Matematică
CULEGERE DE EXERCIȚII. REZOLVĂRI
VREAU SĂ ȘTIU 6
CLASA
Cuvânt-înainte
Lucrarea de față, adresată elevilor de clasa a VI-a, este a doua dintr-o serie de patru culegeri pentru gimnaziu, cu titlul Vreau să știu.
Auxiliarul este realizat în conformitate cu Programa școlară în vigoare și poate fi folosit în completarea oricărui manual școlar de Matematică clasa a VI-a, oferind o metodă excelentă de aprofundare și evaluare.
Prima parte a auxiliarului cuprinde cinci teste de evaluare inițială, concepute și structurate după modelele publicate de Ministerul Educației.
Fiecare capitol prezintă exerciții și probleme rezolvate și explicate, care sprijină elevii în clarificarea noțiunilor teoretice predate la clasă și au ca scop înțelegerea raționamentului matematic. Sunt propuse, de asemenea, exerciții care necesită cunoștințe extinse care, de obicei, se predau în cadrul orelor de pregătire opțională sau chiar la clasă, acolo unde colectivele de elevi sunt mai receptive.
Din dorința de a ușura atât munca profesorului, cât și a elevului, sunt concepute fișe de lucru, construite gradual, care pot fi folosite în timpul orei, dar și pentru teme individuale. În funcție de complexitatea lecțiilor, numărul fișelor variază și permit revizuirea și aprofundarea cunoștințelor.
Fiecare capitol al cărții se încheie cu câte trei teste sumative, structurate după modelul celor date la examenele de Evaluare Națională la clasa a VIII-a. Acestea sunt însoțite de bareme de evaluare și notare. Ultimul capitol al cărții cuprinde cinci teste finale anuale.
Auxiliarul constituie un excelent instrument în pregătirea elevilor, pentru obținerea de bune rezultate la evaluările și examenele ulterioare.
Mult succes!
3
I .2 . MULȚIMEA NUMERELOR
I 2 1 Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime; determinarea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) și a celui mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.); numere prime
proporții; proprietatea fundamentală a proporțiilor;
4 Cuvânt-înainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 TESTE INIȚIALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I NUMERE NATURALE 11 I .1 . Mulțimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I .1 .1 . Mulțimi numerice/nenumerice . Relația dintre un element și o mulțime Relații între mulțimi 11 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I .1 .2 . Mulțimi finite,
mulțimi infinite, mulțimea numerelor naturale 14 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
diferență 16 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
cardinalul unei mulțimi finite;
I .1 .3 . Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție,
NATURALE . . . . . . . . . . . 20
între ele 20 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fișa de lucru 3 23 I .2 .2 . Proprietăți ale divizibilității în ; probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea . . . . . . . . . . . . 24 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ 27 II . RAPOARTE . PROPORȚII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1 Rapoarte;
determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție; proporții derivate 31 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Fișa de lucru 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II .2 . Mărimi direct proporționale; mărimi invers proporționale; regula de trei simplă 40 II .2 .1 . Proporționalitate directă . Regula de trei simplă . . 40 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II 2 2 Proporționalitate inversă Regula de trei simplă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II .3 . Elemente de organizare a datelor; probabilități . 46 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ 50 III . MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI . . . . . . . . . . . . . . 54 III 1 Mulțimea numerelor întregi; opusul unui număr întreg; reprezentarea pe axa numerelor; modulul unui număr întreg; compararea și ordonarea numerelor întregi 54 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 III .2 . Adunarea numerelor întregi, proprietăți; scăderea numerelor întregi . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Fișă de lucru 58 III .3 . Înmulțirea numerelor întregi, proprietăți . . . . . 60 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 III 4 Împărțirea numerelor întregi când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului . . . . . . . . . . . . . . . 62 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III 5 Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul; reguli de calcul cu puteri . 65 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III .6 . Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor 67 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 III .7 . Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor/inecuațiilor în contextul numerelor întregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Fișa de lucru 2 72 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 IV . MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE . . . . . . . . . . . 78 IV 1 Mulțimea numerelor raționale; reprezentarea pe axa numerelor; opusul; modulul; compararea și ordonarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Fișă de lucru 79 IV .2 . Adunarea numerelor raționale; proprietăți; scăderea numerelor raționale . . . . . . . . . . . . . . . 81 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 IV .3 . Înmulțirea numerelor raționale; proprietăți; împărțirea numerelor raționale; puterea cu exponent număr întreg a unui număr rațional nenul; reguli de calcul cu puteri 85 CUPRINS
II
5 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Fișa de lucru 2 91 IV .4 . Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 IV .5 . Ecuații; probleme care se rezolvă folosind ecuații 97 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 V NOȚIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE 108 V .1 . Unghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 V .1 .1 . Unghiuri opuse la vârf; unghiuri formate în jurul unui punct; unghiuri suplementare, unghiuri complementare, unghiuri adiacente 108 Fișa de lucru 1 109 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 V .1 .2 . Bisectoarea unui unghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Fișă de lucru 114 V .2 . Paralelism . Drepte paralele; criterii de paralelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 V .3 . Perpendicularitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Fișă de lucru 122 V .4 . Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 V .4 .1 . Cerc; elemente în cerc; unghi la centru . . . . . 124 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 V .4 .2 . Pozițiile unei drepte față de un cerc; pozițiile relative a două cercuri 127 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 VI . TRIUNGHIUL VI 1 Perimetru; suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi, teorema unghiului exterior . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 VI .2 . Construcția triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL; inegalități între elementele triunghiului . 139 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 VI .3 . Linii importante în triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 VI 3 1 Bisectoarele unghiurilor unui triunghi 143 Fișă de lucru 143 VI 3 2 Mediatoarele laturilor unui triunghi 145 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 VI .3 .3 . Înălțimile unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 VI .3 .4 . Medianele unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 VI .4 . Congruența triunghiurilor oarecare; criterii de congruență a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL; criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice: CC, IC, CU, IU 152 VI .4 .1 . Criterii de congruență a triunghiurilor oarecare: LUL, ULU, LLL . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 VI .4 .2 . Criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice: CC, IC, CU, IU . . . . . . . . . . . . . . 155 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 VI .5 . Metoda triunghiurilor congruente . . . . . . . . . . 158 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 VI 6 Proprietăți ale triunghiului isoscel; proprietăți ale triunghiului echilateral 162 VI .6 .1 . Proprietăți ale triunghiului isoscel . . . . . . . . 162 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 VI .6 .2 . Proprietăți ale triunghiului echilateral . . . . . 166 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 VI .7 . Proprietăți ale triunghiului dreptunghic; Teorema lui Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ 172 VII TESTE FINALE ANUALE 177 VIII . RĂSPUNSURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
TESTE INIȚIALE
• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și Partea a II-a se acordă 90 de puncte . Din oficiu se acordă 10 puncte .
• Toate subiectele sunt obligatorii . Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute .
TESTUL 1
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 . Rezultatul calculului 8 + 12 : 4 este:
24
11
5
5p 2 . Numărul cifrelor pare, în sistemul zecimal, este egal cu:
4
5
8
5p 3 . Cifra x pentru care numărul 202x nu se divide cu 2 poate fi:
8
6
5p 4 . Restul împărțirii numărului 2023 la 17 este:
0
1
4
5p 5 . Transformat în fracție ordinară ireductibilă, numărul 1,(6) este egal cu:
5 3
15 99
5p 6 . Rezultatul calculului 111 236 ++ este:
3 12
3 11
16 90
16 9
3 6
5p 7 . Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 9 cm și lățimea egală cu 2 3 din lungime este egal cu:
15 cm
24 cm
30 cm
5p 8 . Dacă a + b = 14 și a · c + b · c = 98, atunci c este egal cu: A. 7 B. 8
9
5p 9 . Rezultatul calculului 1,25 ha – 475 m2, exprimat în ari, este egal cu: A. 35 ari
77,5 ari
94,5 ari
32 cm
12
120,25 ari
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
9p 1 . Calculați: 23 + 12023 – 32
9p 2 . Găsiți toate numere naturale x, pentru care: 3 · x – 2 < 5.
9p 3 . Un elev rezolvă 75% din tema pe vacanță care cuprinde 80 de exerciții. Câte exerciții a rezolvat elevul?
9p 4 . Un dreptunghi are aceeași arie cu un pătrat cu latura de 8 cm. Aflați perimetrul dreptunghiului
știind că lățimea este de 4 ori mai mică decât lungimea lui.
9p 5 . Calculați până la ce înălțime se ridică apa într-un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic, știind că lungimea bazinului este 6 m, lățimea este 2,5 m, înălțimea de 1,8 m, iar în bazin sunt 150 hl de apă.
6
B.
C.
D.
A.
4
A.
B.
C.
D.
9
A.
B.
C.
D.
3
A.
B.
C.
D. 9
7
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
4
A.
B.
C.
D.
C.
D.
C.
D.
B.
TESTUL 2
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 . Rezultatul calculului 10 – 4 · 2 este: A. 2 B. 4
5p 2 . Dacă 2x – 1 < 3, atunci numărul natural x poate fi:
4
3
8
12
2
5p 3 . Cifra x pentru care numărul 93x se divide cu 2 poate fi:
0
5
5p 4 . Restul împărțirii unui număr la 5 poate fi:
10 B. 7
7
1
5
5p 5 . Numărul 23 18 transformat în fracție zecimală este egal cu:
1,27
5p 6 . Rezultatul calculului 2 3 3 2 1 6 este:
4 12
4 11
5p 7 . Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 15 cm și lățimea egală cu 40% din lungime este egal cu:
A. 42 cm B. 40 cm C. 38 cm
5p 8 Dacă a · b + a · c = 65 și b + c = 13, atunci a este egal cu: A. 3 B. 5
52
5p 9 . Rezultatul calculului 25 cl + 2,25 dm3, exprimat în litri, este egal cu: A. 0,5 litri B. 1,25 litri C. 2,25 litri
21 cm
78
2,5 litri
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
9p 1 . Calculați: 33 – 32 – 31 – 30
9p 2 . Aflați numărul natural x, din egalitatea: 4 · x – 3 = 2 · x + 7.
9p 3 . Un obiect care costa 72 de lei, s-a scumpit cu 15%. Cât costă obiectul după scumpire?
9p 4 . Perimetrul unui dreptunghi cu lățimea de 4,5 cm este egal cu 24 cm. Aflați aria pătratului care are latura egală cu lungimea dreptunghiului.
9p 5 . Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic, plin cu apă, are dimensiunile L = 8 dm, l = 50 cm și h = 0,4 m. Încape apa din acest acvariu într-un vas cubic cu latura de 55 cm?
7
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
9
A.
C.
D.
4
A.
B.
C.
D.
1,(27)
1,2(7)
1,28
A.
B.
C.
D.
4 6
2
D.
D.
C.
D.
TESTUL 3
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 Rezultatul calculului 18 · 4 – 4 · 2 este:
A. 0 B. 24
5p 2 . Media aritmetică a numerelor 2,6 și 7,4 este:
A. 4,5
5
5p 3 . Dacă 3x = 9, atunci numărul natural x este egal cu:
2
3
5p 4 . Câtul împărțirii numărului 486 la 27 este:
A. 16 B. 17
48
10
64
10,12
18
5p 5 . Cel mai mare număr de forma abc ⁝ 2, cu cifre diferite, este:
999 B. 998
988
5p 6 . Rezultatul calculului 24% din 25 minus 25% din 24 este egal cu:
0
1
24
5p 7 . Perimetrul unui pătrat cu aria de 121 cm2 este egal cu:
A. 484 cm B. 324 cm
84 cm
5p 8 . Dacă b – c = 12 și a · b – a · c = 18, atunci a este egal cu:
19
986
25
44 cm
A. 6 B. 3 C. 1,5 D. 1
5p 9 . Rezultatul calculului 136 g + 0,114 kg, exprimat în dag, este egal cu:
A. 32,5 dag B. 25 dag C. 22,5 dag D. 0,25 dag
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
9p 1 . Calculați: (52 + 32) : 17 – 20230
9p 2 . Determinați numărul natural x din relația 3,6 · x – 1,3 = x + 11,7.
9p 3 . Media aritmetică a două numere este egală cu 5,8. Unul dintre numere este cu 2 mai mic decât celălalt. Aflați numerele.
9p 4 . Un pătrat cu perimetrul de 12,8 cm are aceeași arie cu a unui dreptunghi cu lățimea egală cu jumătate din latura pătratului. Aflați perimetrul dreptunghiului.
9p 5 . Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt L = 8 dm, l = 40 cm și h = 0,2 m. Aflați muchia cubului care are același volum cu cel al paralelipipedului dat.
8
C.
D.
C.
D.
B.
A.
B.
C.
D.
4
6
C.
D.
C.
D.
A.
A.
B.
C.
D.
C.
D.
TESTUL 4
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 Rezultatul calculului 24 : 4 – 2 · 3 este:
A. 0 B. 12
24
5p 2 . Media aritmetică a numerelor 6 și x este egală cu 4,8. Numărul x este: A. 1,2
5p 3 . Dacă 4 – 3 · x = x – 8, atunci numărul natural x este:
4
3
36
5p 4 . Câtul și restul împărțirii unui număr la 7 este 13 și 6. Deîmpărțitul este egal cu:
26
55
5p 5 . Cel mai mic număr de 3 cifre divizibil cu 5 este:
100 B. 105
5p 6 . Calculând 12,5% din 48 kg, se obține:
24 kg
12 kg
76
905
6 kg
5p 7 . Aria unui pătrat cu perimetrul de 8,24 dm este egală cu:
1,24 cm2
2,06 cm2
4,2436 cm2
5p 8 . Dacă a+b = 4,8 și a · c + b · c = 24, atunci c este egal cu:
15
10
5
97
910
4 kg
42,436 cm2
2,5
5p 9 . Rezultatul calculului 0,04 km + 2,6 dam – 125 dm, exprimat în m, este egal cu:
A. 53,5 m B. 43,5 m
C. 30,1 m
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete .
9p 1 . Calculați: (34 : 27 + 42 : 23) : (52 : 5).
D. 17,5 m
(45p)
9p 2 . Suma a două numere naturale este 34. Împărțind numărul mai mare la numărul mai mic se obține câtul 3 și restul 2. Aflați numerele.
9p 3 . Un obiect costă 120 lei. Obiectul se scumpește cu 10%, iar după o perioadă, se ieftinește cu 10%. Cât costă obiectul după cele două modificări de preț?
9p 4 . Aflați aria unui dreptunghi care are perimetrul de 56 cm și lățimea egală cu trei sferturi din lungime.
9p 5 . Două bazine, unul în formă de cub cu muchia de 9 dm, iar celălalt în formă de paralelipiped dreptunghic cu L = 1,5 m, l = 8 dm și h = 60 cm, sunt pline cu apă. Arătați că în cele două bazine nu încap 14,5 hl de apă.
9
C.
D.
B.
C.
D.
2,4
3,6
10,8
A.
C.
D.
B.
2
1
A.
B.
C.
D.
A.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
C.
D.
B.
TESTUL 5
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 . Rezultatul calculului 18 : 2 – 3 : 3 este:
A. 8 B. 6
5p 2 . Cel mai mare divizor comun dintre 4 și 6 este:
1
2
4
2
4
5p 3 . Numărul natural x pentru care este adevărată inegalitatea 2x + 3 ≥ 3x poate fi:
6
5
5p 4 . Ultima cifră a numărului 20222023 este: A. 4
6
4
12
3
8
5p 5 . Transformat în fracție ordinară ireductibilă, numărul 0,8(3) este:
5 6
83 99
83 90
5p 6 . Media aritmetică a două numere este 5,4. Suma numerelor este:
16,2
14,7
5p 7 . Rezultatul calculului 63,45 : 1,5 este:
423
42,3
12,4
4,23
5p 8 . Dacă x + y = 18 și 2 · x + 3 · y = 43, atunci y este egal cu: A. 7
9
11
5p 9 . Rezultatul calculului 15 ari + 0,04 ha, exprimat în dam2, este egal cu:
0,19 dam2
1,9 dam2
19 dam2
9
75 99
10,8
0,423
13
190 dam2
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
9p 1 . Calculați:
9p 2 . Împărțind suma a două numere naturale la diferența lor, se obține câtul 1 și restul 18. Aflați numărul mai mic.
9p 3 . Aflați numerele naturale nenule x, y pentru care fracția 4 (3)(32) xy+− este echiunitară.
9p 4 . Aflați aria unui dreptunghi cu perimetrul de 26 cm și dimensiunile laturilor numere naturale consecutive.
9p 5 . Cubul cu muchia de 12 cm are volumul egal cu al unui paralelipiped dreptunghic cu L = 18 cm
și l = 12 cm. Aflați înălțimea paralelipipedului.
10
C.
D.
C.
D.
A.
B.
A.
C.
D.
B.
C.
D.
B.
B.
C.
D.
A.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
B.
C.
D.
C.
D.
A.
B.
( ) 3 3
.
402 64:2357
I.1. Mulțimi
I.1.1. Mulțimi numerice/nenumerice. Relația dintre un element și o mulțime. Relații între mulțimi
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Scrieți elementele mulțimilor:
A = { } 36;xx<≤ B = { } 528;xx≤+< C = { } divide16, xx știind că x este un număr natural.
Rezolvare:
Pentru a găsi elementele mulțimii A trebuie să căutăm numerele naturale care respectă proprietatea din enunț, adică 3 < x ≤ 6. Acestea sunt: 4, 5 și 6, deci A = {4, 5, 6}; pentru elementele mulțimii B: vom scădea pe 2 din dubla inegalitate ⇒ 3 ≤ x < 6. Numerele naturale x care respectă această proprietate sunt: 3, 4 și 5, deci B = {3, 4, 5}; divizorii lui 16 sunt: 1, 2, 4, 8 și 16, deci mulțimea C = {1, 2, 4, 8, 16}.
2 Scrieți mulțimea părților mulțimii A = {4, 6, 9}.
Rezolvare:
Mulțimea vidă, ∅, și mulțimea însăși sunt submulțimi ale mulțimii A Apoi, putem forma trei submulțimi care să conținnă câte un element: {4}, {6}, {9} și trei submulțimi care să conțină câte două elemnte din A: {4, 6}; {4, 9} și {6, 9}. În final, (A) = {∅; {4}; {6}; {9}; {4, 6}; {4, 9}; {6, 9}; {4, 6, 9}}.
3 Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor:
a)
b)
Rezolvare:
a) Pentru a afirma că numărul 49 aparține sau nu aparține mulțimii date, trebuie să verificăm dacă 49 poate fi scris sub forma 2k + 1, unde k este un număr natural. Într-adevăr, pentru k = 24 se obține 2 · 24 + 1 =
= 48 + 1 = 49, deci propoziția este adevărată. Numărul natural k mai poate fi găsit din egalitatea 2k + 1 = 49; 2k = 49 – 1 = 48; k = 48 : 2 = 24.
b) Mai întâi vom scrie mulțimea dată prin enumerarea elementelor sale, adică divizorii numărului 18, adică {1, 2, 3, 6, 9, 18} și observăm că toate elementele din prima mulțime sunt și elemente ale celei de-a doua mulțimi, deci { } { } 3,6,91,2,3,6,9,18, ⊂ prin urmare și această propoziție este adevărată.
11
I. NUMERE NATURALE
Fișa de lucru 1
Mulțimi
1. Scrieți mulțimile literelor care formează cuvintele următoare: aritmetică, inteligent, facultate.
2. Se dă mulțimea M = {3, 7, 11, ..., 247, 251, ...}. Încercuiți A, dacă propoziția următoare este adevărată, și F, dacă este falsă:
a) 43 ∈ M A F
b) 300 ∈ M A F
c) 2023 ∉ M A F
3. Se dau mulțimile: A = {0, 1, 3, 5, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 2, 5, 7}
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) 4; A ∈
b) 8 A ∈ ;
c) 2; C ∈
d) 6; B ∈ e) 7; A ∉ f) 0; C ∉
g) 1; B ∈ h) 5; C ∈ i) 9; B ∉
4. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) 3 ∈ {x | 2 · x < 6};
b) 7 ∈ {x | x divide 21};
c) 2015{|5}; xx ∈
d) 11 ∈ {x | 12 < 2 · x < 22};
e) 9 ∈ {x | 3 · x + 1 < 28};
f) 25{|5}. xx ∈
5. Scrieți următoarele mulțimi, enumerând elementele lor, știind că x este un număr natural:
a) {|5};Axx=<
b) B = { x | 3 < x < 7};
c) {|72115};Cxx=<+≤
d) {|53111};Dxx=<−<
e) {| Exx = este divizor al lui 12}.
6. Enumerați elementele mulțimilor, știind că x,y și z sunt numere naturale:
a) A = { x | x < 5};
b) B = { y | y ≤ 3};
c) C = { z | 0 < z ≤ 4}.
7. Reprezentați mulțimile de la exercițiul 5 cu ajutorul diagramelor Venn-Euler.
8. Scrieți elementele mulțimilor:
a) mulțimea numerelor naturale pare mai mari decât 5 și mai mici decât 23;
• Mulțimea este o colecție de obiecte, bine determinate, care au o proprietate comună, numite elementele mulțimii Mulțimile se notează cu litere mari ale alfabetului: A, B, C, …, M, N, …, iar elementele cu litere mici.
• O mulțime formată din numere se numește mulțime numerică. În caz contrar, mulțimea se numește (este) nenumerică.
• Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțime vidă și se notează cu simbolul ∅
O mulțime poate fi reprezentată:
1. prin enumerarea elementelor sale ;
2. printr-o proprietate caracteristică, specifică elementelor sale și numai lor;
3. prin diagrame Venn–Euler.
Dacă un element se regăsește într-o mulțime, spunem că acel element aparține mulțimii și folosim simbolul „∈”, iar dacă un element nu aparține unei mulțimi, folosim simbolul „∉”.
b) mulțimea numerelor naturale impare mai mici decât 12;
c) mulțimea cifrelor;
d) mulțimea numerelor naturale de forma 3a, divizibile cu 2;
e) mulțimea numerelor naturale de forma abc, unde cifrele a, b și c sunt consecutive crescător.
9. Aflați valoarea numărului natural x știind că mulțimile A = {1, 4, 8} și B = {20, x, 22} sunt egale.
10. Scrieți mulțimea
11. Scrieți mulțimile A, B și C prin enumerarea elementelor și verificați dacă au același număr de elemente, știind că x este un număr natural:
.
12
{ }
{ }28
, 6 1 Cx
=∈
3111,Axx=⋅−<
Bxx=≤
x
+
Fișa de lucru 2
Relații între mulțimi
1 . Fie mulțimile A și B, reprezentate prin diagramele de mai jos.
• Două mulțimi A și B sunt egale dacă au aceleași elemente. Notăm A=B. Dacă mulțimile A și B nu aceleași elemente, scriem A ≠ B.
• O mulțime A este submulțime a mulțimii B, sau mulțimea A este inclusă în mulțimea B, dacă orice element din mulțimea A este și element al mulțimii B. Notăm: A ⊆ B.
Dacă măcar un element din mulțimea A nu se regăsește în mulțimea B, atunci A nu este submulțime a lui B și notăm A ⊄ B.
a) Determinați elementele mulțimilor A și B.
b) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
i) 3 ∈ B;
ii) 5 ∉ A;
iii) {1, 6} ⸦ A;
iv) {3, 4} ⸦ B;
v) {3, 4} ⸦ A;
vi) {7, 8, 9} ⸧ B;
vii) card A = 4.
2 . Fie mulțimile: A = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12},
B ={x număr natural | x divide 12} și
C ={x număr natural nenul | x ≤6}.
Bifați A, dacă propoziția următoare este adevă-
rată și F, dacă este falsă:
a) B ⊆ A A F
b) C ⊆ B A F
c) C ⊆ A A F
3 . Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) 2 ⸦ {1, 2, 3};
b) 3 ⊆ {1, 2, 3};
c) ∅ ⸦ {1, 2, 3};
d) {2, 4} ⊄ {1, 2, 3, 4};
e) ∅ ⸧ {0};
f) 0 ∈ {0};
g) ∅ ⸦ {0};
h) {1, 2, 3, 4} ⊇ {1, 2, 3, 4}.
4 . Scrieți toate submulțimile mulțimii A = {1, 3, 8}.
5 . Fie mulțimile:
A = { x număr natural | 2 · x + 1 < 7},
B = { x număr natural | 6 ≥ 5 · x – 9},
C = { x număr natural | 1 ≤ x ≤ 4}.
• Mulțimea vidă, ∅, și mulțimea însăși sunt submulțimi ale oricărei mulțimi A. Acestea sunt numite submulțimi improprii. Orice altă submulțime, diferită de ∅ și de A, dacă există, se numește submulțime proprie a lui A.
Dacă A ⊆ B și B ⊆ A, atunci A = B.
• Mulțimea formată din toate submulțimile unei mulțimi M se numește mulțimea părților mulțimii M și se notează (M).
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) A ⸦ B; b) A ⸦ C; c) B ⸦ C;
d) {20, 21} ⸧ A;
e) A ⸦ {x | x este cifră în sistemul zecimal};
f) C ⸦ {număr natural nenul | 6 ⁝ x}.
6 . Determinați numerele naturale a și b astfel încât {,,2}{0,1,2,3} ab ⊂
7 . Determinați x, știind că { } { } { } 0123 1,21,,42,2,2,2. x ⊂⊂
8 . Se consideră mulțimile:
A xx număr natural2 17 , ,
a) Enumerați elementele mulțimilor A, B și C.
b) Ce relație există între mulțimile A și C?
c) Ce puteți spune despre mulțimile B și C?
13
1 2 3 4 5 6 7 9 8 A B
.1 .2
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Stabiliți care din următoarele mulțimi sunt finite și care sunt infinite, iar pentru cele finite (dacă există) stabiliți cardinalul.
a) M = { xx ∈ xx ∈ număr par}; b) N = { 3 xx∈< 3 xx∈< 2022};
c) P = { xx∈≥ xx∈≥ 11}; d) Q = { xx ∈ xx ∈ multiplu al lui 3, x < 20}.
Rezolvare:
a) Mulțimea numerelor pare este de forma M = {0, 2, 4, …, 2k, …}, k ∈ ℕ, deci este o mulțime infinită.
b) Elementele mulțimii N respectă proprietatea 3x < 2022, adică x < 2022: 3, x < 674, deci N este o mulțime finită; cardN = 674.
c) P = {11, 12, 13, 14, …} – mulțime infinită.
d) Multiplii lui 3, mai mici decât 20, sunt: 0, 3, 6, 9, 12, 15 și 18, deci Q – mulțime finită ⇒ card Q = 7.
2 Scrieți, prin enumerarea elementelor, mulțimile:
Ax xx xM ,, , 20 4 Bx xD * , 18 Cx xM * | 3 și xD24 ., unde prin Mp și Dp notăm mulțimea multiplilor numărului natural p, respectiv mulțimea divizorilor numărului natural p.
Rezolvare:
Mulțimea multiplilor lui 4 o vom obține înmulțind pe 4, pe rând, cu toate numerele naturale. În cazul nostru, ne vom opri la cei care sunt mai mici (sau egal) cu 20. Deci, 4 · 0 = 0; 4 · 1 = 4; 4 · 2 = 8; 4 · 3 = 12; 4 · 4 = = 16; 4 · 5 = 20 ⇒ A = {0, 4, 8, 12, 16, 20}.
Divizorii lui 18 sunt: 1, 2, 3, 6, 9 și 18 ⇒ B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
În mulțimea C vor apărea ca elemente numerele naturale care sunt multipli ai lui 3, dar și divizori ai lui 24, în același timp. Mai întâi, vom scrie mulțimea divizorilor lui 24. Aceasta este:
D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Din această mulțime vom alege elementele care sunt multipli ai lui 3, adică: 3, 6, 12 și 24. Deci, C = {3, 6, 12, 24}.
3 Stabiliți dacă mulțimile A și B au același cardinal, unde: A x x x 21 3 subunitară și { }459Bxxx =∈
cardB = 2.
14
I
. Mulțimi finite, cardinalul unei mulțimi finite; mulțimi infinite, mulțimea numerelor naturale
3
2 ⇒
4
Rezolvare: 21 3 x x + + subunitară ⇒ 2x + 1 < x +
⇒ x <
A = {0, 1};
xx5 ⁝ 9 ⇒ 4 + 5 + x + x ⁝ 9 ⇒ x ∈ {0, 9} ⇒ B = {0, 9}. cardA =
Fișă de lucru
1 . Stabiliți dacă următoarele mulțimi sunt finite sau infinite:
a) {|,42023};Axxx =∈<≤
b) {|,29};Bxxx=∈>
c) {|,divizorallui72};Cxxx =∈ lui 72};
d) {|,5Dxx=∈ 5 divizor al lui x}.
2 . Determinați cardinalul mulțimilor:
a) {|,4};Axxx=∈≤
b) {|,27};Bxxx =∈≤<
c) {|,237};Cxxx=∈−<
d) {|,23}.Dxxx =∈>−
Reprezentați mulțimile folosind diagrame Venn-Euler.
3 . Care din mulțimile de la exercițiul 1 sunt egale?
Dacă cele patru mulțimi de la exercițiul 1 au același cardinal rezultă că ele sunt egale? Justificați!
4 . Precizați care dintre mulțimile următoare sunt
finite:
{|213};Axx=∈−<
{|41};Bxx=∈≤− 2 {|9};Cxx=∈≥
D = {mulțimea cifrelor din sistemul zecimal};
E = {mulțimea cifrelor pare din baza zece};
F = {mulțimea numerelor pare}.
5 . Fie Dn, mulțimea divizorilor numărului natural n. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor următoare:
a) card D4 = 3;
b) 28 6; D ∈
c) 12 4; D ∈
d) 28 7; D ∉
e) card D6 = 3.
6 . Precizați care dintre mulțimile următoare sunt
infinite:
a) 5 ; M b) 1024 ; M c) 288 ; D
d) {|314}; xx∈+>
e) {|7 x ∈ divide };x
f) * {|xx ∈ este număr natural}.
(Prin Mn s-a notat mulțimea multiplilor numărului natural n.)
• O mulțime care are un număr finit de elemente se numește finită (de exemplu, mulțimea divizorilor unui număr natural n, notată Dn ); în caz contrar, se numește infinită (de exemplu, mulțimea multiplilor unui număr natural n, notată Mn).
• Mulțimea numerelor naturale ℕ = {0, 1, 2, 3, …} și mulțimea numerelor naturale nenule, adică mulțimea numerelor naturale fără elementul zero, notată ℕ* = {1, 2, 3, …} sunt mulțimi infinite.
• Dacă o mulțime A este finită, numărul de elemente ale mulțimii A se numește cardinalul mulțimii A și se notează card A.
7 . Dați trei exemple de numere naturale pentru care mulțimea divizorilor lor au exact câte 4 elemente.
8 . Scrieți toate elementele mulțimii M12 care se găsesc cuprinse între 71 și 99.
9 . Se consideră mulțimile: { } 327,Axx=∈⋅−≤
B x x x 31 5 subunitară , { } 133.Cxxx =∈
a) Scrieți mulțimile A, B și C prin enumerarea elementelor.
b) Ce relație există între mulțimile A și B?
c) Ce puteți spune despre mulțimile B și C?
10 . Se dau mulțimile:
} * 273,Mxxx =∈⋅−≤−
Verificați dacă mulțimile A, B și C au același cardinal.
15
{ }
,. 2 y PzzyN =∈=∈
{
22,, x NyyxM =∈=−∈
I .1 .3 . Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3}, B = {a, b, 3}. Aflați: A ∪ B, A ∩ B, A – B, B – A
Rezolvare:
A ∪ B = {1, 2, 3, a, b}; A ∩ B = {3}; A – B = {1, 2}; B – A = {a, b}.
2 Se consideră mulțimile: A = {1, 2, 4, 5}; B = {x ∈ ℕ | 5 ≤ 2x – 1 < 13};
C = {x | x ∈ ℕ, x divizor propriu al lui 12}.
Calculați: a) A ∪ (B ∩ C); b) A ∩ (B ∪ C); c) A ∩ B ∩ C; d) A ∪ (B \ C); e) (A \ C) ∩ B; f) (A \ B) \ C
Rezolvare:
Înainte de a efectua operațiile cerute, vom scrie mulțimile B și C prin enumerarea elementelor.
Pentru a găsi elementele mulțimii B, vom căuta toate numerele naturale x pentru care este adevărată proprietatea caracteristică elementelor sale, adică 5 ≤ 2x – 1 < 13. Adunăm pe 1 în dubla inegalitate și obținem:
6 ≤ 2x < 14, apoi împărțim prin 2: 3 ≤ x < 7, deci B = {3, 4, 5, 6}.
Elementele mulțimii C sunt divizorii proprii ai lui 12, adică 2, 3, 4, 6, deci C = {2, 3, 4, 6}.
a) B ∩ C = {3, 4, 6} ⇒ A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 4, 5} ∪ {3, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
b) B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6} ⇒ A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 4, 5} ∩ {2, 3, 4, 5, 6} = {2, 4, 5};
c) A ∩ B ∩ C = {1, 2, 4, 5} ∩ {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4, 6} = {4};
d) B \ C = {5} ⇒ A ∪ (B \ C) = {1, 2, 4, 5} ∪ {5} = A;
e) A \ C = {1, 5} ⇒ (A \ C) ∩ B = {1,
f)
3 Verificați dacă are loc egalitatea: card (A ∪ B) = card A + card B – card (A ∩ B), unde A = x x 5 1 supraunitară ℕ și B = {x ∈ ℕ | x cifră pară}.
Rezolvare:
Pentru mulțimea A căutăm numerele naturale x pentru care fracția 5 1 x + este supraunitară. Acestea sunt 0, 1,
2 și 3, deci A = {0, 1, 2, 3}, iar B = {0, 2, 4, 6, 8}. Calculăm A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} și A ∩ B = {0, 2} ⇒
⇒ card(A ∪ B) = 7, card(A ∩ B) = 2, cardA = 4 și cardB = 5. Atunci: 7 = 4 + 5 – 2 ⇔ 7 = 7, adevărat (principiul includerii și excluderii).
4 Determinați mulțimile A și B știind că sunt îndeplinite simultan condițiile: a) A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 8, 9}; b) A ∩ B = {2, 8}; c) A \ B = {5, 9}.
Rezolvare:
Din condiția b) ⇒ {2, 8} ⸦ A și {2, 8} ⸦ B; din condiția c) ⇒ elementele 5 și 9 se găsesc în mulțimea A, dar nu se găsesc în mulțimea B, iar din condiția a) ⇒ elementele 4 și 6 se găsesc doar în mulțimea B. Atunci:
A = {2, 5, 8, 9} și B = {2, 4, 6, 8}.
16
5} ∩ {3, 4, 5, 6} = {5};
2}
3, 4,
A \ B = {1, 2} ⇒ (A \ B) \ C = {1,
\ {2,
6} = {1}.
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
• Toate subiectele sunt obligatorii . Din oficiu se acordă 10 puncte .
• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte .
TESTUL 1
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect . (30 p)
5p 1 . Dacă A = {1, 2, a, 8} și B = {23, 22, 21, 20}, A = B, atunci a este egal cu:
a) 8 b) 4 c) 2 d) 1
5p 2 . Cardinalul mulțimii literelor din cuvântul „aritmetica” este egal cu:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 10
5p 3 . Dacă A = {x ∈ ℕ | 4 < x < 7}, atunci suma elementelor mulțimii A este egală cu:
a) 22 b) 18 c) 18 d) 11
5p 4 . Cel mai mare divizor comun al numerelor 22 · 3 și 2 · 33 este egal cu:
a) 6 b) 12 c) 36 d) 54
5p 5 . Numărul numerelor de forma 24x, divizibile cu 6, este egal cu:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5p 6 . Descompunerea în produs de puteri de factori primi a lui 252 este:
a) 21 · 12 b) 22 · 3 · 21 c) 22 · 32 · 7 d) 62 · 7
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect . (30 p)
5p 1 . Calculând D6 ∩ D8, se obține:
a) {2} b) {1, 2} c) {0, 1, 2} d) {24, 48, ...}
5p 2 . Cardinalul mulțimii M = { x ∈ ℕ | 2x < 32} este egal cu:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
5p 3 . Suma S = 2 + 5 + 8 + ... + 2024 este divizibilă cu:
a) 25 b) 24 c) 23 d) 22
5p 4 . Suma a două numere naturale a și b, mai mari decât unitatea, este egală cu 36, iar c.m.m.d.c. al lor este 4. Cel mai mare număr cu această proprietate este:
a) 24 b) 28 c) 32 d) 36
5p 5 . Cel mai mic număr natural n care împărțit la 7 dă restul 4 și împărțit la 9 dă restul 6 este egal cu:
a) 87 b) 60 c) 49 d) 43
5p 6 . Cardinalul mulțimii părților mulțimii A = {0, 3, 4, 8} este egal cu: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
27
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
1. Se consideră mulțimile:
A = {x | x ∈ ℕ*, x ≤ 3}; B = {y | y ∈ ℕ, y = 2x , x ∈ A};C = {z | z ∈ ℕ, z = y : 2, y ∈ B}.
6p a) Determinați elementele mulțimilor A, B și C
4p b) Efectuați (A ∩ C) – B
2. Se dau numerele: x = (1 + 2 + 3 + … + 48) : 72 și y = 44 : [625 : 52 – (34 · 6 – 2 · 35) · 2023 – 812 : 36].
6p a) Calculați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor x și y
4p b) Arătați că x2024 – y2023 este divizibil cu 5.
10p 3. Aflați cel mai mare număr natural x știind că împărțind numerele 171, 285 și 595 la x se obțin resturile 3, 5, respectiv 7.
TESTUL 2
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Dacă a·b = 24 și [a, b] = 12, atunci (a, b) este egal cu:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
5p 2. Dacă A = {3, 2, a, 0} și B = {0, 2, 3, 4}, A = B, atunci a este egal cu: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5p 3. Fie mulțimea A = { x | x ∈ ℕ, 4 ≤ 3x + 1 ≤ 10}. Atunci, suma elementelor din mulțimea A este egală cu:
a) 4 b) 6 c) 10 d) 14
5p 4. Dacă (1x, 12) = 6, atunci cifra x este:
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2
5p 5. Descompus în produs de puteri de factori primi, numărul 504 se scrie:
5p 6. Valoarea de adevăr a propoziției „{2, 3} ⸦ {1; 2; 3; 4}” este:
a) adevărat b) fals
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Cardinalul mulțimii M = {x | x ∈ ℕ, 2x + 3 > 3x + 1} este egal cu:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
5p 2. Suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x = 1a, 1a ⁝ 2} este divizibilă cu:
a) 9 b) 7 c) 4 d) 3
5p 3. Fie mulțimile A = {x ∈ ℕ* | 12 ⁝ x} și B = {x ∈ ℕ | x < 6}. A \ B este egal cu:
a) {6, 12} b) {0, 5} c) {1, 2, 3, 4} d) {0, 12}
5p 4. Dacă un număr natural a are descompunerea a = 23 · 32 · 5, atunci numărul divizorilor lui a este egal cu:
a) 8 b) 12 c) 24 d) 30
5p 5. Dacă numerele 6n + 5 și 8n + 7 sunt prime între ele, atunci numărul valorilor numărului natural n este egal cu:
a) 0 b) 1 c) 2 d) o infinitate
28
a)
· 33
11 b) 22 · 32 · 13 c) 23 · 32 · 7 d) 22 · 32 · 17
22
·
5p 6 . Dacă (27, 3x, 72) = 9 atunci cifra x este egală cu:
a) 2 b) 6 c) 8 d) 9
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete . (30 p)
10p 1 . Determinați mulțimile A, B și C, știind că sunt îndeplinite simultan condițiile:
a) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b) B ∩ C = {6, 8};
c) A ∩ B = {2, 4}; d) A \ C = {1, 2, 3, 4, 5}.
10p 2 . Determinați numerele de forma abc știind că sunt îndeplinite simultan condițiile:
a) [a, b] = 24; b) (b, c) = 4.
10p 3 . Numerele 198, 243 și 318, împărțite la același număr natural nenul, dau de fiecare dată restul 3. Aflați împărțitorul.
TESTUL 3
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect . (30 p)
5p 1 . Fie A = {a, b, c} și B, mulțimea literelor din care este format cuvântul „cabana”. Atunci, A – B este egal cu:
a) {n} b) ∅ c) {0} d) {a, b, c}
5p 2 . Cardinalul mulțimii A = { x | x ∈ ℕ, 3 < x ≤ 8} este egal cu:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
5p 3 Dacă (a, b) = 2 și [a, b] = 12, atunci a·b este egal cu:
a) 48 b) 36 c) 24 d) 18
5p 4 . Numărul numerelor de forma 7x2 divizibile cu 12 este egal cu: a) 1 b) 3 c) 7 d) 9
5p 5 . Descompus în produs de puteri de factori primi, numărul 1224 se scrie:
a) 23 · 33 · 7 b) 22 · 32 · 13 c) 22 · 33 · 11 d)
5p 6 . Cifra x pentru care numerele 2x și 6 sunt prime între ele este:
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect . (30 p)
5p 1 . Dacă A = {3, 4, a, 6 } și B = {6, 3, b, 5}, A = B, atunci a + b este egal cu:
a) 18 b) 14 c) 12 d) 9
5p 2 . Dacă A = {1, 2, 3, 4} și B = {x ∈ ℕ | x divide 8}, atunci card(A – B) este egal cu:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5p 3 . Dacă mulțimile A și B îndeplinesc simultan condițiile: i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ii) A ∩ B = {3, 5}; iii) A – B = {2, 4, 6}, atunci suma elementelor mulțimii A este egală cu:
a) 15 b) 18 c) 20 d) 33
5p 4 . Numărul numerelor de forma 43xy, divizibile cu 45, este egal cu:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
29
23
32
17
·
·
5p 5 . Suma a două numere naturale este egală cu 70, iar c.m.m.d.c. al lor este 14. Cel mai mare număr cu proprietatea din enunț este:
a) 28 b) 42 c) 56 d) 68
5p 6 . Rezultatul sumei S = 102n + 3 + 102n + 2 + 102n +1 + 102n se divide cu:
a) 11 b) 10 c) 9 d) 3
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete . (30 p)
1 . Se consideră mulțimile: A = {x | x ∈ ℕ*, 2x ≤ 64}; B = {y | y ∈ ℕ, y divizor propriu al lui 18} și C = {z | z ∈ ℕ, z = y – 1, y ∈ B}.
6p a) Determinați mulțimile A, B și C.
4p b) Calculați (A ∩ B) – (B ∩ C).
4p 2 . a) Câtul împărțirii fără rest a două numere naturale este un număr natural care are exact 6 divizori. Găsiți numerele știind că ele sunt divizibile cu 5, iar suma lor este 195.
6p b) Aflați cel mai mic număr natural nenul care împărțit pe rând la 7, 11 și 21 dă resturile 4, 8, respectiv 18.
10p 3 . Suma a trei numere naturale este 100. Găsiți numerele știind că (a, b) = 12, (b, c) = 4, (a, c) = 8, iar suma primelor două este cu 20 mai mare decât al treilea.
30
II. RAPOARTE. PROPORȚII
II.1. Rapoarte; proporții; proprietatea fundamentală a proporțiilor; determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție; proporții derivate
EXERCIȚII REZOLVATE
1
a) Valoarea unui raport este 0,25. Dacă al doilea termen al raportului este 2, aflați primul termen.
b) Dacă valoarea unui raport este 0,(3) și primul termen al raportului este 1,5, atunci aflați al doilea termen.
c) Valoarea unui raport este 0,(6) și primul termen este mai mic cu 1 decât al doilea. Aflați termenii raportului.
Rezolvare:
Notăm termenii necunoscuți ai rapoartelor cu a și b, de exemplu.
a) 251 1004 0,25 aa bb a b =⇔= =⇔ și cum b = 2 ⇒ 12 421 0,5; 24 4 a aaa =⇒⋅=⋅⇒=⇔=
b) 31 0,(3) 93 aaa bbb =⇔=⇔= și a = 1,5. Urmează că 1,51 31,54,5; 3 bb b =⇒=⋅⇒=
c) 62 0,(6) 93 aaa bbb =⇔=⇔= și a = b – 1; deci 12 3(1)2 3 bbb b =⇔⋅−=⇔ 3b – 3 = 2b ⇒ b = 3 ⇒
⇒ a = 2.
2 Dacă 5 8 a b = și a + b = 26, aflați numerele raționale a și b.
Rezolvare:
Notăm valoarea comună a rapoartelor cu k: 5
5,8582613262. 858 aabkakbkkkkk b =⇔==⇒==⇒+=⇔=⇒= Atunci, a = 5 ∙ 2 = 10 și
b = 8 ∙ 2 = 16.
3 Dacă 355 , 212 xy xy = + atunci calculăm valoarea raportului x y
Rezolvare:
Vom folosi proprietatea fundamentală a proporțiilor: 12 ∙ (3x – 5y) = 5 ∙ (2x + y), de unde vom obține:
36x – 60y = 10x + 5y sau 26x = 65y
31
65
5 26 2 5
2
⇔=
x y ⇒=
.
x y
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
• Toate subiectele sunt obligatorii. Din oficiu se acordă 10 puncte.
• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte.
TESTUL 1
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Numărul x din proporția 39 6 x = este egal cu:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5p 2. Dacă 15% dintr-un număr este egal cu 3, atunci numărul este:
a) 45 b) 30 c) 25 d) 20
5p 3. Dacă 0,(3) 0,(6) a b = , atunci procentul pe care-l reprezintă a din b este egal cu:
a) 30% b) 50% c) 60% d) 90%
5p 4. Probabilitatea ca la aruncarea unui zar să se obțină o față cu un număr par mai mare ca 2 este egală cu:
a) 1 3 b) 1 4 c) 1 6 d) 1 12
5p 5. Dacă 2 și 3 sunt proporționale cu 8 și x, atunci x este egal cu:
a) 6 b) 9 c) 12 d) 18
5p 6. Dacă patru muncitori termină o lucrare în 3 ore, atunci șase muncitori vor termina lucrarea în:
a) 6 ore b) 4 ore c) 3 ore d) 2 ore
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Suma a două numere este egală cu 22. Dacă numerele sunt proporționale cu 4, respectiv 7, atunci cel mai mic este egal cu:
a) 14 b) 12 c) 8 d) 6
5p 2. Dacă 3 7 a b = , atunci 52 2 ab ba este egal cu:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7
5p 3. Dacă 31 33 ab ab = + , atunci raportul a b este egal cu:
a) 1 2 b) 2 3 c) 3 4 d) 4 5
5p 4. După o majorare cu 10% urmată de o ieftinire cu 25%, un obiect costă 99 lei. Procentul cu care se putea modifica de prima dată prețul pentru a se ajunge la același preț final este:
a) 35% b) 17,5% c) 15% d) 12,5%
50
5p 5. Într-o clasă sunt 28 de elevi. Dacă din clasă ar pleca un băiat, atunci ei ar reprezenta 50% din numărul fetelor. Numărul fetelor din clasă este egal cu:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18
5p 6. Aria dreptunghiului cu lungimea de 16 cm și lățimea reprezentând 75% din lungime este egală cu:
a) 192 cm2 b) 144 cm2 c) 128 cm2 d) 96 cm2
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
10p 1. Suma a trei numere naturale este 45. Primele două sunt direct proporționale cu 2 și 3, iar al doilea și al treilea sunt invers proporționale cu 4, respectiv 3. Aflați numerele.
10p 2. Diferența a două numere naturale este 3. Dacă mărim primul număr cu 20%, iar al doilea îl micșorăm cu 25%, atunci ele devin egale. Care sunt numerele?
10p 3. Aflați numerele raționale a, b și c, știind că 111 ,, 2515 abc+−+ sunt invers proporționale cu numerele 111 ,, 2668 , iar 5a – 4b = 6c.
TESTUL 2
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Dacă 2 9 a b = , atunci 4 · b – 18 · a este egal cu:
a) 9 b) 6 c) 2 d) 0
5p 2. Dacă a reprezintă 40% din b, atunci a b este egal cu:
a) 2 5 b) 3 5 c) 4 5 d) 8 5
5p 3. Într-o urnă sunt 15 bile roșii și 12 bile albastre. Probabilitatea ca la o extragere să obținem o bilă de culoare albastră este egală cu:
a) 4 5 b) 4 9 c) 5 12 d) 4 15
5p 4. Dacă numerele x și 2 sunt invers proporționale cu 4 și 6, atunci x este egal cu:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5p 5. Dacă două kg de mere costă 3,60 lei, atunci 5 kg de mere de aceeași calitate costă:
a) 12 lei b) 9 lei c) 7,20 lei d) 6 lei
5p 6. Dacă trei tractoare ară o suprafață de teren în 8 ore, atunci patru tractoare ară aceeași suprafață
în:
a) 6 ore b) 8 ore c) 9 ore d) 12 ore
51
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Dacă 2 3 a b = , atunci 2 22 2 52 aab ab este egal cu:
a) 6 b) 3 c) 2 d) 1
5p 2. Dacă 231 575 ab ab = , atunci raportul a b este egal cu:
a) 9 5 b) 8 5 c) 7 5 d) 6 5
5p 3. Dacă a și b sunt proporționale cu 4 și 7, iar b – a = 6, atunci a + b este egal cu:
a) 20 b) 21 c) 22 d) 24
5p 4. Dacă 5 · a = 8 · b, atunci numărul b reprezintă, din numărul a, un procent de:
a) 50% b) 62,5% c) 65% d) 67,5%
5p 5. Dacă 231 525 ba ab = , atunci:
a) 5 · a = 3 · b b) 5 · a = 2 · b c) 2 · a = 3 · b d) 3 · a = 2 · b
5p 6. Prețul s-a majorat de două ori consecutiv, prima dată cu 15%, apoi cu 9%, ajungând să coste 250,70 lei. Prețul inițial al obiectului a fost de:
a) 150 lei b) 175 lei c) 200 lei d) 225 lei
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
10p 1. Diferența dintre două numere naturale este 4. Dacă adunăm 40% din primul cu o treime din al doilea, obținem al doilea număr. Aflați cele două numere.
10p 2. Suma a trei numere naturale este 52. Aflați numerele știind că primele două sunt direct proporționale cu numerele 3 și 4, iar ultimele două sunt invers proporționale cu numerele 6 și 4.
10p 3. Fie a, b, c ∈ ℕ*, a < b < c, iar a + b + c = 18. Aflați numerele știind că numerele
c + a, c – b, 3b + a sunt invers proporționale cu 11 , ba și 1 c .
TESTUL 3
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Dacă 36% dintr-un număr este egal cu 45, atunci numărul este:
a) 150 b) 125 c) 120 d) 106
5p 2. Probabilitatea ca la aruncarea unui zar pe fața de sus să apară un număr de puncte divizibil cu 3 este egală cu:
a) 1 6 b) 1 4 c) 1 3 d) 1 2
5p 3. Dacă 35 ab = , atunci numărul a reprezintă … % din numărul b.
a) 30% b) 50% c) 60% d) 80%
52
5p 4. Calculând 16% din 25% din 75, se obține rezultatul:
a) 25 b) 15 c) 10 d) 5
5p 5. Dacă 9 16 a a = , atunci numărul natural a este egal cu:
a) 12 b) 24 c) 36 d) 72
5p 6. Dacă 4 robinete pot umple un bazin în 12 ore, atunci 6 robinete care au același debit vor putea umple bazinul în:
a) 9 ore b) 8 ore c) 6 ore d) 4 ore
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Dacă 0,(27) a b = , atunci 2 2 ab ba + este egal cu:
a) 5 b) 4 c) 2 d) 1
5p 2. Dacă valoarea unui raport este 0,1(6) și al doilea termen al raportului este 12, atunci primul termen este:
a) 24 b) 18 c) 16 d) 12
5p 3. Dacă 22 345 ab ab + = + , atunci că a reprezintă, din b, un procent egal cu:
a) 80% b) 75% c) 70% d) 40%
5p 4. Dacă un produs s-a scumpit cu 12% și acum costă 84 lei, atunci produsul a costat inițial:
a) 75 lei b) 76 lei c) 78 lei d) 80 lei
5p 5. Într-o urnă sunt 8 bile roșii, 10 bile verzi și 12 bile albastre. Probabilitatea ca la o extragere să obținem o bilă de culoare roșie sau albastră este egală cu:
a) 4 15 b) 2 5 c) 2 3 d) 4 5
5p 6. Prețul unui obiect s-a majorat cu 24%, iar după un timp s-a ieftinit cu 30%, ajungând să coste 217 lei. Prețul inițial al obiectului a fost de:
a) 223 lei b) 240 lei c) 250 lei d) 271 lei
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
10p 1. Suma a două numere este 60. Dacă adunăm 40% din primul număr cu 60% din al doilea, obținem același rezultat ca atunci când mărim diferența celor două numere cu 19. Aflați numerele.
10p 2. Fie a, b, c ∈ ℕ* , a < b < c și a + b + c = 12. Aflați numerele a, b și c știind că abcbca cab +−− == și că b este egal cu media aritmetică dintre a și c.
10p 3. Suma a patru numere este 95. Primele două sunt direct proporționale cu numerele 2 și 3, iar celelalte două sunt invers proporționale cu 3 și 2. Dacă suma dintre primul și ultimul număr este cu 5 mai mare decât suma dintre al doilea și al treilea, aflați numerele.
53
V. NOȚIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
V.1. Unghiuri
V.1.1. Unghiuri opuse la vârf; unghiuri formate în jurul unui punct; unghiuri suplementare, unghiuri complementare, unghiuri adiacente
PROBLEME REZOLVATE
1 Aflați:
a) complementul unghiului cu măsura de 42°28′;
b) suplementul unghiului cu măsura egală cu 89°34′;
c) suplementul complementului unghiului de 15°47′.
Rezolvare:
a) 90° – 42°28′ = 89°60′ – 42°28′ = 47°32′;
b) 180° – 89°34′ = 179°60′ – 89°34′ = 90°26′;
c) Complementul unghiului de 15°47′ este: 90° – 15°47′ = 89°60′ – 15°47′ = 74°13′; apoi, suplementul unghiului cu măsura de 74°13′ este: 180° – 74°13′ = 179°60′ – 74°13′ = 105°47′.
2 Două unghiuri adiacente complementare sunt astfel încât măsura unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât măsura celuilalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.
Rezolvare:
Unghiurile fiind complementare, vor avea suma măsurilor lor egală cu 90°. Dacă notăm cele două unghiuri cu a și b, vom avea: a + b = 90° și a = 3 · b (sau b = 3 · a). Atunci, 3 · b + b = 90° ⇔ 4 · b = 90° ⇔
⇔ b = 90° : 4 ⇔ b = 22°30′, deci a = 90° – 22°30′ = 67°30′ (sau a = 22°30′, b = 67°30′).
3 Două unghiuri opuse la vârf au suma măsurilor lor egală cu 86°. Calculați măsura unuia dintre celelalte două unghiri opuse la vârf formate.
Rezolvare:
Cele două perechi de unghiuri opuse la vârf au suma măsurilor lor egală cu 360°, deci măsura unuia dintre celelalte două unghiuri opuse la vârf formate va fi egală cu (360° – 86°) : 2 = 274° : 2 = 137°.
4 Aflați unghiurile necunoscute din figura alăturată.
Rezolvare: 90 902466; AOCBOCAOCAOB=°⇒=−=°−°=°
90 903862; EOCDOCEOCEOD=°⇒=−=°−°=°
38 AOFEOD==° (unghiuri opuse la vârf);
AOE este alungit, deci are măsura egală cu 180°. Atunci: 18038142. EOFAOEAOF=−=°−°=°
108
AO B C D E F ? ? ? ? 38° 24°
Fișa de lucru 1
Unghiri opuse la vârf; unghiuri formate în jurul unui punct
1. Suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este egală cu 45°. Aflați măsura unuia dintre celelalte unghiuri opuse la vârf formate. Realizați un desen conform enunțului.
2. În figura dată, punctele A,O,B, respectiv C,O, D sunt coliniare. Măsura unghiului AOD este de 3 ori mai mare decât măsura unghiului AOC. Determinați măsurile unghiurilor AOC și BOC
3. În figura alăturată, ∢AOB este drept, ∢DOB = 68°, iar punctele D, O și C sunt coliniare. Aflați măsurile ∢AOD, ∢COB și ∢AOC.
• Două unghiuri proprii se numesc opusela vârf dacă laturile lor formează două perechi de semidrepte opuse. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
• Trei sau mai multe unghiuri care au vârful comun, nu au puncte interioare comune și care, împreună cu interioarele lor, acoperă întreg planul, se numesc unghiuriînjurul unuipunct.
• Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este 360°.
6. Aflați măsurile a trei unghiuri formate în jurul unui punct știind că primul unghi are măsura cu 20° mai mică decât măsura celui de-al doilea, iar măsura celui de-al treilea unghi este cu 20° mai mare decât măsura celui de-al doilea.
7. Măsurile a trei unghiuri formate în jurul unui punct sunt reprezentate de patru numere naturale impare consecutive. Aflați măsurile unghiurilor.
C E B O 15° x y
4. Aflați unghiurile necunoscute din figura următoare, știind că punctele A, O, B, respectiv C, O, D sunt coliniare, ∢BOE este drept, iar ∢BOD = 15°. D A
5. În figura de mai jos, punctele A, O și B sunt coliniare, ∢DOB și ∢EOF sunt unghiuri drepte, ∢COA = 60°, iar ∢BOF = 15°. Aflați măsurile ∢COD, ∢AOE și ∢FOM, unde OM este semidreapta opusă semidreptei OC
8. Măsurile a trei unghiuri formate în jurul unui punct sunt egale cu 2x + 3, 3x + 4, x – 1. Aflați valoarea lui x.
9. Măsurile a cinci unghiuri formate în jurul unui punct sunt reprezentate de numere naturale pare consecutive. Aflați măsurile unghiurilor.
10. Cinci unghiuri, reprezentate prin numere naturale consecutive, sunt formate în jurul unui punct. Găsiți măsurile acestora.
11. În figura alăturată, punctele A,O,D sunt coliniare, OB, OF sunt semidrepte opuse, iar ∢EOF este drept. Aflați măsurile unghiurilor AOB, BOC, COD, DOE și AOF
109
A B CD E F O
AD CB O AD O 68° B C
7x 5x 2x A BC D E F O
12. În figura de mai jos, punctele A,O și B sunt coliniare, ∢COD este drept, iar ∢FOE = 120°.
Aflați unghiurile necunoscute din figură. 120° 3y 2 xx A B
13. Aflați măsurile unghiurilor: AOB, BOC, COD, DOE, EOF și FOA, formate în jurul unui punct, știind că sunt îndeplinite simultan condițiile:
a) B,O,E – puncte coliniare;
b) unghiul DOE este drept, D și E de aceeași parte a dreptei CF;
c) ∢BOC și ∢EOF sunt opuse la vârf;
d) ∢BOC = 36°;
e) măsura unghiului AOB este cu 12° mai mică decât măsura unghiului AOF
14. În figura de mai jos, punctele A,O și E sunt coliniare, ∢GOH și ∢COD sunt opuse la vârf, ∢GOH = 60°, iar ∢AOC și ∢BOD sunt unghiuri drepte. Aflați măsurile unghiurilor DOE, BOC, FOG, GOD
b) semidreapta OE este opusă semidreptei OB;
c) dublul măsurii unghiului COD reprezintă 3 5 din măsura unghiului AOB;
d) măsura unghiului DOE este cu 15° mai mare decât măsura unui unghi drept.
16. În figura de mai jos, punctele E,O,B sunt coliniare, ∢AOB și ∢COD sunt unghiuri drepte, iar
∢COE = 60°. Aflați măsurile ∢DOB și ∢AOD,
∢AOC.
17. Două drepte, AB și CD, sunt concurente în punctul O Triplul măsurii unghiului AOC este cu 12° mai mic decât măsura unghiului AOD. Aflați măsurile unghiurilor proprii formate cu vârful în punctul O.
18. Dreptele AB și CD sunt concurente în punctul O. Aflați unghiurile formate în următoarele cazuri:
a) ∢AOC este cu 15° mai mare decât dublul măsurii unghiului AOD;
b) diferența măsurilor unghiurilor BOD și BOC este egală cu 78°;
c) suma măsurilor a trei dintre unghiurile formate este egală cu 254°.
15. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE și EOA sunt unghiuri formate în jurul punctului O
Aflați măsurile unghiurilor știind că:
a) unghiurile AOB și BOC, sunt adiacente suplementare;
19. Patru unghiuri formate în jurul unui punct sunt astfel încât măsura primului unghi este cu 20° mai mică decât măsura celui de-al doilea, măsura celui de-al treilea unghi este egală cu suma măsurilor primelor două unghiuri, iar măsura celui de-al patrulea unghi este egală
cu suma măsurilor celui de-al doilea și celui de-al treilea unghi. Aflați măsurile celor patru unghiuri.
110
CD
F
E
O y
A BC D E GF H O 60°
A B C D EO 60°
Fișa de lucru 2
Unghiuri suplementare, unghiuri complementare, unghiuri adiacente
1. În figura de mai jos, punctele A,O,B sunt coliniare. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
• Două unghiuri proprii care au vârful comun, o latură comună, iar celelalte două laturi sunt situate de o parte și de alta a dreptei care conține latura comună, se numesc unghiuriadiacente.
• Două unghiuri proprii pentru care suma măsurilor lor este 180° se numesc unghiuri suplementare. Fiecare dintre cele două unghiuri se numește suplementul celuilalt.
• Dacă laturile necomune a două unghiuri adiacente sunt semidrepte opuse, atunci unghiurile sunt suplementare.
a) ∢COD și ∢DOE sunt adiacente;
b) ∢DOB și ∢DOF sunt adiacente;
c) ∢BOF și ∢BOE sunt adiacente;
d) ∢AOC și ∢DOC sunt adiacente complementare;
e) ∢DOE și ∢EOF sunt adiacente complementare;
f) ∢EOB și ∢BOF sunt adiacente complementare;
g) ∢AOC și ∢COF sunt adiacente suplementare;
h) ∢AOF și ∢BOF sunt adiacente suplementare;
i) ∢AOD și ∢BOD sunt adiacente suplementare;
j) ∢AOC și ∢BOC sunt adiacente suplementare.
2. Un unghi are măsura egală cu 58°36′. Atunci calculați:
a) complementul unghiului;
b) suplementul unghiului.
3. Două unghiuri adiacente congruente au suma măsurilor lor egală cu 77°36′. Aflați:
a) măsura unuia dintre cele două unghiuri;
b) măsura complementului unghiului găsit la a);
c) măsura suplementului unghiului găsit la a).
4. Măsura unui unghi este egală cu 75°28′. Aflați măsura:
a) complementului unghiului;
b) suplementului unghiului.
• Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și suplementele lor sunt congruente.
• Se numește unghidrept orice unghi congruent cu un suplement al său.
• Dacă suma măsurilor a două unghiuri proprii este 90°, atunci ele se numesc complementare, iar fiecare dintre ele se numește complementul celuilalt.
• Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și complementele lor sunt congruente.
5. Completați spațiile punctate:
a) Complementul unghiului cu măsura de 43° este unghiul cu măsura de °.
b) Suplementul unghiului cu măsura de 100°43′ este unghiul cu măsura de ...° ...′ .
c) Două unghiuri complementare congruente au măsurile egale cu … °;
6. Aflați măsurile a două unghiuri complementare știind că măsura unui unghi este de două ori mai mare decât măsura celuilalt unghi.
7. Două unghiuri complementare au raportul măsurilor lor egal cu 0,2. Aflați măsurile celor două unghiuri.
8. Aflați măsurile a două unghiuri suplementare știind că măsura unui unghi este de trei ori mai mică decât măsura celuilalt unghi.
111
A B C DE F O
9. Aflați măsura unui unghi știind că aceasta este egală cu 3 5 din măsura complementului său.
10. Aflați măsura unui unghi știind că măsura complementului lui este egală cu 2 5 din măsura suplementului său.
11. Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 2 7 . Aflați măsurile celor două unghiuri.
12. Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este 0,(36). Aflați măsurile celor două unghiuri.
13. Diferența măsurilor a două unghiuri complementare este egală cu 14°. Aflați măsurile celor două unghiuri.
14. Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este egală cu 84°. Măsura unuia dintre unghiuri reprezintă 3 4 din măsura celuilalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.
15. Aflați măsurile a două unghiuri suplementare știind că unul dintre ele este cu 18° mai mare decât celălalt.
16. Dacă împărțim numărul care reprezintă diferența măsurilor a două unghiuri suplementare la 3, obținem câtul 2 și restul 2. Aflați măsurile celor două unghiuri.
17. Două unghiuri sunt adiacente suplementare. Unul dintre ele are măsura egală cu 80% din măsura celuilalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.
18. Aflați măsurile a trei unghiuri, ştiind că, primele două sunt complementare, al doilea este egal cu media aritmetică dintre primul şi al treilea, iar al treilea este cu 10° mai mare decât primul.
19. Complementul suplementului unui unghi cu măsura de 130° este cu 50° mai mic decât măsura altui unghi. Aflați măsura acestuia.
20. Aflați măsurile a două unghiuri suplementare, dacă suma dintre dublul primului şi sfertul celuilalt este 220°.
21. Suma măsurilor a trei unghiuri este 240°. Aflați măsurile celor trei unghiuri știind că al doilea este suplementul celui de-al treilea, iar măsura lui este egală cu media aritmetică dintre măsurile celorlalte două unghiuri.
22. Folosind figurile de mai jos, aflați măsura unghiului x AO
x 36°
N x 47°
C B a) b) MQP
c) BA DOE x 43°
23. În figura de mai jos, punctele A,O și B sunt coliniare, iar punctele C și D sunt de aceeași parte a dreptei AB. AOB
D C 3x x x 2
Aflați măsurile unghiurilor necunoscute din figură.
24. În figura de mai jos se știe că punctele A, O și B sunt coliniare, iar punctele C și D sunt de o parte și de alta a dreptei AB, astfel încât unghiurile formate au măsurile de pe figură.
Aflați măsurile ,, AOCCOBBOD și DOA xO
5x – 5° x + 15°
112
D
A B C
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
• Toate subiectele sunt obligatorii. Din oficiu se acordă 10 puncte.
• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte.
TESTUL 1
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Complementul unghiului cu măsura de 39°45' este unghiul cu măsura de:
a) 140°15' b) 60°45' c) 50°15' d) 41°15'
5p 2. Dacă suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este egală cu 82°, atunci măsura unuia dintre celelalte două unghiuri formate este de:
a) 8° b) 16° c) 108° d) 139°
5p 3. Măsurile a trei unghiuri în jurul unui punct sunt egale cu 2x + 15°, 3x – 2°, x + 23°. Valoarea lui x este egală cu:
a) 29° b) 54° c) 86° d) 108°
5p 4. Dacă unghiul format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 43°, atunci suma măsurilor celor două unghiuri este egală cu:
a) 21°30′ b) 47° c) 86° d) 137°
5p 5. Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri interne de aceeași parte a secantei:
a) complementare b) congruente c) obtuze d) suplementare
5p 6. Dacă, într-un plan, a ⊥ c și b ⊥ c, atunci:
a) a || b b) a ⊥ b c) a ∩ c = ∅ d) b ∩ c = ∅
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Dacă două unghiuri sunt complementare, iar diferența măsurilor lor este egală cu 38°, atunci unghiul mai mic are măsura egală cu:
a) 64° b) 48° c) 26° d) 12°
5p 2. Punctele A, B, C se află pe un cerc de centru O. Dacă AB = 110° și BC = 150°, atunci măsura unghiului AOC este egală cu:
a) 130° b) 120° c) 110° d) 100°
5p 3. În figura alăturată, a || b și s este secantă. Valoarea lui x este egală cu:
a) 11° b) 23°
c) 32° d) 45°
5p 4. Complementul suplementului unghiului cu măsura de 124°39 este:
s a
4x
b 3x + 11°
a) 33°21' b) 34°39 c) 35°1' d) 35°61'
129
5p 5. În figura alăturată punctele A, O, B și D, O, E sunt coliniare, iar unghiul COD este drept. Dacă OM este bisectoarea unghiului BOE, atunci y este egal cu:
a) 20° b) 36°
c) 48° d) 55°
C
3x + 10° AB EM y O x
5p 6. Se consideră cercurile C1(O1, 8 cm) și C2(O2, 5 cm). Dacă O1O2 = 3 cm, atunci cercurile se numesc:
a) interioare b) exterioare c) tangente d) concentrice
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
6p 1. a) Realizați un desen care să îndeplinească simultan următoarele condiții:
1) A,O,D – puncte coliniare;
2) punctele C și E de o parte și de alta a dreptei AD, astfel încât semidreapta OD este bisectoarea unghiului EOC;
3) ∢COD = 20°;
4) semidreapta OB este opusă semidreptei OC;
5) semidreapta OM este bisectoarea unghiului BOE;
6) semidreapta ON este bisectoarea unghiului AOC.
9p b) Folosind desenul de la a), aflați măsurile unghiurilor EOM, AOB, AON
2. Fie ∢AOB, ∢BOC, ∢COD, ∢DOE, ∢EOA, unghiuri în jurul punctului O astfel încât
∢AOB ≡ ∢COD, ∢BOC ≡ ∢DOE, iar semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOE.
6p a) Arătați că OM și OC sunt semidrepte opuse.
9p b) Determinați ∢AOB, ∢BOC, și ∢AOE, știind că ∢BOE = 146°, iar ∢AOD = 170°.
TESTUL 2
SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.
5p 1. Rezultatul calculului 15°34' 3 este egal cu:
a) 45°32' b) 46°42' c) 47°2' d) 48°12'
(30 p)
5p 2. Dacă 12 unghiuri congruente sunt formate în jurul unui punct, atunci măsura unuia dintre ele este de:
a) 15° b) 18° c) 24° d) 30°
5p 3. Dacă bisectoarele a două unghiuri adiacente formează între ele un unghi drept, atunci cele două unghiuri sunt:
a) ascuțite b) obtuze c) suplementare d) complementare
5p 4. Dacă două drepte intersectate de o secantă formează perechi de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt:
a) paralele b) identice c) concurente d) perpendiculare
130
D
185
INIȚIALE TESTUL 1 I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. B C D A A D C A D II 1. 2. 3. 4. 5. 0 0, 1 și 2 60 exerciții 40 cm 1 m TESTUL 2 I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. A D A D C D A B D II 1. 2. 3. 4. 5. 14 x = 5 82,8 lei 56,25 cm2 Da TESTUL 3 I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. D B A C D A D C B II 1. 2. 3. 4. 5. 1 x = 5 4,8 și 6,8 16 cm 40 cm TESTUL 4 I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. A C B D A C C C A II 1. 2. 3. 4. 5. 1 26 și 8 118,8 lei 192 cm2 14,49 hl TESTUL 5 I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. A B D C A D B A C II 1. 2. 3. 4. 5. 1 9 x = 1, y = 1 42 cm2 8 cm
VIII. RĂSPUNSURI TESTE
I. NUMERE NATURALE
I.1. Mulțimi
I.1.1. Mulțimi numerice/nenumerice. Relația dintre un element și o mulțime. Relații între mulțimi
Fișa de lucru 1 – Mulțimi
4. a) F; b) A; c) A; d) A; e) F; f) A; 5. c) C = {4, 5, 6, 7}; D = {3}; 6. a) A = {0, 1, 2, 3, 4}; b) B = {1, 2, 3};
c) C = {1, 2, 3, 4}; 9. x = 8; 10. {0,1,2,3,4}. = M ; 11. Cele trei mulțimi au același număr de elemente.
Fișa de lucru 2 – Relații între mulțimi
1. a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 7, 8, 9}; b) i) A; ii) F; iii) A; iv) A; v) A; vi) A; vii) F;
2. a) A; b) F; c) F; 3. a) A; b) A; c) A; d) F; e) F; f) A; g) A; h) A; 5. a) F; b) A; c) A; d) F; e) A; f) F;
6. a = 0, b = 1; a = 0, b = 3; a = 1, b = 3; a = 3, b = 0; a = 3, b = 1; 7. x = 2; 8. a) A = {0, 1, 2, 3}; B = {1, 3, 7};
C = {0, 1, 3}; b) A ⊂ C; c) Au același număr de elemente.
I.1.2. Mulțimi finite, cardinalul unei mulțimi finite; mulțimi infinite, mulțimea numerelor naturale
Fișă de lucru
1. Finite: A și C; 2. cardA = cardB = cardC = cardD = 5; 3. A=C=D; A ≠ B; 4. A,D,E; 5. a) A; b) F;
c) A; d) F; e) F; 9. a) A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 1, 2}; C = {1, 4, 7}; b) ;AB ⊃ c) cardB = cardC; 10. Da.
I.1.3. Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență
Fișă de lucru 1. {1,
2, 4, 6}; {0}; {6}; 21. a) A = {3, 4, 5, 6};
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; b) {1, 2, 5, 12}; 22. a) {0}; b) {1, 2}; 23. a) {2, 3, 6}; b) {1, 4, 12}; 24. a) {5, 7, 9, 10};
b) 8; 25. a) x = 3; b) y = 3; c) z = 9; 26. A = {2, 3, 4}; B = {0, 1}; A ∩ B = ∅; b) a = 4; c) b = 2;
27. a) A ={1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 4}; C = {1, 2, 4, 8}; cardA = 5; cardB = 3; cardC = 4; b) {1, 2, 4}; {1, 8};
{4}; c) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 11; 28. a) A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 4, 8}; C = {0, 2, 4, 6, 8}; cardA = 4; cardB = 4; cardC = 5; b) {0, 6, 8}; {2, 4, 8}; {0, 6, 8}; c) 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102;
29. a) {2, 4}; b) ∅ ; c) {3, 7}; d) {1, 2, 3, 4, 6, 7}; e) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}; f) {2, 3, 4, 5, 7, 9}; g) {1, 6}; h) A; i) {2, 4}; j) {3, 7}; k) C; l) {5, 9}; 30. a) {2, 3, 4}; b) C; c) {2, 3, 4}; d) {0, 1, 2, …, 7}; e) A; f) {1, 2, 3, …, 7}; g) {0}; h) {0}; i) {5, 6, 7}; j) {5, 6, 7}; k) ∅; l) {1}; m) {2, 3, 4}; n) {0, 1, 2, …, 7};
o) C; p) C; 31. a) C; b) {2, 3, 4, 6}; c) {1, 3, 4, 6}; d) {3, 4}; e) {1, 6}; f) ∅; g) ∅; h) ∅;
32. a) A = {1, 2, 4, 5, 8, 9}; B = {0, 2, 4, 6, 8}; C = {1, 3, 5, 7}; 33. A = {a,e,m,t}; B = {c,e,i};
34. a) M ={1, 2, 3, 4}; b) {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2; 3, 4}}; 35. 4 + 8 + 12 + … + 2024 = 4·(1 + 2 + 3 + … + 506) = 4 · 506 · 507 : 2 = 1012 · 507;
36. A = {5, 7}; B = {2, 3, 8, 9}; 37. A = {4, 5, 8}; B = {1, 2, 3, 6, 7}; 38. A = {1, 2, 4, 6, 7}; B = {2, 3, 4, 5, 6};
39. A = {3, 5, 6, 7, 8, 9}; B = {2, 4, 5, 6, 8}; 40. A = {c,i,l,o,p}; B = {c,i,o,p,r,t}; 41. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
186
2}; 2.
3}; 3. {2, 4, 6}; 4. {9}; 5. {3, 5}; 6. {5, 7}; 7. {4, 5}; 8. a) {1, 2, 4, 6, 8, 12}; b) {10}; c) {3, 24}; 9. {2, 4, 6, 8, 12}; b) {1, 3, 24}; c) {0, 10}; 10. a) {1, 2, 3, 6}; b) {0, 4, 5}; c) {9, 18}; 12. a) 12; b) 24; c) 36; d) 15; e) 18; 13. a) A = {1, 3, 5, 7, …} B = {1, 2, 3, 4, 5, …}; b) ∩=AB {2, 4, 6; ...}; * ; ∪= AB 14. A = {2, 3, 4}, B = {4, 7, 10}, M2 = {0, 2, 4, 6, ...}; b) {4}, {2, 4}, {4, 10},
18. a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12};
4, 6};
2, 12};
1, 2, 3, 4, 5}; c)
5}; d) {3, 4}; 21. {2, 4}; {0,
{1,
{2, 4, 10}; 16. a) A = {20, 42, 64, 86}, B = {21, 42, 63, 84}, b) {42};
b) {3,
c) {1,
d) {5}; 19. a) {1, 2}; b) {0,
{0,
