BASISFYSIK A Af Michael Cramer Andersen og Michael Agermose Jensen © Praxis Forlag A/S 2022 og forfatterne Forlagsredaktion: Michael Haase og Mette Viking Fagkonsulenter: Mikkel Lumbye Topsøe og Henrik Bang Omslagslayout: Kit Hansen Grafisk tilrettelæggelse: Kit Hansen og Michael Haase Tryk: Livonia Print 1. udgave, 1. oplag 2022 ISBN: 978-87-29-00544-5 ISBN: 978-87-29-00545-2 (eBog+) Kopiering fra denne bog er kun tilladt ifølge aftale med Copydan.
PRAXIS FORLAG A/S www.praxis.dk
Serien BasisFysik består af: BasisFysik C BasisFysik C. Facit (gratis digital udgave) BasisFysik C. Kernestoffet BasisFysik C. Kernestoffet. Facit (gratis digital udgave) BasisFysik B BasisFysik B. Facit (gratis digital udgave) BasisFysik A BasisFysik A. Facit (gratis digital udgave)
Denne titel indgår i Praxis' fagpakke til fysik, der indeholder adaptive træningsforløb og supplerende temaforløb. Yderligere information samt adgang til download af facitlister findes på forlagets hjemmeside: praxis.dk
INDHOLD Velkommen til fysik på A-niveau 5 Til underviseren 7 Oversigt over eksperimenter 8 1 MEKANIK I TO DIMENSIONER 1 Bevægelse i to dimensioner 10 2 Jævn cirkelbevægelse 22 3 Harmonisk bevægelse 26 4 Bevægelse med varierende kraft 31 5 Gnidning 38 6 Stød 49 7 Sammenfatning 56 Opgaver 58 2 FIKTIVE KRÆFTER 1 Accelererede koordinatsystemer 2 Sammenfatning 76 Opgaver 77
64
3 RELATIVITETSTEORI 1 Relativ bevægelse 80 2 Speciel relativitetsteori 93 3 Sammenfatning 114 Opgaver 116 4 TYNGDEFELTER 1 Hvad er et felt? 120 2 Tyngdefelter 126 3 Banebevægelser i tyngdefelter 130 4 Bestemmelse af Jordens masse 154 5 Almen relativitetsteori 158 6 Sammenfatning 170 Opgaver 171 5 ELEKTRISKE FELTER 1 Elektricitet 176 2 Det elektriske felt 178 3 Kapacitorer 190 4 Sammenfatning 198 Opgaver 199
6 MAGNETFELTER 1 Magnetisme 202 2 Magnetfelter fra strømførende ledere 213 3 Magnetisk kraft på ladninger og strømførende ledere 225 4 Sammenfatning 242 Opgaver 244 7 ELEKTROMAGNETISME 1 Elektromagnetismen udforskes 248 2 Magnetisk flux og induktion 252 3 Elektromagnetismen ifølge Maxwell 262 4 Sammenfatning 265 Opgaver 266 8 KVANTEFYSIK 1 Kvantefysikkens historie 268 2 Fotoelektrisk effekt 271 3 Fotonens bevægelsesmængde 277 4 Partikel-bølge-dualiteten 284 5 Dobbeltspalteforsøget 289 6 Heisenbergs ubestemthedsrelationer 297 7 Impulsmoment og elektronens spin 303 8 Anvendelser af kvantefysik 305 9 Sammenfatning 308 Opgaver 309 APPENDIKS A Vektorer i fysik 313 B Flux og Gauss’ lov 324 C Arbejdsgang ved opgaveløsning 333 D Tabeller 334 1. Det græske alfabet 334 2. Symboler for fysiske størrelser 334 3. Fysiske konstanter 335 4. Vigtige formler 336 5. Data for Månen 338 6. Data for planeter i Solsystemet 338 7. Data for Solen 338
Velkommen til fysik på A-niveau I fysik på A-niveau vil du både komme mere i dybden med emner, der er kendt fra B-niveauet, og møde helt nye emner. BasisFysik A skal læ ses sammen med BasisFysik B – de to bøger dækker tilsammen kernestoffet på A-niveauet. Du vil møde disse emner i BasisFysik A: ▶ Mekanik i to dimensioner. Newtons love anvendt på bevægelse i én dimension er beskrevet i BasisFysik B. I dette første kapitel beskrives bevægelser i to dimensioner, herunder det skrå kast, jævn cirkelbevægelse og harmonisk bevægelse samt kraft- og energiforhold i en bevægelse med varierende kraft. Bevægelser, med gnidning eller luftmodstand, behandles nærmere. Elastiske og uelastiske stød i én dimension beskrives ved hjælp af bevægelsesmængde og kinetisk energi. ▶ Fiktive kræfter optræder i accelererede bevægelser, og vi skal se på centrifugal- og corioliskræfterne. ▶ Den specielle relativitetsteori er en indføring i, hvordan bevægelser beskrives med bevægede koordinatsystemer og koordinattransformationer med lysets hastighed som den maksimale hastighed. Den specielle relativitetsteori bliver introduceret med længdeforkortning, tidsforlængelse og relativistiske formler for energi og bevægelsesmængde. ▶ Tyngdefelter – og kraftfelter generelt – er en nyttig udvidelse af kraftbegrebet. Det anvendes på gravitationsfeltet til blandt andet at beskrive satellitter og planeters baner, og det vises, hvordan man beregner den mekaniske energi i tyngdefeltet om et centrallegeme. Den almene relativitetsteori introduceres også i dette kapitel. ▶ Elektriske felter beskriver det elektriske felt og kraften på en elektrisk ladning. ▶ Magnetfelter giver eksempler på magnetiske felter i blandt andet stangmagneter og forskellige typer ledere. Vi skal se på, hvordan elektriske felter og magnetfelter påvirker bevægelsen af ladede partikler. ▶ Elektromagnetisme introducerer begrebet magnetisk flux og beskriver induktion af elektrisk strøm. Maxwells ligninger for elektromagnetismen introduceres også. ▶ Kvantefysik blev introduceret i BasisFysik B med blandt andet fotonens energi, Bohrs atommodel, radioaktivitet og kernereaktioner. I dette kapitel ser vi nærmere på anvendelser af fotonens bevægelsesmængde, partikel-bølge-dualiteten samt absorption af ioniserende stråling.
VEL KOMMEN TIL F YSIK PÅ A- NIVE AU • 5
Eksperimenter og opgaveregning Et af målene med fysik A er, at du selvstændigt skal kunne tilrettelægge og udføre forsøg, herunder arbejde med åbne eksperimentelle problemstillinger. Elektronisk dataopsamling anvendes, hvor dette er en fordel. Fysik A afsluttes blandt andet med en skriftlig eksamen. Det anbefales derfor, at du regner eksamensopgaver fra tidligere år som supplement til bogens opgaver. Ved opgaveløsning anvendes både matematik, numeriske beregninger, graftegning, regression, CAS-værktøjer samt billed- og videoanalyse. I appendiks C findes tips til arbejdsgang ved opgaveløsning.
Til underviseren Bekendtgørelsens krav til kernestoffet på A-niveau kan, efter vores opfattelse, dækkes ved at læse følgende afsnit: BasisFysik B: 4.1-4.3, 5.1-5.14, 6.2-6.5, 7.1-7.3, 8.1-8.6, 9.1-9.3, 10.110.5, 11.1-11.3, 12.1-12.3, 14.1-14.4, 15.1-15.4, 15.7, 16.3, 17.1-17.3, 17.5, 17.8, 18.1-18.3, 19.1-19.5, 20.1, 20.3-20.8, 22.1-22.3 samt side 416-420 og side 424-425. BasisFysik A: 1.1-1.6, 4.2, 4.3 (side 130-148), 5.2, 6.1-6.3, 7.2, 8.3 (side 277-280), 8.4 og 8.5 (side 189, 293-296). Det samlede sideantal af de angivne afsnit udgør omkring 350 sider (med eksempler og eksperimenter, men uden opgaver) og opfylder derved bekendtgørelsens anbefaling om at læse mellem 350-500 sider. Derudover kan et introforløb til fysik dækkes af BasisFysik B, kapitel 1-3 (cirka 25 sider). BasisFysik A indeholder desuden afsnit, der kan anvendes som valgfrie forløb. Fx kapitel 2 om fiktive kræfter, kapitel 3 om den specielle relativitetsteori samt dele af kapitel 4 om tyngdefelter. Bogen skal suppleres med materiale til emnet fysik i det 21. århundrede samt tekster på engelsk for at opfylde bekendtgørelsens krav efter 2017-reformen. I bogens appendikser uddybes anvendelsen af matematik. Vektorer, differential- og integralregning anvendes, hvor det giver dybere indsigt. Vektorregning er beskrevet i appendiks A. De dele af integralregningen, der ligger ud over, hvad der forventes på B-niveau i matematik, er behandlet i appendiks A i BasisFysik B. Sidst i bogen findes desuden tabeller med symboler for fysiske størrelser, som introduceres i denne bog, samt fysiske konstanter. God fornøjelse! Michael Cramer Andersen Michael Agermose Jensen
TIL UNDERVISEREN • 7
Oversigt over eksperimenter 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 3.1 4.1 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 8.1 8.2 8.3 8.4 A.1
8 • OVERSIGT OVER EK SPERIMENTER
Skråt kast med fjederkanon 16 Skråt kast med en basketbold 17 Det koniske pendul 25 Hookes lov og fjedre 30 Faldende muffinforme 48 Bevarelse af bevægelsesmængde på skinnebane 51 Newtons love og acceleration 64 Bestemmelse af lysets fart i luft 92 Visualisering af tyngdekraft 135 Fire små forsøg med en plasmakugle 189 Op- og afladning af kapacitorer 197 Måling af magnetfelter med Hall-sonde 206 Undersøgelse af Jordens magnetfelt 211 Legetøjstog og magnetkraft 214 Måling af magnetfelter fra strømførende leder 224 Laplaces lov 234 Små forsøg med din smartphone 240 Fotoelektrisk effekt med elektroskop 274 Plancks konstant bestemt ved fotoelektrisk effekt 275 Dobbeltspalteforsøg 290 Begrundelse for ubestemthedsprincippet 297 Sammensætning af kræfter 319
1
MEKANIK I TO DIMENSIONER Bevægelser kan ske i alle tre dimensioner. Vi har tidligere set på bevægelser med konstant hastighed eller konstant acceleration i én dimension. Her behandles bevægelser i to dimensioner: det skrå kast, jævn cirkelbevægelse og harmoniske svingninger. Vi skal desuden udvide kendskabet til behandling af kræfter med brug af vektorer og kraftdiagrammer og se nærmere på bevægelser med gnidning eller luftmodstand samt elastiske og uelastiske stød.
Ved konstruktionen af rutsjebaner skal man nøje beregne de kræfter, passagererne udsættes for.
1 Bevægelse i to dimensioner Kinematik med vektorer
Uafhængighedsprincippet: Enhver bevægelse kan opdeles i en vandret og en lodret bevægelse.
I BasisFysik B (kapitel 10) undersøgte vi sammenhængen mellem kræf ter og bevægelse og så eksempler på bevægelse i én dimension. Nu vil vi undersøge bevægelser i to dimensioner. Vi løser et bevægelsesproblem i fysik ved at forsøge at opskrive be vægelsesligninger for position, s(t), hastighed, v(t), og acceleration, a(t). Enhver bevægelse på Jorden kan opdeles i en vandret og en lodret bevægelse. Det kaldes uafhængighedsprincippet. Vi husker, at vektorer benyttes til at angive størrelser, der har en retning, for eksempel ha stighed og acceleration. Stedfunktionen, hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen kan opskrives som vektorer:
( x(t) y(t) ) v (t) v (t) = ( v (t) ) a (t) a (t) = ( a (t))
→
s (t) =
→
x y
→
x y
Hastighed defineres som den tidsafledte af stedfunktionen: →
v=
→
→
ds ∆s ≈ dt ∆t
Acceleration defineres som den tidsafledte af hastighedsfunktionen: →
a=
→
→
dv ∆v ≈ dt ∆t
Vi opskriver bevægelsesligningerne for bevægelse med konstant acce leration på vektorform. →
→
→
→
s (t) = ½ ∙ a ∙ t 2 + v 0 ∙ t + s0
→
→
→
v (t) = a ∙ t + v 0
Om vektorer i fysik: Se Appendiks A sidst i bogen. Her bliver vektorbegrebet defineret og anvendt i fysiske situationer. På de følgende sider forudsættes vektorbegrebet kendt.
10 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
Det skrå kast Når du kaster (eller sparker til) en genstand, og den påvirkes nedad af tyngdekraften, vil den følge en bestemt bane. Ser vi bort fra luftmod stand, vil alle former for projektilbevægelse følge den samme bane kurve, der kaldes en kasteparabel. Vi tegner et (x,y)-koordinatsystem, så x-aksen peger vandret, og y-aksen peger lodret opad. Figur 1.1. Projektilbevægelse kun påvirket af tyngdekraften.
y
→
Ftyngde x
Tyngdekraften er da givet ved Fx = 0, og Fy = –m · g, hvor g = 9,82 m/s2 er tyngdeaccelerationen i Danmark. De to komposanter kan skrives samlet som en vektor: →
F tyngde =
( –m0 · g )
Kaster vi en bold, vil den – hvis vi ser bort fra luftmodstanden – efter → → kastet kun være påvirket af tyngdekraften, og der gælder F res = F tyngde. Vi kaster bolden til tiden t = 0 med begyndelseshastigheden: → 0
v =
( vv ) = (vv ·· cos(α) sin(α) ) 0, x
0
0, y
0
hvor α er kastets vinkel med vandret. y
Figur 1.2. Skråt kast, der begynder i (0,0) med begyn delsesfart v0 og vinkel α.
→
v0 v0,y = v0 · sin(α) α v0,x = v0 · cos(α)
x
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 11
Vi ser på boldens bevægelse efter kastet. Accelerationen er:
( )
0 → a = –g
Der er ingen acceleration i x-retningen, mens accelerationen i y-ret ningen er rettet nedad med størrelsen 9,82 m/s2. De generelle bevægel sesligninger bliver ved indsættelse af henholdsvis x- og y-komposan → → → → terne i stedfunktionen (fra side 10), s (t) = ½ ∙ a ∙ t 2 + v 0 ∙ t + s0: x(t) = v0 ∙ cos(α) · t + x0
Vandret stedfunktion for skråt kast
y(t) = –½ · g · t2 + v0 ∙ sin(α) · t + y0
Lodret stedfunktion for skråt kast
Disse formler er generelle. For sparket med fodbolden er både x0 = 0 og → → y0 = 0. Farten i de to retninger er (efter indsættelse af a og v 0 i hastig → → → hedsfunktionen v (t) = a ∙ t + v 0) givet ved: vx (t) = v0 ∙ cos(α) og vy (t) = v0 ∙ sin(α) – g · t Bemærk, at boldens masse ikke indgår i bevægelsesligningerne. Det → → skyldes, at vi har antaget, at F res = F tyngde, hvor der for den lodrette del gælder: m · ay = –m · g. Her kan massen forkortes væk, og vi har: ay = –g K A STE PAR ABLE N
Vi ser på et kast, der begynder i (0,0), det vil sige, at x0 = 0 og y0 = 0, som i figur 1.3. Det fremgår af den lodrette stedfunktion, y(t), at kastet er en parabel som funktion af ti den. Da den vandrette afstand, x(t), er propor tional med tiden, bliver y(x) også en parabel. Vi kan finde ligningen for banekurven – det vil sige y som funktion af x, y(x) – ved at isolere t i ligningen for x(t) og indsætte i lig ningen for y(t): x t= v 0 · cos(α)
y
→
v0,y
½·g · x2 + tan(α) · x (v 0 · cos(α))2
12 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
v0
α v0,x
⇒
½·g sin(α) y=– ·x · x2 + (v 0 · cos(α))2 cos(α) =–
Dette er forskriften for en parabel (y = ax2 + bx + c). Vi har dermed vist, at kastets bane kurve, y(x), er en parabel.
x
g
Figur 1.3. Skråt kast med begyndelsesfart v0 og vinkel α.
E K SE MPE L 1.1
Lodret kast Et lodret kast er et kast med vinkel α = 90°. Du kaster en bold lodret opad fra højden y0 = 1,5 m med hastigheden v0 = v0,y = 10 m/s. Hvor højt når bolden op? Boldens position regnes fra centrum af bolden (tyngdepunktet eller massemidtpunktet). v0,y y0
Løsning Vi ser kun på bevægelsen i y-retningen og skal finde ymax. Det er den højde, hvor hastigheden i y-retningen er 0. Vi indsætter α = 90° og sin(α) = sin(90°) = 1 og opskriver stedfunktionen: y(t) = –½ · g · t 2 + v0 ∙ sin(90°) · t + y0
1,5 m
Farten i y-retningen opskrives og sættes lig nul, hvorefter t isoleres: vy(t) = v0 ∙ sin(90°) – g · t = 0 ⇔
v0 – g · t = 0
⇔
ttop =
v0 g
Vi indsætter t = ttop i ligningen for y(t):
(vg ) + v ∙ sin(90°) · vg + y 10 m/s 10 m/s = –½ · 9,82 m/s · ( + 10 m/s · 1 · + 1,5 m 9,82 m/s ) 9,82 m/s
y(ttop) = –½ · g ·
0
2
0
0
2
0
2
2
2
= 6,6 m Svar: Bolden når 6,6 m op i luften, før tyngdekraften har bremset dens lodrette bevægelse helt, hvorefter bolden falder ned.
TÆ N K E F TE R 1
a) Hvor er accelerationen størst i det lodrette kast i eksempel 1.1 (efter du har sluppet bolden)? b) Du griber bolden i samme højde, som du kastede. Hvilken hastighed lander bolden med i din hånd? c) Forklar, at ligningen for en kasteparabel beskriver en parabel med nedadvendte grene. d) Konstanten foran x i ligningen for kasteparablen er tan(α). Hvad svarer det til, matematisk?
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 13
Stighøjde og kastelængde for det skrå kast For det skrå kast kan vi også beregne, hvor højt bolden når, samt hvor langt den når, inden den rammer jorden. Kastehøjden er den højde, bolden når op i. Banebevægelsen er en parabel, og hastigheden i y-retningen er 0 i toppunktet. Vi skal derfor løse ligningen vy = 0 for at finde den tid, det tager at nå til toppunktet: vy(t) = v0 · sin(α) – g · ttop = 0 ⇔
ttop =
v0,y g
Dette udtryk indsættes i ligningen for y(t): y(ttop) = –½ · g ·
( )
v0,y 2 v v 2 + v0,y ∙ 0,y + y0 = 0,y + y0 g g 2g
Stighøjden h, som er højdetilvæksten fra udgangspunktet, findes ved at sætte y0 = 0: v0,y2 2g
h=
Stighøjden for skråt kast (y0 = 0)
Denne formel kan fx anvendes til at løse problemet i eksempel 1.1. Længden af kastet kaldes kastelængden (eller kastevidden). Den fin der vi ved at løse ligningen y = 0 med hensyn til t: y(t) = –½ · g · t 2 + v0,y ∙ t + y0 = 0 Det er en 2.-gradsligning, hvor vi kun skal bruge den positive løsning: t=
v 0,y + √v0,y2 + 2 · g · y0 g
I det simple tilfælde, hvor kastet begynder ved jorden (y0 = 0), forenk les udtrykket til: t=
2v0,y g
hvilket er den dobbelte tid af tiden til toppunktet. Når vi skal beregne kastelængden L, indsættes tiden i udtrykket for stedfunktionen (med x0 = 0):
y
x(t) = v0 · cos(α) · t L Figur 1.4. Et kast fra højden y0 = 0.
x
I det simple tilfælde (y0 = 0) får vi (idet sin(2 · α) = 2 · cos(α) · sin(α)): 2 · v0, x · v0,y 2 · v 20 · cos(α) · sin(α) = g g v2 = 0 · sin(2α) Kastelængde for skråt kast (y0 = 0) g
L=
14 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
En alternativ løsning er at sætte y-værdien lig nul og løse for x: y=–
½·g sin(α) ·x = 0 · x2 + (v 0 · cos(α))2 cos(α)
⇔ ⇔
x=0
∨
½·g sin(α) ·x= (v 0 · cos(α))2 cos(α)
x=0
∨
x=
2 · v 20 · cos(α) · sin(α) v 20 = · sin(2α) g g
Vi finder den samme løsning for kastelængden som før, mens x = 0 svarer til startpunktet. Hvis begyndelseshøjden er forskellig fra nul, bliver udtrykket mere kompliceret. Man kan vise (se opgave 1.6), at kastelængden så er:
y
y0 L
x
Figur 1.5. Et kast fra højden y0.
v 0 · cos(α) · (v0 ∙ sin(α) + √v 02 · sin2(α) + 2 · g · y0 ) g Kastelængde for skråt kast (y0 vilkårlig)
L=
TÆ N K E F TE R 2
a) Kontrollér, at de to formler for kastelængden stemmer over ens, når y0 = 0. b) Hvordan ændres stighøjden, når y0 ≠ 0? c) I matematik lærer du at bestemme toppunktet ved formlen: b 2a hvor a og b er koefficienterne i 2.-gradspolynomiet. Vis ud fra ligningen for y(t), at det giver betingelsen: v · sin(α) ttop = 0 g x=–
d) Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, og hvis y0 = 0, begynder kastet i (0,0), så tmax = 2 · ttop. Bestem ud fra denne betingelse kastelængden.
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 15
E K SPE RIME NT 1.1
Skråt kast med fjederkanon Vi skal afprøve formlen for kastelængden af det skrå kast med begyn delseshøjde. Eksperimentet er tilrettelagt som en konkurrence, hvor holdet i grupper skyder til måls. Teori Kastelængden for et skråt kast med starthøjde y0 er: L=
v 0 · cos(α) · (v0 ∙ sin(α) + √v 02 · sin2(α) + 2 · g · y0) g
Apparatur Metalkugler, fjederkanon, målebånd og skydeskive. Figur 1.6. En fjederkanon fungerer ved, at en kugle anbringes på toppen af et rør, hvori der er anbragt en fjeder. Fjeder og kugle trækkes tilbage, og røret kan vinkles. Når fjederen udløses, sendes bolden af sted som fra en kanon.
Forsøgsgang ▶ Inddel holdet i passende grupper. ▶ Skydeskiven opsættes. (Alle grupper skyder efter samme skive.) ▶ Mundingsfarten, v0 , for kanonen bestemmes. (Tip: Vend kanonen lodret, og isolér v0 i formlen for stighøjden.) ▶ Kastekanonen anbringes på et bord og spændes fast. ▶ Målet anbringes på jorden, og afstanden til hver kanon måles. ▶ Hver gruppe skal nu beregne, hvilken kastevinkel de vil anvende for at ramme så tæt på skydeskiven som muligt. ▶ Grupperne udfører deres skud efter tur. Der måles op, hvor langt skuddet er. Den gruppe, der kommer tættest på målet, vinder. Databehandling Sammenlign den målte skudlængde med den teoretisk beregnede skud længde, og bestem afvigelsen i procent. Diskussion a) Hvilke fejlkilder og usikkerheder er der i forsøget? b) Bestem ved hjælp af min-max-metoden (se Appendiks B i Basis Fysik B), hvor meget vinklen maksimalt må variere, hvis kuglen skal lande med en usikkerhed på ±2 cm.
16 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
E K SPE RIME NT 1. 2
Skråt kast med en basketbold Undersøg, om et kast med en basketbold følger ligningerne for et skråt kast, og bestem tyngdeaccelerationen.
Teori En basketbold kastes fra højden h mod en basketkurv i højden H. Boldens tyngdepunkt følger en parabelbane. Accelerationen i y-aksens retning er –g, hvis vi ser bort fra luftmodstand. Apparatur Basketbold, videokamera (mobiltelefon eller computer), stativ eller stabilt underlag til kameraet, målebånd (mindst 2 m) og en basket kurv eller noget andet at skyde til måls efter. Forsøgsgang Inddel holdet i passende grupper. Lav en videooptagelse af et kast med en basketbold – gerne ét, der går i kurven. Databehandling ▶ Foretag en videoanalyse med fx LoggerPro eller Capstone. ▶ Bestem ud fra forsøgsresultaterne en værdi af g. Diskussion a) Bestem den relative afvigelse i procent for jeres værdi af g. b) Gør det nogen forskel, hvis man bruger en tennisbold i stedet for en basketbold?
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 17
Kraftdiagrammer
Et kraftdiagram viser alle de faktiske kræfter med kor rekt retning og længde, der virker på en genstand.
Vi har i BasisFysik B (kapitel 8) set, hvordan man tegner kræfter, når kræfterne er i samme retning eller modsatrettede. Her skal det handle om, hvordan kraftdiagrammer tegnes. Et kraftdiagram (engelsk: freebody diagram) viser de faktiske kræfter, der virker på en genstand i en given situation, dvs. at man hverken tegner den resulterende kraft, kræfters komposanter eller fiktive kræfter (fiktive kræfter behandles nærmere i kapitel 2). Hvis man følger nedenstående fremgangsmåde, er det ikke vanske ligt at udarbejde et kraftdiagram. a) I et kraftdiagram tegnes alle de kræfter, der påvirker en enkelt gen stand. Hvis der er flere genstande, tegner vi et kraftdiagram for hver genstand. b) Den resulterende kraft skal ikke tegnes, kun rigtige fysiske kræfter. c) Kraftpilene skal vende i den rigtige retning og have længder, der forholdsmæssigt er korrekte. d) Man skal angive skalaen på tegningen ved at afsætte en pil og skrive dens størrelse på. e) For at bestemme kræfternes længde og retning må man bruge parallelogramreglen, se appendiks A. Det kan også være en fordel at bestemme en krafts komposanter, hvis to af kræfterne ikke er vin kelrette på hinanden. Komposanter tegnes ikke i kraftdiagrammet. Her må man lave en hjælpetegning ved siden af. f) Normalkræfter er altid vinkelrette (normal betyder vinkelret) på den flade, genstanden befinder sig på. Normalkræfters startpunkt paral lelforskydes fra fladens kontaktpunkt til genstandens tyngdepunkt. g) Kræfterne afsættes fra samme begyndelsespunkt, som er genstan dens tyngdepunkt (se BasisFysik B, side 129). h) For at kunne regne med kræfterne eller angive deres størrelse i en bestemt retning må vi tilføje et koordinatsystem. E K SE MPE L 1. 2
Sten i snor En sten af granit med massen m = 1,0 kg hænger i en snor ned fra loftet. Tegn et kraftdiagram for stenen. Løsning → Tyngdekraften, Ft, tegnes som en pil, der går ud fra stenens tyngde punkt (eller massemidtpunkt), og som er rettet lodret nedad. For at kunne angive fortegnet på kræfterne indlægges et koordinatsystem. 18 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
Vælger vi y-aksen opad, får vi for kraftvektoren: →
→
Ft = m · g →
Fsnor 10 N
Størrelsen af tyngdekraften regnes med fortegn, og den er nega tiv, da den peger modsat y-aksen. Længden af kraftpilen er: Ft = |–1,0 kg · 9,82 N/kg| = |–9,82 N| = 9,82 N
→
Ft
→
Stenen påvirkes også af snorkraften, Fsnor, fra snoren. Da stenen hænger stille, er de to kræfter lige store og modsatrettede. Stør relsen af snorkraften er: →
Figur 1.7. Kraftdiagrammet med de to kræfter indtegnet samt marke ring af skala.
→
|Fsnor| = |–Ft| = 9,82 N Snorkraften er rettet opad, og dens størrelse er derfor positiv. I princippet er der også opdrift på stenen, men den er så lille i for hold til de to andre kræfter, at vi kan se bort fra den. Vi indsætter en pil med længden 10 N til at markere skalaen på tegningen. Snorkraften afsættes fra tyngdepunktet og langs snoren lodret opad, som vist på figur 1.7.
TÆ N K E F TE R 3
Tegn kraftdiagrammer for nedenstående situationer.
a. En sten falder, in gen luftmodstand.
b. Stenen hænger statisk i to snore.
d. Stenen ligger stille e. Stenen er i toppen på et skråplan med af et skråt kast. friktion.
c. Stenen glider på et skråplan uden friktion.
f. Stenen svinger i en snor, ingen luft modstand.
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 19
E K SE MPE L 1. 3
Bil på bakke En bil med massen m holder parkeret på en bakke med håndbremsen trukket, se figur 1.8. Bakkens vinkel med vandret er θ (theta). Tegn de kræfter, der virker på bilen. Figur 1.8. Bil på bakke med korrekt kraftdiagram.
→
N y
→
Fgnid
x θ m·g
θ
Løsning → Tyngdekraften, Ft , tegnes i bilens massemidtpunkt med størrelsen → → Ft = m · g. Bilen påvirkes også af normalkraften (N = FN ) mellem bak ken og bilens hjul. Vi indlægger et koordinatsystem med x-aksen rettet opad langs bakken og y-aksen vinkelret på bakken. Analysen deles op i de to koordinatretninger: Da bilen holder stille, er der ligevægt, og der gælder, at summen af kræfterne i x-retningen er nul, og summen af kræfterne i y-retningen er nul:
∑F =0 →
y
og
∑F =0 →
x
→
For y-retningen (vinkelret på bakken) gælder: Størrelsen af N skal være sådan, at den samlede kraft vinkelret på bakken er nul:
∑F =0 →
y
→
→
⇔ Ft ,y = –N ⇒
→
N = |N | = m · g · cos(θ)
For x-retningen (langs med bakken) gælder: Der er en gnidningskraft mellem vejen og hjulene. Størrelsen af gnidningskraften skal være så dan, at den samlede kraft langs vejen er nul:
∑F =0 →
x
→
→
⇔ Ft , x = –Fgnid
⇒
Samlet set får vi for kraftvektoren:
∑ F = 0 ⇔ ( FF ) = 0 +F =0 (–m–m· g· g· sin(θ) · cos(θ)+ N ) →
x y
gnid
20 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
→
Fgnid = |Fgnid | = m · g · sin(θ)
⇔
( –F–F ++FN ) = 0
⇔
Fgnid = m · g · sin(θ) N = m · g · cos(θ)
t,x
gnid
t,y
Gnidningskraften har altså samme størrelse som tyngdekraften gan get med sinus til vinklen. Normalkraften har samme størrelse som tyngdekraften ganget med cosinus til vinklen. Figur 1.9. Eksempel på konstruktionstegning i Geo Gebra. Konstruktionsteg ningen bruges til at tegne kræfterne i kraftdiagram met med korrekt længde og retning. Bemærk fx, at tyngdekraftens komposan ter ikke tegnes med i det færdige kraftdiagram. Den lille vektorpil viser skalaen på tegningen.
TÆ N K E F TE R 4
a) En klods med massen m ligger stille på et skråplan med vinklen θ. Find fejlene i de tre kraftdiagrammer a, b og c. m m
θ
m m
θ
m
θ
a b c
b) En anden klods glider på et skråplan. Hvad er vinklen θ, hvis skråplanet er lodret? c) Hvor stor er normalkraften, hvis skråplanet er lodret? d) Anna påstår, at normalkraften er m · g · cos(θ). Bob påstår, at normalkraften er m · g · sin(θ). Gør ud fra dine svar i b) og c) rede for, hvem der har ret.
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 21
2 Jævn cirkelbevægelse →
v
•m
r
O
Figur 1.10. Cirkelbevægelse.
Hastigheden er en vektor, der ændrer sig, hvis enten retningen eller størrelsen ændrer sig. Farten er stør relsen af hastigheden og er en skalar (et tal med enhed).
y
Vi er omgivet af jævne cirkelbevægelser. Jorden kredser om Solen, og Månen om Jorden i baner, der er tæt på at være cirkler. En legeplads karrusel, der roterer med konstant periode, eller en bil, der kører med konstant fart i en rundkørsel, udfører en jævn cirkelbevægelse, hvor jævn betyder, at omløbstiden er konstant. En elektrons bevægelse om kring kernen i et atom kan også beskrives som en jævn cirkelbevægelse. Vi ser på en genstand med massen m, der roterer omkring et punkt, O, med konstant afstand r. Den bevæger sig i en cirkel med radius r. Se figur 1.10. Det fremgår, at hastigheden ændrer retning (mens farten er konstant), idet massen m hele tiden flytter sig i en ny retning. Da det er en jævn bevægelse, er farten konstant. Omkredsen af cirk len er s = 2π · r, og det tager tiden T for genstanden at komme én gang rundt. Så farten er givet ved: v = st = 2πT· r . 2π · r = 2π · r · f T
v=
For at beskrive cirkelbevægelsen kan vi indføre polære koordinater (r,θ), hvor r er afstanden til centrum af bevægelsen, og θ er vinklen rundt i cirklen. Vi sætter θ = 0 langs x-aksen. Se figur 1.11. Vinkelhastigheden ω er tilbagelagt vinkel pr. tid og kan bestemmes som: ω=
vy r
→
v
vx θ
(x,y) x
Fart i cirkelbevægelse
dθ dt
hvor vinklen θ angives i radianer. Radianer anvendes som mål for vinklers størrelse. Der gælder, at 2π radianer = 360°. For en jævn cirkelbevægelse er vinkelhastigheden konstant. I løbet af en omgang tilbagelægges 2π i tiden T, så: vinkel 2π = = 2π · f Vinkelhastighed tid T Sammenligner vi de to ligninger for henholdsvis farten og vinkelhastig heden, får vi sammenhængen mellem den lineære hastighed v og vin kelhastigheden ω. Vi får: v v = 2π · r · f = (2π · f ) · r = ω · r ⇔ ω = r ω=
Figur 1.11. Cirkelbevægelse i et (x,y)-koordinatsystem med hastighedsvektor.
Ser vi på, hvor langt rundt på cirklen punktet m er nået, får vi, at vink len med x-aksen er proportional med den tid, der er forløbet: θ = ω · t. Vi kan således skrive ω · t i stedet for θ. Stedvektoren har koordinaterne:
(
)
(
r · cos(ω · t) cos(ω · t) r = r · sin(ω · t) = r · sin(ω · t)
→
22 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
)
Stedfunktion for cirkelbevægelse
Differentieres denne, fås hastighedsvektoren, idet man differentierer en vektorfunktion ved at differentiere koordinatfunktionerne hver for sig og benytter, at cos(x)’ = –sin(x), og sin(x)’ = cos(x):
( )
r (t) r ’(t) = rx’ (t) y’
→
og
(
–r · ω · sin(ω · t) v = r · ω · cos(ω · t)
→
)
Accelerationen findes ved at differentiere igen (ved at benytte kæde reglen):
(
)
(
→ –r · ω2 · cos(ω · t) cos(ω · t) a = –r · ω2 · sin(ω · t) = –r · ω2 · sin(ω · t)
)
Sted- og accelerationsvektorerne er altså proportionale og modsatret tede: →
→
a = –ω2 · r
Acceleration i cirkelbevægelse v
→
Størrelsen af a er: a = |a | = ω2 · r. Indsættes udtrykket ω = r heri, får vi størrelsen af centripetalaccelerationen, som er den konstante accelera tion for en genstand i en jævn cirkelbevægelse: aC =
v2 r
Centripetalaccelerationen
Fortegnet bliver positivt, fordi størrelsen kun angiver længden af vek → toren a, | a |, i retning væk fra centrum. Den resulterende kraft på en genstand, der bevæger sig i en jævn cirkelbevægelse, kaldes centripetalkraften. Den findes ved hjælp af → → Newtons 2. lov (idet aC = –ω2 · r ):
(
)
→ → → cos(ω · t) FC = m · aC = –m · ω2 · r · sin(ω · t) = –m · ω2 · r
Størrelsen af centripetalkraften er: FC = m · a C = m ·
v2 = m · ω2 · r Centripetalkraften r
Bemærk: Når formlerne for aC og FC anvendes, skal man sam tidig argumentere for, hvilken retning de virker.
TÆ N K E F TE R 5
På figur 1.11 er hastighedsvektoren for den jævne cirkelbevæ gelse tegnet i et punkt. Forsøg at tegne den tilhørende accelerationsvektor. K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 23
E K SE MPE L 1. 4
Jævn cirkelbevægelse af karrusel En karrusel udfører en jævn cirkelbevægelse. Vogne og heste bevæger sig på en cirkel med radius 5,0 m. Omløbstiden er 10,0 s.
Bestem vinkelhastigheden, den lineære hastighed og centripetalacce lerationen. Løsning Vi indsætter i formlerne: ω=
2π 2π = 0,63 s–1 = T 10,0 s
v = ω · r = 0,63 s–1 · 5,0 m = 3,1 m/s aC =
v2 (3,1m/s)2 = = 2,0 m/s2 r 5,0 m
Svar: Vinkelhastigheden er 0,63 s–1, den lineære hastighed er 3,1 m/s, og centripetalaccelerationen er 2,0 m/s2.
24 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
E K SPE RIME NT 1. 3
Det koniske pendul Vi skal undersøge den jævne cirkelbevægelse ved hjælp af et konisk pendul og bestemme tyngde accelerationen. Teori Et pendul, der bringes til at rotere i en cirkelbane, kaldes et konisk pendul, se figur 1.12. Figur 1.12. Et konisk pendul med snorkraft og tyngdekraft samt den resulterende centripetalkraft.
θ
L
h
→
r
Fsnor
FC →
Ftyngde
Centripetalkraften på loddet er givet ved: v2 r
hvor v = ω · r, og ω = 4 · π2 · r Fres = m · T2
Skema I
1
2
3
4
5
m (kg) L (m) t (s) T (s)
→
Fres = m ·
▶ Foretag en serie målinger, hvor du varierer massen m og holder længden L konstant.
2π , hvilket kan reduceres til: r
Man kan ved brug af Newtons 2. lov vise (se be viset i opgave 1.7), at der gælder: 4 · π2 g= ·h T2 Apparatur Snor, lodder og ur. Forsøgsgang ▶ Overvej, hvordan man sørger for, at loddet bevæger sig i en cirkelbane og ikke en ellipse. Eksperimentér jer frem til en præcis metode til at måle radius, r, i cirkelbanen.
▶ Foretag en anden serie målinger, hvor du vari erer længden L og holder massen m konstant. ▶ Mål i alle tilfælde omløbstiden T ved at lade pendulet løbe fx 5 omgange, og dividér tiden t med 5. Databehandling ▶ Udfyld et skema som nedenstående for den anden måleserie. ▶ Overvej, hvordan man bestemmer h, når man har målt r og L. ▶ Bestem en værdi af g ud fra forsøgsresulta terne. Skema II
1
2
3
4
5
m (kg) r (m) L (m) h (m) t (s) T (s)
Diskussion a) Afhænger omløbstiden af massen? Af pen dullængden? b) Hvor kommer den nødvendige centripetal kraft fra? (Tip: Hvilken rolle spiller snorkraf ten Fsnor?) c) Bestem den relative afvigelse fra tabelværdien for din værdi af g.
K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 25
APPENDIKS A. Vektorer i fysik Nogle fysiske størrelser har både en størrelse og en retning, fx hastig hed eller kræfter. Dette er beskrevet i BasisFysik B, kapitel 8. Vi benytter vektorer til at beskrive disse størrelser. Vektorer repræ senteres ved en pil med et angrebspunkt, en retning og en længde. → Hastigheden skrives v , hvor pilen symboliserer, at der er tale om en vektor. Dens størrelse kaldes fart og bestemmes som længden af vek → toren v = | v |, hvor de lodrette streger viser, at det er vektorens længde. Bemærk, at farten, v, ikke har nogen pil over symbolet. E K SE MPE L A .1
Addition af vektorer og multiplikation med tal En båd bevæger sig med farten 10 m/s mod nordøst, se figur A.1a. Vektorer kan ganges med tal. Hvis vi sætter bådens hastighed op til det dobbelte (figur A.1b), bliver farten 20 m/s, og hastighedsvektoren → → bliver dobbelt så lang: v ny = 2 ∙ v før I matematik lærer man, at vektorer kan lægges sammen ved at ad dere længden af pilene, hvis de er i samme retning, og trække dem fra hinanden, hvis de er modsatrettede. Vores båd sejler med farten 10 m/s ind i et område med modvind, det vil sige, vindretningen er fra nordøst (figur A.1c). Vindens hastig hed er 3 m/s. Bådens fart bliver: vny = vfør – vvind = 10 m/s – 3 m/s = 7 m/s Figur A.1. a En båd sejler med en has tighed angivet med en pil. b Båden sejler med den dob belte hastighed. Pilen er dobbelt så lang som før. c Båden sejler med modvind.
v = 10 m/s
a
v = 20 m/s
b
vny = 7 m/s
c
Appendik s A . Vek torer i f ysik • 313
Parallelogramreglen: Addition af to vektorer I den virkelige verden er det sjældent, at kræfter og hastigheder går i samme retning. Hvis vektorerne ikke er ensrettede eller modsatrettede, er det lidt mere kompliceret at lægge dem sammen. Vektorer adderes ved parallelogramreglen, som vist i figur A.2. I praksis gøres det ved, at den ene pil lægges ind med begyndelsespunkt i origo, og derefter afsæt tes den næste pil med begyndelsespunkt i den første pils endepunkt. Figur A.2. Parallelogram reglen. Summen af de to vektorer er diagonalen i parallelogrammet.
→
b 5 m/s →
→
a+b 10 m/s
→
a 5 m/s
10 m/s 5 m/s
Båden fra før sejler nu ind i et område, hvor der ikke er vind, men en strøm kommer fra siden med farten 5 m/s, som vist i figur A.3. Vi overfører hastighederne fra figur A.3 til figur A.4, hvor kun kræfterne og deres indbyrdes retning og størrelse er vist:
Figur A.3. Båden sejler med en strøm i vandet, der kommer vinkelret fra siden.
vstrøm
v båd v ny
Figur A.4. Vektoraddition af bådens hastighed og strøm hastigheden. vstrøm adderes til v båd ved at afsætte den samme pil i slutpunktet for v båd . vny tegnes derefter fra udgangspunktet for v båd til slutpunktet for den parallel forskudte vstrøm .
vstrøm
Hvis vi vil bestemme den nye fart, skal vi bestemme længden af vek toren vny i figur A.4. 314 • Appendik s A . Vek torer i f ysik
Opgaven kan løses på mange måder. Den nemmeste anvender simpel tri gonometri. Pythagoras’ sætning anvendt på trekanten i figur A.4 giver umid delbart længden af vektoren i diagonalen (i mellemregningerne udelades en hederne): →
| v ny | = √ 102 + 52 = √ 125 ≈ 11,2 Farten er derfor 11,2 m/s. Lidt mere avanceret er vektorregning med koordinater. I figur A.5 er vek torerne lagt ind i et koordinatsystem. Figur A.5. Vektoraddi tion med koordinater. v båd afsættes fra origo (0,0) som en vektor med længde 10. Vektoren for vstrøm (ved båden) parallelforsky des og afsættes des uden fra endepunktet for v båd som en vektor med længde 5.
6
5
vstrøm
4
v båd 3
2
vny
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
–1
–2
vstrøm
–3
–4
TÆ N K E F TE R 1
a) Kontrollér på figur A.5, at vstrøm har værdien 5, og at v båd har værdien 10 (figuren er målfast). b) Tegn en figur som figur A.5, men hvor strømmen i vandet kommer vinkelret fra den modsatte side af båden.
Appendik s A . Vek torer i f ysik • 315
11
Længden af en vektor Længden af en vektor med koordinaterne (a1,a2) findes som før nævnt ud fra Pythagoras’ sætning, og formlen er:
v strøm
10 9
→
| a | = √ a12 + a22
8 7 6
Vi skal finde længden af vny og ser ud fra figur A.5, at den har koordi naterne (og vektorernes koordinater er skrevet over hinanden):
v ny
v båd
5
Derfor er længden:
3 2
→
| v ny | = √ 112 + 22 = √ 125 ≈ 11,2
1 0
( ) ( ) ( )
8 3 11 v = 6 + –4 = 2
→ ny
4
vstrøm 1
2
3
4
5
6
Figur A.6. Vektoraddition med koordinater. Koordinatsyste met er drejet, så vektorerne er parallelle med koordinat akserne.
Det vil sige, at farten er 11,2 m/s, som vi også fandt ovenfor. Hvis vi i stedet drejer koordinatsystemet, så 2.-aksen peger i samme retning som bådens sejlretning – før der var strøm – ser det ud som i figur A.6. Vi får som før for længden af vektoren i diagonalen: →
| v ny | = √ 102 + 52 = √ 125 ≈ 11,2 Hvis man sejler, er man ikke kun interesseret i bådens fart, men også i, hvilken retning man sejler. I BasisFysik B (kapitel 11) har vi set på opløsning af en vektor i dens komposanter. En vektors komposanter er en opløsning af vektoren i to vektorer, der er parallelle med hver sin koordinatakse, og hvis længder svarer til den originale vektors koordinater.
Figur A.7. Hastighedsvektor med dens komposanter i x- og y -retningen.
→ y
v
→
v
θ
→ x
v
En hastighedsvektors koordinater kan findes ved hjælp af vinklen θ: vx = v ∙ cos(θ) og
vy = v ∙ sin(θ)
hvor θ er vinklen mellem v og vx.
316 • Appendik s A . Vek torer i f ysik
E K SE MPE L A . 2 v strøm →
10
Fart og retning for båd En motorbåd sejler mod nord med farten 10 m/s, det vil sige, at dens → 0 . Strømmens hastighed er → hastighed er: v båd = (10 v strøm = ( 50 ), så den ) samlede hastighed bliver:
9 8 7 6 5
v båd →
v ny →
Farten er 11,2 m/s. Vinklen findes ud fra formlen for tangens i en ret vinklet trekant:
4
10
tan(θ) = 5
3 2
θny
⇔
( 10 )
θ = tan–1 5 = 63,43°
Vinklen med nord bliver derfor: θ
1 0
( ) ( ) ( )
0 5 5 v ny = 10 + 0 = 10
→
1
θny = 26,57°
v strøm →
2
3
θny = 90° – 63,43° = 26,57° 4
5
θ = 63,43°
Figur A.8. Hastighedsvektorer med vinkler indsat.
TÆ N K E F TE R 2
a) Når man kører i bil over en bro i sidevind, hvordan skal man da orientere rattet på bilen? b) På Storebæltsbroen er pylonerne hæftet ved to tårne. Hvad skal man passe på, når der er sidevind og man i bil passerer tårnene?
Figur A.9. Storebæltsbroens ene tårn med pyloner.
Appendik s A . Vek torer i f ysik • 317
Vektorer i rummet På A-niveau skal vi i nogle sammenhænge anvende vektorer i rummet, fx inden for elektriske og magnetiske felter. Vektorer i rummet kan ganges sammen på to forskellige måder. → →
1. Det normale skalarprodukt: a · b = a1 ∙ b1 + a2 ∙ b2 + a3 ∙ b3 Skalarproduktet kaldes også prikproduktet. Resultatet bliver et tal, en skalar. → → 2. Vektorprodukt a × b . Vektorproduktet kaldes også kryds produktet. Resultatet bliver en ny vektor. →
→
→
→
Længden af vektorproduktet er givet ved |a × b | = |a | ∙ |b | ∙ sin(φ), hvor φ er vinklen mellem de to vektorer. →
Figur A.10. To vektorer og deres vektorprodukt.
→
a×b
→
φ
b
→
a
→
→
Retningen af a × b bestemmes af højrehåndsreglen (se figur A.11), idet → → → → → a × b er vinkelret på både a og b . Hvis vi drejer a i positiv omløbsret ning (mod uret) for at dreje den over i b, peger vektorproduktet opad → → (i tommelfingerens retning). Bytter vi om på a og b , peger vektor produktet nedad. Figur A.11. Illustration af hen holdsvis højrehåndsreglen og vektorproduktets retning.
→
→
→
→
a×b a×b
→
→
→ →
→
→
c = a × bc = a × b
→
→
a
φ
→
a
→
→
b×a
→
b
318 • Appendik s A . Vek torer i f ysik
→
b
→
a→
→
b×a
b φ
→
b a→
E K SPE RIME NT A .1
Sammensætning af kræfter Vi skal undersøge sammensætningen af kræfter ved parallelogram reglen. Forsøgsgang ▶ Lav en opstilling som vist på figur A.12. Sørg for, at lodderne hæn ger stille. Figur A.12. Forsøgsopstilling. Tre lodder ophænges ved hjælp af to trisser øverst, og snorene forbindes i midten. De tre lodder hænger stille, så der er ligevægt.
▶ Indsæt en kraftmåler (kaldes også dynamometer eller newtonmeter) ved hver af de tre snore, se figur A.13. Bestem vinklerne mellem snorene, og aflæs kraften på hver af kraftmålerne. Figur A.13. Forsøgsopstilling med kræfter indtegnet. Kraft målere indsættes i krogen ved hvert lod.
Databehandling a) Tegn de tre kræfter, der virker på knuden i midten, ind på milli meterpapir. b) Bestem den samlede kraft ved vektoraddition. Hvilken størrelse og retning har den samlede kraft på knuden?
Appendik s A . Vek torer i f ysik • 319
Impulsmoment Når en partikel, der har en bevægelsesmængde, roterer omkring et → bestemt punkt, O, har det et impulsmoment, L , der er defineret som → krydsproduktet mellem partiklens stedvektor, r , der udgår fra punk tet O, og partiklens bevægelsesmængde: →
→
→
L= r × p
→
→
Bevægelsesmængden for en partikel er p = m ∙ v , og hvis det er en foton (lyspartikel), er størrelsen af den p = h/λ. I mange situationer er impulsmomentet en bevaret størrelse på linje med bevarelse af lineær bevægelsesmængde. Denne bevarelseslov lig ger til grund for, at Solsystemets roterende skive blev fladtrykt, og den ligger også bag Keplers 2. lov. Impulsmomentet anvendes desuden i kvantefysik, hvor det er kvantiseret og fx beskriver elektronens spin. For at ændre impulsmomentet kræves et kraftmoment. Kraftmo → mentet omkring et punkt O for en (ydre) kraft, F , er defineret som: →
→
→
τ= r × F →
hvor r er en vektor fra punktet O til det punkt (der kaldes angrebs punktet), hvor kraften har fat. Der gælder følgende sammenhæng mellem kraftmoment og impuls moment: →
→
τ=
dL dt
Et kraftmoment ændrer derfor impulsmomentet, på samme måde som en ydre kraft ændrer den (lineære) bevægelsesmængde, idet (se også side 173 i BasisFysik B): →
F ydre =
→
dp dt
Vi kan anvende disse nye begreber til at udlede Keplers 2. lov (are alloven). I denne udledning vil vi antage, at Solen er meget tungere end planeten, og at omdrejningspunktet for planetbevægelsen dermed ligger fast i Solens centrum. Tyngdekraften mellem Solen og planeten er den eneste kraft; der er derfor ingen ydre kræfter ved planetbevægelsen. Det betyder, at kraft momentet er nul, og impulsmomentet bliver konstant: →
→
τ=
320 • Appendik s A . Vek torer i f ysik
dL =0 dt
⇒
→
L = konstant
For planetbevægelser finder vi planetens impulsmoment omkring So lens centrum ud fra definitionen (hvor m er planetens masse): →
→
→
→
→
→
→
L = r × p = r × (m · v ) = m · (r × v ) = konstant →
→
Da massen er konstant, må også r × v være en konstant vektor, hvis størrelse er lig: L → → |r × v | = m
For det overstrøgne areal, dA, i arealloven kan vi ræsonnere således (se figur A.14): → Til tiden t er radiusvektor, r , fra Solen til planeten. Idet vi lader ti den dt gå, vil radiusvektor overstryge arealet dA, samtidig med at den → → → ændrer sig fra r til r + d r . Figur A.14. Planet i ellipse bane omkring Solen.
dA → → r + dr
→
→
dr = v · dt
→
r sol
→
→
Vektoren dr er tilnærmelsesvis tangent til banekurven og er lig v · dt. Denne længde danner sammen med de to radiusvektorer en ret vinklet trekant, hvis areal tilnærmelsesvis er lig dA, idet dt kan gøres vilkårlig lille. Vi ved fra vektorregning, at vi kan finde arealet af en retvinklet tre → → kant udspændt af to vinkelrette vektorer (r og d r ) som: 1 → → dA = · |r × dr | 2
Ved indsættelse af det udtryk, vi fandt ovenfor, fås: 1 → → 1 1 L → → dA = · |r × (v · dt)| = · dt · |r × v | = · = konstant 2 2 2 m
Keplers 2. lov – arealloven – er således en konsekvevns af bevarelsen af impulsmomentet.
Appendik s A . Vek torer i f ysik • 321
OPG AVE R A.1 En båd sejler med 10 m/s mod nord,
vinden er modsatrettet med 3 m/s, og strømmen er vinkelret på båden med farten 5 m/s. a) Fremstil en tegning af situationen. b) Hvad bliver bådens fart? c) Hvilken retning sejler båden? Det vil sige, hvad er vinklen med nord?
A.3 Bane 22L/04R i Kastrup Lufthavn løber i
retning sydvest (220°) – nordøst (40°). Et fly skal lande på bane 04R, det vil sige i retningen 40° med uret fra retningen nord som vist på figuren med en rød pil.
22L
12
A.2 Vi repeterer opgave 11.11 fra BasisFysik B.
En kraft beskrives generelt som en vektor. Når en kraft virker i en lidt anden retning, end bevægelsen foregår i, har man brug for at bestemme størrelsen af kraften (kompo santen) i bevægelsesretningen. I figuren → nedenfor er tegnet en vektor F og dens → → komposanter F s og F n henholdsvis langs med og vinkelret på bevægelsen.
Fn
F
v
Fs
a) Fremstil en retvinklet trekant ud af de tre vektorer således, at kraften F er hypotenuse, og de to komposanter er kateter. b) Begrund, hvorfor den vandrette komposant af kraften har størrelsen: Fs = F · cos(v) c) Opskriv det tilsvarende udtryk for den vinkelrette komposant Fn. d) Overvej, hvorfor der må gælde, at: F 2 = Fs2 + Fn2
322 • Appendik s A . Vek torer i f ysik
N
22R
KASTRUP
30 ØRESUND
04R
04L
TAKEOFF LANDING
Flyets fart i forhold til jordoverfladen er 80 m/s. På landingstidspunktet er der imidlertid sidevind fra retningen 270°, det vil sige fra vest, med en fart på 10 m/s. Hvilken retning skal piloten pege flyets næse ved landing?
A.4 Corioliskraften (se kapitel 2) på en partikel
med massen m, der bevæger sig med has → tigheden v i et roterende koordinatsystem, er givet ved: →
→
→
F coriolis = –2 · m · ω × v →
hvor ω er vinkelhastigheden (en vektor) → for koordinatsystemet, og v er partiklens hastighedsvektor i forhold til det roterende koordinatsystem. Jorden drejer omkring sin akse mod øst, og vinkelhastigheden peger op langs rotationsaksen, mod nord.
A.5 Man kan ræsonnere for, at impulsmomen
tet er bevaret i planetbevægelser ved hjælp af kædereglen fra differentialregning: →
→
→
→
→
dL d(r × p ) dr dp → → = = ×p +r × =0 dt dt dt dt
Forklar, hvorfor hvert af de to led før det sidste lighedstegn er lig nul. (Tip: Hvornår er et krydsprodukt lig 0?)
→
ω
-
Vi ser på situationen, hvor en kanonkugle med massen m = 100 kg afskydes fra Nordpolen og bevæger sig mod syd med hastigheden v = 1000 m/s. a) Hvad er vinklen mellem vinkel hastigheden og hastighedsvektoren? b) Gør rede for, i hvilken retning coriolis kraften på kanonkuglen peger. (Tip: Brug højrehåndsreglen). c) Bestem størrelsen af Jordens vinkel hastighed. d) Bestem størrelsen af corioliskraften. e) Sammenlign størrelsen af coriolis kraften med tyngdekraften på kanonkuglen.
Appendik s A . Vek torer i f ysik • 323
