Mekanisk fysik og varmelære, 12. udgave, 2020 by Praxis

Opbygningen følger en fast skabelon med teorigennemgang suppleret med mange eksempelberegninger og øvelsesopgaver med facit. Herved hjælpes læseren til både at forstå og anvende de gennemgåede teorier. Bogen indeholder følgende kapitler: • Kinematik • Grundlæggende mekanik • Arbejde, effekt og energi • Hydrostatik

• Hydrodynamik • Gassers statik • Gassers dynamik • Varmelære

Herudover er der to kapitler med et righoldigt opslags- og baggrundsstof bl.a. i form af symboler, enheder, relevant matematik og damptrykstabeller.

Mekanisk fysik og varmelære kan indgå i undervisningen på flere trin i maskinmesteruddannelsen – fx til emnet termiske maskiner og anlæg.

Arly Nielsen

Har igennem 35 år undervist i næsten alle tekniske fag, især maskinfag og fysik, på maskinmesteruddannelsen på MARTEC. Arly er uddannet som kedelsmed, maskinmester og europæisk vedligeholdsekspert.

Jacob von Lillienskjold Har siden 2004 undervist i termiske maskiner og anlæg på maskinmesteruddannelsen på MARTEC samt i fysik på adgangskursus. Jacob er uddannet maskiningeniør i 2001 samt master i fysik i 2008.

ISBN 978-87-571-3709-5

9 788757 137095

31153-1mek_fys_varmel_omslag.indd 1

www.praxis.dk

Mekanisk fysik og varmelære Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold

12. udgave

Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold

Med bogen følger en opgavesamling i eBogs-form, som der er adgang til via den medfølgende kode. Den indeholder et stort antal ekstra opgaver til bogens kapitler, inklusive opgaver, hvor der fokuseres på grøn teknologi.

Mekanisk fysik og varmelære

Mekanisk fysik og varmelære gennemgår fysikken, som er grundlag for emnet termiske maskiner og anlæg i maskinmesteruddannelsen. Kinematik, statiske og dynamiske forhold for den grundlæggende mekanik og for væsker og gasser behandles sammen med varmelæren og de relevante kredsprocesser.

Praxis – Nyt Teknisk Forlag

23-10-2020 08:09:07

Mekanisk fysik og varmelĂŚre

Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold

Mekanisk fysik og varmelære Af Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold © Arly Nielsen, Jacob von Lillienskjold og Praxis, 2020 12. udgave, 2020, 1. oplag, 2020 Forlagsredaktion: Michael B. Hansen, mh@praxis.dk Grafisk tilrettelæggelse: Ebbe Lastein Omslag: Stig Bing Dtp: Ebbe Lastein/Strunge Grafik Tegninger: Ebbe Lastein Forsidefoto: Schutterstock Sat med: Palatino

ISBN 978-87-571-3709-5 ISBN-eBog+ 978-87-571-3710-1 (ISBN-eBog+ 978-87-571-3711-8 Opgavebog)

Trykt på: Munken Print White, 90 g Omslag: Chromocard, 240 g

Tryk: Livonia Print Printed in Latvia 2020

Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk Praxis praxis.dk webshop.praxis.dk

Forord Mekanisk fysik og varmelære gennemgår fysikken, som er grundlag for emnet termiske maskiner og anlæg i maskinmesteruddannelsen. Kinematik, statiske og dynamiske forhold for den grundlæggende mekanik og for væsker og gasser behandles sammen med varmelæren og de relevante kredsprocesser. Opbygningen følger en fast skabelon med teorigennemgang suppleret med mange eksempelberegninger samt øvelsesopgaver med facit. Herved hjælpes læseren til både at forstå og anvende de gennemgåede teorier. Eksempelberegninger er sat på en rød bagrund og øvelsesopgaver på en blå baggrund, så de skiller sig ud fra den øvrige tekst. Bogen indeholder følgende kapitler: Kinematik, Grundlæggende mekanik, Arbejde, effekt og energi, Hydrostatik, Hydrodynamik, Gassers statik, Gassers dynamik og Varmelære. Herudover er der to kapitler med et righoldigt opslags- og baggrundsstof bl.a. i form af symboler, enheder, relevant matematik og damptrykstabeller. Mekanisk fysik og varmelære kan indgå i undervisningen på flere trin i maskinmesteruddannelsen – fx til emnet termiske maskiner og anlæg. Selv om vi har inddelt bogen med emnerne i en rækkefølge, vi finder mest naturlig, så er der ikke krav til, at kapitlerne gennemgås i rækkefølge. Hvert enkelt kapitel kan trækkes ind i undervisningen, når det passer i sammenhængen. Med bogen følger en opgavesamling i eBogs-form, som der er adgang til via den medfølgende kode. Den indeholder et stort antal ekstra opgaver til bogens kapitler, inklusive opgaver, hvor der fokuseres på grøn teknologi. Der er vejledende facit til alle disse opgaver. Hertil kommer en større samling af eksamenssæt fra tidligere fysikeksamener på maskinmesteruddannelsen. Så der er masser af muligheder for at dygtiggøre sig. God fornøjelse med fysikken.

Forord til 12. udg. I denne 12. udgave af Mekanisk fysik og varmelære er der foretaget en omskrivning af kapitel 2.7 til et mere nutidigt sprog og en mere moderne matematik. Samtidig er der foretaget en del ændringer, omrokeringer og præciseringer i det fysikfaglige indhold i kapitel 3, der nu hedder Grundlæggende mekanik, og endelig er kapitlerne om emnerne bølgelære og el-lære er taget ud, da de ikke mere er aktuelle for maskinmesteruddannelsen. Hensigten med ændringerne, der hovedsagelig er foretaget af min gode kollega, Jacob von Lillienskjold, er at gøre bogen mere tidssvarende og brugervenlig. Sammen har vi gennemgået hele bogen, og foretaget små rettelser af diverse trykfejl og lignende, og jeg vil hermed byde Jacob von Lillienskjold velkommen som medforfatter på bogen. Oktober 2020 Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold

Indhold 1 Introduktion 1.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Enhedssystemer og målinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 De fysiske størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Usikkerhedsberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Skalarer og vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Kinematik 2.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Jævn retlinjet bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Accelereret retlinjet bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Sammensat bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Vandret kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Skråt kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7 Jævn cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.8 Ujævn cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.9 Translation og rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Grundlæggende mekanik 3.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Massetiltrækning og Newtons gravitationslov . . . . . . . . 55 3.3 Tyngdekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Newtons love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Resulterende kraft og frigjort legeme . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.7 Ligevægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8 Centripetalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.9 Tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.10 Friktionskræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.11 Rulningsmodstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.12 Stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.13 Uelastiske stød − lige og centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.14 Elastiske stød − lige og centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.15 Elastiske stød − skrå og centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.16 Bevægelsesligningen for rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 Arbejde, effekt og energi 4.1 Arbejde og effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3 Energiens bevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4 Virkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5 Hydrostatik 5.1 Reale og ideale væsker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 Tryk i væsker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3 Trykenheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4 Væskekraft på en flade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5 Opdrift og Archimedes’ lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.6 Stabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.7 Forbundne kar. Hydraulisk forstærkning . . . . . . . . . . . . . 139 5.8 Væsker i rotation. Centrifugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6 Hydrodynamik 6.1 Trykenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Kontinuitetsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 Bernoullis ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Prandtlrøret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.5 Udstrømning fra en beholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.6 Venturimeteret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.7 Viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.8 Væskepumpning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7 Gassers statik 7.1 Gasser og gastryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.3 Måling af gastryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.4 Den atmosfæriske lufts tryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.5 Daltons lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8 Gassers dynamik 8.1 Bernoullis ligning anvendt på gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.2 Udstrømning fra beholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.3 Måling af hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Indhold

9 Varmelære 9.1 Varmeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.2 Temperaturmåling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.3 Varmeudvidelse af faste stoffer og væsker . . . . . . . . . . . . 180 9.4 Massefyldeændring ved opvarmning . . . . . . . . . . . . . . . . 186 9.5 Varmemængde og varmefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.6 Varmeveksling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.7 Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.8 Bestemmelse af et stofs varmefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.9 Smeltning og størkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.10 Fordampning og kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.11 Mættet og umættet damp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.12 Kogning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.13 Den atmosfæriske lufts fugtighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.14 Tilstandsligningen. Gaskonstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.15 Idealgastermometret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.16 En gasarts indre energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 9.17 Lukket system. Varmeteoriens 1. hovedsætning . . . . . . . 213 9.18 Processer og tilstandsforandringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.19 Reversible og irreversible processer. Varmeteoriens 2. hovedsætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.20 Entropi og (s-T)-diagram. Beregning af entropi . . . . . . . 219 9.21 Gassers varmefylde. Entalpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.22 Polytrop tilstandsforandring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.23 Isokor tilstandsforandring, dV = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.24 Isobar tilstandsændring, dp = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.25 Isoterm tilstandsforandring, dT = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.26 Isentropisk tilstandsforandring, dS = 0 . . . . . . . . . . . . . . 239 9.27 Sammenhørende (V-p)- og (S-T )-diagrammer . . . . . . . . 242 9.28 Arbejdet ved åbne systemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.29 Energiligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 9.30 Isentalpisk tilstandsændring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.31 Tilstandsdiagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.32 Kredsproces og termisk virkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . 257 9.33 Carnots kredsproces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 9.34 Kredsprocesser ved motorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.35 Gasturbinens kredsproces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 9.36 Køleanlæggets kredsproces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10 Tabeller og diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

1 Introduktion 1.1 Indledning Den videnskab, der betegnes fysik, dækker et meget stort område, og det kan derfor blive vanskeligt at definere i detaljer, hvad der forstås ved fysik i almindelighed. Derimod er begrebet mekanisk fysik et mere afgrænset område, idet det beskriver de love, der gælder for materielle legemers ligevægt og bevægelse under påvirkning af kræfter, ligesom også de materielle legemers egenskaber såsom massefylde og tilstandsformer beskrives. Et andet afgrænset område af fysikken, kaldes varmelære eller termodynamik. Dette handler bl.a. om de love, der gælder for omdannelse af varme til energi og arbejde.

1.2 Enhedssystemer og målinger Man har kunnet opstille en lang række af fysikkens love ud fra et omfattende erfaringsmateriale, der i det væsentlige er tilvejebragt ved at foretage målinger. Den italienske fysiker Galileo Galilei (1564-1642) stillede sig opgaven: ”Mål alt, hvad der er måleligt, og gør alt det måleligt, som ikke er det”. For at man kan videregive måleresultater, således at andre kan forstå eller udnytte dem, må der foreligge en aftale om de anvendte måleenheder for forskellige fysiske begreber, dvs. man må have et målesystem. Tidligere havde man ikke bare ét, men flere forskellige målesystemer, og det førte selvsagt til problemer. Først i 1960 blev der på foranledning af den internationale komité for mål og vægt vedtaget et målesystem, der blev kaldt det internationale målesystem, på fransk: ”Système International d’Unités” forkortet til SI. Målesystemets enheder kaldes i daglig tale for SI-enheder. SI-enhederne omfatter syv veldefinerede grundenheder, hvoraf alle andre enheder dannes ved sammenstilling, se oversigt over størrelser og måleenheder, Definitioner af de grundlæggende enheder i det internationale enhedssystem, i bogens sidste kapitel “Tabeller og diagrammer”. I denne bog får vi kun brug for fem af grundenhederne: længde, masse, tid, temperatur og stofmængde. SI er et målesystem, som er særdeles velegnet i fysikken. Vi skal senere se, at de formler, vi kommer frem til, kun indeholder bogstav-

Mekanisk fysik og varmelære

symboler og således er befriet for talkonstanter. Derimod skal man ikke forvente, at et målesystem, der er velegnet i fysikken, også vil være velegnet i det daglige. Vi kan fx blot tænke på længde eller afstand. SI-enheden er meter, hvorimod man i daglig tale bl.a. bruger enhederne tommer, meter, kilometer og sømil. Man må indstille sig på, at selv om de fysiske love naturligvis gælder i vor dagligdag, vil der kunne være nogen forskel på sprogbrugen i dagligdagen og i fysikken. Selv om SI nu er godkendt i de enkelte lande, kan man derfor ikke forvente, at alle straks anvender det nye målesystem. Senere i bogen skal vi af og til komme nærmere ind på disse problemer. Målinger udføres naturligvis ved hjælp af grundenhederne, idet man bestemmer, hvor mange gange enheden er indeholdt i den størrelse, man måler. Det antal gange, enheden er indeholdt i størrelsen, kaldes for måltallet. En måling må således skulle angives ved et måltal og en enhed, fx 5 m, 3 kg. Hvis måltallene bliver meget store eller meget små, kan vi indføre nye skrivemåder for at gøre overskueligheden lettere. Lad os tage to eksempler, nemlig solens diameter, der er 1.390.000.000 m, og et brintatoms radius, der er 0,000 000 000 106 m. Disse to måltal kan vi skrive som henholdsvis 1,390 · 109 og 0,106 · 10-9. Vi har altså indført potensopløftninger af tallet 10 for at lette overskueligheden. Man har givet en række af sådanne potensopløftninger af tallet 10 navne og symboler, som det fremgår af det følgende: Potensopløftning af 10 Navn Symbol 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 102 hekto h 10 deka da 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 milli m 10-6 mikro m 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a De to nævnte diametre kan da ved hjælp af symbolerne, der sættes lige foran enhedssymbolerne, skrives som 1,390 Gm og 0,106 nm. Se tabellen for SI-præfikser De internationale enheders 20 præfikser i kapitlet “Tabeller og diagrammer”. 12

1 Introduktion

Oversigt over nogle fysiske størrelser Fysisk størrelse

Symbol

SI-enhed

Omregning eller definition

s, l, h, r, a

1 m = 10-3 km = 102 cm = 103 mm

Masse

1 kg = 10-3 t = 103 g

Tid

1 døgn = 1,440 · 103 min = 86,4 · 103 s

Areal

1 m2 = 104 cm2 = 106 mm2

Volumen

1 m3 = 106 cm3 = 109 mm3

Massefylde

kg/m3

Hastighed

v, u, c, w

m/s

a, g

m/s2

Længde

Acceleration

kg m [r] = 3 V m

v= a=

s m [v] = t s

m Dv m [a] = = 2 t s⋅s s

Vinkelmål

Vinkelhastighed

1/s

Vinkelacceleration

1/s2

Kraft

N (newton)

Moment

N·m

M = F ⋅ a [ M] = N ⋅ m

Masseinertimoment

I, J

kg · m2

I = m ⋅ r2

Arbejde

J (joule)

Effekt

W (watt)

Energi

Bevægelsesmængde

kg · m/s

Specifikt tryk

Pa (pascal)

Temperatur

K (kelvin)

Vinkelmål i rent tal (ubenævnt)

w= a=

q 1 [w] = t s

1 1 Dw = 2 [a ] = s⋅s s t

F = m ⋅ a [F] = kg ⋅

m s2

[I ] = kg ⋅ m 2

W = F ⋅ s [W ] = N ⋅ m = J P=

W t

J [P ] = = W s

W = P ⋅ t [W] = J = Ws

P = m ⋅ v [ P] = kg ⋅ p=

m s

F N [ p] = 2 = Pa A m K = °C + 273

Mekanisk fysik og varmelære

1.3 De fysiske størrelser For at få et overblik over, hvad det er, vi skal gennemgå i denne fysikbog, er der opstillet nogle fysiske størrelser i skemaet på foregående side. Hver størrelse symboliseres af et eller flere bogstaver, der giver os mulighed for at opstille kortfattede formler. Hvor der under ”symbol” er angivet mere end et bogstav, er det altid det første, der er mest anvendt. Når symbolet for en fysisk størrelse skrives i en kantet parentes efterfulgt af et lighedstegn, betyder det, at det er størrelsens dimension eller enhed, der udledes på højre side af lighedstegnet. Man kan anvende de almindelige algebraiske regneregler på dimensionerne, og man siger, at man foretager en dimensionsbetragtning. Om de enkelte fysiske størrelser skal følgende anføres: Længde kan være mange ting, fx den vejlængde, en byrde flyttes hen over et vandret gulv, eller faldvejen for en sten, der tabes fra en vis højde. Det kan også være diameteren eller radius i en cirkel. I Sevres ved Paris opbevarer man en stang fremstillet af platiniridium, hvorpå der er afsat to mærker. Afstanden mellem disse to mærker er 1 meter, og for at 1 meter altid kan være det samme, opbevares stangen i en konstant temperatur på 20 °C. Der er fremsendt en kopi af denne stang til de lande, der anvender SI, således at man lokalt kan kontrollere målestokke. En meter er oprindelig 1 af jordkvadranten fra Nordpolen til blevet defineret som 10.000.000 Ækvator. Vedrørende en nyere definition af længdeenheden, se oversigten bag i bogen. Af andre længdeenheder kan nævnes: 1 sømil = 1 sm = 1.852 m 1 ångstrøm = 1 Å = 10-10 m 1 lysår = 9,5 · 1015 m Masse er en egenskab ved et legeme. Skal man bestemme et legemes masse, kan det foregå ved hjælp af en ligearmet skålvægt, hvor legemet anbringes på den ene skål. Derefter anbringes lodder på den anden skål, indtil der atter er opnået ligevægt; dette kaldes vejning. Det er forkert at sige, at legemets vægt er så og så meget; det er derimod legemets masse, man måler. Man har i Sèvres ligeledes et lod fremstillet af legeringen platin-iridium, og loddets masse er 1 kg. Der er også fremsendt en kopi af standardloddet til andre lande til brug ved kontrol af lodder til daglig brug. Tid. Et middelsoldøgn indeholder 24 · 3.600 s. Måling af tid har altså noget at gøre med jordens omdrejningshastighed, men gennem 14

1 Introduktion

tiderne har der været uorden i kalenderen, fordi denne definition af tidsenheden ikke er nøjagtig. Der kan korrigeres ved at indføre en ekstra dag hvert fjerde år. Vedrørende den nyere definition af tidsenheden, se oversigten Definitioner af de grundlæggende enheder i det internationale enhedssystem i bogens sidste kapitel “Tabeller og diagrammer”. Areal. Enheden for areal er kvadratmeter. Ved arealet 1 m2 forstås fladeindholdet af et kvadrat med sidelængden 1 m, og ved at multiplicere to sammenstødende siders måltal fremkommer arealet som længde gange bredde. Volumen er det samme som rumfang, og enheden er kubikmeter. Ved 1 m3 forstås rumfanget af en terning med sidelængden 1 m, og ved at multiplicere 3 sammenstødende siders måltal fremkommer voluminet som længde gange bredde gange højde. Massefylde. Ved massefylde forstås masse pr. rumfangsenhed, og enheden bliver derfor kg/m3. Man har: r (H2O) = 1 g/cm3 = 1 kg/dm3 = 1 t/m3 = 1.000 kg/m3 ved 4 °C. Hastighed er en vektorstørrelse, som beskriver hvor langt og i hvilken retning et legeme bevæger sig pr. tidsenhed. Hvis tiden for bevægelsen, t sekunder, er kendt, og vejlængden og retningen er givet ved s meter, kan hastigheden, v , bestemmes ved: v =

s t

Enheden bliver m/s, og hastighedsvektoren vil have samme retning som vejlængden. Skalardelen af vektoren hastighed, altså kun måltallet og enheden uden retningsangivelse, kaldes fart, og enheden er her naturligvis også m/s. Andre hastighedsenheder, som fx km/h eller sm/h, kan omregnes til m/s således: 72 km/h =

72 ⋅ 10 3 m = 20 m/s 3.600 s

eller 12 sm/h =

12 ⋅ 1.852 m = 6 , 17 m/s 3.600 s

Mekanisk fysik og varmelære

v −v

Acceleration er hastighedsændring pr. sekund eller a = 2 t 1 , og 2 enheden bliver m/ s . Den specielle acceleration, et frit faldende legeme er udsat for, kaldes tyngdeacceleration og betegnes med g. Tyngdeaccelerationen er afhængig af stedets geografiske bredde, og man har med to decimaler: ved Ækvator ved polerne i Paris i København

g = 9,78 m/s2 g = 9,83 m/s2 g = 9,81 m/s2 (mere nøjagtigt 9,80665 m/s2) g = 9,82 m/s2

Vinkelmål. Vinkler kan måles i enheden grader, men man kan også angive en vinkels størrelse i enheden radian. Ved en radian forstår man vinklen mellem to radier, som på en cirkelperiferi afskærer en bue b, hvis længde er lig med cirklens radius. Man har da:

θ=

b r

Vinkelhastighed er den drejede vinkel pr. tidsenhed eller:

ω=

θ t

Vinkelacceleration er vinkelhastighedens ændring pr. tidsenhed eller:

α=

ω 2 − ω1 t

Omdrejningshastighed angiver, hvor mange omdrejninger et legeme roterer pr. tidsenhed. Der er egentlig ikke tale om en SI-enhed; men den er meget anvendt i mange praktiske sammenhænge som fx til angivelse af en motors rotationshastighed. Symbolet for omdrejningshastighed er n, og standardenheden er omdrejninger pr. sekund, forkortet til r/s; men i praksis anvendes mest omdrejninger pr. minut, forkortet til r/min (revolutions per minute). I dansk litteratur ses ofte o/min (omdrejninger per minut), hvilket vi vil følge i denne bog. Kraft. Ved en kraft forstår man en påvirkning, som kan give en masse en vis acceleration. Der findes mange forskellige former for kræfter, som vi skal komme ind på senere, men for dem alle gælder, at F = m · a. Enheden for kraft er den kraft, som kan give masseenheden 1 kg en acceleration på 1 m/s2, altså: [F] = 1 kg ⋅ 1 m/s 2 = 1 kg ⋅ m/s 2 = 1 N 16

1 Introduktion

I et ældre, teknisk målesystem var kraft en grundenhed, der havde navnet kilopond, forkortet til kp. Bruger man definitionen på kraft fra SI, kan man sige, at 1 kp er den kraft, der kan give masseenheden 1 kg en acceleration, der er lig med normaltyngdeaccelerationen 9,80665 m/s2, og man har da at: 1 kp = 1 kg · 9,80665 m/s2 = 9,80665 N Her afrundes denne omregning til: 1 kp = 9,81 N Moment er et begreb, som vi benytter os af mange gange hver eneste dag, fx når vi åbner en dør, bruger en brækstang, et boresving, en skruetrækker, drejer nøglen i bilen osv. Moment er defineret ved kraft multipliceret med den vinkelrette afstand fra kraftens virkelinje til omdrejningspunktet eller: M=F·r Masseinertimoment. Ved et legemes masseinertimoment med hensyn til en bestemt akse forstår man summen af produkterne af alle legemets enkelte massedele og kvadratet på deres afstand fra aksen eller: I = S m · r2 Arbejde. Der udføres arbejde, når fx et legeme flyttes en vis vejlængde ved en kraftpåvirkning. Arbejdet defineres som produktet af kraften og vejlængden, når kraftpåvirkningen er parallel eller sammenfaldende med vejen, og man har da: W=F·s Effekt. Ved effekt forstås arbejde pr. tidsenhed eller: P=

W t

Hvis to mand kan udføre det samme arbejde, den ene på 8 timer og den anden på 6 timer, så er den sidste den mest effektive, dvs. han afgiver mest effekt. Energi er evne til at udføre arbejde eller produktet af effekt og tid: W=P·t 17

Mekanisk fysik og varmelære

Bevægelsesmængde defineres ved produktet af masse og massens hastighed: P=m·v Specifikt tryk defineres som kraftpåvirkning pr. arealenhed, altså: p=

F A

SI-enheden for specifikt tryk bliver N/m2 = Pa. Dette er en meget lille enhed, og man har derfor indført en overenhed, idet man har sat 1 bar = 103 mbar = 105 Pa = 103 hPa En sammenligning med ældre, stadig brugte trykenheder ser således ud: 1 at = 1 kp/cm2 = 735,6 mmHg = 98.066,5 Pa = 10 mH2O Enheden at kaldes teknisk atmosfære. 1 bar = 1,0197 kp/cm2 = 750 mmHg = 100.000 Pa = 10,197 mH2O 1 atm = 1,0332 kp/cm2 = 760 mmHg = 101.325 Pa = 10,332 mH2O Enheden atm kaldes fysisk atmosfære. Ved hjælp af p = r · g · h kan man altid omregne væskesøjle til tryk, når man kender væskens massefylde r. Temperatur måles i kelvin. Når celsiustemperaturen betegnes med t og den tilsvarende kelvintemperatur med T, har man: T = 273,15 + t

1.4 Usikkerhedsberegning En fysisk størrelse bliver fastlagt gennem målinger, og målinger foretages ved hjælp af måleinstrumenter, fx målestok, manometer, termometer osv. Men når måleinstrumentets skala skal aflæses, vil det ofte være vanskeligt at bestemme aflæsningens helt eksakte værdi. Det kan der være flere årsager til. Bl.a. afhænger aflæsningsnøjagtigheden af instrumentets indretning; fx kan skalaen være

1 Introduktion

udført mere eller mindre nøjagtigt. En måling kan også foretages ved at sammenligne den fysiske størrelse med måleinstrumentet, fx bestemmelse af en længde med en målestok, og her bliver vanskeligheden at foretage sammenligningen tilstrækkelig nøjagtigt. Det kan endda forekomme, at der aflæses forskellige måleresultater, hvis målingerne foretages af forskellige personer. Der vil altså være tale om, at en måling er behæftet med måleusikkerhed. I det daglige vil måleusikkerheden normalt ikke give anledning til uoverkommelige problemer. Elektriske instrumenter kan aflæses med tilstrækkelig nøjagtighed, når det drejer sig om kontrol af en tilstand, og håndværkeren kan sagtens udføre komponenter efter en forelagt tegning inden for de tolerancer, der normalt kræves. Men når det drejer sig om videnskabelige målinger, fx i forbindelse med laboratorieforsøg eller nøjagtig bestemmelse af tyngdeaccelerationen, vil det i de fleste tilfælde blive nødvendigt at behandle problemet om måleusikkerhed. Da enhver måling er behæftet med en vis usikkerhed, kan man kun bestemme et interval, inden for hvilket den eksakte måleværdi befinder sig. Ved angivelse af en fysisk størrelse x, vil man tage så mange cifre med, at måleusikkerheden er begrænset til det sidste ciffer. Ved en længdemåling kan der fx være fundet følgende 5 værdier: x1 = 123,4 mm x2 = 125,2 mm x3 = 124,8 mm x4 = 121,3 mm x5 = 122,3 mm og gennemsnitsværdien af de 5 målinger kan beregnes til: x=

123, 4 + 125, 2 + 124 , 8 + 121, 3 + 122, 3 = 123, 4 mm 5

Usikkerheden på x, som betegnes med Dx, defineres som den største afvigelse mellem gennemsnitsværdien og et måleresultat. Usikkerheden bliver altså: Dx = 123,4 - 121,3 = 2,1 mm ≈ 2 mm

Mekanisk fysik og varmelære

Det ses, at usikkerheden i dette tilfælde ligger på tredje ciffer, og måleværdien afrundes derfor til x = 123 mm. Usikkerheden Dx fortæller, hvor meget sidste ciffer kan være forkert, så derfor afrundes Dx til kun et betydende ciffer. Når man tæller betydende cifre, begynder man med det første ciffer, der er forskellig fra nul. Resultatet af den måling, vi har foretaget, kan skrives sådan: x ± Dx eller 123 mm ± 2 mm hvilket altså betyder, at den eksakte værdi af den fysiske størrelse ligger mellem 121 mm og 125 mm. Et måleapparat kan være behæftet med fejl og vil så altid angive en forkert værdi for den søgte størrelse. Et typisk eksempel herpå er justeringsfejl, fx nulpunktsfejl, men også slitage og støv kan give anledning til ensidige fejl. Øvelsesopgave 1.4.1 Følgende værdier er udregnet på grundlag af fysiske målinger: 1) x = 0,5792 2) x = 0,0851 3) x = 738,4 4) x = 12.325

Dx = 0,0021 Dx = 0,0075 Dx = 2,4 Dx = 408

Foretag afrunding i antallet af cifre både for x og Dx. Svar 1) x = 0,579 2) x = 0,085 3) x = 738 4) x = 12.300

Dx = 0,002 Dx = 0,008 Dx = 2 Dx = 400

Absolut og relativ usikkerhed. Størrelsen Δx kaldes for den absoDx lutte usikkerhed. Ved den relative usikkerhed forstås forholdet x , og denne størrelse bliver ofte angivet i %. I det foran gennemregnede eksempel kan den relative usikkerhed 2 ⋅ 100 = 1, 6 %. altså beregnes til 123

1 Introduktion

Sammensat måling. En fysisk størrelse kan være bestemt som en funktion af flere størrelser, hvis værdier hver for sig er bestemt ved måling. Dette kaldes sammensat måling. Da hver enkelt måling er behæftet med usikkerhed, vil også den sammensatte eller flerleddede størrelse være behæftet med usikkerhed. I det følgende kaldes den sammensatte størrelse a og de enkelte målinger kaldes x og y. De absolutte usikkerheder bliver da Da, Dx og Dy. Ved addition og subtraktion benyttes følgende regel til bestemmelse af den sammensatte størrelses absolutte usikkerhed: Den absolutte usikkerhed på en sammensat eller flerleddet størrelse er lig med summen af de absolutte usikkerheder på hver af størrelsens enkelte led. Ved a = x + y eller a = x − y får man da Da = Dx + Dy. Eksempel Den viste aksel har længden a = x + y. a

x måles med målebånd til 62 mm og Dx = 1 mm. y måles med skydelære til 18,4 mm og Dy = 0,2 mm. a = x + y = 62 + 18,4 = 80,4 mm Da = Dx + Dy = 1 + 0,2 = 1,2 mm Da usikkerheden ligger på andet ciffer, afrundes således: a = 80 mm og Da = 1 mm Måleresultatet kan altså skrives som a = 80 mm ± 1 mm, og den relative usikkerhed bliver

1 ⋅ 100 = 1, 3 %. 80

Mekanisk fysik og varmelære

Øvelsesopgave 1.4.2 En krumtapaksel har ved 20 °C længden x = 5.820 mm og Dx = 1 mm. Efter en vis driftsperiode bestemmes akslens længde til y = 5.827 mm og Dy = 1 mm. Bestem den relative usikkerhed på krumtapakslens længdeudvidelse. Svar 0,02 %

Bestemmes den sammensatte størrelse ved multiplikation eller ved division, anvendes følgende regel ved bestemmelse af den sammensatte størrelses relative usikkerhed: Den relative usikkerhed på et produkt eller en kvotient er lig med summen af de relative usikkerheder på de enkelte faktorer eller dividend og divisor. Er a = x · y eller a =

x Da Dx Dy = + , får man da y a x y

Bestemmes endelig den sammensatte størrelse ved potensopløftning, anvendes følgende regel til bestemmelse af den sammensatte størrelses relative usikkerhed: Den relative usikkerhed på en potens er lig med eksponenten multipliceret med den relative usikkerhed på roden. Da Dx . Denne regel gælder også, hvis n Er a = xn, får man = n⋅ x ikke er et helt tal. a Eksempel For at bestemme rumfanget af den viste cylinder måles diameteren d og længden l med en skydelære, og man får følgende værdier: d = 4,60 cm Dd = 0,01 cm l = 7,45 cm Dl = 0,01 cm Den relative og den absolutte usikkerhed på rumfangsbestemmelsen bliver da: V=

π ⋅ 4 , 60 2 ⋅ 7 , 45 = 123, 81 cm 3 4

1 Introduktion

DV  Dd  Dl  0 , 01  0 , 01   ⋅ 100 = 0 , 57 % + = 2 ⋅ = 2 ⋅ +  d  l V  4 , 60  7 , 45  DV =

0, 57 ⋅ 123, 81 cm = 0 , 71 cm 3 100

Rumfanget kan altså bestemmes til 123,8 cm3 ± 0,7 cm3.

Øvelsesopgave 1.4.3 Ved den viste forsøgsopstilling kan man foretage målinger, som kan danne grundlag for bestemmelse af et stofs længdeudvidelseskoefficient.

Under forsøget er følgende størrelser bestemt: l1 = 500 mm og Dl1 = 1 mm t2 − t1 = 78 °C og D(t2 − t1) = 1 °C l2 − l1 = 0,48 mm og D(l2 − l1) = 0,01 mm l2 − l1 måles ved hjælp af mikrometerskruen. Længdeudvidelseskoefficienten kan bestemmes af følgende udtryk: a=

l2 - l1 l1 ⋅ (t2 - t1 )

Bestem den relative og den absolutte usikkerhed på længdeudvidelseskoefficienten. Svar Relativ usikkerhed 3,6 % Absolut usikkerhed 0,4 · 10−6 °C−1

Mekanisk fysik og varmelære

Praktisk usikkerhed. Den usikkerhed, vi hidtil har bestemt, er den teoretiske usikkerhed; det er den usikkerhed, man får i uheldigste tilfælde. Derfor regner man med en praktisk usikkerhed, som fremkommer ved at multiplicere den teoretiske relative usikkerhed med en reduktionsfaktor. Vedrørende bestemmelse af denne reduktionsfaktor skal der her blot henvises til videregående litteratur om emnet.

1.5 Skalarer og vektorer Ved en betragtning af de fysiske størrelser viser det sig, at de kan inddeles i visse grupper med bestemte karakteristiske egenskaber, der er fælles. Fysiske størrelser som fx masse, tid og temperatur kan alle bestemmes fuldstændigt ved angivelse af måltal og enhed. Sådanne størrelser kaldes skalarer, og man har følgende definition: En skalar er en fysisk størrelse, der bestemmes fuldstændigt ved måltal og enhed. Andre fysiske størrelser som fx vejlængde, hastighed og kraft kan derimod ikke bestemmes fuldstændigt ved alene at angive måltal og enhed. Det er også nødvendigt at angive en retning. Sådanne størrelser kaldes vektorer, og man har følgende definition: En vektor er en fysisk størrelse, der bestemmes fuldstændigt ved måltal, enhed og retning. En vektor afbildes som et linjestykke med en pil. Linjestykkets længde udtrykker den fysiske størrelses måltal, målt med en bestemt målestok, fx 1 cm svarer til 10 N eller 25 mm svarer til 1,0 m/s, mens linjestykkets orientering fastlægger retningen, se fig. 1.5.1.

Fig. 1.5.1 Vektorer med tilhørende målestok

1 Introduktion

Ved en vektors virkelinje forstås den rette linje, der indeholder vektoren. En vektor kan forskydes i sin virkelinje, uden at vektoren derved ændrer størrelse eller retning. I en skrevet tekst angives en vektor på mange forskellige måder, fx et enkelt bogstav, stort eller lille, sat med en fed type eller to bog→ staver med en pil over AB , hvor A og B er vektorens endepunkter. Ofte har man kun brug for at angive længden af en vektor uden at tage hensyn til retningen. Man taler om en vektors numeriske værdi og bruger skrivemåden a eller blot et bogstav uden vektorstreg. I denne bog benyttes et almindeligt bogstav med en vandret streg over, fx c , F . Mens skalarer kan adderes og subtraheres efter de almindelige aritmetiske regler, når blot de er ensbenævnte, skal ensbenævnte vektorer behandles efter de geometriske regler for addition og subtraktion. Dette er der gjort nærmere rede for i de følgende kapitler.

1.6 Vektorregning Vektoraddition. Tænker man sig, at en person først bevæger sig a meter mod nord og dernæst b meter mod øst, vil den samlede bevægelse natuligvis blive (a + b) m. Målt i fugleflugtslinje har personen ikke flyttet sig (a + b) meter, men derimod en vejlængde, der er repræsenteret af den vektor c , der forbinder vektor a ’s begyndelsespunkt med vektor b ’s slutpunkt, se fig. 1.6.1.

Fig. 1.6.1

Denne geometriske sammensætning, eller vektoraddition, skriver vi på følgende måde: c = a +b

Mekanisk fysik og varmelære

Derimod har vi: c ≤ a + b Er fx a = 4 m og b = 3 m bliver c = 5 m. Man kunne imidlertid også forestille sig, at personen først bevægede sig b meter mod øst og dernæst a meter mod nord; slutresultatet bliver det samme. Heraf kan vi udlede følgende: a +b = b + a Dvs. når vektorer adderes, er rækkefølgen ligegyldig. Fremgangsmåden er den samme, hvad enten vi skal addere to eller flere vektorer. Man afsætter vektorerne i forlængelse af hinanden, rækkefølgen er underordnet, og den vektor, der forbinder den første vektors begyndelsespunkt med den sidste vektors slutpunkt, angiver vektorsummen. Eksempel Find vektorsummen e = a + b + c + d ved konstruktion.

Løsning

Ved vinklen mellem to vektorer forstår vi den vinkel, de danner med hinanden, når de udgår fra samme begyndelsespunkt.

1 Introduktion

Fig. 1.6.2

Vinklen mellem de to vektorer skrives: ∠( a , b ) Vektoropløsning. Ved behandling af tekniske og fysiske problemer er det ofte en fordel at kunne opløse en given vektor i komposanter. Det almindelige er, at man opløser den givne vektor i komposanter, der står vinkelret på hinanden. På fig. 1.6.3 er vektor a indlagt i et koordinatsystem, a danner en vinkel j med x-aksens positive retning (a∠ j).

Fig. 1.6.3

Opgaven går altså ud på at finde ax og ay , dvs. koordinatsættet til (x,y) vektor a’s pilespids. Dette kan løses ved hjælp af trigonometri, idet ax = a ⋅ cos j og

ay = a ⋅ sin j

Har man ikke kendskab til de trigonometriske funktioner, kan man ved hjælp af en lommeregner omregne fra polært til retvinklet ( a∠j ) ( x , y). Øvelsesopgave 1.6.1 Find a’s komposanter ax og ay i følgende fire tilfælde: 1) 2) 3) 4)

a a a a

= 6, 0 = 8, 0 = 2, 0 = 14 , 0

j = 28° j = 132° j = 230° j = 315°

Mekanisk fysik og varmelære

Svar 1) 5,3 2) −5,4 3) −1,3 4) 9,9

og 2,8 og 5,9 og −1,5 og 9,9

Øvelsesopgave 1.6.2 Find vektorsummen c = a + b , både ved konstruktion og beregning, når følgende er givet: a = 8 , 0 og b = 14 , 0 , se fig. 1.6.2. 1) ∠( a , b ) = 137° 2) ∠( a , b ) = 40° 3) ∠( a , b ) = 180° 4) ∠( a , b ) = 0° Svar c =c = 1)

9, 89, 8og og ∠ (b∠, c(b) ,=c )33 =, 833 ° , 8°

c =c = 20 , 820 , 8og og∠(b∠ , c(b) ,=c )14 =, 14 3° , 3° 2) 3) c =c = 6 , 06 , 0og og∠(b∠, c(b) ,=c ) =0° 0° 4) c =c = 22, 022, 0og og∠(b∠ , c(b) ,=c ) = 0° 0° Vektorsubtraktion. Hvis vi vender tilbage til fig. 1.6.1 og forestiller os, at vi kender den resulterende bevægelse c og fx bevægelsen b , kan man finde bevægelsen a ved at isolere denne størrelse i ligningen: c = a + b . Herved får vi: a = c -b Dette udtryk kan skrives som: a = c + (-b ) Vi har altså igen en addition, idet vektoren -b skal adderes til vektor c . Vektoren -b har nøjagtig samme længde som vektor b , men har modsat orientering, se fig. 1.6.4.

1 Introduktion

Fig. 1.6.4

Eksempel Et skibs fart gennem vandet er v2 = 18 knob på kursen j 2 = 35°. Skibets beholdne fart, dvs. farten over havbunden, er v1 = 15 knob i retningen j1 = 22°. Strømmens hastighed υs kan da findes som vektordifferencen v1 − v2 . vs = v1 − v2 På figuren er vist, hvorledes man ved konstruktion kan finde υs . En beregning vil give: υs = 4 , 8 knob og ϕ 3 = 260° Dvs. strømmen løber med en fart på vs = 4,8 knob i retningen j3 = 260°.

Mekanisk fysik og varmelære

Øvelsesopgave 1.6.3 Periferihastigheden på det viste svinghjul er v = 12,2 m/s. Dvs. υ1 = υ2 = 12, 2 m/s . Find ∆v = v2 − v1 for en vinkeldrejning på j = 105°. Svar Dv = 19, 4 m/s og ∠(v2 , Dv) = 37 , 5°

Øvelsesopgave 1.6.4 En dampstråle rammer en turbineskovl under en vinkel på j1 = 25°. Herved afbøjes dampen og danner ved afløbet en vinkel j2 = 85° med hjulets omdrejningsretning. Find ∆v = v2 – v1 , når v1 = 300 m/s og v2 = 80 m/s Svar Dv = 283 m/s og ∠(v2 , Dv) = 95° Af praktiske grunde udelader vi ofte vektormærkningen i det følgende. Dette gælder, når det af tekst og tegninger fremgår, at vektorerne virker i samme retning eller er modsatrettede. Dog er vektormærkningen i videst muligt omfang bibeholdt på figurerne.

• Hydrodynamik • Gassers statik • Gassers dynamik • Varmelære

Herudover er der to kapitler med et righoldigt opslags- og baggrundsstof bl.a. i form af symboler, enheder, relevant matematik og damptrykstabeller.

Mekanisk fysik og varmelære kan indgå i undervisningen på flere trin i maskinmesteruddannelsen – fx til emnet termiske maskiner og anlæg.

Arly Nielsen

ISBN 978-87-571-3709-5

9 788757 137095

31153-1mek_fys_varmel_omslag.indd 1

www.praxis.dk

Mekanisk fysik og varmelære Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold

12. udgave

Arly Nielsen og Jacob von Lillienskjold

Mekanisk fysik og varmelære

Praxis – Nyt Teknisk Forlag

23-10-2020 08:09:07

Mekanisk fysik og varmelære, 12. udgave, 2020

Articles inside

Introduktion

Kinematik