4.4 La integral definida Hemos visto como el problema de las áreas bajo una curva queda resuelto según el teorema general del cálculo obteniendo su anti derivada. Es sin duda la manera más sencilla de obtener el área bajo una curva una vez conocida su ecuación. Hemos visto también como Fermat procedía mediante la suma de rectángulos de base infinitesimal y de altura dada por la ecuación de la curva. Tenemos pues dos aproximaciones al cálculo del área bajo una curva. El método “revolucionario” mediante la obtención de la anti derivada y el método “clásico-geométrico” de obtención de las sumas de los rectángulos infinitesimales. Obviamente ambos métodos nos deberían conducir al mismo resultado y curiosamente en este punto Newton y Leibniz optan por priorizar aproximaciones diferentes. Leibniz opta por definir la integral como la suma de áreas infinitesimales. El área bajo una curva se obtiene dividiendo el intervalo de integración en pequeños elementos Δx. Para cada uno de estos elementos, la función toma un valor y puede aproximarse el area del rectángulo de base Δx, tomando un valor de la función en el intervalo Δx. La integral definida es la suma de estas áreas, cuando la base de los rectángulos Δx disminuye, y se confunde con dx. La integral es pues una suma de infinitos términos, lo que en principio parece algo difícil de ejecutar, o al menos de acabar de ejecutar en un tiempo finito. (La suma no esta definida para un número infinito de sumandos). Esta interpretación de la integrales es igual a la planteada por Fermat y recuerda la idea de los indivisibles de Cavalieri y su descomposición de un área en líneas de grosor infinitesimal. La imprecisión del concepto de infinitesimal nos vuelve a llevar a un terreno intuitivamente correcto pero con una fundamentación endeble.
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