Rezime

• Kretawe planeta, kometa, satelita oko Sunca opisuje se i obja{wava na osnovu Keplerovih zakona i Wutnovog zakona gra vitacije.

Keplerovi zakoni

I. Pla nete se kre}u oko Sunca po elipti~nim (pribli`no kru `nim) putawama. U zajedni~koj `i`i tih elipsi nalazi se Sunce. II. Radijus-vektor koji spaja centre Sunca i planete u jed na kim interva lima vremena prebri{e jednake povr{ine (sek torska brzina je konstantna):

= const.

III. Koli~nik kvadrata perioda obilaska planete oko Su n ca i tre}eg stepena du`e poluose (ili pribli`no po lu pre ~nika) putawe svih planeta je stalan:

T2 a3 =const.

Ovaj zakon mo`e se primeniti i na kretawe satelita oko planeta.

• Wutnov zakon gravitacije. Gravitaciona sila kojom se privla~e dve materijalne ta~ke ili tela sfernog oblika i homogenog sastava srazmerna je proizvodu masa tih tela (materijalnih ta~aka), a obrnuto proporcionalna kvadratu wihovog me|usobnog rastojawa:

gde je: γ = 6,67 10 –11 – gravitaciona konstanta, r Nm2 kg2 – ras tojawe izme|u materijalnih ta~aka ili izme|u centara sfer nih tela. • Ja~ina gravitacionog poqa brojno je jednaka gravitaci onoj sili koja deluje na telo jedini~ne mase postavqeno u ta~ki u kojoj se odre|uje ja~ina poqa:

Intenzitet ja~ine gravitacionog poqa materijalne ta~ke mase m na rastojawu r odre|en je formulom:

• Slobodno padawe tela uzrokuje Zemqina te`a. Aproksi ma tivno se mo`e uzeti da je Zemqina te`a jednaka gravitaci onoj sili kojom Zemqa deluje na tela koja nisu suvi{e udaqena od wene povr{ine:

gde su: M i R – masa i polupre~nik Zemqe, m – masa tela, h – visina tela iznad Zemqine povr{ine i g – ubrzawe Zemqine te`e (odnosno slobodnog pada).

Izjedna~avawem relacija:

dobija se:

Kada je visina mnogo mawa od polupre~nika Zemqe (h << R), ubrzawe slobodnog pada je:

m s29,81 ≈ . = • Te`ina tela je sila kojom telo, usled Zemqinog pri vla ~e wa, pritiska horizontalnu podlogu na kojoj se nalazi ili za te `e vertikalni konac (spiralu) za koji je vezano. Inte n zi tet te`ine tela u inercijalnom referentnom sistemu odre |u je se formulom: Q = mg. • Бестежинско стање – само ако се подлога (односно тачка вешања) у односу на Земљу креће равномерно праволинијски или је у стању релативног мировања, тежина тела једнака је Земљиној тежи по интензитету, правцу и смеру. У лифту који слободно пада тела немају тежину, она су у бестежинском стању. Човек у таквом лифту је без тежине. Тада човек као и сва тела у лифту, не врши никакав притисак на подлогу, нити тела затежу конопац или уже о које су окачена. Тада тела „лебде“ у простору лифта и њихова тежина једнака је нули.

• Кретање тела у пољу Земљине теже. Постоје разни облици кретања тела (материјалне тачке) под дејством Земљине теже, али се обично разматрају карактеристични случајеви кретања: слободан пад, хитац навише (вертикални хитац), коси и хоризонтални хитац.

Тело испуштено са одређене висине, без или са почетном брзином, врши кретање које се зове слободан пад. За описивање тог кретања примењују се закони равномерно убрзаног кретања (без или са почетном брзином) само што се уместо интензитета убрзања тела узима интензитет убрзања Земљине теже g. • Хитац навише (вертикални хитац) – кретање тела са ин тензитетом почетне брзине вертикално навише. Пошто се тело креће у смеру супротном од смера деловања Земљине теже, хитац навише је једнако успорено праволинијско кретање. Применом закона једнако успореног кретања и заменом убрзања гравитационим убрзањем, добијају се формуле за одговарајуће величине којима се описује ово кретање. Кретање тела у пољу Земљине теже проучавали смо и у седмом разреду основне школе.

PITAWA I ZADACI

1. Koje su osnovne karakteristike gravitacione sile? 2. Navedite slu~ajeve u kojima je sila gravitacije centripetalna sila. 3. Strogo uzev{i, u kojim slu~ajevima va`i Wutnov Zakon gravitacije? 4.* Da li za gravitacione sile va`i princip superpozicije? 5*. Da li gravitacione sile zavise od relativne brzine tela i karakteristika sredine izme|u tih tela? 6*. Istakli smo da gravitaciona sila svim telima, nezavisno od wihovog oblika i mase, saop{tava isto ubrzawe. Da li to svojstvo imaju i drugi tipovi sila? 7. Kako mo`emo da odredimo rastojawe izme|u Sunca i planeta? 8*. Zbog ~ega se gravitaciono poqe ne mo`e poistovetiti s prostorom oko tela? 9. S kojom se veli~inom mo`e formalno izjedna~iti ja~ina gravitacionog poqa? 10. U kojem bi slu~aju vrednost te`ine tela na povr{ini Zemqe (posmatrano iz referentnog sistema vezanog za Zemqu) bila jednaka

Zemqinoj te`i? Da li se napadne ta~ke tih sila tada poklapaju? 11*. Gde je ve}i intenzitet ubrzawa tela pri slobodnom padu u poqu

Zemqine te`e: na polovima ili na ekvatoru? 12. Na kojoj se visini iznad Zemqine povr{ine gravitacija, koja deluje na telo, umawuje dva puta? 13. Da li se analogno te`ini tela u poqu Zemqine te`e mo`e definisati i te`ina tela u poqu neke druge sile?

14*. Po ~emu se razlikuju ubrzawa saop{tena telu Zem qi nom te`om i drugim silama? Trewe zanemariti. 15. Zbog ~ega ubrzawe koje saop{tava telu Zemqina te`a ne zavisi od wegove mase? Da li to va`i za bilo koja rastojawa tela od Zemqe? 16. Na gorwem delu rama koji mo`e da klizi bez trewa po dvema vertikalno postavqenim metalnim {inama o dve jednake metalne opruge obe{ena su dva tela razli~itih masa. Kada se prekine u`e kojim je u~vr{}en ram, on slobodno pada i opruge se skupqaju.

Objasniti ~ime je to uslovqeno. 17*. Zemqina te`a koja deluje na dato telo zavisi od geogra f ske {irine i nadmorske visine. Da li isti faktori uti~u i na ubrzawe tela pri slobodnom padu? 18. Telo je obe{eno o tanku nit. Za dowi deo tela privezana je ista takva nit. Ako lagano povla~imo dowu nit, u odre|enom momentu, kao {to smo i o~ekivali, prekinu}e se gorwa nit jer wu optere}uju te `ina kugle i sila zatezawa. Me|utim, ako dowu nit nag lo povu~emo, trgnemo, prekinu}e se ba{ ona, {to, na prvi pogled, izgleda neobi~no. Kako to objasniti? 19. Staklena cev~ica postavqena je na dva papirna prstena. Ako naglo udarimo po cev~ici metalnom {ipkom, cev ~ica se lomi, dok papirni prstenovi ostaju ~itavi. Obj asniti za{to se nisu pokidali papirni prstenovi. [ta bi se desilo da smo metalnom {ipkom cev~icu pritiskali postepeno? 20*. Za{to ne ose}amo delovawe sile gravitacije Sunca? 21*. Da li se telo ba~eno vertikalno uvis u toku kretawa nalazi u beste`inskom stawu? Otpor vazduha zanemariti. 22. Da li se telo ba~eno horizontalno ili pod nekim uglom u odnosu na horizontalnu ravan u toku kretawa nalazi u beste`inskom stawu?

Otpor vazduha zanemariti. 23*. Kako zami{qate oscilovawe matemati~kog klatna u beste`inskom stawu? 24*. Kada lift po~iwe da se kre}e ili se zaustavqa, ose}amo nelagodnost.

Za{to? 25*. Kako bi se kretalo pokrenuto telo u prostoru koji kara kteri{e beste`insko stawe (sila otpora vazduha se zanemaruje)?

m

M

F g

R

F g

PRIMER

Engleski fizi~ar Kevendi{ (Henry Cavendich, 1731–1810) eksperimentalno je odredio vrednost gravitacione konstante. Tom prilikom je izjavio da merewem gravitacione konstante, u stvari, meri masu Zemqe. Da li je bio u pravu?

RE[EWE: Te`ina tela mase m na povr{ini Zemqe je mg i ona je jednaka gravitacionoj sili izme|u tela i Zemqe ~ija je masa M. Kako je Zemqa pribli`no sfernog oblika, mo`e se smatrati da se ova tela nalaze na rastojawu jednakom polupre~niku Zemqe za koji }emo uzeti da iznosi R = 6 370 km. Dakle:

odakle se nalazi masa Zemqe:

9,81 6,37( ) 106m s2 m 6,67 10–11 N m2 kg2

5,97 1024 kg

Prema tome, Kevendi{ je bio u pravu.

PRIMER

Neka je Zemqina kugla homogenog sastava polupre~nika R = 6 370 km i mase M = 5,97 · 10 24 kg. Odrediti ubrzawe slobodnog pada na polu i ekvatoru.

m

RE[EWE: Ubrzawe tela koje slobodno pada zavisi od geografske {irine zbog delovawa centrifugalne sile na to telo. Kada se telo nalazi na polu, centrifugalna sila je jednaka nuli, pa je Zemqina te`a jednaka gravitacionoj sili: Fcf

p g

ubrzawe slobodnog pada na polu je:

p 9,813m s2

Centrifugalna sila ima najve}i intenzitet na ekvatoru, pa ubrzawe tela koje slobodno pada ima najmawu vrednost:

e g cf –

e

Period Zemqine rotacije je 24 h. Zamenom podataka dobija se vrednost ubrzawa slobodnog pada na ekvatoru:

e 9,78 m s2

Razlike u vrednostima ubrzawa slobodnog pada, kao {to vi dimo, veoma su male. Zato se uticaj centrifugalne sile na slo bodni pad tela obi~no zanemaruje. Za ubrzawe slobodnog pa da za relativno male visine iznad Zemqine povr{ine (h << R) naj ~e{}e se uzima vrednost:

9,81 m s2

PRIMER

Neistegqiva nit preba~ena je preko kotura zanemarqive mase. Za krajeve niti obe{ena su tela masa 1,4 kg i 1,6 kg. Na}i ubrzawe tela i silu zatezawa niti.

RE[EWE: Na slici su prikazane sile koje deluju na tela. Kada je masa kotura zanemarqiva, sila zatezawa niti je ista sa obe strane kotura. Kako je m2 > m1, to }e telo mase m2 padati, dok }e se telo mase m1 podizati istim ubrzawem. Prema tome: m1a = T – m1g i m2a = m2g – T. Sabirawem ovih relacija dobija se:

odnosno: a(m1 + m2) = g(m2 – m1), T

m1

m1g T

m2

m2g

Zamenom vrednosti:

0,2 kg 3 kg 9,81 0,65m m s2 s2

14,65 N.

PRIMER

Na telo mase m = 1 kg deluje sila stalnog intenziteta F = 10,81 N vertikalno navi{e. Za koliko }e se telo podi}i ako na wega deluje ta sila u toku t = 10 s? Uzeti da je ubrzawe slobodnog pada tela g = 9,81 m . s2

RE[EWE: Telo se kre}e pod dejstvom rezultuju}e sile intenziteta FR = F – mg. Prema Drugom Wutnovom zakonu:

Odavde je: FR = ma = F – mg.

Zamenom u izraz za put i uno{ewem datih podataka, dobija se: – –10,81 N 1 kg 9,81m s2 100 s2

s = 50 m.

PRIMER

^ovek mase 70 kg nalazi se u liftu kojim se podi`e iz prizemqa na 12. sprat. Neka mje ubrzawe lifta na startu (pri polasku) i pri zaustavqawu 2 . Kako }e vaga u tom liftu registrovati ~ovekovu te`inu s2 a) u stawu mirovawa lifta; b) pri po~etnom ubrzawu lifta; v) u vreme kada se lift kretao stalnom brzinom; g) pri zaustavqawu lifta?

RE[EWE: a) Q = mg = 686,7 N. b) Q = mg + ma = 826,7 N. v) Ako je lift krenuo iz prizemqa i kretao se do 12. sprata, tada je brzina izme|u 2. i 10. sprata sigurno bila konstantna. Dakle, izme|u 2. i 10. sprata ~ovekova te`ina bi}e ista kao i kada je lift mirovao: Q = 686,7 N. g) Q = mg – ma = 546,7 N.

U povratku sa 12. sprata ~ovekova te`ina se, tako|e, mewa u pojedinim fazama kretawa lifta. Koriste}i iste podatke m = 70 kg i a = 2 m , izra~unajte s2 ~ovekovu te`inu u svim tim slu~ajevima (ilustrovati svaki slu~aj crte`om). Prema tome, dok smo u liftu koji se kre}e izme|u spratova, na{a te`ina se mewa: kada lift polazi, te`ina je ve}a od mg; kada uspostavi ravnomerno kretawe, te`ina ponovo postaje mg, potom lift usporava i na{a te`ina se smawuje; kada se lift zaustavi, te`ina nam je opet mg. Neprijatni ose}aj koji imamo pri polasku i zaustavqawu lifta posledica je promene na{e te`ine.

PRIMER

Sa torwa visine H = 50 m baci se telo vertikalno navi{e brzinom v0 = 4,9 m s2

a) Koliku }e visinu dosti}i telo? b) Posle kog vremena }e pasti na zemqu? v) Kolika }e biti brzina tela pri padu?

RE[EWE: a) Telo }e dosti}i visinu

u odnosu na vrh torwa:

a u odnosu na zemqu: 51,2 m.

b) Put do najvi{e ta~ke na putawi telo }e pre}i za vreme AB t1:

0,5 s,

a put za vreme: BC

3,2 s.

Ukupno vreme kretawa tela je:

t = t1 + t2  3,7 s. v) Brzina tela pri padu na zemqu je:

31,7m s