3.2 Grégoire de Saint Vincent

Grégoire de Saint Vincent (Opus geometricum, 1647) estudiando la cuadratura de la hipérbola equilátera y · x =1 llega a la conclusión de que si tomamos a lo largo del eje X puntos, de manera que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, las áreas definidas bajo la hipérbola por dos puntos consecutivos son iguales. Según crece la abscisa geométricamente, el área contenida crece aritmeticamente.

Si a partir de x=1, tomamos puntos A, B, C,

··· , tales que las áreas delimitadas entre ellos y la hipérbola sean iguales, se cumple :

Área 1-B = 2 Area 1-A

Área 1-C = 3 Area 1-A

Área 1-N = n Area 1-A

Y comprobamos que los puntos que hemos seleccionado estan en una progresión geometrica en base A:

y por lo tanto, podemos poner:

log B = 2 log A, log C = 3 log A, …, log N = n log A

En definitiva el logaritmo de un número N es proporcional al área bajo la hipérbola desde 1 a N.

El descubrimiento de esta relación entre la función logarítmica y la hipérbola equilátera es una aportación temprana al problema de las cuadraturas, pero Saint Vincent no supo ponerla en un contexto más general. B = A , C = A , ⋅ ⋅ ⋅ , N = A

2 3 n

Figura 3.2. Áreas bajo la hipérbola

A partir de un punto A situamos los puntos B, C y D de modo que sus abscisas estén en progresión geométrica de razón= r.

Trazando rectas verticales que pasan por los puntos definidos podemos observar que cortan a la curva logarítmica definiendo los puntos A1, B1, C1 y D1 sobre el eje Y, separados por una distancia igual para todos ellos.

Podemos comprobar que quedan definidas bajo la hipérbola, entre los puntos seleccionados, áreas iguales. Estas áreas no varían de magnitud al modificar la base de la función logarítmica,(moviendo el deslizador b). Situando el punto A en 1, movemos el deslizador “ r ” , para posicionar el punto B. Moviendo el deslizador de la base de la función logarítmica para que y(B1)=1. Podemos comprobar que la base obtenida es igual a x(B), como corresponde por la propiedad de la función logarítmica, ya que logb b = 1, para todo b. ¿Podemos situar B de tal forma que el área bajo la hipérbola sea igual a 1? En esta base, resulta que el coeficiente de proporcionalidad entre áreas y logaritmos es 1.