montessori MAGAZINE
Jaargang 45 nummer 2 maart 2022
Gecijferdheid Effectiviteit van montessori-rekenonderwijs Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt Rekenen-wiskunde in digitale spagaat
‘ We shall walk together on this path of life, for all things are a part of the universe, and are connected with each other to form one whole unity.’
‘Maria Montessori’s rekenmaterialen zijn niet altijd concreet, eerder symbolisch; het wiskundig concept ligt “verborgen” in het materiaal.’
Inhoud
dr. Maria Montessori To Educate the Human Potential 2
Lief en leed
15
Floor Vermeulen
Digitale ondersteuning bij het materiaal
24
Sam de Vlieger 3
Column: Laat het rekenmateriaal niet verstoffen
16
Anne Schiereck 4
Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt Paul Op Heij
8
Effectiviteit van montessorirekenonderwijs
Rekenen-wiskunde in digitale spagaat Paul Op Heij
De kunst van wiskunde
De kwestie: Maken rekenen en wiskunde op mijn school voldoende contact met overige vakken? Manja Haze Annemieke Eshuis Dé Matthijssen Sam de VLieger
Jaap de Brouwer 12
Paul Op Heij
27
Sandra Veenstra 20
Leerlijn niet kennen, vergroot verschillen
Goochelen met grote getallen Esther Sandbergen
28
Boekrecensie De vrucht van kritische zelfreflectie Bert Kraai
31
Boekrecensie Vrijheid en medeverantwoordelijkheid Paul Op Heij
23
Mits adequaat ingericht en begeleid… Symen van der Zee
32
Boekrecensie De thuiszittersklas Paul Op Heij
‘Het zou mooi zijn als we in de kunst meer handvatten zouden kunnen vinden om de acceptatie van abstracte wiskundige problemen op school te helpen vergemakkelijken.’
Hoera !
We zetten met liefde haar werk voort NMV leidinggevenden Jonge kind & Basis & Vakbekwaam Coaching & begeleiding Inspiratie studiedagen
Van de redactie Paul Op Heij Hoofdredacteur Montessori Magazine Tijdens corona hoorde je regelmatig dat er teveel gewicht toegekend wordt aan cijfers en wiskundige modellen en te weinig geluisterd naar de samenleving. Als nooit tevoren wordt in de media gegoocheld met percentages en getallen, waarmee het publieke debat wordt gefrustreerd. Wat niet wil zeggen dat grafieken en tabellen in publieke communicatie niet beter inzicht kunnen bieden dan alleen maar woorden – denk aan de evenwichtige mix in de tv-reeks Scheefgroei. Maar doordat we voor alles vaste standaarden hebben bedacht (IQ-punten, CO2-uitstoot, bbp-groei) werden cijfers de meest gesproken taal ter wereld, schrijft Sanne Blauw in Het best verkochte boek ooit.1 We verzamelen steeds meer cijfers en proberen daarmee ons gelijk te halen. Daarom is het belangrijk dat we de taal van cijfers beter leren doorgronden, dat we meer ‘gecijferdheid’ (tegenhanger van geletterdheid) nastreven. Zie daar een schone taak voor rekenen-wiskunde. Maar het is ook een reden temeer de discussie binnen dat vak eens aan te halen, tussen wetenschappelijk onderzoekers en vakdidactici, de ene groep 1
2
www.montessoriopleiding.com
Blauw, Sanne (herziene herdruk 2021), Het best verkochte boek ooit. Hoe cijfers ons leiden, verleiden en misleiden, Uitgeverij de Correspondent. Aldus Bijzonder Hoogleraar Domeinspecifieke Onderwijstheorieën Rekenen-Wiskunde Koeno Gravemeijer onlangs in vakblad Didactief (2022-01-13). Hij bekritiseert onderzoekers die vergelijkend kwantitatief onderzoek naar verschillende leerstof en leerlingen bijeenbrengen en daar conclusies uit trekken over wat voor iedereen hét beste onderwijs zou zijn, alsof er één beste onderwijs voor iedereen zou bestaan.
Montessori Magazine
voorstander van het klassieke rekenen, de andere van meer getallenbegrip en ‘onderliggend wiskundig begrip.’2 In dit nummer daarom aandacht voor die discussie en daaraan gekoppeld de zoektocht naar een betere aanpak op montessorischolen. Basisschoolleerkracht Pink van de Hel legt uit hoe zij met haar Rekengebouw een transparante leerlijn ontwikkelde, ook voor kinderen dus. Jaap de Brouwer evalueert het materiaal en het montessorirekenonderwijs in bredere zin. Lector Wiskundig en Analytisch Vermogen Kees Hoogland belicht de rol van het Freudenthal Instituut, benadrukt het belang van gecijferdheid en draagt tussendoor ook nog een oplossing aan voor al te talige contextsommen. Wiskundeleraar en fotograaf Erik Schilt zoekt de oplossing ook in de kunst. En onderwijsadviseur Henk van de Hoef legt uit wat (tot nu toe) de zwakke en sterke punten van digitale adaptieve rekenmethodes zijn. Vaak levert uitzoomen beter overzicht op en daarmee een andere kijk, maar hetzelfde kan gelden voor inzoomen: misschien maakt beter begrijpen van wat er binnen één vak speelt, ook duidelijker wat er speelt in het onderwijs in bredere zin.
nummer 2 | jaargang 45
1
Column
L
Column
Lief en leed Floor Vermeulen
l
Laat rekenmateriaal niet verstoffen Anne Schiereck1
Deze editie is er weer hard gewerkt aan het Montessori Magazine. Met een uitdagend
2
thema: ‘gecijferdheid’ en wat we daarmee kunnen en misschien wel moeten voor
Ooit wilde ik wiskundeleraar worden.
de bovenbouw van veel scholen is het
montessori rekenen en wiskunde. Paul Op Heij, hoofdredacteur, leidt het themanum-
Mijn vader was dat en waarschijnlijk
knopjesbord favoriet; buitenstaanders
mer in en de verschillende bijdragen mogen er weer zijn, uit het montessoriveld zelf
heb ik daardoor een fascinatie voor
zien vaak het nut niet van het laten
en van daarbuiten. Interessant om te lezen tijdens maartse regenachtige dagen -
complexe puzzels en rekenopgaven
zien van de opbouw van een kwadraat
namens het bestuur veel dank aan de redactie. Inspireren en in verbinding staan met
ontwikkeld. Via omzwervingen kwam
of een wortel. Op de middelbare
de vereniging, dat lukt op deze manier steeds goed. En zo blijven we als NMV ook
ik terecht op de montessoripabo in
school is hier geen tijd meer voor.
nadenken hoe te motiveren, bij de tijd te blijven en de communicatie nog verder te
Amsterdam. Eerlijk gezegd had ik geen
Kinderen weten wat de wortel uit 81 is
verbeteren.
idee waar ik terecht was gekomen,
en de rest kan met de rekenmachine.
maar vond het al snel geweldig! Elke
Zonde vind ik dat.
De scholen gingen weer open en een nieuwe minister heeft aangegeven dat wat hem
week kwamen meerdere montesso-
betreft vanaf nu er ook alles aan gedaan zal worden om die open te houden, hoe dan
rimaterialen voorbij en telkens was
Breukenkegels
ook. Dat is voor iedereen belangrijk om te weten, maar in het bijzonder natuurlijk
ik onder de indruk over hoe knap ze
Op de pabo was ik het meest onder de
voor de kinderen. Mijn complimenten trouwens voor alle teams in de scholen, hoe
bedacht waren. Maria Montessori heeft
indruk van de breukenkegels: mate-
die keihard gewerkt hebben en werken om het onderwijs in welke vorm dan ook
eindeloos tussen de kinderen gezeten
riaal (we noemen het materiaal, ook
mogelijk te houden. Laten we van deze minister verwachten dat hij ruimte geeft aan
en geobserveerd en daar haar materia-
als er meerdere zijn) om te leren hoe
professionaliteit op de werkvloer en niet van achter zijn bureau van alles bedenkt wat
len op ontwikkeld. Voor elke behoefte
je moet delen door een breuk. Ik was
dan maar even in praktijk moet worden gebracht.
een materiaal.
altijd goed in rekenen en wiskunde,
Hoe beter ik de materialen leerde ken-
maar niemand had mij uit kunnen leg-
Tijdens de ledenvergadering stonden we (helaas weer digitaal) stil bij een aantal
nen, des te meer ontdekte ik de geniali-
gen waarom je bij het delen door een
belangrijke ontwikkelingen binnen de NMV: het Lectoraat Vernieuwingsonderwijs is
teit er van. In de onderbouw zijn er die
breuk moet vermenigvuldigen met het
deel 0,25 is, kun je dat heus aan veel
in ontwikkeling en we mogen trots zijn op lector Patrick Sins en de bijdragen die hij
misschien alleen maar lijken op mate-
omgekeerde. Ik moest het trucje maar
kinderen prima uitleggen, maar als je
afgelopen jaren met zijn collega’s heeft geleverd aan de kennisontwikkeling binnen
riaal om mee te tekenen (de tekenfigu-
gewoon uitvoeren.
een vierde van de breukencirkels in je
montessori. Patrick gaat verder met zijn werk vanuit Rotterdam, maar blijft actief be-
ren), maar in werkelijkheid ontwikkelen
De breukenkegels gaven mij voor het
honderddelige boog legt, kan daar echt
trokken. Symen van der Zee, de nieuwe lector bij Saxion, hij stelt zich voor in dit num-
ze ook motorisch de schrijfvaardigheid.
eerst echt inzicht in het delen door
geen uitleg tegenop.
mer, zal binnenkort met de vereniging kennis komen maken. We kijken er naar uit!
Het zijn zorgvuldig gekozen geometri-
een breuk. In de kroeg kon ik het met
Een paar jaar geleden leerde ik van
sche vormen en ook geen toeval: het
behulp van asbakken en bierdoppen
een collega hoe je gemakkelijk met het
Egbert de Jong heeft vanuit het bestuur een uitgebreide toelichting gegeven op de
zijn er precies tien, net als de cilinders,
aan vrienden uitleggen. De asbakken
fichesspel een staartdeling kunt uitleg-
voor de vereniging geformuleerde visie op de toekomst - ik heb hem daar namens
de rode stokken, de bruine trap en de
werkten wellicht niet zo verduidelijkend
gen. Ik maakte wel eens een deelsom
iedereen voor gecomplimenteerd. Egbert maakt een tour langs de netwerken om zo
roze toren. En die laatste heeft dan
als de kegels, maar mijn enthousiasme
met het decimale fichesspel (niet door
ook precies te kunnen weten wat er speelt, van ouders tot opleiders en ontwikkelaars
weer exact de afmeting van een liter
maakte veel goed.
Montessori zelf bedacht), maar voor
en langs de hele doorlopende leerlijn van 0 tot 18. Als u vragen of ideeën heeft, weet
oftewel een kubieke decimeter. Niet
Sindsdien reken ik zelf delen door een
grote deelsommen gebruikte ik het
hem te vinden! Egbert is altijd bereid daarover met u te communiceren. Klasse!
dat de peuters die er mee werken, dat
breuk anders uit en al zal een wiskun-
gewone fichesspel nooit. Maar ik zag
allemaal weten, maar later in de mid-
dige mogelijk zeggen dat het hetzelfde
direct hoe handig het was, het werkte
Helaas hebben we soms ook verdrietig nieuws. In de eerste plaats hebben we stilge-
den- en bovenbouw werken kinderen er
is, nu weet ik wat ik doe en waarom.
fantastisch. Sindsdien leg ik aan al
staan bij het overlijden van de nestor van montessori onderwijs in Nederland, Nico
wel verder mee en doen er berekenin-
In mijn klas werken we daarom altijd
mijn zesde groepers uit hoe het werkt.
van Ewijk. We hebben als bestuur namens de NMV ons medeleven overgebracht aan
gen en ontdekkingen mee. Als je hen
met materialen - ik gebruik ze eigenlijk
Sommigen blijven daarna wekenlang
zijn nabestaanden. En we zullen Nico blijven herinneren om zijn grote bijdragen aan
er aan helpt herinneren, hebben ze een
bij al mijn uitleg. Ik zie steeds meer
met het materiaal werken en andere
dat wat voor ons van zo grote waarde is. Onze penningmeester en daarmee steun en
prachtig referentiekader.
scholen waar ze verstoffen of alleen
begrijpen snel hoe ze verder kunnen
toeverlaat bij de NMV, Miguel Delcour, beleeft een spannende tijd vanwege ziekte. We
Mensen die onbekend zijn met mon-
worden gebruikt als kinderen vastlo-
op papier. Hoe meer ik met materialen
wensen Miguel een voorspoedig herstel toe en alle kracht, ook voor zijn gezin.
tessorimaterialen, kunnen zich weinig
pen. Ik probeer collega’s binnen en
werk, hoe meer ik ontdek en hoe meer
voorstellen bij de kubussen van de
buiten mijn school te stimuleren om
de kinderen leren.
roze toren en dat je dan met behulp
juist altijd te beginnen met materia-
van prisma’s met diezelfde kubussen
len. Ze zitten zó goed in elkaar! Als je
(A+B) maakt en eventueel berekent. In
moet duidelijk maken dat één vierde
Floor Vermeulen, voorzitter
Montessori Magazine
3
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
1 Anne Schiereck is leerkracht Montessorischool Leidschenveen
nummer 2 | jaargang 45
Thema
R
Thema
Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt
Op de pabo werd rekenen sterk benaderd vanuit de basis, wat volgens haar heel goed is, omdat veel mensen in het onderwijs trauma’s met rekenenwiskunde oplopen en tegen de tijd dat ze leerkracht willen worden denken dat ze het niet (meer) kunnen. Veel kinderen en ook volwassenen hebben
Paul Op Heij
het idee dat rekenen moeilijk en ingewikkeld is, zegt ze, terwijl dat helemaal niet het geval hoeft te zijn, als je maar goed bij de basis begint: rekenen als
4
Basisschoolleerkracht Pink van de Hel bouwt met haar achtergrond in de ICT
opgaven gaan toevoegen. Om alle
vaardigheid om te ordenen, nog niet
aan het Rekengebouw dat de montessorileerlijn verbindt met SLO-tussendoelen
doelen te ordenen plaatsten we die van
het ‘realistisch rekenen’ voor het echte
en de volgorde in volgsysteemtoetsen. Dat bovendien een verbeterde versie
gelijk niveau naast elkaar en moeilij-
leven van het Freudenthal Instituut.
van digitale adaptieve rekenmethodes wil zijn. ‘Ik heb lang genoeg in de ICT
kere boven makkelijkere. Dat groeide
Pink van de Hel: ‘Als je eerst goed leert
gewerkt om te weten dat je pas precies weet wat je nodig hebt als je een systeem
uit tot het Rekengebouw, waarmee we
ordenen met cijfers valt dat bewerken
eenmaal gebruikt.’
kinderen van de ene naar de volgende
later heel erg mee. Dat ordenen heeft
verdieping laten werken, ieder in een
weinig met intelligentie te maken, vrij-
eigen tempo. Dus leerlijnordening in
wel iedereen moet dat kunnen. Daarbij
nog met liefde gebruikt, maar met
waarmee ze leerlingen regelmatig op
de vorm van een gebouw.’
is het voor mij als leerkracht, met
alleen die materialen krijg je kinderen
pad stuurt. En zo’n Viktor Mids van
mijn bredere ervaring, makkelijker om
niet aan het rekenen, meent zij. ‘Naast
Mindfuck op tv. - oud-leerling trouwens
Om de groei bij kinderen qua rekenen-
konden en een verdieping hoger kwa-
wiskunde aanschouwelijk en tastbaar
men, omdat het helpt bij het opbou-
te maken, ontwikkelt Pink van de Hel
wen van vertrouwen en motivatie. Ons
Vanuit de basis
kinderen mee te nemen, omdat ik meer
de lesjes wil je als docent ook een
van het Haags Montessori Lyceum, en
van Openbare Montessorischool Jan
was opgevallen dat bij gezamenlijke
Op basisscholen loopt rekenen minder
overzicht heb en vreemde gedachten-
aanleiding hebben waarom kinderen
een Ionica Smeets met haar reken-
Vermeer in Delft met collega’s het
tempotoetsen kinderen die het goed
het gevaar dan wiskunde op de middel-
kronkels van kinderen makkelijker kan
iets moeten uitrekenen. En er moet ge-
wiskundecolumns in de Volkskrant,
zogenoemde Rekengebouw. Dat is een
deden, plezier hadden, meer oefenden
bare om een geïsoleerd vak te worden
herkennen. Toen ik 10 jaar geleden in
oefend worden. De materialen die we
vindt ze heel inspirerend, al kan ze hun
website waarop voortgang zichtbaar
en snel vooruitgingen. Goed voor het
in het curriculum, zegt Pink van de
het onderwijs begon, moest ik me wel
op school hadden, waren wat morsig
ideeën en ideetjes zelden direct meen-
wordt, in een bouwwerk met etages
klassengemiddelde, maar wat heb je
Hel. Dit omdat op basisscholen bijna
bepaalde didactische vaardigheden
geworden en we konden het niet ge-
nemen in lessen, vertelt ze.
voor moeilijkheidsgraden en kamers
daaraan als kinderen die het niet goed
alle leerkrachten alle vakken geven,
nog eigen maken, maar daarbij heb ik
makkelijk eens worden over hoe ze te
voor de aparte rekenonderdelen. Ze
kunnen, weinig oefenen en nauwelijks
‘ook al leggen ze hun eigen accenten.’
veel steun gehad van ervaren collega’s
vervangen. Bij ons op school, toen nog
Marcel Schmeier
noemt het voor de afwisseling ook
vooruitgaan. Door die laatsten te laten
Zelf studeerde ze Industrieel Ontwer-
als Anne Schiereck van Montessori-
twee locaties, koos de ene locatie voor
Maar er is ook Marcel Schmeier met
wel lasagne, omdat er geen ramen in
oefenen en toetsen op een beperkt
pen aan de Technische Universiteit
school Leidschenveen, net als ik een
de methode Getal en Ruimte Junior, de
zijn Hoe leer je kinderen rekenen? 3, zegt
zitten. Kinderen vergeten gemakkelijk
aantal tafelsommen tegelijk, boekten
rekenfreak. Hoewel ik al bijna vier jaar
andere wilde zonder methode verder
ze, die zich juist sterk afzet tegen al dat
hun eigen ontwikkeling, licht ze toe,
ook zij meer vooruitgang en werden
Delft en ontwikkelde 10 jaar software bij TNO 1 voordat ze in de avonduren
in Delft werk, werken we nog steeds
en koos voor AVE-Ik. Maar eigenlijk wil
moderne realistische rekenen, waarbij
en zo’n gebouw met verdiepingen
gemotiveerder. Ik programmeerde
de pabo ging doen en een montes-
goed samen.’
je een systeem dat niet alleen voor de
alles moet kunnen worden beleefd,
helpt niveaus zichtbaar maken. ‘Zeker
daartoe toetsen op maat. Daarna zijn
soriomscholing. Als ingenieur op de
leraren, maar ook voor de leerlingen de
terwijl er nauwelijks nog geoefend en
kinderen die wat moeilijker leren, wil je
we aan die maatwerktoetsen naast
basisschool legt zij het accent allicht
Behoorlijk in beweging
leerlijn transparant maakt. Want het is
geautomatiseerd wordt. ‘Veel mensen
eraan herinneren dat ze iets eerder niet
tafelsommen steeds meer soorten
bij rekenen-wiskunde, zegt ze, al wil
Op veel scholen is het rekenonderwijs
hartstikke leuk om leerlingen indivi-
lijken te denken dat abstractie en jonge
dat niet zeggen dat ze andere onderde-
behoorlijk in beweging, vertelt Van de
dueel lesjes te geven, maar je hebt er
kinderen niet samengaan, maar ik denk
len niet met plezier doet. Toen ze voor
Hel, en daarbij lopen de ideeën van
wel 27 in de klas. Je wil dus een goed
dat abstract denken ook gewoon een
het onderwijs koos, zaten haar twee
collega’s vaak flink uiteen. Zeker ook
voorbereide omgeving met niet alleen
vaardigheid is die je met onderwijs kan
kinderen op de basisschool. ‘Wat ik het
op montessorischolen. De materialen
die materialen, maar ook alles wat ze
allerleukste vind is als je bij kinderen
van Maria Montessori worden er vaak
nodig hebben om individueel voldoen-
het kwartje ziet vallen, hoe ze enthou-
de te kunnen herhalen en geïnspireerd
siast kunnen uitroepen: hé nu snap
te raken.’
ik het.’ Voorlopig zal ze dus nog wel in het basisonderwijs werken, ook al ziet ze zichzelf al wel eens bij een Lego Education Centre of het Freudenthal Instituut.2
1 Nederlandse Organisatie voor toegepastnatuurwetenschappelijk onderzoek (TNO) werd in 1932 opgericht en werkt aan onderzoeken en innovaties die direct kunnen worden toegepast door bedrijven en overheden.
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Je hebt niet altijd een aanleiding nodig 2
Het Freudenthal Instituut aan de Universiteit Utrecht draagt al 50 jaar het zogenaamde ‘realistische rekenen’ uit waarbij kinderen leren vanuit praktijksituaties, om vanuit de fysieke werkelijkheid tot de abstractie van formules te komen, in plaats van andersom. 3 Schmeier, Marcel (2017), Effectief rekenonderwijs op de basisschool 2.0, Uitgeverij Pica. Pink van de Hel over Schmeier: ‘Ik heb de indruk dat de extreme variant van het “realistische rekenen” een beetje op zijn retour is. Marcel Schmeier maakt steeds meer tromgeroffel om terug te keren naar de Pink van de Hel basisvaardigheden.’
Montessori Magazine
om iets te kunnen uitleggen of uit te laten rekenen, maar praktijkvoorbeelden en -situaties, ‘soms een bijzonder getal uit het Jeugdjournaal’, maken het wel makkelijker om de aandacht van kinderen vast te houden, meent ze. Dus vraagt ze haar leerlingen, zeker bij groepsactiviteiten, hoe lang zij denken dat de gang is of hoe breed het speelplein. Ze heeft bijvoorbeeld een touw van honderd meter in haar lokaal
nummer 2 | jaargang 45
5
Thema
Thema
helpen ontwikkelen. Je moet dus niet
gen het al een tijd niet meer gedaan
dat wat in het regulier pas in groep 5-6
te lang in het realistische rekenen en
hebben, vragen ze er soms zelf om. En
op het programma staat. En ook de
dat toepassen blijven hangen. Marcel
als het hun lukt om een rijtje op tijd
overstap naar de algebra en het wortel-
Schmeier vindt zelfs dat je eerst moet
te maken, hoor je de succeservaring,
trekken gaat prima met die materialen,
leren bewerken en oefenen en dan pas
omdat leerlingen dan letterlijk 1000
toepassen, dus eerst kilometers ma-
zegt ze: ‘ Yes!’ Wat ons spontaan bij kinderboek De telduivel4 brengt, waarin
ken, niet anders dan dat nodig is voor
Robert ’s nachts zijn dromen leert
len zijn zo opgebouwd dat getalbegrip
het opbouwen van spieren. Ik denk ook
opvrolijken door veel te leren over reke-
ook echt een beeld in je hoofd kan
dat automatiseren belangrijk is om dat
nen-wiskunde, van de telduivel die bij
worden. Maar leerlingen leren het
abstracte uiteindelijk aan te kunnen.
hem op bezoek komt. Van de Hel heeft
berekenen uiteraard ook op papier,
Want als het rekengedeelte van een
met dat boek nog een tijd freelance les
want dat is het uiteindelijke doel. Op
talige contextsom te moeizaam gaat en
gegeven in de groepen 5 en 6, vertelt
papier werken gaat ook veel sneller dan
teveel tijd kost, gaat op een gegeven
ze enthousiast. Ze las dan telkens een
met materialen. Die gebruik je vooral
moment ook weer de context verloren.
passage voor en koppelde daar reken-
voor het inzicht en begrip krijgen. Hoe
En zit de leerling dus met twéé proble-
kundige of wiskundige opgaven op het
meer zintuigen je daarbij betrekt, hoe
men. Om plezier aan contextsommen
juiste niveau aan.
sterkere herinneringen je aanmaakt.’
te kunnen beleven, moet je ook de
6
kralen in handen hebben. De materia-
Van de leerlijn op haar basisschool
nodige rijtjes kunnen. Natuurlijk heb
Leerlijn bewaken
heeft zij aardig overzicht, zegt ze: ze
je daarbij nog het onderscheid tussen
Ze zegt niet te weten of docenten het
weet wat leerlingen als ze bij haar in
memoriseren, dat je je de uitkomst van
leren rekenen altijd net zo systema-
de bovenbouw aankloppen, moeten
een som gewoon herinnert, en automa-
tisch opbouwen als ze dat bij taal
kunnen en wat ze moeten beheersen
tiseren, dat je weet welke handeling
doen. ‘Kijk, in het regulier onder-
als ze naar de middelbare gaan. Maar
vereist is om tot een juiste berekening
wijs bewaakt de gebruikte methode
ze heeft geen goed beeld, zegt ze, van
te komen, maar het moet in ieder geval
een leerlijn, bij montessori moeten
wat ze doen in de brugklas, al weet
hebben er ook al alle tussendoelen
en duidelijk maken dat onderdelen als
wil als je iets hebt. Door het systeem
een beetje snel en vanzelf gaan om bij
docenten die zelf bewust neerzetten
ze, ook van haar eigen kinderen, dat
van het SLO in gebouwd. Ons bouw-
worteltrekken echt de extra’s zijn. ‘Als
te gebruiken, weet je steeds preciezer
die uitkomst te komen. Je kan best een
en aanhouden. Ze beginnen met de
leerlingen op de basisschool veel leren
werk is iets heel anders dan digitale
je aan zo’n onderdeel niet toekomt,
wat je wilt. Ik heb lang genoeg in de
algoritme leren uitvoeren zonder te
wat ze later nooit meer gebruiken.
adaptieve rekenmethodes als Snap-
ligt niemand daar wakker van. Als een
software ontwikkeling gewerkt om te
begrijpen hoe het werkt. Begrip daar-
gouden materialen, de kraaltjes, 10 aan 105, heel concreet. Daarna wordt
‘Op de montessorischool leren ze
pet en Gynzy. Het adaptieve ervan zit
leerling meer tijd nodig heeft bij klok-
weten dat het zo werkt. We kennen dat
van is mooi maar niet noodzakelijk.
het abstracter en worden er afspraken
de staartdeling als vanouds – het is
ook in ons systeem, maar het is zeker
kijken, kan hij beter daar iets meer tijd
fenomeen ook van de overheid waar
Routine zonder begrip is noodzakelij-
gemaakt: de groene kraal staat voor
trouwens heel verwarrend als kinderen
niet de bedoeling dat onze kinderen
aan besteden. De extra’s voor meer
softwareprojecten altijd helemaal uit
ker dan begrip zonder routine.’
1, de blauwe voor 10 en de rode voor
op reguliere basisscholen leren delen
steeds via de website op computers
uitdaging zitten door het hele gebouw
de hand lopen, omdat ze ontwikkeld
Te vaak denken volwassenen ook dat
100. Alvast abstracter, maar je hebt
met kolomsommen of met happen
werken, al moeten ze dat uiteindelijk
heen, maar het bovenste deel is geheel
worden door externe ontwerpers en
kinderen rijtjes leren saai vinden,
nog steeds iets in handen. Omdat het
nemen en dat dat dan ook staartdeling
ook wel kunnen. Wij hebben boekjes
gevuld met extra’s voor kinderen die
ontwikkelaars, omdat het heel moeilijk
meent zij. ‘Natuurlijk is teveel niet
aanschouwelijk en tastbaar maken van
wordt genoemd. Vandaar dat wij onze
met sets opgaven, werkjes, en kinderen
daar nog aan toe komen.’
is om te bedenken wat de gebruiker,
goed, maar kinderen vinden het ook
rekenen-wiskunde zo voor de hand
aanpak de klassieke staartdeling zijn
pakken daar dan gewoon de materia-
gewoon fijn als ze merken dat ze iets
ligt, gebruiken tegenwoordig ook veel
gaan noemen. Maar in de derde van
len bij. Maar ook al werken ze vooral
Persoonlijke QR-code
gebruiker als ontwikkelaar en heb nauw
zeker zijn gaan beheersen. In ons
reguliere scholen materialen, meer
de middelbare school zijn leerlingen
vanaf het papier, ze zijn het toch al vrij
Ze probeert met haar collega’s het
contact met collega-gebruikers waar-
Rekengebouw zitten dan ook gewoon
dan alleen een telraam. Bij ons werken
het allemaal weer kwijt, omdat er op
snel levels gaan noemen. We volgen
Rekengebouw voor zowel kinderen als
door we geleidelijk toe groeien naar
rijtjes en we doen ze ook regelmatig,
kinderen in de onderbouw met de
de middelbare school niet meer met
weliswaar de montessorileerlijn, maar
andere docenten dus zo transparant
steeds beter. Uiteraard horen we ook
ieder op een eigen niveau.’ Als leerlin-
materialen al met sommen van 10.000,
klassieke staartdelingen wordt gewerkt.
we hebben die lijn ook al zo afgestemd
mogelijk te maken. Leerlingen loggen
van de kinderen wat niet en wel werkt,
Daar mogen leerlingen trouwens ge-
dat leerlingen, wanneer ze een landelijk
in met een persoonlijke QR-code en
maar de belangrijkste feedback van hen
woon de rekenmachine gebruiken.’
genormeerde toets maken, ook via het
zien hun eigen versie van het gebouw,
is toch als het hen lukt om elkaar te
Rekengebouw goed voorbereid zijn.
zoals de leerkracht het op basis van
helpen om te leren, zonder afhankelijk
Digitale methodes
Het is immers niet fijn om aan ouders
wat die signaleerde voor hen persoon-
te zijn van de leerkracht, en je aan hen
Aangezien Van de Hel toch kon
uit te moeten leggen dat hun kinderen
lijk heeft voorbereid en klaargezet. ‘Ik
ziet dat ze ervan genieten als het lukt.’
programmeren, zocht ze de oplossing
wel veel geleerd hebben, meer dan
geef keuzevrijheid door een beperkte
voor een goede en ook voor leerlingen
nodig zelfs, maar dat ze voor die toets
keus te geven. We willen hen niet
transparante, doorlopende leerlijn via
teveel keus geven, omdat ze dan al
haar website Rekengebouw: van elke
toch niet goed gescoord hebben.’ 6 Omdat het in het onderwijs belangrijk
leerling en van elk rekenonderdeel
is opgebouwde materialen ook te kun-
wat vooral zal frustreren. We overleg-
de voortgang duidelijk zichtbaar. ‘We
nen overdragen aan minder ervaren
gen daarbij dus ook regelmatig met
leerkrachten, zou de hoeveelheid
onze collega’s in Leidschenveen. We
sommen in het Rekengebouw een pro-
geven elkaar feedback en we groeien
bleem kunnen zijn. Toch is dat niet het
samen mee met het gebruik van het
geval, legt Pink van de Hel uit, omdat
systeem. Daarom is het ook prettig dat
zij en haar collega’s juist de logische
het niet door een derde partij ontwik-
opbouw in de rekenlijn benadrukken
keld wordt. Je weet pas precies wat je
4 Enzensberger, Hans Magnus (1999), De telduivel. Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is, De Bezige Bij. 5 https://www.heutink.nl/artikel/alles-vanheutink/100_590538
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
de klant dus, precies wil. Ik ben zowel
gauw iets kiezen wat nog niet lukt en
6 Enkele concrete voorbeelden hierbij: ‘Bij montessori leren kinderen in de middenbouw, soms onderbouw, al cijferend optellen en aftrekken met getallen boven de 1000. Dat wordt pas in groep 6 getoetst in de LVS toetsen. Andersom komen er ook dingen in toetsen die in het montessoricurriculum wat later worden aangeboden, juist in de LVS toetsen van groep 4 of 5 voorbij. Zo kan of kon het gebeuren dat kinderen bepaalde vaardigheden die nog niet getoetst worden goed beheersen, maar toch slecht scoren op een toets.’
nummer 2 | jaargang 45
7
Thema
E
Thema
Effectiviteit van montessorirekenonderwijs
laat een genuanceerder beeld zien. Zij stellen dat ontwikkelingsmaterialen wel degelijk kunnen bijdragen aan het leerproces van kinderen, mits toegepast onder een viertal voorwaarden. Ten eerste dat kinderen langere tijd met de materialen moeten hebben gewerkt voordat het bijdraagt – beves-
Jaap de Brouwer
tigt en verduidelijkt door onder andere Elida Laski en collega’s: hoe langer je
Van oudsher werken veel scholen in kleutergroepen met ontwikkelingsmaterialen
werkt met materialen, hoe effectiever het wordt.3 Dit omdat kinderen de tijd
vanuit het idee dat concreet materiaal de eerste stap is om zich abstracte reken- en
nodig hebben om de relatie te leggen
wiskunde concepten eigen te maken. Dat gebeurt ook op montessorischolen. Maar
tussen materialen en abstractere
is het werken met montessorimaterialen wel zo effectief voor het verzorgen en
wiskundige concepten. Het is als een
leren van rekenen en wiskunde onderwijs?
iteratief proces: door het werken met materialen een basaal idee krijgen van hoe een wiskundig concept in elkaar
8
De inzet van ontwikkelingsmateriaal
zit. Dat leidt tot een beter begrip van
komt voort uit het idee dat kinderen
het wiskundige concept. Hierdoor
eerst concreet moeten handelen,
begrijpt het kind ook weer beter hoe dit
voordat ze abstract kunnen redeneren.
wiskundige concept zich verhoudt tot
Eerst leren we kinderen om te tellen
het materiaal dat het gebruikt. En dat
met stenen, kralen en vingers om ze
leidt weer tot een beter gebruik van het
dig de relatie leggen tussen materialen
van werken met materialen die Carbon-
dit vervolgens, naar mate getallen
materiaal, wat weer leidt tot een beter
en abstractere wiskundige concepten.
naueau en collega’s stellen. Leraren
groter worden, zonder concrete onder-
begrip van het wiskundige concept,
Het vraagt tijd, instructie en oefening
moeten daarom hun denkstappen,
steuning van materialen te laten doen.
enzovoorts. Verwacht dus niet, aldus
om deze relaties te leggen.
handelingen en denkprocessen hardop
Zo bekeken stellen de ontwikkelings-
Laski, dat kinderen al na een enkele
materialen voor rekenen een abstracter
keer werken met het gouden materiaal
Relaties en verbindingen
ties met het materiaal.
wiskundig concept voor. Het gouden
het decimale stelsel kennen. Ze stelt
Dat leraren kinderen expliciete bege-
Dat vraagt ook, als derde voorwaarde,
dat het zelfs met het best ontworpen
leiding bieden om de relatie te leggen
een heldere materiaallijn van concreet
ontwikkelingsmaterial niet realistisch is
tussen het materiaal en het wiskundige
naar steeds abstracter.
te denken dat jonge kinderen zelfstan-
concept is ook de tweede voorwaarde
Hoe concreter de overeenkomst is
materiaal als voorstelling van het
uitleggen tijdens het geven van instruc-
decimale stelsel, het kralendecanoom
kinderen om te komen tot abstractie,
kelingsmaterialen. Maar wie die voor
van de tafels van vermenigvuldiging
of door het gebrek van materialen om
rekenen en wiskunde goed bekijkt, ziet
of het machtsverheffen. Toch zit hier
een abstract wiskundig concept over
dat ze nogal verschillen, qua uiterlijk,
tussen een ontwikkelingsmateriaal en
een tegenstrijdigheid: het vraagt van
te brengen. Ze gaat uit van het laatste
maar ook qua gebruik: positie binnen
het wiskundige concept, hoe makkelij-
kinderen immers al abstract te kunnen
en probeerde in haar zelf ontwikkelde
de leerlijn, doelstelling, maar bovenal
ker het voor kinderen is om de relatie
denken om een wiskundig concept
materialen abstracte, wiskundige con-
de bruikbaarheid om effectief bij te
tussen deze twee te begrijpen. Dat
af te leiden uit een concreet ontwik-
cepten te ‘materialiseren’. Niet door ze
dragen aan het leren van rekenen en
klinkt simpel bij tellen en getalbegrip,
kelingsmateriaal: het decimale stelsel
persé zo concreet mogelijk te maken,
wiskunde. Onderzoek naar de toege-
maar wordt ingewikkelder bij machts-
afleiden uit het gouden materiaal, wat
maar vooral door wiskundige concep-
voegde waarde van ontwikkelingsmate-
verheffen of worteltrekken. Maar blijf
nogal wat (denk-) stappen van kinde-
ten een tastbare en meer begrijpelijke-
rialen op het leren van rekenen laat een
niet bij die concrete fase hangen, is het
ren vraagt natuurlijk.
re vorm te geven. Maria Montessori’s
wisselend beeld zien: sommige studies
advies van Laski en collega’s. Concrete
Maria Montessori overzag dit pro-
rekenmaterialen zijn in die zin dan ook
laten zien dat materialen wel bijdragen
materialen zijn weliswaar nodig voor
bleem al. In haar boek De Methode vraagt zij zich af of dit komt door het
niet altijd concreet, eerder symbolisch:
aan het leren van rekenen en wiskunde,
het eerste basisidee van het wiskun-
het wiskundige concept ligt ‘verborgen’
andere spreken dat tegen of stellen dat
dige concept, maar kinderen zullen op
nog niet ontwikkelde vermogen van
in het materiaal. Zij sprak dan ook
den duur los moeten komen van het
over ‘gematerialiseerde abstracties.’
materialen het leren zelfs verstoren. Een grote overzichtsstudie2 uit 2013
De logische volgorde voor het zich
van Kira Carbonnaueau en collega’s
dat voor zich zag: van concreet naar
1
eigen maken van abstracte wiskundige
symbolisch naar abstract. Voor leraren
concepten is dan: vanuit de concrete
is het dus van belang te weten wat de
ervaring naar een symbolische weergave door naar abstractie.
Hoe met materialen Vaak staan er dozen vol montessorimaterialen in onderbouwgroepen, nog eens aangevuld met andere ontwik-
Montessori Magazine
materiaal. Of, zoals Maria Montessori
wiskundige essenties van de materia-
1 Montessori, M. (2016), De Methode. Montessori-Pierson Publishing Company: Amsterdam. 2 Carbonneau, K. J., Marley, S. C., & Selig, :͘ W͘ ;ϮϬϭϯͿ͕ ŵĞƚĂŶĂůLJƐŝƐ ŽĨ ƚŚĞ ĞĸĐĂĐLJ ŽĨ ƚĞĂĐŚŝŶŐ ŵĂƚŚĞŵĂƟĐƐ ǁŝƚŚ ĐŽŶĐƌĞƚĞ ŵĂŶŝƉƵůĂƟǀĞƐ͘ :ŽƵƌŶĂů ŽĨ ĚƵĐĂƟŽŶĂů WƐLJĐŚŽůŽŐLJ͕ ϭϬϱ͕ ϯϴϬͲϰϬϬ͘
nummer 2 | jaargang 45
len zijn en welk doel ze dienen. Maar ook wanneer materialen in te zetten in 3 Laski, E. V., Jor’dan, J. R., Daoust, C., & Murray, A. K. (2015), What makes mathematics manipulatives effective? Lessons from cognitive science and Montessori education. SAGE Open.
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
9
Thema
Thema
resultaten liet zien in de studies naar
de leerlijn en waarom juist dít specifieke materiaal. Het hoe, wat, wanneer
reken- en wiskundeprestaties. Maar
Aanvullingen overbodig
ook andersom: dat de studies die
en waarom ervan dus.
Voorkom afleiding
‘Ik denk dat je heel goed rekenonderwijs kunt geven met alleen de montessori-
geen positief effect aantoonden in het
rekenmaterialen,’ concludeert Chris Willemse, brand manager bij Nienhuis,
voordeel van het montessorionderwijs,
Als laatste voorwaarde stellen Carbon-
uitgever van montessorimaterialen. Willemse: ‘De mogelijkheden die in het
gingen over scholen waar de imple-
naueau en collega’s dat ontwikkelings-
montessori reken- en wiskundemateriaal zitten, worden, volgens mij, nog
mentatie van het montessoriconcept
materialen eenvoudig en eenduidig
niet volledig benut. Er zitten nog veel meer gebruiksmogelijkheden in dan
ook slechts matig was. Alles uit de
zouden moeten zijn. Minder is meer,
dat ik nu in de praktijk zie. Dat vraagt wel om grondige kennis van de leraar
onderzoeken van Carbonnaueau, Laski
is hun devies. Storende, irrelevante
om de materialen optimaal te benutten. Kennis die mijn inziens nog wel eens
en Lillard samengenomen, betekent
eigenschappen van materialen leiden
ontbreekt. Ik denk dat je heel goed rekenonderwijs kunt geven met alleen de
dat wanneer het materiaal op de juiste
af van het wiskundige doel ervan. Die
montessorirekenmaterialen. Als je de materialen optimaal benut heb je weinig
wijze wordt ingezet en de school het
afleiding leidt tot minder effectief leren.4 En hoewel vaak gedacht wordt dat
aanvullende materialen nodig. Maar dat aanvullend materiaal ontwikkelt
montessoriconcept op een zo getrouw
Nienhuis zelf toch ook? Willemse: ‘We hebben een rekenarena en een grotere
mogelijke manier uitvoert, dit volgens
alledaagse voorwerpen, zoals het tellen
mat voor het fichesspel ontwikkeld. De scholen vragen ook om aanvullingen,
deze onderzoekers leidt tot effectief
van knuffeldieren of fruit, leidt tot het
dus blijven wij ook kritisch kijken naar ons eigen aanbod. Momenteel zijn we
rekenonderwijs.
begrijpen van wiskundige concepten,
bezig met een materiaal om Pi uit te kunnen rekenen. Dat zijn aanvullingen die
is het tegenovergestelde waar. Laski en
ook echt iets toevoegen aan het bestaande materiaal.’
collega’s stellen dat dit soort alledaag-
Verschillende keuzes
se voorwerpen door kinderen op twee manieren bekeken kunnen worden: als
10
op zichzelf staande voorwerpen of als
gehouden als het er niet toe doet. Dat
waarin duidelijk wordt aangetoond dat
Andere montessorischolen pakken het rigoureuzer aan wat
hebben als team eerst wat overzicht moeten creëren. Ik
een voorstelling voor een wiskundig
helpt om de aandacht van kinderen
het leren van reken- en wiskunde met
betreft hun reken- en wiskunde onderwijs en zoeken naar
wil rekenen bestaat uit een grote kast vol met materialen
concept.
te richten op het wiskundige concept.
behulp van de montessorimaterialen
alternatieven en aanvullingen. Een ontwikkeling die al vanaf
en rekenkaarten; de kinderen hadden in het begin geen
Wanneer voorwerpen eerder uitnodi-
Kortom: alle montessorirekenmateri-
effectiever is dan op scholen die geen
2003 is ingezet met een discussie over de vernieuwing
overzicht. Dat vroeg wat tijd en kennis van ons, je hebt een
gen om mee te spelen dan te gebrui-
alen zijn bedoeld om mee rekenen en
gebruik maken van deze materialen.
van het reken- en wiskundeonderwijs binnen de NMV. De
plan nodig: hoe zet je de rekenkaarten en materialen van
ken voor een wiskundige doel leidt dat
niet om mee te spelen.
Angeline Lillard en Abha Basargekar
conclusie was dat de rekenmaterialen alleen niet voldoende
Ik wil rekenen in, hoe past het binnen het onderwijs dat wij
waagden afgelopen jaar een poging
zijn om de kerndoelen te behalen en dat aanvullingen dus
geven? Inmiddels loopt het goed. Het voordeel vind ik dat
sori’s rekenmateriaal voldoet aan deze
Is het effectief?
om de effectiviteit van het montes-
kinderen kunnen werken aan doelen die passen bij hun eigen
voorwaarde om niet te af te leiden. De
Zo bezien lijkt het of Maria Montes-
isolatie van de eigenschap, zoals Mon-
sori’s materialen aardig voldoen aan
sorirekenonderwijs beter in beeld te krijgen.5 In hun overzichtsstudie pogen
noodzakelijk zijn.6 Inmiddels valt er heel wat te kiezen, van reguliere rekenmethodes, tot meer op de montessorileest
voordat ik met hen abstracter ga werken met de kaarten
tessori dat noemt, zorgt er voor dat
de voorwaarden van Carbonnaueau
zij de onderzoeken naar het reken- en
geschoeide rekenmaterialen. Ronald Bakker, directeur
in Ik wil rekenen. Het voordeel ervan, vind ik, is dat ik als
er één wiskundig aspect centraal staat
en collega’s om effectief reken- en
wiskundeonderwijs op de montessori-
op Montessorischool Tuinstad (Rotterdam), gebruikt op
leraar keuzes kan maken. Zo werkt Ik wil rekenen goed in
in elk materiaal. Kleur, vorm, lengte of
wiskundeonderwijs mee te geven. Dat
scholen die bekend zijn en de werken-
zijn school de aanvullingen van de projectgroep Wiskunde
combinatie met de montessorirekenmaterialen.’
andere eigenschappen worden binnen
is ook wat Laski en collega’s stellen.
de leerprincipes samen te brengen. De
Montessori Basisonderwijs (WMBO). Bakker: ‘Naast de
Maurice Limpens en Desiree Leensen, beiden leraar in de
een materiaal zoveel mogelijk gelijk
Toch is er nog geen onderzoek bekend
meeste onderzoeken die zij bekeken
gewone montessorimaterialen, de oude rekenkaarten,
middenbouw van Montessorischool Venray, herkennen de
hebben, tonen geen verschil. Enkele
gebruiken we ook de werkwijze van het WMBO. De
zoektocht naar aanvullend passend rekenmateriaal. ‘Eerst
studies suggereren dat een andere aan-
materialen blijven voor ons echter centraal staan. Daarom
werkten we met een reguliere rekenmethode die we helemaal
pak beter is, zoals ook enkele aantonen
hebben we ook voor de WMBO werkwijze gekozen, want
verknipt en in doelen verdeeld hadden. Maar we merkten
dat de montessori-aanpak effectiever
die sluit er goed bij aan. Het WMBO materiaal bestaat uit
dat alles door elkaar liep, er was weinig overzicht, ook voor
is. Kortom, resultaten verschillen en
werkkaarten voor kinderen, maar er zijn ook didactische
de kinderen. We hebben veel methodes en aanvullende
harde conclusies zijn dan moeilijk te
bijsluiters voor leraren. Maar de implementatie van het
materialen bekeken en uiteindelijk gekozen voor Getal
trekken. Maar Lillard en Basrgekar zijn
WMBO is best pittig, vereist veel kennis van de leraar, van de
en ruimte junior. Ze geeft veel overzicht: één doel in de
ook kritisch: kijkend naar de uitvoering
leerlijnen, van rekendidactiek en de montessorimaterialen.
week staat centraal, we geven instructie en daarna gaan
van het montessorionderwijs conclude-
Maar dat zorgt er wel voor dat we rekenonderwijs hebben dat
we inoefenen. Het eindigt met een toepassingsopdracht.
ren zij dat wanneer het montessoricon-
goed aansluit bij de kinderen en de montessorivisie. En we
Differentiëren gebeurt doordat er verschillende werkboeken
cept trouw en stevig geïmplementeerd
zien rekenlust bij de kinderen, dat motiveert om er mee door
zijn die passen bij het niveau van de kinderen. Het geeft
werd op een school, dit ook betere
te gaan.’
leraren veel handvatten om goed rekenonderwijs te geven.
Op Montessorischool de Plotter in Zutphen kiezen ze voor
We hebben een jaar gedraaid om de methode onder knie te
een andere werkwijze. Na het werken met een reguliere
krijgen, nu zitten we in de fase om de methode meer los te
methode en het WMBO materiaal hebben ze daar gekozen
laten en de montessorimaterialen meer te integreren. We
de aandacht van kinderen af. Montes-
4 Zie o.a: McNeil, N. M., Uttal, D. H., Jarvin, L., & Sternberg, R. J. (2009), Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems. Learning and Instruction, 19, 171-184. 5 Basargekar, A. & Lillard, A.S. (2021), Math achievement outcomes associated with Montessori education. Early Child Development and Care, 191:7-8, 1207-1218
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
niveau. Soms grijp ik eerst terug op de montessorimaterialen
voor Ik wil rekenen. Jeffrey Martherus, leraar van een
hebben immers Getal en ruimte junior nooit aangeschaft om
bovenbouwgroep: ‘Dat was in het begin best wennen. We
die slaafs te blijven volgen, maar als leidraad.’
6 Zie ook: Inspectie van het Onderwijs (2007), Het Montessori Basisonderwijs.
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
11
Thema
Thema
R
Rekenen-wiskunde in digitale spagaat
docenten gedeeld.4 Het is daarom bijna tragisch dat juist die talige contexten voor sommigen het argument zijn om terug te willen keren naar kale sommen uitrekenen, de lagere orde vaardigheden. Terwijl je juist nu, nu technisch zo ongeveer alles kan, de mogelijkheden van beeld en illustraties meer zou kun-
Paul Op Heij
nen benutten om rekenen-wiskunde aantrekkelijker te maken, te verbinden met de werkelijkheid en het wiskundig denken beter te ondersteunen. Maar
Digitalisering van onderwijs begint altijd met het programmeren van achter-
als ik dan in het regeerakkoord lees dat
haalde ideeën over onderwijs. Dat is een wetmatigheid die je ook terugziet in de
er op scholen alleen nog maar evidence
digitalisering van het reken-wiskundeonderwijs, meent lector Kees Hoogland.
based – lees: gestandaardiseerde -
‘Terwijl rekenen-wiskunde inhoudelijk en didactisch kinderen juist zou moeten
schoolmethodes gebruikt mogen gaan
opleiden tot gecijferde burgers die weerbaar zijn tegen de groeiende invloed van
worden, stemt dat mij op zijn zachtst
getallen in de samenleving.’
gezegd niet vrolijk. Dat lijkt mij strijdig met de vrijheid van onderwijs en het einde van innovatie.’
Lectoraat Wiskundig en Analytisch Vermogen van Professionals
Aan de wereldtop
Sinds afgelopen zomer, toen Kees Hoogland als lector geïnstalleerd werd, kan op de website van het
Om de huidige situatie van rekenen-
zelf nooit direct verbonden aan het
Neoliberale verwaarlozing
Lectoraat Wiskundig en Analytisch Vermogen van Professionals van Hogeschool Utrecht een mini-
wiskunde in het onderwijs beter te
Freudenthal Instituut, werkte 20 jaar in
Vanaf het begin van de 21e eeuw heeft
documentaire bekeken worden. Daarin maken Kees Hoogland en zijn collega’s in het buitenland
kunnen begrijpen, licht Kees Hoogland
projecten rond reken- en wiskundeon-
er vanuit een neoliberale maatschap-
duidelijk waarom ‘gecijferdheid’ in een snel digitaliserende en mathematiserende wereld zo
toe hoe de aanpak van het Freudenthal
derwijs in onder andere Indonesië en
pijvisie een enorme verwaarlozing van
belangrijk is. En waarom en hoe docenten rekenen-wiskunde op de basis- en de middelbare school 2 daar beter op zouden kunnen inspelen. Reken-wiskundetijdschrift Volgens Bartjes liet Hoogland al
Instituut van de Universiteit Utrecht
Zuid-Afrika.
het onderwijs plaatsgevonden, zegt
vanaf de jaren 1970 leidend werd. Niet
‘We waren pioniers, zaten in de voor-
Hoogland: teveel lesuren voor leraren,
uitvoerig aan het woord: ‘Kies je als doelstelling voor het reken-wiskundeonderwijs ”verhogen van
alleen in Nederland, maar wereldwijd.
hoede, wat zaken in de praktijk vaak
te volle klassen, te lage salarissen,
de kwaliteit van gecijferd gedrag”, dan kun je daarbij een ontzettend inspirerend curriculum maken,
Daar waar rekenen-wiskunde voor die
niet makkelijker maakte. De succeserva-
een dalend niveau van instromende
dicht bij de werkelijkheid, dicht bij de ervaringen van kinderen, zonder rekenangst te veroorzaken,
tijd als het ware achterstevoren onder-
ring maakte echter veel goed, al moeten
docenten en een top-down afrekenen
zonder kinderen buiten te sluiten of met stoornissen en achterstanden te etiketteren.’
wezen werd, beginnend bij abstracte,
we ons wel blijven realiseren dat het
op meetbare opbrengsten en (reken)
formele, cijfermatige systemen en
realistische rekenen destijds niet uit de
toetsen met bijbehorende bureaucratie.
eindigend met de toepassingen in de
lucht kwam vallen. Hans Freudenthal
Inmiddels zakken we ook met rekenen-
praktijk, daar draaide Freudenthal’s
paste namelijk goed in zijn tijd; op alle
wiskunde terug naar het Europese
‘realistische rekenen’ de volgorde weer
onderwijsconferenties in de jaren 70
gemiddelde.
om naar een meer natuurlijke manier
en 80 was de tendens dat het leren van
‘Vanaf 2000 kwam er een conservatie-
van leren: van alledaagse en levensech-
vaardigheden nauw verbonden moest
ve stroming op gang. Ik werkte destijds
1
12
1 Mini-documentaire over de mathematisering van de samenleving en het belang gecijferdheid, Kees Hoogland: https://jwp.io/s/BGj4qpvs 2 In: Volgens Bartjes, jaargang 40/1 Rekenangst is geen leerlingkenmerk en in jaargang 40/4 Anders kijken naar basisvaardigheden 2021
Met wiskundig denken beginnen kinde-
is met de vormgeving van “realistische
listische situaties zoals leerlingen ge-
te situaties naar abstractere concepten.
zijn met de werkelijkheid waarin die
bij het Algemeen Pedagogisch Studie-
ren op de dag dat ze geboren worden,
rekenen” van het Freudenthal Instituut3
woon naar een winkel sturen, maar dat
Hoogland: ‘Er was in die decennia een
vaardigheid werd gebruikt. Dat gold ook
centrum, waar eind jaren negentig nog
zegt Kees Hoogland. ‘Kinderen oriënte-
van de jaren 70 en 80 ook nog eens het
is om praktische redenen nooit breed
hechte samenwerking tussen leraren-
voor vakken als natuur- en scheikunde,
wekelijks telefoontjes binnenkwamen
ren zich in de ruimte, krijgen te maken
probleem taal bij gekomen, realiseren
aangeslagen. Vorig jaar heb ik nog een
verenigingen, wiskundigen, vakdidac-
aardrijkskunde en geschiedenis. Het
van scholen die het roer helemaal
met aantallen, doen daar al onbewust
we ons nu. Want op het moment dat
lezing gegeven voor wiskundedocenten
tici, opleiders, nascholers, toetsontwik-
moest meer gaan over het begrijpen
wilden omgooien richting meer compe-
van alles mee, spelenderwijs, zonder
je in die jaren rekenen in een schoolse
waarbij ik het vwo-examen Wiskunde
kelaars en schoolboekauteurs. Onlangs
van geografische en historische ontwik-
tentiegericht, praktisch en natuurlijk
rekenangst te ontwikkelen – Jelle Jol-
situatie wilde verbinden met de werke-
A van het Cito herschreven heb. Dat
heeft hoogleraar reken-wiskundedidac-
kelingen en minder over alleen maar
leren. Ik weet nog dat wij destijds
les heeft er veel over geschreven. Op
lijkheid – ik heb toen zelf nog meege-
examen 2021 bestaat uit 21 pagina’s
tiek Marja van den Heuvel-Panhuizen
topografie en jaartallen. Onderwijs
verbaasd waren hoe snel die vraag
het moment dat kinderen de school
schreven aan Moderne Wiskunde - kon
tekst. Ik had er een versie van gemaakt
nog twee kloeke delen geredigeerd
moest niet langer alleen geïsoleerde
binnen enkele maanden opdroogde
binnenstappen, wordt rekenen en wis-
je dat vrijwel alleen maar doen met
zoals het examen er tegenwoordig uit
waarin wetenschappers uit Nederland
basisvaardigheden en technieken leren,
door een soort culturele omslag. Het
kunde als iets beladens ervaren waarbij
taal, omdat toen de technische grafi-
had kunnen zien en heb dat met vak-
en uit het buitenland terugkijken en
maar ook socialiseren en kwalificeren
je kunt falen.’
sche middelen nog heel beperkt waren.
voor een complexer wordende samenle-
Goede plaatjes bijvoegen kon toen nog
beschrijven welke invloed dat denken heeft gehad.5 Het Nederlandse reken-
Digitaal grafische mogelijkheden
niet of was heel duur. Dus gebeurde al-
en wiskundeonderwijs behoorde in
reformscholen als montessori, dalton,
die tijd tot de absolute wereldtop wat
jenaplan en vrijeschool groot werden
‘Misschien wel 80% van alle proble-
blijven hangen in die talige contexten,
resultaten betreft en Nederlandse
en op een gegeven moment ook nog
men met rekenen bij leerlingen van
eigenlijk treurig als je er over nadenkt.
reken- en wiskundedidactici waren
links en rechts werden ingehaald door
vmbo en mbo is meer van psychologi-
Ik heb destijds veel pleidooien gehou-
in de laatste decennia van de vorige
reguliere scholen die elementen van die
sche dan van cognitieve aard. En daar
den voor het meer opzoeken van rea-
eeuw veel gevraagd.’ Kees Hoogland,
aanpak invoerden.’
Montessori Magazine
les met taal. Daarna zijn we veel te veel
3 Het Freudenthal Instituut in Utrecht werkt volgens de ideeën over rekenen en wiskunde van de Duits-Nederlandse wiskundige en pedagoog Hans Freudenthal (1905-1990), grondlegger van het zogenaamde realistisch rekenen dat rekenenwiskunde meer in verbinding wilde brengen met het leven en de wereld.
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
ving. Het waren ook de decennia waarin
ϰ ,ŽŽŐůĂŶĚ͕ <ĞĞƐ͕ ;ϮϬϮϭͿ͕ tŝƐŬƵŶĚĞ njŽĂůƐ ŚĞƚ ďĞĚŽĞůĚ ŝƐ͕ sĂŬŶĞƚǁĞƌŬ tŝƐŬƵŶĚĞ ŚƩƉƐ͗ͬͬ ǁǁǁ͘ŐĞĐŝũĨĞƌĚŚĞŝĚ͘ŶůͬŚĞƌŽŶƚǁĞƌƉͲĞdžĂŵĞŶͲ ǀǁŽͲǁŝƐŬƵŶĚĞͲĂͬ ϱ sĂŶ ĚĞŶ ,ĞƵǀĞůͲWĂŶŚƵŝnjĞŶ͕ DĂƌũĂ ;ϮϬϮϬͿ͕ /ŶƚĞƌŶĂƟŽŶĂů н EĂƟŽŶĂů ZĞŇĞĐƟŽŶƐ ŽŶ ƚŚĞ EĞƚŚĞƌůĂŶĚƐ ŝĚĂĐƟĐƐ ŽĨ DĂƚŚĞŵĂƟĐƐ͕ ^ƉƌŝŶŐĞƌ KƉĞŶ ĐĐĞƐƐ
nummer 2 | jaargang 45
13
Thema
Praktijkvoorbeeld
wel weg kunnen doen en kinderen
d
alleen nog maar achter een dashboard
over of en hoe er gebruik van wordt gemaakt. Als je collega’s er over spreekt, wordt allicht de vraag
met groene vinkjes en rode kruisjes
gesteld of montessorirekenonderwijs nog wel een ideaal is waaraan leerkrachten kunnen voldoen.
reken- en wiskundevaardigheden en zetten de didactische expertise van de leraar grotendeels buitenspel. Dat betekent niet per se dat die methodes niet deugen, maar wel dat ze heel beperkt zijn en dat leraren dus goed moeten nadenken waarvoor ze worden ingezet. Er is het beeld ontstaan dat scholen hun papieren schoolmethodes
Digitale ondersteuning bij het materiaal Sam de Vlieger
Op montessorischolen staat de kast met rekenmateriaal vaak wel in het lokaal, maar dat zegt maar weinig
hoeven te zitten. Als je kinderen alleen maar sommetjes wilt leren, kunnen
14
die programma’s prima dienstdoen,
Floris Kortleve
maar voor het aanleren van hogere
Volgens Floris Kortleve van Montessorischool Oog in Al in Utrecht vraagt een montessorimethode veel
orde vaardigheden is hoogwaardige
van leerkrachten. Zijn school gebruikte eerst de montessorimethode WMBO, waarvoor collega’s echter
leerkrachtinzet nodig. Je ziet op steeds
een heel goed beeld moesten hebben van leerlijnen, doelen en opdrachten, wat dus onvoldoende het
meer scholen dat leraren alleen maar
geval was. Waardoor leerlingen niet de juiste begeleiding kregen en resultaten tegenvielen. De school koos
bezig zijn met computers klaar zetten.
voor de reguliere methode Getal en Ruimte. Kortleve: ‘Slechts één van de vier montessorischolen waar ik
was ook de tijd dat de Volkskrant een
Weerbaarder maken
Voor het aanleren van hogere orde
als leerkracht werkte, heeft nog het montessorimateriaal als leidraad. Dat komt, volgens mij, doordat er
soort mediaoffensief begon: Heimwee
Hoogland is voorstander van meer
vaardigheden als grafieken interpre-
geen duidelijke visie op rekenen is en door de druk die het individueel werken volgens de montessorivisie
naar de HBS. Het waren ook de jaren
gebruik van digitale middelen bij
teren, en modellen simuleren biedt
legt op docenten. Veel kinderen komen tegenwoordig niet uit zichzelf op gang en hebben veel individuele
dat het populisme opkwam, vanuit de
rekenen-wiskunde op school. Maar hij
allerlei andere educatieve software met
sturing nodig. Sinds de invoering van het Passend Onderwijs zijn bovendien de niveauverschillen in klassen
onderbuik van de samenleving. De in-
wil het vak tegelijkertijd van aard en in-
gebruikmaking van het smartbord juist
aanzienlijk vergroot. In een groep 6-7-8 loopt dat niveau vaak uiteen van groep 4 tot eerste klas gymnasium.’
vloeden daarvan hebben ook het reken-
houd doen veranderen. Zodat het beter
Door een gebrek aan visie op grote niveauverschillen in de klas zijn er vaak verschillen van inzichten tussen
en wiskundeonderwijs niet onberoerd
voorbereidt op de snel digitaliserende
mogelijkheden, GeoGebra bijvoorbeeld.8 Niet commercieel en uitstekend
gelaten. Populisme geeft namelijk
samenleving met een steeds grotere
om het exploratief vermogen van leer-
antwoord op Passend Onderwijs. En daarbij komt nog eens dat je in de Randstad vaak al blij bent als er een stabiele
simpele antwoorden op complexe
afhankelijkheid van getallen en algo-
lingen mee te stimuleren. Dergelijke
leerkracht voor de klas staat en er een vaste directeur is. Er zijn veel wisselingen in teams wat teamwork bemoeilijkt. Een
vragen en wil terug naar “de basis”6, zoals het vroeger was. Voor rekenen-
ritmes, waarvan mooie voorbeelden
verdiepende software is echter veel
manier om dit soort problemen op korte termijn te ondervangen, zou ook kunnen zijn om rekenonderwijs aan te bieden
te vinden zijn in bijvoorbeeld Sanne
minder bekend.’
via het materiaal en je daarbij wel te laten ondersteunen door digitale adaptieve methodes als Gynzy en Snappet, waarbij
wiskunde betekende dat terug naar het
de digitale methode alles bijhoudt en de leerlijn bewaakt. Montessorimateriaal maakt dan bij het aanbieden van nieuwe
drillen van het simpele cijferen, “zodat
Blauw’s boek Het best verkochte boek ooit.7 Maar vooralsnog ziet hij dat de
alle kinderen weer zouden kunnen
digitale adaptieve methodes rekenen-
Maria Montessori, als zij nu had geleefd, een fan van digitale ondersteuning zou zijn geweest.’
rekenen”, dus terug naar een tijd die
wiskunde op scholen eerder het tradi-
er nooit geweest is. In de huidige tijd
tionele simpele cijferen aanleren dan
moet je je afvragen hoe realistisch
hogere orde vaardigheden als getallen,
het is om van mondige kinderen die
diagrammen en grafieken interprete-
zelf willen meedenken en beslissen,
ren, probleem oplossen en kritisch
nog uitgesteld begrip van wiskundig
leren denken om daarmee kinderen te
denken te kunnen eisen, zoals eerst
wapenen tegen de groeiende macht
automatiseren en pas daarna begrijpen
van getallen in de samenleving.
en toepassen. De naoorlogse directe
Hoogland: ‘De huidige digitalisering
instructie in het reken- en wiskunde-
gaat dus veelal in een andere richting
onderwijs was eenzijdig en paternalis-
dan die ik van belang acht. Wat dat
tisch top-down met een behavioristi-
betreft zit ik als lector wiskundig en
sche opvatting van hoe kinderen leren:
analytisch vermogen in een digitale
stimulus-respons, denk aan het hondje
spagaat. De digitalisering van het
van Pavlov dat leerde door beloningen
reken- en wiskundeonderwijs volgt
te krijgen. Ik ben dan ook bang dat de
de wetmatigheid dat digitalisering
conservatieve draai die veel scholen
van onderwijs altijd begint met het pro-
op dit moment voor rekenen-wiskunde
grammeren van achterhaalde ideeën
overwegen, zal gaan tegenvallen, om-
over onderwijs. De meeste adaptieve
dat kinderen van vandaag zich dat niet
methodes leren kinderen vrijwel alleen
meer zullen laten welgevallen.’
maar lagere orde en reproductieve
leerkrachten binnen teams, zegt Kortleve. ‘Montessorionderwijs heeft na jaren nog steeds geen goed
lesstof, ondersteuning door de leerkracht mogelijk en toepassing en verwerking ervan gebeurt digitaal. Ik weet zeker dat
ϲ ,Ğƚ ƉƌĂƚĞŶ ŽǀĞƌ ͚ĚĞ ďĂƐŝƐ͛ ĚŽŽƌ ƉŽƉƵůŝƐƚĞŶ ŝƐ ǁĞů ĞĞŶƐ ǀĞƌŐĞůĞŬĞŶ ŵĞƚ ͚ƚĞƌƵŐ ŶĂĂƌ ĚĞ ďƌŽŶŶĞŶ ǀĂŶ ŚĞƚ ŐĞůŽŽĨ͕͛ ǁĂĂƌ ĨƵŶĚĂŵĞŶƚĂůŝƐƚĞŶ ŽǀĞƌ ƐƉƌĞŬĞŶ͘ KŽŬ ŝŶ ĚĞ ǁŝƐŬƵŶĚĞ ŬƵŶŶĞŶ ďĂƐŝƐŬĞŶŶŝƐ ĞŶ ƚŽĞƉĂƐƐŝŶŐ ŶŝĞƚ njŽŶĚĞƌ ĞůŬĂĂƌ ĞŶ njŝũŶ njĞ ŶŝĞƚ ĂůƟũĚ ĞǀĞŶ ĚƵŝĚĞůŝũŬ ƚĞ ƐĐŚĞŝĚĞŶ ďŝũ ŚĞƚ ůĞƌĞŶ͕ njŽĂůƐ ƌĂŝŐ ĂƌƚŽŶ ŝŶ sŽůŐĞŶƐ ĂƌƚŽŶ ;ϮϬϭϵͿ ŶŽŐ ŵĂĂƌ ĞĞŶƐ ĚƵŝĚĞůŝũŬ ŵĂĂŬƚ͘ ŝƚ ŽŵĚĂƚ ǁŝƐŬƵŶĚŝŐĞ ĨŽƌŵƵůĞƐ ;ďĂƐŝƐͿ ǀĂĂŬ Ăů ŵŽĞƚĞŶ ŬƵŶŶĞŶ ǁŽƌĚĞŶ ƚŽĞŐĞƉĂƐƚ njŽŶĚĞƌ ĚĂƚ njĞ ďĞŐƌĞƉĞŶ ǁŽƌĚĞŶ͘ ĂƌƚŽŶ ŐĞĞŌ ĂůƐ ǀŽŽƌďĞĞůĚ ĚĞ ĨŽƌŵƵůĞ ǀŽŽƌ ŚĞƚ ďĞƌĞŬĞŶĞŶ ǀĂŶ ĚĞ ŝŶŚŽƵĚ ǀĂŶ ĞĞŶ ďŽů ;ŝŶ ŚĞƚ sD KͲĞdžĂŵĞŶͿ͗ ǀŽŽƌ ŚĞƚ ďĞŐƌŝũƉĞŶ ǀĂŶ ĚŝĞ ĨŽƌŵƵůĞ ŝƐ ŝŶƚĞŐƌĂĂů ƌĞŬĞŶĞŶ ŶŽĚŝŐ͕ ŝĞƚƐ ǁĂƚ ůĞĞƌůŝŶŐĞŶ ƉĂƐ ŝŶ ĚĞ ďŽǀĞŶďŽƵǁ ŚĂǀŽͬǀǁŽ ůĞƌĞŶ͕ ĞŶ ǀĞĞů ůĞĞƌůŝŶŐĞŶ ĚƵƐ ŶŽŽŝƚ͘ ϳ ůĂƵǁ͕ ^ĂŶŶĞ ;ŚĞƌnjŝĞŶĞ ŚĞƌĚƌƵŬ ϮϬϮϭͿ͕ ,Ğƚ ďĞƐƚ ǀĞƌŬŽĐŚƚĞ ďŽĞŬ ŽŽŝƚ͘ ,ŽĞ ĐŝũĨĞƌƐ ŽŶƐ ůĞŝĚĞŶ͕ ǀĞƌůĞŝĚĞŶ ĞŶ ŵŝƐůĞŝĚĞŶ͕ hŝƚŐĞǀĞƌŝũ ĚĞ ŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚ͘ ϴ ŚƩƉƐ͗ͬͬǁǁǁ͘ŐĞŽŐĞďƌĂ͘ŽƌŐͬ ĞŶ ĞĞŶ ǁŝůůĞŬĞƵƌŝŐ ůŝũƐƚũĞ Ƶŝƚ ϮϬϮϭ͗ ŚƩƉƐ͗ͬͬ ǁǁǁ͘ĂůůĂƐƐŝŐŶŵĞŶƚŚĞůƉ͘ĐŽŵͬďůŽŐͬĨƌĞĞͲ ŵĂƚŚĞŵĂƟĐƐͲƐŽŌǁĂƌĞͬ
Martijn Sprangers Op Montessorischool Buiten Wittevrouwen aan de andere kant van Utrecht werd kort geleden juist de reguliere methode ingewisseld voor een montessori. De vorige directeur en het docententeam kozen er drie jaar geleden voor een echte montessorischool te willen zijn. Reguliere methodes gingen deels de deur uit en De Taalkast en Ik wil rekenen kwamen er voor in de plaats. Martijn Sprangers, de huidige directeur, legt uit dat ze nu bezig zijn met het digitaliseren van alle leerlijnen, omdat niet alle docenten de leerlijn voldoende kenden. Volgens hem komt dat vooral door het docententekort en dan voornamelijk van montessori-opgeleide docenten. ‘Als een docent vertrekt of ziek is moeten anderen ook kunnen zien waar de leerlingen zijn. We digitaliseren de leerlijnen met behulp van de Parnassys-leerlijnen in combinatie met Ik wil rekenen. Zo proberen we het overzichtelijker neer te zetten, zodat het begin punt van de leerling sneller is over te dragen.’ Elke docent bij hem op school moet weliswaar een montessori opleiding volgen en krijgt begeleiding om met Ik wil rekenen te kunnen werken, maar ook daarna gaat het nog niet vanzelf, zegt hij. ‘Natuurlijk is ook de wijk waarin een school ligt een factor bij de slagingskans van een aanpak, maar met een goed voorbereide omgeving en goed klassenmanagement zou die van ons nu toch moeten kunnen lukken. Steeds meer scholen werken weliswaar met online methodes, en jazeker dat maakt afstandsonderwijs makkelijker, maar digitaal blijft abstract. Natuurlijk is de digitale verwerking en automatisering een uitkomst, maar bij ons staat het materiaal centraal. De kracht ervan is dat het zo concreet en tastbaar is. In de les zijn leerlingen aan het werk met de montessorimaterialen aan de hand van opdrachtkaartjes. De leerkracht observeert wat de kinderen kunnen en geeft individueel instructie. Het materiaal moet je voelen en zien. De grote van een getal wordt toch sneller begrepen door het verschil dat je voelt als je het getal één vast hebt of het getal duizend.’
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
15
Thema
D
Thema
De kunst van wiskunde Sandra Veenstra
Foto Erik Schilt: ‘Helling’
Wiskunde kan intimiderend lijken, maar als je het geluk hebt een echte wiskundeliefhebber te ontmoeten, dan maken duizelingen plaats voor diepere inzich-
ontstaat een spel van geen en wel grip
Wiskids
Kind Kinderopvang en Ontwikkeling is
ten en een andere kijk op de wereld om je heen. Eenmaal aangestoken door
hebben. Zoals je tijdens het fotografe-
Wiskunde helpt dus bij het scheppen
daartoe een speelse wiskundige
wiskunde-enthousiasme dringt zich de vraag op: ís wiskunde de betekenis of
ren kunt in- en uitzoomen, wat weer op
van orde in de wereld om ons heen.
methode ontwikkeld voor peuters:
geeft wiskunde betekenis?
andere ideeën brengt. Ik lees momen-
Dit is ook van belang voor de ontwikke-
Wiskids, bestaande uit zes wiskundige
teel het boek van Marjolein van Heem-
ling van jonge en zeer jonge kinderen.
thema’s met bijpassende activiteiten.
Zij zijn immers volop in het proces van
Allard Hauer, pedagogisch medewerker
3
In onze samenleving leggen we vaak
Wiskundige concepten uit het dagelijks
feite een derde dimensie, perspectief,
stra, In lichtjaren heeft niemand haast. Met wetenschappers ontsnapt ze aan
grip krijgen op de onbekende wereld
bij HumanKind en landelijk Wiskids
de nadruk op taal en taalvaardigheid:
leven kregen de afgelopen 40 jaar in
op het platte vlak. Eén van de Sequen-
de aarde en combineert dat met haar
om hen heen. Ook de kinderopvang
ambassadeur aldaar, legt uit: ‘Voor
thuis, op de kinderopvang en basis-
het onderwijs meer aandacht en een
ties van Szulc-Kryzanowski laat een
aardse beslommeringen – ze zoomt
beweegt mee met de wereld, en schuift
het jonge kind dat opgroeit, is alles in
school, bij inburgering etc. Logisch,
volwaardige plek. Dat is belangrijk,
panorama zien, waarbij de blik van de
steeds verder uit en krijgt daarmee een
bijvoorbeeld steeds verder op van ‘op-
zijn beleving alleen maar aanwezig als
want zonder taalbeheersing loopt
want wiskundige concepten en inzich-
fotograaf iets doet wat in werkelijkheid
ander zicht op het geheel.’
vang’ naar ‘ontwikkeling’. Bij Human-
het zintuigelijk is waar te nemen. Als
alles vast. Taal is dan ook een van
ten spelen bewust en onbewust, net als
helemaal niet kan, namelijk 360 graden
we om ons heen kijken is het duidelijk
de eerste dingen die een kind leert.
taal, een cruciale rol in het dagelijkse
draaien met je hoofd. Door telkens
te zien dat de wereld makkelijker is te
Maar hoewel wij pas op de middelbare
leven, vanaf de geboorte.
op dezelfde plek een stok in beeld te
school geconfronteerd worden met
16
brengen, die door de roterende bewe-
de term, blijkt wiskunde als concept
Wiskunde-leermeester
ging van de camera een cirkel op de
ons al van jongs af aan te omringen.
Erik Schilt, wiskundeleraar op de vrije-
grond trekt, ontstaat er magie. Bij elke
In de natuur, als vormen en composi-
school en fotograaf bij Beeld Verhaal1, is
stap wordt 1 moment vastgelegd van
ties bij zwermen vogels, jaargetijden,
een liefhebber die je kijk op de wereld
hetgeen zich afspeelt in ruimte en tijd.
geluidsgolven en de exponentiële
kan doen kantelen. Hij vertelt geïnspi-
Daar kun je wiskundig over nadenken,
groei van bacteriën. In de cultuur in
en meetkundig en grafisch van alles
architectuur en kunst, maar ook bij
reerd te zijn door zijn wiskundeleraar en via zijn studie aan de KABK2 door
infrastructuur en ordeningen in
fotograaf Michel Szulc-Kryzanowski.
Zit het geheim van wiskunde dan in
bibliotheken en winkels.
Over diens fotografisch werk Sequen-
de mysterieuze ogenblikken tussen
ties schreef hij zijn masterthesis bij
concreet en abstract? In de vertaling
Photographic Studies aan de Universi-
van de werkelijkheid naar symbolen,
teit Leiden: een even wiskundige als
van het driedimensionale naar het
gedragswetenschappelijke analyse van
tweedimensionale en vice versa? Schilt
de door de fotograaf naar eigen zeggen
gebruikt zijn passies en expertise om
intuïtief gemaakte foto’s. Zag Schilt
met zijn leerlingen de ruimtelijke en
de wiskundige betekenis in de foto’s,
rekenkundige wereld om hen heen te
of gaf hij wiskundige betekenis aan de
onderzoeken, de camera en tekenge-
foto’s?
rei als gereedschap. En dan niet de
Schijnbaar moeiteloos legt Schilt ver-
camera als identiteitscontrole (selfies),
banden tussen wiskunde, wetenschap,
maar als spel met de context. Hij
schone kunsten en gedrag. ‘Meetkunde
neemt zijn leerlingen mee op reis door
gaat over hoe je je als mens verhoudt
de wereld van de getallen, vormen en
tot de wereld om je heen. Wiskunde
symbolen. ‘Wiskunde is niets anders
probeert in feite complexe dingen in de
dan orde scheppen in de indrukken die
wereld overzichtelijk te maken. Daarbij
wij opdoen. Wiskunde biedt veiligheid
kan fotografie inzicht verschaffen, als
door ook de ongrijpbare aspecten van
het bijvoorbeeld gaat om plaatsbepa-
de wereld te vatten in symbolen. Daar
mee doen met leerlingen.’
ling, zoals je ook vanuit een assenstelsel naar een grafiek kan kijken. Door Erik Schilt
Montessori Magazine
bij het fotograferen standpunten in te nemen en te kadreren projecteer je in
begrijpen als we gebruik maken van 4
In De Methode, de ontdekking van het Kind schrijft Maria Montessori: ‘Ik wandelde eens naar de Pincio met een jongen van de ‘lagere school’, die meetkundig tekenen leerde en de analyse van de figuren van de vlakke meetkunde kende. Toen wij op het hoge terras stonden, vanwaar men de Piazza del Popolo en de stad in z’n hele uitgestrektheid kan overzien, zei ik tegen hem: “Kijk eens, alle werken van de mens zijn een samenstel van meetkundige figuren”. Want inderdaad: rechthoeken, ellipsen, driehoeken, halve cirkels, onderbraken en versierden op wel honderden manieren de grijze, rechthoekige gevels van de gebouwen. Een dergelijke eenvormigheid over zulk een groot oppervlak leek wel een illustratie van de beperktheid van de menselijke intelligentie, terwijl de kruiden en bloemen in een perk vlak bij ons de oneindige verscheidenheid van vormen in de natuur glorierijk ten toon spreidden. Het kind had dit alles nog nooit zo opgemerkt. Het had hoeken, zijden en de constructie van meetkundige figuren op het bord en in zijn boek bestudeerd, zonder er verder bij te denken en alleen gevoeld hoe vervelend het was, zo’n saai werk te moeten doen. In het eerste ogenblik lachte het om die voorstelling van de mens, die overal geometrische figuren opeenstapelt, maar toen keek het lange tijd, met groeiende belangstelling, en ik las zijn levendige gedachtegang op zijn gezicht. Rechts van de Ponte Margherita was een groot huis in aanbouw en het geraamte toonde ook al rechthoeken. “Wat werken ze hard”, zei ik, doelend op de bouwvakkers, die daar bezig waren. Daarna
nummer 2 | jaargang 45
zoals patronen, verzamelingen, geometrie, hoeveelheden, tijd, statistiek en verhoudingen. Door ons als opvoeders en pedagogisch professionals bewust te zijn van dit proces, kunnen we een belangrijke bijdrage leveren aan het leerproces van het kind bij het begrijpen van en leren omgaan met de wereld. In de praktijk gebeurt dit al, maar vaak onbewust. De vraag “Kom je naast me zitten?,” vraagt om begrip van het concept naast. “Je mag 1 stukje fruit,” vraagt om begrip van aantallen. “We gaan eerst slapen en vanmiddag buitenspelen,” gaat om het besef van tijd.’ Het inzicht in en gebruik van wiskundige concepten geeft jonge kinderen dus houvast, zegt Hauer. ‘Daarom is het van belang om hier bewust van te zijn en zo vroeg mogelijk te beginnen dit te benoemen, ermee te spelen en samen met het kind te ervaren. Een mooi
draaiden we ons naar het grasveld en stonden een ogenblik in zwijgende beschouwing van het gras dat spontaan in de aarde groeide. “Wat mooi”, zei de jongen, maar uit dat mooi sprak vooral zijn eigen innerlijke bewogenheid. Ik besefte op dat ogenblik dat het zien van de meetkundige inlegfiguren en van de planten, die door de kinderen zelf gekweekt waren en die zij onder hun
1 www.eye-eye.nl 2 Koninklijke Academie voor Beeldende Kunsten in Den Haag
abstracte, dus wiskundige concepten,
ogen zien opgroeien, een kostbare bron, ook van geestelijke groei, kan zijn.’
Montessori Magazine
3 Heemstra, van Marjolein (2021), In lichtjaren heeft niemand haast, Uitgeverij de Correspondent 4 Montessori, Maria (1909), De Methode. De Ontdekking van het Kind, Montessori-Pierson Publishing Company (blz. 216)
nummer 2 | jaargang 45
17
Thema
Thema
bijkomend voordeel is dat met het
den, schatten en ruimtelijk inzicht
benoemen ook nog eens de taalontwik-
geoefend. Door meteen de juiste
keling gestimuleerd wordt!’
formuleringen daaraan te koppelen wordt zowel de taalontwikkeling als de
Montessorimethode
wiskundige ontwikkeling ondersteund
Waar dit in de reguliere kinderopvang
en raken kinderen vertrouwd met wis-
pas van de laatste jaren is, had Maria
kundige concepten.’
Montessori al een duidelijke visie op
Zoals Montessori schrijft in De Methode:
het ontwikkelen van het mathemati-
‘Het kind is als een reiziger door het
sche brein bij jonge en zeer jonge kin-
leven, die alle nieuwe dingen, die hij te-
deren, gebruikmakend van het absor-
genkomt, waarneemt, en de onbekende
berend vermogen dat zo kenmerkend
taal, die het om zich heen hoort spre-
is voor de allerjongsten. Als mensen
ken, probeert te begrijpen en over te
zouden begrijpen dat wiskunde ‘just
nemen. (…) De kennis van de vormen,
another language’ is, dan hoefden ze er
zal voor hem een soort toversleutel
niet zo bang voor te zijn, betoogt Heidi
zijn om bijna de hele buitenwereld te
Phillippart, AMI-trainer en pedagogisch
ontsluiten en kan hem de helpende
directeur van 2Voices, Montessori Bilin-
illusie schenken, daarmee de geheimen
gual Preschool in Amsterdam.
van de wereld te kennen.’
Phillippart: ‘Het wiskundige brein is
Allard Hauer
18
Heidi Phillippart
het vermogen dat mensen hebben om
Menselijke maat
te ordenen, te rangschikken, om exact
Wiskunde is al fascinerend op papier
te zijn, om te schatten en te berekenen.
en scherm, zegt Schilt. ‘Maar als je
Zo berekenen we op straat automa-
de fysieke aanwezigheid erbij weet te
tisch afstanden, bewust en onbewust.
betrekken, dan krijgt wiskunde meer
Daarom oefenen we met kinderen van
een menselijke maat. Je komt dan als
0 tot 3 jaar met het maken van keuzes,
het ware terug uit de abstractie. We
berekeningen en vergelijkingen, in hun
zijn dus in staat de abstractie van de
dagelijkse leven. Zo raken ze vertrouwd
wiskunde eerst op te zoeken, maar met
met de woorden die worden gebruikt
die abstractie ook weer terug te komen
om kwantiteit uit te drukken. Het jonge
bij onszelf. Misschien kunnen leerlin-
kind gebruikt zijn wiskundig brein
gen zich dan makkelijker met wiskunde
onbewust, maar wij educators zetten
verbinden en daarmee hun angst voor
bewust activiteiten in om dit wiskun-
het abstracte kwijtraken. In feite is het
dige brein te trainen.’
“realistische rekenen” van de afgelo-
De montessorimethode voor het jonge
pen decennia ook zo’n poging geweest
en zeer jonge kind bevat activiteiten
om minder in het abstracte te blijven
en materialen die tot doel hebben
hangen. Het zou mooi zijn als we in de
wiskundige inzichten te genereren en
kunst meer handvatten zouden kunnen
abstract denken te leren. Vaak hebben
vinden om de acceptatie van abstracte
deze activiteiten meerdere ontwik-
wiskundige problemen op school te
keldoelen, zegt Phillippart, waardoor
helpen vergemakkelijken. Omdat we
het wiskundig doel niet meteen in het
met kunst doorgaans makkelijker
oog springt. ‘Zo schenken dreumesen
kunnen accepteren dat we niet alles
en peuters bij montessori al zelf water
alleen maar analytisch met ons hoofd
in hun glas. Dat dit de zelfstandigheid
kunnen begrijpen, wat toch nog vaak
van het kind bevordert, valt meteen
het stigma van rekenen en wiskunde
op. Dat het kind daarmee ook ervaring
is. Kunst kan ons helpen om ook bij
opdoet met het schatten en verdelen
wiskunde meer te leren vertrouwen op
van hoeveelheden, en dus met wis-
onze intuïtie.’5
19
kunde, realiseren we ons vaak minder. Ook met puzzels maken, bouwen, het sorteerspel, vouwen, voorwerpen en kaarten, en andere werkjes wordt het vermogen tot vergelijken, onderschei-
5 Er bestaat ook Arts and Maths, studies naar de wiskunde in schilderkunst, dans, architectuur, textiel, mode enz
Foto’s Sanny Views. Ook de foto op de voorpagina.
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
De Kwestie
De Kwestie
m
Maken rekenen en wiskunde op mijn school voldoende contact met de overige vakken?
Annemieke Eshuis Leerkracht, taal- en middenbouwcoördinator op Montessori Kindcentrum de Plotter Lid ontwikkelgroep, audit commissie NMV en montessori-opleider
20
Manja Haze Directeur Montessori Kinderopvang Mickey, Hengelo Montessoritrainer en -coach jonge kind
Harrie Dupont
Montessori Magazine
In een montessori onderbouwgroep werken kinderen dagelijks met materialen voor rekenen en geometrie. Ze oefenen spelenderwijs de lijn van kleine en grote getallen en ervaren de vormen van kleine kubussen en rechthoekige prisma´s. Samen met de doorgaande lijn in de midden- en bovenbouw wordt zo de basis gelegd voor het vervolgonderwijs. De zintuigelijke voorbereiding die daarmee al op jonge leeftijd wordt opgedaan is van groot belang. In midden- en bovenbouwgroepen werken wij op ons kindcentrum met onderzoeksvragen. Vanuit het grote kosmische geheel. Kinderen kunnen zelf onderzoek doen, ook vanuit een reken- of wiskundige vraag. Het is dus zeker geen geïsoleerd vak, immers wiskunde zie je overal in de wereld om je heen. De natuur zit vol met patronen, getallen en vormen. Hoe mooi is het dan als kinderen een onderzoeksvraag hebben over in welk klimaat dieren leven en er achter komen dat de verhouding tussen oppervlak en volume van het dier hierbij belangrijk is, om vervolgens de verhouding tussen oppervlak en volume van kubussen te berekenen. Ook het etiketje op een honingpotje kan het begin zijn van een rekenonderzoek. Kinderen kunnen het etiket aflezen en dit koppelen aan hoeveelheden of de houdbaarheidsdatum bestuderen en hiermee rekenen. Toch denk ik dat we dit nog meer kunnen doen om kinderen onderzoekend te laten zijn en van daaruit leren rekenen. Dit vraagt uiteraard iets van ons aanbod, van onze houding en van durven loslaten. Dat lijkt iets van onze tijd, maar had Maria Montessori hier niet al goed over nagedacht, vanuit een duidelijke visie en opdracht voor de leerkracht? Ik hoop dat we nog meer durven werken vanuit het grote geheel, de verbinding durven zoeken en het kind volgen met de leerlijn van de leerkracht in het achterhoofd. Ik las dat de nieuwe minister van onderwijs, Dennis Wiersma, vooral het taal- en rekenonderwijs wil verbeteren, maar hoop dat hij het ook wat breder kan zien.
Op een kleedje in de kring liggen tien rood gekleurde stokken. ‘Welke stok is het allerlangst?’, vraagt peuterleidster Saskia aan de kinderen, terwijl ze het woorddeel ‘langst’ extra duidelijk en langzaam uitspreekt. Twee peuters steken een hand op, terwijl een derde naar het kleedje loopt en een stok aanwijst. Saskia pakt de stok op en legt deze links bovenaan op het kleedje. Ze kijkt naar de kinderen die hun hand opstaken. ‘Denken jullie ook dat deze stok het langst is of zien jullie een stok die nóg langer is?’ ‘Ja’, zegt peuter Teun, loopt naar het kleedje en wijst naar een andere stok. ‘Pak de stok maar Teun’, zegt Saskia. ‘Leg hem maar naast deze stok.’ Teun pakt de stok en legt de stok naast de eerder gelegde stok. ‘Is jouw stok langer of korter dan deze?’, vraagt Saskia. ‘Korter’, zegt Teun. ‘Ja, deze stok is langer dan die’, zegt Saskia en wijst hem aan. ‘De stok die jij pakte is korter.’ ‘Ziet iemand een stok die nog langer is dan deze?’, vraagt Saskia terwijl ze de langste stok aanwijst. ‘Nee’, roepen meerdere kinderen tegelijk. ‘Nee hè’, bevestigt Saskia: ‘Deze stok is inderdaad het langst.’ Samen met de kinderen maakt ze de reeks af. En als het groepslesje klaar is, ziet zij dat enkele jonge peuters iets anders gaan kiezen. De oudere peuters lijken nog meer uitdaging te willen. Waarop Saskia de langste stok nogmaals uit de kast pakt en peuter Lieke vraagt om bij haar te komen staan. Ze zet de rode stok rechtop naast Lieke en vraagt de kinderen uit de kring wie langer is, de stok of Lieke. Daarna worden alle kinderen vergeleken met de stok en met elkaar. Na het fruit gaan de kinderen buiten spelen. Enkele kinderen zijn stokken aan het zoeken. ‘Ik heb een hele lange stok’, roept een peuter. ‘De mijne is nog véél langer’, roept een ander kind. Saskia hoort het en lacht: haar lesje leeft.
nummer 2 | jaargang 45
Dé Matthijssen Groepsleerkracht Montessorischool Leidschenveen, tevens montessori-opleider
Sam de Vlieger
Enkele jaren geleden had ik een leerling die naar mijn smaak heel vaak speels en ongericht met de bascule werkte. Het leek alsof hij telkens niet verder kwam dan het verzamelen van objecten die op de bascule in balans werden gebracht. In het voorbijgaan vroeg ik hem dan wel eens of hij een idee had hoe zwaar het stukje IJsland, uit de Europapuzzel zou wegen. En daarna of Frankrijk zwaarder zou zijn dan Duitsland. Er werd een lijst aangelegd en zo ontstond er een nieuwe Europese ordening. Voor die leerling sloot dit onderzoeksdoel precies aan bij zijn interessegebieden: landen, landvormen, vlaggen en hoofdsteden. En bij zijn grote behoefte aan ordening. Daarnaast meende ik te zien dat hij er de humor ook van inzag. Zijn guitige blik leek te zeggen: ‘We hebben heel Europa bij de neus genomen en delen het opnieuw in.’ Ik denk dat ordening een belangrijke pijler is om overzicht te krijgen in elk nieuw vakgebied, bij onderzoek en bij creatieve processen. Vanuit rekenvaardigheden kreeg de bascule zo voor hem meer betekenis. Enerzijds kon je er ordeningen mee maken en anderzijds kon je er bijvoorbeeld vergelijkingen mee maken: hoeveel wegen twee landen samen en welke twee landen wegen samen bijna evenveel als twee andere landen? De bascule was een middel geworden om tot iets te komen en het rekenen met gewichten had een betekenis gekregen en een intrinsiek doel. De kunst van het balans vinden werd vervangen door het vergelijken en ordenen. Natuurlijk vind ik het heerlijk om dit soort onderzoekjes samen met kinderen te bedenken, te laten uitvoeren en te laten presenteren. Ik denk dat de meerwaarde in ons onderwijs erin ligt dat we, juist door de kinderen te observeren, door het gesprek met ze aan te gaan, komen tot creatievere opdrachten die misschien beter inspelen op de ontwikkelingsbehoeften van het kind. En nou en of dat er daarbij overlapping met andere vakgebieden is.
De wiskundedocenten op mijn school zijn in de jaren zeventig begonnen met het ontwikkelen van hun eigen methode. Deze methode, genaamd de Wageningse Methode, wordt nog steeds gebruikt en sluit zeer goed aan bij Montessori’s regel: ‘Leer mij het zelf te doen.’ Misschien kunnen wij van deze wiskundemethode iets leren? In veel schoolmethodes staan samenvattingen waarin de stof nog eens kernachtig uiteengezet wordt. In het filosofieboek dat ik gebruik, staat kort samengevat wat een filosoof bedoelt of hoe hij of zij zich verhoudt tot een bepaalde stroming. In de meeste wiskundemethodes staan daar dan de formules die je moet gebruiken om een probleem op te lossen. Het gevolg is vaak dat leerlingen leren dan gaan opvatten als het bestuderen van deze samenvattingen. Bij filosofie vragen leerlingen zich regelmatig hardop af waarom ze een moeilijke tekst elders in het boek zouden moeten lezen om daaruit een argumentatie te destilleren. Die argumentatie staat immers ook in de samenvatting.
Docent filosofie Pantarijn, Wageningen Bedenker www.peertest.nl
In de Wageningse Methode voor wiskunde staan geen samenvattingen of formules en wordt er eigenlijk nooit iets van te voren uitgelegd. De leerlingen moeten de opdrachten maken en de wiskunde achter de opdrachten zelf ontdekken. De enige manier om iets te leren is uit eigen beweging tot een bepaald idee of een bepaalde formule te komen. Bovendien leren leerlingen niet alleen een formule maar ook hoe je zelf zo’n formule kan afleiden. De stelling van Pythagoras kent iedereen, maar als je de Wageningse Methode gebruikt, weet je ook waarom die stelling zo is en kun je het op meerdere manieren uitleggen. Misschien moeten we de Wageningse Methode ook bij andere vakken invoeren, zodat leerlingen daar ook actief en ontdekkend te werk moeten gaan. Dat helpt wellicht Anke vanook Well om wiskunde en andere vakken beter te integreren.
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
21
Column
109 JHFHUWLȴFHHUG
Een bekwaam montessori-leraar of pedagogisch medewerker worden? Je werkt als leidster, leerkracht of BSOmedewerker op een montessori-basisschool, -peutergroep of -kinderdagverblijf en je wilt meer kennis en vaardigheden ontwikkelen om een fantastische(r) bijdrage te leveren aan de ontwikkeling van de kinderen. Kies dan voor de
>
> >
Basisbekwaam pedagogisch medewerker hva.nl/montessori-peuter Montessori basisbekwaam hva.nl/montessori-basis Montessori vakbekwaam hva.nl/montessori-vak
montessori-nascholing van de Hogeschool van Amsterdam! Met onze montessori-opleidingen ZHUN MH LQ QHJHQ PDDQGHQ WRH QDDU KHW FHUWLȴFDDW ‘jonge kind’, montessori-basisbekwaam of montessori-vakbekwaam. Alle opleidingen starten in het najaar van 2022.
Kijk op de website: hva.nl/montessori en klik daar door naar de opleiding van je keuze voor meer informatie.
Word gediplomeerd Montessori leerkracht! basisbekwaam / vakbekwaam
M
Mits adequaat ingericht en begeleid… Symen van der Zee1
Een recente studie van Skene en
Samenwerkend leren werkt, mits
collega’s2 maakte de tongen los in
adequaat voorbereid en begeleid (Van
onderwijsland. Hoofdvraag: hoe ef-
der Zee, 2015). Tutoring is doeltref-
fectief is begeleid spelend leren? De
fend, mits goed ingericht en begeleid
onderzoekers hebben al het onder-
(Nickow, Oreopoulos, & Quan, 2020).
zoek waarin begeleid spelend leren is
De vraag is natuurlijk wat deze goede
vergeleken met directe instructie en
voorbereiding en begeleiding dan pre-
vrij spelen, bestudeerd en vergeleken.
cies inhouden. Pas wanneer onderzoek
Conclusie: begeleid spelend leren is
hierin inzicht biedt, wordt het praktisch
voor veel doelen even effectief als
relevant en bruikbaar. Alleen weten dat
directe instructie en voor een aantal
een werkwijze gemiddeld werkt, helpt
zelfs effectiever. Bijvoorbeeld voor de
onderwijs niet veel verder. En dat geldt
Laten we de komende jaren gezamen-
ontwikkeling van ‘early mathematics skills’.3 Daarbij blijkt begeleid spelend
natuurlijk ook voor onderzoek naar de
lijk doelbewust en stapje voor stapje
montessorimethode. Om een beter
werken aan het best mogelijke montes-
leren doeltreffender dan vrij spelen. De
begrip te krijgen van de effectiviteit
sorionderwijs voor ieder kind.
algemene conclusie van de studie is
van montessorionderwijs, om daarmee
dan ook dat spelend leren effectief is,
het onderwijs verder te helpen, is het
‘mits adequaat ingericht en begeleid’
belangrijk om preciezer te leren kijken.4
- een vaak gehoorde toevoeging in Onderzoekend leren is effectief,
Nieuwe lector Vernieuwend Onderwijs
mits op een juiste wijze ingericht en
Hierin ligt een uitdaging voor de
begeleid (Lazonder & Harmsen, 2016).
komende jaren voor het lectoraat
onderwijskundig onderzoek.
Vernieuwend Onderwijs. Achterhalen welke elementen werken, hoe ze werken, voor wie ze werken, onder welke omstandigheden en voor welke doeleinden. En in het verlengde hiervan nagaan welke nieuwe elementen
Start: september / oktober 2022 Woensdag 14:00 tot 18:00 uur
het onderwijs kunnen versterken. Als nieuwe lector Vernieuwend Onderwijs bij Saxion Hogescholen5 wil ik mij de komende jaren hierop toeleggen,
Leren met lef.
samen met de onderzoeksgroep en montessorischolen natuurlijk. In het onderzoek zullen we steeds drie aspecten meenemen en onderling wegen: de oorspronkelijke ideeën van Maria Montessori, de huidige onderwijspraktijk (en historische ontwikkeling ervan), en resultaten vanuit de onderwijswetenschappen. Ik heb er enorm veel zin in.
23 1 Symen van der Zee is de nieuwe lector Vernieuwend Onderwijs bij Saxion Hogescholen. De afgelopen jaren heeft hij onderzoek verricht naar het vormgeven van onderzoekend, ontwerpend onderwijs en effectieve leerkrachtprofessionalisering. Daarvoor was hij onderzoeker bij lectoraat Vernieuwingsonderwijs, waar hij promoveerde op onderzoek naar de effectiviteit van daltononderwijs. Hij verzamelt als onderwijswetenschapper kennis en maakt die praktijkgereed, om zo te helpen ze te integreren in het onderwijs. s.vanderzee@saxion.nl. 2 Kayleigh Skene, Christine M. O’Farrelly, Elizabeth M. Byrne, Natalie Kirby, Eloise C. Stevens, Paul G.Ramchandani. Can guidance during play enhance children’s learning and development in educational contexts? A systematic review and meta analysis. Child Development, 2022; DOI: 10.1111/cdev.13730 3 ‘Early mathematics skills’ zijn vaardigheden zoals getalbegrip, tellen, meten, schatten, sorteren, vergelijken. Er is niet een één op één vertaling, maar ontluikende gecijferdheid of basisvaardigheden rekenen komen in de buurt. 4 Marshall, C. (2017). Montessori education: A review of the evidence base. NPJ Science of Learning, 2. https://doi.org/10.1038/s41539-0170012-7 5 Van der Zee, S. (2015). De effectiviteit van daltononderwijs. Saxion Progressive Education University Press: Deventer.
Meer info en aanmelden: hr.nl/montessori Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Thema
L
Thema
Leerlijn niet kennen, vergroot verschillen gerelateerd aan methodes als Pluspunt en Wereld in getallen. De verwachting
Paul Op Heij
van de inzet van digitale leermiddelen was dat leerlingen er gemotiveerder door zouden gaan rekenen, maar dat
We krijgen de kracht en de beperkingen van digitale adaptieve reken- en wis-
viel al snel tegen. Bovendien hielp het
kunde methodes steeds beter in beeld, meent onderwijsadviseur Henk van de
niet dat docenten zich de manier van
Hoef. ‘Ervarener docenten zijn vaak beter in staat digitale leermiddelen didac-
werken zelf nog eigen moesten maken;
tisch goed in te zetten, want ze hebben meer overzicht en inzicht.’
hun instructie bestond in die periode vaak vooral uit het uitleggen van de methode en de werkwijze en niet van
Henk van de Hoef: ‘In het basis-
methodes dan ook sneller goed oppak-
kon toch beter. Zij hebben toen de di-
de reken- en wiskundeopgaven zelf.
gezegd, vindt hij, veel van de con-
back zeker gebruik van gemaakt gaan
onderwijs zijn de meeste docenten
ken dan jonge docenten die net van
gitale adaptieve leeromgeving Snappet
Inmiddels weten we uit onderzoek van
tent in Snappet en Gynzy bestaat uit
worden. De software geeft overigens
opgegroeid en opgeleid met methodes
de lerarenopleiding of pabo afkomen.
opgezet, destijds voornamelijk geënt
de Radboud Universiteit Nijmegen
traditionele simpele cijfersommen en
niet alleen feedback aan de individuele
en handleidingen die de leerlijn met
Ervarener docenten zijn vaak beter in
op materiaal uit bestaande papieren
en Universiteit Twente dat met name
lagere orde vaardigheden opgaven uit
leerling. Ook de docent heeft sneller
kern- en lesdoelen bewaakten. De
staat digitale leermiddelen didactisch
schoolmethodes. Dit leidde al snel tot
de 25% sterkste leerlingen veel profijt
een beeld van hoe alle kinderen werken
leerkrachten zagen de avond ervoor
goed in te zetten, want ze hebben meer
een rechtszaak, omdat uitgevers von-
heeft van werken met digitale adap-
het zogenaamde ‘realistische rekenen’2 van het Freudenthal Instituut. ‘Hogere
welke opgaven ze de volgende ochtend
overzicht en inzicht.’
den dat leerlijnen en leerinhoud eigen-
tieve methodes en dat leerrendement
orde vaardigheden die meer creativiteit
bijvoorbeeld een verlengde instructie.
dom waren. Na jaren procederen werd
sterk afhangt van de didactische kwali-
en kritisch vermogen vereisen, kunnen
En het levert uiteraard ook minder
teiten van de docent.’
met digitale adaptieve methoden nog
nakijkwerk op.’
moesten gaan uitleggen. Met de
24
en kan daarop direct reageren met
nieuwe leermiddelen kan die leerlijn
Digitaal adaptief
Snappet op bijna alle onderdelen in het
meer en meer losgelaten worden, waar-
In 2011 spraken vier ouders met
gelijk gesteld, waarna het digitale hek
bij er een groter beroep wordt gedaan
kinderen in de basisschoolleeftijd
definitief van de dam was.
Van de ruim 7000 basisscholen in
vendien komt in die digitale methodes
Eenduidige instructie
op de docent zelf, om de leerlijn
elkaar, begint Henk van de Hoef zijn
Van de Hoef: ‘In 2016 is Gynzy met
Nederland gebruiken inmiddels zo’n
zoiets als een klassieke staartdeling
Om het allemaal in het juiste perspec-
goed te kennen en doorgronden. Om
geschiedenis van digitalisering in het
een vergelijkbaar product als Snappet
3000 scholen dagelijks Snappet en
niet voor. Net als in veel schoolboeken
tief te plaatsen, zegt Van de Hoef, is
te doorzien hoe dat wat je vandaag
onderwijs. Alle vier waren werkzaam
op de markt gekomen. Veel scholen
samen bijna 1000 Gynzy en Bingel.
is die vorm van delen vervangen door
het ook van belang te vermelden dat
aanbiedt, zich verhoudt tot dat van
bij organisatieadviesbureau McKin-
verwachtten toen dat ook de traditio-
Ook veel reformscholen maken hiervan
het kolomdelen – het mechanistisch
een deel van de leerlingen ook de ho-
de komende periode. Mijn ervaring is
sey. Ze verwonderden er zich over
nele uitgevers wel snel over de brug
gebruik, want het adaptieve van die
rekenen is grotendeels verdwenen. Wel
gere orde opgaven van het ‘realistisch
dat de meer ervaren leerkrachten die
dat hun kinderen nog maar zo weinig
zouden komen met digitale methodes.
methodes is eigenlijk mooi in lijn met
hebben deze methodes al zoveel eigen
rekenen’ van het Freudenthal Insti-
in meerdere groepen hebben lesgege-
gepersonaliseerd onderwijs kregen en
Dat gebeurde echter pas in 2019, toen
het montessoriwerken. Je hebt zowel de
content opgebouwd dat ze eigen leerlij-
tuut minder gemakkelijk aankan. ‘Ze
ven, het werken met digitale adaptieve
bovendien niet gedigitaliseerd. Dat
Malmberg Bingel lanceerde, sterk
mogelijkheid convergent als divergent
nen hebben kunnen ontwikkelen.’
worden er eerder door gedemotiveerd
te differentiëren, zegt Van de Hoef,
Wat ook nog een punt van aandacht
dan door getriggerd. Deze kinderen
maar hij relativeert dat ook weer direct.
bij die digitale adaptieve methodes is,
hebben behoefte aan duidelijkheid, aan
‘Vanuit klassensituaties met 25 of 30
zegt hij, is dat software voornamelijk
eenduidige instructie van de docent,
leerlingen weet je dat de praktijk weer-
feedback geeft op het resultaat en min-
aan scaffolding, omdat ze het anders
barstiger is, dat er vaak geen of weinig
der op het proces. Daardoor dient de
niet of lastig redden. Zij komen door-
ruimte is voor verschillende instructies
feedback van de leerkracht zich vooral
gaans ook bij het realistisch rekenen
of zelfs verlengde instructie. De meeste
te focussen op het proces. ‘Daarom
niet verder dan de eerste drie onder-
Henk van de Hoef werkte zelf 7 jaar in het basisonderwijs, werd ICT-coördinator op zijn school
scholen en docenten lossen dat op door
vermelden de aanbieders van deze
delen van de taxonomie van Bloom:
toen daar de eerste computers hun intrede deden en vanuit die interesse ging hij vervolgens het
het eerste deel van de les convergent
leermiddelen er altijd bij dat leerlingen
onthouden, begrijpen en toepassen.
bedrijfsleven in. Na 7 jaar leraar zijn en 7 jaar bij een ICT-bedrijf te hebben gewerkt, combineerde 1 hij beide ervaringen, richtte in 2011 het onderwijsadviesbureau O21 op, waarmee hij scholen en
te werken en pas in het tweede deel
ook een uitrekenschriftje bij de hand
Het Freudenthal Instituut wil wel graag
divergent, zodat kinderen aan hun eigen
moeten houden. Daar waar een docent
besturen ging begeleiden. Inmiddels ondersteunt O21 honderden scholen, zowel in het basis- als
leerdoelen kunnen werken.’
al snel inhaakt op hoe hij een leerling
Beter weten voor kinderen
maar nauwelijks geoefend worden. Bo-
ziet werken en zal complimenteren,
voortgezet onderwijs. Daaronder ook minstens 25 montessorischolen, evenals diverse dalton- en jenaplanscholen. Geen enkele daarvan hetzelfde, zegt hij, ‘maar bij veruit de meeste gesprekken
Realistisch rekenen
aanmoedigen of corrigeren, kan de
proef ik direct of indirect wel het wij-weten-beter-wat-goed-voor-kinderen-is. Terwijl veel van de
In eenzelfde tijdspanne kunnen som-
digitale methode nog maar weinig
bewezen effecten van reformscholen inmiddels door andere scholen zijn omarmd en overgenomen.’
mige leerlingen digitaal wel vijf keer zo-
meer dan een groen vinkje of een rood
veel opgaven maken als in een schrift,
kruisje plaatsen. Wel is de software al
vertelt Van de Hoef. Veel leerlingen
zo ver doorontwikkeld dat het met aan
zijn met een boek sneller afgeleid dan
zekerheid grenzende waarschijnlijkheid
met een device waarop telkens één
kan bepalen welke denkfout is ge-
opgave verschijnt. Maar, dat moet ook
maakt. Hier zal in de toekomstige feed-
1 O21 begeleidt scholen op het gebied van strategisch beleid, digitale leermiddelen en digitale geletterdheid. De afgelopen tien jaar heeft O21 honderden scholen begeleid bij de didactische en inhoudelijke inzet van adaptieve leermiddelen in het onderwijsproces, passend bij de specifieke schoolvragen en -populatie. https://www.o21.nu/expertises/digitale-leermiddelen/
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
2 Het ‘realistisch rekenen’ van de Duits Nederlandse wiskundige en pedagoog Hans Freudenthal, dat vanaf de jaren 70 wereldwijd naam maakte, is niet alleen rekenen binnen contexten, maar ook rekenen waarbij leerlingen zich bewuster zijn van wat ze nu eigenlijk aan het doen zijn. In het montessorionderwijs worden daar ook de montessorimaterialen voor gebruikt, om het rekenen tastbaar en aanschouwelijk te maken.
nummer 2 | jaargang 45
25
Thema
rekenen-wiskunde. ‘Als een middelbare
In de spiegel kijken
school een basisschool vraagt kinderen beter voor te bereiden op wat ze op het
26
g
Thema
Goochelen met grote getallen
Henk van de Hoef heeft de indruk dat er op veel reformscholen een vorm van
voortgezet onderwijs moeten kunnen,
conservatisme is ontstaan, ‘de wet van de remmende voorsprong, waarbij
gaan de meeste basisscholen daar vaak
het gevaar dreigt dat men te veel naar binnen gericht raakt.’ Als je op deze
in mee. Maar als je aan basisscholen
scholen het gesprek voert over het al dan niet digitaliseren, proef je bij leraren
vraagt de kant van het zelf ontdekkend
regelmatig nostalgie naar de montessorimaterialen die in de jaren dat er
rekenen op te gaan en dus de creatie-
reguliere papieren schoolmethodes werden aangeschaft, in de kast beland
vere lijn van het Freudenthal Instituut
waren. Juist nu de Onderwijsinspectie weer meer ruimte laat, mogen die
te volgen, dan neem ik steeds meer
kasten weer open. ‘Tegelijkertijd denken scholen ook na over de introductie
weerstand waar. Men geeft steeds
‘Ah, dit is een makkie! Als een plus drie vier is, is tien plus dertig dus veertig en
‘We zien thuis dat Bruno echt plezier
van digitale adaptieve rekenmethodes. Misschien maakt het wel duidelijk
meer aan dat men vooral “de basis”
honderd plus driehonderd….’ Ik stond versteld. Zoon Willem bleek in groep 3 al
heeft in rekenen. Hij verzint sommen
hoe zoekende scholen en docenten zijn om de bewezen ervaringen uit het
goed op orde wil hebben, of dat we
moeiteloos in staat om flinke getallen bij elkaar op te tellen en toen ik hem tijdens
voor ons en die moeten wij dan oplos-
verleden te combineren met vernieuwing. Bij kosmisch onderwijs is het relatief
in het onderwijs al tien jaar “aan het
een lockdown begeleidde, snapte ik ineens waarom. De ‘spieksommen’ die hij
sen. Bruno is de meester en zegt of we
gemakkelijk traditionele montessori-elementen te vertalen naar domeinen
klooien zijn om de regie bij het kind
aan het maken was, lieten het kind (Willem) zien dat ‘hoge cijfers’ feitelijk niet
het goed of fout hebben. We moeten
binnen digitale geletterdheid. Bij rekenen-wiskunde heb je echt didactisch
te leggen.” En ergens kan ik me in die
moeilijker zijn dan kleine door ze met elkaar te vergelijken.
goed opletten, want soms moeten we
sterke docenten nodig om concrete materialen een aanvulling te laten zijn op
kritiek wel vinden.’
een plus-som uitrekenen en daarna
digitale middelen en vice versa.’
Er is onmiskenbaar de tendens, zegt
een min-som. We zien hem antwoor-
hij, dat steeds meer basisscholen te-
den controleren door zijn vingers te
ruggaan naar de basis van het cijferen.
gebruiken. Hij maakt het concreet voor zichzelf.’
Esther Sandbergen
dat kinderen met rekenen ook zelf
Doorlopende leerlijn
Bij begrijpend lezen zie je hetzelfde,
moeten kunnen creëren, evalueren en
Digitale adaptieve methoden maken
zegt hij. ‘Soms vraag ik me af of het
experimenteren, maar het is de vraag
het mogelijk, vertelt Van de Hoef, om
toevallig is dat juist in de jaren dat we
Anne Boonstra (architect) en Yomi van
of dit alle kinderen ook lukt op het ni-
bepaalde kinderen in groep 8 al opga-
met digitale adaptieve methodes zijn
der Veen (zakelijk directeur UvA), ou-
veau dat de methodemaker voor ogen
ven van vwo 2 niveau te laten maken
gaan werken, gemiddelde resultaten op
ders van Jonathan, Mia, Birk en Hanna,
heeft. De digitale adaptieve leermidde-
– dat mag ook volgens het curriculum
rekenen en lezen achteruit zijn gegaan.
zien grote verschillen als het gaat om
len kunnen hier vooralsnog technisch
van de basisschool. ‘Leerlingen leren
Ik besef dat er geen simpele causale
aanleg voor rekenen en het plezier in
gezien weinig bij helpen. En als het
weliswaar nog niet de stelling van
verbanden zijn en dat er meerdere
het vak bij hun kinderen. Anne werd
met de creativiteit van die methodes al
Pythagoras, maar breuken en percen-
correlaties bestaan: de afname van het
enthousiast voor het montessorionder-
tegenvalt, dan geldt dat ook voor het
tages kunnen ze wel op dat niveau
spontane lezen, groeiende invloed van
wijs toen hij bij een open dag zag hoe
plezier dat kinderen eraan beleven. Je
maken. Andersom kunnen kinderen
de sociale media die de spannings-
kinderen bezig waren met geometri-
ziet na wat beginnersenthousiasme dat
in groep 8 ook nog op onderdelen van
boog van kinderen verkort, de veran-
sche vormen, ook zelf kubussen maak-
rekenen op een device zelfs kan gaan
groep 6 oefenen. De aansluiting op
derde houding van docenten. Ik zie de
ten en die in handen hadden. ‘Dit soort
vervelen, dat opgaven met slechts twee
de middelbare school laat echter vaak
discussies hieromtrent ook verharden,
werkjes maken het rekenonderwijs voor
antwoordopties zonder serieus naden-
te wensen over, omdat het regelmatig
die tussen “de Paul Kirschners ener-
ken aangeklikt worden, want het sys-
voorkomt dat de docent in de eerste
zijds en de Paul Schnabels anderzijds”,
Het was me al eerder opgevallen dat
Anouk wil ouders de tip meegeven
Yomi vindt het fijn dat het onderwijs
teem biedt vaak toch een tweede kans.
les met les 1, hoofdstuk 1 van de VO-
er wordt nauwelijks meer naar elkaar
op montessorischolen al vanaf 5 jaar
om vooral naar de interesses van hun
rekening houdt met verschillen tussen
Leerlingen weten daarbij overigens
methode begint.’
geluisterd en van elkaar geleerd.’
gewerkt wordt aan de lijn van de grote
kind te kijken en daar thuis op aan te
kinderen. ‘Onze oudste zoon kreeg
vaak niet dat het adaptieve systeem
Vandaar ook dat je binnen schoolbe-
getallen, die ik vroeger pas laat in de
sluiten. ‘Vraag eens wat ze leren en ga
in de bovenbouw meer uitdagend
dan wel afschaalt, waardoor ook de vol-
sturen steeds meer 10-tot-14 scholen3 ziet ontstaan, zegt hij, want dat pro-
middenbouw te zien kreeg. Toen ik an-
daar thuis mee aan de slag. Bijvoor-
werk en profiteert daar nu van op het
dere ouders vroeg naar hun ervaringen
beeld door een gezelschapsspelletje te
gymnasium, onze dochter heeft soms
met rekenen met montessori-materiaal,
doen of samen terug te tellen vanaf een
moeite met rekenen en heeft veel baat
was dat een geluid dat bevestigd werd.
bepaald getal.’ Daarbij is het volgens
bij de verschillende manieren waarop
gende opgave minder leerzaam is.’
bleem speelt natuurlijk niet alleen bij
3 In de Verenigde Staten ‘middle school’ genoemd.
De kans bestaat dan ook, als docenten
kinderen aantrekkelijker,’ vertelt Anne.
Anouk ook goed om bewegend te
het rekenen wordt uitgelegd.’ Ze vertelt
geen duidelijke schoolbrede afspraken
Anouk Elzas (moeder van Fay, 7, en
leren. ‘Misschien wil je kind de getallen
ook dat ze met haar zoon wel eens
gemaakt zijn, dat de verschillen tus-
groepsleerkracht Montessorischool
opschrijven, maar het is ook een idee
legoblokjes heeft gebruikt om tijdens
sen leerlingen vergroten in plaats van
Castricum) legde me uit dat ‘er inder-
om te springen, terwijl je de getallen
het thuisonderwijs werkjes te maken
verkleinen. Het is een ongemakkelijke
daad al vroeg mee begonnen wordt en
opnoemt.’
met zijaanzichten en dergelijke.
conclusie, maar Van de Hoef wil die
dat dit kan vanwege de inzichtelijkheid
wel onder ogen zien. ‘Als een leraar
die het materiaal de kinderen verschaft.
Ook Rogier Schotvanger (vader van
materiaal het rekenproces inzichtelijk
volledig vertrouwt en afgaat op de
Met het gouden materiaal heeft een
Bruno, 8, en docent Frans op Willem
maken, recht doen aan verschillen bij
computer, dan is dat gevaar zeker niet
kind echt honderd kralen in handen.
Blaeu in Alkmaar) noemt de grote
kinderen, het is een korte samenvatting
denkbeeldig. Daarom denken wij dat
Dat helpt, het wordt zichtbaar.’ Dochter
getallen al snel als ik hem vraag naar
van rekenonderwijs op montessori-
leerlingen beter af zijn met docenten
Fay is nu op school bezig met maten
wat hem opvalt aan het rekenonderwijs
scholen. Vraag er thuis eens naar en ga
die minder affiniteit met ICT hebben
en gewichten en wil graag in de keuken
op een montessorischool. Daarnaast
samen aan de slag!
maar didactisch wél goed weten hoe
helpen met het afwegen van ingrediën-
sprong bij hem het ‘honderdbord’ in
Met dank aan genoemde ouders van
de leerlijnen opgebouwd zijn, dan
ten en het optellen van hoeveelheden.’
het oog als een concreet hulpmiddel.
Montessorischool Castricum.
didactisch minder vaardig zijn en er
Vroeg beginnen met grote getallen, met
andersom.’ Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
27
Thema
D
Thema
De vrucht van kritische zelfreflectie Bert Kraai1
samenhangt. Maar dit maakt het er
gesprek te gaan en experimenten uit te
soms voor de lezer niet altijd duidelij-
voeren op het vlak van wiskundedidac-
ker op. Daarnaast valt hij regelmatig in
tiek. Bijvoorbeeld over hoe leerlingen
We zijn in Nederland gewend geraakt aan realistisch reken- en wiskundeonder-
herhaling. Mogelijk heeft hij dit gedaan
vanuit voorbeelden en non-voorbeel-
wijs, zoals dit is ingezet door het Freudenthal Instituut en ook internationaal
vanuit de gedachte dat herhaling de
den zelf kunnen komen tot een heldere
navolging kreeg. Maar hoe anno 2022 tegen deze ‘vernieuwing’ aan te kijken? Een boekbespreking van Volgens Barton2 van Craig Barton, vertaald en uitgegeven
kracht is achter de reclame...
definitie van begrippen als: rekensom,
door collega René Kneyber.3
Humor en zelfspot
tie om iedere les af te sluiten met een
Het vraagt enige moed om aan deze
quiz waarin de lesstof kort en krachtig
dikke pil te beginnen. Maar Craig
wordt samengevat.
Enkele jaren geleden mocht ik een
wiskundelessen te herontwerpen. Deze
website en probeerde nieuwe inzich-
Barton weet de lezer met zijn licht-
vwo-leerling begeleiden bij een pro-
video maakte diepe indruk op mij. Ik
ten uit in de praktijk. Daarnaast gaf
voetige schrijfstijl, doorspekt met de
Realistische wiskunde
fielwerkstuk met als titel Een goede
werd mij er ineens van bewust dat ik
hij presentaties en workshops aan
nodige humor en zelfspot, prima bij de
Craig Barton durft in Volgens Barton
wiskundeles. Die leerling was van me-
pas aan het begin stond van een lange
wiskundeleraren. Hoe meer hij las en
les te houden. De voorbeelden uit zijn
ook tegen heilige huisjes aan te trap-
ning dat wiskunde op een veel betere
reis om echt goede wiskundelessen te
experimenteerde, hoe meer vragen er
lespraktijk zijn heel herkenbaar, waar-
pen, zoals het gebruik van realistische
manier gegeven kon worden dan ik
gaan geven.
boven kwamen. Uiteindelijk heeft hij
door je als lezer al snel merkt dat een
contexten om wiskunde aan te laten
alle verzamelde informatie samengevat
ervaren collega jou een kijkje in zijn
sluiten bij de belevingswereld van leer-
deed. Ik voelde mij wat in mijn wiek
28
vergelijking of functie. Of zijn sugges-
geschoten, want ik zag mijzelf als de
Iets soortgelijks overkwam Craig
in het boek Volgens Barton. Dit is zo’n
keuken gunt. En jou deelgenoot durft
beste wiskundedocent in de school en
Barton, sinds 2004 wiskundeleraar in
dikke pil geworden, dat het bij de Ne-
te maken van zijn eigen fouten en wat
lingen, de wereldwijd bekend geworden aanpak van het Freudenthal Instituut5.
die de neiging hebben om leerlingen
misschien wel in de regio. Nu realiseer
Engeland. ‘Er is geen wiskundeleraar
derlandse vertaling in eerste instantie
hij daarvan heeft geleerd. Dat maakt
Hilarisch is bijvoorbeeld zijn beschrij-
buiten te sluiten omdat zij er weinig af-
ik mij dat in het land der blinden
in Engeland die hem niet kent’, aldus
werd opgeknipt in twee afzonderlijke
dit boek wel uniek in zijn soort!
ving van een les over het rekenen met
finiteit mee hebben, zoals dat ook met
eenoog koning is. Ik ben de uitdaging
vertaler/uitgever René Kneyber in zijn
delen, maar bij een heruitgave toch
Gaandeweg doe ik allerlei nieuwe
breuken. Om deze lessen memorabel
voetbal, economie of natuurkunde het
met deze leerling aangegaan. Hij
inleiding. In Volgens Barton beschrijft
weer is samengevoegd.
ontdekkingen. Een voorbeeld: als leer-
te maken, besloot hij om de leerlingen
geval kan zijn.
stuurde mij een link naar een TED-Talk van Dan Meyer4 over de noodzaak om
Barton hoe hij zich jaren geleden ont-
Het boek is overzichtelijk ingedeeld
lingen eenmaal iets fout hebben aange-
uit te dagen om 7 cakerollen, die op
Dit alles heeft Barton ertoe doen
wikkeld had tot een gevierd wiskunde-
in 2 inleidende hoofdstukken, die
leerd, raken zij dit nooit meer helemaal
elkaar gestapeld waren, met zo min
besluiten dat de realistische wiskunde
leraar, die zowel door leerlingen als de
vervolgens op een verdiepende laag
kwijt. Ineens ging ik begrijpen waarom
mogelijk verticale doorsnijdingen
meer kost dan oplevert. In plaats
inspectie op handen gedragen werd.
worden uitgewerkt in de resterende
het averechts werkt als je veel aandacht
eerlijk te verdelen over 12 leerlingen,
daarvan laat hij bijvoorbeeld leerlingen
Daarnaast had hij twee populaire
10 hoofdstukken. Ieder hoofdstuk
besteedt aan veelgemaakte fouten als
zonder dat er iets overbleef. Toen hij
een vergelijking met een onbekende
wiskundesites ontwikkeld (www.
bestaat uit paragrafen, die een vaste
(x – 2)2 = x2 – 4. In plaats daarvan leg
jaren later bij een leerling informeerde
eerst via de beschikbare inefficiënte
mrbartonmaths.com en www.diagnostic
opbouw kennen: wat ik vroeger dacht,
ik nu kwadrateren uit als: met zichzelf
wat hij van deze les had onthouden,
methodes oplossen, bijvoorbeeld met
questions.com) die door een breed
inspiratiebronnen, wat ik ervan opstak
vermenigvuldigen. Dan ontstaan
bleek dit de hoeveelheid slagroom te
getallen uitproberen of inklemmen.
internationaal publiek worden bekeken.
en wat ik nu doe. Door de veelheid
vanzelf dubbele haakjes, en de meeste
zijn die er op de bril van de docent
Vervolgens stelt hij de vraag of het niet
aan verwijzingen in het boek maakt
leerlingen weten inmiddels wel hoe je
terecht was gekomen.
fijn zou zijn als er een handiger me-
Barton duidelijk dat alles met alles
die weg moet werken. Nog zo’n eye-
Craig Barton
Studeren, experimenteren
opener is dat motivatie niet altijd leidt
Barton waarschuwt ons voor de
interviewen van interessante en inspi-
tot succeservaringen, maar dat het om-
beperkte capaciteit van ons werkge-
bij Dan Meyers blogserie Headache and Aspirine6. Kortom: na het lezen van Vol-
rerende onderwijsmensen als Dylan
gekeerde wel geldt: succeservaringen
heugen en raadt ons aan om ons sterk
gens Barton is de boodschap voor mij
Wiliam, Robert en Elizabeth Bjork,
leiden bijna altijd tot meer motivatie.
te beperken in de hoeveelheid nieuwe
wel duidelijk: het geven van rekenen en
Dus is het belangrijker om randvoor-
informatie die wij tegelijkertijd aanbie-
wiskunde is een ambacht waarbij ook
waarden te scheppen zodat leerlingen
den. Veel contexten bevatten zinloze
ik nog veel kan leren.
succeservaringen kunnen opdoen, in
informatie die de aandacht afleiden en
plaats van de lessen te gaan opleuken
het werkgeheugen onnodig belasten.
om de motivatie te verhogen. Daarmee
Daarnaast wordt er bij het mathemati-
moedigt Barton mij als collega aan om
seren van realistische contexten infor-
mijn wiskundelessen te gaan heront-
matie weg gefilterd, die in de beleving
werpen. Op ruim 500 bladzijden biedt
van leerlingen nog wel relevant is. Of
hij daarvoor tal van handreikingen, die
er worden bepaalde aannames gedaan,
ik zelf in mijn lessen kan uitproberen.
die voor leerlingen niet vanzelfspre-
Daarnaast biedt hij talloze mogelijk-
kend of zelfs discutabel zijn. Ten slotte
heden om in mijn sectie met elkaar in
waarschuwt Barton voor contexten
Daisy Christodoulou en Doug Lemov. Hij onderwierp hen aan een vragenvuur, hoe zij hun lessen vormgaven en waarop zij hun keuzes baseerden. Ineens realiseerde Barton zich dat hij zich zelf niet bewust was geweest van zijn eigen keuzes en vooral intuïtief handelde. Dus begon hij als een razende onderwijsliteratuur te verzamelen en verslinden. Barton maakte overal aantekeningen van, vatte alles samen op zijn
Montessori Magazine
thode zou zijn. Daarmee sluit hij aan
Maar toen begon hij eind 2015 met het
1 Bert Kraai is docent wiskunde Vrijeschool Zutphen 2 Barton, Craig (2019), Volgens Barton. Lesgeven in wiskunde aan de hand van wetenschap, experts en 12 jaar aan mislukkingen. Uitgeverij Phronese/Culemborg. 3 René Kneyber was 15 jaar wiskundedocent en is publicist, uitgever en trainer onderwijs. Hij schreef o.a. de boeken Het Alternatief 1 en Het Alternatief 2, kritische beschouwingen op ons onderwijsbestel en voorstellen ter verbetering 4 Meyer, Dan (2010), TED Talk: Math Class Needs a Makeover. https://www.ted.com/ talks/dan_meyer_math_class_needs_a_ makeover?language=n
nummer 2 | jaargang 45
Montessori Magazine
5 Freudenthal Instituut (z.d.). Realistic Mathematics Education. https://www.uu.nl/ onderzoek/freudenthal-instituut/realisticmathematics-education 6 Meyer, Dan (2015), If Math Is The Asperin, Then How Do You Create The Headache? https://blog.mrmeyer.com/2015/if-math-is-theaspirin-then-how-do-you-create-the-headache/
nummer 2 | jaargang 45
29
0577 411 556
v
Thema
Vrijheid en medeverantwoordelijkheid Paul Op Heij
Als ‘geesteswetenschapper’ is het vaak een verademing te lezen over natuurwetenschappen, omdat die teksten zoveel nuchterder zijn. Zelfs al betreft het columns als die van wiskundige Ionica Smeets in Superlogisch.1 En Victor Kal maakt filosoof Spinoza alleen nog maar nuchterder.
Groepsovernachtingen voor onderwijs Dat gevoel van kamp. De krakende stapelbedden, de nachten zonder kunstlicht en de ochtendgymnastiek in de buitenlucht. Bij Stichting Paasheuvelgroep geloven we in het traditionele kamp, maar dan wel in een hedendaags jasje. Ga je mee? Groepsovernachtingen met respect voor de natuur
Smeets geeft in Superlogisch tips
met emoties (‘passies’) het nuchtere
om grote getallen in bijvoorbeeld de
denken en handelen minder in de weg
miljoenennota voorstelbaar te maken,
zit. We moeten eigenlijk helemaal niet
wijst op het belang van goed kunnen
willen leren omgaan met emoties, legt
schatten en legt de elfproef voor
ze uit, we kunnen beter direct schoon
burgerservicenummers uit. Ze schrijft
schip maken en achterhalen waar
over bolstapelingen, misleidende
bijvoorbeeld die faalangst vandaan
reclameacties, ecologische rekenfouten
komt. Geen symptoombestrijding dus!
en waarom het beter is iets langzamer
En voor wie nu denkt dat Benedictus
te rekenen en dan wel te begrijpen wat
de Spinoza (1632-1677), alleen maar
je aan het doen bent. Over schijndata,
zinnigs te melden had over mislei-
zelfversterkende feedbackloops en het
dende emoties en ethiek (zoals in zijn
neutraal verstrekken van medische
geometrisch opgebouwde Ethica), die
Spinoza’s onderscheid tussen handelen
informatie. En bij dat laatste de vraag
leze er ook nog Victor Kal’s De LIST van Spinoza3 op na, een essay dat je behoor-
en redeneren en noemt diens staatsi-
of mensen met zulke specialistische gegevens wel om kunnen gaan, of ze
lijk in verwarring kan brengen, over die
een vorm van conservatisme en het
die binnen laten komen zoals bedoeld
andere menselijke passie: het verlangen
tegendeel van democratie en indivi-
of dat hun emoties er mee aan de
naar vrijheid.
duele vrijheid. Dat valt nog te bezien,
haal gaan.
Victor Kal haalt het traditionele beeld
maar misschien heeft Spinoza op een
Waarmee ik bij Miriam van Rijen
van Spinoza als voorvechter van
heel andere manier meer gelijk gekre-
kom, kenner van Spinoza – ’s lands
vrijheid en democratie onderuit. Met
gen dan wij ons tegenwoordig willen
belangrijkste filosoof, ten minste
citaten uit Spinoza’s Theologisch-politiek
realiseren: niet omdat we een overheid
daar waar het om diens omgang met
traktaat (1670) maakt Kal duidelijk dat
emoties gaat. Van Rijen beschrijft in de
wij de afgelopen decennia, samen met
kregen die van haar burgers medeverantwoordelijkheid4 afdwingt voor
bundel Waar, goed en schoon onderwijs2 hoe Spinoza’s stoïcijnse omgang
historici als Jonathan Israël en Steven
bijvoorbeeld meer gelijkheid, gezond-
Nadler, Spinoza compleet naar ons toe
heid en duurzaamheid, maar een die
hebben gelezen. Spinoza leefde immers
juist aanzet tot meer consumeren. Om
voordat ons moderne (individualis-
burgers rustig te houden met brood
tische) vrijheidsbegrip ontstond en
en spelen. Consumentisme als ‘ware
was helemaal niet uit op ons begrip
religie’ dus. De Spinoza van Jonathan
van democratie. Hij ontwierp juist een
Israël was comfortabel, die van Victor
staatsideologie (‘ware religie’), waar-
Kal is confronterend.
Veel ruimte voor sport en spel Lekker in het bos, op de heide of bij het water Meer dan 600 schoolkampen per jaar
www.groepsgebouw.nl/montessori
mee burgers vrijwillig hun handelen lieten inperken, als de vrijheid om te redeneren en te oordelen maar mocht blijven bestaan, ook om daarmee de overheid te kunnen corrigeren. Spinoza dacht dat dat onderscheid tussen han-
100 jaar! In 2022 gunt Stichting Paasheuvelgroep al 100 jaar kinderen dat gevoel van kamp. Gedurende het hele jaar willen we deze mijlpaal vieren met
deologie een grote ‘gelijkschakeling’,
36 GROEPSACCOMODATIES
delen en denken noodzaak was, om de
DOOR HEEL NEDERLAND:
eenheid en rust in de samenleving te
Austerlitz, Baarn, Epe,
bewaren, want met alleen ‘oproerkraai-
Evertsoord, Oosterhout,
ers’, die geen betere ideeën aandragen,
Oostvoorne, Stroe,
is niemand gediend, vond hij.
Teteringen en Vierhouten.
Victor Kal heeft nauwelijks oog voor
1 Smeets, Ionica (2019), Superlogisch. Hoe getallen je helpen om de wereld beter te begrijpen, Uitgeverij Nieuwezijd 2 Klarus, Ruud, en De Beer, Fedor (2018), Waar, goed en schoon onderwijs, ISVW Uitgevers 3 Kal, Victor (2020), De LIST van Spinoza. De grote gelijkschakeling, Uitgeverij Prometeus 4 Medeverantwoordelijkheid, de achterkant van vrijheid, zou ten tijde van een pandemie kunnen inhouden dat burgers alleen keuzevrijheid behouden als ze zelf een alternatief inbrengen dat net zo effectief bijdraagt aan collectieve veiligheid.
alle bezoekers. Later meer! Montessori Magazine
nummer 2 | jaargang 45
31
. . . HU montessori-opleiding
Colofon
bewust
concreet
betrokken
ĂƐŝƐͲ Θ sĂŬďĞŬǁĂĂŵ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝ͕ ŽƉĨƌŝƐĐƵƌƐƵƐƐĞŶ͕ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲ ĐŽĂĐŚͲŽƉůĞŝĚŝŶŐ͕ ŵĂĂƚǁĞƌŬƚƌĂũĞĐƚĞŶ Θ ďĞŐĞůĞŝĚŝŶŐ ǀŽŽƌ ƐƚĂƌƚĞŶĚĞ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲůĞƌĂƌĞŶ͘
Montessori Magazine is een uitgave van de Nederlandse Montessori Vereniging en verschijnt drie keer per jaar.
Redactie Jaap de Brouwer, Joëlle Meijer, Sandra Veenstra, Sam de Vlieger, Elena Ramil (eindredacteur), Paul Op Heij (hoofdredacteur) Redactieadres (voor artikelen en inhoudelijke mededelingen) E-mail: redactie@montessori.nl parel@montessori.nl
Werk je, of wil je graag op een montessorischool werken, en wil je daarom je NMV montessoridiploma Basisof Vakbekwaam halen? Dat kan bij ons. We starten 2 November 2022 met een nieuw opleidingsjaar.
piazza@montessori.nl Kaaisjouwerskade 132, 6541 EW Nijmegen – Telefoon: 0615408130
Paul Op Heij
32
Grafische vormgeving en advertentieverkoop
In Nederland gaan er om allerlei redenen
Elma Media BV
zo’n 12.000 leerplichtige kinderen niet naar
Keizelbos 1, 1721 PJ Broek op Langedijk
school. Her en der in het land zijn er wel
Postbus 18, 1720 AA Broek op Langedijk
onderwijs-zorgarrangementen (OZA’s), maar
Telefoon: (0226) 331600
meestal maken therapeuten en jeugdhulpver-
Fax: (0226) 331601
leners alleen gebruik van wat ouders vertellen,
E-mail: info@elma.nl
ook al zijn die onderdeel van het probleem.
Website: www.elma.nl
Docenten moeten zich bij hun onderwijsleest houden, is hun redenering, schrijft Martin Schravesande in De thuiszittersklas.1 Het boek
Leden van de NMV ontvangen Montessori Magazine gratis. De kosten van het NMV-lidmaatschap bedragen € 35,00.
is geschreven vanuit eigen praktijkervarin-
Aanmelding per e-mail aan nmv-secretariaat@montessori.nl
gen met thuiszitters en de auteur, docent en
Losse nummers zijn verkrijgbaar bij het secretariaat.
pedagoog vindt dan ook dat ggz en onderwijs meer moeten samenwerken, omdat docenten
Centraal Secretariaat NMV (voor informatie over lidmaatschap)
met meer distantie waarnemen en omdat het
Boerhaavelaan 40, 2713 HX Zoetermeer
contraproductief is om onderwijsprestaties te
Telefoon: 06-40233698
verlangen van kinderen die fysiek of psychisch
E-mail: nmv-secretariaat@montessori.nl
ontregeld zijn. Bij thuiszitters zien we de problemen door een vergrootglas, meent Schra-
Websites NMV:
vesande: ‘Thuiszitters confronteren ons met
www.montessori.nl – www.montessorinet.nl
onze pedagogische radeloosheid en dagen onze creativiteit uit. Ze wijzen ons op de es-
Sluitingsdatum kopij Montessori Magazine 45-3 (juni 2022):
sentie van pedagogiek: het vermogen om, ook
29-04-2022
wanneer het spannend, lastig en ongemak-
De redactie behoudt zich het recht voor om artikelen te redigeren en in
kelijk is, echt contact met jongeren te maken.
te korten, dan wel te weigeren of te laten plaatsen op Montessorinet.
Ik beschouw een verstoorde wil tot leren als een gevolg van complexere problematiek en
Gehele of gedeeltelijke overname van artikelen uitsluitend na
waarachtig contact als hét instrument om die
schriftelijke toestemming van de uitgever. De redactie tracht bij alle gebruikte afbeeldingen de eigenaar te achterhalen.
verstoorde wil te laten helen.’
• Bewust en met plezier ontspannen een montessorigroep begeleiden, daar gaan we graag voor aan de slag: • Veel aandacht voor individuele begeleiding : 15 uur per ĐƵƌƐŝƐƚ Ɵ ũĚĞŶƐ ũĞ ϭ͕ϱ ũĂƌŝŐĞ ŽƉůĞŝĚŝŶŐ ĂƐŝƐďĞŬǁĂĂŵ ŽĨ sĂŬďĞŬǁĂĂŵ͘ • ϰ ŝŶĚŝǀŝĚƵĞůĞ ŬůĂƐƐĞŶďĞnjŽĞŬĞŶ ƉĞƌ ŽƉůĞŝĚŝŶŐ ͬ s • 'ĞƐĐŚŝŬƚ ǀŽŽƌ ĂůůĞ ƚLJƉĞŶ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝƐĐŚŽůĞŶ͗ ǁĞ ďŝĞĚĞŶ ĚĞ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝŬĞŶŶŝƐ ĞŶ ĐŽŶƚĞdžƚ ďĞǁƵƐƚ ŐƌŽŶĚŝŐ ĞŶ ĚĞŐĞůŝũŬ ĂĂŶ͕ njŽĚĂƚ ũĞ ŵĞƚ ũĞ ƐĐŚŽŽů ĞŶ ǀŽŽƌ ũĞ ŐƌŽĞƉ ďĞǁƵƐƚĞ ŬĞƵnjĞŶ ŬĂŶ ŵĂŬĞŶ ĞŶ ĚĞnjĞ ŐĞŵŽƟ ǀĞĞƌĚ ŬĂŶ ǀĞƌĂŶƚǁŽŽƌĚĞŶ͘ sŽŽƌ ĚĞ ŝŵƉůĞŵĞŶƚĂƟ Ğ ďŝĞĚĞŶ ǁĞ ĐŽŶĐƌĞƚĞ ŚĂŶĚǀĂƩ ĞŶ͘ • tĞ ďĞƚƌĞŬŬĞŶ ǁĞƚĞŶƐĐŚĂƉƉĞůŝũŬ ŽŶĚĞƌnjŽĞŬ͕ ƌĞĐĞŶƚĞ ŽŶƚǁŝŬŬĞůŝŶŐĞŶ ĞŶ Į ůŽƐŽĮ ƐĐŚĞ ĐŽŶƚĞdžƚ ĚŝĞ ǀĞƌďĂŶĚ ŚŽƵĚĞŶ ŵĞƚ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲƉĞĚĂŐŽŐŝĞŬ ǀŽŽƌ ĐŽŶĐƌĞƚĞ ŚĞĚĞŶĚĂĂŐƐĞ ǀĞƌƚĂůŝŶŐ͘ • Hulp aanwezig voor snelle opbouw van verplicht NMV ƉŽƌƞ ŽůŝŽ • WĞƌ ůĞƐ ĞĞŶ ƚŚĞŵĂ ĞŶ ŵĂƚĞƌŝĂĂůůŝũŶ ĐĞŶƚƌĂĂů н ĞdžƚƌĂ ŵĂƚĞƌŝĂĂůͲŽĞĨĞŶŵŝĚĚĂŐĞŶ • ĞĞƌ ŐŽĞĚĞ ĞǀĂůƵĂƟ ĞƐ ĚŽŽƌ ĐƵƌƐŝƐƚĞŶ ĞŶ EDs ŐĞĐŽŵŵŝƩ ĞĞƌĚĞŶ • >ĞƐ ǀĂŶƵŝƚ ĞĞŶ ŚĞĞƌůŝũŬ ƌƵŝŵ͕ ŶŝĞƵǁ ůŽŬĂĂů ŵĞƚ Ăů ŚĞƚ montessori-materiaal en veel nieuw Nienhuis materiaal: ,ŽŐĞƐĐŚŽŽů hƚƌĞĐŚƚ͕ >ŽŬĂĂů ϱ͘Ϭϱϭ͕ WĂĚƵĂůĂĂŶ ϵϳ͕ hƚƌĞĐŚƚ͘ :Ğ ďĞŶƚ ǀĂŶ ŚĂƌƚĞ ǁĞůŬŽŵ͘
Waar dit niet is gelukt, vragen wij de rechthebbende om contact op te nemen. 1 Schravesande, Martin (2021), De thuiszittersklas. Op zoek naar de wil om te leren, Uitgeverij Van Gennep De documentaire Herr Bachmann und seine Klasse (2021) is een mooie filmische tegenhanger voor De thuiszittersklas.
Montessori Magazine
ISSN nummer Koninklijke Bibliotheek: ISSN 2352-2623
nummer 2 | jaargang 45
EŝĞƵǁƐŐŝĞƌŝŐ͍ EĞĞŵ ĐŽŶƚĂĐƚ ŽƉ ŽĨ ŵĞůĚ ũĞ ĂĂŶ ǀŽŽƌ ĚĞ ŽŶůŝŶĞ ŝŶĨŽƌŵĂƟ ĞŵŝĚĚĂŐ ŽƉ ϭ ũƵŶŝ ϮϬϮϮ ͬ ϳ ƐĞƉƚĞŵďĞƌ ϮϬϮϮ ĚŽŽƌ ĞĞŶ ŵĂŝů ƚĞ ƐƚƵƌĞŶ ŶĂĂƌ ĂŶĂƐƚĂƐŝĂ͘ĚŝŶŐĂƌƚĞŶΛŚƵ͘Ŷů͘ sĞƌĚĞƌĞ ŝŶĨŽƌŵĂƟ Ğ ŬĂŶ ũĞ ǀŝŶĚĞŶ ŽƉ ŽŶnjĞ ƐŝƚĞƐ͗ ŚƩ ƉƐ͗ͬͬǁǁǁ͘ŚƵ͘ŶůͬĚĞĞůƟ ũĚͲŽƉůĞŝĚŝŶŐĞŶͬŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲďĂƐŝƐďĞŬǁĂĂŵ Θ ŚƩ ƉƐ͗ͬͬǁǁǁ͘ŚƵ͘ŶůͬĚĞĞůƟ ũĚͲŽƉůĞŝĚŝŶŐĞŶͬ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲǀĂŬďĞŬǁĂĂŵ
ţŘƖƳĶŋŋēŏ ĶŘƎƄĶƈēēƈ ĶŘŘţƲēēƈ NSRKI OMRH FWS STPIMHMRK
NLMN PHW HHQ YHUIULVVHQGH EOLN QDDU NLQGHUHQ QDDU GH RPJHYLQJ HQ QDDU MH]HOI 8
0/
STPIMHMRKIR
FEWMWFIO[EEQ ZEOFIO[EEQ 0/8 RQWZLNNHO MH WRW HHQ HLJHQWLMGVH LQQRYDWLHYH PRQWHVVRULOHHUNUDFKW
STPIMHMRKIR
PIMHMRKKIZIRHIR FEWMW ZIVHMITMRK RQWGHN KHW ELM]RQGHUH YDQ GH PRQWHVVRULYLVLH HQ YHUGLHS MH NHQQLV 0/8
* *