4.5 Métodos de integración numéricos

Para el cálculo de una integral definida solo en casos singulares podemos obtener una expresión de la suma de áreas de base Δx que nos permita el cálculo exacto de su valor. Para algunas funciones este procedimiento puede ser muy laborioso y en algunos casos incluso imposible.

El método alternativo para calcular la integral definida consiste en aplicar métodos numéricos. La integración numérica es un procedimiento de aproximaciones sucesivas, calculando en cada paso una suma de áreas, obteniendo una sucesión de valores que se aproximan progresivamente al valor de la integral, deteniendo el cálculo cuando dos aproximaciones sucesivas difieran en valor absoluto en una cantidad menor que el error que asumimos para la aproximación. Estamos ante una ejecución muy laboriosa y de resultados que pueden ser poco precisos. (hemos visto antes, al hablar de Fermat, que necesitábamos 60 divisiones para obtener dos decimales correctas de y de .

A pesar de ello, esta aproximación al cálculo de la integral definida es hoy en día, con la potencia de cálculo de los ordenadores, una estrategia abordable. El problema se traslada entonces a la búsqueda de un algoritmo para optimizar los cálculos que aproximen el resultado final de forma lo más rápida y eficiente posible.

El método de Simpson (Thomas Simpson 1710-1761) consiste en dividir el intervalo a integrar en un número par de segmentos y calcular el área de dos de estos intervalos, sustituyendo la función a integrar por una parábola que pasa por los puntos f(A), f((A+B)/2) y f(B) siendo A y B los extremos de los dos segmentos consecutivos.

El método de Simpson es una buena forma de calcular la integral definida, porque con su aplicación se requieren menos cálculos para la misma precisión, y se obtiene mucho más rápidamente el resultado.

y = x4 y = x9

Figura 4.11. Cálculo del área en el intervalo AB

Para obtener la fórmula de Simpson vamos calcular el área bajo una parábola a partir del área del triángulo inscrito, con vértices en lo que hemos llamado f(A), f(B) y en el punto medio f((A+B)/2)=f(C). El área contenida bajo la parábola es 4/3 del área de este triángulo inscrito según un teorema clásico de Arquímedes que Kepler conocía perfectamente. El área del triángulo se puede calcular conociendo sus tres lados, (fórmula de Herón) por lo que el problema queda resuelto haciendo las operaciones y simplificando. Área = 4/3 Área del triángulo inscrito+ Área ABED

Área del triángulo inscrito ACB = x(C) [y(A)-y(B)] + x(A)[y(B)-y(C)] + x(B) [y(C)-y(A)] Área ABED = [x(B)-x(A)] [y(A)+y(B)]/2 Y efectuando las operaciones resulta:

Área = [x(B) – x(A)] [y (A) + 4 y(C) + y (B)] / 6

Podemos comprobar que el resultado resulta válido sean cuales sean los tres puntos sobre la parábola.

Figura 4.12. La fórmula de Simpson

Por último, podemos comprobar que la fórmula de Simpson se aproxima al resultado de forma más eficiente que el cálculo mediante rectángulos. También calculamos una aproximación mediante una recta en lugar de la parábola de Simpson. Como era de esperar su resultado, mediante trapecios, es una media del cálculo con rectángulos superiores e inferiores.

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La formación del concepto de función (III) las funciones de la física

La palabra función apareció publicada por vez primera en un artículo de Leibniz de 1692. La idea esta ligada, en su nacimiento, al tratamiento de los problemas geométricos con el lenguaje del Cálculo El acercamiento del Cálculo a los problemas de la física impulsa una gran evolución del concepto de función. Para Newton, el concepto de función se independiza de la geometría y en consecuencia se vuelve mucho más abstracto Una función expresa la dependencia de unas magnitudes con otras y el Cálculo describe como varían estas magnitudes instantaneamente. Es fácil ver, que el nivel de abstracción alcanzado permitirá generalizar el concepto, no solo a funciones de tres variables, que pueden imaginarse en el espacio tridimensional, sino a funciones de n variables sin posible representación gráfica. Al identificar la diferenciación y la integración como operaciones que se aplican a las funciones y que las transforman en otras nuevas se desvincula finalmente a las funciones de su representación geométrica o física. La funciones, ellas mismas, son objetos que se transforman en otros, mediante las operaciones del Cálculo. Estas operaciones abren la puerta a la definición y manipulación de nuevas funciones. Por ejemplo hemos visto como los logaritmos pueden definirse como una función primitiva de la hipérbola. Del mismo modo veremos que las funciones trigonométricas se definen a partir del Cálculo mediante integración del área bajo el círculo unidad.

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