6. Sumas infinitas

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Las derivación nos ha llevado a discutir sobre el valor finito de la “ razón última” de diferenciales. Hemos visto las dificultades teóricas que representa la introducción de los infinitesimales. Hemos visto también como la integración equivale a la cuadratura de una curva y que para obtenerla nos encontramos con el reto de obtener una suma de infinitos sumandos. Pero no va a detenerse aquí el dialogo de las matemáticas con el infinito, porque las series van a formar una parte inseparable del Cálculo con el que comparten una fecha de nacimiento común y plantean los mismos problemas para su fundamentación teórica. Para Euler, la suma de una serie se obtiene cuando los primeros infinitos términos nos dan un valor finito y si continuamos sumando infinitos términos a partir de ese punto, la suma de esos términos adicionales es un infinitesimal. Es decir, la suma obtenida mediante infinitos términos no admite crecimiento. La suma de una serie es esa cantidad a la que se acerca más y más cuando más términos de la serie sean tomados. Pero esta definición de suma no aclara que significa una suma de ∞ sumandos, ni existe una idea precisa de los requisitos a cumplir por una serie para ser sumable. Por ejemplo, hemos obtenido por división larga:

que para x=1 resulta:

Esta serie suma alternativamente 1 o 0 según el número de términos considerados. Para Leibniz y para Euler esta serie suma 1/2 porque la función toma ese valor para x=1, pero esta claro que adjudicar este valor a la suma de la serie es una arbitrariedad.

1

1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ...

1

1 + x = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

1 + x 1 + 1 2

Queda claro que el manejo de series plantea dificultades pero los resultados de seguir adelante, sin detenerse en casos particulares, llevará a los inventores del cálculo a éxitos espectaculares. La fundamentación rigurosa del cálculo tiene aún que esperar. Cuando nos referimos a series tenemos que distinguir si nos referimos a series numéricas o por el contrario nos referimos a series cuyos términos son funciones. Nos vamos a centrar en el estudio de un tipo especial de series de funciones, en la cual sus términos son potencias enteras de x. La primera serie de este tipo la hemos visto, obtenida por Mercator, para aproximar la función logarítmica.

Vamos a ver como Newton redefine las funciones trigonométricas mediante desarrollos en serie de potencias, y como posteriormente, MacLaurin y Taylor obtienen una fórmula general para desarrollar una función, basada en sus derivadas sucesivas. Las series obtenidas se llaman desarrollos en serie de MacLaurin o de Taylor en su honor

¿Qué utilidad tiene el desarrollo de una función en serie de potencias?

Si conseguimos sustituir una función por su desarrollo en serie de potencias podemos obtener ventajas muy importantes. La primera es aproximar la función, de manera que su valor en un punto se corresponda con la suma de los términos de la serie para ese punto. Una segunda utilidad, muy importante, es derivar o integrar una función derivando o integrando término a término su desarrollo. Así, una función difícil de manejar puede derivarse e integrarse fácilmente aplicando las fórmulas elementales para las potencias de x.