6.2 los primeros desarrollos de funciones en series de potencias

Figura 6.3. Valor límite del término general de una serie

Analizamos diferentes términos generales y su dependencia de x para tender a 0, que es el criterio necesario para su convergencia.

El intervalo de convergencia, para las series más generales del tipo ∑0 ∞ an(x − c)n esta siempre centrado en c y se define como |x-c|< r . Este intervalo, r, en el que la serie converge se llama radio de convergencia de la serie y puede ser abierto o cerrado según incluya o no alguno de los valores extremos del intervalo (-r, r)

6.2 los primeros desarrollos de funciones en series de potencias

El de 1+x2 1 es una de las primeras funciones para la que se obtiene su desarrollo en serie y, como el de 1 1+x , se consigue mediante división larga. Este desarrollo se conoce como serie de Gregory.

Figura 6.4. Desarrollo en serie de 1/(1+x2)

1/(1+x2) por división larga nos da:

y = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 − ... + (−1)nx2n

En la representación gráfica de la función y la serie, podemos observar que la serie solo se ajusta a la función en un radio de |x| < 1.

¿Qué obstáculo impide que deje de converger para |x|≥1?

No hay respuesta (de momento…) a este comportamiento, como no la teníamos para 1/(1+x) donde la función se hacia infinita en x=-1 .

Si analizamos el valor de la función y de la serie para x=1 vemos, como en el caso de

1

para la función obtenemos 2 y haciendo x=1 en la serie obtenemos: 1

1 + x

, que

y = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

que toma valor +1 o -1 según el número de términos que se consideren. En la representación gráfica se observa muy bien esta alternancia comparando las gráficas de la serie con número par e impar de términos. Además se puede ver en la gráfica como para valores mayores a 1 la serie tiende alternativamente a más menos infinito.

Newton propuso para valores “ grandes ” de x la serie:

que se ajusta a la función para valores fuera del entorno|x| ≤1.

Podemos obtener la integral de la función , mediante el método gráfico que hemos empleado para ilustrar el significado de la integral definida. La función integral que dibujamos es una de las funciones trigonométricas básicas que estudiaremos más adelante. Ahora lo que nos interesa es ver como la integración término a término de la serie para valores “ pequeños ” y de la serie para valores “ grandes ” se ajustan a la integral dibujada para 1 .

La integral de la serie para valores “ grandes ” requiere de una constante de integración diferente para los valores positivos (π/2 ) y negativos (- π/2 ).

y = x −2 − x −4 + x −6 − x −8 + ...

x2+1

1 x2+1