Mod på mat, lærervejledning by Alinea

Signe Gottschau Malm, Steffen Overgaard, Pia Beck Tonnesen, Dorte Maiken Lohse, Diana Rigtrup, Nana Jo Rosenlund og Gry Eliassen

LÆRERVEJLEDNING 1-3 Matematik · Lærervejledning

Lærervejledning

9788723546784_indhold.indd 1

15.11.2021 12.36

Indhold

Om materialets formål og baggrund .............................................................................................................. 4 Om projekt Mod på mat.................................................................................................................................... 4 Sproglige læringsudfordringer i matematik ................................................................................................... 5 Læringsudfordringer grundet forskelle i livsverden og skolekultur ....................................................... 8 Den flerfaglige didaktiske metode i undervisningsmaterialet ..................................................................10 Ikonerne........................................................................................................................................................11 Dansk som andetsprog....................................................................................................................................13 Den sproglige dimension i matematik...........................................................................................................13 Medborgerskab – Hvad er det? .....................................................................................................................16 Medborgerskab i skolen.............................................................................................................................16 Medborgerskab og matematik .................................................................................................................17 Medborgerskabsperspektiv i materialet..................................................................................................18

MOD PÅ MAT 1 ...........................................................................................................................................19 TAL......................................................................................................................................................................20 Antal op til 20 ..............................................................................................................................................23 Tal fra 0 til 100 .............................................................................................................................................25 Addition op til 20.........................................................................................................................................28 Addition og regnemetoder ........................................................................................................................31 Addition og subtraktion .............................................................................................................................34 Evaluering af TAL ........................................................................................................................................36 MÅLING.............................................................................................................................................................38 Centimeter og meter...................................................................................................................................40 Tid på dig .....................................................................................................................................................43 Evaluering af MÅLING................................................................................................................................46 STATISTIK..........................................................................................................................................................48 Kategorier ....................................................................................................................................................49 Dine undersøgelser .....................................................................................................................................51 Evaluering af STATISTIK .............................................................................................................................52

9788723546784_indhold.indd 2

15.11.2021 12.36

MOD PÅ MAT 2 ...........................................................................................................................................55 AREAL ................................................................................................................................................................56 Areal af rektangler ......................................................................................................................................58 Areal af trekanter........................................................................................................................................61 Undersøgelser af areal...............................................................................................................................63 Evaluering af AREAL ...................................................................................................................................67 BRØKER.............................................................................................................................................................69 Brøker i hverdagen......................................................................................................................................71 Brøkers størrelse..........................................................................................................................................74 Klassen i brøker ...........................................................................................................................................77 Evaluering af BRØKER ................................................................................................................................79 STATISTIK..........................................................................................................................................................81 Tal om vejret.................................................................................................................................................82 Data om din klasse......................................................................................................................................84 Sammenhænge ...........................................................................................................................................86 Evaluering af STATISTIK .............................................................................................................................89

MOD PÅ MAT 3 ...........................................................................................................................................91 GEOMETRI ........................................................................................................................................................92 Fra flade til rum ...........................................................................................................................................93 Overflade og rumfang................................................................................................................................95 Retvinklede trekanter .................................................................................................................................97 Evaluering af GEOMETRI ...........................................................................................................................99 SANDSYNLIGHED .........................................................................................................................................101 Sandsynligheder og undersøgelser ........................................................................................................103 Sandsynligheder og kombinationer .......................................................................................................107 Stikprøver ...................................................................................................................................................112 Evaluering af SANDSYNLIGHED.............................................................................................................114 TAL OG SYSTEMER........................................................................................................................................116 Flere måder at regne på ..........................................................................................................................120 Regnearternes hierarki .............................................................................................................................124 Forskellige talsystemer.............................................................................................................................127 Evaluering af TAL OG SYSTEMER ...........................................................................................................130 REFERENCER ..................................................................................................................................................132

9788723546784_indhold.indd 3

15.11.2021 12.36

Om materialets formål og baggrund Dette undervisningsmateriale henvender sig til lærere, der i en periode ønsker at arbejde med den sproglige dimension i matematikundervisningen. Hovedtanken er, at man lærer et fag at kende og bliver god til det ved også at mestre det sprog og den praksis, som er knyttet til faget. Materialet kan derfor bruges af lærere, som vil hjælpe eleverne til at blive bedre til matematik gennem et fokus på den matematiske diskurs som et supplement til selve undervisningen. Materialet kan med fordel både bruges til undervisning af flersprogede elever og elever med sproglige vanskeligheder i matematik i både indskoling, mellemtrin og udskoling, da det ud over at fokusere på at lære matematik gennem en forståelse af det sprog, der er knyttet til faget, også lægges vægt på at inddrage elevernes forskellige resurser og måder at arbejde på. Materialet indeholder desuden et medborgerskabsperspektiv, der gør matematikken aktuel og relevant i forhold til problemstillinger i nutidens danske samfund. Grundtankerne bag dette undervisningsmateriale bygger på resultaterne af et 4-årigt forskningsog udviklingsprojekt, ”Mod på Mat”, som blev støttet af Egmont Fondens flygtningehandleplan fra 2017 i forlængelse af flygtningekrisen i 2015. Den samfundsmæssige anledning til projektet var det aktuelle behov for hjælp til uddannelse og integration af nyankomne børn og unge, som skulle (og stadig skal) lære at gå i skole i Danmark. I forhold til denne elevgruppe fokuserede vi især på en flerfaglig tilgang til undervisningen i matematik, ligesom vi arbejdede med elevernes både sproglige, kulturelle og psykosociale udfordringer i forlængelse af den internationale forskning indenfor dette område (Pastoor 2017, Beltekin 2016, Taskin & Erdemli 2018). Den oprindelige grundtanke i projektet var, at matematik kan fungere som en mediator eller en brobygger mellem børnenes oprindelige sprog og kultur samt det nye sprog og den nye skolekultur i Danmark. Vi har derfor gennem længere tid arbejdet med, hvordan matematik er et slags fælles sprog, der kan bevæge sig på tværs af mange kulturer, samtidig med at vi har undersøgt, hvordan det matematiske sprog i en dansk kontekst netop kræver, at eleverne lærer det danske matematiksprog at kende, herunder både fagord og førfaglige ord samt det ”at knække koderne” i faget. Dette fokus tænker vi, at mange elever kan have gavn af, og netop derfor har vi udformet dette undervisningsmateriale til en bredere elevgruppe. For at give en bedre forståelse for den flerfaglige tilgang, som dette materiale bygger på, vil vi her gennemgå nogle eksempler på både sproglige og kulturelle aspekter ved nyankomne elevers læringsudfordringer, som vi har erfaret også kan give en forståelse af nogle af de vanskeligheder, som matematikfaget indeholder for andre elever, som er sprogligt udfordret på forskellige måder. Denne gennemgang danner baggrund for forståelsen af den didaktiske metode, som undervisningsmaterialet bygger på, hvilket man kan læse om i afsnittet om ikonerne og afsnittene derefter. Derefter følger et afsnit om, hvordan vi har inddraget Dansk som andetsprog, og at der arbejdes med en sprogbaseret matematikundervisning samt til sidst et afsnit om medborgerskab og arbejdet med demokratisk dannelse i materialet.

Om projekt Mod på Mat I projekt ”Mod på Mat” har forskning og udvikling været tæt forbundne, og projektets resultater er præget af både et tværfagligt samarbejde mellem fagene matematik, undervisning af tosprogede

9788723546784_indhold.indd 4

15.11.2021 12.36

og KLM/Almen dannelse1 samt en anvendelsesorienteret tilgang, hvor inddragelse af lærere og nyankomne elever har spillet en afgørende rolle. Projektet har haft to hovedformål, nemlig at undersøge læringsvanskeligheder blandt nyankomne børn og unge i de danske skoler samt at udvikle matematisk undervisningsmateriale til denne elevgruppe. Der er taget udgangspunkt i en afprøvningsfase, en udviklingsfase og en forankringsfase, og i de to første faser har forskning og udvikling foregået sideløbende. Problemkonstruktionen og analysen af det empiriske datamateriale indsamlet i dette projekt er præget af den anvendelsesorienterede forskning, som kendetegner professionshøjskolerne i dag (Nielson, 2018, Høygaard & Busch, 2016; Hornskov, Larsen og Schrøder, 2018) og forskningsprocessen kan beskrives som indeholdende elementer fra både aktionsforskning og Grounded Theory (Flyvbjerg, 2010). Metodisk har vi gjort brug af klasserumsobservationer, semistrukturerede interviews med 8 lærere og fokusgruppeinterviews med 6 elever, som vi løbende har haft kontakt med. Vi har desuden videofilmet undervisningen på tre skoler, afholdt forældrearrangementer og testet op mod 200 elever i modtageklasser/internationale klasser på 7 skoler fordelt på Sjælland, Jylland og Bornholm. Derudover har vi løbende foretaget feltarbejde på en udvalgt skole, hvor vi bl.a. gennem deltagelse i undervisningen i matematik og som hjælpelærere i en lektiecafe har fulgt en gruppe syriske elever med flygtningebaggrund. Samarbejdet med skolerne har været centralt for vores analysearbejde. I forlængelse af de indledende undersøgelser udarbejdede vi en lærervejledning, som indeholdt cases og eksempelfortællinger fra de indledende kvalitative undersøgelser. Dette dannede sammen med testmaterialerne udgangspunkt for en fælles videre undersøgelse af elevernes læringsvanskeligheder. Mens vi hurtigt nåede frem til en fælles forståelse af de sproglige læringsvanskeligheder, herunder også en enighed om en sprogbaseret fagundervisning i matematik, var det sværere at finde frem til en didaktisk tilgang, som samtidig rummede mulighed for at imødekomme elevernes kulturelle og psykosociale udfordringer i en dansk skolekontekst. Vi udviklede på den måde et undervisningsmateriale, der gennem brug af ikoner, som henviser til forskellige typer matematik, giver læreren mulighed for at være tydelig omkring undervisningsformer, og som samtidig, gennem inddragelse af elevernes forskellige forudsætninger, giver mulighed for differentieret undervisning for en bredere gruppe elever, der er sprogligt udfordrede. Tilbagemeldingerne på materialet fra lærere og elever samt involveringen af studentermedhjælpere igennem projektets forskellige faser har tilsammen bidraget til undervisningsmaterialets endelige form.

Sproglige læringsudfordringer i matematik Mødet med et nyt sprog er en central og gennemgående læringsudfordring for både flersprogede, nyankomne og sprogligt udfordrede elever, der skal arbejde med matematik i en dansk skolekontekst. I dette afsnit viser vi nogle eksempler på dette fra de skoler, som vi har samarbejdet med i projektet, og hvor størstedelen er nyankomne og flersprogede elever. 1

Projektet blev udarbejdet af følgende undervisere fra Københavns Professionshøjskole: Diana Rigtrup, Steffen Overgaard, Signe Gottschau Malm, Pia Beck Tonnesen, Gry Eliassen og Dorte Maiken Lohse. Projektet blev støttet af Egmont Fonden og er oprindeligt inspireret af projekt TMTM i samarbejde med DPU.

9788723546784_indhold.indd 5

15.11.2021 12.36

Da vi i projektets startfase første gang mødte disse elever på skolerne, fortalte flere af dem, at de kunne genkende mange af matematikkens områder og symbolsprog, men at det danske sprog, som var knyttet til opgaverne, var en barriere for både forståelsen og løsningen af matematikopgaverne. Fx talte vi med en syrisk dreng i en modtageklasse2, som var midt i en opgave om udregning af arealet af en fodboldbane. Han sagde: ”Jeg kan godt forstå matematik, men jeg kan ikke lave opgaven, når jeg ikke kan forstå sproget.” Han var blevet hjulpet lidt på vej, da matematikopgaven også indeholdt et billede af en fodboldbane, så han både kunne indkredse temaet og aflæse de fleste matematiske symboler. Men den danske tekst, der bestod af en matematikhistorie i form af en problemregningsopgave, kunne han ikke forstå. Nogle af de elever, vi har fulgt løbende, og som vi har spurgt om gode råd og ideer til dette undervisningsmateriale, anbefalede os som noget af det første bl.a. at lave ordlister over fagordene inden for de forskellige matematiske emner. Og denne anbefaling siger en del om elevernes viden om vigtigheden af også at fokusere på sproget i matematikundervisningen. Men foruden fagordene kan de førfaglige ord også generelt være svært for flersprogede elever. Vi observerede bl.a. under en undervisningslektion i matematik, at læreren havde skrevet fagordet ”vinkelgrader” op på tavlen som en del af introduktionen til dagens emne om brøker. Han spurgte eleverne, hvad de troede, at ordet grader betød, og de begyndte at tale om vejret - altså om temperaturgrader. ”Grader” er et eksempel på et ord, som kan have én betydning i hverdagssproget, som fx temperaturgrader, men som kan få en anden betydning i en matematisk kontekst, både når det står alene og som i fagordet ”vinkelgrader”. Førfaglige ord er ikke egentlige fagord, men heller ikke højfrekvente ord i hverdagssproget (som fx ”han”, ”var”, ”ikke”). Det er ofte ord, som læreren formoder, at eleverne kender til som en del af hverdagssproget, og de bruges ofte som forklaring af fagord. Flere undersøgelser har vist, at førfaglige ord og udtryk udgør en særlig udfordring for tosprogede elever (Kulbrandstad, 2004; Cummins, 2000), men ofte ikke bliver forklaret i undervisningen, da der i højere grad fokuseres på fagordene. Sprogforskeren Bernstein har beskrevet forskellen på hverdagssprog og fagsprog som forskellen på horisontale og vertikale diskurser, hvor sidstnævnte kendetegnes som en række specialiserede sprog (Bernstein, 1996). Og Halliday har - ligesom Mulavad i en dansk kontekst - desuden beskrevet, hvordan ethvert fag er kendetegnet ved et særligt sprogligt mønster eller register, som henviser til de sproglige træk, der typisk viser sig i fagets tekster. Matematikfaget er fx kendetegnet ved brugen af en del verber i bydeform samt brugen af passiver og lange nominalgrupper. Derudover indeholder den kontekstbaserede matematik, som fx problemregningsopgaver en del berettende tekst, hvor eleven skal kunne afkode de nødvendige oplysninger i teksten for at kunne regne opgaven (Mulvad, 2009). Nyankomne elever skal derfor både kunne mestre et nyt hverdagssprog og et nyt fagsprog, og selv hvis de opnår dette, indeholder arbejdet med matematisk problemløsning i en ny skolekontekst yderligere udfordringer, hvilket tydeligt fremgår af nedenstående eksempelfortælling fra en anonymiseret observation i en modtageklasse. Eksempelfortælling 1 Vi har fået lov til at observere og deltage i Peters undervisning i matematik for en M3 klasse på en skole på Sjælland. Vi har fulgt undervisningen i en anden klasse de første 45 minutter, så da jeg kommer ind i lokalet, fortæller Peter, at eleverne nu sidder og regner opgaver individuelt og parvis, 2

De klasser, der deltog i projektet, blev enten kaldt modtageklasser, opdelt som M1, M2 og M3, velkomstklasser, fordelt som V1, V2 og V3, eller internationale klasser.

9788723546784_indhold.indd 6

15.11.2021 12.36

efter at de i sidste time har fået en fælles introduktion til opgaverne. Han fortæller, at han har valgt at sætte eleverne til at arbejde med et ret teksttungt undervisningsmateriale for at forberede dem til folkeskolens afgangsprøve i matematik. Der er to piger, som er gået i stå med opgaverne, og som sidder med hånden oppe, og da vi har aftalt, at jeg også kan fungere som en slags hjælpelærer, går jeg hen til de to piger. De fortæller, at de ikke forstår teksten. Matematikhistorierne i dette eksempel tager udgangspunkt i hverdagsmatematikken. Et af stykkerne handler om en person, som har et overtræk på sin konto. Personen sætter et bestemt beløb ind på kontoen og hæver desuden et bestemt beløb – og eleverne skal på den baggrund udregne, hvor meget der står tilbage på kontoen. De prøver at læse teksten op for mig, hvilket går udmærket. De kan altså godt afkode teksten, men det viser sig, at de mangler tekstforståelse. De har ikke kun svært ved at forstå fagordene, men beder også om at få forklaret hverdagssproglige eller førfaglige ord som ”hæve”, ”konto” og ”overtræk”. Efter at de har forstået matematikopgavens narrative kontekst, skal de prøve at transformere matematikhistorien til et regnestykke. Denne omformning fra en matematikhistorie til et regnestykke virker særligt svært for den ene af pigerne. Hun fortæller, at hun ikke er vant til den type opgaver, hvor man skal ”finde et regnestykke” i en tekst. Pigerne ender dog med at skrive det rigtige beløb, som oprindeligt stod på kontoen, men kan derefter ikke finde ud af, hvad de skal gøre med de andre beløb, som blev hævet og indsat på kontoen. Selvom matematik kan være en mediator for ny læring, så kan mødet med fx matematikhistorier, der er knyttet til problemregning, skabe både sproglig og metodisk forvirring, da teksten både skal oversættes til dansk (og måske også til elevernes modersmål), samtidig med at den skal transformeres og opstilles som et regnestykke. Det er alment kendt, at flersprogede elever kan have udfordringer med at afkode problemregningsopgaver. I en artikel fra 1990 med titlen “Language factor: Does it affect children´s performance on word problems?” viste Adetula fx gennem en undersøgelse, der blev foretaget i folke- og privatskoler i Nigeria, hvor elever arbejdede med problemregning både på deres eget modersmål og på engelsk, at eleverne klarede opgaverne bedre på deres modersmål. Men denne type tekstopgave i matematik kræver desuden, at eleverne både kender til opgavens struktur og de regler, der er forbundet med at løse opgaven. Fx har Fredheim, Trettenes og Kristiansen udviklet undervisningsmaterialet Læsning og Skrivning i matematik, som gør det tydeligt for elever, hvilke skjulte regler der kan gemme sig i en tekstopgave i matematik. De viser fx, at en typisk tekstopgave både indeholder et spørgsmål, vigtig information, skjult information og unødvendig information, som skal afkodes, før opgaven kan løses. De fremstiller følgende eksempel: ”Mads er 9 år. Han får lommepenge af sin mor. Han får 10 kr. hver dag. Hvor mange lommepenge får han hver uge? Sidstnævnte sætning er spørgsmålet, den vigtige information er, at han får 10 kr. hver dag, den skjulte information er, at det ikke er angivet, hvor mange dage der er på en uge, og den unødvendige information er, at Mads er 9 år (Fredheim, Trettenes & Kristiansen, 2015). Løsningen af en problemregningsopgave kræver derfor kendskab til en særlig fremgangsmåde, hvor man indsamler den nødvendige viden, der skal til for at transformere en tekstopgave til en regneopgave. Man kan derfor på en måde sammenligne denne type opgaveløsning med det at spille et spil, hvor man for at kunne deltage både skal kende reglerne og spillets formål.

9788723546784_indhold.indd 7

15.11.2021 12.36

Læringsudfordringer grundet forskelle i livsverden og skolekultur Foruden kendskab til hverdagssprog, fagsprog, regler og evnen til at skelne mellem vigtig, nødvendig og unødvendig information i en problemregningsopgave, viste vores undersøgelser desuden, at eleverne i deres arbejde med matematikken stødte på andre vanskeligheder, som kan relateres til mødet med en ny skolekultur. I den internationale forskning i tosprogedes læring i matematik (Xenofontos, 2014; Crafter, 2011; Hunter,Civil,Herbel-Eisenmann, Planas &Wagner, 2018) og i forskning i ethnomatematik (Barton, 1996) kan man finde flere eksempler på, at matematik, til trods for at det på mange måder kan fungere som et fælles sprog på tværs af lande, ofte er præget af den omgivende kulturelle kontekst. Matematikundervisning er derfor både præget af den uddannelsespolitik, som et land fører, af et særligt curriculum, som betyder, at forskellige matematiske områder prioriteres forskelligt i forskellige lande, samt at der kan være særlige måder at lære og arbejde med matematik på i forskellige geografiske områder. Tilsammen betyder det, at der kan være væsentlige forskelle på den læringspraksis, som elever møder i skolerne. Flersprogede elevers vanskeligheder med matematik kan derfor ikke kun forklares ved at se på sproget. Den ændrede læringskontekst (herunder nye måder at arbejde med matematik på) betyder, at flersprogede elever ofte ikke kan trække på den samme erfaring med automatisering af regnemetoder og strategier som de elever, der i længere tid har været en del af en bestemt skoleog læringskontekst. De skal altså både kunne navigere på et nyt sprog og forholde sig til andre praksisformer, samtidig med at de måske i forvejen er traumatiserede, har koncentrationsbesvær og derfor har svært ved at sammenholde flere informationer samtidig. For at vise, hvordan vi oplevede et eksempel på denne type læringsvanskeligheder, vil vi præsentere en anonymiseret case med udgangspunkt i vores feltarbejde i lektiecafeen på samme skole. Eksempelfortælling 2 Første gang vi møder Yusuf på 16 år i lektiecafeen, fortæller han, at han var god til matematik, da han gik i gymnasiet i Syrien, og at hans yndlingsfag var fysik og kemi. Han siger, som noget af det første, at han er meget træt af, at han godt kan finde ud af matematik (han viser flere sider i en notesbog med tal og udregninger), men at han ikke kan dansk og derfor ikke længere er god til matematik. Han sidder uroligt på stolen, og han tager et hæfte med folkeskolens afgangseksamensopgaver frem. Han skal til at løse en opgave, der handler om beregning af forskellige priser på kaffe og støder på denne indledning: ”Undersøg gennem beregning …” efterfulgt af en længere tekstopgave. Han har brug for, at matematiklæreren forklarer og oversætter problemregningsopgaven. Han fortæller, at det ikke er nok at oversætte vha. Google Translate, da meningen ikke altid fremgår af oversættelserne. Yusuf bliver urolig og sukker, da matematiklæreren også er nødt til at hjælpe de andre elever. Han blander sig og prøver at svare hurtigt på de opgaver, som læreren stiller til de andre elever. Da vi spørger ham og nogle af de andre elever i lektiecafeen om forskellen mellem matematikundervisning i Syrien og i Danmark, svarer Yusuf, at de danske elever fx ikke kan tabellerne udenad, og han fortæller, at han i Syrien havde matematikdiktat. Ligesom det er tilfældet med flere af de andre syriske elever på skolen, som vi har talt med, fremhæver han, at de blev testet meget i Syrien, og at der var mere disciplin. En af de lærere, som er i lektiecafeen, og som hjælper Yusuf med at oversætte fra arabisk til dansk, mens vi taler sammen, fortæller, at hun også har oplevet flere forskellige metoder til at arbejde med matematik. Hun tager et stykke papir og viser os de forskellige måder, som hun har lært at opstille

9788723546784_indhold.indd 8

15.11.2021 12.36

færdighedsregningsopgaver på i Libanon og Saudi Arabien. Hun har selv en flygtningebaggrund. Hun har boet forskellige steder og har derfor erfaring med, hvordan matematikundervisning kan se forskellig ud inden for forskellige skolekontekster. I denne eksempelfortælling møder vi igen en elevs vanskeligheder med at forstå fagsproget i en matematikopgave. Det gælder både den direkte oversættelse, som ikke altid er nem at finde frem til på Google Translate, da betydningen ofte afgøres af tekstens kontekst. Derudover møder Yusuf vanskeligheder, når han skal afkode, hvilken fremgangsmåde der er underforstået i formuleringen: ”Undersøg gennem beregning …” Dertil kommer de vanskeligheder, som er forbundet med at have lært matematik inden for en anden kulturel kontekst. Som det fremgår af eksempelfortællingen ovenfor, fortalte Yusuf, hvordan han fx havde haft matematikdiktat i sin syriske skole, og at han undrede sig over, at de danske elever ikke kunne tabellerne udenad. Og generelt fremhævede de syriske unge med flygtningebaggrund, at skolesystemet i Syrien havde været præget af flere regler, flere tests og mere disciplin end det danske (folke-)skolesystem, hvilket selvfølgelig kan nuanceres på flere måder set i lyset af deres forskellige erfaringer og individuelle holdninger. Foruden forskellene på undervisningsformen fortalte eleverne også om andre typer af kulturelle forskelle på danske og syriske skoler. Vi talte fx med en syrisk elev. Hun havde klaret sig godt i det danske skolesystem og var hurtigt kommet videre fra modtageklassen ind i almenklassen, og hun var nu begyndt på gymnasiet. Hun fortalte, at hun havde oplevet mange fordele ved at kunne bruge sin matematiske viden i en ny skolekontekst, men hun fortalte også om forskelle i arbejdet med matematikken i henholdsvis Syrien og Danmark. Hun fremhævede bl.a., at undervisningen i Syrien generelt var meget mere baseret på grundbøger, som man fulgte kronologisk i forhold til de enkelte klassetrin. Hun havde desuden lagt særligt mærke til, at man som elev i Danmark skulle undersøge flere ting selv. Dette havde hun oplevet i matematikundervisningen, men det havde specielt været anderledes i fx samfundsfag og historie, ”… da det både er en anden historie, man skal lære, og samtidig skal man selv finde ud af ting både via internettet og på andre måder”. For at undersøge de kulturelt betingede læringsudfordringer nærmere, rejste vi som en del af projektet til Libanon og besøgte forskellige skoler, hvoraf nogle var beliggende tæt op ad grænsen til Syrien. I Libanon er hver fjerde eller femte indbygger nu flygtning fra Syrien, så landet har efterhånden meget erfaring med arbejdet med inklusion på skolerne. En af skolerne var fx en FN-skole, der var placeret ved siden af en flygtningelejr, hvor der også boede mange palæstinensiske flygtninge. En anden skole havde ansat lærere fra Syrien, der underviste efter et syrisk pensum, som eleverne skulle til eksamen i, når det blev muligt at rejse fra Libanon ind i Syriens hovedstad Damaskus. Og på en tredje skole, som havde særligt fokus på arbejdet med inklusion af de nyankomne elever fra Syrien, blev der undervist i et libanesisk pensum. På denne skole var de desuden stolte af, at de havde elever, som var blevet særligt dygtige til en regnemetode, der i daglig tale kaldtes ”finger math”. Her øvede børnene sig i at blive hurtige til at udregne regnestykker i hovedet ved at huske på, hvordan de oprindeligt brugte en kugleramme som regnemetode. Denne metode til at lære matematik, er fx også udbredt i Indien, men benyttes, så vidt vi ved, ikke i Danmark. Vi har flere gange vist et videoklip fra denne skole for danske lærere, som ikke kender til, eller i hvert fald ikke selv bruger metoden. Dette er endnu et eksempel på, at matematik, til trods for at det kan opfattes som en form for fælles sprog, også er kulturelt betinget. Eksempelfortællingen om Yusuf og de erfaringer fra elever og lærere, som vi har citeret ovenfor, viser derfor, at nyankomne børn og unges læringsvanskeligheder ikke kun kan forklares ved de sproglige udfordringer. Forskelle i undervisningspraksis og skolekultur må også inddrages i den samlede forståelse af de læringsudfordringer, som eleverne oplever.

9788723546784_indhold.indd 9

15.11.2021 12.36

En metode til at arbejde didaktisk med denne udfordring, er at arbejde med matematik som både sprog og praksis, altså med en udvidet forståelse af sprog, som man med sprogfilosoffen Ludwig Wittgensteins ord kan kalde for et sprogspil. Han sammenligner nemlig sproget med et spil og beskriver sprog som en del af en aktivitet eller en livsform, der ofte har nogle særlige regler, som man skal kende for at kunne spille med. Man benytter ofte forskelligt hverdagssprog, alt efter om man taler med familie eller venner, eller hvis man taler fagsprog i skolen og op gennem uddannelsessystemet. Og når man fx skal lære et fag i skolen at kende, vil man ofte både skulle lære det fagsprog, som er knyttet til faget, men også de måder man arbejder med faget på, altså dets praksis. Problemregningsopgaverne i matematik er som nævnt ovenfor et godt eksempel på, hvordan der både kan skjule sig nogle regler i sproget og i bestemte måder at arbejde med matematik på. Her skal eleverne kunne forstå det matematiske fagsprog, og de skal desuden kunne skelne mellem nødvendig, vigtig og unødvendig information for at kunne omforme en tekstopgave til et regnestykke. Når man både arbejder med et fags sprog og praksis, kalder man det også at arbejde med fagets diskurs (Mellin-Olsen1990, Skovsmose 2005 og Niss 2007). Denne måde at undervise og lære matematik på kan være til gavn for en større gruppe elever, som er sprogligt udfordrede, hvilket vil blive uddybet i afsnittet om ikonerne.

Den flerfaglige didaktiske metode i undervisningsmaterialet Efter at have set på de forskellige typer af læringsudfordringer, som nyankomne og flersprogede elever kan opleve i en dansk skolekontekst, vil vi nu vise, hvordan resultaterne fra projektet danner baggrund for den flerfaglige didaktiske metode i undervisningsmaterialet Mod på Mat. For det første inddrager vi både viden fra Dansk som Andetsprog og fra den sprogbaserede fagundervisning for at imødekomme elevernes sproglige vanskeligheder i matematik. For det andet inddrager vi viden om interkulturel didaktik og demokratisk dannelse, idet der i undervisningsmaterialet er fokus på vigtigheden af at inddrage elevernes forforståelse, samtidig med at vi giver dem mulighed for at blive bekendt med den demokratiske skolekultur, som folkeskolen bygger på (jf. folkeskolens formålsparagraf). I den forbindelse er der særligt fokuseret på brugen af dialogbaserede og interaktionelle læringsformer, som både giver eleverne mulighed for at øve og lære det nye sprog (Gibbons 2014) samt at være en del af et flerstemmigt klasserum (Dysthe 1997). For det tredje har vi forsøgt at skabe nogle undervisningsforløb, som indeholder en klar struktur, men som samtidig gør det muligt for læreren at udvælge og sammensætte forskellige elementer fra forløbene, så de passer til forskellige elever og situationer. Som nævnt i indledningen kan materialet både bruges til fokuseret undervisning af nyankomne elever, men også til undervisning af flersprogede elever og elever med svage sproglige kompetencer, da materialet har til formål at hjælpe alle elever med at lære matematik gennem et fokus på den matematiske diskurs. Som det fremgår af eksempelfortællingerne fra projektet ovenfor, må skolernes læringskultur og undervisningspraksis inddrages i en samlet forståelse af de læringsudfordringer, som både nyankomne og flersprogede elever oplever. Derfor er undervisningsmaterialet bygget op omkring et udvidet sprogsyn, hvor sproget ses som bestående af diskurser, der knytter sig til forskellige typer af faglige aktiviteter. Dette kan man arbejde med gennem brugen af ikonerne i materialet.

9788723546784_indhold.indd 10

15.11.2021 12.36

Ikonerne I Danmark fylder grundbogen stadig en del i matematikundervisningen (Mogensen, 2011), og elever, der altid har gået i en dansk skole, kan derfor også blive udfordret, hvis de introduceres til en mere undersøgelsesorienteret matematikundervisning (Wedege m.fl., 2006). Undervisning, der struktureres efter opgaver, som er ordnet i en bestemt rækkefølge i matematikbogen, kan karakteriseres som en opgavediskurs, fordi sprog, kommunikation og aktiviteter indgår i en sammenhæng (Niss, 2007). Klassiske matematikopgaver har ofte en lukket struktur, som fører til ét rigtigt svar, og opgaverne giver sjældent eleverne mulighed for selv at formulere spørgsmål (ibid.). Fremgangsmåden, eller metoden til at løse opgaven, introduceres af læreren, mens det er elevernes opgave at anvende den. Læreren spørger eleverne om løsningen på opgaverne, eleverne responderer, og læreren giver typisk en kort vurdering af svarets rigtighed. Læreren positioneres som den, der altid kender svaret, og som spørger med det formål at afklare, om eleven også kender det. Denne kommunikationsform er beskrevet af Sinclair & Coulthard (1976) som Initiativ-Respons-Feedback (IRF). Når undervisningen lægger op til, at eleverne selv skal undersøge flere ting, så kan diskursen betegnes som ”undersøgende” eller, i nogle tilfælde, ”problembehandlende”, og det betyder, at eleverne i højere grad (som i eksempelfortællingen) forventes at ”finde et regnestykke” i en tekst, og at de faglige aktiviteter bevæger sig fra det rutineprægede over mod det eksperimenterende. Eleverne afprøver forskellige strategier i deres undersøgelse, og det betyder, at der skabes mulighed for, at eleverne indgår i dialoger om deres strategier både med hinanden og med læreren. Læreren kan nu stille mere autentiske spørgsmål med det formål at afdække, hvilke tanker eleven har gjort sig i forhold til en problemstilling, og eleverne kan forklare deres fremgangsmåder for hinanden og forholde sig vurderende til, hvilken fremgangsmåde der er mest hensigtsmæssig. Distinktionen mellem en lærebogsstyret og en undersøgelsesbaseret undervisning betyder ikke, at undervisningen er enten det ene eller det andet. I praksis kan forskellen mellem de to diskurser være udflydende, ligesom elementer fra kommunikationsformen IRF fx kan bruges som udgangspunkt for en undersøgende samtale (Herheim & Johnsen-Høines, 2016). Men distinktionen mellem de to diskurser giver et indblik i, at der knytter sig forskellige forventninger til, hvordan eleverne agerer, og hvorfor det udfordrer eleverne, hvis de ikke kender de relevante spilleregler. Netop for at tilgodese det dobbelte læringsaspekt, nemlig at lære matematik og at lære, hvilken lærerrolle, kommunikation og aktiviteter, der knytter sig til forskellige undervisningsformer, har vi udviklet et undervisningsmateriale, hvor alle faglige aktiviteter er kategoriseret med udgangspunkt i teorien om sprogspil. Vi har tilføjet en titel og et ikon til hver enkelt kategori for at hjælpe eleverne med at danne sig forestillinger om kategoriernes indhold:

Problembehandling Træning Samfundsmatematik Samtale

De 5 kategorier kan have fælles lighedspunkter. Det kan fx tænkes, at de strategiske overvejelser, man gør sig i bestræbelserne for at vinde et spil, kan være problembehandlende. På den anden side er der i spilkategorien typisk eksplicitte ”spilleregler”, som skal følges, ligesom der er en bedre mulighed for at klare sig godt, hvis man finder frem til en ”vinderstrategi”. Der knytter sig dermed et forholdsvis specifikt ordforråd til spilkategorien.

Spil

9788723546784_indhold.indd 11

15.11.2021 12.36

Vi har tilføjet en kort beskrivelse til hver kategori, som sammen med titel og ikon har til hensigt at introducere eleverne til de enkelte sprogspil og gøre dem bevidste om de tilknyttede forskelle. I en rapporterende artikel fra en samarbejdsskole, der har afprøvet undervisningsmaterialet, fortæller eleverne om deres oplevelse af skiftet til en dansk skole til journalisten fra tidsskriftet Folkeskolen. Her forklarer en elev noget om forskellen: ”Mellemtrinseleverne i V3 fortæller også, at skolen er anderledes i Danmark end der, hvor de kommer fra. Der talte læreren mere og stod ved tavlen. Achmed forklarer, at ved problembehandling løser man et problem. ”Vi finder ud af, hvordan vi skal arbejde - ligesom en detektiv gør,” siger han” (Lauritsen, 2018). Achmed bruger ordet ”detektiv” som analogi til ikonet for problembehandling, som er et forstørrelsesglas. Selvom Achmeds forståelse af problembehandling iflg. Wittgensteins teori knytter sig til hans erfaringer med at arbejde problembehandlende, så har henvisningen til detektivens arbejdsform hjulpet ham på vej. Når vi har valgt ”problembehandling” som kategori, skyldes det, at problembehandling udgør en af de 6 kompetencer i matematik, der indgår som færdigheds- og vidensmål i Fælles Mål. Samtidig viste vores empiri et behov for at lære at arbejde med et matematisk problem, som ikke kan løses rutinemæssigt. Omvendt blev der i lærerinterviewene fortalt om et generelt behov for at eleverne kunne få mulighed for at arbejde med udprægede rutineopgaver. Dette giver eleverne tryghed i at arbejde konsoliderende med mulighed for at automatisere og forfine deres færdigheder, og derfor blev ”træning” den næste kategori. Fagformålet Stk. 3 for matematik lyder: ”Faget matematik skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en historisk, kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab”. Med udgangspunkt i dette navngav vi den tredje kategori ”Samfundsmatematik”. At få indsigt i, hvilke spilleregler der gælder og at øve sig i at bruge matematikken til at forholde sig vurderende i samfundsmæssige spørgsmål, er afgørende for elevernes handlemuligheder senere i livet, og samtidig giver det samfundsmæssige aspekt mulighed for at aktivere både elevernes og deres forældres forforståelse. ”Flere af eleverne har talt med deres forældre om skat. De byder ivrigt ind. Pernille Olsen siger, at det koster omkring 80.000 kroner for en elev i skolen i Danmark. Hvorfor mon det? ”Fordi man skal betale for alle lærerne,” siger en pige. ”Skolen køber bøgerne, tavlen, borde og stole,” supplerer to drenge. (Lauritsen, 2018). Samfundsmatematik indeholder en forventning om, at eleverne deltager i drøftelser i klassen. Her forholder eleverne sig kritisk til samfundsrelaterede spørgsmål, som de tager stilling til, argumenterer om og har en holdning til. Samtalerne kan enten finde sted i klassen med deltagelse af læreren eller i grupper af elever med eller uden deltagelse af en lærer, men der er typisk forskel på det indholdsmæssige plan på en samfundsrelateret meningsudveksling og den samtale, der foregår, når elever samarbejder om at løse en matematikopgave, hvor der fokuseres på at afkode opgaven og finde frem til en egnet strategi eller metode til at løse den. Kategorien ”Samtale” er derfor udpeget som et sprogspil, der fokuserer på forskellige samtaleformer i matematikundervisningen. Kategorien ”Spil” giver oplagte muligheder for at arbejde med matematiske repræsentationer. Repræsentationerne - og forbindelsen mellem dem - kan hjælpe eleverne med at danne konkrete og mentale billeder af matematikken, som er en forudsætning for at opbygge en robust begrebsforstå-

9788723546784_indhold.indd 12

15.11.2021 12.36

else (Wahl, 2008). For elever, der er i gang med at lære et nyt sprog, kan forskellige repræsentationer fungere som oversættelsesled mellem deres modersmål og dansk. Ikonerne tydeliggør således de forskellige undervisningsformer for eleverne med udgangspunkt i, at de matematiske aktiviteter er tæt knyttet til både handlinger og sprog. Der er tale om diskurser eller i Wittgensteins terminologi om sprogspil, og derfor er arbejdet med ikonerne med til at sætte fokus på sproget i matematikundervisningen. I det følgende afsnit vil vi se nærmere på, hvordan de sproglige elementer i den matematiske diskurs er repræsenteret i curriculum for faget dansk som andetsprog og for faget matematik, samt hvilke udfordringer de flersprogede elever møder i den forbindelse.

Dansk som andetsprog Elever, som har brug for undervisning i dansk som andetsprog, omfatter ifølge Fælles Mål de elever, som har et andet modersmål end dansk. Dansk som andetsprog er indrettet som to selvstændige fag i folkeskolen, nemlig dansk som andetsprog – basis, der retter sig mod nytilkomne, og dansk som andetsprog – supplerende, der retter sig mod elever i almenklasser, som har behov for at videreudvikle deres sprogfærdigheder på dansk, hvilket gør det muligt for dem at deltage i den øvrige undervisning. Fagene er defineret af formål, læseplaner og vejledninger, men indgår som timeløse i den obligatoriske fagrække. Dansk som andetsprog betegner desuden en dimension i fagene under det tværgående emne Sproglig udvikling og er indskrevet i de obligatoriske fag, således at alle lærere er forpligtet til at udvikle elevernes sprog inden for fagene, hvilket naturligvis også gælder for matematik. To- eller flersprogede elever møder og har brug for flere sprog i hverdagen, og de bruger de forskellige sprog alt efter, hvad der fungerer bedst i den enkelte situation. Når børnene begynder i skole, skal de lære et nyt sprog, et skolesprog, og vejen til dette foregår typisk kun gennem dansk. Børn med andre modersmål er således dobbelt udfordret. Som alle andre børn skal de lære de enkelte fags særlige fagsprog, men dette sker gennem en begrænset del af deres sproglige ressourcer. Elevernes udvikling i skolen afhænger derfor af, om materiale og undervisere formår at forholde sig til elevernes forskellige afsæt og udfordringer (Knudsen og Wulff 2017). Materialet her er således et bud på, hvordan det er muligt at udvikle den matematiske diskurs ved at guide skolens elever fra et kontekstafhængigt hverdagssprog frem mod et kontekstuafhængigt fagsprog.

Den sproglige dimension i matematik Som vi så i fagformålet stk. 3 er matematik med sin historiske, kulturelle og samfundsmæssige dimension at betragte som et dannelsesfag, hvor eleverne skal kunne vurdere matematikkens anvendelse med det formål på sigt at kunne tage ansvar og indgå i et demokratisk fællesskab. Samtidig har matematik ligesom alle andre fag i folkeskolen en sproglig dimension, som er en del af faget, hvorfor det nu defineres både verbalt og skriftsprogligt helt ned i de enkelte færdigheds- og vidensmål. Det betyder, at eleverne allerede efter 3. klasse forventes at kunne problembehandle, besvare matematiske spørgsmål, give uformelle matematiske forklaringer, deltage i mundtlig kommunikation med og om matematik, skriftligt vise matematisk tænkning, anvende fagord både mundtligt og skriftligt, beskrive forskellige geometriske begreber, figurer og placeringer samt udtrykke chancestørrelser i sandsynlighedsregning (BUVM 20193). 3

Børne- og undervisningsministeriet 2019. Fælles mål matematik: https://emu.dk/sites/default/files/2020-09/ GSK_F%C3%A6llesM%C3%A5l_Matematik.pdf

9788723546784_indhold.indd 13

15.11.2021 12.36

Gennem skolegangen øges disse færdighedsniveauer. Således skal eleverne efter 6. klasse kunne opstille og løse matematiske problemer, anvende forskellige strategier til matematisk problemløsning, anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde, oversætte regneudtryk til hverdagssprog, oversætte mellem hverdagssprog og udtryk med matematiske symboler, læse og skrive enkle tekster med og om matematik, kommunikere varieret skriftligt og mundtligt med og om matematik, anvende fagord mundtligt og skriftligt, beskrive koordinatsystemets første kvadrant og placeringer i hele koordinatsystemet, anvende og tolke grafiske fremstillinger, gennemføre og præsentere egne statiske undersøgelser samt beskrive sandsynlighed ved brug af frekvens (ibid.). Efter 9. klasse skal eleverne både kunne planlægge, gennemføre og vurdere problemløsningsprocesser, argumentere for valg af matematisk repræsentation, anvende udtryk med variable, kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik med faglig præcision, kritisk søge matematisk information, kommunikere på forskellige faglige niveauer, alt efter modtager- og afsenderforhold, beskrive sammenhænge mellem og sammenligne enkle algebraiske udtryk og geometriske repræsentationer samt forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter. Hertil kan tilføjes genindførelsen af den mundtlige gruppeprøve, som har sat yderligere fokus på den mundtlige dimension i matematik. Her er fokus på kommunikations-, problembehandlings-, modellerings-, ræsonnements-/tankegangs- og hjælpemiddelkompetencen (Ibid.). Når eleverne er fremme ved slutningen af 9. klasse, skal de altså ikke bare kunne løse matematiske problemer, men de skal også kunne kommunikere om disse. Det indebærer, at samtlige elever skal være stand til at anvende det matematiske sproglige register. Adskillige undersøgelser peger på, at det netop er de faglige registre, som eleverne med dansk som andetsprog er særlig udfordret af. Mens hovedparten følger godt med de første år i skolen, sker der et markant skifte ved overgangen til mellemtrinnet, hvor teksterne bliver informationstunge, kræver et større ordforråd og i langt højere grad er bundet af fagets særlige måde at bruge sproget på. (Cummins 2000, Allerup og Mejding 2007, Mulvad 2009, Tobiassen 2014). Da de verbalsproglige sider af matematikken i tidligere vejledninger har været underbetonet, og vægten på den matematiske diskurs har været lagt på symboler og visuelle fremstillinger (Kabel 2009), har ovenstående fagformål været svære at implementere.

Den sproglige dimension i materialet Det faglige sprog i skolen fungerer på en fundamentalt anderledes måde end sproget i de mere uformelle rammer både hjemme og i skolegården. Det er derfor vigtigt at tage afsæt i den verden og det sprog, som eleverne kender. For at imødekomme dette lægger dette materialet op til åbne samtaler, hvor elevernes hverdag bringes i spil, samtalelektier, hvor elevernes forældre indgår som ressource, og alle eksempler i materialet er hentet fra en hverdag, som formodentlig kan genkendes af alle. Målet er, at alle elever i sidste ende skal kunne indgå i den matematiske diskurs. Her er det vigtigt ikke at gå for hurtigt frem. Sørg for indledningsvist og løbende at gå ind i en ægte dialog. ”Hvordan gjorde I, da I bagte kagen i bradepanden?” ”Hvordan fandt I ud af at dele den i 24 lige store stykker?” Vær nysgerrig og anerkendende. Spørg også ind til de centrale begreber og udtryk, som fx hvad ”dele” og ”lige store stykker” betyder. Dette første skridt væk fra det kontekstafhængige sprog er vigtigt. ”Den dér” bliver til: ”Kagen”. ”Skær dér og dér” bliver til: ”Vi skar 3 gange den vej og 5 gange den vej.”

9788723546784_indhold.indd 14

15.11.2021 12.36

I hvert kapitel er fremhævet en række faglige og førfaglige ord, som vi her kalder nyttige ord. Det er vigtigt at bruge tid på disse ord, fordi de repræsenterer det fagsprog, som eleverne i sidste ende gerne skulle kunne beherske. Men også her gælder det om at lade eleverne nærme sig langsomt. Anerkend i første omgang elevens hverdagssvar. ”Ja, det er rigtigt, at din mor bestemmer over dig, når hun siger, at du skal blive inde.” Når så anerkendelsen har bundfældet sig, er tiden inde til at tale om, hvad at bestemme noget betyder i en matematisk kontekst, og hvordan det ligner og er forskelligt fra hverdagskonteksten. Et næste skridt kunne være en skriftliggørelse: at arbejde med ordkort/talkort, at indsætte centrale ord og vendinger i begrebsskemaer, at oversætte fra billeder til regneopgaver, at beskrive en fælles oplevelse. Gennem det skriftlige arbejde lærer eleverne at præcisere det faglige indhold og håndtere det egentlige fagsprog. Kun ved at nærme sig det matematiske fagsprog lidt efter lidt, vil det blive muligt for eleverne i sidste ende at forstå og kunne anvende sproget, sådan som FFM foreskriver. Det kræver imidlertid, at faglæreren er klædt på til opgaven. Så hvad er det nøjagtigt, som kendetegner matematikkens sproglige register? Med afsæt i et funktionelt sprogsyn har forskellige områder vist sig særlig vigtige, og dette bør matematiklæreren være opmærksom på. For det første kan det matematiske tekstlandskab karakteriseres som en teksthybrid, der bevæger sig mellem berettende, instruerende, beskrivende og forklarende tekstaktiviteter, som henholdsvis placerer matematikken i en kontekst, får eleverne til at handle matematisk, definerer matematikkens udtryk og forklarer sammenhænge inden for matematikkens fagfelt. Det kan være en stor mundfuld for eleven at finde rundt i de forskellige teksttyper og vide, hvilken handling den enkelte tekst lægger op til. Materialet indeholder derfor et klart layout, hvor de enkelte afsnit ligger i progressiv forlængelse af hinanden og, som beskrevet ovenfor, er markeret med et ikon, der tydeligt fortæller, hvilken handling der forventes af eleven. For det andet er en stor del af de matematiske tekster instruerende og formuleret på en meget indirekte måde. De angiver, hvad eleven skal finde ud af, men ikke hvordan - hvilket kun er helt naturligt. ”Beregn arealet af et kvadrat, hvor siden er 4 m,” instruerer ikke eleven i at skulle tage 1 m2 16 gange, som ville være en direkte instruktion. I matematikken ville en sådan instruktion da heller ikke give mening. Men i et forståelsesmæssigt og sprogligt perspektiv, er det en udfordring, at instruktionen ikke, som ved daglig brug af tekstaktivitet, angiver en konkret handling. For netop ikke at tage forståelsen af denne type opgaver for givet, lægges der op til, at de altid understøttes af lignende eksempler og grundig samtale. For det tredje er de matematiske læremidler, som tidligere beskrevet, kendetegnet ved en lang række specifikke ord- og sætningsniveauer, som ikke altid er kendt i hverdagssproget. Mere specifikt gælder dette for en del verber i bydeform, som fx ”vis”, ”beregn”, ”angiv” etc., der markerer, at der skal udføres en helt specifik matematisk handling. Dette gælder også for en udpræget brug af passiver, som fx ”adderes”, ”opløses”, ”tegnes” etc., hvor det i sætningen ikke står klart, hvem der er den handlende. Dette gælder desuden for brugen af forskellige forbinder-ord, som fx ”og”, ”hvis”, ”da”, ”når”, der alle har stor betydning for logikken i opgaverne. Og endelig gælder det for brugen af lange nominalgrupper, som fx ”den retvinklede trekant, der er angivet på tegningen ovenfor”. Det er vores håb, at afsnittenes nyttige ord og de mange samtaler kan hjælpe til at få behandlet dette særlige fagsprog. For det fjerde er det en stor udfordring for matematiklærerne, som det gælder for alle faglærere, at få øje på fagets mange før-faglige ord, vendinger og begreber, som fx ”før”, ”efter”, ”foran”, ”bag-

9788723546784_indhold.indd 15

15.11.2021 12.36

ved”, ”under”, ”over”, ”midt imellem”, ”mindst”, ”mest”, ”ud af”, ” flere end”, ”højest ”, ”dobbelt så mange” etc., der også bruges i hverdagssproget, men som har en ganske anden og specifik betydning i den matematiske kontekst. Der er stor forskel på, om nogen står for salget eller står for en holdning, eller at noget står for fald, står for skud eller står for døren i forhold til udtrykkets matematiske anvendelse. Pi står for det irrationelle tal 22/7 (Daugaard, 2008). Det er derfor altid vigtigt at lade eleven uddybe sin forståelse af et begreb eller udtryk for på den måde, gennem deltagelse i den matematiske diskurs, at nå frem til den rette betydning i den for fagets særegne kontekst. Foruden fokus på sprogbaseret matematik og på matematiske sprogspil og diskurser, inddrages også medborgerskab, særligt med fokus på demokratisk dannelse. Som nævnt i indledningen er en del af de nyankomne elevers læringsvanskeligheder ikke kun knyttet til sproglige vanskeligheder, men er også ofte knyttet til en ny læringspraksis og en ny skolekultur. I Folkeskolens formålsparagraf er demokratisk dannelse et centralt element (FFM stk. 3), ligesom man kan sige, at en læringspraksis, som er præget af demokrati, er en del af den danske skolekultur. Derfor har vi fundet det vigtigt også at introducere og arbejde med medborgerskab og demokratisk dannelse, som en indgang til at blive fortrolig med dansk skolekultur og af den vej øge elevernes læring.

Medborgerskab – Hvad er det? Historisk har dette begreb i dansk kontekst rødder tilbage til slutningen af 1800-tallet, men det er især blevet brugt i skoleregi siden 00’erne, hvor det det kom på den politiske dagsorden som et bud på det, der skulle skabe sammenhængskraft i samfundet. (Mouritsen 2015) Der er forskellige definitioner og forståelser af medborgerskab. Grundlæggende kan man sige, at hvor det beslægtede begreb statsborgerskab beskriver en juridisk status med rettigheder og pligter, så handler medborgerskab om identitet, tilhørsforhold og aktiv deltagelse i samfundslivet. Man kan godt være medborger uden at være statsborger. Til gengæld kan man ikke være medborger for sig selv, det er man altid i et fællesskab med andre. Der findes i et samfund mange former for fællesskaber, hvori identiteten formes, og hvor man har et tilhørsforhold, som fx kulturelle, religiøse eller politiske fællesskaber. I dette materiale vægtes det politiske fællesskab højt, da det er et centralt omdrejningspunkt i den danske folkeskoles formålsparagraf, og derfor arbejdes der primært med medborgerskab som en demokratisk dannelse.

Medborgerskab i skolen I folkeskolens formålsparagraf stk. 3 står: ”Folkeskolen skal forberede eleverne til deltagelse, medansvar, rettigheder og pligter i et samfund med frihed og folkestyre. Skolens virke skal derfor være præget af åndsfrihed, ligeværd og demokrati (UVM). I en dansk skolekontekst hænger medborgerskab altså tæt sammen med demokrati og demokratisk dannelse. Vi lægger os op ad den definition af demokrati, som bl.a. Hal Koch repræsenterer (Koch, 2005), hvor demokrati forstås som samtale, hvor man forsøger at finde en fælles løsning, og hvor man, selvom man ikke kan blive enige, alligevel accepterer modparten. Koch har samtidig fokus på mindretalsinddragelse, og står dermed i modsætning til den demokratiforståelse, som alene handler om afstemninger. Vigtige elementer for at kunne indgå i dialog er evnen til at lytte, at kunne se ting fra andres perspektiver at kunne vurdere en sag kritisk samt at kunne revurdere sit eget ståsted. Men også modet til at stå frem og deltage og tage ansvar er fremtrædende.

9788723546784_indhold.indd 16

15.11.2021 12.36

Medborgerskab og matematik Som tidligere nævnt tager dette materiale udgangspunkt i matematik som en mediator for elever med forskellige baggrunde og i matematikken som et fælles sprog. Men ligesom det gælder for undervisningen i alle andre fag, foregår også matematikundervisning i en bestemt kulturel kontekst, og det er forskellige dele af matematikken, der vægtes, afhængig af, hvilken kulturel kontekst man befinder sig i. Dette gælder også for en dansk skolekontekst. Dansk skolekultur er kendetegnet ved demokratiske undervisnings- og omgangsformer, ligesom der er en særlig tilgang eller særligt fokus i matematikfaget, som overordnet bidrager til at uddanne eleverne til at leve i et demokratisk samfund. I forbindelse med materialets brug af ikoner er en af kategorierne ”Problembehandling”, der er symboliseret ved et forstørrelsesglas. Vi har valgt at arbejde med denne kategori både i relation til formålsparagraffen og til fagformålet for matematik, men også fordi vores empiri pegede på, at mange elever havde en udfordring med netop denne kategori. Empirien pegede ligeledes på, at arbejdsformen var ukendt for mange elever og dermed noget, der knyttede sig særligt til deres møde med dansk skoleog matematikkultur. Fagformålet i matematik er inddelt i tre dele. I alle tre dele indgår et perspektiv, hvor matematikken virker funktionel i forhold til at skulle leve som borger i et demokratisk samfund. I stk. 3 beskrives det bl.a., at hensigten med undervisningen i matematik er ”… at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve ansvar i et demokratisk fællesskab.” (UVM, 2019). At kunne forholde sig vurderende er også at kunne forholde sig kritisk og at kunne analysere, om der er andre måder at komme frem til løsninger på end den, som man er blevet præsenteret for eller selv er kommet frem til. I stk. 2 er der fokus på, at læring i matematik også foregår gennem dialog og kommunikation. Der står, at: ”Elevernes læring skal baseres på, at de selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation.” Medborgerskab og demokratisk dannelse handler netop om gennem dialog at komme frem til løsninger, der peger ud over ens eget bedste, at kunne samarbejde og det at forholde sig kritisk til sit eget og andres arbejde. Et område af matematikken, som understøtter dette er bl.a. modellering, hvor eleverne i arbejdet med at udvikle en model af et udsnit af virkeligheden sammen skal prøve sig frem, måske ændre det, som de i første omgang kom frem til, tale sammen om, hvordan man kommer frem til den bedste løsning, og om der kunne der være andre veje at gå. Det er vigtigt i et demokratisk samfund at kunne estimere, vurdere og reflektere over den bedste løsning. I forlængelse af dette ligger evnen til at kunne forholde sig kritisk til samfundsproblemer og løsningen på disse, der fx præsenteres af forskellige politiske partier, ligesom det er vigtigt selv at kunne deltage i demokratiet. Ofte anvendes forskellige målenheder, data, statistikker og modeller med tal. Det kræver, at man er i stand at forstå og tale om forskellige måleenheder, at man kan aflæse data og estimere, om det, der præsenteres i medierne, er sandsynligt. Sagt på en anden måde er det vigtigt også at kunne knytte det, som man lærer i matematik, til verden uden for matematikfaget. Som nævnt er en af kategorierne i dette materiale ”Samfundsmatematik”, som er symboliseret ved et ikon af en globus. Opgaverne i denne kategori peger netop hen imod at tage stilling til udfordringer i samfundet. Ofte er selve vejen og arbejdsprocessen frem til et resultat vigtigere end selve resultatet. Matematik kan forstås som en faglighed, der anvendes til at fortolke samfundet omkring os, ligesom det er

9788723546784_indhold.indd 17

15.11.2021 12.36

en faglighed, der bidrager til demokratisk dannelse og gerne skulle give mod til selv at handle og deltage i samfundslivet.

Medborgerskabsperspektiv i materialet Medborgerskabsperspektivet i materialet sigter mod at eleverne gennem deres kompetencer opnår lyst til og mulighed for aktiv deltagelse i et demokratisk samfund. Det er særligt opgaver indenfor kategorierne ”Samtale” ”Problembehandling” og ”Samfundsmatematik”, der rummer et medborgerskabsperspektiv. Som nævnt i afsnittet om ikoner, er der også en del træningsopgaver i materialet, som ikke lægger op til dialog eller kritisk stillingtagen. Disse opgaver giver eleverne en mulighed for at automatisere og skabe overskud til at tage hul på de mere problemorienterede opgaver samt gruppearbejde, som ikke altid kører af sig selv. Samtaleopgaverne tager udgangspunkt i, at læring foregår bedst sammen med andre og i samtale med andre. Det gælder både ud fra et sprogligt læringsperspektiv (se ovenfor) og ud fra det perspektiv, at eleverne får mulighed for at undersøge matematikken sammen. Dannelse til demokrati og medborgerskab kan ikke foregå på egen hånd, og dermed bliver samtalen også vigtig set fra et medborgerskabsperspektiv. Som tidligere nævnt kan samtale forstås som essensen af demokrati, når det er en samtale, der udspiller sig med udgangspunkt i ligeværd og åndsfrihed (UVM 2020).

9788723546784_indhold.indd 18

15.11.2021 12.36

1 9788723546784_indhold.indd 19

15.11.2021 12.36

TAL MOD PÅ MAT 1

Tal Tal kan bruges til mange ting. Man kan bruge tal til at bestemme, hvor mange elever der går i en klasse. Man kan sige, der går et antal elever i klassen. Hvis alle elever stiller sig op på en række efter højde, kan man bruge tal til at fortælle, hvilket nummer man er i rækken. Man kan også bruge tal til at bestemme, hvor høj man er i centimeter eller meter. Vi har alle sammen et helt særligt tal, nemlig vores personnummer, som er helt unikt for os hver især.

Tal med din makker om, hvor I bruger tal i skolen

Skriv din fødselsdato med tal _______________________________ Her er tallene i rækkefølge op til 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

KOPIERING FORBUDT

Hvorfor bruger man tal på fx nummerplader, huse og busser?

Side 2 Indledende samtale med udgangspunkt i billederne Formålet med den indledende samtale er, med udgangspunkt i elevernes forforståelse, at introducere begrebet tal for eleverne. I dette kapitel vil eleverne møde tal i forskellige sammenhænge og med forskellige formål: kardinaltal (mængdetal), ordenstal og identifikationstal. Billedet lægger op til en præsentation af identifikationstal, hvor tallene bruges til at identificere objekter som fx huse, busnumre og nummerplader.

Samtalen er et tænkt som en klassesamtale. Du kan sætte gang i en samtale med klassen ud fra nedenstående samtalespørgsmål. Forslag til samtalespørgsmål • Hvad lægger I mærke til på billedet? • Hvilke tal kan I se på billedet? • Hvordan tror I, at menneskene på billedet kan vide, om de tager den rigtige bus? Hvordan finder I eller jeres forældre selv den rigtige bus? (Identifikationstal). • Kan I også bruge tal til fx at beskrive, hvor mange mennesker der venter på bussen? (Tal som kardinaltal). Hvorfor bruger man tal på fx nummerplader, huse og busser? Du eller eleverne kan læse den faglige tekst højt og samtale om ord og begreber undervejs. Du kan fx få eleverne til at komme med forklaring på, i hvilke forskellige sammenhænge man kan bruge tal. Tal også om, at tal kan bruges med forskellige formål. Lade eleverne stille sig op efter højde. Lad eleverne tale om, hvem der er den 3. højeste eller den 4. laveste. Her introduceres eleverne for ordenstal. Forslag til samtalespørgsmål • Hvor mange elever er I i klassen i dag? • Hvem er den 3. højeste? (Ordenstal) • I hvilke andre sammenhænge kan I have brug for at bruge ordenstal? Fx kan kunde nummer 100 i en nyåbnet butik vinde en præmie.

9788723546784_indhold.indd 20

15.11.2021 12.36

Tal med din makker om, hvor I bruger tal i skolen Lad eleverne selv komme med forslag til, hvor de bruger tal. Tal om mængdetal, som fx bruges til at bestemme, hvor mange børn der er i en klasse eller på en skole. Skriv din fødselsdato med tal Her bruges tal til at skrive, hvornår børnene har fødselsdag. Tal også om, at elevernes fødselsdato er med til at identificere, hvem de er, som en del af deres personnummer. Tal om, at alle mennesker har et unikt personnummer, og at de sidste fire cifre er så personlige, at man skal holde dem hemmelige.

Side 3

mindste tal

rækkefølge tallet før tallet efter største tal bestemme

Tegn noget, der går baglæns Du kan fx tegne en person eller et ur.

KOPIERING FORBUDT

Skriv det tal, der kommer efter 2

Skriv det tal, der kommer før 2

Tegn noget, der går baglæns Denne øvelse er en optakt til det at tælle baglæns.

MOD PÅ MAT 1

Forklar et nyttigt ord for din makker. Byt, til I er kommet igennem alle ordene Her arbejder eleverne i mundtlig form videre med at uddybe forforståelsen af de nyttige ord. Først forklarer den ene elev i makkerparret sin forståelse af det første ord, og den anden kommenterer, hvorefter de diskutere, indtil de er enige. Der byttes roller, og proceduren gentager sig. Det er en vigtig del af opgaven, at eleverne opdager, at et ords betydning i hverdagssproget kan være helt forskellig fra den betydning, som ordet har i den matematiske diskurs.

Nyttige ord

Forklar et nyttigt ord for din makker. Byt, til I er kommet igennem alle ordene

Skriv det tal, der kommer efter Her træner eleverne tallene i rækkefølge, ved at skrive det tal, som kommer efter. Skriv det tal, der kommer før Her træner eleverne tallene i rækkefølge, ved at skrive det tal, som kommer før.

9788723546784_indhold.indd 21

15.11.2021 12.36

MOD PÅ MAT 1

Side 4 Sæt tallene i rækkefølge, så det mindste tal står først 6

Sæt tallene i rækkefølge, så det mindste tal står først Her træner eleverne tallenes størrelse ved at sætte dem i rækkefølge efter størrelsesorden.

15 13

Tæl forlæns og baglæns med din makker Tæl forlæns fra 4 til 17.

Tæl forlæns fra 8 til 23.

Tæl baglæns fra 17 til 4.

Tæl baglæns fra 23 til 8.

KOPIERING FORBUDT

Hvor langt kan I tælle? Tæl sammen med din makker. Hvilket tal kunne I tælle til? Tæl baglæns sammen med din makker fra det tal, som I har skrevet.

Forslag til samtalespørgsmål

Skriv det tal, der kommer før, og det tal, der kommer efter 5

• Hvorfor kan man sætte tallene i rækkefølge, selvom der mangler nogle i rækken? Tæl forlæns og baglæns med din makker Træningsopgave med tal i rækkefølge. Makkeropgave, hvor eleverne skiftes til at tælle forlæns og baglæns.

Hvor langt kan I tælle? Makkeropgave, hvor eleverne skal finde ud af, hvor langt de kan tælle. Skriv det tal, der kommer før, og det tal, der kommer efter Træningsopgave, hvor eleverne skal skrive, hvilket tal der kommer før og efter de nævnte tal. Tal evt. med eleverne om, hvilket af tallene der var det letteste/ sværeste. Tal om tallet 0. Måske er der nogen der ved, hvad der kommer før 0?

Side 5

Udfyld de tomme pladser på tallinjen med de rigtige tal

20 19 18 17

11 12

16 17

Udfyld de tomme pladser på tallinjen med de rigtige tal Eleverne træner her tal i rækkefølge ved at udfylde de tomme pladser på tallinjerne.

Tæl forlæns og baglæns med din makker

Tæl forlæns og baglæns med din makker Træningsopgave med tal i rækkefølge. Makkeropgave, hvor eleverne skiftes til at tælle forlæns og baglæns.

KOPIERING FORBUDT

Du skal tælle med din makker. I skiftes til at sige et tal. Tæl fra 5 til 12

Tæl fra 7 til 19

Tæl fra 10 til 0

Tæl fra 20 til 3

Hvor skal tallet stå på tallinjen? Sæt streg mellem tallet og tallinjen.

MOD PÅ MAT 1

Hvor skal tallet stå på tallinjen? Her arbejder eleverne med sammenhængen mellem tal som symbol og tal på en tallinje. Tal om, at alle tal har en plads på tallinje. Forslag til samtalespørgsmål • Findes der også tal mellem 1 og 2? • Hvor mange tal tror I, at der findes mellem 1 og 2?

9788723546784_indhold.indd 22

15.11.2021 12.36

Lad eleverne komme med enkle begrundelser og find ud af, om de kan følge hinandens ræsonnementer for, hvorfor de placerer tallene, som de gør. Måske kan I tale om at zoome ind på tallinjen ved at forestille jer, at I udvider afstanden mellem 1 og 2.

ANTAL OP TIL 20 MOD PÅ MAT 1

Side 6 Indledende samtale med udgangspunkt i billedet Formålet med den indledende samtale er, med udgangspunkt i elevernes forforståelse, at arbejde med mængdetal (kardinaltal) op til 20.

Antal op til 20 KOPIERING FORBUDT

Billedet lægger op til samtale om antallet af forskellige objekter. der er en mængde på ni blyanter. Når man skal finde det samlede antal skriveredskaber på bordet, skal man tælle alle de ting på bordet, som man kan skrive med. Et antal kan også bare være en. På tegningen er antallet af kopper én.

Samtalen er et tænkt som en klassesamtale. Du kan sætte gang i en samtale med klassen ud fra nedenstående samtalespørgsmål.

Tal med din makker om, hvor mange ting I har i jeres penalhuse

Skriv, hvor mange blyanter du har i dit penalhus

Forslag til samtalespørgsmål 6

• Hvilke ting kan I se på billedet? • Hvilke ting er der flest af? Hvor mange ting er der? • Hvilke ting er er der færrest af? Lad evt. legen fortætte med, at eleverne tæller andre ting rundt om i klassen. Hvor mange er der af hver på billedet? Du eller eleverne kan læse den faglige tekst højt og samtale om ord og begreber undervejs. Du kan fx få eleverne til at komme med en forklaring på, hvordan man tæller. Forslag til samtalespørgsmål • Hvorfor tror I, at det lige præcis er det sidste tal, som man skal sige højt, og som dermed svarer til den talte mængde? Det er ikke altid helt oplagt, at det skal være sådan, så det er fint at få eleverne til at overveje, hvorfor det mon er sådan. Tal med din makker om, hvor mange ting I har i jeres penalhus Samtaleøvelse med makker, der har fokus på at antalsbestemme ting i elevernes penalhuse. Skriv, hvor mange blyanter du har i dit penalhus Træningsøvelse med fokus på at antalsbestemme.

9788723546784_indhold.indd 23

15.11.2021 12.36

Side 7

Nyttige ord

Forklar et nyttigt ord for din makker. Byt, til I er kommet igennem alle ordene

tælle, ting, antal, forskellig, ens, mælkelåg, knapper,

Tegn de forskellige ting, du har i dit penalhus

Forklar et nyttigt ord for din makker. Byt, til I er kommet igennem alle ordene Her arbejder eleverne i mundtlig form videre med at uddybe forforståelsen af de nyttige ord. Først forklarer den ene elev i makkerparret sin forståelse af det første ord, og den anden kommenterer, hvorefter de diskuterer, indtil de er enige. Der byttes roller, og proceduren gentager sig. Det er en vigtig del af opgaven, at eleverne opdager, at et ords betydning i hverdagssproget kan være helt forskellig fra den betydning, som ordet har i den matematiske diskurs.

mængde

Hvor mange personer er der i familien?

KOPIERING FORBUDT

Skriv navnet på seks af dine klassekammerater og undersøg antallet af personer i deres familier. Navn på klassekammerat

Hvor mange personer er der i familien?

Mælkelåg

Sko

Klips

Strømper

MOD PÅ MAT 1

Hvor mange er der?

Tegn de forskellige ting, du har i dit penalhus Tal med eleverne om betydningen af ordet ”forskellig”, inden opgaven løses. Hvad skal der til for at noget er forskelligt? Handler det om farver, egenskaber eller størrelse? Hvordan ser eleverne på det? Hvor mange personer er der i familien? Kontekstopgave med fokus på antalsbestemmelse. Eleverne skal ved at spørge seks klassekammerater undersøge, hvor mange de er i deres familier. Hvor mange er der? Træningsopgave om sammenhæng mellem forskellige repræsentationer - mellem symbol og mængde. Tal om, hvor mange strømper og sko der er i et par.

MOD PÅ MAT 1

Side 8

Forbind billede og antal 1

Forbind billede og antal Træningsopgave om sammenhæng mellem forskellige repræsentationer - mellem symbol og mængde. Eleverne skal trække streger mellem grupperne af figurer og de korrekte tal.

2 3 4 5 6 7 8

KOPIERING FORBUDT

Forbind lige store mængder

Forbind lige store mængder Træningsopgave med fokus på antal. Eleverne skal trække streger mellem lige store mængder. Tal evt. med eleverne om, hvad de tre liter sodavand har til fælles med de tre lommelygter. (Antallet).

9788723546784_indhold.indd 24

15.11.2021 12.36

Side 9

Gå på opdagelse i klassen Gå på opdagelse i din klasse. Hvor mange er der af hver? Vinduer

Gå på opdagelse i klassen Kontekstopgave med fokus på sammenhængen mellem mængde og symbol. Eleverne skal undersøge klasseværelset.

Døre

Borde

Stole

Find selv ting, som du skal tælle Du skal vælge forskellige ting og tælle dem sammen med din makker. Tegn eller skriv, hvad I har talt, og hvor mange der var.

Hvor mange af hver slags?

Spil vendespil

Hvor mange af hver slags? Træningsopgave om sammenhæng mellem forskellige repræsentationer - mellem symbol og mængde. Eleverne skal undersøge, hvor mange der er af hver slags.

Lav jeres eget vendespil. To kort skal passe sammen. På det ene kort skal der stå et tal, og på det andet kort samme mængde.

MOD PÅ MAT 1

Find selv ting, som du skal tælle Kontekstopgave med fokus på sammenhængen mellem mængde og symbol. Eleverne skal med opgaven selv vælge flere forskellige ting og undersøge, hvor mange der er.

KOPIERING FORBUDT

Tæl, hvor mange der er af hver slags, og skriv tallet.

Spil vendespil Vendespil om sammenhængen mellem symbol og mængde. Eleverne skal selv lave et vendespil med symboler og mængder som matcher. Herefter spilles spillet.

TAL FRA 0 TIL 100 MOD PÅ MAT 1

Side 10 Indledende samtale med udgangspunkt i billederne Formålet med den indledende samtale er, med udgangspunkt i elevernes forforståelse, at arbejde med tal op til 100.

Tal fra 0 til 100 91

KOPIERING FORBUDT

Samtalen er et tænkt som en klassesamtale. Du kan sætte gang i en samtale med klassen ud fra nedenstående samtalespørgsmål.

Hvilke tal er der på taltavlen?

Tal med din makker om forskellen mellem en tallinje og en taltavle

Forslag til samtalespørgsmål

Sæt tallene ind på tallinjen 0, 10, 20, 30, 31, 39, 40

• Hvor mange tal kan I se på billedet? • Hvilke tal kan I se på taltavlen?

• Hvor skulle 100 stå, hvis tavlen var fortsat? • Hvilke mønstre kan I få øje på i tallene? • Hvad har tallene i de vandrette rækker til fælles? • Hvad har tallene i de lodrette søjler til fælles?

9788723546784_indhold.indd 25

15.11.2021 12.36

Lad eleverne arbejde parvis og gå på opdagelse efter mønstre i taltavlen. Måske lægger de mærke til • at tal med samme antal enere står i samme række. • at lige tal står over lige tal, og at det samme gælder for de ulige tal. • at 10-tabellen står i venstre række. • osv. Tal med din makker om forskellen mellem en tallinje og en taltavle Lad eleverne selv sætte ord på, hvilke forskelle og ligheder de kan se mellem en tallinje og en taltavle. Sæt tallene ind på tallinjen Tal med eleverne om, hvordan man kan vide, hvilke tal der skal stå hvor på en tallinje. Hvordan kan man vide, hvor meget hvert mellemrum på taltavlen svarer til?

Side 11

Nyttige ord

Forklar et nyttigt ord for din makker. Byt, til I er kommet igennem alle ordene

taltavle, tier, ener, ciffer, tallinje, talsystem, mønster

Forklar et nyttigt ord for din makker. Byt, til I er kommet igennem alle ordene. Her arbejder eleverne i mundtlig form videre med at uddybe forforståelsen af de nyttige ord. Først forklarer den ene elev i makkerparret sin forståelse af det første ord, og den anden kommenterer, hvorefter de diskuterer, indtil de er enige. Der byttes roller, og proceduren gentager sig. Det er en vigtig del af opgaven, at eleverne opdager, at et ordsbetydning hverdagssproget kan være helt forskellig fra den betydning, som ordet har i den matematiske diskurs.

KOPIERING FORBUDT

Hvor mange er der?

Sæt tal ind i rækkefølge 51

MOD PÅ MAT 1

Hvor mange er der? Træningsopgave om sammenhængen mellem mængde og symbol. Eleverne skal undersøge, hvor mange der er af hver slags. Sæt tal ind i rækkefølge Træningsopgave om tal i rækkefølge. Eleverne skal skrive de manglende tal i talrækkerne.

9788723546784_indhold.indd 26

15.11.2021 12.36

MOD PÅ MAT 1

Side 12 Find selv på tre på hinanden følgende tal Spørg eleverne, hvordan de løser denne opgave på den smarteste måde. Begynder de forfra eller bagfra? Er der nogle tal, der er lettere end andre? Hvad er det sværeste tal?

Find selv på tre på hinanden følgende tal

Tæl med din makker Vælg på skift et tal mellem 0 og 100, som din makker skal tælle videre fra.

Rod i tallene Aya har fundet en taltavle, men der er rod i tallene. Hjælp Aya med at skrive de tal, der mangler.

KOPIERING FORBUDT

Tæl med din makker Makkeropgave med fokus på tal i rækkefølge. Eleverne skal vælge et tal, som deres makker skal tælle videre fra. Hvor mange tal har et 4-tal eller et 7-tal som ciffer?

Rod i tallene Her søger eleverne efter sammenhænge i taltavlen. Spørg eleverne, hvilke fejl det var lettest at få øje på? Hvilke systemer brugte de for at udfylde de tomme felter i taltavlen?

Du skal finde ud af, hvor mange tal på taltavlen der har et 4-tal enten som ener eller tier eller begge dele.

Du skal finde ud af, hvor mange tal på taltavlen der har et 7-tal enten som ener eller tier eller begge dele.

Hvor mange tal har et 4-tal som ciffer? Lad eleverne selv tælle sig frem i taltavlen, når de undersøger, hvor mange tal i taltavlen der indeholder henholdsvis et 4-tal og et 7-tal. Tal efterfølgende om, hvorfor mon der er lige mange tal med 4 og 7 som ciffer.

Side 13

Tæl baglæns med din makker

Tæl baglæns fra 100, og skriv hvert 9. tal Start ved 100 og tæl ni tal baglæns, så du kommer til tallet 91. Tæl igen ni tal baglæns. Hvilket tal lander du nu på? Tæl igen ni tal baglæns. Hvilket tal lander du nu på? Fortsæt, og skriv de tal, som du lander på.

Tæl på andre sprog end dansk Kan du og din makker tælle på andre sprog end dansk? Hvilke sprog kan I tælle på?

Spil Største tal Læg en bunke med kort fra 1 til 9. Træk på skift et kort, og læg det enten på enernes eller tiernes plads. Din makker gør det samme. Træk et nyt kort, og placer det på den ledige plads. Din makker gør det samme. Den, der har det største tal, vinder.

MOD PÅ MAT 1

Begynd evt. med at skrive dette på tavlen

Vælg på skift et tal mellem 0 og 100, som din makker skal tælle baglæns fra.

KOPIERING FORBUDT

Hvilke tal passer ikke? Undersøgende opgave med fokus på elevernes argumentation og ræsonnementer. Det er oplagt at løse opgaven som en klasseopgave eller en makkeropgave. Eleverne skal svare på et simpelt spørgsmål: Hvilket tal passer ikke?

Hvilket tal passer ikke? 9

Her kunne nogle sammenhænge være • 20 passer ikke, da det er det eneste tal uden 4 som ciffer. • 44 passer ikke da der er det eneste tal med lige mange enere og tiere. • 20 passer ikke, da det er det eneste tal, som ikke kan skrives med lige linjer. • 14 passer ikke, da det er det eneste tal med kun 1 tier. • 41 passer ikke, da det er det eneste ulige tal. • osv.

9788723546784_indhold.indd 27

15.11.2021 12.36

MOD PÅ MAT 1-3

Med Mod på mat bliver arbejdet med elevernes sproglige udvikling en naturlig del af matematikundervisningen. Materialet lægger op til et systematisk arbejde med at udvikle og styrke de sproglige kompetencer hos eleverne. Med materialet hjælpes eleverne til at forstå og anvende ord og begreber, som er afgørende for at lykkes i matematikundervisning. Der etableres derved en ramme, hvor eleverne støttes i at udvikle både deres faglige og førfaglige sprog. Arbejdet med Mod på mat kan med fordel indtænkes som introduktion til nye faglige emner, så elevernes sproglige fundament er etableret, før arbejdet i grundbog eller på portal igangsættes. Eleverne lærer om de forskellige arbejdsformer, der knytter sig til matematikundervisningen og får erfaring med hvilke sproglige udtryksformer, der knytter sig til de forskellige arbejdsformer. Mod på mat har fokus på: → at eleverne skal kunne forstå og anvende grundlæggende ord og begreber i matematik → at støtte op om elever med svage sproglige kompetencer → at få alle elever med, når nye faglige emner introduceres → at styrke arbejdet med matematikkens mundtlige dimension → at eleverne lærer forskellige arbejdsmåder at kende Mod på mat er udviklet som et supplerende materiale, der nemt kan integreres i almenundervisningen eller benyttes i særligt tilrettelagte forløb for mindre elevgrupper. Materialet bygger på resultaterne af et fireårigt forskningsog udviklingsprojekt fra Københavns Professionshøjskole med støtte fra Egmont Fonden.

788723

546784

alinea.dk

Mod på mat, lærervejledning

Articles inside

Ikonerne

Den flerfaglige didaktiske metode i undervisningsmaterialet

Læringsudfordringer grundet forskelle i livsverden og skolekultur

Medborgerskabsperspektiv i materialet

Sproglige læringsudfordringer i matematik

Medborgerskab og matematik

Addition op til 20