3.4 La escuela de los indivisibles

La cuadratura de curvas también se aborda, durante la primera mitad de este siglo, desde una perspectiva en continuidad con la tradición geométrica clásica.

Kepler, cuando compraba vino para la celebración de la boda con su segunda esposa, se sorprendió al observar el método del bodeguero para medir el volumen de vino que consistía en introducir una vara por la boca central del tonel hasta el extremo inferior de una de sus tapas circulares.

se ocupaba de los planetas!). Kepler se pregunta como una sola medida lineal puede dar resultados exactos para calcular un volumen y a partir de sus reflexiones sobre este incidente, publica en 1615 un libro, titulado "Nova Stereometria doliorum vinariorum" ("Nueva estereometría, ó cálculo de volúmenes, de barriles de vino"), con los resultados de su estudio. (¡Kepler no solo

Kepler se propone calcular el volumen de los toneles asimilando su forma a la que se obtiene por la rotación de rectas o de segmentos de curvas cónicas (Círculos, elipses, parábolas e hipérbolas) alrededor de un eje. Procede al cálculo mediante la descomposición del volumen en rebanadas cilíndricas cada vez más finas, reinterpretando el método de exhaución clásico.

Kepler también trató de determinar las mejores proporciones de estos sólidos de cara a maximizar su volumen y esto le llevó a considerar varios problemas de optimización que resultaron ser contribuciones muy interesantes al desarrollo del cálculo diferencial. Su método de aproximación fue absolutamente numérico, calculando los valores para las diferentes proporciones y tabulando los resultados.

Así, llegó a la conclusión de que, para valores próximos al valor máximo, las desviaciones en el volumen eran pequeñas. Para tranquilidad de los consumidores, las mediciones de los toneleros eran suficientemente exactas para barriles austriacos, donde se construían manteniendo determinadas proporciones, aunque no era aplicable a Renania, la zona del Rhin de donde era Kepler, donde los barriles se construían mucho más alargados.

El libro de Kepler anterior a la algebraización de la geometría y anterior a las aproximaciones de Fermat al estudio de los problemas de máximos y mínimos, tuvo una gran difusión y puso el foco sobre el tipo de problemas en los que se ocuparían, 30 años más tarde, los “indivisibilistas” .

El método de exhaución de Eudoxo de Cnido

El método de exhaución o de agotamiento (Termino no aceptado por la academia, que deriva de la raíz “ exhausto” , de la que también deriva exhaustivo, que si es aceptado) es un procedimiento ideado por Eudoxo (337 a.C.), discípulo de Platón, para aproximar superficies o volúmenes a partir de la comparación con una figura conocida previamente, descomponiendo ambas figuras en elementos que se relacionan uno a uno. Al repetir el cálculo, en cada paso tomando elementos mas pequeños, se pueden comparar los resultados obtenidos hasta alcanzar la exactitud requerida.

Eudoxo por este procedimiento obtuvo el volumen de pirámides y conos, demostrando que se corresponden a un tercio del prisma o cilindro de su misma altura. Arquímedes (287 a.C.) utilizó este método para aproximar la longitud de la circunferencia inscribiendo en ella un polígono regular, incrementado el número de lados en cada paso del cálculo. También obtuvo el volumen de la esfera por comparación con el volumen del cilindro de base igual al círculo mayor de la esfera y altura igual a su diámetro.

Bonaventura Cavalieri, (1598-1647), Discípulo de Galileo, publica en 1645 “Geometria indivisibilibus Continuorum ” donde descompone las figuras planas en líneas paralelas y los volúmenes en rebanadas planas. Los indivisibilistas mantienen que, una línea esta hecha de puntos, un plano esta hecho de líneas y un solido puede descomponerse en áreas planas como hojas de un libro.

Cavalieri llega mediante su razonamiento geométrico a un resultado correcto para obtener la cuadratura de las funciones del tipo . (Para valores de n enteros e inferiores a 9) Mediante razonamientos sobre indivisibles Cavalieri logra otros resultados relevantes, como por ejemplo, la trasformación de la parábola 2 en la espiral de Arquímedes de radio proporcional al giro. Hoy, a Cavalieri, lo recordamos básicamente por su teorema sobre el volumen de dos sólidos. “Si dos sólidos tienen igual altura y si las secciones por planos paralelos a las bases a la misma distancia de ellas están siempre en una razón dada, el volumen de los dos sólidos también esta en esta relación” . Gilles de Roberval (1602-1675) en 1634, dibujando la trayectoria de un punto sobre una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta, obtiene el área bajo la cicloide, dibuja por primera vez la función seno y obtiene su área. y = xn x = ay

Figura 3.5. La fórmula de Cavalieri

Representando la función

x

podemos dibujar en azul el rectángulo de base x y altura por lo tanto de área . El área bajo la función podemos “ cuadrarla ” en el rectángulo marrón y comprobamos la relación de ambas superficies al variar n con el deslizador.

y = xn xn n+1

Para n =1,

x2 quedan definidos dos triángulos y la superficie del triángulo inferior es evidentemente 2 .

Para n=2,

la curva es una parábola

2 y = x

y la relación entre las superficies es 1/3.

Figura 3.6. La primera representación gráfica dela función seno

Los valores del seno se obtienen lógicamente en función del arco de la circunferencia generatriz de la cicloide. La representación del seno como una curva, es un pequeño paso que prepara el camino para su incorporación al catálogo de funciones.

A pesar de estos esfuerzos y éxitos parciales, la aproximación geométrica a los problemas de los indivisibles se demostró incapaz de seguir el ritmo del avance mediante el enfoque algebraico. Sus resultados, orientados a resolver problemas de cuadraturas, nos parecen anecdóticos desde la perspectiva actual.

La formación del concepto de función (II) Nuevas curvas

Mientras las curvas mecánicas quedan arrinconadas en la geometría, los “indivisibilistas” aportan dos curvas que van a dar lugar a funciones centrales en las matemáticas.

Hemos visto como Roberval dibuja la curva trigonométrica del seno en función del arco de la circunferencia generatriz de la cicloide.

También la relación de los logaritmos con la cuadratura de la hipérbola equilátera, lleva a representar como una curva lo que eran tablas de valores orientadas al cálculo.

Tenemos pues nuevas curvas, con una gran precisión en cuanto a número de decimales, pero definidas por puntos, es decir, sin una expresión analítica para su representación. Evidentemente, ya sabemos que no existe para estas curvas una expresión algebraica y la expresión en forma de serie infinita de Mercator para los logaritmos tampoco es muy satisfactoria, pues sus resultados solo son correctos para valores de x entre -1 y 1.

En nuestra historia la representación gráfica de estas funciones aportan un avance fundamental, acercando la trigonometría y los logaritmos a un enfoque funcional, al dotarles de una representación gráfica. Este salto convierte unas tablas numéricas, útiles exclusivamente para la ejecución de cálculos, en candidatas a funciones matemáticas, en espera de su mayoría de edad.

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