Fysikbogen, 1. udgave, 2018 by Praxis

kan også anvendes til undervisning på EUX. Bogen er delt op i 10 kapitler, der alle er rige på eksempler, øvelser og opgaver. Enkelte kapitler indeholder også ekstra afsnit for den videbegærlige elev. Kapitel 1 tager udgangspunkt i bevægelse og kinematik. Kapitel 2 giver en kort introduktion af begreber som energi, arbejde og Newtons tre love. Kapitel 3 og 4 drejer sig om varme og gas. Kapitel 5 omhandler bølger og fungerer samtidig som en introduktion til kapitel 6 om lys og optik. Kapitel 7 handler om ellære. Kapitel 8

Morten Stoklund Larsen

Bogen er skrevet, så den kan anvendes efter læreplanen i fysik B for HTX. Bogen

Fysikbogen

Fysikbogen er en systematisk fremstilling af fysik-fagets teoretiske grundlag.

Anne Handberg Pedersen

Fysikbogen

og 9 giver en systematisk fremstilling af mekanikken med kinematik og dynamik, og kapitel 10 introducerer eleven for atomfysik og kernefysik. Bogen er skrevet, så den dækker læreplanens kernestof fuldt ud. Ydermere kan kapitel 10 anvendes som indledning til fysik på A-niveau.

Morten Stoklund Larsen Praxis — Nyt Teknisk Forlag

ISBN 978-87-571-2910-6

978-87-571-2910-6

praxis.dk

varenr. 91003-1

Anne Handberg Pedersen

Fysikbogen

Morten Stoklund Larsen & Anne Handberg Pedersen Fysikbogen © Forfatteren/forfatterne og Praxis, 2018 1. udgave, 2018, 1. oplag, 2018 Forlagsredaktion: Louise Olsen lol@praxis.dk Grafisk tilrettelæggelse: Anne von Holck, tegnestuentrojka.dk Fotos: Se billedliste s. 339 Tegninger: Stinne Larsen. Figur 14, kap.10, Morten Stoklund Larsen Forsidefoto: Shutterstock Sat med: Minion Pro og Soho Gothic Pro Trykt på: Arctic Volume White 115g Omslag: Algro Design 240g Tryk: Strandbygaard Printed in Denmark 2018 ISBN 978-87-571-2910-6 Varenummer: 91003-1

Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk

Praxis praxis.dk webshop.praxis.dk

Indhold 7 Bevægelse med konstant hastighed 7 Enheder og præfiks 12 Bevægelse med konstant acceleration 18 Newtons love 26 Densitet 30 Ekstra afsnit 1 – Udledning af formlen for konstant acceleration 32 Ekstra afsnit 2 – En hjælpesætning 34 Øvelser 36 Opgaver 39 Kapitelopsamling 43 1 · BEVÆGELSE

2 · BEVÆGELSE OG ENERGI

Arbejde og energi 45 Potentiel energi 49 Kinetisk energi 52 Mekanisk energi 54 Ekstra afsnit 3 – Udledning af formel for kinetisk energi 55 Ekstra afsnit 4 – Banecykling 57 Øvelser 59 Opgaver 61 Kapitelopsamling 63 65 Energi og energiomdannelse 65 Effekt 67 Varme, energi og varmekapacitet 70 Specifik varmekapacitet 71 Temperaturskalaer 75 Nyttevirkning 78 Varmeudveksling og kalorimetri 79 Faser og faseovergange 82 Varmestråling 86 Ekstra afsnit 5 – Varmeledning og isolering 87

3 · VARME

Ekstra afsnit 6 – Vands fasediagram 92 Øvelser 95 Opgaver 97 Kapitelopsamling 100 103 Trykbegrebet 103 Gasser 114 Ekstra afsnit 7 – Densitet af luft 125 Ekstra afsnit 8 – Varmluftballoner 126 Øvelser 131 Opgaver 134 Kapitelopsamling 136

4 · GAS

139 Bølger 139 Det elektromagnetiske spektrum 143 Udbredelse af bølger 145 Interferens 148 Øvelser 152 Kapitelopsamling 153

5 · BØLGER

6 · OPTIK 155 Refleksion af lysstråler 155 Lysets brydning i en overflade 158 Prismer og lysets sammensætning 160 Regnbuen 163 Total indre refleksion 164 Linser 167 Billeddannelse med samlelinser 169 Lys som bølger 171 Ekstra afsnit 9 – Strålegangen i regnbuen 177 Ekstra afsnit 10 – Udledning af Snells lov 180 Øvelser 182 Opgaver 185 Kapitelopsamling 187

189 Strøm og spænding 189 Elektrisk effekt 192 Elektrisk modstand 193 Joules lov 197 Elektriske kredsløb 198 Resistivitet 206 Indre modstand af strømkilder 211 Vekselspænding 214 Kredsløbsanalyse 222 Øvelser 226 Opgaver 233 Kapitelopsamling 236

7 · ELLÆRE

8 · KINEMATIK OG BEVÆGELSE I TO DIMENSIONER 239

Kinematik – hastighed 239 Bevægelse i to dimensioner 244 Ekstra afsnit 11 – Jævn cirkelbevægelse 251 Ekstra afsnit 12 – Mere om integralregning og bevægelse 254 Øvelser 257 Opgaver 259 Kapitelopsamling 261

263 Kræfter og bevægelse 263 Forskellige kraft-typer 265 Kræfter i to dimensioner 278 Arbejde og energi 285 Ekstra afsnit 13 – Kræfter i en jævn cirkelbevægelse 292 Øvelser 294 Opgaver 298 Kapitelopsamling 302 9 · DYNMAIK

305 Lys og kvantefysik 305 Bohrs atommodel 306 Energiniveauerne for hydrogen 310 Lys og stof 312 Atomkerner 314 Radioaktivt henfald 320 Fusion og fission 328 Øvelser 332 Opgaver 333 Kapitelopsamling 335

10 · ATOM- OG KERNEFYSIK

Billedliste 339 Stikord 341

Forord Fysikbogen er, som navnet siger, en bog om fysik. Den er skrevet specielt med henblik på anvendelse efter læreplanen i fysik B for HTX og kan derfor umiddelbart bruges til undervisningen i fysik på både HTX og EUX. Vi har valgt i kapitel 1 at tage udgangspunkt i bevægelse og kinematik, der i flere andre lærebøger er placeret langt senere i bogen. Dette valg er truffet for at understøtte elevernes begrebsdannelse, ikke bare i fysik, men også i matematik. De matematiske sammenhænge i bevægelser med konstant hastighed eller acceleration er enkle og for de flestes vedkommende velkendte fra folkeskolen. Ved at tage udgangspunkt i en omverden, der er velkendt og umiddelbart kan sanses, lettes overgangen til den matematiske beskrivelse af de fysiske love, der er et af fysikkens særkender. Netop når den verden, der beskrives, umiddelbart kan sanses, er den matematiske beskrivelse af de sammenhænge, man intuitivt forstår, meget nemmere at forstå. I kapitel 1 introduceres samtidig enheder og præfiks, og i kapitel 2 følger en kort introduktion til begreber som energi, arbejde og Newtons love. Ønsker man i stedet at tage udgangspunkt i varmelæren, kan man vælge at starte med kapitel 3 og 4. Kapitel 5 omhandler bølger og danner en introduktion til kapitel 6 om lys og optik. Kapitel 7 handler om ellære, mens kapitel 8 og 9 indeholder en mere systematisk fremstilling af mekanikken med kinematik i kapitel 8 og dynamik i kapitel 9. I kapitel 10 gives en kort fremstilling af atomfysik og kernefysik. Bogen er skrevet, så læreplanes kernestof er dækket fuldt ud. Flere steder har vi valgt at lade fremstillingen række længere end læreplanens krav. Det er f.eks. tilfældet i kapitel 10. Derved kan bogen bruges ved den indledende undervisning på A-niveau. Det har været et mål at skrive en bog, hvor alle de centrale begreber er grundigt forklaret og belyst ved eksempler, øvelser og opgaver. For at sikre en flydende fremstilling har vi valgt at lægge øvelser og opgaver sidst i kapitlerne med tydelige henvisninger til relevante øvelser undervejs i teksten. Flere kapitler indeholder et ekstra afsnit, hvor dele at stoffet uddybes eller udbygges. Samtidig har det været vigtigt for os at tage den udstrakte brug af matematik i fysik alvorligt. Uden matematikken 5

bliver fysik let en overordnet fortælling om mekanismer og principper uden mulighed for den helt afgørende kvantificering af resultater, som teorien tillader. Vi har derfor tilstræbt ikke at skyde nogen genveje i forhold til den matematiske behandling. Velvidende at den udstrakte brug af symboler og ligninger umiddelbart kan forekomme skræmmende. Samtidig er vi af den overbevisning, at fysikfaget tilbyder en enestående platform for anvendelsen af matematikken. På den måde ser vi lige så meget fysik som et støttefag for matematik, som omvendt. Bogen kan ikke stå alene. Den indeholder en systematisk fremstilling af fagets teoretiske grundlag, men undervisningen i faget kan selvfølgelig ikke dækkes med det. Den enkelte lærer må supplere med forløb, eksperimentelt arbejde og projekter osv. Vi har ikke ønsket at diktere en bestemt måde at arbejde med faget på, og det er vores håb, at bogen vil kunne bruges af mange uanset pædagogiske og didaktiske præferencer. Vi skylder stor tak til familie, venner, kolleger og elever, der i forskellig grad har bidraget til, båret over med eller været direkte udsat for projektet. Mange fejl er blevet fundet undervejs. Dem, der står tilbage, må vi selv bære ansvaret for. Roskilde, april 2018 Morten Stoklund Larsen og Anne Handberg Pedersen

1 · Bevægelse I dette kapitel vil du blive introduceret til den fysiske beskrivelse af bevægelse og til fysiske begreber som acceleration og kræfter. Du vil opdage, at den fysiske beskrivelse af verden sker med en del brug af matematik – f.eks. i form af formler og grafer. For det meste vil der være tale om matematik, du allerede kender. Samtidig forklares en række andre grundlæggende begreber som enheder og brugen af præfiks.

Bevægelse med konstant hastighed Vi har alle en kropslig fornemmelse af, hvad hastighed er. Det kan f.eks. være hastigheden af en bil, der kører ud ad motorvejen med en konstant hastighed på 100 kilometer i timen. Man kan regne ud, at hvis man kører med denne hastighed i to timer, vil man have kørt 200 kilometer. Kører man kun i en halv time, vil man have kørt 50 kilometer. I fysik vil man ofte beskrive hastighed med en formel v=

∆s ∆t

For at forstå en formel er det vigtigt at vide, hvad de symboler, der indgår i den, betyder. Her betyder v hastigheden (du kan tænke på det engelske ord for hastighed: velocity). Symbolet ∆s kræver lidt mere forklaring, fordi det består af to dele. ∆ er det græske bogstav delta (et stort delta), som generelt bruges for ændringer i en størrelse. Bogstavet s betyder her positionen (eller stedet). ∆s betegner derfor ændring af position og kaldes strækningen, eller med andre ord hvor langt man har bevæget sig. På samme måde er t symbolet for tiden, og ∆t er ændringen i tid og kaldes tidsrummet. Figur 1 viser en cyklist, der bevæger sig fra et sted til et andet. Første sted er cyklisten vist i en position 10 meter fra start, det andet sted er positionen 30 meter fra start. Når man har brug for at kende positionen flere forskellige steder, nummererer man dem, og startpositionen kaldes ofte for s0 .

∆s

s0 = 0 m

s1 = 10 m

s2 = 30 m

Figur 1. En cyklist bevæger sig.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

For cyklisten i figur 1 kan det skrives som s0 = 0 m , s1 = 10 m og s2 = 30 m . Nu kan ændringen i position mellem de to steder beregnes ∆s = s2 − s1 = 30 m −10 m = 20 m

På samme måde betyder symbolet ∆t ændring i tid, fordi symbolet t bruges for tid. Her vil ∆t altså betyde den tid, det tager cyklisten at køre strækningen ∆s , som her er 20 meter. Det kunne f.eks. tage cyklisten 3 sekunder at køre de 20 meter, og dermed er ∆t = 3,0 s . Det betyder, at hastigheden kan beregnes ved at dividere strækningen med den tid, det tager at køre denne strækning hastighed =

strækning tid

Bevægelse med konstant hastighed

Ved en bevægelse med konstant hastighed er hastigheden givet ved ∆s v= ∆t hvor ∆s er den strækning, der tilbagelægges i tidsrummet ∆t . Hastigheden bestemt på denne måde kaldes også middelhastigheden i tidsrummet ∆t .

Eksempel 1 – cyklist

Cyklisten ovenfor vil have hastigheden v=

20 m 3,0s

= 6,67

m s

Hvis cyklisten vender om og kører tilbage med samme fart, så det tager 3 sekunder at bevæge sig fra s2 = 30 m til s1 = 10 m vil strækningen være negativ ∆s = s1 − s2 = 10 m − 30 m = −20 m

Derfor bliver hastigheden nu negativ.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Eksempel 2 – cyklisten fortsat

Cyklisten ovenfor vil på tilbageturen med samme fart have hastigheden v=

−20 m 3,0s

= −6,67

m s

Hastigheder kan altså være positive eller negative. Sker en bevægelse i samme retning, som den retning man har valgt som positiv, er hastigheden også positiv. Er bevægelsen i den modsatte retning, er hastigheden negativ. Hvis man ikke er interesseret i retningen af en bevægelse, kan man bruge begrebet fart, der svarer til hastigheden uden fortegn. Bevægelserne i eksempel 2 og 3 svarer således begge til en bevægelse med en fart på 6,67 m/s. De fleste er nok lidt mere fortrolige med at måle hastigheder i kilometer i timen i stedet for meter pr. sekund (m/s). En time har symbolet ‘h’ (tænk på det engelske hour) og målt i sekunder er 1 h = 60 ⋅ 60 s = 3600 s . For at kunne omregne fra meter pr. sekund til kilometer i timen (km/h) er det nødvendigt at vide, at 1

km 1000 m 1 m = = h 3600 s 3,6 s

eller omvendt 1

m km = 3,6 s h

Det betyder, at man kan omregne: • fra m/s til km/h ved at gange med 3,6 • fra km/h til m/s ved at dividere med 3,6 Derfor er cyklistens hastighed i eksempel 1 v = 6,67

m km km = 6,67 ⋅ 3,6 = 24,0 s h h

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Eksempel 3 – væksthastighed

En tomatplante kan vokse med 12 cm på 10 døgn. Hastigheden, hvormed tomatplanten vokser, kan beregnes ved formlen v=

∆s ∆t

hvor ∆s er det stykke, planten er vokset, altså 12 cm, og ∆t er den tid, det har taget for planten at vokse, dvs. 10 døgn. Indsat i formlen ser det sådan ud v=

12 cm 10 døgn

= 1,2

cm døgn

Væksthastigheden for tomatplanten er dermed 1,2 cm pr. dag.

ØVELSE 1-3: Side 36

Vi har nu set, hvordan hastigheden v kan beregnes, når man kender strækningen ∆s og tiden ∆t . Formlen for v kan også bruges til at beregne tiden eller strækningen. Vi kan nemlig behandle den som en helt almindelig ligning, som vi kender dem fra matematik. Her er det bare ikke x, der er vores ubekendte, men f.eks. strækningen ∆s v=

∆s ⇔ ∆s = v ⋅ ∆t ∆t

Vi har hermed fundet en formel, der viser, hvor langt man bevæger sig i løbet af et givent tidsrum og med en given hastighed. Eksempel 4 – tog

Et tog kører med en hastighed på 180 km/h i 1,5 timer. Dermed har det kørt en samlet strækning, der kan beregnes til at være ∆s = v ⋅ ∆t = 180

km ⋅1,5 h = 270 km h

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

På samme måde kan man finde tiden ∆t v=

∆s ∆s ⇔ ∆t = ∆t v

Man kan altså beregne, hvor lang tid det tager at køre en bestemt strækning med en given hastighed. Eksempel 5 – løber

En motionist kan løbe med en hastighed på 12 km/h. Han kan derfor løbe 5 km på ∆t =

∆s 5 km = km = 0, 42 h ≈ 25 min v 12 h

Her er resultatet afrundet til to decimaler.

ØVELSE 4: Side 36

Eksempel 6 – lysår

Et lysår er på trods af navnet en længdeenhed. Den angiver, hvor langt lyset bevæger sig på et år i det tomme rum, hvor lysets hastighed er omkring 300.000 km per sekund. Man bruger symbolet c for lysets hastighed i det tomme rum (det kommer fra det latinske ord celeritas, der betyder hastighed). Helt præcis er c = 299.792.458

m m ≈ 3,0 ⋅108 s s

Ét år består af 365,25 døgn á 24 timer. Hver time er givet ved 60 minutter, og hvert minut ved 60 sekunder. Så er 1 år = 365, 25 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s = 31557600 s

For at finde ud af, hvor langt et lysår er, målt i meter, skal der bruges en matematisk omskrivning af formlen v=

∆s ∆t

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Her er hastigheden lysets hastighed c, så v = c. Derfor kan formlen skrives som c=

∆s ∆t

Hvis det er ∆s, der skal findes, og ∆t og c, der kendes, omskrives formlen til ∆s = c ⋅ ∆t

De kendte størrelser sættes ind i formlen ∆s = 299.792.458

m ⋅ 31.557.600 s = 9.460.730.472.580.800 m s

Det er ikke let at forholde sig til så langt et tal. I fysik bruger man ofte en anden måde at skrive så lange tal på. F.eks. kan 1 lysår, med en afrunding til to decimaler skrives 1 lysår = 9, 46 ⋅1015 m

dvs. 9, 46 ⋅1.000.000.000.000.000 m.

ØVELSE 5-6: Side 36

Fysisk størrelse

Enhed

Symbol

Længde

meter

Masse

kilogram

Tid

sekund

Elektrisk strøm ampere

Temperatur

kelvin

Stofmængde

mol

Lysstyrke

candela

Tabel 1. Grundenheder i SI-systemet.

Enheder og præfiks Til fysiske størrelser hører en enhed. F.eks. måles alle længder i meter (m), mens tider måles i sekunder (s). Man har vedtaget et internationalt system af enheder, de såkaldte SI-enheder. Navnet kommer af det franske System Internationale. Ved altid at bruge enheder fra dette system undgås fejl og misforståelser, der kan forekomme ved oversættelse fra én enhed til en anden. I tabel 1 er vist de syv grundenheder i SI-systemet. Alle andre enheder fremkommer ved kombination af en eller flere af grundenhederne. F.eks. måles hastighed i m/s, som er en kombination af enheden for længde (m) og enheden for tid (s). Enheder, der fremkommer på denne måde, kaldes for afledte enheder.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Ofte er disse enheder for store eller små til en given anvendelse, og man kobler derfor ofte enheden med et såkaldt præfiks, der gør enheden større eller mindre. F.eks. er det mere praktisk at angive store afstande i km end i m, ligesom det er nemmere at forstå tykkelsen af en tændstik, hvis det angives i mm. I tabel 2 ses navnet for de mest anvendte præfikser sammen med de tilhørende tier-potenser; du kender nok en del af dem i forvejen. Kilo bruges f.eks. i forbindelse med enheden for masse nemlig kilogram, kg, som betyder 1000 gram. Tera, giga og mega har nogle måske set i forbindelse med computere, hvor der f.eks. kan være tale om, at en harddisk har en kapacitet på 512 GB (512 Gigabyte), dvs. 512.000.000.000 bytes. I den anden ende af skalaen er f.eks. længdeenhederne centimeter (cm) og millimeter (mm). Nanometer (nm), dvs. 0,000000001 m, bruger man ofte i forbindelse med bølgelængder for lys eller andre meget små størrelser.

Navn

Symbol

Tier-potens

Tera

1012 = 1.000.000.000.000

Giga

109 = 1.000.000.000

Mega

106 = 1.000.000

Kilo

103 = 1.000

Hekto

102 = 100

Deci

10−1 = 0,1

Centi

10−2 = 0,01

Milli

10−3 = 0,001

Mikro

10−6 = 0,000001

Nano

10−9 = 0,000000001

Pico

10−12 = 0,000000000001

Femto

10−15 = 0,000000000000001

Tabel 2. Præfikser og tier-potenser.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Bevægelse og grafer Indtil nu er sammenhængen mellem hastighed, sted og tid blevet beskrevet med matematiske formler, men det er ikke den eneste måde at beskrive en bevægelse på. Ofte er det en god ide at lave en graf, der viser, hvordan en bevægelse foregår. s (m)

For eksempel kunne man betragte en elevator, der starter i stueplan og kører opad med en hastighed på 1,5 m/s. Efter 1 sekund vil elevatoren være nået 1,5 m , efter 2 sekunder 3,0 m , efter 3 sekunder 4,5 m osv. Dette kan indtegnes som punkter i et koordinatsystem, og man vil så se, at alle punkterne ligger på en ret linje, som går gennem punktet (0;0), som vist på figur 2.

5 4 3 2 1 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 t (s) Figur 2. Graf for en elevators bevægelse fra stueplan.

I fysik, vil man ofte opleve, at grafen for sammenhæng mellem to forskellige størrelser, danner en ret linje, der går gennem (0;0). Man siger så, at de to størrelser er proportionale. Fra matematik kender du måske formlen for denne sammenhæng som y = a⋅x

men i fysik vil man altid benytte de symboler, der hører til grafens akser. Her har vi den tilbagelagte strækning ∆s op ad y -aksen, og tiden ∆t ud ad x -aksen, så sammenhængen kan skrives som

∆s = v ⋅∆t Når strækningen måles ud fra startpositionen s = 0 m , er

∆s = s og hvis vi samtidig måler tiden t ud fra starttidspunktet ∆t = 0 s er

∆t = t Dvs. at når en bevægelse med konstant hastighed v starter i s = 0 m og til tiden t = 0 s , er positionen til ethvert tidspunkt givet ved s = v ⋅t

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

F.eks. svarer det midterste punkt på grafen på figur 2 til, at vi indsætter s = 3m , v = 1,5 m/s og t = 2s og får s = 1,5

m ⋅ 2s = 3m s

Elevatoren fra før behøver ikke starte i stueetagen. Den kunne lige så godt være startet på 3. sal i en højde af 11 meter (11 m). Efter 1 sekund (1 s) vil elevatoren være nået til 12,5 m over stueplan, efter 2 s vil den være nået til 14,0 m, og efter 3 s vil den være nået til 15,5 m osv. Figur 3 viser den graf, der fremkommer, hvis man lægger disse punkter ind i et koordinatsystem. Punkterne ligger stadig på en ret linje, men den går ikke længere gennem (0;0). Når den rette linje ikke går igennem (0;0) , er der ikke tale om en proportionalitet. I stedet taler man så om en lineær sammenhæng. I matematik vil man skrive, at y = a ⋅ x +b

s(m) 15 10 5

0,5 1,0 1,5

2,5

3 t(s)

Figur 3. Graf af en elevators bevægelse fra 3. sal.

men vi vil igen bruge de fysiske symboler: Bevægelse med konstant hastighed

I en bevægelse med konstant hastighed v er positionen givet ved s = v ⋅ t + s0

hvor s0 er startpositionen. For eksemplet med elevatoren er s0 = 11 m . For punkterne på grafen på figur 3 kan positionen så beregnes til at være s = 1,5

m ⋅1s + 11m = 12,5 m s

s = 1,5

m ⋅ 2s + 11 m = 14,0 m s

s = 1,5

m ⋅ 3s + 11 m = 15,5 m s 15

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Det er vigtigt at lægge mærke til, at alle de beregninger, der er foretaget ind til nu, kun gælder, når hastigheden ikke ændrer sig. Dette kaldes bevægelse med konstant hastighed.

s s2 ∆s s1

∆t t1

Figur 4. Tre bevægelser med forskellige hastigheder.

På figur 4 ses grafen for tre forskellige bevægelser med forskellige hastigheder. De tre kurver har forskellig hældning, og hældningen af grafen kan netop tolkes som hastigheden. Kender man to punkter på grafen, kan hastigheden beregnes ved at aflæse den vandrette afstand, som er tidsforskellen ∆t og den lodrette afstand, som er strækningen ∆s . Hastigheden beregnes med v=

∆s ∆t

Når man skriver en formel, der kan bruges til at beregne positionen s til forskellige tidspunkter t, eller til at tegne grafer, taler man om, at formlen er en stedfunktion for bevægelsen. Graferne på figur 3 og 4 er således grafer for stedfunktioner for en bevægelse med konstant hastighed. Stedfunktionen kaldes også en (t , s) -graf, fordi tiden t er ud ad x-aksen, og positionen s er ud ad y-aksen. Grafer for stedfunktionen for en bevægelse med konstant hastighed er altid en ret linje. Omvendt ved man, at hvis grafen for en stedfunktion er en ret linje, er der tale om en bevægelse med konstant hastighed.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Eksempel 7 – konstant hastighed

Ved målinger på en motionsløber har man fundet følgende sammenhæng mellem tid og tilbagelagt strækning: Tid

Længde

0s 59 s 131 s 207 s 257 s 330 s

0m 200 m 400 m 600 m 800 m 1000 m

Tegner man med et IT-værktøj data ind i et koordinatsystem, kan man se, at punkterne med god tilnærmelse ligger på en ret linje med hældningen 3,10

s = 3,01

m ⋅t s

s (m) 1000 800 600 400 200 50

100

150

200

250

300

350

t (s)

Man kan konkludere, at løberen med god tilnærmelse bevæger sig med en konstant hastighed på

v = 3,10

m km km = 3,10 ⋅ 3,6 = 11,2 s h h

ØVELSE 7: Side 36

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Opsummering En bevægelse med konstant hastighed v er givet ved v=

∆s ∆t

hvor ∆s er den strækning, der tilbagelægges i tidsrummet ∆t . Enheden for hastighed er m/s. Positionen for en bevægelse med konstant hastighed kan beskrives med formlen

s = v ⋅ t + s0 hvor s0 er startpositionen, og grafen for stedfunktionen er en ret linje.

Bevægelse med konstant acceleration Som nævnt gælder formlerne i det foregående afsnit kun, når hastigheden er konstant, men det er den langt fra altid. En bil, der kører 100 km/h, har på et tidspunkt holdt stille og har også på et tidspunkt kørt 50 km/h. Når hastigheden ændres, kaldes det acceleration. Når en bil ændrer hastighed fra 0 km/h til 100 km/h, er det ikke kun interessant, hvor meget hastigheden ændrer sig, men også hvor hurtigt den ændrer sig. Jo kortere tid det tager at ændre hastigheden, jo større er accelerationen. Acceleration er derfor defineret som forholdet mellem hastighedsændring og den tid, ændringen tager: acceleration =

hastighedsændring tidsændring

Acceleration kan være forskellig på forskellige tidspunkter. Hvis man starter en bil stille og roligt, og derefter trykker speederen helt ned, vil accelerationen ændre sig, og størrelsen af accelerationen kan så afhænge af, hvor stort et tidsrum man bruger til at beregne den. Man taler derfor om en middelacceleration i løbet af det tidsrum, man måler på. Hvis hastigheden ændrer sig jævnt, så der altid er samme hastighedsændring i lige store tidsrum, siges accelerationen at være konstant. Vi vil i kapitel 8 se lidt på, hvordan man kan beskrive accelerationer, der ikke er konstante, men i resten af dette kapitel ser vi kun på bevægelser med konstant acceleration.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Bilen ovenfor har en hastighedsændring fra 0 km/h = 0 m/s til 100

km 100 m m = = 27,78 h 3,6 s s

Sker det f.eks. på 7,3 sekunder er accelerationen hastighedsændring 27,78 ms m = = 3,81 2 tidsændring 7,3 s s

Her ses det, at enheden for acceleration bliver m/s2, fordi (m/s) / s = m/s2. Da man bruger symbolet v for hastigheden, vil hastigheden på de to forskellige tidspunkter t1 og t 2 være v1 = 0 m/s og v2 = 27,78 m/s. Altså er hastighedsændringen ∆v ∆v = v2 − v1 = 27,78

m m m − 0 = 27,78 s s s

Vi bruger symbolet a for acceleration, og udregningerne ovenfor kan samles således: Acceleration

Accelerationen i tidsrummet ∆t = t 2 − t1 er givet ved a=

∆v ∆t

hvor ∆v = v2 − v1 er hastighedsændringen i tidsrummet. Accelerationen bestemt på denne måde kaldes også middelaccelerationen. Hvis bilen i stedet bremser og f.eks. ændrer hastighed fra 27,78 m/s til 20,00 m/s på to sekunder, kan vi beregne accelerationen til at være a= =

∆v v2 − v1 20,00 ms − 27,78 = = 2s ∆t ∆t −7,78 ms 2s

= −2,59

m s

m s2

Læg mærke til at accelerationen nu er negativ. Accelerationer kan altså både være positive og negative. En positiv acceleration giver en forøgelse af hastigheden, mens en negativ acceleration svarer til en opbremsning. 19

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Figur 5. Hastighed som funktion af tiden for tre forskellige bevægelser.

På figur 5 er vist tre forskellige grafer for hastigheden til forskellige tider for tre forskellige bevægelser. Graferne starter samme sted, men den grønne (punkterede) vokser hurtigst til at begynde med, men begynder senere at aftage. Den blå (stiplede) vokser derimod langsommere til at begynde med, men vokser derefter hurtigere og ender med den højeste hastighed. For både den blå og den grønne er accelerationen altså forskellig på forskellige tidspunkter. Hastigheden, der er beskrevet af den røde (fuldt optrukne) kurve, vokser derimod jævnt – hastigheden stiger lige meget for hvert sekund, der går. I resten af dette kapitel betragtes kun tilfælde, hvor hastigheden stiger jævnt. Dvs. at accelerationen ikke ændrer sig. Dette kaldes bevægelse med konstant acceleration. ØVELSE 8-9: Side 37

Frit fald Mange er af den opfattelse, at tunge ting falder hurtigere end lette, forstået på den måde, at hvis en mursten og en træklods af samme størrelse tabes fra samme højde, så vil murstenen ramme jorden først, fordi den er tungere end træklodsen. Det er imidlertid ikke korrekt. Det viser sig nemlig, at ting der falder frit, falder med samme acceleration uanset størrelse, masse, form osv. hvis man ser bort fra luftmodstand. Det kan man ofte tillade sig for tunge genstande eller for bevægelser, hvor hastigheden ikke er alt for stor. I kapitel 9 ser vi nærmere på luftmodstanden. 20

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Størrelsen af acceleration af en genstand, der falder, afhænger en lille smule af, hvor man er på Jorden, men i Danmark er den 9,82 m/s2. Man kalder denne specielle værdi af accelerationen for tyngdeacceleration og giver den symbolet g (der kommer af det latinske ord gravis, der betyder tung). Tyngdeaccelerationen i Danmark er, som nævnt g = 9,82

m s2

Vi så i sidste afsnit, at grafen for stedfunktionen for en bevægelse med konstant hastighed er en ret linje. Det samme er ikke tilfældet for en bevægelse med konstant acceleration. Grafen for stedfunktionen for en bevægelse med konstant acceleration viser sig at være af en særlig type, der kaldes en parabel. Man kan også sige, at stedfunktionen for en bevægelse med konstant acceleration er en parabel. Figur 6 viser grafen for højden (positionen) som funktion af tiden for en genstand, der falder fra fire meters højde.

s (m) 4 3 2 1 0,1

0,3

0,5

0,7

0,9 t (s)

Figur 6. Graf over højden som funktion af tiden for et frit fald fra fire meters højde.

For en bevægelse med konstant acceleration a kan positionen på forskellige tidspunkter t beskrives med en formel. Hvis starthastigheden er nul, som den f.eks. er, hvis man giver slip på en sten og lader den falde, og bevægelsen starter i positionen s0 , er formlen s = 12 a ⋅ t 2 + s0

For bevægelsen på figur 6, kan man f.eks. beregne positionen til tidspunktet t med udtrykket s = − 12 ⋅ 9,82

m 2 ⋅t + 4 m s2

der svarer til værdierne s0 = 4 m og a = − g = −9,82 m/s2. Læg mærke til, at accelerationen a nu er negativ. Det er den, fordi den er rettet nedad, mens positionen (eller højden) regnes positiv, fordi den er rettet opad. Når en acceleration er rettet samme vej som den positive retning, er accelerationen positiv. Omvendt er accelerationen negativ, når den er rettet modsat den positive retning.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Vi vil nu se på, hvordan bevægelsen ser ud, hvis starthastigheden er forskellig fra nul. Det svarer til at kaste i stedet for at slippe. Starthastigheden kaldes v0 , og med denne kan positionen beregnes: Konstant acceleration

I en bevægelse med konstant acceleration med accelerationen a og starthastigheden v0 kan positionen beregnes ved hjælp af stedfunktionen s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

hvor s0 er startpositionen.

s (m) 4

Formlen er udledt i Ekstra afsnit 1. Som et eksempel kan man betragte grafen på figur 7, der er beregnet ud fra formlen

3 2

s = − 12 ⋅ 9,82

1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 t (s) Figur 7. Graf over højden som funktion af tiden for et kast opad fra fire meters højde.

m 2 m ⋅t + 5 ⋅t + 4 m 2 s s

Dette svarer til en starthastighed på v0 = 5 m/s og en startposition s 0 = 4 m. Matematisk bemærkning:

Graferne på figur 6 og 7 er parabler. I matematik skrives parabler ofte som y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c

mens den fysiske formel er s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

De to formler er forskellige, men beskriver begge en parabel. I begge udtryk optræder symbolet a , men det betyder noget forskelligt i de to formler.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Det ses lettest ved at betragte eksempel 5, hvor s = − 12 ⋅ 9,82

m 2 m ⋅t + 5 ⋅t + 4 m 2 s s

Først og fremmes ses det, at i den matematiske formel er variablen x , mens den er t i den fysiske formel. Hvis man erstatter s med y , og t med x i den fysiske formel og fjerner enhederne og ganger 12 med 9,82 , får man y = −4,91⋅ x 2 + 5 ⋅ x + 4

Det svarer til det matematiske udtryk y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c

hvor a = −4,91, b = 5 og c = 4 . Her er det vigtigt at lægge mærke til, at betydningen af symbolet a er forskellig i de to udtryk. I det matematiske udtryk er a = −4,91 , men i det fysiske er a = −9,82 . Alligevel beskriver det samme kurve, når graferne indtegnes i et koordinatsystem. Bemærk også, at man i fysik altid sætter enhed på de størrelser, der indgår i et udtryk. Her er enhederne m/s2 , m/s og m , der svarer til hhv. acceleration, hastighed og længde (eller position). Hvis en størrelse indgår som et symbol, som f.eks. t gør her, sætter man ikke enhed på; den er indeholdt i betydningen af symbolet. Skal man bestemme hastigheden på et bestemt tidspunkt i en bevægelse med konstant acceleration, kan man isolere hastighedsændringen ∆v i udtrykket for accelerationen a=

∆v ⇔ ∆v = a ⋅∆t ∆t 23

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Hvis bevægelsen er startet med hastigheden v0, og på et senere tidspunkt har nået hastigheden v, må hastigheden siden starten have ændret sig med ∆v = v − v0

Indsættes det i den sidste ligning, får man v − v0 = a ⋅∆t ⇔ v = a ⋅∆t + v0

Da tiden regnes fra bevægelsens begyndelse, er t = ∆t , og vi kan derfor bestemme hastigheden på et givet tidspunkt t Hastighed ved konstant acceleration

I en bevægelse med konstant acceleration a er hastigheden til tiden t givet ved v = a ⋅ t + v0 hvor v0 er starthastigheden. Eksempel 8 – bil

En bil kører med en hastighed på 50 km/h = 13,89 m/s og accelererer i tre sekunder med en acceleration på a = 2,9 m/s2. Efter de tre sekunder har bilen en hastighed på v = a ⋅ t + v0 = 2,9

m m m km ⋅ 3 s + 13,89 = 22,59 = 81,3 2 s s h s

Eksempel 9 – fodbold

En fodbold sparkes i gang og ruller med en starthastighed på 3 m/s hen ad en græsplæne. Efter 5 sekunder ligger den stille, og hastigheden er 0 m/s. Hvis man antager, at accelerationen er konstant, kan den beregnes til at være ∆v a= = ∆t 24

m m −3 s s = −0,6 m 5s s2

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Efter et sekund kan hastigheden bestemmes til at være m m ⋅1 s + 3,0 2 s s m m m = −0,6 + 3,0 = 2, 4 s s s

v = a ⋅ t + v0 = −0,6

Grafen for dette udtryk er vist på figur 8, hvor det kan ses, at grafen for hastigheden som funktion af tiden giver en ret linje. v (m/s) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0,5

1.5

2,5

3.5

4.5

5 t (s)

Figur 8. Hastigheden som funktion af tiden for en trillende bold.

Når accelerationen nu kendes, kan længden af sparket beregnes ved at bruge formlen for position s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

De kendte værdier er a = −0,6 m/s2, v0 = 3,0 m/s og t = 5 s og ved at indsætte disse fås  m m 2 s = 12 ⋅−0,6 2  ⋅(5 s) + 3,0 ⋅ 5 s + 0 m  s s  = 7,5 m

I kapitel 8 kan du finde en grundigere gennemgang af både fysikken og matematikken bag beskrivelsen af både hastighed og acceleration. ØVELSE 10-11: Side 37

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Opsummering Den konstante acceleration a er givet ved acceleration =

hastighedsændring tidsændring

∆v ∆t

Enheden for acceleration er m/s2. Hastigheden for en bevægelse med konstant acceleration og starthastighed v0 kan til tiden t beskrives med v = a ⋅ t + v0

Positionen for en bevægelse med konstant hastighed med starthastighed v0 og startposition s0 er givet ved s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

Grafen for stedfunktionen er en parabel.

Newtons love De foregående to afsnit har handlet om, hvordan man kan beskrive en bevægelse, men ikke hvorfor bevægelsen er, som den er. Det krævede en af verdenshistoriens største fysikere at give en forklaring på det. I 1687 udgav Isaac Newton bogen, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, hvor han viste, at bevægelser kan forklares ud fra kræfter. Han opstillede her sine tre berømte love, der i en lidt forenklet form lyder: Newtons 1. lov: Et legeme, der ikke er påvirket af en kraft, vil enten ligge

stille eller bevæge sig langs en ret linje med konstant hastighed.

Newtons 2. lov: Et legeme, der er påvirket af en kraft, vil blive accele-

reret. Størrelsen af accelerationen afhænger både af, hvor stor kraften er, og af massen af legemet, der påvirkes. Sammenhængen er givet ved formlen F = m⋅a 26

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Newtons 3. lov: To legemer vil altid påvirke hinanden med lige store kræfter. Men i modsatte retninger.

For at forstå og bruge disse love er det selvfølgelig nødvendigt at vide, hvad en kraft er. Fra dagligdagen kendes mange eksempler på kræfter. En taske kan være tung at bære, fordi den er påvirket af tyngdekraften, og en cykel kan kræve, at man træder hårdt i pedalerne for at køre op ad bakke, eller en dør kan være svær at åbne, og man skal trække ekstra hårdt i den. Man bruger symbolet F for kraft, hvilket hænger sammen med det engelske ord for kraft, force. Kraftens størrelse måles i newton, der angives med et N. F.eks. er tyngdekraftens træk i et æble på ca. 1,3 N (alt efter æblets størrelse). Netop tyngdekraften er nok det bedst kendte eksempel på en kraft. Den har symbolet Ft , og dens størrelse kan beregnes med formlen: Tyngdekraft

Tyngdekraften på en genstand med massen m (målt i kg) er givet ved Ft = m ⋅ g

hvor g er tyngdeaccelerationen, der har størrelsen g = 9,82 m/s2 .

Eksempel 10 – tyngdekraft på et æble

Et æble, der vejer 130 g, vil være påvirket af en tyngdekraft på Ft = m ⋅ g = 0,130 kg ⋅ 9,82

m = 1,28 N s2

Man kan definere en kraft som en påvirkning, der har en størrelse og en retning. Tyngdekraften er altid rettet nedad mod jorden, men kræfter kan have alle mulige forskellige retninger. Når man skal analysere, hvilke kræfter der påvirker en genstand, er det ofte nyttigt at tegne en skitse, hvor kræfterne symboliseres med pile. Pilenes længde svarer til kraftens 27

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

størrelse, og pilens retning viser, hvilken retning kraften har, som illustreret på figur 9. Når man illustrerer kræfter på denne måde, taler man om, at man repræsenterer kraften som en vektor. I kapitel 8 og 9 vil vi se nærmere på, hvordan vektorer kan være nyttige til at foretage beregninger på mere komplicerede situationer. Ft Figur 9. Tyngdekraften på et æble.

ØVELSE 12-15: Side 38

Anvendelse af Newtons første lov – kraftligevægt Vi kan udlede et meget vigtigt princip ud fra Newtons første lov, der siger, at et legeme, der ikke er påvirket af en kraft, vil ligge stille eller bevæge sig med konstant hastighed. Men det omvendte gælder også, og det betyder, at hvis et legeme ligger stille, så må summen af kræfterne være nul.

Fhånd

Ft Figur 10. Kraftligevægt for en indkøbspose.

Holder man en indkøbspose i hånden, som vist på figur 10, vil den være påvirket af tyngdekraften Ft . Var posen kun påvirket af tyngdekraften, ville den falde ned. Da den ikke falder ned, må den være påvirket af endnu en kraft, der er lige så stor som tyngdekraften, men virker den modsatte vej. Denne kraft, Fhånd , kommer fra selve hånden, der holder posen. Man taler om, at der er en kraftligevægt. Posen er påvirket af flere kræfter, men de er lige store og virker hver sin vej, så de ophæver hinanden. Den samlede kraft er derfor nul. Det er dette princip, der gør, at man kan sidde på en stol uden at falde igennem den, hænge billeder op på væggen, uden de falder ned, bygge varmluftsballoner, der kan svæve, bygge huse, der ikke falder sammen, osv.

Anvendelse af Newtons anden lov – acceleration Som nævnt ovenfor siger Newtons 2. lov, at accelerationen af et legeme afhænger af kraftens størrelse og massen af legemet. Sammenhængen kan skrives som F = m⋅a

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Det vil sige, at hvis man kender kraften F og massen m, kan størrelsen af accelerationen beregnes ved at isolere a a=

F m

Eksempel 11 – acceleration af en sæk kartofler

En sæk kartofler på 10 kg vil være udsat for en tyngdekraft på Ft = m ⋅ g = 10 kg ⋅ 9,82

m = 98,2 N s2

Giver man slip på sækken, vil den falde nedad, og accelerationen vil være givet ved a=

98,2 N 10 kg

= 9,82

m s2

Denne acceleration har altså nøjagtig den samme størrelse som tyngdeaccelerationen g .

Som eksemplet viser, vil en sæk kartofler ifølge Newtons love falde med konstant acceleration. Dette gælder ikke kun for sækken med kartofler, men for alle legemer. Når tyngdekraften er den eneste kraft, der påvirker et legeme, er F = Ft og accelerationen

F Ft m ⋅ g = = =g m m m

Newtons store opdagelse var ikke, at ting falder med konstant acceleration, men at de gør det, fordi de er påvirket af en konstant kraft, som her er tyngdekraften. Bemærk, at Newtons første lov kan opfattes som et specialtilfælde af den anden lov. For hvis den samlede kraft er nul, vil accelerationen også være nul. Og når accelerationen er nul, er hastigheden konstant. Denne konstante hastighed kan evt. være nul, hvilket svarer til, at legemet ligger stille. 29

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Opsummering Newtons love beskriver sammenhængen mellem kraft og bevægelse. Kræfter betegnes med symbolet F og måles i enheden newton (N). I en lidt forenklet form er lovene: 1. lov: Et legeme, der ikke er påvirket af en kraft, vil bevæge sig langs en

ret linje med konstant hastighed eller ligge stille.

2. lov: Et legeme, der er påvirket af en kraft, vil blive accelereret, og sam-

menhængen mellem kraft og acceleration er F = m⋅a

3. lov: To legemer påvirker hinanden med kræfter, der er lige store, men har modsat retning.

Tyngdekraften ved jordens overflade på et legeme med massen m er givet ved Ft = m ⋅ a

hvor g = 9,82 m/s2 er tyngdeaccelerationen.

Densitet Som vi har set, afhænger tyngdekraften på et legeme af et dets masse. Tyngdekraften på 1 kg jern er den samme som tyngdekraften på 1 kg kork. Men 1 kg jern fylder langt mindre end 1 kg kork. Det skyldes, at der er forskel på materialerne. Man taler om, at materialerne har forskellig massefylde eller densitet. Jern har en højere densitet end kork. Det kan f.eks. ses ved, at kork kan flyde i vand, mens jern synker til bunds. Densiteten af et materiale defineres som forholdet mellem stoffets masse og dets volumen. Densiteten har symbolet ρ (det græske bogstav rho). Det kan opskrives som: Densitet

Densiteten af et materiale med massen m og rumfanget V er givet ved m ρ= V Enheden for densitet er kg / m 3. 30

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Ved at omskrive denne ligning kan man beregne massen af et objekt, hvis man kender densiteten og volumen, eller finde volumen, hvis man kender massen og densiteten. Tabel 3 viser densiteten for en række materialer. Materiale

Densitet [ kg / m3 ]

Kork

240 (omtrentlig værdi)

Jern

7870

Nikkel

8910

Aluminium

2700

Messing

8600

Bly

11340

Kobber

8930

Sølv

10500

Guld

19320

Uran

18800

Vandhanevand

1000

Havvand

1030

920

Ethanol (sprit)

790

Glycerol

1260

Atmosfærisk luft (tør)

1,29

CO2(kuldioxid)

1,98

Ilt

1,43

Jorden

5515 (gennemsnitsværdi)

Neutronstjerne

1.108

Tabel 3. Densitet for en række materialer.

Der benyttes forskellige enheder for densiteten, men oftest bruger man kg/m3 eller g/cm3. I tabel 3 er alle værdier angivet i kg/m3 . Det kan derfor være nødvendigt at kunne omregne mellem de to enheder 1

1000g kg 1000g g 1 = = = 3 3 3 1000 cm3 m 1m 1.000.000cm 31

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Så 1 kg/m3 = 1/1000 g/cm3, og det betyder, at 1 g/cm3 = 1000 kg/m3. Densiteten for jern kan derfor omregnes fra kg/m3 til enheden g/cm3 7870

kg g = 7,870 2 m cm3

Eksempel 12 – densitet af bolde

En bold lavet af skumgummi med radius r = 3,3cm har massen m = 6g . For at finde densiteten af skumgummien beregnes først boldens volumen. Volumen af en kugle er givet ved V = 43 ⋅π⋅ r 3

Dermed er boldens volumen V = 43 ⋅π⋅ (3,3cm)3 = 150,5cm3

Sammen med boldens masse indsættes dette i formlen for densitet 6g g kg = 0,04 = 40 3 ρskumgummi = 3 3 150,5 cm cm m ØVELSE 16-17: Side 38

EKSTRA AFSNIT 1

Udledning af formlen for konstant acceleration I det følgende udledes formlen, der beskriver en bevægelse med konstant acceleration s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

Vi starter dog med at se på en bevægelse med konstant hastighed v0 . Det er ganske enkelt at tegne en graf over hastigheden som funktion af tiden for sådan en bevægelse, se figur 11.

t Figur 11. Bevægelse med konstant hastighed.

Det, man skal lægge mærke til, er ikke så meget selve grafen, men derimod en vigtig sammenhæng mellem grafen og beregningen af, hvor langt man kommer, hvis man bevæger sig med samme hastighed v0 i et stykke tid ∆t . I løbet af denne tid vil man så tilbagelægge en strækning, der er ∆s = v0 ⋅∆t

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Det interessante er, at ∆t kan forstås som bredden af det rektangel, som grafen danner sammen med x -aksen. Hastigheden er konstant, så grafen er en vandret linje. Samtidig kan hastigheden v0 forstås som højden af det samme rektangel. Altså kan strækningen ∆s fortolkes som arealet af rektanglet – hvis man vel at mærke regner arealet med enhederne m/s og s, der giver m, når de ganges sammen. Dette resultat gælder også, selv om hastigheden ikke er konstant og derfor også for en bevægelse med konstant acceleration. Grafen for hastigheden som funktion af tiden er nu en ret linje, men den er ikke længere vandret. For at finde den strækning, der tilbagelægges i løbet af tiden ∆t, skal man stadig finde arealet under grafen. Dette areal er nu sammensat af et rektangel og en retvinklet trekant. Rektanglet kender vi stadig størrelsen af, den er Arektangel = v0 ⋅∆t. Arealet af trekanten er en halv gange højden gange grundlinjen. Grundlinjen er ∆t , og højden af trekanten svarer netop til hastighedsændringen, der er

v v0 v0

Figur 12. Konstant hastighed, areal under grafen.

v ∆v = a.∆t v0 v0

∆v = a ⋅∆t

Trekanten har derfor arealet Atrekant =

1 ⋅∆v ⋅∆t 2

∆t

1 ⋅ a ⋅∆t 2 2

∆t

Figur 13. Konstant acceleration, areal under grafen.

Det samlede areal er så Atrekant + Arektangel = 21 ⋅ a ⋅∆t 2 + v0 ⋅∆t

Det vil sige, at ∆s = 12 ⋅ a ⋅∆t 2 + v0 ⋅∆t

Hvis bevægelsen starter til tiden t = 0 vil ∆t = t − 0 s eller blot ∆t = t. Så til tiden t er der tilbagelagt strækningen ∆s = s − s0 , og derfor er s = ∆s + s0 . Vi kan derfor skrive positionen som s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0 .

Dermed har vi vist formlen for positionen som funktion af tiden for en bevægelse med konstant acceleration. 33

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

EKSTRA AFSNIT 2

En hjælpesætning Vi vil her vise, hvordan man ved en matematisk analyse kan udlede en hjælpesætning, der i nogle tilfælde kan gøre løsningen af et problem nemmere. Ønsker man at kende hastigheden for en bevægelse med konstant acceleration, når der er tilbagelagt en bestemt strækning, kan det gøres ved først at bestemme, hvor lang tid det tager at bevæge sig denne strækning, ved at isolere tiden t i stedfunktionen s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

og derefter bruge denne tid til at bestemme, hvad hastigheden er ved hjælp af v = a ⋅ t + v0 Vi vil nu vise styrken ved en matematisk analyse ved at udlede en hjælpesætning, der kan give hastigheden direkte uden først at skulle beregne tiden. Første trin i udledningen er at isolere tiden t v = a ⋅ t + v0 ⇔ t =

v − v0 a

Nu indsættes t i udtrykket for stedfunktionen, og ved brug af en række matematiske regneregler kan udtrykket reduceres

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

 v − v0 2 v − v0 s = ⋅ a ⋅  + v0 ⋅ + s0  a  a 1 2

= ⋅a ⋅ 1 2

= 12 ⋅

(v − v0 ) a

v0 ⋅ (v − v0 ) + s0 a

v 2 + v02 − 2 ⋅ v ⋅ v0 1 2 ⋅ (v0 ⋅ v − v02 ) +2⋅ + s0 a a

v 2 + v02 − 2 ⋅ v ⋅ v0 2 ⋅ (v0 ⋅ v − v02 ) + + s0 2a 2a

v 2 + v02 − 2 ⋅ v ⋅ v0 2 ⋅ v0 ⋅ v − 2 ⋅ v02 + + s0 2a 2a

v 2 + v02 − 2 ⋅ v ⋅ v0 + 2 ⋅ v0 ⋅ v − 2 ⋅ v02 + s0 2a

v 2 − v02 + s0 2a

Vi ender med et udryk, der kan omskrives til s − s0 =

v 2 − v02 2⋅a

Ønsker man f.eks. at bestemme hastigheden v , efter at der er tilbagelagt en strækning på s − s0 , kan det gøres ved at isolere v i dette udtryk v = 2 ⋅ a ⋅ (s − s0 ) + v02

Hjælpesætningen kan også bruges til at bestemme accelerationen a , hvis v og v0 og strækningen s − s0 er kendte a=

v 2 − v02 2 ⋅ ( s − s0 )

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

ØVELSER

Øvelse 1

I eksempel 3 så vi på en tomatplante, der voksede 12 cm på 10 døgn. Brug princippet fra omregningen af km/h til først at omregne tomatplantens væksthastighed fra centimeter pr. døgn til meter pr. sekund og derfra til kilometer i timen. Øvelse 2

Vurder (evt. ud fra målinger) hvor lang tid det tager at kravle, gå og løbe forskellige strækninger, og beregn de tilsvarende hastigheder både i m/s og i km/h. Øvelse 3

Bussen kører mellem Holbæk og Nykøbing Sj. Det er en tur på ca. 50 km, og det tager, ifølge køreplanen, 47 minutter. Hvilken gennemsnitshastighed kører bussen med? Øvelse 4

Den gennemsnitlige afstand fra Solen til Jorden er 149,6 millioner km, og lysets hastighed i det tomme rum er c = 3 ⋅108 m/s . Hvor lang tid tager det for lyset at komme fra Solen til Jorden? Øvelse 5

Stjernen Sirius befinder sig 8,8 lysår fra Jorden. a) Hvor langt væk befinder Sirius sig regnet i meter? b) Hvor lang tid tager det for lyset at rejse fra Sirius til Jorden? Øvelse 6

Lyset fra Proxima Centauri er 4,2 år undervejs på sin vej mod Jorden. Beregn, hvor langt væk Proxima Centauri befinder sig målt i hhv. lysår og meter. Øvelse 7

En biolog har målt på, hvordan en myre bevæger sig, og har registreret, hvor langt den er kommet på forskellige tidspunkter.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Resultaterne fremgår af denne tabel: Tid [s] Strækning [m]

0,0 0,0

1,0 0,07

2,0 0,15

3,0 0,25

4,0 0,33

5,0 0,39

6,0 0,50

7,0 0,55

Brug et IT-værktøj til at undersøge, om der er tale om en bevægelse med konstant hastighed, og bestem i givet fald hastigheden, som myren bevæger sig med. Øvelse 8

En bil holder stille, men begynder så at accelerere med en acceleration på 2,5 m/s2 . a) Hvilken hastighed har bilen efter 3, 5 og 6 sekunder? b) Hvor længe går der, før bilen når en hastighed på 100 km/h? Øvelse 9

En cyklist kører med en hastighed på 25 km/h og bremser, så cyklen holder stille. Opbremsningen varer 1,6 s. a) Hvad er accelerationen? b) Beregn hastigheden 0,4 s, 0,8 s og 1,2 sekund efter, opbremsningen er startet, og tegn en graf af hastigheden som funktion af tiden. Øvelse 10

Under et byggeri taber en kran nogle metalbjælker fra en højde af 60 meter. a) Beregn, hvor lang tid det tager fra kranen taber bjælkerne, til de rammer jorden. b) Med hvilken hastighed rammer bjælkerne jorden? Øvelse 11

Det Skæve Tårn i Pisa er 55,86 meter højt på sin laveste side. Den italienske videnskabsmand Galileo Galilei påstås at have kastet kugler ud fra tårnet i 1589-92 og dermed opdaget, at tunge og lette objekter falder med samme fart. a) Bestem den tid t1 det vil det tage et objekt at falde til jorden fra den halve højde af tårnet. 37

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

b) Bestem den tid t 2 det vil tage objektet at falde hele vejen ned fra toppen. t2 c) Beregn forholdet 22 . Kan du forklare den værdi, du får? t1 Øvelse 12

Beregn tyngdekraften på dig selv. Øvelse 13

Overvej, hvad en ært, en blyant, din skoletaske og en elefant vejer, og beregn tyngdekraften på dem. Øvelse 14

Med en kraftmåler måles tyngdekraften på et lod til 1,94 N. Hvad er massen af loddet? Øvelse 15

Et net med citroner, der er lige store, hænges op i en kraftmåler. Kraftmåleren viser 12,7 N. Beregn massen af nettet med citroner. En enkelt citron falder ud af nettet, og kraftmåleren viser nu 10,2 N. Hvor mange citroner var der oprindeligt i nettet? Øvelse 16

Jorden kan med god tilnærmelse betragtes som kugleformet med en radius på 6370 km. Jordens masse er 5,974 ⋅1024 kg . Beregn Jordens gennemsnitlige densitet. Øvelse 17

Et lod har et rumfang på 23,3 cm3 . Hænges loddet op i en kraftmåler, viser den 1,96 N. Beregn loddets densitet. Hvilket materiale kan loddet være lavet af?

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Opgave 1

OPGAVER

Vi ser på tre forskellige bevægelser: a) Verdens hurtigste fugl, den hvidbrystede tornhalesejler, kan flyve med en hastighed på 171 km/h. Hvad svarer dette til målt i meter pr. sekund? b) En æselpingvin kan svømme med 9,773 m/s. Hvilken hastighed er det målt i kilometer i timen? c) En motionsløber tilbagelægger en maratonstrækning på 42,195 km med en gennemsnitlig hastighed på 12,3 km/h. Hvor lang tid tager løbeturen? Opgave 2

Et pindsvin har en tophastighed på 10 km/h over korte afstande. Hvis pindsvinet skal krydse en vej - og det antages, at det løber så hurtigt, det kan, hele vejen – hvor bred er vejen så, hvis det tager pindsvinet 2,9 s at komme over? Opgave 3

Lyden bevæger sig med hastigheden 343 m/s i luft ved 20°C . Hvor langt væk er et lyn, hvis der går 5 sekunder, fra lysglimtet ses, til tordenen høres? Opgave 4

En cyklist kører med en hastighed på 23 km/h. a) Hvad er SI-enheden for hastigheden? b) Hvor langt bevæger cyklisten sig pr. minut? c) Hvad er hastigheden omregnet til enheden m/s? d) Hvor mange kilometer når cyklisten at tilbagelægge i løbet af 24 minutter? Opgave 5

En cyklist skal cykle en strækning på i alt 35 km. Interval 1 er de første 19 km, som tilbagelægges med en gennemsnitlig hastighed på 29,2 km/h. Interval 2 er de næste 9 km, hvor der cykles i gennemsnit 24 km/h, og de sidste 7 km, der er interval 3, er gennemsnitshastigheden 19,5 km/h. a) Beregn, hvor lang tid cyklisten bruger på hver af de 3 intervaller. b) Beregn, hvor lang tid hele turen tager. 39

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

c) Indtegn i et koordinatsystem strækningen som funktion af tiden, altså en (t , s) -graf (dvs. du har strækningen s på y-aksen og tiden t på x-aksen) d) Beregn gennemsnitshastigheden for hele strækningen. Opgave 6

En hvidbrystet tornhalesejler og en beostær, der flyver med hhv. 171 km/h og 7,2 km/h, udfordrer en æselpingvin, der kan svømme med 35 km/h, og en leopard, der løber med 100 km/h, til en stafet. Hver deltager bevæger sig en strækning på 5 km. Tornhalesejleren og beostæren udgør det ene hold, mens æselpingvinen og leoparden danner det andet hold. a) Hvilket hold tror du vinder? b) Beregn, hvor lang tid de to hold hver er om at tilbagelægge de 10 km. Opgave 7

To traktorer er 10 km fra hinanden. De bevæger sig mod hinanden. Den ene med en hastighed v1 = 20 km/h og den anden med en hastighed på v2 = 10 km/h . Hvor mødes de? Opgave 8

De to traktorer fra opgave 7 er nu 15 km fra hinanden. De bevæger sig mod hinanden, og den ene kører med en hastighed på v1 = 18 km/h . Traktorerne mødes, når traktor 1 har kørt 8,5 km. Hvor hurtigt kører traktor 2? Hvor lang tid går der før traktorerne mødes? Opgave 9

En cyklist kører først i 9 minutter med en hastighed på 27 km/h og derefter i 30 minutter med en hastighed på 36 km/h. a) Hvad er gennemsnitshastigheden? b) Prøv at gentage beregningerne med brug af symboler og se, om du kan finde frem til en generel formel, der kan bruges til at beregne gennemsnitshastigheden i situationer som denne. En anden cyklist kører først 9 km med en hastighed på 27 km/h og derefter 18 km med en hastighed på 36 km/h.

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

c) Hvad er gennemsnitshastigheden? d) Prøv at gentage beregningerne med brug af symboler og se, om du kan finde frem til en generel formel, der kan bruges til at beregne gennemsnitshastigheden i situationer som denne. e) Sammenlign de to formler, du har fundet i spørgsmål b og d, og undersøg, om de giver de samme resultater. Opgave 10

En murer taber en mursten fra en højde af 6 meter. a) Hvor stor er murstenens hastighed lige inden, den rammer jorden? b) En to meter høj mand står der, hvor murstenen skal falde. Hvor lang tid har han til at flytte sig? Opgave 11

Et barn kaster en bold lige op i luften med en starthastighed på 5 m/s. a) Hvor lang tid går der, før bolden når sit toppunkt? b) Hvor højt kommer bolden i forhold til startpunktet? Opgave 12

En dreng har set en flue sidde på loftet direkte over sit hoved og beslutter sig for at prøve at ramme fluen med en bold. Der er 3 m fra drengens hånd og til loftet. a) Hvor hårdt skal drengen kaste bolden lodret op for, at den lige præcis berører loftet, inden den falder ned igen? b) Hvor lang tid har fluen til at flytte sig i? Opgave 13

En bil kører med 60 km/h imod et lyskryds. Lyset skifter til rødt, og føreren af bilen bremser. Fra opbremsningen starter, til bilen står stille, går der 4 sekunder. a) Hvor stor er den acceleration bilen bremser med? b) Hvor lang en bremselængde har bilen behov for ved denne hastighed?

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

Opgave 14

En bus kører med 52 km/h. Den bremser pludselig med en acceleration på −2 m/s2. Inde i bussen står en person på sit skateboard 6 m fra forruden. Da bussen begynder at bremse, ruller skateboardet fremad. Personen når hverken at bremse eller at gribe fat i noget. a) Hvilken acceleration får personen på skateboardet i forhold til bussen, når bussen begynder at bremse? (Der ses bort fra evt. gnidningsmodstand) b) Beregn, hvilken hastighed personen rammer forruden med. c) Hvor langt kører bussen, inden den står stille? d) Hvor lang tid tager bussens opbremsning? Opgave 15

En motorcykellist har en hastighed på 15 m/s, da der skal accelereres i en overhaling. Accelerationen er 3,6 m/s2 . a) Hvad er motorcyklistens hastighed efter de 6 s, accelerationen står på? b) Hvor lang en strækning har motorcyklisten tilbagelagt i løbet af de 6 s? Motorcyklisten skal efter endt overhaling bremse ned til en hastighed på 110 km/h på en 90 m lang strækning. c) Hvor stor en acceleration skal der bremses med? d) Hvor lang tid tager denne nedbremsning? e) Lav en (t , v ) -graf med et IT-værktøj, når det antages, at motorcyklisten kører med den konstante hastighed 5 m/s i de første 5 s og igen med konstant hastighed 110 km/h i 5 s efter nedbremsningen. Opgave 16

Forestil dig, at du står på toppen af Det Skæve Tårn i Pisa med to kugler med en radius r = 8, 42 cm og masse m = 5,00 kg . a) Beregn kuglernes densitet. En af kuglerne falder frit fra en højde på 56,6 m. b) Hvor lang er kuglens faldtid, hvis der ses bort fra luftmodstand? c) Hvilken hastighed vil kuglen have lige inden den rammer jorden, hvis der ses bort fra luftmodstand? 42

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

BEVÆGELSE

KAPITELOPSAMLING

SI-systemet Fysisk størrelse

Enhed

Symbol

Længde

meter

Masse

kilogram

Tid

sekund

Elektrisk strøm ampere

Temperatur

kelvin

Stofmængde

mol

Lysstyrke

candela

Middelhastigheden v i tidsrummet ∆t v=

∆s ∆t

Bevægelse med konstant hastighed v s = v ⋅ t + s0

Middelacceleration i tidsrummet ∆t a=

∆v ∆t

Ved en bevægelse med konstant acceleration a er stedfunktionen givet ved >

FYSIKBOGEN / 1 ; BEVÆGELSE

s = 12 a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0

hvor v0 er starthastigheden, og s0 er startpositionen. Hastigheden til tiden t er givet ved v = a ⋅ t + v0 Tyngdeaccelerationen i Danmark er m s2 For en bevægelse med konstant acceleration, hvor v0 er starthastighed, og s0 er startposition, gælder denne hjælpesætning g = 9,82

s − s0 =

v 2 − v02 2⋅a

Newtons love: 1. lov: Et legeme, der ikke er påvirket af en kraft, vil enten ligge stille

eller bevæge sig langs en ret linje med konstant hastighed.

2. lov: Et legeme, der er påvirket af en kraft, vil blive accelereret.

Størrelsen af acceleration afhænger både af, hvor stor kraften er og af massen af legemet, der påvirkes. Sammenhængen er givet ved formlen F = m⋅a

3. lov: To legemer vil altid påvirke hinanden med lige store kræfter.

Men i modsatte retninger.

Tyngdekraften på et legeme med massen m er givet ved Ft = m ⋅ g

Densiteten af et materiale er forholdet mellem masse og rumfang m ρ= V

Morten Stoklund Larsen

Bogen er skrevet, så den kan anvendes efter læreplanen i fysik B for HTX. Bogen

Fysikbogen

Fysikbogen er en systematisk fremstilling af fysik-fagets teoretiske grundlag.

Anne Handberg Pedersen

Fysikbogen

Morten Stoklund Larsen Praxis — Nyt Teknisk Forlag

ISBN 978-87-571-2910-6

978-87-571-2910-6

praxis.dk

varenr. 91003-1

Anne Handberg Pedersen

Fysikbogen