Wutnov zakon gravitacije

^uvena Wutnova jabuka. Prema legendi, Wutn je posmatrao pad jabuke sa drveta i do{ao na ideju koja ga je dovela do otkri}a Zakona gravitacije.

Po~etkom XVII veka ve}ina nau~nika kona~no prihvata He lio cen tri~ni sistem. Me|utim, nau~nicima toga vremena nisu bili jasni ni zakoni kretawa ni uzroci koji dovode do kretawa planeta Sun~evog sistema (Heliocentri~nog sistema).

Johan Kepler je otkrio i formulisao zakone kretawa planeta oko Sunca na osnovu broj nih rezultata merewa koje je iz vr {io Tiho Brahe, kao i vlastitih merewa. Trebalo je, zatim, de fi nisati silu koja odre|uje kretawe planeta. Ali, ni Kepler ni we govi savremenici to nisu uspeli da u~ine. Problem je re{io ge nijalni engle ski nau~nik Isak Wutn (1642–1727).

Ideju da sila koja uzrokuje slobodno padawe tela na Zemqu i sila koja reguli{e kretawe nebeskih tela imaju istu prirodu Wutn je pokrenuo jo{ dok je bio student. Ali, prva izra~unavawa nisu dala adekvatne rezultate po{to su u to vreme podaci o rastojawu od Zemqe do Meseca bili neta~ni. Ne{to kasnije ti podaci su ispravqeni. Na osnovu toga su ura|eni novi prora~uni, koji se nisu odnosili samo na kretawe Meseca nego i na sve u to vreme otkrivene planete Sun~evog sistema, komete, kao i na slobodno padawe tela na Zemqinu povr{inu i na pojavu plime i oseke. Na osnovu tih rezultata, Wutn je formulisao Zakon gravitacije, kasnije nazvan Wutnov zakon gravitacije.

Intenzitet gravitacione sile proporcionalan je masama dva tela, odnosno: F ∼ m1m2.

Budu}i da se elipti~ne putawe planeta ne razlikuju mnogo od kru`nica (za koje va`i: ω ), mo`e se napisati:

gde su: a1 i a2 – intenziteti centripetalnih ubrzawa planeta; T1 i T2 – vremena obila`ewa planeta oko Sunca i r1 i r2 – polupre~nici wihovih orbita. Odavde sledi: : :

Kako je po Tre}em Keplerovom zakonu T1 2 : T2 2 = r1 3 : r2 3, dobijamo : : ,

a to zna~i da je u op{tem slu~aju:

Dakle, centripetalno ubrzawe planeta obrnuto je proporcionalno kvadratu rastojawa planeta od Sunca.

Kako je gravitaciona sila (kao i sila uop{te) proporci o na lna ubrzawu tela (planete), proizlazi da je i gravitaciona si la obrnuto srazmerna kvadratu udaqenosti planeta od Sunca, ili:

Wutn je na taj na~in otkrio zavisnost gravitacione sile od udaqenosti planeta od Sunca.

Koriste}i obe zavisnosti gravitacione sile: od masa Sunca i planete i od wihovog me|usobnog rastojawa, Wutn je formulisao Op{ti zakon gravitacije, koji va`i za sva nebeska tela i za sva tela uop{te: m m r

M M

Intenzitet sile uzajamnog privla~ewa dve materijalne ta~ ke, ili dva homogena tela sfernog oblika, srazmeran je pro iz vodu wihovih masa i obrnuto srazmeran kvadratu rastojawa me|u tim materijalnim ta~kama (sfernim telima*).

Pravac te sile prolazi kroz materijalne ta~ke (odnosno kroz centre sfera), a smer ove sile koja deluje na oba tela je ka cen tru drugog tela (sl. 6.3).

Koeficijent γ, u Zakonu gravitacije naziva se gravitaciona

konstanta. Ona je brojno jednaka sili izme|u tela jedini~nih masa na jedini~nom rastojawu

γ 6,7 Nm2 kg2 r

Sl. 6.3. Gravitaciona sila izme|u dva ta~kasta tela i izme|u dva sferna homogena tela

Sunce i planete, Zemqa i Mesec, na primer, mogu se smatrati materijalnim ta~kama u odnosu na radijuse wihovih pu ta wa pri izra~unavawu wihovog uzajamnog delovawa. Tela sfernog oblika privla~e se istom silom, kao i materijalne ta~ke odgovaraju}ih masa koje se nalaze u centru tela, ~ak i kada im dimenzije nisu zanemarqive u odnosu na wihovo me|usobno rastojawe – rastojawe izme|u wihovih centara.

* Mo`e se smatrati da je masa tela sfernog oblika i ho mo ge nog sastava, koncentrisana u centru, pa se zato ta tela mogu poistovetiti sa materijalnom ta~kom.

Ako tela imaju druge oblike i velike dimenzije u odnosu na wihovo me|usobno rastojawe, intenzitet sila uzajamnog delovawa ne mo`e se prikazati tako jednostavnom relacijom koja va`i za ta~kasta ili sferna tela. U tim slo`enim slu~ajevima sila gravitacionog delovawa me|u telima nalazi se po principu superpozicije: vektorskim sabira wem sila, uzajamnog gravitacionog delovawa svih ta~kastih ele me nata jednog tela sa svim elementima drugog tela.

Prema Wutnovom zakonu gravitacije, sila uzajamnog pri vla ~ewa tela ne zavisi od wihove relativne brzine, ve} samo od wihovih me|usobnih rastojawa (polo`aja). Va`no je ista}i i da gravitacione sile izme|u dva tela ne zavise ni od prirode sredi ne izme|u tih tela. To zna~i da }e gravitaciona sila izme|u dva te la biti ista nezavisno od toga da li se ona nalazi u vazduhu ili u vodi, pod pretpostavkom da je wihovo me|usobno rastojawe u oba slu~aja isto. [ta su{tinski predstavqaju gravitacione sile? Kakva je wi hova uloga, koje je wihovo mesto u prirodi? Daqe, kakvo je wihovo fizi~ko poreklo i kakva im je priroda? Odgovoriti na ta pitawa nije tako jednostavno. ^ak ni do danas to nije ura|eno do kraja. Tek se mogu o~ekivati adekvatniji odgovori. Ali, to ne os porava nau~nu vrednost Wutnove formulacije Zakona gravi ta ci je.

Jedno od najbitnijih svojstava sile gravitacije je da se ona ja vqa me|u svim telima nezavisno od wihove mase i dimenzija: me|u telima nebeskih razmera kao i me|u najsitnijim ~esticama. Za gra vitacione sile ne postoji prepreka kojom se mo`e spre~iti, zausta vi ti wihovo delovawe. To nije slu~aj, na primer, sa ele ktri~nim silama. Metalni ekran mo`e biti dovoqna prepreka za delovawe elektri~nih sila.

Gravitacione sile me|u obi~nim telima su vrlo slabog in ten ziteta. One dolaze do izra`aja (postaju dominantne) tek kod kos mi~kih tela (tela velikih masa).

Domet delovawa gravitacionih sila u teorijskom smislu je bes kona~no veliki. Me|utim, u prakti~nom smislu domet delo va wa je, ipak, ograni~en. Na primer, delovawe Zemqine gravita ci je na rastojawima od nekoliko stotina hiqada kilometara mo `e se prakti~no zanemariti. Zahvaquju}i velikom dometu, gra vi t acione sile „vezuju” sva tela u vasioni.

Gravitaciona sila koja poti~e od jednog tela (Zemqe, Me se ca, Sunca i sli~no) u istim ta~kama saop{tava jednako ubr za we svim drugim telima, nezavisno od wihove mase, strukture, ob li ka i zapremine. To je, tako|e, jedna od bitnih karakteristika gra vi tacionih sila koje ne poseduju drugi tipovi sila.

Saglasno Drugom Wutnovom zakonu mehanike, ubrzawe tela je srazmerno sili koja deluje na wega, a obrnuto je srazmerno ma si tog tela:

Da bi ubrzawe bilo nezavisno od mase tela, neophodno je da si la bude srazmerna masi, tako da odnos sile i mase ostaje uvek sta lan. Koliko se uve}a (smawi) masa tela, toliko se pove}a (smawi) sila, tako da ubrzawe (odnos sile i mase) ostaje stalan, ne promewen. To je slu~aj kod gravitacionih sila.

To svojstvo ne poseduju drugi tipovi sila. Ilustrujmo to i slede}im primerom. Uzmimo dva tela: pingpong lopticu i olovnu ku glu iste zapremine. Masa prvog tela je, recimo, oko 300 puta ma wa od mase drugog tela. Zna~i, da bismo saop{tili olovnoj kug li ubrzawe, jednako kao i pingpong loptici, na wu je potrebno delovati 300 puta ve}om silom (vremena delovawa su, naravno, jed naka). Me|utim, pod uticajem Zemqine te`e, i pingpong lop ti ca i olovna kugla padaju jednakim ubrzawem u vakuumu. Dakle, gra vitaciono privla~ewe je regulisano u skladu s masama tela: ko liko puta je masa olovne kugle ve}a od mase pingpong loptice, to liko puta je ve}e i weno privla~ewe od strane Zemqe, tako da in tenzitet ubrzawa gravitacione sile ne zavisi od mase tela: (g = F g m ).

PRIMER

Dve olovne kugle imaju masu po 100 kg. Rastojawe izme|u wihovih centara je 1 m. Kolika je gravitaciona sila uzajamnog privla~ewa ovih tela?

RE[EWE:

g γ

6,67

g 6,67 N m kg N kg kg m

GRAVITACIONA SILA U BLIZINI ZEMQINE POVR[INE

Iz svakodnevnog iskustva znamo da sva tela padaju na Zemqu (sl. 6.4) ako to kretawe ne spre~avaju druga tela (podloga, tela oka~ena o spiralu, kanap, konac itd.). [ta je uzrok padawu tela? Uzrok je gravitaciona sila Zemqe.

Na telo koje se nalazi nad Zemqinom povr{inom Zemqa deluje silom intenziteta:

g γ

gde je m – masa tela, M – masa Zemqe, R – polupre~nik Zemqe, h – visina na kojoj se dato telo nalazi.

Sl. 6.4. Tela slobodno padaju na Zemqinu povr{inu

Sl. 6.5

O

R

g

Sl. 6.6

O

Ova sila ima pra vac Zem qi nog polupre~nika na mestu (ta~ki) gde se telo u datom tre nutku nalazi, a smer ka centru Zemqe (sl. 6.5).

Ako je telo na Zemqinoj povr{ini ili se nalazi na relativno maloj visini iznad Zemqine povr{ine (h << R), gravitaciona sila ima intenzitet: g γ

Ova formula nije sasvim ta~na, jer Zemqa nije idealna kug la niti je homogenog sastava. Gravitaciona sila koja deluje na isto telo u raznim polo`ajima nije ista: ve}eg je intenziteta na povr{ini mora nego na visokoj planini, nema iste vrednosti na ek vatoru i na polovima. Te razlike utvr|ene su merewima, ali se obi~no zanemaruju.

ZEMQINA TE@A

Znamo da telo ispu{teno sa neke visine bez po~etne brzine (v0 = 0) ubrzano pada prema Zemqinoj povr{ini. Takvo kretawe je slobodan pad.

Sila koja uzrokuje slobodan pad tela naziva se Zemqina te`a (ili sila te`e).

Zemqina te`a se predstavqa formulom:

cf gde je: m – masa tela, a g – ubrzawe slobodnog pada.

Zemqina te`a i gravitaciona sila, strogo posmatrano, ne mo gu se poistovetiti. Zemqa se obr}e oko svoje ose, pa na sva tela deluje i odgovaraju}a centrifugalna sila koja uti~e na kretawe te la pri slobodnom padu.

Posmatrano iz obrtnog referentnog sistema vezanog za Zemqu:

Zemqina te`a (sila te`e) rezultanta je gravitacione i centrifugalne sile koje deluju na telo:

g

cf

Pravac ove sile ne prolazi kroz centar Zemqe. U skladu s tim mewa se i wen smer (sl. 6.6). Ovde je centrifugalna sila inercijalna sila koja se javqa usled Zemqine rotacije. Usled wenog delovawa, u strogom smislu, telo koje slobodno pada (kao i telo koje se kre}e vertikalno navi{e), kre}e se po krivolinijskoj putawi. Me|utim, ova krivolinijska putawa se obi~no, ako nije re~ o preciznim prora~unima, aproksimira pravom linijom (mali intenzitet centrifugalne sile).

UBRZAWE SLOBODNOG PADA

Zemqina te`a (sila te`e) uzrokuje slobodni pad tela (po ~etna brzina v0 = 0). Ubrzawe tela pri slobodnom padu je:

odnosno :

g

cf

Ako se zanemari delovawe centrifugalne sile, onda je:

g

Ubrzawe slobodnog pada ne zavisi od mase tela. Svakako, to va`i za slobodan pad tela u vakuumu, jer u svakoj sredini na kretawe tela uti~e i sila otpora, pa u sredinama kao {to su vazduh (atmosfera) i voda tela padaju sa razli~itim ubrzawima.

TE@INA TELA

Q

Usled delovawa Zemqine te`e sva tela, kada su spre~ena slobodno da padaju, pritiskaju podlogu koja ih zadr`ava ili za te`u konac, nit, metalnu oprugu o koju su obe{ena. T

Sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu, iste`e me tal nu oprugu, zate`e konac, nit i sli~no usled delovawa Ze mqi ne te`e u inercijalnom sistemu referencije, naziva se te`ina te la.

g

Iako je Zemqina te`a uzrok te `i ne tela, ove dve veli~ine ne mo`emo po istovetiti. Dakle, treba razliko va ti te`inu tela i Zemqinu te`u.

Zemqina te`a g i te`ina tela imaju jednake intenzi te te (F g = Q), pra vac i smer samo na povr{ini Zemqe, uz pretpos ta vku da su tela u stawu mi ro va wa ili se kre}u ravnomerno pra vo li ni j ski u T

g

odnosu na Zemqu i da se Zemqa ne obr}e oko svoje ose. Ali, ni tada nemaju istu napadnu ta~ku. Napadna ta~ka Zemqine te `e nalazi se u telu, i to u te`i{tu, a te`ina tela u ta~ki oslo nca ili u ta~ki Q ve{awa (sl. 6.7). Sl. 6.7. Sila te`e i te`ina tela na povr{ini Zemqe (kada se zanemari wena rotacija) imaju isti intenzitet, pravac i smer, ali nemaju istu napadnu ta~ku

T

g

Sl. 6.8. U toku slobodnog padawa na telo i daqe deluje Zemqina te`a, a wegova te`ina je jednaka nuli

Sl. 6.9

Ako se prekine konac o kome visi telo, Zem qi na te`a i daqe deluje na telo i ono pada na Zemqu, ali te`ina tela je jed na ka nuli (Q = 0), jer ono vi{e ne zate`e konac (ne deluje u ta~ ki ve{awa, sl. 6.8).

Kada slobodno pada podloga na kojoj se nalazi telo, telo ne pritiskuje podlogu i te`ina tela je, tako|e, jednaka nuli, ali Ze mqi na te`a i daqe deluje i na podlogu i na telo.

Jedinica za merewe te`ine tela je ista kao i jedinica za me re we sile (wutn).

Stoga se te`ina tela, kao i sila uop{te, meri di na mo met rom.

Obi~no se posmatra te`ina tela koje se nalazi u stawu mi ro vawa u odnosu na Zemqu, koja na wega deluje gravitacionom si lom. Isti rezultati se dobijaju i kad se te`ina tela meri u bilo ko jem referentnom sistemu koji se u odnosu na Zemqu kre}e ra v no merno pravolinijski (stalnom brzinom). Uticaj Zemqine ro ta cije na te`inu tela uzima se u obzir samo kod preciznih merewa.

Me|utim, te`ina tela se mewa ako se meri u sistemu koji se kre }e ubrzano u odnosu na Zemqu. (O tome }emo posebno govo riti.)

Te`ina tela odre|ena je rezultantom svih sila koje deluju na telo, a ne samo silom gravitacije (Zemqinom te‘om). Tako je te`ina te la u vodi ili u vazduhu zbog postojawa sile potiska mawa nego u vakuumu.

Postoji su{tinska razlika me|u pojmovima: Zemqina te`a i te`ina tela. Prvo, Zemqina te`a odra`ava uzajamno de lovawe tela i Zemqe, a te`ina tela je rezultat uzajamnog de lo vawa tela i podloge, opruge, konca... Drugo, te`ina tela zavisi od ubrzawa podloge na kojoj se telo nalazi, ili opruge o koju je telo obe{eno, a Zem qina te`a u tim uslovima ostaje nep ro me we na. Ako, na primer, telo slobodno pada sa ubrzawem Zemqine te `e, te`ina tela bi}e jed naka nuli (sl. 6.9), a Zemqina te`a }e i daqe delovati (postojati). Najzad, te`ina tela na polovima i ekva toru nije ista zbog obr tawa Zemqe oko svoje ose, odnosno pos tojawa centrifugalne sile.

MASA I TE@INA TELA

Pojmove masa i te`ina upoznali smo jo{ u osnovnoj {koli. Ali nije suvi{no jo{ jednom ista}i razliku izme|u ove dve veli~ine. Te`ina tela je sila, a masa je svojstvo tela (~estice). Masa je mera inertnosti tela (supstancije). Inertnost je os no v no svojstvo tela da se odupire svakoj promeni stawa (relativnog mi rovawa ili kretawa) i zavisi od koli~ine sadr`aja supstancije u telu. Dato telo sadr`i isti broj molekula, atoma nezavisno od toga da li se telo nalazi na Zemqi, Mesecu ili negde u kos mi~kom pro storu.