Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educación Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física
Física 1 Estática MSc. Franklin Molina J.
Física 1 Estática AUTOR: MSc. Franklin Molina J. Docente de la Universidad Central del Ecuador Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física. Editorial: Molina Año: 2020
DERECHOS RESERVADOS. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro por ningún medio: electrónico, mecánico u otros métodos; sin la autorización previa y por escrito de los autores. ISBN: DERECHOS DE AUTOR: Diseño: Franklin Molina Cacha y Pasaje 1 femolina@uce.edu.ec
Quito - Ecuador
UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
EQUILIBRIO TRASLACIONAL Y ROTACIONAL EQUILIBRIO TRASLACIONAL Arquímedes en la Grecia antigua ya hablaba de la estática, quien enunció la Ley del equilibrio de la Palanca, posteriormente las ideas generales que hasta la fecha las estudiamos fueron dadas por Newtón.
FUERZA. – Es el empuje o el tirón que se ejerce sobre un cuerpo que es capaz de deformar o hacer variar su estado de reposo o movimiento. Esta fuerza que es una cantidad física de tipo vectorial permite determinar el grado de interacción que se puede dar entre dos cuerpos o partículas elementos de la naturaleza en la cual nosotros habitamos.
Una de las ramas de la física es la mecánica la que se divide en la cinemática y en la dinámica. La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. La dinámica estudia las causas que originan el reposo o movimiento de los cuerpos. La estática constituye parte de la dinámica.
LA ESTÁTICA Es una parte de la dinámica que estudia las leyes y condiciones que deben tener los cuerpos para estar en un estado de equilibrio. La estática que se deriva del griego STATIKOS ( reposo) para su mejor estudio se la subdivide en estática del equilibrio traslacional y estática del equilibrio rotacional.
ESTÁTICA DEL EQUILIBRIO TRASLACIONAL Estudia las causas que permiten que un cuerpo no se mueva cuando se encuentra bajo la acción de varias fuerzas ya que estas están en equilibrio. La estática del equilibrio traslacional también considera los casos en que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento sea nulo ( igual a cero ) y el cuerpo siga moviéndose bajo la acción de un movimiento rectilíneo uniforme.
A partir de este análisis se puede establecer que existe en la naturaleza una magnitud que puede causar el movimiento o el reposo de un objeto el cual recibe el nombre de FUERZA.
LAS FUERZAS FUNDAMENTALES. Todas las interacciones que se pueden dar en la naturaleza se compilan en cuatro tipos de fuerzas. FUERZA GRAVITACIONAL: es la atracción entre dos cuerpos a causa de sus masas ( propiedad intrínseca de la materia ) que se analiza en la teoría de la gravitación Universal propuesta por Newton. FUERZA ELECTROMAGNÉTICA: se produce por un cuerpo cargado eléctricamente, el cual cuando esta en reposo genera una fuerza eléctrica y cuando esta en movimiento genera una fuerza magnética. FUERZA NUCLEAR FUERTE: esta interacción mantiene unidos los protones y neutrones en el núcleo atómico. FUERZA NUCLEAR DÉBIL: esta interacción permite la separación del núcleo atómico y se la percibe a través de la radiación.
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
FUERZAS PARALELAS. UNIDADES DE LA FUERZA.
Las unidades de fuerza en el sistema internacional es el Newton ( N ) que equivale a un kg.m/s2.
Son fuerzas que actúan en un mismo plano de acción y que nunca llegan a ser concurrentes. Para encontrar la resultante de las fuerzas paralelas utilizamos la Ley de Stevin
Otras unidades son : lbf, kgf, dinas
RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS
Factores de conversión :
Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas paralelas, la resultante tendrá el valor igual a la suma de ello, con su línea de acción también paralela a las fuerzas, y su punto de aplicación debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las componentes. Analizaremos dos casos:
1N = 10 5 dinas. 1lbf = 4,448 N = 32,17 poundals. 1 kgf = 9,8 N. 1 utm = 9,8 kgf.
DIMENSIONES. F = kg .m ; F = [ M . L ] ; F = [ M.L. T -2 ] s2 T2
COMPOSICION DE FUERZAS Como ya se dijo la fuerza es una magnitud vectorial, y para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas no basta con sumarlas vectorialmente, es necesario también considerar el punto de aplicación de la resultante, dado que dos fuerzas iguales no siempre producen los mismos efectos.
1. FUERZAS PARALELAS Y DEL MISMO SENTIDO. Esta interacción obedece a la Ley de Stevin y establece que su punto de aplicación está situado en un punto que divide a la recta que une las fuerzas en segmentos inversamente proporcionales. A
O
B F2
F1
FR
FUERZAS CONCURRENTES. Son las fuerzas que tienen un mismo punto de origen. El cual recibe el nombre de punto de concurrencia de las fuerzas.
F1 x AO = F2 x BO F1 B0 F1 B0 F1 B0
=
F2 A0 =
F2 A0
=
F2 A0
= F1 + F2 . = FR B0 + A0 AB = FR AB
FUERZAS COLINEALES. Son todas las fuerzas que actúan en una misma línea de acción. La fuerza resultante también actúa en la misma línea de acción F1
F2
FR = F1+F2
Para encontrar el punto donde se aplica la resultante de estas dos fuerzas se puede utilizar dos métodos: analítico y gráfico. En el método analítico primero se encuentra la fuerza resultante y luego se la remplaza en la ecuación de Stevin. En el método gráfico se traza una de las fuerzas sobre la otra en el mismo sentido obteniendo la fuerza dos prima, a partir del origen de la segunda fuerza trazamos una paralela de la primera fuerza
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pero de sentido contrario obteniendo la fuerza uno prima, luego se une la saeta de la prolongación de la fuerza uno prima con la saeta de la fuerza dos prima y en el punto donde corta este segmento con la línea base se grafica la resultante.
FR = -150 N Método analítico a) FR = F1 + F2 FR = - 100 + ( -50 ) FR = -150
Ejercicios para realizar con el maestro. 1. Utilizando el método analítico y el gráfico calcular la fuerza resultante y el punto de aplicación que se produce por la acción de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido si F1 = 40 N y F2 = 20 N sobre una barra de 4 m de longitud y de peso despreciable. Método gráfico: FR = 60 N
F2 = FR A0 AB AO = F2.AB ; AO = -50N.(30cm) FR -150 N AO = 10 cm. Ejercicios para realizar en el aula.
F1
1.
Determinar la resultante de dos fuerzas paralelas del mismo sentido de 120 N y 60 N , separadas 60 cm por medio del método grafico y analítico.
2.
Resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido tiene un valor de 120 kgf y está ubicado a 20 cm y 0, 60 m de las componentes. Hallar el módulo de las componentes.
F1´ 2,67 m
F2´ A
F2 B
0
F1´ Método analítico:
Ejercicios para la tarea Nº 1
a) FR = F1 + F2 FR = 40N + 20 N FR = 60 N b)
F1 B0
=
1. Calcular la resultante de dos fuerzas paralelas de - 140 kgf y - 180 kgf del mismo sentido y separadas 80 cm utilizando los dos métodos estudiados.
FR AB
2. La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido tiene un valor de 60 N. Si una de las componentes tiene un valor de 36 N y está a 40 cm de la resultante. ¿Cuál es el valor de la otra componente y a que distancia de la resultante se encuentra?
BO = F1 . AB ; BO = 40N.4m FR 60N BO = 2,67 m 2.
Calcular la fuerza resultante de dos fuerzas paralelas de – 100 N y - 50 N del mismo sentido y separadas 30 cm. Resolver utilizando el método gráfico y analítico. Método gráfico F1´
A
O F2´ 10cm
F1
B F2
2. FUERZAS PARALELAS Y DE SENTIDO CONTRARIO. En este caso sucede algo similar al anterior, en el cual se aplica la ley de Stevin, para encontrar la resultante. Para el método analítico se debe restar las fuerzas, para determinar la resultante y luego determinar su punto de aplicación que esta situado en un punto que divide a la recta que une las fuerzas en segmentos inversamente proporcionales a las fuerzas.
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En el método gráfico trazamos a partir del punto de origen de la primera fuerza una paralela a la segunda fuerza con un mismo sentido y graficamos una fuerza dos prima, luego a partir del punto de origen de la segunda fuerza trazamos una paralela a la primera fuerza, pero con sentido contrario y construimos una fuerza uno prima. Después se traza una línea uniendo los extremos de la fuerza uno y dos prima, el punto en que la línea corta la prolongación de la barra, es el punto de aplicación de la resultante.
Método analítico: e) FR = F1 + F2 FR = 100kgf + ( -200 kgf ) FR = -100 kgf f)
( El signo menos indica que está a la izquierda de O )
Ejercicios para realizar en el aula.
Método Gráfico.
1. Calcular la resultante de dos fuerzas paralelas de - 120 kgf y 160 kgf de sentido contrario , separadas 100 cm.
F1´ F2´
F2
A
B
O
2. La resultante de dos fuerzas paralelas de diferente sentido tiene un valor de 30 N y la distancia a cada una de las componentes es de 0, 16 m y 40 cm. Hallar el módulo de las fuerzas.
3m FR = -10 N F1 Método analítico:
Ejercicios para la tarea Nº 2
c) FR = F1 + F2 FR = -30N + 20 N FR = -10 N =
FR AB
BO = - 40 cm
1. Determinar la resultante y el punto de aplicación de dos fuerzas paralelas y de sentido contrario que actúan sobre una barra de 2 m de longitud y de peso despreciable si F1 = - 30 N y F2 = 20 N.
F1 B0
=
BO = F1 . AB ; BO = 100kgf 40cm FR -100kgf
Ejercicios para realizar con el maestro.
d)
F1 B0
1. Calcular la resultante de dos fuerzas paralelas de sentido contrario de 30 lbf y 15 lbf, que se encuentran separadas 40 pulgadas.
FR AB
2. Una de las fuerzas paralelas y de sentido contrario es de -40 N. La resultante se encuentra a 0,50 cm de esta fuerza. Calcular el valor de la otra fuerza que actúa si la barra tiene una longitud de 2 m.
BO = F1 . AB ; BO = -30N.2m FR 20N BO = - 3 m ( El signo menos indica que está a la izquierda de B ) 2. Sobre una barra actúan dos fuerzas paralelas y de sentido contrario F1 = 100 kgf ; F2 =- 200 kgf y separadas 40 cm. Calcular la resultante y el punto de aplicación utilizando el método gráfico y analítico. F2´ F1´ F1 A
B
TIPOS DE FUERZAS QUE SE PRESENTAN EN LA NATURALEZA. En todas las actividades que el hombre realiza se puede observar la existencia de las siguientes fuerzas que analizamos a continuación. 1.
EL PESO ( P ) Es la fuerza gravitacional con la que la Tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentran sobre su superficie. Esta dirigida hacia el centro del planeta. Para todo objeto que esta sobre la superficie terrestre esta fuerza es vertical dirigida hacia abajo y es decir perpendicular a la superficie terrestre.
O FR
El peso es una fuerza que todo objeto la posee aunque no esté en contacto con la superficie terrestre.
F2 _________________________________________________________________________________________________________ 100 Física I MSc. Franklin Molina & Otros.
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m = 60 kg g = 9,8 m/s2 El peso del estudiante será: P = m.g P = 60 kg. 9,8 m/s2 P = 588 N
El valor del peso de un cuerpo esta en función de su masa y de la aceleración de la gravedad del planeta o satélite. P = m . g
P P P P
2. ¿Si el estudiante lograra ir a la Luna llevando la balanza, que le marcaría la balanza ? La balanza es un instrumento fabricado para medir masas por tal razón, esta se ubicaría en la cantidad de 60 kg. 3. ¿Cuál sería el instrumento que le serviría al estudiante para medir el peso sobre la Luna y cuanto le marcaría en donde la aceleración de la gravedad es igual a la sexta parte del de la Tierra?
P
El instrumento adecuado para medir pesos es el dinamómetro ( mide en Dinas) y el newtómetro ( mide en Newton )
P
El peso es la fuerza que hace que todos los cuerpos al caer tengan siempre la dirección hacia el centro de la Tierra. Los términos de masa y peso se confunden muy a menudo, pero es importante distinguirlos y diferenciarlos. LA MASA Es una cantidad escalar y es una propiedad inherente de un cuerpo. Se la considera como la cantidad de materia que forma a un cuerpo, la cual es constante en cualquier parte del universo. EL PESO Es una cantidad vectorial y es una fuerza de la gravedad que actúa sobre el cuerpo que está en función del radio del planeta. Es así que el peso de un objeto tendrá pequeñas variaciones de un lugar a otro. Por lo que se puede afirmar que el peso de un cuerpo es mayor en los polos de la Tierra ( g = 9,82 m/s2 ) que en el ecuador ( g = 9,77 m/s2 ).
El peso del estudiante sería Si gL = 1/6 gT ; gL = 1/6 ( 9,8 m/s2 ) gL = 1,63 m/s2 P = m.g P = 60 kg. 1,63 m/s2 P = 98 N 4. Ahora el estudiante de física se traslada a un planeta desconocido donde el newtómetro marca 300 N . ¿Cuál será la aceleración de la gravedad g en este planeta? Se sabe que: P = 300N m = 60 kg Entonces la aceleración de la gravedad es:
Otra forma de diferenciarlos es en las unidades ya que la masa está dada en gramos, kilogramos, mientras el peso en Newton, dinas kgf, etc. Ejercicios para realizar con el maestro. 1. ¿Cuál es el peso de un estudiante de física el cual al subirse sobre una balanza que tenía en su casa, esta le marca 60 kg ? Se sabe :
P = m.g ; g = P¸ ; g = 300 N ; g = 5 m/s2 m 60 kg Ejercicios para la tarea Nº 3 1.
¿Cuál es la masa de un cuerpo que en la Tierra tiene un peso de 200 N ?
2.
¿Cuál es la relación entre los pesos de un cuerpo cuando se encuentra en la Tierra y en otro planeta, si la gravedad de este planeta es igual a 4 veces el de la Tierra?
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3.
2.
Determinar el peso de un quintal de azúcar en los polos y en el ecuador e indicar su diferencia.
LA NORMAL. ( N ) Es una fuerza que aparece cuando dos cuerpos están en contacto y tiene una dirección perpendicular a la superficie en contacto. N N
Ventajas de la fricción:
N
N N
•
Sin la fricción una persona no podría caminar, un auto no podría avanzar.
En ocasiones se da que el peso es igual a la fuerza normal , pero no significan que estén relacionadas.
La fuerza de rozamiento se opone al deslizamiento de las superficies en contacto , las plantas de los pies de la persona se deslizan hacia atrás y permiten que la persona se mueva a la derecha.
P N
• 3.
FUERZA DE FRICCION. ( fr ). Llamada también fuerza de rozamiento, se genera cuando dos superficies están en contacto y una de ellas se mueve con relación a la otra. Su dirección es tangente a la superficie de contacto y su sentido es el opuesto al movimiento relativo.
mov
Desventajas de la fricción. • • •
mov F fr
Sin fricción los clavos y tornillos serían inútiles, pues se saldrían de las superficies.
La fricción disminuye la eficiencia de los mecanismos mecánicos, ya que requiere de fuerzas adicionales para vencerlas. La fricción hace que se calientes las superficies en contacto siendo perjudicial para algunos mecanismos mecánicos. La fricción hace que se desgasten las máquinas, acortando la vida útil de estas. Por ejemplo: ejes, ruedas, cadenas, engranajes, zapatos ropa.
fr La fuerza de rozamiento puede ser estática si los cuerpos en contacto tienden a moverse y fuerza de rozamiento dinámica o cinético si estos se mueven. A simple vista una superficie parece ser liza, pero al ser observada con un microscopio se puede mirar que es rugosa y al estar en contacto con otra superficie se crea la fuerza de rozamiento entre los cuerpos.
El valor de la fuerza de rozamiento estático máximo esta dado por: fre = μe . N donde : μe = coeficiente de rozamiento estático N = fuerza normal entre los cuerpos en contacto.
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El valor del coeficiente de rozamiento puede variar entre cero y el valor del coeficiente de rozamiento de la fuerza de rozamiento máximo. 0<µ<1 Cuando un cuerpo se mueve con una rapidez constante en relación al otro y están en contacto aparece la fuerza de rozamiento cinético el cual esta dado por: frc = μc . N donde : μc = coeficiente de rozamiento cinético N = fuerza normal entre los cuerpos en contacto. El coeficiente de rozamiento depende del tipo de superficie que estén en contacto y de las condiciones que estos se encuentre. A continuación se presenta una tabla de coeficientes de fricción entre algunos materiales: Coeficientes de fricción aproximados. __________________________________ Material μe μc __________________________________ Madera sobre madera 0,7 0,4 Acero sobre acero 0,15 0,09 Metal sobre cuero 0,6 0,5 Hule sobre concreto : Seco 0,9 0,7 Húmedo 0,7 0,57
Es la fuerza con la que la cuerda tira del objeto al cual esta unido. En condiciones ideales esta fuerza se transmite en forma constante y en cualquier sección de la cuerda.
Esta fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación y tienen sentidos opuestos. La fuerza elástica aparece generalmente sobre los resortes, ya que estos al ser alargados o comprimidos por una fuerza externa, este tiende a volver a su posición inicial por efecto de la fuerza elástica que el genera.
La fuerza elástica está dada por la ecuación llamada ley de Hook y esta expresada por: Fe = - k . x
donde
k = constante del resorte x = deformación ( x = lf – lo )
Resortes en serie: Dos o más resortes están unidos en serie cuando se ubican uno a continuación de otro, pueden ser remplazados por uno solo que tenga la kE.
F
En el interior de la cuerda siguiente proceso: F
Es la fuerza que permite restituir a un cuerpo su forma y tamaño inicial cuando este ha sido deformado por la acción de una fuerza externa.
El signo menos indica que la fuerza de recuperación tiene sentido opuesto al de la deformación.
4. TENSIÓN DE UNA CUERDA. ( T ).
F
5. FUERZA ELÁSTICA. ( Fe ) .
T
T
se produce el
F
Las cuerdas siempre transmiten fuerzas de tensión o tracción sobre el cuerpo al cual están unidos.
T
El valor de la constante equivalente de los resortes en serie es: 1 = 1 + 1. kE k1 k2 Resortes en paralelo: Los resortes en paralelo se estiran o comprimen por igual al aplicarles una fuerza, y pueden ser remplazados por uno solo de constante kE.
T
P
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El valor de la constante equivalente de los resortes en paralelo es: kE = k1 + k2
LEYES DE NEWTON. El movimiento de los cuerpos esta determinado por la fuerza neta o resultante que actúa sobre ella, esta interacción esta descrita por las leyes del movimiento de Newton. Estas leyes fueron formuladas y publicadas en 1687 por Isaac Newton ( 1642 - 1727 ), físico matemático y astrónomo de origen ingles, considerado como uno de los hombres más brillantes que ha existido hasta la presente fecha.
2. TERCERA LEY DE NEWTON O DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN. A toda acción corresponde una reacción igual en magnitud y dirección pero de sentido opuesto. Cuando alguien sube una escalera, se pone un pie sobre el primer escalón y empujar sobre él. El escalón debe entonces ejercer una fuerza igual y opuesta sobre el pie para no romperse. Mientras más grande sea la fuerza que ejerce el pie sobre el escalón, mayor deberá ser la reacción contra el pie. Otros ejemplos de esta ley son: •
Un arma de fuego al ser disparada retrocede y golpea el hombro de la persona que lo dispara ( ¨ culatazo¨ )
•
Cuando una patinadora hace fuerza contra la pared, la reacción es moverse en contra de la pared como si la pared la hubiera empujado.
•
Para mover el bote sin necesidad de prender el motor se puede empujar el tronco del muele y la reacción es alejarse de este, lo mismo sucede si lo hacemos con el pie.
•
La acción actúa sobre el objeto y la reacción actúa sobre el agente que ejerce la reacción. Cuando una piedra que golpea contra un vidrio y este se quiebra es otro ejemplo de la aplicación de la tercera ley de Newton.
Estudio las leyes materiales que rigen el movimiento de los cuerpos. En 1689 publico su libro philsophical naturalis principio matemático, en el cuál expuso sus tres leyes conocidas como leyes de la dinámica. 1. PRIMERA LEY DE NEWTON O DE LA INERCIA. “ Todo cuerpo trata de conservar su estado, ya sea de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme mientras no surja una fuerza exterior que lo haga salir de su estado original.” Cuando un automóvil se acelera los pasajeros obedecen a esta ley, al tratar de permanecer en reposo hasta que la fuerza externa ejercida por el asiento los pone en movimiento. Cuando el automóvil se detiene, los pasajeros tienden a seguir en movimiento y con velocidad constante hasta que son detenidos por los cinturones de seguridad o por su propio esfuerzo. Toda la materia posee inercia.
Otra aplicación de esta ley es cuando al hacer girar una bola unida a una cuerda y esta se rompe la bola tiende a seguir el movimiento y se va por la tangente.
La acción y la reacción nunca se anulan porque actúan sobre cuerpos diferentes. _________________________________________________________________________________________________________ 104 Física I MSc. Franklin Molina & Otros.
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( DCL 1 ) θ
Fuerza del bloque sobre el piso
A
Fuerza del piso sobre el bloque
TA
B TB θ
C TC
EQUILIBRIO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES Como ya dijimos anteriormente las fuerzas concurrentes son todas las fuerza cuyas líneas de acción pasan a través de un punto común que puede ser un objeto puntual. Se puede afirmar que un objeto se encuentra en equilibrio bajo la acción de fuerzas concurrentes cuando este no se encuentre acelerado.
( DCL 2 ) De acuerdo al grafico se puede concluir que : TC TC = P
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Un cuerpo se encuentra en equilibrio ( equilibrio trasnacional ), cuando la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes externas que actúan sobre un cuerpo es igual a cero, lo que implica que si empleamos una descomposición rectangular, la sumatoria de fuerzas en cada eje también es igual a cero. Primera condición de equilibrio estático: Σ F = 0 Σ Fx
= 0
y
ΣFy = 0
F2
F1
P Para resolver problemas en los cuales los sistemas se encuentran en equilibrio se puede utilizar el siguiente algoritmo:
1. Aislar el objeto a estudiar. 2. Mostrar, en el D. C. L. las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado. 3. Encontrar las componentes rectangulares de cada fuerza. 4. Escribir la primera condición de equilibrio en forma de ecuación. 5. Resolver utilizando procesos matemáticos para determinar las cantidades requeridas.
Ejercicios para realizar con el maestro. a) EJERCICIOS SOBRE TENSIONES
F3
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE O DIAGRAMA DE FUERZAS. ( D. C. L. ) Es un dibujo en el cual se aísla al cuerpo perteneciente a un sistema, donde solamente se grafica las fuerzas que actúan sobre él. El D. C. L. constituye un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto. Todos los vectores de las fuerzas concurrentes apuntan hacia fuera del centro de los ejes x e y los cuales se intersecan en un origen común.
1. Un joven sostiene una pelota de 100 N suspendida del cordel A , es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenido de tal forma que el cordel A forma un ángulo de 30 o con la pared vertical. Encuentre las tensiones de los cordeles. AyB DCL y B 300
TB A TBx 60º TBy P
TA x
100N
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Σ Fx
Se sabe que: θ = 30º En el diagrama de cuerpo libre trabajamos con el ángulo complementario de 60º, ya que por ángulos alternos internos el ángulo de 30º esta adyacente al eje y. Para encontrar las tensiones de las cuerdas aplicamos la primera condición de equilibrio: En el eje ( x ) : Todas las fuerzas y componentes dirigidas a la derecha son positivas y las fuerzas y componentes dirigidas a la izquierda son negativas. En el eje ( y ) Todas las fuerzas y componentes dirigidas hacia arriba son positivas y las fuerzas y componentes dirigidas hacia abajo son negativas.
= 0
TBx – TAx = 0 TBcos50º - TA cos 35º=0 0,64TB – 0,82TA=0 ( 1 ) ΣFy = 0 TBy + TAy – P =0 TBsen50º + TA sen 35º - 300N = 0 0,77TB + 0,57TA = 300N ( 2 ) Después de resolvemos el sistema de ecuaciones aplicando cualquier método matemático conocido tenemos que las tensiones ejercidas sobre las cuerdas para sostener la lámpara son: TA = 78,16 N TB = 102,04 N
Σ F = 0 Σ Fx
= 0
y
De igual manera concluimos que la cuerda de menor ángulo de inclinación es la que ejerce menor tensión.
ΣFy = 0
TA – TBx = 0
TBy – P = 0
TA – TB cos θ = 0
TB sen θ – P = 0
TA = TB cos θ
TB sen θ = P
3. Un bloque de 100 N descansa sobre un plano inclinado sin fricción que tiene una pendiente de 30 o . El bloque está atado a un cordel que pasa sobre una polea sin fricción en el vértice del plano inclinado y del cual cuelga a su ves otro bloque . ¿ Cuál debe ser el peso del segundo bloque para que el sistema se encuentre en equilibrio ? (Despreciar el peso del cordel )
TA = (115,47N)cos60º TB = 100N sen 60º TA = 57,7 N TB = 115,47 N La cuerda horizontal es la que realiza menor tensión que la cuerda inclinada
100N P2
2.
Una lámpara de 300 N cuelga de un cordel anudado a otros dos cordeles. Encuentre las tensiones de las cuerdas A, B, C 350 A
500 B
DCL y TAy TBy 35º
50º
TAx
TBx P
30º
Se sabe que: P1 = 100N θ = 30º x
C
Se sabe: P = 300N θ1 = 35º θ2 = 50º Realizamos el diagrama de cuerpo libre en el cual por ser ángulos alternos internos son ubicados de esa manera, y luego aplicamos la primera condición de equilibrio:
Realizamos los diagramas de cuerpo libre, en el DCL 1 se debe dibujarlo de tal manera que el eje x coincida con la base del plano inclinado y en las ecuaciones de las componentes solo en los planos inclinados el ángulo θ es remplazado por el complemento de este el cual es adyacente al eje x DCL ( 1 ) y N
DCL ( 2 ) y T
P1x
x T
P1y 60º 30º
Σ F = 0
x P2
P1 _________________________________________________________________________________________________________ 106 Física I MSc. Franklin Molina & Otros.
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Para DCL1
y b) Para la tensión de la cuerda realizamos otro diagrama de cuerpo libre.
Σ F = 0 Σ Fx
= 0
y
ΣFy = 0
Fe x P2
T – P1x = 0 T = P1x T = P1 cos 60º T = 100N cos 60º T = 50 N
N – P1y = 0
Δx = xf - xo Δx = 0,35 m – 0,20m Δx = 0,15m ΣFy = 0 Fe – P2 - T = 0 T = Fe – P2 T = 14,70N -1,96N T = 12,74 N
Para DCL 2 T – P2 = 0 T = P2 P2 = 50 N 4. Un resorte de longitud natural 20 cm. ( cuando no está estirado) se alarga 5 cm cuando se suspende una masa de 500 g . Determinar: a) La constante del resorte b) La tensión de la cuerda BC, si se cuelga una masa de 200 g y se tira hacia abajo por medio de una cuerda que se fija en C, como muestra la figura. Si la longitud del resorte es ahora AB = 35 cm.
T
P2 = m2 . g P2 = 0,20 kg . 9,8 m/s2 P2 = 1,96 N Fe = kΔx Fe = 98 N/m 0,15m Fe = 14,70 N
b) EJERCICIOS SOBRE ROZAMIENTO 5. En una fábrica una caja de 50 N descansa sobre una superficie horizontal. Un trabajador requiere una fuerza horizontal de 10 N para iniciar el movimiento del bloque. Una vez en movimiento, el trabajador solo se necesita una fuerza de 5 N para mantener una velocidad constante. Encontrar los coeficientes de fricción estático y cinético. v = cte 10N
5N
DCL 1
Se conoce: Para a) xo = 20 cm = 0,2m Δx = 5 cm = 0,05 m m1 = 500 g = 0,50 kg Para b) m2 = 200g = 0,20kg xf = 35 cm = 0,35 m ΣFy = 0 Fe – P1 = 0 Fe = P1 Fe = 4,9 N
Se conoce que:
y N
y
P = 50N F1 = 10N F2 = 5 N
Fe
fr = µ . N
DCL1
fr x P1
P1 = m1 . g P1 = 0,50 kg . 9,8 m/s2 P1 = 4,90 N
µ = fr N
k = - 98 N/m
P
Para calcular el coeficiente de rozamiento estático aplicamos la primera condición de equilibrio: Σ F = 0 Σ Fx
a) Para calcular la constante recordamos la ley de Hook: Fe = - kΔx ; k = Fe ; k = 4,9 N Δx 0,05 m
F x
= 0
y
ΣFy = 0
F – fr = 0 F = fr fr = 10N
N–P=0 N=P N = 50N
µe = fr ; µe = 10N N 50N
; µe = 0,20
_________________________________________________________________________________________________________ 107 Física I MSc. Franklin Molina & Otros.
UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
Para el coeficiente de rozamiento dinámico sabemos que la normal sigue siendo igual. DCL µc = fr ; µe = 5N N 50N
; µe = 0,10 y F 35º
6. El profesor de física apoya contra la pared del aula un borrador de madera de 1,7 N mediante una fuerza horizontal ejercida por su brazo. Calcular el mínimo valor de la fuerza horizontal para mantener al bloque en reposo si el coeficiente de rozamiento estático es 0,40
N F Fy fr
35º
x
Fx P Aplicamos la primera condición de equilibrio:
Se sabe : P = 1,7 N µe = 0,40
Σ F = 0 Σ Fx = 0 y ΣFy = 0 Fx – fr = 0 N + Fy – P = 0 F.cosθ - µ .N = 0 N + Fsenθ – P = 0 F cos 35º - 0,30 .N = 0 N + Fsen35º – 980N = 0 0,82 F - 0,30 N = 0 (1) N + 0,57F = 980 N (2)
fr = µe .N
DCL y
F
fr F
N x P
Aplicamos la primera condición de equilibrio:
Aplicamos cualquier método de solución para resolver el sistema de ecuaciones de lo que resulta : F = 296,37 N Para mover la cocina se necesita 296,37 N que es la tercera parte del peso de la cocina.
Σ F = 0 Σ Fx
= 0
y
N–F=0 N=F F=N F = 4,25 N
ΣFy = 0 fr – P = 0 fr = 1,7 N µe .N = 1,7 N N = 1,7 N µe N = 1,7 N 0,40 N = 4,25 N
La fuerza aplicada por el brazo del profesor de física debe ser de 4,25 N 7. En un almacén de electrodomésticos un cliente compra una cocina. Determinar la fuerza necesaria para llevarla al transporte, la cocina de 100 kgf a velocidad constante sobre una superficie cuyo coeficiente de rozamiento dinámico es de 0,30. La fuerza forma un ángulo de 35 0 con la horizontal.
8. En el antiguo Egipto, en la construcción de una de las pirámides, para subir un bloque de 80 lbf sobre un plano inclinado de 30 o se necesita dar un empuje E. Si μc = 0,1 . Determinar el empuje E paralelo al plano y dirigido hacia arriba se requiere para que el bloque se mueva a) hacia arriba con velocidad constante y b) hacia abajo a velocidad constante. E Se sabe que: 1lbf = 4,45 N P = 80lbf = 356N θ = 30º μc = 0,1
DCL ( para arriba) y
DCL (para abajo) y
N
N x
x
E Se conoce que:
Px
E Px
fr
fr 1 kgf = 9,8 N P = 100kgf 9,8 N = 980 N 1kgf µc = 0,30 θ = 35º
60º 30º
Py
60º 30º
Py
P P
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
a)
Para determinar E aplicamos la primera condición de equilibrio:
k E = k1 + k2 k E = 8 N/m + 6 N/m
Σ F = 0 Σ Fx = 0
y
E – Px – fr = 0 E – Pcosθ - µ N = 0 E = Pcosθ + µ N (1)
ΣFy = 0
k E = 14 N/m
N – Py = 0 N – Psenθ = 0 N = Psenθ (2)
Ejercicios para realizar en el aula.
Remplazamos 2 en 1 E = P cos θ + µ Psenθ E = P ( cos θ + µ senθ) E = 356 N ( cos 60º + 0,1 sen 60º ) E = 208,83 N La empuje aplicado equivale a 0,59 veces el peso del bloque para subir. b) Cuando baja:
Tensiones: 1. El cuerpo de la figura se encuentra en equilibrio. Determinar el valor de la tensión de la cuerda A y B.
65 0
A B
Σ F = 0 Σ Fx = 0
y
E +fr - Px = 0 E + µ N - Pcosθ = 0 E = Pcosθ - µ N (1)
ΣFy = 0 N – Py = 0 N – Psenθ = 0 N = Psenθ (2)
Remplazamos 2 en 1 E = P cos θ - µ Psenθ E = P ( cos θ – µ senθ) E = 356 N ( cos 60º - 0,1 sen 60º ) E = 147,17 N La empuje aplicado equivale a 0,41 veces el peso del bloque para bajar. En conclusión se necesita menos fuerza para bajarlo que para subir el bloque.
2. A un resorte de longitud natural de 10 cm, se le cuelga un peso de 3N, su longitud total es de 15 cm. Calcular la constante del resorte y si al resorte se le cuelga un peso total de 4,2 N , ¿cuál es la longitud total del resorte?
Rozamiento : 3. Determinar el valor de la fuerza F que se debe aplicar para deslizar con velocidad constante un bloque de masa M, sobre una superficie horizontal, si el coeficiente de rozamiento cinético es μc cuando : a) Se empuja el bloque horizontalmente. b) Se empuja el bloque con un ángulo θ
9. Determinar la contante equivalente de dos resortes k1 = 8 N/m y k2 = 6 N /m, cuando son puestos en serie y en paralelo.
Ejercicios para la tarea Nº 4 1. Calcular las tensiones de las cuerdas, si el peso de la lámpara es de 12 N
Se sabe : k1 = 8 N/m k2 = 6 N/m Para los resortes en serie:
530 1 = 1 + 1. kE k1 k2 530 1 = 1 + kE 8N/m
1 . 6N/m
k E = 0,29 N/m Para los resortes en paralelo:
2. Una cuerda PQ de longitud 1m cuelga de los puntos fijos P y Q de la misma altura y separados
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
60 cm. En un punto de la cuerda R se suspende un peso de 20 N. Si PR = 40 cm y QR = 60 cm: a) Cuáles son los ángulos del triángulo PQR. b) Cuáles son las tensiones de las dos partes de la cuerda. 3. Encuentre las tensiones de dos cordeles A y B que tienen fijo el rotulo del Café net si este tiene una masa de 22 kg.
7. Sobre un plano horizontal se empuja con una fuerza horizontal F y con velocidad constante , un cuerpo de peso 2F. ¿ Cuál es el coeficiente de rozamiento del plano, respecto al cuerpo ? 8.A través de una fuerza horizontal de 130 N se apoya contra la pared vertical un libro de física. Calcular el mínimo valor de la fuerza horizontal para mantener al libro de física en equilibrio, sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático es de 0,38
650 B
9. Determinar el valor de la fuerza que se requiere aplicar para mover un vehículo de 2000 N con velocidad constante cuyo coeficiente de fricción dinámico ruedas-piso es 0,4, ¿ Cuando el vehículo se jala: horizontalmente y con un ángulo de 35 0.
72º
A
Café net
4. Encuentre la tensión en cada cable y la comprensión en la viga que esta contra el poste. Si el semáforo que cuelga tiene 30 kg.
10. Un cuerpo resbala con velocidad constante sobre un plano inclinado. La componente del peso en una dirección paralela al plano es 8 N y en una perpendicular al plano es 10 N. a) Cuál es la fuerza de rozamiento b) Cual es el coeficiente de rozamiento. APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA.
1.1. Los estados de la materia.
410
30 kgf
6. Dos bloque se encuentran en equilibrio como muestra la figura, Si el bloque uno tiene de masa 260 g y el bloque dos 160 g . Determinar el valor del ángulo que el plano inclinado forma con la horizontal. (Despreciar el peso del cordel )
1 2 θ 6. Un resorte de longitud natural de 5 cm, se le cuelga un peso de 2N, su longitud total es de 8 cm. Calcular la constante del resorte y si al resorte se le cuelga un peso total de 5 N , ¿cuál es la longitud total del resorte? Rozamiento.
En el estado sólido, las moléculas forman una estructura ordenada en el espacio llamada cristal. La temperatura produce la vibración de las moléculas alrededor de sus posiciones de equilibrio, y un aumento en ella incrementa las vibraciones que produce un desplazamiento de la posición de equilibrio, lo que ocasiona la dilatación en los metales. Al aumentar la temperatura ocasiona que la distancia entre las moléculas aumenten y que se desplacen unas respecto a otras lo que ocasiona que el sólido se funda y pase al estado líquido. Cuando la temperatura aumenta más, el líquido pierde poco a poco su estado cristalino y la fuerza molecular se anula y las moléculas están completamente libres que constituye el estado gaseoso. Si la temperatura es muy elevada ( varios millones de grados centígrados ), los electrones se separan de los núcleos de los átomos lo que da lugar a la formación de electrones y núcleos libres, lo que constituye el cuarto estado de la materia llamado plasma y que es común en el interior del Sol y las estrellas. 1.2. Fuerzas de cohesión. Las fuerzas moleculares de atracción ejercidas entre moléculas de un cuerpo de denominan fuerzas de cohesión.
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
En los líquidos esta fuerza recibe el nombre de tensión superficial y es la que permite que una aguja de acero o ciertos insectos puedan flotar .
En el sistema de frenos de los vehículos, cuando rozan las zapatas contra el disco de acero y lo detiene.
Las fuerzas de tensión dan una resultante hacia arriba y pueden equilibrar el peso de la aguja o del insecto.
1.7 Embrague En el embrague de un vehículo, se produce cuando dos discos de acero son unidos y separados por un resorte a través del pedal, esta acción permite efectuar los cambios de velocidades sin parar el motor.
1.3. Fuerza de adhesión Son las moleculares ejercidas entre moléculas de cuerpos diferentes. Estas intervienen en el rozamiento, en la adherencia de dos superficies al permitir pegarse, en la escritura con lápiz sobre papel. Las fuerzas de adhesión reciben el nombre de capilaridad y son las que permiten la elevación de líquidos en tubos abiertos de pequeña sección o cundo una tela en contacto con el agua, esta se moja hasta una parte superior. 1.4. Newtómetros y Dinamómetros. Los newtómetros permiten la medición de las fuerzas. Esta basado en la deformación elástica de un resorte, en el interior de un cilindro de cristal y se los puede calibrar para medir en Newton y en Dinas.
EQUILIBRIO ROTACIONAL CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO Existen muchos casos en la naturaleza en los cuales las fuerzas que actúan en un objeto no tienen un punto común de aplicación. Estas fuerzas se denominan no concurrentes lo que ocasiona que el cuerpo tienda a girar. Cuando no se desea la rotación del cuerpo y se produce una fuerza resultante igual a cero estamos hablando del equilibrio rotacional.
1.5 El rozamiento a diario. En las máquinas el rozamiento entre las piezas, ocasiona calentamiento disminuyendo el rendimiento, para evitar este fenómeno se coloca lubricantes en sus superficies.
y
y
F F
F
x
Debido al rozamiento en el piso nosotros podemos caminar, los vehículos pueden arrancar, os objetos y los muebles permanecen en su lugar.
1.6 Sistema de frenos de un vehículo.
x
F
Equilibrio traslacional
Equilibrio rotacional
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
BRAZO DE PALANCA 1.
El momento es positivo ( + ) cuando la rotación de la fuerza tiene sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. F (+) r ζ (+)
2.
El momento es negativo ( - ) cuando la rotación de la fuerza tiene el mismo sentido que el movimiento de las manecillas del reloj.
La distancia perpendicular que existe entre el eje de rotación o de giro a la línea de acción de una fuerza recibe el nombre de brazo de palanca de esta fuerza. Cuando la línea de acción de una fuerza pasa por el eje de rotación, el brazo de palanca es igual a cero lo que ocasiona que no se produzca ninguna rotación. Movimiento de giro F F: Fuerza aplicada r : brazo de palanca
r
r ζ(-) Centro de rotación
(-) F
MOMENTO DE UNA FUERZA (TORCA, MOMENTUM, MOMENTO DE TORSION TORQUE , ζ ) El momento de una fuerza o momento de torsión se puede definir como la tendencia a producir un cambio en el movimiento de rotación. El torque esta dado por el producto de la Fuerza aplicada ( F ) y el brazo de palanca ( r ) .ζ =F. r
Cuando la fuerza aplicada a un objeto forma un ángulo diferente de noventa grados con el eje y el punto de aplicación se puede calcular el torque de la siguiente manera: . ζ = F . r . sen θ
3.
El momento es nulo o cero cuando la fuerza pasa por el centro de giro r
F
ζ=0
TORQUE RESULTANTE. El momento de torsión resultante ζ R respecto a un eje particular, esta dado por la suma algebraica de los momentos de torsión producidos por cada fuerza coplanares y los signos se determinan por la convención expuesta anteriormente . ζ R = Σ ζ = ζ 1 + ζ 2 + ζ 3 + …. ζ2 ζ1
F r θ θ
ζ3 SEGUNDA CONDICION EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO. La segunda condición de equilibrio dice:
Las unidades en el sistema internacional están dadas por el newton – metro [ N.m ]
Si un cuerpo se encuentra sometido a la acción de fuerzas no concurrentes y se encuentra en equilibrio entonces la suma de los momentos debe ser igual a cero.
CONVENSIÓN DE SIGNOS. Se ha establecido el signo del momento de torsión al realizar las siguientes consideraciones:
Para que el cuerpo se encuentre en equilibrio rotacional debe cumplir las siguientes condiciones:
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
1. Primera condición de equilibrio: ( Equilibrio traslacional ) ΣF = 0 ΣFx = 0
y
Σ Fy = 0
2. Segunda condición de equilibrio : ( Equilibrio rotacional ) Σ ζo = 0
3. APOYO MOVIL O DE RODILLO Se pueden mover paralelo a la superficie de apoyo a cualquier lado.
La suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier punto es cero. La suma algebraica de los momentos respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. El eje puede escogerse en cualquier parte del sistema, ya que en ese lugar el sistema no tiende a girar respecto a ningún punto. Al aplicar estas ecuaciones a un sistema dado, se puede encontrar las fuerzas desconocidas, las distancias o los momentos de torsión. Al cumplirse las tres ecuaciones simultáneamente garantizamos que el sistema se encuentra en equilibrio total
TIPOS DE APOYO
CENTRO DE GRAVEDAD. El centro de gravedad ( C.G ) de un objeto es el punto en el cual se puede considerar que está concentrado todo su peso, esto es , la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad. Una sola fuerza vertical y dirigida hacia arriba, igual al peso del objeto y aplicada en el centro de gravedad, mantendrá al cuerpo en equilibrio. CARACTERISTICAS GRAVEDAD.
DEL
CENTRO
DE
1. El centro de gravedad es un punto que puede estar dentro o fuera del cuerpo.
Los cuerpos al mantenerse en contacto con la superficie presentan diferentes tipos de apoyo, los cuales son:
1.CONTACTO CON LA SUPERFICIE. •
•
LISO. Aparece la fuerza normal
Cuando el centro de gravedad esta fuera de las fronteras físicas del cuerpo recibe el nombre de centro de masa ya que en este punto se concentra toda la masa del sistema y donde actúan todas las fuerzas. 2. También es llamada ¨centro de equilibrio ¨ ya que en este punto al aplicar una fuerza y seguir manteniendo el equilibrio, esta debe ser igual al peso pero de sentido contrario.
RUGOSO. Aparece las reacciones.
2.APOYO FIJO O BISAGRA. Aparecen reacciones verticales y horizontales.
3. La ubicación del centro de gravedad depende de la forma geométrica del
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
xcm = m1.x1+m2x2+ …….mnxn m1 + m2+ …….mn
cuerpo, de la distribución de la materia, dentro del cuerpo(generalmente el centro de gravedad se ubica en la zona donde hay mayor concentración de materia ) y de los campos gravitacionales que actúen sobre este.
ycm = m1.y1+m2y2+ …….mnyn m1 + m2+ …….mn También se la puede escribir: xcm = Σ xi mi mi •
;
ycm = Σ yi mi mi
PARA PLACAS DE ESPESOR CONSTANTE Se determina en función de sus áreas: xcm =
A1.x1+A2x2+ …….Anxn A1 + A2+ …….An
CALCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD.
ycm = A1.y1+A2y2+ …….Anyn m1 + m2+ …….mn
1.
También se la puede escribir:
EN FORMA EXPERIMENTAL. Para un cuerpo plano su centro de gravedad se lo ubica suspendiéndolo de dos o más puntos arbitrarios hasta que alcance el equilibrio. El C.G. se lo ubica en la intersección de las líneas verticales que pasan justamente por el punto de suspensión.
xcm = Σ Ai xi ; ycm = Σ Ai xi Ai Ai CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS.
ALGUNOS
2. EN FORMA ANALITICA. •
PARA UN CUERPO FORMADO POR ¨N PARTÍCULAS o ¨ n ¨ cuerpos cuyos centros de gravedad están determinados. Para ubicar las coordenadas en un plano cartesiano se utiliza el Teorema de Varignon respecto al punto o que dice:
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
F = 15N r= 4m Entonces el torque producido por la fuerza es: ζ = F.r : ζ = 15N . 4m ; ζ = 60 Nm
3. Determinar el momento de la fuerza de 15 N producido en la barra.
F = 15 N
2m
2m
Se sabe que: F = 15N r= 2m Ejercicios para realizar con el maestro
Entonces el torque producido por la fuerza es:
1. Se aplica una fuerza de 15 N sobre un cable alrededor de un tambor de 4 m de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido en el centro del tambor?
ζ = F.r : ζ = 15N . 2m ; ζ = 30 Nm 4. Calcular el momento de torsión cuando la fuerza es aplicada en el punto de giro.
F = 15 N
F = 15 N
D=4m
Se sabe que:
ζ = F.r : ζ = 15N . 0m ; ζ = 0 Nm
F = 15N r=2m
5 Un mecánico ejerce una fuerza de 50 N en el extremo de una llave de 18 cm. Esta tracción forma un ángulo de 50 0 con el maneral. ¿Determinar el torque producido por la tuerca?
Entonces el torque producido por el centro del tambor es: ζ = F.r : ζ = 15N . 2m ; ζ = 30 Nm
F = 50N r = 18 cm
2. Calcular el torque producido en el extremo de la pared por la barra de 4 m.
F = 15 N
4m
Se sabe que:
50º
50 º
Se sabe que: F = 15N r = 18 cm = 0,18m Entonces el torque producido por el mecánico es: ζ = F.r senθ : ζ = 15N . 0,18m sen 50º ζ = 2,07 Nm
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
6. En el siguiente sistema una barra sostiene a un letrero en forma de luna y a su vez en el otro extremo está sujeto de una cornisa. Calcular el torque resultante de las fuerzas aplicadas a la barra PQ, respecto al punto P, siendo F1 = 30 N; F2 = 35 N; F3 = 40 N.
Realizamos el DCL F1= 160N F 5m 2m M 3m
F3
3m
2m
F2= 50N
F3= 20N
12 m P
Q
ζR = ζF + ζ1 + ζ2+ ζ3 200Nm = - F.2m + F1.4m - F2.3m - F3.6m
4m
F1
5m 200Nm = - F. 2m +160N.5m -50N.3m -20N.6m
F1 F2
F = 165 N
Se realiza el DCL
F3
P
8. Hallar la resultante de las fuerzas y su ubicación con respecto al punto P.
Q 4m
3m
5m
60 N 50 N
F1
7m
7m
F2 P 1m Para determinar el torque resultante debemos sumar algebraicamente los torque tomando en cuenta la convención de los signos de cada torque.
9m 180 N
30 N El diagrama de cuerpo libre es:
ζR = ζ1 + ζ2+ ζ3 60N ζR = F1.r1 + F2.r2 + F3.r3 1m
6m
50N 3m
4m
ζR = - 30N.4m - 35N .7m +40N.12m
P
ζR = 115 Nm 30N 180N 7. Si el torque resultante de las fuerzas aplicadas con respecto al punto M es de 200 Nm, determinar el valor de la fuerza F.
FR = 60N + 50N – 30N – 180 N FR = -100 N Para determinar su ubicación debemos calcular el torque resultante:
160 N F 2m M
5m
ζR = ζ180 – ζ50 + ζ30 – ζ60
3m 3m
La fuerza resultan se encuentra sumando las fuerzas parciales con su respectivo signo:
2m 20 N
FR. x = 180.4 -50.7 + 30.13-60.14 -100. x = - 80 x = 0,8 m
50 N La fuerza resultante está ubicada a 0,8 m a la izquierda de P _________________________________________________________________________________________________________ 116 Física I MSc. Franklin Molina & Otros.
UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
9. Una viga uniforme que pesa 200 N esta sostenida por dos balanzas A y B . Determinar las lecturas de las balanzas, cuando dos estudiantes de física: Juan de 63 kg y Susana de 52kg se suben a la viga.
RA + RB – 509,60N – 200N – 617,40 N = 0
Se sabe que :
RB = 284,93 N
mS = 52 kg ; PS = 509,60 N mJ = 63 kg PJ = 617,40 N Pv = 200 N
Lo que marca la balanza B en kg es: mB = 284,93 N / 9,8 m/s2 mA = 29, 07 kg.
Susana
Juan 10m
4m
12m
RA + RB = 1326,40 N RB = 1326,40N -1 041,47 N
11. El dueño de una panadería tiene un rótulo para anunciar su establecimiento. El rótulo tiene una masa de 51,02 kg el cual tiene que colocarse en una barra rígida que está sujeta a la pared mediante un cable. Para saber qué cable se necesita, el dueño de la panadería pide ayuda a su hijo que es estudiante de física para que calcule la tensión del cable. También le pide que calcule la fuerza que la barra ejerce sobre la pared. La barra tiene una longitud de 2m y una masa de 20,41 kg, el cable pende de la pared de un punto situado a 1,15m por encima de la barra.
Realizamos el diagrama de cuerpo libre: Lo que las balanzas van a marcar son las reacciones que se producen por el peso de Juan, Susana y el de la viga. El peso de la viga se ubicara en el centro de masa de esta. RA = reacción de la balanza A RB = reacción de la balanza B
Calculamos esas reacciones. PANADERIA 2m RA
6m PS
4m Pv
4m
RB
PJ
Aplicamos el segundo principio de equilibrio Cogemos como punto de apoyo a la balanza A, para que en ese lugar el torque sea igual a cero: ζRA = 0
Sabemos que : l = 2m mb = 20,41 kg ; Pb = 200N mr = 51,02 kg ; Pr = 500N DCL F Fy
-ζPS – ζPv + ζPB – ζPJ = 0
T θ
Ty 30º
0 -509,60N.2m-200N.8m+RB.12m–617,40N.16m= 0
Fx
Tx 1m
RB .12m = 12 497,60 Nm RB = 1 041,47 N
1m Pb
Pr
Calculamos el ángulo θ : Lo que marca la balanza A en kg es: mA = 1 041,47 N / 9,8 m/s2 mA = 106,27 kg.
θ = tan -1 ( 1,15 m/2m) ; θ = 30º Aplicamos el segundo principio de equilibrio:
Aplicamos el primer principio de equilibrio:
ζRO = 0 -ζPb - ζPr + ζTy = 0
Σ FR = 0 N RA + RB – PS –Pv – PJ = 0
-200N. 1m -500.2m + Ty.2m = 0
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
P1 x = P2 ( 1,02 – x) 89,08 x = 41,36 ( 1,02 – x ) x = 0,32 m
Ty = 600 N T sen m = 0 Ty = 600 N T sen 30º = 600N T = 1 200N
13. Determinar el centro de gravedad de la figura laminar de espesor constante de un solo material y densidad uniforme, todas las dimensiones están en cm.
La tensión que soporta el cable es 1200 N Para calcular la fuerza encontramos las componentes de las tensiones y aplicamos el primer principio de equilibrio, Ty = T sen 30º Ty = 1200 sen 30º Ty = 600N
y
Tx = T cos 30º Tx = 1200cos 30º Tx = 1 039,23 N
4 CM 1 3
ΣFx = 0
ΣFx = 0
2
Fx – Tx = 0 Fx = 1 039,23 N
Fy – Pb + Ty – Pr = 0 Fy = 200 – 600 + 500 Fy = 100 N
1
CM2
x 0
1
2
3
F = ( 1039,23 i + 100j ) N Para resolver el ejercicio vamos a realizar un cuadro de doble entrada
F = ( 1 043,8 N ; 5,5º)
12. Calcular la posición del centro de gravedad de dos esferas que se encuentran conectadas por medio de una barra de 40 pulg si tiene un peso despreciable. F
Elemento 1 2 Σ
Ai cm2 3 3 6
xi cm 1,5 1,5
yi cm 3,5 1,5
Aixi cm3 4,5 4,5 9
Aiyi cm3 10,5 4,5 15
x CM = Σ Ai xi ; x CM = 9 ; x CM = 1,5 cm ΣAi 6 C. G.
20 lb Se sabe que :
10 lb
y CM = Σ Ai yi ; y CM = 15 ; y CM = 2,5 cm ΣAi 6 CM ( 1,5 cm ; 2,5 cm )
m1 = 20 lb = 9,09 kg m2 = 10 lb = 4,55 kg P1 = 89,08 N P2 = 41,36 N l = 40 pulg = 1,02 m El diagrama de cuerpo libre es: CG
Ejercicios para realizar en el aula.
1. Determinar la resultante de las fuerzas y su ubicación con respecto al punto M. 6N
x
M
1,02 m - x
5m
P2 P1 Aplicamos la segunda condición de equilibrio. ζCG = 0 ζP1 - ζP2 = 0
N
3N
S 3m
8N
2. Una barra de 1 m de largo permanece en equilibrio cuando en sus extremos se encuentran
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UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
colgando dos pesos de 10N y 20N, si el peso de la barra se considera despreciable. Determinar la longitud de los brazos de la barra.
3. Determinar el valor de las reacciones en los soportes si el sistema se encuentra en equilibrio y es despreciable el peso de la barra.
R1 1–x
x
50 N 2m
10 N 20 N 3 Determinar el centro de gravedad de la figura laminar de espesor constante de un solo material y densidad uniforme, todas las dimensiones están en cm. y
30 N 5m
R2 1m
4. Una barra de 2 m de largo permanece en equilibrio cuando en sus extremos se encuentran colgando dos pesos de 20N y 40N, si el peso de la barra se considera despreciable. Determinar la longitud de los brazos de la barra.
x
2-x
4 3 2
20 N 40 N
1 x 0
1
2
3
Ejercicios para la tarea Nº 1 1. Calcular el valor de la fuerza F para que el torque resultante de las fuerzas aplicadas con respecto al punto T sea 200 Nm.
5. Un puntal uniforme de 100 N de peso y 3 m de longitud es sostenido por un cable. El puntal se apoya en la pared y el cable forma un ángulo de 40 0 con el puntal, que está en posición horizontal. Si una carga de 600 N se cuelga del extremo derecho, ¿ Cuál es la tensión T en el cable? ¿Cuales son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote ?
F F 200 N
T 400
5m 4m
8m
T 6m
100 N 20 N
600 N
100 N
3m
2. La barra tiene 40 cm de longitud. Calcular el torque en Nm alrededor del eje A si el ángulo θ es de A) 90 0 B) 60 0 C) 300 D) 00 Es despreciable el peso de la barra.
6.- En una balanza romana, el peso del brazo PQ es despreciable y puede girar respecto al punto O Determinar el valor del peso 1.
F = 200 N
40 cm P 4cm O 4 cm
40 cm
R
Q
_ _θ _ _ _
A P2 = 2N P1 _________________________________________________________________________________________________________ 119 Física I MSc. Franklin Molina & Otros.
UNIDAD 5 Estática: Equilibrio traslacional y rotacional _____________________________________________________________________________________________________________
7. Calcular la posición del centro de gravedad de un hacha, si la cabeza de metal tirar una masa de 12 lb y el mango de madera de 60 cm tiene una masa de 3 lb. Suponer que el mango es uniforme en peso y construcción. APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA. Los momentos de fuerza en la vida cotidiana se utiliza con frecuencia en :
6. Las carretillas, el destapa botellas.
1. Cuando se atornilla una tuerca con una llave inglesa, de pico o de corona.
7. El brazo de una persona, las pinzas de coger hielo.
2. Para sacar agua de un pozo, ya que se aplica una fuerza para enrollar la soga en el rodillo.
3. Para girar la rueda de la bicicleta o de la motocicleta se aplica un par de fuerzas en el manubrio.
8. Se aplica un par de fuerzas cuando se saca un corcho de una botella utilizando el saca – corcho, para atornillar un tornillo, cuando se saca una rueda a un auto con una cruceta, cuando se abre una puerta y la manija de una puerta.
4. Para hacer girar la rueda de los vehículos se aplica un par de fuerzas en el volante. 5. En las balanzas de brazos iguales, los alicates, las tijeras y el martillo cuando se usa para sacar clavos. 9. Para poder levantarse de un asiento una persona. 10. Para poder encontrar el centro de masa de una escoba. 11. En los adornos como el llamado porfiado, este permanece siempre estable ya que su centro de masa esta cambiado de posición. 12. Cuando se sube por una escalera pegada a una pared. 13. Cuando se hace girar un yo – yo.
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