Matematik 112 - Førstehjælp til formler, 3. udgave, 4. oplag, 2010

Matematik 112 - 54027-1 - omslag - 3.udgave.indd 1

04-07-2008 14:21:15

Lars Pedersen

112

Matematik FørstehjÌlp til formler

Nyt Teknisk Forlag

Matematik 112 – Førstehjælp til formler 3. udgave, 2. rettede oplag 2010 © Nyt Teknisk Forlag 2006, 2010

Forlagsredaktion: Thomas Rump, tr@nyttf.dk Omslag: Henrik Stig Møller Illustrationer: Henrik Stig Møller og Thomas Rump Dtp: Gitte Frederiksen og Lars Pedersen ISBN papirbog: 978-87-571-2581-8 ISNB e-bog: 978-87-571-3288-5 Bestillingsnummer: 54027-1

Bogen er sat med Minon 10/12 og Myriad Roman

Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret.

Alle rettigheder forbeholdes.

Kopiering fra denne e-bog må ikke finde sted

Nyt Teknisk Forlag Vigerslev Allé 18, 3.

2500 Valby info@nyttf.dk www.nyttf.dk Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, 63 15 17 00

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

Forord Matematik 112 – Førstehjælp til formler er udarbejdet til brug for kursister i faget matematik, ved de gymnasiale uddannelser STX, HHX, HTX og HF. Formelsamlingen er opbygget efter bekendtgørelsen i dette fag, og dækker således de emner man finder i pensa på gymnasielt niveau. Formelsamlingen dækker både C-, B- og A-niveau inden for matematik.

Formlerne er markeret med kolonner af forskellig farve: Markerer formler, man normalt finder på C-niveau.

Markerer formler, man normalt først møder på B-niveau.

Markerer formler, man normalt først møder på A-niveau eller valgemner.

Alle C-niveauformler hører således også til B-niveauet og ligeledes hører C- og Bniveauformlerne således også til A-niveauet.

Indekset bagest i bogen er opbygget med samme farvemarkering af tallene, og angiver dermed de enkelte opslags niveau.

En række af formlerne kan kun anvendes under bestemte forudsætninger, fx hvis nævneren i en brøk ikke er nul, osv.

Der er, så vidt muligt, medtaget figurer som illustration til formlerne. Illustrationen angiver oftest kun én mulighed, hvor mange flere tilfælde normalt kan forekomme.

Der er tilføjet et kapitel om statistik i 3. udgave, samt formler om fremskrivningsfaktorer.

En speciel tak til mine klasser på Holstebro Gymnasium & HF samt Holstebro Tekniske Skole for deres mange og konstant kritiske spørgsmål.

Holstebro, august 2008 Lars Pedersen

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

Indhold Tal og algebra 1 Komplekse tal 14 Rentesregning 23 Ligninger og uligheder 28 Geometri 36 Trigonometri 46 Retvinklede trekanter 46 Vilkårlige trekanter 51 Trigonometriske funktioner 56 Analytisk geometri 69 Linje i plan 73 Cirkel 86 Proportionalitet 89 Funktioner 91 Andengrads polynomiet 102 Tredjegrads polynomiet 103 Polynomier 104 Eksponentiel udvikling 110 Potensudvikling 118 Specielle funktioner 122 Regression 127

Infinitesimalregning 137 Differentialregning 140 Integration 151 Arealberegning 158 Volumenberegning 161 Numerisk integration 163 Differentialligninger 168 Tabel over differentialkvotienter og stamfunktioner 170 Vektorer i to dimensioner 171 Vektorer i tre dimensioner 192 Rumgeometri 208 Rumgeometri oversigt 213 Vektorfunktioner 232 Bevægelser 235 Keglesnit 243 Sandsynlighedsregning 246 Kombinatorik 250 Stokastiske variable 255 Sandsynlighedsfordelinger 264 Statistik 282 Grupperede observationer 282 Ugrupperede observationer 293

Grænseværdi 129 Rækker 306 Asymptoter 133 Matematiske tegn og symboler 314 Index

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

1-3 Tal og algebra

Tal og algebra Algebra betyder bogstavregning, eller operationslære og kommer fra det arabiske al-gebr.

1 Operationer Addition:

a+b =c

a og b: Addender. c: Summen.

Subtraktion:

a −b = c

a: Minuend. b: Subtrahend. c: Differensen.

Multiplikation:

a ⋅b = c

a og b: Faktorer. c: Produktet.

Division:

a:b =c eller: a =c b

a: Dividend eller tæller. b: Divisor eller nævner. c: Kvotienten.

2 Regningsarternes hierarki 1. Potensopløftning og roduddragning.

2. Multiplikation og division.

3. Addition og subtraktion.

3 Regneregler for tal Regel

Benævnelse

a+b =b+a

Kommutative lov for addition.

(a + b) + c = a + (b + c )

Associative lov for addition.

a ⋅b = b ⋅a

Kommutative lov for multiplikation.

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )

Associative lov for multiplikation.

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

Distributive lov.

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

4-6 Tal og algebra

4 Regneregler for brøker Operation

Løsning

Addition og subtraktion:

t 1 t 2 t 1 ⋅ n2 ± n1 ⋅ t 2 ± = n1 n2 n1 ⋅ n2

Multiplikation:

t1 t 2 t ⋅t ⋅ = 1 2 n1 n 2 n1 ⋅ n 2

Division:

t 1 t 2 t 1 ⋅ n2 = : n 1 n 2 n1 ⋅ t 2

Forlængelse:

t t ⋅a = , a ∈ℝ , a ≠ 0 n n⋅a

Forkortelse:

t t :a = , a ∈ ℝ ,a ≠ 0 n n:a

Multiplikation med et tal:

t t ⋅a ⋅a = , a ∈ℝ n n

Division med et tal:

t t :a= , a ∈ℝ ,a ≠ 0 n n⋅a

5 Kvadratsætninger ( x + y )2 = x 2 + y 2 + 2 ⋅ x ⋅ y (x − y ) 2 = x 2 + y 2 − 2 ⋅ x ⋅ y

( x + y ) ⋅ (x − y ) = x 2 − y 2

6 Regneregler for numerisk værdi n

a = −a

an = a

a ⋅b = a ⋅ b

a + b ≤ a + b Trekantsuligheden.

a a = b b

a − b ≤ a + b Trekantsuligheden.

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

7-9 Tal og algebra

7 Regneregler for potenser

(a )

a m ⋅ a n = a m +n

m n

a ⋅ b = (a ⋅ b) m

am a

n

am bm

m

m

a −m =

= a m −n ⎛a⎞ =⎜ ⎟ ⎝b⎠

= a m⋅n 1

am

a =1 0

m

8 Regneregler for roduddragning m

a ⋅ n a = m⋅n a m + n

m

a⋅ b = m

m

q

a ⋅b

a

( a)

a

n

a

m

a

m

b

n m

= m⋅n a n −m =m a =

q⋅n

a b m⋅n

n

=a

m

q

m

m

m q m

=aq q

a m⋅n = a m

⎧a an = ⎨ ⎩a

for n lige for n ulige

a

9 Regneregler for titalslogaritmen y 30

a = 10 log(a) = log(10 a )

y 10x

log(10) = 1

25

log(1) = 0

20

log(a ⋅ b) = log(a) + log(b)

15 10

log(a p ) = p ⋅ log(a)

5 0

⎛a⎞ log⎜ ⎟ = log(a) − log(b) ⎝b⎠

y x

y log x 2

4

6

8

10

x

log

( a ) = 1q ⋅ log(a) q

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

10 - 12 Tal og algebra

10 Regneregler for den naturlige logaritme y 10

y ex

a = e ln(a) = ln(e a )

y=x

ln(e) = 1

8

ln(1) = 0

6 4

y ln x

2 0

-2

2

4

6

8

10

x

-2

ln(a ⋅ b) = ln(a) + ln(b) ⎛a⎞ ln⎜ ⎟ = ln(a) − ln(b) ⎝b⎠ ln(a p ) = p ⋅ ln(a) 1 q ln a = ⋅ ln(a) q

( )

11 Sammenhæng mellem titalslogaritmen og den naturlige logaritme ln(a) = log(a) ⋅ ln(10) log(a) = ln(a) ⋅ log(e)

12 Mængdeoperationer og definitioner Operation Fællesmængden

Angivelse som mængde

A ∩ B = {x x ∈ A ∧ x ∈ B}

A

A

Hvis A ∩ B = ∅ siges A og B at være disjunkte

Foreningsmængden

A

A ∪ B = {x x ∈ A ∨ x ∈ B}

Differensmængden

A

A \ B = {x x ∈ A ∧ x ∉ B}

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

13 - 13 Tal og algebra

Operation

Angivelse som mængde

Komplementærmængden

A

∁ A = {x x ∉ A}

Grundmængde, G

13 Intervaller For a, b ∈ ℝ og a < b : Begrænsede Åbne ] a, b [ = {x ∈ ℝ a < x < b}

Ubegrænsede ] a , ∞ [ = {x ∈ ℝ a < x } ] − ∞, b [ = {x ∈ ℝ x < b} ] − ∞, ∞ [ = ℝ

Halvåbne

[ a, b [ = {x ∈ ℝ a ≤ x < b} ] a, b ] = {x ∈ ℝ a < x ≤ b} [ a, b ] = {x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b}

[ a , ∞ [ = {x ∈ ℝ a ≤ x } ] − ∞, b ] = {x ∈ ℝ x ≤ b} ] − ∞, ∞ [ = ℝ

[ a; b[ [a; b [ [a; b[ [ a; b [ [ a; [ [a; [ [ ;b[ [ ; b[ 8 8 8 8

Lukkede

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

14 - 18 Tal og algebra

Komplekse tal 14 Regneregler for komplekse tal (x 1 + i ⋅ y 1 ) ± (x 2 + i ⋅ y 2 ) = (x1 + x 2 ) + i ⋅ ( y 1 + y 2 ) ( x 1 + i ⋅ y 1 ) ⋅ ( x 2 + i ⋅ y 2 ) = (x 1 ⋅ x 2 − y 1 ⋅ y 2 ) + i ⋅ ( x 1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y 1 )

x1 + i ⋅ y 1 x1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 x ⋅ y − x1 ⋅ y 2 = + i ⋅ 2 21 2 2 x2 + i ⋅ y2 x2 + y2 x2 + y22

15 Kompleks konjugering z = x +i⋅y = x −i⋅ y

16 Regneregler for kompleks konjugering z1 ± z 2 = z 1 ± z 2 z1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2

⎛ z1 ⎜⎜ ⎝ z2

⎞ z1 ⎟⎟ = ⎠ z2

17 Modulus af et komplekst tal z = x + i ⋅ y = x2 + y2

18 Regneregler for modulus af et komplekst tal z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z1 z1 = z2 z2 zn = z

n

(X:100.0%, Y:100.0%)

Created with Grafikhuset CMYK PDF Creator for tr at tr.

19 - 22 Tal og algebra

19 Regneregler for argumentet arg(z 1 ⋅ z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 )

z1 • z2

⎛z arg⎜⎜ 1 ⎝ z2

z2 z1 arg (z1•z2 )

⎞ ⎟⎟ = arg(z 1 ) − arg(z 2 ) ⎠

arg(z n ) = n ⋅ arg(z )

arg (z2 ) arg (z1 )

20 de Moivres formel z n = z n ⋅ (cos(n ⋅ arg(z )) + i ⋅ sin(n ⋅ arg(z )))

21 Den binome ligning z n = x + i ⋅ y har løsningen: ⎛ ⎛ arg(x + i ⋅ y ) + 2 ⋅ p ⋅ π ⎞ ⎛ arg(x + i ⋅ y ) + 2 ⋅ p ⋅ π ⎞ ⎞ z = n x + i ⋅ y ⋅ ⎜⎜ cos⎜ ⎟ + i ⋅ sin⎜ ⎟ ⎟⎟, p = 0, 1, 2, ..., n − 1 n n ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝

22 Eulers formler e i⋅x = cos(x) + i ⋅ sin(x) e -i⋅x = cos(x) − i ⋅ sin(x)

(

)

cos(x) =

1 i⋅x ⋅ e + e −i ⋅ x 2

sin(x) =

1 ⋅ e i ⋅x − e −i ⋅ x 2⋅i

(

)

Matematik 112 - 54027-1 - omslag - 3.udgave.indd 1

04-07-2008 14:21:15