Smart Matematik A Arbejdsbog til adgangskursus Kristian Bahr
Praxis - Nyt Teknisk Forlag
Omslag Arbejdsbog Matematik-1.indd 1
05/12/14 17.22
Smart Matematik A Arbejdsbog til adgangskursus af Kristian Bahr
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 1
03-12-2014 11:38:30
Smart Matematik A - Arbejdsbog til adgangskursus 1. udgave 2015 © PRAXIS - Nyt Teknisk Forlag 2015 Forlagsredaktør: Thomas Rump, tr@nyttf.dk Omslag: Dorte Edur Erichsen Tegninger: Kristian Bahr Dtp: Kristian Bahr Tryk: ArcoRounborg A/S ISBN: 978-87-571-2849-9 Varenummer: 144022-1 Bogen er sat med Times New Roman og Arial Bogen er trykt på 115 g multicopy Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk
PRAXIS - Nyt Teknisk Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ info@praxis.dk www.praxis.dk/ntf Tlf. +45 63 15 17 00
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 2
03-12-2014 11:38:30
Smart Matematik A – Arbejdsbog
i
Indholdsfortegnelse
Funktioner 1. Emner fra matematik B .................................. 1 2. Trigonometriske funktioner ........................ 15 3. Integralregning ............................................. 31 4. Differentialligninger ..................................... 49
Geometri 5. Vektorer i planet ........................................... 63 6. Analytisk plangeometri ............................... 71 7. Vektorer i rummet ........................................ 83 8. Analytisk rumgeometri ................................ 89 9. Vektorfunktioner ........................................ 105
b
a
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 3
f ( x) dx = [ F ( x) ]a b
03-12-2014 11:38:30
ii
Smart Matematik A – Arbejdsbog
Forord Smart Matematik A er et lærebogskoncept, der består af to bøger: Teoribogen og denne bog Arbejdsbogen. Arbejdsbogen indeholder opgaver til indlæring af teorien. Teoribogen og arbejdsbogen hænger sammen via henvisninger (links) fra teoribogen til opgaver i arbejdsbogen. Henvisninger fra teoribogen til opgaver i arbejdsbogen er markeret med: → Opgaver: 4/4−4/9
Når man har læst teorien indtil dette link, kan man regne opgaverne 4/4−4/9 i kapitel 4 i arbejdsbogen. Disse opgaver passer til den teori der netop er læst. Den basale teori indlæres bedst ved hyppig vekselvirkning mellem teori og anvendelse af teorien ved opgaveregning. Teoribogen og arbejdsbogen er tilrettelagt således, at man kan få denne vekselvirkning mellem teori og anvendelser af teorien. Der gennemgås en smule teori, hvorefter der regnes en eller flere opgaver, der relaterer sig til den netop gennemgåede teori. Denne opgaveregning vil typisk ske i timerne, hvor læreren er til stede og kan hjælpe de studerende i gang. Denne fremgangsmåde, hvor man koncentrerer sig om ét emne af gangen og indlærer dette straks, giver det bedste resultat. Denne vekselvirkning må formodes at virke aktiverende på de studerende. De studerende hører ikke blot på, men kommer i gang med aktiv indlæring. Et er at forstå teorien, noget andet er at kunne anvende teorien til praktiske formål. Opgaverne er tilrettelagt således, at sværhedsgraden er stigende. De første opgaver i et emne indeholder en simpel problemstilling, der løses ved hjælp af en enkelt formel. Efterfølgende opgaver indeholder ofte en vanskeligere problemstilling, hvor der til løsningen kræves flere metoder og teorier. I det hele taget er opgaverne valgt, så de uddyber og supplerer teorien. Endvidere er der afsat plads til opgavebesvarelserne i bogen, samt svar til alle opgaver. De studerende kan da arbejde med opgaverne hjemme og straks se, om de er på rette vej. Stor tak til Steen Bjørnelund for gode råd og korrekturlæsning gennem mange år. God fornøjelse. Emner, som ikke er pensum, er forsynet med (*). Kristian Bahr, Aarhus 2014
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 4
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
1
1 Tal og regneregler for tal Regneregler Opg.1/1 Udregn følgende produkter
a) (2 x + y )( x + y ) =
b) ( x − 2 y ) 2 =
c) (− x − 4 y ) 2 =
d) ( x + 3 y )( x − 3 y ) =
Opg.1/2 Reducér følgende udtryk mest mulig
a) (1 + a)(1 − b) + a(1 + b) + b =
Svar: 2 a + 1 b) 3x − (2 y − (5 x − y ) + x) =
Svar: 7 x − 3 y c) (a + 2) 2 − (a + 2(a − 2) + (a − 2)2 ) =
Svar: 4 + 5 a
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 5
03-12-2014 11:38:31
2
1. Emner fra matematik B
Potenser Opg.1/3 Reducér følgende udtryk mest mulig
a) a 2 b 4 a 2 b −1 =
Svar: a 4 b3 b)
a3 b2 = a 2 b3
Svar: a b −1 =
a b
c) (a 2 )3 (−b) 2 (−b)3 =
Svar: − a 6 b5 2
§ 2ab · d) ¨ 2 ¸ = © b ¹
Svar:
4 a2 b2 3
§ b3 c 2 · = e) ¨ 2 ¸ © cb ¹
Svar: b3c3
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 6
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
3
Brøker Opg.1/4 Reducér følgende brøker mest mulig
a)
x2 + x = 4x+4
Svar: b)
x 4
( x − y )2 − y 2 + x 2 = 2x
Svar: x − y c)
b + a b − a a 2 − b2 − − = a b ab
Svar: d)
a + b 2a + b 4 a + 2 b − + = c 3c 6c
Svar: e)
2b a
a+b c
2 x 8 − + 2 = x+2 x−2 x −4
Svar: − 1
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 7
03-12-2014 11:38:31
4
1. Emner fra matematik B
2 Ligninger og uligheder Ligninger med en ubekendt Opg.1/5 Løs følgende ligninger
a) 3(4 x + 2) = 10 + 4 x
Svar: x = b)
1 2
5x−6 = x + 14 3
Svar: x = 24 c)
x+5 x = x+2− 3 3
Svar: x = −1 d)
1 2 = 2x + 3 2 + 9x
Svar: x =
4 5
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 8
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
5
Opg.1/6 Løs følgende ligninger
a) x ( x − 7) ( x + 5) = 0
Svar: x = 0 ; x = 7 ; x = −5 b) ( x − 3) ( x + 1) = x 2 + 2 x − 1
Svar: x = −0,5 c) (3x + 6) (2 x − 1) = x (6 x + 1)
Svar: x = ¾ d)
x2 + x =2 4x+4
Svar: x = 8
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 9
03-12-2014 11:38:31
6
1. Emner fra matematik B
Opg.1/7
Bestem et udtryk for den angivne variabel, dvs. løs ligningerne mht. den angivne variabel. 2
§d · a) A = π ¨ ¸ ; Bestem d idet 0 < d . ©2¹
b) Rt = R0 (1 + α t ) ; Bestem t.
c) E =
d)
1 m v 2 + m g h ; Bestem v idet 0 < v. 2
1 1 1 = + ; Bestem R. R R1 R2
e) P = U I og U = R I ; Bestem R udtrykt ved U og P.
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 10
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
7
Opg.1/8 (Andengradsligningen)
a) x 2 − 3 x − 4 = 0
Svar: x = 4 ; x = −1 b) x 2 + 1 = 2 x
Svar: x = 1 c) 5 x 2 + 4 x + 2 = 0
Svar: ingen løsning d) x 2 = 18 − 3 x
Svar: x = 3 ; x = −6 e) 3 x 2 − 60 + 3 x = 0
Svar: x = 4 ; x = −5
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 11
03-12-2014 11:38:31
8
1. Emner fra matematik B
Ligninger med flere ubekendte Opg.1/9
a)
1. 2 x − y = 2 2. x + y = 4
Svar: x = 2 ∧ y = 2 b)
1. x+ y =2 2. 2 x − 3 y = −6
Svar: x = 0 ∧ y = 2 c)
1. 2 x − 3 y = 3 2. 3x + y = 10
Svar: x = 3 ∧ y = 1 d)
1. x + 2 y = 3 2. −3x − y = 6
Svar: x = −3 ∧ y = 3
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 12
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
9
Løsning af ligninger vha. CAS-værktøj Opg.1/10
Løs følgende ligninger vha. et passende CAS-værktøj. Vi har tidligere løst ligningerne med ”håndkraft”. a) ( x − 3) ( x + 1) = x 2 + 2 x − 1
Svar: x = −0,5 b)
x2 + x =2 4x+4
Svar: x = 8 1
c) 1−
x x +1
= −3x
Svar: x = −1/4 d)
2x + 3 x2 = 1 − x2 − 4 x2 − 4
Svar: x =
−7 2
e) Rt = R0 (1 + α t ) ; Bestem t.
f)
1 1 1 = + ; Bestem R. R R1 R2
g) x 2 − 3 x − 4 = 0
Svar: x = 4 ; x = −1 h) x 4 + x 2 − 12 = 0
Svar: x = ± 3 i)
1. x + 2 y = 3 2. −3x − y = 6
Svar: x = −3 ∧ y = 3
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 13
03-12-2014 11:38:31
10
1. Emner fra matematik B
Uligheder Opg.1/11
a) −2 x − 7 ≥ 5 x + 21
Svar: x ≤ −4 b) 5 x + 10 ( x + 3) ≤ 20 x + 40
Svar: x ≥ −2 c) 13x − (7 x + 2) ≥ 3 (2 x + 1)
Svar: ingen løsning d) x + 2 < 3x − 2 ≤ 6 + 5 x
Svar: x > 2
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 14
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
11
3. Funktioner Grundbegreber m.m. Opg.1/12
To funktioner f og g er givet ved: f ( x) = x og g ( x) =
1 . 1 − x2
a) Bestem definitionsmængderne for de to funktioner. b) Bestem regneforskriften for den sammensatte funktion f D g og bestem definitionsmængden for f D g .
Svar:a) Dm( f ) = [0; ∞[ , Dm( g ) = R \ {−1,1} ; b) ( f D g )( x) =
1 1 − x2
, Dm( f D g ) =] − 1;1[
Opg.1/13
En funktion f er givet ved: f ( x) = x 2 + 1, x ≥ 0 a) Bestem den omvendte funktion til funktionen, og bestem definitionsmængden for den omvendte funktion.
Svar: a) f −1 ( x) = x − 1 , Dm( f −1 ) = [1; ∞[ Opg.1/14
−3 x x−5 a) Bestem den omvendte funktion til funktionen, og bestem definitionsmængden for den omvendte funktion. En funktion f er givet ved: f ( x) =
Svar: a) f −1 ( x) =
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 15
5x , Dm( f −1 ) = R \ {−3} x+3
03-12-2014 11:38:31
12
1. Emner fra matematik B
Differentialregning og logaritme- og eksponentialfunktioner Opg.1/15
Bestem afledede af følgende funktioner: y = 2 x3 + x + 2 y′ =
y = 3cos(2 x) + x
y′ =
y = sin(2 x) x 2
y′ =
y=
ex x
y′ =
Opg.1/16
Bestem definitionsmængder og aflede af følgende funktioner: y = ln( x 2 ) + x
y′ =
Dm( y ) =
y = ln( x 2 − 1)
y′ =
Dm( y ) =
y = x 2 ln(2 x)
y′ =
Dm( y ) =
Opg.1/17
Reducér følgende funktion vha. logaritmereglerne. y = ln(3 x 2 x 2 + 4) =
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 16
03-12-2014 11:38:31
1. Emner fra matematik B
13
Opg.1/18
Reducér følgende udtryk: eln( x ) =
ln(e x +1 ) =
e − ln( x ) =
e 2 ln( x ) =
2
2
2
ln(
1 )= e2 x
eln(2)+ln( x ) =
Opg.1/19
Bestem afledede af følgende funktioner: y = e− a x
y′ =
y = e− x ln( x 2 )
y′ =
e4 x x2 e e2 x
y′ =
y=
Opg.1/20
Løs følgende ligninger: 4e x = 9
2
3 e x = 12
2 ln(3x) = 5
2 ln(5 x) − ln(2 x) = 0
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 17
03-12-2014 11:38:31
14
1. Emner fra matematik B
Opg.1/21
En funktion f er givet ved: f ( x) = ln(3x + 4) a) Angiv definitionsmængden for funktionen. b) Bestem grafens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet: (3, f (3))
y 3 2 1 x -1
4
3
3
13
Svar: a) Dm( f ) = ] − ; ∞[ ; b) Qx (−1 , 0) , Qy (0 , ln(4)) ; c) y =
1
2
3
4
5
x + 1,873
Opg.1/22
En funktion f er givet ved: f ( x) = 6 x e − x + 1 for 0 ≤ x a) Beregn koordinaterne til det punkt, hvor funktionens graf har vandret tangent. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet: (0 , f(0)).
y 3 2 1 x 0
1
2
3
4
Svar: a) ( x, y ) = (1 , 6e −1 + 1) ≈ (1 , 3, 207) ; b) y = 6 x + 1
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 18
03-12-2014 11:38:31
15
2. Trigonometriske funktioner
Egenskaber ved trigonometriske funktioner Opg.2/1
Beregn på regnemaskine følgende størrelser: sin(25°) =
cos(25°) =
tan(25°) =
sin( 25°) =
cos( 25°) =
tan( 25°) =
sin(1,9) =
cos(1,9) =
tan(1,9) =
Opg.2/2
Udfyld tabellen.
θ°
30°
45°
60°
90°
π
t/rad
12
3π
4,5
3π 5
−
7π 3
Opg.2/3
a) Aflæs følgende størrelser på figuren: sin(31°) = cos(31°) = tan(31°) =
b) Beregn følgende størrelser: sin(31°) = cos(31°) = tan(31°) =
Opg.2/4
Betragt figuren, hvor ΔOPQ er ligesidet . a) Bevis heraf at: sin(30°) = og at: tan(30°) =
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 19
1 3 og at: cos(30°) = , (anvend Pythagoras) 2 2
3 3
03-12-2014 11:38:31
16
2. Trigonometriske funktioner
Opg.2/5
Betragt figuren og vis at ΔOPQ er ligesidet . a) Bevis at: cos(60°) =
1 2
og at: sin(60°) =
3 2
, (anvend Pythagoras)
og at:tan(60°) = 3
Opg.2/6
Betragt figuren og vis at ΔOPQ er ligebenet . Bevis herefter at: sin(45°) = cos(45°) =
2 , og at tan(45°) = 1 2
Opg.2/7
Udfyld følgende tabel:
θ°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
t/rad
sin cos tan
Opg.2/8
a) Aflæs følgende vinkler på figuren for v ∈ [0;90°] : sin(v) = 0,4
v=
cos(v) = 0,4
v=
tan(v) = 1,2
v=
b) Beregn følgende vinkler for v ∈ [0;90°] : sin(v) = 0,4
v=
cos(v) = 0,4
v=
tan(v) = 1,2
v=
Smart Mat Arbejdsbog tr_A3.pdf 20
03-12-2014 11:38:31
Smart Matematik A Arbejdsbog til adgangskursus Smart Matematik A er et lærebogskoncept, der består af to bøger: Teoribogen og Arbejdsbogen. Bøgerne er beregnet til undervisningen på Adgangskursus til Ingeniørskolerne. Tilsammen dækker bøgerne de centrale emner (kernestoffet) til adgangseksamen i matematik A: • Emner fra matematik B • Trigonometriske funktioner • Integralregning • Differentialligninger • Vektorer i planet • Analytisk plangeometri • Vektorer i rummet • Analytisk rumgeometri • Vektorfunktioner
Arbejdsbogen indeholder opgaver til indlæring af teorien og bruges sideløbende med teoribogen. Der henvises løbende fra teoribogen til opgaver i arbejdsbogen. Denne tætte forbindelse mellem teoribogen og arbejdsbogen gør det lettere at planlægge gennemgangen af stof i teoribogen, så der opnås en passende vekselvirkning mellem gennemgang af teori og anvendelse af teori. Der er afsat plads til besvarelserne i arbejdsbogen, og der er svar til opgaverne. Kristian Bahr er uddannet maskiningeniør og cand. scient., og er lektor ved Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet. Af samme forfatter: Smart Fysik – Teoribog Smart Fysik – Arbejdsbog
isbn 978-87-571-2849-9
9 788757 128499
Omslag Arbejdsbog Matematik-1.indd 2
praxis.dk
varenr. 144022-1
05/12/14 17.22