4.4 La integral definida

Hemos visto como el problema de las áreas bajo una curva queda resuelto según el teorema general del cálculo obteniendo su anti derivada. Es sin duda la manera más sencilla de obtener el área bajo una curva una vez conocida su ecuación.

Hemos visto también como Fermat procedía mediante la suma de rectángulos de base infinitesimal y de altura dada por la ecuación de la curva. Tenemos pues dos aproximaciones al cálculo del área bajo una curva. El método “ revolucionario” mediante la obtención de la anti derivada y el método “ clásico-geométrico” de obtención de las sumas de los rectángulos infinitesimales. Obviamente ambos métodos nos deberían conducir al mismo resultado y curiosamente en este punto Newton y Leibniz optan por priorizar aproximaciones diferentes. Leibniz opta por definir la integral como la suma de áreas infinitesimales.

El área bajo una curva se obtiene dividiendo el intervalo de integración en pequeños elementos Δx. Para cada uno de estos elementos, la función toma un valor y puede aproximarse el area del rectángulo de base Δx, tomando un valor de la función en el intervalo Δx. La integral definida es la suma de estas áreas, cuando la base de los rectángulos Δx disminuye, y se confunde con dx. La integral es pues una suma de infinitos términos, lo que en principio parece algo difícil de ejecutar, o al menos de acabar de ejecutar en un tiempo finito. (La suma no esta definida para un número infinito de sumandos).

Esta interpretación de la integrales es igual a la planteada por Fermat y recuerda la idea de los indivisibles de Cavalieri y su descomposición de un área en líneas de grosor infinitesimal. La imprecisión del concepto de infinitesimal nos vuelve a llevar a un terreno intuitivamente correcto pero con una fundamentación endeble.

Figura 4.10. Interpretación de la integral definida

Si consideramos un incremento de x pequeño (Δx) , podemos calcular el área de un rectángulo de base Δx y altura f(x), o un rectángulo de base Δx y altura f(x+ Δt). El área bajo la curva para Δ x es una cantidad entre el primer valor y el segundo. Podemos deducir dos cosas:

El área bajo la curva entre una x=a y x=b será la suma de todos los rectángulos que podamos formar de base Δx entre a y b y su valor será intermedio al de la suma superior, cuando tomamos como valor de la función el mayor del intervalo, e inferior, cuando tomamos como valor de la función el menor del intervalo.

Al disminuir Δ x las dos sumas superior e inferior se aproximan una a la otra y al valor del área bajo la curva.

Podemos comprobar la propiedad aditiva de la integral definida moviendo los límites de integración con el deslizador. Si movemos el límite superior de integración vamos obteniendo un valor del área bajo la curva que trasladamos al punto de color. Al mover el deslizador nuestro punto va describiendo un recorrido que representa la función integral.

4.4.1 La notación de Leibniz

El símbolo elegido por Leibniz para la integración, con su forma de S, quiere expresar el sumatorio de elementos en los que se basa su concepto de integral, para el cálculo de la magnitud del área bajo la curva en ese intervalo [a,b]:

que según el teorema general del cálculo es igual a P(b)- P(a).

Para designar una primitiva de f(x) emplea:

Lo que esta notación nos dice es que la variable x de la función primitiva se corresponde con el extremo del intervalo de integración, es decir, que P (x) es el valor del área bajo f (t), desde t = c, hasta t = x.

Por esta razón hemos puesto t en lugar de x, diferenciando el valor de la variable en el intervalo y su valor en el extremo del intervalo de integración. Si suprimimos la concreción del intervalo de integración y añadimos la constante de integración nos queda la notación para una función primitiva:

b

f(x) dx

a

x P(x) = ∫ f(t) dt c

∫ f(x) dx = P(x) + C

f(x) dx = ∫

x

f(t) dt +

c C

A pesar de utilizar el mismo símbolo de la integral definida estas expresiones tienen un significado muy diferente.

, es una función primitiva de f(x).

∫ , es una primitiva en concreto, aquella que es 0 en el punto x = c.

∫ , es un número, que representa la magnitud del área definida por f(x) entre x = a y x = b

f(x) dx

c x f(x) dx = P(x)

a b f(x) dx

4.4.2 El signo de las áreas

El segundo teorema del cálculo nos define áreas de signo positivo y negativo según lo sea P(b) - P(a). Si el intervalo de integración es b > a , las áreas sobre el eje X (y positivas ) son positivas y bajo el eje X negativas. En caso contrario, es decir, el intervalo de integración se define de derecha a izquierda, las áreas sobre el eje X (y positivas ) son negativas y las áreas bajo el eje X (y negativas ) son positivas.

Para calcular correctamente el área bajo una curva es necesario tener en cuenta esta regla sobre los signos, para no sumar algebraicamente áreas positivas y negativas. En el intervalo de integración la curva no debe cambiar de signo si queremos obtener un resultado que se corresponda con la magnitud del área desde el punto de vista geométrico. Por este motivo el procedimiento habitual para el cálculo de áreas comienza con la obtención de las raíces de la función a integrar, eligiendo estos valores de x como extremos de los intervalos de integración, podemos calcular por separado las áreas positivas y negativas del intervalo. Para obtener un resultado geométricamente correcto sumaremos su valor absoluto.