projektopgaverne i det sidste kapitel og give eksempler på anvendelse af matematik i forskellige situationer.

Så kan du gå til det faglige indhold. I enhver undervisningssituation er det vigtigt, at eleven så hurtigt som muligt får et overblik eller en helhedsfornemmelse. De enkelte kapitler og afsnit er bygget op med regler, beviser, eksempler og opgaver, således at de hver for sig fremstår som selvstændige

9

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 9

04-05-2017 13:50:20

TEKNISK MATEMATIK 1 – Indledninger

enheder. Det er også muligt at springe mellem kapitlerne og arbejde med de afsnit, der er nødvendige for at komme frem til en helhed set ud fra et undervisningsmæssigt synspunkt. Som et eksempel har du beviserne. I bogen er de indpasset i den pædagogiske proces, men alt efter forholdene kan du i første omgang springe dem over. Du kan så gå til formlerne og deres praktiske anvendelse og stadig få en helhed ud af det. Et andet eksempel er, hvis du underviser i grundforløbet. Som nævnt i Forord anbefaler Matematikkommissionen, at du tager udgangspunkt i ”den rette linje” fra grundskolen og løfter den op på et gymnasialt niveau. Du har muligheden, idet ”den rette linje” indgår i kapitel 2. Geometri, hvor den rette linje er beskrevet og indgår i mange grundkonstruktioner. I Kapitel 8. Analytisk plangeometri har du den rette linje beskrevet i koordinatsystemet, og i kapitel 9. Funktioner har du den rette linje beskrevet som funktion. Her er der også mulighed for at arbejde med regression. I Teknisk matematik 2 i Kapitel 1. Vektorregning i planen har du beskrevet den rette linje i planen, og i Teknisk matematik 3 i kapitel 1.

Vektorregning i rummet har du på tilsvarende måde den rette linje beskrevet i rummet. Her er også mulighed for at få introduceret vektorbegrebet, hvilket vil gavne fysikundervisningen. Som du kan se, er her en masse muligheder for at kunne planlægge et undervisningsforløb, der vil kunne komme vidt omkring, og som vil kunne give ”den rette linje” et gymnasialt niveau.

Så er der friheden. Det kan anbefales, at du så tidligt som muligt indlægger projektopgaver med gradvis mere og mere frihed. Du har i det sidste kapitel ”Projektopgaver” eksempler på enkle projekter, og du har også projekter, hvor det er lagt op til den enkelte elev om selv at formulere spørgsmål, der er relevante. Lad elevernes kreativitet udfolde sig. Det er ikke et spørgsmål om et bestemt facit med to streger under. Der er mere tale om en proces, eleven gennemgår og kan beskrive, og som i sidste ende kan føre til et acceptabelt resultat.

Ad 2) Her er det vigtigt, at der er tid til elevarbejde i grupper. Derfor kan det anbefales, som nævnt i starten, at matematiklektionerne ligger samlet og gerne i en stor blok. Du kan planlægge elevarbejdet med opgaver, der starter med enkle matematiske discipliner og derefter gå mod opgaver med større og større sværhedsgrad. Når gruppearbejdet er i gang, er din rolle et konsulentjob, hvor du hjælper og støtter den enkelte gruppe.

Ad 3) Her tager du problemer op, som eleverne har stødt på undervejs i gruppearbejdet. Du belyser og gennemgår de faglige problemer, resumerer og afklarer spørgsmål. Engang imellem bør der også være tid til en lille prøve, hvor du kan teste elevernes matematiske færdigheder.

Som nævnt i starten kan du også få eleverne til at skrive ned, hvad de har nået i relation til det undervisningsmål, du har nævnt i starten af forløbet. Det vil også give dig en god mulighed for at evaluere undervisningen.

I forrige afsnit afsluttede jeg med udsagnet: En dag med matematik skulle gerne blive en god dag. Prøv og hav det for øje, når du planlægger din undervisning.

God fornøjelse!

10

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 10

04-05-2017 13:50:20

1

| Tal og algebra

TAL

I din hverdag vil du møde tal i mange sammenhænge. Skal du ud at handle og finder en vare, du er interesseret i, vil prisskiltet give dig et tal, som du skal forholde dig til. Er du på netbank eller mobilepay, vil der også være en hel del tal, som du skal tage stilling til. Kort sagt, du kommer ikke uden om at beskæftige dig med tal i din hverdag og slet ikke, når du skal i gang med matematik.

Det første, du skal i gang med, omfatter en præsentation af det talsystem, du kommer til at arbejde med. Du starter med de naturlige tal, som betegnes med bogstavet N . Det er tallene 1, 2, 3, 4 , osv. Det skrives på denne måde: N = 1, 2, 3, 4 ……

1

2

3

4

5

6

Figur 1.01

På figur 1.01 har du billedet af de naturlige tal på en tallinje, hvor pilen angiver den positive retning.

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 11

04-05-2017 13:50:21

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | Tal og algebra

Du kan gå videre til næste del, som indeholder alle de hele tal, som betegnes med bogstavet Z . Det er tallene −5, −4, −3, −2, −1,0,1, 2, 3, 4, osv.

Det skrives på denne måde: Z = −5, −4, −3, −2, −1,0,1, 2, 3, 4 ……

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figur 1.02

På figur 1.02 har du billedet af de hele tal Z på en tallinje.

Du kan gå videre til tredje del, som indeholder de rationale tal, som betegnes med bogstavet Q . De rationale talQ indeholder ud over de hele tal også brøker som fx: 3 1 = 0,6 = 0, 333 5 3 Den ene kan som vist omskrives til en endelig decimalbrøk med værdien 0,6, mens den anden kan omskrives til en periodisk decimalbrøk med værdien 0, 333, idet 3 − tallet vil gentage sig uendeligt. 3 − tallet kaldes perioden.

Endelig kan du gå til den sidste del, som indeholder alle reelle tal, som betegnes med bogstavet R . De reelle tal indeholder ud over de rationale tal også uendelige ikke periodiske decimalbrøker. Som et eksempel har du: π = 3,14159 ….

Decimalbrøken vil være det, som kaldes en uendelig ikke periodisk decimalbrøk.

R Q Z N

Figur 1.03

På figur 1.03 har du et billede med en sammenfatning af de tal, som du kommer til at arbejde med. I den inderste del af figuren skal du forestille dig, at du har de naturlige tal N placeret. Herefter følger de hele tal Z og videre de rationale talQ og endelig omfatter hele figuren de reelle tal R.

12

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 12

04-05-2017 13:50:22

Symboler

SYMBOLER I forrige afsnit stiftede du bekendtskab med de første symboler. Du startede med bogstavet N , som er et symbol for de naturlige tal og videre med Z , Q og R. Du fik også symbol for lighedstegn, og du fortsætter gennem bogen med nye symboler, hvad de står for, og hvordan du arbejder med dem. Mange af symbolerne kender du sikkert allerede, men der er også nogle nye, og det er med at holde styr på dem. Det er derfor en god ide, hvis du undervejs noterer dig de nye symboler, hvad de står for, og hvordan de indgår i et forløb.

HVORDAN AFRUNDES RESULTATER? Når du skal i gang med at arbejde med opgaver, vil du hurtigt få problemet: II Hvor mange cifre skal jeg medtage i et resultat?

Det er svært at opstille regler for, hvordan du skal afrunde et resultat, og hvor mange cifre du skal tage med. Din lommeregner vil ofte give dig resultater med mange cifre, som i langt de fleste tilfælde er urealistiske at medtage. Du må derfor starte med at se på tallene, der indgår i regneoperationen. Er de eksakte tal, eller er de tilnærmelsesværdier?

Du får nogle eksempler: • Udfører du et arbejde og skal have din betaling for det, er timelønnen en eksakt og fast størrelse.

• Køber du en ny bil, er prisen på bilen også en eksakt størrelse.

• Udfører du en beregning med eksakte tal, er der ingen problemer.

Resultatet vil også blive et eksakt tal.

I langt de fleste beregninger, du kommer til at udføre, er tallene derimod tilnærmelsesværdier. Du får derfor det problem, hvor nøjagtigt kan du, og hvor realistisk vil du kunne angive et slutresultat.

Du får et eksempel på en tilnærmelsesværdi. · Når du på tv ser en vejrudsigt og hører, at dagens højeste temperatur er målt til 28, 2亷 °, er denne værdi en tilnærmelsesværdi, som er afhængig af termometret og af, hvor nøjagtigt aflæsningen er foretaget.

Når du skal i gang med opgaveløsning, må du i hvert tilfælde vurdere, hvor mange cifre der skal medtages. Lidt hjælp får du med følgende ”tommelfingerregel”: II Et slutresultat skal du ikke angive med flere cifre, end der findes i de enkelte tal, der indgår i beregningen.

Du får et eksempel.

13

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 13

04-05-2017 13:50:22

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | TAL og ALgEbrA

I

EKSEMPEL 1.01

16,2

38,7

Figur 1.04

På figur 1.04 har du billedet af et rektangel, hvor sidelængderne er målt til 16,2 mm og 38,7 mm. Du skal bestemme arealet. Det bliver: Areal = 16, 2 ⋅ 38,7 Areal = 626,94 mm2

Det vil give en form for ”falsk” sikkerhed, hvis du angiver resultatet med så mange cifre. Sidelængderne er målte størrelser, og der vil altid ligge en usikkerhed på målingerne. Det vil derfor være mest rigtigt, at du benytter ”tommelfingerreglen”, afrunder og angiver resultatet som: Areal = 627 mm2

ALgEbrA Nu skal du i gang med den anden del i overskriften til dette kapitel, nemlig algebra. Algebra kan opfattes som ”regning med bogstaver”. Det omfatter en hel del regneoperationer, hvor du sikkert kender nogle af dem fra tidligere af.

Den første regneoperation er addition , som er en af de fire grundregningsarter. Du kender den sikkert bedre som ”at lægge sammen”, ”at lægge

14

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 14

04-05-2017 13:50:23

ADDITIoN

til” eller ”plus”. Du møder den i hverdagen, når du fx skal købe ind i et supermarked. Den samlede pris er en sammenlægning af priserne på samtlige dine varer.

Den anden regneoperation er subtraktion , som du sikkert kender bedre som ”at trække fra” eller ”minus”. Hvis vi fortsætter med eksemplet fra supermarkedet, kan du møde regneoperationen, hvis du har en vare med rabat. Rabatten bliver ”minus” de øvrige beløb.

Multiplikation er den tredje regneoperation, som du kender som ”at gange”. I supermarkedet svarer det til, at du køber flere eksemplarer af samme slags.

Endelig er der den fjerde af grundregningsarterne, nemlig division, som også benævnes ”at dele”. Et eksempel kunne være, at du og dine venner holder en fest og vælger at dele udgifterne ligeligt mellem jer.

Derudover er der potensopløftning og roduddragning.

Til alle disse regneoperationer er der en hel del regler, som du bliver præsenteret for i det kommende, og som er dækkende for overskriften ”Tal og algebra”.

ADDITIoN Som nævnt i forrige afsnit kender du sikkert addition eller addere bedre som ”at lægge sammen”, ”at lægge til” eller ”plus”. Du får et eksempel på en sådan regneoperation: Addition – “at lægge til” 3+5=8 addend regneoperator

sum lighedstegn addend

Som vist får du navnene på de elementer, der indgår i regneoperationen.

De enkelte led kaldes addender, og symbolet for regneoperatoren, i dette tilfælde tegnet + , fortæller, hvad du skal gøre med addenderne. Når du adderer, får du en sum.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figur 1.05

Regneoperationen kan du illustrere på en tallinje som vist på figur 1.05.

Du starter med 3 og går 5 til højre og kommer til resultatet 8.

I matematik benyttes bogstaver, når der skal opstilles almene regler.

Med bogstaver vil en sådan regneoperation kunne udtrykkes:

a+b = c

15

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 15

04-05-2017 13:50:24

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | Tal og algebra

Med udgangspunkt i taleksemplet fra før, kan du skrive: 3+5 = 5+3 Alment med bogstaver skriver du:

a+b = b+a

II

OPGAVE 1.01

Beskriv og formuler med dine egne ord, hvad ligningen herunder fortæller dig. a+b = b+a

SUBTRAKTION

Subtraktion eller subtrahere er andre navne for ”at trække fra” eller ”minus”.

Symbolet for regneoperatortegnet i en ”trække fra” opgave er – (minus).

16

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 16

04-05-2017 13:50:25

Subtraktion

Du får et eksempel på en sådan operation: Subtraktion – ”at trække fra” 9-5=4 minuend regneoperator

differens lighedstegn subtrahend

Som vist får du navnene på enkelte elemeter i regneoperationen.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figur 1.06

Regneoperationen kan du illustrere på en tallinje som vist på figur 1.06.

Du starter med 9 og går nu 5 til venstre og kommer til resultatet 4.

Alment med bogstaver får du:

a−b = c Går du tilbage til eksemplet og bytter om på 9 og 5, får du: 5 − 9 = −4

−5 −4 −3 −2 −1 0

1

2

3

4

5

6

Figur 1.07

Regneoperationen kan du illustrere på en tallinje som vist på figur 1.07.

Du starter med 5 og går 9 til venstre og kommer til resultatet −4 .

Tegnet – ( minus) har her to betydninger. Først som regneoperator og dernæst til at fortælle dig, at resultatet bliver negativt.

Din lommeregner har det på samme måde. Du har fire taster: +

−

for at lægge sammen for at trække fra × for at gange ÷ for at dele

De fire taster er symboler for regneoperatorer. Du har også en anden tast med et ( − ) tegn. Denne tast er en fortegnstast og benyttes, når du skal sætte et minustegn foran et tal, der skal være negativt. Du skal lige være opmærksom på, at tasten kan se anderledes ud på din lommeregner, idet der kan være forskel afhængig af fabrikat og model.

17

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 17

04-05-2017 13:50:26

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | Tal og algebra

MULTIPLIKATION Multiplikation eller at multiplicere er andre navne for ”at gange”. Du får et taleksempel: Multiplikation – ”at gange” 3 · 4 = 12 faktorer

produkt

På din regnemaskine er symbolet for at gange tegnet × . Når du ganger, kalder du de enkelte led faktorer og resultatet et produkt.

Alment med bogstaver får du:

a⋅b = c Med udgangspunkt i taleksemplet fra før, skriver du: 3⋅ 4 = 4⋅ 3 og med bogstaver:

a⋅b = b⋅a

II

OPGAVE 1.02

Beskriv og formuler med dine egne ord, hvad ligningen herunder fortæller dig. a⋅b = b⋅a

Du kan også møde et produkt bestående af ens faktorer. Du får et eksempel: 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 34 Skrivemåden 34 kaldes en potens, hvor 3-tallet kaldes grundtallet og 4-tallet eksponenten. Du vil senere i dette kapitel møde afsnit om potens og regneregler for potenser.

18

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 18

04-05-2017 13:50:27

Division

DIVISION

Division eller dividere er andre ord for ”at dele”. Symbolet for regneoperatortegnet for division ser således ud ( : ). På din lommeregner er det ( ÷ ) .

Du får et taleksempel: Division – ”at dele” Du får et taleksempel: 12 : 3 = 4 dividend regneoperator divisor

kvotient lighedstegn

Kan også skrives 12 = 4 3 tæller nævner

kvotient lighedstegn

Du får som vist også her navnene på de elementer, der indgår i regneoperationen.

Alment med bogstaver skriver du:

a:b= c I mange sammenhænge er det en fordel at udskifte divisionstegnet med en brøkstreg. Det kommer til at se således ud: a =c b

19

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 19

04-05-2017 13:50:28

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | Tal og algebra

hvor a kaldes brøkens tæller, b kaldes brøkens nævner og c kaldes kvotienten eller brøkens værdi.

PARENTESMYSTERIER Parenteser benyttes, når ”noget” skal opfattes som en helhed. Du kan møde parenteser i mange sammenhænge, og du kan selv sætte en parentes om ”noget”. Du får nogle eksempler på parenteser og deres betydning. Du får den første: a + (b + c) = a + b + c Med ord siger reglen: II Du kan hæve eller sætte en parentes med fortegn + (plus), uden at leddene ændrer fortegn.

Den næste i rækken: a − (b + c) = a − b − c Med ord siger reglen: II Du kan hæve en parentes med fortegn – (minus) ved at skifte fortegn på leddene inde i parentesen.

Den næste regel tager udgangspunkt i et taleksempel. Du har et sammensat rektangel med mål som vist på figur 1.08.

3

2

2·3

4

2·4

Figur 1.08

Som det fremgår af figuren, kan du bestemme arealet på to måder som vist herunder: 2 ⋅ ( 3 + 4) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 På den måde får du følgende regel: II Du ganger et tal med en flerleddet størrelse i en parentes ved at gange hvert led i parentesen med tallet.

20

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 20

04-05-2017 13:50:28

Parentesmysterier

Benytter du bogstaver, får du: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c Her er også en lille detalje, du skal bemærke.

II Når du arbejder med bogstaver, behøver du ikke medtage gangetegnet.

Du vil derfor også kunne skrive reglen på denne måde: a ( b + c ) = ab + ac Den næste regel tager udgangspunkt i figur 1.09, hvor du har et rektangel, der er udformet og delt op som vist. a

b

c

ac

bc

d

ad

bd

Figur 1.09

Du kan bestemme arealet på to måder som udtrykt herunder:

( a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd På denne måde får du reglen: II Du ganger to flerleddede størrelser i parenteser med hinanden ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden.

I det foregående har det været at gange ind i parenteser, men der kan også være opgaver, hvor du skal gå den anden vej og sætte noget uden for en parentes. Du får et eksempel.

5a 2 b + 10 ab2 − 15a 2 b2 Start med at se på de hele tal. Her kan du sætte 5 udenfor. I samtlige led indgår ab, som også kan sættes udenfor. Det kommer til at se således ud: 5a 2 b + 10 ab2 − 15a 2 b2 = 5ab ( a + 2b − 3ab)

21

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 21

04-05-2017 13:50:28

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | Tal og algebra

FORTEGN Når du arbejder med matematik, har du to symboler for fortegn, nemlig + (plus) og − (minus).

Når et negativt tal indgår i en regneoperation, sættes en parentes om tallet.

Du får et eksempel: 5 ⋅ ( −7 ) = −35 Der er ikke noget fortegn foran 5 − tallet. Det er underforstået, at det er et + . Det kunne derfor godt se sådan ud: ( +5) ⋅ ( −7 ) = −35 På en måde er der to opgaver. Den ene er, at du skal gange fortegnene med hinanden, og den anden er, at du også skal gange tallene med hinanden. Det er en detalje, du skal være opmærksom på. Du får lige de tre fortegnsregler: +⋅+ = + +⋅− = − −⋅− = +

NEGATIVE TAL OG POTENSER Når du arbejder med potenser med negativt grundtal, anvender du også parenteser. Du får nogle eksempler: 2 ( −2) = ( −2) ⋅ ( −2) = 4

( −2) = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = −8 3

( 2 ⋅ 3) = ( 2 ⋅ 3) ⋅ ( 2 ⋅ 3) = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 36 2

Som du kan se, ”styrer” eksponenten både fortegn og tal, når du sætter en parentes. I modsætning til det har du: −2 2 = −2 ⋅ 2 = −4 −2 3 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −8 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 Her er ingen parenteser, og som du kan se af de tre eksempler, ”styrer” eksponenten kun grundtallet.

II Du skal derfor være opmærksom på, om der en parentes, eller der ikke er en parentes.

De to skrivemåder blandes ofte godt og grundigt sammen, så det er vigtigt, at du bemærker dig forskellen. Det har også stor betydning, når du anvender din lommeregner, så prøv og indtaste de seks eksempler og tjek resultaterne.

22

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 22

04-05-2017 13:50:29

Reduktion af bogstavudtryk

REDUKTION AF BOGSTAVUDTRYK

I mange sammenhænge vil du i matematikken komme til at arbejde med bogstavudtryk. De kan være ret så komplicerede og for at få et bedre overblik, vil det ofte kunne betale sig at reducere et sådant udtryk så meget som muligt.

Du har i det foregående mødt ordet ”led”. Et ”led” kan ofte være sammensat. Et ”led” som 3a er sammensat af 3 og a, og du skal opfatte det på den måde, at der er gangetegn mellem 3 og a. Du får et andet eksempel.

3abc betyder 3 ⋅ a ⋅ b ⋅ c Og et eksempel til:

3abc ⋅ 4b2 c betyder 3 ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ 4 ⋅ b2 ⋅ c

som du kan skrive som

12ab3 c 2

Idet de hele tal 3 og 4 ganges sammen, og resultatet 12 sættes foran bogstavudtrykket.

Du får nogle eksempler, hvori der indgår flere led.

Udtrykket 2a + 7 a = 9a består af to led, og de kan umiddelbart lægges sammen som vist.

Et udtryk som 3 a + 5b − a − 8 b = 2 a − 3 b kan reduceres som vist, men ikke yderligere, da a og b er forskellige størrelser.

23

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 23

04-05-2017 13:50:30

TEKNISK MATEMATIK 1 – 1 | Tal og algebra

II

EKSEMPEL 1.02

Du skal reducere følgende udtryk: 5 a − ( 3 a + 4 b)

= 5a − 3a − 4b

Du hæver parentesen

= 2 a − 4b

Du trækker sammen

Har du behov for at benytte flere parenteser, vil det være en fordel at benytte forskellige varianter af parenteser for bedre at kunne skelne dem fra hinanden. Det kan være ”tuborg” parenteser eller firkantede parenteser.

Skal du reducere et sådant udtryk med flere parenteser, vil det i almindelighed være nemmest for dig at hæve en parentes ad gangen og starte med den inderste og derefter arbejde dig udefter.

Forsøger du at klare flere parenteser ad gangen, kan du få svært ved at bevare overblikket og kan nemt komme til at begå fejl.

II

EKSEMPEL 1.03

Du skal reducere følgende udtryk: ( a − b) −  − ( 3a + b) − (6a − 2b) = a − b −  −3a − b − 6 a + 2b  Du hæver den første og de inderste parenteser

= a − b + 3a + b + 6 a − 2b

Du hæver den firkantede parentes

= 10 a − 2b

Du trækker sammen

CAS CAS står for Computer Algebra Systems og kan populært oversættes til computer baseret bogstavregning. Langt de fleste lommeregnere og matematikprogrammer har indbygget CAS-værktøjer. Du vil ikke her få instruktion til, hvordan et sådant program virker, da det kan være forskelligt fra fabrikat til fabrikat. Du må derfor få fat i din manual og finde CAS-programmet. Du kan allerede her stifte bekendtskab med, hvad CAS blandt andet kan.

CAS-programmet kan regne med bogstaver, og du kan tage udgangspunkt i nogle af eksemplerne fra tidligere.

Prøv at indtaste

2a + 7 a

CAS-programmet giver dig svaret 9a .

24

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 24

04-05-2017 13:50:30

CAS

Prøv på tilsvarende måde med udtrykket 3 a + 5b − a − 8 b CAS-programmet giver dig svaret 2 a − 3b .

Er det snyd at benytte CAS? – Nej, du skal bruge og udnytte de hjælpemidler, der er til rådighed, men du skal selvfølgelig være omhyggelig med at bruge dem rigtigt.

I det kommende får du flere opgaver med reduktioner. Du bør først løse opgaverne ved ”håndkraft”. Du har så mulighed for at prøve at indtaste udtrykkene og teste resultaterne ved hjælp af dit CAS-værktøj.

II

OPGAVE 1.03

Du skal reducere følgende udtryk: a) 2 a + ( 3b + c ) − 5 ( b − c ) b) 3 ( 2 a − c ) + 6 a − ( 2b − c ) c) ( 2 a + 3b)( c − d) − 3 ( ac − bc ) + 2 ( bc + ad)

II

OPGAVE 1.04

Nedenstående udtryk er reduceret gennem fire trin. Undervejs er der begået en fejl. a) Du skal finde fejlen og beskrive, hvilken regel der er ”misbrugt”. b) Du skal rette fejlen og bestemme det rigtige resultat. a − ( a − b) − − ( 3a + b) − b   

(

)

= a −  a − b − ( −3a − b − b)  1.trin = a −  a − b + 3a − b + b 

2.trin

= a − a + b − 3a + b − b

3.trin

= b − 3a 4.trin

II

OPGAVE 1.05

Du skal reducere nedenstående udtryk og vise linje for linje, hvordan du hæver parenteserne og kommer frem til et resultat. a) 5a − − ( 3a + 2b) − 4b  +  −7 a − ( a − b)  − 3b

{

{

}

}

b) 4c − ( −6d − 3c ) − ( −8c − 11d) − 5c + 9d  c) 3e − ( f + e ) + ( 3e − 2 f ) − 8 f 

II

OPGAVE 1.06

Du skal tegne et rektangel og inddele det på en sådan måde, at du ved en arealberegning kan vise rigtigheden af følgende formel: a ( b − c ) = ab − ac

25

121043-1_Teknisk Matematik1.indb 25

04-05-2017 13:50:31

TEKNISK MATEMATIK 1 er lærebogen til B-niveaus første år på det tekniske gymnasium, men er også velegnet på andre ungdomsuddannelser. Det er et dynamisk, inspirerende og letlæseligt materiale, der gør brugerne til aktive medspillere. Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der bidrager til en god indlæring.

Til serien hører bind 2 og 3, der tilsammen dækker resten af B-niveauet samt A-niveauet.

ISBN 978-87-571-2883-3

9 788757 128833

TEKNISK MATEMATIK

1

Teknisk Matematik

1

1

Teknisk Matematik Preben Madsen

praxis.dk

varenr. 121043-1

121043-1_Teknisk Matematik-B omslag.indd All Pages

2. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

08-05-2017 09:36:29