3.3 Nikolaus Mercator Nikolaus Mercator (Logarithmo-technica -1668) es capaz de obtener, de la relación entre la hipérbola equilátera y los logaritmos, observada por de Saint Vincent, resultados sorprendentes. x = 1, se hace infinita en x=0. Para evitar esta y singularidad, Mercator desplaza la hipérbola en una unidad, sustituyendo 1 x por x+1 y convirtiendo su ecuación en y = 1+x .
La hipérbola equilátera
1 Aplicando el método de la división larga a 1+x , obtenemos como resultado
1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − ⋅ ⋅ ⋅ 1+x
Que continúa indefinidamente alternando el signo de los términos pares e impares. Esta es la primera transformación de una función en una serie de potencias, lo que luego llamaremos desarrollo en serie. Siguiendo la idea de Saint Vincent de que la curva logarítmica es proporcional a la cuadratura de la hipérbola, aplica la fórmula de la cuadratura, conocida para las potencias de x, a cada término de la serie, para obtener una nueva serie que identifica como log (x+1). Esta serie se conoce como serie de Mercator:
log(1 + x) = x −
x2 x3 x4 + − +⋅⋅⋅ 2 3 4
Para estos logaritmos el coeficiente de proporcionalidad entre las áreas y los logaritmos es 1, por lo que Mercator llama a sus logaritmos "logaritmos hiperbólicos".
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