Espejos Espejos

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Espejos Espejos

José Manuel Posada de la Concha

Uno de los primeros misterios matemáticos a los

que se enfrentan muchos niños sucede al sentarse en esas grandes sillas rojas para un corte de cabello. Los espejos al frente y detrás proporcionan la visión de un camino interminable que se pierde a lo lejos, muy, muy lejos de la peluquería donde se encuentran. (Ver fi g. 1)

Figura 1. Espejos paralelos en una peluquería.

es muy sorprendente este fenómeno por el simple hecho de que es lo más “palcobre o de plata, tan lisos que refl ejaban detalladamente cualquier cosa. Uno de estos espejos, pable” que podemos tener respecto a lo que los de 4500 años de antigüedad, se encuentra en el matemáticos denominan infi nito: la imagen que Museo del Louvre, y cualquier visitante puede se refl eja en el primer espejo se refl eja después aprovechar a la mitad del recorrido para peien el segundo, que a su vez se refl eja nuevamen- narse frente a él, retocarse el labial o retirar el te en el primero, que a su vez se vuelve a refl ejar pedacito de pan que quedó entre los dientes desen el segundo, que… nunca termina. ¡Dos espe- pués de saborear una baguette con queso y jos planos enfrentados “muestran” un infi nito… jamón. Podemos asegurar que ésta es la única ni más, ni menos! pieza interactiva del más famoso museo francés. Seguramente los egipcios de la época de los El espejo ha sido desde entonces, y para faraones conocieron este efecto, pues poseían muchísimas culturas, necesidad, simbolismo, espejos de metales pulidos, no de vidrio como magia e inclusive poesía ya que, entre muchas la mayoría de los que tenemos ahora, pero sí de otras cosas, el espejo te desnuda, te proporciona

Figura 2. Un espejo plano no cambia el arriba por el abajo.

Norte Sur

Figura 3. Un espejo plano cambia el adelante por el atrás. identidad física, te dice cómo debes imaginarte a ti mismo despierto y dentro de tus sueños. Y aunque el espejo es misterio (recuerden que los vampiros no se refl ejan, pues los espejos proporcionan imágenes del alma, cosa que ellos no poseen), también es conocimiento, es geometría y es física, a tal grado que hay ramas enteras de la experimentación que no existirían si no contaran con estas superfi cies en todas sus formas, las cuales se “rigen” por el fenómeno de la refl exión: hay planas, cóncavas, convexas, semirrefl ejantes, de primera superfi cie, de segunda, etcétera.

Lo primero que debemos saber sobre las imágenes en un espejo plano, como el que tenemos en el lavabo del baño, es que se encuentran alteradas en una dimensión. Pero, ¿cuál? Recordemos que las dimensiones espaciales en la que todos los objetos se encuentran y se desplazan son “arriba-abajo”, “adelante-atrás” y “derechaizquierda” (o claro, también combinaciones de estas tres).

Colócate frente a un espejo plano y levanta las cejas, ¿las cejas de la imagen se movieron hacia abajo? Claro que no. Primer descubrimiento, muy sencillo: un espejo plano no te cambia el arriba por el abajo (ver fi g. 2). ¿Qué sucede ahora si caminas acercándote al espejo? Supón que te mueves en dirección al norte, pues en esa dirección te queda el espejo, ¿hacia dónde camina tu imagen? Ésta camina hacia el sur, en sentido contrario. Segundo descubrimiento: ¡un espejo plano cambia el adelante por el atrás! (ver fi g. 3). ¿Qué sucede con la otra dimensión? Ésta es la más extraña de las tres. Colócate frente al espejo e infl a tu mejilla derecha, ¿de qué lado se encuentra la mejilla infl ada en la imagen? ¡También se encuentra de tu lado derecho!

Analicemos lo anterior con un poco más de detalle: visto todo desde tus ojos (y no desde los

ojos de la imagen) si infl as tu mejilla derecha, aprecias que la mejilla de la imagen que también se encuentra a tu derecha es la que se infl a (ver fi g. 4). Desde luego que si ves desde la perspectiva de la imagen, la que sufre el cambio es su mejilla izquierda, pero no debes cambiarte de referencia. Mira todo lo que te pasa a ti y a la imagen desde tus ojos y no desde los ojos de la imagen.

Tercer descubrimiento (inesperado): ¡un espejo plano no cambia la derecha por la izquierda, contrario de lo que la mayoría de las personas cree!

La imagen que uno aprecia de sí mismo al colocarse frente a un espejo plano no es la imagen que tienen los demás al vernos directamente o al vernos nosotros mismos en una fotografía. Para conseguir que sí sean las mismas imágenes, coloca dos espejos planos a 90 grados y asómate (ver fi g. 5). ¡Ésa sí es la forma de nuestro rostro como lo ven los demás! Ahora, ¿qué sucede si ante esta doble refl exión guiñas tu ojo derecho? Notas que el ojo que se guiña en la imagen es el que se encuentra a tu izquierda. Dos espejos como los que se muestran en la fi gura 5 cambian el adelante por el atrás pero, también, ¡la izquierda por la derecha! ¡Dos dimensiones y no una como en el caso de un solo espejo! ¿Cómo podemos lograr un dispositivo con espejos cuyas imágenes sean modifi cadas en las tres dimensiones?

Muchos de ustedes ya lo habrán deducido: con tres espejos, como se muestra en la fi gura 6. Éstos se acomodaron conformando el vértice de una caja. Asómate dentro de este vértice. ¡Te ves de cabeza! Muévete hacia la derecha, tu imagen lo hace hacia la izquierda. Muévete hacia “el norte”, tu imagen se mueve hacia el sur. ¡Tres espejos como en la fi gura modifi can las tres dimensiones!

Si no tienes tres espejos planos, puedes apreciar el mismo fenómeno de cambio de las tres dimensiones en la cara interna de una esfera navideña. Rompe con cuidado una de estas esferas y asómate en la parte “cóncava”, esto es, donde se forma un cuenco o hendidura. ¡Las imágenes de un espejo cóncavo también invierten el arriba por el abajo, la derecha por la izquierda y el adelante por el atrás!

Como podemos apreciar, los espejos y sus imágenes no sólo tienen fascinados a los literatos y a sus lectores: “el espejo multiplica a los seres innecesariamente” decía Borges; no nada más perturba a los brujos y nigromantes, y a quienes por ellos modifi can su conducta; el espejo fascina tanto o más a los científi cos, y no exclusivamente a geómetras y ópticos físicos, sino también a biólogos y a psicólogos. Una muestra de esto es que se tiene la certeza de que el chimpancé, y muy probablemente el delfín, son los únicos animales que se reconocen frente a un espejo: saben que son ellos los de la imagen;

Figura 4. Un espejo plano no te cambia la derecha por la izquierda, ya que visto desde tus ojos, al infl ar tu mejilla derecha, en esa misma posición se encuentra la mejilla infl ada en la imagen.

Figura 5. Aparte del adelante por el atrás, dos espejos abiertos con un ángulo recto (de 90 grados) te cambian en las imágenes la derecha por la izquierda. Figura 6. Tres espejos conformando el vértice de una caja modifi can las imágenes en las tres dimensiones.

ni siquiera un perro se da cuenta de que se trata de él mismo, pues es capaz de ladrarse retadoramente hasta el cansancio.

Ir a la peluquería cuando se es niño no es agradable para casi nadie; yo recuerdo que lloraba amargamente por ver trozos de mis cabellos en el piso, ¿qué necesidad había de quitármelo? No lo entendía. A cambio de todo eso, tengo el recuerdo del túnel de refl exiones infi nitas, algo fascinante, y aquí entre nos, he de confesar cómo lo extraño cuando me corto el cabello en una simple “estética unisex”, pues ponen frente a mí nada más un “pobre” espejito.

Contesta las siguientes preguntas en el mismo estilo refl ejado que ocupaba Leonardo Da Vinci en sus intercambios epistolares:

¿Cuántos espejos tiene un telescopio newtoniano?

¿Qué es un espejo de primera superfi cie?

¿Qué es la refl exión total interna?