I primi elementi bra e g o e G n o a lezione c
unità
2
uovo un modo n are per insegn e e imparar ria la geomet
I segmenti → lezione 4 p. XX Le spezzate → lezione 4 p. XX Confronto di segmenti → lezione 5 p. XX Somma di segmenti → lezione 6 p. XX
Differenza di segmenti → lezione 6 p. XX
Differenza di segmenti → lezione 6 p. XX
Multipli e sottomultipli di un segmento → lezione 6 p. XX
Costruiamo segmenti e spezzate → lezione 6 p. XX 3
1
lezione
Il concetto di rapporto e il rapporto inverso Il concetto di rapporto Su un tavolo vi sono alcune scatole che contengono perline azzurre e perline verdi.
unità rapporti e proporzioni
2
Se dividiamo il numero delle perline azzurre per il numero delle perline verdi di ogni scatola, otteniamo: prima scatola: 3 ∶ 2 = 1,5; seconda scatola: 6 ∶ 4 = 1,5; terza scatola: 12 ∶ 8 = 1,5 Il quoziente della divisione tra il numero delle perline azzurre e quello delle perline verdi è lo stesso nei tre casi e costituisce il loro rapporto. Tale rapporto si legge: rapporto tra 3 e 2. I due numeri, 3 e 2, sono i termini del rapporto. Il primo numero, 3, è detto antecedente e il secondo, 2, è detto conseguente. definizione
Dati due numeri a e b (con b ≠ 0), il rapporto di a e b è il loro quoziente. I termini del rapporto sono a e b: a è l’antecedente e b è il conseguente. antecedente
conseguente
antecedente a — b
a ∶ b termini del rapporto
termini del rapporto
conseguente
Un rapporto si può esprimere sotto forma di quoziente, 3 ∶ 2 e sotto forma di frazione, 3 ∕ 2. Il valore del rapporto 3 ∶ 2 si calcola dividendo l’antecedente per il conseguente: 3 ∶ 2 = 1,5. definizione
▶ Dati
due numeri a e b (con b ≠ 0), il rapporto tra il primo numero e il secondo si indica con: a a ∶ b e anche — b
▶ Il valore di un rapporto si calcola dividendo l’antecedente per il conseguente.
Esempio Esprimi in due forme diverse il rapporto 5 ∶ 2 e calcola il suo valore.
Sotto forma di divisione scrivo: 5 ∶ 2; sotto forma di frazione scrivo 5 ∕ 2. Il valore del rapporto è 5 ∶ 2 = 2,5. In un rapporto se si scambia l’antecedente con il conseguente si ottiene il rapporto inverso. Dato il rapporto a ∶ b, il rapporto inverso è b ∶ a. Esempio Il rapporto inverso di 4 ∶ 3 è 3 ∕ 4 e il rapporto inverso di 10 ∕ 7 è 7 ∕ 10.
200
studio la lezione Metto a fuoco i concetti chiave 1 Completa la mappa. si scrive
a ∶ b
oppure
Il rapporto tra a e b (con b ≠ 0) è formato da due termini detti
a:
e
b:
Spiego a voce alta… 2 …come si calcola il rapporto 5:4 RIFLETTO Indica qual è l’antecedente e quale il conseguente del rapporto 5 ∶ 4
RIspondO L’antecedente del rapporto 5 ∶ 4 è
Esprimi il rapporto sotto forma di quoziente e calcola il suo valore.
Il rapporto espresso sotto forma di quoziente si scrive
Applico 3 Vero o falso? a. Dato il rapporto 11 / 12, 12 è detto antecedente. b. Nel rapporto 6 : 14, i numeri 6 e 14 sono detti termini del rapporto. c. Il valore del rapporto 1 : 2 è 2. d. Il valore del rapporto 12 / 4 è 3. e. Nel rapporto 6 : 11, 11 è il conseguente. f. L’inverso del rapporto 5 : 1 è 5.
V V V V V V
F F F F F F
4 Esercizio guidato In una fila di bambini, ogni 6 bambine ci sono 8 bambini. Scrivi il rapporto tra le bambine e i bambini e indica qual è l’antecedente e quale il conseguente. Calcola il valore del rapporto. Scrivo il rapporto sotto forma di quoziente: 6 ∶ 8, il termine 6 è l’antecedente e il termine 8 è il
. Il valore del rapporto è 6 ∶ 8 =
.
4 Scrivi il rapporto tra 8 e 5 sotto forma di quoziente e sotto forma di frazione. 5 Scrivi un rapporto i cui termini siano 9 e 8. Ne puoi scrivere più di uno? Lavoro individuale
Laboratorio di matematica A. Determina il rapporto tra il numero dei quaderni e il numero dei libri contenuti nel tuo zaino. B. Procurati un certo numero di oggetti simili, ma di due colori diversi. Gli oggetti possono essere bottoni, bastoncini, perline, anellini, biglie. Segui le seguenti indicazioni e disegna o fotografa le disposizioni ottenute. 1. Disponi 10 oggetti in modo che il rapporto tra i due colori sia 2 / 3. 2. Disponi 14 oggetti in modo che il rapporto tra i due colori sia 5 / 2.
t Mi esercito p. 352
201
lezione
2
Le variabili Variabile qualitativa e variabile quantitativa
unità rapporti e proporzioni
2
In una grande città l’aria è molto inquinata e si vuole ridurre il traffico delle automobili. Si compie allora un’indagine per determinare i tipi di automobile che circolano e quanti occupanti ha ogni auto. La popolazione statistica è formata da tutte le automobili che circolano nella città in quel giorno. Ogni singola macchina è un’unità statistica. Si decide di classificare le automobili in base a due variabili statistiche: “tipo di auto” e “numero di occupanti”. Le modalità della variabile “tipo di automobile” sono, ad esempio: Fiat Punto, Renault Clio, ecc. Le modalità della variabile Il tipo di automobile è una variabile qualitativa “numero di occupanti” sono ad esemIl numero pio: 1, 2, 3, 4, 5, 6. di occupanti è una variabile Nel primo caso le modalità della variabiquantitativa le non sono espresse da numeri, ma da parole e si dice che la modalità, e anche la variabile, è qualitativa; nel secondo caso le modalità sono numeri e la modalità, e la variabile, è quantitativa. definizione
Una variabile è qualitativa se le sue modalità sono espresse da parole. Una variabile è quantitativa se le sue modalità sono espresse da numeri. Esempio In un’indagine la variabile è l’età degli atleti delle squadre di calcio.
Quali sono le sue modalità? Di che tipo di variabile si tratta? Le età possono essere 18 anni, 20 anni, 24 anni ecc. Le modalità sono misure di tempo e quindi di tipo quantitativo.
Variabile discreta e variabile continua Simone va in un negozio per comprare un paio di pantaloni e deve scegliere tra quelli disposti sugli scaffali. Esaminiamo due variabili quantitative dei pantaloni, ad esempio: ▶ taglia: può essere 38, 40, 42, 44, 46, …. ▶ lunghezza: può assumere i valori 70 cm, 71 cm, 72 cm,…. Osserviamo che le modalità di taglia e lunghezza hanno caratteristiche diverse. ▶ La taglia può essere, ad esempio, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56 e corrisponde solo ad alcuni numeri. Si dice che la taglia assume solo valori discreti ed è chiamata variabile discreta. Le variabili discrete si possono contare e sono numerabili. ▶ La lunghezza dei pantaloni è espressa da misure come 70 cm, 71,4 cm, 72,8 cm, 73,5 cm ecc. La misura della lunghezza dei pantaloni può, entro certi limiti, assumere qualsiasi valore. Si dice che la lunghezza assume valori continui ed è una variabile continua. Le variabili continue si possono misurare e sono misurabili. definizione
202
Una variabile quantitativa è discreta assume solo alcuni valori (variabile numerabile). Una variabile quantitativa è continua assume tutti i valori in un certo intervallo (variabile misurabile).
studio la lezione Metto a fuoco i concetti chiave 1 Completa la mappa. discreta
se è
Una variabile può essere quantitativa misurabile
se è
Spiego a voce alta… 2 …perché la variabile “piazza di una città” è variabile qualitativa RIFLETTO Esprimi alcune modalità della variabile “piazza di una città”.
RIspondO Alcune modalità possono essere
In quale modo hai espresso le modalità? Di che tipo è la variabile?
Ho espresso le modalità con
Scrivi la definizione di modalità qualitativa
Una modalità è qualitativa se è espressa con
Applico
3 Vero o falso? a. La variabile “lunghezza di una strada” è qualitativa. b. La variabile “nome proprio” è qualitativa. c. Le modalità della variabile “tipo di frutta” possono essere arancio, mela, banana. d. Le modalità della variabile “altezza dei ragazzi di un gruppo” possono essere Mario, Andrea, Piero, Lorenzo.
V
F
V
V
F
V
F F
4 Esercizio guidato Considera un gruppo di persone di altezze diverse. La variabile quantitativa “altezza” è una variabile discreta o continua? La variabile “altezza” può avere le modalità: 163 cm, 163,5 cm, 163,8 cm, 169 cm, 171,8 cm. Poiché l’altezza delle persone può assumere tutti i valori in un certo intervallo, è una variabile misurabile ed è quindi . 5 Classifichiamo i libri di avventura di una libreria in base al numero delle pagine. Questa variabile è quantitativa? Perché? 6 Si classificano i libri di una libreria in base al loro contenuto. Quali potrebbero essere le modalità della variabile? Stabilisci se la variabile è qualitativa o quantitativa. 7 Viene fatta un’indagine per determinare la lunghezza delle viti prodotte da una ditta. I dati che si ottengono hanno modalità discrete o continue? Lavoro di gruppo
Laboratorio di matematica Colloca vari oggetti su un tavolo e raggruppali in base a una variabile qualitativa. Riporta la classificazione in una tabella oppure fotografa i raggruppamenti.
t Mi esercito p. 352
203
collego e applico Collego i concetti t Collega i concetti chiave di questa Unità completando la mappa.
limitati • approssimata • periodico semplice • parte decimale • quadrato perfetto
unità
2
da una
rapporti e proporzioni
operazioni aritmetiche
su di essi si opera con
sono composti
NUMERI DECIMALI
e da una
possono essere
illimitati non periodici possono essere generati dalla
radice quadrata
esatta
applicata a un numero naturale può essere
se lo è, il numero è un
parte intera
illimitati periodici possono essere scritti sotto forma di
frazioni decimali hanno come denominatori
posseggono un
periodo se comincia subito dopo la virgola, il numero è
altrimenti è un numero
potenze di 10
periodico misto
quando...
Applico ciò che ho imparato
pago una somma in euro, decimi di euro e centesimi di euro
decido qual è il minore di due prezzi espressi in centesimi di euro
controllo lo scontrino del supermercato con i prezzi dei tuoi acquisti
scienze
sommo i pagamenti che ho fatto durante uno shopping
osservo la simmetria della farfalla.
t Riesci a trovare altre situazioni? Scrivile sul quaderno. 206
TECNOLO
faccio le proiezioni ortogonali.
GIA
MI esercito 1 Frazioni e numeri decimali → lezione 1 p. 158
inserire icona, colore come "Collego e applico"
Conosco 1 Completa la seguente frase. Se in una frazione si divide il numeratore per il denominatore, si può ottenere un
Ricorda!
2 Completa la seguente frase.
Una frazione dà origine a un numero naturale o decimale limitato o decimale illimitato periodico. Questi numeri sono chiamati complessivamente numeri razionali assoluti.
I numeri decimali periodici hanno un numero di cifre decimali.
3 Quali tra i seguenti numeri sono numeri decimali limitati? 3,4 7,8 6 10 0,2 1,3 9,5 2 0,8
4 Quali tra i seguenti numeri sono numeri decimali illimitati periodici? 3,4 7,8 6 10 0,2 1,3 9,5 2 0,8
5 In quale modo viene scritto il numero decimale periodico 0,3333333333....? Qual è il periodo? 6 In quale modo viene scritto il numero decimale periodico 1,6767676767....? Qual è il periodo? 7 Scrivi VERO o FALSO. a. 0,9 è un numero decimale periodico. b. La frazione 4/2 dà origine a un numero naturale. c. 2,3 è un numero decimale periodico. d. La frazione 3/2 dà origine a un numero decimale periodico. e. La frazione 1/3 dà origine a un numero decimale limitato.
V V V V V
F F F F F
Applico i procedimenti 8
Esercizio svolto Trasformazione di una frazione in numero decimale
Trasforma le frazioni 15/8 e 7/3 in numeri decimali e indica che tipo di numero decimale hai ottenuto come quoziente. Eseguiamo
15 — ↦ 15 ∶ 8 = 1,875 il resto della divisione è zero e il quoziente è un numero decimale 8 limitato. 7 — ↦ 7 ∶ 33333 = 2,3 il resto della divisione non è mai zero e si ripete la cifra 3 del 3 quoziente, che è quindi un numero decimale illimitato periodico.
9 Trasforma la frazione 6/5 in numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. La divisione ha termine? Che numero decimale è il quoziente?
10 Trasforma
la frazione 8/3 in numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. La divisione ha termine? Che resti ottieni? Che numero decimale è il quoziente?
207
MI esercito verifico
Verifico che la somma delle frazioni corrispondenti a ogni coltivazione è uguale all’unità: unità rapporti e proporzioni
2
15 15 15 15 — = 2,3 + — = 2,3 + — = 2,3 + — = 1 8 8 8 8
514 Laura
riceve 3/5 di una vincita a una lotteria. Alla sua amica Simona aveva detto: “Se vinco, ti do 2/9 della mia vincita”. a. Che parte del premio riceve Simona? [2/15] b. Se la vincita era di 15000 €, quanto riceve Simona? [200 €]
515 Due
fratelli più un loro amico comprano un video gioco. Ogni fratello partecipa alla spesa per i 11/32 e il resto è pagato dall’amico. Quale parte spetta all’amico? [5/16]
516 In una cassa del peso di 3 kg si mettono 85 saponette che pesano 2/5 kg ciascuna. a. Qual è il peso di tutte le saponette, cioè il peso netto? [34 kg] b. Qual è il peso lordo della cassa? (peso lordo = peso netto + peso cassa] [37 kg]
517 Due persone pesano insieme 144 kg. Se il peso di una è 7/9 del peso dell’altra, quanto pesa ogni persona? Osserva lo schema grafico prima di rispondere. peso prima persona: 9/9
1/9
212 212
peso seconda persona: 7/9
144 kg → 16/9
[63 kg; 81 kg]
I primi elementi bra e g o e G n o a lezione c
unità
2
uovo un modo n are per insegn e e imparar ria la geomet
I segmenti → lezione 4 p. XX Le spezzate → lezione 4 p. XX Confronto di segmenti → lezione 5 p. XX Somma di segmenti → lezione 6 p. XX
Differenza di segmenti → lezione 6 p. XX
Differenza di segmenti → lezione 6 p. XX
Multipli e sottomultipli di un segmento → lezione 6 p. XX
Costruiamo segmenti e spezzate → lezione 6 p. XX 3
10
lezione
Una retta e una circonferenza appartenenti allo stesso piano possono avere due punti, un punto e nessun punto in comune. Esaminiamo i tre casi considerando la circonferenza di centro O e raggio r, e la retta a.
unità
2
rapporti e proporzioni
Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza 1 La distanza della retta dal centro della circonferenza è minore del raggio. La retta e la circonferenza hanno due punti in comune e la retta si dice secante la circonferenza. A
H O
definizione
r
B
a La retta è secante la circonferenza OH < r
Una retta si dice secante rispetto a una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio. Una retta e una circonferenza secanti hanno due punti in comune.
2 La distanza della retta dal centro della circonferenza è uguale al raggio. La retta e la circonferenza hanno in comune un solo punto: la retta si dice tangente alla circonferenza. Il punto in comune H è chiamato punto di tangenza. Nella figura si osserva che la tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. H r O definizione
a La retta è tangente alla circonferenza ed è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. OH = r
Una retta si dice tangente a una circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al raggio. Una retta e una circonferenza tangenti hanno in comune un punto detto punto di tangenza. La retta è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
3 La distanza della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio. La retta e la circonferenza non hanno alcun punto in comune e la retta si dice esterna alla circonferenza. H a La retta è esterna alla circonferenza. OH > r r O definizione
Una retta si dice esterna a una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio. Una retta e una circonferenza esterne non hanno punti in comune. Esempio Il raggio di una circonferenza di centro O misura 2 cm. Considera una
retta a che dista 1 cm da O. Che posizione ha la retta rispetto alla circonferenza? La distanza della retta è minore del raggio, dunque la retta taglia la circonferenza in due punti ed è secante.
114
studio la lezione Metto a fuoco i concetti chiave 1 Completa la mappa. Se una retta e una circonferenza sono esterne punti in comune
sono tangenti hanno
sono secanti hanno
Spiego a voce alta 2 … che cosa caratterizza una retta e una circonferenza secanti. RIFLETTO Osserva una circonferenza e una retta secanti.
RIspondO Se sostituisco a x il numero 1, ottengo
Confronta la distanza della retta dal centro con la misura del raggio della circonferenza.
La distanza della retta dal centro della circonferenza è
Scrivi la definizione di retta secante una circonferenza.
Una retta è secante una circonferenza se
Applico 3 Vero o falso? a. Una retta si dice tangente quando ha due punti in comune con una circonferenza. b. Se una retta e una circonferenza non hanno punti in comune, sono esterne. c. La distanza di una retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza: retta e circonferenza sono tangenti. 4 Osserva la figura e indica quali rette sono esterne, quali tangenti e quali secanti rispetto alla circonferenza C.
V
F
V
V
F
F
5 Traccia due rette tangenti, una secante e tre esterne alla circonferenza C.
6 Disegna una circonferenza avente il raggio di 1,5 cm. Traccia un retta secante e una retta esterna. Misura e confronta le distanze delle due rette dal centro. Che cosa osservi? Lavoro individuale
Laboratorio di matematica Disegna sul quaderno una circonferenza di raggio r = 2 cm. Traccia con la riga una retta tangente e indica con P il punto di tangenza. Traccia il raggio della circonferenza nel punto di tangenza. Verifica con il goniometro che l’angolo formato dalla retta e dal raggio misura 90°. Che angolo è?
t Mi esercito p. 352
115
lezione
5
Consideriamo un poligono convesso ABCDE e un punto V che non appartiene al piano del poligono. Se congiungiamo il punto V con i vertici del poligono, otteniamo i triangoli VAB, VBC, VCD, VED, VEA. IL poliedro limitato dai triangoli e dal poligono dato è chiamato piramide. Osserviamo che:
unità
2
rapporti e proporzioni
La piramide
vertice
base piramide pentagonale definizione
► I l punto V è il vertice della piramide. ► I l poligono ABCDE è la base e i triangoli sono le facce laterali. ► I lati del poligono di base sono gli spigoli di base. ► I segmenti VA, VB, VC, VD, VE sono gli spigoli laterali. ► I l segmento VH è la distanza del vertice dal piano che contiene
la base ed è l’altezza della piramide. ► L e facce laterali formano la superficie laterale. ► L a superficie formata dalle facce laterali e dalla base è la superficie totale.
La piramide è il poliedro limitato da un poligono, detto base, e da tanti triangoli, aventi un vertice in comune, quanti sono i lati della base.
Diversi tipi di piramide La piramide si chiama triangolare se il poligono di base è un triangolo, quadrangolare se è un quadrato, pentagonale se è un pentagono e così via. Nella figura osserviamo due tipi particolari di piramide. V
h
a
E A
D
H
ab
M
piramide retta
piramide regolare
B
N
K C
Nella piramide pentagonale, il poligono di base è circoscritto a una circonferenza e la perpendicolare condotta dal vertice al piano di base cade nel centro O del poligono. La piramide si dice piramide retta. Le altezze delle facce laterali sono congruenti e una qualsiasi di esse è l’apotema della piramide. La piramide esagonale rappresentata nella figura è un piramide retta che ha per base un poligono regolare. Tale piramide è chiamata piramide regolare. In una piramide regolare tutti gli spigoli laterali sono congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti. definizione
116
Una piramide è retta se ha la base circoscrivibile a una circonferenza e il piede dell’altezza che cade nel centro della circonferenza. Una piramide è regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.
studio la lezione Metto a fuoco i concetti chiave 1 Completa la mappa. è retta se
la base è circoscrivibile a
e
il piede dell’altezza cade nel
Una piramide è
ha per base un
è regolare se
e
Spiego a voce alta 2 … che cosa è una piramide dal punto di vista geometrico. RIFLETTO A quale insieme di solidi geometrici appartiene la piramide?
RIspondO La piramide appartiene
Quali possono essere le basi di una piramide?
La base di una piramide è un
Da quali poligoni sono formate le facce laterali?
Le facce laterali sono
Applico 3 Vero o falso? a. Una piramide che ha per base un pentagono è sempre regolare. b. La piramide è un poliedro. c. In una piramide retta l’apotema è l’altezza delle facce laterali.
5 Traccia l’altezza della seguente piramide. V
F
V
V
F
F
4 Quale delle seguenti piramidi è quadrangolare?
a.
c.
b.
d.
7 Nella tabella sono riportate le misure del raggio r di una circonferenza e della distanza d di una retta dal centro della circonferenza. Scrivi la posizione della retta rispetto alla circonferenza. r (cm)
d (cm) Posizione della retta a rispetto alla circonferenza
6
7
11
9
5,5
5,5
1,8
1,4
3,5
3,9
esterna
t Mi esercito p. 352
117
collego e applico Collego i concetti t Collega i concetti chiave di questa Unità completando la mappa.
limitati • approssimata • periodico semplice • parte decimale • quadrato perfetto
unità
2
da una
rapporti e proporzioni
operazioni aritmetiche
su di essi si opera con
sono composti
NUMERI DECIMALI
e da una
possono essere
illimitati non periodici possono essere generati dalla
radice quadrata
esatta
applicata a un numero naturale può essere
se lo è, il numero è un
parte intera
illimitati periodici possono essere scritti sotto forma di
frazioni decimali hanno come denominatori
posseggono un
periodo se comincia subito dopo la virgola, il numero è
altrimenti è un numero
potenze di 10
periodico misto
quando...
Applico ciò che ho imparato
pago una somma in euro, decimi di euro e centesimi di euro
decido qual è il minore di due prezzi espressi in centesimi di euro
controllo lo scontrino del supermercato con i prezzi dei tuoi acquisti
scienze
sommo i pagamenti che ho fatto durante uno shopping
osservo la simmetria della farfalla.
t Riesci a trovare altre situazioni? Scrivile sul quaderno. 118
TECNOLO
faccio le proiezioni ortogonali.
GIA