Matematikk 8 Grunnbok blaibok by Cappelen Damm

MATEMATIKK 8 fra CAPPELEN DAMM Grunnbok

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

BokmÃ¥l

Fotografier:

Getty Images: cookelma s. 13, FatCamera s. 16, Grafissimo s. 21, JoselgnacioSoto s. 25, Bettman s. 33, DanielPrudek s. 36, michellegibson s. 45, dblight s. 47, NicoElNino s.53, fcafotodigital s. 57, TuiPhotoengineer s. 60, pidjoe s. 80, miodrag ignjatovic s. 83, Marcus Lindstrom s. 96, Mladen Zivkovic s. 97, PicturePartners s. 123, maleraposo s. 129, Kwanchai Lerttanapunyaporn / EyeEm s. 137, Javier Fernández Sánchez s. 151, dusanpetkovic s. 161, piola666 s. 169, Eva Blanco / EyeEm s. 170, olrat s. 191, Happy_vector s. 199, DNY59 s. 208, mphillips007 s. 212, Rawpixel s. 228, smuay s. 236, Meybruck s. 241, Chalabala s. 271, Schaef1 s. 280, patat s. 282, donwogdo s. 285, Sjo s. 289. NASA: s. 75, s. 273. Unsplash: Enrica Tancioni s. 87, Balaji Malliswamy s. 92, Dong Zhang s. 94, Adolfo Félix s. 117, Karina Vorozheeva s. 119, Lorenzo Herrera s. 159, Ankit Dembla s. 195, Loic Leray s. 217, Marvin Meyer s. 233, milan degraeve s. 237, Soroush Karimi s. 255, Anna Kaminova s. 261, Jarand K. Løkeland s. 277. © CAPPELEN DAMM AS, Oslo 2020 Materialet I denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med CAPPELEN DAMM AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Matematikk 8 Grunnbok fra Cappelen Damm er lagd til Fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustrasjoner: Maciej Sidorowicz Design: Bøk Oslo AS Omslagsdesign: Tank Design AS / Maciej Sidorowicz Sats og teknisk illustrasjon: AiT Bjerch AS, Arnvid Moholt Forlagsredaktør: Asbjørn Hageli Bilderedaktør: Asbjørn Hageli Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia, 2020 Bidragsyter: Anja Glad von Zernichow Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-56026-3 www.skolen.cdu.no

Hei til deg som skal bruke Matematikk 8! Dette er Matematikk 8 grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok hvor du kan trene mer på de ulike emnene i grunnboka. Her ser du Arkimedes og Platon, som skal følge deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet. Gjennom hele boka vil du finne noen fellesoppgaver som er merket med symbolene og

Dette er spørsmål som stilles til deg som elev, eller til klassen, og er spørsmål som bør diskuteres. Hvert kapittel i grunnboka består av tre deler: Lærestoff og oppgaver Underveisvurdering

Det er lov å hoppe mellom vanskelighetsgradene dersom du synes oppgavene blir for lette eller for vanskelige.

Oppgave til tverrfaglig tema Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av regneark og GeoGebra. Noen av oppgavene i grunnboka og alle oppgaver i oppgaveboka er merket med disse symbolene: Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet! Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innhold 1 Tall og tallforståelse . . . . . . . 6

2 Delelighet og brøk . . . . . . . . 98

Regnestrategier. . . . . . . . . . . . . . . 8 Addisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Subtraksjon . . . . . . . . . . . . . . 11 Multiplikasjon . . . . . . . . . . . . 14 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Flere regnearter på en gang . . . . 22 Positive og negative tall . . . . . . . 28 Regning med negative tall . . . 31 Å trekke fra et negativt tall . . 34 Multiplikasjon og divisjon med negative tall . . . . . . . . . 37 Desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Regning med desimaltall . . . . 48 Avrunding av svar med desimaltall . . . . . . . . . . . 54 Sammensatte måleenheter . . . 58 Overslagsregning . . . . . . . . . 62 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Regning med potenser . . . . . . . . 69 Multiplikasjon og divisjon av potenser . . . . . . . . . . . . . . 72 Kvadrattall og kvadratrot . . . . . . . 77 Kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . 81 Regning med parenteser . . . . . . . 84 Regnerekkefølgen . . . . . . . . . . . . 88 Underveisvurdering 1 . . . . . . . . . 93 Tverrfaglig oppgave 1 . . . . . . . . . 96

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Delelighet . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammensatte tall og primtall . . . . . . . . . . . . . Faktorisering og primtallsfaktorisering . . . . . . . . . Utviding og forkorting av brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammenhengen mellom brøk og desimaltall . . . . . . . . . . Utvide eller forkorte brøken slik at nevneren blir 10, 100 eller 1000 . . . . . . . . . . . Fra desimaltall til brøk . . . . . Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall . . . . . . . . . . Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner . . . . . . . . Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner . . . . Metoder for å finne fellesnevner . . . . . . . . . . . . . Brøk og multiplikasjon . . . . . . . Divisjon av brøk . . . . . . . . . . . .

100 104 108 112 120

124 127 130 134 139 141 146 152

Underveisvurdering 2 . . . . . . . . 157 Tverrfaglig oppgave 2 . . . . . . . . 160

3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . Sette inn verdier i algebraiske uttrykk . . . . . . . . Lage algebraiske uttrykk . . . . Addisjon og subtraksjon av algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . Potenser i algebraiske uttrykk . . . Multiplikasjon og divisjon av algebraiske uttrykk . . . . . . . . . Parenteser i algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster i tall . . . . . . . . . . . . . . . Beskrive mønster algebraisk . . . . . . . . . . . . . . . Å løse et problem ved hjelp av tegning . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne den ukjente . . . . . . . . Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å løse likninger ved hjelp av addisjon og subtraksjon . . Å løse likninger ved hjelp av multiplikasjon og divisjon . . . Likninger med flere brøker . . Å kontrollere løsningen på en likning . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemløsing og likninger . . . . .

164 165 168 171 175 179 183 187 192 196 200 204 206 211 216 221 226

Underveisvurdering 3 . . . . . . . . . 234 Tverrfaglig oppgave 3 . . . . . . . . . 236

4 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . 238 Bestemme et punkt . . . . . . . . . . Koordinatsystem . . . . . . . . . Koordinater som danner en graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fra situasjon til funksjonsuttrykk . . . . . . . . . . . . Tegne grafer ved hjelp av et funksjonsuttrykk . . . . . Tegne grafer ved hjelp av digital graftegner . . . . . . Avlesing og tolking av diagrammer . . . . . . . . . . . . .

240 246 251 257 262 268 275

Underveisvurdering 4 . . . . . . . . 286 Tverrfaglig oppgave 4 . . . . . . . . 290

Manual for digitale verktøy . . 292 Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Kapittel Kapittel Kapittel Kapittel

1 2 3 4

................. ................. ................. .................

302 311 318 325

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Tall og tallforstĂĽelse

MÅL:

BEGREPER:

I dette emnet skal du få lære om . ulike regnestrategier med de fire regneartene . negative tall og regning med negative tall . regnerekkefølge og parentesregning . desimaltall og overslagsregning . potenser og kvadratrot

. . . . . .

negative tall overslag potens kvadratrot parentesregning regnerekkefølge

Hvilke strategier bruker du når du regner med tall?

Regnestrategier Når vi regner, tenker vi ofte på ulike måter. Det fins flere metoder å bruke for å komme fram til riktige svar. Noen ganger er det lettest å regne i hodet, mens andre ganger må vi skrive. Hvis du kan noen regnestrategier, kan du regne raskt og på enkle måter. Å tenke i tiervenner er en slik regnestrategi.

Ledd + ledd = sum

Addisjon Når vi skal addere tall, er det ofte lurt å dele opp tallene og sette dem sammen igjen på en ny måte. Hvilken metode som er lurest å bruke, avhenger av hvilke tall du skal legge sammen.

Hvordan kan det være lurt å dele opp disse tallene når du skal regne i hodet? a) 18 þ 12 b) 33 þ 49

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.1 Regn ut 58 þ 74. Løsning Metode 1 Vi deler opp i tiere og enere.

58 þ 74 ¼ 50 þ 8 þ 70 þ 4 ¼ 50 þ 70 þ 8 þ 4 ¼ 120 þ 12 ¼ 132 Metode 2 Vi adderer 2 og subtraherer 2.

58 þ 74 ¼ 58 þ 2 þ74 2 ¼ 60 þ 72 ¼ 132 Metode 3 Vi deler opp tallene for å få ledd med 50, og adderer.

58 þ 74 ¼ 50 þ 8 þ 50 þ 24 ¼ 50 þ 50 þ 8 þ 24 ¼ 100 þ 32 ¼ 132

Hvorfor er det lurt å addere 2 og subtrahere 2 i metode 2?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER

1.1

På hvilken måte syns du det er best å dele opp disse tallene når du skal regne i hodet? a) 28 þ 34 c) 135 þ 74 b) 44 þ 67 d) 32 þ 348

1.2

Regn ut i hodet. Hvilken strategi bruker du? Skriv ned metoden eller forklar den til en medelev. a) 19 þ 49

b) 18 þ 32

c) 36 þ 16

a) 48 þ 64

b) 74 þ 68

c) 124 þ 57

a) 163 þ 56

b) 753 þ 39

c) 428 þ 681

1.3

Regn ut i hodet. Hvilken strategi bruker du? Skriv ned metoden eller forklar den til en medelev. a) 27 þ 54 c) 72 þ 153 b) 46 þ 38 d) 418 þ 22 þ 54

1.4

Du hjelper til med vaffelsalget på en håndballkamp med IK Start. Den første timen selger du 37 vafler, og den andre timen selger du 58 vafler. a) Hvor mange vafler selger du til sammen? b) Cornelius selger 15 flere vafler enn deg. Hvor mange vafler selger han? c) Hvor mange vafler selger dere til sammen?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Subtraksjon Når vi skal subtrahere tall, er det også lurt å dele dem opp. Én strategi er å dele opp tallene i enere, tiere og hundrere slik, at tallene blir lettere å regne med. En annen metode er å legge til, eller trekke fra, like mye i begge ledd.

Ledd – ledd = differanse

EKSEMPEL 1.2 Regn ut 64 37. Løsning Metode 1 Vi subtraherer 4 og adderer 4.

64 37 ¼ 64 4 37 þ 4 ¼ 60 33 ¼ 27

Metode 2 Vi adderer 3 og subtraherer 3.

64 37 ¼ 64 þ 3 37 3 ¼ 67 37 3 ¼ 30 3 ¼ 27

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Hvordan kan det være lurt å dele opp disse tallene når du skal regne i hodet? a) 42 17 b) 119 29

EKSEMPEL 1.3 Regn ut 162 58. Løsning Metode 1 Vi subtraherer er 2 og adderer 2.

162 58 ¼ 162 2 58 þ 2 ¼ 160 56 ¼ 104 Metode 2 Vi deler opp tallene.

162 58 ¼ 100 þ 62 58 ¼ 100 þ 4 ¼ 104

Hvilken av metodene ovenfor passer best for deg? Begrunn hvordan rdan du tenker.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.5

På hvilken måte syns du det er best å dele opp disse tallene når du skal regne i hodet? Finn svaret. a) 143 32 b) 52 29 c) 73 17 d) 345 246

1.6

Regn ut i hodet. Hvilken strategi bruker du? Skriv ned metoden eller forklar den til en medelev. a) 58 32 b) 84 37 c) 118 79 d) 104 46

1.7

Regn ut i hodet. Hvilken strategi bruker du? Skriv ned metoden eller forklar den til en medelev. a) 48 22

b) 32 18

c) 67 35

a) 78 43

b) 64 47

c) 101 63

a) 87 49

b) 124 45

c) 503 368

1.8

Til bursdagen din får du 800 kr. Du kjøper en bok til 180 kr og sparer 550 kr. Hvor mange kroner har du igjen?

1.9

Du har spart 5500 kr. Så bruker du 3980 kr på en ferietur til Lofoten. Hvor mye har du igjen etter at ferieturen er betalt?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Multiplikasjon Når vi skal multiplisere to tall, kan det være lurt å bruke ulike strategier. Vi kan for eksempel . dele opp faktorene i tiere og enere .

doble den ene faktoren og halvere den andre

bruke arealtegning

stille opp utregningen på et ark Det er lurt å se nøye på tallene før du velger strategi. Når vi multipliserer to faktorer med hverandre, er det det samme i hvilken rekkefølge vi gjør det. Det betyr at for eksempel 8 21 ¼ 21 8.

HUSK Hvis a og b står for hvilke som helst to tall, gjelder dette alltid: a b¼b a

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Faktor · faktor = produkt

EKSEMPEL 1.4 Regn ut 5 13. Løsning Metode 1 Vi deler 13 i opp i 10 + 3, og multipliserer.

5 13 ¼ 5 10 þ 5 3 ¼ 50 þ 15 ¼ 65 Metode 2 Å gå veien om ti: Vi multipliserer med 2 og dividerer med 2.

5 13 ¼ 5 2 13 : 2 ¼ 10 13 : 2 ¼ 130 : 2 ¼ 65

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

EKSEMPEL 1.5 Regn ut 84 12. Løsning Metode 1 Vi bruker en arealtegning for å illustrere hvordan vi kan multiplisere. 84 12

¼ 800 þ 160 þ 40 þ 8 ¼ 1008

800

160

Metode 2 Utregning ved hjelp av oppstilling.

84 · 1 2

1 68 84

= 1 0 0 8

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.10 Hvordan kan det være lurt å tenke når du multipliserer disse tallene? Forklar hvordan du tenker. a) 23 4 b) 58 5 c) 40 12 d) 230 15 1.11 Regn i hodet. Hvilken strategi bruker du? Skriv ned metoden eller forklar den til en medelev. a) 5 61 b) 140 9 c) 33 7 d) 19 50 1.12 En volleyball koster 199 kr. Du kjøper 6 baller. Hvor mye må du betale? 1.13 Regn ut. a) 25 8

b) 125 4

c) 25 25

d) 20 50

a) 14 78

b) 53 37

c) 125 34

d) 636 79

a) 25 20

b) 525 4

c) 400 500

d) 543 578

1.14 Påmelding til en volleyballturnering koster 180 kr per person. En drakt koster 350 kr per person, og mat koster 240 kr per person. a) Hvor mye koster turneringen med drakt og mat for én person? b) Hvor mye koster bare påmeldingen for et helt lag med 10 personer? 1.15 Tenk på et tall. a) Multipliser det med 2. Legg til 6. Trekk fra tallet du tenkte på. Legg til 4. Trekk fra tallet du tenkte, på én gang til. Hvilket svar får du? b) Kall tallet for t. Skriv opp et uttrykk som beskriver regneoperasjonene. Hva er det som gjør at du får samme svar uansett hvilket tall du tenker på?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Divisjon Når vi skal dividere et stort tall, kan det være lurt å dele opp tallet i en sum av to tall. Hver for seg er de to tallene lettere å dele. En annen strategi er å dividere tallet med 2 flere ganger, hvis det er mulig. Du kan også gjøre divisjonen ved hjelp av oppstilling.

Dividend : divisor = kvotient

EKSEMPEL 1.6 a) Regn ut 84 : 3. b) Regn ut 648 : 4. Løsning

a) Vi skriver dividenden 84 som 60 þ 24. 84 : 3 ¼ 60 : 3 þ 24 : 3 ¼ 20 þ 8 ¼ 28 b) Siden 4 ¼ 2 2, kan vi dividere med 2 først én gang, og så én gang til. 648 : 4 ¼ 648 : 2 : 2 ¼ 324 : 2 ¼ 162

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.7 Regn ut 936 : 6. Løsning Metode 1 Vi deler opp dividenden 936 i 600 + 300 + 36.

936 : 6 ¼ 600 : 6 þ 300 : 6 þ 36 : 6 ¼ 100 þ 50 þ 6 ¼ 156 Metode 2 Vi utfører utregning ved hjelp av oppstilling.

936 : 6= 1 56 6 33 30 36 36 0

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.16 Hvordan kan det være lurt å tenke når du dividerer disse tallene? Beskriv hvordan du tenker, og finn svaret. a) 880 : 2 b) 412 : 4 c) 175 : 25 d) 400 : 50 1.17 Regn ut. a) 68 : 4

b) 330 : 10

c) 440 : 20

d) 600 : 30

a) 228 : 4

b) 144 : 12

c) 550 : 25

d) 330 : 15

a) 640 : 8

b) 275 : 25

c) 636 : 3

d) 345 : 15

1.18 På en påsketur er dere seks personer som skal fordele disse utgiftene: hytteleie 3300 kr, matutgifter 1500 kr og skikort 2520 kr. Hvor mye må hver av dere betale?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.19 Fire venner kjøper kinobilletter for til sammen 440 kr. I tillegg kjøper de fire popkorn for til sammen 180 kr. a) Hvor mye må hver person betale for kinobilletten? b) Hvor mye må hver person betale for kinobilletter og popkorn? c) Når de fire vennene gjør opp mellom seg, betaler hver av dem 180 kr. I tillegg til billetter og popkorn har de fire kjøpt hver sin drikke. Hvor mye kostet drikken? 1.20 En klasse skal på busstur til en leirskole på fjellet. Leie av bussen koster 25 000 kr. a) Hva blir prisen per person hvis de er 25 personer på bussen? b) Hva blir prisen per person hvis de er 50 personer på bussen? c) Hva er sammenhengen mellom antall elever på bussen og prisen de må betale?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Hvordan har de tenkt, og hvem har tenkt riktig?

Flere regnearter på en gang Når vi har flere regnearter i ett regnestykke, må vi regne ut i en spesiell rekkefølge. Tenk deg at du kjøper tre flasker vann til 15 kr per flaske og to skolebrød til 22 kr per stykk. Da kan du sette opp dette regnestykket for å finne ut hvor mye du skal betale til sammen: 3 vannflasker þ 2 skolebrød gir regnestykket 3 15 kr þ 2 22 kr. Det er antall flasker og antall skolebrød som bestemmer hvor mye du skal betale til sammen. Det betyr at du må multiplisere før du adderer. Når det er flere regnearter i samme regnestykke, må vi alltid regne ut i denne rekkefølgen: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.8 Regn ut 4 þ 5 7. Løsning

4þ5 7 ¼ 4 þ 35 ¼ 39

Thea og Sana regner ut 12 þ 6 : 3 þ 1. Thea får 7, og Sana får 15. Hvem regner riktig, og hvorfor blir det andre svaret feil?

EKSEMPEL 1.9 Anja kjøper 3 kg appelsiner til 18 kr per kilogram, og 2 kg epler til 15 kr per kilogram. Sett opp regnestykket, og regn ut hvor mye hun må betale. Løsning

3 18 þ 2 15 ¼ 54 þ 30 ¼ 84 Hun må betale 84 kr.

HUSK Regnerekkefølge: Først multiplisere og dividere, så addere og subtrahere.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.21 Regn ut. a) 14 þ 6 2 b) 80 5 7

c) 20 56 : 8 d) 25 þ 75 : 3

e) 36 36 : 6 f) 18 þ 5 3 4 2

Arild kjøper brød og tre liter melk. Melken koster 17 kr per liter og han betaler 119 kr til sammen. Hvor mange brød tror du han kjøper?

1.22 Regn ut. a) 11 3 3

b) 8 4 : 2

c) 3 9 9 3

a) 34 12 : 4

b) 8 5 þ 6 7

c) 64 : 8 8

a) 25 5 2 3

b) 81 : 9 þ 7 8

c) 11 3 6 2 3

1.23 Til en hagefest blir det kjøpt inn 16 kurver jordbær for totalt 720 kr. Hvor mye koster 4 kurver jordbær?

1.24 Theo kjøper fire par sokker, to badeshorts og tre badehåndklær. Sett opp et regnestykke, og regn ut hvor mye han må betale.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.25 Regn ut. a) 2 3 þ 4 5

b) 7 8 3 6

c) 46 : 2 4 2

a) 8 5 4 6

b) 17 3 þ 13 3

c) 6 5 : 3 þ 2 5

a) 500 : 25 144 : 12 b) 120 : 4 þ 120 : 5 c) 16 8 : 4 þ 3 11 3 1.26 Reisebyrået Mayareiser har tilbud på en 2-ukers reise til Mexico: Voksne: 15 990 kr Barn: 7 990 kr Hvor mye koster reisen for 2 voksne? Hvor mye koster reisen for 2 voksne og 2 barn? Hvor mye koster en reise for 2 voksne og 3 barn hvis det ene barnet får reisen til halv pris?

Kukulkanpyramiden i ruinbyen Chichen Itza i Mexico

En møbelsnekker lager krakker med 3 bein og bord med 4 bein. I løpet av en dag monterer hun totalt 35 bein. Hvor mange krakker og hvor mange bord kan hun ha lagd?

1.27 Johannes kjøper to typer lodd. Den ene typen koster 25 kr per lodd, og den andre typen koster 40 kr per lodd. a) Hvor mye må han betale for fem av de billigste loddene og fire av de dyreste? b) En gang kjøpte han åtte av de billigste og betalte 320 kr til sammen. Hvor mange av de dyreste loddene hadde han kjøpt da? 1.28 Du skal bake boller. Oppskriften ser du her. Hvor mye veier tørrvarene til sammen i gram og kilogram? Du skal bake 40 boller. Hvor mange desiliter (dL) melk og hvor mange kilogram hvetemel trenger du? Du skal bake 30 boller. Hvor mye veier tørrvarene til sammen?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.29 Til en dugnad steker og selger du og noen venner nybakte boller. Prisen for bollene er 15 kr og et tillegg på 5 kr for syltetøy. Hvor mange kroner tjener dere hvis dere selger 55 boller uten syltetøy og 20 boller med syltetøy? Før dugnaden kjøper dere inn varer for til sammen 132 kr, og under dugnaden selger dere 84 boller hvor hver fjerde bolle er med syltetøy. Hvor mange kroner fortjeneste får dere? Før dugnaden steker du noen boller. Under dugnaden steker du 15 ferske boller og selger 34 boller. Når dugnaden er over har du 7 boller igjen. Hvor mange boller stekte du på forhånd?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Hvor lang kan en tallinje være, og hvordan vil dere dele den inn?

Positive og negative tall Tall som er mindre enn null, kaller vi for negative tall. Vi bruker for eksempel negative tall i forbindelse med kuldegrader på et termometer. De negative tallene har fortegnet minus, som i 4 og 273. På tallinja finner vi de negative tallene til venstre for null og de positive tallene til høyre for null.

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Negative tall

Positive tall

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

9 10

EKSEMPEL 1.10 Hvilket tall er fem mindre enn to? Løsning

På tallinja ser vi at 3 er fem mindre enn 2. –3

–2

–1

Differansen er 5.

EKSEMPEL 1.11 Sett < eller > mellom tallene. a) 2 & 7 b) 2 & 7

c) 8 & 3

Løsning –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jo lenger til venstre på tallinja et tall er, desto mindre er tallet. a) 2 < 7

b) 2 > 7

c) 8 < 3

HUSK Jo større tørre tallverdien til et negativt tall er, desto mindre er tallet. Det betyr at 3000 er mindre enn 2000.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.30 Skriv av og sett inn < eller > mellom tallene. a) 3 & 7 c) 0 & 5 e) 1000 & 1001 b) 3 & 7 d) 10 & 0 f) 1000 & 2 1.31 Tegn av tallinjene, og plasser tallene nøyaktig på linja. 2, 4 og 1 0

10, 40 og 70 0

0,5, 1,5 og 2,0 0

1.32 Avgjør om påstandene er riktige eller gale. A: 4 og þ4 er det samme. B: 8 er mindre enn 7. C: Forskjellen mellom 5 og 5 er 10. D: Jo større tallverdi et negativt tall har, jo mindre er tallet. 1.33 Tegn en tallinje fra 8 til 2, plasser tallene på tallinja, og finn forskjellen mellom tallene. a) 2 og 0

b) 7 og 1

c) 5 og 4

a) 2 og 2

b) 6 og 4

c) 4 og 6

a) 2 og 8

b) 2,5 og 3,5

c) 3,5 og 2,5

Hva betyr det at Dødehavet har en høyde på omkring 430 m over havet ved overflaten, og at det har en dybde på omkring 330 m?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Regning med negative tall En ettermiddag viser et termometer 5 °C. I løpet av natta synker temperaturen åtte grader, og morgenen etter viser termometeret 3 °C. Dette kan vi sette opp som et regnestykke: 5 8 ¼ 3 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

9 10

–8

Når 5 8 ¼ 3, betyr det også at 8 þ 5 ¼ 3. Dette kan vi undersøke på en tallinje: –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

EKSEMPEL 1.12 Regn ut. a) 2 8 b) 20 30 c) 36 þ 36 Løsning

a) 2 8 ¼ 6 b) 20 30 ¼ 50 c) 36 þ 36 ¼ 0

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.34 Regn ut. a) 10 10

b) 23 17

c) 10 15

a) 72 89

b) 2 3

c) 10 25

a) 100 109

b) 58 58

c) 42 þ 28

1.35 Vulkanfjellet Mauna Kea på Hawaii strekker seg 10 100 m opp fra havbunnen. 4207 m av fjellet er over havoverflaten. Hvor dypt er havet ved Mauna Kea? 1.36 Bruk det du har lært, til å finne svarene. Amelia Earhart var den første kvinnen som fløy alene over Atlanterhavet. Hun ble født i 1897, og i 1937 forsvant hun under en flytur over Stillehavet. Hvor gammel var hun da hun forsvant? Marie Curie var den første som vant to nobelpriser, en i fysikk og en i kjemi. Hun døde 67 år gammel i 1934. Hvilket år ble hun født? Den første romerske keiseren, Augustus, døde i år 14 etter vår tidsregning. Han ble 77 år gammel. Når ble han født? 1.37 Et termometer viser 8 °C. Hva viser termometeret hvis temperaturen d) synker fire grader a) stiger ni grader b) stiger tre grader e) synker åtte grader c) stiger åtte grader f) synker tolv grader

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Amelia Earhart (1897â&#x20AC;&#x201C;1937)

Å trekke fra et negativt tall Vi kan se på negative tall som motsatte av positive tall. Altså kan vi si at 4 er det motsatte tallet til þ4. Vi kan se dette på en tallinje.

–5

–4

–3

–2

–1

Hva ser vi om vi bretter tallinja om 0-punktet? Når vi subtraherer, trekker vi et tall fra et annet. Jo mindre tallet vi trekker fra er, jo større blir svaret. Det betyr for eksempel at 4 1 gir et større svar enn 4 3. Vi kan undersøke denne sammenhengen ved hjelp av en utregningstabell. 4 3¼1 4 2¼2 4 1¼3 4 0¼4 4 ð 1Þ ¼ 5 4 ð 2Þ ¼ 6 4 ð 3Þ ¼ 7 4 ð 4Þ ¼ 8 4 ð 5Þ ¼ 9

Prøv å beskrive hvordan svarene endrer seg nedover i tabellen.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.13 a) Regn ut 9 ð 6Þ. b) Regn ut 12 ð 8Þ. Løsning

a) 9 ð 6Þ ¼9þ6 ¼ 15 b) 12 ð 8Þ ¼ 12 þ 8 ¼ 4

HUSK Å subtrahere et negativt tall er det samme som å addere det motsatte, positive tallet.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.38 Regn ut. a) 5 ð 4Þ b) 9 ð 9Þ c) 10 ð 5Þ

d) 50 ð 100Þ e) 12 þ ð 15Þ f) 20 ð 20Þ

g) 14 ð 6Þ h) 1 ð 1Þ i) ð 1Þ ð 1Þ

a) 5 2

b) 5 þ ð 2Þ

c) 20 þ ð 12Þ

a) 6 8

b) 7 þ ð 5Þ

c) 20 ð 12Þ

a) 9 þ ð 13Þ

b) 3 ð 3Þ

c) 3 ð 3Þ

1.39 Regn ut.

1.40 Regn ut. Hva slags regel kan du lage ut fra mønsteret du ser? a) 12 þ ð 3Þ c) 12 ðþ3Þ b) 12 ð 3Þ d) 12 þ ðþ3Þ 1.41 Mount Everest i Nepal er 8848 m høyt. Challengerdypet i Stillehavet er 11 034 m dypt. Hva er differansen mellom høyden til Mount Everest og dybden til Challengerdypet?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.42 Tegn en tallinje fra 5 til þ5 og vis regnestykket. a) 3 3 b) 3 ð 3Þ 1.43 Under et forsøk i naturfag blandet dere is med salt for å senke smeltepunktet til isen. Starttemperaturen var sju kuldegrader. Etter at dere hadde blandet i saltet, sank temperaturen med 14 grader. Hva ble den nye temperaturen til blandingen?

Multiplikasjon og divisjon med negative tall Multiplikasjon er det samme som gjentatt addisjon. Det betyr at regnestykket 7 þ 7 þ 7 ¼ 21 kan skrives som 7 3 ¼ 21. På samme måte kan 7 7 7 ¼ 21 skrives slik: 7 3 ¼ 21 Hvis vi multipliserer eller dividerer et negativt tall med et positivt tall, blir svaret negativt. 7 3 ¼ 21 21 : 3 ¼ 7 Svaret blir det samme om vi bytter fortegn på tallene. 7 ð 3Þ ¼ 21 21 : ð 3Þ ¼ 7 Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall.

HUSK Hvis a og b er hvilke som helst tall, får vi denne regelen: a b ¼ ða bÞ og a : b ¼ ða : bÞ Divisjonen kan vi også skrive slik:

a a a ¼ ¼ b b b

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Vi skal nå undersøke hva som skjer når vi multipliserer to negative tall med hverandre. Det gjør vi ved bell. å sette opp en utregningstabell. 3 ð 7Þ ¼ 21 2 ð 7Þ ¼ 14 1 ð 7Þ ¼ 7 0 ð 7Þ ¼ 0 1 ð 7Þ ¼ 7 2 ð 7Þ ¼ 14 3 ð 7Þ ¼ 21

Prøv å beskrive hvordan svarene endrer seg nedover i tabellen.

Den samme fortegnsregelen gjelder når vi dividerer to negative tall med hverandre. Da blir svaret (kvotienten) positivt. 21 : ð 7Þ ¼ 3 14 : ð 7Þ ¼ 2 7 : ð 7Þ ¼ 1 0 : ð 7Þ ¼ 0 7 : ð 7Þ ¼ 1 14 : ð 7Þ ¼ 2 21 : ð 7Þ ¼ 3 Dette betyr at når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret positivt.

HUSK Hvis a og b er hvilke som helst tall, får vi denne regelen: a ð bÞ ¼ þða bÞ ¼ a b a : ð bÞ ¼ þða : bÞ ¼ a : b Divisjonen kan vi også skrive slik:

a a ¼ b b

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.14 Regn ut. a) 5 ð 4Þ b) 5 ð 4Þ Løsning

a) 5 ð 4Þ ¼ 20 b) 5 ð 4Þ ¼ 20

EKSEMPEL 1.15 Regn ut. a) 20 : 4 b) 20 : ð 4Þ Løsning

a) 20 : 4 ¼ 5 b) 20 : ð 4Þ ¼ 5

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.44 Regn ut. a) 5 ð 6Þ

b) 4 6

c) 3 ð 7Þ

d) 5 ð 10Þ

1.45 Regn ut. a) 25 : ð 5Þ

b) 25 : 5

c) 30 : ð 6Þ

d) 42 : 7

HUSK Når vi multipliserer eller dividerer to tall med like fortegn med hverandre, blir svaret et positivt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to tall med ulike fortegn med hverandre, blir svaret et negativt tall.

1.46 Bruk det du har lært, til å finne svarene. Du låner 50 kr av tante, 100 kr av onkel og 200 kr av bestefar. Hvor mange kroner har du lånt til sammen? Under en klassetur legger skolen ut disse beløpene: buss 3600 kr, overnatting 6300 kr og mat 4200 kr. Det er totalt 30 elever med på turen. Hvor mye skylder hver elev hvis utgiftene skal deles likt på alle? Du og fire venner går på kino. Du legger ut for fem kinobilletter på til sammen 550 kr. En av de andre kjøper popkorn og vann til alle. Hun betaler 425 kr. Dere har blitt enige om at du skal betale 25 kr mindre enn de andre. De fire andre skal betale like mye. Hvordan kan dere gå fram når dere skal gjøre opp? 1.47 Regn ut. a) 3 ð 6Þ

b) 4 ð 20Þ c) 3 15

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

d) 10 ð 37Þ

1.48 Regn ut. a) 3 ð 3Þ b) 3 3 ð 3Þ

c) ð25 : 5Þ ð 2Þ d) ðð 2Þ 25Þ : 5

a) 2 2 ð 2Þ b) ð40 : 5Þ ð 2Þ

c) ð64 : 8Þ ð 4Þ d) ð64 : ð 8ÞÞ ð 4Þ

a) ð 2Þ 2 ð 2Þ b) ð49 : ð 7ÞÞ ð 3Þ

c) ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ d) ðð 16Þ : ð 2ÞÞ : ð 2Þ

1.49 Regn ut. a) 15 ðþ17Þ b) 2 ðþ2Þ c) 50 ð 50Þ þ ð 25Þ d) 100 ðþ100Þ ð 100Þ þ ð 100Þ 1.50 Til teltplassen på en øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var åpen for sesongen. 2 gjester dro tilbake den samme kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 dro tilbake samme kveld. Dette mønsteret fortsatte. Hvor mange gjester var det på teltplassen på slutten av den sjuende dagen?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Hvordan vil du forklare hvordan vårt tallsystem er bygd opp?

Desimaltall Når vi teller, bruker vi de naturlige tallene. Det er hele tall som er større enn 0. I dagliglivet får du bruk for desimaltall i tilleggg til t de naturlige atu ge tallene. Prisen på varer er ofte gitt med desimaltall. Desimaltallene finner vi mellom de hele tallene. Her ser du to eksempler på en tallinje fra 0 til 2. Inndelt i tideler: 0

1,0

2,0

1,1

1,5

1,8

Inndelt i hundredeler: 0

1,0

2,0

1,23

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1,75

Det er uendelig mange desimaltall mellom hvert eneste hele tall. Desimaltall kan være negative. Negative desimaltall finner vi til venstre for 0 på tallinja. Her ser du en tallinje fra –2,0 til 2,0. -2,0

-1,0

–1,8 –1,5

1,0

2,0

–1,1

Som du ser på tallinja, er 1,8 mindre enn 1,5, og 1,1 er større enn 1,5.

EKSEMPEL 1.16 Lag en tallinje fra 2,0 til 2,0 og plasser disse tallene på tallinja. 1,7

–1,7

–1,2

0,5

Løsning

-2,0

-1,0

–1,7

–1,2

1,0

0,5

2,0

1,7

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.51 Tegn av tallinja og plasser tallene. 1,4

0,7

1,9

1,0

2,0

1.52 Tegn en tallinje fra 0 til 2 med inndeling i tideler. Plasser disse tallene på linja. a) 0,5 b) 0,8 c) 1,2 d) 1,7 1.53 Skriv et tall som er a) større enn 5 og mindre enn 6 b) større enn 7,9 og mindre enn 8 a) større enn 2,99 og mindre enn 3 b) større enn 4,97 og mindre enn 4,98 a) større enn 5,69 og mindre enn 5,70 b) større enn 0 og mindre enn 0,001 1.54 Tegn en tallinje fra 2 til 0 med en inndeling på 0,1. Plasser disse tallene på tallinja. 1,5

0,5

0,9

–2,0

1.55 Skriv av a) 1,0 b) 1,0 c) 1,95 d) 0,5

1,9 –1,0

og fyll 1,5 1,1 1,96 0

inn de 2,0 & & &

tallene & & & &

som mangler. & & 4,0 & 1,5 1,99 & & 2,0

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.56 Sorter tallene etter størrelse. Start med det minste tallet. 4,52

3,96

4,09

0,9

0,10

0,09

0,15

0,02

0,019

0,021

0,018

Stigende: fra minst til størst Synkende: fra størst til minst

1.57 Sorter tallene etter størrelse. Start med det minste tallet. 3,5

–2,9

4,1

0,1

–0,25

0,09

0,15

–0,05

–0,017

–0,035

–0,18

1.58 Seks elever løper 60-meteren i kroppsøvingstimen. Sorter resultatene i stigende rekkefølge. Arve Berit Cecilie Doris Tarik Fredrik

9,2 s 8,7 s 9,1 s 10,0 s 8,5 s 9,0 s

1.59 Nedenfor ser du høyden til noen av verdens høyeste byggverk. Sorter tallene i synkende rekkefølge. Kheopspyramiden 146,5 m Notre-Dame i Paris 141,0 m Empire State Building 381,9 m Burj Khalifa 828,0 m Eiffeltårnet 300,5 m 1.60 Sett riktig tegn, < eller >, mellom tallene. a) 2 & 0 d) 2,6 & 2,7 b) 2 & 3 e) 1,09 & 1,09 f) 2,09 & 2,10 c) 2,6 & 2,7

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Burj Khalifa i Dubai

Regning med desimaltall Vi kan addere eller subtrahere desimaltall på samme måte som hele tall. Da må vi passe på at desimaltegnene blir plassert under hverandre når vi stiller opp regnestykket.

Ledd + ledd = sum Ledd – ledd = differanse

EKSEMPEL 1.17 Regn ut. a) 12,4 þ 6,05 b) 87,4 6,05 Løsning

1 2, 4 0 +

6, 0 5

= 1 8, 4 5

8 7, 4 0 –

6, 0 5

= 8 1, 3 5

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Når vi multipliserer to desimaltall med hverandre, utfører vi multiplikasjonen på samme måte som med hele tall. Antallet desimaler i produktet skal være lik summen av antall desimaler i de Faktor · faktor = produkt faktorene vi multipliserer. Dividend : divisor = kvotient

EKSEMPEL 1.18 Regn ut 13,42 2,3. Løsning To desimaler En desimal 1

1 3, 4 2 · 2, 3

Faktor · faktor

4 026

2684 3 0, 8 6 6

Produkt

Tre desimaler

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Når vi dividerer et tall med et desimaltall, må vi gjøre om divisoren til et helt tall. Det gjør vi ved å multiplisere med 10, 100 eller 1000. Deretter utfører vi divisjonen.

EKSEMPEL 1.19 a) Regn ut 31,50 : 6. b) Regn ut 2,94 : 1,4. Løsning

3 1, 5 0 : 6 = 5, 2 5

Dividend : divisor = kvotient

30 1 5

Hundredeler

1 2

Tideler

Enere

30 0 b) 2,94 : 1,4 ¼ ð2,94 10Þ : ð1,4 10Þ

Multipliserer begge tall med 10.

¼ 29,4 : 14

2 9, 4 : 1 4 = 2, 1 28 1 4 1 4 0

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.61 Regn ut uten å bruke kalkulator. a) 6,5 þ 10,15 c) 89,21 þ 10,8 b) 45,7 þ 10,42 d) 45,6 23,8

e) 100 34,5 f) 123,1 97,8

1.62 Regn ut uten å bruke kalkulator. a) 3,5 þ 38,05 c) 75,02 þ 5,99 b) 5,98 þ 0,02 d) 3,5 2,45

e) 5 2,47 f) 100,1 1,09

1.63 Bruk penn og papir og regn ut. Kontroller svarene etterpå med kalkulator. a) 2,3 4 c) 2,2 3,4 e) 0,25 16,4 b) 8,5 7 d) 8,5 6,4 f) 0,08 0,92 1.64 Bruk penn og papir og regn ut. Kontroller svarene etterpå med kalkulator. a) 27,5 : 11 c) 1,56 : 1,2 e) 79,5 : 15 b) 24,0 : 15 d) 48,3 : 0,21 f) 0,72 : 0,09 1.65 Bruk penn og papir og regn ut. Kontroller svarene etterpå med kalkulator. a) 4,0 4,5

b) 3,2 2,5

c) 12,4 2,5

a) 18,01 2,1

b) 12,4 6,5

c) 43,0 6,6

a) 29,05 29

b) 2,14 0,750

c) 0,012 234

1.66 Familien Bakkland lader opp elbilen sin på en hurtigladestasjon. De lader i 28 minutter, og prisen er 2,50 kr per minutt. Hvor mye må familien betale for å få ladet bilen?

Lag en regneoppgave med minst tre desimaltall, som gir 75,50 kr til svar.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

1.67 Bruk det du har lært, når du løser oppgaven. Et kilogram epler koster 14 kr. Hvor mye koster 1,5 kg epler? En lastebil kjører to lass med stein som veier 3,5 tonn og 2,85 tonn. Hvor mye tyngre er det første lasset enn det andre lasset? 2,5 kg druer koster 73,75 kr. Hvor mye koster 1 kg druer? 1.68 Anja kjøper 1,5 kg epler og 2,5 kg appelsiner. Eplene koster 14 kr per kilogram. Anja betaler i alt 61 kr for varene. Hvor mye koster 1 kg appelsiner? 1.69 Bruk det du har lært, når du løser oppgaven. Hanna kjøper frukt for 35,90 kr, pålegg for 123,50 kr og frysevarer for 98,70 kr. Hvor mye må hun betale for varene? Lotte kjøper 1,4 kg epler til 18,90 kr per kilogram og 1,2 kg appelsiner til 23,50 kr per kilogram. Hvor mye må hun betale for varene? Herman kjøper bringebær, blåbær og jordbær for til sammen 144 kr. Hva kostet blåbærene når de var halvparten så dyre som bringebærene og en tredel så dyre som jordbærene? 1.70 Faren til Herman jobber på en værstasjon i Antarktis. På mandag måler de 38,4 °C, og på tirsdag måler de 41,9 °C. Hvor mye kaldere var det på tirsdag enn på mandag? Forklar hvorfor 2,5 0,4 gir det samme svaret som 25 4 : 100.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Avrunding av svar med desimaltall Når vi regner med desimaltall, får vi ofte et uendelig antall desimaler i svaret. Da må vi runde av. Vi runder av til et helt tall, eller til så mange desimaler som vi vil ha i svaret. Se på avrundingene nedenfor. Avrunding til et helt tall: 1,500 2 17,40 17 99,49 99 300,7 301

≈ betyr tilnærmet lik.

Avrunding til én desimal: 4,03 4,0 4,08 4,1 4,16 4,2 4,25 4,3 Avrunding til to desimaler: 2,433 2,43 1,245 1,25 0,597 0,60 1,995 2,00 Når vi runder av, er det smart å finne avrundingssifferet. Om vi ønsker å runde av til et helt tall, er det sifferet på enerplassen som er avrundingssifferet. Hvis sifferet på plassen etter avrundingssifferet er 5 eller større, øker vi verdien til avrundingssifferet med 1. Hvis sifferet er 4 eller mindre, lar vi avrundingssifferet stå uforandret.

Prøv å formulere en avrundingsregel for et desimaltall med tre desimaler.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.20 a) Rund av 97,6 til et helt tall. b) Rund av 2,53 til et tall med én desimal. c) Rund av 0,1049 til et tall med to desimaler. Løsning

a) Her er avrundingssifferet 7. Sifferet bak er større enn 5. 97,6 98 b) Her er avrundingssifferet 5. Sifferet bak er mindre enn 5. 2,53 2,5 c) Her er avrundingssifferet 0. Sifferet bak er mindre enn 5. 0,1049 0,10

HUSK Hvis tallet etter avrundingssifferet er 5 eller større, runder vi av oppover. Hvis tallet etter avrundingssifferet er mindre enn 5, lar vi avrundingssifferet stå uforandret.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.71 Rund av til én desimal. a) 2,34 b) 4,65

c) 7,86

d) 5,46

1.72 Rund av til to desimaler. a) 4,567 b) 6,367

c) 6,777

d) 2,224

1.73 Rund av til tre desimaler. b) 4,8996 c) 0,0005 a) 1,5555

d) 7,9995

1.74 Rund av til et helt tall. a) 14,49 b) 5,50

d) 99,62

c) 9,51

1.75 Rund av til to desimaler. a) 5,586

b) 1,596

c) 4,895

a) 4,703

b) 8,999

c) 0,099

a) 5,995

b) 0,0049

c) 9,995

1.76 Espen kjøper 2,4 kg kjøttdeig til 34,80 kr per kilogram. Han betaler med kontanter. Hvor mye må Espen betale? 1.77 Regn ut ved hjelp av en kalkulator, og rund av svaret til seks desimaler. b) 2 : 7 c) 3 : 7 a) 1 : 7 d) Hvilken sammenheng ser du mellom svarene du har fått? 1.78 I en butikk koster klementiner 17,90 kr per kilogram. Regn ut og rund av svaret til nærmeste heltall. Hvor mye koster 2 kg klementiner? Hvor mye koster 1,75 kg klementiner? Du betaler 63 kr for en pose med klementiner. Hvor mange kilogram har du kjøpt?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Sammensatte måleenheter En måleenhet er en enhet vi bruker i forbindelse med måling. Under ser du forkortelsen for noen av de vanligste måleenhetene vi bruker. Lengde: Areal: Volum: Vekt: Tid: Energi :

cm, dm, m, km cm2 , dm2 , m2 , km2 cm3 , dm3 , m3 , km3 L, dL, cL, mL g, hg, kg, tonn s, min, h, dag W, kW, kcal, kJ

En sammensatt måleenhet er en måleenhet vi bruker når to målinger blir satt sammen til én måling for å fortelle sammenhengen mellom dem. Eksempler på det er km/h som er en enhet for fart, eller kr/kg som er en enhet for pris per kilo. Her ser du noen av de vanligste sammensatte måleenhetene:

Vet du om flere sammensatte måleenheter?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hvis vi ser på benevningen for fart (kilometer per time) blir oppsettet slik: Fart =

strekning km ¼ ¼ km/h tid h

Her har vi målt strekningen i kilometer (km) og tiden i timer (h). Men vi kan også måle strekningen og tiden i andre enheter, som meter (m) og sekund (s). I sammensatte måleenheter bruker vi som regel tegnet / i stedet for brøkstrek, som i km/h, kr/kg, m/s osv.

EKSEMPEL 1.21 En sjåfør kjører 480 km i elbil fra Oslo til Bergen. Sjåføren bruker 7,5 timer på turen. Totalt bruker bilen 91 kW på turen, og prisen for 91 kW på en hurtiglader er 163,80 kr. a) Hva blir bilens gjennomsnittsfart på turen (km/h)? b) Hva blir prisen per kilowatt (kr/kW)? Løsning

a) Vi finner gjennomsnittsfarten ved å dividere strekningen med tiden. 480 km Fart = ¼ 64 km/h 7,5 h b) Vi finner prisen for 1 kW ved å dividere prisen med forbruket. 163,80 kr Pris per kW = ¼ 1,80 kr/kW 91 kW

Hvorfor er x minutter er det samme som

x timer? 60

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.79 Gjør om til kilometer (km). a) 2000 m b) 40 mil

c) 350 m

d) 5,2 mil

1.80 Gjør om til timer (h). a) 30 min b) 15 min

c) 6 min

d) 54 min

1.81 Regn ut gjennomsnittsfarten. a) Frode sykler 50 km på 2 timer. b) Sara kjører 24 mil på 3 timer. c) Hassan løper 10 km på 60 minutter. 1.82 Familien Olsen er på biltur. De kjører en strekning på 240 km. Hva blir gjennomsnittsfarten hvis de bruker a) 3 timer på turen b) 4 timer på turen a) 3,5 timer på turen b) 3 timer og 15 minutter på turen a) 3 timer og 12 minutter på turen b) 3 timer og 48 minutter på turen 1.83 Oda jogger på tredemølle i treningssenteret. Hun holder på i 20 minutter. Energiforbruket er 180 kilokalorier (kcal). a) Hvor mange kilokalorier forbrenner Oda på 1 minutt? b) Regn ut kaloriforbruket per time.

1.84 Finn prisen per kilogram (kr/kg) for disse varene når potetene koster 19,75 kr, gulrøttene 19,08 kr og tomatene 27,60 kr.

1.85 Til en klassefest kjøper læreren 3,2 kg smågodt for 412,80 kr. a) Hva blir prisen per kilogram? b) Hva blir prisen per hektogram? 1.86 Beauforts skala er en vindskala som går fra 0 til 12. Under ser du navn og middelverdien til fire vindhastigheter. Finn de vindhastighetene i m/s og km/h som mangler. Vindhastighet i m/s

Beaufort-tall

Betegnelse

Laber bris

Liten kuling

Liten storm

Orkan

Vindhastighet i km/h

120

1.87 En murer betaler 248 kr for 800 kg sand. Hva blir prisen per tonn?

Forklar hvorfor 3 km/min er like raskt som 180 km/h.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Overslagsregning Til daglig har vi ofte bare bruk for å finne et svar som er omtrent riktig. Slik er det for eksempel når vi gjør et overslag over hvor mye vi må betale for varer vi skal kjøpe. Da runder vi av tallene, slik at det blir lettere å finne svaret ved hoderegning.

EKSEMPEL 1.22 a) Du kjøper noe som veier 5,1 kg. Prisen per kilogram er 88,90 kr. Omtrent hvor mye må du betale? b) Onkel Jens kjøper 8,6 liter bensin til motorsykkelen sin. Han betaler 136,74 kr. Gjør et overslag for å finne prisen per liter. Løsning

a) Vi runder av 5,1 kg til 5 kg, og 88,90 kr til 90 kr: 5,1 88,90 5 90 ¼ 450 Vi må betale ca. 450 kr. b) Vi runder av 136,74 kr til 150 kr, og 8,6 liter til 10 liter: 136,74 : 8,6 150 : 10 ¼ 15 Prisen per liter er ca. 15 kr.

HUSK Ved multiplikasjon blir overslaget best når vi runder av det ene tallet oppover og det andre tallet nedover. Ved divisjon blir overslaget best når vi runder av begge tallene oppover eller begge tallene nedover.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.88 Gjør overslag ved å runde av tallene til hele tall. a) 9,2 4,3 c) 19,1 21,1 e) 97,5 12,3 b) 6,1 11,9 d) 0,9 5,9 f) 106,9 93,7 1.89 Gjør overslag ved å runde av tallene til hele tall. a) 26,1 : 5,8 c) 19,5 : 0,9 e) 63,1 : 7,3 b) 103,2 : 11,1 d) 41,1 : 6,7 f) 198,3 : 48,7 1.90 Martin kjøper 3,2 kg pølser til 48,00 kr per kilogram. Gjør et overslag over hvor mye Martin må betale for pølsene. 1.91 Hanna jobber i en skobutikk på lørdager. Hun tjener 469,50 kr på 3 timer. Gjør et overslag over hvor mye hun tjener per time. 1.92 Simen kjøper disse varene i butikken: 1,8 kg epler 2 hg smågodt 0,9 kg appelsiner 2 flasker iste

a) Lag et overslag over hvor mye Simen må betale for hver av de ulike varene. b) Omtrent hvor mye må Simen betale for alle varene? c) Bruk kalkulator og regn ut nøyaktig hvor mye Simen må betale.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

1.93 Bruk overslagsregning og finn omtrentlige svar. 1,9 kg pærer koster 41,20 kr. Omtrent hvor mye koster 1 kg pærer? 3 hg smågodt koster 34,50 kr. Omtrent hvor mye koster 2 hg smågodt? 35,0 L diesel koster 542,50 kr. Omtrent hvor mye koster 50 L diesel?

1.94 Sara og Leo er i butikken og handler inn for klassen. De kjøper disse varene: 9 pakker pølser 4 pakker lomper 2 sekker grillkull 1 flaske tennvæske

a) Omtrent hvor mye må de betale for varene? b) Bruk kalkulator og regn ut nøyaktig hvor mye de må betale. 1.95 Vurder disse overslagene. Hvis du er uenig, begrunn hvorfor. På en reise i Italia ser Anna Karin en suvenir som koster 21 euro. Anna Karin beregner at suveniren koster ca. 200 kr, fordi 1 euro koster 9,70 kr. René kjører båten sin med en fart på 12 knop. Han regner ut at det er ca. 200 km/h, fordi 1 knop = 1,852 km/h. I en butikk koster 22 gulrøtter 48 kr. Iris regner ut at 1 gulrot koster ca. 0,50 kr.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hva er forskjellen på uttrykkene 3 þ 4, 3 4 og 34 ?

Potenser Hvis vi multipliserer flere like store tall med hverandre, kan vi bruke en kortere skrivemåte: 3 3 3 3 3 ¼ 35 Uttrykket 35 kaller vi en potens. Vi leser uttrykket slik: «tre i femte potens» eller ofte bare «tre i femte». I denne potensen er 3 grunntallet og 5 eksponenten.

Grunntall

Eksponent

Eksponenten i en potens forteller hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. 35 betyr at grunntallet 3 skal multipliseres fem ganger. 3 ffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl 3 3 ffl3} 35 ¼ 3|fflfflfflfflfflfflfflffl 3 multiplisert 5 ganger

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Vi kan regne ut verdien av en potens slik: 35 ¼ 3|fflfflfflfflfflfflfflffl 3 ffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl 3 3 ffl3} ¼ 243 5 ganger

EKSEMPEL 1.23 a) Skriv potensen «seks i fjerde» med tall. b) Skriv uttrykket 7 7 7 7 som én potens. ns. 3 c) Regn ut potensen 4 . Løsning

a) 64 b) 7 7 7 7 ¼ 74 c) 43 ¼ 4 4 4 ¼ 64

OPPGAVER 1.96 Skriv potensene med tall. a) To i tredje b) Fem i fjerde

c) Sju i sjuende d) Tolv i femte

1.97 Hva er grunntallet og hva er eksponenten i disse potensene? c) 35 a) 28 e) x3 d) 67 b) 43 1.98 Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall

Eksponent

2 64

6 5 1

8 4

Potens

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

2,34

1.99 Bruk det du har lært, til å finne svaret. a) Blir 5 5 5 5 5 potensen 55 eller 65 ? b) Blir 8 8 8 8 potensen 48 eller 84 ? c) Kan du skrive 3 þ 3 þ 3 þ 3 som én potens eller som én multiplikasjon?

HUSK Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive som en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet er en faktor i en multiplikasjon.

1.100 Skriv som én potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3 c) 10 10 10

d) 7 7 7 7 7 e) 5 5 5 5 5 5 f) x x x x x x

1.101 Regn ut potensene. a) 23 c) 53 b) 35 d) 105

e) 73

1.102 Sett inn <, > eller =. a) 12 & 21 c) 42 & 24 b) 23 & 32 d) 34 & 43

Hvordan kan du skrive disse uttrykkene på en enklere måte? A) 5 5 5 5 5 5 5 5 B) 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 C) x x x x x x x x D) x þ x þ x þ x þ x þ x þ x þ x

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

1.103 Skriv regneuttrykkene enten som potens eller som multiplikasjon. g) 10 10 10 10 10 10 a) 4 4 4 4 4 h) 2 4 2 4 b) 4 þ 4 þ 4 þ 4 þ 4 i) 4 4 4 4 16 c) 7 7 7 j) ð6 þ 6 þ 6Þ ð6 þ 6 þ 6Þ d) 3 3 3 3 3 k) 10 millioner 10 millioner e) 3 3 l) x x x x x f) 5 þ 5 þ 5 þ 5 1.104 Undersøk og finn ut. a) Skriv av tabellen og regn ut potensene. Potenser

Tall

101 102 103 104 105 106 107

b) Hvilken sammenheng ser du mellom eksponenten og antall nuller i tallet? c) Hvor mange nuller er det i 1 milliard (109 )? 1.105 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. e) Ti millioner a) 100 c) 100 000 d) 1 000 000 f) En milliard b) 1000

Blir uttrykket a a a multiplikasjonen 3 a eller potensen a3 ?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hvordan vil du gå fram for å finne svaret?

Regning med potenser Når vi skal addere eller subtrahere potenser, må vi først regne ut den enkelte potensen. Deretter adderer og subtraherer vi tallene. 43 þ 52 ¼4 4 4þ5 5

33 62 ¼3 3 3 6 6

¼ 64 þ 25 ¼ 89

¼ 27 36 ¼ 9

Når vi regner med potenser og andre regnearter i samme regnestykke, må vi regne i denne rekkefølgen: 1) regne ut potenser 2) multiplisere og dividere 3) addere og subtrahere

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

EKSEMPEL 1.24 Regn ut. a) 42 72 b) 103 þ 102 c) 12 23 6 Løsning

a) 42 72 ¼4 4 7 7 ¼ 16 49 ¼ 33 b) 103 þ 102 ¼ 10 10 10 þ 10 10 ¼ 1000 þ 100 ¼ 1100 c) 12 23 6 ¼ 12 2 2 2 6 ¼ 12 48 ¼ 36

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.106 Regn ut. a) 42 þ 42 b) 103 þ 102

c) 33 52 d) 3 42 þ 2

1.107 Regn ut. a) 3 2 2 2 b) 5 23

c) 52 þ 23 d) 32 þ 22 52

a) 24 33 b) 52 þ 42

c) 32 þ 43 72 d) 42 52 32

a) 103 101 b) 35 53 þ 82

c) 102 : 5 þ 72 33 d) 103 5 2,52

1.108 Regn ut. a) 22 þ 12 5 b) 103 102 þ 10

c) 32 þ 23 42 d) 10 52 þ 2 32

1.109 Prøv å lage en regel for hvordan du kan regne ut 104 104 på en enklere måte.

Sett opp en tabell og finn verdien til potensene 104 , 103 , 102 og 101 . Hva tror du verdien til 100 og 10 1 blir?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Multiplikasjon og divisjon av potenser Vi skal nå undersøke hva som skjer når vi multipliserer to potenser som har samme grunntall. 23 24 ¼ 2|fflfflffl{zfflfflffl} 2 2 2|fflfflfflfflffl 2ffl{zfflfflfflfflfflffl} 2 2 ¼ 23þ4 ¼ 27 3

Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, kan vi addere eksponentene. Hvis a, m og n står for tall, får vi denne regelen: am an ¼ amþn Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall kan vi gjøre det på denne måten: 56 6 2 6 2 ¼ 54 2 ¼ 5 : 5 ¼5 5 Ettersom grunntallene er like kan vi subtrahere eksponentene.

56 5 5 5 5 6 5 6 5 54 ¼ ¼ 54 ¼ 52 1 65 65 Hvis a, m og n står for tall, får vi denne regelen: am ¼ am n an

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Når vi skal dividere to like potenser med hverandre, kan vi sette det opp på to måter: 53 : 53 ¼ 53 3 ¼ 50 53 : 53 ¼

5 5 5 125 ¼ ¼1 5 5 5 125

Det må bety at 50 ¼ 1. Alle potenser som har eksponenten 0, er lik 1.

EKSEMPEL 1.25 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis det ikke er mulig, regner du ut svaret på potensene. a) b) c) d)

22 25 46 : 42 32 43 34 : 34

Løsning

a) Her er grunntallene like, og vi kan addere eksponentene. 22 25 ¼ 22þ5 ¼ 27 b) Her er grunntallene like, og vi kan subtrahere eksponentene. 46 : 42 ¼ 46 2 ¼ 44 c) Her er ikke grunntallene like, og vi må regne ut potensene. 32 43 ¼ 3 3 4 4 4 ¼ 9 64 ¼ 576 d) Her er grunntallene like, og vi kan subtrahere eksponentene. 34 : 34 ¼ 34 4 ¼ 30 ¼ 1

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.110 Skriv svaret som én potens. a) 32 35 c) 22 23 b) 52 52 d) 52 54

e) 102 103 f) 72 73

HUSK Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og adderer eksponentene. Det kan vi skrive slik: am an ¼ am þ n

1.111 Skriv svaret som én potens. a) 132 133 c) 122 123 b) 52 5 d) 102 104 1.112 Skriv svaret som én potens. a) 32 : 3 c) 28 : 28 b) 152 152 d) 103 105 10

e) 100 105 f) x2 x3

e) 7 73 70 72

Hvordan kan vi skrive tallet 61 som en sum av to potenser?

HUSK Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene. Det kan vi skrive slik: am ¼ am n n a

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Husk at brøkstrek er det samme x som divisjonstegn. (x : x = x )

1.113 Skriv svaret som én potens. 27 106 a) 4 c) 2 102 65 b) 2 6

312 d) 8 3

1.114 Skriv svaret som én potens. a) 55 : 52 c) 35 : 34 b) 105 : 103 d) 74 : 73

55 52

35 32 f) 34

e) 155 : 153 f) 109 : 109

HUSK Alle potenser som har eksponenten 0, er lik 1. Det kan vi skrive slik: a0 ¼ 1

Andromedagalaksen er omkring 2,5 · 106 lysår unna vår galakse, Melkeveien

1.115 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis det ikke er mulig, regner du ut. a) 95 : 92 b) 34 þ 33

c) 26 24 d) a2 a3

a) 104 þ 103

c) 34 þ 24

b) 12 : 12 12

b2 b2 d) b4

a) 84 44

c) 3 52 þ 5 32

b) 5 42 16

c2 c c4 c7

1.116 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis det ikke er mulig, regner du ut. a) 32 35 31

c) 42 23 22

e) 82 8 þ 8

b) 52 53 : 52

d) 52 102

104 103 102

1.117 Titallsystemet er bygd opp med plassverdier som kan skrives som potenser med 10 som grunntall. Million-plassen og hundretusen-plassen blir da 106 og 105 . Skriv de neste fire plassene som er mindre enn hundre tusen. Skriv de neste fem plassene som er mindre enn hundre tusen. Skriv de neste åtte plassene som er mindre enn hundre tusen.

Hvis 1 million er 106 , hva er da 10 6 ?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hvordan kan vi beskrive noe som er kvadratisk?

Kvadrattall og kvadratrot Vi kan legge ut brikker i kvadratform på denne måten:

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Figur 5

Se på regnestykkene nedenfor. 1 1¼1 2 2¼4 3 3¼9 4 4 ¼ 16 Hvordan tror du tabellen fortsetter?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall. De kan skrives som et produkt av to like hele tall. Vi kan illustrere disse tallene i et kvadratisk mønster som vist på forrige side. Alle kvadrattall kan skrives som en potens med eksponent lik 2, slik: 1 ¼ 1 1 ¼ 12 4 ¼ 2 2 ¼ 22 9 ¼ 3 3 ¼ 32 16 ¼ 4 4 ¼ 42 25 ¼ 5 5 ¼ 52

EKSEMPEL 1.26 a) Lag en tegning som illustrerer kvadrattallet 16. b) Regn ut kvadrattall nummer 10. c) Hvilket tall har vi multiplisert med seg selv for å få kvadrattallet 81? Løsning

b) 102 ¼ 10 10 ¼ 100 c) 9 fordi 92 ¼ 9 9 ¼ 81

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.118 Hvilke av disse tallene er kvadrattall? 4

1.119 Hvilke kvadrattall illustrerer disse figurene? a) b) c)

Hvorfor vil x2 alltid være et kvadrattall hvis x er et naturlig tall?

1.120 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16 d) 25

HUSK Hvis x er et helt tall, er x x ¼ x2 et kvadrattall.

1.121 Regn ut kvadrattallet x2 når x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15

e) 20 f) 100

1.122 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs sidene av kvadratet?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

1.123 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad? 1.124 Finn hvilket tall som er multiplisert med seg selv for ĂĽ fĂĽ kvadrattallet. a) 16

b) 36

c) 64

d) 100

a) 81

b) 49

c) 100

d) 10 000

a) 169

b) 144

c) 400

d) 6400

Plasser tallene fra 1 til 6 i trekanten slik at summen langs hver av sidene blir den samme.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Kvadratrot 9 er et kvadrattall fordi 9 ¼ 3 3. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. pffiffiffi Tegnet for kvadratrot er , og vi skriver kvadratroten av 9 slik: pffiffiffi 9¼3 pffiffiffiffiffi På samme måte er 25 ¼ 5 fordi 5 5 ¼ 25. Vi må bruke hjelpemidler når vi finner kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall.

EKSEMPEL 1.27 a) Regn ut kvadratroten av 81. b) Regn ut kvadratroten av 161,29. Løsning

pffiffiffiffiffi 81 ¼ 9

b) Her må vi bruke hjelpemidler:

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 161,29 ¼ 12,7

Vi trenger ofte kalkulator for å ﬁnne kvadratrot.

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.125 Finn kvadratroten av a) 9 c) 16 b) 25 d) 36

e) 81 f) 100

1.126 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36

pffiffiffiffiffiffiffi 144 pffiffiffiffiffiffiffi d) 400

1.127 Regn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 þ 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi b) 36 þ 100

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 25 þ 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 þ 36

pffiffiffiffiffi 85 pffiffiffiffiffiffiffi f) 128 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 81 36 pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi f) 100 121

Undersøk hva kvadratroten av x2 og x4 blir.

1.128 Du har en kvadratisk gressplen. a) Hva blir arealet av gressplenen når sidene er 10 m? b) Hva blir lengden av sidene til gressplenen når arealet er 81 m2 ? a) Hva blir lengden av sidene til gressplenen når arealet er 49 m2 ? b) Hva blir lengden av sidene til gressplenen når arealet er 23,04 m2 ? a) Du deler gressplenen i to like deler, og arealet av hver del blir da 24,5 m2 . Hva blir lengdene av plenens sider? b) Summen av arealet til to forskjellige kvadratiske gressplener er 145 m2 . Hvor lange er sidene til de to gressplenene?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.129 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m2 . Regn ut lengden og bredden av håndballbanen.

Finn tallet! . Tallet har to faktorer som også er primtall. .

Kvadratroten av tallet er mindre enn 10.

Tallet har tverrsummen 13.

1.130 Et kvadrat har sider med lengde x. Du finner arealet av kvadratet ved å regne ut x x eller x2 . Hva blir arealet når a) x ¼ 5 m? b) x ¼ 50 dm? c) x ¼ 500 cm? d) Hva er sammenhengen mellom svarene i a), b) og c)?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Hvordan kan vi uttrykke hvor mye vi må betale, på en annen måte?

Regning med parenteser Vi kan bruke parenteser for å vise regneuttrykk som hører sammen. Hvis vi skal kjøpe 3 flasker vann til 15 kr per flaske og to skolebrød til 21 kr per stykk, kan vi regne ut samlet betaling ved å sette opp regnestykket slik: ð3 15 krÞ þ ð2 21 krÞ Når vi har parenteser i et regneuttrykk, må vi regne ut parentesene først. Utregningen blir da: ð3 15 krÞ þ ð2 21 krÞ ¼ ð45 krÞ þ ð42 krÞ ¼ 87 kr

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Et annet eksempel kan være 52 ð62 : 32 Þ ¼ 52 ð36 : 9Þ ¼ 25 4 ¼ 21 Legg merke til at vi regner ut potensene og parentesene før vi subtraherer.

EKSEMPEL 1.28 Regn ut. a) 5 ð2 þ 12Þ b) 5 þ 3 4 þ 23 c) 3 32 3 4 Løsning

a) 5 ð2 þ 12Þ ¼ 5 14 ¼ 70 b) 5 þ 3 4 þ 23 ¼ 5 þ 3ð4 þ 8Þ ¼ 5 þ 3 12 ¼ 5 þ 36 ¼ 41 c) 3 32 3 4 ¼ 3ð9 3Þ 4 ¼ 3 6 4 ¼ 18 4 ¼ 22

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

OPPGAVER 1.131 Regn ut. a) 3 ð7 þ 8Þ b) ð5 þ 25Þ 4

c) 2 ð9 15Þ þ 7 d) ð4 þ 24Þ þ ð3 38Þ

1.132 I en butikk kjøper du tre pakker pølser til 38,50 kr per pakke og tre pakker lomper til 11,90 kr per pakke. a) Lag et parentesuttrykk som viser hva du må betale. b) Regn ut hvor mye du må betale til sammen.

HUSK Hvis du multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret negativt. a b ¼ ab Hvis du multipliserer eller dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret positivt. a ð bÞ ¼ þab

1.133 Regn ut.

a) 7ð8 4Þ b) ð12 þ 13Þ 4

c) 3ð5 6Þ þ 5 d) ð2 þ 8Þ ð13 3Þ

a) 4ð5 9Þ b) 2ð4 þ 6Þ

c) 5ð15 5Þ 8 d) ð35 5Þ ð3 þ 7Þ

a) 9ð 7 þ 3Þ b) ð14 þ 14Þ þ ð6 8Þ

c) 10 ð14 þ 6Þ3 d) ð28 3Þ ð3 6Þ

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.134 Klasse 8A planlegger en tur til Oslo. Bussbillettene koster 240 kr per elev. Inngang på museum koster 60 kr per elev, og teaterbillettene koster 540 kr per elev. a) Hva blir totalprisen for buss for 20 elever? b) Hva blir totalprisen for buss og museum for 20 elever? a) Hva blir totalprisen for buss og museum for 25 elever? b) Hva blir totalprisen for buss, museum og teater for 25 elever? a) Hva blir totalprisen for buss, museum og teater for 28 elever? b) Lag et uttrykk som viser hvor mye x antall elever må betale for buss, museum og teater. 1.135 I kantina på skolen selger de bagetter til 15 kr, jus til 13 kr og melk til 12 kr. a) Lag et uttrykk som viser hva to bagetter og to melk koster. b) Lag et uttrykk som viser hva tre bagetter, én melk og to jus koster. c) Lag et uttrykk som viser hva fem bagetter, fem melk og fem jus koster. d) Regn ut uttrykkene i a), b) og c).

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Kan vi alltid regne fra venstre mot høyre?

Regnerekkefølgen I de foregående kapitlene har du repetert addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I tillegg har du blant annet lært om potenser, kvadratrot og regning med parenteser. Du skal nå arbeide med mer sammensatte oppgaver hvor du må bruke det du har lært. Husk at når har du har flere ulike regnearter i samme regnestykke, må du regne potenser, kvadratrøtter og løse opp parenteser før du multipliserer og dividerer. Til slutt utfører du addisjon og subtraksjon. Vi regner i denne rekkefølgen når vi har flere regnearter i samme uttrykk: 1) potenser, kvadratrøtter og parenteser 2) multiplikasjon og divisjon 3) addisjon og subtraksjon

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.29 Regn ut. a) 8 2 42 þ 90 b) 42 : 7 þ 2ð4 þ 12Þ

pffiffiffiffiffi 16

Løsning

a) 8 2 42 þ 90 ¼ 8 2 16 þ 90 ¼ 8 32 þ 90 ¼ 66 pffiffiffiffiffi b) 42 : 7 þ 2ð4 þ 12Þ 16 pffiffiffiffiffi ¼ 42 : 7 þ 2ð16Þ 16 ¼ 6 þ 32 4 ¼ 34

OPPGAVER 1.136 Regn ut. a) 2 þ 2 2 b) 3 4 2 þ 12 c) 49 : 7 2 7

d) 42 þ 2 33

pffiffiffiffiffi e) 3 9 2 25 f) 12 þ 82 6 2

Undersøk disse regnestykkene og skriv en regel ved hjelp av a, b og c når bokstavene representerer hvert sitt tall. 2 ð3 4Þ 3 ð2 4Þ 4 ð3 2Þ

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

1.137 Regn ut. a) 2 þ 7ð4 3Þ

pffiffiffiffiffi b) 33 42 : 6 þ 49 c) 24 : 6 þ 72 þ ð3 9Þ

a) 24 : 8 þ 4ð8 3Þ pffiffiffiffiffi b) 64 þ 42 ð5 þ 3Þ c) 62 þ 3 22 32 þ 12 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) 50 : 2 þ 6 102 52 10 b) 33 þ 32 62 þ 3 5 pffiffiffiffiffi c) 62 61 3 81 þ ð56 : 8Þ 1.138 I en fruktbod kjøper du 5 epler, 5 appelsiner, 3 pærer og 4 bananer. Lag et regneuttrykk som viser hva du må betale, og regn ut.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.139 Bruk informasjonen i annonsen til å løse oppgavene. a) Hvor mange euro må en person betale for fly tur-retur, 10-dagerstur og 12 netter på hotell? b) Hva blir prisen for fire personer i kroner når 1 € = 9,75 kr? c) En dag har Inkareiser solgt 10-dagersturer for til sammen 7110 €. Hvor mange personer har betalt for en 10-dagerstur? d) Inkareiser tilbyr 10-dagersturen til barn for halv pris. Hva koster 10-dagersturen for barn i euro? e) En annen dag har Inkareiser solgt 10-dagersturer for til sammen 5530 €. Hvor mange voksne og barn kan ha bestilt turen?

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

1.140 Kvadratet til høyre er satt sammen av fire mindre kvadrater. a) Hvor stor brøkdel utgjør de små kvadratene av det store kvadratet? b) Omkretsen til ett lite kvadrat er 20 cm. Hva blir omkretsen av det store kvadratet? a) Arealet av et lite kvadrat er 25 cm2 . Hva blir arealet av det store kvadratet? b) Hva blir omkretsen av det store kvadratet når arealet av et lite kvadrat er 25 cm2 ? a) Hva blir omkretsen av et lite kvadrat dersom omkretsen av det store kvadratet er 64 cm? b) Hva blir arealet av et lite kvadrat når arealet av det store kvadratet er 64 cm2 ? 1.141 Summen av to tall er 13, og produktet av de samme tallene er 36. Hva er differansen mellom de to tallene? 1.142 Ved oppstarten av et sjakk-kurs er det 13 jenter og 23 gutter som deltar. Hver uke kommer det 9 nye jenter og 6 nye gutter. a) Hvor mange uker tar det før det er flere jenter enn gutter på kurset? b) Hvor mange uker har det gått når det er over 100 jenter på kurset?

UNDERVEISVURDERING 1 1

Still opp og regn ut uten å bruke kalkulator. Vis tydelig hvilke regnestrategier du har brukt. a) 35 12 b) 130 52 c) 248 : 8 d) 630 : 6

Still opp og regn ut uten å bruke kalkulator. a) Du kjøper to flasker vann til 21 kr per stykk og tre bananer til 6 kr per stykk. Hvor mye må du betale til sammen? b) Hanna kjøper fire julegaver på nettet som koster 58 kr hver og tre gaver som koster 124 kr hver. I tillegg må hun betale frakt på 49 kr. Hvor mye må hun betale til sammen?

Regn ut. a) 2 þ 2 2 b) 3 þ 30 : 3 3 c) 8 24 : 3 5

Regn ut. a) 2 þ ð 5Þ b) 5 ð 10Þ c) 28 ð 12Þ 48

Regn ut. a) 5 ð 4Þ b) 48 : ð 8Þ c) ð 2Þ ð 24Þ : ð 3Þ

Regn ut uten å bruke kalkulator. a) 4,5 3,6 b) 2,4 : 3 c) 3,2 : 0,8

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Bruk avrundingsreglene og rund av til to desimaler. a) 5,544 b) 14,755 c) 9,995

Linea kjøper 12 hg smågodt for 190,80 kr. a) Hva blir prisen per hektogram? b) Hva blir prisen per kilogram?

På vei til Trolltunga ved Ringedalsvatnet i Skjeggedal stopper en familie for å lade bilen og handle litt. Etter 22 minutter drar familien videre. De har da kjøpt: . 22 min lading til 1,95 kr/min .

1,8 kg appelsiner til 21,90 kr/kg

0,9 hg smågodt til 28,90 kr/hg

4 flasker vann til 24,50 per stykk

8 boller til 39,90 kr Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye familien måtte betale.

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Skriv som én potens. a) 8 8 b) 10 10 10

c) x x x

Skriv som én potens eller regn ut. a) 42 43 b) 32 þ 32

c) 54 : 52 43 2

Bruk det du kan om kvadrattall og kvadratrot, når du løser oppgavene. a) Skriv opp de fem første kvadrattallene. b) Finn kvadratroten av 100 og 400.

Et kvadratisk lappeteppe består av 81 små lapper som har form som et kvadrat. Hver lapp har sider på 5 cm. a) Hva blir arealet av én lapp? b) Hvor lange er sidene til lappeteppet?

Regn ut. a) 3 þ ð5 4Þ b) 3ð2 4Þ þ 5 c) ð7 9Þ þ ð30 : 6Þ

I kantina på skolen selger de bagetter til 15 kr, jus til 10 kr og melk til 8 kr. a) Lag et parentesuttrykk som viser hva to bagetter og to melk koster. b) Lag et parentesuttrykk som viser hva fem bagetter, fem melk og fem jus koster. c) Regn ut uttrykkene i a) og b) og finn prisen i kroner.

Regn ut. a) ð32 22 Þ þ ð30 : 6Þ pffiffiffiffiffi b) 42 32 : 8 þ 16 c) 48 : 6 þ 62 ð4 8Þ

1 TALL OG TALLFORSTÅELSE

Tverrfaglig oppgave 1 FNs bærekraftsmål består av 17 hovedmål og gjelder for alle land i verden. Målene skal hjelpe oss med å gjøre verden til et bedre sted for alle mennesker som lever nå, uten å ødelegge for dem som kommer senere. Det kaller vi bærekraftig utvikling.

Mål 1:

Utrydde alle former for fattigdom i hele verden

I 1990 levde ca. 2,5 milliarder mennesker i ekstrem fattigdom. Siden da har andelen ekstremt fattige blitt mer enn halvert. I dag regner vi med at ca. 750 millioner mennesker lever under fattigdomsgrensa. Denne grensen er på 1,90 dollar dagen. Målet er at ingen skal leve i ekstrem fattigdom i 2030.

Skriv 2,5 milliarder og 750 millioner med tall.

Hvor mange færre ekstremt fattige er det i dag sammenliknet med i 1990?

1 dollar er verdt omkring 8,50 kr (2018). Hva blir fattigdomsgrensa i kroner?

Hva blir fattigdomsgrensa i kroner per uke, måned (30 dager) og år (365 dager)?

MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Å definere fattigdom i Norge kan være vanskelig. Er man fattig hvis man for eksempel ikke kan reise på ferie hver sommer? Europa har definert en egen fattigdomsgrense. Den er satt til halvparten av gjennomsnittsinntekten i det landet du bor. I Norge lå en gjennomsnittsinntekt på 43 300 kr per måned i 2016. .

Hva er fattigdomsgrensa i Norge per måned etter den europeiske definisjonen? . Hvor mye får en person med gjennomsnittsinntekt i Norge utbetalt per måned hvis det blir trukket 13 000 kr i skatt per måned? . Hvor mye kan en person med en gjennomsnittsinntekt i Norge bruke per dag i september? . Hvor mye mer er dette sammenliknet med fattigdomsgrensa som FN har satt? Finn informasjon om utviklingen av fattigdom i verden. . Hva menes med alle former for fattigdom i mål nr. 1? .

Finn ut hva som menes med å mangle materielle og sosiale goder, og ca. hvor mange mennesker som mangler disse godene per i dag. . Hvordan er utviklingen fra 1990? Vurder tallene – hva tenker dere om å nå mål nr. 1 innen 2030? Er det mulig? . Lag egne spørsmål ut fra informasjonen dere finner.

TVERRFAGLIG OPPGAVE

Matematikk 8 Grunnbok blaibok

Articles inside

oppgave 1 Tverrfaglig

Overslagsregning

Sammensatte måleenheter

Flere regnearter på en gang

oppgave 2 Tverrfaglig

med desimaltall