Guia Docente • A duo 4 • Matemática • Primera Parte

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Índice Guía Docente Introducción general

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Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad ................................... 4 Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas ............................................................... 6

¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? ......................... 12 Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita ................................... 13 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones .................................................................... 14 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales ................................................... 16 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría .......................................................................... 18 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida ................................................................................. 20

Orientaciones didácticas

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Capítulo 1 ................................................................................ 23 Numeración .................................................................... 23 Operaciones .................................................................... 27 Geometría ......................................................................... 31 Capítulo 2 ................................................................................ 34 Numeración .................................................................... 34 Operaciones ..................................................................... 37 Geometría ......................................................................... 41

Capítulo 3 Medida Numeración Operaciones Capítulo 4 Numeración Operaciones Geometría Capítulo 5 Operaciones Numeración Geometría Capítulo 6 Geometría Numeración Operaciones Capítulo 7 Numeración Operaciones Geometría Capítulo 8 Operaciones Numeración Medida

Recursos TIC

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Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC ............................................................ 115 Recursos TIC por capítulo ............................................. 118

Introducciรณn general

Introducción general Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad1 La situación de interrupción de la asistencia presencial a las aulas de todos los establecimientos educativos a partir de la ASPO, instalada para enfrentar la pandemia COVID-19, lleva a que, inevitablemente, debamos hacer alusión a este contexto tan particular compartiendo algunas ideas destinadas a favorecer la revinculación de las y los alumnos con un cierto modo de funcionamiento áulico –en el marco del enfoque que sostenemos para el trabajo matemático en la clase–, como así también, que posibiliten reconocer distintas experiencias y puntos de partida que se presenten respecto a cada uno de los contenidos y problemas que se planteen.

Más allá de que, es posible, que el trabajo con contenidos del área de Matemática (principalmente, los que corresponden a los ejes Números naturales y Operaciones) haya ocupado una importante porción de los distintos planes y propuestas de continuidad pedagógica y de los materiales oficiales que han circulado, los diversos modos de retorno presencial a las escuelas (presencial, semipresencial, en “burbujas”) demandarán acuerdos, en el ámbito institucional, que contemplen la articulación, selección, progresividad y alcance de los contenidos que se prioricen, de la organización de los tiempos y los espacios, como así también, de los tipos de problemas y los modos de trabajo que se propongan en el aula (y en los hogares).

Estos asuntos se deben apoyar en la información que los equipos docentes hayan podido construir basándose en las trayectorias de las y los alumnos, el recorrido realizado y las condiciones para la enseñanza y el aprendizaje que hayan estado al alcance, con la complejidad y diversidad involucrada.

Algunas de las preguntas iniciales para reorganizar la tarea podrán referirse a ¿qué contenidos se priorizaron para el período de excepcionalidad?, ¿qué problemas se trabajaron con mayor sostenimiento?, ¿qué conocimientos se consideran disponibles en los alumnos para que inicien los procesos de resolución?, ¿en cuáles portadores de información matemática tuvieron la oportunidad de apoyarse?, ¿resolvieron mediante diversas estrategias o empleando solo técnicas como los algoritmos?, ¿qué avances es posible identificar y proyectar a partir de la comunicación –de la manera que haya sido– y de las producciones de los alumnos a las que se pudo acceder?, ¿qué dificultades surgieron?, ¿qué estrategias de enseñanza se probaron o se podrían explorar en relación con esas dificultades?, ¿cuáles alumnos tuvieron acceso o pudieron realizar las propuestas tanto en formato impreso como virtual y cuáles, no?, ¿qué trabajo podríamos realizar para retomar lo que sí pudieron realizar y restituir aquello que no pudieron realizar? Estos entre otros asuntos.

Recuperar, retomar y profundizar conocimientos constituyen propósitos centrales para organizar las respuestas y las decisiones que se deriven de esas y otras preguntas:

1 La situación mundial de emergencia sanitaria declarada en el año 2020 llevó a suspender las clases presenciales en todo el país. Las orientaciones que se desarrollan en este apartado se centran en las condiciones que se podrán dar en las aulas a partir de los progresivos y diversos modos de regreso de las y los docentes y las y los alumnos a las mismas. No obstante, se considera que estos aportes constituyen estrategias para enseñar Matemática considerando la diversidad que caracteriza a todos los grupos, más allá de esta situación de excepcionalidad presentada.

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Introducción general • Recuperar los conocimientos que sabemos que las y los alumnos tienen disponibles para poder revisarlos y enriquecerlos.

• Retomar aquello que se ha trabajado de manera excepcional con la intención de que constituya una nueva oportunidad para los alumnos que tuvieron escasos o nulos vínculos con las propuestas enviadas; por ejemplo, planteando problemas similares, pero con la posibilidad de resolverlos en pequeños grupos y con el acompañamiento del docente. Esta instancia, también, resulta una nueva ocasión de aprendizaje para los alumnos que sí pudieron resolverlos, pero que no tuvieron la oportunidad de comparar diferentes modos de resolución, justificar los procedimientos realizados, analizar los errores, etc., (prácticas que, por su misma naturaleza, con seguridad, no han podido desplegarse en las tareas realizadas en los hogares), recibir explicaciones para aquello que no llegaban a comprender del todo, identificar saberes que debían retener para volver a utilizarlos en situaciones nuevas.

• Profundizar porque justamente los encuentros en las aulas permiten interactuar de otra manera con los problemas y, a la vez, introducir otros que, por los propósitos que se persiguen o por la complejidad que involucran, resultan imposibles de proponer en contextos de no presencialidad o virtualidad.

La vuelta presencial a las aulas requerirá fundamentalmente de acuerdos institucionales que organicen una gradualidad más amplia en unidades pedagógicas (de tal manera que permita priorizar y distribuir los contenidos disponiendo de un tiempo más extenso para su tratamiento y para volver a “visitarlos”) y de agrupamientos de las y los alumnos flexibles y periódicos (es decir, que se decidan en virtud de los recorridos y conocimientos identificados y que se alternen o se cambie su composición de acuerdo con ellos).

En el libro presentamos secuencias de problemas de complejidad creciente lo que permite que ustedes puedan tomar diferentes decisiones, de tal manera que quizá, con algunos grupos, haya que detenerse un mayor tiempo en el trabajo con un tipo de problema, volver sobre problemas del mismo contenido, que están en capítulos anteriores, o resolver más problemas similares; mientras que, con otros, se pueda avanzar o trabajar con los problemas del capítulo, etcétera.

Valoramos la oportunidad para que las instancias de “Para pensar entre todos” se constituyan en momentos en los que el grupo, en su totalidad, pueda abordarlas de manera conjunta, más allá de los recorridos previos que hayan tenido para llegar a cada una de ellas.

Un asunto derivado de la complejidad que presentarán las aulas y la organización institucional tendrá que ver con la optimización de los tiempos, principalmente de aquellos con los que la y el docente cuente para trabajar de manera presencial con sus alumnos. Destacamos la importancia de analizar cuáles situaciones son las más convenientes para que los alumnos las puedan realizar en sus hogares y cuáles las que necesitan de forma imprescindible la interacción en el aula con los compañeros y con el docente. Algunos ejemplos de estas últimas pueden ser: • aquellos problemas para los cuales las y los alumnos aún no disponen las herramientas canónicas y para los que se tiene el objetivo que la comparación de diferentes producciones constituya una oportunidad para acercarlos a ellas; • las situaciones que se planifican en torno a juegos; • problemas que presentan varios datos, requieren varios pasos o tienen una complejidad que hace indispensables las interacciones, tanto con la y el docente como entre las y los alumnos, ya sea para resolverlos o para propiciar avances en relación con esos procedimientos.

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Introducción general Consideramos que, en estos casos, el valor didáctico se reduce en forma considerable, o directamente se anula si se proponen para ser resueltas de manera individual, en los hogares o de manera virtual, etcétera.

Estas ideas están construidas para anticipar ciertos fenómenos que, consideramos, se presentarán en el retorno presencial a las aulas; seguro, esta realidad inédita determinará otras cuestiones y otros factores que haya que considerar y articular con las ideas que hemos compartido. Destacamos, en todos los casos, su tratamiento y abordaje institucional.

Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas ¿Qué posibilidades ofrece este material editorial para trabajar tanto en la presencialidad como también en la virtualidad?

Todos coincidimos en que trabajar en la presencialidad nos permite: • desplegar una diversidad de estrategias de enseñanza, muchas veces relacionadas con lo que va ocurriendo en la clase; • realizar intervenciones según lo que vamos interpretando “en vivo” acerca de la resolución de los alumnos y en el momento en que están trabajando para que puedan avanzar con sus producciones; • agrupar a los niños atendiendo a la diversidad para lograr intercambios que, seguramente, favorecerán sus aprendizajes, etcétera.

Sin embargo, la propuesta Estrada A Dúo digital nos proporciona materiales para que las y los niños puedan trabajar desde su hogar, en forma individual o en pequeños grupos a través de medios digitales, cuando dispongan de esta posibilidad. Esta disponibilidad permitirá seleccionar algunos trabajos para hacer de modo autónomo y otros para desplegar en espacios compartidos de clase.

Otro aporte que consideramos valioso es la inclusión de problemas geométricos en el programa Geogebra. Sugerimos la lectura de la introducción Acerca de la enseñanza a través de las TIC (Página 115) para obtener mayor información al respecto.

Esta nueva realidad nos lleva a las y los docentes a tener en cuenta en la planificación de la enseñanza para cada contenido, o para cada capítulo del libro, qué problemas son indispensables para trabajar en la escuela en forma presencial y cuáles podrán hacer las y los alumnos en sus casas, que luego serán discutidos con pares y con el docente en un espacio presencial o virtual sabiendo que para esta última instancia nos encontraremos con una gran diversidad de posibilidades.

¿Cómo podemos recurrir a propuestas de diferentes niveles para trabajar el mismo aspecto de un contenido contemplando la diversidad de conocimientos de las y los alumnos?

Las y los docentes disponen en formato digital de la serie Estrada A Dúo para seleccionar, en caso de que sea necesario, problemas de años anteriores a los correspondientes al año en el que dicta clases o para tener el horizonte de hacia dónde se dirige la propuesta del ciclo completo, tomar nuevos problemas más desafiantes para algunos alumnos, etcétera.

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Introducción general En esta serie, proponemos una secuenciación en el tratamiento de los contenidos.

Estamos pensando en que, en un mismo grupo, el docente tenga la posibilidad de armar subgrupos con propuestas del mismo contenido con diferentes grados de dificultad, pero que luego permitan compartir lo realizado, hacer la puesta en común, analizar aspectos seleccionados por la o el maestro, y llegar a conclusiones comunes con la participación de todos los alumnos.

¿Cuál es la intención de ofrecer juegos en todos los capítulos? ¿Cómo los gestionamos?

En la apertura y desarrollo de cada capítulo, se ofrecen juegos relacionados con aspectos del contenido sobre el que se pretende avanzar.

Cada juego, por un lado, forma parte de una serie de problemas y, por el otro, es asimismo un desafío, que esperamos que genere aprendizajes, en el que el alumno tenga que tomar decisiones acerca de qué conocimientos utilizar y luego dar razones sobre ellos. Además, como señalamos, en el desarrollo del capítulo, se plantean problemas que remiten al juego.

Seguramente, la instancia de juego será una de las propuestas que seleccionaremos para la presencialidad, ya que requiere de jugar con otros compañeros. Podrán volver a jugar en casa con algún miembro de la familia o, también, en encuentros virtuales si no cuentan con la primera posibilidad.

Coincidimos en que no puede faltar luego de jugar, de manera presencial o virtual, un espacio colectivo de análisis: la reflexión acerca de lo que hicieron, cuáles fueron las discusiones acerca de los diferentes procedimientos usados y el pedido de argumentaciones acerca de la validez de lo producido.

¿Cómo están secuenciados y distribuidos los contenidos en cada capítulo?

En los diferentes capítulos, encontrarán propuestas relativas a los ejes propuestos para la enseñanza de la Matemática y no sobre un único contenido. La decisión de organizar la secuenciación y distribución de contenidos de esta manera fue pensada teniendo en cuenta: • Para cada uno de los grandes contenidos propuestos en los lineamientos curriculares, hay diferentes aspectos que consideramos que no pueden ser abarcados simultáneamente, ya que se pretende una mayor profundización en cada uno de ellos.

• Las y los alumnos, por diversas razones, no aprenden todos lo mismo y al mismo tiempo. Serán necesarias, entonces, diversas aproximaciones a un mismo contenido a través de diferentes problemas con distinto grado de profundización y en diferentes momentos.

• Los aprendizajes requieren un largo plazo por lo que distribuirlos de esta manera habilita varias estaciones de recupero durante un ciclo escolar, al mismo tiempo que permite establecer relaciones entre diferentes contenidos.

• La experiencia nos lleva a pensar también en los tiempos que es posible sostener el interés de las y los alumnos alrededor de un mismo contenido. En muchas ocasiones, nos damos cuenta de que estos tiempos se agotan tanto para los alumnos como para los y las docentes. Muchas veces es necesario un cambio de eje y aceptar la provisoriedad de los contenidos, que retomaremos en otro momento.

¿Cuál es la intencionalidad de que los contenidos estén secuenciados en toda la serie?

Si bien hace ya muchos años que, en los lineamientos curriculares del área, se propone una secuenciación de los contenidos, de los modos de hacer y pensar que son propios de la Matemática, en esta situación que atravesamos, se vuelve aún más necesario.

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Introducción general Gran parte de los contenidos se repiten no solo en el interior o dentro de cada año, sino también, a lo largo de los diferentes años. Esto se apoya en la idea de que la construcción de la mayoría de los conocimientos se produce en plazos largos. Con seguridad, la heterogeneidad de conocimientos disponibles en nuetras y nuestros alumnos será muy grande y la mejor opción para incluirlos a todos y que puedan hacer Matemática será tener en cuenta y elegir las propuestas para estos grupos diferenciados, flexibles y pensados estratégicamente.

¿Por qué incluimos problemas extras destinados a trabajar contenidos con un grado de dificultad que puede corresponderse con grados anteriores? ¿Por qué consideramos que pueden resultar un buen apoyo y punto de partida para aquellos alumnos cuyos conocimientos disponibles no les permiten iniciar directamente el trabajo con los problemas incluidos en el libro?

La situación de interrupción de la asistencia presencial a los establecimientos educativos, seguramente, ha ocasionado diferentes impactos en las trayectorias escolares de las y los alumnos.

Estos han estado derivados, entre otros varios factores, de las diferentes oportunidades que hayan tenido para vincularse con las propuestas de continuidad pedagógica, las producciones que pudieron desplegar (de manera individual o con ayuda) y los conocimientos que identificaron tanto para iniciar procedimientos de resolución como respecto a los avances a partir de ponerlos en juego.

El enfoque que sostenemos para la enseñanza de la Matemática asume como un potencial (y no un obstáculo) la diversidad que caracteriza a todo grupo de estudiantes, de tal manera que esos diferentes puntos de partida puedan ser reconocidos para propiciar la identificación de diversas opciones para la resolución, sus relaciones, diferencias y conveniencias.

También, las interacciones entre alumnos que enfrentan diferentes niveles de dificultad y progresividad de los conocimientos matemáticos pueden constituirse, bajo ciertas condiciones didácticas, en instancias propicias para identificar regularidades, es decir, características y propiedades que permanecen constantes más allá del grado de profundidad por la que se vaya transitando su estudio. Por ejemplo, los aportes de un grupo que esté trabajando con un problema que requiere leer y comparar números hasta el 1.000 pueden resultar fructíferos para otros grupos a los que se les haya asignado un problema de características similares, pero con intervalos numéricos mayores. Este aspecto quizá no hubiera sido posible de revelar si la clase estuviera centrada en una dimensión más acotada de esos contenidos, como por ejemplo, la que se dispone para un determinado grado de la escolaridad.

El contexto de excepcionalidad y aislamiento no solo puede haber dado lugar a frustraciones con respecto a las tareas en las y los alumnos que más acompañamiento por parte del docente requieren (entre otros motivos), sino que dejó más a la vista las enormes desigualdades presentes en nuestra sociedad.

Reconocemos que esta realidad compleja requiere de varias y diversas estrategias e intervenciones por parte del equipo docente y, a su vez, de una variedad de recursos didácticos que puedan ser puestos a disposición de acuerdo con los propósitos que se planteen. En este sentido, y con el objeto de contribuir a este último aspecto mencionado, al finalizar las orientaciones de los problemas de cada capítulo, hemos decidido incluir una serie de problemas que corresponden a los mismos contenidos que cada capítulo aborda, pero que tienen un grado de dificultad menor.

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Introducción general Ustedes podrán tomar diferentes decisiones didácticas respecto a ellos (darlos como parte de la tarea a todo el grupo, destinarlos a las y los alumnos que puedan requerirlo antes de abordar los problemas que están en el libro, entre otras).

Para muchos, tal vez, las últimas oportunidades que tuvieron de interactuar con ciertos contenidos se hayan dado hace más de un año, (por ejemplo, las y los alumnos de cuarto año para evocar alguna experiencia escolar con determinado conocimiento quizá deban tener que remitirse a lo realizado en segundo año), por eso, esos problemas y otros que ustedes seleccionen, pueden resultar fértiles para propiciar esas relaciones y reconocimientos.

Queremos remarcar que la inclusión de estos apartados no se ofrece con la intención de que un grupo de alumnos “trabaje menos” o solamente resuelva tareas “más sencillas” y que la propuesta para ellos termine allí mientras el resto de la clase resuelve otros problemas “más complejos”. Lo que pretendemos es que constituyan una herramienta que permita recuperar determinados conocimientos y ciertas relaciones que se constituyan en puntos de apoyo para abordar, en mejores condiciones, los problemas que se presentan en el libro para todo el grupo.

¿Por qué razón no incluimos especificaciones referidas a qué tipo de organización de la clase corresponde a cada problema? ¿Cuáles son los argumentos por los cuales valorizamos la posibilidad de considerar agrupamientos variados y flexibles para el trabajo con un problema o un grupo de problemas?

Entre los diferentes asuntos que debe decidir un docente en el momento de planificar el trabajo con cada problema, se halla la organización de la clase (de manera individual, en parejas, pequeños grupos, etc.), que puede determinarse con diferentes finalidades (para distribuir diferentes tareas, porque la complejidad del problema requiere que sea abordado en parejas debido a que se necesitan intercambios para arribar a la respuesta, porque se disponen instancias para intercambiar y comparar producciones, etc.), porque las consignas lo predeterminan (por ejemplo, el tipo de agrupamiento que dispone cada juego), por solo mencionar algunos de los factores que pueden considerarse como referencia.

Una escena habitual que suele darse en las aulas tiene que ver con que estos agrupamientos se establecen de manera uniforme, es decir, toda la clase trabaja en parejas, en grupos de tres o cuatro o de manera individual, entre otras posibilidades. Más allá de estas modalidades, queremos destacar el valor didáctico que tiene la posibilidad de establecer diferentes organizaciones en el aula de acuerdo con las necesidades que se presenten. Por ejemplo, mientras para algunas y algunos alumnos que pueden trabajar con cierta autonomía, se dispone que resuelvan de manera individual; para otros, se puede proponer un trabajo en parejas, de tal manera que esos intercambios permitan tomar decisiones acerca de los conocimientos y procedimientos a poner en juego.

La diversidad presente en las aulas, incrementada en gran medida por las circunstancias excepcionales mencionadas, requerirá inevitablemente de diversos modos de organización en virtud de los recorridos, avances y dificultades que se puedan identificar. Esta realidad, compleja de anticipar y muy dinámica, es probable que requiera de decisiones diarias que, a su vez, se alternen y diversifiquen de acuerdo con los impactos que provoquen y con las evaluaciones que realice el y la docente. Incluso, concebimos que estos agrupamientos excedan la composición de“un determinado grado y grupo escolar”, que puedan ir más allá, y que optimicen las posibilidades que permita cada institución, por ejemplo:

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Introducción general • que ante determinados problemas algunas y algunos alumnos de tercero puedan trabajar con las y los de segundo año, o se modifiquen las divisiones de un mismo grado, etcétera; • optimizar el equipo docente para concretar estos escenarios que, en muchos casos, alteran en forma considerable la organización escolar tradicional. Por ejemplo, incluir a los integrantes del equipo de orientación escolar o del/la bibliotecario/a, de tal manera que haya una mejor gestión y acompañamiento del trabajo con cada una de esas propuestas.

Por esta razón, en cada uno de los problemas del libro, no hallarán indicaciones referidas al modo de agrupamiento sugerido (salvo como mencionamos en aquellos casos predeterminados, como pueden ser, las reglas de un juego) para que ustedes puedan decidir, en conjunto con los otros integrantes de la institución, en virtud de la variedad, flexibilidad y dinámica que esta realidad compleja requiera.

¿Por qué incluimos Estrategias para estudiar Matemática, Actividades para seguir estudiando y la Caja de Herramientas en la Carpeta A Dúo?

El recorrido que se propone a lo largo del libro es acompañado por la Carpeta A Dúo, que contiene fichas con estrategias para estudiar Matemática y actividades que complementan el trabajo de cada capítulo para que las y los alumnos puedan volver sobre ellas de manera un poco más autónoma y como forma de practicar algunos de los asuntos que se fueron identificando.

Estudiar siempre requiere volver de una manera reflexiva sobre lo realizado. En el caso específico de la Matemática, se trata de poder identificar lo aprendido, establecer nuevas relaciones entre los diferentes conocimientos que se fueron elaborando para integrarlos en un marco más general –reconociendo qué guardan en común–, identificar puntos de dificultad y cómo fueron o pueden ser subsanados, reconocer lo que aún queda pendiente, practicar aquello sobre lo cual se ha avanzado para que pueda quedar más establecido o reafirmado, resolver los mismos o similares problemas si es necesario retomar la acción sobre ellos, etcétera.

En el libro, especialmente, en “Para pensar entre todos”, encontrarán vueltas de análisis “hacia atrás” para reflexionar sobre lo que se hizo y avanzar. Este material complementario, también, intenta aportar al proceso de estudio de las y los alumnos.

Subrayamos que la práctica de estudio necesita ser enseñada y acompañada por la o el docente.

Asimismo, señalamos que, el material puede ser extendido según el recorrido particular que tiene lugar con cada grupo de alumnas y alumnos, es decir, la o el docente evaluará si es necesario la preparación de otras actividades similares o no que se adapten, mejoren o completen las propuestas.

¿Por qué proponemos instancias de análisis colectivo en la clase en “Para pensar entre todos”?

A lo largo del recorrido de las actividades, encontrarán momentos en los que se propone un espacio de análisis colectivo bajo la consigna“Para pensar entre todos“. Por supuesto, el o la docente organizará además otros espacios con la clase en otros momentos en que lo crea oportuno, ya sea para comunicar una actividad, para analizar lo que se haya producido en su resolución o, quizá, pueda necesitar explicar o retomar algo con todos mientras están resolviendo.

Los apartados “Para pensar entre todos“ proponen aspectos de los contenidos trabajados para analizar con la clase completa a partir de lo realizado por las y los alumnos en las actividades. Además de difundir procedimientos o ideas puestas en juego por algunas o algunos niños para todo el

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Introducción general grado, se trata de analizar los conocimientos que van conduciendo las resoluciones, las relaciones entre las diferentes estrategias (qué tienen de común y qué de diferente).

Asimismo, es un espacio para analizar errores frecuentes: cuáles son las ideas que conducen a producir esos errores, bajo qué condiciones esas ideas podrían ser válidas, por qué no lo son frente al problema que se está analizando. Se apunta a promover momentos de reflexión que permiten avanzar no sólo a los autores de las producciones “erróneas” sino a toda la clase porque llevan a explicitar relaciones referidas al contenido que se está trabajando y también a utilizarlas para argumentar sobre la validez de los procedimientos o afirmaciones que se analizan.

Se trata de ir articulando espacios de la clase individuales, de a dos o en pequeños grupos y entre todos –espacios más privados y más públicos– en la elaboración de conocimientos. Estos momentos colectivos permiten al docente, además, recuperar lo realizado por sus alumnos para brindar explicaciones o identificar saberes que se asuman como compartidos por toda la clase a partir de lo elaborado hasta el momento. Es una de las razones por las cuáles es importante ir observando los diferentes procedimientos y, cuando es posible, los procesos de resolución para poder retomar los conocimientos puestos en juego. Comprender las ideas que subyacen a las estrategias de las y los niños puede requerir muchas veces de dialogar con ellos para que puedan explicar lo que pensaron. Insistimos en que se trata de sugerencias. La o el docente decidirá los momentos en los cuales abrir a un espacio colectivo y qué aspectos del trabajo realizado retomar.

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?

¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?

Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita El aprendizaje y la enseñanza del sistema de numeración recorren toda la escuela primaria y continúan en la escuela media. En primer ciclo, las alumnas y los alumnos han desarrollado un fuerte trabajo sobre los números naturales. Seguramente, han recorrido situaciones de uso de los números en las que han tenido que leer, anotar, comparar y ordenar números escritos, así como resolver cálculos, y han reflexionado con sus compañeros bajo la guía del docente. En efecto, disponen de conocimientos sobre diferentes funciones sociales de los números, sobre su designación oral, sobre el sistema de numeración escrita y sus propiedades, sobre algunas relaciones entre los números; y a la vez, comenzaron a explorar sus relaciones internas (cómo se encuentran organizados, algunas descomposiciones posibles) y cómo pueden vincularse con cálculos.

En el segundo ciclo, se trata de estabilizar y ampliar los aprendizajes numéricos del primer ciclo sabiendo, por ejemplo, que la extensión del intervalo a números mayores no supone la transferencia automática de los conocimientos que las niñas y los niños han elaborado para números menores. El estudio de números mayores permitirá enriquecer la comprensión de la numeración (oral y escrita) y movilizar sus propiedades en cálculos. En efecto, se trata asimismo de avanzar en la comprensión de la estructura que organiza la numeración escrita, en poder considerar los números desde distintos puntos de vista y comprender las relaciones dialécticas que guardan numeración y cálculos, y cómo los conocimientos sobre una permiten puntos de apoyo para los otros.

La propuesta del trabajo con los números naturales, entonces, abarca tanto la resolución de problemas que apelan o remiten a situaciones prácticas como el cálculo de puntajes de un juego o de una cantidad de dinero, como instancias que invocan reflexiones más conceptuales o teóricas, por ejemplo, la de reflexionar sobre la equivalencia entre diferentes descomposiciones numéricas o identificar cómo y por qué es posible conocer resultados de cálculos a partir de analizar la notación numérica.

La ubicación de números naturales en rectas numéricas, que sabemos que resulta difícil y deberá contar con acompañamiento del docente, busca profundizar el análisis de las relaciones de orden con diferente grado de precisión (rectas con graduaciones de 1.000 en 1.000, de 100 en 100, de 10 en 10). Este contexto, además de poner en juego las relaciones de orden, conlleva la exigencia de considerar la distancia entre los números. En efecto, no basta con identificar cuál va antes y cuál después, sino que se hace necesario saber a qué distancia se encuentra de otro u otros, considerados como referencias.

El segundo ciclo profundiza el trabajo sobre la organización de los números escritos en agrupamientos de a 10. En cuarto grado, se proponen, por ejemplo, situaciones en las que se trata de agrupar cantidades o de avanzar o retroceder de 10 en 10, de 100 en 100, de 1.000 en 1.000 para pasar a vincular esta organización con la resolución de cálculos, como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que involucran 10, 100 o 1.000. Estas situaciones constituyen una base para analizar de manera más general cómo es posible resolver esos cálculos mentalmente analizando el número y cómo se transforma a partir de ellos. Es decir, cómo es posible movilizar las propiedades de los números en cálculos.

En cuanto a la denominación que reciben las diferentes posiciones en la notación numérica (unidades, decenas, centenas, etc.), son introducidas no para insistir en un vocabulario específico,

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? sino en su significado en términos de comprensión de la organización del número, de la relación que guardan entre sí las diferentes posiciones y con los cálculos. De la misma manera que, en las otras situaciones que remiten al análisis de las escrituras numéricas para los problemas en los que se recurre a la denominación de las diferentes posiciones, no se apunta a proponer ejercicios estereotipados de decodificación, sino a brindar oportunidades para que los alumnos y las alumnas puedan extraer información sobre el número a partir de una reflexión sobre su organización.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones El trabajo con las operaciones con números naturales en la educación primaria involucra la resolución de una diversidad de problemas en los que estas son herramientas de resolución. Al mismo tiempo, implica la construcción y apropiación de diferentes estrategias de cálculo, tanto para obtener resultados exactos como aproximados.

Se trata de que, progresivamente, las y los alumnos reconozcan una amplia variedad de problemas como constitutivos del sentido de cada operación; es decir que puedan identificar y seleccionar, entre sus conocimientos disponibles, cuál es la herramienta pertinente y que, a partir de poner en juego esos procedimientos, también, puedan confrontarlos y hacerlos avanzar. De manera paralela, se trata de que puedan disponer de diferentes recursos de cálculo que les permitan escoger cuál resulta conveniente emplear, ya sea porque los números que intervienen lo ameritan (por ejemplo, si los datos del problema requieren operar con “números redondos”, quizá, sea conveniente acudir al repertorio de resultados que tengan memorizados o emplear alguna estrategia de cálculo mental, en lugar de aplicar un algoritmo) o porque la respuesta del problema lo requiere (por ejemplo, en los casos en que basta con realizar un cálculo estimativo).

Con frecuencia, desde la enseñanza, se ha propiciado una cierta asociación entre las palabras claves que están en el enunciado del problema y la operación que lo resuelve (por ejemplo, si dice “total”,“agregamos”o“ganamos”, se resuelve mediante una suma o si dice“quitar”, con una resta.

Del mismo modo, se asocia la multiplicación con situaciones en las que se repite una misma cantidad o la división con enunciados en los que aparece el término repartir, entre otros). Sabemos, gracias a numerosos trabajos que se han ocupado al respecto, que estas vinculaciones directas pueden dar lugar a diversos tipos de errores, ya que las operaciones que resuelven un problema dependen de las relaciones entre las cantidades que están involucradas y no de la asociación directa con una palabra o acción. Muchos son los ejemplos que se pueden proponer para sostener esta afirmación, por ejemplo: “En una caja, agregué 345 bolillas. Ahora, hay 1.058, ¿cuántas había antes?” O también, “Mariano repartió 450 bolillas entre sus amigos de la escuela y 368 entre sus amigos del club. ¿Cuántas bolillas repartió?”. Seguramente, ustedes coincidirán con nosotros en que el primer problema no se resuelve con una resta, por más que refiera a “quitar” elementos, y el segundo no se resuelve mediante la división, más allá de que haga referencia a repartos. Esto hace que sea necesario enfrentar a los alumnos a la resolución de una importante variedad de problemas para que puedan reconocer las relaciones que presentan entre los datos, distinguir similitudes y diferencias, y para poder asociarlos a una determinada operación reconociendo el alcance y los límites que cada una tiene.

A la par de los problemas, se propone el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado. Esta tarea involucra la construcción progresiva de un repertorio de resultados me-

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? morizados, de estrategias diversas para arribar a un resultado (procedimientos de cálculo mental) y del estudio y apropiación de técnicas de cálculo (cálculo algorítmico), de tal manera que de acuerdo con los números involucrados o con el tipo de respuesta requerida (exacta o aproximada) se pueda seleccionar cuál resulta más conveniente. Del mismo modo, la articulación entre esos diferentes procedimientos permite que uno pueda estar al servicio del otro como herramienta de control (por ejemplo, el cálculo estimativo puede ser de gran utilidad para determinar la pertinencia de un resultado obtenido mediante el algoritmo). Hacemos mención, además, al uso de la calculadora como instrumento, no solo para obtener y verificar resultados, sino también, para plantear determinados problemas. Por ejemplo: Escribir en el visor el número 5.324 y lograr que, en el visor, aparezca el 0 luego de realizar 4 operaciones. Estas deben aplicarse sobre las cifras siguiendo el orden de la serie numérica: comenzar logrando que el 2 se transforme en 0, luego el 3, el 4 y, por último, el 5. Registrar en una hoja las sucesivas operaciones a realizar antes de operar la calculadora.

A través de este problema, intentamos que los alumnos puedan hacer un análisis del valor posicional de cada cifra y, al mismo tiempo, identificar que es la resta la operación que permite resolverlo (– 20; – 300; – 4; – 5.000). La numeración hablada es un soporte de información que facilita la resolución y, a la vez, una intervención, posible de realizar, a alumnos que se encuentren en dificultades para encontrar un procedimiento:“Leé el número porque te da pistas de lo que hay que hacer”.

Si bien es cierto que las calculadoras nos permiten resolver múltiples problemas, también, es cierto que los límites de su utilización son claros. Por ejemplo, si hubiera que resolver este problema: “Hay 473 figuritas para armar paquetes de a 5 figuritas cada uno, ¿cuántos paquetes de figuritas se pueden armar? ¿Cuántas figuritas quedan sin empaquetar?”, la calculadora daría como resultado 94,6.

Es decir que se podría, eventualmente, contestar la primera pregunta: se pueden armar 94 paquetes de figuritas. Pero ¿qué sentido tendría decir que quedan 0,6 figuritas sin empaquetar? Si los alumnos optaran por transformar el decimal en el resto de una división entera, es decir, decidieran que para poder contestar ambas preguntas hay que multiplicar 0,6 x 5, entonces, la discusión acerca del uso o no de la calculadora pasaría a segundo plano, ya que tomar esa decisión requiere poner en acción una serie de relaciones entre el cociente, el divisor, el dividendo y el resto, que dan muestras claras de la actividad matemática implicada.

Por otra parte, poder reconocer cuál es el campo de problemas que resuelve un conocimiento y, en función de ello, dar la orden a la calculadora es lo que pone de manifiesto que se ha construido el sentido de ese conocimiento.

Derivado de ello, otro asunto importante consiste en ofrecer a los alumnos diferentes herramientas para que puedan hacerse cargo, por sus propios medios, de la validez de los procedimientos realizados y los resultados obtenidos. La validación es parte constitutiva del quehacer matemático y, para justificar las razones de los procedimientos aritméticos, se requiere disponer de una diversidad importante de relaciones y propiedades, tanto de las operaciones como del sistema de numeración, de tal manera que al momento de argumentar las decisiones tomadas se pueda recurrir a esos conocimientos. Por ejemplo, ¿qué diferentes recursos les ofrecemos a los alumnos para que puedan explicitar las razones por las que los resultados de multiplicar por la decena en el algoritmo de la multiplicación se deben ubicar en la segunda fila dejando un lugar a la derecha?

Disponer de las propiedades del sistema de numeración (en este caso, el valor posicional) y de la multiplicación, que intervienen en el algoritmo convencional, como también de haber tenido

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? oportunidades para comparar ese procedimiento con otros, les puede permitir reconocer y explicitar las razones por las cuales en esa técnica se siguen esos pasos.

En el libro, se propone trabajar con situaciones que refieren a los sentidos más sencillos de la suma y de la resta como unir, agregar, quitar, para luego introducir sentidos más complejos, como la búsqueda de complementos, comparaciones (más que y menos qué) y, también, problemas en los que los datos se organizan en tablas. Junto a estos problemas se propone abordar el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado de sumas y restas. Considerando que, quizá, muchos alumnos lo requieran, se brindan nuevas instancias para explorar el algoritmo de la suma y el de la resta.

En relación con la multiplicación y la división, se propone continuar –o iniciar– el trabajo con problemas que refieren a cantidades organizadas en grupos de igual cantidad de elementos (Un paquete tiene 4 figuritas. ¿Cuántas figuritas hay en 5 paquetes?) y referidos a distribuciones (repartos y particiones equitativas). Otros de los problemas del campo multiplicativo son los que involucran organizaciones rectangulares y los de combinatoria. Se proponen, además, situaciones destinadas específicamente a la presentación del signo de la multiplicación y el de la división.

La tabla pitagórica constituye uno de los recursos centrales para el trabajo con repertorios multiplicativos, tanto para resolver multiplicaciones como para cálculos con divisiones. Estos y otros repertorios (como las multiplicaciones y divisiones con “números redondos”), junto a diversos procedimientos de cálculo mental se sugieren como insumos para construir y estudiar los algoritmos de estas operaciones.

El estudio de la proporcionalidad se introduce a partir de problemas que las y los alumnos han resuelto antes (como el del ejemplo referido a los paquetes de figuritas), propiciando que, mediante diferentes procedimientos, puedan completar tablas, reconocer, aunque sin explicitar, las propiedades y usarlas para resolver otros problemas.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales Las fracciones y las expresiones decimales de números racionales aparecen como nuevos números que son introducidos en el segundo ciclo. En esta introducción, queremos describir, sintéticamente, parte de la complejidad que involucran, a la cual progresivamente se irán aproximando los alumnos. Desde la enseñanza, buscamos apelar, en un inicio, al sentido de los números racionales a partir de la insuficiencia de los números naturales para resolver situaciones en las que hay que continuar repartiendo el resto de una división o expresar una medida cuando la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto que hay que medir.

En el aprendizaje de los números racionales, juega un papel central la relación con los conocimientos adquiridos hasta el momento a propósito de los números naturales. Estos últimos constituyen un punto de apoyo para estos nuevos aprendizajes. Desde allí, las y los alumnos abordarán las situaciones que ahora se presenten intentando extender hacia las fracciones y las expresiones decimales lo que saben sobre los naturales. En consecuencia, al mismo tiempo que permiten una base, este intento de generalización lleva a la producción de errores que son constitutivos de este proceso de desarrollo de los conocimientos porque, así como usan propiedades que son válidas también extienden otras que no lo son para los racionales. Así, por ejemplo, las y los alumnos

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? suelen afirmar que 1 es menor que 1 porque 3 es menor que 6 o que 1 es diferente de 2 o que 3 6 2 4 0,5 es diferente de 0,50 porque se anotan con números diferentes, que entre 2 y 3 no hay otro 5 5 número porque piensan que los números racionales tienen sucesor como los naturales, que 0,3 es menor que 0,29879 porque tiene menos cifras, y así extienden el criterio de comparación de números basado en la cantidad de cifras que es válido para los naturales, que la multiplicación siempre “agranda” el número o que la división lo “achica” siguiendo una regularidad que venían observando para los naturales, etcétera.

Como señalamos, estos errores, manifestaciones de una concepción inicial que atribuye a los racionales las propiedades conocidas para los naturales, son parte del proceso de aprendizaje. Para los niños y las niñas es lógico pensar que, si son números, funcionan como los números que ya conocen. Como componentes del aprendizaje, son errores que persisten y su modificación requiere un trabajo de largo aliento que tiene que asumir la enseñanza.

Se busca proponer desde la enseñanza un recorrido acerca de los números racionales que lleve a alumnas y a alumnos a apropiárselos como herramientas a partir de una práctica matemática de resolución de problemas y de análisis acerca de lo realizado en torno a estos nuevos objetos de conocimiento. Supone un proyecto que abarque, en forma progresiva, los diferentes contextos (extra e intramatemáticos) en los que cobran sentido las fracciones y los decimales, en tareas que vayan poniendo de relieve los diferentes aspectos que los caracterizan. Las situaciones que se presentan apuntan, entonces, a hacer aparecer las fracciones en situaciones de repartos o medición para las cuales no bastan los enteros. En efecto, un primer sentido de las fracciones que se aborda es el de expresar resultados de repartos equitativos de magnitudes continuas (es decir, cuando se puede seguir repartiendo el resto). Este punto de partida intenta dar continuidad al trabajo con la división que se ha realizado desde primer ciclo e incluso en este cuarto grado. Permitirá una plataforma para enlazar a futuro la idea de fracción como cociente entre naturales.

La fracción como una relación con una unidad de medida es otro sentido que se aborda. A futuro, en el segundo ciclo y también en la escuela media, las fracciones funcionarán en otras clases de problemas que las hacen jugar como una relación de proporcionalidad directa. En algunos de estos casos, refieren a nociones particulares como escalas, porcentajes, probabilidades, velocidad, densidad, etc. Otras veces, las fracciones, también, aluden a relaciones entre partes que forman un todo (por ejemplo, una mezcla de pintura que se hace con una parte de negro y 4 partes de blanco, tenemos una relación de 1 del negro respecto del blanco).

4 La definición inicial de fracción que se propone, parte de pensar las fracciones de forma 1 (de n numerador 1 como, por ejemplo, 1 , 1 , 1 , etc.) como la cantidad tal que repetida n veces equi4 5 8 vale a 1. Así, por ejemplo, 1 de pizza es la parte que repetida 4 veces permitiría obtener la pizza 4 entera; 1 es la parte que repetida 8 veces permitiría armar la unidad, etc. Apoyados en esta idea, se 8 establece luego la definición general para cualquier fracción m como la cantidad que repite m veces n 1 . Así, por ejemplo, 3 es la cantidad que repite 3 veces 1 . Esta definición, en algún momento del n 4 4 trabajo, se irá vinculando con aquella basada en subdividir la unidad en partes iguales según indica el denominador y permitirá tomar la cantidad de partes que indica el numerador. Como esta última definición –históricamente utilizada en la escuela– ha presentado numerosos inconvenientes porque se centra en un reconocimiento perceptivo y en que la unidad se encuentre efectivamente subdividida en partes iguales antes que en las relaciones que intervienen en el concepto de frac-

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? ción. Muchos niños, por ejemplo, señalan que la parte pintada en este rectángulo es 1 porque se 2 encuentra dividido en dos partes:

Por estas razones, se realiza la alternativa de comenzar desde la primera opción que, por supuesto, podrá articularse luego con esta otra. A lo largo del trabajo, se hace un fuerte hincapié en el análisis de las relaciones que están involucradas en el funcionamiento de las fracciones: se trata de números que se anotan mediante una relación entre dos, el mismo número puede anotarse de infinitas maneras equivalentes y es posible tomar decisiones sobre la escritura conveniente para pensar cálculos, comparaciones, etc. Hay situaciones que buscan específicamente hacer emerger los errores mencionados para que puedan ser discutidos y analizados con toda la clase y, así, ir identificando en forma progresiva la especificidad que guardan los números racionales respecto de los naturales. Este trabajo se sostiene a lo largo del segundo ciclo para asumir la persistencia mencionada de las concepciones sobre los naturales al pensar los números racionales.

En cuarto grado, se realiza una primera aproximación a las expresiones decimales a propósito de su uso en el contexto del dinero (décimos y centésimos de pesos). En este grado, se ha optado por anteponer un trabajo más intenso sobre las fracciones como base para la construcción del significado de los números decimales. En los grados siguientes, se profundizará el tratamiento de estos últimos vinculando el significado de la notación decimal con las fracciones decimales, por un lado, y con el valor posicional del sistema de numeración, por el otro. Es decir, la escritura con coma aparece como una convención que recurre a la organización del sistema de numeración para representar una fracción decimal o una suma de fracciones decimales. Se trata pues de prolongar el significado de las diferentes posiciones en la notación de los números naturales –y las relaciones que guardan entre sí– hacia los décimos, centésimos, milésimos, etcétera. Estas relaciones permiten aproximarse a las características de los números decimales y fundamentar las reglas de comparación que vayan elaborando. Este significado permitirá, incluso, comprender el funcionamiento de las operaciones, facilitará la elaboración de estrategias de cálculo mental con expresiones decimales y permitirá fundamentar las técnicas de cálculo que se aborden.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría En este año, será necesario retomar algunas propuestas del primer ciclo evocando conocimientos que los alumnos tengan disponibles sobre las figuras, los cuerpos, y sus características y propiedades, para profundizar en su estudio.

Se espera para este ciclo que, en la enseñanza de la Geometría, se ponga el foco en avanzar hacia la resolución de situaciones en la que se trascienda el nivel perceptivo y se pongan en juego y se expliciten las características que permitan analizar las propiedades de las figuras y cuerpos.

A partir de este año, se iniciará el estudio de circunferencias y círculos como objetos geométricos en sí mismos y como herramientas para avanzar en la construcción de triángulos a partir de sus lados.

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?

La construcción progresiva de estos conceptos requerirá del uso y estudio de nuevos instrumentos geométricos y de la toma de decisiones sobre su utilización en relación con las propiedades que definen cada figura.

Se profundizará en un trabajo de anticipaciones, elaboración de conjeturas y argumentaciones con el objetivo de que los alumnos se apropien de la necesidad de, frente a una propuesta, tomar decisiones previas a resolver la situación problemática (anticipaciones), que podrán ser modificadas durante la resolución.

Si bien se propondrá dejar gradualmente las constataciones de tipo empíricas (aunque seguiremos utilizando algunas, por ejemplo, en los copiados, la superposición de figuras para validarlos de ser necesario) se propiciará que se comience a enmarcar en un análisis más relacional.

Por ejemplo, frente a la propuesta:

Se espera que los niños puedan, antes de comenzar a resolver, elaborar un plan, apoyarse en los conceptos que necesitan tener en cuenta y anticipar algunos pasos que les permitan iniciar la tarea.

Por ejemplo, podrían en el ítem a, de ser necesario, revisar la definición de triángulo equilátero, luego, decidir qué segmentos elegir para que se cumpla esa clasificación, pensar en cómo iniciar la construcción pedida, que instrumentos utilizar, etcétera.

Podrán luego validar el procedimiento apoyándose en características: “Estoy seguro de que está bien porque usé el compás para tomar la medida del lado y usé tres veces la misma, entonces, quedaron los tres lados iguales”.

“Dibujé el segmento con la regla de la misma medida que elegí y, después, dibujé 2 circunferencias en las puntas del segmento con la medida de la abertura igual al segmento que tracé y dibujé el triángulo”.

Pensamos en un alumno que sea capaz de enfrentarse al problema para iniciar algún camino de resolución, que pueda argumentar acerca de lo realizado, que intente fundamentar sus respuestas, que tenga en cuenta las ideas de sus compañeros y pueda comunicar las propias.

Al igual que los restantes contenidos matemáticos que se abordan, las propuestas están orientadas a la resolución de problemas. No de cualquier problema, sino de los que permiten que los conocimientos que se quieren enseñar funcionen como herramientas para encontrar la solución.

Proponer un problema geométrico implica generar una situación en la que surja la necesidad de usar o apoyarse en una propiedad conocida, hacer aparecer o explicitar características de cierta figura o cuerpo para poder descubrir alguna nueva relación o propiedad.

El copiado de figuras, los juegos de adivinación, la elaboración de mensajes, las construcciones serán diferentes tipos de tareas para avanzar en el análisis y construcción de las propiedades de las figuras y de los cuerpos.

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?

En el caso de los copiados de figuras, por ejemplo, se espera que puedan identificar algunas de sus características antes de iniciar la tarea. El docente jerarquizará ciertos procedimientos que desplieguen los niños, los que permitan explicitar los elementos o las propiedades que se pretenden estudiar.

Las diferencias entre utilizar papel liso o cuadriculado, el hecho de que el original de la figura esté o no permanentemente a la vista, el copiado en un tamaño diferente del original, la habilitación de ciertos instrumentos geométricos son diferentes aspectos a tener en cuenta en el momento de planificar la propuesta.

En síntesis, se espera que en los problemas geométricos que los alumnos resuelvan: • Pongan en juego los conocimientos disponibles de las propiedades de los objetos geométricos.

• Interactúen con objetos que ya no pertenecen al espacio físico sino a un espacio conceptualizado; los dibujos trazados solo representan las figuras, no son las figuras.

• Inicien la tarea probando y ensayando a partir de los conocimientos previos sobre ese concepto, reorganizándolos, haciendo anticipaciones, analizando propiedades; para que de ese modo aprendan nuevos conceptos.

• Puedan comunicar lo realizado de forma tal que se explicite el saber construido.

• Validen la respuesta, de ser posible, apoyándose en las propiedades de los objetos geométricos, acercándose progresivamente a las características propias de la argumentación en Matemática.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida La enseñanza de estos contenidos en el segundo ciclo de la escuela primaria, en especial en 4.° año, tiene como objetivo recuperar, retomar y profundizar el trabajo que se haya podido realizar en el primer ciclo. El objetivo es que los niños puedan acercarse a las prácticas sociales de la medida y que puedan vincular esos conocimientos con un quehacer matemático descubriendo los diferentes contextos en los que la medida es una herramienta para resolver situaciones.

Otro objetivo de la enseñanza de la Medida es profundizar en el sistema de medición, las equivalencias entre las diferentes unidades de medida de una misma magnitud y su relación con el sistema de numeración decimal.

¿Qué significa medir? ¿Qué aspectos de las medidas de longitud, capacidad, peso y tiempo se pretende abordar en este año?

Como punto de partida será necesario considerar con las y los alumnos los diferentes atributos de los objetos, nos interesan aquellos que se pueden medir y que se denominan magnitudes.

Medir una magnitud implica aislarla de los restantes atributos que tiene el objeto, es decir, anticipar qué cualidad interesa medir; y para ello habrá que elegir una unidad que tenga el mismo atributo del objeto con el que se comparará y, luego, expresar numéricamente la relación entre los dos objetos.

En ciertas ocasiones, la medición entre dos objetos puede realizarse en forma directa, por ejemplo, al comparar la altura entre dos niños que están parados espalda con espalda. En otros casos, si los elementos por medir están en distintos ámbitos, la medición tendrá que ser indirecta, es decir, habrá que tomar una misma unidad de medida para ambos y, luego, comparar los resultados de

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? las mediciones, por ejemplo, la comparación del largo de dos pizarrones en diferentes aulas. Por otra parte, esa unidad de medida puede ser convencional o no. Dependerá de los conocimientos de los niños y de la intencionalidad del maestro el que ese intermediario sea un metro o una tira de papel, por ejemplo.

La acción de medir supone la repetición de una unidad de medida. Es decir, una subdivisión expresada en función de cierta unidad de medida, que es repetida sobre la totalidad de la extensión de la magnitud. Esta repetición debe ser tal que el intervalo que haya que medir quede cubierto por la unidad de medida de manera que no haya huecos ni superposiciones.

Uno de los rasgos distintivos del proceso de medir es que se pueden utilizar diferentes unidades para medir una misma cantidad. Por lo tanto, otra de las cuestiones vinculadas con la medición es la comprensión de la relación entre el tamaño de la unidad y el número necesario de repeticiones para medir una cantidad dada.

El acto de medir requiere comprender la invariancia de los elementos que hay que mensurar en relación con el modo en que lo hagamos, la longitud de un pasillo sigue siendo la misma independientemente de la dirección en la que uno lo recorra, ya sea caminando, corriendo o dando saltos.

También, sigue siendo la misma si la medimos en metros, pisadas, palos de una escoba, etcétera.

Se podría resumir estas características diciendo que medir es comparar.

Otro aspecto a tener en cuenta, relativo a las mediciones, es la exactitud de las medidas. Toda medición efectiva tiene un margen de error, es una medida aproximada, no existe la medida exacta. Es decir, que existe un error que es inherente a la medición, que depende de diferentes factores, como la herramienta utilizada para medir, las características del objeto por medir, la precisión de la persona que mide, etcétera.

Supongamos que los niños quieren medir el largo del escritorio con una cinta métrica. A pesar de usar el mismo instrumento, aparecerán diferentes medidas cercanas a un mismo valor, por lo que será necesario aceptar un cierto intervalo numérico para dicha medida. Si se aleja de manera considerable de dicho intervalo, será necesario retomar esa medición para analizar el error.

Si bien la totalidad de las relaciones involucradas en la medición convencional lleva varios años de construcción para lograr saberes relativamente acabados, se los puede iniciar en problemas que involucren la práctica de la medida a través de situaciones ligadas a la comparación de magnitudes.

La diversidad de instrumentos a disposición debe estar orientada a que los niños puedan tomar decisiones acerca de la conveniencia de utilizar uno u otro, siempre en función de lo que hay que medir.

Para que las y los alumnos puedan avanzar en los procesos sociales de la medición, habrá que brindarles oportunidades para que puedan vincular los conocimientos que construyeron en el entorno cotidiano y en el transcurso del primer ciclo con los contenidos de enseñanza de este 4º año y, de ese modo, ampliarlos y cargarlos de sentido.

En 4.º año, comenzarán con la construcción del concepto de ángulo. Se propondrá estimar y clasificar ángulos a partir del ángulo recto que proporciona la escuadra. Además, se ofrecerá el transportador como instrumento para medir los ángulos. Estas prácticas se proponen ligadas a las propiedades de las figuras geométricas.

También, se iniciará el trabajo en torno al perímetro y área de figuras poniendo el acento en la independencia de estas magnitudes entre sí y con la forma de las figuras.

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Orientaciones didรกcticas

Orientaciones didácticas

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Numeración En la página 13, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita.

Páginas 133 a 135. Juego inicial y actividades 1 a 4.

Numeración: Descomposiciones numéricas en el contexto del juego de las tarjetas con puntajes.

El conjunto de problemas que se presentan en estas páginas –como también en las siguientes– apuntan a analizar los números poniendo de relieve su organización, el significado de cada cifra según la posición que ocupa, la relación entre posiciones contiguas y no contiguas con la intención de que la comprensión del significado de los números permita extraer informaciones contenidas en las escrituras numéricas. Estas relaciones alimentarán la comprensión del funcionamiento de los números en los cálculos y, recíprocamente, el avance de los conocimientos sobre las operaciones enriquecerá la comprensión de los números.

El juego inicial de la página 133 permitirá que las y los alumnos pongan en juego composiciones de un número a partir de una cantidad de dieces, cienes, miles. Es importante jugar varias veces para que se familiaricen con estos cálculos. El análisis posterior permitirá vincular las tarjetas recogidas con el número del puntaje obtenido. Se podría asociar –en este momento o en otra discusión durante el trabajo dentro del capítulo– la posición en el número que corresponde a un valor de las tarjetas, la cantidad de tarjetas de un valor con la cifra que ocupará ese lugar, la suma de los totales obtenidos con cada tipo de tarjeta con la composición del número, qué sucedería si tuviéramos más de 9 tarjetas de un valor, etcétera. Asimismo, estas relaciones requerirán de explicaciones del docente para poder ser identificadas.

La actividad 1 retoma el cálculo de puntajes en el juego. Es posible que las y los niños, una vez más, comiencen a sumar los puntajes de cada tarjeta siguiendo el orden en que aparecen presentadas en lugar de ordenarlas. A lo mejor, se puede detener el trabajo para analizar entre todos (o recordar si ya se discutió cuando jugaron) por qué conviene ordenar o ir contando las tarjetas del mismo valor. Se presenta el caso de 10 tarjetas de un valor para dar lugar al análisis de la relación entre posiciones contiguas en las notaciones numéricas.

La actividad 2 invierte la tarea y solicita pensar composiciones posibles de los puntajes 5.070 y 8.202 con tarjetas en el juego. La condición de las 12 tarjetas por jugada hace que sea posible solo una descomposición.

Las actividades 3a y 3b apuntan a comparar dos cantidades a partir de establecer equivalencias entre ellas: en 3a, hay una tarjeta de 1.000 que no llega a compensarse con las tarjetas de 100 del otro jugador; en 3b, una tarjeta de 1.000 que equivale a las 10 de 100 del otro jugador y 10 de 1 que equivalen a una de las de 10 del otro jugador, las tarjetas restantes son idénticas, por lo tanto ,empatan, tienen el mismo puntaje ;y eso puede saberse sin hacer todo el cálculo. Es decir, se busca ir estableciendo relaciones entre las partes de la conformación de cada puntaje. De esa manera, es posible definir quién ganó sin hacer el cálculo. Estas equivalencias ponen de relieve las relaciones entre posiciones contiguas de una escritura numérica: en este caso, entre 100 y 1.000, entre 1 y 10, aunque el docente podría plantear nuevas descomposiciones que permitan

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Orientaciones didácticas analizar otras equivalencias. El problema 3c apela a esa relación y lleva a pensar cómo es posible componer el 100 con otras tarjetas. Por último, el problema 3d retoma el puntaje obtenido con 10 tarjetas de cada uno de los valores. El docente podría plantear nuevos problemas que pongan en juego esta relación, aun ampliando la cantidad de tarjetas que podrían extraerse para decidir el puntaje que se obtendría con 20, 30, etc., (hipotéticamente incluso 100) tarjetas de un valor determinado.

La actividad 4, retoma lo trabajado hasta aquí on una nueva presentación y solicita el cálculo de puntajes sin presentar todas las tarjetas, sino solo la información de la cantidad de tarjetas de cada valor. Además de detenerse en las relaciones que son foco del análisis de los números escritos, quizá, aquí sea necesario que desde un comienzo el docente dedique un espacio para presentar, observar entre todos, explicar la organización de la tabla donde aparecen los datos. El análisis posterior a la resolución de esta tabla podrá centralizarse en cómo es posible conocer el puntaje solo mirando la cantidad de tarjetas de cada valor. En otros términos, se espera avanzar e ir identificando la relación entre un número y la cantidad de veces 1, 10, 100 o 1.000 que pueden componer ese número. Aquí tenemos una restricción impuesta por la cantidad de tarjetas, pero bajo otras condiciones, por ejemplo, con solo pensar descomposiciones posibles del número, las posibilidades serían muchísimo más numerosas. Por ejemplo, 5.208 puede pensarse así: 5.000 + 200 + 8

5 x 1.000 + 2 x 100 + 8 x 1

52 x 100 + 8 x 1

520 x 10 + 8 x 1

2 x 1.000 + 32 x 100 + 8 x 1

5 x 1.000 + 1 x 100 + 10 x 10 + 8 x 1

5.208 x 1

3 x 1.000 + 20 x 100 + 20 x 10 + 8 x 1 La escritura como suma de multiplicaciones está dirigida al docente para simplificar la presentación de cantidad de tarjetas de un valor. La o el docente decidirá si puede apelar a esta escritura para dar cuenta de la repetición de tarjetas de un mismo valor o por el momento se mantiene refiriendo a esa repetición“5 de 1.000, 2 de 100”, o como considere más conveniente en función de los conocimientos y escrituras disponibles por parte de las y los alumnos.

Páginas 136 y 137. Actividades 5 a 10.

Numeración: Descomposiciones numéricas en el contexto del dinero. Análisis de equivalencias.

Este conjunto de actividades retoma las relaciones trabajadas en el juego de componer puntajes con tarjetas para calcular ahora una cantidad de dinero que se compone a partir de los valores de monedas y billetes. Aparte de los valores que son potencias de la base del sistema de numeración (es decir, que refieren al valor de diferentes posiciones de la notación numérica como 1, 10, 100, 1.000), aparece la novedad de las monedas o billetes de $5, $50, $500, $2; $20; $200. Esto permite, además de reutilizar los conocimientos trabajados en las páginas anteriores, introducir la posibilidad de identificar, por ejemplo, que dos de $5 hacen $10, dos de $50 hacen $100, dos de $500 hacen $1.000.

Estas equivalencias juegan con la relación entre 5 y 10 y con la relación establecida entre 10 de un valor y 1 del valor inmediato superior. Inversamente, el valor de cada posición puede pensarse como 2 de 5 de la posición inmediata anterior.

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Orientaciones didácticas De manera similar, para $2, $20, $200, además de identificar que se trata de 2 de $1, 2 de $10 o 2 de $100, que con seguridad reconocen, se retomará la relación entre 5 de cada una de ellas para formar una unidad de la posición inmediata superior.

La actividad 6 solicita una nueva descomposición para cada una de las cantidades obtenidas en la actividad 5. Es una oportunidad interesante para analizar las equivalencias entre las diferentes descomposiciones y analizar las equivalencias parciales entre ellas, es decir, sin realizar todo el cálculo cada vez. De esta manera, es posible profundizar en las relaciones internas a la organización de los números: dónde aparece una parte del número total en cada descomposición o dónde puede encontrarse una parte de una descomposición en otra. Si, por ejemplo, para Nicolás, podríamos anotar la descomposición inicial de su cantidad así: 1.000 + 500 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 5 1.000 + 500 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 5 1.000 + 500 + 15 x 10 + 2 x 5.

Las y los alumnos propondrán otras descomposiciones equivalentes para la actividad 6. Se podrían tomar algunas de ellas, diferentes, para validar justamente esa equivalencia. Podrían aparecer descomposiciones como estas: 15 x 100 + 16 x 10

500 + 10 x 100 + 10 x 10 + 12 x 5

166 x 10 Si confrontamos las dos primeras encontramos que 15 x 100 puede ser descompuesto como 10 x 100 + 5 x 100 que es igual a 10 x 100 + 500, que son dos de los términos de la segunda descomposición. Por otro lado, 16 x 10 puede ser pensado como 10 x 10 + 6 x 10 o 10 x 10 + 12 x 5. O sea, ese término también encuentra su equivalencia en la segunda descomposición. Nada queda fuera de estas equivalencias entre partes de ambas descomposiciones. Podemos concluir que reúnen la misma cantidad de dinero.

Es posible recorrer dónde aparece el 1.000 en cada una de estas maneras de armar esa cantidad de dinero, dónde el 600, dónde 60. En la última, puede reconocerse el 1.000 como el 100 x 10 dentro del 166 x 10. No estamos proponiendo hacer estas relaciones puntuales, sino hacer dialogar entre sí diferentes descomposiciones propuestas en la clase o planteadas por la o el docente para tratar de encontrar que, en todas, se puedan establecer finalmente una equivalencia entre partes sin que quede nada fuera de esa relación.

La actividad 7 lleva a reutilizar estas relaciones con nuevos números y la actividad 8 a sistematizar la equivalencia entre diferentes piezas de dinero: con cuántos de... se forma... Podría ser una nueva oportunidad para analizar este trabajo en términos de equivalencias entre los valores de las diferentes posiciones en una escritura numérica. Por ejemplo, para reunir $1.000 se necesitan: 10 de $100 o 10 x $100 = $1.000 100 de $10 o 100 x $10 = $1.000 (Porque se necesitan 10 billetes de $10 para cada $100.)

1.000 de $1 o 1.000 x $1 = $1.000

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Orientaciones didácticas 2 de $500 o 2 x $500 = $1.000 20 de $50 o 20 x $50 = $1.000 (porque 2 de $50 son $100 y es necesario reunir 10 veces 100.)

200 de $5 o 200 x $5 = $1.000 (porque cada 2 de $5 son $10; 10 veces $10 hacen $100 y es necesario reunir 10 veces $100…)

La actividad 9, que pide armar una cantidad de dinero con la menor cantidad de monedas y billetes posibles, apela a generar una base para analizar luego que la menor cantidad de piezas posibles se obtiene analizando cada posición de la escritura numérica para saber cómo puede formarla con los valores disponibles.

En 9c, se solicita explicitar un modo general de resolver este problema cualquiera sea la cantidad de dinero que haya que formar. Enunciar y escribir un modo general de hacerlo puede ser muy difícil para las y los alumnos. Es un trabajo que podría asumir la o el docente con toda la clase, ya sea a partir de intentos en pequeños grupos, que luego se retomen en un análisis y formulación colectiva, o directamente entre todos anotando, revisando, ajustando propuestas de alumnos o alumnas. Podría quedar como producto de este trabajo compartido alguna regla escrita que puedan copiar luego en la carpeta.

El análisis colectivo que se propone en “Para pensar entre todos” tiene como finalidad extender esa explicación a qué sucede cuando se restringen los valores a aquellos que corresponden a potencias de la base del sistema de numeración (1, 10, 100, 1.000, etc.) y, también, ponerlo en relación con el cálculo de puntajes de las tarjetas. Ambas situaciones pueden integrarse bajo la idea común de que, en un número escrito, se puede “leer” cuántas veces 1, cuántas veces 10, cuántas veces 100, cuántas veces 1.000, etc., lo forman. Del mismo modo, se pueden “leer” otras descomposiciones a partir de las relaciones entre las diferentes posiciones.

Por ejemplo, si el número se forma con 11 veces 10, puede pensarse que es 10 x 10 + 1 x 10, o sea 1 x 100 + 1 x 10.

Actividades extra - Capítulo 1 - Numeración

• Si el juego de tarjetas resultara complejo, se puede retirar las cartas de 1.000. Luego de algunas jugadas, se puede analizar, qué puntaje se arma con diferentes cantidades de tarjetas de un mismo tipo. Por ejemplo, se podría completar una tabla como esta: Tarjetas de 10 puntos

1

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3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Puntaje

• También, se podría completar una tabla similar, pero para las tarjetas de 100 puntos. A partir de esta situación, es posible componer puntajes con una cantidad de tarjetas de 100 puntos, 10 puntos y 1 punto juntas. Se apunta a analizar la relación entre el número del puntaje total y la cantidad de cada clase de tarjetas. Este trabajo se extenderá a las tarjetas de 1.000.

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26

Orientaciones didácticas Operaciones En la página 14, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.

Página 138. Actividades 11 a 14.

Operaciones: Problemas de suma y resta. Resolver problemas que plantean unir, agregar o quitar cantidades.

Estas actividades corresponden a los sentidos más sencillos de la suma y de la resta, refieren a acciones como unir, agregar y quitar. La intención es que puedan avanzar en el reconocimiento de estas operaciones como herramientas para resolver problemas y en la selección de las estrategias que consideren más convenientes (por ejemplo, en los casos que hay que sumar o restar números redondos, esperamos que puedan recuperar resultados disponibles en memoria o realizar algún procedimientos de cálculo mental; en otros casos, que recurran al algoritmo). Estas decisiones estarán condicionadas por las experiencias que cada alumno y alumna haya tenido con estos problemas y con los procedimientos para resolver sumas y restas, por lo que consideramos que es un asunto de la enseñanza que todos puedan hacerlas avanzar, es decir, parte de la reflexión colectiva podrá estar dedicada a las operaciones seleccionadas para resolver, pero también resultará una instancia valiosa para reflexionar respecto a los diferentes procedimientos de cálculo que se emplearon.

Los alumnos, quizá, ya han trabajado en años anteriores con problemas que involucran los sentidos de estas operaciones, por lo cual es posible se apoyen en esas experiencias para decidir las resoluciones de los que se proponen aquí. Es así que, para resolver la actividad 11, que requiere obtener el total de tres cantidades, podrán recurrir al algoritmo de la suma; incluso, se espera que puedan reconocer que, para sumar 1.100 tal vez, sea más conveniente el cálculo mental (descomponerlo en 1.000 + 100 y así sumar 1.000 y luego sumar 100, por ejemplo). En el caso de que las y los alumnos hayan empleado el algoritmo, el docente podrá propiciar la reflexión acerca de estos casos en los que puede convenir el cálculo mental de tal manera que se pueda instalar en una opción posible para los siguientes problemas.

Las actividades 12 y 13 refieren a cantidades que se transforman (en este caso, pasajeros que suben o bajan del tren). Es sabido que la complejidad de este tipo de problemas está dada, entre otras cuestiones, por el lugar en el que se halla la incógnita (si hay que obtener el estado inicial, la transformación o el estado final). En estos problemas, al solicitar la cantidad final, posiblemente las y los alumnos reconozcan a la suma o a la resta (según si la transformación es positiva o negativa) como herramienta de solución. En cambio, si la incógnita hubiera sido la cantidad inicial (pasajeros al iniciar el viaje) o alguna de las transformaciones (cuántos pasajeros suben o bajan), esto puede dar lugar a procedimientos más variados (por ejemplo, buscar un complemento o realizar la resta), y hasta requerir de otro tipo de trabajo en el aula, destinado a sistematizar estos reconocimientos según cada caso y tratar los errores que pudieran haber surgido. De allí, la riqueza de estos problemas y el largo proceso que involucra su enseñanza, razón por la cual se vuelven a retomar en el capítulo siguiente.

La actividad 14 vuelve al trabajo con unión de cantidades con la variante de que los datos se presentan en una tabla, lo cual, quizá, involucre una complejidad mayor.

Estos asuntos podrán ser recuperados para el trabajo con las consignas planteadas en “Para pensar entre todos”.

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27

Orientaciones didácticas Otro de los asuntos que resulta importante considerar tiene que ver con el funcionamiento del algoritmo de la suma y de la resta, por ejemplo, se podrá propiciar la reflexión sobre ¿por qué los números se ubican de esa manera? ¿Hay casos que les resultaron más complejos, como por ejemplo, cuando los números tienen ceros en algunas de sus cifras? ¿Por qué razón? ¿Qué significa “me llevo uno” o le pido uno al de al de al lado?”. Cuestiones que se profundizarán a partir de los problemas de la página 141.

Páginas 139 y 140. Actividades 15 a 19.

Operaciones: Construir y sistematizar repertorios de sumas y restas.

Los conocimientos diversos de los alumnos respecto a la suma y a la resta, también, estarán marcados por los repertorios de cálculos que dispongan. Algunos, a lo mejor, puedan resolver con una amplia variedad de cálculos apelando a la memoria o con números de distintos tamaños, como por ejemplo: • sumas y restas de dígitos (1 + 2, 3 + 4, 6 – 2, 9 – 4).

• sumas con “números redondos” (10 + 20, 30 + 40, 100 + 200, 3.000 + 4.000).

• sumas y restas que dan 10, 100, 1.000 (7 + 3, 14 – 4, 20 + 80, 140 – 40, 800 + 200, 1.340 – 340).

• restas con “números redondos” (60 – 20, 90 – 40, 600 – 200, 9.000 – 4.000).

• sumas y restas que dan “números redondos” (7 + 3, 70 + 30, 24 + 6, 240 + 60).

• sumas de“miles”,“cienes” y “dieces” (2.000 + 300 + 40).

Otros, quizá, necesiten apoyarse en portadores (por ejemplo, en la tabla de sumas de dígitos que está en la Caja de herramientas) o en alguna información que se les presente desde el enunciado, por ejemplo,“sabiendo que 400 + 300 = 700, resolver 430 + 440”, lo cual también les puede permitir recurrir a otros cálculos conocidos, por ejemplo, reconocer que 4 + 3 = 7 les puede resultar de utilidad para 40 + 30 = 70, 400 + 300 = 700, 4.000 + 3.000 = 7.000, etcétera.

En la tabla de la actividad 15, podrán registrar aquellos cálculos que identifican disponibles.

Cabe destacar que no se espera que todas las columnas se completen en el primer contacto con ese problema ni tampoco que sea destinado al trabajo en una única clase, sino, por el contrario, que se constituya en parte del recorrido propuesto para el capítulo, de tal manera que cada uno (o cada grupo) pueda ir volviendo para completarlo a medida que pueda identificar esos cálculos.

Asimismo, se sugiere que, en el aula, estén disponibles cuadros como este (inclusive con otros cálculos que se considere pertinentes incluir) para que esa tarea, también, se constituya en un asunto compartido por el grupo y para que pueda quedar a disposición cuando se requiera su consulta; así se recupera la propuesta de que se apoyen en cálculos conocidos para resolver los que no saben.

Las actividades 16 y 17 proponen reinvertir esos resultadose y emplearlos para resolver otros cálculos.

Estos problemas constituyen una interesante oportunidad para volver sobre las decisiones derivadas de la necesidad de optimizar los tiempos de enseñanza. El trabajo de sistematizar cálculos (lo cual no implica solo reconocer cuáles se disponen, sino clasificarlos y reconocerlos como parte de ese grupo, de tal manera que se facilite su estudio) es una tarea compleja que requiere de interacciones en el aula y de sostenidas intervenciones del docente, que vayan organizando ese trabajo y propiciando esos reconocimientos. En cambio, los siguientes problemas pueden proponerse como tarea o darse a aquellos grupos en los que la construcción de esos repertorios ya sea un asunto superado.

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28

Orientaciones didácticas El apartado “Para pensar entre todos” se centra en los cálculos en los que la información que aporta la numeración hablada puede facilitar la resolución. Los nombres de los números de más de una cifra dan cuenta de las operaciones involucradas en su conformación (que, de acuerdo con la cifra que sea, en algunos casos, se basarán en la multiplicación y la suma, por ejemplo, cuatrocientos veinte: 4 x 100 + 20; en otros, solamente en la suma: veintiocho: 20 + 8; y en otros, en la multiplicación: tres mil: 3 x 1.000; sabiendo, además, que hay casos que no ofrecen información alguna, como por ejemplo, quinientos); por eso, para resolver 800 + 20 + 6, algunos podrán afirmar “da ochocientos veintiséis, el nombre de los números te lo dice”. Podrán armar, en conjunto, un listado de cálculos en los que puedan apoyarse en estas propiedades del sistema de numeración.

El juego del Tetris de la actividad 18 con cálculos de sumas y restas constituye una oportunidad para que puedan apoyarse en esos conocimientos. Se sugiere que puedan jugarlo varias veces; incluso, mientras algunos grupos continúen con el juego, otros podrán continuar con problemas que remitan a este, tal como lo proponen la actividad 19 y la actividad “Para pensar entre todos”.

Páginas 141 y 142. Actividades 20 a 24.

Operaciones: Análisis de diferentes procedimientos para resolver sumas y restas. Resolución de cálculos de sumas y restas. Estimación de resultados de sumas y restas.

El trabajo con los procedimientos para resolver sumas y restas, entre ellas el cálculo algorítmico, constituye un asunto que ocupa un lugar prioritario en la enseñanza de la Matemática en el primer ciclo del nivel primaria. No obstante, al igual que con los otros contenidos, se considera que las y los alumnos pueden arribar a los problemas de estas páginas a través de diferentes recorridos, por lo que el análisis que se propone desde la actividad “Para pensar entre todos” puede resultar una oportunidad para avanzar, afianzar o revisar estos conocimientos. De nuevo será el docente quien haga una lectura sobre estas cuestiones y decida, por ejemplo, cuáles grupos podrán abordarlos con mayor autonomía y cuáles necesitarán de intervenciones más sostenidas que, por ejemplo, les permitan reconocer dónde se hallan, en el algoritmo, los cálculos parciales realizados en un procedimiento de cálculo mental y las razones de su funcionamiento, entre otros asuntos.

Las actividades 21 y 22 permiten distinguir el tipo de cálculo, exacto o aproximado, que se requiere para responder, lo cual también deberá ser objeto de análisis y reflexión. Posiblemente, las y los alumnos reconozcan la suma y la resta como herramientas de solución; sin embargo, algunos decidirán obtener el resultado exacto de cada cálculo para luego responder y otros reconocerán la posibilidad de realizar cálculos estimativos, ya que preguntas del tipo ¿le alcanza con $1.500 para comprar determinados artículos? ameriten procedimientos de ese estilo.

Las actividades 23 y 24 refieren al cálculo estimativo y están centradas en los cálculos propiamente dichos. Consideramos que el trabajo en el aula con este tipo de estrategias es importante, por un lado, porque se emplean con frecuencia en la vida cotidiana y, por el otro, porque resultan fértiles para controlar otros procedimientos, por ejemplo, para controlar la pertinencia de los resultados obtenidos.

Las sumas y restas con números redondos podrán ser los cálculos en los que se apoyen y, así, por ejemplo, podrán anticipar que el resultado de 823 + 276 es mayor a 1.000 porque 800 + 200 = 1.000 o que 788 debe ser el resultado de 589 + 199 porque 590 + 200 = 790.

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29

Orientaciones didácticas El cálculo estimativo no es una tarea sencilla para los alumnos, por un lado, porque en general, tienden a obtener directamente el resultado exacto (ya que predomina en los problemas escolares que resuelven), y por el otro, porque requiere disponer de determinados recursos de cálculo mental y repertorios de resultados en los cuales apoyarse; además, reconocer los problemas en los que resultará pertinente este tipo de cálculo. De estas distinciones, se ocupa la actividad “Para pensar entre todos”. El docente, por ejemplo, podrá propiciar que los alumnos reconozcan las similitudes y diferencias en los procedimientos que requieren preguntas del tipo ¿cuánto gastó?, ¿cuánto le sobró? respecto de los que permitirían resolver situaciones del tipo ¿le alcanza?

Actividades extra - Capítulo 1 - Operaciones

1

Lucía y Pedro coleccionan latas de gaseosa. Lucía tiene 68 latas y Pedro tiene 105.

a. ¿Cuántas latas tienen entre los dos? b. Si juntan las latas que tienen ambos, ¿cuántas les faltan para llegar a las 200 latas?

2

Catalina y Santiago, también, coleccionan latas de gaseosa. Entre ambos, tienen 145 latas, de las cuales 48 son de Catalina. ¿Cuántas latas son de Santiago?

3

Joaquín y Brenda juntaron $206 para ir al quiosco. Joaquín puso $95. ¿Cuánto dinero puso Brenda?

4

Para alambrar un potrero de un campo se compraron 218 postes. Un tiempo después, decidieron agregar otros 118 postes para extenderlo. ¿Cuántos postes necesitaron, finalmente?

5

En el alambrado de otro potrero, hay 198 postes. Lo acortaron quitando 56 postes. ¿Cuántos postes quedaron en ese alambrado?

6

Para una obra de teatro, se vendieron estas entradas.

Sector popular

Sector plateas

Sector palcos

102

48

99

a. ¿Cuántas entradas se vendieron en total? b. Si para esa función pusieron a la venta 300 tickets de entradas en total, ¿cuántas entradas les quedaron sin vender?

7

Resuelvan estos cálculos.

a. 40 + 30 =

d. 40 + 60 =

g. 450 + 620 =

b. 300 + 400 =

e. 45 + 65 =

h. 800 + 500 =

c. 340 + 430 =

f. 450 + 650 =

i. 860 + 540 = Guía Docente - Matemática - A Dúo 4

30

Orientaciones didácticas 8

Resuelvan estos cálculos.

a. 70 – 40 =

d. 800 – 200 =

g. 1.000 – 400 =

b. 75 – 40 =

e. 850 – 300 =

h. 1.000 – 650 =

c. 70 – 35 =

f. 420 – 110 =

i. 1.250 – 300 =

9

Resuelvan estos cálculos.

a. 60 + 75 + 40 + 25 =

c. 100 – 5 – 85 =

b. 300 + 260 + 700 =

d. 800 – 450 – 50 =

10 Sin hacer toda la cuenta, rodeen en cada caso, el número que consideran que es el más cercano al resultado de cada cálculo dado. Luego, verifiquen resolviéndolos.

a. 19 + 49 =

60

70

80

d. 81 – 42 =

b. 62 + 81 =

100

150

200

c. 298 + 405 = 700

800

900

20

30

40

e. 505 – 198 = 300

200

400

f. 1.002 – 898 = 100

200

300

11 Antes de resolver cada cálculo, marquen una X en el casillero que consideran que debe ir el resultado. Luego, resuélvanlos para verificar.

Cálculos

Menor que 50

Entre 50 y 100

Mayor que 100

39 + 31 = 68 + 49 = 186 – 159 = 124 – 52 =

12 Un alfajor vale $59 y un chocolatín vale $38. Martín tiene $100. ¿Le alcanza para comprar ambas golosinas?

13 Lucía fue al quiosco con $99. Gastó $55 en caramelos. ¿Le quedó más o menos de $50?

Geometría En la página 18, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.

Páginas 143 y 144. Actividades 25 y 26.

Geometría: Uso del compás para copiar y construir figuras que contienen circunferencias.

Antes de iniciar la resolución de problemas geométricos, en particular los de copiado de figuras, el docente podrá ofrecer a los alumnos un tiempo para reconocer el compás, explorar su uso, trazar algunos dibujos, teniendo en cuenta que, para la mayoría, será un instrumento novedoso.

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31

Orientaciones didácticas La actividad 25 propone copiar figuras o partes de ellas con circunferencias, tarea para la cual no será necesario tener un estudio previo de la circunferencia ni su definición. Tal vez, las y los alumnos utilicen denominaciones como redondel, línea redonda, etc. No es objetivo de estos primeros problemas definir la circunferencia. Aunque sí puede nombrarse.

El docente podrá conversar con las y los alumnos, antes de iniciar la resolución, acerca de qué significa copiar una figura en Matemática. Tal vez, han tenido diferentes oportunidades de realizar esta tarea en el primer ciclo o no, por lo que se podrá realizar una indagación sobre este asunto y explicitar que “Para copiar una figura en Matemática, la copia debe quedar exactamente igual a la original, de forma que, al superponerlas, queden idénticas. Cuando dos figuras se pueden superponer “justito”, decimos que son la misma figura”.

Más allá de la comprobación empírica de la superposición, la copia se podrá validar con el conteo de cuadraditos aprovechando la hoja cuadriculada. Algunos procedimientos posibles: • Intentar copiar la figura a mano alzada.

• Utilizar el compás, pero sin prever la medida del radio o utilizando como abertura el diámetro de la circunferencia.

• Explorando la figura, lograr utilizar el compás correctamente después de identificar centro y radio y sin explicitar aún estos elementos de la circunferencia con su nombre.

“Para pensar entre todos”es la discusión posterior, en la puesta en común del problema resuelto. Esta podrá ser una buena oportunidad para generar avances en aquellos que no hayan logrado copiar la figura con exactitud, como también, para comenzar a identificar y a definir, en forma provisoria, la circunferencia y sus elementos. Estos se explicitarán en la siguiente página.

La actividad 26 tiene la intención de reinvertir lo trabajado y conversado en el problema anterior realizando construcciones con compás a partir de interpretar un mensaje dado, en las que tendrán que tener en cuenta los elementos de la circunferencia: centro y radio.

Si bien las primeras exploraciones del compás y de los elementos de la circunferencia sería importante realizarlas en el espacio presencial, está página podrá destinarse al trabajo en casa para luego realizar la puesta en común, de ser posible, en un espacio presencial o sincrónico virtual grupal.

Página 145. Actividades 27 a 30.

Geometría: Uso del compás para trasladar y comparar medidas.

La intencionalidad de los problemas de esta página es poner el foco en la utilización del compás como instrumento para trasladar y comparar las medidas de segmentos.

La actividad 27 invita a los alumnos a explorar la posibilidad de utilizar el compás para trasladar medidas sin necesidad de usar la regla para medir. Si bien la consigna solo solicita escribir los pasos que hay que seguir, seguramente, los niños necesitarán marcar sobre el dibujo de la soga para poder pensar lo realizado por Juana. Sería interesante que este problema, que es el punto de partida sobre otro uso del compás, puedan realizarlo en la presencialidad ya que invita a la exploración, discusión y comparación con otros.

La propuesta puede traer ciertas dificultades, como por ejemplo, no saber por dónde comenzar para marcar el primer segmento, el origen,“dónde pinchar”. Tener el cuidado de iniciar el segundo segmento justo donde termina el primero

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32

Orientaciones didácticas Además, toda tarea que implique comunicar lo realizado tiene una complejidad mayor que otras en las que solo hay que resolver.

En las actividades 28 y 29, podrán volver a pasar por lo elaborado en el problema anterior y, en la actividad 30, podrán concluir que, además de trasladar medidas con el compás, se pueden comparar las longitudes de segmentos entre sí. Algunos procedimientos posibles son: • Construir una línea auxiliar y marcar cada segmento a partir de un mismo origen para compararlos.

• Elegir uno al azar y, con la abertura correspondiente del compás, probar cuáles tienen la misma longitud.

• Realizar, estimativamente, una clasificación de cuáles son los que parecen tener igual longitud, y luego verificarlas con el compás.

Página 146. Actividad 31.

Geometría: Uso del compás para construir segmentos y circunferencias.

En la actividad 31, se espera que puedan reinvertir las ideas elaboradas acerca del uso del compás, tanto para trazar circunferencias como para trasladar medidas, para poner en evidencia que, en ninguna de las construcciones, es necesario medir con la regla.

En el caso de realizarlo en la presencialidad, el docente podrá decidir cuáles son los niños que necesitan aún trabajar en pareja con algún compañero y quiénes podrán resolverlos en forma individual.

Los momentos de la clase en los que trabajan en “Para pensar entre todos” son espacios privilegiados de intercambio entre todos o en pequeños grupos, en los que se pondrá de manifiesto lo que aprendieron. Los alumnos intentarán comunicar lo realizado en forma oral o escrita, en forma presencial o a través de un mensaje, audio o video. Esta tarea podrá utilizarse para recoger evidencias de lo que cada uno aprendió.

Los análisis de estas evidencias de aprendizaje, con seguridad, le brindarán al docente alguna información acerca del estado de saber de cada uno de sus alumnos en relación con el contenido trabajado.

Será importante aceptar la provisoriedad de las explicaciones de los alumnos ya que sabemos que, como mencionamos antes, en general, es mucho más complejo dar cuenta en palabras de lo realizado que resolver el problema.

A comunicar en Matemática, también, se enseña. Es una construcción que los niños irán mejorando y perfeccionando a lo largo del tiempo. Será importante que tengan variadas y sistemáticas oportunidades de realizar este tipo de tarea.

Actividades extra - Capítulo 1 - Geometría

Estas propuestas se pueden ofrecer al iniciar las actividades de este capítulo o para revisar los conceptos estudiados que son más relevantes para seguir avanzando en su construcción.

1

Realicen un dibujo en la carpeta. Usen el compás.

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33

Orientaciones didácticas 2

Felicitas dibujó un “Tiro al blanco”. Cópienlo a la derecha para que quede igual al de ella.

3

Copien a la derecha esta nueva figura de forma que la copia quede igual a la original.

Intenten explicar con sus palabras cómo están seguros de que les salió bien.

2

Numeración En la página 13, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita.

Páginas 148 a 151. Actividades 32 a 39.

Numeración: Representación en la recta numérica.

La recta numérica constituye un contexto muy potente para trabajar diferentes relaciones entre los números, pero a la vez, este resulta muy complejo para las y los alumnos. Sobre una recta, se representan los números como puntos, en una correspondencia tal que a cada punto le corresponde un número y a cada número le corresponde un punto. Si bien la recta permite representar todos los números reales (racionales e irracionales), en la escuela primaria, recurrimos a ella para trabajar sobre los números naturales (enteros positivos) y racionales (fracciones y decimales), que son objeto de enseñanza en este nivel. En estos primeros capítulos, representaremos números naturales y, más adelante, sobre todo, a partir de 5.° grado, también números racionales (fracciones y decimales).

Sobre esta representación, se pone de relieve el orden entre los números, pero además, exigiendo precisión acerca de la distancia respecto de los otros números. La distancia entre números

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34

Orientaciones didácticas conserva una escala dentro de la misma recta numérica: hay una relación proporcional entre la distancia entre números y la longitud que separa a los correspondientes puntos en la recta.

La recta tiene un origen, el número cero, y una longitud asignada a la unidad que hace que los números enteros se ubiquen separados por la misma distancia por la relación de escala mencionada. La hoja de papel muestra fragmentos de la recta numérica y es posible, como en la actividad 33, que el intervalo que se muestra no incluya el origen de la recta.

En las actividades que se proponen, se trata de ubicar los números en relación con los múltiplos de 10, 100 o 1.000. Es decir, si se trata de ubicar el número 2.831, poder identificar que en: • una graduación de 1.000 en 1.000, se encuentra entre 2.000 y 3.000; • una graduación de 100 en 100, entre 2.800 y 2.900; • una graduación de 10 en 10, entre 2.830 y 2.840.

En ese sentido, se trata de reconocer el intervalo en el cual se ubica un número o, también, reconocer los números que se encuentran en un intervalo determinado. El orden de los números se conserva en todas las rectas numéricas. La distancia que separa los números posee una arbitrariedad en cada recta (si bien se conserva dentro de esa recta) que, como dijimos, depende de la elección de la escala elegida. Esta deberá ajustarse a los números a representar.

En la actividad 32, además de mostrar y comentar con la clase esta nueva representación que puede constituir una recta numérica, se puede compartir, entre todos, cómo avanzan las graduaciones marcadas y aclarar que esos “saltos” no van de uno en uno, sino de cien en cien –como comenta la niña de la imagen–, y qué números quedan “dentro” de diferentes intervalos.

Si luego pudieran compartirse colectivamente las resoluciones y analizarlas, se podría reflexionar acerca de cómo ubicar un número entre cienes o centenas, como están ordenadas estas graduaciones. Asimismo, será interesante analizar cómo, una vez identificada la centena en la que se ubica, se puede precisar su posición apelando a las decenas: si es de los 50, sabemos que se encuentra en la mitad de esa centena; si termina en 10, en la primera decena de esa centena, etc.

O sea, se trata de identificar que cada intervalo de una centena se puede subdividir (de manera más precisa o aproximada) en 10 partes, que corresponderían a las decenas dentro de esa centena.

Estas relaciones se reiteran en ambas rectas (actividades 32 y 33). Es posible preguntar a la clase si sucedería lo mismo con números más grandes. Por ejemplo, si hubiera que ubicar 12.450 o 25.680 en una graduación de 100 en 100, etc. Se trata de poder identificar que estas relaciones que tienen que ver con el lugar de un número entre diferentes centenas y dentro de una misma centena tienen lugar cualquiera sea el número. Esta relación se extenderá a lo largo del trabajo de pensar el número entre las diferentes unidades (o también, decenas) de mil, entre las diferentes centenas que se juegan dentro de una unidad de mil, entre las diferentes decenas que se juegan dentro de una centena…

La actividad 34 permite buscar esta relación de la ubicación entre decenas. La actividad 35 busca ubicar un número mayor entre decenas. Esto permitirá, en un análisis colectivo posterior con toda la clase, analizar las decenas contenidas en un número o las decenas “redondas” que encuadran un número (es decir, las inmediatas anterior y posterior). Por ejemplo, si aparece ubicado 3.610, para 3.700, se puede ubicar 3.600 y marcar 3.700 diez lugares después o 9 lugares después de 3.610. Esto se puede validar contando de 10 en 10 sobre las marcas, pero también, apelando a que 10 saltos de 10 son 100, de 3.600 a 3.700 hay 100, de 3.610 a 3.700 hay 90 o 9 veces 10... Estas relaciones se podrán profundizar en la actividad 36.

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35

Orientaciones didácticas En las actividades 37 a 39, se toma como base las graduaciones regulares de la recta numérica para reflexionar sobre las sumas y restas de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100, de 1.000 en 1.000.

La actividad 38 introduce la novedad de que, dada la graduación, las y los alumnos deben reconocer de a cuánto avanza. Estos cálculos se abordan aquí desde el sentido de avanzar a lo largo de la serie numérica a partir de números “redondos”. Si bien el contexto de la recta numérica está centrado en el “avance” de las graduaciones o de la serie, se puede analizar sobre la misma recta lo que sucede al retroceder por las graduaciones. La o el docente podría proponer graduaciones para completar hacia la izquierda. Por ejemplo: Esta recta está graduada de 100 en 100. Completen los números que corresponden a cada graduación.

5.300

Será necesario detenerse con toda la clase a analizar qué se transforma en el número a partir de avanzar o sumar y de retroceder o restar 1, 10, 100 o 1.000. Asimismo, estos análisis podrán incluir cómo se pueden usar estas relaciones para facilitar cálculos.

Página 152. Actividades 40 y 41.

Numeración: Análisis de regularidades del sistema de numeración escrita.

En las actividades 40 y 41, a partir de un juego, se retoman los conocimientos de las páginas anteriores para generalizarlos a las sumas o restas de 1, 10, 100 o 1.000 a cualquier número.

Nuevamente, en una instancia de análisis colectivo, se podrá analizar qué se mantiene y qué se transforma del número al sumar o restar esas cantidades y por qué. Las ideas que se establezcan se podrán registrar en las carpetas o carteles, y el docente podrá remitir a ellas cuando se trate de estimar o dar el resultado exacto de sumas o restas. Por ejemplo, lo que sabemos acerca de sumar 1.000 a un número, ¿qué nos permite decir del cálculo 3.645 + 1.280? Se trataría de reconocer que el resultado no puede ser menor que 4.645, ya que ese cálculo supone 3.645 + 1.000 + 280.

Actividades extra - Capítulo 2 - Numeración

Si es necesario, proponerles a todos o a algunos actividades que permitan un mayor dominio de la representación de los números en la recta numérica. Es posible proponerles actividades como estas: • Completar los números que corresponden a la graduación de una recta numérica, por ejemplo: 0 10 20

• De la misma manera, se puede proponer completar una graduación de 100 en 100, de 1.000 en 1.000, de 200 en 200, etcétera.

• Luego, será importante completar la graduación de una recta numérica donde el fragmento que se presenta no comience desde 0. También, se podrá ofrecer rectas para las cuales los datos que se presentan no correspondan a graduaciones consecutivas, por ejemplo: 3.500

4.000

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36

Orientaciones didácticas En estos casos, no solo la escala de la graduación, sino también, los números dados como datos –y, en particular, la distancia entre los números– harán más fácil o difícil la tarea.

Completar los números correspondientes a estas marcas supone identificar cuál es la graduación dada a la recta. Si se quisiera ofrecer más puntos de apoyo para poder establecerlos, se podrían presentar más actividades como la 38, donde la recta aparece con los números correspondientes a las graduaciones todos completos, y que las y los niños deban decidir de a cuánto avanzan las marcas.

Se trata de ayudar a comprender que se trata de una representación que servirá de soporte o base para ubicar otros números tomando la graduación como referencia.

• Encuadrar números en una graduación dada, es decir, elegir el intervalo en el que se encuentran. Esta tarea es parte de la ubicación de números en la recta numérica. Frente a algunas de las rectas trabajadas, se les puede pedir que pinten el intervalo donde ubicarían un número. Por ejemplo, en la primera, colorear entre qué números ubicarían el 52, el 98, el 124, etc. Será importante detenerse a analizar en qué se basan para identificar el intervalo correspondiente: 124 como un número que se encuentra entre 120 y 130. Como este intervalo es finito y reducido, incluso, es posible enumerar todos los números que se encontrarían en él junto con su orden.

• Ubicarlos (aproximadamente o con mayor precisión) dentro del intervalo correspondiente. Nos proponemos que las y los alumnos comprendan los procesos que llevan a determinar la ubicación de un número en la recta o, de manera recíproca, el número correspondiente a un punto de la recta. En el caso del 124, por ejemplo, sabiendo que se encuentra entre 120 y 130, establecer que se trata de uno antes de la mitad del intervalo. En este caso, es difícil dividir esa medida en 10 partes, así que solo se podrá dar una ubicación aproximada. Se podría mostrar, si no, la construcción de una “lupa” o ampliación de ese intervalo que permita ubicar el número.

• Identificar números correspondientes a puntos señalados en la recta. Esta tarea sigue un proceso similar al de la ubicación de puntos: decidir entre qué números se encuentra el número a reconocer y, a partir de su posición relativa respecto de otro u otros números como son los extremos del intervalo, establecer de qué número se trata.

Operaciones En la página 14 pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.

Páginas 147 y 153. Juego inicial y actividades 42 a 44.

Operaciones: Problemas de multiplicación. Introducir escrituras multiplicativas en problemas que refieren a series proporcionales.

Al inicio del Capítulo 2, se propone un juego de elaboración de mensajes destinado a la introducción del signo “x” para hacer referencia a colecciones organizadas en grupos de igual cantidad de elementos. Si bien, para algunos pueda ser un objeto conocido a partir de experiencias escolares o extraescolares, las circunstancias actuales requieren considerarlo como un asunto para ser introducido ante la mayoría de la clase.

Al plantear una tarea centrada en la comunicación, el problema está vinculado a la producción e interpretación de los mensajes. La intención es que, en forma progresiva, puedan ir reconociendo las características de esas colecciones (en términos de tipo y cantidad de ladrillitos iguales por tarjeta) y qué mensaje permitirá identificarlas en cada caso. Posiblemente, los primeros mensajes

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Orientaciones didácticas intenten describir la tarjeta que les ha tocado mediante palabras con la mayor precisión posible, por ejemplo,“4 ladrillitos de 3 puntos” o directamente consideren que, con solo mencionar la cantidad de unidades, la tarjeta queda identificada, por ejemplo,“tiene 4 ladrillitos”.

Se sugiere que puedan jugar varias veces, para ir comparando los mensajes en lo que respecta a su claridad, economía, pertinencia, etc., y para posibilitar que entren en juego las relaciones entre las cantidades (en términos de ladrillitos y puntos por ladrillitos) que se presentan. Estas colecciones pueden ser modelizadas a partir de sumas de sumandos iguales y, también, mediante la multiplicación. El docente, desde sus intervenciones, podrá ir progresivamente favoreciendo estas identificaciones, por ejemplo, “Este mensaje dice 3 + 3 + 3 + 3, ¿permite identificar a cuál tarjeta se refiere? ¿Por qué?”.

Las actividades 42, 43 y 44 remiten al juego y permiten avanzar en las condiciones que debe cumplir el mensaje para que dé lugar a una única tarjeta. En el caso de que no haya surgido, a partir de esas producciones, resultará una oportunidad para relacionar esos mensajes con su escritura mediante el signo “x” (aspecto en el que se centra la actividad “Para pensar entre todos”).

En tal sentido, se pueden copiar alguno de los mensajes y propiciar que vuelvan a ser escritos como multiplicaciones, por ejemplo, “¿Cómo podemos hacer referencia a la tarjeta de 4 ladrillitos con 3 puntitos en cada uno usando el signo “x“? Martín escribió 4 x 3, ¿Es correcto?”. Del mismo modo, en forma gradual, se sugiere la posibilidad de que esa escritura pueda compararse con los procedimientos aditivos, por ejemplo, “Lucas escribió 4 + 3, ¿es correcto? ¿Por qué no corresponde ese mensaje? ¿Cómo tendría que ser la tarjeta para que corresponda el mensaje que escribió?”.

En el caso de que lo considere necesario y de acuerdo con las experiencias e interacciones que se den en la clase con estos problemas, el docente puede sugerir un trabajo previo con problemas de proporcionalidad (como los que están en la página siguiente) del tipo“En una caja hay 3 lápices. ¿Cuántos lápices hay en 4 cajas como esa?” con la intención de que los alumnos puedan resolverlos empleando diferentes procedimientos: dibujando, haciendo marcas, empleando cálculos, etc.

Para luego centrarse más puntualmente en el reconocimiento de la multiplicación y la comparación con respecto a las colecciones analizadas en el juego.

Página 154. Actividades 45 a 49.

Operaciones: Problemas de multiplicación. Resolver problemas que refieren a series proporcionales empleando diferentes procedimientos.

En continuidad, se proponen otros problemas que involucran una relación de proporcionalidad directa y se plantean con la intención de que puedan reconocer las particularidades que presentan (cantidades que se repiten) y, también, como así también emplear diferentes procedimientos de resolución, entre ellos, la multiplicación.

Los procedimientos de resolución podrán estar apoyados en estos recursos: • El rol de los dibujos y la necesidad de producirlos o no. Por ejemplo, la representación que propone la actividad 45 puede resultar un importante apoyo para contar, a partir de ella, los emoticones que corresponderían a los 6 mensajes o reproducirlos, dibujando los que faltan, y luego contarlos.

• Recurrir a marcas. Por ejemplo, en la actividad 46, pueden dibujar los emoticones u optar por reemplazarlos por marcas (es decir, centrarse en los aspectos cuantitativos), lo cual puede ser una opción interesante para reflexionar con la clase sobre la economía de estas representaciones para resolver estos problemas. Otro asunto interesante tiene que ver con la manera en que sugieren para organizar esas marcas o dibujos, posiblemente, disponerlos de tal manera que se

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38

Orientaciones didácticas identifiquen con claridad los 8 grupos de 4 elementos cada uno (por ejemplo 8 filas de 4) puede simplificar la tarea de conteo o cálculo posterior.

• Usar solo números. Por ejemplo, escribir 8 veces el 4 e ir sumando de 4 en 4, emplear sumas de sumandos iguales, la multiplicación, etcétera.

En cada una de estas resoluciones, se presentan diferentes relaciones con los conocimientos en juego por lo que será un asunto de la enseñanza reconocerlos, propiciar que se identifiquen de manera colectiva sus semejanzas y diferencias y, también, permitir hacerlos avanzar.

En la puesta en común, el docente podrá favorecer que los alumnos expliciten los diferentes procedimientos de resolución que emplearon y que los relacionen con los datos del problema (por ejemplo, “¿Por qué Joaquín suma 6 veces 5 si en el enunciado el 5 se menciona una sola vez?; Rita escribió 6 x 5, ¿es correcto lo que hizo? ¿Cómo obtuvo el 30 que escribió en el resultado?; ¿Qué similitudes y diferencias encuentran entre estos problemas y los que surgieron a partir del juego de mensajes con los ladrillitos?; ¿Pueden proponer otro problema que se resuelva mediante una multiplicación?”. Estas podrán ser algunas de las intervenciones al respecto.

Antes de continuar con las actividades 47 y 48 que introducen tablas de proporcionalidad, se puede, si fuera necesario, sugerir otros problemas similares (como por ejemplo, los que se anexan en este libro). Las tablas de proporcionalidad, si bien presentan una misma estructura que las situaciones anteriores en cuanto a la relación entre las cantidades (se mantiene constante el número de elementos por grupo), presentan una dificultad mayor, derivada específicamente de la lectura de este tipo de representación y la organización de los datos que propone. Esta cuestión requerirá de intervenciones puntuales del docente, previa al trabajo con la resolución, para propiciar que cada alumno/a pueda interactuar con la tabla, por ejemplo, “¿Por qué se usará una tabla en estos problemas? ¿Qué nos permite anotar? ¿Qué información da la primera fila? ¿Y la segunda? Si quisiera saber a cuántos clientes llamó el día 5, ¿dónde debo buscar ese dato en la tabla? Si bien corresponde a problemas multiplicativos, no se espera que usen esta operación, sino que puedan recurrir al abanico de opciones que surgieron a partir de los problemas anteriores. Las tablas tienen un valor aparte vinculado a las relaciones entre resultados que pueden promover, por ejemplo, “¿Cómo puedo completar la columna del 4 conociendo la columna del 2? Esta tarea se les puede asignar a los grupos que hayan tenido menos dificultades para completar esas tablas, mientras que otros trabajan con las diferentes estrategias que permitan hacerlo.

La actividad “Para pensar entre todos” se plantea a partir de la actividad 49. Se centra en la diferenciación entre los problemas aditivos y los multiplicativos. En la clase, podrán arribar a conclusiones como “para que se resuelva con la suma 14 + 8, tendría que tener una caja de 14 frascos y otra caja de 8 frascos, en cambio, 14 x 8 refiere a 14 cajas de frascos cada una”. Como se observa otra característica que diferencia los problemas aditivos de los multiplicativos tiene que ver con el universo empírico del contexto al que refieren; en los aditivos, ambos datos corresponden al mismo (frascos); en cambio, en los segundos, a universos diferentes (cajas y frascos).

Páginas 155 y 156. Actividades 50 a 58.

Operaciones: Problemas de suma y resta. Resolver problemas que refieren a unir, agregar, quitar y buscar complementos.

Las propuestas de las páginas 155 y 156 retoman y profundizan lo trabajado en el Capítulo 1 respecto a los problemas aditivos. Se continúa con situaciones que refieren a unir, agregar y qui-

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Orientaciones didácticas tar y se incorpora la búsqueda de complementos. También, el contexto seleccionado (archivos en computadoras) permite y requiere realizar cálculos con números de mayor tamaño.

Como se mencionó en el primer capítulo, uno de los asuntos para reflexionar con los alumnos tendrá que ver con los procedimientos de cálculo, así, por ejemplo, los números que intervienen en las actividades 50 y 51, quizá, lleven a que los alumnos opten por el algoritmo de la suma; en cambio, en la actividad 52, la presencia de números redondos puede favorecer el trabajo con el cálculo mental. Se destaca nuevamente la importancia de que pueda ser sugerido por el docente, en caso de no haber surgido en la clase, como maneras posibles de resolver, las cuales podrán ser comparadas con las de los alumnos, en términos de economía, conveniencia, etcétera.

A partir de la consigna propuesta en“Para pensar entre todos”, se sugiere propiciar que los alumnos puedan reconocer las similitudes y diferencias de los problemas aditivos que han resuelto hasta aquí considerando los contextos y relaciones entre las cantidades que estos proponen, por ejemplo, “se trata de agregar o quitar una cantidad a otra y averiguar cuánto queda al final”,“refieren a juntar y obtener el total”podrán ser algunas de las afirmaciones que podrán surgir, entre otras.

La actividad 55 retoma el trabajo con tablas de doble entrada, pero ya no como medio para presentar la información, sino también, para completarlas, es decir, trabajar sobre ellas. Posiblemente, haya que volver a introducir intervenciones respecto a su organización, los datos que presenta cada fila, los que presenta cada columna, para luego avanzar y completarla.

Los problemas referidos a la búsqueda de complementos, es decir, ¿cuánto le falta a... para llegar a...? suelen resultar complejos para los alumnos, ya que involucran hallar la distancia o diferencia entre dos números. Si bien la herramienta canónica para resolverlos consiste en hacer una resta, en muchos casos, pueden apoyarse en la suma, es decir, buscar el sumando desconocido: “cuánto le tengo que sumar a... para llegar a...”. De hecho, en situaciones cotidianas, esto suele ser frecuente cuando se refiere a dar un vuelto de dinero, por ejemplo “¿Cuánto le falta a $365 para llegar a $400?” en lugar de hacer 400 – 365, por lo general, decimos “trescientos sesenta y cinco y cinco es trescientos setenta, luego, trescientos setenta y treinta es cuatrocientos, entonces le falta treinta y cinco”.

La actividad 57, si bien refiere a un contexto que puede resultar cotidiano, como lo es el aumento de precios, no obstante, la identificación de la relación que se da entre las cantidades en este tipo de problemas suele resultar un asunto complejo para las y los alumnos. En este caso, por ejemplo, suelen responder directamente que “el aumento es $12.578”. Una estrategia de intervención del docente puede ser introducir situaciones similares, pero con números más chicos, por ejemplo,“un paquete de pastillas valía $60, ahora vale $80, ¿cuánto aumentó?

Como se mencionó en Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones de la página 14, muchas veces, se asocian directamente palabras claves (como juntar, ganar, aumentar, agregar, quitar, perder) con la operación que resuelve el problema. En “Para pensar entre todos” de la página 156, se propone reflexionar sobre esas asociaciones y los errores que pueden llevar a cometer.

Actividades extra - Capítulo 2 - Operaciones

1

Lucía necesita armar 8 centros de mesa con 3 flores en cada uno. ¿Cuántas flores

necesita?

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40

Orientaciones didácticas 2

En una gomería, van a cambiar todas las gomas de 5 autos. ¿Cuántas gomas necesitan?

3

Una repisa tiene 9 estantes. En cada estante, se ubicaron 4 diccionarios. ¿Cuántos diccionarios pusieron?

4

Un chupetín cuesta $12. Romina compró 3 chupetines. ¿Cuánto gastó?

5

Lucrecia vende bolsas de 4 vinchas en la feria. Completen esta tabla en la que registra las vinchas que necesita de acuerdo con las bolsas que arma.

1

Bolsas

2

3

4

5

Vinchas

6

Rodrigo vende velas artesanales en la feria. Ofrece cajas que traen 9 velas cada una.

Completen esta tabla con las velas que necesita en cada caso.

Cajas

1

2

4

5

8

10

Velas

7

Si cada paquete trae 9 velas. ¿Cuáles de estos cálculos permite averiguar cuántas velas hay en 4 cajas? Rodéenlos.

9 + 9 + 9 + 9

4 x 9

4 + 9

9 – 4

9+4

8

Una distribuidora de gaseosas recibió un pedido de 846 botellas de un supermercado.

Luego, les solicitaron que agreguen otras 315 botellas. ¿Cuántas botellas les pidieron en total?

9

De otro supermercado, recibieron un pedido de 1.400 botellas de gaseosa. Actualmente tienen en stock 625 botellas. ¿Cuántas botellas le faltan para cubrir ese pedido?

10 Martina desea comprar una bicicleta que vale $10.000. Tenía ahorrado $4.000 y consiguió otros $850 que le regalaron. ¿Cuánto dinero le falta aún para comprar la bicicleta?

Geometría En la página 18, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.

Página 157. Actividad 59.

Geometría: La circunferencia como conjunto de puntos que cumplen ciertas condiciones.

En este capítulo, si bien continuamos con copiados de figuras con circunferencias y algunas construcciones que las incluyen, se pondrá el acento en dos aspectos: • en la construcción de la definición de circunferencia y de sus elementos a través de la resolución de problemas en los que es necesario tenerlas disponibles;

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41

Orientaciones didácticas • en la elaboración de mensajes donde no solo pondrán en juego sus conocimientos para resolver, sino que tendrán que comunicar el trabajo realizado con la inclusión gradual de un vocabulario matemático cada vez más preciso.

En la actividad 59, se presenta una propuesta en un contexto que puede ser familiar para los alumnos, ya que se trata de una plaza, pero será necesario tener en cuenta antes de comenzar con la tarea que se hace referencia a un plano.

Es probable, teniendo en cuenta la situación del año anterior en todo momento, que los niños del primer ciclo no hayan tenido la posibilidad de resolver problemas relacionados con el espacio, especialmente con planos. Entonces, se sugiere comenzar, indagando cuáles son los diferentes conocimientos que los alumnos tienen sobre este contenido: elaboración e interpretación de planos.

No estamos pensando en que profundicen en el tema en este momento, pero sí que realicen algún acercamiento, ya que para muchos será la primera aproximación al contenido.

Volviendo al problema, los alumnos tendrán información en algunos carteles, en los que encontrarán los datos necesarios para poder avanzar con la consigna. Por un lado, la escala utilizada en el plano: un metro en la realidad está representado por un lado de cuadradito; por el otro, las condiciones y restricciones del Municipio. Esta información será necesaria para dar respuesta a lo pedido. Algunos procedimientos posibles pueden ser: • Marcar algunos de los puntos pedidos sin identificar que pueden utilizar el compás para marcarlos todos.

• Utilizar el compás con la abertura correspondiente para trazar “los puntos de espera”.

• Utilizar la regla para verificar si se cumple la distancia pedida entre los juegos.

• Utilizar el compás para verificar si se cumple la distancia pedida entre los juegos.

En la actividad “Para pensar entre todos”, se propone la reflexión y el intercambio de ideas acerca de las respuestas del problema anterior, que se relacionan, por un lado, con la idea de que el trazado de la circunferencia para marcar los puntos que están a una misma distancia de un punto determinado es la estrategia más conveniente para que no queden puntos sin marcar; y por otro lado, la idea de que para verificar las distancias entre los juegos puedo utilizar la regla y también el compás con la abertura correspondiente.

Página 158. Actividad 60.

Geometría: La circunferencia y el círculo como conjunto de puntos que cumplen ciertas condiciones.

En la actividad 60, se propone reinvertir la tarea de realizar una construcción a partir de un instructivo y avanzar hacia el concepto de círculo. Se espera poder discutir, además, que una circunferencia delimita tres espacios: el de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto llamado centro, el de todos los puntos que están a una distancia menor de ese punto y el de todos los puntos que están a una distancia mayor del centro. Algunas posibles estrategias podrían ser: • Marcar solo algunos puntos de los pedidos al azar.

• Intentar cubrir las zonas pedidas con la mayor cantidad de puntitos.

• Pintar en forma completa las regiones pedidas.

Respecto de las intervenciones del docente para este problema, será necesario tener en cuenta los tiempos que necesitan los alumnos para comenzar a elaborar estas ideas y la importancia de los intercambios entre pares antes de realizar alguna intervención.

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42

Orientaciones didácticas Frente a algunas estrategias descriptas, como las dos primeras, se podrá ofrecer que continúen marcando puntos, por ejemplo: “Los que marcaste están muy bien, pero otros compañeros marcaron otros en diferentes lugares, ¿está bien? ¿Por qué? ¿Habrá más posibilidades?

A partir de este problema, se espera esbozar entre todos una definición de círculo para luego contrastarla con la ofrecida en la página siguiente.

Aparecerán definiciones como: “Son todos los puntos que están adentro de la circunferencia”.

Páginas 159 y 160. Actividades 61 a 63.

Geometría: Reproducción y comunicación de figuras que contienen circunferencias.

En la actividad 61, se propone un nuevo copiado de una figura combinada que incluye circunferencias en hoja cuadriculada; el problema, también, pide elaborar un mensaje para que, otro compañero que no ve la figura pueda realizar una reproducción idéntica.

Si se dispone de un tiempo de puesta en común presencial o virtual sincrónico, sería interesante retomar estos mensajes para analizar si están completos como para reproducir la misma figura. Del mismo modo, será interesante reflexionar acerca de la sobreabundancia de información en algunos mensajes y marcar que es conveniente limitarse solo a la información necesaria para simplificar la comunicación.

Otra cuestión para analizar y comparar son los diferentes procedimientos. Por ejemplo, por dónde inició cada uno la copia y cómo la continuó, y acordar entre todos, si fuera necesario, cuáles son los pasos más convenientes para realizar este copiado.

Con la intención de seguir profundizando en las características de la elaboración de mensajes en Matemática, señaladas en la actividad 62, se ofrece una nueva figura y un mensaje incompleto para su reproducción. Se espera que puedan reinvertir o avanzar en las primeras ideas construidas hasta el momento acerca de la confección de mensajes.

La actividad 63 hace explícita, frente a la resolución de un problema en Matemática, la posibilidad de poder elegir diferentes caminos o procedimientos y que no hay solo uno válido.

Nuevamente, en este aspecto, las intervenciones docentes son indispensables para que los alumnos se involucren progresivamente en este tipo de actividad matemática.

En la actividad“Para pensar entre todos”, se espera que, en pequeños grupos o con el total de la clase, se puedan dejar registradas estas ideas, que consideramos tan fundantes dentro de las concepciones de los lineamientos curriculares actuales y que esperamos que los alumnos las apropien a lo largo de su recorrido escolar.

Algunas ideas, entre otras, que podrían circular: “Para resolver un problema en Matemática, no hay un solo camino ni uno que sea el mejor. Lo importante es que encontremos alguna estrategia que nos permita llegar a responder lo propuesto o acercarnos lo más posible a la respuesta”. “Muchas veces compartir ideas con otros compañeros nos permite mejorar nuestras producciones, avanzar desde donde nos quedamos detenidos”.

Actividades extra - Capítulo 2 - Geometría

Propuestas para aquellos alumnos que, por diferentes motivos, necesitan resolver problemas sobre los asuntos de la geometría, útiles para disponer de ellas al iniciar los problemas de este

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43

Orientaciones didácticas capítulo o para volver a repasar los conceptos más relevantes tratados para seguir avanzado en su construcción.

1

Estos segmentos son los radios de tres circunferencias.

a. Dibujalas en la carpeta. b. Hacé un nuevo dibujo de las tres circunferencias de forma que sus centros estén sobre una misma línea.

c. Volvé a dibujarlas de manera que las tres tengan el mismo centro.

2

Mateo y Ana copiaron esta figura. Escriban un mensaje que ayude a un compañero, que no puede ver las figuras, para que las pueda dibujar y le queden iguales.

3

Este es el mensaje incompleto que escribió Manuel para una nueva figura. Intenten completarlo para que al leerlo se pueda reproducir la figura completa.

• Dibujá un cuadrado en el que la medida de los lados sea 4 cuadraditos.

• Marcá los puntos en el medio de cada lado.

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44

Recursos TIC

Recursos TIC Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC Entendemos la utilización de las TIC como un medio para la enseñanza de contenidos curriculares y hacemos hincapié, en que el núcleo de nuestra propuesta es el análisis de las prácticas de enseñanza. Muchas veces se analiza a secas el papel de las herramientas tecnológicas. Dicho análisis, entonces, suele limitarse al uso de dispositivos y apuntan a un saber técnico con escasa reflexión sobre el “tipo” de uso que se realiza. Buscamos, por el contrario, comunicar la utilización de las tecnologías en una discusión que se encuentre centrada en la gestión de los materiales y de la clase que cada recurso en particular pone en juego. El análisis de la clase, como sabemos, supone un análisis del contenido –de los conceptos y de las prácticas de la Matemática– y de las interacciones entre los alumnos y el docente a propósito de los problemas. ¿Qué significa aprender en este contexto? Adherimos fuertemente a la construcción social del conocimiento, a aprender construyendo el conocimiento junto a los otros, gracias a los aportes de todos y en colaboración. Pero a la vez, reconocemos que es necesario que el alumno tome decisiones acerca de cómo resolver y qué reglas utilizar.

En este mismo movimiento, entonces, es necesario asumir el estudio de los nuevos problemas de enseñanza que la inclusión de las TIC plantea. Problemas definidos por condiciones inéditas generadas en el aula: tiempos diferentes, agrupamientos distintos que atiendan varios niveles de conocimiento, disponibilidad de la herramienta para un alumno o para un grupo de alumnos, comunicaciones mediadas por la máquina, otra jerarquización del saber que se construye mejor en colaboración con otros, etcétera.

Nuestra intencionalidad es que las situaciones seleccionadas sean un plus que le aportan las TIC a los recursos habituales de la enseñanza. Por esto, las propuestas deben estar diseñadas de manera que permitan la identificación y el análisis de los usos educativos de las TIC. Las tomamos en consideración como herramientas para que los alumnos puedan pensar, resolver, comparar con lo producido, decidir, argumentar, solos y con otros.

Seguramente, ustedes habrán tenido y tendrán que adaptar las propuestas disponibles en documentos curriculares, libros, etc., a las trayectorias en el uso de las TIC que tengan las escuelas en las que trabajan y a ustedes mismos en su práctica profesional. ¿La escuela tiene equipamiento tecnológico? ¿Computadora, Tablet, celular? ¿Conectividad? ¿Lo usan ustedes? ¿Con qué frecuencia? ¿En la enseñanza de la Matemática? ¿Para qué contenidos de enseñanza? ¿Sus alumnos han trabajado en años anteriores utilizando la tecnología como medio para aprender matemática? ¿Cuántos disponen de algún equipo que permita la realización de trabajo en sus casas? ¿Qué participación en las clases virtuales han tenido? ¿Las actividades que han realizado con las máquinas fueron planificadas? ¿De qué manera se podrían relacionar con los otros medios didácticos que utilizan? ¿Qué evaluación hacen de lo trabajado?, etcétera.

En relación con lo anterior, las propuestas deben permitir la producción de conocimientos por parte de los alumnos. No se trata solo de la aplicación de conocimientos ya construidos. No se trata solo de reproducir lo realizado por otro. Las propuestas tienen que permitir la anticipación por parte de los alumnos y, además, contemplar posibilidades de validar lo producido. Nos referimos al cuidado particular que hay que tomar para que las propuestas que se seleccionen promuevan el mismo tipo de quehacer, el mismo tipo de trabajo matemático en los alumnos que cuando trabajan en otros medios didácticos. Por un lado, la toma de decisión al tener que

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Recursos TIC seleccionar de todo lo que saben qué van a usar como estrategia de resolución (anticipación) y, por el otro, la actividad argumentativa que, también, debe estar a cargo de los alumnos (validación).

Creemos que es importante decir que ningún recurso didáctico es bueno o malo en sí mismo, sino que se inscribe dentro de un entramado complejo de decisiones que toma el docente para llevar adelante un proyecto de enseñanza. El recurso TIC que el docente seleccione no debería ser el centro de la propuesta, sino que debería cobrar sentido dentro de ella en la medida que permita colaborar en el logro de los propósitos que se persiguen, optimizando la propuesta de enseñanza y aportando una riqueza singular que, tal vez, otro recurso no podría ofrecer. En este sentido, cuidamos que los recursos ofrecidos aporten un plus a otros medios posibles de enseñanza de esos mismos temas.

Uno de los riesgos es el de convertir el recurso en la finalidad. Es decir, que se produzca un desvío en el que los medios de enseñanza ocupen el lugar de los contenidos. Un primer criterio que orienta la selección e inclusión de asistentes digitales en las clases sería, que no desplacen los contenidos de enseñanza y que la complejidad tecnológica que implica el uso del recurso no requiera de tanto esfuerzo que los contenidos que pretendemos enseñar se desdibujen.

Como en toda la enseñanza de la Matemática, más allá del medio didáctico que se utilice, sugerimos la construcción de una memoria didáctica de los alumnos, es decir, proponemos modos de cuidar la relación y la memoria entre conocimientos viejos y nuevos. Esto porque todo conocimiento nuevo se construye apoyándose sobre los conocimientos previos, a los que, al mismo tiempo, modifica. Por otro lado, tanto para favorecer el seguimiento que va a poder efectuar el maestro del progreso y de las dificultades de los alumnos, como también, el seguimiento que van a poder realizar los alumnos de su propio proceso de aprendizaje.

Para esto, en el caso de una enseñanza presencial, si la escuela cuenta con un equipamiento móvil (“carrito”), le sugerimos la numeración de las máquinas y el registro del uso de cada una por los alumnos. De ese modo, cada uno utilizará siempre el mismo equipo y podrá guardar sus producciones en una carpeta personal; de ese modo, podrá volver sobre lo producido, ya sea para estudiar, consultar, comparar sus producciones, apoyarse en lo que hizo, etc. Otra opción, si fuera posible, es el guardado en la nube o en la plataforma institucional.

Con el mismo propósito y en el caso de que se cuente con este recurso, la impresión de lo producido en la máquina para ser guardado luego en el cuaderno o carpeta es otro modo de volver sobre esos conocimientos a la hora de resolver problemas afines, en la puesta en común, como un registro para estudiar, etcétera.

Nuestra propuesta de enseñanza digital se circunscribe a problemas de geometría a través del programa Geogebra. Con independencia de si se trata de las propuestas del libro en papel o de los recursos digitales, el propósito de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria es que los alumnos se apropien de un conjunto de conocimientos sobre las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos y, también, del modo de pensar propio de la disciplina. A lo largo del segundo ciclo, es necesario que el docente plantee propuestas de trabajo que permitan que los alumnos aprendan que las propiedades de las formas permiten realizar afirmaciones sin necesidad de apelar a la constatación empírica. Se trata de que, a largo plazo puedan realizar afirmaciones como: “Puedo estar seguro, sin medir, de que este ángulo mide 40º porque entre los otros dos ángulos de este triángulo suman 140º”.

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Recursos TIC Asimismo, es necesario considerar que los alumnos ingresan al trabajo en soporte digital por tando sus experiencias y conocimientos sobre esos mismos contenidos construidos a través del “lápiz y el papel”. Intentamos que ambos contextos dialoguen y se enriquezcan mutuamente.

Contar con una nueva herramienta, muchas veces, implica una modificación en los modos de resolución de los problemas, en particular, de los modos de representación –ampliando posibilidades o encontrando sus límites–; y esto, por supuesto, puede provocar la necesidad de hacer cambios en la gestión de la clase, como también, abrir la posibilidad de la aparición de nuevos errores e ideas.

En cuanto a la utilización del GeoGebra, consideramos importante que los alumnos se familiaricen con“los básicos”de su uso: la Barra de Herramientas y Mover. La Barra de Herramientas puede variar según la versión de GeoGebra que se utiliza o dependiendo del escenario determinado previamente, pero es necesario que sepan que cada botón orienta con su nombre y que, al apoyarse en él, una etiqueta indica cómo utilizarlo. En lo que se refiere a la herramienta Mover, se trata de activarla al terminar de utilizar otras herramientas y esto le permitirá mover los objetos que no están fijos con diferentes intencionalidades: para analizar las características de un objeto geométrico y/opara poder verificar (validar) la construcción de una figura, por ejemplo; ya que al moverla, si se han puesto en juego sus propiedades, no se “deformará”.

Un detalle que nos parece importante es diferenciar dibujo y construcción. En estas páginas, llamaremos dibujo al producto de utilizar las herramientas en forma directa. Por ejemplo, consideraremos que la circunferencia de radio 2 cm (circunferencia dado un punto y la longitud del radio) o el cuadrado de lado 5 cm, hechos ambos con las herramientas correspondientes, son dibujos.

Llamaremos construcción a la que se realiza utilizando propiedades de las figuras. Por ejemplo, construimos cuadrados a partir de rectas perpendiculares, porque tenemos en cuenta que los lados del cuadrado son perpendiculares.

Consideramos un aspecto enriquecedor el que dialoguen de manera permanente las situaciones del libro papel con las digitales, ya que los problemas en Geogebra han sido diseñados de manera secuenciada con la propuesta del libro papel.

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Recursos TIC Recursos TIC por capítulo Enlace/s

Comentarios Capítulo 1

Página 143

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Página 144

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GeoGebra ofrece varias herramientas para dibujar circunferencias: dibujar una circunferencia a partir del centro y de la medida del radio; dibujar una circunferencia dados tres puntos; dibujar una circunferencia dados el centro y un punto de la circunferencia; dibujar una circunferencia utilizando un compás (que funciona desde el centro y no desde un punto de la circunferencia, como el compás mecánico que utilizamos en el aula). Es importante que los alumnos las utilicen, reconozcan los elementos que necesitan para ello (recordemos que está indicado en cada botón, al apoyar el cursor) y sepan en qué casos se utiliza cada una. En la propuesta, aparecen varias preguntas que se refieren a los dibujos hechos por los alumnos, sugerimos volver a realizar en forma oral o escrita este tipo de preguntas para cada una de las herramientas. Como siempre, es importante que los alumnos comparen sus producciones y sus respuestas con los pares.

En este recurso, se parte del dibujo de una circunferencia dada la medida de su radio y se pide la medición del radio dibujado (con la herramienta Longitud). Las intenciones de esta propuesta se relacionan con la medida del radio de la circunferencia (uso para el dibujo de la circunferencia, trazado del segmento, medición de la longitud del radio, relacionar que el radio es un segmento del que se mide su longitud), la invariabilidad de la circunferencia si el dibujo se hace a partir de la medida del radio (la circunferencia no se agranda ni se achica, el radio sigue midiendo 3 –lo que vincula a esta herramienta de dibujo como una herramienta que “fija” y hace única a la circunferencia–), la existencia de muchos radios con la misma medida en una circunferencia determinada (al dibujar varios radios y medirlos “se ve” que miden lo mismo, aunque estén en distintas ubicaciones), y la confirmación de la definición de radio (por ejemplo, “el radio de una circunferencia es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto cualquiera de la circunferencia”, más allá de la ofrecida por el libro papel). Sugerimos repetir este dibujo y responder a las mismas preguntas con circunferencias de otros radios con el fin de afianzar el uso de las herramientas y con el interés de acercar al alumno a las generalizaciones “por observación” y sin exhaustividad, simplemente ostensibles.

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Recursos TIC Enlace/s

Comentarios Capítulo 2

Página 157

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Esta propuesta se presenta en un contexto extramatemático y con un problema clásico para el uso del compás. La intención es volver a la idea de que el radio marca una distancia que se repite a lo largo de toda la circunferencia. En este caso, la circunferencia se convierte en esa línea imaginaria sobre la cual podrían estar sembrados los bulbos y es una idea que irá evolucionando en los siguientes años hasta que sea posible definir la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. La segunda intención, es la determinación de dos puntos que son la intersección de dos circunferencias. Este asunto irá evolucionando para facilitar la construcción de otras figuras (triángulos isósceles, por ejemplo) y, mucho más adelante, para demostrar congruencias. En el caso puntual de este problema, es posible determinar los dos lugares en los que podrían estar los bulbos. Es necesario discutir que ambos puntos tienen la misma cantidad de chances de ser “el lugar” porque ambos puntos cumplen con la condición de estar a cinco metros del limonero y a dos metros del ciruelo a la vez.

Esta situación es muy cercana a la anterior, pero incorpora las circunferencias del mismo centro y, en consecuencia, la idea intuitiva (no necesariamente definida) de las figuras circulares.

Esta propuesta invita a realizar el trabajo contrario: esta vez, es necesario dibujar las circunferencias dados el centro y un punto común a ambas. Los alumnos pueden utilizar la herramienta Compás (atinando a la circunferencia) o Circunferencia (centro, punto). También, pueden trazar los radios y utilizar Circunferencia (centro, radio) y hasta pueden, simplemente, trazar los segmentos y medirlos sin necesidad de trazar circunferencias. Conversar acerca de todas estas opciones, compararlas y comparar los problemas durante la puesta en común, aportará mayor conocimiento.

La copia de figuras implica elegir el orden y las herramientas para el copiado. En este caso, el orden en el que se dibujan las circunferencias no hará que cambie el producto final. La elección de las herramientas, por el contrario, puede hacer variar el resultado final. Si los alumnos eligen la herramienta Circunferencia (centro, radio) pueden probar distintos radios o medirlos antes. Si deciden medirlos, primero, tendrán que dibujar los radios de cada una de las circunferencias usando la herramienta Segmento (es importante que no coincidan con la recta para evitar confusiones) y, luego, usar la herramienta Distancia o Longitud. Si eligen usar las herramientas Compás, tendrán opciones menos seguras para conseguir circunferencias de las mismas medidas y, posiblemente, tendrán que hacer varios intentos. El gran tema de esta copia de figuras aparece a la hora de validar la copia realizada, ya que es posible mover la figura original y superponerla a la conseguida.

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Comentarios La propuesta es muy parecida a la anterior, aunque la figura que hay que copiar es mucho más compleja, ya que hay que definir el orden de copiado. Si bien sugerimos dibujar los dos círculos concéntricos, luego, el círculo grande y, al final, el más pequeño, es posible que los alumnos elijan otro orden y consigan la misma figura. Nuevamente, la posibilidad de superponer figuras ayuda a la validación.

Capítulo 3

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Se ofrece un cuadrilátero y se pide que lo midan en una regla dibujada en el recurso, a partir de 3 (de tres en adelante) y a partir de 18 (de 18 para atrás). A posteriori, se pide que comparen ambas mediciones y que escriban las instrucciones para que otro chico mida de la misma manera. El tema presente en este recurso es la identificación del segmento a medir, la ubicación de ese segmento junto a la regla y, en especial, el conteo de los centímetros y milímetros a partir de un número que no es cero, no solo “de adelante para atrás” sino también, “de atrás para adelante”.

En esta última cuestión, estamos reafirmando el concepto de medición de longitudes.

Se han quitado todas las herramientas para evitar corrimientos, ampliaciones o disminuciones. Solo está disponible la herramienta Mover.

Este recurso ofrece varias figuras que pueden moverse en el paño en diferentes sentidos. No se indica qué punto permite el movimiento para que los alumnos encuentren posiciones y relaciones sin disponer de pistas.

Algunos de los lados de esas figuras tienen la misma medida. Se les pide que las reconozcan (medición por superposición, casi intuitiva, una precuela de la anticipación) y que verifiquen que la medida es la misma. Para verificarlo, pueden mover las figuras y acercarlas hasta confirmarlo.

Finalmente, se menciona la herramienta que mide longitudes con el fin de permitirles buscarla en el panel de herramientas y utilizarla.

La puesta en común podría organizarse en torno al reconocimiento de longitudes parecidas y a las formas de verificación.

Capítulo 4

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En este recurso, se ofrecen las medidas de tres segmentos que bien pueden ser los lados de un triángulo. Se presentan en una poligonal abierta que puede moverse para formar el triángulo.

Para facilitar el trabajo de los alumnos, se presentan tres poligonales en las que los segmentos están dibujados en distinto orden.

Se pueden cambiar de lugar con el punto verde y mover para formar el triángulo con los puntos azules.

Se les pregunta si pueden formar, al menos, un triángulo y se les pide que comparen sus respuestas con las de otros alumnos.

La puesta en común tendría que centrarse en las medidas de los segmentos y la relación que permite formar el triángulo. El triángulo que puede formarse es único (el mismo en distintas posiciones).

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Comentarios Las longitudes de los segmentos que se ofrecen en este recurso no corresponden a un triángulo (la suma de dos de los segmentos es menor al tercero en, al menos, uno de los casos). La puesta en común girará en torno a las medidas que no permiten construir triángulos. Como siempre, consideramos muy enriquecedor establecer relaciones entre estas conclusiones y las que arribaron al resolver los problemas del libro papel.

En este recurso, se invita a construir un triángulo utilizando solo dos círculos y un segmento. Las herramientas disponibles son valiosas para encontrar el punto de intersección y para dar forma final al triángulo determinado por puntos intersección.

Hay muchas maneras de resolver el problema, habida cuenta de que se pueden utilizar los puntos extremos del segmento o se puede elegir cualquier otro punto. Si los alumnos eligieran cualquier punto del segmento, una vez realizada la puesta en común y discutidos los pasos seguidos, seguramente, resultará interesante pedirles que vuelvan a abrir el recurso original y, esta vez, utilicen los puntos extremo del segmento. De esta manera, efectivamente, el triángulo construido será único (en diferentes posiciones, pero único).

Este recurso es muy parecido al anterior, pero no se ofrecen las circunferencias dibujadas, sino la herramienta para dibujarlas.

La puesta en común puede girar alrededor del uso de la circunferencia para determinar todos los puntos equidistantes a un punto (el extremo del segmento, que será vértice del triángulo, para el caso de la construcción).

Capítulo 5

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Para avanzar sobre el estudio de los ángulos, pensamos en dos sentidos: la clasificación y la medición.

En el caso de la clasificación, avanzamos sobre ángulos en contexto y en movimiento. Una puerta que se abre, una pinza de cocina y una reposera reclinable son tres ejemplos de ángulos que se mueven en un contexto realista. La puerta que se abre define un ángulo de 0° (puerta cerrada) hasta 90° (puerta abierta).

El movimiento que ofrece GeoGebra permite advertir el barrido que define el ángulo y toda su amplitud.

En la pinza de cocina, hemos considerado la pinza cerrada o abierta para mostrar el barrido. Se puede discutir qué amplitud tiene la pinza si sujeta un objeto más grande o más chico.

En el caso de la reposera, aparecen dos ángulos: el ángulo del asiento con el respaldo (de 90° a 180°) y el ángulo de la tercera pata (la que sostiene el respaldo cuando se apoya en el piso).

Este último ángulo mide entre 0° y 90°.

En este caso, entonces, nos centramos en el intervalo de amplitud y en la clasificación de los ángulos, es decir, en expresiones del tipo “el ángulo entre el asiento y el respaldo se mueve entre un recto y un llano, así que, en cualquier posición es un ángulo obtuso”.

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Recursos TIC Enlace/s Página 203

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Comentarios Para la medición, se sostiene la idea de medir las amplitudes de los ángulos estrictamente con transportadores, por lo que se presenta un transportador fijo (quieto, que no puede moverse sobre el ángulo) y ángulos que se deben ubicar sobre el transportador.

El objetivo no es solo medir. Se espera que los alumnos tengan en cuenta que, al trabajar en cualquier soporte, se mantiene la importancia: • del transportador como el “medidor” por excelencia de las amplitudes de los ángulos.

• de los “puntos importantes” a la hora de vincular ángulo y transportador (punto o marca central en la que se apoya el vértice del ángulo; marca de 0° en la que se apoya uno de los lados del ángulo).

Capítulo 6

Página 207

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Página 208

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Las construcciones y las propiedades de las figuras van de la mano y permiten un fuerte trabajo geométrico. Estos recursos permiten analizar profundamente las propiedades y utilizarlas para construir cuadriláteros.

En el primer caso, se ofrece una construcción similar a la trabajada en el libro papel. El tema central para discutir es el paralelismo y la perpendicularidad de los lados del rectángulo.

El segundo recurso remite a un cuadrado. La puesta en común se refiere a las propiedades de los lados del cuadrado y sus diferencias con el rectángulo trabajado anteriormente. Es buena oportunidad para resaltar que todo cuadrado es rectángulo (definimos rectángulo como un cuadrilátero de lados consecutivos perpendiculares, y lados no consecutivos paralelos).

Capítulo 7

Página 231

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Este recurso es valioso para trabajar las actividades de la página 231. En este caso, se presentan todos los cuerpos mencionados en el cuadro y se pueden mover todos juntos para tener la oportunidad de contar vértices, aristas y caras, por ejemplo.

El movimiento de todos los cuerpos juntos puede aportar una mirada general, una mirada de las caras o las bases en la misma posición, de los vértices para hacerlos corresponder o para realizar alguna comparación que sea necesaria.

Se ha mantenido el color en todos los cuerpos para que los alumnos no puedan referirse a ellos por el color o el tamaño, sino para que los mencionen y reconozcan según sus elementos.

Nuevamente, proponemos generar interacciones con lo producido en el libro papel.

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Recursos TIC Enlace/s Página 231

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Comentarios Si no fuera sencillo el trabajo de los cuerpos “en bloque”, como se propone en el recurso anterior, o si fuera necesario hacer una mirada específica, ofrecemos cada uno de los cuerpos en una pantalla independiente.

En este caso, es posible mover el cuerpo en todos los sentidos y ubicarlo en diferentes lugares. Es posible moverlo a un lado, al otro, en círculos y, si fuera necesario, cambiar su tamaño (herramientas alejar y acercar) para verlo con más claridad y para moverlo con mayor precisión.

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Estos dos recursos muestran dos poliedros (un cubo, prisma de aristas iguales) y una pirámide y sus correspondientes desarrollos. Los desarrollos están “pegados” a los cuerpos originales, por lo que ambos (cuerpo y desarrollo) se mueven a la vez. También, es posible acercar el desarrollo hasta ver la superposición de desarrollo y cuerpo.

Las preguntas se orientan a estudiar la cantidad de vértices y de aristas del cuerpo y la diferencia que hay con la cantidad en el desarrollo. Pero sin ninguna duda, se privilegia que los alumnos reconozcan la relación entre el desarrollo del poliedro y el poliedro mismo.

Capítulo 8

Página 248

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Este recurso utiliza GeoGebra como un simple soporte en el que no se utilizan las herramientas geométricas propias del programa.

Se presentan cuatro situaciones vinculadas con las mediciones y cuatro instrumentos de medición. Al emparejarlos, se está vinculando una situación con el instrumento que lo resuelve. En este caso, no se les pide que midan ni que utilicen el instrumento.

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Guía docente Estrada A Dúo 4 es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A. Gerenta editorial: Judith Rasnosky Coordinadora de Arte: Natalia Otranto

Matemática Autores: Beatriz Moreno (coord. autoral), M. Teresita Chelle, M. Emilia Quaranta, Gloria Robalo y Marcos Varettoni Editora del área de Matemática: Evelyn Orfano Correctora: Pilar Flaster Diseño de maqueta y diagramación: Ana G. Sánchez

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La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (inadi) con los editores de texto.

Las personas que hicimos este libro estamos comprometidas con los valores de la diversidad, la igualdad y la no discriminación. Por eso, buscamos que el lenguaje utilizado en nuestros textos sea inclusivo y esté libre de estereotipos. Solo usamos el masculino genérico para facilitar la lectura en aquellos casos en los que no hemos encontrado una mejor alternativa.

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