1.3 El camino hacia el descubrimiento de e

En particular, aquí resaltamos su labor de sistematización y divulgación del Cálculo infinitesimal recién “inventado” . Sus libros “Introductio in analysin infinitorum ” (1745), de cálculo diferencial “Institutiones Calculi Differentialis “(1765) y de cálculo integral, “Institutiones Calculi Integralis ” (1768-1770) son los primeros que dan forma a lo que hoy entendemos como matemáticas “ clásicas” y se convierten en los libros de referencia para la divulgación y el aprendizaje de lo que, desde entonces, se llamara análisis.

"Euler cogió el cálculo diferencial y el método de fluxiones y los integró en una rama más general de la matemática que ha recibido desde entonces el nombre de análisis, es decir, el estudio de los procesos infinitos. " 3

La identidad de Euler establece una relación entre cinco números. El “0” el “1” y otros tres representados por letras π,i y e. La elección de estas letras para designar estos números “ especiales” se debe a Euler que las fue incorporando progresivamente a la notación de sus escritos. La geometría clásica conocía perfectamente que el resultado de la división de la longitud de una circunferencia y su diámetro, o del área de un círculo y el cuadrado de su radio, era una constante “inconmensurable” , es decir, no podía expresarse mediante una fracción, porque no existe una unidad de medida común para la longitud de la circunferencia y su radio. En consecuencia, el resultado de esta división se desarrolla en un número infinito de números decimales. La letra π para designar abreviadamente esta constante, la usa por primera vez, en 1706, William Jones (1675-1749), pero cuando Euler la utiliza en la “Introductio” se generaliza su uso a partir de 1748. El caso de i es muy diferente. Aparece, bajo la forma de , en Italia, al intentar Rafael Bombelli resolver, en 1572, ecuaciones de tercer grado.

−1

Dado que se pueden aplicar a las reglas del álgebra,

i

es aceptado como número, con una componente de misterio, puesto que no se alcanza a entender su significado. Euler en una fecha tardía, para simplificar la notación, llama a este número cuyo cuadrado es -1. El número esta al margen de los números reales y no será identificado como la “unidad imaginaria” hasta la definición por Gauss, en 1831, de los números complejos. −1 −1 i

Como vemos, tanto π como i, tienen una historia que merece ser protagonista de un libro como este, pero en nuestro caso nos vamos a centrar en la historia del número e.

El número e, es un perfecto desconocido a principios de siglo XVII y se convierte, a partir de su descubrimiento, en el número más omnipresente de las matemáticas. Decimos “descubrimiento” porque e no fue buscado activamente, su aparición es en cierto modo una sorpresa. Una sorpresa, como la del caminante que llega inesperadamente a un cruce de caminos que no esta en el mapa.

El mapa de las matemáticas del siglo XVII puede recorrerse en varias direcciones. Una de las direcciones principales es el camino hacia la progresiva definición del concepto de función.

Al inicio de este periodo el concepto de función no estaba identificado en el campo matemático. La palabra “función” aparece publicada por primera vez en un artículo de Leibniz de 1692 en la que da también la primera definición del concepto.

Las curvas algebraicas de Descartes, definidas como el lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen una ecuación de dos variables, son la primera aproximación de lo que acabará siendo una función.

Newton, requiere de las matemáticas para sustentar su descripción del movimiento no uniforme y su teoría de la gravitación universal y en general para la descripción de la naturaleza.

Para describir la naturaleza Newton tiene la certera intuición de que las leyes de la física no solo dependen de magnitudes “fluentes” , es decir, que varían en función de otras, sino también de sus “fluxiones” que son sus variaciones “instantáneas” . De esta manera establece un vinculo entre la evolución del concepto de función y la invención del cálculo.

La invención del cálculo es el segundo eje que define el avance de las matemáticas del siglo con la introducción de los infinitesimales y de las series infinitas que recurren a razonamientos basados en el infinito , ya sea por la división de los problemas en elementos “infinitamente pequeños” o por obtener resultados finitos de “ sumas infinitas” , lo que en principio parece algo difícil de ejecutar, o al menos de acabar de ejecutar, en un tiempo finito.

Cuando Newton publica el teorema del binomio, generalización del procedimiento que empleamos para multiplicar binomios de exponentes enteros, para los casos de exponente negativo o fraccionario, obtiene una expresión algebraica que se desarrolla en infinitos términos. Por este camino, aparecen en el mapa las funciones trigonométricas definidas mediante series infinitas. El teorema del binomio pasa a ocupar un lugar central en la definición de nuevas funciones. Leibniz llama a estas funciones, de infinitos términos, trascendentes.

En la “Introductio” , Euler estudia la función exponencial y su relación con la logarítmica y obtiene el desarrollo en una serie infinita de ambas funciones, completando así el catálogo de funciones trascendentes elementales.

Como hemos dicho e es un cruce de caminos: la función exponencial en base , , adquiere la propiedad especial de ser igual a su derivada. Los logaritmos en base e resultan ser los logaritmos naturales, que se obtienen integrando la hipérbola x · y=1.

Y entonces, en el capítulo siguiente de la “Introductio” , se precipita el final de nuestra historia.

e y = ex