LOGARITMOS

LOGARITMOS La genial contribución de John Napier, Barón de Merchistor.

3ro. De secundaria. Proyecto Laser. IE SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO. Chiclayo-Perú.

Víctor Calderón Callao 27/03/2011

LOGARITMOS

I.

DEFINICIÓN Dado un número real “b” positivo y distinto de 1, y un número N real positivo, se llama logaritmo en base b del número N al exponente “x” real positivo o negativo al que hay que elevar la base para obtener el número N.

Donde:

Ejemplos.

1.

2.

Ejercicios: En los problemas del 1 al 8 expresa cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera logarítmica.

1.

5.

2.

6.

3.

7.

4.

8.

En los problemas del 9 al 20 evalúa la expresión.

9.

13.

17.

10.

14.

18.

11.

15.

12.

16.

19.

20.

2

En los problemas del 21 al 28 encuentra el valor de “x” 21.

25.

22.

26.

23.

27.

24.

28.

Resuelve.

29. Si el pH de una sustancia es 5,5; entonces la concentración de iones de hidrógeno, h, en átomos gramo por litro puede representarse por medio de

.

Representa esta ecuación en forma exponencial.

II.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Si

, entonces los logaritmos presentan las propiedades siguientes: PROPIEDAD

EJEMPLO

Identidades fundamentales

Logaritmo de la unidad

Logaritmo de la base

Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente

Logaritmo de una potencia Logaritmo de una raíz

Igualdad de logaritmos

3

Ejemplos.

1. Calcular el valor de Soluci贸n:

2. Reduce Soluci贸n:

3. Expresa como suma y diferencia de logaritmos

Soluci贸n:

4

Ejercicios.

Aplica la propiedad de los logaritmos en cada uno de los casos.

3.

1.

2.

4.

Si se sabe que logaritmos.

, calcula los siguientes

5.

6.

III.

7.

8.

SISTEMAS DE LOGARITMOS El logaritmo de un n煤mero depende de la base que utilicemos. Las bases m谩s empleadas son 10 y .

Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales o vulgares. Se denota .

Los logaritmos de base ( ) se denominan logaritmos naturales o neperianos. Se denota .

En ambos casos no es necesario indicar la base.

La equivalencia entre ambos sistemas de logaritmos es:

Ejercicios En los problemas siguientes encuentra el valor de logaritmos naturales.

1.

e . La respuesta debe estar en funci贸n de

2.

3.

4.

En los siguientes problemas utiliza tu calculadora para enc9ontrar el valor aproximado de cada expresi贸n. Redondea tu respuesta a cinco cifras decimales.

5.

6.

7.

5

8.

IV.

CAMBIO DE BASE En muchos casos para aplicar las propiedades principales, es necesario que todos los logaritmos se encuentran en una misma base; si no es así, procedemos a efectuar CAMBIOS DE VARIABLE.

Ejemplos.

1. Escribir

en base 7.

2. Simplifica

V.

COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO El cologaritmo de un número se define como el logaritmo de la inversa del número dado.

Así:

El antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en la operación inversa de buscar el logaritmo de un número.

Así:

Ejemplos.

1.

2.

3.

4.

6

Propiedades

Ejercicios 1.

2.

3.

4.

7

VI.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Este tipo de ecuaciones se caracterizan porque la incógnita se encuentra afectada por la notación logarítmica.

Ejemplos a. b. c. d.

(No es ecuación logarítmica)

Para resolver ecuaciones logarítmicas sólo hay que aplicar las propiedades y transformarla en una ecuación más sencilla.

Ejemplos: 1. Resolver Solución:

2. Resolver

Solución:

8

3. Resolver Soluci贸n.

Haciendo un cambio de variable:

Luego:

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si

, hallar:

2. Calcular

3. Hallar

9

4. Evaluar: 5. Si

6. Si

, hallar

, hallar

7. Hallar 8. Si 9. Si

, hallar , hallar

10. Hallar

10

Víctor Calderón Callao Chiclayo – Perú Marzo, 2011

11