2º Básico Matemática by espaciosinnovadores

Matemática 2° Básico Directora de la colección: Guillermina Herrera Peña

Maestra de educación primaria, Licenciada en letras y filosofía, Lingüista e Investigadora Lingüista. Miembro de Número de la Academia Guatemalteca de la Lengua Española, miembro de la comisión para la creación de la Academia de las Lenguas Mayas de Guatemala. Escritora y autora de libros de diferentes temas. Columnista en periódicos de Guatemala y colaboradora en publicaciones especializadas en lingüística, español, lenguas mayas, educación intercultural bilingüe, feminismo, equidad de género, literatura, filosofía y políticas públicas y política y planificación lingüística. Autora de peritajes lingüísticos para litigios de orden civil y litigios estratégicos.

ISBN 9789929614352 Código: 8881223901 Reimpresión 2020 Impreso en IGER Talleres Gráficos Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibido la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización de Asec Ediciones. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Ediciones ASEC, de la Asociación de Servicios Educativos y Culturales, ofrece al sistema educativo guatemalteco su Programa Logos, una colección de textos escolares cuyas características proveen a los estudiantes de contenidos educativos de calidad, pertinentes, actualizados y que responden al Currículum Nacional Base promovido por el Ministerio de Educación. El nombre de nuestro programa editorial refiere al concepto logos (del griego λóγος) en su significado más amplio: inteligencia, pensamiento y sentido, desde una visión integral que permitirá a los estudiantes identificar, interpretar, argumentar y resolver problemas del contexto con propiedad y ética desde el saber ser, el saber hacer y el saber conocer. Programa Logos se adhiere al Currículum Nacional Base buscando el desarrollo de competencias. En este horizonte, nuestros textos procuran aprendizajes que desarrollan capacidades basadas en conocimientos, habilidades, destrezas, carácter y valores para ayudar a los estudiantes a enfrentar adecuadamente sus interacciones en los ámbitos personal y social, mediante procesos de reflexión crítica y de adaptaciones creativas a nuevas situaciones de la vida. Siguiendo estos lineamientos, nuestros contenidos educativos permiten a los jóvenes estudiantes aprendizajes para comprender el mundo en el que se desenvuelven, así como para usar su creatividad para transformarlo de manera positiva. Nuestros textos han sido diseñados para promover un aprendizaje significativo. Buscan que el estudiante construya conocimientos a partir de los que ya posee o al relacionar los nuevos con otros que domina previamente. Asimismo, han sido diseñados para que los estudiantes se sientan dispuestos favorablemente a llevar a cabo la construcción creativa y armónica de su desarrollo educativo. Con nuestros textos fomentamos la autodisciplina, la autorregulación de los aprendizajes y la metacognición. Apostamos por la evaluación formativa, que informa de los logros y advierte de las dificultades permitiendo la búsqueda de nuevas estrategias de aprendizaje. Para las materias evaluadas periódicamente por el Ministerio de Educación, incorporamos las pruebas liberadas correspondientes, de modo que los estudiantes puedan prepararse mejor. Ediciones ASEC respalda sus textos escolares en su equipo de autoría, mediación pedagógica y diseño, formado por profesionales especializados en cada materia y con larga y productiva experiencia en la elaboración de materiales educativos. Programa Logos es una apuesta nacional por la calidad de la educación. Nuestro fin es ofrecer textos accesibles, de la mejor calidad académica, que doten a estudiantes y profesores de una herramienta imprescindible para allanar el camino de la juventud guatemalteca en la maravillosa tarea de su superación. En Ediciones ASEC estamos convencidos de que la educación es la base del desarrollo.

Índice Índice...............................................................................................................................................................................................

Presentación................................................................................................................................................................................. VII

Unidad 1 Relaciones y funciones........................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! El plano cartesiano........................................................................................................ Taller de matemática............................................................................................................................................................... Pares ordenados........................................................................................................................................................................... Producto cartesiano ................................................................................................................................................................... Formas de representar el producto cartesiano................................................................................................................ Relaciones ...................................................................................................................................................................................... Representación gráfica de una relación.............................................................................................................................. Funciones........................................................................................................................................................................................ Representación gráfica de una función............................................................................................................................... Función lineal................................................................................................................................................................................ Función de proporcionalidad f(x) = ax................................................................................................................................ Función afín f(x) = ax + b......................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

3 4 4 5 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17

Unidad 2 Lógica proposicional..............................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! Un problema de lógica................................................................................................. Taller de matemática............................................................................................................................................................... Valores de verdad (v, f).............................................................................................................................................................. Conectivos lógicos....................................................................................................................................................................... Conjunción (∧).............................................................................................................................................................................. Disyunción (∨)............................................................................................................................................................................... Condicional ( )............................................................................................................................................................................ Bicondicional (1 )......................................................................................................................................................................... Reglas de los conectivos lógicos........................................................................................................................................... Regla de la conjunción (∧)....................................................................................................................................................... Regla de la disyunción (∨)........................................................................................................................................................ Regla del condicional ( )......................................................................................................................................................... Regla del bicondicional (1 )..................................................................................................................................................... Aplicación de las tablas de verdad........................................................................................................................................ Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

23 24 24 25 25 25 25 26 27 27 28 29 30 31 33 37 38 40

Índice – Matemática

Unidad 3 Números reales.............................................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! Los pitagóricos y los números irracionales............................................................ Taller de matemática............................................................................................................................................................... Números reales (R)...................................................................................................................................................................... Características de los números reales.................................................................................................................................. Valor absoluto de un número real......................................................................................................................................... Números reales opuestos......................................................................................................................................................... Propiedades de los números reales...................................................................................................................................... Propiedades de la suma con números reales................................................................................................................... Propiedades de la multiplicación con números reales.................................................................................................. Distributiva del producto respecto a la suma y a la resta............................................................................................ Intervalos de números reales.................................................................................................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

45 46 46 46 47 48 49 49 49 50 51 55 58 59 61

Unidad 4 Operaciones con expresiones algebraicas ...............................................................................

¡Prepárate para el recorrido! Para recordar................................................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Operaciones con expresiones algebraicas......................................................................................................................... Suma y resta de monomios..................................................................................................................................................... Suma y resta de un monomio con un polinomio........................................................................................................... Suma y resta de un polinomio con otro polinomio....................................................................................................... Multiplicación de monomios y polinomios....................................................................................................................... Producto de dos o más monomios...................................................................................................................................... Producto de monomio por polinomio................................................................................................................................ Multiplicación de binomio por binomio............................................................................................................................. Multiplicación de polinomio por polinomio..................................................................................................................... Productos notables..................................................................................................................................................................... División de monomios y polinomios.................................................................................................................................... División de monomio entre monomio................................................................................................................................ División de polinomio entre monomio............................................................................................................................... División de polinomio entre binomio: la regla de Ruffini............................................................................................ Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

67 68 68 68 68 69 71 71 72 73 73 75 80 80 80 82 85 89 90 92

Segundo grado – ciclo básico

Unidad 5 Ecuaciones e inecuaciones..............................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! ¿Conoces la Torre inclinada de Pisa?...................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Ecuaciones con signos de agrupación................................................................................................................................. Ecuaciones fraccionarias........................................................................................................................................................... Inecuaciones de primer grado................................................................................................................................................ Condiciones para aplicar la simbología en una desigualdad..................................................................................... Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita............................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

97 98 98 99 101 101 102 105 107 108 110

Unidad 6 Progresiones aritméticas y geométricas......................................................................................

113

¡Prepárate para el recorrido! Las fases de la Luna....................................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Progresión aritmética................................................................................................................................................................. El último término de una progresión aritmética.............................................................................................................. Primer término, número de términos y diferencia de términos................................................................................ Suma de los términos en una progresión aritmética..................................................................................................... Progresión geométrica.............................................................................................................................................................. Último término de una progresión geométrica............................................................................................................... Primer término de una progresión geométrica............................................................................................................... Suma de los términos de una progresión geométrica.................................................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

115 116 116 117 118 119 121 121 122 123 125 126 128 130

Unidad 7 Geometría.............................................................................................................................................................................

133

¡Prepárate para el recorrido! El número pi..................................................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Circunferencia y círculo.............................................................................................................................................................. Partes del círculo.......................................................................................................................................................................... Perímetro y área de un círculo................................................................................................................................................ Teorema de Pitágoras................................................................................................................................................................. Cálculo de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo......................................................................... Triángulos congruentes.............................................................................................................................................................

135 136 136 136 136 139 139 143

Índice – Matemática

III

Criterios de congruencia de triángulos............................................................................................................................... Triángulos semejantes................................................................................................................................................................ Criterios de semejanza de triángulos................................................................................................................................... Teorema de Tales.......................................................................................................................................................................... Posición de Tales.......................................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

143 145 145 147 149 151 153 154 156

Unidad 8 Razones trigonométricas.................................................................................................................................

159

¡Prepárate para el recorrido! Ángulo de elevación y ángulo de depresión......................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Lados del triángulo rectángulo.............................................................................................................................................. Razones trigonométricas básicas.......................................................................................................................................... Cálculo de razones trigonométricas..................................................................................................................................... Aplicación de las razones trigonométricas........................................................................................................................ Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

161 162 162 163 165 167 169 171 172 174

Unidad 9 Numeración maya.....................................................................................................................................................

179

¡Prepárate para el recorrido! Un viaje por el mundo con los sistemas de numeración.................................. Taller de matemática............................................................................................................................................................... La numeración maya.................................................................................................................................................................. Símbolos de la numeración maya......................................................................................................................................... Números del 0 al 19.................................................................................................................................................................... Números mayores de 19........................................................................................................................................................... Conversión del sistema decimal a numeración maya................................................................................................... Conversión de numeración maya al sistema decimal................................................................................................... Suma con números mayas....................................................................................................................................................... Resta con números mayas........................................................................................................................................................ Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

181 182 182 182 182 184 184 186 187 189 191 193 194 196

Bibliografía.........................................................................................................................................................................

205

Segundo grado – ciclo básico

Matemática – 2º básico ¡Bienvenida y bienvenido! Haremos un recorrido por el fascinante mundo de las matemática. Lo importante es la dedicación y el esfuerzo que pongas para aprender. Los conocimientos matemáticos los utilizamos todos los días y casi sin fijarnos; hacemos cuentas, pagamos pasajes, recibimos vuelto y medimos el tiempo. El curso de matemática del segundo grado del ciclo básico busca que tú desarrolles las competencias marcadas por el Currículo Nacional Base (CNB) y responden a esta competencia superior: Desarrolla su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlos a la realidad de su vida cotidiana.

¿Cómo es tu libro?

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QHV Este libro tiene nueve unidades. Cada LR unidad ¢4Xp VDEH V GHO WHP inicia con la portada que presenta el número de D" la unidad, una breve presentación que te ayudará a despertar tus conocimientos previos sobre los temas que aprenderás.

HO WHP V WLSRV GH GLVWLQJXLU YDULR FRQ WH SRGHPRV HOHPHQWRV GH GR FLUFXQGDQ VH GDQ HQWUH H XQ (Q QXHVWUR PXQ QGHQFLDV TXH HVSR HUR GH '3, R HQWU FRUU UHODFLRQHV R SHUVRQD \ VX Q~P XQD QWUH OR H MXQWRV 3RU HMHPS XOD DWUtF DV" GH P HQFL HUR RQG DXWR \ VX Q~P LSR GH FRUUHVS VWH W GH H SORV FLRQDU RWURV HMHP ¢3RGUtDV PHQ

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¿Cómo saber si las has alcanzado? Para ello, el CNB propone indicadores de logro, que ves en la segunda columna. Estos indicadores o criterios son como un termómetro que mide tu desempeño en cada competencia.

En la página siguiente aparece la tabla con las competencias del Currículo Nacional Base que trabajarás en cada unidad.

iWLFD 7DOOHU GH PDWHP RV 3DUHV RUGHQDG HVLDQR 3URGXFWR FDUW HV FLRQ 5HOD )XQFLRQHV

HO UHFRUULGR ¤3UHSiUDWH SDUD VLDQR (O SODQR FDUWH

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(Q QXHVWUR UHODFLRQHV PXQGR FLUFXQGDQW R FRUUHV H SRGHP SR RV GLVWLQJ MXQWRV 3R XLU YDULRV U HMHPSOR QGHQFLDV TXH VH WLSRV GH GDQ HQWUH HQWUH XQ DXWR \ VX D SHUVRQD HOHPHQWR Q~PHUR \ VX Q~P GH PDWUtF V GH FRQ HUR GH '3 XOD ¢3RGUtDV , R HQWUH X PHQFLRQD Q U RWURV HMHP SORV GH H VWH WLSR G H FRUUHVS RQGHQFLDV "

G" Le sigue esteDUiapartado. Es la ruta para saber qué V HQ HVWD XQLGD ¢4Xp HQFRQWU encontrarás: lectura, contenidos y actividades. Siempre aparecen tres secciones.

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HQ OD UHSU FDUWHVLDQR R HVHQ WDFLyQ \ F UH RPXQLFDF IXQFLRQHV ODFLRQHV LyQ GH UHVXOWDGRV &ODVLÀ FD IXQFLRQ HV

&RQYLHU WH IUDFFLRQ HV D GHFL PDOHV \ YL FHYHUVD DO RSHUDU DSOLFDQGR OD MHUDUTXtD GH RSHUDFLRQH V HQ HO FRQM GH Q~PHUR XQWR V UDFLRQDOHV GLVWLQJXH TXH GH ORV LUUD FLRQDOHV

En la tercera columna aparecen las actividades que te ayudan a desarrollar cada competencia.

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¤3UHSiUDW H SDUD HO UHFRUULGR (O SODQR F DUWHVLDQR

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HV 'HILQLU SUR GXFWR FDUWH VLDQR 'HWHUPLQD U SU VLDQRV HQ IR RGXFWRV FDUWH UPD HQXP HUDWL YD WDEOD G H GREOH HQ WUDGD \ HQ HO SODQR FDU WHVLDQR 'HILQLU UHODFLyQ \ IXQFLyQ *UDILFD U UHODFLRQH V HQ GLDJUDPD V VDJLWDOHV 5HSUHVH QWDU JUiILF DPHQWH IXQFLRQHV O LQHDOHV

(MHUFLWDU HO FiOFXOR PH QWDO \ ODV HVWLPD FLRQHV

Presentación – Matemática

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Prepárate para el recorrido Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua. De la misma manera, esta sección te propone entrar con suavidad en el tema de la unidad, mediante estas actividades:

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PiWLFR QRPEUH DO PDWH LyQ LDQR GHEH VX

QGR HQ VX KDELWDF (O SODQR FDUWHV &XHQWDQ TXH HVWD HQ]y 5HQp 'HVFDUWHV LVR XELFDUOD \ FRP VFD YRODQGR 4X XQD OtQHD REVHU Yy XQD PR

VX PHQWH WUD]y LyQ HQ LWRV DELWDF KDFLHQGR FXDGU D FXDGULFXODU OD K QWDO \ DVt IXH U D OD KRUL]R VLWXD RWUD YHUWLFDO WRGR SRGtD DYpV GH HVWH Pp LPDJLQDULRV $ WU U GHWHUPLQDGR PRVFD HQ XQ OXJD GH HVWDV SDUWHV QR VH FRPSRQH [ (O SODQR FDUWHVLD H DEVFLVDV R HMH WDO OODPDGD HMH G RUL]RQ \ QHD K R HMH 8QD Ot MH GH RUGHQDGDV HUWLFDO OODPDGD H MHV 8QD OtQHD Y GH VH XQHQ ORV H FWR H RULJHQ GRQ QWR GHO SURGX 8Q SXQWR G GHO SULPHU FRQMX UYD OD ORV HOHPHQWRV FRQMXQWR 2EVH [ HVFULELPRV GHO VHJXQGR 6REUH HO HMH ORV HOHPHQWRV \ HMH HO VREUH FDUWHVLDQR \

• Recordar conocimientos previos. • Conocer datos curiosos relacionados con el tema. • Presentar la vida de matemáticos destacados.

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Taller de matemática

El propósito de este taller es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conocerás especialmente los conjuntos numéricos, sus operaciones y sus propiedades.

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RUGH OtQHDV HVWi HO SDUPRV GH SD RV ODYDPRV ORV GLHQWHV $ Q GHWHUPLQDGR 3RU HMHP HPRV TXH HVWi OOHQR UHV RUGHQDGRV

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¿Cómo saber que estás alcanzando los logros que te llevan a desarrollar las competencias? Resolver los ejercicios te permitirá comprobar si comprendes los contenidos propuestos y por lo tanto si vas alcanzando los logros.

¤$WHQFLyQ (O SULPHU HOH GHO SDU RUG PHQWR HQDGR UHSUHVHQWD VLHPSUH OD SRVLFLyQ K RUL]R VHJXQGR HOH QWDO HO SRVLFLyQ YH PHQWR OD UWLFDO

Ten presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario te permitirá ir ganando seguridad y agilidad.

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Taller de prácticas

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Encontrarás una serie de ejercicios en los que practicarás contenidos básicos, con distintos niveles de dificultad.

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^ [ ± [ MXQWR GRPLQLR \ ` % WRV $ ^ \ SDUD HO FRQ RQMXQ ² V ORV F UHV ² [ V YDOR 'DGR [ OLJH OR P ± P D VDJLWDO ( yQ HQ XQ GLDJUDP ODV LPiJHQHV FDGD IXQFL \ SDUD KDOODU \ % 5HSUHVHQWD FDGD YDORU I [ [ [ ± [ FLyQ D DSOLFD OD IXQ I [ [ I [ [ ± [ [ ± [ [ I [ [ I [ [ ± [ [ P ± P I [ [ ±

Además, hallarás tres secciones más:

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• Aumenta tu velocidad de cálculo. Si logras realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta con agilidad, tu cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.

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Desarrolla tu pensamiento lógico. Te ayudará a entrenarte y aplicar los conocimientos a la resolución de problemas. \

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• Por último esta la sección ¡Ponte a prueba! que te prepara poco a poco para las pruebas de matemática que realiza el Ministerio de Educación.

Segundo grado – ciclo básico

WDGR FHQWD

DV HQ XQD WDE

OD GH YDORUHV R HQ

YRV 'HWHUPLQ

D FXiQWR WHQG

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[ [

A continuación, aparece el cuadro que te ayudará a verificar si alcanzaste los logros propuestos. D

8Q JDOyQ GH SLQWXUD

HQWHV SUREOHP

6L XQ SDQ QRV KD FRV

LFR

$ $SOLFD OD IXQF LyQ SURSRUFLR QDOLGDG I [ RWUD IRUPD TX D[ \ UHVXHOYH OR H W~ SURSRQJDV V VLJXL

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6HJXQGR JUDGR

² FLFOR EiVLFR

Relaciones y funciones

unidad

¿Qué sabes del tema? En nuestro mundo circundante podemos distinguir varios tipos de relaciones o correspondencias que se dan entre elementos de conjuntos. Por ejemplo: entre una persona y su número de DPI o entre un auto y su número de matrícula. ¿Podrías mencionar otros ejemplos de este tipo de correspondencias?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

El plano cartesiano

Taller de matemática • • • •

Pares ordenados Producto cartesiano Relaciones Funciones

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Series y secuencias lógicas

Aumenta tu velocidad de cálculo • Resolución de multiplicaciones y funciones

Unidad 1 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

2. Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados.

2.2 Realiza gráficas en el plano cartesiano (relaciones, funciones). 2.3 Clasifica funciones.

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

Segundo grado – ciclo básico

3.1 Aplica la jerarquía de operaciones.

Actividades

Definir producto cartesiano.

Determinar productos cartesianos en forma enumerativa, tabla de doble entrada y en el plano cartesiano.

Definir relación y función.

Graficar relaciones en diagramas sagitales.

Representar gráficamente funciones lineales.

Ejercitar el cálculo mental y las estimaciones.

¡Prepárate para el recorrido! El plano cartesiano El plano cartesiano debe su nombre al matemático René Descartes. Cuentan que estando en su habitación observó una mosca volando. Quiso ubicarla y comenzó a cuadricular la habitación en su mente, trazó una línea vertical, otra horizontal y así fue haciendo cuadritos imaginarios. Por medio de este método podía situar a la mosca en un lugar determinado.

6 5

(5, 4)

4 3

(2, 2)

2 1 0

El plano cartesiano se compone de estas partes:

Una línea horizontal llamada eje de abscisas o eje x.

Una línea vertical llamada eje de ordenadas o eje y.

Un punto de origen (0) donde se unen los ejes.

Sobre el eje x escribimos los elementos del primer conjunto del producto cartesiano y sobre el eje y los elementos del segundo conjunto. Observa la gráfica. ¿Cómo ubicamos un par ordenado en el plano cartesiano? eje y 8 7

¡Atención! Se recomienda utilizar una hoja cuadriculada para dibujar el plano cartesiano y usar siempre una regla para trazar cada línea.

ordenadas

6 5 4 3 2 1 origen

(a, 1)

eje x

abscisas

Por ejemplo, si queremos ubicar el par ordenado (a, 1), buscamos el elemento a en el eje x, trazamos una línea punteada vertical. Buscamos el elemento 1 sobre el eje y, trazamos una línea punteada horizontal. En la intersección de las líneas está el par ordenado (a, 1).

¡A trabajar! Localiza los pares ordenados {(d, 8), (e, 3), (i, 5), (a, 5), (e, 7)}, en el plano cartesiano de arriba. Guíate por el ejemplo. Unidad 1 – Matemática

Taller de matemática Pares ordenados Si pensamos en un día cualquiera de nuestra vida, descubriremos que está lleno de rutinas que realizamos en un orden determinado. Por ejemplo: primero comemos y después nos lavamos los dientes. Algo semejante sucede en matemática cuando hablamos de pares ordenados. Un par ordenado lo definimos como una colección de dos elementos unidos en un orden determinado. Un par ordenado se expresa mediante dos números o dos letras minúsculas, separados por una coma y entre paréntesis: (a, b) se lee: Par ordenado a, b. La expresión (a, b) significa que a forma pareja con b en el orden que aparecen: primero el elemento a y después el elemento b. Los pares ordenados nos sirven principalmente para ubicar objetos o puntos sobre una gráfica. Veamos un ejemplo: Gabriel visitará a Sara. Ella dibuja un plano para indicar cuántas cuadras debe caminar para llegar a su casa. Observa con atención.

¡Atención! El primer elemento del par ordenado representa siempre la posición horizontal, el segundo elemento la posición vertical.

4 3 2 1 0

Gabriel debe caminar 4 cuadras hacia la derecha (horizontal) y 3 cuadras hacia arriba (vertical). Podemos representar el trayecto con el par ordenado (4, 3). Si Gabriel caminara 3 cuadras a la derecha y 4 cuadras hacia arriba, no llegaría a la casa de Sara. Observa la ilustración, el camino equivocado está trazado en gris. Por lo tanto, un par ordenado no cumple con la propiedad conmutativa, (4, 3) ≠ (3, 4).

Segundo grado – ciclo básico

Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto A x B formado por todos los pares ordenados que pueden formarse, combinando cada elemento del conjunto A, con cada elemento del conjunto B. Simbólicamente se representa así: A x B se lee: A por B o conjunto producto cartesiano de A por B.

Formas de representar el producto cartesiano El producto cartesiano es un conjunto, y como tal, se puede representar en forma enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.

Forma enumerativa Representar el producto cartesiano en forma enumerativa consiste en realizar una lista de todos los pares ordenados posibles.

Al igual que un par ordenado, el producto cartesiano no cumple con la propiedad conmutativa A x B ≠ B x A.

Por ejemplo: Dados los conjuntos A = {1, 2} y B = {∆ , O}, hallemos el producto cartesiano A x B.

Combinamos el primer elemento del conjunto A, que es 1, con cada elemento del conjunto B para formar todos los pares posibles.

Para completar el producto cartesiano, combinamos el segundo elemento del conjunto A, que es 2, con cada elemento de B.

(1,

)

(1,

)

(2,

)

(2,

)

Finalmente, escribimos el conjunto producto cartesiano en orden con todas las parejas que obtuvimos. A x B = {(1, ∆), (1, O), (2, ∆), (2, O)}

Tabla de doble entrada Una tabla de doble entrada es un cuadro que combina dos valores. Está formada por filas y columnas. En la primera columna se escriben los elementos del primer conjunto y en la primera fila los elementos de segundo conjunto. Veamos un ejemplo:

Dados los conjuntos V = {a, e, i, o, u} y L = {1, 3, 5, 7, 9} Realicemos el producto cartesiano V x L en una tabla de doble entrada.

Representamos el conjunto V en la primera columna y el conjunto L en la primera fila. En cada celda escribimos un par ordenado, primero el elemento del conjunto V y después el elemento del conjunto L.

V L

(a, 1)

(a, 3)

(a, 5)

(a, 7)

(a, 9)

(e, 1)

(e, 3)

(e, 5)

(e, 7)

(e, 9)

(i, 1)

(i, 3)

(i, 5)

(i, 7)

(i, 9)

(o, 1)

(o, 3)

(o, 5)

(o, 7)

(o, 9)

(u, 1)

(u, 3)

(u, 5)

(u, 7)

(u, 9)

Unidad 1 – Matemática

Representación en el plano cartesiano Veamos un ejemplo de cómo representar un producto cartesiano en el plano cartesiano. Dados los conjuntos C = {a, b, c} y P = {2, 4, 6}

P x C = {(2, a), (2, b), (2, c), (4, a), (4, b), (4, c), (6, a), (6, b), (6, c)}

Hallamos el producto cartesiano

Representamos el producto cartesiano P x C en un plano cartesiano.

y f e d c b a 0

Ejercicio 1 A. Dados los conjuntos A = {2, 5, 7}, B = {x, y, z} y C = { ,

}, calcula:

1) A x B = {

}

2) A x C = {

}

3) B x C = {

}

4) B x A = {

}

B. Dados los conjuntos C = {1, 3}, D = {2, 4, 6, 8} y E = {7, 9, 11, 13}, determina en tu cuaderno los productos cartesianos siguientes en una tabla de doble entrada.

1) C x D

2) C x E

3) D x E

4) E x D

C. Dados los conjuntos A = {1, 3} y B = {2, 4, 6}, comprueba que A x B ≠ B x A.

1) Halla cada producto cartesiano A x B y B x A.

AxB={

}

BxA={

}

2) Representa A x B en el plano cartesiano.

Segundo grado – ciclo básico

3) Representa B x A en el plano cartesiano.

Relaciones En nuestra vida diaria establecemos continuamente relaciones entre personas, objetos, números, etc. Por ejemplo:

Si gasto menos, podré ahorrar más.

En matemática, una relación se representa con la letra R y se define así: Una relación es la correspondencia entre dos conjuntos A y B, tal que cada elemento del conjunto A se relaciona con uno o más elementos del conjunto B, a través de una condición. Los elementos que cumplen esa condición forman dos conjuntos.

Dominio o conjunto origen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial o conjunto A que tienen imagen en B.

Codominio o conjunto imagen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto final o conjunto B que son imagen de A.

Representación gráfica de una relación Una forma sencilla de representar una relación es a través de un diagrama sagital. Consiste en dibujar dos óvalos en los cuales escribiremos los elementos de cada conjunto A y B, e indicaremos la relación entre ellos por medio de flechas. Veamos un ejemplo. Dados los conjuntos: A = {2, 3, 4} y B = {5, 6, 9} y la relación R: a es divisor de b. La representación gráfica de la relación R en un diagrama sagital es la siguiente. R A

dominio (D)

s divisor de b ae

D = {2, 3}

C = {6, 9}

codominio (C)

Observa, el conjunto dominio está formado por los elementos 2 y 3 porque solo ellos tienen imagen en el codominio, de acuerdo a la relación R. El conjunto codominio está formado por los elementos 6 y 9 porque solo ellos son imagen de los elementos del dominio. ¡Atención! Los números que no cumplen con la condición, no forman parte ni del dominio ni del codominio.

Unidad 1 – Matemática

Funciones Una función se representa con la letra f y se define así: Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos X y Y, en la cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final. Simbólicamente, podemos representar una función de dos formas:

f: X → Y Se lee función de X en Y.

f(x) = y Se lee f de x igual a y.

En una función también se distinguen los conjuntos:

Dominio o conjunto inicial, formado por todos los valores que puede tomar la variable x, según la función establecida.

Codominio o conjunto imagen, formado por todos los valores que adquiere aplicar la función a cada valor x.

y al

En una función, x puede tomar cualquier valor, por eso recibe el nombre de variable independiente. Sin embargo, el valor de y depende del valor de x y de la función aplicada, por eso recibe el nombre de variable dependiente. Veamos un ejemplo: Una libra de azúcar cuesta 4 quetzales. El total que gastemos estará en función de la cantidad de libras que compremos. En el ejemplo, el número de libras de azúcar es la variable independiente. El gasto total es la variable que depende del número de libras de azúcar.

1 lb Q4.00 2 lb Q8.00 3 lb Q12.00 . ... . . x lb Q4(x).00 El gasto total, en función de las libras de azúcar, se puede representar simbólicamente:

f (x) = 4x = y

Si queremos hallar el gasto total de 25 lb de azúcar, sustituimos función f(x) = 4x. Observa: f (x) = 4x

x por 25 en la

f (25) = 4(25) = 100 El valor que hallamos (100) es el valor que adquiere y después de aplicar la función al valor x.

Si x = 25

y = 100

Por lo tanto, a 25 lb le corresponde un único gasto, cuyo valor es Q100.00.

Segundo grado – ciclo básico

Representación gráfica de una función También podemos representar una función en un diagrama sagital, como en las relaciones. Los pasos a seguir son los siguientes:

Asignamos una serie de valores al conjunto dominio (valor de x), de preferencia valores cercanos a cero, por ejemplo X = {–2, –1, 0, 1, 2}

Calculamos el valor de las imágenes sustituyendo el valor de x en la función f (x) y realizamos las operaciones indicadas.

Copiamos los valores obtenidos en un diagrama sagital.

Sigue con atención el ejemplo. Representemos en un diagrama sagital la función

f (x) = 4x = y f (–2) = 4(–2) = –8 f (–1) = 4(–1) = –4 f (0) = 4(0) = 0 f (1) = 4(1) = 4 f (2) = 4(2) = 8

f (x) = 4x. f (x) = 4x

–2 –1 0 1 2

–8 –4 0 4 8

Los valores que obtenemos después de aplicar la función a cada valor x son los valores de y, como vemos en el procedimiento y en el diagrama sagital.

Observa que el conjunto inicial es a la vez el conjunto dominio porque todos los elementos tienen imagen. ¡Otro ejemplo! Representemos en un diagrama sagital la función f (x)

f (x) = x2 = y f (–2) = (–2)2 = 4 f (–1) = (–1)2 = 1 f (0) = (0)2 = 0 f (1) = (1)2 = 1 f (2) = (2)2 = 4

= x2.

f (x) = x2 X

–2 –1 0 1 2

4 1 0

Ejercicio 2 Realiza en tu cuaderno lo que se te pide. 1) Dibuja el diagrama sagital con los elementos de cada conjunto A = {4, 5, 6, 7, 8} y B = {2, 3, 4, 5} y la relación R: “a es múltiplo de b”. Luego, debajo del diagrama sagital expresa el conjunto dominio (D) y codominio (C) en forma enumerativa. 2) Toma los valores –2, –1, 0, 1 y 2 para el conjunto dominio y aplica cada función de abajo a cada valor para hallar las imágenes. Luego, representa cada función en un diagrama sagital. a.

f (x) = 3x = y

f (x) = x + 2 = y

c. f (x)

=x–1=y

Unidad 1 – Matemática

Función lineal Identificar una función lineal a simple vista es muy sencillo, porque siempre cumple con dos características:

El exponente de la variable x es uno (1).

Su representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta.

Las funciones siguientes son ejemplos de funciones lineales.

f (x) = 4x

Recuerda que el exponente 1 no es necesario escribirlo. x1 = x

f (x) = x – 1

Ambas funciones cumplen con la doble condición. A diferencia de las anteriores, las siguientes funciones no son lineales porque el exponente de x es distinto de 1 y su representación gráfica no es una línea recta.

En las páginas siguientes representaremos gráficamente, en un plano cartesiano, dos clases de funciones lineales: función de proporcionalidad y función afín.

Segundo grado – ciclo básico

Función de proporcionalidad f(x) = ax Una función de proporcionalidad se expresa por f(x) = ax, en la que a es un número cualquiera que permanece constante. Su gráfica sobre el plano cartesiano es una línea recta que pasa por el origen. Veamos un ejemplo: 1 h 5(1) = 5 En un parqueo cobran Q5.00 por cada hora de estacionamiento. El costo total dependerá del tiempo 2 h 5(2) = 10 que estacionemos el carro. Observa el costo de 3 h 5(3) = 15 estacionamiento para 1, 2, 3, 4, ... hasta x horas. 4 h 5(4) = 20

. .. . . . x h 5(x) = y

El costo de estacionamiento para cualquier número de horas está dado por la función f(x) = 5x . Para representar gráficamente esta función, trasladamos a la tabla los valores de las horas (x ) y del costo ( y ) que hemos calculado arriba. Por último, ubicamos los puntos en el plano cartesiano y los unimos en una recta. Las horas forman el conjunto origen (X), el costo será el conjunto imagen (Y). y (costo)

f(x) = 5x

35 30 25 20 15 10 5

-3 -2 -1

-5

x (horas)

-10

La función de proporcionalidad pasa siempre por el origen, porque si x = 0, al multiplicarlo por cualquier número, el resultado es 0 (y = 0).

-15

Observa:

La unión de todos los puntos es una recta que pasa por el origen.

Podemos numerar cada eje de coordenadas en cantidades proporcionales (1, 2, 3...), (2, 4, 6...), (5, 10, 15...), etc. según los valores de la tabla.

Ejercicio 3 Representa gráficamente la función f(x) = 2x. Utiliza los valores asignados a la variable x para elaborar la tabla de valores.

f(x) = 2x = y f(–2) = 2( )= f(–1) = 2( )= f(0) = 2( ) = f(1) = 2( ) = f(2) = 2( ) =

x –2 –1 0 1 2

Unidad 1 – Matemática

Función afín f(x) = ax + b Una función afín se expresa por f(x) = ax + b, en la que a y b son dos números cualesquiera que permanecen constantes. Su gráfica sobre el plano cartesiano es una línea recta que no pasa por el origen (0). Veamos un ejemplo:

5(1) + 5 = 10 Una empresa de servicio de taxis cobra 5 quetzales 1 km 2 km 5(2) + 5 = 15 por cada kilómetro recorrido más 5 quetzales de tarifa fija. Observa el costo de servicio para 1, 2, 3, 4 ... hasta 3 km 5(3) + 5 = 20 x kilómetros. 4 km 5(4) + 5 = 25 . ... . . x km 5(x) + 5 = y

El pago del servicio en función de la distancia recorrida está dado por la función

f(x) = 5x + 5. Para representar gráficamente esta función, tomamos los valores del precio y de la distancia para elaborar la tabla y ubicar los pares en el plano cartesiano. La distancia en km es el conjunto origen (x), el precio Q en el conjunto imagen ( y ). Observa:

y (Q)

f(x) = 5x + 5 x 1 2 3 4

y 10 15 20 25

x (km)

Ejercicio 4 1) Imagina que después de solicitar el servicio de taxi decides no viajar. De todos modos tendrás que pagar la tarifa fija. Completa esta minitabla. a. ¿Qué valor le darás a la distancia recorrida (x)?

¿Cuánto tienes que pagar ( y )?

b. Ubica los valores de la tabla en la gráfica de arriba, prolonga la recta y responde: ¿Pasa por el centro? Sí o no 2) Representa gráficamente cada función. Para elaborar la tabla de valores, utiliza los valores –2, –1, 0, 1, 2 para la variable x. Puedes hacerlo en tu cuaderno.

f(x) = x + 2 c. f(x) = 2x – 1 b. f(x) = 3x – 1 d. f(x) = 2x + 2 a.

Segundo grado – ciclo básico

f(x) = – 2x + 1 f. f(x) = –x + 1

Taller de prácticas Ejercicio 1 Efectúa en tu cuaderno lo que se pide a continuación. 1) Dados los conjuntos A = (a, r, v) y B = (1, 3, 5), realiza el producto A x B en forma enumerativa. 2) Dados los conjuntos A = {y, r, j}, P= {f, 5, g} y C = {6, 100}, efectúa en forma enumerativa: A x P, A x C y P x C. 3) Dados los conjuntos C = (1, 2, 3) y D = (a, b, c), realiza el producto cartesiano C x D en una tabla de doble entrada. Escribe los elementos de C en la primera columna y los elementos de D en la primera fila. 4) Dados los conjuntos A = {2, 4} y B = {1, 3, 5}, halla el producto cartesiano A x B en forma enumerativa y represéntalo en el plano cartesiano. 5) Dados los conjuntos D = {2, 4, 6} y G = {1, 5, 7}, halla el producto cartesiano D x G en forma enumerativa y represéntalo en una tabla de doble entrada.

Ejercicio 2 Realiza lo que se pide a continuación. A. Representa en un diagrama sagital cada relación y escribe en forma enumerativa, a la par de cada diagrama, los conjuntos dominio (D) y codominio (C). 1) Dados los conjuntos A = {3, 8, 9, 11}, B = {2, 6, 9, 10} y la relación R: "a < b". 2) Dados los conjuntos A = {1, 2, 4, 6}, B = {2, 4, 5} y la relación R: "a > b". 3) Dados los conjuntos A = {7, 8, 9, 10}, B = {3, 4, 5, 6} y la relación R: "a es múltiplo de b". 4) Dados los conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8} y la relación R: "a = b". B. Representa cada función en un diagrama sagital. Elige los valores –2, –1, 0, 1 y 2 para el conjunto dominio y aplica la función a cada valor para hallar las imágenes. 1)

f(x) = 2x 4) f(x) = 10x 7) f(x) = x + 5

f(x) = x – 2 5) f(x) = 2x – 2 8) f(x) = 3x – 1

f(x) = x 6) f(x) = 4x + 1 9) f(x) = –3x + 1

Ejercicio 3 Grafica en tu cuaderno las funciones siguientes. 1)

f(x) = 3x 4) f(x) = 8x

f(x) = 2x – 4

f(x) = –4x 5) f(x) = x + 2

8) f(x)

= 5x – 3

f(x) = x 6) f(x) = x – 1

9) f(x)

= 2x + 3 Unidad 1 – Matemática

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Aplica la función proporcionalidad f(x) = ax y resuelve los siguientes problemas en una tabla de valores o en otra forma que tú propongas. 1) Si un pan nos ha costado 33 centavos. Determina cuánto tendremos que pagar por 3, 4, 5 y 6 panes. 2) Un galón de pintura cubre 18 m2 de superficie. ¿Cuántos metros cuadrados cubrirán 3, 5, 7 y 9 galones? 3) Un auto recorrió 1.5 km por minuto. ¿Qué distancia recorrerá en un cuarto de hora, media hora y una hora? 4) Si un camión consume 0.5 L de combustible por cada kilómetro recorrido, ¿cuánto consumirá si recorre 13 km, 22 km y 34 km? B. Completa las series numéricas, escribiendo la cantidad que hace falta dentro de cada cuadro. 1)

Criterio: 2)

0.5

0.8

1.7

Criterio: 3)

Criterio: 4)

0.3

Criterio: 5)

Criterio:

Segundo grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo Para ganar agilidad metal y rapidez, tienes que practicar constantemente. Te proponemos practicar con los ejercicios de este apartado. Tu esfuerzo y constancia te garantizarán buenos resultados. A. Realiza las operaciones aplicando tus conocimientos sobre la multiplicación por la unidad seguida de ceros. 1) 25 x 10 =

12) 2.8 x 10

2) 64 x 10 =

13) 84 x 100

3) 10 x 10 =

14) 36 x 100

4) 91 x 10 =

15) 164 x 10

5) 4 x 100 =

16) 222 x 10

6) 13 x 100 =

17) 45.5 x 10

7) 10 x 100 =

18) 100 x 100 =

8) 45 x 100 =

19) 4.16 x 100 =

9) 76 x 100 =

20) 3.36 x 100 =

10) 5 x 1000 =

21) 14.28 x 100 =

11) 22 x 1000 =

22) 12.56 x 100 =

B. Escribe el factor que convierte el número decimal en entero. 1) 0.005 x

= 5

14) 0.001 x

2) 0.78 x

= 78

15) 0.074 x

= 74

3) 0.06 x

= 60

16) 0.10 x

= 10

4) 0.55 x

= 55

17) 0.44 x

= 44

5) 5.25 x

= 525

18) 5.55 x

= 555

6) 5.96 x

= 596

19) 6.00 x

= 600

7) 8.57 x

= 857

20) 5.25 x

= 525

8) 3.58 x

= 358

21) 3.22 x

= 322

9) 24.6 x

= 246

22) 23.4 x

= 2340

10) 32.5 x

= 325

23) 4.36 x

= 436

11) 5.25 x

= 525

24) 58.9 x

= 589

12) 0.004 x

= 4

25) 0.09 x

13) 0.006 x

= 6

26) 3.84 x

= 3840 Unidad 1 – Matemática

C. Sustituye mentalmente el valor asignado a x y escribe el valor de su imagen. 1)

f (3) = x + 1 =

12) f(2)

= 2x – 6 =

f (0) = x + 2 =

13) f(5)

= 2x – 8 =

f (4) = x + 1 =

14) f(7)

= 2x – 5 =

f (9) = x + 11 =

15) f(9)

= 2x – 2 =

f (3) = x + 7 =

16) f(2)

= 6x – 3 =

f (7) = x + 5 =

17) f(4)

= 5x – 9 =

f (2) = x + 2 =

18) f(7)

= 8x – 4 =

f (1) = x + 6 =

19) f(8)

= 6x – 10 =

f (0) = x + 15 =

20) f(10)

= 4x – 20 =

10)

f (6) = x + 21 =

21) f(15)

= 2x – 25 =

11)

f (5) = x + 10 =

22) f(20)

= 3x – 20 =

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Realizo pares ordenados. Represento un producto cartesiano en forma enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano. Después de estudiar...

Aplico relaciones y funciones a situaciones de la vida real. Identifico los conjuntos dominio y codominio de una relación. Relaciono el procedimiento para calcular el conjunto imagen de una función con su representación gráfica. Completo una tabla de valores para cada función dada. Represento gráficamente funciones lineales. Practico el cálculo mental valuando funciones. Resuelvo problemas aplicando la función de proporcionalidad. Aumento mi velocidad de cálculo resolviendo multiplicaciones por la unidad seguida de ceros.

Segundo grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! El Ministerio de Educación realiza cada año pruebas de matemática y de comprensión lectora a todos los estudiantes que están cursando el último año del ciclo básico o el último año de diversificado. Estas pruebas tienen el propósito de obtener información que permita mejorar la calidad educativa de nuestro país. Consecuentes con esta mejora educativa, hemos preparado al final de cada unidad una prueba corta para que te vayas preparando poco a poco. Instrucciones: 1. Usa estas páginas solo para leer las preguntas. 2. La hoja de respuestas se encuentra en la hoja posterior a la prueba. Recórtala. 3. Lee cada pregunta o enunciado y las cuatro opciones. Solo una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta. 4. Selecciona la opción correcta (A, B, C o D) y rellena el círculo que le corresponde en tu hoja de respuestas. Ten cuidado y asegúrate de que rellenas el círculo correcto. 5. Para responder esta prueba deberás utilizar solamente lapicero negro. 6. Mide el tiempo que tardas en resolver la prueba. Practica hasta que consigas hacerlo en el menor tiempo posible. 7. Guíate por el ejemplo del recuadro.

Instrucciones: Lee el texto para responder a la pregunta 0. Una galaxia es un conjunto de estrellas, nubes de gas, planetas, y polvo cósmico unidos gravitatoriamente. Se cree que existen más de cien millones de galaxias en el Universo. 0) ¿Qué clase de conjunto es el formado por las estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea? A. unitario

B. finito

C. vacío

D. infinito

En tu hoja de respuestas deberás rellenar el círculo de la respuesta correcta. 0. A.

1. A.

2. A.

3. A.

De esta forma se debe rellenar el círculo.

Unidad 1 – Matemática

1) Si A = {2, 4} y B = {1, 3, 5}, el número de pares ordenados de A x B es… A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2) Si M = {e} y N = {2, a, 7, 9}, el número de pares ordenados de M x N es… A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

3) El otro nombre del conjunto origen de una función es… A. imagen

B. dominio

4) Si x = 3, en la función f(x) A. 5 5) Si x =

D. codominio

= 2x – 1, el valor de la imagen es…

B. 3

C. 4

D. 6

1 en la función f(x) = 5x + 2, el valor de la imagen es…

A. 6 6) Si f(x)

C. contradominio

B. 7

C. 8

D. 9

= 2x + 1, el valor de la imagen de f (2) es…

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

7) Un ejemplo de función de proporcionalidad es… A.

f(x) = –7 B. f(x) = 5x C. f(x) = 5x + 1 D. f(x) = 3x – 1

8) En una función lineal, el valor del exponente de la variable x es… A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9) Un ejemplo de función afín es… A. 10) Si x

f(x) = x B. f(x) = 2x + 3 C. f(x) = 3 D. f(x) = 5x = –1 en la función f (x) = 2x, el valor de la imagen es…

A. –1 11) Si x

C. –42

D. –2

B. –16

C. –12

D. 4

B. –2

C. 2

D. 1

= 1 en la función f (x) = x, el valor de la imagen es…

A. 0

B. 24

= 0 en la función f (x) = –2x, el valor de la imagen es…

A. 0 14) Si x

D. 2

= 8 en la función f (x) = 2x – 12, el valor de la imagen es…

A. 12 13) Si x

C. 1

= 4 en la función f (x) = –6x, el valor de la imagen es…

A. –24 12) Si x

B. –2

B. –1

Segundo grado – ciclo básico

C. 1

D. Ninguna de las anteriores

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

13. A.

14. A.

Unidad 1 – Matemática

Lógica proposicional

unidad

¿Qué sabes del tema? Para despertar tus conocimientos previos, lee el texto siguiente: Una empresa de productos plásticos fabrica dos tipos de envases: El pequeño de 3 litros y el grande de 4 litros. ¿Nos puedes decir si es falso o verdadero que tres envases grandes tienen la misma capacidad que cuatro envases pequeños? Para responder a la pregunta anterior, te apoyaste en la lógica. De este tema hablaremos en esta unidad.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Un problema de lógica

• • • •

Taller de matemática

Valores de verdad Conectivos lógicos Reglas de los conectivos lógicos Aplicación de las tablas de verdad

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas y juegos lógicos Aumenta tu velocidad de cálculo • Resolución de multiplicaciones y divisiones

Unidad 2 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

2. Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados.

2.1 Utiliza elementos de lógica para representar información.

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de operaciones.

Calcular mentalmente multiplicaciones y divisiones.

5. Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.

5.3 Selecciona la estrategia más apropiada a la resolución de problemas.

Resolver problemas empleando conectivos lógicos.

Segundo grado – ciclo básico

Negar proposiciones. Definir el valor de verdad de proposiciones simples y compuestas. Elaborar tablas de verdad aplicando las reglas de los conectivos lógicos.

¡Prepárate para el recorrido! Un problema de lógica Recordemos que la lógica nos ayuda a diferenciar si un argumento es válido o no y a resolver algunas dudas que nos puedan surgir. Veamos y solucionemos un pequeño problema empleando nuestra lógica. El siguiente ejercicio fue planteado en las olimpiadas de matemáticas de Asia y Singapur, en abril de 2015. Léelo, pon a trabajar tus neuronas y resuélvelo. Alberto y Bernardo se acaban de hacer amigos de Alejandra y quieren saber cuándo es su cumpleaños. Alejandra les da una lista con 10 posibles fechas: mayo 15

mayo 16

junio 17

junio 18

julio 14

julio 16

agosto 14

agosto 15

mayo 19

agosto 17

Luego, Alejandra les dice la fecha de su cumpleaños, pero por separado: a Alberto le dice el mes y a Bernardo, el día. Ambos jóvenes se plantean la siguiente información: • Alberto: "No sé cuándo es el cumpleaños de Alejandra, pero sé que Bernardo tampoco lo sabe". • Bernardo: "Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Alejandra, pero ahora ya lo sé". • Alberto: "Entonces, yo también sé cuándo es su cumpleaños". Adaptado de goo.gl/CJf94A

¡A trabajar! Con la información dada, responde las preguntas siguientes. 1) ¿Cuándo es el cumpleaños de Alejandra? 2) Explica cómo hallaste la respuesta, ¿cuál fue tu razonamiento?

Unidad 2 – Matemática

Taller de matemática Valores de verdad (v, f) Antes de iniciar recuerda que la lógica es la ciencia que estudia métodos, procedimientos y técnicas para distinguir el razonamiento correcto o verdadero del incorrecto o falso. Ahora estudiaremos qué son los valores de verdad. Los valores de verdad son los valores posibles que se puede asignar a una proposición. La lógica matemática solo admite dos valores de verdad: verdadero y falso.

Si una proposición es verdadera, se dice que tiene valor de verdad positivo y se representa con la letra v.

Si una proposición es falsa, se dice que tiene valor de verdad negativo y se representa con la letra f.

¡Atención! El valor de verdad de una proposición cambia cuando se antepone el signo de negación "~". Por ejemplo: p: Las plantas son seres vivos. v

~p: No es cierto que las plantas son seres vivos. f

¿Las plantas tienen vida o son seres inanimados? Correcto, las plantas tienen vida. Por eso la proposición p es verdadera. La negación de la proposición p es falsa, porque las plantas sí son seres vivos. Como tú sabes, Cobán es un municipio y cabecera departamental de Alta Verapaz. Por lo tanto, la proposición q es falsa.

q: Cobán es un municipio de Quetzaltenango. f

~q: Cobán no es un municipio de Quetzaltenango. v

La negación de la proposición q es verdadera, porque es cierto que Cobán no es un municipio de Quetzaltenango.

Ejercicio 1 Determina el valor de verdad de las proposiciones, escribe una v, si es verdadera o una f, si es falsa.

1) w: Todo triángulo tiene tres lados.

~w: No es cierto que todo triángulo tiene tres lados.

2) g: Viejo es sinónimo de nuevo.

~g: Viejo no es sinónimo de nuevo.

3) j: El número 15 es múltiplo de 4.

~j: El número 15 no es múltiplo de 4.

Segundo grado – ciclo básico

Conectivos lógicos Los nexos que permiten conectar proposiciones simples para formar proposiciones compuestas son los conectivos lógicos. Se llaman "conectivos" porque conectan o unen proposiciones. Los conectivos lógicos más comunes son: conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

Conjunción (∧) En lógica, la conjunción corresponde a la conjunción copulativa "y". Tiene como función unir dos proposiciones. Observa en la tabla cómo se construye una proposición compuesta con este conectivo. Hemos resaltado en rojo el símbolo de la conjunción y cómo se lee. Conectivo

Símbolo

Ejemplo

Se escribe

Se lee

Conjunción

∧

Carmen estudia leyes y Antonio estudia pedagogía.

p∧q

pyq

Disyunción (∨) La disyunción se comporta como la conjunción "o" de idioma español. Su función es unir proposiciones para darles un sentido de elección entre dos o más elementos. Observa en la tabla cómo se representa y cómo se lee el símbolo de la disyunción. Conectivo

Símbolo

Ejemplo

Se escribe

Se lee

Disyunción

∨

Gabriela juega futbol o juega baloncesto.

p∨q

poq

Condicional (

)

El condicional también se conoce como implicación, su forma es "Si... entonces". Se compone de dos proposiciones. La primera es requisito indispensable para que se cumpla la segunda. En la tabla puedes ver cómo se representa y cómo se lee el condicional. Conectivo Condicional

Símbolo

Ejemplo Si la noticia es verdadera, entonces los hechos son reales.

Se escribe p

Se lee Si p entonces q

Unidad 2 – Matemática

Bicondicional (

)

El conectivo bicondicional expresa la relación de equivalencia entre dos proposiciones. La primera se cumple solo si se cumple la segunda y la segunda se cumple solo si se cumple la primera. Observa en la tabla cómo se escribe y cómo se lee el conectivo bicondicional. Conectivo

Símbolo

Ejemplo

Se escribe

Esteban promoverá de grado si y solo si aprueba todas las materias.

Bicondicional

Se lee p si y solo si q

¿Sabías que…? Con el avance de la tecnología, la lógica proposicional ha tomado un gran auge debido a su uso en los diferentes lenguajes de programación. Gracias a esta área de la lógica, podemos crear y tener acceso a tantas utilidades en nuestras computadoras y smartphones.

Ejercicio 2 Representa las proposiciones usando las letras p, q y empleando el conectivo lógico que corresponde.

1) Voy al cine y después voy al estadio.

2) Andrés comerá tamales o comerá chuchitos.

3) Para cultivar la tierra se debe arar y abonar.

4) Nueve es un número primo o nueve es un número par.

5) Si como tamal, entonces tomo chocolate.

6) Iré a la fiesta si y solo si tengo descanso.

7) Si Ana es guatemalteca, entonces es centroamericana.

8) 16 es múltiplo de 4 si y solo si 16 es divisible entre 4.

9) Si está nublado, entonces lloverá.

10) Aprobarás el examen si y solo si estudias.

11) Si Pedro nació en Petén, entonces es guatemalteco.

12) Ganaré la carrera si y solo si entreno a diario.

13) Si no se demuestran los cargos, entonces es inocente.

Segundo grado – ciclo básico

Reglas de los conectivos lógicos Cada conectivo lógico tiene una regla que se cumple siempre y se representa en una tabla de verdad. Una tabla de verdad es una representación gráfica de los valores de verdad o falsedad de una proposición.

Regla de la conjunción (∧) El valor de la proposición compuesta unida por la conjunción ∧ es verdadero, solo cuando los valores de las dos proposiciones p y q son verdaderos. La tabla de verdad de la conjunción es: p v v f f

q v f v f

p∧q v f f f

Comprobemos la regla con un ejemplo. Para que haya luz, el foco y el interruptor deben estar encendidos. De esta afirmación extraemos dos proposiciones:

p: El foco debe estar encendido.

q: El interruptor debe estar encendido. El foco está encendido. p (v) El interruptor está encendido. q (v)

La proposición es verdadera. Se cumplen las dos condiciones para que haya luz.

El foco está encendido. p (v) El interruptor no está encendido. ~q (f)

La proposición es falsa. Para que haya luz, el interruptor también debe estar encendido.

El foco no está encendido. ~p (f) El interruptor está encendido. q (v)

La proposición es falsa. No hay luz, porque el foco está apagado.

El foco no está encendido. ~p (f) El interruptor no está encendido. ~q (f)

La proposición es falsa. No se cumple ninguna de las condiciones para que haya luz.

¡Otro ejemplo! Calculemos el valor de verdad de la proposición compuesta p ∧ q que se forma a partir de estas proposiciones simples: p: Para hacer tortillas se necesita masa de maíz. q: Para hacer tortillas se necesita un comal. p ∧ q: Para hacer tortillas se necesita masa de maíz y se necesita un comal. v ∧ v En este caso, el valor de verdad de p ∧ q es verdadero, porque se cumplen las dos condiciones para hacer tortillas. Unidad 2 – Matemática

¿Pero qué ocurre con el valor de verdad de p ∧ q, si negamos la proposición p? Fíjate.

~p: Para hacer tortillas no se necesita masa de maíz. q: Para hacer tortillas se necesita un comal. ~p ∧ q: Para hacer tortillas no se necesita masa de maíz y se necesita un comal. f ∧ v El valor de ~p ∧ q es falso, porque no se cumple con la primera condición. Sin masa de maíz, no se pueden hacer las tortillas.

Regla de la disyunción (∨) El valor de la proposición compuesta unida por la disyunción ∨ es verdadero siempre que una de las dos proposiciones simples sea verdadera. La tabla de verdad de la disyunción es: p v v f f

q v f v f

p∨q v v v f

Verifiquemos la regla de la disyunción con un ejemplo.

Para cobrar un cheque, este debe ir firmado por Inés o por Pablo.

De esta afirmación extraemos dos proposiciones:

p: El cheque debe ir firmado por Inés. q: El cheque debe ir firmado por Pablo.

Basta con que una de las proposiciones simples sea verdadera para que el valor de verdad de la proposición compuesta sea verdadero. Presta atención.

El cheque está firmado por Inés. p (v) El cheque está firmado por Pablo. q (v)

La proposición es verdadera. El Banco paga el cheque porque tiene las dos firmas.

El cheque está firmado por Inés. p (v) El cheque no está firmado por Pablo. ~q (f)

La proposición es verdadera. El Banco paga el cheque porque tiene una de las dos firmas.

El cheque no está firmado por Inés. ~p (f) El cheque está firmado por Pablo. q (v)

La proposición es verdadera. El Banco paga el cheque. Cumple con el requisito de llevar una de las dos firmas.

El cheque no está firmado por Inés. ~p (f) El cheque no está firmado por Pablo. ~q (f)

La proposición es falsa. El Banco rechaza el cheque porque no hay una firma válida.

Segundo grado – ciclo básico

Regla del condicional (

)

Consideremos esta proposición compuesta:

Si compramos boletos, entonces podemos entrar al teatro.

Está formada por estas proposiciones simples: p: Compramos boletos. q: Podemos entrar al teatro. Ambas proposiciones se unen mediante el conectivo condicional. En lenguaje mateq" y se lee: "si p entonces q". El valor de verdad de estas mático se escribe: "p proposiciones se calcula con la siguiente regla: Una proposición compuesta, unida por el condicional

, es verdadera cuando:

• Las dos proposiciones simples son verdaderas. • La segunda proposición es verdadera. • Las dos proposiciones simples son falsas. La tabla de verdad del condicional es: p v v f f

q v f v f

q v f v v

Veamos con un ejemplo cuando se cumple la regla del conectivo condicional.

Si José nació en Petén, entonces es guatemalteco.

Está formada por estas proposiciones simples: p: José nació en Petén. q: José es guatemalteco. Si José nació en Petén, p (v) entonces es guatemalteco. q (v)

La proposición es verdadera. Las personas nacidas en Petén son guatemaltecas.

Si José nació en Petén, p (v) entonces no es guatemalteco. ~q (f)

La proposición es falsa, porque José es guatemalteco por nacimiento.

Si José no nació en Petén, ~p (f) entonces es guatemalteco. q (v)

La proposición es verdadera. José pudo haber nacido en otro departamento de Guatemala y ser guatemalteco.

Si José no nació en Petén, ~p (f) entonces no es guatemalteco. ~q (f)

No se puede probar que la afirmación sea falsa. Por lo tanto, la proposición es verdadera.

Unidad 2 – Matemática

Regla del bicondicional (

)

Leamos esta proposición compuesta:

Seré la presidenta de la clase si y solo si obtengo la mayoría de votos.

Está formada por estas proposiciones simples:

p: Seré la presidenta de la clase.

q: Obtengo la mayoría de votos.

El enunciado del ejemplo afirma que p es verdadero si y solo si q también es verdadero. Se trata de un enunciado bicondicional que simbólicamente se representa como "p q" y se lee: "p si y solo si q". Su valor de verdad se determina con la siguiente regla: El valor del bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones simples son verdaderas o ambas son falsas. Se representa con esta tabla de verdad:

p v v f f

q v f v f

q v f f v

Comprobemos la regla del conectivo bicondicional con un ejemplo.

Clara viajará si y solo si tiene descanso.

Las dos proposiciones simples que componen el enunciado son:

p: Clara viajará.

q: Clara tiene descanso. Clara viajará. p (v) Clara tiene descanso. q (v)

La proposición es verdadera. Se cumple la condición para viajar.

Clara viajará. p (v) Clara no tiene descanso. ~q (v)

La proposición es falsa. La condición para viajar es tener descanso.

Clara no viajará. ~p (v) Clara tiene descanso. q (v)

La proposición es falsa. Contradice la condición, tiene descanso y no viajará.

Clara no viajará. ~p (v) Clara tiene no descanso. ~q (v)

La proposición es verdadera. Si no tiene descanso, no puede viajar.

Segundo grado – ciclo básico

Aplicación de las tablas de verdad Como ya sabemos, una tabla de verdad es una representación gráfica de los valores de verdad o falsedad de una proposición. La tabla de verdad de una proposición compuesta por dos proposiciones simples p y q se construye siguiendo estos pasos: 1. Dibujamos una tabla de dos columnas y cinco filas.

3. A la proposición p, le asignamos en su columna las posibilidades de verdadero y falso de dos en dos.

4. A la proposición q, le asignamos las posibilidades de verdadero y falso de uno en uno.

2. En la fila superior escribimos las proposiciones p y q.

Los pasos 3 y 4 son una estrategia para asegurarnos de que escribimos todos los valores de verdad posibles para cada proposición. El número de columnas de la tabla puede aumentar hacia la derecha. En cada columna nueva se anotará el valor de verdad que resulta de operar cada conectivo lógico. Por ejemplo, la negación de las proposiciones p, q se escribe en dos columnas nuevas. p

Ejercicio 3 Escribe la negación de las proposiciones r, s. Luego, completa la tabla de verdad.

r: Marte es un planeta del sistema solar. s: La Luna es el satélite de la Tierra.

~r:

~s: r

Unidad 2 – Matemática

Ejercicio 4 A. Lee las proposiciones siguientes y contesta a las preguntas. p: La Luna es redonda. q: La Luna es de queso.

1) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición p?

2) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición q?

3) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición p ∧ q? Explica tu respuesta.

4) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición p ∧~q? Explica tu respuesta.

B. En las tablas de verdad se puede operar más de un conectivo lógico a la vez. Resuelve lo que se te pide a continuación. 1) Dadas las preposiciones p y q, construye la siguiente tabla de verdad. p: Está lloviendo muy fuerte. q: Las calles se van a mojar. p

p∧q

p∨q

q p

2) Dadas las preposiciones a y b, construye la siguiente tabla de verdad. a: Hoy es jueves. b: Mañana no es sábado. p

p∧q

p∨q

q p

Practica en la red... http://www.youtube.com/watch?v=kANelfBRR9Y En esta dirección de YouTube podrás ver un video que explica los conectivos lógicos y sus valores de verdad mediante tablas de verdad.

Segundo grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Lee cada expresión y escribe una v, si la proposición es verdadera o f, si es falsa. 1) u: Todo número negativo es divisible entre 2.

2) s: El antónimo de claro es oscuro.

3) j: Guatemala es un país de Europa.

4) w: Febrero tiene 31 días.

5) r: 9 es divisor de 36.

B. Reescribe las cinco proposiciones del inciso anterior como una negación. 1) ~u: 2) ~s: 3) ~j: 4) ~w: 5) ~r: C. Niega las proposiciones con cualquiera de las formas: "no", "es falso que", "no es cierto que". 1) p: La Luna es el satélite de la Tierra.

2) q: Todas las bicicletas tienen una rueda.

3) g: El Sol gira alrededor de la Tierra.

4) h: El conjunto de los números enteros positivos es infinito.

5) p: La lluvia cae del cielo.

6) w: La Luna es cuadrada.

7) m: Todas las mujeres son zurdas.

Unidad 2 – Matemática

Ejercicio 2 A. Observa el símbolo de cada conectivo, escribe cómo se llama y cómo se lee. 1) ∧

se lee:

2) ∨

se lee:

B. Lee cada proposición y rellena el círculo que corresponde a cada conectivo. 1) Estudio y trabajo.

∧

∨

2) Estudio si y solo si trabajo.

∧

∨

3) Estudio o trabajo.

∧

∨

4) Si estudio, entonces trabajo.

∧

∨

C. Representa las proposiciones usando las letras p, q y empleando el conectivo lógico que corresponde. Proposición

Se escribe

1) Si rotas los cultivos, entonces tendrás buena cosecha. 2) El molino funcionará con energía eólica o con energía solar. 3) Ingresaré a la universidad si y solo si gano el examen de admisión. 4) Escribo un blog y publico en el periódico local. 5) Si vacuna a sus hijos, entonces crecerán sanos.

Ejercicio 3 Completa la tabla de verdad para las proposiciones indicadas. Recuerda que el valor de verdad cambia cuando se antepone el signo de negación "~". p

Segundo grado – ciclo básico

Ejercicio 4 Completa la tabla. Escribe los valores de verdad de las proposiciones indicadas en cada columna. p

p∧q

p∨q

q p

Ejercicio 5 A. Lee las proposiciones simples k y j. Luego, escribe las proposiciones compuestas indicadas y su valor de verdad. k: El trigo es un cereal. (v) j: El trigo es comestible. (v) 1) k ∧ j:

2) ~k

3) k

~j:

4) k ∨ j:

B. Determina el valor de verdad de las proposiciones simples. Luego, aplica las reglas de los conectivos lógicos para determinar el valor de verdad de las proposiciones.

1) p: 10 es número par.

p ∧ q:

q: 7 es divisible entre 2.

1) r: El triángulo tiene dos lados. s: El cuadrado tiene cuatro lados.

r ∧ s:

2) k: Un minuto tiene 60 segundos. y: Dos minutos tienen 90 segundos.

q: s: s:

k ∨ y:

k ∧ y:

3) h: "Árbol" es una palabra grave. j: "Árbol" lleva tilde en la última sílaba.

h ∨ j:

h ∧ j:

4) t: Un ángulo agudo mide 60°.

t ∨ z:

z: 60° es menor que 90°.

z: z: Unidad 2 – Matemática

Ejercicio 6 Completa las tablas con los valores de verdad de cada proposición.

j∧k

j∨k

e∨s

e∧s e

p ∨ q

p∧q

y ~x

Segundo grado – ciclo básico

~l ~l ∧ m ~ l ∨ m ~l

~ v ~ v ∧ ~w ~v

~s ~ e

y x ∧ ~y

w v

~ i ∧ ~j

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los problemas siguientes utilizando la lógica y las operaciones aritméticas. 1) Con tres frutas diferentes: papaya, sandía y piña se preparan jugos deliciosos. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo se podrán preparar con estas frutas? Ayúdate completando la tabla. 1 fruta 2 frutas 3 frutas 2) A un señor se le pregunta la hora y contesta: "dentro de 20 minutos mi reloj marcará las 10:30". Si el reloj está adelantado 5 minutos, ¿qué hora fue hace 10 minutos exactamente? 3) Andrea, Braulio, Berta y Roberto están sentados alrededor de una mesa. En una ronda de números, Andrea dice 52, Braulio 51, Berta 50, Roberto 49; así sucesivamente. ¿Quién dirá el número 1? 4) Completa la tabla de 3 filas por 3 columnas, con los números del 1 al 9 y un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que: a.

3, 6, 8 están en la horizontal superior.

5, 7, 9 están en la horizontal inferior.

1, 2, 3, 6, 7, 9 no están en la vertical izquierda.

1, 3, 4, 5, 8, 9 no están en la vertical derecha.

6 1

B. En esta actividad te invitamos a divertirte resolviendo algunos acertijos lógicos. La mayoría se resuelven aplicando el sentido común. Responde lo más rápido que puedas. 1) Imagina que estás en una carrera y adelantas al segundo lugar. ¿En qué posición vas ahora? 2) Indica cuántas veces se puede restar 10 de 100. 3) ¿Por qué una persona que vive en Escuintla no puede ser enterrada en Petén?

Unidad 2 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo ¡A ponerte en forma! Recupera la velocidad de cálculo mental. Escribe el resultado de las multiplicaciones y divisiones lo más rápido que puedas, no utilices calculadora ni tablas de multiplicar. A. 1) 6 x 3 =

9) 5 x 5 =

17) 7 x 7 =

2) 2 x 4 =

10) 6 x 4 =

18) 4 x 8 =

3) 7 x 5 =

11) 3 x 5 =

19) 9 x 9 =

4) 4 x 9 =

12) 2 x 9 =

20) 8 x 2 =

5) 3 x 8 =

13) 4 x 3 =

21) 5 x 6 =

6) 6 x 2 =

14) 7 x 1 =

22) 4 x 4 =

7) 9 x 6 =

15) 9 x 5 =

23) 3 x 7 =

8) 8 x 7 =

16) 5 x 7 =

24) 9 x 3 =

B. 1) 6 x

= 24

9) 7 x

= 42

17) 6 x

= 30

2) 3 x

= 21

10) 8 x

= 64

18) 5 x

3) 9 x

= 27

11) 9 x

= 36

19) 4 x

= 32

4) 7 x

= 28

12) 4 x

= 16

20) 7 x

= 14

5) 5 x

= 30

13) 6 x

= 18

21) 9 x

= 45

6) 8 x

= 40

14) 9 x

22) 2 x

= 16

7) 4 x

= 36

15) 7 x

23) 5 x

= 35

8) 3 x

= 24

16) 9 x

= 81

24) 8 x

= 48

C. 1)

x 7 = 35

x 9 = 27

17)

x 6 = 30

x 6 = 36

10)

x 3 = 12

18)

x 5 = 25

x 4 = 20

11)

x 9 = 81

19)

x 7 = 21

x 8 = 48

12)

x 6 = 42

20)

x 8 = 56

x 4 = 24

13)

x 5 = 25

21)

x 4 = 12

x 5 = 45

14)

x 7 = 70

22)

x 9 = 54

x 9 = 36

15)

x 8 = 72

23)

x 6 = 60

x 7 = 56

16)

x1=8

24)

x 1 = 50

Segundo grado – ciclo básico

D. 1) 25 ÷ 5 =

14) 81 ÷ 9 =

27) 10 ÷ 5 =

2) 42 ÷ 7 =

15) 36 ÷ 6 =

28) 22 ÷ 2 =

3) 18 ÷ 2 =

16) 63 ÷ 7 =

29) 45 ÷ 5 =

4) 15 ÷ 5 =

17) 40 ÷ 5 =

30) 45 ÷ 15 =

5) 21 ÷ 7 =

18) 15 ÷ 3 =

31) 60 ÷ 20 =

6) 49 ÷ 7 =

19) 14 ÷ 2 =

32) 90 ÷ 30 =

7) 65 ÷ 1 =

20) 36 ÷ 9 =

33) 48 ÷ 12 =

8) 72 ÷ 9 =

21) 27 ÷ 3 =

34) 25 ÷ 25 =

9) 28 ÷ 4 =

22) 63 ÷ 9 =

35) 100 ÷ 10 =

10) 64 ÷ 8 =

23) 50 ÷ 5 =

36) 100 ÷ 25 =

11) 32 ÷ 4 =

24) 16 ÷ 8 =

37) 400 ÷ 40 =

12) 54 ÷ 9 =

25) 60 ÷ 10 =

38) 800 ÷ 80 =

13) 45 ÷ 5 =

26) 44 ÷ 11 =

39) 100 ÷ 20 =

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Después de estudiar...

Represento proposiciones en forma simbólica y realizo su negación. Utilizo el pensamiento lógico para determinar el valor de verdad de situaciones cotidianas. Empleo conectivos lógicos para construir proposiciones compuestas. Determino el valor de verdad de proposiciones compuestas a través de las reglas de los conectivos lógicos. Construyo y empleo tablas de verdad. Practico la agilidad de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones. Analizo la información para resolver problemas y juegos lógicos.

Unidad 2 – Matemática

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas rellena el círculo que corresponde a la opción correcta. 1) Una proposición formada por dos proposiciones simples se llama…

A. cerrada

B. atómica

C. compuesta

D. lógica

2) El símbolo del conectivo de disyunción es…

A. ∧

B. ∨

3) El símbolo del conectivo condicional es…

A. ∧

B. ∨

4) En la expresión: se reunieron los estudiantes y firmaron el acta, se utilizó el conectivo…

A. disyunción

B. conjunción

C. condicional

D. bicondicional

5) El símbolo del conectivo de conjunción es…

A. ∧

B. ∨

6) El símbolo del conectivo bicondicional es…

A. ∧

B. ∨

7) En la proposición "Si trabajo, entonces salgo" el conectivo lógico es…

A. ∧

B. ∨

8) Saturno es un planeta y es redondo. La proposición es verdadera si Saturno…

A. no es un planeta, pero sí es redondo.

B. es un planeta y también es redondo.

C. es un planeta, pero no redondo.

D. no es un planeta, ni es redondo.

9) Si ganan el partido, entonces serán campeones. La proposición es falsa en el caso de que...

A. no ganen el partido.

B. ganen el partido y no sean campeones.

C. no ganen y sean campeones.

D. no ganen y no sean campeones.

10) Carlota visitará Petén o Alta Verapaz. La proposición es falsa cuando Carlota…

A. visita Petén, pero no Alta Verapaz.

B. visita Petén y también visita Alta Verapaz.

C. no visita Petén, ni Alta Verapaz.

D. no visita Petén, pero sí Alta Verapaz.

Segundo grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 2 – Matemática

unidad

Números reales ¿Qué sabes del tema? El diablo de los números le dijo a Roberto, lee este número: 1.41421356237373095048801688724 — ¿Qué te parece? — Una auténtica ensalada de números. ¿De dónde salió? — ¡Ah!... es el resultado de 2 y forma parte de los números irracionales. Se llaman así porque no se atienen a las reglas del juego. Después del punto se vuelven completamente locos y les da por no repetir ninguna cifra. Acabas de leer un fragmento de El diablo de los números de Hanz Magnus Enzensberger. En esta unidad sintetizarás todo lo aprendido sobre el conjunto de los números y estudiarás los números irracionales, los números reales y sus características.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Los pitagóricos y los números irracionales

• Números irracionales • Números reales • Intervalos de números reales

Taller de matemáticas

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Secuencias lógicas Aumenta tu velocidad de cálculo • Producto por la unidad seguida de ceros

Unidad 3 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

2. Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados.

2.1 Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primer grado.

Resolver mentalmente ecuaciones de primer grado.

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de operaciones.

Resolver operaciones de cálculo mental.

3.2 Reconoce la diferencia entre los elementos de los conjuntos numéricos.

Localizar números reales y representar intervalos sobre la recta numérica.

Identificar cantidades racionales e irracionales.

Escribir la propiedad que ejemplifica cada operación.

Aplicar las propiedades de los números reales en las diferentes operaciones aritméticas.

Segundo grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Los pitagóricos y los números irracionales La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de los números irracionales, es decir, números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros (...–3,–2,–1,0,1,2,3,...), ni racionales (fraccionarios). Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el problema siguiente: Si se traza un cuadrado cuyos lados midan la unidad, es decir 1, y se intenta calcular lo que mide la diagonal utilizando el teorema de Pitágoras, podemos dividir el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal d del cuadrado. En resumen tenemos dos triángulos rectángulos iguales con catetos que miden 1.

1 Si ahora aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que se verifica el siguiente desarrollo despejando d en la relación pitagórica. d2 = 12 + 12 ⇒ d2 = 2 ⇒ d = 2 Y el número 2 es irracional ("infinitas cifras decimales no periódicas"), tal y como veremos más adelante, en la unidad. Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de este tipo de números "tan raros" que contradecía su doctrina que exaltaba la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía. Al parecer llegaron a decidir mantener en secreto su descubrimiento que mostraba la fragilidad de sus creencias. Tomado y adaptado de http://www.um.es

¡A trabajar! Responde las preguntas. 1) ¿Cómo se llamaba la escuela que descubrió la existencia de los números irracionales? 2) ¿Con qué figura geométrica se supone que los pitagóricos descubrieron los números irracionales? 3) ¿En qué se basaba la doctrina de los pitagóricos?

Unidad 3 – Matemática

Taller de matemática Números reales (R)

I 11 2

N –5 –4 –3 –2 –1 –5 2

0 1 2 3 4 5

–2 3 0.2

0.51666...

0.333...

2 3

2 5

En la portada de esta unidad nos presentaron el conjunto de los números irracionales. Un número irracional es aquel que no puede ser expresado como fracción y su parte decimal no es periódica. Los números irracionales (I), junto a los naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) forman el conjunto de los números reales. Los números reales son los que pueden expresarse por un número entero o por un decimal, sea periódico o no. Este conjunto se representa con la letra R y se define simbólicamente como: R=Q,I Puedes observar en el diagrama de arriba cómo todos los conjuntos que has aprendido hasta ahora pertenecen a los números reales.

Características de los números reales

Los números reales son un conjunto infinito porque está formado por la unión de los conjuntos racionales (Q) e irracionales (I).

R es un conjunto denso, esto quiere decir que entre dos números racionales hay infinitos irracionales.

R es un conjunto completo y continuo, debido a que todo punto en la recta numérica corresponde a un número real. Los puntos libres que surgían cuando solamente teníamos a los números racionales, ahora son llenados por los irracionales.

Segundo grado – ciclo básico

La continuidad de los números reales permite que existan números cada vez más cercanos unos de otros. Por ejemplo: 1.9, 1.99, 1.999, 1.999… o 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001... 1.99

1.9

2.01

2.1

Valor absoluto de un número real Se llama valor absoluto de un número real a la distancia que hay entre el cero u origen y este número. Lo identificamos escribiendo el número entre barras así: |a| y se lee: valor absoluto de a. Por ejemplo: a. Si el número es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número.

| 34 | = 34 | 2|= 2 b. Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número. |–3| = –(–3) = 3 |– 5 | = – (– 5 ) = 5 De estos resultados, podemos concluir que el valor absoluto de un número nunca es negativo, ya que lo que se toma del número es la distancia entre el mismo y el cero. Veamos la recta numérica siguiente:

|–4| = 4

|4| = 4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Observemos que –4 y 4 tienen el mismo valor absoluto porque ambos se encuentran a la misma distancia de 0.

¿Sabías que…? Hay números que no pertenecen al conjunto de los reales, como las raíces pares de números negativos. Estos se conocen como números imaginarios, que estudiarás más adelante.

Unidad 3 – Matemática

Números reales opuestos Dos números reales, uno positivo y el otro negativo, son opuestos si se localizan a la misma distancia del cero en la recta real. Por ejemplo: +2 es el opuesto de –2 – 3 es el opuesto de 3 Al igual que la recta numérica del inciso anterior, podemos observar:

|–3| = 3

|3| = 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Observemos que –3 y 3 tienen el mismo valor absoluto porque ambos se encuentran a la misma distancia de 0. Por tanto, son opuestos entre sí.

Ejercicio 1 A. Clasifica los números siguientes como racionales o irracionales. Escribe los números del recuadro en la columna que les corresponde. 1.414213…

2.500000…

3.741667…

0.555555…

0.333333…

3.525252…

0.758962…

0.853642…

3.141592…

4.123123…

2.236067…

1.000000…

Racionales Irracionales

B. Localiza en la recta numérica los siguientes números reales: 2 ,

1 8 1 , –4, – , – . 3 3 2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Segundo grado – ciclo básico

Propiedades de los números reales Propiedades de la suma con números reales Cerradura La suma de dos o más números reales da como resultado otro número real.

5 2 7 + = 3 3 3

Conmutativa El orden en que se operen los sumandos no altera el resultado.

3 + 4 = 4 +3 5

Asociativa El orden en que se agrupan los sumandos no altera el resultado. 2 + (3 +

1 1 ) = ( 2 + 3) + 2 2

Elemento neutro Al sumar un número real con el 0 da como resultado el mismo número.

2 2 +0= 8 8

Inverso aditivo u opuesto Para todo número a existe otro número –a llamado inverso aditivo u opuesto, tal que a + (–a) = 0

4 + (–4) = 0

En el conjunto de los números reales se pueden realizar todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

En número reales, no existen raíces pares de números negativos. Estas pertenecen 4 al conjunto de los números imaginarios. Por ejemplo: –4 , –16

No existe la división entre cero. Por ejemplo:

4 56 , 0 0

Propiedades de la multiplicación con números reales La multiplicación cumple con las propiedades de: Cerradura La multiplicación de dos o más números reales da como resultado otro número real.

1 5 5 • = 7 2 14

Conmutativa 4 • 9 = 9 • 4 El orden de los factores no afecta el producto.

2•3=3•2 6=6

Unidad 3 – Matemática

Asociativa La manera en que se agrupan los factores no altera el producto.

4 • (5 • 8) = (4 • 5) • 8 4 • (40) = (20) • 8 160 = 160

Elemento neutro Multiplicar un número real por 1 no altera el resultado.

3 •1= 3

Inverso multiplicativo 1 Para todo número a existe otro número a llamado inverso 1 multiplicativo o simétrico multiplicativo, tal que a • =1 a

3•

3 1 = =1 3 3

Distributiva del producto respecto a la suma y a la resta Respecto a la suma: El producto de un número por una suma es igual a 5 • (4 + 6) = (5 • 4) + (5 • 6) la suma del producto del número por cada uno de 5 • (10) = (20) + (30) los sumandos. 50 = 50 Respecto a la resta: El producto de un número por una diferencia o resta es igual a multiplicar el número por el minuendo y restarle el producto del sustraendo.

10 • (6 – 2) = (10 • 6) – (10 • 2) 10 • (4) = (60) – (20)

Ejercicio 2 Escribe la propiedad que ejemplifica cada una de las siguientes operaciones. 1) –6 + 6 = 0 2) 5 •

1 = 1 5

3) –3 • 1 = –3

3 2 5 + = 4 4 4

7) 42 + 32 = 32 + 42 8) (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2)

4 • 9 = 6

9) 5 • (3 + 2) = (5 • 3) + (5 • 2)

3 3 •8=8• 4 4

10) 4 • (5 – 2) = (4 • 5) – (4 • 2)

Segundo grado – ciclo básico

40 = 40

Intervalos de números reales Se llama intervalo al subconjunto de números reales comprendidos entre dos valores dados, llamados límites. Se pueden presentar los casos siguientes:

Intervalo abierto El intervalo es abierto cuando no incluye sus límites. En forma general se representa por: (a, b) = {x | x ∈ R, x >a ∧ x < b} Y se lee: el intervalo abierto entre a y b es igual al conjunto de números x tal que x pertenece a los números reales, siendo x mayor que a y x menor que b. Claves para identificar un intervalo abierto:

Está escrito entre paréntesis (a, b).

Los límites están definidos con los signos "mayor que" (>) y "menor que" (<).

Los límites no están incluidos dentro del intervalo.

Ejemplo: (2, 8) = {x | x ∈ R, x >2 ∧ x < 8}

El intervalo que tiene por límites a 2 y 8 incluye a todos los números que son mayores que 2 y menores que 8 y no incluye ni a 2 ni a 8. En la recta numérica lo representamos:

(

)

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Intervalo cerrado El intervalo es cerrado cuando incluye a sus límites. En forma general se representa por: [a, b] = {x | x ∈ R, x ≥ a ∧ x ≤ b} Y se lee: el intervalo cerrado entre a y b es igual al conjunto de números x tal que x pertenece a los números reales, siendo x mayor o igual que a y x menor o igual que b. Claves para identificar un intervalo cerrado:

Está escrito entre corchetes [a, b].

Los límites están definidos con los signos "mayor o igual que" (≥) y "menor o igual que" (≤).

Los límites están incluidos dentro del intervalo.

Ejemplo: [2, 5] = {x | x ∈ R, x ≥2 ∧ x ≤ 5} El intervalo que tiene por límites a 2 y 5 está formado por todos los números reales que quedan entre 2 y 5, incluyendo a 2 y 5. En la recta numérica lo representamos:

]

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Unidad 3 – Matemática

Intervalo semiabierto Un intervalo es semiabierto cuando tiene un límite incluido y un límite no incluido. En un intervalo semiabierto pueden darse dos casos: a. Si el límite abierto queda a la izquierda, se llama semiabierto a la izquierda. En forma general se representa por: (a, b] = {x | x ∈ R, x >a ∧ x ≤ b} Y se lee: el intervalo semiabierto a la izquierda entre a y b es igual al conjunto de números x tal que x pertenece a los números reales, siendo x mayor que a y x menor o igual que b. Claves para identificar un intervalo semiabierto a la izquierda:

Está escrito entre un paréntesis y un corchete (a, b].

Los límites están definidos de la siguiente manera: el de la izquierda con el signo mayor que > y el de la derecha con el signo menor o igual que ≤.

El límite izquierdo no está incluido y el de la derecha está incluido dentro del intervalo.

Ejemplo: (3, 6] = {x | x ∈ R, x >3 ∧ x ≤ 6}

El intervalo que tiene por límites a 3 y 6 está formado por todos los números reales que quedan entre 3 y 6. El 3 no está incluido y el 6, sí. En la recta numérica lo representamos:

(

]

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 b. Si el límite abierto queda a la derecha, se llama semiabierto a la derecha. En forma general se representa por: [a, b) = {x | x ∈ R, x ≥ a ∧ x < b} Y se lee: el intervalo semiabierto a la derecha entre a y b es igual al conjunto de números x tal que x pertenece a los números reales, siendo x mayor o igual que a y x menor que b. Claves para identificar un intervalo semiabierto a la derecha:

Está escrito entre un corchete y un paréntesis [a, b).

Los límites están definidos de la siguiente manera: el de la izquierda con el signo mayor o igual que ≥ y el de la derecha con el signo menor que <.

El límite izquierdo sí está incluido y el de la derecha, no.

Ejemplo:

[–2, 7) = {x | x ∈ R, x ≥ –2 ∧ x < 7}

El intervalo que tiene por límites a –2 y 7 está formado por todos los números reales que quedan entre –2 y 7. El –2 está incluido y el 7, no. En la recta numérica lo representamos:

]

)

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Segundo grado – ciclo básico

Intervalo infinito o no acotado El intervalo infinito o no acotado es aquel que no tiene fin en uno o en ambos extremos. Se pueden dar dos casos:

El intervalo es infinito en el lado izquierdo o derecho

Izquierdo

Se representa por:

(–∞, a) = {x | x ∈ R, x < a}

Y se lee: el intervalo infinito a la izquierda es igual al conjunto de números x tal que x pertenece a los números reales, siendo x menor que a. Ejemplo: (–∞, 6) = {x | x ∈ R, x < 6} El intervalo (–∞, 6) está formado por todos los números reales menores que 6. De esta forma el conjunto resultante es infinito.

)

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Derecho

Se representa por:

(a, ∞) = {x | x ∈ R, x > a}

Y se lee: el intervalo infinito a la derecha es igual al conjunto de números x tal que x pertenece a los números reales, siendo x mayor que a. Ejemplo: (3, ∞) = {x | x ∈ R, x >3} El intervalo (3, ∞) está formado por todos los reales mayores que 3. De esta forma el conjunto resultante es infinito.

(

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El intervalo es infinito en ambos lados Se representa por:

(– ∞, ∞) = {x | x ∈ R}

Claves para identificar un intervalo infinito: Está escrito entre paréntesis (– ∞, ∞) Ambos límites tienden a infinito. En la recta numérica el límite infinito se representa con una flecha. Ejemplo: (–∞, ∞) El intervalo (–∞, ∞) está formado por todos los números reales. –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Unidad 3 – Matemática

Ejercicio 3 Representa sobre la recta numérica los siguientes intervalos. 1) [–10, –2] 0

2) [–6, 7] 0

3) [–5, 3] 0

4) (–7, 2] 0

5) (–7, –3] 0

6) (2, 10] 0

7) [0, 6) 0

8) [–5, 3) 0

9) [–8, 1) 0

10) (– ∞, 4) 0

11) [1, ∞) 0

Segundo grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Clasifica los siguientes números. Escríbelos en el área del diagrama que les corresponde. 1) 99 I

2) –16 3) – 2 3 13 4) 7 5)

π 2

6) 0.33333… B. Aplica las propiedades de los números reales para completar. 1)

–8 • (–6 + = 50 6)

50 +

) = –8 • 0 = 0

2) 15 •

= 1 7) (–42 + 3) + 5 =

3) 25 +

= 25 8) – 3+( • 8 = 8

4) 5) 7 •

1 = 8

+ (3 + 5)

+ 8) = ( – 3 + 5) + 8

9) 3 (23 + 45) = (3 •

• 7

10) (

) + (3 •

5 5 – 2) 9 = ( •9) – ( 2 2

) •

)

C. Escribe el inverso aditivo de los siguientes números. 1) – 1 3 2) 4 3)

6) –3 15 7) –10

4) – 98

9) 14

134 5) 5

10) –8

D. Calcula el resultado de las operaciones utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación. Los productos con raíces solamente déjalos indicados. 1) 3(6 + 12 – 5) = 2) –15(3 –

8 )= 6

3) 8(4 + 9 +16) = 4)

1 (10 + 15 + 25) = 5

5) 2(3 – 2 ) =

– 5(6 + 7 ) =

7) 4( 3 + 1) =

3(3 + 3 7 ) =

(

)

1 5 9) – 2 = 3 2 2 4 12 10) – – + = 3 3 3

(

)

Unidad 3 – Matemática

Ejercicio 2 A. Localiza en las rectas numéricas los siguientes números reales. 1)

–27

2) 1.49

4) –

125

1 2

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

B. Escribe sobre la línea si cada uno de los siguientes intervalos es abierto o cerrado, semiabierto o infinito. 1) (–14 ,1]

[2, 9)

2) [–8, 5]

(–1, 1]

3) (1, ∞)

[4, 12]

4) (–10, –1)

8) (–6, ∞)

C. Representa sobre la recta numérica los intervalos del ejercicio 1 a 4 de la actividad anterior. 1) (–5 , 3] 0 2) [–8, 5] 0 3) (1, ∞) 0 4) (–10, –1) 0 D. Marca sobre la recta los intervalos y clasifícalos como cerrados, abiertos o semiabiertos. 1) [–8, 4] 0 2) (2, ∞) 0 3) (–6, 4) 0

Segundo grado – ciclo básico

E. Observa el intervalo marcado sobre la recta y escríbelo a la derecha en notación de intervalo. Además, indica si es cerrado, abierto, semiabierto o infinito.

]

)

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

]

)

(

)

]

F. Escribe el intervalo y represéntalo sobre la recta.

1) {x | x ∈ R, x > −2 ∧ x < 5} 0

2) {x | x ∈ R, x > 4 ∧ x < 7} 0

3) {x | x ∈ R, x ≥ −1 ∧ x ≤ 3} 0

4) {x | x ∈ R, x > 1} 0

5) {x | x ∈ R, x > − 2 ∧ x ≤ 2} 0

6) {x | x ∈ R, x > 3 ∧ x < 6} 0

7) {x | x ∈ R, x < 0} 0

Unidad 3 – Matemática

Desarrolla tu pensamiento lógico Observa las secuencias lógicas y complétalas. El criterio a seguir es el patrón de figuras en el orden que se presenta. Guíate por ejemplo. 0)

2 3

Segundo grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo Resuelve mentalmente las ecuaciones siguientes. Escribe en la línea correspondiente el valor de la variable que hace cierta la igualdad. A.

1) 3

+ y = 5 y =

11) x – 5 = 4 x =

2) 5

+ x = 13 x=

12) m – 4 = 6 m =

3) 1

+ y = 2 y=

13) x – 5 = 8 x =

4) 2

+ x = 6 x=

5) 8

+ x = 14 x=

15) m – 8 = 0 m =

6) 0

+ x = 10 x=

16) m–

7) 5

+ y = 25 y=

17) m–6

8) 9

+ x = 16 x=

18) x–

9) 5

+ y = 18 y=

19) m–1

10) 10

+ x = 20 x=

20) x–6

1) 3x

= 15 x =

12) 3 =

2) 4x

= 8 x =

13) 9 =

3) 5x

= 50

14) 15 =

4) 2y

= 18 y=

15) 4 =

5) 8y

= 0 y =

16) =

6) 9y

= 45 y=

7) 3y

= 18 y=

8) 7y

= 63 y=

9) 10y =

10 y=

10) 15a =

60 a=

11)

2a = 100 a=

14) x

– 4 = 3 x =

0 = 4 m = = 6 m =

10 = 5

x x

x =

= 24 m =

= 10 x = 5 x = 1 x = 2 x = 10 y =

y 10 6 y = y 17) 1 = 9 y = y 18) 9 = 5 y = 10 19) x = 2 x = 14 20) x = 7 x = 25 21) x = 5 x = 40 22) m = 8 m = Unidad 3 – Matemática

C. Escribe el divisor que completa cada división. 1) 40 ÷

= 4

15) 3659 ÷

= 365.9

2) 90 ÷

= 9

16) 1500 ÷

= 15

3) 60 ÷

= 0.06

17) 3600 ÷

= 3.6

4) 80 ÷

= 0.8

18) 4520 ÷

= 452

5) 70 ÷

= 7

19) 2000 ÷

= 20

6) 30 ÷

= 0.3

20) 5327 ÷

= 5.327

7) 400 ÷

= 4

21) 2899 ÷

= 28.99

8) 700 ÷

= 70

22) 6350 ÷

= 6.35

9) 300 ÷

= 0.3

23) 3400 ÷

= 34

10) 900 ÷

= 90

24) 2864 ÷

= 2.864

11) 200 ÷

= 0.02

25) 1300 ÷

= 1.3

12) 800 ÷

= 8

26) 1.534 ÷

= 0.1534

13) 600 ÷

= 0.6

27) 38.96 ÷

= 3.896

14) 1834 ÷

= 18.34

28) 469.3 ÷

= 0.4693

Revisa tu aprendizaje

Después de estudiar...

Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Identifico cantidades racionales e irracionales y las localizo en la recta numérica. Identifico las propiedades de los números reales. Marco sobre la recta numérica los intervalos, los clasifico como cerrados, abiertos, semiabiertos o no acotados y los escribo en notación de intervalo. Completo secuencias lógicas. Aumento mi velocidad de cálculo resolviendo ecuaciones y divisiones mentalmente.

Segundo grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas, rellena el círculo que corresponde a la opción correcta. 1) La temperatura de una ciudad a las 3:00 horas era −2 ºC. Luego, la temperatura fue aumentando 2 ºC cada hora. ¿Cuál era la temperatura a las 14:00 horas? A. 22 ºC

B. −22 ºC

C. 20 ºC

D. −20 ºC

C. 27

D. 11

2) El valor de la expresión+9+−3es... A. 6

B. 12

3) La emisora Atlante transmite semanalmente la lista de las canciones de mayor éxito. La canción No te olvidaré, del grupo La Sierra, ha bajado 8 lugares respecto a la semana anterior. Si la semana pasada estuvo en la posición 3, ¿cuál es la nueva posición? A. 11

B. 10

C. 12

D. 15

4) Según la propiedad conmutativa de la suma, se puede afirmar que... A. 5 + 3 = 8

B. 9 + 2 = 2 + 9

C. 2 + 0 = 2

D. 3(4 + 1) = (3 • 4) + (3 • 1)

5) En la operación (6) + (- 6) = 0 se cumple con la propiedad... A. inverso multiplicativo C. opuesto aditivo

B. elemento neutro D. elemento simétrico

6) El enunciado: Al efectuar el producto de tres o más números, es posible asociarlos de diferentes maneras sin alterar el producto, se refiere a la propiedad... A. conmutativa 7) La fracción A. 0 y −1

B. cerradura

3 se localiza entre... 5 B. 1 y 2

C. distributiva

D. asociativa

C. 3 y 5

D. 0 y 1

8) Para sumar fracciones con el mismo denominador... A. B. C. D.

se suman los numeradores y se copia el denominador se suman los numeradores y se multiplican los denominadores se suman los numeradores y se suman los denominadores se suman los numeradores y se restan los denominadores

9 5 y se puede determinar que... 7 8 5 9 5 9 5 9 = B. < C. > A. 8 7 8 7 8 7

9) De la comparación entre

10) La resta de A.

2 25

8 − 3 es igual a... 5 5 B. 1

11) Del conjunto { 2 , A. 2 ,

2 , 8.333... 3

2 , π, 8.333..., -5, 3 3

D. a y b son correctas

24 3 D. 5 5

} son irracionales...

2 2 , π, 3 D. B. π, – 5, 3 C. , 8.333, –5 3

12) El intervalo [a, b) se llama... A. cerrado

B. abierto

C. semiabierto

D. infinito Unidad 3 – Matemática

13) El número real que no pertenece al intervalo [-3, 5) es... A. 5 14) La gráfica

B. 3 −3

−2

(

−1

)

C. 0 5

representa un intervalo...

A. cerrado C. semiabierto a la derecha 15) La gráfica

]

−3

A. (–3, 2]

−2

−1

)

D. –3

B. abierto D. semiabierto a la izquierda 4

representa el intervalo...

B. [–3, 2]

C. [–3, 2)

D. (–3, 2)

16) La expresión {x x ∈ R, x > 5 ∧ x ≤ 11} corresponde al intervalo... A. [5, 11]

B. [5, 11)

C. (5, 11)

D. (5, 11]

1 1 de la edad de su hermano que tiene la edad de su padre. Si el padre tiene 63 años, ¿cuál 7 3 es la edad de Rebeca?

17) Rebeca tiene

A. 44 años

B. 3 años

C. 9 años

D. 7 años

18) Un ciclista va de una ciudad a otra que queda a 240 km y el viaje lo hace a una velocidad de 24 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a la mitad del camino si cada dos horas toma un descanso de 15 minutos? 1 horas D. 7 horas A. 5 horas B. 6 horas C. 5 2 19) El salario de Maura es de Q8.00 la hora. Cuando trabaja más de 40 horas a la semana recibe Q12.00 por cada hora extra trabajada. Si en una semana recibió Q632.00, ¿cuántas horas extras trabajó Maura? A. 28 horas

B. 26 horas

C. 23 horas

D. 25 horas

20) Aníbal preparó una ensalada de frutas para la cafetería. Usó 3 libras de manzanas, 2 libras de naranjas, 4 libras de bananos, 2 libras de fresas y 3 libras de duraznos. Si generalmente usa 20 libras de frutas, ¿cuántas libras de fruta usó menos esta vez? A. 14 libras

B. 9 libras

Segundo grado – ciclo básico

C. 2 libras

D. 6 libras

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

13. A.

14. A.

15. A.

16. A.

17. A.

18. A.

19. A.

20. A.

Unidad 3 – Matemática

Operaciones con expresiones algebraicas

unidad

¿Qué sabes del tema? Un polinomio es la expresión matemática formada por números, letras y símbolos, con el que puedes realizar sumas, restas y multiplicaciones. En esta unidad aprenderás a operar con polinomios. Este contenido te ayudará a desarrollar la habilidad para manipular expresiones algebraicas, conocimiento fundamental en la resolución de ecuaciones, que estudiarás más adelante.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido! Ley de signos para el producto

Taller de matemática • Suma y resta de monomios y polinomios • Multiplicación de monomios y polinomios • Productos notables • División de monomios y polinomios • Regla de Ruffini

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas lógicos y secuenciales

Aumenta tu velocidad de cálculo • Resolución de multiplicaciones, potencias y raíces

Unidad 4 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

1. Utiliza las relaciones y propiedades entre diferentes patrones (algebraicos, geométricos y trigonométricos) en la representación de información y la resolución de problemas.

1.1 Opera polinomios (suma, resta, multiplicación.)

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales. 5. Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.

Segundo grado – ciclo básico

Actividades

Ordenar polinomios.

Sumar y restar monomios y polinomios.

Multiplicar y dividir monomios y polinomios.

3.1 Aplica la jerarquía de las operaciones.

Ejercitar el cálculo mental.

5.3 Selecciona la estrategia más apropiada a la resolución de problemas.

Escoger la mejor estrategia y resolver problemas para desarrollar tu pensamiento lógico.

¡Prepárate para el recorrido! Para recordar... Para empezar el estudio esta unidad conviene que recuerdes cómo multiplicar números enteros y potencias de la misma base, porque te servirá para multiplicar polinomios.

Ley de signos para el producto Recuerda: • El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número entero positivo. • El producto de dos números enteros con signo diferente es un número entero negativo. Observa con atención los principios de la ley de signos y el ejemplo que lo acompaña. ley de signos

ejemplo

(+)(+) = +

( 7 )( 3 ) = 21

( – )( – ) = +

(–7)(–3) = 21

(+)( – ) = –

( 7 )( – 3 ) = –21

( – )(+) = –

( – 7 )( 3 ) = –21

Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. (32)(35) = 32+5 = 37

(a4)(a3)(a) = a4+3+1 = a8

(63)(62) = 63+2 = 65

(x2)(x2)(x3) = x2+2+3 = x7

(b)(b)(b2) = b1+1+2 = b4

Ejemplos

(2)(23) = 21+3 = 24

¡A trabajar! Practica la ley de signos y el producto de potencias de igual base. 1)

(–3)(6) =

(24)(23) =

(m6)(m3)(m) =

(2)(–5) =

(52)(54) =

10)

(a4)(a)(a2) =

(–8)(–4) =

(73)(75) =

11)

(b5)(b4)(b3) =

(–6)(7) =

(36)(37) =

12)

(x)(x6)(x8) = Unidad 4 – Matemática

Taller de matemática Operaciones con expresiones algebraicas Las expresiones algebráicas se pueden operar de forma muy similar a como lo hacemos con los números. Conocer cómo se resuelven estas operaciones nos ayudará a solucionar problemas y a encontrar valores desconocidos.

Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes numéricos de los términos semejantes, respetando la ley de signos y se mantiene el coeficiente literal. Podemos efectuar las operaciones en sentido horizontal o vertical. Veamos un ejemplo. Operemos

–25x3y2 + 6x3y2

En sentido horizontal

Por la ley de signos restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

–25x3y2 + 6x3y2 = –19x3y2

En sentido vertical

Escribimos un monomio debajo del otro.

Restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

-25x3y2 + 6x3y2 -19x3y2

Suma y resta de un monomio con un polinomio Cuando sumamos o restamos un monomio con un polinomio, eliminamos los paréntesis del polinomio. Para eso recuerda:

Un signo positivo delante de un paréntesis no altera los signos que están dentro.

Un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro.

Operemos

18x – (3x2y2 + 4x – 6)

En sentido horizontal

Operamos el signo menos que está delante del polinomio.

= 18x – 3x2y2 – 4x + 6

Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= –3x2y2 + (18x – 4x) + 6

Sumamos y obtenemos el resultado.

Segundo grado – ciclo básico

= –3x2y2 + 14x + 6

En sentido vertical

Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

Sumamos y obtenemos el resultado.

- 3x2 y2 - 4x + 6 + 18x -3 x 2 y2 + 14x + 6

Suma y resta de un polinomio con otro polinomio Para sumar y restar polinomios se aplican los mismos pasos que vimos en el apartado anterior. Operemos

(2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 – 3x + 5)

En sentido horizontal

= 2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x2 – 3x + 5

Eliminamos los paréntesis.

Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= 2x3 + (3x2 + 5x2) + (6x – 3x) + (1 + 5)

Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2x3 + 8x2 + 3x + 6

En sentido vertical

Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x 2 - 3x + 5 2x 3 + 8 x2 + 3x + 6

Veamos otro ejemplo. Operemos En sentido horizontal

(5x2y + 9xy + 5x) – (4x2y + 3xy – 8)

Eliminamos los paréntesis, teniendo cuidado de operar el signo menos delante del paréntesis.

= 5x2y + 9xy + 5x – 4x2y – 3xy + 8

Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= (5x2y – 4x2y) + (9xy – 3xy) + 5x + 8

Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= x2y + 6xy + 5x + 8

Unidad 4 – Matemática

Ejercicio 1 A. Opera los monomios siguientes. Intenta resolverlos mentalmente, si se te complica, resuélvelos en tu cuaderno. 1)

3x + 15x

–32x6y8 – 18x6y8 =

6x6y8 – 12x 6y 8

–7mn2 + 10mn2

10x 2y 2 + 5x2y 2

11at 2 – 5at 2

–8a2b5c4 + 16a2b5c4 =

22xy2 – 21xy 2

–36a3b5 + 15a3b5

10)

–25ab2c + 25ab2c =

B. Opera los siguientes monomios y polinomios. 1)

9xy + (6x2 + 6xy + 10)

–17b + (24a – 15ab + b)

5x – (4x2 – 2x + 5)

–(25 + 7x2y3z – 37xy3) + 3x2y3z

C. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones de polinomios.

(10x + 6) + (3x – 4)

(16x2 – 6x3 + 5x) + (–4 + 16x2 – 31x3)

(3x2 + 5x – 1) – (2x2 – 4x + 6)

(7x + 8y – 9z) – (–15x + y – z)

(5x2 + 3x – 6) + (9x2 + 2x + 4)

10)

–(–25x + 7x3 – 4) – (–19 + 13x – 5x3)

(–2x2y – 3x + 6) + (5x2y – 10)

11)

–(–17x + 29x3 – 8 + 5x2) + (–7 + 38x – 14x3)

(8a2b – 5a – 2) – (10a2b + 8b – 4) 12) (22x2 + 16x + 25) – (13x2 – 22x – 21)

(–8x3 + 3x – 2x2) – (8x3 + 4x2 – 7) 13) –(23n2m3 + 13nm + 21n2m) + (23n2m3 + 13n2m + 41)

(12a – 7b + 4c) – (–13a – 5b + 4c) 14) –(34x4 + 26x + 1) – (– 34x4 – 1) Segundo grado – ciclo básico

Multiplicación de monomios y polinomios Para multiplicar polinomios seguimos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros. Estudiaremos tres casos de multiplicación de polinomios:

producto de dos o más monomios

producto de monomio por polinomio

producto de polinomio por polinomio

Producto de dos o más monomios A diferencia de la suma y de la resta que necesitan variables y exponentes iguales para reducirlos, podemos multiplicar dos o más monomios aunque tengan coeficientes, literales y exponentes diferentes. Veamos unos ejemplos. Multipliquemos los monomios

(2x2 y )(4x )

Agrupamos los factores numéricos y literales por separado.

= (2 : 4 )(x2 y : x)

Ordenamos las letras iguales para facilitar la resolución.

= 8 (x2 : x)(y)

Multiplicamos las literales agrupadas (observa la ley de potenciación para x).

= 8x2 + 1 y

Escribimos la respuesta.

= 8x3y

¡Atención! Para indicar el producto, además del signo "#" y paréntesis, también podemos utilizar el punto "•" en medio de los factores (x • y).

Ahora veamos un ejemplo de producto de tres monomios Seguimos los mismos pasos. Multipliquemos

(-3a)(2 a2)(- 3a) 2

Agrupamos los factores numéricos y literales por separado.

Multiplicamos los valores agrupados. Atención al resultado de los signos.

= 18a1 + 2 + 2

Escribimos la respuesta.

18a55 = 18a

= (-3 : 2 : -3)( a : a2 : a2)

Unidad 4 – Matemática

Producto de monomio por polinomio El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es el siguiente:

Multiplicar el monomio por cada término del polinomio.

Resolver cada operación como producto de dos monomios.

Escribir la respuesta.

Esta operación también la podemos resolver en sentido horizontal y vertical. Veamos. En sentido horizontal Multipliquemos

(3x )(2 x + 4y)

Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

= (3x : 2 x) + (3x : 4y)

Resolvemos cada operación como producto de dos monomios.

= (3 : 2 )(x : x) + (3 : 4)( x : y)

= 6x1 + 1 + 12xy 6x2 12xy ==6x2 ++12xy

Escribimos la respuesta.

En sentido vertical

Escribimos el monomio debajo del polinomio.

Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

2x + 4y 3x # 6x 2 + 12xy

Veamos otro ejemplo. En sentido horizontal Multipliquemos

Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

Resolvemos cada operación como producto de dos monomios.

Escribimos la respuesta.

(7ab)(8a – 9a2b + 4)

= (7ab • 8a) + [7ab • (–9a2b)] + (7ab • 4) = 56a1+1b + 63a2+1b1+1 + 28ab = 56a2b – 63a3b2 + 28ab

En sentido vertical

Escribimos el monomio debajo del polinomio.

Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

Segundo grado – ciclo básico

8a – 9a2b + 4 # 7ab 56a2b – 63a3b2 + 28ab

Multiplicación de binomio por binomio Para multiplicar un binomio por otro binomio, multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo. Podemos verlo más claramente a continuación:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Lee los pasos que se describen a continuación y observa la operación al final de estos. Sigue la secuencia guiándote por los números de color rojo. Para multiplicar en sentido horizontal dos binomios seguimos el siguiente procedimiento:

Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y resolvemos los productos planteados.

Reducimos términos semejantes.

(2x + 3)(x + 5) = [(2x : x) + (2x : 5) + [(3 : x) + (3 : 5)

[

2x2 + 10x

[

3x + 15

= 2x2 + = 2x2 +13x + 15 10 x + 3x + 15 2 Escribimos el producto completo. (2x + 3)( x + 5) = 2x + 13x + 15

Multiplicación de polinomio por polinomio Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, se reducen términos semejantes si los hay y se escribe la respuesta. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o vertical. Lo más práctico es en sentido horizontal:

(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be Veamos un ejemplo. Multipliquemos (2x

– y)(x – 3y – 2z)

= [(2x • x) + (2x • –3y) + (2x • –2z)] + [(–y • x) + (–y • –3y) + (–y • –2z)] = 2x2 – 6xy

– 4xz

–

xy + 3y2

2yz

= 2x2 - 6xy - xy - 4xz + 3y2 + 2yz = 2x2 – 7xy – 4xz + 3y2 + 2yz Unidad 4 – Matemática

Ejercicio 2 A. Realiza las siguientes multiplicaciones con monomios y escribe la respuesta. 1) (3b2)(2b)

6) (mn3)(–3m2n) =

7) (–5x2y3)(6xy2)(2x3) =

2) (–6cd )(–2c2)

3) (a)(2ab)(5b3c) 4) (–6cd)(–2c2) 5) ( y)(6y2)

8) (2x)(–6x2y)(2y2)

9) (7x)(–3x2y)(–2xy3) =

10) (8xy2)(–8y3)(14x4) =

B. Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios y polinomios en tu cuaderno. 1) (–5y)(2x2y2

– 4y + 1)

7) (–3x2y)(7x2

– 3xy + 5y2)

2) (ab)(3a2b

– 5ab2)

8) (–5y)(2x2y2

– 4y + 1)

3) (–5x)(2x2

+ 3xy + 5y2)

9) (2ab)(4a2b

– 3bc + 1)

4) (2m4)(m3

– 6m2 + 2m)

10) (3x)(x2

5) (–x3)(5x4

+ 2x3 – 7x + 2)

11) (2xy)(3x2

+ 5y2 + 2)

12) (c2d)(3c3

– 2d2 – 4)

6) (5m)(–7m2

+ 8m – 10)

+ 2x – 1)

C. Realiza las siguientes multiplicaciones de binomios en tu cuaderno. 1)

(x + 4)(x + 6)

2) (a

+ 2)(a – 3)

3) (–2x 4) (x

+ 2)(3x3 – 5)

+ 9)(x – 4)

5) (5y

+ 2)(2y + 1)

6) (a4b2

+ 5)(a2b + 3b)

7) (a

+ 3)(a – 1)

8) (x

+ 5)(x + 1) – 5n)(m – n)

9) (6m 10) (8n

– 9m)(4n + 6m)

D. Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios en tu cuaderno. 1) (3x 2) (b

7) (4x

+ 2y)(2x + 3y + 1)

– 3)(b2 + 3b + 9)

8) (r

– 4)(2b2 + b + 5)

9) (x2

– 2)(x2 + 2xy + 5y 2)

10) (x2y

+ 2x)(y2 – 2y + 4) – 4a)(a3 – 3a + 7)

3) (3a 4) (x

+ y)(2x – 5y + z)

+ 1)(r3 + 4r2 – r + 3) + 4x)(x2 – 2x – 2)

5) (4x

+ 1)(4x2 + 2x + 2)

11) (5a2

6) (x2y

+ 2x + x)(x2 – 4x – 6)

12) (b4

Segundo grado – ciclo básico

+ 9)(–2b2 – 5b – 2)

Productos notables Los productos notables son casos especiales de multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección, es decir, operar en forma directa sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Aprenderemos tres casos:

Cuadrado de un binomio: ü cuadrado de la suma (a + b)2 ü cuadrado de la resta (a – b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos binomios

(a + b)(a – b)

Producto de dos binomios con un término común

(a + b)(a + c)

a. Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 Recuerda que elevar una cantidad al cuadrado es lo mismo que multiplicarla por sí misma. Lo mismo sucede con el cuadrado de la suma de un binomio, es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo.

(a + b)2 = (a + b)(a + b) Si hacemos la operación, obtenemos:

a+b # a+b ab + b 2 a 2 + ab a 2 + 2ab + b2 Observa que el resultado del producto (a

Atención: El binomio (a + b)2 no es lo mismo que a2 + b2:

+ b) (a + b) = a2 + 2ab + b2.

(a + b)2 ≠ a2 + b2.

Un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula general del cuadrado de la suma de un binomio. Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la suma de un binomio:

El cuadrado del primer término, (a2)

más el doble del primero por el segundo,

más el cuadrado del segundo, (b2)

2(a • b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Memoriza la fórmula general: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Unidad 4 – Matemática

Veamos unos ejemplos: cuadrado de la suma

desarrollo

(x + 3)2 = (x + 5)2 =

resultado

x2 + 6x + 9 x2 + 10x + 25

(x)2 + 2(x • 3) + (3)2 = (x)2 + 2(x • 5) + (5)2 =

b. Cuadrado de la resta de un binomio (a − b)2 Al igual que la suma, el cuadrado de la resta de un binomio es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Veamos.

(a – b)2 = (a – b)(a – b) Si efectuamos el procedimiento, obtenemos:

a-b # a-b - ab + b 2 a 2 - ab a 2 - 2ab + b 2

Atención: El binomio (a – b)2 no es lo mismo que a2 – b2: (a – b)2 ≠ a2 – b2.

El resultado a2 – 2ab + b2 es muy parecido al cuadrado de la suma. La diferencia está en el signo menos que separa el primer término del segundo. Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la resta de un binomio:

El cuadrado del primer término, (a)2

menos el doble del primero por el segundo, –2(a • b)

más el cuadrado del segundo, (b)2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Memoriza la fórmula general: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Veamos un ejemplo: Desarrollemos el binomio (5x

– 4y)2

(5x – 4y)2 = (5x)2 – 2(5x • 4y) + (4y)2 = 25x2 – 40xy + 16y2 Otros ejemplos:

cuadrado de la resta

desarrollo

resultado

(x – 3)2 = (3x – 2y)2 =

(x)2 – 2(x • 3) + (3)2 = (3x)2 – 2(3x • 2y) + (2y)2 =

x2 – 6x + 9 9x2 – 12xy + 4y2

Segundo grado – ciclo básico

c. Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b) Identificar este producto notable es muy sencillo porque representa el producto de dos binomios, cuyos términos son iguales, pero están unidos por signos opuestos. Veamos, si multiplicamos (a

+ b)(a – b), tenemos: a+ b a- b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 #

A la vista del resultado, podemos deducir que, en general, el producto de la suma de un binomio por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.

El cuadrado del primer término (a)2

Menos el cuadrado del segundo término (b)2

a2 – b2

Memoriza: Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

A este producto notable también se le conoce como producto de dos binomios conjugados. Veamos un ejemplo: Desarrollemos el producto (3a

+ 2)(3a – 2).

Repite mentalmente la fórmula general: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

(3a + 2)(3a – 2) = (3a)2 – (2)2 = 9a2 – 4 Otros ejemplos: producto

desarrollo

resultado

(x + y)(x – y) =

(x)2 – (y)2 =

x2 – y2

(2x + 1)(2x – 1) =

(2x)2 – (1)2 =

4x2 – 1

Recuerda que la característica fundamental de los productos notables es que se pueden resolver por simple inspección, "a golpe de vista", sin necesidad de realizar operaciones. Por eso es importante, en primer lugar, saber reconocerlos, y en segundo lugar, aplicar la fórmula.

Unidad 4 – Matemática

d. Producto de dos binomios con un término común y signos iguales Para este producto notable hay dos variantes, cuando las expresiones tienen signo positivo y cuando tienen signo negativo. Signo positivo (a

+ b) (a + c)

Al igual que el producto de la suma por la diferencia, este también tiene una fórmula general para resolverlo por simple inspección. Memoriza: El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes.

El cuadrado del término común, (a)2

Más el término común por la suma de los no comunes, a(b + c)

Más el producto de los términos no comunes, (bc)

(a + b) (a + c) = a2 + a(b + c) + bc

Veamos unos ejemplos: binomio

desarrollo

resultado

(a + 8)(a + 2) = (b + 9)(b + 6) =

(a) + a(8 + 2) + (8 • 2) = (b)2 + b(9 + 6) + (9 • 6) =

a + 10a + 16 b2 + 15b + 54

Signo negativo (a

– b)(a – c)

La fórmula es la misma del apartado anterior, salvo que el segundo término de la respuesta será un número negativo porque la suma de números negativos es otro número negativo. En general, podemos escribir la fórmula así:

(a – b)(a – c) = a2 + a(–b – c) + (–b • –c) = a2 – a(b + c) + bc suma de dos números negativos

producto de dos números negativos

El tercer término de la respuesta será siempre un número positivo porque el producto de dos números negativos es un número positivo. Veamos unos ejemplos:

binomio

desarrollo

resultado

(x – 4)(x – 5) =

(x)2 + x(–4 – 5) + (–4 • –5) =

x2 – 9x + 20

(5y – 6)(5y – 4) =

(5y)2 + 5y(–6 – 4) + (–6 • –4) =

25y2 – 50y + 24

Segundo grado – ciclo básico

Ejercicio 3 A. Resuelve los siguientes productos del cuadrado de la suma de un binomio. Intenta hacerlo mentalmente, si aún se te complica, puedes hacerlo de forma horizontal o vertical.

(2x + y)2 =

(3y + 8)2 =

(x + 5)2 =

(6a + 9b)2 =

(2x + 3)2 =

(2x + 15)2 =

(3x + 1)2 =

10)

(4x + 5t)2 =

(4x + 2)2 =

(x + 7)2 =

B. Resuelve los siguientes productos del cuadrado de la diferencia de un binomio. Intenta hacerlo mentalmente. 1)

(d – 2)2 =

(x – 9)2 =

(y – 6)2 =

(y – 8)2 =

(2x – 1)2 =

(3a – 5b)2 =

(11b – 4f )2 =

(13k – h)2 =

(2w – 9v)2 =

10)

(8v – c)2 =

C. Resuelve los siguientes productos de suma por diferencia de binomios. Intenta hacerlo mentalmente. 1)

(3x + y)(3x – y) =

(x + 7)(x – 7)

(x + 9)(x – 9)

(a + 6)(a – 6)

(x + 4)(x – 4)

(3x + 2)(3x – 2)

(5x + 4)(5x – 4)

10)

(h + 4y)(h – 4y) =

(7b – 3)(7b + 3) =

11)

(7fg + 12)(7fg – 12) =

(2x – y)(2x + y) =

12)

(2d + h)(2d – h) =

D. Resuelve los siguientes productos de binomios con un término común y signos iguales. Intenta hacerlo mentalmente. 1)

(a + 9)(a + 1)

(13s + 3z)(13s + 5) =

(x + 3)(x + 6)

(14x + 8)(14x + 3) =

(5x − 2)(5x − 7) =

(4r + 6)(4r + 3)

(y + 4)(y + 5)

10)

(7r – 3)(7r – 13)

(8v + 5b)(8v + 6t) =

11)

(11w – bg)(11w – 5) =

(t – y)(t – h) =

12)

(h + 5)(h + 6)

= Unidad 4 – Matemática

División de monomios y polinomios Para dividir polinomios aplicamos las mismas leyes de los signos y de la potenciación de números enteros. Estudiaremos tres casos.

División de monomio entre monomio Para dividir dos monomios, primero aplicamos la ley de los signos, luego dividimos los coeficientes numéricos y después las literales. Veamos el procedimiento:

Escribir la división como una fracción algebraica.

Descomponer la fracción como producto de varias fracciones.

Dividir el coeficiente numérico y las literales, aplicando las leyes de los signos y de la potenciación.

Escribir el resultado.

Fíjate en el ejemplo.

6a4b5 ÷ 3a2b2

Dividamos

Escribimos la división como una fracción algebraica.

4 5 = 6a2b2 3a b

Descomponemos la fracción como producto de varias fracciones.

4 5 = 6 : a2 : b2 3 a b

Dividimos el coeficiente numérico y las literales. (Copiamos la base y restamos los exponentes).

= 2a4 2 b5 2 = 2a2b3

Expresamos la división completa.

6a4b5 ÷ 3a2b2 = 2a2b3

División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio y resolvemos las operaciones indicadas. Observa el ejemplo. Dividamos (9x5 –

6x3 + 12x) ÷ (3x)

Escribimos la división como una fracción algebraica.

Separamos cada término como fracción con denominador común.

5 3 12 x = 9x - 6x + 3x 3x 3x

Dividimos cada fracción como división de dos monomios.

= 3 x 5- 1 - 2 x 3 - 1 + 4

5 3 = 9x - 6x + 12 x 3x

= 3x4 - 2x2 + 4

Expresamos la división completa.

Segundo grado – ciclo básico

(9x5 – 6x3 + 12x) ÷ (3x) = 3x4 – 2x2 + 4

Ejercicio 4 A. Efectúa las siguientes divisiones de monomio entre monomio.

12)

–9x8y5z9 ÷ –3x2y3z5 =

13)

4m19 ÷ –m15

÷ 5x2 =

14)

15b10c12 ÷ 5b9c11

15) – 45mn8

16)

33w15x10 ÷ –3w12x7 =

6) 18m5

÷ 6m2 =

17)

–30x7y6 ÷ –6x6y5

7) –12c5

÷ 3c

18)

36x3y7z4 ÷ 12x2y2 =

÷ 2mn5 =

19)

56a3b2 ÷ –8a2b2

–12x3y ÷ –4x2 = 4

2) –6a b3 ÷ 3a b 3) 15x5

4) 12x2y

÷ –3x

5) –20ab3

8) 10m4n6

÷ 4b

÷ 15mn3 =

9) –15x11 ÷

3x4 =

20)

27h3j 2x ÷ –9hjx

10) 100a8b7c

÷ a3b4 =

21)

100b 7y 10 ÷ b 7y 10

22)

–a 8b 7c14 ÷ ab

11) 24x10y11 ÷

8x7y11 =

B. Resuelve las siguientes divisiones de polinomio entre monomio en tu cuaderno. 1) (8k 4 + 12k 3 – 4k 2 ) ÷ (4k 2 )

12)

(ax2y3 + bx3y2) ÷ (xy)

2) (2x4 + 6x2 + 4x) ÷ (2x)

13)

(5a2 + 25a4 – 15a3) ÷ (–5a)

3) (3y5 – 6y3 + 9y) ÷ (3y)

14)

(a + b + c + d) ÷ (4)

4) (x3 + 2x2 + 70x) ÷ (x)

15)

(18y3z – 9y + 3) ÷ (3yz)

5) (2x4 – 6x3 + 4x2 ) ÷ (2x2)

16)

(18a3b2 – 4a2b3 + 3a4b4) ÷ (–3a2b3)

6) (8a7 – 6a4 ) ÷ (–2a3 )

17)

84x2y2 + 36x2y3 – 30x4y4) ÷ (20x2y2)

7) (9x10 + 12x8 – 15x6 ) ÷ (3x4 )

18)

(35a3bc – 25a2b3c – 15a3b3c3) ÷ (5a3b 3c3)

8) (10x4 y5 + 14x8 y6 ) ÷ (2x3 y2 )

19)

(40x 3y 3 – 30x2 + 10y 2) ÷ (5xy)

9) (7e8 + 21e9 – 14e10 ) ÷ (e5 )

20)

(9xy + 9x 2y 2) ÷ (3xy)

10) (m4 n5 – m5 n7 – m6 n8 ) ÷ (m2 n3 )

21)

(49ab 2 – 14a 2b + 28ab) ÷ (7ab)

11) (3a3

22)

(5x 2 – 10y 2 ) ÷ (2xy)

+ 6a) ÷ (a2 )

Unidad 4 – Matemática

División de polinomio entre binomio: la regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Al aplicarlo se debe cumplir este procedimiento:

El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3

+ x2 + x + 1

Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar.

El divisor debe ser un binomio de la forma x ± a, donde a es cualquier número entero.

Entenderemos el procedimiento con un ejemplo. Pon mucha atención a los pasos. Dividamos Atención: Observa que colocamos un cero (0) en el orden x2 que falta en el polinomio dividendo. El término independiente es un número que aparece sin la variable. En el binomio x + 3, el término independiente es 3.

1. Copiamos los coeficientes del polinomio. Trazamos dos líneas como en la ilustración. Abajo y a la izquierda el término independiente del binomio con el signo opuesto (–3).

x3 + 0x2 – 7x + 6 1 0 – 7 + 6 –3

2. Bajamos el +1 del polinomio, debajo de la línea horizontal. Sigue la flecha.

1 + 0 – 7 + 6 –3 1

3. Multiplicamos –3 • 1 = –3. Escribimos el resultado en la columna siguiente, sigue las flechas.

1 + 0 – 7 + 6 –3 – 3 1

4. Sumamos 0 – 3 resultado abajo.

= –3. Escribimos el

5. Repetimos los pasos tercero y cuarto. Multiplicamos –3 • –3 = +9. Escribimos el resultado en la columna siguiente.

6. Sumamos – 7 + resultado abajo.

(x3 – 7x + 6) ÷ (x + 3) =

Segundo grado – ciclo básico

9 = +2. Escribimos el

1 + 0 – 7 + 6 –3 – 3 1 – 3

1 + 0 – 7 + 6 –3 – 3 + 9 1 – 3

1 + 0 – 7 + 6 –3 – 3 + 9 1 – 3 + 2

7. Repetimos los pasos tercero y cuarto. Multiplicamos –3 • 2 = –6. Escribimos el resultado en la columna siguiente.

1 + 0 – 7 + 6 –3 – 3 + 9 – 6 1 – 3 + 2

8. Sumamos 6 – 6 = 0. Escribimos el resultado abajo. Este último valor representa siempre el residuo (R) del resultado final.

1 + 0 – 7 + 6 –3 – 3 + 9 – 6 1 – 3 + 2 0

9. ¡Atención! Con los valores de la última fila armamos el polinomio de la respuesta. Observa.

Observa que la respuesta es un polinomio en orden descendente de un grado menor al polinomio original.

x – 3x + 2 2

(x3 – 7x + 6)÷ (x + 3) = x2 – 3x + 2, R = 0 Otro ejemplo:

(2x2 – 9x – 19) ÷ (x – 6)

Dividamos 1. Copiamos los coeficientes del polinomio. Trazamos dos líneas como en la ilustración. Abajo y a la izquierda el término independiente del binomio con el signo opuesto (+6).

2 – 9 – 19

2. Bajamos el +2 del polinomio, debajo de la línea horizontal. Sigue la flecha.

2 – 9 – 19

3. Multiplicamos 6 • 2 = +12. Escribimos el resultado en la columna siguiente. Sigue las flechas.

2 – 9 – 19 +6 + 12 2

4. Sumamos – 9 + 12 = +3. Escribimos el resultado abajo. Sigue las flechas.

2 – 9 – 19 +6 + 12 2 + 3

5. Repetimos los pasos tercero y cuarto hasta completar la tabla.

2 – 9 – 19 +6 + 12 + 18 2 + 3 – 1

6. Con los valores de la última fila armamos el polinomio de la respuesta. Observa con atención.

Escribimos la respuesta:

2x + 3

(2x2 – 9x – 19) ÷ (x – 6) = 2x + 3, R = –1 Unidad 4 – Matemática

Ejercicio 5 Practica la división de dos polinomios, aplicando la regla de Ruffini. 1)

(x3 – 27) ÷ (x – 3) =

11)

(x5 − 32) ÷ (x − 2)

(x2 + x – 20) ÷ (x + 5)

12)

(x4 − 3x2 + 2) ÷ (x −3)

(2x3 + 6x – 4 ) ÷ (x + 4)

13)

(x3 + 4x2 + x − 2) ÷ (x + 1)

(2p2 – 7p – 15) ÷ ( p – 5)

14)

(x4 − 2x3 + 3x − 6) ÷ (x − 3)

(x4 – 9x2 + x + 3)(x + 3)

15)

(4x7 − 2x6 + 3x) ÷ (x + 2)

(2x2 + 12x + 16) ÷ (x + 4)

16)

(–6x4 – 40x3 – 31x2 – 42x – 6) ÷ (x + 6)

7) (2m2 – 9m – 18 ÷ (m + 3)

17) (2x3

+ x2 – 3x + 5) ÷ (x – 1)

8) (x3 + 27) ÷ (x + 3)

18) (6x4

– 2x2 – 3 + 5x) ÷ (x – 2)

9) 10)

(2u3 – 3u2 – 3u + 6) ÷ (u – 1)

19)

(3x4 – 2x3 + 4x2 + 2x – 3) ÷ (x – 2)

(x3 + 2x + 70) ÷ (x + 4)

20)

(5x4 + 3x2 – 2x + 8) ÷ (x + 3)

Practica en la red Te proponemos las siguientes páginas de internet: goo.gL/VkzwA En esta página encontrarás ejemplos y ejercicios de operaciones con polinomios. goo.gL/xN3nq0 Aquí encontrarás un video explicativo y más ejemplos de la regla de Ruffini. goo.gL/5AryPY En esta página hallarás ejercicios interactivos de la regla de Ruffini.

Segundo grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Opera las sumas y restas de monomios. 1)

–x2 + 8x2

20abc + 12abc =

–23xyz – 7xyz =

–6x2y + 12x2y =

a5x3y2 – 9a5x3y2 =

10)

4h2 – 16h2

4x + 10x

12x2y + 16x2y =

11)

25abc – 33abc =

15xyz + 12xyz =

–84ab – 16ab =

12)

–18xy2 + 15xy2 =

B. Resuelve las sumas y restas de un monomio con un polinomio en tu cuaderno. 1)

3x + ( 4x + 2y + 1)

25y2 + (2xy – 36y2)

4x – (2x + 7y – 8z)

–6a – (6a + 4b – 6c)

–36x – (–12x – 6y + 4z)

3p + (2p + 4q – 6r)

4x – (36x + 2y – 4z)

25x2y + (25x3y2 – 12x2y + 3)

12mn – (–5m + 10mn – 4p)

Ejercicio 2 Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios en tu cuaderno. 1)

(5x2 + 3x – 5y) + (6x2y – 5x + 8y)

(3x + 8y – 6) + (8x – 3c + 6)

(5a2b – 9bc + 8d) + (4a2b – 3bc + 6)

10)

(a – 3b + 10c) + (–7a + 8b – 12c)

(x2 + 5x) + (3x2 + 9x + 16)

11)

(4xy + 5x – 2y) + (3xy + 4x + 7y + 6)

(6a – 10b + 8c) – (5a + 7b – c)

12)

(2x3y2 + 8xy – y) – (6x3y2 + 2xy – 4x)

(6a2b2 + 2ab – 2) – (2a2b2 + 9ab – a)

13)

(9x2 + 5y2 – 2x + 3y) – (14x2 + 7y)

(5a – 3b + c) + (4a – 5b – c)

14)

(3a + 7b – 4c) – (3a + 5b – 3c)

(8p4 – 3r2) + (6p4 – 12r2 + 15)

15)

(5k + 2m + 10) + (2k + m – 4s + 24)

(–12x + 15y + 16z) – (–13x + 20y)

16)

(4x4 + 3x3 + 3y) + (5x4y – 5x2 + 4y)

Ejercicio 3 Multiplica los monomios siguientes.

9) (5x2y2z)(2y2z2) =

(4p4)(–3p6)

(–3x4y3)(–6xyz) =

10)

(2x2)(5x5)(7y3) =

(a2)(–b2)(4a3b3) =

11)

(–5ab2)(2a2b)

(–ab2)(–bc3)(–cd4) =

12)

(–4x3y2z)(–3x2y) =

(a2b3)(a3b2c4)

13) (2k 2)(3p3)(2k) =

(–4m4n3)(3m4n3p) =

14) (3a 2b)(3a b2)

(–4a3)(2a2b)(–6ab3c) =

15) (6xy)(3x)(x2)

(4x)(–5x2y)(2x3) =

16) (–15ab3c)(2a2c3) =

Unidad 4 – Matemática

Ejercicio 4 Realiza las siguientes multiplicaciones de un monomio por un polinomio en tu cuaderno. 1)

(6x2)(1 + 2x – 12y3 – 3y4)

(4ab)(21a + 14abc – 2)

(4x)(1 + 20x – 5y)

(2a)(10b – 12a)

(b)(a – 36ab + 4bc)

(2m4)(4m2n3 – 3mn – 12p)

(4x)(5x2 + 2xy – 4z)

10)

(5g)(3w + 11x – 9z)

(7a2b)(–5a3 +7a2b – 3ab2)

11)

(2c)(3c2 – 2cd + d )

(3a3)(2a2b + a – 4)

12)

(4hk)(2h3 – 2k2 + 3hk)

Ejercicio 5 Multiplica los polinomios siguientes en tu cuaderno. 1)

(2a + 2b)(3a + 3b) 8) (4x + 2y)(3x – 3)

(x + 1)(2x + 3y + 4)

(a + 1)(2a + b + 1)

(a2 + b)(2a + 4b + 8c)

10)

(mn + 1)(m3n3 + m2n2 – 4)

(a + b)(2a2 + 2ab + b2)

11)

(c – d )(–a + 3b + 2c)

(x + 4)(3x2 + 4x – 2)

12)

(3x + 2)(4x2 – 3x + 7)

13)

(5c3 + 1)(–c2 + 2c + 1)

14)

(6p2 – 2p)( p2 + 4p + 5)

6) (4a2 7)

– 3)(2a2 – a + 6)

(a + b)(a2 – ab + b2)

Ejercicio 6 A. Calcula el cuadrado de la suma de binomios. 1)

(2a + 2b)2 =

(4m + 2n)2 =

(4x + 2y)2 =

( 5h + 6k)2 =

(2a + c)2 =

(2x + 10y)2 =

(3m + 2)2 =

(3n + 7)2 =

(8n + 1)2 =

10)

(5j + 8w)2 =

B. Calcula el cuadrado de la resta de binomios. 1)

(2h – 3)2 =

(3p – 4)2

(2a – 6)2 =

(3k – 3x)2

(5m – 3n)2 =

(5x – 8y)2

(4a – 9b)2 =

(10c – 4d)2 =

(2v – 6z)2 =

10)

(11d – 12q)2 =

Segundo grado – ciclo básico

Ejercicio 7 Opera el producto de la suma por la diferencia por simple inspección. 1)

(h + k)(h – k) =

(n + 1)(n – 1)

(x + y)(x – y) =

(4 + 9t)(4 – 9t) =

(c + d)(c – d) =

10)

(5c + 4)(5c – 4)

(a + b)(a – b)

11)

(2x + 3)(2x – 3)

(e + z)(e – z)

12) (6x

(4a + 4b)(4a – 4b) =

(7m + 11)(7m – 11) =

+ 4)(6x – 4)

13)

(3h + 1)(3h – 1)

14)

(9w + 12)(9w – 12) =

Ejercicio 8 Opera el producto de dos binomios con un término común y signo positivo. 1)

(a + 5)(a + 9) =

(x + 5)(x + 4)

(p + 2)(p + 3) =

10)

(a + 7)(a + 1)

(m + 1)(m + 2) =

11)

(r + 3)(r + 4)

(q + 6)(q + 3) =

12)

(k + 1)(k + 8)

(4g + 3)(4g + 5) =

13)

(6b + 2)(6b + 6) =

(2d + 1)(2d + 7) =

14)

(4m + 1)(4m + 5) =

(3t + 2)(3t + 5) =

15)

(8k + 3)(8k + 13) =

(y + 11)(y + 12) =

16)

(5a + 1)(5a + 15) =

Ejercicio 9 Opera el producto de dos binomios con un término común y signo negativo. 1)

(3h – 9)(3h – 2)

(t – 1)(t – 2)

(r – 8)(r – 2)

10)

(z – 5)(z – 4)

(n – 2)(n – 1)

11)

(k – 2)(k – 4)

(4c – 4)(4c – 5)

12)

(2a – 2)(2a – 3) =

(3g – 3)(3g – 5)

13)

(5h – 4)(5h – 2) =

(2p – 1)(2p – 2)

14) (3m

(6e – 4)(6e – 1)

15)

(7v – 4)(7v – 12) =

(11g – 11)(11g – 8) =

16)

(6t – 17)(6t – 5) =

– 7)(3m – 2) =

Unidad 4 – Matemática

Ejercicio 10 Realiza las divisiones de monomio entre monomio y escribe la respuesta. 1)

26w4z6 ÷ 2wz

(–18x2y) ÷ 3xy

8) 6x3y5z2 ÷ 2xy2 =

(24a2b3) ÷ (–6ab3) =

49b3 ÷ 7b

10) 8ab2 ÷ a =

35m5n6 ÷ mn

11)

100x3yz3 ÷ 10xz =

–32m3n4p2 ÷ 16mn =

12)

12x3y5 ÷ 3x2y2 =

16x6y3 ÷ (–2x2y2) =

7x2 ÷ 7x2 =

Ejercicio 11 Realiza las divisiones de polinomio entre monomio y escribe la respuesta. 1)

(6z3 + 4z2 + 8z) ÷ 2z

(3x + 6) ÷ 3

(4x3 – 8x) ÷ 2x

(4x3y4 + 12x2y5 – 18xy) ÷ 2xy =

(24x5y4 – 48x10y9) ÷ 3xy =

7) (12x3y5 + 18x4y4 – 12x) ÷ (–6x) =

(21x2y2 – 14xy) ÷ 7y

8) (3xb2 – 90b3) ÷ 3b

Ejercicio 12 Realiza las divisiones de un polinomio entre un binomio por medio de la regla de Ruffini en tu cuaderno. 1)

(x3 – 8) ÷ (x – 2)

11)

(–m3 – 6m2 + 2m – 3) ÷ (m – 1)

(x2 + x – 20) ÷ (x + 5)

12)

(2u3 – 3u2 – 3u + 6) ÷ (u – 1)

(2x3 + 6x – 4) ÷ (x + 4)

13)

(3x4 – 3x2 + x – 5) ÷ (x + 3)

(2p2 – 7p – 15) ÷ ( p – 5)

14)

(–2x3 + 4x2 + x) ÷ (x + 1)

(x4 – 9x2 + x + 3) ÷ (x + 3)

15)

(3x4 – 2x3 + 4x – 7) ÷ (x + 3)

(h3 + 8) ÷ (h + 2)

16)

(2x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 3x + 1) ÷ (x + 2)

(2x2 + 12x + 16) ÷ (x + 4)

17)

(–2x4 + 3x2 – 5) ÷ (x – 3)

(2m2 – 9m – 18) ÷ (m + 3)

18)

(x5 – 4x4 – 5x + 1) ÷ (x + 1)

(x3 + 27) ÷ (x + 3)

19)

(3x5 + 2) ÷ (x + 1)

10)

(a2 + 2a – 3) ÷ (a + 3)

20)

(–3x4 + 2x3 – 7) ÷ (x – 2)

Segundo grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Completa las secuencias lógicas, escribiendo el dato que falta. Escribe el criterio que sigue la secuencia. 1)

2.3

3.4

4.5

6.7

Criterio:

1 Criterio:

1.2

8.9

Criterio:

192

Criterio:

3 Criterio:

Criterio:

B. Poniendo a funcionar tu ingenio, resuelve los siguientes rompecocos. 1) Un caracol trepa en línea recta por una pared de 10 metros, empezando desde la base. Cada hora sube un metro, pero su esfuerzo es tan grande que después de cada metro tiene que descansar 5 minutos. ¿Cuánto minutos tardará en llegar arriba? 2) Un hombre dice: "Hoy he visitado a la suegra de la mujer de mi hermano". ¿A quién visitó? 3) Un rey encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte.

El prisionero no sabe cuál es el guardia que dice la verdad y cuál es el que miente y tiene derecho a hacer solo una pregunta a uno de los dos. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura? ¿Cómo?

Unidad 4 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo Aumenta tu velocidad de cálculo resolviendo las siguientes operaciones. Hazlo lo más rápido posible y mide el tiempo que no debe ser más de 5 minutos. No utilices calculadora. A. Realiza las multiplicaciones y escribe la respuesta sobre la línea. 1) 6 x 3 =

11) 4 x 7 =

21) 7 x 7 =

2) 4 x 5 =

12) 6 x 5 =

22) 8 x 8 =

3) 1 x 9 =

13) 5 x 5 =

23) 5 x 6 =

4) 7 x 4 =

14) 8 x 9 =

24) 9 x 4 =

5) 2 x 8 =

15) 6 x 4 =

25) 1 x 1 =

6) 6 x 7 =

16) 0 x 9 =

26) 6 x 7 =

7) 4 x 9 =

17) 4 x 8 =

27) 4 x 3 =

8) 1 x 7 =

18) 2 x 6 =

28) 3 x 6 =

9) 6 x 6 =

19) 3 x 4 =

29) 7 x 3 =

10) 8 x 5 =

20) 4 x 6 =

30) 2 x 4 =

B. Escribe el factor que falta para que la operación sea correcta. 1) 5 x

= 35

6) 3 x

= 9

11) 4 x

= 20

2) 6 x

= 18

7) 9 x

= 36

12) 6 x

= 54

3) 9 x

= 45

8) 6 x

= 48

13) 8 x

= 40

4) 8 x

= 64

9) 5 x

= 35

14) 9 x

= 72

5) 2 x

= 12

10) 7 x

= 56

15) 7 x

= 49

C. Escribe el factor que falta para que la operación sea correcta. 1)

x 3 = 27

x 8 = 0

11)

x 4 = 28

x 9 = 9

x 6 = 30

12)

x 7 = 63

x 4 = 12

x 7 = 21

13)

x 5 = 30

x 6 = 24

x 5 = 45

14)

x 9 = 81

x 9 = 18

10)

x 2 = 16

15)

x 6 = 42

D. Desarrolla las potencias. 2

5) 8 =

6) 9 =

7) 7 =

8) 1 =

1) 1 = 2) 4 = 3) 3 = 4) 6 =

Segundo grado – ciclo básico

9) 5 =

10) 2 =

11) 4 =

12) 3 =

2 3 3 3

F. Resuelve las potencias. 2

6) 4 =

7) 8 =

8) 1 =

9) 0 =

10) 10 =

1) 4 =

2) 9 =

3) 1 =

4) 25 =

5) 16 =

10)

1) 2 = 2) 5 = 3) 9 = 4) 3 = 5) 6 =

11)

12)

= 81

13)

= 49

14)

= 36

15)

= 25

64 =

11)

144 =

36 =

12)

121 =

81 =

13)

49 =

14)

169 =

100 =

15)

225 =

G. Resuelve las raíces.

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Después de estudiar...

Identifico términos semejantes en una expresión algebraica. Sumo y resto monomios y polinomios. Multiplico y divido monomios y polinomios. Resuelvo productos notables por simple inspección. Aplico la ley de Ruffini para dividir polinomios. Completo secuencias lógicas y resuelvo rompecocos. Practico la agilidad de cálculo.

Unidad 4 – Matemática

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas, rellena el círculo que corresponde a la opción correcta. 1) En el término algebraico –5x3 al –5 se le llama… A. signo

B. coeficiente

C. variable

D. exponente

2) Un término algebraico semejante a 8m2n es… A.

–2mn2

5mn

–3m2n

8m2n2

3a + b

a – b

–2a + b

4x2 + 8x + 16

36x2

2y + 1

y2 + y

3) Un ejemplo de monomio es… A.

7ab

4) El resultado de desarrollar (2x A.

4x2 + 16

+ 4)2 es...

4x2 + 16x + 16

5) El resultado de operar (–b)(–b) es… A.

6) La expresión equivalente a y( y A.

y 2 + 1

–b2 + 1) es… y + 1

7) El primer y segundo término que resultan al multiplicar (x A.

2x + 2x

8) El resultado de operar (x A.

x2 + y2

x2 + 3x

24x

x2 + 2x

x2 + 2

x2 – y2

x+y

12x2

24x2

–2a4b3

2a8b5

–2

–1

x ± a2

+ y)(x – y) es… B.

x – y

9) El segundo término del resultado de (3x A.

+ 1)(x + 2) es…

+ 4)2 es…

12x

10) El resultado de operar –12a6b4 ÷ 6a2b es… A.

2a4b3

–2a3b4

11) El resultado de operar –4x2y3 ÷ 2x2y3 es… A.

–2xy

–2x2y2

12) Para aplicar la regla de Ruffini, el divisor deber ser un binomio de la forma… A.

x ± a

Segundo grado – ciclo básico

x2 ± a

x2 ± a2

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 4 – Matemática

unidad

Ecuaciones e inecuaciones ¿Qué sabes del tema? Ya en el siglo XVI a.C. los egipcios solucionaban problemas cotidianos para repartir víveres, cosechas y materiales, que era como resolver ecuaciones algebraicas de primer grado. Las ecuaciones son estructuras algebraicas constituidas por dos miembros con cantidades conocidas y desconocidas. Las cantidades desconocidas se representan con letras. Por ejemplo: x + 4 = 7 ¿Recuerdas haber trabajado alguna vez con expresiones como estas? En esta unidad las conoceremos más a fondo y aprenderemos a resolverlas y aplicarlas.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

La Torre inclinada de Pisa

¡Prepárate para el recorrido!

Taller de matemática • Ecuaciones con signos de agrupación • Ecuaciones fraccionarias • Inecuaciones

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Juegos lógicos y problemas matemáticos Aumenta tu velocidad de cálculo • Operaciones combinadas y ecuaciones

Unidad 5 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 2. Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados.

Indicador de logro 2.4 Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primer grado.

Actividades

Resolver ecuaciones enteras y fraccionarias con signos de agrupación. Reconocer las desigualdades matemáticas. Resolver inecuaciones de primer grado. Representar la respuesta de una inecuación de forma simbólica y gráfica.

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de operaciones.

Resolver operaciones combinadas respetando la jerarquía.

5. Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje simbólico.

5.3 Selecciona la estrategia más apropiada a la resolución de problemas.

Resolver problemas de lógica.

Segundo grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! ¿Conoces la Torre inclinada de Pisa? La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de la ciudad de Pisa, en Italia. Comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción. ¿Sabes qué altura tiene? La pregunta se puede responder por medio de una expresión algebraica que los científicos han determinado para calcular la altura de cualquier torre. Solo hay que tomar el tiempo que tarda en caer un objeto desde la parte más alta hasta el suelo. Si el objeto se deja caer libremente, la fórmula o expresión algebraica que nos permite calcular la altura es:

gt2 2

h es la altura del edificio. g es el valor constante de la gravedad, 9.8 m/s2 (aceleración con que los objetos caen sobre la Tierra). t es el tiempo que tarda en caer el objeto. Ahora ya podemos calcular la altura. Si un objeto tarda 3.37 segundos en caer desde el punto más alto de la Torre de Pisa hasta el suelo, sustituimos los valores en la fórmula, operamos y obtenemos la respuesta. Así:

gt2 2

9.8 (3.37) 2 9.8 (11.36) = = 111.33 = 55.66 2 2 2

Respuesta: La Torre inclinada de Pisa mide 55.66 metros de altura.

¡A trabajar! Según la lectura anterior, contesta las preguntas. 1) ¿Cuál es el valor constante de la gravedad ( g)? 2) ¿Cuál es el valor del tiempo (t) que tarda en caer el objeto? 3) ¿Qué variables se sustituyeron en la expresión matemática? 4) ¿Cuál es el valor de h después de operar?

Unidad 5 – Matemática

Taller de matemática Ecuaciones con signos de agrupación Recuerda que un signo de agrupación en una ecuación, como en cualquier operación aritmética, indica el orden para operar los términos. En una ecuación que contiene signos de agrupación, primero debemos eliminarlos para convertirla en una ecuación que podamos resolver con los pasos ya vistos. Resolvamos la ecuación Los signos de agrupación son: ( ) [ ] { } y recuerda que un paréntesis después de un número, una letra o un signo, indica multiplicación.

Eliminamos los paréntesis en ambos lados de la ecuación.

Realizamos la transposición de términos

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la variable y encontramos el valor de x.

Verificamos la respuesta, sustituyendo x por su valor en la ecuación original.

Ejercicio 1

x + 2 + 3(x – 3) = x – (4x – 14) 3 x + 2 + 3x - 9 = x - 4x + 143 x + 2 + 3x - 9 = x - 4x + 143 x + 2 + 3x - 9 = x - 4x + 14 x + 3x - x + 4x = 14 - 2 + 9 x + 3x - x + 4x = 14 - 2 + 9 x + 3x - x + 4x = 14 - 2 + 9 7x = 21 7x = 21 7x = 21 x= 7 x = 21 7 x = 21 x = 37 x=3 x=3 3 + 2 + 3 (3 - 3) = 3 - 64 (3) - 14 @ 3 + 2 + 3 (3 - 3) = 3 - 64 (3) - 14 @ -66412 3 +32++23+ (3 3-(03) = 33 (3) -14 14@@ 3 + 2 + 3 (0) = 3 - 612 - 14 @ 3 + 2 + 3 (0) = 3 - 6(12 - 2-) 14 @ 3 + 2 + 3 (0) = 3 - (- 2) (- 2) 3 +32++23+(00) = 3 + -2 3+2+0 = 3+2 5=3 5+2 3+2+0 5=5 5=5

Resuelve las siguientes ecuaciones. Utiliza el espacio en blanco para trabajar. 1)

4x + (x – 6) – (x – 2) = 16 – x

x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3)

x + (2x + 1) = 8 – (3x + 3)

15y – 10 = 6y – ( y + 2) + (–y + 3)

Segundo grado – ciclo básico

Ecuaciones fraccionarias Las ecuaciones fraccionarias son las que uno o varios términos están escritos como fracciones. La solución de todas las ecuaciones que hemos visto hasta ahora consiste en encontrar el valor de la incógnita que verificará la igualdad. En esta unidad aprenderemos dos formas de resolver ecuaciones con fracciones.

a. Ecuaciones con dos términos Cuando la ecuación tiene solo dos términos o dos expresiones fraccionarias, uno a cada lado de la igualdad, aplicamos la propiedad de medios y extremos, que dice: el producx+1 = 3+x to de los extremos es igual al producto de los medios, también x+ 1 = 3 productos + 2llamada 3x cruzados. x+ 3+ 21 3x

= 21 3x x+ 3+ = 3+ 2 11 = 3 xx xx + + + = 3 x+ 1 3 + 2 3x 2 = 3 2 3 + x) 3 (x + 1) = 2 (3 3 (xx+ 1) 2 (3 = x x) +1 3 ++ 3 (x +2 1) = 2 (3 + 3 2xx) 3x + 3 = 6 + 3x + 3 = 6 + 2x 3=2 6 (3 2xx) ++ 3 (3xx++1) 3x - 2x = 6 - 3 3x - 2x = 6 - 3 2x 33x x +23x = 6 + 3 =3- x x = 36 3 3x 2x = x =3

Ejemplo: Resolvamos la ecuación

Aplicamos la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. El 2 y el 3 pasan a multiplicar.

Eliminamos los paréntesis.

Realizamos la transposición de términos.

Reducimos términos semejantes y hallamos el valor de la incógnita.

Ejercicio 2

Recuerda: Los extremos son el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda. Los medios son el denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda.

x =3

Resuelve las siguientes ecuaciones. Utiliza el espacio en blanco para trabajar. 1)

x = 9 6 2

2x 8 5 = 10

5x 10 3 = 6

x + 2 3x – 4 = 2 3

2x 4 9 = 5

x + 4 2x – 4 = 5 4

Unidad 5 – Matemática

b. Ecuaciones con varios términos Para resolver este tipo de ecuaciones lo primero que hacemos es eliminar los denominadores. Esto se logra hallando el denominador común por medio del mcm. Cuando los denominadores son iguales, los eliminamos y la ecuación no cambia. El siguiente ejemplo ayudará a entenderlo mejor.

(2x – 4)2 = 5 + x(x + 1) 2 8 mcm = 8

Resolvamos la ecuación Multiplicamos a los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores para eliminar los mismos.

Operamos la potencia.

Multiplicamos para eliminar el paréntesis.

8(2x – 4)2 = 8(5) + 8x(x + 1) 2 8 (2x – 4)2 = 40 + 4x(x + 1) 4x2 – 16x + 16 = 40 + 4x(x + 1) 4x2 – 16x + 16 = 40 + 4x2 + 4x 4x2 – 4x2 – 16x – 4x = 40 – 16

Realizamos la transposición de términos.

Reducimos términos semejantes.

–20x = 24

Despejamos la variable y operamos.

x=–

24 20 6 x=– 5

Ejercicio 3 Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias. 1)

15 x – x x + x = 3 6) = + 2 4 2 4 2 5

11)

4x – 3 – 5x = 3 + x 6 10 2

y 1w – 2w = 25 + w – y = 15 7) 12 3 7 2

12)

x+1 x+2 + =2 3 7

m + 5 = m + 6 2x + 7 = x – 3 8) 4 8 3 9 4 4

13) (3x

2 + 5x = 6 + 8 x = 10 – x 9) 3 8 3 2 3 6

14)

x + 5x + x = 75 4 6

15) 28

100

Segundo grado – ciclo básico

10) 2x

– 3x = x – 3 4 10 5

( 34 ) = x

+ 2)

6w + 2 + 2w – 1 = 10 3 4

(x +3 2 + 3x 2– 4) = 5x + 78

Inecuaciones de primer grado Antes de estudiar las inecuaciones, debemos aprender qué son las desigualdades. Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad y expresa que dos cantidades son diferentes. Los signos de desigualdad son: Menor que < Menor o igual que ≤ Mayor que > Mayor o igual que ≥

Veamos algunos ejemplos de estas expresiones:

10 > 7, se lee: 10 es mayor que 7

8 < 9, se lee: 8 es menor que 9

Condiciones para aplicar la simbología en una desigualdad Las siguientes condiciones nos ayudarán a no confundirnos al momento de trabajar con desigualdades.

Un número positivo es mayor cuanto más se aleja de cero en la recta numérica.

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

5 > 1, 5 es mayor que 1 porque está más alejado de cero.

Un número negativo es menor cuanto más se aleja de cero en la recta numérica.

¡Un consejo! El número mayor va siempre del lado en que el signo “está abierto”; el número menor va del lado “de la punta del signo”. mayor

menor

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –4 < –1, –4 es menor que –1 porque está más alejado de cero.

Si aprendemos bien estas condiciones, tendremos agilidad para trabajar con desigualdades e inecuaciones.

Unidad 5 – Matemática

101

Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en la que aparece al menos una variable algebraica. Veamos.

x+3>5 4–y≤y–7 Al igual que las ecuaciones, el grado de una inecuación está dado por el exponente mayor de la variable.

Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita El procedimiento para resolver una inecuación de primer grado es muy similar al que empleamos para resolver una ecuación. Fíjate en estos ejemplos:

2x + 1 < 6 + 3

Realizamos la transposición de términos.

2x < 6 + 3 – 1

Reducimos términos semejantes.

2x < 8

Despejamos la variable y operamos.

x< 8 2

x<4

Resolvamos la siguiente inecuación:

Podemos expresar el resultado en forma simbólica y en forma gráfica. En forma simbólica empleamos intervalos, en este caso, la solución sería: (–∞, 4), y se lee: la solución son todos los números de infinito negativo hasta 4, sin incluir el 4 mismo. Ahora, representemos gráficamente la solución anterior haciendo uso de la recta numérica:

)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Debemos tener en cuenta que la solución de una inecuación es el conjunto de valores que cumplen con la condición de la misma. Comprobemos la respuesta con dos valores: Sustituyendo x por –4

Sustituyendo x por 3

2x + 1 < 6 + 3

2(–4) + 1 < 6 + 3

2(3) + 1 < 6 + 3

–7 < 9

7<9

Observamos que cualquier valor que se encuentre dentro del intervalo hace cumplir la condición de la inecuación.

102

Segundo grado – ciclo básico

Otro ejemplo: Resolvamos

(x – 4)(x + 5) ≤ (x – 3)(x – 2)

Eliminamos los paréntesis al multiplicar.

x2 + x – 20 ≤ x2 – 5x + 6

Realizamos la transposición de términos.

x2 – x2 + x + 5x ≤ 6 + 20

Reducimos términos semejantes.

6x ≤ 26

Despejamos la variable y operamos.

x ≤ 13 3

Representamos la respuesta en forma simbólica.

Representamos gráficamente el resultado:

(– , 133 ] ∞

)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ¡Muy importante! Cuando un número negativo multiplica o divide un lado de la inecuación y pasa al otro haciendo la operación contraria, el signo de la desigualdad cambia de sentido. Veamos un ejemplo para la multiplicación:

2x – [x – (x – 50)] < x – (800 – 3x)

Resolvamos

Eliminamos los paréntesis.

2x – [x – x + 50] < x – 800 + 3x

Eliminamos los corchetes.

2x – x + x – 50 < x – 800 + 3x

Realizamos la transposición de términos.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la variable y operamos. Como el número que pasa a dividir es negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido.

Representamos simbólicamente la respuesta.

De forma gráfica.

2x – x + x – x – 3x < – 800 + 50 –2x < –750 x > –750 –2 x > 375 (375, ∞)

(

375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385

Unidad 5 – Matemática

103

Veamos otro ejemplo, ahora para la división:

x +2≤4 –3

Resolvamos

Realizamos la transposición de términos.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la variable y operamos. Como es un número negativo el que pasa a multiplicar, el signo de la desigualdad cambia de sentido.

Representamos simbólicamente la respuesta.

De forma gráfica.

x ≤4–2 –3 x ≤2 –3 x ≥ 2(–3) x≥–6 [–6, ∞)

]

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio 4 Resuelve las inecuaciones siguientes. Expresa tu respuesta en forma simbólica y gráfica. 1)

x –5 < 2x – 6 8) 2x – 3 < 4 – 2x

5x – 12 > 3x – 4 9) x + 8 ≤ 3x + 1

b – 6 > 21 – 8b 10) 2(x + 1) –3(x – 2) < x + 6

3a – 14 < 7a – 2

2m –

y 5y 3y –4 + 4 < 2 + 2

13)

(x – 1)2 – 7 > (x – 2)2

(z + 2)(z – 1) + 26 < (z + 4)(z + 5)

14)

3x – 2x < 6 – 1

104

5 m > + 10 3 3

Segundo grado – ciclo básico

11) 12)

10( y – 1) > 10(y + 1) – 10y 1 (x – 4) > x + 8 2

Taller de prácticas Ejercicio 1 Halla a simple vista el valor de la incógnita. 1)

x + 7 = 13

5) x + 11

5 + x = 11

6) x–9=

x + 3 = 15

x + 9 = 16

= 21

7) 11 – x

= 4

8) x + 41

= 52

Ejercicio 2 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones.

y = 9 1 y = 5 7) 9 10 8) x = 2

x =5 x = 3

x =1 9 x 3) 15 = 2 y = 10 4) 4 y = 6 5) 10 2)

y= y= x=

14 7 x= x = 25 5 10) x= x =

Ejercicio 3 Resuelve las ecuaciones siguientes. Anímate con las más complicadas, inténtalas hacer tú solo. 1) x

– (2x + 1) = 8 – (3x + 3) 11) 7(18 – x) – 6(3 – 5x) = –(7x + 9) – 3(2x + 5) – 12

2) 15y

– 10 = 6y – ( y + 2) + (–y + 3) 12) 3x(x – 3) + 5(x + 7) –x(x + 1) – 2(x2 + 7) + 4 = 0

3) 4(2x 4) 4

+ [6 – (x + 1)] = 3

5) 2x 6) x

+ 5) = 12 13) –3(2x + 7) + (–5x + 6) – 8(1 – 2x) – (x – 3) = 0 – 4)(4x – 3) = (6x – 4)(2x – 5)

+ 3(–x2 –1) = – {3x2 + 2(x – 1) –3(x + 2)} 15) (4 – 5x)(4x – 5) = (10x – 3)(7 – 2x)

+ 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3)

7) 5(x

– 1) + 16(2x + 3) = 3(2x – 7) – x

8) 2(3y 9) (x

14) (3x

+ 3) –4(5y –3) = y( y – 3) – y( y + 5)

– 2)2 – (3 – x)2 = 1

10) 184

– 7(2x + 5) = 301 + 6(x – 1) – 6

16) (x

+1)(2x + 5) = (2x + 3)(x – 4) + 5

17) 14

– (5x – 1)(2x + 3) = 17 – (10x + 1)(x – 6)

18) (3x – 1)2 – 5(x – 2) – (2x + 3)2 – (5x + 2)(x – 1) = 0 19) 7(x

– 4)2 – 3(x + 5)2 = 4(x + 1)(x – 1) – 2

20) 5(1

– x)2 – 6(x2 – 3x – 7) = x(x – 3) – 2x(x + 5) – 2 Unidad 5 – Matemática

105

Ejercicio 4 Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones con fracciones. 1)

x x 1 x x 5 +5= – x 8) +2– = – 6 2 3 12 6 4

8 – 3y 7 – 2y 3x x – = –3 9) = 4 2 3 2

x–2 2x x 3x + 1 7 = 10) 3x – = – 2 5 10 4 4

x 2 5 – = 2 3 6

11)

x 1 +5= –x 3 6

5x 10 = 7 14

12)

3x 2x 1 – + =0 5 3 5

3x = 9 5

13)

1 1 1 1 + – = 4 10x 5 2x

x – 1 4x + 3 = 5 3

14)

x x x 5 +2– = – 4 12 6 2

Ejercicio 5 A. Escribe los signos mayor que (>) o menor que (<) según corresponda. 1) 0

4 6) 12

2) –2

–10 7) –44 2

3) 19

18 8) 23

–23

4) 7

5 9) 20

5) –10

–129

10) –1

B. Resuelve las siguientes inecuaciones. Recuerda representar tu respuesta en forma simbólica y gráfica. 1)

2 + x < 9x + 6 6) 2(x + 1) – 3(x – 2) < x + 6

3x + 5 ≤ –7x + 8 7) (x + 3) + (x – 1)2 < (x – 1)2 + 3x

2 + 3x < 5x + 8 8) 5x + 1 ≤ 6

2x + 3 ≤ 3x + 7 9) 2(x – 1) < 1 – 6x

7 + 3x – 2 ≤ 13

106

Segundo grado – ciclo básico

10)

4 – 2t > t – 5

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Pon a trabajar tus neuronas. Resuelve el siguiente problema de lógica.

Imagina que hay cuatro reos en una prisión y que todos ellos están enterrados en el suelo hasta la altura del cuello, con lo que solo les sobresale la cabeza para poder respirar.

Hay un muro que separa a tres de los prisioneros con respecto al cuarto, como muestra el dibujo.

El guardia que los está vigilando les dice: — "Cada uno de ustedes lleva puesto un sombrero. De los cuatro sombreros dos son blancos y dos son negros. Sin hablar entre sí, tienen diez minutos para que uno de ustedes me diga de qué color es su sombrero. Si lo acierta, los liberaré; y si no, se quedan enterrados bajo el ardiente Sol".

Finalmente, al cabo de un minuto, uno de los prisioneros consigue averiguar la respuesta correcta.

¿Qué prisionero es el que dice el color de su sombrero? ¿Cómo lo ha averiguado?

Adaptado de goo.gL/Z8skBF

B. Desempolva tus conocimientos. Resuelve los problemas mediante ecuaciones con una incógnita. 1) En un canasto hay el doble de duraznos que de ciruelas. Si en total suman 42 unidades, ¿cuántos duraznos y cuántas ciruelas hay? 2) La suma de dos números pares consecutivos es 30. ¿Cuáles son esos números? 3) Isabel y Francisco tienen ahorrado Q76.00 entre los dos. Si Francisco tiene Q12.00 más, ¿cuánto tiene ahorrado cada uno? 4) Hoy Ana leyó 14 páginas más que ayer. Si entre ayer y hoy ha leído 56 páginas, ¿cuántas páginas leyó hoy? 5) Si tú tienes en un bolsillo del pantalón una cantidad de dinero y en el otro el doble, y en total tienes Q600.00, ¿cuánto dinero tienes en cada bolsillo? 6) Dos amigos, Diego y Raúl, han ahorrado entre los dos Q170.00, pero a Raúl le faltan Q40.00 para tener el doble de dinero que su amigo Diego. ¿Cuánto dinero ha ahorrado cada uno? 7) Si trabajan juntos, dos albañiles tardan 14 horas en construir una pared. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?

Unidad 5 – Matemática

107

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Resuelve mentalmente las siguientes operaciones. Recuerda que debes aplicar la jerarquía de las operaciones. 1) 3 x 2 + 4 =

9) 8 x 1 + 2 =

17) 9 x 4 + 4 =

2) 5 x 3 + 2 =

10) 7 x 2 + 1 =

18) 8 x 3 + 1 =

3) 7 x 1 + 3 =

11) 6 x 2 + 3 =

19) 7 x 4 + 2 =

4) 8 x 2 + 4 =

12) 5 x 2 + 5 =

20) 6 x 5 + 4 =

5) 6 x 3 + 2 =

13) 4 x 3 + 3 =

21) 5 x 8 + 2 =

6) 9 x 2 + 1 =

14) 3 x 5 + 4 =

22) 4 x 6 + 6 =

7) 4 x 2 + 2 =

15) 9 x 3 + 1 =

23) 3 x 9 + 3 =

8) 8 + 8 x 2 =

16) 7 x 6 + 1 =

24) 9 x 6 + 3 =

B. Resuelve mentalmente las siguientes operaciones. Recuerda que debes aplicar la jerarquía de las operaciones. 1) 1 + 3 x 2 =

9) 4 + 7 x 2 =

17) 7 x 4 – 3 =

2) 5 – 5 x 3 =

10) 7 – 6 x 2 =

18) 6 x 5 – 1 =

3) 2 + 7 x 1 =

11) 5 x 2 – 5 =

19) 5 x 8 – 5 =

4) 8 x 2 – 4 =

12) 2 + 4 x 3 =

20) 4 x 6 – 2 =

5) 3 – 6 x 3 =

13) 3 + 3 x 5 =

21) 3 x 9 – 3 =

6) 2 + 9 x 2 =

14) 2 – 9 x 3 =

22) 7 – 4 x 6 =

7) 5 – 4 x 2 =

15) 9 x 4 – 1 =

23) 10 x 4 + 7 =

8) 8 x 1 – 2 =

16) 8 x 3 – 4 =

24) 9 – 4 x 6 =

108

Segundo grado – ciclo básico

C. Resuelve mentalmente las ecuaciones y escribe la respuesta sobre la línea. Hazlo lo más rápido que puedas.

Suma de dos cantidades 1) 5

+ x = 11

4) 12 + y = 22 y =

2) 6

+ s = 19

5) 13 + w = 15 w =

3) 3

+ x = 15

6) 17 + y = 24 y =

Diferencia de dos cantidades 1)

4) x – 9 = 15 x =

2) x

– 7 = 9

5) y – 8 = 11 y =

3) u

– 3 = 8

6) x – 5 = 16 x =

Multiplicación de dos cantidades 1)

6t = 42

t =

4) 5a = 25

a =

9z = 27 z =

5) 3p = 18

p =

2x = 26 x =

6) 6f = 48

f =

División de dos cantidades 1)

e = 8 6

e =

u = 7 3

u =

g 4 = 5 g =

t =4 7

t =

m = 6 m = 6

y = 8 2

y =

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Resuelvo ecuaciones enteras y fraccionarias de primer grado con signos de agrupación. Después de estudiar...

z – 4 = 4

Reconozco las desigualdades matemáticas y sus propiedades. Soluciono inecuaciones de primer grado y represento su respuesta de forma simbólica y gráfica. Resuelvo operaciones combinadas respetando su jerarquía. Ejercito mi cálculo mental. Resuelvo problemas de lógica.

Unidad 5 – Matemática

109

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas rellena el círculo que corresponde a la opción correcta. 1) El doble de la suma de dos números se expresa por…

2x + y B. 2(x + y) C. x + 2y D. 2(x – y)

2) Al resolver 15

+ m = 29, el valor de m es…

A. 11

B. 12

A. 30

n 3) Al resolver = 5 el valor de n es… 6

4) Al resolver –8t

A. 11

5 6

1 9

B. –2

1 2

C. –

1 9

10 7

B. –

8) ¿Cuál es la solución de 8 5

D. –

1 2

D. –

2 9

– 2)2(x + 5) = 3(x + 1)2(x + 1) + 3?

4 4 3 B. C. 3 3 4

A. –

D. 25

+ 1)3 – (x – 1)3 = 6x(x – 3)?

B. 9

7) ¿Cuál es el valor x en la ecuación 3x

C. 1

6) ¿Cuál es el valor x en la ecuación 3(x

D. 14

= 16, el valor de t es…

5) ¿Cuál es el valor x en la ecuación (x

C. 13

–

D. 4

7 2x x = – ? 5 10 4

7 10 C. 10 7

D. –

7 10

D. –

7 5

1 1 1 (x – 1) – (x – 3) = (x + 3) + ? 2 3 6 8 5 C. 5 8

El perímetro de un terreno rectangular es 40 m y el largo es triple que el ancho. Responde:

B. –

9) ¿Cuál es el ancho del terreno?

A. 12 m

B. 30 m

C. 10 m

D. 5 m

C. 25 m

D. 10 m

10) ¿Cuál es el largo del terreno?

A. 15 m

B. 30 m

Tres canastas tienen 575 manzanas. La primera canasta tiene 10 manzanas más que la segunda y 15 más que la tercera. Responde:

11) ¿Cuántas manzanas hay en la primera canasta?

A. 190

B. 220

C. 180

D. 200

12) ¿Cuántas manzanas hay en la tercera canasta?

A. 165

110

B. 175

Segundo grado – ciclo básico

C. 185

D. 205

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 5 – Matemática

111

Progresiones aritméticas y geométricas

unidad

¿Qué sabes del tema? En biología, la mitosis es el proceso de división celular a partir de la cual una célula madre se divide en dos partes iguales, llamadas células hijas, que a su vez se vuelven a dividir y así sucesivamente. Este proceso sigue un modelo matemático llamado progresión geométrica. ¿Cuántas células se obtienen luego de una cuarta división? Aprenderemos sobre las progresiones en esta unidad.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Las fases de la Luna

Taller de matemática

• Progresión aritmética • Progresión geométrica Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas de progresiones aritméticas y geométricas • Juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Multiplicaciones y operaciones combinadas • Valuar funciones

Unidad 6 – Matemática

113

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de los números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de las operaciones. 3.3 Aplica fórmulas para la solución de sucesiones aritméticas y geométricas.

5. Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.

5.3 Selecciona la estrategia más adecuada a la resolución de problemas.

114

Segundo grado – ciclo básico

Actividades

Ejercitar el cálculo mental con multiplicaciones y operaciones combinadas.

Escribir progresiones aritméticas dados todos sus términos.

Descubrir el término desconocido en una progresión aritmética y geométrica.

Resolver problemas de progresiones aritméticas y geométricas.

Resolver juegos lógicos.

¡Prepárate para el recorrido! Las fases de la Luna de siete en siete La Luna es un astro que siempre ha fascinado a los seres humanos. Desde la Tierra la observamos con formas distintas que se conocen como fases de la Luna. Podemos ver una fase diferente cada siete días como se presenta en el esquema. Luna nueva día 7

Cuarto menguante día 28

Cuarto creciente día 14

Luna llena día 21

La sucesión de las fases de la Luna se puede representar mediante esta serie de números ordenados, en la que cada fase se obtiene sumando siete días a la fase anterior: 7, 14, 21, 28 En matemática, estas series de números ordenados se conocen como sucesiones numéricas. Algunas se forman sumando o restando cantidades fijas a cada uno de los términos y otras multiplicando o dividiendo. En esta unidad estudiaremos dos tipos de sucesiones numéricas. Estos temas son un cimiento para comprender mejor los contenidos de álgebra que estudiarás más adelante.

¡A trabajar! Calcula en qué fecha ocurrirán las fases de la Luna. En el calendario de la derecha está marcado el inicio de la Luna nueva. Recuerda que entre cada fase hay una diferencia de 7 días. 1) ¿En qué fecha iniciará el cuarto creciente? 2) ¿En qué fecha comenzará la Luna llena?

9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

3) ¿En qué fecha iniciará el cuarto menguante?

20 21 22 23 24 25 26

4) ¿En qué fecha será nuevamente Luna nueva?

27 28 29 30 31

Unidad 6 – Matemática

115

Taller de matemática Progresión aritmética En la sección anterior vimos que podemos expresar las fases de la Luna mediante una sucesión numérica en la que cada término se obtiene sumando 7 al término anterior. Este tipo de sucesiones se llaman progresiones aritméticas. primer término

último término

Una progresión aritmética es una serie numérica en la que cada término se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior. Esa cantidad fija se llama diferencia y se representa con la letra (d ). Las progresiones aritméticas se componen siempre de estos elementos:

Primer término (a)

En la progresión aritmética de nuestro ejemplo, el primer término es 7, entonces a = 7.

Último término (u)

El último término es 28, u = 28.

Número de términos (n)

La Luna tiene solamente cuatro fases que se expresan en los cuatro términos de la progresión. Entonces n = 4

Diferencia (d )

Entre cada fase de la Luna hay una diferencia de 7 días, por lo tanto d = 7.

A lo largo de la unidad identificaremos los datos en una tabla como esta:

a 7

Ejercicio 1 Observa las progresiones y contesta las preguntas. A. 9, 15, 21, 27, 33

¿Cuál es el primer término de la progresión?

¿Cuál es el último término de la progresión?

¿Cuál es el número de términos?

¿Cuál es el valor de la diferencia?

B. 28, 25, 22, 19, 16

¿Cuál es el primer término de la progresión?

¿Cuál es el último término de la progresión?

¿Cuál es el número de términos?

¿Cuál es el valor de la diferencia?

116

Segundo grado – ciclo básico

u 28

n 4

d 7

El último término de una progresión aritmética Para calcular el último término de una progresión aritmética, sin necesidad de escribir toda la serie numérica, utilizamos esta ecuación:

u = a + (n – 1)d

u = el último término a = el primer término n = el número de términos d = diferencia entre cada término Donde:

Practiquemos la fórmula con un ejemplo: Calculemos el último término de una progresión aritmética, cuyo primer término es 20, el número de términos es 15 y su diferencia es 2. Para resolver el problema, seguimos estos pasos:

Escribimos los valores conocidos en una tabla.

u = a + (n – 1)d u = 20 + (15 – 1)2 u = 20 + (14)2 u = 20 + 28 u = 48

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

Respuesta: el último término de la progresión es 48.

Otro ejemplo: La familia Alquijay abre una cuenta de ahorro con Q100.00 el primer mes y deposita Q50.00 cada mes. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado después de 6 meses?

Escribimos los valores conocidos en una tabla.

100

u = a + (n – 1)d u = 100 + (6 – 1)50 u = 100 + (5)50 u = 100 + 250 u = 350

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

Respuesta: la familia Alquijay habrá ahorrado Q350.00 después de 6 meses.

Unidad 6 – Matemática

117

Primer término, número de términos y diferencia de términos Con la ecuación que hemos aprendido: u = a + (n – 1)d, podemos encontrar el valor de cualquier término desconocido en una progresión aritmética. Solo tenemos que despejar la variable correcta. Fíjate. Primer término (a)

a = u – (n – 1)d

Número de términos (n) Diferencia de términos (d)

u–a +1 d

u–a n–1

Veamos un ejemplo: Calculemos el primer término de una progresión aritmética de 15 términos, con una diferencia entre ellos de 3 y cuyo último valor es 75. Para resolver este problema, seguimos los mismos pasos que hemos estudiado.

Escribimos los valores conocidos en la tabla.

a = u – (n – 1)d a = 75 – (15 – 1)3 a = 75 – (14)3 a = 75 – 42 a = 33

Elegimos la ecuación que resuelve el problema, sustituimos los valores y operamos.

Respuesta: el primer término de la progresión es 33.

Otro ejemplo: Un estudiante elabora un plan de lectura. El primer día leerá 30 páginas de un libro y cada día leerá 2 páginas más que el anterior. Si el último día se propone leer 42 páginas, ¿en cuántos días leerá el libro?

Escribimos los valores conocidos en una tabla.

Elegimos la ecuación que resuelve el problema.

u–a +1 d

Sustituimos los valores y operamos.

42 – 30 +1 2

12 +1 2

n=7

118

Respuesta: el estudiante leerá el libro en 7 días.

Segundo grado – ciclo básico

Suma de los términos en una progresión aritmética En una progresión aritmética podemos conocer la suma de todos los términos aplicando esta fórmula:

(a + u)n 2

La letra s representa la suma de todos los términos. Las letras a, términos que ya conocemos.

u y n representan los

Por ejemplo: Calculemos la suma de los 4 términos que tiene una progresión aritmética, en la cual, el primer término es 2 y el último es 8.

Escribimos los datos conocidos y desconocidos en una tabla.

Copiamos la fórmula.

(a + u)n 2

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

(2 + 8)4 2

(10)4 2

s = 20

Respuesta: la suma de los cuatro términos de la progresión es 20.

Otro ejemplo: Un equipo de ciclismo inicia un plan de entrenamiento que consiste en recorrer 10 km el primer día, y después de 15 días, terminar con 24 km por día. ¿Cuántos kilómetros recorre en total durante los 15 días de entrenamiento?

Escribimos los datos conocidos y desconocidos en una tabla.

Copiamos la fórmula.

(a + u)n 2

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

(10 + 24)15 2

(34)15 2 510 s= 2 s=

s = 255

Respuesta: el equipo de ciclismo recorre 255 km en los 15 días de entrenamiento. Unidad 6 – Matemática

119

Ejercicio 2 A. Escribe los términos que faltan en cada progresión aritmética. Luego, completa la tabla con los términos indicados. 1)

110

d 10

B. Aplica las ecuaciones de la progresión aritmética para resolver los problemas. 1) Un agricultor siembra 4 árboles por hora. Hasta la primera hora lleva plantados 30 árboles. ¿Cuántos árboles tendrá sembrados al cabo de 7 horas? 2) Un maratonista inicia su entrenamiento corriendo 3 km y aumenta 2 km cada semana. ¿Cuántos kilómetros correrá en la décima semana? 3) Si compramos una estufa en 12 pagos, de modo que el primer pago es Q100.00, el segundo Q110.00 y así sucesivamente, ¿cuánto debemos cancelar en el último pago? 4) Andrea es atleta y avanza en el primer segundo de su carrera 600 cm y en cada segundo posterior 25 cm más que en el segundo anterior. ¿Cuánto avanza en el octavo segundo? 5) Una trabajadora abre una cuenta de ahorro con Q100.00. Luego, mensualmente deposita Q10.00 más que en el mes anterior. Si en el sexto mes depositó Q150.00, ¿cuanto dinero tiene ahorrado en total? 6) Un automóvil que inicialmente se desplaza a 10 metros por segundo, acelera durante 5 segundos hasta alcanzar una velocidad de 20 metros por segundo. ¿Cuantos metros se desplaza durante la aceleración? 7) Hace 18 meses un trabajador abrió una cuenta de ahorro. Se propuso depositar Q75.00 cada mes. Si lleva Q2,075.00 ahorrados, ¿Con qué cantidad de dinero abrió la cuenta?

120

Segundo grado – ciclo básico

Progresión geométrica Decíamos al inicio que las células se reproducen mediante el proceso de la mitosis. En cada división el número de células se duplica. La serie numérica siguiente muestra la cantidad de células que se producen desde la primera hasta la cuarta división. primer término

último término

Observa que cada valor se obtiene multiplicando por 2 el término anterior. Una serie como esta se llama progresión geométrica. Una progresión geométrica es una serie de números en la que cada resultado se obtiene multiplicando o dividiendo el término anterior por una misma cantidad llamada razón ( r ). Las progresiones geométricas siempre se componen de:

Primer término (a) Último término (u) Número de términos (n) La razón (r) se calcula dividiendo dos términos consecutivos.

Observa que, a diferencia de la progresión aritmética, el último término es (r).

Último término de una progresión geométrica Hallar el valor del último término de una progresión geométrica sirve, entre otras aplicaciones, para proyectar el crecimiento de la población de un lugar o el crecimiento de los cultivos de bacterias en los exámenes de laboratorio clínico. También es útil para calcular los beneficios de los ahorros y proyectar las ganancias de una inversión o negocio. Se calcula con esta ecuación:

a = a • r(n – 1) Veamos un ejemplo: En una muestra de laboratorio, se observa que el número de bacterias se duplica cada hora. Si al cabo de una hora hay 500 bacterias, ¿qué cantidad habrá después de 6 horas?

Ordenamos los datos en la tabla.

500

u = a • r (n – 1) Sustituimos los valores en la ecuación u = 500 • 2(6 – 1) y operamos. u = 500 • 25 u = 500 • 32 u = 16 000

Copiamos la fórmula.

Respuesta: después de 6 horas habrá 16 000 bacterias. Unidad 6 – Matemática

121

Primer término de una progresión geométrica Para obtener el primer término de una progresión geométrica, despejamos la variable a de la ecuación que ya conocemos y obtenemos:

u r(n – 1)

Resolvamos juntos este ejemplo: Un empleado triplicó sus ahorros durante 6 meses. Si en el último mes depositó Q2,430.00, ¿cuánto depositó el primer mes?

Ordenamos los datos en la tabla.

2430

Copiamos la fórmula.

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

u r (n – 1) 2430 3(6 –1)

2430 35 2430 a= 243

a = 10

Respuesta: el primer mes depositó Q10.00.

Otro ejemplo: La población de pollos de una granja avícola se duplica cada semana. Si después de 6 semanas hay 1280 pollos, ¿cuántos había inicialmente?

Ordenamos los datos en la tabla.

1280

Copiamos la fórmula.

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

u r (n – 1) 1280 2(6 –1)

1280 25 1280 a= 32 a=

a = 40

122

Respuesta: inicialmente había 40 pollos.

Segundo grado – ciclo básico

Suma de los términos de una progresión geométrica Al igual que en la progresión aritmética, en la progresión geométrica también podemos obtener la suma de los términos aplicando la fórmula siguiente:

u(r) – a r–1

Veamos un ejemplo: Una comerciante duplicó diariamente sus ganancias durante una semana de trabajo. El lunes ganó Q20.00 y el sábado Q640.00. ¿Cuánto ganó en la semana?

Ordenamos los datos en la tabla.

640

Copiamos la fórmula.

u(r) – a r–1

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

640(2) – 20 2–1

1260 1

s = 1260

Respuesta: de lunes a sábado la comerciante ganó un total de Q1,260.00.

Otro ejemplo: Una persona duplica sus ahorros cada mes, durante 6 meses. El primer mes ahorró Q50.00 y el último Q1,600.00. ¿Cuánto dinero ahorró en total?

Ordenamos los datos en la tabla.

50 1600

Copiamos la fórmula.

u(r) – a r–1

Sustituimos los valores en la ecuación y operamos.

1600(2) – 50 2–1

3150 1

r 2

s = 3150

Respuesta: en total ahorró Q3,150.00.

Unidad 6 – Matemática

123

Ejercicio 3 A. Completa cada progresión geométrica con los términos correspondientes. Luego, escribe el elemento correcto en la tabla de la derecha. 1)

125

B. Calcula el término desconocido en cada una de las progresiones geométricas. 1) Los miembros de una cofradía deciden ahorrar para la fiesta patronal del pueblo. El primer día depositan Q1.00 en una alcancía y cada día duplican la cantidad depositada el día anterior. ¿Cuánto dinero tendrán que depositar el séptimo día? 2) La población de cerdos de una granja se duplica cada año. Si después de 4 años hay 64 cerdos, ¿cuántos había inicialmente? 3) Los miembros de un comité de vecinos triplicaron sus ahorros semanalmente durante cuatro semanas. La primera semana depositaron Q10.00 y la cuarta semana Q270.00. ¿Cuánto ahorraron en total de la primera a la cuarta semana? 4) En la primera semana de clases, una estudiante de mecanografía logró escribir 4 líneas de corrido y sin errores. Cada semana duplicó la cantidad de líneas escritas hasta que en la quinta semana logró escribir un párrafo de 64 líneas. ¿Cuántas líneas escribió en total de la primera a la quinta semana?

Practica en la red goo.gL/ugPaCB En la dirección anterior encontrarás un video que explica cómo se obtiene la ecuación para hallar el último término de una progresión aritmética.

124

Segundo grado – ciclo básico

Taller de prácticas Para repasar lo aprendido en esta unidad, realiza los siguientes ejercicios.

Ejercicio 1 Lee con atención cada enunciado. Luego, escribe la progresión aritmética indicada. 1) Escribe una progresión aritmética en la que el primer término es 4, el último es 20 y la diferencia es 4. 2) Escribe una progresión aritmética de 8 términos en la que el primer término es 12 y la diferencia entre términos es 6. 3) Escribe una progresión aritmética en la que el primer término es 9, el último es 24 y la diferencia es 3. 4) Escribe una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término es 56, el último es 8 y la diferencia es 8.

Ejercicio 2 A. Encuentra el término desconocido de las progresiones aritméticas. Trabaja en tu cuaderno. 1) Determina el número de términos (n) de una progresión aritmética si el primer término (a) es 3, El último término (u) es 39 y la diferencia (d ) es 6. 2) Determina el último término de una progresión aritmética si a = 7, n = 12 y d = 4. 3) Determina el número de término de una progresión aritmética si a = 4, u = 40 y d = 3. 4) Determina la diferencia de una progresión aritmética si a = 3, u = 25 y n = 12. 5) Determina el primer término de una progresión aritmética si u = 112, n = 36 y d = 3. 6) Determina la suma de términos de una progresión aritmética si a = 3, u = 8 y n = 6. B. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Aplica las ecuaciones de la progresión aritmética que aprendiste en esta unidad. 1) El sueldo de una empleada en su primer año es de Q3,200.00 mensuales. La empresa ofrece un aumento de Q75.00 por cada año laborado. ¿Cuál será el sueldo de la empleada después de 6 años? 2) Un atleta principiante sigue un plan de entrenamiento de 6 semanas. La primera semana corre 15 minutos sin parar. ¿Cuántos minutos más debe correr cada semana para que en la última corra 45 minutos seguidos? 3) Hace 12 meses un trabajador abrió una cuenta de ahorro con Q200.00 y se propuso depositar Q25.00 más cada mes. ¿Qué cantidad de dinero tiene ahorrado?

Unidad 6 – Matemática

125

Ejercicio 3 Calcula el término desconocido de cada progresión geométrica, aplicando las fórmulas que aprendiste en la unidad. 1) Determina el último término de una progresión geométrica si a = 8, n = 6 y r = 2. 2) Determina el último término de una progresión geométrica si a = 10, n = 4 y r = 3. 3) Determina el último término de una progresión geométrica si a = 5, n = 5 y r = 6. 4) Determina el primer término de una progresión geométrica si u = 1944, n = 5 y r = 3. 5) Determina el primer término de una progresión geométrica si u = 320 , n = 7 y r = 2. 6) Determina el último término de una progresión geométrica si a = 1000, n = 4 y r = 10. 7) Halla la suma de términos de una progresión geométrica si a = 5, u = 320 y r = 4. 8) Halla la suma de términos de una progresión geométrica si a = 9, u = 2187 y r = 3.

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los siguientes problemas de progresiones aritméticas y geométricas para fortalecer tu pensamiento lógico. 1) Los jugadores de un equipo de futbol deciden ahorrar Q10.00 diarios para comprar un balón que cuesta Q300.00. Si comienzan el ahorro con Q40.00: a. ¿Cuántos quetzales tendrán ahorrados en 30 días? b. ¿En cuántos días completarán el dinero? 2) La cooperativa Tres Pinos depositó Q3,000.00 a plazo fijo el primer año. Después de 4 años esa cantidad aumentó a Q3,270.00. a. ¿Cuántos quetzales de interés obtuvo la inversión por cada año? b. ¿A cuántos quetzales aumentará la inversión en el quinto año? 3) Una empresa perforadora de pozos paga a sus trabajadores según los metros cavados. Por el primer metro paga Q50.00 y cada metro que sigue paga Q15.00 más que el anterior. Si la profundidad de un pozo es de 8 metros: a. ¿Cuánto pagará la empresa por el último metro excavado? b. ¿Cuál fue el costo total de la excavación del pozo? 4) El último graderío de un estadio tiene capacidad para 1000 aficionados, el penúltimo para 960, y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos: a. ¿Cuál es la diferencia de la capacidad entre cada graderío? b. ¿Cuál es la capacidad del primer graderío? c. ¿Cuál es la capacidad total del estadio? 5) Una estudiante decide aprovechar sus vacaciones para hacer ejercicio. Elije un plan de entrenamiento de 8 semanas. La primera semana corre 1500 metros y cada semana aumenta 500 metros a su recorrido. a. ¿Cuántos metros correrá en la última semana de entrenamiento? b. ¿Cuántos metros correrá en total durante el entrenamiento?

126

Segundo grado – ciclo básico

6) Un comerciante obtiene Q100.00 de ganancia el primer día de diciembre, Q110.00 en el segundo y así sucesivamente: a. ¿Cuántos quetzales obtiene de ganancia el 15 de diciembre? b. ¿Cuántos quetzales obtiene de ganancia el 24 de diciembre? c. ¿Cuántos quetzales gana en total del 15 al 24 de diciembre? 7) El virus de la gripe AH1N1 se duplica cada veinticuatro horas. Si el primer día hay 10 virus, ¿cuántos virus habrá al cabo de 8 días? 8) La población de conejos en una granja se duplica cada mes. Si el primer mes había 20 conejos, ¿cuántos habrá después de 12 meses? 9) Una colonia de bacilos búlgaros utilizada para hacer yogur casero se triplica cada día. Si el primer día de la observación hay 400 bacilos, ¿qué cantidad habrá después de 4 días? 10) Una corredora principiante elige un plan de entrenamiento de 6 semanas, en el que cada semana duplica el recorrido de la semana anterior. Si en la última semana de entrenamiento corre 6400 metros, ¿cuántos metros corrió en la primera semana? 11) Una trabajadora duplicó sus ahorros cada semana, durante 6 semanas. La primera semana depositó Q5.00 y en la sexta semana Q160.00. ¿Cuánto dinero ahorró en total? 12) La primera semana de clases, un estudiante de idioma inglés aprendió el significado de 6 palabras. Cada semana duplicó la cantidad de palabras aprendidas hasta que en la cuarta semana logró aprender 48 palabras. ¿Cuántas palabras aprendió en total de la primera a la tercera semana? B. Resuelve el siguientes rompecocos. La capacidad de percibir correctamente el espacio sirve para orientarnos en planos y mapas. Además, permite dibujar y construir estructura tridimensionales. Encontrarás actividades como estas en las pruebas de aptitud para ingresar a la universidad y en algunas evaluaciones de selección de personal. Consigue 18 palillos o palitos cortos y utilízalos para formar las figuras que se presentan a continuación. Sigue las indicaciones. 1) Mueve cuatro palillos y cámbialos de lugar para formar ocho cuadrados iguales.

2) Mueve dos palillos y cámbialos de lugar para formar cuatro cuadrados y un triángulo.

3) Mueve seis palillos y cámbialos de lugar para formar una estrella de seis puntas.

Unidad 6 – Matemática

127

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Aplica la ley de signos y resuelve las multiplicaciones. Escribe la respuesta sobre la línea. 1) 5 x 4 =

8) 2 x 7 =

15) 8 x (– 6) =

2) 3 x 9 =

9) 2 x (– 4) =

16) 5 x (– 7) =

3) 2 x 3 =

10) 5 x (– 3) =

17) (– 8) x 4 =

4) 9 x 4 =

11) 7 x (– 1) =

18) (– 3) x 9 =

5) 3 x 6 =

12) 2 x (– 9) =

19) (– 1) x 6 =

6) 7 x 8 =

13) 4 x (– 6) =

20) (– 8) x 7 =

7) 6 x 5 =

14) 0 x (– 5) =

21) (– 6) x 9 =

B. Aplica la jerarquía de las operaciones y resuelve las operaciones combinadas siguientes. 1) (2 x 3) + 4 =

8) (6 x 3) + 1 =

15) 3 + (4 x 3) =

2) (1 x 4) + 2 =

9) (2 x 8) + 5 =

16) (2 x 6) + 3 =

3) (4 x 5) + 3 =

10) (5 x 6) + 3 =

17) (5 x 4) + 8 =

4) (7 x 3) + 4 =

11) 1 + (2 x 6) =

18) (4 x 9) + 4 =

5) (6 x 2) + 2 =

12) 3 + (4 x 2) =

19) (9 x 2) + 2 =

6) (3 x 5) + 3 =

13) 4 + (5 x 3) =

20) (8 x 3) + 4 =

7) (4 x 4) + 4 =

14) 2 + (6 x 4) =

21) (3 x 8) + 2 =

C. Aplica la jerarquía de las operaciones y resuelve las operaciones combinadas siguientes. 1) (18 ÷ 6) + 3 =

8) (64 ÷ 8) – 4 =

15) 6 + (24 ÷ 8) =

2) (25 ÷ 5) + 4 =

9) (18 ÷ 3) – 6 =

16) 4 + (72 ÷ 9) =

3) (14 ÷ 7) + 9 =

10) (50 ÷ 2) – 5 =

17) 3 + (27 ÷ 3) =

4) (16 ÷ 2) + 7 =

11) (42 ÷ 7) – 3 =

18) (3 ÷ 3) + 3 =

5) (36 ÷ 9) + 4 =

12) 9 + (25 ÷ 5) =

19) (4 ÷ 2) + 2 =

6) (49 ÷ 7) + 5 =

13) 5 + (12 ÷ 3) =

20) (7 ÷ 7) + 1 =

7) (12 ÷ 3) – 2 =

14) 8 + (15 ÷ 5) =

21) (4 ÷ 2) + 7 =

128

Segundo grado – ciclo básico

D. Sustituye mentalmente el valor de x asignado para hallar el valor de su imagen. 1) f (8) = x – 6

12)

f(3) = 2x + 1

2) f (7) = x – 3

13)

f(0) = 9x + 6

3) f (3) = x – 1

14)

f(4) = 4x + 4

4) f (1) = x – 5

15)

f(9) = 3x + 1

5) f (9) = x – 2

16)

f(3) = 8x + 6

6) f (5) = x – 3

17)

f(7) = 2x + 2

7) f (4) = x – 4

18)

f(2) = 9x + 7

8) f (7) = x – 6

19)

f(4) = 2x + 9

9) f (0) = x – 7

20)

f(0) = 5x + 15 =

10) f (10) = x – 20 =

21)

f(10) = 3x + 10 =

11) f (15) = x – 12 =

22)

f(15) = 2x + 20 =

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Después de estudiar...

Diferencio la progresión aritmética de la geométrica. Determino el patrón que sigue una progresión aritmética y una progresión geométrica. Aplico las ecuaciones de la progresión aritmética y geométrica en la solución de problemas. Calculo el primer término, el último y la suma en una progresión. Resuelvo problemas aplicando las ecuaciones de las progresiones. Practico el cálculo mental.

Unidad 6 – Matemática

129

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas, rellena el círculo que corresponde a la opción correcta.

Para responder a las preguntas 1, 2 y 3 considera la siguiente progresión. 12, 20, 28, 36, 44, 52 1) El último término de la progresión es… A. 12

B. 52

C. 6

D. 20

C. 6

D. 8

C. 8

D. 9

2) La diferencia entre los términos de la progresión es… A. 2

B. 4

3) El número de términos de la progresión es… A. 6

B. 7

4) De las siguientes secuencias numéricas, la que representa una progresión geométrica es… A. 1, 2, 3, 4, 5

B. 1, 2, 3, 5, 8

C. 1, 2, 4, 8, 16

D. 1, 3, 56, 9, 12

5) En la progresión geométrica anterior, la razón entre sus términos es… A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6) En la progresión 5, 25, 125, x el valor del término "x" es… A. 850

B. 625

C. 225

D. 150

7) En la progresión aritmética, si a = 3, u = 25 y n = 12 entonces "d " es… A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

8) En la progresión geométrica, si u = 1000, n = 4 y r = 10 entonces "a" es… A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

9) Una persona abre una cuenta de ahorro con Q100.00 el primer mes y cada mes deposita Q10.00 más que el anterior. Si en el duodécimo mes depositó Q210.00, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado? A. Q2,060.00

B. Q1,860.00

C. Q1,680.00

D. Q1,806.00

10) Una persona duplica sus ahorros cada mes durante 6 meses. El primer mes ahorró Q50.00 y el último mes Q1,600.00. ¿Cuánto dinero ahorró en total? A. Q3,510.00

130

B. Q3,105.00

Segundo grado – ciclo básico

C. Q3,150.00

D. Q3,230.00

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 6 – Matemática

131

Geometría

unidad

¿Qué sabes del tema? Recordemos que la geometría es la rama de la matemática que se encarga de estudiar las figuras y los elementos como punto, recta, plano, superficie, etc. Hay gran cantidad de aplicaciones para esta disciplina. Por ejemplo, en la mecánica se emplea para la construcción de motores y máquinas; en la arquitectura y topografía, con la ayuda de la geometría es posible calcular la altura de montañas y edificios de una manera fácil y práctica. ¿Cómo podrías medir la altura de un cerro si no existiera la geometría?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

El número pi

Taller de matemática • • • •

Circunferencia y círculo Teorema de Pitágoras Triángulos congruentes y semejantes Teorema de Tales

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Multiplicaciones, divisiones y potencias

Unidad 7 – Matemática

133

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 1. Utiliza las relaciones y propiedades entre diferentes patrones (algebraicos, geométricos y trigonométricos) en la representación de información y la resolución de problemas.

Indicador de logro 1.2 Aplica relaciones geométricas para resolver problemas. 1.3 Calcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

2. Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados.

2.4 Resuelve ecuaciones de primer grado.

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de operaciones.

134

Segundo grado – ciclo básico

Actividades

Definir círculo y circunferencia.

Identificar las características del círculo y la circunferencia.

Calcular medidas asociadas al círculo.

Relacionar medidas de ángulos y lados de triángulos.

Emplear el teorema de Pitágoras.

Emplear el teorema de Tales.

Determinar y trazar triángulos semejantes y triángulos congruentes.

Usar ecuaciones lineales para resolver problemas.

Despejar cantidades para encontrar cantidades desconocidas.

Calcular mentalmente operaciones y estimaciones.

¡Prepárate para el recorrido! El número pi Las características del círculo y la circunferencia es uno de los temas que estudiaremos en esta unidad. Antes de empezar, conoceremos un número muy particular, el número pi. El valor de pi surge al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Es una de las constantes matemáticas más importantes; se emplea para averiguar valores desconocidos de elementos circulares. El número pi es un número irracional porque sus decimales son infinitos, actualmente se conocen los primeros diez billones de cifras gracias al cálculo por computadoras. Un valor aproximado es el siguiente: π = 3.14159265358979323846… Las primeras nociones de esta cantidad surgen en el antiguo Egipto. Luego, otros pueblos, como los indios, los chinos y los griegos, hicieron sus propios aportes al desarrollo de esta constante.

Letra griega pi

El símbolo de pi fue utilizado por primera vez por el matemático inglés William Oughtred y popularizado más tarde por Leonhard Euler matemático suizo. Para fines prácticos, nosotros utilizaremos su valor con dos decimales: π = 3.14

¡A trabajar! Comprueba tú mismo el valor de pi. Realiza el siguiente experimento propuesto. 1) Toma algún objeto con figura circular, como una lata. 2) Con un cordel, dale una vuelta completa a la circunferencia del objeto. Luego, mide la longitud de la misma.

¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia?

3) Con una regla, mide el diámetro del objeto, es decir, la distancia que hay entre dos puntos del borde pasando por el centro.

¿Cuánto mide el diámetro?

4) Ahora, divide la medida de la circunferencia dentro del diámetro que hallaste.

Escribe el resultado obtenido:

5) Tu respuesta debería ser un número cercano al valor de pi (3.14159…).

Unidad 7 – Matemática

135

Taller de matemática Circunferencia y círculo

ci r c

Circunferencia y círculo no son lo mismo. La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia. El círculo se define como una figura geométrica plana y cerrada formada por una línea curva.

unferencia

círculo

Partes del círculo El círculo tiene unas partes especiales que no tienen otras figuras geométricas. Observa la ilustración de abajo.

Centro: punto que se encuentra exactamente a la mitad del círculo. Se representa con la letra C. d

Diámetro: línea recta que pasa por el centro y que divide el círculo en dos partes iguales. Se representa con la letra d.

C r

Radio: distancia que une el centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia. Mide la mitad del diámetro. Se representa con la letra r.

Perímetro y área de un círculo a. Perímetro de un círculo La circunferencia es el borde exterior del círculo. Para calcular el perímetro de un círculo, es necesario encontrar la longitud de la circunferencia. Esta se obtiene utilizando la fórmula:

P=2 r Se lee: el perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi por el radio. Por ejemplo: Recuerda el valor de (pi) = 3.14

136

Calculemos el perímetro de un círculo, cuyo radio mide 4 cm.

Copiamos la fórmula.

P=2 r

Sustituimos los datos en la fórmula.

P = 2(3.14)(4 cm)

Operamos.

P = (6.28)(4 cm)

Escribimos la respuesta.

P = 25.12 cm

Segundo grado – ciclo básico

b. Área de un círculo No olvides que el círculo es el área que está dentro de la circunferencia. La fórmula del área para el círculo es:

A = r2

Memoriza las fórmulas P=2 r A = r2

Se lee: el área del círculo es igual a pi por el radio al cuadrado. Por ejemplo: Calculemos el área de un círculo cuyo radio mide 4 cm.

Copiamos la fórmula.

A = r2

Sustituimos los datos en la fórmula.

A = (3.14)(4 cm)2

Operamos.

A = (3.14)(16 cm2 )

Escribimos la respuesta.

A = 50.24 cm2

Ahora, un problema de ejemplo: Un parque tiene forma circular con un diámetro de 200 m. Ernesto visitó el parque y desea saber: Si camina alrededor del parque y regresa al punto donde salió, ¿que distancia habrá caminado?

Primero obtenemos el radio.

d r= 2

200 m 2 r = 100 m r=

Copiamos la fórmula para el perímetro.

P=2 r

Sustituimos los datos.

P = 2(3.14)(100 m)

Operamos.

P = (6.28)(100 m)

628 m

Escribimos la respuesta: Ernesto caminará 628 metros.

¿Cuál es el área del parque?

Copiamos la fórmula para el área.

A = r2

Sustituimos los datos.

A = (3.14)(100 m)2

Operamos.

A = (3.14)(10 000 m2)

A = 31 400 m2

Escribimos la respuesta: el área del parque es 31 400 m2.

Unidad 7 – Matemática

137

Ejercicio 1 A. Mide con tu regla el radio y el diámetro de cada circunferencia. Luego, escribe su valor en el espacio correspondiente.

r r

r =

B. Calcula el perímetro y el área de los círculos con los datos que aparecen en cada numeral. 1) Círculo con radio de 10 m

perímetro:

área:

2) Círculo con radio de 5 m

perímetro:

área:

3) Círculo con diámetro de 14 m

perímetro:

área:

4) Círculo con diámetro de 8 m

perímetro:

138

Segundo grado – ciclo básico

área:

Teorema de Pitágoras Antes de conocer este teorema es importante activar los conocimientos previos sobre los triángulos rectángulos. Recuerda. Un triángulo rectángulo es aquel que:

Tiene un ángulo recto (90°). Los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

En la figura se representan con las letras a y b. El lado mayor opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. En la figura se identifica con la letra c.

El filósofo y matemático griego, Pitágoras, y sus seguidores se dieron cuenta de que las partes de estos triángulos guardaban cierta relación entre sí y la expresaron mediante el teorema de Pitágoras que dice: En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c2) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2). Se representa con la fórmula: c2

= a2 + b2

El teorema se cumple, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados a y b.

m 10

Escribimos la fórmula del teorema de Pitágoras.

c 2 = a2 + b 2 Sustituimos los datos y operamos. (10 m)2 = (6 m)2 + (8 m)2 100 m2 = 36 m2 + 64 m2 Comprobamos la igualdad. 100 m2 = 100 m2

b=8m

Comprobemos el teorema con el triángulo del ejemplo.

a=6m

Cálculo de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo Para encontrar el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo aplicamos la fórmula del teorema de Pitágoras que aprendimos. Solo debemos despejar la variable correcta.

Para encontrar la hipotenusa debemos conocer el valor de los catetos a, b y despejar c. Veamos un ejemplo: Calculemos la hipotenusa de un triángulo rectángulo con estas medidas: cateto a = 6 cm, cateto b = 8 cm.

c 2 = a2 + b 2 Sustituimos los datos y operamos. c2 = (12 cm)2 + (16 cm)2 c2 = 144 cm2 + 256 cm2 c2 = 400 cm2

Escribimos la fórmula.

Aplicamos raíz cuadrada en ambos c2 = lados de la operación y obtenemos el resultado. c = 20 La hipotenusa del triángulo mide 20 cm.

b = 16 cm

a. Cálculo de la hipotenusa (c) c

a = 12 cm

400 cm2 cm

Unidad 7 – Matemática

139

Ahora, veamos una aplicación. Calculemos el costo de la baranda para las gradas de un edificio con las medidas que se muestran en la figura. El metro de baranda cuesta Q250.00. Primero, calculamos la longitud de la baranda aplicando el teorema de Pitágoras.

Escribimos la fórmula.

c 2 = a2 + b 2

Sustituimos los datos y operamos.

c2 = (4 m)2 + (3 m)2

= 16 m2 + 9 m2

c2 = 25 m2 Aplicamos raíz cuadrada en ambos c2 = 25 m2 lados de la operación y obtenemos el resultado.

c = 5 m

Hallamos el costo multiplicando los metros de baranda por el precio de cada metro. Q250.00 # 5 m = Q1,250.00

El precio total de la baranda es de Q1,250.00.

b. Cálculo de los catetos (a, b) Para calcular el valor de uno de los catetos debemos conocer la medida del otro cateto y de la hipotenusa. Hagamos un ejemplo: Calculemos el cateto a de un triángulo rectángulo con las medidas que se indican en la imagen.

Escribimos la fórmula y despejamos la variable que nos interesa. En este caso queremos averiguar el tamaño del cateto a.

a2 = c 2 – b 2

Sustituimos los datos y operamos.

a2 = (20 cm)2 – (16 cm)2

b = 16 cm

= 400 cm2 – 256 cm2

= 144 cm2

140

c = 20 cm

Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y obtenemos el resultado. El cateto a mide 12 cm.

Segundo grado – ciclo básico

a2 = 144 cm2 a = 12 cm

Veamos una aplicación: Calculemos el costo de la escalera para un resbaladero que mide 4 metros de longitud. De la base de la escalera a la base del resbaladero hay 3 metros. Cada metro de escalera cuesta Q120.00.

Escribimos la fórmula y despejamos la variable que nos interesa. En este caso queremos averiguar el tamaño del lado o cateto a.

a2 = c 2 – b 2

Sustituimos los datos y operamos.

a2 = (4 m)2 – (3 m)2

= 16 m2 – 9 m2

= 7 m2

Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y obtenemos el resultado.

a 2 = 7 m2 a = 2.65 m

La escalera mide 2.65 m de altura.

Para hallar el costo multiplicamos la altura por el precio de cada metro. 2.65 m

# Q120.00 = Q318.00

El precio de la escalera es de Q318.00.

Ejercicio 2 Aplica el teorema de Pitágoras para resolver el problema siguiente.

b = 20 cm

Calcula la cantidad de hilo que se necesita para formar todos los bordes de un barrilete como el que se muestra en la figura.

a = 15 cm

Se necesitan

cm de hilo.

Unidad 7 – Matemática

141

Ejercicio 3 Resuelve los problemas siguientes. Realiza el procedimiento en el espacio en blanco. 1) Calcula el costo de construcción de una columna que servirá para sostener las gradas de una pasarela. Las gradas tienen una longitud de 15 m y de la base de la columna a donde comienzan las escaleras hay 12 m. Cada metro de construcción cuesta Q500.00. Ayúdate con la figura.

b = 12 m

c = 15 m

El costo total de construcción sería de

2) Para instalar una antena telefónica se utiliza un poste sujeto por dos cables para asegurarlo, como se observa en la figura. El poste tiene una altura de 8 m y cada cable se fija a 4 m de la base del mismo. Calcula cuántos metros de cable se necesitan para la instalación.

Se necesitan

de cable.

3) Una ciudad se encuentra exactamente a 22 km al oeste y 15 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia en línea recta que hay entre las dos ciudades? Para tu respuesta utiliza solo una cifra decimal.

La distancia lineal entre las dos ciudades es de

142

Segundo grado – ciclo básico

Triángulos congruentes En matemática, el término congruencia se emplea como sinónimo de igualdad. Se dice que dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. F

Por ejemplo, los dos triángulos de la derecha son congruentes porque tienen la misma forma y miden lo mismo, aunque estén en posiciones A distintas.

En cambio, estos dos triángulos no son congruentes. Aunque tienen la misma forma, sus medidas son diferentes.

E F

En conclusión, decimos que dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales, aunque se encuentren en posición distinta. En lenguaje matemático se expresa así congruente con el triángulo DEF.

ABC

DEF y se lee: el triángulo ABC es

Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se llaman criterios de congruencia.

Criterios de congruencia de triángulos Para saber si dos o más triángulos son congruentes, podemos aplicar alguna de estas propiedades. Veamos.

a. Lado – lado – lado (LLL) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos1 miden lo mismo. C

AC = DF

AB = DE CB = FE

b. Lado – ángulo – lado (LAL) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo determinado por ellos es igual. C

AC = DF AB = DE B

a=d

homólogo: en una figura geométrica, referido especialmente a uno de sus lados que está colocado en el mismo orden y posición que otro en otra figura similar. Unidad 7 – Matemática

143

c. Ángulo – lado – ángulo (ALA) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado común a ellos también es igual. C

a=d AB = DE

b=e

d. Lado – lado – ángulo (LLA) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de ellos también es igual. C

AC = DF CB = FE

a=d

Ejercicio 4 Observa los siguientes pares de triángulos. Luego, responde la pregunta que se plantea rellenando el círculo con la opción correcta. 1)

65º

75º

75º 65º 12

15 12

60º 12

¿Cuál de las anteriores es una pareja de triángulos congruentes? solo 1

2 y 3

solo 3

Responde: ¿cómo lograste concluir con tu respuesta? Explica.

144

Segundo grado – ciclo básico

ninguna

60º

Triángulos semejantes Los triángulos semejantes son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Es decir, la misma forma, aunque su tamaño sea diferente. Para determinar la semejanza entre triángulos, debemos comparar las figuras con los postulados siguientes.

Criterios de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si cumplen al menos uno de los criterios de semejanza. C

a. Los tres ángulos son iguales Estos dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, pero con que dos ángulos sean iguales basta para establecer la semejanza, ¿cómo? Veamos.

70º

80º

30º

B D

Un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 40º ¿es forzosamente semejante a un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 110º?

30º

70º 80º

30º

110º

40º 30º

Sí, pues como los ángulos de un triángulo suman 180º, se concluye que los ángulos de los dos triángulos son iguales y por el criterio de ángulos iguales son semejantes.

30° + 40° + 110° = 180° b. Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual Estos dos triángulos tienen un ángulo común que mide 25º y los dos lados que lo forman son proporcionales.

AB 8 DE = 4 = 2 9 AC = =2 DF 4.5

9 cm

4.5 cm

25º

8 cm

25º 4 cm

Como los lados son proporcionales y el ángulo mide lo mismo, los triángulos son semejantes. Veamos otro ejemplo para comprender mejor. Dos triángulos tienen un ángulo de 120º. Los lados que los forman miden 6 cm y 15 cm en un triángulo y 4 cm y 10 cm en el otro triángulo. ¿Son semejantes?

AB 6 = = 1.5 DE 4 BC 15 = = 1.5 EF 10

15 cm A

120º 6 cm

120º E 4 cm

10 cm

Como los lados son proporcionales y el ángulo mide lo mismo, los triángulos son semejantes. Unidad 7 – Matemática

145

c. Todos sus lados son proporcionales Comprobemos que los lados del ejemplo siguiente guardan la misma proporción: Lado AB = Lado DE

12 = 2 6

Lado BC = Lado EF

9 = 2 4.5

Lado AC = Lado DF

C 10 A

10 = 2 5

4.5

5 B

Al ver lo anterior, podemos afirmar que se cumplen estas proporciones:

AB = BC = AC DE EF DF Por tanto, concluimos que los triángulos son semejantes. La semejanza entre triángulos nos puede ayudar a encontrar una cantidad desconocida. Resolvamos un ejemplo: Los triángulos de la figura son semejantes, hallemos la medida del lado x.

Planteamos la proporción.

x 10 4= 8

Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

(8)(x) = (4)(10)

(4)(10) 8 x = 5 La medida del lado x es 5.

Despejamos x y operamos.

Ejercicio 5 Aplica la proporcionalidad de los lados de triángulos para hallar el valor de hacerlo directamente en el espacio en blanco de la derecha.

x en el ejercicio siguiente. Puedes

24 m 12 m

10 m

La medida del lado x es

146

Segundo grado – ciclo básico

Teorema de Tales Tales de Mileto, matemático griego del siglo VI a. C., fue de los primeros en reflexionar sobre el tema de ángulos y rectas, estableciendo el teorema denominado primer teorema de Tales, que dice: Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Veamos el teorema de manera gráfica:

Si las rectas L1 y L2 son cortadas por las tres rectas paralelas que aparecen en la imagen, entonces las medidas de los segmentos en la recta L1 son propocionnales a las medidas de los segmentos de la recta L2.

L2 A'

Los segmentos de la recta L1 son: AB, AC, BC. De igual manera, los de la recta L2 son: A'B', A'C', B'C'.

Por lo tanto, de acuerdo al teorema de Tales, se cumple esta proporción:

AB = BC = AC A'B' B'C' A'C' Se lee: el segmento AB es proporcional al segmento A’B’, lo mismo que el segmento BC es proporcional al segmento B’C’ y el segmento AC es proporcional a A’C’.

Aplicaciones del teorema de Tales El postulado de Tales de Mileto nos sirve para calcular longitudes desconocidas, difícilies de medir directamente, a partir de longitudes que sí conocemos. Aprendamos con un ejemplo: Calculemos el segmento B'C' de la figura, si AB = 4 cm, BC = 10 cm y A'B' = 6 cm.

A B

Planteamos la proporción, aplicando el teorema de Tales.

AB = BC A'B' B'C'

Sustituimos los datos.

4 cm = 10 cm B'C' 6 cm

Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

(4 cm)(B'C') = (10 cm)(6 cm)

Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

60 cm2 B'C' = 4 cm

El segmento B'C' mide 15 cm.

B'C' = 15 cm

A' B'

Unidad 7 – Matemática

147

Ahora, un problema de aplicación La estructura de una galera tiene la forma que se muestra en la figura. Calculemos la distancia B'C' que separa la columna central de la columna derecha, si las medidas de los otros segmentos son: AB = 10 m, BC = 9 m y A'B' = 8 m.

Planteamos la proporción, aplicando el teorema de Tales.

Sustituimos los datos.

AB BC A'B' = B'C' 10 m = 9 m 8 m B'C'

Aplicamos la propiedad de extremos y medios.

(10 m)(B'C') = (8 m)(9 m)

Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

72 m2 B'C' = 10 m

B'C' = 7.2 m

La distancia B'C' es de 7.2 metros.

Ejercicio 6 A. Halla la longitud de del segmento x. Las rectas A, B y C son paralelas. Puedes utilizar el espacio en blanco para realizar el procedimiento. 8 cm

20 cm

x 28 cm

El segmento x mide:

B. Resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes. Aplica el procedimiento que aprendiste. 1) Calcula la longitud del tramo AB del terreno de la imagen, si las medidas de los segmentos son:

BC = 18 m, A'B' = 10 m, B'C' = 20 m.

A B

A' B'

2) Calcula la longitud del tramo B'C' de la estructura de la imagen, si las medidas de cada tramo son:

148

AB = 2 m, A'B' = 3 m, BC = 4 m.

Segundo grado – ciclo básico

Posición de Tales

F C

Si hacemos coincidir los vértices de los dos triángulos que tengan el mismo ángulo, obtenemos lo que se llama posición de Tales. Todos los triángulos semejantes pueden colocarse en esta posición y podemos aplicar el teorema de Tales, para resolver problemas.

B D C AD

Veamos un ejemplo:

Determinemos la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6 m a la misma hora que un poste de 4 m de altura proyecta una sombra de 1 m.

4m sombra = 1 m

Planteamos la proporción.

Aplicamos la propiedad de

extremos y medios.

sombra = 6 m

x 6m 4m = 1m (1

m)(x) = (6 m)(4 m)

2 x = 24 m 1m x = 24 m

Despejamos x y operamos.

El edificio tiene una altura de 24 metros.

Cuenta la leyenda que Tales de Mileto se propuso medir la altura de la pirámide de Keops, en Egipto. Para lograrlo, clavó una vara en la arena y mandó a sus ayudantes a que midieran las sombras de ambos objetos. Tal como lo muestra la imagen. Veamos el procedimiento que utilizó. El segmento hv representa la altura de la vara que es paralelo al segmento hp que representa la altura de la pirámide. Cada uno proyecta una sombra proporcional a su altura. La sombra de la vara es Sv y la de la pirámide, Sp. En este caso suponemos que la vara mide 2 metros, al igual que su sombra. La sombra de la pirámide mide 139 metros. Con estos datos resolvemos el problema.

sp = 139 m

Sp hp = Sv hv

Planteamos la proporción, aplicando el teorema de Tales.

Sustituimos los datos.

Aplicamos la propiedad de extremos (2 m)(hp) = (139 m)(2 m) y medios.

Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

La pirámide de Keops mide 139 metros de altura.

hp 139 m 2m = 2m

2 hp = 278 m 2m hp = 139 m

Unidad 7 – Matemática

149

Ejercicio 7 Ahora te toca a ti. Aplica el teorema de Tales para los triángulos semejantes y resuelve los problemas siguientes. 1) Una señal de tránsito de 2 m de altura proyecta una sombra de 10 m sobre el pavimento. Al mismo tiempo, una pared proyecta una sombra de 80 m. Calcula la altura de la pared. D

E Alto

80 m

10 m

2) Un pino de 1.56 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m. En el mismo momento, otro pino proyecta una sombra de 1.83 m. ¿Cuál es la altura del segundo pino?

1.56 m

1.2 m 1.83 m

3) Una torre de electricidad de alta tensión tiene una altura de 6 m y proyecta una sombra de 4 m. Una persona que se encuentra en los alrededores proyecta una sombra de 1.2 m. Calcula la altura de la persona.

150

Segundo grado – ciclo básico

1.2 m

Taller de prácticas Ejercicio 1 Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 1) La rueda de un camión tiene 80 cm de radio, ¿cuánto habrá recorrido el camión cuando la rueda haya dado 50 vueltas? 2) En un parque de forma circular de 800 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 10 m de radio. ¿Cuál es el área que queda para caminar y recrearse? 3) Un trabajador ha sido contratado para pintar el techo de un edificio con forma circular. El techo tiene un radio de 4 m. El trabajador quiere saber cuántos galones de pintura necesita si cada galón cubre un área de 30 m2.

Ejercicio 2 Con la ayuda de una regla o una cinta métrica, completa la tabla con las medidas de objetos que usamos en la vida diaria. Luego, calcula el área y el perímetro de cada figura. Objeto

Radio

Perímetro

Área

Moneda de quetzal Llanta de automóvil Disco compacto (CD) Rollo de papel de baño Tapadera circular

Ejercicio 3 Observa las siguientes parejas de triángulos. Luego, basándote en los criterios de congruencia, responde las preguntas planteadas. 1)

12 35º

110º

35º 15 110º

6 4

45º

88º

45º

¿Cuál o cuáles parejas son congruentes? ¿Cómo llegaste a esta conclusión?

Unidad 7 – Matemática

151

Ejercicio 4 Observa las siguientes parejas de triángulos. Luego, basándote en los criterios de semejanza, responde las preguntas planteadas. 1)

55º

2) 8

35º

55º

55º 45º

35º 45º

35º

¿Cuál o cuáles parejas son congruentes? ¿Cómo llegaste a esta conclusión?

Ejercicio 5 Si las rectas r, s y t son paralelas. Encuentra el valor de x. Utiliza el espacio en blanco para realizar las operaciones. r

t 3 cm

3 cm

2 cm

x =

Ejercicio 6 Resuelve el problema siguiente. Utiliza el espacio en blanco para realizar las operaciones. Los dueños de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan a la puerta de entrada. Las escaleras están a 1 m sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 4 m de distancia con respecto a las gradas. ¿Qué tan larga debe ser la rampa? Guíate por el dibujo. Utiliza solamente una cifra decimal en tu respuesta.

a=1

b=4

El largo de la rampa será de:

152

Segundo grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Ejercita tu cerebro. Lee el siguiente problema de lógica y luego realiza la actividad propuesta.

En una fiesta tienen disponible un barril de horchata, un recipiente pequeño con capacidad para 3 litros y un recipiente grande con capacidad de 5 litros. Sin embargo, para el momento de servir las bebidas, necesitan sacar solamente 4 litros de la bebida del barril. ¿Cómo lograrlo?

3 litros

5 litros

¿Crees que es posible? ¿Cómo? Describe cuál sería el procedimiento en las líneas siguientes:

B. Calcula el área de la parte sombreada. Luego, escribe tu respuesta en el espacio correspondiente.

1) El diámetro del círculo grande es de 12 m y el radio del círculo pequeño es de 3 m.

El área sombreada es de:

2) El radio del círculo grande es de 8 m y el radio de los círculos pequeños es de 4 m.

El área sombreada es de: Unidad 7 – Matemática

153

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Realiza las siguientes multiplicaciones de números enteros. 1) (–6) x 9 =

11) 7 x (–3) =

21) (–2) x (–5) =

2) (–7) x 7 =

12) 4 x (–6) =

22) (–3) x (–8) =

3) (–2) x 8 =

13) 3 x (–9) =

23) (–4) x (–6) =

4) (–8) x 5 =

14) 7 x (–6) =

24) (–9) x (–9) =

5) (–5) x 6 =

15) 5 x (–8) =

25) (–4) x (–7) =

6) (–2) x 5 =

16) 9 x (–2) =

26) (–6) x (–2) =

7) (–3) x 9 =

17) 8 x (–3) =

27) (–3) x (–3) =

8) (–4) x 9 =

18) 7 x (–4) =

28) (–1) x (–4) =

19) 1 x (–5) =

29) (–6) x (–5) =

20) 5 x (–6) =

30) (–5) x (–4) =

9) (–5) x 8 =

10) (–6) x 2 =

B. Encuentra el multiplicador.

1) (–6) x

= 48 8) 9 x

= –18

15) 2 x

= –8

2) (–3) x

= 21 9) 8 x

= –64

16) 4 x

= –32

3) (–1) x

= 10

10) 7 x

= –28

17) 9 x

= –27

4) (–6) x

= 36

11) 1 x

= –9

18) 8 x

= –24

5) (–5) x

= 35

12) 5 x

= –15

19) 2 x

= –10

6) (–4) x

= 12

13) 6 x

= –24

20) 3 x

= –15

7) (–2) x

= 14

14) 4 x

= –20

21) 5 x

= –30

C. Realiza las siguientes divisiones de números enteros. 1) 63 ÷ 9 =

7) 27 ÷ (–3) =

13) (–20) ÷ 5 =

2) 35 ÷ 7 =

8) 42 ÷ (–6) =

14) (–32) ÷ 8 =

3) 72 ÷ 8 =

9) 36 ÷ (–9) =

15) (–54) ÷ 6 =

4) 81 ÷ 9 =

10) 48 ÷ (–6) =

16) (–72) ÷ 9 =

5) 54 ÷ 6 =

11) 16 ÷ (–8) =

17) (–14) ÷ 2 =

6) 62 ÷ 2 =

12) 80 ÷ (–10) =

18) (–56) ÷ 4 =

154

Segundo grado – ciclo básico

D. Multiplica potencias con igual base. 1) 36 x 33 =

6) 114 x 113 =

11) 13 x 14 =

2) 45 x 46 =

7) 153 x 1511 =

12) 92 x 95 =

3) 72 x 74 =

8) 124 x 126 =

13) 22 x 22 =

4) 32 x 35 =

9) 148 x 146 =

14) 57 x 53 =

5) 62 x 64 =

15) 82 x 86 =

10) 105 x 102 =

E. Resuelve mentalmente los problemas siguientes. 1) De una caja que contiene una docena de bolígrafos, se vende media docena a 2 quetzales la unidad. ¿Cuántos bolígrafos quedan en la caja? 2) Una comerciante ha recibido 650 libras de fruta. Si por la mañana vende 230 libras y por la tarde 120, ¿cuánto vende en total? 3) Un ganadero que posee 749 yeguas y 327 caballos, vende 27 caballos. ¿Cuántas yeguas le quedan? 4) Tú vas conduciendo un bus por la ciudad. Llevas 22 pasajeros. En la primera parada suben 8 personas y bajan 6. En la siguiente entran 3 y bajan 7. En la última parada entran 7 y salen 2. ¿Cómo se llamaba el conductor?

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Reconozco la diferencia entre círculo y circunferencia.

Después de estudiar...

Identifico las características del círculo y la circunferencia Calculo medidas asociadas al círculo. Relaciono medidas de ángulos y lados de triángulos. Determino la congruencia y la semejanza entre triángulos. Encuentro medidas desconocidas utilizando el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras. Empleo el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras para resolver problemas. Opero multiplicaciones y divisiones respetando la ley de signos.

Unidad 7 – Matemática

155

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas, rellena el círculo que corresponde a la opción correcta. 1) ¿Cuál es el valor de pi cuando lo utilizamos en algún cálculo? A. 3.14

B. 1.43

C. 4.13

D. 4.23

2) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un círculo? A.

P = b x h

P = 2πr

P=4x

P = 2r

A = 2r2

A = πr2

3) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo? A.

A = πr

A = 2πr

Considera un círculo con un diámetro de 16 cm. 4) ¿Cuál es su perímetro? A. 50.24 cm

B. 100.48 cm

C. 401.92 cm

D. 25.12 cm

B. 200.96 cm2

C. 50.24 cm2

D. 25.12 cm2

C. proporcional

D. semejanza

5) ¿Cuál es su área? A. 803.84 cm2

6) En matemática, ¿qué significa congruencia? A. diferencia

B. igualdad

7) Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales, decimos que son triángulos son… A. congruentes

B. semejantes

C. iguales

D. proporcionales

Toma en cuenta las figuras siguientes y responde las preguntas de abajo.

40 8) ¿Cuál es el valor de x? A. 44.72

B. 34.64

C. 7.75

D. 20

B. 22.36

C. 5.47

D. 3.16

B. congruentes

C. iguales

D. ninguna de las anteriores

9) ¿Cuál es el valor de y? A. 17.32 10) Los triángulos son: A. semejantes

156

Segundo grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 7 – Matemática

157

Razones trigonométricas

unidad

¿Qué sabes del tema? La trigonometría se utilizó inicialmente para medir la altura de pirámides, trazar rutas marítimas, predecir eclipses y elaborar mapas de la Tierra. Hoy en día la trigonometría sigue cumpliendo la misma función de medir distancias, en disciplinas como la navegación aérea, arquitectura, ingeniería, medicina, astronomía, entre otras. Imagina un caso en el que la astronomía se apoye en la trigonometría.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Ángulo de elevación y ángulo de depresión

Taller de matemática • Razones trigonométricas básicas • Cálculo de razones trigonométricas • Aplicación de las razones trigonométricas

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas de triángulos rectángulos Aumenta tu velocidad de cálculo • Multiplicaciones, operaciones combinadas y porcentajes

Unidad 8 – Matemática

159

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

1. Utiliza las relaciones y propiedades entre diferentes patrones (algebraicos, geométricos y trigonométricos) en la representación de información y la resolución de problemas.

1.3 Calcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de las operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de las operaciones.

5. Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.

5.3 Selecciona la estrategia más apropiada a la resolución de problemas.

160

Segundo grado – ciclo básico

Actividades

Identificar los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Determinar el valor de las razones trigonométricas.

Calcular el lado desconocido de triángulos rectángulos.

Ejercitar el cálculo mental y las estimaciones.

Resolver problemas para desarrollar el pensamiento lógico.

Resolver problemas de triángulos rectángulos utilizando razones trigonométricas.

¡Prepárate para el recorrido! Ángulo de elevación y ángulo de depresión

ib arr r ión v i s va do e a d bser e n í o l del

Observador

ángulo de elevación

horizontal

ángulo de depresión

lín

ea d de e vi l o sió bs er v n de ad baj or o

La trigonometría es la rama de la matemática que ayuda a calcular distancias en forma indirecta, para ello utiliza las razones trigonométricas asociadas a un ángulo conocido. Para resolver un problema de este tipo, se mide el ángulo desde la horizontal hasta la recta de visión, cuando se ve la parte superior o inferior del objeto. Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar u objeto observado. Llamamos ángulo de elevación al ángulo formado entre la horizontal del observador y el lugar observado, cuando este está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto que el objeto observado, lo llamaremos ángulo de depresión. Identifica ambos ángulos en la figura de arriba.

¡A trabajar! Escribe dos ejemplos en los que apliques el ángulo de elevación y otros dos ejemplos en los que apliques el ángulo de depresión. 1)

Unidad 8 – Matemática

161

Taller de matemática Lados del triángulo rectángulo El teorema de Pitágoras nos sirvió para calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo. Este teorema nos ayuda a resolver muchos problemas de trigonometría, pero tiene una limitante: necesitamos conocer la medida de dos lados del triángulo para calcular la medida del tercero. Pero, ¿qué ocurre cuando conocemos solo la medida de un lado y un ángulo del triángulo? En este caso, es necesario aplicar las razones trigonométricas. Llamamos razones trigonométricas a una serie de relaciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo y su ángulo de referencia. Para comprender mejor estas relaciones, debemos tener claros los conceptos de hipotenusa, cateto adyacente y cateto opuesto. Fíjate.

Cateto adyacente: es el lado que está a la par de un ángulo determinado. Por ejemplo, en el triángulo de la derecha, el lado a es adyacente al ángulo β (beta) y el lado b es adyacente al ángulo α (alfa). Cateto opuesto: es el lado que está frente al ángulo. Por ejemplo, el cateto opuesto al ángulo α es a y el lado opuesto al ángulo β es b.

c α

La hipotenusa: es el lado c y está opuesta al ángulo recto.

Las relaciones o razones trigonométricas básicas son: seno, coseno y tangente, las estudiaremos en las páginas siguientes. ¡Un paso más! A partir de esta unidad identificaremos los ángulos con las letras griegas: α (alfa) y β (beta).

Ejercicio 1 Observa las medidas del triángulo rectángulo y completa cada enunciado con el valor correcto. 1) El cateto opuesto al ángulo α mide… 2) El cateto opuesto al ángulo β mide… 3) El cateto adyacente al ángulo α mide… 4) El cateto adyacente al ángulo β mide… 5) El lado opuesto al ángulo de 90º mide…

162

Segundo grado – ciclo básico

10 cm α 8 cm

β 6 cm

Razones trigonométricas básicas a. Seno de un ángulo (sen α) El seno de un ángulo establece la relación entre el ángulo conocido, el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se calcula con la fórmula:

sen α =

cateto opuesto hipotenusa

sen α = c

Se lee: el seno del ángulo alfa es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa.

b. Coseno de un ángulo (cos α) El coseno de un ángulo se define como la relación entre el ángulo conocido, el cateto adyacente y la hipotenusa.

cos α =

cateto adyacente hipotenusa

c b

cos α = c

Se lee: el coseno del ángulo alfa es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa.

c. Tangente de un ángulo (tan α) La tangente de un ángulo establece la relación entre dicho ángulo y los dos catetos de un triángulo rectángulo. En general, decimos que la tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto dividido entre el cateto adyacente.

cateto opuesto tan α = cateto adyacente

tan α =

a b

Se lee: la tangente del ángulo alfa es igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente.

Unidad 8 – Matemática

163

Practiquemos con unos ejemplos la ubicación de los lados y el valor de seno, coseno y tangente de un ángulo. Ejemplo del cálculo del seno: Observemos las medidas del triángulo rectángulo de la figura y determinemos el valor del seno de alfa (sen α).

α b = 16 cm

cateto opuesto a = 12 cm hipotenusa c = 20 cm

Escribimos la fórmula del seno.

sen α =

Sustituimos los valores.

sen α = 20 cm

Identificamos los lados.

c = 20 cm

a = 12 cm

cateto opuesto hipotenusa

12 cm

sen α = 0.6

Ejemplo del cálculo del coseno: Determinemos el valor del coseno de alfa (cos α), para el triángulo rectángulo con las medidas indicadas.

c = 5 cm α b = 3 cm

cateto adyacente b = 3 cm hipotenusa c = 5 cm

Escribimos la fórmula del coseno.

cos α =

Sustituimos los valores.

cos α = 5 cm

Identificamos los lados.

a = 4 cm

cateto adyacente hipotenusa

3 cm

cos α = 0.6

Ejemplo del cálculo de la tangente: Observemos las medidas del triángulo rectángulo y determinemos el valor de la tangente de alfa (tan α).

c = 15.62 cm α b = 10 cm

Identificamos los lados.

cateto opuesto a = 12 cm cateto adyacente b = 10 cm

Escribimos la fórmula de la tangente.

cateto opuesto tan α = cateto adyacente

Sustituimos los valores.

tan α = 10 cm

164

a = 12 cm

Segundo grado – ciclo básico

12 cm

tan α = 1.2

Cálculo de razones trigonométricas En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, contábamos con la medida de los lados para calcular las distintas razones trigonométricas. ¿Pero cómo calcularíamos esas razones si solo tenemos la medida del ángulo y de un lado? Si contamos con una calculadora científica, buscamos la función que nos piden, por ejemplo el seno, pulsamos la tecla "sin", introducimos el valor del ángulo, como aparece en la ilustración, y automáticamente nos dará la respuesta. Pero si no tenemos una calculadora científica, podemos trabajar con una tabla de razones trigonométricas que recoge los valores de seno, coseno y tangente para los ángulos de 0° a 90°. Encontrarás esta tabla en la última hoja de la unidad. Recórtala y recúbrela con plástico para protegerla. Hagamos un ejemplo: Calculemos la medida de la hipotenusa de un triángulo que tiene un ángulo de 30º y uno de sus lados mide 8 cm. Observa la figura y sigue los pasos.

a = 8 cm

α = 30º

Identificamos los catetos.

cateto opuesto a = 8 cm hipotenusa = c

Determinamos qué relación trigonométrica vamos a utilizar. En nuestro ejemplo, será la que relacione el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α =

cateto opuesto hipotenusa

sen α =

a c

Buscamos en la tabla el dato que corresponde al seno de 30°.

Sustituimos los valores.

ángulo

sen

cos

tan

30º

0.500

0.866

0.577

sen 30° =

8 cm c

0.5 =

Despejamos la variable c.

8 cm c

c • 0.5 = 8 cm 8 cm c = 0.5 c = 16 cm

La hipotenusa mide 16 centímetros.

Unidad 8 – Matemática

165

¡Otro ejemplo! Las relaciones trigonométricas también nos sirven para encontrar ángulos. Para el triángulo de la figura, hallemos el valor del ángulo α.

a = 2 cm α b = 4 cm

cateto opuesto a = 2 cm cateto adyacente b = 4 cm

Identificamos los catetos.

Determinamos qué relación trigonométrica vamos a utilizar. Será la que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan α =

cateto opuesto cateto adyacente

tan α =

a b 2 cm

Sustituimos los valores.

tan α = 4 cm

Resolvemos la división.

tan α = 0.5

Ubicamos la relación tangente en la tabla y localizamos el valor más cercano a 0.5.

ángulo

sen

cos

26º 27º 28º

0.438 0.454 0.470

tan

0.899 0.488 0.891 0.510 0.883 0.532

El valor del ángulo α es 27º.

Ejercicio 2 Calcula la medida del cateto opuesto del triángulo rectángulo, si el ángulo α mide 30º y la hipotenusa mide 50 cm. Observa la figura y sigue los pasos:

Identifica los lados.

cateto opuesto:

cateto adyacente:

hipotenusa: c =

50 cm 30º b

Determina qué relación trigonométrica debes utilizar. Será la que relacione el cateto opuesto y la hipotenusa.

Busca el dato de seno para 30º.

Sustituye los datos.

Despeja la variable.

= cateto opuesto hipotenusa sen 30º =

= a=

a =

166

El cateto opuesto mide

Segundo grado – ciclo básico

centímetros.

a 50 cm •

Aplicación de las razones trigonométricas Las razones trigonométricas se emplean con frecuencia en problemas de construcción, ingeniería y diseño. Por ejemplo, es necesario saber a qué altura debe elevarse una grúa o cuánto debe alzarse un puente. Veamos algunos problemas de aplicación. Un avión despega con un ángulo de elevación de 42º. ¿A qué altura ve pasar el avión un observador que se encuentra a 900 metros del punto de despegue? La ilustración nos puede ayudar a visualizar los datos del problema.

a 42º

b = 900 m

Identificamos los catetos. La altura que alcanza el avión representa el cateto opuesto y la distancia horizontal el cateto adyacente.

cateto opuesto a = ? cateto adyacente b = 900 m

Determinamos qué relación trigonométrica vamos a utilizar. Será la que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan α =

Buscamos en la tabla el valor de la tangente de 42º.

cateto opuesto cateto adyacente

a b

ángulo

sen

cos

tan

42º

0.669

0.743

0.900

Sustituimos los valores.

a 0.9 = 900 m

Despejamos la variable.

a = 0.9 • 900 m

a = 810 m

El avión se encuentra a 810 m de altura.

Unidad 8 – Matemática

167

Ejercicio 3 Aplica las razones trigonométricas que aprendiste. 1) Una escalera de 4.5 m de largo se encuentra apoyada en la parte superior de una pared y forma un ángulo de 60° con respecto al piso. ¿Cuál es la altura de la pared?

4.5 m

60º Identifica los lados.

cateto opuesto:

hipotenusa:

Determina la relación trigonométrica adecuada para resolver el problema. En este caso debes emplear la que relacione el cateto opuesto y la hipotenusa.

Sustituye los valores.

Despeja la incógnita x. x=

= c

4.5 m

La altura de la pared es

metros.

23º

2) Una persona situada a una altura de 687 m sobre el nivel del mar observa un barco con un ángulo de depresión de 23°. ¿A qué distancia de la orilla se encuentra el barco?

687 m a

Identifica los lados.

cateto opuesto:

cateto adyacente:

Determina la relación trigonométrica que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Sustituye los valores.

tan β = a

Despeja la incógnita a. a= a=

168

El barco se encuentra a

Segundo grado – ciclo básico

metros de la orilla.

Taller de prácticas Ejercicio 1 Clasifica los lados a y b, como cateto adyacente u opuesto de acuerdo al ángulo dado.

a α

a b

a b=

a= b=

Ejercicio 2 Utiliza tu tabla de valores de las funciones trigonométricas y determina el valor para los ángulos siguientes. 1) sen 45º =

6) sen 24º =

2) tan 28º =

7) tan 15º =

3) cos 55º =

8) cos 0º =

4) sen 16º =

9) sen 36º =

5) tan 0º =

10) cos 50º =

Unidad 8 – Matemática

169

Ejercicio 3 Observa las medidas de cada triángulo y encuentra el valor de las razones trigonométricas indicadas. 1)

β 18 m

β 5

21.6 m

12 m

sen α =

sen β =

sen α =

sen β =

cos α =

cos β =

cos α =

cos β =

tan α =

tan β =

tan α =

tan β =

β 20 cm α

10 cm

β 10

12.81 α

17.32 cm

sen α =

sen β =

sen α =

sen β =

cos α =

cos β =

cos α =

cos β =

tan α =

tan β =

tan α =

tan β =

Ejercicio 4 Utiliza las relaciones trigonométricas y calcula en tu cuaderno el valor del lado x en cada uno de los triángulos. 1)

50 m 30º

170

640 m

Segundo grado – ciclo básico

37º

24 m

45º

Ejercicio 5 En tu cuaderno, encuentra el valor de los lados indicados en los triángulos. Utiliza la función trigonométrica correspondiente. 1)

y 28º 9m

15 cm

y x

60º

30º

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Utiliza las razones trigonométricas para resolver los problemas siguientes. Toma dos decimales y aproxima donde sea posible. 1) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y tiene un ángulo de 30º. ¿Cuánto miden los catetos? 2) Un cable de soporte debe ser colocado en la parte superior de un poste de 8 m de alto y fijado en el suelo. ¿Qué cantidad de alambre se necesita para que forme un ángulo de 75º con el suelo? 3) El hilo de un barrilete mide 50 m de largo y forma un ángulo de 47º con la horizontal. ¿A qué altura se encuentra el barrilete? 4) Cuando los rayos de sol forman un ángulo de 35º con la horizontal, la sombra de un árbol mide 10 m. ¿Cuál es la altura del árbol? 5) Una persona asomada en lo alto de un edificio observa un automóvil estacionado, el ángulo de depresión es de 35º. Si la base del edificio se encuentra a 70 m del automóvil, ¿cuál es la altura del edificio?

6) Con las medidas indicadas en la figura, calcula el área del pentágono P×a regular. Recuerde que la fórmula del área es: A= 2

α = 36º

= 16 m

7) La parte superior de una escalera de 7 metros de largo está apoyada contra una pared. Si la base de la escalera forma un ángulo de 25º con el suelo, ¿a qué altura de la pared llega la escalera?

25º

Una carretera debe rodear un valle para abaratar los costes de construcción. Con las medidas indicadas en la ilustración, ¿cuál es la medida de la carretera al dar esa vuelta? Sugerencia: utiliza tus conocimientos sobre ángulos suplementarios.

120º

100 m

B. Resuelve el siguiente rompecocos.

150 m Unidad 8 – Matemática

100º

171

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Escribe en la línea el resultado de cada multiplicación. 1) 5 x 6 =

10) 8 x 4 =

19) 12 x 6 =

2) 9 x 4 =

11) 5 x 9 =

20) 30 x 4 =

3) 7 x 2 =

12) 2 x 3 =

21) 12 x 3 =

4) 6 x 3 =

13) 4 x 4 =

22) 25 x 4 =

5) 7 x 8 =

14) 8 x 5 =

23) 60 x 2 =

6) 0 x 6 =

15) 9 x 0 =

24) 20 x 5 =

7) 9 x 9 =

16) 3 x 7 =

25) 20 x 6 =

8) 8 x 6 =

17) 5 x 5 =

26) 15 x 4 =

9) 5 x 3 =

18) 2 x 9 =

27) 12 x 5 =

B. Escribe en la línea el resultado de las operaciones combinadas. 1) 5 x 5 + 8 =

10) 8 x 2 + 4 =

19) 6 x 1 + 9 =

2) 9 x 3 + 2 =

11) 9 x 4 + 2 =

20) 7 x 4 + 2 =

3) 6 x 9 + 5 =

12) 5 x 6 + 9 =

21) 2 x 2 + 6 =

4) 9 x 7 + 4 =

13) 7 x 3 + 5 =

22) 9 x 8 + 1 =

5) 8 x 5 + 9 =

14) 9 x 5 + 3 =

23) 4 x 5 + 8 =

6) 7 x 8 + 4 =

15) 7 x 9 + 7 =

24) 6 x 0 + 6 =

7) 5 x 2 + 8 =

16) 3 x 5 + 4 =

25) 9 x 2 + 9 =

8) 9 x 9 + 9 =

17) 8 x 8 + 3 =

26) 5 x 3 + 7 =

9) 3 x 7 + 0 =

18) 5 x 9 + 8 =

27) 1 x 9 + 6 =

C. Calcula el porcentaje de las cantidades siguientes. 1) 25 % de 8 =

6) 25 % de 16 =

11) 25 % de 36 =

2) 25 % de 4 =

7) 25 % de 28 =

12) 25 % de 44 =

3) 25 % de 12 =

8) 25 % de 32 =

13) 25 % de 48 =

4) 25 % de 60 =

9) 25 % de 20 =

14) 25 % de 80 =

5) 25 % de 24 =

10) 25 % de 40 =

15) 25 % de 100 =

172

Segundo grado – ciclo básico

D. Calcula el porcentaje de las cantidades siguientes. 1) 50 % de 20 =

8) 50 % de 38 =

15) 50 % de 118 =

2) 50 % de 10 =

9) 50 % de 56 =

16) 50 % de 121 =

3) 50 % de 24 =

10) 50 % de 34 =

17) 50 % de 126 =

4) 50 % de 16 =

11) 50 % de 72 =

18) 50 % de 132 =

5) 50 % de 30 =

12) 50 % de 92 =

19) 50 % de 141 =

6) 50 % de 42 =

13) 50 % de 102 =

20) 50 % de 152 =

7) 50 % de 74 =

14) 50 % de 114 =

21) 50 % de 164 =

E. Calcula el porcentaje de las cantidades siguientes. 1) 10 % de 20 =

8) 10 % de 90 =

15) 10 % de 45 =

2) 10 % de 10 =

9) 10 % de 15 =

16) 10 % de 61 =

3) 10 % de 40 =

10) 10 % de 25 =

17) 10 % de 74 =

4) 10 % de 70 =

11) 10 % de 75 =

18) 10 % de 46 =

5) 10 % de 80 =

12) 10 % de 18 =

19) 10 % de 92 =

6) 10 % de 30 =

13) 10 % de 26 =

20) 10 % de 77 =

7) 10 % de 60 =

14) 10 % de 33 =

21) 10 % de 89 =

Revisa tu aprendizaje

Después de estudiar...

Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Nombro los lados de un triángulo rectángulo de acuerdo a un ángulo de referencia. Relaciono los lados de un triángulo rectángulo con una razón trigonométrica. Calculo lados y ángulos desconocidos de triángulos rectángulos. Aplico las razones trigonométricas en la solución de problemas. Resuelvo operaciones combinadas y porcentajes con agilidad.

Unidad 8 – Matemática

173

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas rellena el círculo que corresponde a la opción correcta. Para responder las preguntas 1 a la 4 toma en cuenta el siguiente triángulo:

6 cm

10 cm

8 cm

1) Tomando el ángulo α como referencia, al lado que mide 6 cm se le llama… A. cateto adyacente

B. hipotenusa

C. cateto adjunto

D. cateto opuesto

C. hipotenusa

D. cateto opuesto

2) Al lado que mide 10 cm se le llama… A. cateto adjunto 3) La expresión A. seno 4) La expresión

B. cateto adyacente

cateto opuesto corresponde a la razón trigonométrica llamada… hipotenusa B. coseno C. cosecante

D. tangente

cateto opuesto corresponde a la razón trigonométrica llamada… cateto adyacente

A. cotangente

B. seno

C. tangente

D. coseno

5) El valor de sen α es... A.

8 6

6 10

8 6

C. 10

C. 0.686

D. 0.5

C. 26º

D. 27º

8 10

D. 10

6) El valor de tan α es... A. 6

6 10

7) El valor de sen 30º es… A. 0.005

B. 0.866

8) Si tan β = 0.488, entonces el valor del ángulo es... A. 24º

B. 25º

9) El hilo de un barrilete mide 100 m de largo y forma un ángulo de 50º con la horizontal. La altura a la que se encuentra el barrilete es... A. 72.8 m

B. 76.6 m

C. 78.4 m

D. 80.1 m

10) Cuando los rayos de sol forma un ángulo de 40º con la horizontal, la sombra de una persona es 2 m. La altura de la persona es... A. 1.56 m

174

Segundo grado – ciclo básico

B. 1.62 m

C. 1.68 m

D. 1.72 m

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 8 – Matemática

175

Tabla de valores trigonométricos para ángulos de 0º a 90º ángulo 0º 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 45º

seno 0.000 0.018 0.035 0.052 0.070 0.087 0.105 0.122 0.139 0.156 0.174 0.191 0.208 0.225 0.242 0.259 0.276 0.292 0.309 0.326 0.342 0.358 0.375 0.391 0.407 0.423 0.438 0.454 0.470 0.485 0.500 0.515 0.530 0.545 0.559 0.574 0.588 0.602 0.616 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 0.695 0.707

coseno 1.000 1.000 0.999 0.999 0.998 0.996 0.995 0.993 0.990 0.988 0.985 0.982 0.978 0.974 0.970 0.966 0.961 0.956 0.951 0.946 0.940 0.934 0.927 0.921 0.914 0.906 0.899 0.891 0.883 0.875 0.866 0.857 0.848 0.839 0.829 0.819 0.809 0.799 0.788 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 0.719 0.707

tangente 0.000 0.018 0.035 0.052 0.070 0.088 0.105 0.123 0.141 0.158 0.176 0.194 0.213 0.231 0.249 0.268 0.287 0.306 0.325 0.344 0.364 0.384 0.404 0.425 0.445 0.466 0.488 0.510 0.532 0.554 0.577 0.601 0.625 0.649 0.675 0.700 0.727 0.754 0.781 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 0.966 1.000

ángulo 46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º 90º

seno 0.719 0.731 0.743 0.755 0.766 0.777 0.788 0.799 0.809 0.819 0.829 0.839 0.848 0.857 0.866 0.875 0.883 0.891 0.899 0.906 0.914 0.921 0.927 0.934 0.940 0.946 0.951 0.956 0.961 0.966 0.970 0.974 0.978 0.982 0.985 0.988 0.990 0.993 0.995 0.996 0.998 0.999 0.999 1.000 1.000

coseno 0.695 0.682 0.669 0.656 0.643 0.629 0.616 0.602 0.588 0.574 0.559 0.545 0.530 0.515 0.500 0.485 0.470 0.454 0.438 0.423 0.407 0.391 0.375 0.358 0.342 0.326 0.309 0.292 0.276 0.259 0.242 0.225 0.208 0.191 0.174 0.156 0.139 0.122 0.105 0.087 0.070 0.052 0.035 0.018 0.000

tangente 1.036 1.072 1.111 1.150 1.192 1.235 1.280 1.327 1.376 1.428 1.483 1.540 1.600 1.664 1.732 1.804 1.881 1.963 2.050 2.145 2.246 2.356 2.475 2.605 2.747 2.904 3.078 3.271 3.487 3.732 4.011 4.331 4.705 5.145 5.671 6.314 7.115 8.144 9.514 11.430 14.300 19.081 28.640 57.289 Inf.

Unidad 8 – Matemática

177

Numeración maya

unidad

¿Qué sabes del tema? La civilización maya se desarrolló entre los años 1000 a.C. y 1687 d.C. El sistema de numeración que utilizaron los mayas al igual que nuestro sistema decimal es un sistema posicional. ¿Qué opinas sobre los adelantos en su numeración alcanzados por los mayas en aquellos tiempos remotos?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido! Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración

El taller de matemática • La numeración maya • Suma de números mayas • Resta de números mayas

Taller de prácticas Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Secuencias lógicas Aumenta tu velocidad de cálculo • Operaciones combinadas

Unidad 9 – Matemática

179

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

3. Convierte fracciones a decimales y viceversa al operar aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales que distingue de los irracionales.

3.1 Aplica la jerarquía de las operaciones.

5. Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.

5.2 Cálculo de operaciones en los sistemas vigesimal maya.

180

Segundo grado – ciclo básico

Actividades

Ejercitar el cálculo mental y las estimaciones.

Resolver problemas para desarrollar el pensamiento lógico.

Identificar los símbolos de la numeración maya.

Convertir números mayas a decimales y viceversa.

Resolver sumas y restas con números mayas.

¡Prepárate para el recorrido! Un viaje por el mundo con los sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos, regido por ciertas normas, que sirve para contar y realizar operaciones aritméticas. A lo largo de la historia, muchas civilizaciones han creado distintos sistemas de numeración. Veamos algunos: Los romanos utilizaban un sistema de numeración representado por letras. Hoy en día todavía se emplea para numerar los capítulos de los libros, partes o secciones de leyes, documentos, etc. I

V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Los egipcios se valían de un sistema de numeración a base de jeroglíficos; es decir, símbolos o figuras que representaban cantidades.

100

1000

10 000

100 000

1 000 000

La numeración china también se basaba en la escritura jeroglífica. Data aproximadamente del año 1500 a.C.

¡A trabajar! Escribe el símbolo que utilizó cada civilización para representar el número del sistema decimal que se indica. sistema decimal

civilización

3 10

símbolo

sistema decimal

civilización

romana

egipcia

china

símbolo

Unidad 9 – Matemática

181

Taller de matemática La numeración maya La matemática maya se basa en un sistema vigesimal. Esto quiere decir que las unidades que van formando las diferentes cifras se toman en grupos de veinte. ¿Sabías que el número 20 tiene un significado muy profundo en la cultura maya y que está estrechamente relacionado con la persona humana? Presta atención:

En varios idiomas mayas, 20 se dice igual que persona: Jun winaq, en K’iche’. Hun winic, en Yucateco. Hach winik en Lacandón.

La suma de todos los dedos de las manos de los gemelos Junajpu y Xbalamke, héroes del Popol Wuj, es 20.

Cuando una mujer y un hombre se abrazan para crear vida, la suma de los dedos de sus manos es 20.

Si multiplicamos nuestras cuatro extremidades por los cinco dedos que tiene cada una, obtenemos el número 20.

Símbolos de la numeración maya El sistema decimal se compone de diez signos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sin embargo, los mayas utilizaban solo tres y los reunían en grupos de veinte. Los símbolos utilizados por el sistema de numeración maya son:

La concha o caparazón representa el cero.

El punto representa el uno.

La barra horizontal representa el cinco.

= = 1 = 5 =

0 1 5

Números del 0 al 19 El sistema de numeración maya es aditivo, es decir, se suman los valores de los símbolos para obtener otro número. Se rige por dos reglas muy sencillas:

El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una barra.

La barra no se repite más de 3 veces.

Observa con atención los números del 0 al 19 en numeración maya:

182

(

)

Segundo grado – ciclo básico

Ejercicio 1 A. Escribe los tres signos del sistema de numeración maya. 1)

cero

2) 3) uno

cinco

B. Escribe en numeración maya los siguientes números del sistema decimal. 1) 6 =

7) 8 =

2) 15 =

8) 17 =

3) 5 =

9) 19 =

4) 13 =

10) 11 =

5) 10 =

11) 4 =

6) 16 =

12) 9 =

C. Escribe los números mayas en números del sistema decimal. 1) 9 =

7) % =

2) = =

8) 2 =

3) 3 =

4) 5 =

10)

5) $ =

11) 6 =

6) 1 =

12) ) =

D. Responde las preguntas siguientes. 1) ¿Por qué el sistema de numeración maya es vigesimal? 2) ¿Por qué nuestro sistema de numeración es decimal? 3) ¿Qué tiene en común los sistemas de numeración maya y decimal?

Unidad 9 – Matemática

183

Números mayores de 19 El sistema de numeración maya, además de ser aditivo, es posicional. Esto quiere decir que el valor de un número depende de la posición que ocupa. En el sistema decimal, el valor de un número varía de acuerdo a su posición horizontal. Un número puede estar en la posición de las unidades, decenas, centenas, etc. Fíjate, en el ejemplo, el valor posicional de las cifras que componen el número 258.

C 102 = 100

D 101 = 10

U 100 = 1

2 x 100

5 x 10

8 x 1

= 258

El valor de un número en el sistema de numeración maya depende de su posición vertical. Estas posiciones siguen el orden de abajo hacia arriba. La tabla siguiente muestra los valores posicionales hasta la quinta posición. El sistema vigesimal utiliza potencias de base 20 para la numeración. El sistema decimal, potencias de base 10.

Quinta posición, de 160 000 a 3 199 999.

posición valor posicional 5

204 = 160 000

Cuarta posición, de 8000 a 159 999.

203 = 8000

Tercera posición, de 400 a 7999.

202 = 400

201 = 20

200= 1

Segunda posición, de 20 a 399. Primera posición, las unidades de 0 a 19.

Conversión del sistema decimal a numeración maya Es posible pasar cantidades pequeñas del sistema decimal a numeración maya por simple inspección. Depende de tu capacidad de cálculo mental y tu agilidad para contar de 20 en 20. Hagamos la prueba con unos ejemplos. Escribamos el número 200 en numeración maya. 200 = 200 + 0 ( 10 veintenas y 0 unidades). 10 veintenas, dos barras en la segunda posición. 0 unidades en la primera posición.

0 =

Escribamos el número 25 en numeración maya.

25 = 20 + 5 (1 veintena y 5 unidades). 1 veintena, un punto en la segunda posición. 5 unidades, una barra en la primera posición.

1 5

Escribamos el número 56 en numeración maya.

184

56 = 40 + 16 (2 veintenas y 16 unidades). 2 veintenas, dos puntos en la segunda posición. 16 unidades en la primera posición.

Segundo grado – ciclo básico

2 &

Otra forma de transcribir un número del sistema decimal a numeración maya es a base de divisiones sucesivas. Para convertir cantidades grandes del sistema decimal a numeración maya, dividimos la cantidad entre el máximo valor posicional posible, de manera que obtengamos un número entero en el cociente. Cada residuo lo dividimos entre el valor posicional inferior a la división anterior, hasta llegar a un residuo menor o igual a 19. Veamos ejemplo: Escribamos el número 956 en numeración maya.

Dividimos 956 entre el valor posicional del nivel máximo posible, en este caso 400. Escribimos el cociente 2 en numeración maya, en ese nivel.

2 400 956 –800 156

400

Dividimos el residuo 156 entre el valor posicional del nivel inferior, 20, escribimos el cociente 7 en numeración maya, en el segundo nivel.

7 20 156 –140 16

400

20 1

2 7

2 7 &

3 400 1340 –1200 140

400

7 20 140 –140 00

400

Escribimos el residuo 16. Como es menor que 19 lo trasladamos al primer nivel, en la posición de las unidades.

Un ejemplo más: Escribamos el número 1340 en numeración maya. Dividimos 1340 entre el valor posicional máximo posible, 400, escribimos el cociente 3 en numeración maya, en ese nivel.

Dividimos el residuo 140 entre el valor posicional del nivel inferior, 20, escribimos el cociente 7 en numeración maya, en ese nivel.

Escribimos el residuo 0 en la posición de las unidades.

20 1

2 7

1 400 20 1

2 7 =

Unidad 9 – Matemática

185

Conversión de numeración maya al sistema decimal Ahora se trata de convertir una cantidad escrita en numeración maya al sistema decimal. Este proceso es contrario al anterior, si conocemos los valores posicionales, resultará muy sencillo. Para hacer esta conversión, debemos realizar dos pasos muy simples.

Multiplicamos el valor posicional por el número decimal que representa la cifra maya.

Sumamos los resultados.

Veamos dos ejemplos:

2 8 $

5 = 2

400 x 2 = 800 20 x 8 = 160 1 x 14 = 14 974

400 x 5 = 2000 20 x 0 =

1x2=

2 2002

Ejercicio 2 A. Convierte los números del sistema decimal a numeración maya. Recuerda la posición de cada cantidad. 1) 900

3) 320

2) 645

4) 1967

B. Convierte los números mayas al sistema decimal. 1)

186

7 =

= +

Segundo grado – ciclo básico

9 4 $

= +

Suma con números mayas Con la numeración maya se pueden realizar las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. En esta unidad aprenderemos a sumar y restar. Para sumar con números mayas debemos seguir estos pasos:

Escribir los sumandos en una tabla en su posición correspondiente.

Sumar símbolos iguales, desde la primera posición hacia arriba.

Realizar las transformaciones necesarias: cinco puntos forman una barra; cuatro barras forman un punto en la posición inmediata superior.

Veamos los ejemplos siguientes:

Sumemos

Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números en la cuarta columna.

Sumemos

Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números en la cuarta columna.

Cinco puntos se transforman en una barra y copiamos los tres puntos restantes.

5 3 5

6 0 &

3 4 4 4

Sumemos

20 1

4 4 % 400

Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números de cada posición.

20 1

Las cuatro barras del primer nivel se transforman en un punto que sube al segundo nivel. Los cinco puntos del segundo nivel se convierten en una barra, en la misma posición. La posición que queda vacía se completa con el cero.

400 20 1

5 4 9 2 3 4 4 5 % 9 8 = Unidad 9 – Matemática

187

Ejercicio 3 Determina el resultado de sumar los siguientes números mayas. 1)

2 7

6 9

20 1 20 1

8 "

6 4

20 1 20 1

6 % 8

2 6 2

400 20 1 400 20 1

3 7 %

5 1 0

400 20 1 400 20 1

188

Segundo grado – ciclo básico

Resta con números mayas El sentido de la resta es quitar o diferenciar una cantidad menor de otra mayor. El procedimiento para restar en numeración maya es el siguiente.

Escribir en una tabla el minuendo y el sustraendo.

Restar símbolos iguales en cada posición, de abajo hacia arriba.

Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, hay que transformar una barra en cinco puntos.

Ejemplo: Restemos

–

Escribimos minuendo y sustraendo en una tabla y restamos números iguales en ambas partes.

Escribimos en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

20 1

9 7 2

Otro ejemplo: Veamos qué ocurre cuando la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo. Restemos

7 0

–

3 4

Escribimos minuendo y sustraendo en la tabla. Hay que transformar en los dos niveles una barra en cinco puntos para restar. Escribimos los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

20 1

3 4 4 6

Un ejemplo más: Restemos

8 /

–

7 %

Escribimos minuendo y sustraendo en una tabla y restamos números iguales en ambas partes.

Escribimos los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

20 1

8 7 1 / % 2 Unidad 9 – Matemática

189

Ejercicio 5 Resuelve las restas de números mayas. 1)

2 )

–

1 !

–

1 4

) %

–

7 !

$ 0

7 4

–

$ 0

8 6

–

% 6

8 4

–

2 5

20 1

Practica en la red www.youtube.com/watch?v=CslTdHW88iA En esta dirección podrás repasar cómo expresar números mayas en números decimales y viceversa.

190

Segundo grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 Convierte cada número del sistema decimal a numeración maya o viceversa. decimal

maya

maya decimal

Ejercicio 2 A. En tu cuaderno, convierte los números del sistema decimal a numeración maya. 1) 500

5) 120

2) 934

6) 1500

3) 3685

7) 8397

4) 25369

8) 65394

B. En tu cuaderno, convierte los números mayas al sistema decimal. 1)

0 4

1 7 4

2 4 $

7 " 9

4 8 )

9 8 =

0 % =

0 = 9

4 8 % 9

10)

0 = $ 8

11)

8 0 = &

Unidad 9 – Matemática

191

Ejercicio 3 A. Realiza las sumas con números mayas. 1)

2 0

9 6

1 9 =

4 & 5

7 %

1 % 2

2 6 5

$ #

–

9 6

/ 5

–

9 =

–

4 1 3

8 !

B. Realiza las restas con números mayas. 1)

192

1 8

–

% $

! 8

–

0 7 1

% 8 5

Segundo grado – ciclo básico

6 7 5

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve el siguiente reto. Los números en Babilonia.

Hace miles de años, los habitantes de Babilonia desarrollaron un sistema para contar, considerado como el primer sistema de numeración posicional. Es decir, el valor de un dígito particular está determinado por su posición en el número que se quiere representar.

Los símbolos que utilizaron eran muy parecidos a los que se muestran el siguiente cuadro. 1

Podemos escribir fracciones con estos símbolos, como vemos a continuación. El reto que te proponemos es traducir las fracciones babilónicas al sistema decimal y reducir cada fracción a su mínima expresión. Guíate por el ejemplo.

Fracción babilonica

Fracción decimal

6 = 3 8 4

B. Resuelve las siguientes secuencias lógicas. 1)

Unidad 9 – Matemática

193

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Realiza las operaciones combinadas de multiplicación y suma, escribe la respuesta sobre la línea. Recuerda la jerarquía de las operaciones. 1) 9 x 2 + 8 =

7) 4 + 6 x 5 =

2) 4 x 9 + 4 =

8) 7 + 5 x 3 =

3) 2 x 8 + 9 =

9) 2 + 6 x 10 =

4) 1 x 9 + 4 =

10) 6 + 7 x 10 =

5) 5 x 4 + 3 =

11) 0 + 3 x 11 =

6) 6 x 8 + 2 =

12) 15 + 3 x 5 =

B. Encuentra el número que completa la operación. 1) 2 x 3 +

= 16

8) 6 x 7 +

= 42

2) 4 x 5 +

= 28

9) 3 x 8 +

= 30

3) 1 x 9 +

= 15

10) 1 x 9 +

= 20

4) 8 x 8 +

= 74

11) 2 x 3 +

= 10

5) 7 x 3 +

= 30

12) 5 x 7 +

= 50

6) 9 x 9 +

= 90

13) 8 x 7 +

= 66

7) 6 x 9 +

= 60

14) 5 x 9 +

= 54

C. Encuentra el número que completa la operación. 1) 4 x 2 –

= 5

8) 8 x 3 –

= 20

2) 3 x 7 –

= 20

9) 5 x 5 –

= 12

3) 8 x 2 –

= 6

10) 2 x 9 –

= 14

4) 5 x 9 –

= 40

11) 6 x 7 –

= 40

5) 6 x 6 –

= 16

12) 3 x 11 –

= 30

6) 7 x 2 –

= 4

13) 1 x 99 –

= 99

7) 5 x 5 –

= 20

14) 6 x 10 –

= 40

194

Segundo grado – ciclo básico

D. Encuentra el número que completa la operación. 1) 20 ÷ 2 + 6 =

11) 28 – 6 ÷ 2

2) 32 ÷ 8 + 5 =

12) 48 – 8 ÷ 4

3) 72 ÷ 9 + 8 =

13) 96 – 6 ÷ 5

4) 21 ÷ 7 + 7 =

14) 49 – 3 ÷ 2

5) 99 ÷ 3 + 2 =

15) 56 – 8 ÷ 6

6) 88 ÷ 2 + 5 =

16) 100 – 25 ÷ 2 =

7) 60 ÷ 15 + 8 =

17) 112 – 90 ÷ 2 =

8) 36 ÷ 12 + 9 =

18) 125 – 60 ÷ 5 =

9) 20 ÷ 10 + 6 =

19) 440 – 20 ÷ 7 =

10) 50 ÷ 25 + 15 =

20) 954 – 54 ÷ 9 =

Revisa tu aprendizaje Después de estudiar...

Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Reconozco los símbolos de la numeración maya, su regla aditiva y posicional. Convierto números del sistema decimal a numeración maya y viceversa. Sumo y resto diferentes cantidades en numeración maya. Resuelvo operaciones combinadas con agilidad y exactitud.

Unidad 9 – Matemática

195

¡Ponte a prueba! MATE GRAD-A

Evaluación corta de Matemáticas

EVALUACIÓN CORTA DE MATEMÁTICAS

Graduandos

FORMA MATE GRAD-A INSTRUCCIONES: 1. Use este folleto para practicar. 2. Lea cada pregunta o enunciado así como las cuatro posibles respuestas u opciones que la completan. 3. Seleccione la correcta. Solamente una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta.

EJEMPLOS: A. Sume 2.3 + 5.1 + 4.7 =

a) 12.1 b) 11.1 c) 1.21 d) 1.11

B. En la expresión 2x - 4 = 6, ¿cuál es el valor de x? a) b) c) d)

196

-1 1 2 5

Segundo grado – ciclo básico

-DIGEDUCA-

Material gratuito para uso didáctico

MATE GRAD-A

Evaluación corta de Matemáticas Instrucciones: resuelva los siguientes ejercicios. Los dibujos NO están a escala. 1. ¿Qué parte del total representa la parte sombreada? a) 13/48

c) 13/12

b) 1/3

d) 25/12

2. Encuentre el valor de 11x si: a) 3

c) 33

b) 19

d) 35

3. Tomamos el intervalo

, lo dividimos en tres y pintamos el tercio de en

medio. Nos quedan dos tercios sin pintar

, con cada uno de estos

dos intervalos repetimos el procedimiento: lo dividimos en tres y pintamos el tercio de en medio.

1/9

2/9

1/3

2/3

7/9

8/9

¿Cuánto mide lo que no está pintado? a) 1/9

4/9

b) 2/9

d) 20/9

4. Un árbol está sembrado frente a un poste de electricidad de 6 metros de altura. Debido a la inclinación de los rayos del sol, el poste hace una sombra sobre el suelo de 8 metros de largo, mientras que la sombra del árbol es de 2.4 metros de largo. ¿Cuál es la altura del árbol en metros? a) 20.00 metros b) 3.20 metros

-DIGEDUCA-

c) d)

1.80 metros 0.40 metros

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Unidad 9 – Matemática

197

Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-A

5. Un pizarrón de 250 cm de largo y 80 centímetros de altura tiene una cuadrícula de 2.5 centímetros por lado, ¿de cuántos cuadros consta el pizarrón? a) 132 b) 1,032

c) 3,200 d) 32,000

6. Si AC = BC, DE es perpendicular con AB y BC no es perpendicular con AD, entonces el valor del ángulo x es:

a) b) c) d)

43º 47º 86º 94º

7. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión: 17 – 5{3(22 – 6) –12}+4? a) − 212 b) − 159

c) − 69 d) 111

8. En la fórmula x 2 + 3 = 2x + y , si x=−4 ¿cuál es el valor de y ? a) − 5 b) 3

c) 19 d) 27

, entonces el valor de x+1 es igual a:

9. Si a) – 15/14

c) 15/14

d) 11/10

13/14

-DIGEDUCA-

198

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Segundo grado – ciclo básico

MATE GRAD-A

Evaluación corta de Matemáticas

10.Una persona tiene dos ofertas de trabajo como vendedor de aparatos eléctricos. Un distribuidor le paga Q1, 000.00 mensuales más una comisión del 15% de las ventas que haga. Otro distribuidor le paga Q600.00 mensuales más un 20% de comisión. La ecuación que resuelve el problema de cuál es el total de ventas que debe lograr esta persona para obtener los mismos ingresos en ambos trabajos es: a) 1,000+15x = 600+20

c) 1,000+0.15x = 600+0.2x

b) 15(1000+x) = 20(600+x)

d) 1,000+1.5x = 600+2x

11.¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta? a) b)

(− 2)3 (− 2)2 = 2 6 (− 2)3 (− 2)2 = (− 2)5

c) d)

(− 2)3 (− 2)2 (− 2)3 (− 2)2

= 45

= 25

12.¿Cuál de las siguientes operaciones está correcta?

( )

a) 5 2

( )

= 55

c) 5 2

b) 5 3 ⋅ 5 4 = 25 7

= 56

d) 5 3 + 5 4 = 5 7

(

13.El valor numérico de 25 + 3 42 − 32 a) − 2,393 b) − 1,193

)

{

( )} es:

− 5 62 − 5 32 c) − 197 d) 87

14. Carolina y Juan fueron a la tienda y entre los dos se gastaron Q15.00. Carolina gastó Q3.20 más que Juan. ¿Cuánto gastó Juan? a) Q11.80

c) Q7.50

b) Q9.10

d) Q5.90

-DIGEDUCA-

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Unidad 9 – Matemática

199

Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-A

15.Para pintar su casa, la familia Morales desea preparar 12 cubetas de pintura especial que lleva verde, blanco y azul, de tal manera que por cada cubeta de pintura especial, se usa un litro de pintura azul y por cada litro de azul, se utilizan 2 de verde y por cada 2 litros de verde, se gastan 3 litros de pintura blanca. Si cada litro de pintura de color cuesta Q15.50 y cada litro de blanca cuesta Q12.00, ¿cuál es el costo total que deben gastar para preparar las 12 cubetas de pintura especial? a) Q186.00 b) Q432.00

c) Q558.00 d) Q990.00

16.Un ingeniero contrata a las empresas M y N para extraer 4500 m3 de tierra de un pozo. La empresa M extrae 50 m3 de tierra por día y la empresa N extrae 25 m3 diarios. Cuando las empresas terminen el trabajo, ¿cuántos m3 de tierra habrá extraído la empresa N? a) 75 m3 b) 1,500 m3

c) 2,250 m3 d) 3,000 m3

17.Una camioneta pesa 1,215 libras. En su recorrido, la camioneta pesa 7,515 libras con todos sus pasajeros a bordo. Si en promedio cada pasajero pesa 150 libras, ¿cuántos pasajeros van en la camioneta? a) 42 b) 50

c) 58 d) 150

18.El resultado de efectuar 5x − x 5x − 3x ( x − 8 ) − 11 + 3 es: 2

a) 3x3 + 3x + 3 3 b) – 2x + 21x2 - 11x + 3

c) 3x3 – 24x2 +11x + 3 d) – 76x3 – 12x4 – 44x2 + 3

19.Deseo encontrar un número que al sumarle su doble, me dé 210. ¿Cuál es la ecuación que resuelve este problema? a) x + 2 = 210 b) x + 2x = 210

c) 2x – x = 210 d) x + 2 + x = 210

Segundo grado – cicloMaterial básico gratuito para uso didáctico -DIGEDUCA200

MATE GRAD-A

Evaluación corta de Matemáticas

20. Si M x N = 0 y M = 10, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a N? a) N es mayor que cero b) N es un número negativo

c) N es igual a 0 d) N es el recíproco de M

Nota: las respuestas correctas de esta prueba las encontrará con el nombre de “Solución de la evaluación corta de Matemáticas forma GRAD-A” en la página web http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/.

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6 Unidad 9 – Matemática

201

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. a.

2. a.

3. a.

4. a.

5. a.

6. a.

7. a.

8. a.

9. a.

10. a.

11. a.

12. a.

13. a.

14. a.

15. a.

16. a.

17. a.

18. a.

19. a.

20. a.

Unidad 9 – Matemática

203

Bibliografía INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2014). Matemática. Tomo 7. Grupo Quiriguá. Primer y segundo semestre. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2012). Matemática. Tomo 8. Grupo Utatlán. Primer y segundo semestre. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2013). Matemática. Tomo 9. Grupo Zaculeu. Primer y segundo semestre. Guatemala: IGER. REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. (2003). Diccionario de la lengua española. Madrid: Espasa Calpe.

Páginas web consultadas Diccionario de la Real Academia Española: http://goo.gl/KUUuR Diccionario panhispánico de dudas: http://goo.gl/hhr94c Fundación del Español Urgente (Fundéu): http://goo.gl/LOZoSv Juegos de lógica y estrategia: http://goo.gl/B0gYFw Psicoactiva. El juego de los sombreros. Recuperado el 14 de mayo de 2015 de http://goo.gl/ xR4D3A Recursos de educación y matemáticas: http://goo.gl/eV1Sh7 Vídeos, apuntes, ejercicios resueltos de matemáticas. http://goo.gl/euAEh Verne. (14 de abril de 2015). El cumpleaños de Cheryl: el problema de lógica que fríe neuronas en internet. El País. Recuperado el 14 de mayo de 2015 de http://goo.gl/OWiEkd

Bibliografía – Matemática

205

2º Básico Matemática

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