7. La fórmula más bella

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Euler, antes de publicar sus libros sobre cálculo diferencial e integral, en 1745, publica la “Introductio in analysin infinitorum ” .

Después de haber desarrollado un proyecto para un tratado completo sobre análisis infinitesimal, noté que muchas cosas están mal colocadas allí, y que no son mencionadas en ninguna otra parte, por lo que deben ser presentadas de antemano, y el presente trabajo siguió de estas como precursor al análisis infinitesimal.

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La “Introductio” consta de dos volúmenes, el primero dedicado al estudio de las funciones elementales, y el segundo a la geometría de las curvas. En el capítulo octavo del primer volumen, aparece por primera vez la identidad a la que hemos dado el título honorífico de “la fórmula más bella” . Su aparición en la “Introductio” es la meta a la que encaminamos nuestra historia.

Como parece desprenderse de la cita de su carta a D’Alambert, Euler ya tenía preparados sus dos volúmenes sobre el cálculo y en la “Introductio” , probablemente, presenta resultados ya conocidos que desarrolla utilizando recursos “ exclusivamente” algebraicos.

“ .. Aunque todos ellas se desarrollan hoy en día por medio del cálculo diferencial, sin embargo, los he presentado aquí usando solamente álgebra ordinaria, para que la transición del análisis finito al análisis de los infinitos pueda hacerse más fácil. ” 15

Vamos a ver como Euler obtiene en la ”Introductio” los desarrollos en serie de las funciones exponencial y logarítmica en el capítulo séptimo del primer volumen. Como él mismo nos advierte, su enfoque es diferente al habitual del cálculo y se basa en el teorema del binomio como una regla “ avanzada” del álgebra y en su concepción de los infinitesimales como “ entes” a los que se aplican las reglas del álgebra.

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De una carta de Euler a D’Alambert De una carta de Euler a D’Alambert

Euler presupone una aritmética capaz de operar con números infinitamente pequeños e infinitamente grandes.

Los infinitesimales son “ entes” singulares porque, sumados o multiplicados por una cantidad finita continúan siendo infinitamente pequeños. Sin embargo, del producto entre un número que se hace grande indefinidamente y un infinitesimal, podemos obtener un número finito.

La división entre infinitésimos puede ser un número finito. Si n · 0 =0 para cualquier n, Euler concluye que n =0/0 es una razón arbitraria, que puede ser finita.

Un infinitésimo elevado a un exponente natural es un infinitésimo de orden superior, por tanto se puede igualar a cero.

Todas estas reglas las hemos empleado desde que hemos visto las primeras demostraciones de Fermat y se han ido aplicando por todos los creadores del Cálculo.

La definición de función en la “Introductio” (V)

“Aquí todo permanece dentro de los límites del análisis puro, de tal manera que en la explicación de las reglas de este cálculo no hay necesidad de ninguna figura geométrica. ”

Euler, en los primeros capítulos de la “Introductio” , propone eliminar toda referencia a la geometría en el análisis. Para lograr este objetivo, introduce el concepto de cantidad abstracta para definir las variables y a partir de este concepto, define su noción de función.

“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta, de cualquier manera que sea, de esta misma cantidad y de números o de cantidades constantes ”

En el prólogo de “Instituciones calculi differentialis” (1755) dice Euler:

«Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las últimas cambian, lo hacen también las primeras, se dice que las primeras cantidades son funciones de las últimas.»

En la primera definición nos encontramos con la palabra “ analítica’ . Euler tenía en mente que una expresión analítica es una expresión compuesta de magnitudes relacionadas mediante operaciones algebraicas (es decir, la adición, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la extracción de raíces ) o trascendentes (como la exponencial, el logaritmo y “ otras que aporta el cálculo integral en abundancia ”). Las funciones se dividen en algebraicas y trascendentes según consten de un número finito o infinito de operaciones elementales. Euler considera que la expresión analítica más general para una función es una serie infinita y toda función es desarrollable en forma de serie de potencias.

Para Euler, una función es continua si se encuentra definida por una única expresión analítica. La continuidad es una propiedad intrínseca de cada función y esto implica que es una propiedad global y no referida a puntos concretos o a tramos como la definimos hoy. Este concepto de continuidad, separa a Euler de la moderna concepción de función.

Euler revisará el concepto de función de la "Introductio" unos años más tarde como consecuencia de su participación y contribuciones en el debate de la cuerda vibrante.

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