Correo del Maestro Núm. 168 - Mayo de 2010 by EDILAR

Aprendamos a ver cine IV Luis Ignacio de la Peña

ISSN 1405-3616

La ﬂora americana. Las plantas americanas que alimentan el mundo

El proceso de matematización progresiva en el tratamiento de patrones

SEGUNDA PARTE

Santos Arbiza

PRIMERA PARTE

Ana Bressan María Fernanda Gallego

Teoría del aprendizaje signiﬁcativo de Ausubel

Técnicas de motivación a la lectura y escritura IX

PRIMERA PARTE

Carmen Gamiño

9!BLF?E@:RUPUOV!

Carlos R. Rodríguez de Alba

Cómo se habla del trabajo Arrigo Coen Anitúa (†) MÉXICO

MAYO 2010

AÑO 14

NÚMERO 168

Año 14, Núm. 168, mayo 2010.

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Coordinación editorial Sara Giambruno Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz (†) Roberto Markarian Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Ana Lilia Estrella Producción editorial Nora Brie Diseño gráfico y formación digital Sandra Lilia Díaz Hurtado

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos • Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. • El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. • El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. • Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. • En lo posible, los textos deben presentarse, preferentemente, en formato digital. • Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. • En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. • Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. • Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

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editorial

a divulgación de la Educación Matemática Realista es uno de los objetivos de la

revista Correo del Maestro. Y este interés se refleja con la inclusión del artículo “El proceso de matematización progresiva en el tratamiento de patrones. Primera parte”, de las maestras Ana Bressan y María Fernanda Gallego. En esta ocasión, las autoras explican cómo las sucesiones o secuencias son una fuente de generalización, una habilidad de razonamiento esencial para la resolución de problemas. También señalan que estudiar patrones permite introducir el concepto significativo de variable y el lenguaje algebraico, como tránsito del álgebra informal al álgebra formal. Además, proporcionan pistas didácticas para la enseñanza de estos conceptos. El catedrático Santos Arbiza Aguirre sigue presentando la serie de artículos titulada “La flora americana. Las plantas americanas que alimentan el mundo. Segunda parte”, en el se aportan datos básicos sobre esas plantas maravillosas que América ha dado al mundo: el cacao, la piña, el aguacate, el camote, el girasol, el cacahuate, el amaranto. Los nombres científicos, las denominaciones en lenguas indígenas y las versiones al español son algunos de los muchos datos relevantes que nos permitirán preparar clases de calidad. Iniciamos también otra serie, esta vez, la referida a la “Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel. Primera parte”, del maestro Carlos R. Rodríguez de Alba. En ella se presenta un repaso de las ideas más importantes de este psicopedagogo y cómo sus preceptos no han caducado. Para que se dé el aprendizaje significativo se requiere la correspondencia entre la intención significativa en la tarea de aprendizaje, por parte del alumno, y el potencial de su estructura cognitiva para asimilar el material nuevo. “Técnicas de motivación a la lectura y escritura IX. Con periódico y sobre periódico”, de Carmen Gamiño, permite desarrollar la posibilidad de que la lectura del periódico no sea placer exclusivo de los adultos. A partir de una asociación libre de palabras, los niños elaboran textos de veras inesperados y, además, los convierten en una actividad plástica entretenidísima. ¡Y llegaron los pasteles! Sí, en “Aprendamos a ver cine IV. Carreras, pasteles, traspiés y muchachas en traje de baño”, de Luis Ignacio de la Peña, se analizan los inicios de las películas de pastelazos, que le debemos a Max Sennett. Sin ninguna intención más allá de la de divertir, estas comedias de situaciones chuscas tenían una fórmula infalible que invariablemente incluía, además de los pasteles, carreras desaforadas, policías torpes y muchachas en trajes de baño… Honramos también a los trabajadores en este mes de mayo con un artículo del maestro Arrigo Coen Anitúa, “Cómo se habla del trabajo”. Erg no es una palabra que nos “suene”, pero cuando aparece en ergástula o ergonomía, por ejemplo, empieza cobrar sentido su etimología y significado, ‘trabajo’. Correo del Maestro

Dibujo de portada: Anónimo

índice entre NOSOTROS

El proceso de matematización progresiva en el tratamiento de patrones PRIMERA PARTE

Ana Bressan y María Fernanda Gallego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

antes DEL AULA

La ﬂora americana LAS PLANTAS AMERICANAS QUE ALIMENTAN EL MUNDO SEGUNDA PARTE

Santos Arbiza Aguirre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

certidumbres E INCERTIDUMBRES

Teoría del aprendizaje signiﬁcativo de Ausubel PRIMERA PARTE

Carlos R. Rodríguez de Alba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

artistas Y ARTESANOS

Técnicas de motivación a la lectura y escritura IX CON PERIÓDICO Y SOBRE PERIÓDICO

Carmen Gamiño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Aprendamos a ver cine IV CARRERAS, PASTELES, TRASPIÉS Y MUCHACHAS EN TRAJE DE BAÑO

Luis Ignacio de la Peña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

sentidos Y SIGNIFICADOS

problemas

Cómo se habla del trabajo Arrigo Coen Anitúa (†) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

En orden es mejor

SIN NÚMERO

Claudia Hernández García . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

abriendo

Escuelas catedrales y psicología cognitiva

LIBROS

Miguel Echenique Conti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

maestros

Agradecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

EN RED

Índice anual de Correo del Maestro, año 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

CORREO del MAESTRO

núm. 168 mayo 2010

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entre NOSOTROS

El proceso de matematización progresiva EN EL TRATAMIENTO DE PATRONES Primera parte Ana Bressan

María Fernanda Gallego

En los dos últimos decenios ha habido un cambio signiﬁcativo en las matemáticas (su ámbito de aplicación y el medio por el que se lleva a cabo), y en la comunidad acerca de la comprensión de lo que es saber y hacer matemáticas. Una serie de informes y artículos recientes han intentado caracterizar la naturaleza de las matemáticas contemporáneas, y señalar los cambios en la instrucción que se derivan de la propuesta de reconceptualización. La idea principal de esta nueva conceptualización es pensar las matemáticas, en términos generales, como “la ciencia de los patrones”.1

l objetivo de este documento es doble: por un lado el trabajo con sucesiones o secuencias como fuente de generalización y de usos de modelos en distintos marcos, teniendo en cuenta que estos procesos constituyen una habilidad de razonamiento esencial para la resolución de problemas y, por el otro, resaltar el valor del estudio de patrones para la introducción del concepto signiﬁcativo de variable y del lenguaje algebraico, como tránsito desde el álgebra informal que puede comenzar desde la escolaridad primaria al álgebra formal de la escuela secundaria.2

Introducción

La matemática actual, a través de sus procesos de modelización, pone en evidencia patrones escondidos que nos ayudan a comprender el mundo en que vivimos. Más que aritmética o geometría, la matemática hoy se interpreta 1 2

Hoffman, Everybody Counts, National Research Council, Washington, 1989. Van Amerom, B., Reinvención del álgebra, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1998. Van der Kooij, H., Algebra: A tool for Solving Problems, Universidad de Utrecht, Utrecht, 2001.

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como una disciplina diversa que trata con datos, medidas y observaciones provenientes de la ciencia, con inferencia, deducción y prueba, y con modelos matemáticos de los fenómenos naturales, de la conducta humana y de los sistemas sociales. El proceso de hacer matemática va más allá que calcular o deducir, implica la observación de patrones, la comprobación de conjeturas y la estimación de resultados. La búsqueda de regularidades se considera un contenido procedimental general y de carácter transversal respecto a todos los contenidos de la matemática (aritméticos, geométricos, de proporcionalidad, estadísticos, probabilísticos…) y de las otras disciplinas, tanto naturales como sociales. De hecho, la ciencia se construye sobre la investigación de regularidades y sus posibilidades de generalización. La disciplina intrínseca en las proporciones y en los patrones de formación de los fenómenos naturales se maniﬁesta también en la mayoría de las obras humanas clásicas y armoniosas, y evidencia el vínculo existente entre las cosas. Los límites de la disciplina nos permiten vislumbrar la armonía del cosmos y tomar parte en ella, tanto en lo que se reﬁere al mundo físico como a nuestro modo de vivir.3

Es el hombre quien busca, experimenta, describe, crea y generaliza propiedades y relaciones nacidas a partir de la reflexión y abstracción, buscando regularidades y patrones como medios para organizar su realidad.4 En general, toda regularidad del entorno puede ser modelizada en términos matemáticos, ya sean aritméticos, algebraicos o funcionales, del azar o de la estadística, con gráficos o fórmulas, con elementos de la geometría, etcétera. Los siguientes son ejemplos de regularidades dentro del mundo natural, social y artificial que han dado pie o son fuente de aplicación de modelos matemáticos: • • • • •

el movimiento de los cuerpos, el sistema solar, el cuerpo humano, las plantas, las ﬂores y los animales, la normalización de los sistemas de unidades desarrolladas por los diversos países, • el diseño de muebles, vajilla y la arquitectura en general, • los juegos de azar, etcétera.5 3

4 5

Doczi, G., El poder de los límites. Proporciones armónicas en la naturaleza, el arte y la arquitectura, Troquel, Buenos Aires, 1996, p. 1. Freudenthal, H., Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht, 1973. Para ampliar este tema se sugiere consultar, por ejemplo, a Theoni Pappas, El encanto de la matemática y La magia de la matemática; Adrián Paenza, Matemática…¿estás ahí? Episodio 1 y 2; Gardner M., Nuevos pasatiempos matemáticos; Doczi, G., El poder de los límites, o en www.wikipedia.org.

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El proceso de MATEMATIZACIÓN PROGRESIVA…

Figura 1. La forma pentagonal estrellada y su simetría asociada se aprecia en ﬂores y frutos de variadísimas plantas.

Figura 2. La norma DIN ﬁja un patrón en la industrialización del papel con base en rectángulos que veriﬁcan la razón áurea.

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Pero la matemática no sólo se brinda para modelizar otras realidades sino que en sí misma encierra regularidades. Ella se construye con base en la generalización de patrones. Un ejemplo interesante lo constituyen las sucesiones que se presentan en la ﬁgura 3, y que poseen múltiples propiedades dentro de la matemática misma y son aplicables como modelos para explicar tanto fenómenos naturales como artiﬁciales. SUCESIÓN DE FIBONACCI

SUCESIÓN DE PELL

SUCESIÓN DE PADOVAN

an+1 = an-1 + an

an+1 = an-1 + 2an

an+1 = an-1 + an+2

con ao = a1 = 1

con ao = a1 = a2 = 1

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, …

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, …

limn

∞

an an-1 = 1.618…

es el número áureo: o(phi) =

1 + √5 = 1.618… 2

limn

∞

an an-1 = 2.4142…

limn

∞

an an-1 = 1.3247179…

es el número de plata:

es el número de “plástico”:6

o(theta) = 1 + √2 = 2.4142…

P= 1.3247179… (descubierto por van deer Laan (1904-91))7

Figura 3. Ejemplos de generalización de patrones.

Esta mirada unificadora de las matemáticas impulsa el estudio de tópicos tradicionales de enseñanza en términos de patrones.8 En particular, en los currículos de enseñanza primaria pueden trabajarse con este enfoque unificador temas como: • la proporcionalidad (donde aparecen razones equivalentes, la teoría de las proporciones y las razones notables, el análisis de gráficos, etcétera), • los algoritmos (las cuentas elementales, los criterios de divisibilidad, la regla de tres o el cálculo de mayor divisor común, etcétera), • los cuerpos y figuras (las clasificaciones por sus propiedades, la relación de Euler en poliedros, el teorema de Pitágoras, las isometrías, etcétera), 6

7 8

El número áureo y el plástico son números mórficos ya que poseen la propiedad de que existen dos números k y l para los que se cumple que p + l = pk y p - l = pl. Para k = 2 y l = 1 se obtiene la razón áurea y para k = 3 y l = 4, el número de plástico. Ellos son los únicos números mórficos conocidos. http://www.infovis.net/printMag. De hecho, en la mayoría de los currículos actuales aparece el tema patrones (identificar, extender, crear, generalizar), tanto numéricos como geométricos, aunque no suelen considerarse explícitamente patrones relacionados con el eje de medida y de la probabilidad.

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• las sucesiones numéricas (las escalas numéricas, las tablas de suma y multiplicación, las progresiones, etcétera), • la medida (las relaciones del Sistema Métrico Legal Argentino –SIMELA–,las escalas métricas, las conversiones entre cantidades, etcétera), • la probabilidad y la estadística (la ocurrencia de sucesos, la regularidad de los resultados estadísticos, etcétera).

Fundamentación

El descubrimiento de las leyes que rigen patrones, y su reconstrucción con base en leyes dadas, cumple un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático y de otras ciencias. Ambas actividades están vinculadas estrechamente al proceso de generalización, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto como pasar de casos particulares a una propiedad común (conjetura o hipótesis), como transferir propiedades de una situación a otra. La generalización se construye gracias a la abstracción de invariantes esenciales. Las propiedades abstraídas son más bien relaciones entre objetos que objetos mismos,9 y la descontextualización es el proceso principal de la generalización.10 El estudio de patrones y la generalización de los mismos abren las “puertas” para comprender la noción de variable11 y de fórmula, así como para distinguir las formas de razonamiento inductivo y deductivo12 y el valor de la simbolización matemática. 9

Zazkis R. y P. Liljedahl, “Generalización de patrones: la tensión entre el pensamiento algebraico y la notación algebraica”, en Educational Studies in Mathematics núm. 49, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 2002, p. 381. Joshua, S. y J. Dupin, Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática, Ediciones Colihue, Buenos Aires, 2005, p. 285. English y Warren (1998) abogan por el enfoque a través de patrones para la introducción del concepto de variable. Ellos plantean que, tradicionalmente, las variables son introducidas como incógnitas de ecuaciones, donde ellas no poseen naturaleza variable (en Zazkis, 2002, p. 382). El enfoque a través del estudio de patrones también provee la oportunidad de que los estudiantes observen y verbalicen sus generalizaciones y las registren simbólicamente. Este enfoque lo comparte Sessa C., 2005, pp. 67 y ss. Entendemos por razonamiento los procesos de pensamiento que permiten la extracción de conclusiones a partir de cierta información. La inducción es el método que usan la mayoría de las ciencias para corroborar que ciertas proposiciones son verdaderas. El razonamiento inductivo se basa en la elaboración de conjeturas o hipótesis nacidas de la generalización de propiedades que se dan en un conjunto de observaciones. El razonamiento deductivo, en cambio, implica la aceptación de una cuestión general para extraer conclusiones relativas a casos particulares. En matemáticas, se necesita apelar a la aceptación de proposiciones no demostrables (postulados), deﬁniciones o teoremas anteriormente demostrados, que se toman como premisas, demostrándose la verdad de sus conclusiones como derivación “necesaria” de las mismas. Demostrar una generalización o conclusión requiere la deducción, que la independiza de la experiencia y la torna universal.

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Es preciso distinguir la generalización de la formalización entendida como el uso riguroso de escritura simbólica. Creemos necesario diferenciar simbolismo algebraico de pensamiento algebraico. En la etapa de álgebra preformal, se pensará el simbolismo como un lenguaje capaz de condensar la presentación de un argumento y que se constituye en medio para resolver problemas. Una tendencia más reciente entre los investigadores es separar el simbolismo algebraico del pensamiento algebraico. Esta consideración está fomentada por dos factores: (1) el reconocimiento de la posibilidad de la manipulación de símbolos sin pensar y (2) un movimiento hacia el “álgebra temprana”, es decir, focalizada en la estructura antes que en el cálculo, en la escuela elemental. Para Kaput y Blanton (2001), generalizar y formalizar patrones y restricciones es una de las formas del “componente complejo” del razonamiento algebraico (p. 346). Ellos ven la “generalización (la cual incluye la argumentación) y la expresión progresivamente sistemática de tal generalidad [...] como fundamental en todo el trabajo que hacemos [en álgebra]’(Ibid.). Más especíﬁcamente, por razonamiento algebraico Kaput (1999) hace referencia a la actividad de los estudiantes de generalizar sobre datos y relaciones matemáticas, estableciendo esas generalizaciones a través de conjetura y argumentación y expresándolas en formas cada vez más formales.13

El enfoque hasta aquí expuesto es parte fundamental de la corriente didáctica conocida como Educación Matemática Realista, la cual considera la matemática como una actividad humana de organización de la realidad y de la matemática misma.14 En ella se considera la enseñanza del álgebra como un proceso de reinvención guiada, que no ha de centrarse en la formalización prematura y la manipulación sintáctica rigurosa de expresiones algebraicas, sino que debe atender a los estadios preformales en los que se enfatizan los aspectos semióticos y pragmáticos en el uso de estas expresiones. Será la resolución de problemas mediante el uso de relaciones expresadas a través de patrones, expresiones, fórmulas, ecuaciones, sistemas de ecuaciones y gráﬁcas lo que dará pie a pensar el álgebra desde un punto de vista funcional, que luego podrá ser formalizada con rigor. Su propuesta es abordar el álgebra no como un sistema preconstituido de objetos, reglas y operaciones, sino como la actividad de algebrizar situaciones problemáticas, de modo de mantener accesible el regreso a las fuentes experienciales de las que emergieron las expresiones algebraicas. Esto permite que los contextos y las situaciones

13 14

Zazkis R. y P. Liljedahl, op. cit., p. 398. Freudenthal, H., Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht, 1973; Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Kluwer, Dordrecht, 1983 y Revisiting Mathematics Education: China Lectures, Kluwer, Dordrecht, 1991.

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den sentido y justifiquen las transformaciones que se realizan en el dominio de esta disciplina.15 La generalización16 es un paso esencial en el proceso de matematización del que habla Freudenthal17 y se da en el pasaje de “modelos de” a “modelos para”. Es decir, los modelos desde esta corriente se originan a partir de las soluciones informales de los alumnos (“modelo de” una situación dada, particular) y funcionan como puentes hacia niveles superiores (cuando se constituyen en “modelos para” situaciones homólogas a la situación original).18 Para hacer posible esta transición es necesario no sólo que las situaciones iniciales sean imaginables y accesibles, estén cargadas de sentido y posean el potencial para ser matematizadas a varios niveles, sino también que la enseñanza dé lugar a procesos progresivos de generalización, simbolización y formalización, incluida la reflexión acerca de los significados y los modos de uso de los modelos en cuestión. Suelen existir obstáculos en muchos docentes de educación primaria y estudiantes de centros de formación docente, con los procesos de generalización en el estudio de patrones. Es común que detecten regularidades, pero no que puedan encontrarle sus múltiples formas de uso a lo largo de la escolaridad y en los distintos ejes curriculares.19 Tampoco les resulta sencillo llegar a plantear el término general de un patrón o secuencia en función de un conjunto de ejemplos, describir con distintos lenguajes su ley de formación y verificar esa ley determinando su dominio de validez. A través de nuestras experiencias y consulta de otras investigaciones,20 encontramos que en los procesos de generalización de secuencias, los maestros: 15

17 18

19 20

Freudenthal, H. op. cit.; Van Amerom B., Reinvención del álgebra, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1998; Van der Kooij, H.: Algebra: A tool for Solving Problems, Universidad de Utrecht, Utrecht, 2001. Esta mirada también está sostenida en la actualidad por la teoría didáctica de origen francés (ver Sessa, 2005) y la Teoría Antropológica de la Didáctica, de Chevallart (ver Bolea, 1998). Generalizar implica para Freudenthal un concepto distinto de transferir. Cuando se habla de generalizar en la EMR no se entiende como la aplicación de un procedimiento conocido a situaciones nuevas (esto sería aplicar o transferir según su característica de novedad para el alumno), sino que implica conectar varias situaciones reconociendo características similares que permiten que se clasifiquen dentro de un determinado tipo. Al mismo tiempo, el proceso de solución (abarcativo) puede ser estructurado y, por lo tanto, la generalización toma forma de una actividad de organización, como una forma de matematización (Gravemeijer, 1994, p.104). Freudenthal, H. op. cit. Lo que a Freudenthal (1991) le interesa, desde el punto de vista didáctico, no son los modelos como sistemas axiomáticos o estructuras cognitivas sino como el resultado de la modelización en tanto actividad de idealización que ocupa un lugar central en los procesos de matematización. “El modelo es simplemente un intermediario, a menudo indispensable, a través del cual una realidad o teoría compleja es idealizada o simplificada a fines de volverla susceptible de un tratamiento matemático formal” (p. 34). Zazkis R. y P. Liljedahl, op. cit., experiencias del Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática. Zazkis R. y P. Liljedahl, op. cit.; Zon, N., “Análisis a priori de una secuencia sobre procesos recurrentes para la Educación Básica”, en Yupana. Revista de Educación Matemática de la Universidad Nacional del Litoral, núm. 3, 2006; Sessa, C., Iniciación al estudio didáctico del Álgebra, Libros del Zorzal, Buenos Aires, 2005.

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• poseen poca ﬂexibilidad para modelizar con distintas representaciones. Por ejemplo, se atienen estrictamente a los dibujos y no pueden cambiar de marco cuando los patrones o las secuencias son geométricas o ﬁgurativas, o bien suelen cometer errores al traducir del lenguaje coloquial al algebraico o no admiten distintas formas de escritura para una misma propiedad o conjetura, • no pueden representar el término enésimo como una expresión simbólica (suelen expresarlo como “n”; pero “n” es la simbolización válida para el término general de cualquier secuencia), • no pueden comprender que, por ejemplo, 2n + 1 no representa una operación sino un tipo de número, • hacen transferencias indebidas: lo que es válido para un caso particular lo es para cualquier caso o, lo que es válido para una secuencia, se admite para otra con distintas características, • trabajan a nivel exclusivamente numérico, con ausencia de contextos que permitan la comprobación de la aplicabilidad de una propiedad extraída, • les cuesta abandonar la percepción original una vez que perciben determinado patrón, • tienden a linealizar secuencias, aunque no sean aritméticas, • si bien pueden generar el próximo elemento en una secuencia en base al anterior, no son capaces de ver la estructura general de todos los elementos, es decir, la ley de formación del patrón. Esto hace a la importancia del tratamiento del tema tanto en las aulas de institutos como en las escuelas.

Secuencias o patrones

Como expresáramos, hoy aparece en el currículo el tópico patrones. Los patrones o secuencias forman parte de lo que hoy se conoce como matemática discreta.21 La matemática discreta no es una nueva rama de la matemática sino que está presente en muchos de los tópicos curriculares: “estos tópicos incluyen técnicas de contar, razonamiento lógico, uso de patrones (iteración, recursión), algoritmos, probabilidades y redes”.22 Ella colabora con el de21

La matemática discreta es la parte de las matemáticas encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables. En ella se incluyen los siguientes temas de estudio: Lógica; Teoría de conjuntos; Teoría de grupos; Teoría de grafos; Teoría de autómatas finitos; Combinatoria y nociones de probabilidad; Análisis de ciertos algoritmos; Teoría de la información (extraído de www.wikipedia.org). Zalewski, citado en Castro Martínez, E., Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales, Mathema, Comare, Granada, 1995, p. 20.

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sarrollo de variadas formas de razonamiento, ya que le son propios los procesos de inducción en la búsqueda por dar coherencia a lo observado (observación, experimentación, generalización, particularización, analogía y sus formas de prueba: análisis de todos los casos, contraejemplos, aplicaciones de resultados generales a casos particulares…). Y, si bien la matemática pensada formalmente es deductiva, el proceso de construcción del conocimiento matemático comparte características de una ciencia experimental inductiva y los docentes por lo general no conocen bien las diferencias entre estos conceptos. Los investigadores distinguen entre diferentes tipos de patrones, por ejemplo, los clasifican en numéricos pictóricos, geométricos, computacionales, informáticos, lineales y cuadráticos, repetitivos, recursivos, etc. Paenza menciona otra perspectiva para su clasificación:“mentales o visuales, reales o imaginarios, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, de las profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de la mente”.23 En este documento se trabajarán secuencias o patrones de repetición o iteración, y de recursión, entendiéndose por patrón una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, de comportamiento, etc.) que se construye siguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repetición o de recurrencia. Es decir, se usan los vocablos patrones o secuencias indistintamente (otros autores utilizan el término patrón para designar estrictamente el núcleo o unidad de la secuencia). Son secuencias o patrones de repetición aquellos en los que los distintos elementos se presentan en forma periódica. Existen y se pueden crear diversos patrones de repetición teniendo en cuenta su estructura de base o núcleo, por ejemplo, si el núcleo es de la forma: •

AB, se

repiten dos elementos alternadamente. Por ejemplo: 1-2, 1-2, 1-2,…; cuadrado-círculo, cuadrado-círculo…; etcétera. • ABC, se repiten tres elementos. Por ejemplo: do-re-mi, do-re-mi,… o rojoazul-amarillo, rojo-azul-amarillo…) • AABB, se repite dos veces un elemento y a continuación dos veces otro. Por ejemplo: 1-1-2-2, 1-1-2-2 o rojo-rojo-azul-azul, rojo-rojo-azul-azul…) • ABA, se repite en orden el primero, el segundo y el primero. Por ejemplo: 1-2-1, 1-2-1… o rojo-azul-rojo, rojo-azul-rojo… El análisis de frisos, ﬁguras en bailes folklóricos, diseños de pisos, decoraciones en puertas, vajillas, telas, papeles, de bisutería, ritmos musicales, etc., puede dar lugar al estudio de estos patrones desde edades tempranas y trabajarse en toda la escolaridad haciendo uso de distintos modelos matemáticos con complejidad creciente. 23

Paenza, A., Matemática…¿estás ahí?, Siglo XXI, México, 2005, p. 189.

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Resulta importante rescatar en estos patrones la forma de la unidad o el núcleo, ya que expresa la manera de construirse de la sucesión. Los patrones de repetición, según Threlfall,24 además de conducir a los alumnos a la observación de regularidades y secuencias, son un medio para trabajar con símbolos, un paso conceptual fundamental para el álgebra y un contexto para la generalización. Este autor aﬁrma que los niños pequeños pueden tener éxito en generar o continuar patrones de repetición usando un enfoque procedimental o rítmico. Sin embargo, como paso fundamental hacia la generalización y el álgebra, “es esencial ver patrones particulares dentro del patrón general, esto es, percibir la unidad o núcleo en un patrón de repetición. Este objetivo no puede lograrse trabajando sólo en los primeros grados, cuando los alumnos aún no son capaces de lograr la percepción de la unidad de repetición”.25 Son patrones de recurrencia aquellos en los que el núcleo cambia con regularidad. Cada término de la sucesión se expresa en función de los anteriores, de cuyo análisis se inﬁere su ley de formación. Por ejemplo, son patrones de recurrencia: a) un salto adelante, un salto atrás, dos saltos adelante, dos saltos atrás, tres saltos adelante, tres saltos atrás…). b) xx xxxx xxxxxx, lo que traducido numéricamente podría ser: 2, 4, 6, 8… • 2, 2 + 4, 2 + 4 + 6, 2 + 4 + 6 + 8… lo que puede expresarse como: 2, 6, 12, 20… • 0, 10, 20, 30, 40… lo que habitualmente se conoce como la escala del 10. • 1, 3, 9, 27, 81… que es la sucesión de cubos perfectos. • 1, 1, 2, 3, 5, 1, 8, que se conoce como secuencia de Fibonacci, cuyos números se hallan a menudo en la naturaleza (por ejemplo, el número de pétalos de las azucenas, los lirios o los iris son números de Fibonacci). Dentro de los patrones de recursión se encuentran las llamadas progresiones aritméticas y geométricas, trabajadas apenas en los últimos años del nivel secundario, aunque muchísimos temas de la aritmética básica las encierran. Los arreglos de números y las tablas de operaciones, las escalas, los sistemas de numeración posicional, el sistema de medida, etc., son ejemplos de ellas. Muchas veces resulta interesante encontrar la suma de un número determinado de términos de una sucesión. Esas sumas se denominan series y sus resultados también pueden desembocar en un patrón, que también se caracteriza por un término general y una ley de formación.

24 25

1999, citado en Zazkis R. y P. Liljedahl, op. cit. Idem., p. 380.

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El proceso de MATEMATIZACIÓN PROGRESIVA…

Algunas consideraciones sobre la enseñanza del tema

A continuación se presenta un texto extraído de: Las regularidades. Fuente de aprendizajes matemáticos,26 con sugerencias importantes para el trabajo de patrones y un ejemplo para aclarar la potencialidad matemática extraíble de su estudio.

El tema patrones es relevante y rico…; pero, ¿cómo enseñarlo?… Respecto de su enseñanza se ha de tener en cuenta: a) La identificación de patrones requiere el reconocimiento de semejanzas y diferencias, y la detección de los rasgos fundamentales que conforman una estructura de aquellos no esenciales a la misma. El trabajo con patrones incluye procedimientos de distinto orden de dificultad: • de reproducción (copia de un patrón dado), • de identificación (detección de la regularidad), • de extensión (dado un tramo de la sucesión, el alumno debe extenderla de acuerdo al núcleo que la rige), • de extrapolación (completamiento de partes vacías), • de traslación (utilización del mismo patrón sobre propiedades diferentes, por ejemplo: cambiar formas por colores, cambiar una representación visual por una auditiva, etcétera). Las actividades con patrones revisten la característica de la resolución de problemas ya que pueden ser formuladas de modo que el alumno las reconozca como situaciones problemáticas y así estimular la generación de hipótesis, su comunicación y comprobación y la refutación o confirmación de las mismas (lo cual acerca a los alumnos al modo de pensamiento que las ciencias requieren). b) El trabajo con patrones suele comenzarse en el Nivel Inicial junto con las actividades de clasificación y seriación, pero no se continúa con sistematicidad en la escolaridad básica y no se reconoce su potencialidad psicológica, lógica y matemática, probablemente por desconocimiento de la riqueza que este material encierra. Cabe aclarar que no estamos indicando que se tienen que enseñar patrones como automatismos para que luego los alumnos los apliquen. Lo que corresponde es que los niños vayan construyendo comprensivamente recursos que les permitan encontrar regularidades, interpretar sus procesos de gestación y usarlos con propiedad. Es interesante que este contenido sea desarrollado a lo largo de todo el año y de todos los años y en relación con los otros contenidos que se estén tratando, ya sea de aritmética

Bressan, A. y B. Bogisic, Las regularidades: fuente de aprendizajes matemáticos, Documento Curricular del Consejo de Educación de Río Negro, 1996 (en www.gpdmatematica.org.ar).

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como de geometría, medida o estadística y probabilidades, sin descuidar el poder ejemplificar regularidades con otros contenidos de las áreas de ciencias naturales, ciencias sociales, educación física, plástica, etcétera. c) En principio es conveniente trabajar con material manipulativo antes de pasar al plano gráfico, ya que es más fácil probar alternativas de extensión, completamiento o transferencia de patrones por la movilidad de los elementos. d) Resulta interesante que los alumnos que finalicen el primer ciclo sean capaces de descubrir la forma o el núcleo del patrón y si es posible codificarlo, por ejemplo, con letras. Esto les posibilitará el cálculo de cualquier elemento del patrón sin necesidad de tener que construirlo. En un patrón de la forma AAB, ¿cuál sería el décimo elemento? Este puede “adivinarse” sin completar el patrón, basta escribir AABAABAABA y el alumno estará en condiciones de responder con propiedad a la pregunta diciendo que resulta igual al primer término del patrón o la sucesión dada. En el segundo ciclo los alumnos serán capaces de usar otros recursos para determinar el elemento con base en relaciones numéricas entre los mismos, por ejemplo, pensado el patrón como 2A1B el décimo elemento no puede terminar en B por no ser múltiplo de 3. Una vez que los alumnos han comprendido cómo se forman los patrones de repetición, es posible iniciarlos en los patrones de recursión. También acá será necesario trabajar con manipulativos antes de pasar al plano gráfico y al tratamiento aritmético o geométrico. Una tarea importante es pasar de patrones concretos o gráficos a las tablas numéricas para llegar a descubrir que los números también se pueden organizar respetando leyes que pueden ser descubiertas y representadas en distintos contextos. En este documento se proponen varias actividades sobre patrones que es posible traducir en sucesiones numéricas. Más adelante será interesante que proponiéndose tablas numéricas los alumnos modelicen los valores en contextos de figuras o agrupaciones buscando alguna disposición geométrica que les ayude a encontrar patrones. Analicemos acá un ejemplo: Supongamos que proponemos a los alumnos el siguiente patrón en una lámina.

* *

** ** **

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El proceso de MATEMATIZACIÓN PROGRESIVA…

A partir de preguntas se comienza la discusión con la clase: • • • • • • •

¿Qué pueden observar en estos dibujos? ¿Por qué piensan que es así? ¿Podrían reproducirlos con ﬁchas (frijoles, lentejas, piedritas) sobre su mesa? ¿Podrían agregar un término más a esta sucesión? ¿Cómo describirían el procedimiento utilizado? ¿Existe un único procedimiento o hay varios? Describirlos. ¿Cuál es la ley de la sucesión obtenida?

El paso siguiente será representar en una tabla los valores numéricos correspondientes a cada término de la sucesión; para ello se construirá una tabla de dos ﬁlas. En la primera se pondrá el número de orden del término en la sucesión y en la segunda el valor que de hecho posee ese término. Observando el patrón dado anteriormente sería:

…

Usualmente se utilizan tablas horizontales para que se correspondan con los términos del patrón, que suelen seguir el sentido de la lectura, pero también se pueden hacer tablas verticales e incluso disponer patrones en esa dirección. Del análisis de la tabla los alumnos podrán inferir diversas reglas de formación del patrón que les permitirán completar las casillas vacías y observar otras regularidades: 1) Si se lee la sucesión en dirección horizontal para pasar de 2 a 6 sumo 4, de 6 a 12 sumo 6, de 12 a 20 sumo 8, etc., de modo que algunos niños podrán describir el patrón numérico obtenido como un patrón creciente con primer término 2 y que se obtiene de sumar los números pares, partiendo de 4 y en forma ordenada, al número anterior.

+4 2

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+6 6

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+8 12

+10 20

…

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Esto despertará curiosidad, pues estos mismos números 4, 6, 8, 10, etc., a su vez forman otro patrón el cual podrá trabajarse en sí mismo. 2) Volviendo al patrón graﬁcado o representado con materiales, se les puede preguntar a los alumnos: ¿Cómo se ha pasado de una ﬁgura a otra en esta sucesión? A partir de la observación de la disposición rectangular que ha de mantenerse, los alumnos descubrirán que para pasar del primero al segundo se agregan 4, del segundo al tercero se agregan 6, del tercero al cuarto se agregan 8, del cuarto al quinto se agregan 10 y así; lo cual permite obtener mediante otro recurso la sucesión 4, 6, 8, 10…

3) Otra mirada la proveerá el análisis de los términos que se corresponden en la tabla en sentido vertical. Al 1 le corresponde el 2, al 2 le corresponde el 6, al 3 le corresponde el 12, etc. ¿Cómo es posible pasar de los términos de la primera ﬁla a los de la segunda? Si los niños manejan las tablas de multiplicar, pronto se darán cuenta que multiplicando los valores de la primera ﬁla por 2, 3, 4, 5, etc., respectivamente obtienen los valores de la segunda.

2 x2

3 x3

4 x4

5 x5

6 x6

… x7

…

También podrán observar que:

2 +1

+4 6

+9 12

+ 16 20

+ 25 30

+ 36 42

…

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Y así concluir que para pasar del número de orden de la sucesión al término correspondiente, se suman determinados números que forman la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36…, de la cual se podrá encontrar el término general n2, si es que los alumnos manejan los números cuadrados o su equivalente n x n. Como se puede notar hay varias relaciones que explican un patrón, y el trabajo de encontrarlas es sumamente fecundo tanto desde el punto de vista perceptual, como conceptual y procedimental matemático (pp. 6 a 8).

Vale destacar que es importante que los alumnos describan verbalmente las regularidades que encuentran, siendo tarea del docente hacer ﬂuida esta verbalización y proveer a los alumnos de experiencias variadas con el objetivo de impulsarlos a usar símbolos para representar sus generalizaciones. Al reseñar el libro de Mason y otros, Cristina Carulla27 menciona que: Es necesario que los estudiantes construyan su propia álgebra. Esto es posible a través de ver patrones y regularidades. Para decirlo de otro modo, esto es posible cuando mentalmente el estudiante pueda establecer cosas en común entre los objetos que está mirando (ej., expresiones de números, diferentes tipos de ﬁguras, diferentes tipos de actividades). Pero no basta con poder ver, también debe poder decir lo que está viendo, lo cual implica transmitir a otros lo que reconoció. […] Este proceso es fundamental en el aprendizaje y debe darse el tiempo que sea necesario en clase para que cada quien desarrolle la capacidad de ver y decir. Una vez consolidado este proceso, se inicia la etapa de registrar. Se enfrenta el estudiante a comunicar por escrito con símbolos (o dibujos) los patrones, la regularidad, lo común.28

A modo de cierre: ¿Por qué estudiar patrones?

En forma suscinta podemos decir que los patrones resultan un tópico esencial de la matemática, ya que: • la búsqueda de regularidades (es decir, de similitudes y diferencias, lo que permanece y lo que cambia) es lo que permite interpretar y explicar el mundo. Sin ellas no existiría la ciencia, 27

Carrulla, C., Rutas hacia el/ Raíces del álgebra, reseña del libro de J. Mason, A. Graham, D. Pimm y N. Gowar, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Revista EMA, vol. 5, núm.1, noviembre 1999, Una Empresa Docente, Bogotá. Idem., p. 82.

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• dan la idea de modelización,29 idea básica en la concepción actual de la matemática. Los patrones pueden tener diferentes representaciones: geométricas, usando figuras; métricas, usando áreas; aritméticas, usando operaciones y relaciones numéricas; gráficas, usando representaciones; algebraica, usando la designación de valores desconocidos, lo que posibilita el pasaje de un modelo a otro (por ejemplo, se puede pasar de formas dibujadas que contienen una regularidad a expresiones numéricas o de números a configuraciones puntuales, o de rayas y puntos a letras, etcétera), • conducen al proceso de generalización, es decir, a abstraer propiedades a partir de la observación y experimentación en un conjunto de ejemplos, a hacer conjeturas, a simbolizarlas para luego demostrarlas y aplicarlas en soluciones y resultados a otros problemas, • alientan el desarrollo de distintos puntos de vista para abordar un problema, muestran que encontrar un enfoque no implica que el problema esté concluido e, incluso, permiten generar nuevos problemas, • son precursores de los conceptos de función, y de secuencia y serie, • conducen a reconocer el valor del lenguaje algebraico, tanto para expresar variables como para validar conjeturas, apoyándose en las reglas de transformación de escrituras, • favorecen el reconocimiento de que distintas escrituras algebraicas: pueden expresar la misma relación, conjetura o fórmula (expresiones equivalentes). (Las fórmulas extraídas de los patrones están más pensadas como relaciones entre números que como maneras de contar o medir),30 • integran distintos ejes de la matemática, ya que las regularidades están presentes en los sistemas de numeración, en las propiedades de los números, en el cálculo (mental, escrito y con calculadora), en la reproducción de figuras y cuerpos, en los sistemas de unidades de medida, en las relaciones funcionales, etcétera. 29

Modelizar matemáticamente, en este contexto, significa representar elementos y relaciones existentes en un fenómeno complejo. Incluye no sólo las representaciones sino también acciones sobre las mismas e interpretaciones del significado de esas acciones en el modelo matemático y respecto al fenómeno que se modeliza (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM, 1998). Por ejemplo, las representaciones visuales de puntos, según configuraciones geométricas, representan un enlace entre la geometría y la aritmética. A través de ellas se visualizan relaciones numéricas que quedan opacadas al darse directamente los números escritos en el sistema decimal. Es necesario desterrar que lo visual no es matemático o que la visualización constituye un proceso poco válido en matemáticas. “La visualización actúa a modo de catalizador para entender y producir razonamiento inductivo. También permite entender de manera informal un razonamiento deductivo, donde el trabajo algebraico se hará más tarde” (Castro, p. 48).

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En la segunda parte de este artículo se presentan una serie de actividades sobre patrones con el objetivo de promover procesos de modelización, generalización y simbolización matemática explorando modos alternativos de abordar la brecha entre la aritmética y el álgebra, y facilitar la transición paulatina desde el álgebra informal al álgebra formal, promoviendo la reﬂexión de los docentes acerca de las trayectorias desde contextos y situaciones en los que pueden identiﬁcarse distintos tipos de patrones hacia el trabajo formal con símbolos, expresiones y fórmulas algebraicas.

Bibliografía: P., “El proceso de algebrización de las matemáticas escolares”, La modelización algebraica en la Enseñanza Secundaria y en el paso a la Universidad (en Google, ver Bolea Pilar). BRESSAN, A. y B. Bogisic, Las regularidades: fuente de aprendizajes matemáticos, Documento Curricular del Consejo de Educación de Río Negro, 1996 (en www.gpdmatematica.org.ar). CARRULLA, C., Rutas hacia el/ Raíces del álgebra, reseña del libro de J. Mason, A. Graham, D. Pimm y N. Gowar, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Revista EMA, vol. 5, núm. 1, noviembre 1999, Una Empresa Docente, Bogotá. CASTRO Martínez, E., Exploración de patrones numéricos mediante conﬁguraciones puntuales, Mathema, Comare, Granada, 1995. DOCZI, G., El poder de los límites. Proporciones armónicas en la naturaleza, el arte y la arquitectura, Troquel, Buenos Aires, 1996. FREUDENTHAL, H., Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht, 1973. , Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Kluwer, Dordrecht, 1983. , Revisiting Mathematics Education: China Lectures, Kluwer, Dordrecht, 1991. GARDNER, M., Circo matemático, Alianza Editorial, Madrid, 1983. GRUPO AZARQUIEL, Ideas y actividades para enseñar Álgebra, Síntesis, Madrid, 1993. BOLEA,

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HOFFMAN, Everybody Counts, National Research Coun-

cil, Washington, 1989. S. y J. Dupin, Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática, Ediciones Colihue, Buenos Aires, 2005. PAENZA, A., Matemática…¿estás ahí?, Siglo XXI, México, 2005. , Matemática…¿estás ahí? Episodio 2, Siglo XXI, México, 2006. SESSA, C., Iniciación al estudio didáctico del Álgebra, Libros del Zorzal, Buenos Aires, 2005. SOCCAS, M. y otros, Iniciación al álgebra, Síntesis, Madrid, 1989. VAN AMEROM B., Reinvención del álgebra, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1998. VAN DER KOOIJ, H.: Algebra: A tool for Solving Problems, Universidad de Utrecht, Utrecht, 2001. ZAZKIS R. y P. Liljedahl, “Generalización de patrones: la tensión entre el pensamiento algebraico y la notación algebraica”, en Educational Studies in Mathematics núm. 49, pp. 379-402, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 2002 (Traducción realizada por María Fernanda Gallego, GPDM, 2007). ZON, N., “Análisis a priori de una secuencia sobre procesos recurrentes para la Educación Básica”, en Yupana. Revista de Educación Matemática de la Universidad Nacional del Litoral núm. 3, 2006. JOSHUA,

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La ﬂora americana LAS PLANTAS AMERICANAS QUE ALIMENTAN EL MUNDO Segunda parte

www.mexicolore.co.uk

Santos Arbiza Aguirre

Maticeuac, una pequeña hierba que se usaba como cura para el sangrado nasal. Códice Florentino.

www.lablaa.org

a variedad de vegetales domesticados por los portentosos hombres que habitaron nuestras tierras fue favorecida por los innumerables microclimas de la especial geografía del continente americano, así como por la gran diversidad de tipos de suelos. Muchas plantas del Nuevo Mundo desempeñan hoy un papel importantísimo como alimentos, como ﬁbras y como medicamentos en diversos pueblos del planeta, y muchas de las plantas que son ahora el centro de interés de los investigadores por su calidad nutritiva, o por ser fuente de sustancias útiles para la industria, son originarias de nuestro enorme continente.

La biodiversidad del continente americano es enorme, tanto animal como vegetal. En esta serie de artículos, de la cual hoy presentamos el segundo, nos centramos en aquellas plantas que fueron domesticadas por las culturas indígenas que habitaban aquí antes de la llegada de los conquistadores europeos y que nuestro continente ha dado como regalo al resto del mundo.

“Huitzquilitl. Tlatlancuaye: Remedio contra la sangre negra”, en el manuscrito titulado Libellus de medicinalibus indorum herbis, de Martín de la Cruz, cuyos dibujos constituyen otro ejemplo del gran conocimiento botánico nativo y del impacto que tuvo en la comprensión europea del Nuevo Mundo.

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La ﬂora AMERICANA

Cacao (cacaotero) (Theobroma cacao) El cacao es un árbol cu yo origen se presume en la región de la cuen ca del Amazonas y que luego se extendió ha cia América Central y México.

www.wikipedia .or g

Las culturas prehispánic as mesoamericanas, como la olmeca y la maya, consumían el fruto fresco y en forma de chocolate –que se hace tostando y mach acando los granos fermentados y se preparab a como bebida mezclándola con chile y agreg ándole agua– desde aproximadamente 1100 años a.C. La palabra cacao proviene del ma ya Ka’kaw y chocolate, del náhatl xocolatl. Los mexicas consideraban que la bebida preparad a así proporcionaba sabiduría, salud y poten cia sexual.

www .wik

ipedia.org

Theobroma cacao.

Fruto de cacao.

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Cristóbal Colón y su trip ulación descubrieron el cacao al llegar al continente americano, pero el grano no fue mu y bien acogido de inmediato en Europa. Ce rca de 20 años después, Hernán Cortés redescub rió la bebida consumida por los mexicas y envió los granos y la receta al rey Carlos V. Los españ oles le añadieron azúcar y la calentaron, y así fue muy aceptada por los europeos, en especial cu ando el agua fue sustituida por leche; pero se consideraba un lujo ya que el cacao era extrem adamente caro. Llegó a Francia en 1643, a la co rte de Luis XIV, y fue un gran éxito entre la noble za. De ahí pasó a Inglaterra y luego a otros pa íses del continente.

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www.hear.org

se orme, pues rápidamente a de la Collonia fue en mí no eco la en ia de nc Su importa europeos. La elaboración s más codiciados por los cto du pro los de o un os del siglo XIX, y convirtió en creada apenas a principi nía esa art a un fue te dulces sólidos de chocola ropeos. lo en algunos países eu o y, tuvo un rápido desarrol y dos tipos: uno es roj ilia de las malváceas. Ha fam la de rte pa ma dura se torna El cacao for es verde, y cuando ma o otr el y o rad mo en a al madurar, se transform s pueden consumirse es híbridas. Sus semilla ad ied var o ad cre n ha amarillo; hoy en día se a sustancia gelatinosa están cubiertas por un es pu , las do án up ch frescas, en especial “alimento de dulce y muy sabrosa. utizó con justicia como ba lo , co fi ntí cie re mb no Linneo, quien le dio su de porte mediano, Theobroma. Es un árbol ca nifi sig o eg gri en e los dioses”, que es lo qu s nacen directamente de que sus pequeñas flore de a stic erí áct car la n sta de 6 a 8 metros, co nde que llega a pesar ha ar, luego, a un fruto gra lug r da ra pa jos vie s los troncos má ctores se encuenmedio kilo. te los principales produ en lm ua act o, can eri am Aunque es un árbol , existen varias otras emás de las alimenticias Ad a. ric Áf de tal en cid de costran en la costa oc se usa en la fabricación ca nte ma la lo, mp eje r cacao. Po aplicaciones y usos del . méticos y medicamentos

Árbol de cacao.

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Piña (Anana comosus)

www.

wik ipe dia .or g

Esta planta tropical es ori ginaria de Sudamérica y es hoy el segundo cultiv extendido en el mundo o tropical más luego del plátano (bana na). Su origen no está establecido, pero se cre perfectamente e que se encuentra en la cuenca del Amazona los europeos, su consu s. A la llegada de mo era bastante extendid o. En el sig lo XV I fue llevado a Europa, y de allí a África y Asia. La palabra piña se usa en Mé xic o y Ce ntr oa mérica debido a que la fruta tiene semejanza con las piñas de algunas co níf eras, y el término ananá, extendido en Sudaméric bastante a, tiene su origen en la lengua guaraní. Es una planta perenne, no muy grande, que pe rtenece a la familia de ceas. Tiene hojas duras las bromeliá, alargadas y que termi na n en un a pu nta . años con un fruto dulce Produce cada tres , perfumado y de excele nte sabor que se forma decenas de pequeñas ba por la unión de yyas y que en el centro tie ne un tallo jugoso pero ﬁbroso.

Piña o ananá y su secció

n transversal.

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India. por China, Filipinas e seguido muy de cerca r cto du pro l ipa nc pri Veracruz. Brasil es el re todo en el estado de sob , ón cci du pro nte rta impo r una intensa seMéxico tiene también waii, además de realiza Ha s isla las en e qu ar También hay que resalt r y a exportar en forma comenzó a industrializa se e nd do o siti el fue lección artiﬁcial, n comercio ende conserva. pero también hay un gra , sca fre te en lm ipa nc La piña se consume pri a fruta un vinagre ismo, se elabora con est im As . da ela rm me mo latada en almíbar y co o. en forma de excelente y muy apreciad a hidratos de carbono ort Ap . ua ag de o nid nte ca su contenido La fruta tiene un alto co de las proteínas. Desta ión est dig la a da ayu e qu to intestinal y comazúcares y una enzima de ﬁbra mejora el tránsi e ort ap su y C, ina am de potasio, yodo y vit nes y enfermedades. indígenas bate múltiples alteracio ivas y era usada por los rat cu s de da pie pro as algun tar y cicatrizar La fruta tiene también capacidad para desinfec su r po s ma las ap cat cer r las proteínas, se prehispánicos para ha cia que puede hidroliza tan sus a un a, lin me bro heridas. Gracias a la verrugas. utilizaba para eliminar

Campo de piña

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s.w ord pre alla

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ov em e

Es un árbol que se ori ginó en la región mesoa mericana, especíﬁcamente Méxic o y Guatemala, hace un os 10 mil años. Luego se extendió hacia el sur del contine nte, llegando hasta Perú y Ecuador. De acuerdo co n los hallazgos arqueológicos, en México se cultiva de sde por lo menos el año 50 0 a.C. La palabra agua cate proviene del náhuatl –a huácatl– y hace referenc ia a la forma de testículo de l fruto, que es la parte que se consume. En Améri ca del Sur se llama palta , palabra que proviene del quechua. Los españole s conoe th cieron el aguacate en 1519, al llegar a territo rio mesoamericano y lo llevaron Corte transversal de a Europa, desde donde fue exportado a otros continentes, pri un aguacate. ncipalmente África y As ia. El fruto del aguacate es de sabor y textura exquisitos, y muy aprec tronomía en todo el mu iado en gasndo. Existen gran cantid ad de var ied ad es, siendo quizá la más conocida y extendida la californiana Hass. El fru to varía de tamaño, de la variedad; tiene color pendiendo de verde oscuro y con un alto contenido graso, pe proporción de aceites ro con una gran insaturados como el ole ico , co n má s de 70% de su contenido graso total. Es rico en vit aminas A, B, C, D, E, K y áci do fól ico . En cuanto a vitamina D, con 100 g de aguacate se cubren las necesidade s dia ria s. También aporta calcio nesio, potasio, zinc y hie , magrro. Investigadores de la Un iversidad de California han demostrado que po terol, que reduce el coles see beta-sitosterol sanguíneo, y glutat ión , qu e act úa co mo El aceite de la semilla se antioxidante. utiliza en la elaboración de cosméticos para la pie bello, así como en la co l y el canfección de raciones pa ra la cría animal, y sus expectorantes. hojas, para hacer Los principales producto res a nivel mundial son México, Estados Unido Sudáfrica. En la actualid s, Chile y ad se planta y consume cad a vez más en Europa, sobre tod España, cuyas plantacio o en nes en las Islas Canaria s y Andalucía han adqu y surten al continente. irido importancia Se consume principalm ente el fruto fresco, que se usa en salsas, como y guarnición en cantidad el guacamole, de platillos.

ss.com

Aguacate (Persea americana)

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Camote (Ipomoea batata) s es ilia de las convolvulácea Esta planta de la fam al de Centroamérica rg aria de la zona tropic g gin ori ia.o d ape iki mesticó hace aproxim .w y Sudamérica. Se do en la región que hoy damente ocho mil años to con la papa fue un ocupa Perú, donde jun culturas prehispánicas alimento básico de las que habitaron la zona. da en México y CentroLa palabra camote, usa as regiones Raíz tuberosa de náhuatl camohtli. En otr l de ne vie pro ca ca, éri . am Ipomoea batata dulce, boniato. noce como batata, papa co se n na pa his bla bl ha h d de amente nutritiva. Endel cultivo, pues es alt l ipa nc pri o jet ob el La raíz constituye lugar en producción en ndo, está en séptimo mu l de ión tac en alim ha habido tre los cultivos de lugar. En años recientes o art cu el a up oc s ale tropic ncipal producpeso; y en las regiones ltivo. Hoy China es el pri cu su en s eré int l de to ien do cultivo después un importante resurgim ese país, siendo el segun en lar pu po mo nsu co tor, pues hay un gran o de carbodel arroz. ía por su alto contenid erg en a alt de to, en alim Se trata de un excelente ndiendo de las dide provitamina A, depe s ide no ote car de nte hidratos. Es fuente excele y calcio (11 mg/100g). amina C, potasio, hierro vit vee pro n bié Tam ferentes variedades. te bajo contenido de pro nosas, tiene relativamen ido alm ces raí las de ión tric Como la mayoría puede combatir la malnu leguminosas y camote de n ció ina mb co a un ara teínas. Pero camote an njado éxito, el consumo del n co , do lsa pu im ha vitamina A en gran protéica-calórica. La FAO la enorme deﬁciencia de ar san sub ra pa a ric Áf en muchos países de sahariana. ispensable en parte de la población sub da, frita o hervida. Es ind asa sea ya a, cid co re lizado como el La raíz se consume siemp de diversas formas: crista me co se o xic Mé en y , la gastronomía peruana as, en puré, etcétera. lce almibarado, en sop du en , no bla po ote cam animales. Las raíces tam en como alimento para sirv laje fol el mo co n ces ció menta Tanto las raí y para productos de fer un recurso de almidón mo co e ars ple em en bién pued ol. láctico, acetona y butan como vino, etanol, ácido

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Girasol (Helianthus annuus)

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El girasol es nativo de Norteamérica y se sabe que se cultiva desde por lo menos el año 1000 a.C . Las evidencias arqueológic as señalan que fue dome sticado primero en Méxic o, al menos 2600 años a.C. Para los otomíes, y má s tarde para los mexicas, el girasol representaba al dios Sol. Esto no fue exc lusivo de la región mesoa mericana, pues el conq uistador español Francisco Pizarro conoció esta pla nta en la región de Perú y observó que era venera da como símbolo del Sol. Los europeos llevaron sem illas a su continente a co mienzos del siglo XVI. Su nombre científico, He lianthus, al igual que el común, girasol, significan “flor que gira siguiend o al sol”. Pero lo que comú nmente llamamos flor es un capítulo, una inflore scencia formada por mu chas flores sin pedicelo Flor de girasol. sobre un receptáculo. La forma y el color de la infl orescencia también exp lica su vínculo con el So disco radiado, con “péta l, pues es de un los” (en realidad brácte as u hojas modificadas) color amarillo intenso, a su alrededor, a veces anaranjado, bro nceado e incluso café. El girasol se cultiva hoy en todo el mundo en reg iones de clima templado frío. Es una planta anua y templado l de la familia de las ast erá cea s (también llamadas co Hay varias especies del mpuestas). género Helianthus, pero la más importante es H. todo como una de las an nuus, sobre plantas oleaginosas má s extendida en todos los continentes. El aceite que se obtiene al prensar las semillas se utiliza principalmente g r para cocinar y .o dia es muy rico en tocofe rol (vitamina E), del cual aporta cuatro veces más que el aceite de oliva. Tam bién se emplea para producir biodiesel , y lo que queda luego de realizada la ext racción de aceite se uti u liza como alimento para el ganado. Las Semillas de girasol. semillas se consumen también tostadas, siend o

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flor ornamental también se utiliza como l aso gir el ás, em Ad . bra una buena fuente de fi istas plásticos como tada por numerosos art cap o sid ha e qu a, por su extrema bellez van Gogh. genético que Diego Rivera y Vincent bajos de mejoramiento tra sos en int a da eti som Esta planta se ha visto o el girasol enano) los (con lo que se obtuv tal los de ura alt la do han, por ejemplo, acorta países como Rusia con lo que fue muy útil en a, vid de do rio pe su y hecho más corto secharse más pronto. de fructificar y puede co o mp tie ne tie así es pu también se le veranos cortos, lorante de las flores. Y co er ten ob ra pa ás, em El girasol se emplea, ad a partir del tallo utilizan el té elaborado ras ltu cu as un alg es pu ha dado uso medicinal, s nerviosos. eza, resfriados y trastorno cab de es lor do tar tra ra pa nta limpian la tierra de que las raíces de esta pla ran est mu s ne cio iga est tar el terreno Algunas inv fueron usadas para tra y o, mi cad el o mo el plo metales pesados como del trágico accidente. ar de Chernobyl luego cle nu l tra cen la a o , llamada comúnpróxim lianthus, la H. tuberosus He de e eci esp a otr ar un Es interesante cit tubérculos muy ricos en bién americana. Tiene tam ur, mb ina top o o se al cocer se mente tupinamb ejante al almidón, que sem a, lin inu do na mi no de también por su carbohidrato compuesto partes de América, pero ias var en me nsu co Se transforma en fructosa. fusamente en la alimen por hectárea se usa pro to ien dim ren n gra y riqueza energética ular en cerdos. tación animal, en partic

sus.

Especie Helianthus tubero

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La ﬂora AMERICANA

Esta planta de origen am ericano, perteneciente a la familia de las leg uminosas, fue domesticada en la región tropic al de los valles andinos hace cerca de 8 mil años, ya que se han encontrado restos arqueológic os de cultivos de hace unos 7800 años. Su ori gen está, de acuerdo con los hallazgos, en Bra sil, donde hay especies silvestres, y de esa región proceden la mayoría de las variedades que se cultivan hoy en día en el mundo. Los conquistad ores españoles conocieron el cacahuate al lleg ar a Perú y extendieron su cultivo hacia Me soamérica. Se atribuye a los portugueses haber llevado la planta a África y, posteriormente, co n el tráﬁco de esclavos, regresó a América como alimento barato y fácil de conservar para su consumo en los barco s traﬁcantes. Así llegó a las regiones sureñas de Estados Unidos, donde todavía se consume en enormes cantidades.

Cacahuate (Arachis hypogaea) wik w.

ipedia.org

Planta de cacahuate.

to pt r

En México, esta planta se conoce como cacah uate, palabra de origen tamiento y modificación náhuatl, acorde tlálcacahuat, que sig nifi ca “se mi lla de cacao de la tierra”. En otras regiones de ha bla hispana se llama ma ní, una voz taína. De la planta se consume n los frutos, que no tiene n pulpa y están dentro de una cáscara leñosa redon deada dentro de la que om ls.c ha y de ica do s a p c cin co seo millas. El cacahuate se considera una fruta seca, como la castaña, la almendra y lla nuez. Las flores de la planta , luego de la polinización, se hunden en el suelo y el fruto se desarrolla subterráneame nte. Hoy es alimento básico en muchos países afriFruto del cacahuate. canos, como Mozambiq ue. También se ha exteen dido

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ay varios platillos tradicion este asiático, donde ha sur el y ia Ind , ina Ch ampliamente en o. o, guisado, garrales en los cuales es básic s: tostado, asado, cocid ma for as ers div y mu de El cacahuate se come o crema de cacahuate. at y como mantequilla ug no , án zap ma en , inpiñado, en palanqueta ipalmente de tipo mono abundante grasa, princ a ort ap e qu to, en an alim cia antioxid te Es un gran ol que las uvas, sustan atr ver res s má es vec i 30 e disuelve el cosaturado. Contiene cas vasculares gracias a qu dio car s de da me fer en las que ayuda a combatir do arginina, además teínas, como el aminoáci pro e en nti co n bié Tam lesterol sanguíneo. esio y vitamina E. mo fósforo, calcio, magn un aceite de de folatos, minerales co , de la que se obtiene nte rta po im sa ino ag ole Es también una planta semillas. las r primera calidad al prensa

ate recién cosechadas.

Hojas y vainas de cacahu

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La ﬂora AMERICANA

a.o

La palabra amaranto ag rupa a diversas especi es de plantas harbáceas, tod as del género Amaranth us. De acuerdo con los ha llazgos arqueológicos, se asocia actividad humana con el amaranto desde hace aproximadamente unos 6 mil años. Se cree qu e su i origen está en América ped www.wiki Central y norte de Améri ca del Sur, y la evidencia de su uso más antiguo correspo nd e a unas semillas halladas en el estado de Veracruz . De la planta se consumían tanto las hojas y tallos como las semillas. Los mayas fueron los primeros en rea lizar cultivos de amaranto pu es para muchos pueblos era una planta principalm ente de recolección. Su alta calidad nutritiva lo conv irtió en un alimento de gran importancia para toda la región de Mesoaméric a y su consumo evitaba que se pasaran hambrunas de bid oa las sequías, sobre todo en regiones como Tula, donde la calidad de los suelos es pobre. Los mexicas elaborab an figuras mezclando sus pequeñas semillas o su Amaranthus cruentus. harina con miel de abeja . Estas figuras se considerab an alimento de los dio ses y se ofrecían como algunas veces se hacían tributo, ya que mezclando sangre de pe rso na s sac rifi cad as. A la llegada de los conquistadores, era un o de los principales cu ltivos luego del maíz, el a la ciudad de Tenochti frijol y la chía, y tlan entraban miles de toneladas anuales para españoles prohibieron su consumo. Los el cultivo del amaranto , al que consideraron ma lo hizo desaparecer. Alg ldi to, y esto casi unos estudiosos sostiene n qu e se tra tó de una estrategia militar para mantener a la pobla ción débil y conquistarla más fácilmente, pues el un alimento de guerrero amaranto era s. En Sudamérica, los inc as también lo consumí an, pero lo apreciaban poderes curativos. más por sus La palabra amaranto vie ne del griego y significa “planta que no se march las flores duran mucho ita”, pues luego de ser cortadas.

Amaranto (Amaranthus spp.)

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pequeque producen semillas rennes de poco porte, pe s nta pla son s nto Los amara estión. tritivas y de muy fácil dig irse en uno de los ñas, pero altamente nu el potencial de convert ne tie s, iva trit nu es ad d Debido a sus cualid proteínas de alta calida en este siglo. Contiene ad nid ma hu la de tos nprincipales alimen nido de aminoácidos ese as tienen un alto conte ést s, no gra os otr de r al de la leche. y, a diferencia alimento proteico mayo mo co d ida cal a un n da ciales. La FAO y la OMS le y vitaminas. idón, aceites, minerales alm a on rci po pro n bié Tam ventaja de carecer de ye a los cereales con la titu sus y s ma for ias var no Se consume en ntes celiacos. Con el gra la nutrición de los pacie en da ien om rec se e tra qu lo el, como gluten, por lo zapán, galletas (con mi ma , ole pin s, ale tam , les se elaboran harinas, ato as y aceite. bid be bajaban los aztecas), ecie de la familia del nuestro país, es una esp en do mi nsu co y mu o, fósforo y El huauzontle, calcio, hierro, magnesi en o nid nte co o alt seen un semejante a la amaranto. Las hojas po mo verdura, de forma co me co se tos fru sus de vitamina A y C. Además e. le da el nombre de quelit se y de acelga y la espinaca, tricionales y es objeto presionantes virtudes nu im sus en oc on rec se o Mundial y Actualmente mundo. La FAO, el Banc el o tod de es ad rsid as unive ensión de tan investigación en much y propugnan por la ext jan nse aco , ina Ch de el varios gobiernos, como maravilloso cultivo.

Campo de amaranto.

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Teoría del aprendizaje signiﬁcativo de Ausubel Primera parte

Carlos R. Rodríguez de Alba monograﬁas.com

David Paul Ausubel (1918-2008), el gran psicopedagogo cognitivo-constructivista estadounidense, impulsor de la psicología instruccional, cuya inﬂuencia ha sido enorme en la educación mundial, fue el creador de la teoría del aprendizaje signiﬁcativo, constituida en referente insoslayable en la psicología de la educación contemporánea.

David Paul Ausubel.

mpero, como suele ocurrir con tantos fenómenos y expresiones en todos los ámbitos, su resonancia ha conllevado cierta erosión o parcialización de sus elementos, debido a que la teoría se presenta habitualmente en forma esquemática o sinóptica extrema, lo que ha originado un conocimiento burdo y superﬁcial de ella. Por esto he considerado importante abocarme a la tarea de escribir esta serie de artículos en los que se resume (sin excluir ningún elemento y dando a cada uno el espacio apropiado), reseña y adapta integralmente la teoría del

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aprendizaje significativo, tal como fue expuesta por Ausubel en su libro Psicología Educativa.1 Se comenzará por indagar la índole del término significado y su relación con la significatividad y el aprendizaje verbal significativo. En este itinerario veremos la importancia del aprendizaje significativo en la conquista del conocimiento; cómo las palabras, los conceptos y las proposiciones adquieren significado; la diferen1

David P. Ausubel, Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo, Trillas, México, 1981.

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va, significado psicológico y significado, concebido como el producto del proceso de aprendizaje significativo y concerniente al conocimiento diferenciado que reconstruye de modo sustancial la estructura cognitiva del aprendiz. El epígrafe con que abre el libro citado es del mismo Ausubel y sintetiza magistralmente su visión: Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría éste: de todos los factores que influyen en el aprendizaje, el más importante consiste en lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto, y enséñese consecuentemente.2

Portada del libro de Ausebel, Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo.

cia entre los significados lógico y psicológico, y entre cognición y percepción. Al final, aplicaremos estos conceptos al fenómeno de cómo, al leer, se aprende la sintaxis de nuestra lengua materna e, incluso, la de otros idiomas. Vale la pena detenerse en el análisis de los conceptos referidos, pues son parte de los fundamentos en que se erige la educación contemporánea. Compenetrarse con el discurso ausubeliano propicia un desarrollo profesional más fructífero y consecuente, ya que sus aportaciones pedagógicas y, más en particular, sus métodos instruccionales son sumamente útiles para todo profesor que aspire a perfeccionar su labor docente. Sin más preámbulo, entremos en la materia de este artículo, cuyo objetivo es la aproximación a expresiones clave de la teoría ausebeliana del aprendizaje significativo, como significatividad potencial, significatividad lógica, estructura cogniti-

En efecto, en el aprendizaje significativo confluyen la disposición del alumno para relacionar el material nuevo con su estructura cognitiva, y que este material sea especialmente relacionable con tal estructura; es decir, la condición necesaria y suficiente para que se dé el aprendizaje significativo requiere la correspondencia entre la intención significativa en la tarea de aprendizaje, por parte del pupilo, y el potencial de su estructura cognitiva para asimilar el material nuevo. Éste es el sentido de enseñar a partir del nivel cognitivo del alumno y esto es lo que faculta el aprendizaje significativo, o sea, que podríamos decir, usando frases más actuales, la adquisición de competencias. El papel del docente es decisivo para que la tarea de aprendizaje sea potencialmente significativa (o sea, “intencionada y sustancialmente relacionable con la estructura cognoscitiva del alumno”)3 y esto depende de dos factores principales: la naturaleza del material que se va a aprender y el conocimiento del nivel y las características de la estructura cognitiva particular del alumno. 2 3

Ibidem. Idem., p. 57.

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Teoría del aprendizaje signiﬁcativo DE AUSUBEL

El material debe tener una signiﬁcatividad lógica, estar ordenado de modo didáctico, ser intencionado y relacionable esencialmente, corresponder a las circunstancias (niveles de desarrollo de la asignatura y de las estructuras cognitivas de los pupilos), es decir, transmitirse con pertinencia a los contenidos ideativos de cada alumno. Pero este planteamiento ideal enfrenta una diversidad compleja y una pluralidad de signiﬁcatividades potenciales debido a la heterogeneidad de los grupos lectivos, pues cada potencial aprendizaje del material en turno depende de los antecedentes educativos, la edad, el cociente intelectual, las costumbres, la ocupación y el hábitat familiares, la pertenencia a una clase social y cultura determinadas de cada pupilo. Si bien es cierto que según el tipo de escuela y del medio en que se ubica suele establecerse una tendencia en torno a la que se agrupan las distintas variables, no por ello se desvanecen las diferencias. Por esto es tan importante que el profesor ubique (evalúe) la potencialidad de cada uno de sus alumnos, en especial el grado y los rasgos de su estructura cognitiva, el medio etocultural de su desenvolvimiento y, a partir de ello, establezca un nivel de exposición que propicie el aprendizaje y posibilite la convergencia y comprensión de todos o casi todos los aprendices, incluso de los más sesgados hacia abajo de la media. La evaluación debe evolucionar y regirse por lo esencial y no por lo literal; soslayar la memorización y la repetición como únicos criterios, pues por lo general representan falsos y olvidables saberes y no la comprensión genuina, propia del aprendizaje verdadero. Esto no implica, desde luego, desechar repetición y memorización, que son indispensables en ciertos procesos y niveles de cognición; pero sí entraña saberlos usar convenientemente y subordinarlos a la comprensión de los aprendices.

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Las tareas planteadas, sin duda, no son sencillas; pero contar con la claridad conceptual idónea puede ayudarnos a abordarlas con buenos resultados. Revisar los conceptos centrales de Ausubel al respecto brinda la posibilidad de incrementar nuestra precisión teórica y práctica y de unificar, hasta donde esto es posible en el contexto de la diversidad cognitiva humana, las definiciones categoremáticas,4 lo que propiciará comunicarnos en niveles semejantes de comprensión en las discusiones académicas y en la realización de los proyectos escolares. David Ausubel establece que el aprendizaje significativo requiere material potencialmente significativo y de la disposición para el aprendizaje significativo; asimismo, señala que la significatividad potencial depende de la significatividad lógica (esto es, la capacidad de relación intencionada y sustancial del material de aprendizaje con la facultad de ideación y comprensión de un grupo determinado) y de su pertinencia respecto a la estructura cognitiva de cada alumno en particular; por último, asienta que el significado psicológico es el producto del aprendizaje significativo de cada aprendiz o, bien, de la significatividad potencial sumada a la disposición individual para el aprendizaje significativo. Ahora es menester puntualizar que el significado es producto del proceso de aprendizaje significativo y refiere al contenido cognitivo diferenciado que reconstruye, en un aprendiz dado, un símbolo o conjunto sígnico que ha entrado sustancialmente en la red de su estructura cognitiva; esta incorporación de un nuevo o de nuevos significados ha reestructurado la organización cognitiva del sujeto y, por tanto, reconfigurado su conocimiento sobre cierto asunto 4

Categorema. Modo general de enunciación que se puede predicar de un sujeto. (Diccionario de la Real Academia, s.v. categorema).

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que, en lo sucesivo, aparece como un aprendizaje más completo y significativo respecto de la expresión simbólica inicial que sólo tenía un significado potencial o incipiente o nulo para el alumno. En palabras textuales de Ausubel: Desde el principio mismo del aprendizaje, comenzamos con una expresión simbólica que sólo tiene significado potencial para el alumno o que aún no significa nada para éste. Luego, esta expresión es relacionada de manera no arbitraria sino sustancial con las ideas pertinentes de su estructura cognoscitiva, e interactúa correspondientemente con ésta. Al concluir el proceso de aprendizaje se sigue, por consiguiente, que el producto de esta interacción (que es el producto mismo de un contenido cognoscitivo diferenciado) constituye el significado de la expresión simbólica recién aprendida y que en lo sucesivo será evocado cuando esta última se presente.5

De este modo, el maestro guía, motiva, dinamiza y comparte las construcciones cognitivas del alumno, su aprendizaje significativo, pues, al fin, la educación trata precisamente de la adquisición y conservación de significados (es decir, competencias), constituyentes de la formación intelectual, ética, estética y práctica de los educandos.

Tipos de aprendizaje significativo El tipo básico de aprendizaje significativo, del cual dependen todos los demás aprendizajes de esta clase, es el aprendizaje de representaciones, que consiste en hacerse del significado de símbolos solos (generalmente palabras) o de lo que representan. Después de todo, las palabras solas son símbolos convencionales o compartidos social5

Ausubel, 1981, pp. 60-61.

mente, cada uno de los cuales representa un objeto, acontecimiento, situación o concepto unitarios u otro símbolo de los dominios físico, social o ideativo.6

En efecto, cuando se inicia cualquier instrucción se entra en relación con símbolos cuya significación o representación nos es desconocida; entonces tenemos que aprender lo que esos símbolos dicen o manifiestan: palabras nuevas, conceptos, fórmulas que representan objetos o ideas (que son los referentes de tales expresiones). En este proceso de significación, pues, encontramos la correspondencia entre las representaciones y sus referentes; así, estas relaciones, pasan a formar parte de nuestra estructura cognitiva y nuestro imaginario personal. Naturalmente, la riqueza comprensiva e imaginativa variará dependiendo de la mayor o menor profundidad significativa del sujeto cognoscente: la imagen y el concepto de bacteria serán muchísimo más complejos en la representación de un biólogo que en la de un abogado; y, al revés, las implicaciones de una ley civil serán bastante más numerosas en la mente de un abogado que en la de un biólogo. Este ejemplo también sirve para ilustrar la distinción entre las dos clases básicas de aprendizaje significativo: el aprendizaje de representaciones y el aprendizaje de proposiciones; y entre cada uno de éstos y un tercero y superior: el aprendizaje de conceptos. El primer distingo entre el aprendizaje de representaciones y el de proposiciones consiste en que el primero se ocupa de los significados de símbolos o vocablos unitarios; en tanto que el segundo atiende los significados de combinaciones de palabras agrupadas en proposiciones u oraciones. En el primer caso, se aprende que los símbolos específicos representan o son de 6

Idem., p. 61.

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Teoría del aprendizaje signiﬁcativo DE AUSUBEL

Es importante que el profesor ubique (evalúe) la potencialidad de cada uno de sus alumnos, en especial el grado y los rasgos de su estructura cognitiva, el medio etocultural de su desenvolvimiento.

significado equivalente al de referentes específicos (la palabra bacteria trae a la mente la imagen del objeto bacteria); de hecho, palabra e imagen del objeto son indisociables. En el segundo caso, el aprendizaje significativo consiste en captar el significado de ideas interrelacionadas en forma proposicional; es decir, oraciones verbales que expresan ideas compuestas, más completas que las meramente representativas, por ejemplo: Bacteria (del griego, bastón). Microorganismo unicelular procarionte, cuyas diversas especies causan las fermentaciones, enfermedades o putrefacción en los seres vivos o en las materias orgánicas.7

En la proposición del ejemplo se observa fácilmente que la idea resultante es más compleja que la suma de los signiﬁcados de las palabras componentes y que se deben conocer los 7

Cf. DRAE, s.v. bacteria.

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significados de cada uno de los términos para comprender la idea compuesta de la proposición; si desconocemos uno o varios de los vocablos constituyentes, no accederemos al saber significativo de esta definición primaria. Por tanto, el aprendizaje de las representaciones es básico, indispensable, para el verdadero acceso al aprendizaje significativo proposicional. Es obvio que si no tenemos una representación mínima en nuestra estructura cognitiva de los vocablos unicelular, procarionte, fermentaciones y putrefacción, estaremos más cerca del nivel de comprensión del abogado que el del biólogo; o sea, no podremos aproximarnos a la idea compuesta. En cuanto al tercer tipo de aprendizaje, es menester precisar que los conceptos son ideas genéricas unitarias o categoriales, pero que, tal como los referentes unitarios, se representan por símbolos aislados. Por tanto, las palabras individuales combinadas en proposiciones representan en realidad conceptos y no objetos o suce-

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sos; se infiere, entonces, que el aprendizaje de proposiciones implica aprender el significado de una idea compuesta, producida por la concatenación de palabras en un enunciado, donde cada término (sustantivo considerado aisladamente), a su vez, representa un concepto; tal es el caso de los vocablos unicelular, procarionte, fermentaciones y putrefacción de nuestro ejemplo. Ahora precisemos cómo el aprendizaje de conceptos se relaciona con el aprendizaje de representaciones. Puesto que los conceptos, lo mismo que los objetos y sucesos, se representan con palabras, aprender lo que significan las palabrasconcepto, en particular, es, sin duda, un tipo superior de aprendizaje de representaciones. Es superior porque no se queda en la palabra-imagen de la representación objetual primaria, sino que consiste en saber cuáles son sus atributos de criterio8 como palabra-concepto, o sea, los rasgos que sirven para distinguirlo o identificarlo; esto comporta un tipo muy diferente de aprendizaje significativo que, como el de las proposiciones, es de naturaleza sustantiva y no sólo representativa. Resaltemos también que el aprendizaje de conceptos difiere del de proposiciones en que los atributos de criterio de un nuevo concepto se relacionan con la estructura cognoscitiva para producir un significado genérico nuevo y unitario; mientras que en el aprendizaje de proposiciones la idea compuesta producida se relaciona con la estructura cognoscitiva para producir solamente un nuevo significado compuesto. Ilustro lo aseverado de nuevo con el mismo ejemplo. Un lector no biólogo, pero interesado en la definición de bacteria, consultará en el diccionario cada uno de los términos desconocidos

Ausubel llama atributos de criterio a las cualidades esenciales que identiﬁcan a una especie y la diferencian de las otras.

y, así, tornará asequible para sí la idea compuesta contenida en la proposición y como tal entrará en su estructura cognitiva; mas, de esta manera, el lector común no incorporará el término como un significado genérico nuevo y unitario a su estructura; para esto sería menester aprender con una gran densidad sustantiva cada uno de los conceptos que se aúnan para definir el término bacteria. Dicho con más simpleza, el lector común sólo alcanzará, por este medio, un conocimiento proposicional, aunque mucho más rico que el representacional; coloquialmente le llamaríamos “un saber de cultura general”. Por último, hay que corroborar que tanto el aprendizaje proposicional como el conceptual son muy distintos del aprendizaje de representaciones; aunque, puntualiza Ausubel, al aprendizaje “de concepto siga, característicamente, una forma de aprendizaje de representaciones en que el nuevo concepto aprendido se iguala en significado a la palabra-concepto que representa”.9 Esto quiere decir que el vocablo bacteria, cuyo significado era nulo para el aprendiz, se convirtió, después, en una palabra-imagen, en un aprendizaje de representación incipiente; tras informarse del significado de los otros términos, el aprendiz arribó a un aprendizaje compuesto, proposicional. Si nuestro aprendiz estudiara un curso completo de biología o alguno similar donde se tratase el tema, alcanzaría un aprendizaje conceptual; sólo entonces bacteria sería una palabra-concepto, una imagen del concepto, y adquiriría la densidad sustantiva que tiene el vocablo en la mente del biólogo.

Ausubel, Idem., p. 63.

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artistas Y ARTESANOS

Técnicas de motivación a la lectura y escritura IX CON PERIÓDICO Y SOBRE PERIÓDICO Carmen Gamiño

¿Cuántas veces, al limpiar los vidrios,

al hacer piñatas, alebrijes o cualquier otra actividad que involucre la utilización de papel periódico, nos olvidamos de nuestro objetivo principal y nos distraemos viendo las fotografías o leyendo los artículos que encontramos en sus hojas, sin importar si los sucesos que ahí se presentan de manera visual o escrita ocurrieron hace años, meses o días? ¿Qué es lo que nos atrapa? ¿Por qué no podemos dejar pasar de largo eso que alguien quiso comunicar? ¿Será que somos curiosos por naturaleza?

uando abro el juego con los niños y les pregunto quién se levanta muy temprano a comprar el periódico para leerlo sentado en la sala acompañado de una taza de café, entre sonrisas me dicen que nadie. Leer el periódico parecería una tarea de adultos, para la cual debería seguirse un ritual serio y planiﬁcado. Sin embargo, si llega a nosotros de manera un tanto azarosa, parece que se recibe una caja llena de sorpresas. Por lo general, al interactuar con los niños puedo darme cuenta de que la mayoría recono-

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ce el periódico como un medio de comunicación en el cual hay noticias, anuncios, programación, etc.; lo saben porque lo han visto en la escuela o porque en casa algún familiar es asiduo a comprarlo, o porque la mayoría ha pasado frente a un puesto de periódicos. Sin embargo, no es mi objetivo que se vuelvan expertos en lo que el periódico es o en las secciones que lo conforman. Me interesa que lo vivan, que se sumerjan en sus páginas y encuentren en ellas un mundo conformado por letras e imágenes, con las posibilidades de ser explorado y transformado.

Artistas Y ARTESANOS

Algunos de los trabajos realizados con la técnica de pintura vinílica.

Inicio entonces esta actividad reﬂexionando un poco con los niños acerca de lo que ellos saben de este medio de comunicación. Después, reparto una hoja de periódico a cada uno. Si es de formato grande, es necesario contar con el espacio adecuado para extender las hojas sobre las mesas; de lo contrario, puede trabajarse sobre el suelo, lo cual funciona muy bien pues es posible hacer grandes círculos de trabajo y tenderse de panza para leer, si así lo deseamos. Si el espacio es reducido, está la opción de cortar pedazos de periódico del tamaño de una hoja carta o de la dimensión que se desee para facilitar la actividad. También, si se cree conveniente, se hace una selección previa de las páginas con las que se va a trabajar, dejando las que tienen mayor contenido informativo narrativo y visual, y eliminando aquellas que no proporcionan mucha información o dejar sólo unas cuántas, pues

no sabemos si en ellas alguien va a encontrar lo que nosotros no. Una vez repartido el material, abro un tiempo de observación, lectura y comentarios en voz alta. ¿De qué habla la parte del periódico que me tocó? ¿Qué hay en ella? Es un momento muy libre, en el cual la sorpresa y la espontaneidad de los participantes predominan y se comparte con los demás. Puede haber desde risas por la cara chistosa de un personaje en una de las fotos, preocupación por la guerra ocurrida en algún país, alboroto por un automóvil último modelo o una chica en bikini, preguntas de algún tema o del signiﬁcado de alguna palabra, suspiros, quejas, propuestas, etc. Nosotros, como mediadores, podemos seleccionar también una hoja y comentar y leer lo que de ella nos llama la atención, o ir entre los participantes haciendo notar detalles que pueden parecernos

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Técnicas de motivación A LA LECTURA Y ESCRITURA IX

importantes en las hojas que ellos tienen para motivarlos a la lectura, observación y reflexión. Éstos pueden ir desde hacer notar el uso del color y la tipografía, hasta preguntas directas para escuchar sus opiniones. Es recomendable tener más hojas de periódico que el número de participantes, a fin de que les sea posible cambiar la que les tocó en un inicio, si no les gustó por no haber encontrado en ella temas de interés, y pensando también en los niños que trabajan más rápido y tienen mayor inquietud en descubrir. Finalizada esta parte de observación, lectura y comentarios, les pido que cada quien elija de su hoja de periódico tres palabras y las encierren con algún color de madera, o crayola. Les explico que no se trata de cualquier palabra, tienen que seleccionar aquellas que más les gusten por lo que significan o por su sonoridad. Pueden estar en diferentes párrafos, con tipografía distinta; no importa la ubicación ni el tamaño. Conforme van terminando, compartimos en voz alta las palabras elegidas. Este momento, la actividad se convierte en una lluvia de palabras, tríos de palabras que pueden remitirnos al teatro, al clima, a las matemáticas, a las finanzas, a los deportes… Con las tres palabras que cada quien seleccionó, inventará una historia que tendrá que contar después como si fuera un periodiquero. Esta historia puede escribirse en un borde del periódico, en otra hoja aparte y luego integrarse a la hoja de trabajo o no escribirse y sólo compartirse de manera verbal. El nombre del periódico también es creación del momento y tal vez sea conveniente que nosotros comencemos, por ser los mediadores, con un ejemplo:

Lleve su periódico El Tlacuahe para que esté bien informado. Llévelo, llévelo para que no sea el único que no sabe lo que pasa en su cuadra, en su país o en el mundo. Entérese del mosco que le picó al presidente

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Sobre la hoja de periódico, pintarán su historia.

de China y de los ríos de lágrimas que estuvieron a punto inundar la ciudad porque no podía parar de reír. Lleve su periódico El Tlacuache, y entérese a dónde fue a parar toda esa agua y cómo hicieron para que el presidente dejara de reír… Con las tres palabras marcadas en negritas se escribió esta historia, la cual tiene que quedar inconclusa, pues es el truco para que los escuchas se acerquen a comprar el periódico. Se me ocurre en este momento que podría inventarse una moneda o utilizar el método del trueque para intercambiar historias y conocer los ﬁnales de aquellas que nos interesen. Todas las ocurrencias que permitan acercar con mayor gozo a los niños a la lectura y escritura son bienvenidas. Una vez terminada la parte de creación literaria, continuamos con la creación plástica. Sobre la hoja que han trabajado, pintarán la historia

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Se puede usar cualquier técnica en la parte de creación plástica de la actividad.

que inventaron, con la indicación, muy precisa, de observar con detenimiento los elementos que existen y eliminar con pintura los que no son necesarios e integrar los que son útiles. El título de la historia también deberá escribirse. Como en otros casos, queda abierta la técnica por utilizar. En los trabajos que compartimos en este artículo, empleamos pintura vinílica. Son muchas las variantes que esta técnica nos permite: por ejemplo, el juego del periodiquero se puede integrar también al inicio de la actividad o al ﬁnal; con las tres palabras es posible crear más de una historia para hacer notar la versatilidad y las opciones inﬁnitas del lenguaje; jugar a sólo tomar las palabras que estén

en la hoja de periódico para inventar el cuento o poema, permitiéndose sólo agregar preposiciones y conjunciones (por su complejidad, esta última opción la recomiendo para alumnos de secundaria en adelante); seleccionar un párrafo o frase de alguno de los textos e integrarlo al texto creado. En lo particular, me gusta mucho trabajar con periódico y sobre periódico, debido a su personalidad orgánica, a su fragilidad y ligereza, a que está lleno de elementos para tomar y transformar. Constituye, en sí, un material lleno de voces y de palabras sobre las cuales se superponen las propuestas creativas de los niños, jóvenes o adultos con los que se comparte esta técnica.

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Aprendamos a ver cine IV CARRERAS, PASTELES, TRASPIÉS Y MUCHACHAS EN TRAJE DE BAÑO Luis Ignacio de la Peña www.toutlecine.com

La comedia del cine mudo por lo general se recuerda por sus nombres más famosos: Charles Chaplin, Buster Keaton, Harold Lloyd, Laurel y Hardy. Sin embargo, las películas de pastelazos fueron las iniciadoras del cine cómico, y Mack Sennett, su pionero indiscutible. Mack Sennett (izquierda) y el actor Buster Keaton.

omo vimos en el artículo anterior,1 a principios de la década de 1910, D. W. Grifﬁth trabajaba en la Biograph. Lo mismo hacía otro personaje que hizo las veces de actor, cómico, bailarín e, incluso, ayudante de dirección del mismísimo D.W. Se llamaba Michael Sinnott, y se hizo famoso con el nombre de Mack Sennett. La comedia cinematográﬁca nació casi con el invento de los hermanos Lumière, si recordamos que a ellos se debe El regador regado. Sin embargo, a Sennett (nacido en Richmond, Canadá, en 1880) se debe el establecimiento de las for-

Luis Ignacio de la Peña, “Aprendamos a ver cine III. De nacimientos e intolerancias”, Correo del Maestro, año 14, núm. 167, abril de 2010, pp. 47-54.

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mas y convenciones primeras de la comedia en el cine. Hacia 1912 Sennett tiene tan clara su concepción, que con ayuda de Adam Kessel y Charles O. Barman, de la New York Motion Picture Company, fundó los estudios Keystone en Edendale, California. Sus instalaciones fueron los primeros estudios de filmación en edificios cerrados. Surgió así la llamada en inglés slapstick comedy, que podemos traducir literalmente como “comedia de bufonadas”, como género cinematográfico. Por decirlo de alguna manera, Sennet exploró y estableció los componentes de una retórica en un sentido muy burdo. ¿En qué consistía? En el fondo no era (y de hecho es) otra cosa que insertar y poner en marcha los ele-

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Fatty Arbunkle y Charles Chaplin.

mentos de una fórmula cuyo éxito ya estaba garantizado de antemano. Bastaba con reparar en unos pocos detalles. Desde luego, el primer impedimento, frente al humor escrito o el teatral, era la imposibilidad de recurrir a los chistes verbales. Pero eso no era nada si se consideraba el abanico de posibilidades que el nuevo medio ofrecía, entre las que destacaban la no existencia de los límites que marca un escenario, así que podían aprovecharse por igual espacios cerrados y abiertos y, en consecuencia, el crecimiento exponencial de los instrumentos que entraban en juego para crear un chiste, de una navaja de bolsillo o una pelota a una bicicleta o un ferrocarril. Cualquier situación, llevada al absurdo, servía de resorte para desencadenar una sucesión de desastres en los que nunca faltaban golpes, caídas, persecuciones, pastelazos, chapuzones y malentendidos a granel. Todo eso se aderezaba además con muchachas bonitas, de preferencia con ropa ligera (aunque, claro, no como las que se ven en nuestros días) y ya teníamos una comedia para acomodar en uno o dos rollos de película.

En sentido estricto, las comedias de Sennett no pretendían criticar ni poner en entredicho nada. Se limitaban a llevar las cosas al ridículo y al absurdo, sin sublimaciones ni detalles finos. Tenemos en ellas el mundo al revés que caracteriza a las situaciones cómicas, pero nada más. Hay humor mas no ironía. ¿Para qué meterse en honduras si basta con tener un señor en un restaurante que le pisa la falda a una señora gorda y la deja en paños menores, por lo que el marido de la gorda la emprende contra el distraído e involuntario ofensor, quien echa a correr y a su paso derriba a media docena de meseros que entran con sendas fuentes? ¿No es suficiente con que el distraído e involuntario ofensor en su huida pase por la cocina y aprovechando que hay una mesa con tartas de crema las lance a diestra y siniestra? ¿Para qué más que reportar el hecho a la jefatura de policía y ver la llegada de una cuadrilla de gendarmes torpes que se tropiezan con todo, pero no cejan en la persecución del distraído e involuntario ofensor (que por cierto lleva diez minutos corriendo y no se cansa), incluso cuando éste logra hacerse de un automóvil y sale disparado calle abajo, esquiva otros cuatro vehículos y tres tranvías y finalmente termina en un muelle desde el que cae al mar, seguido por otros cinco autos que ya venían tras él? Después de todo esto, lo único que falta es la palabra FIN. Los estudios Keystone se convirtieron en una fábrica en la que febrilmente se filmaba una comedia tras otra. Si bien las películas que producía o dirigía, a pesar de haber cimentado el género al que pertenecen, no son más que una sucesión interminable de desplantes y acercamientos al caos, lo que sí debe reconocérsele a Sennett es su impecable e infalible ojo para detectar talentos. En los estudios Keystone empezaron su carrera Mabel Normand (quien fue amante de Sennett), Harry Langdon, Ben Turpin, Chester Conklin,

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Aprendamos a VER CINE IV

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Las famosas Sennett Bathing Beauties posando en un automóvil.

De izquierda a derecha, Mabel Normand, Mack Sennett y F. Richard Jones.

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Ben Turpin y Charles Chaplin.

Laurel y Hardy (el gordo y el ﬂaco).

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Fatty Arbunkle y su entonces compañero, Buster Keaton. Además, creó equipos “especializados” como las Sennett Bathing Beauties (entre las que estuvieron Gloria Swanson y Carole Lombard) y los famosísimos Keyston Cops (los policías que siempre se veían envueltos en tumultuosas, desaforadas y anárquicas persecuciones). Una de sus producciones de 1914 se llamó Tillie´s punctured romance, para la que trajo de Nueva York e introdujo al cine a Marie Dressler, una mujer con un físico en verdad impresionante (no precisamente por su belleza), lo mismo que a un todavía no muy conocido actor inglés que ya había trabajado en varios cortos y respondía al nombre de Charles Chaplin. Incluso destacaron animales como Scrappe, un célebre perro blanco con una mancha negra en un ojo. Ya en la época hablada, Bing Crosby y W. C. Fields le deben el arranque de sus respectivas carreras. A pesar de todo, aunque sólo sea en términos cuantitativos, no hay que regatearle a Sennett el título que él mismo se concedió: “el rey de la comedia”. También habrá que lamentar la pérdida de buena parte del abultado conjunto de materiales producidos por él, pues muchos originales fueron destruidos por falta de espacio para almacenarlos. En 1915, cierto personaje recibió una herencia, lo que le dio pie para enfrascarse en la producción de películas que se convirtieron en una fuerte competencia para Sennett. Se trataba de Hal Roach (nacido en 1892 en Elmira, Nueva York), quien recurrió a su amigo Harold Lloyd para comenzar la serie de cortos con el personaje Lonesome Luke y una larguísima cadena de éxitos comerciales. A Roach se debe la serie del grupo infantil Our Gang (La Pandilla), pero su mayor y afortunado descubrimiento fue una pareja de comediantes ingleses: el Gordo y el Flaco, los inefables, inigualables e incomparables Laurel y Hardy, que empezaron su carrera desde el

Los famosos Keyston Cops.

cine mudo y la continuaron con la misma e incluso mayor fortuna en la época hablada. También pasaron por ahí Thelma Todd y Charley Chase. Los estudios de Roach recibieron el título de “Laugh-Factory to the World” (la fábrica mundial de risas). Sennett hizo varios movimientos y asociaciones con otras compañías, sufrió el embate de la caída de la Bolsa, en 1933 tuvo que declararse en bancarrota y ya no regresó a producir películas. Murió en 1960. Roach, en cambio, fue un hábil directivo que manejó con éxito sus negocios y solía llevarse muy bien con sus empleados, a los que daba suﬁciente espacio para desarrollar sus respectivos trabajos. Su actividad fue incesante y sin tregua, llegó incluso al campo de la televisión y alcanzó vivir hasta 1992. Murió dos meses antes de cumplir los 101 años de edad. Se dice que cuando Chaplin se separó de la compañía de Sennett no estaba nada conforme con las películas que ahí se manufacturaban, por lo que declaró que por su parte él haría comedias mucho mejores que las de los estudios Keystone. En verdad cumplió su palabra, y con creces. Aunque no haya dicho nada similar, lo mismo puede aﬁrmarse de Buster Keaton.

sentidos Y SIGNIFICADOS

Cómo se habla DEL TRABAJO Arrigo Coen Anitúa (†)

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Erg, en el sistema cegesimal (centímetro, gramo, segundo), es la “unidad de trabajo que corresponde al realizado por una dina cuyo punto de aplicación se desplaza un centímetro en la dirección de la fuerza”. Esta voz proviene del griego, como otras muchas en que el lexema erg da la idea de ‘esfuerzo’, ‘labor’, ‘trabajo’. Las academias de la lengua (la “Real” y sus correspondientes en los países de habla hispana), así como los puristas a porfía, quieren que en lugar de erg se diga ergio, como en vez de watt, vatio, y así sucesivamente con todas las unidades (amperio, hercio, henrio, etc.). Vista interior de un taller con cuatro hombres en las Ninguno de los ingenieros que yo conozco usa diferentes etapas del proceso metalúrgico. Grabado en esas formas académicas, y creo que son ellos, madera, 1556. los que emplean ese lenguaje, quienes dan la norma del mismo. Prescindir de la terminación sugerida por las academias ayuda a conservar la ﬁsonomía internacional de esas palabras. La familia de la raíz erg es muy numerosa: aparte de las palabras derivadas de energía (energético, enérgico, energizar, energúmeno), y de órgano (orgánico, organografía, organista, inorgánico, desorganizar, organoléptico) y las terminadas en -ergia (alergia, sinergia) o en -urgia (liturgia, metalurgia) o en -urgo (taumaturgo, demiurgo), hay muchas otras; cirugía, y cirujano, ergofobia, ‘temor a los efectos de estar activo’, antónimo de ergasiomanía, ‘compulsión a la actividad por sentimiento de culpa hacia la pereza’; ergástico, que se dice de los subproductos no vivos de la actividad protoplásmica; ergastoplasma, material citoplásmico basóﬁlo; ergástulo o ergástula, prisión con trabajos forzados; ergógeno, que elimina la fatiga (y como sinónimo de la acepción que solemos dar a energético, ‘que produce energía’), literalmente ‘generador de actividad’; ergómetro ‘medidor de trabajo’, muscular o de otro origen; ergoterapia, ‘curación por la 50

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Cómo se habla DEL TRABAJO

Cadena de trabajo en una fábrica.

actividad física y mental, por la ocupación’; ergona, sustancia que, ministrada en pequeñas dosis, estimula la ergasia o actividad orgánica; dícese ergódico del proceso en que toda secuencia o muestra suficientemente grande es, estadísticamente, igual a cualquiera otra y, por ende, representativa de todo el proceso mismo. También se dice ergódico de lo relativo a la posibilidad de que, en un proceso como el descrito, cualquier estado pueda recurrir. Ergonomía es una palabra que, al primer intento de hallar su procedencia, resulta engañosa, porque una síncopa la ha hecho perder uno de sus lexemas; originalmente fue ergoeconomía, por lo que el concepto cabal es ‘economía o ahorro del trabajo’. La supresión del elemento -eco- (en griego oíkos, ‘casa’) le da una fisonomía falaz, ya que nomía, solo, quiere decir ‘ley’, con lo que el etimólogo poco avisado propende a interpretar ergonomía, equivocadamente, como ‘ley del trabajo’ o ‘norma de la energía’. Por esta posibilidad de falsa traducción del vocablo hay quien prefiere el término biotecnología, que nombra a la “sección de la tecnología que trata de la aplicación de los conocimientos de biología y de ingeniería a la solución del recíproco ajuste entre el hombre y la máquina”; dicho de otra manera, es el estudio de las relaciones entre el hombre y su ámbito de trabajo, con especial referencia a factores anatómicos, fisiológicos y psicológicos. También se ha dicho de la ergonomía que es la “ingeniería humana”, giro no muy de recibo, por anfibológico. Debo prevenir contra una posible aberración: la de atribuir a la familia de érgon, ‘trabajo’, las voces derivadas del francés ergot, (‘cornezuelo’, o ‘espolón del centeno’), como ergotina, ergoticina, (ácido) ergótico. Ergotizar y ergotismo, por su parte, provienen del latín ergo, ‘por consiguiente’.

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problemas SIN NÚMERO

En orden ES MEJOR inventions-guide.com

Claudia Hernández García

La mente humana, como decía H. Simon, es un GPS, “general problems setting and solving” [identiﬁca y so-

luciona problemas generales], contrario a la opinión difundida de que el desarrollo de las aptitudes generales de la mente permite un mejor desarrollo de las competencias particulares o especializadas. Entre más poderosa sea la inteligencia general, más grande es su facultad para tratar problemas especiales. La comprensión de los elementos particulares necesita, así, la activación de la inteligencia general que opera y organiza la movilización de los conocimientos en conjunto en cada caso particular. El conocimiento, buscando su construcción en relación con el contexto, lo global, lo complejo, debe movilizar lo que el conociente sabe del mundo. […] La educación debe favorecer la aptitud natural de la mente para hacer y resolver preguntas esenciales y correlativamente estimular el empleo total de la inteligencia general. Este empleo máximo necesita el libre ejercicio de la facultad más expandida y más viva en la infancia y en la adolescencia: la curiosidad, la cual muy a menudo se extingue por la instrucción, cuando deberíamos, por el contrario, de estimularla o, si está dormida, de despertarla. En la misión de promover la inteligencia general de los individuos, la educación del futuro debe utilizar los conocimientos existentes, superar las antinomias provocadas por el progreso en los conocimientos especializados, a la vez que identiﬁcar la falsa racionalidad. EDGAR MORIN

Tomado de Los siete saberes necesarios para la educación del futuro, de Edgar Morin, Dower-UNESCO, México, 2001, p. 38. Edgar Morin (n. 1921) es un ﬁlósofo de origen francés que desarrolló una teoría sobre la complejidad del pensamiento. En ella, Morin sugiere que el conocimiento es un proceso tanto cerebral como biológico, espiritual, lógico, lingüístico, cultural, social e histórico. Aﬁrma que sólo podemos entender el mundo cuando lo vemos desde todas estas perspectivas.

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En orden ES MEJOR

Actividad En este número de Correo del Maestro les proponemos una actividad para alumnos de quinto de primaria en adelante. Les sugerimos que intenten resolver los retos en equipos de dos o tres personas y que luego compartan estrategias y soluciones con los demás equipos.

c) 1, 2, 3, 6, 8, 10, 5, 7, 9, 4 Una pista para las series b) y c): intenta escribiendo los nombres de los números y fíjate en las letras.

b) De la otra forma, se pueden escribir 9 números diferentes: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 y 33.

b) 5, 4, 10, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1

c) Sin repetir cifras, se pueden escribir 6 números de tres cifras: 123, 132, 213, 231, 312, y 321.

a) 1, 10, 2, 9, 3, 8, 4, 7, 5, 6

d) De la otra forma, se pueden escribir 27 números diferentes: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333.

1. En las siguientes series, los números están acomodados de acuerdo con un orden especíﬁco. ¿Podrías decir cuál es ese orden?

2. a) Sin repetir las cifras se pueden escribir 6 números de dos cifras: 12, 13, 21, 23, 31 y 32.

c) ¿Cuántos números de tres dígitos puedes escribir con estas mismas cifras sin repetirlas en un mismo número?

1. a) Los números se ordenaron de la siguiente manera: primero va el menor, luego el mayor, luego el segundo más chico, luego el segundo más grande, luego el tercero más chico, luego el tercer más grande, etcétera.

b) Y si consideras que las cifras sí se pueden repetir, ¿cuántos números serían?

b) Los números están acomodados en orden alfabético.

a) ¿Cuántos números de dos dígitos podrías escribir con estas cifras sin reptirlas; es decir, que en cada cifra aparezca una sola vez en el número?

c) Los números están acomodados de acuerdo con el número de letras que tiene su nombre. Los números que tienen nombres con el mismo número de letras se acomodaron del menor al mayor.

2. Ahora considera los números 1, 2 y 3.

Soluciones:

d) Y si consideras que las cifras sí se pueden repetir, ¿cuántos números serían?

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abriendo LIBROS

Escuelas catedrales y PSICOLOGÍA COGNITIVA Miguel Echenique Conti

Continuamos con la reseña de la colección Grandes Temas de Educación; ahora presentamos el título Psicología de la educación, de Jean-Noël Foulin y Serge Mouchon, y El trabajo escolar, de Nicolas Sembel.

Psicología de la educación1 La psicología de la educación podría ser concebida como un parte de la psicología cuyo objeto de estudio es el alumno, es decir, en un sentido amplio, un individuo involucrado en un proceso de educación. Una concepción alternativa considerará que la psicología de la educación puede reivindicar todo estudio que, de cerca o de lejos, trate estructuras y mecanismos psicológicos susceptibles de intervenir en una situación de educación. De este modo, sabiendo que la educación pone en juego las conductas psicológicas del individuo en su conjunto, la psicología de la educación se convierte en la encrucijada de todas las especialidades de la psicología contemporánea: desarrollo, cognición, personalidad, conductas sociales, etcétera.

Jean-Noël Foulin y Serge Mouchon, Psicología de la educación, Correo del Maestro y La Vasija, México, 2009, 156 pp. (Colección Grandes Temas de Educación).

Tomamos, para iniciar la reseña del libro Psicología de la educación, de la Colección Grandes Temas de Educación, la primera parte del Prólogo del mismo, porque consideramos que resume, en gran medida, el contenido de la obra y asigna, con claridad, el papel fundamental que tiene la Psicología de la educación en el proceso educativo y los factores y variables que en él intervienen. En un formato de poco menos 150 páginas, los autores presentan de una forma clara y concisa, pero de gran seriedad y solvencia, los aspectos fundamentales que desde el punto de vista psicológico intervienen en el aprendizaje. En la Introducción, en el texto se lee: La educación busca moldear el comportamiento, las actitudes, los conocimientos y los valores de los miembros de cierta sociedad. Lo hace en función de dos grandes categorías de consideraciones: los ﬁnes perseguidos y las capacidades de los individuos a quienes se dirige.

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Son varias las teorías existentes acerca de cómo se persiguen y cómo se consiguen los ﬁnes (objetivos) teniendo en cuenta las capacidades de los individuos a quienes se dirige, citadas en este libro. Destacan, entre varias: EL CONDUCTISMO (BEHAVIORISMO) El enfoque de esta teoría del aprendizaje, de indudable penetración en la educación de gran parte del mundo occidental, cuenta con entusiastas precursores a la vez de enconados detractores. Sin ubicarse en ninguno de estos grupos, los autores se sitúan, por un lado, reconociendo o mejor dicho atribuyendo al conductismo aportaciones importantes y, al mismo tiempo, asignándole limitaciones a su accionar y lo expresan así: Al excluir de su análisis los procesos mentales de los individuos… el conductismo no permite dar cuenta de los aprendizajes complejos, como la adquisición del lenguaje. Se prohíbe constituir una verdadera psicología de la habilidad para atenerse a una psicología del rendimiento.

EL ENFOQUE DE PIAGET En oposición al conductismo, tiene su centro en las actividades mentales del hombre y en la génesis de las mismas, convirtiéndose en una psicología del conocimiento. Los autores consideran a Piaget como el iniciador, el primer impulsor del modelo estructuralista. El enfoque piagetiano establece que las etapas o fases del desarrollo del conocimiento se construyen con base en la experiencia y recalca el lugar de la actividad como un factor determinante en el incremento de los conocimientos. LA TEORÍA DE VYGOTSKI Para Vygotski, el desarrollo de las funciones mentales superiores, la memoria, el lenguaje

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Portada del libro Psicología de la educación.

y la conciencia, sólo sería posible por la manipulación de los sitemas simbólicos: el lenguaje, la escritura, los números. En consecuencia, el aprendizaje de estos símbolos es lo que permite el desarrollo individual, a partir de la actividad también individual, pero bajo la tutela del adulto. El individuo progresa por apropiación de la cultura en las interacciones sociales. Los aprendizajes escolares fundamentales, así como su adquisición, ocupan un lugar importante en el contenido del libro: la comprensión lectora, la producción escrita y las adquisiciones numéricas. De cada uno de estos aprendizajes, hallamos información suﬁciente sobre las etapas y características del proceso de adquisición de los mismos, así como las diﬁcultades individuales y sociales que podemos encontrar en este proceso, es decir, el papel que desempeñan, en todo proceso de aprendizaje, las características individuales de cada educando así como su entorno familiar y social.

Abriendo LIBROS

El contenido de Psicología de la educación se expresa de manera accesible pero profunda y con información de gran utilidad para maestros, psicopedagogos, psicólogos, pedagogos y estudiantes de cualquiera de las áreas nombradas.

El trabajo escolar2 Es necesario, para evitar cualquier confusión, tomar la deﬁnición de trabajo escolar, del libro del mismo nombre, motivo de esta reseña: El trabajo escolar se deﬁne simplemente, en un primer tiempo, como el trabajo proporcionado por los alumnos, lo que excluye el trabajo de los docentes.

El trabajo escolar, al igual que los otros siete títulos que forman parte de la Colección Grandes Temas de Educación, está presentado de una manera sintética, pero no por ello superﬁcial, sino, por el contrario, profundamente documentada y con una larga y muy seleccionada bibliografía de apoyo y consulta. El objetivo de la obra que plantea el autor es: …lograr , progresivamente, extraer las principales características sociológicas del trabajo escolar, sus principales rasgos generales, es decir, sus principales invariantes estructurales, comunes a los diversos contextos escolares, juntando los múltiples tipos de trabajos escolares.

En coherencia con el objetivo citado, la obra presenta, en un ejercicio que tiene mucho de comparativo, los distintos tipos de trabajo escolar a través del tiempo, sus debilidades, sus fortalezas.

Nicolas Sembel, El trabajo escolar, Correo del Maestro y La Vasija, México, 2009, 158 pp. (Colección Grandes Temas de Educación).

EL TRABAJO ESCOLAR PRESCRITO Entre otros, encontramos menciones al tipo de trabajo escolar de los primeros tiempos del cristianismo, en las llamadas por nuestro autor, escuelas-catedrales y en las cuales “todo el trabajo de los alumnos se determina por los objetivos prescritos por la institución”. Ya en la Edad Media la determinación del trabajo por la institución se refuerza con el sistema de adquirir títulos y de pasar exámenes para “conquistar” (Durkheim) dichos títulos. En el Renacimiento, cuando el trabajo escolar se vuelve humanista, importa el renombre, la gloria y es cuando se inicia el periodo de los concursos y los premios, algo desconocido en el medioevo. Con la labor de los jesuitas, el trabajo escolar retoma con fuerza e intensidad su carácter de prescrito. EL TRABAJO ESCOLAR RACIONAL Teniendo como marco y soporte teórico los aportes de las investigaciones de Durkheim, Bourdieu y Passeron, el planteo que hace el autor sobre el trabajo escolar racional, se sintetiza así: “La pedagogía racional debe impulsar al que aprende a salir de sí mismo, entrar en contacto con la realidad que lo rodea”. Afirma Durkheim en su obra La educación moral: “Un trabajo escolar organizado pedagógicamente de manera racional es un trabajo moral”. EL TRABAJO ESCOLAR EFICAZ Desde un punto vista fuertemente crítico, el autor plantea que “la lucha contra el fracaso escolar justifica la polarización en la eficacia más que en el sentido del trabajo escolar o en la reducción de las desigualdades en el sistema educativo”. Dicho de otra manera, en aras del éxito y la eficacia del trabajo escolar, se dejan a un lado, es más, se combaten los planteos de Durkheim,

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entre otros sobre el trabajo escolar racional, es decir un trabajo moral. En el capítulo 4, “Un trabajo de clase media”, se hace un análisis del papel que desempeña en el trabajo escolar el origen social o de clase de los estudiantes. Dice Sembel: “El origen social contribuye a determinar el trabajo escolar a la vez por el sesgo de la cultura de la clase social de origen y durante el encuentro entre la cultura de la clase social de origen y la cultura de la escuela”. Es en ese sentido que, también en este capítulo y siguientes, se presentan distintas posiciones sobre un tema tan controversial, al mismo tiempo que se opina que el origen de clase no determina sólo el trabajo escolar, si no también los objetivos, el tipo de profesión, etc., reproduciéndose en la escuela las contradicciones e inequidades de la sociedad en su conjunto. Ya en la parte final del libro, encontramos una muy interesante clasificación del trabajo escolar: “El trabajo para la institución” y el “Trabajo para sí”. El trabajo para la institución está referido a “las prescripciones formuladas por la institución escolar, es decir, el trabajo pedido por los docentes, explícitamente y también implícitamente, en función de los programas escolares… Después este trabajo se orienta enteramente hacia el éxito escolar, éste definido también por los docentes a nivel de la clase y más generalmente por la institución para los exámenes, concursos, etcétera”.

Portada del libro El trabajo escolar.

A diferencia del trabajo para la institución, el “Trabajo para sí” varía mucho de un alumno a otro, de un lugar a otro y hasta de un momento a otro. Es decir, es un trabajo escolar que tiene en cuenta el sentir del alumno, lo que desea, lo que lo motiva, lo que le interesa. Se trata entonces, de encontrar la forma de conciliar ambos tipos de trabajo o como dice el autor: saber qué escuela puede acoger, reconocer y desarrollar el trabajo para sí.

Reseña de la colección Grandes temas de educación, que incluye los títulos: Psicología de la educación y El trabajo escolar. Correo del Maestro y La Vasija, México, 2009. Informes: Lada sin costo 01 800 713 4663 www.clublectores.com

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maestros EN RED

Agradecimiento Les escribo para agradecer todas las estrategias presentadas en la serie “Los niños y los números”. No soy maestra, pero tengo 2 niños en casa. El menor de 6 años aprovechó todo y jugamos bastante todo el año pasado a tal punto que le gusta jugar con los números: sumar, restar y hasta duplicar o triplicar en lugar de leer un cuento. Su profesora lo caliﬁcó como sobresaliente en lógico matemáticas (así se llama el curso en Perú). Seguí las estrategias presentadas en la serie, fui comprobando los logros y avanzaba a la siguiente etapa. Muy bueno y simple de seguir. Ojalá puedan incluir estrategias a seguir con niños mayores. Mi hija mayor no tiene agilidad para los cálculos mentales. Plantea bien los problemas, pero resuelve mal, se demora al sumar o restar o se equivoca. Si pueden preparar algunos artículos o recomendar alguna terapia les agradeceré mucho. Éxitos.

Estimada Johanna Sullca: Agradecemos mucho su correspondencia y el interés por nuestra publicación. Le recordamos que la serie “Los niños y los números” se puede consultar en la página de internet www.correodelmaestro.com y en las siguientes revistas: “Los niños y los números. Cómo podemos ayudar”, Virginia Ferrari, Correo del Maestro, núm. 143, año 12, abril de 2008.

“Los niños y los números II. Inicios del conteo”, Virginia Ferrari, Correo del Maestro, núm. 145, año 13, junio de 2008.

JOHANNA SULLCA LIMA, PERÚ

invitamos a maestros, alumnos, investigadores y público en general a visitar nuestra página en internet:

www.correodelmaestro.com y

participar en este espacio creado para el

“Los niños y los números IV. ¡Sí a los dedos!”, Virginia Ferrari, Correo del Maestro, núm. 149, año 13, octubre de 2008.

“Los niños y los números V. Sigamos con los dedos”, Virginia Ferrari, Correo del Maestro, núm. 151, año 13, diciembre de 2008.

intercambio de ideas,

conocimientos e inquietudes de los docentes y su quehacer cotidiano.

“Los niños y los números III. Hacia la noción de cantidad”, Virginia Ferrari, Correo del Maestro, núm. 147, año 13, agosto de 2008.

“Los niños y los números VI. El aprendizaje de las cifras”, Virginia Ferrari, Correo del Maestro, núm. 153, año 13, febrero de 2009.

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Entre NOSOTROS

Índice ANUAL de CORREO del MAESTRO, año 14 TÍTULO Ecoideas IV. Hortalizas escolares ecológicas: cómo producir nuestros alimentos ¿Dónde estoy? Pregúntale al sol

AUTOR Holger Hieronimi

NO. DE REVISTA

FECHA

157

junio 2009

157

junio 2009

Tamara Ortiz-Ávila Morisset, García-Rojas, Jamet y Farah

Jung o el espíritu del tiempo

Jania Salazar Flores

157

junio 2009

Las esferas de la acción ciudadana. Primera parte

José L. Espíndola Castro

157

junio 2009

De la radio al rave: las músicas electrónicas. Segunda parte

Rubén Heredia Vázquez

157

junio 2009

¡Danzón, digo, artículo dedicado… a los señores cronistas deportivos! (y amigos que los acompañan)

Arrigo Coen Anitúa (†)

157

junio 2009

De poemas a letras, pasando por vasos de agua

Claudia Hernández García

157

junio 2009

Mujeres insurgentes, de Raquel Huerta-Nava

Martha Leñero Llaca

157

junio 2009

Condiciones de ﬂotación

Héctor Peláez Pérez

158

julio 2009

Sobre los conceptos de trabajo y potencia

Héctor Domínguez Álvarez

158

julio 2009

Y tú, ¿cómo duermes?

Ma. Cristina Heine Moya

158

julio 2009

Las esferas de la acción ciudadana. Segunda parte

José L. Espíndola Castro

158

julio 2009

158

julio 2009

Laurence Quentin

Sayana

Catherine Reisser

Ese feo “gaseoducto”… De fantasmas y duques

Arrigo Coen Anitúa (†)

158

julio 2009

Tres mentiras para rebatir

Claudia Hernández García

158

julio 2009

Mochila, de Laurence Quentin y Catherine Reisser Primera parte

Nora Brie

158

julio 2009

158

julio 2009

Antonio Núñez Cáceres

La coneja Luna

CORREO del MAESTRO

Ma. del Mar Luque Casaucao

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TÍTULO Ecoideas V. ¿Alcanzará el agua para todos? Actuemos desde la escuela.

AUTOR Tamara Ortiz-Ávila

NO. DE REVISTA

FECHA

159

agosto 2009

159

agosto 2009

Francisco Mora José L. Ayala Hernández Silvia Demesa Udave

El sabor de la comida solar

M. Aitzane Delgado Y. Saúl Tapia Salinas J. Antonio del Río Portilla

EGE. Enseñanza Guiada por la Evaluación Una propuesta de formación docente en la numerización temprana

Virginia Ferrari

159

agosto 2009

Técnicas de motivación a la lectura y escritura I Para romper el mito de “a mí no me gusta leer”

Carmen Gamiño

159

agosto 2009

Periplo, ‘viaje redondo’. Un periplo lingüístico

Arrigo Coen Anitúa (†)

159

agosto 2009

Los nombres de los elementos. Primera parte

Luis Ignacio de la Peña

159

agosto 2009

No te dejes engañar

Claudia Hernández García

159

agosto 2009

Mochila, de Laurence Quentin y Catherine Reisser Segunda parte

Nora Brie

159

agosto 2009

Darwin en la escuela a través de sus diarios de la naturaleza

Alejandra Alvarado Zink

160

septiembre 2009

Los escarabajos y Charles Darwin

Gabriela Jiménez Casas

160

septiembre 2009

160

septiembre 2009

Las obras de Charles Darwin

Raúl Valadez Azúa Ma. del Rocío Téllez Estrada

El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje. Primera parte

Marja van den Heuvel-Panhuizen

160

septiembre 2009

José Pomar: una labor musical desde la exclusión

Olga Blanca Picún Fuentes

160

septiembre 2009

Las nueve musas, primero, fueron sólo tres

Arrigo Coen Anitúa (†)

160

septiembre 2009

Cuestión de tiempo

Claudia Hernández García

160

septiembre 2009

Las Musas de Darwin, de José Sarukhán

Patricia Aguilera Jiménez

160

septiembre 2009

CORREO del MAESTRO

núm. 168 mayo 2010

AUTOR

NO. DE REVISTA

FECHA

Física en el billar

J. Manuel Posada de la Concha

161

octubre 2009

Enfermedades inesperadas: A H1N1

Irene Romero Nájera

161

octubre 2009

Marja van den Heuvel-Panhuizen

161

octubre 2009

161

octubre 2009

Carmen Gamiño

161

octubre 2009

Arrigo Coen Anitúa (†)

161

octubre 2009

Los nombres de los elementos. Segunda parte

Luis Ignacio de la Peña

161

octubre 2009

Caminos de números

Claudia Hernández García

161

octubre 2009

Anna Pi i Murugó

161

octubre 2009

Alicia Esther Pereyra

162

noviembre 2009

162

noviembre 2009

Valentina Cantón Arjona

162

noviembre 2009

Carmen Gamiño

162

noviembre 2009

Arrigo Coen Anitúa (†)

162

noviembre 2009

Claudia Hernández García

162

noviembre 2009

Martín López Brie

162

noviembre 2009

TÍTULO

El uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista: ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje. Segunda parte Notas para una aproximación a la educación patrimonial como creadora de identidad y promotora de la calidad educativa Técnicas de motivación a la lectura y escritura II Jugando al como, al parece, al si yo… A propósito del 12 de octubre… Antecedentes del nombre carabela

Valentina Cantón Arjona Orlando José González S.

Colección “Materiales para apoyar la práctica educativa”, del INEE

Para que el universo deje de tener agujeros negros y vuelva a ser hermoso como antes

Ana Bressan

Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad

Silvia Merlo de Rivas Nora Scheuer

Historia de la lectura en México. Hacia la formación de lectores autónomos Primera parte Técnicas de motivación a la lectura y escritura III Acrósticos con retrato Pasando por el facticio pantimedias… desde las calzas hasta las galochas Mosaico de secuencias Bullying en México, conducta violenta en niños y adolescentes, de Paloma Cobo y Romeo Tello

CORREO del MAESTRO

núm. 168 mayo 2010

NO. DE REVISTA

FECHA

163

diciembre 2009

Amílcar Saavedra Rosas

163

diciembre 2009

José Luis Espíndola Castro

163

diciembre 2009

Valentina Cantón Arjona

163

diciembre 2009

Carmen Gamiño

163

diciembre 2009

Arrigo Coen Anitúa (†)

163

diciembre 2009

Los nombres de los elementos. Tercera parte

Luis Ignacio de la Peña

163

diciembre 2009

Cada uno con su cada cual

Claudia Hernández García

163

diciembre 2009

Sara Giambruno

163

diciembre 2009

Espejos sojepsE

J. Manuel Posada de la Concha

164

enero 2010

El mundo del reciclaje en seis y ocho patas

Daniela Flores García

164

enero 2010

164

enero 2010

José Luis Espíndola Castro

164

enero 2010

Carmen Gamiño

164

enero 2010

Luis Ignacio de la Peña

164

enero 2010

Arrigo Coen Anitúa (†)

164

enero 2010

Claudia Hernández García

164

enero 2010

Celeste Flores

164

enero 2010

Maestros en red

164

enero 2010

TÍTULO

AUTOR

Estudio exploratorio para el uso de las TIC

Adolfo Obaya

en estudiantes de Secundaria

Rubén G. Ponce

La biblioteca escolar como centro de aprendizaje ¿Qué son las competencias? Primera parte Historia de la lectura en México. Hacia la formación de lectores autónomos Segunda parte Técnicas de motivación a la lectura y escritura IV Historias que vuelan Antecedentes de la aviación. La aeronáutica y la aerostación

Corazón de tinta, Sangre de tinta y Muerte de tinta, de Cornelia Funke

Rosalía Guerrero Arenas

La biotecnología en la producción animal I ¿Qué son las competencias? Segunda parte Técnicas de motivación a la lectura y escritura V

José de Lucas Tron Arturo de Lucas Arbiza

Personajes que hablan Aprendamos a ver cine I No todo es malo en lo oscurito Si no caen en domingo, los “Santos Reyes” no son el 6 de enero Tres para contar y un pilón Antimanual para lectores y promotores del libro y la lectura, de Juan Domingo Argüelles Cartas a la redacción

CORREO del MAESTRO

núm. 168 mayo 2010

NO. DE REVISTA

FECHA

165

febrero 2010

165

febrero 2010

165

febrero 2010

Carmen Gamiño

165

febrero 2010

Arrigo Coen Anitúa (†)

165

febrero 2010

Los nombres de los elementos. Cuarta parte

Luis Ignacio de la Peña

165

febrero 2010

Divide la forma

Claudia Hernández García

165

febrero 2010

Anna Pi i Murugó

165

febrero 2010

Sofía Beatriz López

166

marzo 2010

Sara Giambruno

166

marzo 2010

166

marzo 2010

María Jesús Arbiza

166

marzo 2010

Carmen Gamiño

166

marzo 2010

Luis Ignacio de la Peña

166

marzo 2010

Arrigo Coen Anitúa (†)

166

marzo 2010

Claudia Hernández García

166

marzo 2010

Miguel Echenique Conti

166

marzo 2010

TÍTULO

AUTOR

Educación artística teatral para niños con déﬁcit de atención y/o hiperactividad

Sofía Beatriz López

Primera parte La biotecnología en la producción animal II ¡Viva la discapacidad!

José de Lucas Tron Arturo de Lucas Arbiza Ismael Vidales Delgado M. Daría Elizondo Garza

Técnicas de motivación a la lectura y escritura VI Cuentos breves Demasiadas conjeturas. Una etimología misteriosa

Recursos en internet para maestros, alumnos y toda la comunidad escolar

Educación artística teatral para niños con déﬁcit de atención y/o hiperactividad Segunda parte ¿Cuántos televisores hay en tu escuela?

Rosalía Guerrero Arenas

Los monstruos marinos que nunca vimos Cultura cientíﬁca Técnicas de motivación a la lectura y escritura VII

Eduardo Jiménez Hidalgo

Escritura grupal Aprendamos a ver cine II De cómo la magia se instaló en el cine Los nombres de algunos instrumentos afroamericanos Hazlos coincidir Filosofía de la educación y Prácticas y lógicas en pedagogía, de Franc Morandi

CORREO del MAESTRO

núm. 168 mayo 2010

NO. DE REVISTA

FECHA

167

abril 2010

J. Manuel Posada de la Concha

167

abril 2010

Santos Arbiza Aguirre

167

abril 2010

Irene Romero Nájera

167

abril 2010

Rosa Ma. Patiño Cabrera

167

abril 2010

Carmen Gamiño

167

abril 2010

Luis Ignacio de la Peña

167

abril 2010

Geometría y lingüística

Arrigo Coen Anitúa (†)

167

abril 2010

Un camino que pase por todos

Claudia Hernández García

167

abril 2010

Educación sin tabúes

Miguel Echenique Conti

167

abril 2010

El proceso de matematización progresiva en el

Ana Bressan María Fernanda Gallego

168

mayo 2010

Santos Arbiza Aguirre

168

mayo 2010

Carlos R. Rodríguez de Alba

168

mayo 2010

Carmen Gamiño

168

mayo 2010

Luis Ignacio de la Peña

168

mayo 2010

168

mayo 2010

TÍTULO La biblioteca y su acervo.

AUTOR Nora Brie

Una experiencia en la escuela La Tierra se puede comer a cucharadas La ﬂora americana. Las plantas americanas que alimentan el mundo. Primera parte Servicios ecosistémicos Currículum de resistencia, una respuesta a la marginalidad Técnicas de motivación a la lectura y escritura VIII Libros como espejos Aprendamos a ver cine III De nacimientos e intolerancias

tratamiento de patrones. Primera parte La ﬂora americana. Las plantas americanas que alimentan el mundo. Segunda parte Teoría del aprendizaje signiﬁcativo de Ausubel. Primera parte Técnicas de motivación a la lectura y escritura IX Con periódico y sobre periódico Aprendamos a ver cine IV Carreras, pasteles, traspiés y muchachas en traje de baño Cómo se habla del trabajo

Arrigo Coen Anitúa (†)

En orden es mejor

Claudia Hernández García

168

mayo 2010

Escuelas catedrales y psicología cognitiva

Miguel Echenique Conti

168

mayo 2010

Agradecimiento

Maestros en red

168

mayo 2010

168

mayo 2010

Índice anual de Correo del Maestro, año 14

CORREO del MAESTRO

núm. 168 mayo 2010

Correo del Maestro Núm. 168 - Mayo de 2010

Articles inside

Cómo se habla del trabajo

En orden es mejor

Escuelas catedrales y psicología cognitiva

Agradecimiento

Teoría del aprendizaje signifi cativo de Ausubel

Técnicas de motivación a la lectura y escritura IX

Aprendamos a ver cine IV