3.3 Nikolaus Mercator

Nikolaus Mercator (Logarithmo-technica -1668) es capaz de obtener, de la relación entre la hipérbola equilátera y los logaritmos, observada por de Saint Vincent, resultados sorprendentes.

La hipérbola equilátera y x = 1, se hace infinita en x=0. Para evitar esta singularidad, Mercator desplaza la hipérbola en una unidad, sustituyendo x por x+1 y convirtiendo su ecuación en y = 1+x 1 . Aplicando el método de la división larga a , obtenemos como resultado Que continúa indefinidamente alternando el signo de los términos pares e impares. Esta es la primera transformación de una función en una serie de potencias, lo que luego llamaremos desarrollo en serie. Siguiendo la idea de Saint Vincent de que la curva logarítmica es proporcional a la cuadratura de la hipérbola, aplica la fórmula de la cuadratura, conocida para las potencias de x, a cada término de la serie, para obtener una nueva serie que identifica como log (x+1). Esta serie se conoce como serie de Mercator: Para estos logaritmos el coeficiente de proporcionalidad entre las áreas y los logaritmos es 1, por lo que Mercator llama a sus logaritmos "logaritmos hiperbólicos" .

1 1+x

1

1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ⋅ ⋅ ⋅

log(1 + x) = x − 2 x2 +

x3

3

x4

4 + ⋅ ⋅ ⋅

En álgebra, la división larga de polinomios es un algoritmo que permite dividir un polinomio entre otro polinomio que no sea nulo, generalizando el procedimiento que utilizamos habitualmente para la división entre dos números.

Figura 3.3. División larga de 1/1+x

Podemos ver, moviendo el deslizador, como vamos ejecutando la división larga de 1 entre 1+x.

Del mismo modo, podemos empezar la división de 1 entre 1+x por , que multiplicado por 1+x nos da . en este caso el siguiente término es , y la serie completa resultaría ser

. que también es un desarrollo en serie válido para .

Por el mismo procedimiento podemos abordar la división larga de 1/1+x2 con el resultado de o, alternativamente,

x −1 1 + x1 –x2 x −1 −

x −2 + x −3 − x −4 + …

1 1+x

x2 + x4 − x6 + x8 − ⋯ x −2 − x −4 + x −6 − ⋯ 1 −

Figura 3.4. Serie de Mercator

La serie de Mercator es una aproximación de los logaritmos en un entorno centrado en el origen de coordenadas que no puede dar ninguna explicación de por qué los resultados solo son válidos para valores entre -1 y 1.

No mover los deslizadores ka, kb, kc de los valores iniciales 1, 1, 0. La función 1/x toma valor infinito en 0 y nos es imposible desarrollarla en este punto. Mercator trabaja con la serie 1/(1+x), como equivalente a 1/x, sustituyendo x por x+1, es decir, desplazando la función de manera que para x=0 tome el valor 1.

Hacemos clic en “Mostrar hipérbola”

La función y=1/(1+x) es una hipérbola equilátera de asíntotas el eje x y la recta x=-1. El cambio de variable permite dividir el numerador 1 entre el denominador 1+x , operando como hemos explicado anteriormente, por división “larga, obteniendo así la serie:

1

1 + x = 1 − x + x2 − x3 + x4 + ⋅ ⋅ ⋅

Hacer clic en “desarrollo en serie”

En la hoja de trabajo podemos observar que para x=1 la serie toma alternativamente valor 1 y 0, según sea el exponente del último término del desarrollo par o impar. El valor de la función en ese punto es 1/1+1=1/2 , luego el desarrollo en serie fracasa para los valores de x fuera del entorno (-1, 1), no siendo válida ni para 1 ni para -1.

Hacer clic en “serie integrada”

Aplicamos término a término, a la serie obtenida las fórmulas para la cuadratura de Fermat y obtenemos las áreas bajo la hipérbola que identificamos con Log (1+x),

Para obtener el valor la base de la función logarítmica obtenida, hacemos clic en “ mostrar función logarítmica ” y ajustamos el valor de a su valor con el deslizador. El valor de a que obtenemos es aproximadamente 2,72. Log(x + 1) = x − 2 x2 +

x3

3

Movimiento del deslizador ka

Moviendo ka , desarrollamos la función y obtenemos una serie integrada de valor:

Para obtener el valor de la base de la función logarítmica debemos ajustar el deslizador a. Por ejemplo para ka =1,4 , la función logarítmica integral será:

y =

ka 1 + x log(1 + x) = ka(x − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 + ...)

log2(1 + x) = 1,4(x − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 + ...)

Movimiento del deslizador kb

Si movemos kb el efecto obtenido es una traslación de la hipérbola según el eje x.

La ecuación de la hipérbola pasa a ser y =

ka kb+x

Podemos observar dos consecuencias

1- La ampliación del entorno de validez de la serie obtenida que pasa a ser −kb < x < kb

2- Modificando kc ajustamos el desarrollo de la serie integrada a la función logaritmica que se desplaza manteniendo la base obtenida para kb=1

Mercator se adelanta al desarrollo del Cálculo y a la justificación de las propiedades de estos logaritmos por Euler, que lo hará 50 años más tarde. También adelanta, para un caso particular, la metodología que llevará al desarrollo en serie de funciones. Para ello asume como válido identificar una función con su desarrollo en serie de potencias y supone que se puede obtener la cuadratura de una función mediante la cuadratura término a término de su desarrollo en serie.

Es un claro ejemplo claro de intuición, que obtiene resultados correctos, difícilmente interpretables con los conocimientos de su tiempo, adelantados a la construcción teórica que los sustenta.