Sinus 2P (2021) utdrag nyn by Cappelen Damm

Osnes | Gustafsson | Pedersen Svorstøl | Oldervoll

Sinus 2P MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE FELLESFAG VG2 NYNORSK

00_Sinus 2P-2021_tittelsider.indd 1

10/08/21 1:01 PM

Foto og grafikk: Bilda er fargemanipulerte. Omslagsfoto: Unsplash/Adam Birkett Kapittel 1: AdobeStock/phpetrunina14 Kapittel 2: GettyImages/BrilliantEye Kapittel 3: AdobeStock/Andrey Popov Kapittel 4: AdobeStock/Andrey Popov Kapittel 5: AdobeStock/Sasho Bogoev Kapittel 6: Unsplash/Joel Filipe Oppgåvedel: AdobeStock/araho Side 8: GettyImages/nadia_bormotova (manipulert), side 13: GettyImages/Jenny On The Moon, side 18: GettyImages/baramee2553 (manipulert), side 19: GettyImages/PrettyVectors, side 23: GettyImages/ nadia_bormotova (manipulert), Side 28: GettyImages/smartboy10, side 31: AdobeStock/nito, side 66: GettyImages/herraez, side 108: AdobeStock/MicroOne, side 145: GettyImages/ThitareeSarmkasat, side 147: GettyImages/ayutaka, side 177: GettyImages/Quarter Studios, side 196: Kart, Statens kartverk. Nordeca AS, ¨løyvenummer 555819-2021, side 234: GettyImages/Nikolaev, side 259: DigitalVision Vectors/ET-ARTWORKS, side 262: OJOImages/Tom Merton, side 271: GettyImages/fizkes, side 289: iStock/Boarding1Now, side 296: GettyImages/jenyk, side 308: GettyImages/Alex Potemkin, side 315: Kart, Statens kartverk. Nordeca AS, løyvenummer 555819-2021, side 330: Otto Svorstøl © Cappelen Damm AS, Oslo 2021 Sinus 2P følger læreplan (LK20) i praktisk matematikk fellesfag 2P frå 2020, for vg2 studieførebuande utdanningsprogram. Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverkloven. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all framstilling av eksemplar og tilgjengeleggjering berre tillate så langt det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel. Dette er ei TROY®-innbunden bok. Ei TROY®-innbunden bok har forsterka omslag. Testar viser at denne innbindinga toler vesentleg hardare bruk over tid samanlikna med bøker utan denne forsterkinga. TROY® er eit registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS. Grafisk formgivar: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Sigurd Torp Nordby Sats: HAVE A BOOK, Polen 2021 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2021 Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Utgåve nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-69636-8 www.cdu.no sinus.cdu.no

00_Sinus 2P-2021_tittelsider.indd 2

10/08/21 1:01 PM

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen, utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus 2P er skriven for fellesfaget matematikk 2P som blir tilbode ved studieførebuande utdanningsprogram. Boka legg vekt på praktisk og relevant matematikk. Elevane får god trening i å løyse oppgåver både med og utan bruk av digitale hjelpemiddel. Sinus 2P gir opplæring i bruk av programma Excel og GeoGebra og programmeringsspråket Python. Boka legg spesielt vekt på utforskande matematikk. Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane sjølv skal finne fram til eigenskapar, samanhengar og reglar innanfor temaet. Teorien er likevel skriven slik at han er mogleg å lese utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er kanskje best eigna som gruppearbeid, men dei kan også bli gjorde individuelt. I teoridelen er det mange diskusjonsoppgåver der elevane får trening i å kommunisere idear og å drøfte matematiske problem, strategiar og løysingar. Desse oppgåvene er fine å jobbe med både i elevgrupper og som utgangspunkt for klassediskusjonar. Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. Der finn vi også ei prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet frå kapittelet også innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver blir elevane introduserte for nye måtar å løyse problem på innanfor det aktuelle temaet. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon. Bak i boka er det ein oppgåvedel der oppgåvestoffet er delt i tre delar. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva oppgåver eleven kan løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som er meir samansette enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Til verket høyrer også www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mykje tilleggsstoff. Alle Python-programma som blir brukte i boka, enten i eksempel eller i oppgåver, ligg tilgjengelege og kan bli køyrde direkte på nettstaden. Dette skal gjere terskelen lågare for å komme i gang med programmering både for elevar og lærarar. I tillegg inneheld nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter kapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle. I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Egil Reidar Osnes – Einar Gustafsson – Terje Andreas Pedersen Otto Svorstøl – Tore Oldervoll

3 00_Sinus 2P-2021_tittelsider.indd 3

10/08/21 1:01 PM

Innhald 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Prosent .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosentrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentpoeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiell vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiell regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Mordgåta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 12 14 21 24 29 30 32

Likningar og ulikskapar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Likningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Løyse likningar ved rekning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uoppstilte likningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk løysing av likningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ulikskapar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Babylonske likningar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 40 46 49 56 62 65 66 68

Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Prisindeksar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konsumprisindeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kroneverdi og reallønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruttolønn og nettolønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kredittkort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Økonomiske val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Økonomisk knipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 78 84 87 94 97

100 103 107 108 110

Statistikk – analyse og presentasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Lese tabellar og diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lage søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lage sektordiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lage linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forsterke informasjon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lage histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Spørjeundersøking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113 117 123 126 132 136 143 144 146

00_Sinus 2P-2021_tittelsider.indd 4

10/08/21 1:01 PM

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Sentralmål og spreiingsmål .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Gjennomsnitt og typetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Median i frekvenstabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variasjonsbreidde og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vurdering av sentralmål og spreiingsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sentralmål i gruppert materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Redd verda med statistikk! .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149 153 156

161 167 171 175 176 178

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Vinklar i formlike figurar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lengder i formlike figurar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pytagorassetninga .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prisme og sylinder .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Flaggstong .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

Oppgåver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Prosent .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Likningar og ulikskapar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Statistikk – analyse og presentasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sentralmål og spreiingsmål .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

186 192 196 200 204 210 212 213 214

217 235 250 272 290 310

Fasit teoridel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Fasit oppgåvedel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

5 00_Sinus 2P-2021_tittelsider.indd 5

10/08/21 1:01 PM

PROSENT Mål for opplæringa er at elevane skal kunne • forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 6

10/08/21 1:54 PM

UTFORSK PROSENT Prosent betyr hundredel. Det betyr at 1 % er det same som éin hundredel av noko. Vi finn 1 % av eit tal ved å dele talet på 100. STEG 1

Vi kan bruke vegen om 1 når vi vil finne p % av noko. a) Finn 1 % av 350 kr. Bruk det til å finne 4 % av 350 kr. b) Kvifor har vi kalla metoden vegen om 1? c) Formuler med eigne ord korleis du kan gå vegen om 1 for å finne kor mykje ein bestemt prosent utgjer av eit tal. Kva er styrkane og svakheitene til metoden? STEG 2

I steg 1 gjekk du vegen om 1 % for å finne 4 %. No skal vi bruke nokre andre metodar. a) Kva må vi dele med for å finne 50 % av noko? Finn 50 % av 400 kr. 400 kr 50 %

b) Kva må vi dele med for å finne 25 % av noko? Finn 25 % av 600 kr. 600 kr 25 %

c) Kva må vi dele med for å finne 10 % av noko? Finn 10 % av 250 kr. 250 kr

10 %

d) Finn 20 % av 250 kr. Beskriv korleis du går fram. STEG 3

a) Bruk metodane i steg 2 til å finne 50 %, 25 % og 10 % av 320 kr. b) Bruk svara frå oppgåve a til å finne 75 % og 15 % av 320 kr. STEG 4

Finn 1 %, 7 % og 14 % av 800 kr utan hjelpemiddel. Forklar korleis du går fram.

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 7

10/08/21 1:54 PM

1.1 Prosentrekning I Utforsk prosent gjorde vi prosentrekning i hovudet. Viss vi skal finne 36 % av 3280 med hjelpemiddel, kan vi rekne slik: 36 % av 3280 =

36 ⋅ 3280 = 1180, 8 100

Slike utrekningar kan vi gjere på lommereknaren eller i CAS:

Vi finn prosentdelen av eit tal ved å rekne ut p % av talet =

p ⋅ hele talet 100

DISKUTER

Are og Bente skal rekne ut 13 % av 6430 kr.

0,13 · 6430 kr = 835,90 kr

Are gjer det slik: Bente reknar slik:

6430 kr · 13 = 835,90 kr 100

Har dei funne rett svar? Kva metode liker du best?

E EKSEMPEL

LØ Y S I N G

Rekn ut. a) 23 % av 432 kr

b) 1,9 % av 3995 kr

a) Vi reknar slik:

23 % av 432 kr =

23 ⋅ 432 kr = 99, 36 kr 100

b) Vi reknar slik: 1,9 % av 3995 kr =

1, 9 ⋅ 3995 kr = 75, 91 kr 100

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 8

10/08/21 1:54 PM

OPPGÅVE 1.10

Rekn ut. a) 3 % av 1530 kr c) 103 % av 4250 kr

b) 22,4 % av 9582 kr d) 0,4 % av 1 000 000 kr

OPPGÅVE 1.11

a) Maya set 5500 kr i banken, og eit år får ho 2,25 % rente. Kor mange kroner får Maya i rente? b) Truls har 235 000 kr i studielån og betaler 1,579 % i rente per år. Kor mange kroner må Truls betale i rente dette året? OPPGÅVE 1.12

Viss du skal finne 7 % av 50, får du same svar om du reknar ut 50 % av 7. a) Bruk det du kan om prosent til å forklare kvifor dette blir rett. b) Rekn ut 7 % av 50 utan hjelpemiddel. c) Lag to rekneoppgåver som blir lettare å løyse ved å bruke ein slik metode. OPPGÅVE 1.13

Nedanfor ser du Python-koden til eit program. 1 2 3 4

prosent = 23 heile_talet = 432 prosentdelen = prosent/100 * heile_talet print(prosent, "% av", heile_talet, "er", round(prosentdelen, 2))

a) Forklar kva kvar linje i programmet gjer. b) Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.10. Nokre gonger skal vi finne prosenten. Da kan vi gjere om andelen til hundredelar. Dersom vi klarer å gjere det utan hjelpemiddel, er det ofte raskare. EKSEMPEL

LØ Y S I N G

Ein klasse med 30 elevar skulle velje elevrådsrepresentant. Valet stod mellom Naomi og Roger. 18 elevar stemte på Naomi, Roger fekk 9 stemmer og resten var blanke stemmer. a) Kor mange prosent av elevane stemte på Naomi? b) Kor mange prosent av elevane stemte på Roger? c) Kor mange prosent av elevane stemte blankt? a) Vi reknar ut kor stor del 18 utgjer av 30, ved å gjere om til hundredelar.

18 : 3 6 60 = = = 60 % 30 : 3 10 100

60 % av elevane stemte på Naomi. 1.1 Prosentrekning

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 9

10/08/21 1:54 PM

b) 9 er halvparten av 18, så andelen som stemte på Roger, må vere halvparten av andelen som stemte på Naomi. 30 % av elevane stemte på Roger. Vi kunne også rekna slik: 9 9:3 3 30 = = = = 30 % 30 30 : 3 10 100 c) Resten av elevane stemte blankt. Det utgjer

100 % - 60 % - 30 % = 10 %

10 % av elevane stemte blankt. Når vi har hjelpemiddel tilgjengeleg, kan vi rekne ut andelen og gonge med 100 % for å finne prosenten direkte. EKSEMPEL

LØ Y S I N G

Jenny sette inn 3500 kr i aksjefond. Eitt år seinare hadde ho fått 123 kroner i utbytte. Kor mange prosent svarer dette til? Andelen er 123 ⋅100 % = 3, 51 % 3500 Utbyttet var 3,51 % av beløpet. Legg merke til at vi ikkje skriv inn prosentteiknet når vi gjer utrekninga med CAS eller kalkulator.

OPPGÅVE 1.14

Eit par langrennsski blir sette ned med 1200 kr under vårsalet. Før salet kosta skiene 4800 kr. Kor mange prosent er prisen på skiene sett ned med? OPPGÅVE 1.15

I ein kommune bur det 4000 innbyggarar. 500 personar er over 60 år, mens 5 er 30 år eller yngre. Kor mange prosent av innbyggarane er i aldersgruppene a) 30 år eller yngre b) over 60 år c) 31 til 60 år OPPGÅVE 1.16

Ta utgangspunkt i Python-programmet i oppgåve 1.13, og lag eit tilsvarande program som reknar ut andelen i prosent. Test programmet på oppgåve 1.14.

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 10

10/08/21 1:54 PM

Av og til veit vi både prosenten og prosentdelen. Da kan vi bruke det til å finne kva 100 % av talet (heile talet) er. EKSEMPEL

LØ Y S I N G

a) I eit skuleval stemmer 87 % av elevane. Det svarer til 522 elevar. Kor mange elevar går på skulen? b) Ein mobiltelefon har 15 % straum igjen, og telefonen anslår det til 1 t og 48 min attståande batteritid. Kor lang batteritid har telefonen med denne bruken når han er fulladd? a) 522 elevar er 87 % av alle elevane. Vi finn da antalet elevar ved å gå vegen om 1 %. 522 ⋅100 = 600 87 Skulen har 600 elevar. b) Først gjer vi 48 min om til timar. Det er

48 = 0,8 timar. 1 time og 48 min er 60

1,8 timar. Det er da 15 % av det heile. Da finn vi batteritida ved å gå vegen om 1 %. 1, 8 ⋅100 = 12 15 Telefonen har 12 timars batteritid.

OPPGÅVE 1.17

a) På ein prøve blir det kravt 25 % rett for å bestå. 25 % svarer til 15 poeng. Kor mange poeng er det mogleg å oppnå på denne prøven? b) I klassen er 38,7 % av elevane gutar. Dette svarer til 12 elevar. Kor mange elevar er det i klassen? OPPGÅVE 1.18

I ei bedrift er sjukefråværet ein tilfeldig dag 8 %. Det svarer til 10 personar. Kor mange personar arbeider i denne bedrifta? OPPGÅVE 1.19

a) Teodor har deltidsjobb og tener 143 kr i timen. Dette er 81,7 % av lønna til Paula. Kva er timelønna til Paula? b) Teodor jobbar 7 timar og 30 minutt i veka. Det svarer til 20 % av full stilling. Kor mange timar er det i ei full arbeidsveke?

1.1 Prosentrekning

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 11

10/08/21 1:54 PM

1.2 Prosentpoeng DISKUTER

På ein skule går det 1000 elevar. Ein dag er 8 % av elevane borte. Dagen etter er 10 % borte. Kor mange prosent auka fråværet med? Når oppslutninga om eit politisk parti aukar frå 6 % til 9 %, seier vi at oppslutninga har auka med 3 prosentpoeng. Auken i prosentpoeng er 9 − 6 = 3 Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng. Når oppslutninga aukar frå 6 % til 9 %, er ikkje auken på 3 %. Auken svarer til halvparten av oppslutninga, for 3 % er halvparten av 6 %. Halvparten er det same som 50 %. Auken er altså på 50 %. EKSEMPEL

LØ Y S I N G

For eit politisk parti minkar oppslutninga frå 12 % til 9 %. a) Kva er endringa i prosentpoeng? b) Kva er endringa i prosent? c) Eit anna parti aukar oppslutninga frå 20 % til 23 %. Kva er endringa i prosentpoeng, og kva er endringa i prosent? a) 12 - 9 = 3 Oppslutninga til partiet går ned med 3 prosentpoeng. b) Nedgangen er på 3 prosentpoeng. Det svarer til 3 1 = = 25 % 12 4 av den opphavlege oppslutninga på 12 %. Oppslutninga til partiet minkar med 25 %. c) Endringa i prosentpoeng er 23 - 20 = 3 Den opphavlege oppslutninga var 20 %. Da er endringa i prosent 3 = 0= ,15 15 % 20 Oppslutninga aukar med 3 prosentpoeng. Det svarer til ein prosentvis auke på 15 %.

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 12

10/08/21 1:54 PM

OPPGÅVE 1.20

I eit land blir styringsrenta sett opp frå 1 % til 1,25 %. a) Kva er endringa i prosentpoeng? b) Kva er endringa i prosent? OPPGÅVE 1.21

Emil fekk til 75 % av oppgåvene på den første matteprøven og 60 % av oppgåvene på den andre matteprøven. a) Kva var forskjellen i prosentpoeng? b) Det var 20 oppgåver på den første prøven og 25 oppgåver på den andre. Kor mange oppgåver fekk han til på kvar prøve? OPPGÅVE 1.22

Ved eit val i ein kommune stemmer 2000 veljarar. Partiet «Medvind» får 15 % oppslutning. Ved neste val får partiet like mange stemmer, men no har det totale antalet stemmer minka til 1800. a) Kor mange prosentpoeng har oppslutninga endra seg? b) Med kor mange prosent har oppslutninga endra seg? OPPGÅVE 1.23

Eit parti fekk 8 % oppslutning i ein kommune ved lokalvalet i 2019. a) I ei meiningsmåling i 2021 hadde partiet auka oppslutninga si med 25 %. Kor stor var auken i prosentpoeng? b) Kor mange prosentpoeng måtte oppslutninga ha auka med for at ho skulle ha auka med 75 %? OPPGÅVE 1.24

Nedanfor ser du eit Python-program. 1 2 3 4 5 6 7 8

startprosent = 5.7 sluttprosent = 8.2 prosentpoeng = sluttprosent - startprosent prosent = prosentpoeng/startprosent * 100 print("Endringa i prosentpoeng er:", round(prosentpoeng, 1)) print("Endringa i prosent er:", round(prosent, 1),"%")

a) Forklar kva programmet gjer, og korleis det verkar. b) Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.20.

1.2 Prosentpoeng

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 13

10/08/21 1:54 PM

1.3 Vekstfaktor

På eit treningssenter kostar eit abonnement 400 kr. Treningssenteret vil sette opp prisen på månadsabonnement med 20 %. Den opphavlege prisen svarer til 100 %. Den nye prisen er da 120 % av den opphavlege. Derfor kan vi rekne ut den nye prisen slik: 120 % av 400 kr =

120 av 400 kr = 1, 20 ⋅ 400 kr = 480 kr 100

Talet 1,20 kallar vi vekstfaktoren ved 20 % auke. Vi finn denne vekstfaktoren slik: 120 100 % + 20 % = 120 % = = 1, 20 100 eller slik: 1+

20 = 1 + 0, 20 = 1, 20 100

Vekstfaktoren ved p % auke er 1+

p 100

Treningssenteret selde i utgangspunktet 60 abonnement kvar månad. Da prisen auka, selde dei 10 % færre abonnement kvar månad. Det opphavlege salet svarer til 100 %. Det nye salet er dermed 90 % av det opphavlege. Vi kan derfor rekne ut det nye salet slik:

90 % av 60 =

90 ⋅ 60 = 0, 90 ⋅ 60 = 54 100

Talet 0,90 kallar vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang. Vi finn denne vekstfaktoren slik: 100 % − 10 % = 90 % =

90 = 0, 90 100

eller slik: 1−

10 = 1 − 0,10 = 0, 90 100

Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1-

p 100

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 14

10/08/21 1:54 PM

EKSEMPEL

LØ Y S I N G

a) Finn vekstfaktoren ved 50 % auke. b) Finn vekstfaktoren ved 7,5 % nedgang. a) Ein auke på 50 % gir

100 % + 50 % = 150 %

Vekstfaktoren er da

150 = 1, 50 100

Vi kan også rekne slik: 1+

50 = 1 + 0, 50 = 1, 50 100

b) Ein nedgang på 7,5 % gir

100 % - 7,5 % = 92,5 %

Vekstfaktoren er da

92, 5 = 0, 925 100

Vi kan også rekne slik: 1−

7, 5 = 1 − 0, 075 = 0, 925 100

OPPGÅVE 1.30

Finn vekstfaktoren når ein storleik aukar med a) 12 % b) 85 % c) 3 % d) 1,5 % e) 0,75 % f) 200 % OPPGÅVE 1.31

Finn vekstfaktoren når ein storleik minkar med a) 12 % b) 5,5 % c) 52 % d) 1,25 % e) 0,75 % f) 36,5 % DISKUTER

Kvifor er vekstfaktoren ved prosentvis auke alltid større enn 1? Kvifor er vekstfaktoren ved prosentvis nedgang eit tal mellom 0 og 1?

1.3 Vekstfak tor

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 15

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVE 1.32

Python-programmet nedanfor kan brukast til å finne vekstfaktoren ved prosentvis auke. 1 2 3 4 5 6

svar = input("Kva er endringa i prosent?") prosenten = float(svar) vekstfaktor = 1 + prosenten/100 print("Vekstfaktoren er", round(vekstfaktor, 3))

a) Forklar korleis programmet verkar. b) Korleis kan vi bruke programmet utan endringar til å finne vekstfaktoren ved prosentvis nedgang? Når vi kjenner vekstfaktoren, kan vi bruke han for å finne ut kor mange prosent ein storleik har auka eller minka. EKSEMPEL

LØ Y S I N G

a) Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er 1,15. b) Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er 0,72. a) Når vekstfaktoren er 1,15, betyr det at vi har ein auke, fordi vekstfaktoren er større enn 1. Talet har auka frå 100 % til 1,15 ⋅ 100 % = 115 % Dette svarer til ein auke på 115 % - 100 % = 15 % b) Når vekstfaktoren er 0,72, betyr det at vi har ein nedgang, fordi vekstfaktoren er mindre enn 1. Talet har gått ned frå 100 % til 0,72 ⋅ 100 % = 72 % Dette svarer til ein nedgang på 100 % - 72 % = 28 %

OPPGÅVE 1.33

Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er a) 1,25 b) 1,125 c) 0,75 d) 0,88 e) 1,0205 f) 0,985 g) 0,9275 h) 2,15 i) 0

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 16

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVE 1.34 1 2 3 4 5 6 7 8

vekstfaktor = 1.39 if vekstfaktor > 1: prosent = (vekstfaktor - 1) * 100 print("Det er ein auke på", round(prosent, 2), "%") else: prosent = (1 - vekstfaktor) * 100 print("Det er ein nedgang på", round(prosent, 2), "%")

a) Kva gjer Python-programmet ovanfor? Forklar kvar linje. b) Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.33. Når vi skal finne ein ny verdi etter ein prosentvis endring, gongar vi den opphavlege verdien med vekstfaktoren. Dette kan vi skrive som ein regel. ny verdi = opphavleg verdi ⋅ vekstfaktor EKSEMPEL

LØ Y S I N G

På ein kafé sel dei 220 kanelbollar kvar dag. Éin bolle kostar 30 kr. Det blir bestemt at prisen skal settast ned med 20 %. Dette fører til at salet går opp med 10 %. a) Finn den nye prisen for ein bolle. b) Finn kor mange bollar dei sel kvar dag etter prisendringa. a) Prisen blir sett ned med 20 %. Da blir vekstfaktoren 20 1− = 1 − 0, 20 = 0, 80 100 Den opphavlege prisen var 30 kr. Da blir den nye prisen 30 kr ⋅ 0,80 = 24 kr b) Salet aukar med 10 %. Da blir vekstfaktoren 10 1+ = 1 + 0,10 = 1,10 100 Det blei opphavleg selt 220 bollar kvar dag. Da blir det nye salet 220 ⋅ 1,10 = 242 DISKUTER

Ida løyste oppgåve a i eksempelet ovanfor slik:

Avslaget er 0,20 · 30 kr = 6 kr Ny pris er 30 kr — 6 kr = 24 kr Kva metode er raskast? Kva er forskjellen på dei to metodane? 1.3 Vekstfak tor

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 17

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVE 1.35

Eit busselskap sel reisekort som vist i tabellen nedanfor. Type kort

Dagskort

Vekekort

Månadskort

90,-

250,-

600,-

Pris

a) I veke 45 var det 20 % rabatt på alle reisekorta. Kva kosta kvart av korta da? I tabellen nedanfor ser du kor mange kort som blei selde i veke 44, og kor stor den prosentvise endringa var i veke 45. Type kort

Dagskort

Vekekort

Månadskort

500

420

750

−15 %

+20 %

+32 %

Antal selde veke 44 Endring veke 45

b) Kor mange kort blei det seld av kvar type i veke 45? Nokre gonger kjenner vi verdien før og etter ei prosentvis endring. Det kan vi bruke til å finne vekstfaktoren. Vi set opp formelen som ei likning: opphavleg verdi ⋅ vekstfaktor = ny verdi opphavleg verdi ⋅ vekstfaktor

ny verdi opphavleg verdi

vekstfaktor =

ny verdi opphavleg verdi

opphavleg verdi

Tilsvarande kan vi gå fram for å finne den opphavlege verdien. Da får vi denne formelen:

EKSEMPEL

ny verdi vekstfaktor

a) Lønna til Tomine gjekk opp frå 160 kr til 184 kr per time. Med kor mange prosent auka lønna hennar? b) Ei vare er sett ned med 35 %. Den nye prisen er 455 kr. Kva var prisen før han blei sett ned?

r kkr kkr r

opphavleg verdi =

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 18

10/08/21 1:55 PM

LØ Y S I N G

a) Den opphavlege timelønna var 160 kr, den nye 184 kr. Da er

vekstfaktor =

184 kr ny verdi = = 1,15 opphavleg verdi 160 kr

Vekstfaktoren er 1,15. Det betyr at den nye lønna da er 1,15 ⋅100 % = 115 % av den opphavlege. Auken er da på 115 % − 100 % = 15 % Lønna gjekk opp med 15 %. b) Vekstfaktoren ved 35 % nedgang er 1−

35 = 1 − 0, 35 = 0, 65 100

Den nye prisen er 455 kr. Da er

opphavleg verdi =

ny verdi 455 kr = = 700 kr vekstfaktor 0, 65

Vara kosta 700 kr før prisen blei sett ned.

OPPGÅVE 1.36

Prisen på ein spelkonsoll blir sett ned frå 5900 kr til 4500 kr. a) Finn vekstfaktoren. b) Kor mange prosent blei prisen sett ned med? OPPGÅVE 1.37

Katten Båtsmann vog 4,5 kg sommaren 2020. Da hadde vekta auka med 40 % sidan året før. a) Finn vekstfaktoren. b) Kva vog Båtsmann året før? OPPGÅVE 1.38

1. januar 2000 budde det 8000 personar i ein kommune. Frå 2000 til 2010 minka innbyggartalet med 5 %. a) Finn antalet innbyggarar i kommunen i 2010. I 2020 var innbyggartalet 7980. b) Med kor mange prosent steig innbyggartalet frå 2010 til 2020? c) Kva er den prosentvise endringa i innbyggartalet frå 2000 til 2020? 1.3 Vekstfak tor

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 19

10/08/21 1:55 PM

UTFORSK PROSENTVIS ENDRING I FLEIRE PERIODAR Ei vare kostar 100 kr. STEG 1

I butikk A aukar først prisen på vara med 10 %. Etter ei stund minkar prisen med 10 % igjen. a) Kostar vara meir, mindre eller like mykje etter dei to endringane? Kva trur du utan vidare? Gjer berekningar, og grunngi svaret. b) Kva blir endringa i prosent? Har prisen til vara noka betydning for dette? STEG 2

I butikk B minkar prisen på vara først med 10 %. Etter ei stund blir prisen sett opp med 10 % igjen. a) Kostar vara meir, mindre eller like mykje? Kva trur du utan vidare? Gjer berekningar og grunngi svaret. b) Kva blir endringa i prosent? Har prisen til vara noka betydning for dette? c) Samanlikn svara i oppgåve a og b med svara i steg 1. Kvifor blir det slik? STEG 3

I butikk C aukar først prisen på vara med 4 % og deretter med 6 %. a) Kva kostar vara etter den første auken? b) Kva kostar vara etter den andre auken? c) Kvifor blir ikkje auken 10 %? STEG 4

I butikk D aukar først prisen på vara med 6 % og deretter med 4 %. a) Kva kostar vara etter den første auken? b) Kva kostar vara etter den andre auken? c) Samanlikn svaret i oppgåve a med svaret i steg 3. Kvifor blir det slik? STEG 5

I butikk E aukar dei prisen på vara med 2 % fem gonger. a) Kva kostar vara etter den første auken? b) Kva kostar vara etter den kostane andre, tredje, fjerde og femte auken? c) Kva blir endringa totalt i prosent? Har prisen til vara noka betydning for dette? STEG 6

Kva konklusjonar kan vi trekke etter det vi har funne ut i steg 1–5? Korleis kan det å rekne med vekstfaktor hjelpe oss å finne eit mønster?

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 20

10/08/21 1:55 PM

1.4 Eksponentiell vekst I Utforsk prosentvis endring i fleire periodar rekna vi på prisen til ei vare som endra seg fleire gonger. Når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger, kallar vi det eksponentiell vekst. I ein kommune bur det 5000 innbyggarar. Kommunen antar at befolkninga vil auke med 2 % per år dei neste 10 åra. Vekstfaktoren er 100 % + 2 % = 102 % =

102 = 1, 02 100

Etter eitt år er antal innbyggarar 5000 ⋅1, 02 = 5100 I byrjinga av det andre året er det 5100 innbyggarar i kommunen. Ved slutten av det andre året har antal innbyggarar vakse til 5100 ⋅1, 02 = 5202 Ved slutten av det tredje året er antalet innbyggarar 5202 ⋅1, 02 ≈ 5306 Legg merke til at vi også kan rekne ut antalet innbyggarar etter to år slik: 5000 ⋅1, 02 ⋅1, 02 = 5000 ⋅1, 022 = 5202 På same måte kan vi finne antalet innbyggarar etter tre år slik: 5000 ⋅1, 023 ≈ 5306 Når vi skal finne antalet innbyggarar etter 10 år, er den siste metoden raskast. Da treng vi berre éi utrekning: 5000 ⋅1, 0210 ≈ 6095 Når ein storleik endrar seg med same prosent over fleire periodar, bruker vi denne regelen for å finne storleiken etter ei tid: For ein storleik som veks med ein fast prosent over fleire periodar, er verdien etter n periodar opphavleg verdi ⋅ (vekstfaktor)

Merk at vi også kan bruke denne regelen når ein storleik minkar med ein fast prosent.

1.4 Eksponentiell vekst

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 21

10/08/21 1:55 PM

EKSEMPEL

Mengda av verkestoffet til eit legemiddel i kroppen minkar med 7 % kvar time etter inntaket. Ein pasient får 50 mg av verkestoffet. Kor mykje av verkestoffet er igjen i kroppen etter 12 timar?

LØ Y S I N G

Her er den opphavlege verdien 50 mg. Vekstfaktoren ved 7 % nedgang er 100 % − 7 % = 93 % =

93 = 0, 93 100

Etter 12 periodar blir mengda verkestoff 50 ⋅ 0, 9312 = 20, 93 ≈ 21 Etter 12 timar er det omtrent 21 mg av verkestoffet igjen i kroppen.

OPPGÅVE 1.40

Mathea kjøper ein elektrisk sparkesykkel til 15 000 kr. Ho antar at verdien minkar med 20 % per år. a) Kor mykje kan Mathea rekne med å selje sykkelen for om 4 år? b) Kor mange prosent har da verdien til sykkelen minka? OPPGÅVE 1.41

Restauranten Bordets Gleder jobbar for å redusere matsvinnet. I desember 2019 kasta dei 800 kg mat. I 2020 klarte dei å redusere det gjennomsnittlege matsvinnet med 2 % per månad. a) Kva var matsvinnet i desember 2020? b) Kor mange prosent fall matsvinnet med totalt frå desember 2019 til desember 2020? OPPGÅVE 1.42

a) Ole er svømmer. Han trener 12 timar i veka og har ein plan om å auke treningsmengda med 10 % per år dei neste åra. Kor mange timar i uka trener Ole om 5 år viss han følger denne planen? b) Mia trener styrke. Ho tar 50 kg i benkpress og har som mål å auke vekta ho klarer å løfte med 5 % per månad i eit halvt år. Kor mykje tar Mia i benkpress om eit halvt år viss ho når målet sitt? c) Finst det nokon grenser for kor lenge auken i a og b kan fortsette? Kva må vi eventuelt vite for å bestemme det?

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 22

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVE 1.43

Ahmed kjøpte eit hus i 2015 for 2,1 millionar kroner. Verdien til huset steig med 5 % kvart år i tre år, før verdien minka med 2 % kvart år dei to åra etterpå. a) Kva var huset verdt i 2020? b) Kor mange prosent auka verdien av huset med frå 2015 til 2020? Vi kan også bruke formelen opphavleg verdi ⋅ (vekstfaktor)

når vi vil rekne bakover i tid. Da bruker vi negative verdiar for n. EKSEMPEL

LØ Y S I N G

Ei bedrift kuttar plastforbruket med 2 % kvart år i perioden frå 2015 til 2030. I 2020 var det årlege plastforbruket 4,6 tonn. a) Finn eit utrykk for plastforbruket n år etter 2020. b) Kva var plastforbruket i 2015? c) Kor mykje plast vil dei forbruke i 2030? a) Vekstfaktoren for 2 % nedgang er 0,98, og utgangsverdien i 2020 er 4,6 tonn. Da er plastforbruket i tonn n år etter 2020 gitt ved 4,6 ⋅ 0,98n b) 2015 er 5 år før 2020. Derfor set vi inn n = -5. 4,6 ⋅ 0,98-5 = 5,1 Plastforbruket i 2015 var 5,1 tonn. c) 2030 er 10 år etter 2020. Derfor set vi inn n = 10. 4,6 ⋅ 0,9810 = 3,8 Plastforbruket i 2030 er 3,8 tonn.

OPPGÅVE 1.44

Victor har 30 000 følgarar på SnikkSnakk. Dei siste åra har antalet følgarar auka med 50 % kvart år. a) Kor mange følgarar hadde Victor for to år sidan? b) Kor mange følgarar hadde han for fem år sidan? c) Viss utviklinga fortset, kor mange år går det før antalet følgarar er over éin million? 1.4 Eksponentiell vekst

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 23

10/08/21 1:55 PM

1.5 Eksponentiell regresjon Ein matematisk modell beskriv samanhengen mellom to storleikar. I førre delkapittel lærte vi at eksponentiell vekst er når ein storleik endrar seg med ein fast prosent i fleire periodar. Eksponentialfunksjonar følger ei slik utvikling. Ein eksponentialfunksjon er på forma f (x) = a ⋅ kx der a er funksjonsverdien når x = 0 og k er vekstfaktoren. Med digitale hjelpemiddel kan vi finne eksponentialfunksjonar som passar godt med eit datasett. Å finne funksjonar på denne måten kallar vi eksponentiell regresjon, og funksjonane vi finn, kallar vi eksponentielle modellar. EKSEMPEL

Det blir stadig fleire eldre i Noreg. Tabellen nedanfor viser antalet personar som var over 100 år i perioden 1990 til 2020. Her er x antal år etter 1990. Årstal

1990

1995

2000

2005

2010

2015

2020

x (år)

300

414

432

521

636

886

1119

y (antalet personar)

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best med dataa i tabellen. Teikn grafen i eit koordinatsystem. b) Kor mange prosent årleg auke var det i perioden 1990 til 2020 ifølge modellen? c) I 2012 var 736 personar over 100 år i Noreg. Korleis passar dette med modellen? d) Når vil det ifølge modellen vere meir enn 1500 personar over 100 år i Noreg? LØ Y S I N G

a) Vi opnar GeoGebra, trykker på øvst til høgre og får fram menyen. Her vel vi Vis og Rekneark. Vi legg inn tala i reknearket som vist her:

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 24

10/08/21 1:55 PM

Vi markerer tala i tabellen, trykker på knappen og vel Regresjonsanalyse. I nedtrekksmenyen under Regresjonsmodell vel vi Eksponentiell. Da får vi den eksponentialfunksjonen som passar best med tala. Vi rundar av verdiane. Funksjonen som passar best med tala i tabellen, er f (x ) = 300 ⋅1, 043x

Deretter overfører vi punkta og grafen til grafikkfeltet ved å trykke på symbolet og velje Kopier til grafikkfeltet. Vi tilpassar koordinatsystemet, set namn på aksane, endrar namnet på funksjonen til f og får fram denne grafen: y (antal personar) 1500

1000

500

x (år etter 1990)

b) Funksjonsuttrykket f (x) = 300 ⋅ 1,043x fortel at vekstfaktoren er 1,043. Det svarer til ein gjennomsnittleg auke lik 4,3 % per år. Antalet personar som er over 100 år, aukar med 4,3 % per år i denne perioden. c) Antalet personar som er 100 år eller eldre i 2012, finn vi ved å skrive f (22) i CAS.

I 2012 er det 753 personar over 100 år ifølge modellen. Modellen gir ein verdi som er litt høgare enn verkelegheita dette året. d) For å finne ut når det er meir enn 1500 personar over 100 år, skriv vi inn i CAS. likninga f (x) = 1500 og trykker på

1990 + 38,5 = 2028,5 Ifølge modellen vil det vere meir enn 1500 personar over 100 år i løpet av 2028 (omtrent 1. juli 2028).

1.5 Eksponentiell regresjon

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 25

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVE 1.50

Tabellen nedanfor viser folketalet y i millionar i Noreg. Her er x antal år etter 1.1.1900. Årstal

1900

1920

1940

1960

1980

2000

2010

2020

x (år)

100

110

120

2,22

2,62

2,96

3,57

4,08

4,48

4,86

5,36

y (millionar)

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best med tala i tabellen. b) Korleis passar modellen med folketala i tabellen? c) Med kor mange prosent auka folketalet per år ifølge denne modellen? d) Kva blir folketalet i 2050 ut frå denne modellen? OPPGÅVE 1.51

Tabellen viser folketalet y i millionar i verda frå 1900 og fram til 2020. Her er x antal år etter 1900. Årstal

1900

1950

2000

2020

x (år)

100

120

1650

2500

6070

7800

y (millionar)

a) Finn den eksponentialfunksjonen som passar best til tala. b) Kor mange prosent årleg auke var det i perioden ut frå dette? c) I 1975 var befolkninga i verda 4,068 milliardar. Korleis passar det med denne modellen? d) Ifølge ein prognose frå FN vil folketalet i 2050 vere 9,4 milliardar. Korleis passar modellen med den prognosen? OPPGÅVE 1.52

Tabellen nedanfor viser andelen nordmenn som brukte internett dagleg i åra 2000–2006. Årstal

2000

2002

2004

2006

x (år)

Andel

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best til tala. b) Kor mange prosent årleg auke var det i andelen internettbrukarar i denne perioden? c) Når brukte halvparten av befolkninga i Noreg internett på dagleg basis? d) I 2010 brukte 77 % av nordmenn internett dagleg. Korleis stemmer dette med modellen?

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 26

10/08/21 1:55 PM

I eksempelet på side 24 laga vi ein eksponentiell modell som beskreiv antal eldre i Noreg. Modellen gav ein fast prosentvis auke. Da er vekstfaktoren k større enn 1. Slike modellar veks kraftig når x blir stor. Når vekstfaktoren er eit desimaltal mellom 0 og 1, gir modellen ein fast prosentvis nedgang. EKSEMPEL

Radioaktive stoff sender ut radioaktiv stråling. Litt av det radioaktive stoffet blir samtidig omdanna til eit anna stoff. Vi har 100 g av eit radioaktivt stoff, og vi veit at 12 % av dette stoffet blir omdanna kvart år. a) Bruk opplysningane i oppgåva, og bestem ein eksponentiell modell som beskriv utviklinga av mengda radioaktivt stoff. b) Teikn grafen til eksponentialfunksjonen. Kva skjer med mengda etter lang tid?

LØ Y S I N G

a) Stoffmengda er i utgangpunktet 100 g og endrar seg med ein fast prosent. Vekstfaktoren ved 12 % nedgang er 1 - 0,12 = 0,88. Da kan vi beskrive stoffmengda M(x) når x er tida i år, med denne eksponentielle modellen: M(x) = 100 ⋅ 0,88x b) Vi bruker GeoGebra til å teikne grafen til M. Han ser slik ut: y (stoffmengde i gram) 100

x (år)

Vi ser at mengda nærmar seg 0 når x blir stor. Etter lang tid vil det ikkje vere noko radioaktivt stoff igjen.

1.5 Eksponentiell regresjon

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 27

10/08/21 1:55 PM

På førre side såg vi eit eksempel på ein eksponentialfunksjon på forma f (x) = a ⋅ k x der k er mellom 0 og 1. Vi ser at grafen til f nærmar seg x-aksen mot høgre. Når x blir stor, nærmar funksjonsverdien seg 0. Det gjeld alle slike eksponentialfunksjonar.

OPPGÅVE 1.53

Vi kan måle stråling frå eit radioaktivt materiale med ein geigerteljar. La T(x) vere talet geigerteljaren viser etter x minutt. Tabellen viser strålinga frå ein bariumisotop. x (min) T(x)

0,5

2,0

3,5

5,0

6,5

8,0

2897

2005

1321

992

625

425

a) Bruk regresjon til å vise at den eksponentialfunksjonen som passar best med tala frå tabellen, er

T(x) = 3322 ⋅ 0,775x

b) Kor mange prosent minkar strålinga med kvart minutt? c) Bruk modellen til å finne strålinga etter ti minutt. d) Kor lang tid går det før strålinga er halvert? OPPGÅVE 1.54

I 1950 var 8 % av alle nordmenn 67 år eller eldre. I perioden frå 1950 til 2020 har andelen i gjennomsnitt auka med 0,9 % per år. a) Vis at andelen i 2000 var 12,5 %. b) Lag ein modell som beskriv andelen personar som er 67 år eller eldre x år etter 2000. c) I 2020 var andelen 15 %. Korleis passar det med modellen? d) Statistisk sentralbyrå (SSB) anslår at andelen i 2050 vil vere 24 %. Korleis passar det med modellen?

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 28

10/08/21 1:55 PM

SAMANDRAG Prosentrekning p % av tallet =

p ⋅ hele tallet 100

Prosentpoeng Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng. Vekstfaktor Vekstfaktoren ved p % auke er 1+

p 100

Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1-

p 100

Prosentvis endring Når vi kjenner vekstfaktoren, kan vi bruke han for å finne ut om ei mengde har auka eller minka. Skal vi finne ny verdi etter ei prosentvis endring, reknar vi slik ny verdi = opphavleg verdi ⋅ vekstfaktor Når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger, kallar vi det eksponentiell vekst. For ein storleik som veks med ein fast prosent over fleire periodar, er verdien etter n periodar opphavleg verdi ⋅ (vekstfaktor)

Eksponentielle modellar Ein eksponentialfunksjon er på forma f (x) = a ⋅ k x der a er verdien når x = 0 og k er vekstfaktoren. Vi kan bruke regresjon til å finne funksjonar som passar godt med eit datasett. Vi må gjere vurderingar av kor godt ein slik modell passar med verkelegheita.

Samandrag

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 29

10/08/21 1:55 PM

MORDGÅTA Du jobbar som kriminaletterforskar. Det er blitt funne eit lik i ein kjellar, og du må estimere drapstidspunktet for å kunne utelukke nokre av dei mistenkte. Til det kan du bruke Newtons avkjølingslov.

Varme er energi som blir overført på grunn av ein temperaturforskjell. Varme går naturleg frå ein stad med høg temperatur til ein stad med låg temperatur. Det er derfor det gjer vondt å legge handa på ei varm kokeplate. Varmen går frå kokeplata med høg tempera tur til handa med lågare temperatur. Det er fleire faktorar som påverkar kor fort noko blir avkjølt. Det har for eksempel noko å seie kor stor overflata til gjenstanden er, og det har noko å seie kva materiale ho er laga av. For eksempel kjennest det mykje kaldare å ta på ei jernstong enn å ta på isopor, sjølv om begge har stått ute i minusgradar. Det er fordi jernstonga leier varme vekk frå handa mykje betre enn isoporen gjer. Ein annan faktor som har betydning for avkjølinga, er kor stor temperaturforskjell det er mellom gjenstanden og omgivnadene.

Newtons avkjølingslov Den berømte fysikaren Isaac Newton (1643– 1727) klarte å finne ein matematisk modell for korleis avkjølinga avheng av temperatur forskjellen. Den publiserte han i eit tidsskrift i 1701: Kor fort temperaturen til ein gjenstand minkar, er proporsjonal med temperaturforskjellen mellom gjenstanden og omgivnadene. Ein kopp kakao blir avkjølt raskast når han har høg temperatur. Etter kvart som tempe raturen går ned, vil han bli avkjølt saktare. Temperaturen i kakaoen kan ikkje bli lågare enn romtemperaturen han er i. Etter kvart som

tida går, vil han altså nærme seg romtempera turen stadig meir. Newtons modell kan bli uttrykt som ein matematisk funksjon. Temperaturen ved tida t er gitt ved t T (t) = T k + To t T (t)er = T temperaturforskjellen k + To Her mellom gjen standen og omgivnadene ved start, k er avkjø t T (t) = T kog+ To er temperaturen til om lingsfaktoren givnadene.

Finne tidspunktet for eit mord Menneske har normalt ein kroppstempe ratur på ca. 37 °C når dei er levande. Når ein person døyr, vil kroppen etter kvart bli avkjølt. Kor fort det skjer, avheng blant anna av temperaturen til omgivnadene, storleiken på kroppen og kleda den døde har på seg. Mordetterforskarane kan bestemme avkjø lingsfaktoren k etter at liket er funne ved å gjere temperaturmålingar. Ved å måle tem peraturen til omgivnadene også, kan ein da bruke Newtons avkjølingslov til å rekne ut kor lenge kroppen har lege død. Slik kan draps tidspunktet bli tidfesta. 40 35 Temperatur i °C

Frå varmt til kaldt

30 25 20 15 10 5 1

4 5 6 7 Tid i minutt

9 10

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 30

10/08/21 1:55 PM

PROSJEKTOPPGÅVE 1 I denne oppgåva skal du undersøke korleis kokande vatn blir avkjølt i romtemperatur. • Teikn opp eit koordinatsystem med tid langs førsteaksen og temperatur langs andreaksen. Lag ei skisse som viser korleis du trur temperaturen vil utvikle seg når du set eit beger med kokande vatn til avkjøling i eit rom. • Kok vatn og sett det til avkjøling i romtemperatur. Ta tida og mål temperaturen til vatnet kvart minutt. Fyll inn verdiane i ein tabell. • Forsøk å finne ein funksjon på forma T ( x ) = a k x + c som passar med tala i tabellen din. Stemmer modellen med Newtons avkjølingslov? • Korleis ville funksjonen sett ut om vatnet blei avkjølt i eit kjøleskap?

PROSJEKTOPPGÅVE 2 Mistenkt A Manglar alibi 12:30–15:00

Mistenkt B Manglar alibi 10:00–13:00

Mistenkt C Manglar alibi 15:00–16:45

Liket blei funne i ein kjellar der temperaturen er 15 °C. Kl. 17:00 blei kroppstemperaturen målt til 29 °C. Kl. 18:00 har temperaturen minka til 25 °C. No må du bruke kunnskapane dine til å løyse mordgåta. Estimer drapstidspunktet, og avslør mordaren.

Mordgåta

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 31

10/08/21 1:55 PM

REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1

OPPGÅVE 5

a) Finn den prosentvise auken eller nedgangen når vekstfaktoren er 1) 1,03 2) 1,15 3) 0,97 4) 1,003 5) 0,14 6) 2 b) Finn vekstfaktoren ved 1) 5 % auke 2) 0,9 % auke 3) 150 % auke 4) 7 % nedgang 5) 38 % nedgang 6) 0,5 % nedgang

a) Ein familie hadde eit straumforbruk på 20 000 kWh i 2018. I 2019 var forbruket 3 % høgare. Bruk vekstfaktoren og finn straumforbruket i 2019. b) Familien reduserte forbruket frå 2019 til 2020 med 3 %. Kor stort straumforbruk hadde familien i 2020?

OPPGÅVE 2

a) Du får 20 % rabatt på ei bukse som kosta 900 kr før salet. Kva betaler du for buksa? b) Du kjøper ei bukse på sal til 525 kr etter å ha fått 30 % rabatt. Kva kosta buksa før salet? OPPGÅVE 3

a) Eit politisk parti aukar oppslutninga frå 20 % til 26 %. 1) Finn auken i prosentpoeng. 2) Finn auken i prosent. b) Eit anna politisk parti aukar oppslutninga med 3 prosentpoeng. Det utgjer ein auke på 15 %. Kor stor oppslutning har dette partiet etter denne framgangen? OPPGÅVE 4

Innbyggartalet i ein by veks med 10 000 per år. I ein annan by veks innbyggartalet med 0,5 % per år. Kva for ein by vil ha flest innbyggarar på lang sikt viss utviklinga fortset?

OPPGÅVE 6

Zara kjøpte aksjar for 10 000 kr. Dei første to åra steig verdien av aksjane med 17 % per år, men det neste året minka han med 5 %. Kva for ein eller kva for nokre av påstandane stemmer? A: Verdien av aksjane er 10 000 ⋅ 1,17 2 ⋅ 0,95 B: Verdien av aksjane er 10 000 ⋅ 1,17 2 : 1,05 C: Verdien av aksjane er 10 000 ⋅ 0,17 2 ⋅ 0,05 D: Verdien av aksjane har stige med 29 % på dei tre åra. OPPGÅVE 7

Are kjøpte seg eit hus til 3,2 millionar kroner i 2020. Anta at verdien av huset stig med 5 % per år i perioden frå 2015 til 2025. a) Kor mykje er huset verdt i 2024? b) Kor mykje var huset verdt i 2017? Ida kjøpte eit hus i 2015 til 2,7 millionar kroner. Dei første tre åra steig verdien av huset med 7 % per år, men dei neste to åra minka verdien av huset med 2 % per år. c) Kva var huset til Ida verdt i 2020?

1 | Prosent

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 32

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVE 8

Tabellen viser folketalet i Noreg i januar nokre utvalde år. Årstal

Befolkning i tusen

2004

4577

2007

4681

2010

4858

2013

5051

2015

5166

2020

5368

a) Kor mange personar budde i Noreg i januar 2020? b) Finn ein eksponentialfunksjon som viser folketalet i Noreg x år etter 2000. c) Kor stor har den årlege befolknings veksten vore i perioden? d) Kor mange menneske vil det bu i Noreg i januar 2050 viss utviklinga fortset? e) I januar 1940 var folketalet i Noreg 3,0 millionar innbyggarar. Korleis stemmer det med modellen du fann i oppgåve b? f) Kvifor kan vi ikkje bruke denne modellen for å føreseie folketalet i Noreg om mange hundre år? OPPGÅVE 9

Kaffi-Lars heller varm kaffi på ein termos og drar på tur. Tabellen viser temperaturen T(x) målt i celsiusgradar x timar etter at kaffien blei fylt på termosen. x (timar)

T(x) (°C) 76,0 68,2 61,2 55,1 40,1

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen T som passar best med tala i tabellen. b) Teikn grafen til funksjonen.

c) Kor mykje minkar temperaturen i prosent per time? d) Kva var temperaturen på kaffien når Lars helte han på termosen? e) Lars liker ikkje å drikke kaffien når temperaturen er lågare enn 50 °C. Kor lenge er kaffien da mogleg å drikke frå han blei helt på termosen?

OPPGÅVE 10

I ein rapport frå World Economics Forum frå 2016 kan vi lese at det var estimert å vere 150 millionar tonn plast-søppel i verdshava i 2016. Ein mogleg modell for mengda plast i havet gir at mengda plast aukar eksponentielt med 5 % kvart år. Ein eksponentialfunksjon er på forma f (x) = a ⋅ k x der a er startverdien og k er vekstfaktoren. a) Finn vekstfaktoren og sett opp eit uttrykk for mengda plast i havet x år etter 2016 viss vi følger denne modellen. b) Teikn grafen til denne modellen digitalt. c) Ifølge den same rapporten kan vi anta at det finst 812 millionar tonn fisk i havet. Når kjem mengda plast-søppel til å overstige mengda fisk ifølge modellen? d) Vurder kor realistiske slike berekningar eigentleg er.

REPE TISJONSOPPGAVER REPETISJONSOPPGÅVER

01_Sinus 2P-2021_kap1_teori.indd 33

10/08/21 1:55 PM

OPPGÅVER • Oppgåvene i delkapittel.

ØV MEIR

gir ekstra trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart

BLANDA OPPGÅVER og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå • Oppgåvene i fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

• I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar og fleirvalsoppgåver. • Dei opne oppgåvene er større og meir omfattande. Her får du trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger sjølv lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. I desse oppgåvene er det meininga at du skal bruke litt meir tid, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 216

06/08/21 3:21 PM

Prosent ØV MEIR

Oppgåve 1.113

1.1 PROSENTREKNING

Oppgåve 1.110

a) Rekn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpa utan å bruke hjelpemiddel. 1) 80 kr 2) 150 kr 3) 1800 kr b) Rekn ut med hjelpemiddel. 1) 30 % av 120 2) 13 % av 600 3) 40 % av 800 4) 8 % av 175 Oppgåve 1.111

Kva for figur passar til prosenten? a) 80 % b) 55 % c) 25 % d) 15 % A

Gunn har to kontoar i banken, og begge står urørte. På den eine kontoen står det 24 000 kr, og på den andre står det 106 000 kr. Ho får 0,10 % rente per år på kontoen med lågast innskot og 0,15 % rente per år på den andre. a) Kor mange kroner meir står det på kvar av desse kontoane etter eitt år? b) Kor mykje har ho til saman på desse to kontoane etter eitt år? Oppgåve 1.114

Guro og Henrik er på eit kjøpesenter. Guro ønsker å kjøpe ei ny bukse, mens Henrik har planlagt kjøp av nye sko. Begge har 500 kr å handle for. a) Guro ser på ei bukse til 750 kr og kan få 40 % avslag i prisen. Har ho nok pengar til å kjøpe buksa? b) Henrik ser på eit par sko til 1250 kr og kan få 25 % avslag i prisen. Forklar Henrik at han ikkje har nok pengar til å kjøpe skoa. c) Kor mange prosent avslag må Henrik få for å kunne kjøpe skoa? Oppgåve 1.115

Oppgåve 1.112

a) Ein radio kostar 1200 kr. Så blir prisen sett opp 20 %. Kor mange kroner blir prisen på radioen sett opp med? b) Ei klokke kostar 2400 kr før ho blir sett ned 15 %. Kor mange kroner blir prisen på klokka sett ned med?

a) Elevtalet på ein skule var eit år 600. Året etter var det 15 fleire elevar på skulen. Kor mange prosent gjekk elevtalet opp? b) Elevtalet på ein annan skule var 750. Året etter hadde elevtalet gått ned med 30 elevar. Kor mange prosent hadde elevtalet gått ned? 1 | PROSENT

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 217

217

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.116

Kasper, Jesper og Jonathan skal dele ein pengesum på denne måten: • Kasper får 825 kr. • Jesper får 20 % av pengesummen. • Jonathan 55 % av pengesummen. Kor mykje får Jesper og Jonathan? Oppgåve 1.117

Tove og Fredrik er på handletur og er innom kvar sin butikk. Tove har fått 25 % avslag i prisen på ein kjole. Det svarer til 300 kr. a) Kva var den opphavlege prisen på kjolen? b) Kor mykje betalte Tove for kjolen? Fredrik fekk tilbod om 30 % rabatt på ei ny klokke. Det svarte til 870 kr. c) Kva kosta klokka før ho blei nedsett? d) Fredrik hadde berre 2000 kr å bruke på ei ny klokke. Forretninga bestemte seg for at Fredrik skulle få kjøpe klokka for denne summen. Kor mange prosent avslag fekk Fredrik i alt? Oppgåve 1.118

a) Kva er det dette programmet gjer? Forklar kva som skjer i kvar linje. 1 2 3 4 5 6 7

tal = 250 prosent = 1 while prosent <= 100: utrekning = tal*prosent/100 print(prosent, "% av", tal, "er", round(utrekning, 2)) prosent = prosent + 1

b) Gjer endringar i programmet ovanfor slik at det berre skriv ut prosenten av eit tal når prosentane er 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 %, 60 %, 70 %, 80 %, 90 % og 100 %.

218

1.2 PROSENTPOENG

Oppgåve 1.120

a) På ei meiningsmåling gjekk oppslutninga om partiet Venstre ned frå 6,0 % til 5,1 %. Kor mange prosentpoeng minka oppslutninga om Venstre med? b) Noko seinare gjekk oppslutninga om Venstre opp 1,2 prosentpoeng. Kor mange prosent var oppslutninga om Venstre da? Oppgåve 1.121

På nettsidene til Statistisk sentralbyrå stod dette å lese 14. august 2020: Renta på nye lån til husholdninger med pant i bolig falt med 0,08 prosentpoeng til 1,80 prosent i juni 2020. Renta på utestående boliglån hadde et litt mindre fall med 0,05 prosentpoeng til 1,97 prosent. a) Kor høg hadde renta på nye lån med pant i bustad vore før ho blei sett ned? b) Kor høg hadde renta på uteståande bustadlån vore før ho blei sett ned? Oppgåve 1.122

For fem år sidan deltok 35 % av elevane på ein skule på ein dagstur til ein fjelltopp. I år minka deltakinga til 21 %. a) Kor mange prosentpoeng er ned gangen på? Dei siste åra har elevtalet heile tida vore på 540 elevar. b) Kor mange elevar deltok på turen for fem år sidan? c) Kor mange elevar deltok no?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 218

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.123

I 2020 budde 30 % av elevane på ein skule mindre enn 5 km frå skulen. I 2021 steig dette talet til 35 %. a) Kor mange prosentpoeng var auken på? Elevtalet på skulen var 260 både i 2020 og i 2021. b) Kor mange elevar budde mindre enn 5 km frå skulen i 2020? c) Kor mange elevar budde meir enn 5 km frå skulen i 2021? Oppgåve 1.124

På ein skule er det 400 elevar. I januar var det gjennomsnittlege fråværet 4,5 %. Månaden etter hadde dette fråværet auka til 6,0 %. I mars sank det gjennomsnittlege fråværet til 4,0 %. a) Kor mange var borte frå skulen i gjennomsnitt per dag i kvar av månadene januar og februar? b) Kor mange prosentpoeng auka fråværet med frå januar til februar? c) Kor mange prosentpoeng minka fråværet med frå januar til mars? d) Kor mange prosent auka det gjennomsnittlege dagfråværet med frå januar til februar? Oppgåve 1.125

Ein skule har 650 elevar. Torsdag er 30 elevar fråverande og fredag 45. a) Kor mange prosentpoeng auka fråværet med frå torsdag til fredag? b) Kor mange prosent auka fråværet med frå torsdag til fredag?

1.3 VEKSTFAKTOR

Oppgåve 1.130

Finn vekstfaktoren når a) verdien aukar med 31 % b) verdien minkar med 31 % c) verdien minkar med 2,5 % d) verdien aukar med 2,5 % e) verdien aukar med 100 % f) verdien minkar med 50 %. Oppgåve 1.131

Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er a) 1,28 b) 1,007 c) 2 d) 0,60 e) 0,99 f) 0,008 Oppgåve 1.132

a) Bordtennisklubben «Serve» hadde i fjor 240 medlemmer. I år har medlemstalet auka med 15 %. Kor mange medlemmer har klubben no? b) I går kosta éin liter bensin 14,50 kr. I dag har prisen gått ned med 6 %. Kva betaler Frank for 40 L bensin som han kjøper i dag? Oppgåve 1.133

a) Skobutikken «Vi skor deg» har tilbod på sko. Skoa kosta opphavleg 800 kr, men dei blir no selde med 30 % rabatt. I ein annan butikk kosta skoa opphavleg 700 kr, men ni blir dei selde med 20 % rabatt. Kva for eit tilbod er det beste? b) Per Mekkar har kjøpt ein gammal bil som han pussar opp. Han sel bilen for 90 000 kr. Det er 25 % meir enn det han gav for han. Kor mykje betalte Per for bilen?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 219

219

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.134

Oppgåve 1.138

Ei bukse kostar 600 kr. Ho blir først sett ned med 20 %. Salet går dårleg, og prisen blir sett ned med ytterlegare 30 %. a) Kva kostar buksa no? b) Kor mange prosent blei buksa sett ned i alt? c) Kvifor blir det ikkje rett å seie at prisen på buksa gjekk ned med 20 % + 30 % = 50 %?

I ein matematikktime fekk elevane denne oppgåva:

Oppgåve 1.135

a) Marie kjøper ein aksje og sel han for 352 kr. Det er 10 % meir enn ho gav for aksjen. Kva var kjøpsprisen på aksjen? b) Gustav kjøpte ei myntsamling og selde henne noko seinare for 3960 kr. Det var 12 % mindre enn det Gustav gav for samlinga. Kva betalte Gustav for myntsamlinga? Oppgåve 1.136

Det er sal i ein møbelforretning. Tabellen viser prisavslaget på nokre av møblane. Ordinær pris (kr)

Salspris (kr)

Sofa

12 000

10 500

Stol

8900

Puff

Avslag i prosent 15

2960

Skriv av og fyll ut tabellen. Oppgåve 1.137

a) Ei skjorte kostar 490 kr på sal. Den opphavlege prisen er da redusert med 30 %. Kva var den opphavlege prisen? b) Ei populær jakke hadde gått opp i pris med 8 % til 2430 kr. Kva kosta jakka før prisoppgangen?

220

Til eit kurs i strikking var det påmeldt 100 deltakarar. Av erfaring veit arrangøren at deltakartalet minkar med 20 % den første månaden og 15 % den andre månaden. Kor mange deltakarar kan arrangøren rekne med det sluttar i alt dei to første månadene? Her er ei av svara:

Det er 20 % som sluttar den første månaden og 15 % som sluttar den andre månaden. I alt blir det 35 % som sluttar. Antal deltakarar som sluttar, er da

100 ⋅ 0,35 = 35

Kommenter denne løysinga. Vis korleis du meiner oppgåva bør løysast. 1.4 EKSPONENTIELL VEKST

Oppgåve 1.140

Hanne hoppar høgde. Ho har i dag ein personleg rekord på 1,60 m. Ho har som mål å auke den personlege rekorden sin med 3 % per år. a) Kor høgt reknar Hanne med å hoppe neste år? b) Kor høgt reknar Hanne med å hoppe om 3 år? c) Med kor mange prosent forbetrar ho rekorden på 3 år viss ho når målet sitt?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 220

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.141

Oppgåve 1.145

Ein fabrikk forureinar lufta med utslepp av CO2. I år var det samla utsleppet 50 tonn per år. Fabrikken bestemmer seg for å redusere utsleppet med 12 % kvart år. a) Kor stort blir da utsleppet per år om 2 år og om 5 år? b) Kor mange prosent er utsleppet da redusert med i løpet av 5 år?

Stine set 8200 kr på ein sparekonto. Banken gir ei fast årsrente på 0,10 %. a) Kor mykje har ho på kontoen etter 5 år viss renta held seg konstant? b) Finn eit uttrykk for kor mykje Stine har på kontoen etter x år. c) Teikn ein graf som viser kor mykje Stine har på kontoen 40 år framover. d) Finn når Stine har 8500 kr på kontoen.

Oppgåve 1.142

Oppgåve 1.146

Verdien av ein bustad har stige med 7 % per år sidan han var ny. I dag er bustaden verd 2,80 millionar kroner. a) Rekn ut kor mykje bustaden vil vere verd om 8 år viss stigninga fortset. b) Rekn ut kor mykje bustaden var verd for 8 år sidan.

I byrjinga av eit forsøk er det 145 bakteriar i ein løysning. Den prosentvise auken per time er 33,0 %. a) Kor mange bakteriar er det i løysningen etter 8 timar? b) Finn eit funksjonsuttrykk f (x) som gir bakterietalet etter x timar. c) Teikn grafen til f digitalt. d) Etter kor mange timar er det 10 700 bakteriar dersom utviklinga fortset på den same måten?

Oppgåve 1.143

Ei veke auka bensinprisen med 1 % per dag frå måndag til fredag. På onsdag kosta bensinen 14,28 kr per liter. a) Kor mykje kosta bensinen på fredag denne veka? b) Kor mykje kosta bensinen på måndag denne veka? c) Kor mange prosent auka bensin prisen frå måndag til fredag? Oppgåve 1.144

Ein smittsam sjukdom spreier seg slik at t veker etter at sjukdommen blei oppdaga, var talet på smitta personar gitt ved N(t) = 60 ⋅ 1,23t a) Kor mange personar var smitta da sjukdommen blei oppdaga? b) Kor mange personar var smitta etter 14 dagar? c) Teikn grafen til N og finn når 600 personar var smitta.

Oppgåve 1.147

Til ein konsert blei det lagt ut 50 000 billettar for sal. Etter éi time var det selt 4000 billettar. a) Forklar at modellen f (x) = 50 000 ⋅ 0,92x viser kor mange billettar det er igjen etter x timar når antalet billettar minkar med ein fast prosent per time. b) Arrangøren får eit pålegg frå brannvesenet om ikkje å selje meir enn 42 000 billettar. Trude Lutten forsøka å kjøpe billettar 20 timar etter at billettane er lagde ut. Får Trude kjøpt billettar?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 221

221

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.148

Randi har ei frimerke samling som aukar i verdi, mens Kjell har ein fritidsbåt som minkar i verdi. Om x år er samlinga til Randi verd f (x) kroner, mens båten til Kjell er verd g(x) kroner, der f (x) = 100 000 ⋅ 1,083x g(x) = 223 000 ⋅ 0,923x a) Kva er frimerkesamlinga verd i dag, og kva er fritidsbåten verd i dag? b) Kor mange prosent aukar verdien av frimerkesamlinga kvart år, og kor mange prosent minkar verdien av båten kvart år? c) Teikn grafane til f og g i det same koordinatsystemet. Vel x mellom 0 og 10 år når du teiknar grafane. d) Finn grafisk når frimerkesamlinga har same verdi som fritidsbåten. Kva er verdien da? Oppgåve 1.149

Ein elev som hadde rekna oppgåve 1.148, laga dette programmet: 1 2 3

x = 0 frimerke = 100000 båt = 223000

4 5 6 7 8 9 10

while frimerke < båt: frimerke = 100000*1.083**x båt = 223000*0.923**x print("Frimerke:", frimerke) print("Fritidsbåt:", båt) x = x + 1

a) Kva reknar programmet ut? b) Gjer endringar som du meiner vil forbetre programmet.

222

1.5 EKSPONENTIELL REGRESJON

Oppgåve 1.150

Kåre Bonde har kjøpt ein ny skurtreskar til 900 000 kr. Tabellen nedanfor gir ei oversikt over utviklinga av verdien V(x) av skurtreskaren x år etter at han var ny. x (år)

V(x) 900 000 792 000 696 960 417 964 323 671

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen f som passar best med tala i tabellen. b) Kåre håper å få selt skurtreskaren etter 4 år. Kor mykje kan han rekne med å få for han da? Rund av svaret til nærmaste tusen. c) Verdien av skurtreskaren går ned med ein fast prosent kvart år. Finn denne prosenten. Oppgåve 1.151

Ei bedrift har hatt ei uheldig utvikling, og derfor har dei måtta redusere antalet tilsette. Tabellen viser antal tilsette f (x) når x er antal år etter januar 2010. År x f (x)

2010 2012 2014 2016 2018 2020 0

2800 2475 2190 1928 1700 1500

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen f som passar best med tala i tabellen. b) Teikn grafen til funksjonen. c) Bruk modellen til å anslå kor mange tilsette det var i bedrifta i 2017. d) I eit intervju med lokalavisa sa direktøren for bedrifta at det hadde vore ein årleg nedgang i antal tilsette på ca. 6 %. Har direktøren rett?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 222

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.152

Tabellen viser utviklinga av opplagstalet for ei lokalavis i perioden 2007–2020. La f (x) vere opplagstalet x år etter 2007 År

2007

f(x)

2009

2012

2017

2020

14 628 14 499 14 006 13 330 11 972

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen som passar best med tala i tabellen, og teikn grafen og punkta i eit koordinatsystem. b) I 2019 hadde avisa eit opplagstal på 12 478. Korleis passar modellen til dette året? c) Kor stort er opplagstalet i 2027 viss utviklinga følger eksponential funksjonen? d) Finn når opplagstalet vil vere 9000 ut frå modellen. e) Kor mange prosent minkar opplags talet per år ut frå modellen?

Oppgåve 1.154

Ein full vasstank blir tappa for vatn. Tabellen nedanfor viser kor mykje vatn, V(x), det er på tanken x minutt etter at tappinga begynte. x (min) V(x) (L)

1400 1141

931

619

411

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen V som passar best med tala i tabellen. b) Kor mange liter vatn rommar tanken? c) Kor mange prosent vatn renn ut kvart minutt? d) Teikn grafen til funksjonen når x er mellom 0 og 60 minutt. e) Kor mange liter vatn er det igjen på tanken etter 25 minutt? f) Finn grafisk kor lang tid det tar før halvparten av vatnet har rent ut.

Oppgåve 1.153

Dato

29.02.

01.03.

02.03.

03.03.

04.03.

05.03.

06.03.

07.03.

08.03.

I byrjinga av mars 2020 oppdaga styresmaktene dei første tilfella av koronasmitte i Noreg. Tabellen viser antal covid-19-tilfelle A(x) som blei melde x dagar etter 29. februar 2020.

A(x) 21 31 43 74 107 140 164 184 249

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best med tala i tabellen, og teikn grafen og punkta i eit koordinatsystem.

b) Kor mange prosent auka antal melde covid-19-tilfelle per dag ut frå modellen? c) Det var 1464 melde covid-19-tilfelle 15. mars 2020. Korleis passar modellen med dette talet?

Samtidig som vi begynte å tappe tanken ovanfor, blir ein annan tank fylt med 50 L vatn kvart minutt. Innhaldet i denne tanken er etter x minutt gitt ved funksjonen g(x) = 50x g) Kor lang tid tar det før det er like mykje vatn i kvar av tankane? Løys oppgåva grafisk.

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 223

223

06/08/21 3:21 PM

BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 1.200

a) Teikn ein figur med 15 ruter. Fargelegg 40 % av figuren. b) Kor mange fleire ruter må du fargelegge for at 80 % av figuren skal bli fargelagd?

Oppgåve 1.203

a) Kor mykje mat kastar norske forbrukarar kvart år? Hent opplysningar i teksten nedanfor. b) Kor mykje kastar vi til saman av bakarvarer, middagsrestar og frukt og grønsaker?

Oppgåve 1.201

Utklippet nedanfor er henta frå Aftenposten 9. september 2020. 44 prosent født i utlandet Av de 728 nye smittetilfellene forrige uke, var 309 født i utlandet. 45 var født i Afghanistan, 18 i Pakistan, og 12 i Kuwait og Polen. Dette betyr at 44 prosent av de nye tilfellene var utenlandsfødte, noe som er en økning fra de siste ukene. Økningen skyldes trolig det store utbruddet i Østfold. De fleste blir smittet av familiemedlemmer. Av de 515 sakene hvor smittested er kjent, blei 29 prosent smittet i privat husstand, 23 prosent på jobb eller universitet mens 13 prosent ble smittet på et offentlig arrangement. Kjelde: https://www.aftenposten.no/norge/i/x3AxLV/ nye-fhi-tall-antallet-nye-smittede-oekte-90-prosent

a) Undersøk ved rekning om overskrifta «44 prosent født i utlandet», stemmer. b) I kor mange prosent av tilfella er smittestaden ukjent? Oppgåve 1.202

Ulrik påstår at to av desse alternativa gir det same avslaget. Har Ulrik rett? 1) 30 % avslag 2) Halvparten av halv pris 3) 75 % avslag 4) Kjøp 3, betal for 2

224

https://www.melk.no/Melkekilden/Kosthold/Matsvinn/ Hvor-mye-mat-kaster-nordmenn-kvart-aar

Oppgåve 1.204

Eli-Trine har spart 12 000 kr, og av desse pengane bruker ho 4000 kr til ergometersykkel og 1550 kr til klede. a) Kor mange prosent av sparepengane bruker ho? Ei venninne av Eli-Trine seier: «Du har jo brukt halvparten av sparepengane dine på å kjøpe sykkel og klede.» b) Kor mange prosent mindre måtte Eli-Trine da ha spart for at påstanden stemmer? Oppgåve 1.205

Adresseavisen skreiv 10. mai 2020:

WHO anslår at 780 millioner har hatt korona Verdens samlede befolkning anslås av FN å være 7,795 milliarder.

Kor mange prosent av befolkninga i verda hadde da vore smitta?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 224

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.206

Oppgåve 1.210

Ein spade kostar 210 kr på sal. Da er den opphavlege prisen redusert med 30 %. Kva var den opphavlege prisen på spaden?

Peder Felgen har lagt ut fire dekk for sal, men han får ingen respons. Han set derfor ned prisen med 15 %. Prisavslaget er på 300 kr. Kva kostar dekka etter at Peder set ned prisen?

Oppgåve 1.207

I ein bolle er det 15 grøne, 4 gule og 1 blå kuler. Kor mange prosent av kulene er ikkje grøne?

Oppgåve 1.211

Oppgåve 1.208

1) Forretninga Sporten kan gi henne 18 % på utsalsprisen, som er 3800 kr. 2) På ei sportsmesse kan ho få kjøpt brettet med ein rabatt på 23 %. Prisen utan rabatt er 3899 kr. 3) Gjennom idrettsklubben Aktiv kan ho få kjøpt brettet med eit avslag på 22 %. Det svarer til ein rabatt på 902 kr på den opphavlege prisen.

a) Kor mange prosent av figuren er fargelagd?

b) Kor mange ruter må vere fargelagde for at 60 % av figuren skal bli farge lagd? c) Kor mange ruter er ikkje fargelagde viss 40 % av figuren er fargelagd? Oppgåve 1.209

Forretninga «Løp og kjøp» har denne annonsen: Kjøp 3 skjorter, og vi betaler den billigaste for deg! a) Thomas kjøper tre skjorter. Dei kostar 299 kr, 399 kr og 499 kr. Kor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? b) Geir kjøper fire skjorter som alle har den same prisen. Kor mange prosent avslag får Geir på skjortene?

Randi har tenkt å kjøpe seg eit nytt snøbrett. Ho får tre ulike tilbod på det snøbrettet ho ønsker seg.

Finn ut kvar Randi bør kjøpe snøbrettet. Oppgåve 1.212

På ein skuletur er 40 % av elevane gutar. 60 % av jentene overnattar i telt. Ingen gutar gjer det. Kor mange prosent av elevane over nattar i telt? Oppgåve 1.213

På ein skuletur er 40 % av elevane gutar. 60 % av jentene overnattar i telt. I alt er det 40 % av elevane som overnattar i telt. Kor mange prosent av gutane overnattar i telt?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 225

225

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.214

Oppgåve 1.217

I ei skål med Non Stop er 25 % grøne. Beate legg like mange grøne Non Stop oppi skåla som det var der frå før. Kor mange prosent Non Stop i skålen er no grøne?

For bedrifta «Jojo» har marknads andelane gått ned frå 16,2 % i 2019 til 14,9 % i 2021. Kva for nokre eller kva for ein av desse påstandane stemmer? Grunngi svara. 1) Tilbakegangen til «Jojo» er 8,0 %. 2) Tilbakegangen til «Jojo» er 8,7 %. 3) Tilbakegangen til «Jojo» er 1,3 %. 4) Tilbakegangen til «Jojo» er 1,3 prosentpoeng.

Oppgåve 1.215

Ein skule gjennomførte ei spørjeunder søking der elevane blei spurde om dei liker engelsk eller matematikk best. Elevane kunne velje mellom tre svar: «engelsk best», «matematikk best» og «veit ikkje». 20 % av elevane svarte «veit ikkje». Av dei resterande svarte 120 elevar «matematikk best» og 80 elevar «engelsk best». Kor mange prosent av dei elevane som deltok på spørjeundersøkinga, svarte «matematikk best»? Oppgåve 1.216

Elida har begynt å lage eit dataprogram som ser slik ut: 1 2 3 4 5 6

prosent = 25 kroner = 1750 pris = kroner*100/prosent print(pris)

a) Kva er det dette programmet reknar ut? b) Elida er ikkje fornøgd med programmet sitt sjølv om det gir rett svar på oppgåvene det skal løyse. Gjer endringar i programmet slik at det også skriv ut ein forklarande tekst til svaret.

Oppgåve 1.218

Ved stortingsvalet i 2013 fekk partiet MDG 2,8 % av stemmene. I 2017 fekk partiet 3,2 % av stemmene. Kva for nokre eller kva for ein av desse påstandane stemmer? Grunngi svara. 1) Framgangen til MDG er 4 %. 2) Framgangen til MDG er 14,3 %. 3) Framgangen til MDG er 0,4 %. 4) Framgangen til MDG er 0,4 prosentpoeng. Oppgåve 1.219

a) På avdelinga for logistikk ved Høgskolen i Molde gjekk strykprosenten opp frå 7,9 % våren 2019 til 9,3 % våren 2020. Kor mange prosentpoeng var auken på? b) Kor mange prosent høgare var strykprosenten ved Høgskolen i Molde i 2020 enn i 2019? ▲ 1.2

▲ 1.1

226

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 226

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.220

Oppgåve 1.224

Onsdag 28. oktober 2020 skreiv FHI dette på nettsidene sine:

Ei vare blir seld i to forskjellige butikkar. Prisen er den same i begge butikkane. I butikk A blir prisen sett opp med 20 %. I butikk B blir prisen sett først opp med 10 % og så etter nokre dagar med 10 % til. Marit påstår at prisen da framleis er den same i begge butikkane. Forklar Marit kvifor dette ikkje er rett. Bruk gjerne eit eksempel når du forklarer.

I siste uke ble det meldt 1686 tilfeller av covid-19, som er en økning på 79 prosent fra uke 42. Kor mange tilfelle av covid-19 blei melde i veke 42? Oppgåve 1.221

Eit måleri kostar 50 000 kr. Verdien aukar med 8 % per år. Finn verdien av måleriet om 5 år. Oppgåve 1.222

Ein båt er i dag verd 306 000 kr. Verdien av båten har minka med 10 % det siste året. Vi antar at verdien også vil minke med 10 % neste år. a) Kor mykje vil båten vere verd om eitt år? b) Kor mykje var båten verd for eitt år sidan? Oppgåve 1.223

Beate set 18 000 kr i banken. Ho lèt pengane stå urørt i banken i to år. Det første året får ho 0,10 % rente, mens ho får 0,15 % rente det andre året. a) Sett opp eit uttrykk som viser kor mykje Beate har i banken etter to år. Bjarne set 18 000 kr i ein annan bank. Også han lèt pengane stå urørt i banken i to år. Banken gir 0,15 % rente det første året og 0,10 % rente det andre året. b) Kven har mest pengar i banken etter to år?

Oppgåve 1.225

Lise driv med turorientering og finn postar. Ho har laga eit diagram som viser kor mange postar ho har funne dei siste tre åra. Diagrammet er tilsølt. Antal postar 200 1 75 1 50

120

125 100

108

75 50 25 2018

2019

2020

a) Kor mange prosent færre postar fann Lise i 2020 enn i 2019? b) Lise fann 25 % færre postar i 2019 enn i 2018. Kor mange postar fann ho i 2018? Oppgåve 1.226

Medlemsavgifta på treningssenteret «Trim» er 300 kr per månad. Medlems avgifta på «Mosjon» er 200 kr per månad. Kor mange prosent dyrare er det å trene på Trim enn på Mosjon? 1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 227

År

227

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.227

Oppgåve 1.231

For 8 månader sidan kjøpte Inger aksjar. Nedanfor har ho rekna ut kva verdien av aksjane er i dag.

Du er i ein klesbutikk og skal kjøpe eitt par sokkar, éi T-skjorte og ei jakke. Butikken har to tilbod å velje mellom:

10 000 kr ⋅ 1,03 ⋅ 1,0084 ⋅ 0,913 ≈ 7824 kr

Kva kan reknestykket fortelje om korleis verdien av aksjane har endra seg? Oppgåve 1.228

Verdien av ei myntsamling har auka med 5 % kvart år dei siste åra. Myntsamlinga er i dag verd 50 000 kr. Kva for eit av desse uttrykka kan vi bruke for å rekne ut verdien av myntsamlinga for 2 år sidan? Grunngi svaret. 1) M = 50 000 ⋅ 1,05-2 2) M = 50 000 ⋅ 0,95-2 3) M = 50 000 ⋅ 1,052 4) M = 50 000 ⋅ 0,952 Oppgåve 1.229

Ein fabrikk har redusert utsleppet av karbondioksid med 8 % kvart år dei siste åra. Utsleppet er i dag 40 tonn per år. Kva for eit av desse uttrykka kan vi bruke for å rekne ut kor stort utsleppet i tonn var for 3 år sidan? 1) U = 40 ⋅ 1,08-3 2) U = 40 ⋅ 0,923 3) U = 40 ⋅ 1,083 4) U = 40 ⋅ 0,92-3 Oppgåve 1.230

a) Ein fjellkikkert kosta 2200 kr. På ei messe blei prisen sett ned 20 %. Finn den nye prisen. b) Deretter blei prisen sett opp igjen slik at prisen på nytt blei 2200 kr. Kor mange prosent blei prisen sett opp?

228

Tilbod 1: Kjøp 3 plagg og få 75 % avslag på totalprisen. Tilbod 2: Kjøp 3 plagg. Betal berre for dei to billigaste. a) Finn eksempel på prisar slik at desse to alternativa gir same avslag. b) Kva er det som avgjer om du bør velje tilbod 1 eller tilbod 2? Oppgåve 1.232

a) I ei matforretning kostar 1 kg tomatar normalt 25,00 kr. 1) Ein dag var prisen på tomatar sett ned 20,4 %. Kva var kiloprisen på tomatar denne dagen? 2) Ein annan dag var prisen på tomatar 29,90 kr. Kor mange prosent var prisen på tomatar sett opp frå normal pris denne dagen? b) I den same forretninga kan du få kjøpt potetar i laus vekt til 6,90 kr per kg eller 2,5 kg potetar i nett til 21,90 kr. Kor mange prosent billigare er det å kjøpe 2,5 kg potetar i laus vekt enn i nett? c) I ferskvaredisken kan du få kjøpt kjøttdeig på tilbod til 47,90 kr per kg. 1) Kor mykje kjøttdeig kan du da få kjøpt for 60 kr? 2) Kjøttdeigen er sett ned 45 % i forhold til normal pris. Kva er den normale prisen på 1 kg kjøttdeig i denne forretninga?

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 228

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.233

Oppgåve 1.235

a) Kva reknar dette programmet ut?

Tabellen viser korleis talet på bakteriar utvikla seg i ein oppløysning.

8 9

b) Kommenter og forklar kva som skjer i kvar linje i programmet. c) Programmet manglar utskrift. Lag ei linje til slutt som skriv ut det programmet gir svar på. Oppgåve 1.234

I august 2020 hadde Eiendom Norge dette oppslaget: Omsetningen øker fortsatt I august ble det solgt 9964 boliger i Norge, noe som er 10,2 prosent flere enn i tilsvarende måned i 2019. Så langt i år er det solgt 66 213 boliger i Norge, noe som er 3,5 prosent flere enn på samme tid i 2019. I august ble det lagt ut 11 667 boliger til salgs i Norge, noe som er 8,2 prosent færre enn i samme måned i 2019. Så langt i år er det lagt ut 70 771 boliger til salgs, noe som er 2,9 prosent færre enn på samme tid i fjor. Kjelde: https://eiendomnorge.no/boligprisstatistikk/

a) Kor mange bustader blei det selt i august 2019? b) Kor mange bustader blei det selt i alt fram til august 2019? c) Kor mange bustader blei lagde ut for sal i august 2019? d) Kor mange bustader blei lagde ut for sal fram til august 2019? ▲ 1.3

4 471

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen f (x) som gir oss talet på bakteriar etter x timar. b) Kor stor er den prosentvise auken per time? c) Kor mange bakteriar er det i opp løysningen etter 12 timar viss utviklinga fortset? d) Etter kor mange timar er det 10 000 bakteriar viss utviklinga fortset på den same måten? Oppgåve 1.236

Tabellen nedanfor viser det samla antalet registrerte elbilar i Noreg ved utgangen av kvart år i perioden frå 2014 til 2020. Årstall x Elbilar

2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 0

a) Finn ved regresjon den eksponential funksjonen S(x) som passar best med tala i tabellen. La x vere talet på år etter 2014. b) Teikn digitalt grafen til funksjonen S for perioden 2014–2020. c) Kor mange prosent aukar antalet registrerte elbilar per år ut frå denne modellen? d) Bruk modellen frå oppgåve a og finn når talet på elbilar passerer 750 000. Løys oppgåva ved å bruke CAS og grafisk.

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 229

783 1304

337 201

while aar < 10: belop = belop*vekstfaktor aar = aar + 1

2 283

260 688

0 170

194 900

Bakteriar

138 477

Tid (timar)

101 126

belop = 15000 rente = 1.5 vekstfaktor = 1 + rente/100 aar = 0

73 312

42 356

229

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.237

Oppgåve 1.238

Gunnar har fått ein infeksjon og skal ta tablettar med eit verkestoff mot infeksjonen. Når han har tatt ein tablett, er mengda verkestoff i milligram M(t) etter t timar gitt ved

Anna plasserer ut kaninar på ei øyden øy. Ho reknar med at talet K(t) på kaninar etter t månader er gitt ved

M (t ) = 120 ⋅ 0, 97t , 0 ≤ t < 12 a) Kor mange milligram verkestoff er det i ein tablett? b) Kor mange milligram av verkestoffet er igjen i kroppen etter 5 timar? c) Kor mange prosent blir verkestoffet i kroppen redusert med kvar time? d) Teikn grafen til M for t mellom 0 og 12. e) Kor lang tid går det før Gunnar har 90 mg verkestoff i kroppen? Gunnar tar éin ny tablett kvar 12. time. f) Kor mange milligram verkestoff har Gunnar i kroppen rett før og rett etter at han tar tabletten etter 12 timar? g) Teikn i same koordinatsystem som i oppgåve d ein graf som viser mengda verkestoff i kroppen i tidsrommet mellom 12 og 24 timar.

K(t) = 100 ⋅ 1,105t a) Kor mange kaninar plasserer Anna ut på øya? b) Kor mange kaninar kan vi rekne med det er på øya etter 2 år? c) Kor mange prosent aukar talet på kaninar kvar månad? d) Teikn ein graf som viser utviklinga av talet på kaninar dei to første åra. e) Kor lang tid tar det før talet på kaninar er 500? Anna synest etter kvart at kanin bestanden er altfor stor, og ho bestemmer seg for å drive jakt på kaninane. Ho reknar med at talet på kaninar om t månader da er gitt ved K(t) = 1000 - 10 ⋅ 1,16t f) Kor mange kaninar er det på øya når Anna begynner jakta? g) Finn grafisk kor lang tid det tar før kaninbestanden er utrydda med denne modellen. ▲ 1.5

230

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 230

06/08/21 3:21 PM

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 1.300

Teksten nedanfor er henta frå heimesida til Folkehelseinstituttet (FHI), der det blir presentert nokre hovudpunkt frå uke 43 i 2020 om korona situasjonen. Noen hovedpunkter fra uke 43: • I uke 43 ble det meldt 1686 tilfeller, en 79 % økning fra 941 tilfeller i uke 42 (49 per 100 000 innbyggere for uke 42 og 43 samlet mot 36,9 per 100 000 innbyggere for uke 41 og 42 samlet). • I uke 43 ble 98 041 personer testet, en økning på 10 % fra uka før. Andelen positive blant de testede gikk opp fra 1,05 % i uke 42 til 1,72 % i uke 43. • Median alder i uke 43 var 33 år mot 38 år siden starten av epidemien. Antall meldte tilfeller gikk opp i alle aldersgruppene og økte mest i aldersgruppa 13–19 år (fra 53 i uke 42 til 151 i uke 43(34 per 100 000 i uke 43) +184 %). • I løpet av uke 43 var det en økning i antall meldte tilfeller fra alle fylker bortsett fra Agder som meldte om færre tilfeller enn uka før. Flest tilfeller ble meldt fra Oslo (468 tilfeller i uke 43 mot 302 tilfeller i uke 42, 111 tilfeller per 100 000 innbyggere for uke 42 og 43 samlet). Totalt 209 kommuner meldte ingen tilfeller i uke 43, og av de 147 som meldte tilfeller var det 93 som meldte færre enn 5 tilfeller. Det var dermed 54 kommuner som meldte om 5 eller flere tilfeller i uke 43. • Informasjon om smitteland mangler for 50 % (1301 av 2627) av tilfellene meldt i uke 42-43. Dette skyldes at klinikermeldinger til MSIS mangler for mange av tilfellene. Der vi har informasjon ser vi at andelen smittet i utlandet har økt fra 17 % i uke 41 til 25 % i uke 43. Alle de 310 som var registrert smittet i utlandet i uke 42-43, kom fra land som utløser karantene ved innreise til Norge. Mest vanlig smitteland siste to uker var Polen (190), Romania (16), Russland (7) og Sverige (7). • Smittesituasjonen er foreløpig avklart for 976 av 1 016 (96 %) som er kjent smittet i Norge i uke 42–43. Mest vanlig antatt smittested privat husstand (387; 40 %), jobb/universitet (152; 16 %), arrangement privat (116; 12 %) og serveringssted/bar/utested (61; 6 %). For 148 tilfeller (15 %) var antatt smitte sted ukjent.

a) Kor mange melde koronatilfelle var det i veke 42? b) Kor mange prosent av kommunane hadde ingen melde koronatilfelle i veke 43? c) Kor mange prosent av dei kommunane som melde koronatilfelle, hadde færre enn 5 tilfelle? d) Kor mange prosentpoeng auke har det vore i andelen som er smitta i utlandet frå veke 41 til veke 43? e) Lag to spørsmål til teksten og byt med ein medelev. Lag også løysings forslag til spørsmåla. 1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 231

231

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.301

Fjellsjøen er forureina av eit giftstoff som er oppløyst og godt blanda i vatnet. Firmaet A/S Miljøgift har fått i oppdrag av kommunen å redusere forureininga. Tabellen viser giftmengda f (t) i milligram (mg) per tonn vatn t veker etter at tiltak blei sette i verk. t (veker)

f (t) (mg)

400

351

280

236

210

194

a) Finn ut mest mogleg om korleis giftmengda utviklar seg. Presenter resultata for kommunen. Kommunen synest at det tar for lang tid å redusere giftmengda. Det blir sett inn ytterlegare tiltak etter 1 år, og deretter viser det seg at g(t) = 194 ⋅ 0,975t + 20 er ein god modell for giftmengda i innsjøen t veker etter at nye tiltak blei sette i verk. b) Finn ut mest mogleg om korleis giftmengda no utviklar seg. Presenter resultata for kommunen. Oppgåve 1.302

Den 8. august 2019 hadde Aftenposten ei sak som handla om uhell med sparkesyklar. Illustrasjonen nedanfor er basert på saka. Ta utgangspunkt i illustrasjonen og vis kompetansen din i prosentrekning. Lag problemstillingar og vis utrekningar.

Uhell med el-sparkesykler

I juli ble 149 personer i Oslo skadd etter uhell under bruk av elsparkesykkel. Oslo legevakt har hatt 337 legevaktbesøk etter uhell med slike sykler i perioden april til juli. 22 413 Alle typer skader

Antall skader registrert på Oslo legevakt 149 april–juli etter uhell med 107 elektrisk sparkesykkel 34

april mai

337 (1,5 %) av skadene forårsakes av uhell med elsparkesykkel

Flest menn 61 % menn juni

juli

49 % kvinner

Lettere skader

245

Moderate skader Alvorlige skader

232

71 21

Kilde: Oslo Universitetssykehus

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 232

06/08/21 3:21 PM

Oppgåve 1.303

Ungdata er lokale ungdomsundersøkingar der skuleelevar over heile landet svarer på spørsmål om korleis dei har det, og kva dei driv med på fritida. Frå 2010 og fram til sommaren 2019 har 628 700 ungdommar deltatt i undersøkinga. Studer presentasjonen av resultata nedanfor og sjå deretter påstandane øvst på neste side. Prosentandel som har skulket skolen siste år – etter kjønn og klassetrinn Gutter

Jenter

8. 9. 10. Vg1 Vg2 Vg3 trinn trinn trinn

10. Vg1 Vg2 Vg3 9. 8. trinn trinn trinn

Fleire enn før skulkar skulen Generelt er det eit mindretal av ungdom som skulkar skulen. Skulking er sam tidig eit fenomen som tiltar gjennom ungdomsåra. Mens under to av ti har skulka skulen det siste året på 8. trinnet, gjeld det om lag halvparten av elevane på vg3. Dei fleste som skulkar, gjer det frå éin til fem gonger. Andelen som har skulka meir enn det, er fire prosent på ungdomstrinnet og ni prosent på vidaregåande. Det er små kjønnsskilnader i omfanget av skulking. På ungdomsskulen er skulking noko meir vanleg blant ungdom frå lågare sosiale lag, mens dette jamnar seg ut på vidaregåande. Dei fleste

fylka ligg på landsgjennomsnittet for skulking, men skulking er minst utbreidd i Innlandet og mest utbreidd i Oslo og i dei nordlegaste fylka. Fram til 2015 blei det registrert ein svak nedgang i kor mange ungdoms skuleelevar som skulka skulen. Etter det har andelen som skulkar på ungdoms skulen, auka ein god del – frå rundt 20 prosent i 2015 til rundt 25 prosent i 2018. Tala for vidaregåande viser ein litt annan utviklingsprofil, med ein nedgang frå 2015 til 2017. Dette kan ha samanheng med innføring av nye fråværsreglar i vidaregåande. Samtidig viser undersøkinga i år ein liten auke frå i fjor.

Prosentandel som har skulket skolen siste år – etter kjønn, skoleslag og tidspunkt Jenter Gutter

20 20

21 21

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Ungdomsskolen

2015 2012 2017 2018 Videregående

1 | Prosent

11_Sinus 2P-2021_kap1_oppgaver.indd 233

233

06/08/21 3:21 PM

FASIT TEORIDEL 1 1.10 a) 45,90 kr b) 2146,37 kr c) 4377,50 kr d) 4000 kr 1.11 a) 123,75 kr

b) 3710,65 kr

1.12 b) 3,5 1.14 25 % 1.15 a) 40 % c) 47,5 % 1.17 a) 60 poeng

b) 12,5 %

b) 31 elevar

1.18 125 1.19 a) 175 kr

1.33 a) 25 % auke b) 12,5 % auke c) 25 % nedgang d) 12 % nedgang e) 2,05 % auke f) 1,5 % nedgang g) 7,25 % nedgang h) 115 % auke i) 100 % nedgang 1.35 a) Dagskort: 72 kr Vekekort: 200 kr Månadskort: 480 kr b) Dagskort: 425 Vekekort: 504 Månadskort: 990 1.36 a) 0,763 b) 23,7 % 1.37 a) 1,40 b) 3,2 kg

b) 37,5 timar

1.20 a) 0,25 prosentpoeng b) 25 % 1.21 a) 15 prosentpoeng b) 15 på begge prøvane. 1.22 a) 1,7 prosentpoeng b) 11 % 1.23 a) 2 prosentpoeng b) 6 prosentpoeng 1.30 a) 1,12 d) 1,015 b) 1,85 e) 1,0075 c) 1,03 f) 3 1.31 a) 0,88 b) 0,945 c) 0,48 d) 0,9875 e) 0,9925 f) 0,635

332 20_Sinus 2P-2021_Fasit_teori.indd 332

1.38 a) 7600 b) 5 % c) 0,25 % nedgang 1.40 a) 6144 kr

b) 59 %

1.41 a) 628 kg

b) 21,5 %

1.42 a) 19,3 timar b) 67 kg 1.43 a) 2,33 millionar kr b) 11,2 % 1.44 a) ca. 13 300 b) ca. 3950 c) 9 år 1.50 a) f (x ) = 2, 25 ⋅1, 007 x b) Bra, modellen gir eit litt for lågt tal i forhold til 1960 og 1980, litt for høgt i forhold til 2000. c) 0,7 % d) 6,57 millionar

1.51 a) f (x ) = 1510 ⋅1, 0135x b) 1,35 % c) Modellen gir eit litt for høgt tal (4,134 milliardar) d) Modellen gir eit altfor høgt tal (11,332 milliardar) 1.52 a) f (x ) = 27 ⋅1,14 x b) 14 % c) Hausten 2004 (x = 4,75) d) Modellen gir eit altfor høgt tal (99,6 %) 1.53 b) 22,5 % c) 260 d) 2 min og 43 sek (2,72 minutt) 1.54 a) 8 ⋅1, 00950 ≈ 12, 5 b) f (x ) = 12, 5 ⋅1, 009 x c) Modellen passar bra (14,95 %) d) Modellen gir eit altfor lågt tal (19,6 %) REPETISJONSOPPGÅVER 1 Oppgåve 1 a) 1) 3 % auke 2) 15 % auke 3) 3 % nedgang 4) 0,3 % auke 5) 86 % nedgang 6) 100 % auke b) 1) 1,05 2) 1,009 3) 2,5 4) 0,93 5) 0,62 6) 0,995 Oppgåve 2 a) 720 kr

b) 750 kr

Oppgåve 3 a) 1) 6 prosentpoeng 2) 30 % b) 23 % Oppgåve 4 I byen med prosentvis vekst.

10/08/21 3:29 PM

Oppgåve 5 a) 20 600 kWh b) 19 982 kWh

2.15 a) Likning 1 b) Likning 2 c) Likning 4 d) Likning 3

2.33 a) 14 representantar b) 77 representantar

Oppgåve 6 Påstand A

2.20 a) x = 5 b) x = 2 c) x = −2 d) x = 4

2.40 a) x = 3

Oppgåve 7 a) 3,9 millionar kroner b) 2,8 millionar kroner c) 3,2 millionar kroner Oppgåve 8 a) 5 368 000 b) f(x) = 4381 ⋅ 1,011x c) 1,1 % d) 7,4 millionar e) Modellen gir eit litt for lågt tal (2,3 millionar) Oppgåve 9 a) T(x) = 93,9 ⋅ 0,948x c) 5,2 % d) 93,9 °C e) I knapt 12 timar. Oppgåve 10 a) f(x) = 150 ⋅ 1,05x c) I løpet av 2050

2 2.10 a) x = 14 c) x = 12

b) x = 2 d) x = 4

2.11 a) 1 løysing b) 2 løysingar c) Ingen løysingar d) Uendeleg mange løysingar 2.12 a) 2 løysingar: x = −5 eller x = 5 b) Uendeleg mange løysingar c) 1 løysing: x = −2 d) Ingen løysingar 2.13 Knoll har rett svar 2.14 Emilie løyste likninga korrekt

2.21 14 a) x = 2 b) x = 9

c) x = −10

2.22 a) x = 2 b) x = 1 c) x = -1

d) x =

3 8

2.23 11 a) x = 1 b) x = c) x = 10

2.24 a) x = 3 b) x = −4 15

c) x = − d) Inga løysing 2 e) x = 0 f) Inga løysing g) x = 2 h) x = -1,04 eller x = 1,04 2.30 a) Andrea: x Julie: x + 3 Cesilie: x - 1 Marit: 3x Ajara: 3x + 1 Lisa:

3 x+1 2

Julie, Cesilie og Ajara: 5x + 3 Nina: 2x - 1 b) 3 mål c) Julie: 6 mål Cesilie: 2 mål Marit: 9 mål Ajara: 10 mål Lisa: 5 mål Nina: 5 mål 2.31 Abel: 9 år, Bjarne: 7 år, Cato: 14 år og David: 6 år 2.32 Ost: 8 kr, bacon: 4 kr og hamburgar: 88 kr

b) x = 1

2.41 a) Framtida bilkollektiv: 270 + 3,80x Grøne bilar: 360 + 2,00x b) 50 km, 270 + 3,80x = 360 + 2,00x 2.42 a) Bjørn-Terje: 60 + 4x Henning: 40 + 6x b) 10 korger c) 14 korger, 40 + 6x = 124 2.43 x = −1, x = 1 2.44 a) 1) x = −3, x = 3 2) x = −5, x = 4 3) x = 7 2.45 a) x = 2 b) x = 4 c) x = 10 d) x = −2 e) x = 2 f) x = -9,9, x = -8, x = 6 2.46 a) Inga løysing. b) Inga løysing når b < -1, éi løysing når b = -1 og to løysingar når b > -1. 2.50 x = −2 og y = 1 2.51 a) x = 3 og y = 1 b) x = −1 og y = 1 c) x = 2 og y = 3 d) x = −2 og y = 0 2.52 a) x + y = 20, y - x = 6 (kan også byte x og y) b) 7 og 13

333 20_Sinus 2P-2021_Fasit_teori.indd 333

10/08/21 3:29 PM

FASIT OPPGÅVEDEL 1 1.110 a) 1) 8 kr, 16 kr, 40 kr 2) 15 kr, 30 kr, 75 kr 3) 180 kr, 360 kr, 900 kr b) 1) 36 kr 2) 78 kr 3) 320 kr 4) 14 kr 1.111 a) Figur F c) Figur A

b) Figur C d) Figur E

1.112 a) 240 kr

b) 360 kr

1.113 a) 24 kr, 159 kr b) 130 183 kr

1.143 a) 14,57 kr c) 4,1 %

1.130 a) 1,31 b) 0,69 c) 0,975 d) 1,025 e) 2 f) 0,50

1.144 a) 60 personar b) 91 personar c) Etter ca. 11 veker

1.131 a) 28 % auke b) 0,7 % auke c) 100 % auke d) 40 % nedgang e) 1 % nedgang f) 99,2 % nedgang

1.145 a) 8241,08 kr b) 8200 ⋅ 1,001x d) Etter 36 år

b) 4,0 %

1.134 a) 336 kr

1.117 a) 1200 kr c) 2900 kr

1.135 a) 320 kr b) 4500 kr

b) 900 kr d) 31,0 %

1.120 a) 0,9 prosentpoeng b) 6,3 % 1.121 a) 1,88 % per år b) 2,02 % per år 1.122 a) 14 prosentpoeng b) 189 elevar c) 113 elevar 1.123 a) 5 prosentpoeng b) 78 elevar c) 169 elevar 1.124 a) 18 elevar, 24 elevar b) 1,5 prosentpoeng c) 0,5 prosentpoeng d) 33,3 %

21_Sinus 2P-2021_Fasit_oppgaver.indd 339

1.147 b) Ja. Alle billettane er ikkje selde før etter 22 timar.

1.133 a) Skoa kostar 560 kr i begge butikkane. Tilboda er like gode. b) 72 000 kr

1.116 Jesper: 660 kr, Jonathan: 1815 kr

1.148 a) 100 000 kr, 223 000 kr b) 8,3 %, 7,7 % d) Etter 5 år, 149 185 kr 1.150 a) V (x ) = 900 000 ⋅ 0, 88 x b) 540 000 kr c) 12 %

b) 44 %

1.136 Ordinær pris (kr)

Salspris (kr)

Avslag i prosent

Sofa

12 000

10 500

12,5

Stol

8900

7565

Puff

3700

2960

1.137 a) 700 kr

b) 2250 kr

1.138 32 deltakarar sluttar. 1.140 a) 1,65 m c) 9,3 %

b) 1,75 m

1.141 a) 38,7 tonn, 26,4 tonn b) 47,2 % 1.142 a) 4,81 millionar kroner b) 1,63 millionar kroner

b) 14,00 kr

1.146 a) 1420 b) f (x ) = 145 ⋅ 1, 33x d) Etter 15 timar

1.132 a) 276 b) 545,20 kr

1.114 a) Ja, buksa kostar 450 kr. c) 60 % 1.115 a) 2,5 %

1.125 a) 2,3 prosentpoeng b) 50 %

1.151 a) f (x ) = 2804 ⋅ 0, 939 x c) ca. 1800 d) Ja. Det har vore ein årleg nedgang på 6,1 %. 1.152 a) T(x) = 14 880 ⋅ 0,986x b) Modellen passar bra. Han gir 12 524. c) 11 164 d) I 2042 e) 1,4 % 1.153 a) A(x) = 24,7 ⋅ 1,362x b) 36,2 % c) 2551, modellen passar dårleg 1.154 a) V(x) = 1400 ⋅ 0,96x b) 1400 L c) 4,0 % e) ca. 500 L f) ca. 17 min g) ca. 15 min

339 06/08/21 6:04 PM

1.200 a) Fargelegg 6 ruter b) 6 ruter 1.201 a) Basert på tala i utklippet skal svaret vere 42,4 %. b) 29,3 % 1.202 Ja. Alternativa 2 og 3 gir det same avslaget. 1.203 a) 223 300 tonn b) 231 000 tonn 1.204 a) 46,3 %

b) 7,5 %

1.205 10 %

1.218 Påstand 2 og 4 stemmer. 1.219 a) 1,4 prosentpoeng b) 17,7 % 1.220 942 tilfelle 1.221 73 466 kr b) 340 000 kr

1.223 a) 18 000 ⋅ 1,0010 ⋅ 1,0015 b) Dei har like mykje.

1.207 25 %

1.209 a) 25 %

1.217 Påstand 1 og 4 stemmer.

1.222 a) 275 400 kr

1.206 300 kr

1.208 a) 20 % c) 15 ruter

1.216 a) Programmet reknar ut opphavleg pris på ei vare før det blir gitt rabatt.

b) 15 ruter

b) 25 %

1.210 1700 kr 1.211 Sporten: 3116 kr Sportsmesse: 3002 kr Aktiv: 3198 kr Billigast på sportsmessa 1.212 36 % 1.213 10 % 1.214 40 % 1.215 48 %

1.225 a) 10 % b) 160 postar 1.226 50 %

1.237 a) 120 mg b) 103 mg c) 3 % e) 9,4 timar f) 83,3 mg, 203,3 mg 1.238 a) 100 kaninar b) 1098 kaninar c) 10,5 % e) ca. 16 månader f) 990 kaninar g) ca. 31 månader 1.300 a) 941 b) 58,7 % c) 63,3 % d) 8 prosentpoeng 1.303 1) Sann 2) Sann 3) Usann 4) Usann 5) Sann 6) Sann 7) Sann 8) Usann 1.305 a) ca. 87 år

1.228 Uttrykk 1

2.111 Oppgåvene a, b og c

1.229 Uttrykk 4 1.230 a) 1760 kr

1.236 a) S(x) = 48 574 ⋅ 1,40x c) 40,0 % d) I 2022 (x = 8,1)

b) 25 %

1.232 a) 1) 19,90 kr 2) 19,6 % b) 21,2 % c) 1) 1,253 kg 2) 87,09 kr 1.234 a) 9042 b) 63 974 c) 12 709 d) 72 885 1.235 a) f (x ) = 170 ⋅ 1, 29 x b) 29,0 % c) 3610 bakteriar d) 16 timar

2.112 x = 7 er ei rett løysing, men det finst ei løysing til, nemleg x = −7. 2.113 Svaret stemmer ikkje. Det blir x = −5 eller x = 5. 2.114 a) x = 3 b) x = 1 c) x = −1 d) x = 2 2.117

2.120 a) x = −11 b) x = 0 c) x = 1 d) x = 12

340 21_Sinus 2P-2021_Fasit_oppgaver.indd 340

06/08/21 6:04 PM

Sinus 2P (2021) utdrag nyn

Articles inside

2.2 Løyse likningar ved rekning

Prosjektoppgåve: Mordgåta

2 Likningar og ulikskapar .................................................. 34 2.1 Likningar

Repetisjonsoppgåver

2.3 Uoppstilte likningar

1.4 Eksponentiell vekst

1.5 Eksponentiell regresjon