1º Básico Matemática by espaciosinnovadores

Matemática 1.° Básico Directora de la colección: Guillermina Herrera Peña

Maestra de educación primaria, Licenciada en letras y filosofía, Lingüista e Investigadora Lingüista. Miembro de Número de la Academia Guatemalteca de la Lengua Española, miembro de la comisión para la creación de la Academia de las Lenguas Mayas de Guatemala. Escritora y autora de libros de diferentes temas. Columnista en periódicos de Guatemala y colaboradora en publicaciones especializadas en lingüística, español, lenguas mayas, educación intercultural bilingüe, feminismo, equidad de género, literatura, filosofía y políticas públicas y política y planificación lingüística. Autora de peritajes lingüísticos para litigios de orden civil y litigios estratégicos.

ISBN 9789929614345 Reimpresión 2020 Impreso en IGER Talleres Gráficos

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibido la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización de Asec Ediciones. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Ediciones ASEC, de la Asociación de Servicios Educativos y Culturales, ofrece al sistema educativo guatemalteco su Programa Logos, una colección de textos escolares cuyas características proveen a los estudiantes de contenidos educativos de calidad, pertinentes, actualizados y que responden al Currículum Nacional Base promovido por el Ministerio de Educación. El nombre de nuestro programa editorial refiere al concepto logos (del griego λóγος) en su significado más amplio: inteligencia, pensamiento y sentido, desde una visión integral que permitirá a los estudiantes identificar, interpretar, argumentar y resolver problemas del contexto con propiedad y ética desde el saber ser, el saber hacer y el saber conocer. Programa Logos se adhiere al Currículum Nacional Base buscando el desarrollo de competencias. En este horizonte, nuestros textos procuran aprendizajes que desarrollan capacidades basadas en conocimientos, habilidades, destrezas, carácter y valores para ayudar a los estudiantes a enfrentar adecuadamente sus interacciones en los ámbitos personal y social, mediante procesos de reflexión crítica y de adaptaciones creativas a nuevas situaciones de la vida. Siguiendo estos lineamientos, nuestros contenidos educativos permiten a los jóvenes estudiantes aprendizajes para comprender el mundo en el que se desenvuelven, así como para usar su creatividad para transformarlo de manera positiva. Nuestros textos han sido diseñados para promover un aprendizaje significativo. Buscan que el estudiante construya conocimientos a partir de los que ya posee o al relacionar los nuevos con otros que domina previamente. Asimismo, han sido diseñados para que los estudiantes se sientan dispuestos favorablemente a llevar a cabo la construcción creativa y armónica de su desarrollo educativo. Con nuestros textos fomentamos la autodisciplina, la autorregulación de los aprendizajes y la metacognición. Apostamos por la evaluación formativa, que informa de los logros y advierte de las dificultades permitiendo la búsqueda de nuevas estrategias de aprendizaje. Para las materias evaluadas periódicamente por el Ministerio de Educación, incorporamos las pruebas liberadas correspondientes, de modo que los estudiantes puedan prepararse mejor. Ediciones ASEC respalda sus textos escolares en su equipo de autoría, mediación pedagógica y diseño, formado por profesionales especializados en cada materia y con larga y productiva experiencia en la elaboración de materiales educativos. Programa Logos es una apuesta nacional por la calidad de la educación. Nuestro fin es ofrecer textos accesibles, de la mejor calidad académica, que doten a estudiantes y profesores de una herramienta imprescindible para allanar el camino de la juventud guatemalteca en la maravillosa tarea de su superación. En Ediciones ASEC estamos convencidos de que la educación es la base del desarrollo.

Índice Índice ..............................................................................................................................................................................................

Presentación ............................................................................................................................................................................... VII

Unidad 1 Introducción a la lógica.....................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! Prueba tu ingenio.......................................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... La lógica........................................................................................................................................................................................... Las proposiciones y su representación................................................................................................................................ Proposiciones verdaderas y falsas......................................................................................................................................... Negación de proposiciones..................................................................................................................................................... Clasificación de las proposiciones......................................................................................................................................... Proposición simple cerrada...................................................................................................................................................... Proposición simple abierta....................................................................................................................................................... Proposición compuesta............................................................................................................................................................. Conjuntos........................................................................................................................................................................................ Clases de conjuntos.................................................................................................................................................................... Representación de conjuntos.................................................................................................................................................. Relaciones entre conjuntos...................................................................................................................................................... Operaciones con conjuntos..................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 7 7 9 11 13 16 18 19 21

Unidad 2 Los números naturales........................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo nacieron los números?.................................................................................. Taller de matemática............................................................................................................................................................... Los números naturales............................................................................................................................................................... Características de los números naturales........................................................................................................................... Representación de los números naturales sobre la semirrecta numérica............................................................. Comparación y orden de los números naturales............................................................................................................ Operaciones en el conjuntos de los números naturales y sus propiedades........................................................ Suma de números naturales.................................................................................................................................................... Resta de números naturales.................................................................................................................................................... Multiplicación o producto de números naturales........................................................................................................... División de números naturales...............................................................................................................................................

27 28 28 28 28 29 31 31 31 32 33

Índice – Matemática

Potenciación de números naturales..................................................................................................................................... ¿Cómo se leen las potencias?................................................................................................................................................. Desarrollo de una potencia...................................................................................................................................................... Reglas de la potenciación......................................................................................................................................................... Producto y división de potencias........................................................................................................................................... Radicación de números naturales......................................................................................................................................... Cálculo de la raíz cuadrada exacta........................................................................................................................................ Procedimiento para extraer raíces cuadradas de cantidades grandes................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

34 34 34 35 35 37 37 38 40 43 44 46

Unidad 3 Teoría de los números..........................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! Pitágoras........................................................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Múltiplos de un número natural............................................................................................................................................ Propiedades de los múltiplos de números naturales.................................................................................................... Divisores de un número natural............................................................................................................................................. Propiedades de los divisores de números naturales...................................................................................................... Criterios de divisibilidad de los números naturales........................................................................................................ Números primos........................................................................................................................................................................... Números compuestos................................................................................................................................................................ Factorización de números compuestos en factores primos........................................................................................ Múltiplos comunes...................................................................................................................................................................... Mínimo común múltiplo........................................................................................................................................................... Problemas que se resuelven aplicando el mcm............................................................................................................... Divisores comunes....................................................................................................................................................................... Máximo común divisor.............................................................................................................................................................. Problemas que se resuelven calculando el Mcd.............................................................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

51 52 52 54 55 56 57 59 59 60 61 62 63 65 66 67 69 72 73 76

Primer grado – ciclo básico

Unidad 4 Los números enteros..............................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido! Desde la cima hasta el abismo................................................................................. 81 Taller de matemática............................................................................................................................................................... 82 El conjunto de los números enteros..................................................................................................................................... 82 Representación en la recta numérica................................................................................................................................... 82 Valor absoluto de un número entero................................................................................................................................... 83 Orden y comparación de los números enteros................................................................................................................ 83 Utilidad de los números enteros............................................................................................................................................ 85 Operaciones en el conjunto de los números enteros.................................................................................................... 86 Suma de números enteros....................................................................................................................................................... 86 Resta de números enteros........................................................................................................................................................ 87 Producto de números enteros................................................................................................................................................ 89 División de números enteros................................................................................................................................................... 90 Potenciación de números enteros......................................................................................................................................... 91 Reglas de potenciación de números enteros.................................................................................................................... 91 Propiedades de la potenciación............................................................................................................................................. 91 Radicación de números enteros............................................................................................................................................. 92 Reglas de radicación................................................................................................................................................................... 92 Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones.................................................................................................. 93 Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... 94 Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... 97 Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... 98 ¡Ponte a prueba!......................................................................................................................................................................... 100

Unidad 5 Los números racionales......................................................................................................................................

103

¡Prepárate para el recorrido! Leonardo Fibonacci........................................................................................................ Taller de matemática............................................................................................................................................................... El conjunto de los números racionales................................................................................................................................ Las fracciones o números fraccionarios.............................................................................................................................. Lectura y escritura de fracciones........................................................................................................................................... Representación gráfica de fracciones.................................................................................................................................. Clases de fracciones.................................................................................................................................................................... Números mixtos: un caso especial de fracciones impropias...................................................................................... Fracciones equivalentes............................................................................................................................................................. Suma y resta de fracciones...................................................................................................................................................... Suma y resta de fracciones de igual denominador........................................................................................................ Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador........................................................................... Suma y resta de fracciones de diferente denominador................................................................................................ Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador..................................................... Operaciones combinadas......................................................................................................................................................... Multiplicación de fracciones.................................................................................................................................................... División de fracciones................................................................................................................................................................ Potencia de una fracción...........................................................................................................................................................

105 106 106 106 107 107 109 110 111 113 113 113 115 116 117 118 118 120

Índice – Matemática

III

Reglas de la potenciación......................................................................................................................................................... Operaciones combinadas con fracciones........................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

120 121 122 125 126 128

Unidad 6 Los números decimales......................................................................................................................................

131

¡Prepárate para el recorrido! Sistema de numeración decimal............................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Fracciones decimales y números decimales...................................................................................................................... Lectura y escritura de números decimales......................................................................................................................... Suma y resta de números decimales.................................................................................................................................... Suma de números decimales en forma vertical............................................................................................................... Resta de números decimales................................................................................................................................................... Multiplicación de números decimales................................................................................................................................. Multiplicación de un número decimal por un entero.................................................................................................... Multiplicación de un decimal por otro decimal............................................................................................................... Producto de un decimal por la unidad seguida de ceros............................................................................................ División de números decimales.............................................................................................................................................. División con dividendo decimal y divisor entero............................................................................................................ División de un número entero entre un decimal............................................................................................................. División de un decimal entre otro decimal........................................................................................................................ División de un decimal entre la unidad seguida de ceros........................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

133 134 134 134 136 136 136 137 137 137 138 139 139 140 140 141 142 144 145 148

Unidad 7 Proporcionalidad........................................................................................................................................................

151

¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo medir distancias en un mapa?................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Razón................................................................................................................................................................................................ Proporción...................................................................................................................................................................................... Términos de una proporción: extremos y medios........................................................................................................... Propiedad fundamental de las proporciones................................................................................................................... Aplicaciones de la propiedad fundamental....................................................................................................................... Proporcionalidad directa e inversa....................................................................................................................................... Proporción directa....................................................................................................................................................................... Proporción inversa....................................................................................................................................................................... Regla de tres directa................................................................................................................................................................... Regla de tres inversa...................................................................................................................................................................

153 154 154 155 155 155 156 158 158 158 159 159

Primer grado – ciclo básico

El porcentaje.................................................................................................................................................................................. Cálculo de porcentajes.............................................................................................................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

161 161 164 167 168 171

Unidad 8 Geometría.............................................................................................................................................................................

175

¡Prepárate para el recorrido! Caja de herramientas de geometría........................................................................ Taller de matemática............................................................................................................................................................... Punto, línea y plano.................................................................................................................................................................... Las líneas y su clasificación...................................................................................................................................................... Ángulo.............................................................................................................................................................................................. Clasificación de ángulos............................................................................................................................................................ Polígonos........................................................................................................................................................................................ Clasificación de polígonos........................................................................................................................................................ Triángulos........................................................................................................................................................................................ Clasificación de los triángulos................................................................................................................................................ Perímetro y área de un triángulo........................................................................................................................................... Cuadriláteros.................................................................................................................................................................................. Clasificación de cuadriláteros.................................................................................................................................................. El cuadrado: perímetro y área................................................................................................................................................. El rectángulo: perímetro y área.............................................................................................................................................. Polígonos regulares..................................................................................................................................................................... Perímetro y área de polígonos regulares........................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

177 178 178 178 179 179 180 180 181 181 181 183 183 183 184 185 185 187 191 192 194

Unidad 9 Álgebra.....................................................................................................................................................................................

197

¡Prepárate para el recorrido! Lenguaje algebraico: letras y números................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Conceptos algebraicos básicos.............................................................................................................................................. Término algebraico...................................................................................................................................................................... Términos semejantes.................................................................................................................................................................. Clasificación de expresiones algebraicas............................................................................................................................ Monomio......................................................................................................................................................................................... Polinomio........................................................................................................................................................................................ Polinomios ordenados............................................................................................................................................................... Valor numérico de expresiones algebraicas...................................................................................................................... Expresión algebraica con una sola variable.......................................................................................................................

199 200 200 200 201 202 202 202 203 204 204

Índice – Matemática

Expresión algebraica con dos o más variables................................................................................................................. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.............................................................................................................. Partes de una ecuación.............................................................................................................................................................. Resolución de ecuaciones enteras de primer grado...................................................................................................... Ecuaciones enteras con varios términos............................................................................................................................. Ecuaciones enteras con signos de agrupación................................................................................................................ Resolución de problemas con ecuaciones......................................................................................................................... Problemas de edades................................................................................................................................................................. Problemas de geometría........................................................................................................................................................... Problemas con números........................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

204 205 205 206 207 208 208 209 210 211 213 216 217 219

Unidad 10 Introducción a la estadística........................................................................................................................

223

¡Prepárate para el recorrido! Historia de la estadística............................................................................................. Taller de matemática............................................................................................................................................................... Estadística....................................................................................................................................................................................... Estadística descriptiva................................................................................................................................................................ Estadística inferencial................................................................................................................................................................. Términos estadísticos................................................................................................................................................................. Variables cualitativas................................................................................................................................................................... Variables cuantitativas................................................................................................................................................................ Organización de datos............................................................................................................................................................... Organización de datos nominales......................................................................................................................................... Organización de datos ordinales........................................................................................................................................... Gráficas estadísticas.................................................................................................................................................................... Tipos de gráficas estadísticas.................................................................................................................................................. Medidas de tendencia central................................................................................................................................................. La media aritmética..................................................................................................................................................................... La mediana..................................................................................................................................................................................... La moda........................................................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo...................................................................................................................................... ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

225 226 226 226 226 227 227 227 229 229 229 231 232 235 235 238 240 242 247 248 250

Bibliografía

....................................................................................................................................................................... 255

Primer grado – ciclo básico

Matemática – 1º básico ¡Bienvenida y bienvenido! Haremos un recorrido por el fascinante mundo de las matemática. Lo importante es la dedicación y el esfuerzo que pongas para aprender. Los conocimientos matemáticos los utilizamos todos los días y casi sin fijarnos; hacemos cuentas, pagamos pasajes, recibimos vuelto y medimos el tiempo. El curso de matemática del primer grado del ciclo básico busca que tú desarrolles las competencias marcadas por el Currículo Nacional Base (CNB) y responden a esta competencia superior: Desarrolla su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlos a la realidad de su vida cotidiana.

¿Cómo es tu libro?

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Este libro tiene diez unidades. Cada unidad ,QWURGXF FLyQ D OD OyJLFD de inicia con la portada que presenta el número ¢4Xp VDEH V GHO WHP D" la unidad, una breve presentación que te ayudará a despertar tus conocimientos previos sobre los temas que aprenderás.

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Le sigue este apartado. Es la ruta para saber qué encontrarás: lectura, contenidos y actividades. Siempre aparecen tres secciones. HO UHFRUULGR ¤3UHSiUDWH SDUD JHQLR (MHUFLFLR GH LQ

/D OyJLFD QHV GH SURSRVLFLR &ODVLILFDFLyQ RPSXHVWD 3URSRVLFLyQ F LyQ ODVLÀ FDF &RQMXQWRV \ VX F Q GH FRQMXQWRV 5HSUHVHQWDFLy QWUH FRQMXQWRV 5HODFLRQHV H HQWUH FRQMXQWRV 2SHUDFLRQHV FDV 7DOOHU GH SUiFWL HSDVR (MHUFLFLRV GH U VDPLHQWR OyJLFR SHQ 'HVDUUROOD WX V OyJLFRV WHPiWLFRV \ MXHJR 3UREOHPDV PD LGDG GH FiOFXOR HORF WX Y $XPHQWD iWLFR DWHP XOR P +RMDV GH FiOF

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¿Cómo saber si las has alcanzado? Para ello, el CNB propone indicadores de logro, que ves en la segunda columna. Estos indicadores o criterios son como un termómetro que mide tu desempeño en cada competencia.

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En la tercera columna aparecen las actividades que te ayudan a desarrollar cada competencia.

En la página siguiente aparece la tabla con las competencias del Currículo Nacional Base que trabajarás en cada unidad.

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Presentación – Matemática

3ULPHU JUDGR

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VII

Prepárate para el recorrido Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua. De la misma manera, esta sección te propone entrar con suavidad en el tema de la unidad, mediante estas actividades:

ra el ¡Prepárate pa

icio de ingenio. el siguiente ejerc s o para resolver fa y Paula. Toda amiento lógic Utiliza tu pens , Cristina, Jose está cuatro hijas: María n escribiendo, otra tiene z está distinta. Una La familia Lópe ndo una actividad pintando. do y la cuarta ellas están hacie tercera, leyen una s, tarea haciendo

• Recordar conocimientos previos. • Conocer datos curiosos relacionados con el tema.

La pregunta es: ndo cada una? ¿Qué está hacie Hechos:

• Presentar la vida de matemáticos destacados.

pintando. escribiendo ni María no está biendo. leyendo ni escri Cristina no está o. está escribiend Paula pintando. Si Cristina está o. está escribiend leyendo y no Josefa no está ndo. pinta está leyendo y no Paula no está

Taller de matemática

! ¡A trabajar 7D

haciendo cada r lo que no está OOHU GH PDWH cuadro para indica Pi y marc WLFaDuna en el hechos cciones de los Sigue las instru . estas /D OyJLFD las respu una y deducirá Pintando /D FLHQFLD G Leyendo HO UD]RQ ndo tareas HQWR FR biendo DPLHacie 6L HQ HO WLWXODU UUHFWR Escri GH XQD QR Nombre

El propósito de este taller es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conocerás especialmente los conjuntos numéricos, sus operaciones y sus propiedades.

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WLFLD OH\HUDV /R GH OD OyJLF V VHUHV KXP D WH DGYHUW DQRV SHUW LUtD LQPHGL DWDPHQWH GH TXHQHFHQ D OD IDPLOLD G /D OyJLFD H ODV H HV XQD DÀ HV OD UPDFLyQ ID GLVWLQJXLU HO U FLHQFLD TXH HVWXG OVD LD

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por medio del

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Resolver los ejercicios te permitirá comprobar si comprendes los contenidos propuestos y por lo tanto si vas alcanzando los logros.

HUDV \ IDOV 'H XQD SU DV RSRVLFLyQ VLHP IDOVD SUH VH REWLHQH XQD FRQFOXVLy Q R ELHQ HV YH 6L XQD SUR UGDGHUD R ELHQ SRVLFLyQ H HV V YHUGDGHUD VH 6L XQD SUR FDOLILFD FR SRVLFLyQ H Q OD OHWUD Y V IDOV D VH )tMDWH HQ OR FDOLILFD FRQ OD O V HMHPSORV HWUD I V (O URMR HV XQ FRORU S ULPDULR W (O GREOH G H HV 3URSRVLFLy Q YHUGDGHUD Y

1HJDFLyQ G 3URSRVLFLy Q IDOVD I H SURSRVLF LRQHV a (Q OyJLFD FRP R HQ QXHVWUD YL VH UHSUHVH GD FRWLGLDQ QWD FRQ HO VLJQ D SRGHPR OD SURSRVLF R QHJDGRU V QHJDU XQ LyQ a DQWHS D SURSRVLF XHVWR D OD LyQ /D QHJ OHWUD PLQ~ DFLyQ (VWH VLJQR VFXOD TXH VH SXHGH OHHU UHSUHVHQWD FRPR QR 2EVHUYD H HV IDOVR O HMHPSOR TXH QR HV FLHUWR TXH T (O GRE OH GH HV aT (O GRE OH GH QR HV aT (V IDOV R TXH HO G REOH GH HV aT 1R HV 3ULPHU JUDG FLHUWR TXH HO G R ² FLFOR Ei REOH GH HV VLFR

Taller de prácticas

FWLFDV

7DOOHU GH SUi (MHUFLFLR

RVLFLyQ

SURS RVLFLyQ R QR LItFDOD FRPR SURS UHVLyQ \ FODV $ /HH FDGD H[S VFXUR QLPR GH FODUR HV R V (O DQWy KDVWH ODV QRWLFLDV" M ¢(VFXF YDORU WLGDG HV XQ Z /D KRQHV LRQHV VLPSOHV FULEH WUHV SURSRVLF % ,QYHQWD \ HV HV SURSRVLFLRQ TXH QR VHDQ H[SUHVLRQHV & (VFULEH WUHV

Encontrarás una serie de ejercicios en los que practicarás contenidos básicos, con distintos niveles de dificultad.

Además, hallarás dos secciones más:

UWR TXH

H QR HV FLH

VR TX PDV QR HV IDO

UD GH ODV IRU FRQ FXDOTXLH RSRVLFLRQHV ' 1LHJD ODV SU ODEOHV PHWDOHV VRQ UHFLF S 7RGRV ORV HQHQ VDQRV

DPLQDV QRV PDQWL

T 6ROR ODV YLW

Aumenta tuDV velocidad de cálculo KHWHUt DMDU HQ ODV FR

GHEHQ WUDE

P /RV QLxRV

Para ganar agilidad mental y rapidez en el cálculo, debes practicar constantemente. Comprueba tú mismo qué tanto dominas las tablas de multiplicar. Escribe el resultado de las operaciones lo más rápido que puedas. No utilices calculadora. Escribe con lápiz. Así, si te equivocas, puedes borrar.

(MHUFLFLR

QWRV V VLJXLHQWHV FRQMX A. FDUGLQ Multiplica tan rápido DOLGDG GH OR como puedas. HQWLGRV $ 'HWHUPLQD OD DQRV GH ORV V MXQWR 6 GH ORV yUJ \ (O FRQ 1) 1 x 4 =V Q~PHURV LPSDUHV HQWUH 11) 3 x 6 = , GH OR \ (O FRQMXQWR HURV SDUHV HQWUH R RV Q~P 3 GH O LQLWR R LQILQLW 2)MXQWR 2 x 5 = (O FRQ UR GH HOHPHQWRV I12) 3 x 5 = SRU VX Q~PH GD FRQMXQWR % ,GHQWLILFD FD VHV GH GtDV ORV PH 0 GH 3) 3 x (O FRQMXQWR 7 = EUD $PpULFD 13) 2 x 6 = DV GH OD SDOD DV OHWU 5 GH O pDQR (O FRQMXQWR H WLHQH HO RF 4) 4 x / GH OR 2 = V OLWURV GH DJXD TX 14) 1 x 9 = (O FRQMXQWR QMXQWRV V GH XQD SHUVRQD LJXLHQWHV FR XQR GH ORV V MXQWR - GH FHUHEUR (O FRQ 5) 2 x 3 = H VH REWXYR FDGD 15) 3\ PHG x 6 LDV = UVR 8 GHO TX QMXQWR XQLYH VWLGR GD FRUWH YH & (VFULEH HO FR DGR SRU EOXVD IDO 5 IRUP LFD MXQWR 6) 4 x 8 = (O FRQ 16) OD \ &RVWD 5 1 x 5 = WH RU *XDWHPD LF \ *XDFDOD - IRUPDGR S RORFK MXQWR ODWH 3 (O FRQ WDJXD &R\R 7) 2 x 1 3 IRUP = DGR SRU 0R 17) 3 x 4 = (O FRQMXQWR

•

QWH VH H[S

LFLRQHV \ V

SURSRVLFL es yQ GHUR R IDOVR &yQ HV XQD RUDFLyQ llegar a conclusion R HQXQFLD DGD S conseguido ¿hasVLFLyQ ?, URSR PiV XVDG estas VH SXHGH UHSUGR TXH VH SXH DV VR tus respu Q S T U V W¬ Lógica. GH FDOLÀ FDU FRPR YH HVHQlaWDU FR io de ¿Has deducido$OJXQRV H Q FXDOTXLH UGD a con el estud U OHWUD PLQ MHPSORV Gmátic ~VFXOD ODV H SURSRVLF curso de mate LRQHV VRQ Iniciamos este S (O VRO VDOH WRGRV ORV T (O DxR FRP GtDV ática U 8Q FXDGUDGLHQ]D FRQ HO PHV GH Unidad 1 – Matem HQHUR R WLHQH FXD WUR ODGRV LJXDOH ¤$WHQFLyQ V 1R VRQ S URSR HV" SRUTX H GH HOODV QR S VLFLRQHV ODV H[SUHVLR QHV FRPR ¢4X RGHPRV VD 7DPSRFR V FDU XQD FR p WDO" ¤$G RQ SURSRV QFOXVLyQ LyV ¢4Xp LFLRQHV ODV KRUD SXHUWD QL ODV T RUDFLRQHV XH H[SUHVD Q XQ GHVHR GH TXH LQGLFDQ XQD RUG HQ LPSHUDW VLGHUDWLYDV 2M LYDV &LHUU 3URSRVLFLR DOi TXH OOX D OD HYD QHV

¿Cómo saber que estás alcanzando los logros que te llevan a desarrollar las competencias?

Ten presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario te permitirá ir ganando seguridad y agilidad.

recorrido!

nio Prueba tu inge

8) 2 JUDGR EiVLFR x 9 ² FLFOR = 3ULPHU

18)

4 x 5 =

C. Dados los conju

21)

3 x 1 =

22)

4 x 6 =

23)

4 x 4 =

24)

4 x 3 =

25)

3 x 9 =

26)

• Aumenta tu velocidad de cálculo. Si logras realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta con agilidad, tu cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.

2 x 8 =

27)

3 x 7 =

28)

1 x 9 =

9) 1 x 8 =

19)

1 x 3 =

29)

4 x 7 =

10) 2 x 7 =

20)

2 x 2 =

30)

4 x 5 =

Desarrolla tu pensamiento lógico. Te ayudará a entrenarte y aplicar los conocimientos a la resolución de problemas. B. Encuentra el factor que completa la multiplicación. 1) 4 x

11)

x 8 = 32

21)

2) 5 x

= 40

12)

x 3 = 12

22)

3 x

6 x

= 27

= 24

3) 5 x

= 20

13)

x 5 = 15

23)

2 x

= 16

4) 5 x

= 25

14)

x 9 = 36

24)

5 x

= 30

A continuación, aparece el cuadro que te ayudará a verificar si alcanzaste los logros propuestos. 5) 5 x

= 35

15)

6) 4 x

= 16

16)

7) 5 x

= 45

17)

x 3 = 18

25)

4 x

= 28

x 5 = 30

26)

3 x

= 18

x 8 = 48

27)

6 x

= 36

8) 4 x

= 24

18)

x 9 = 54

28)

3 x

= 24

9) 5 x

= 10

19)

x 10 = 60

29)

6 x

= 42

10) 4 x

20)

x 10 = 50

30)

7 x

= 63

Por último esta la sección ¡Ponte a prueba! que te prepara poco a poco para las pruebas de matemática que realiza el Ministerio de Educación. Unidad 1 – Matemática

VIII

Primer grado – ciclo básico

ntos A, B, C y D: A = { n, i, j, v, f, 1, 5, 9, 3, 6, 8} B = { j, e, v, 8, C = { 9, 5, f, I, 1, f} v, 1, 8} D = {e, n, 3, 9, Representa en 6, f, v} forma enumerativ a y gráfica la difere 1) A – B ncia de los siguie 2) B – C ntes conjuntos. 3) D – A D. Dados los 4) C – A conjuntos T, Y, 5) D – B KyL: 6) C – D T = { n, i, v, 1, 9, 6, 8} K = { 9, I, V, 8} Calcula la difere Y = { j, e, 8, 1} ncia simétrica de los siguientes gráfica. L = { e, 3, 9, v} conjuntos y expre sa los resultados 1) T ∆ Y en forma enum 2) K ∆ L erativa y 3) L ∆ T 4) Y ∆ K E. Dado el conju 5) T ∆ K nto , = { q, w, 6) L ∆ Y e, r, p, o, i, u, 9, 5, 1, 3, 6, 8} Determina en forma enumerativ a y gráfica los complementos 1) L = { w, p, 6, 9} de los siguientes conjuntos: 3) H = {p, q, 2) K = {3, u, e, 5, 9, 3, i} r, 5, q, e, 6} 5) F = { w, o, 4) G = {q, p, 1, 6, 8} 9, 8} 6) D = {1, 3, 5, 6, 8, 9}

Desarrolla tu

pensamiento

lógico

A. Lee con atenc ión cada texto y los enunciados v si el enunciado que es verdadero o una f, si es falso. le acompañan. Luego, escrib e en la línea de 1) Un jardinero la derecha una riega las plantas exteri sus plantas todos los días. Los ores. días pares riega las plantas interio a. El jardinero res. Los días impar riega sus planta es riega s diariamente . b. El primer día de cada mes, el jardinero riega c. Si el jardin sus plantas exteri ero riega una ores. planta interio r, entonces es 2) Una maest un día par. ra de baile enseñ a a sus estudiantes Los lunes, miérc ritmos distintos oles y viernes en la semana. da clases de salsa. Los martes y jueves a. La maestra da clases de meren de baile enseñ a ritmos difere gue o de bacha ntes en la seman b. Si la clase ta. de hoy es de a. salsa, entonces hoy es martes. c. Si la clase de hoy es de bachata, enton ces mañana será 3) Un come de merengue. dor ofrece un menú semanal. Los . Los miércoles lunes hay caldo ¤3RQWH Dloroco y los viernes sirven SUX de marisc HED os. Los marte pepián. a. El menú ofrece s y los jueves un platillo difere pollo con (O 0LQLVWHULR GH (GXFDFLyQ UHDO nte para cada L]D FDGD DxR SUX b. Si hoy TXH HVWiQ FXUVDQGR H día de la seman sirven pollo con HEDV GH a. O ~OWLPR DxR GH loroco PDWHP H FRPSUHQVLyQ WLHQHQ HO SURSy O FLFOR EiVLFR \ , entoniWLFD \ G OHFWRUD ces maña VLWR GH D ORV HV c. REWHQH WXGLDQW naOWLPR D Si ayer ORV HVWXGLDQWHV U LQIRUP servirxR GH E HV GHO ~ sirvier án pepiá D WRGRV onDFLyQ T n. caldo XH SHUP &RQVHFXHQWHV FRQ HVW LWD PHM de marisc FDOLGDG HGXFDWLYD GH QDFKLOOHUDWR (VWDV SUXHEDV os, RUDU OD entonces D PHMRUD HGXFD hoy es martes. XHVWUR SDtV B. GR SRF YD\DV SUHSDUDQ WLYD KHPRV HOD Resuelve en tu ERUDGR DO À QDO GH R D SRFR cuaderno los FDGD XQLGDG XQ siguientes romp ,QVWUXFFLRQHV D SUXHED FRUWD 1) Todas mis ecocos. SDUD TXH WH camisas 8VD HVWDV SiJL tas camisas tengo son blancas menos dos, todas QDV VROR SDUD OHHU ODV son azules meno de SUHJXQ cada color? s dos y todas WDV /D KRMD2) En una caja de son grises meno GH UHVS XHVWDV VH HQFX fósfor s dos. ¿CuánosQ OD KR solo queda un HQWUD H cande fósfor o. En 5HFyU /HH FDGD SUHJXQ la, una lámpara de gas MD SRVWHULRU D OD SUXHED una noche WDOD y fría, WD una encen R tú entras a una HQXQFLDGR \ ODV estufa, todo apaga UHVSXHVWD FRUUH der todos los elemeFXDWUR habitación donde RSFLRQHV 6ROR do. A FWD ntos, ¿en de calentarte qué ordenXQD hay una GH ODV FXDWUR fin te convie lo más RSFLRQHV FRUUHVS ne encen 6HOHFFLRQD OD RS der los elemeRQGH D OD rápidamente posible y FLyQ FRUUHFWD $ % & ntos? Primer FXLGDGR18 grado

R ' \ UHOOHQD H \ DVHJ~UDWH GH TXH U – ciclo básico O FtUFXOR TXH OH HOOHQDV HO FtUFX FRUUHVSRQGH HQ WX KR OR FRUUHFWR MD GH UHVSXHVWD 3DUD UHVSRQGH 7HQ U HVWD SUXHED G HEHUiV XWLOL]DU VRODPHQWH ODSLFHUR QH 0LGH HO WLHPS JUR R TXH WDUGDV H Q UHVROYHU OD S SRVLEOH UXHED 3UDFWLFD KDVWD TXH FRQVLJDV KDFHUOR HQ HO P HQRU WLHPSR MHPSOR GHO UHFXDGUR

*XtDWH SRU HO H

,QVWUXFFLRQHV /HH HO WH[WR SDUD UHVS RQGHU D OD SUHJ XQWD GHO LQFLVR 8QD JDOD[LD HV XQ FRQ MXQWR GH HVWUHO JUDYLWDWRULDPH ODV QXEHV GH J QWH 6H FUHH TX DV SODQHWDV \ H H[LVWHQ PiV G SROYR FyVPLFR H FLHQ PLOORQHV XQLGRV ¢4Xp FODVH GH GH JDOD[LDV HQ FRQMXQWR HV HO HO 8QLYHUVR IRUPDGR SRU OD V HVWUHOODV GH Q $ XQLWDULR XHVWUD JDOD[LD O % ILQLWR D 9tD /iFWHD" & YDFtR (Q VX KRMD GH U ' LQILQLWR HVSXHVWDV GHEHUi UHOOH QDU HO FtUFXOR G H OD UHVSXHVWD FRUUHFW D $ $

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Introducción a la lógica

unidad

¿Qué sabes del tema? La lógica permite tomar una buena decisión o dar una respuesta correcta por medio de un buen razonamiento. Así como la lógica, los conjuntos son parte de nuestra vida. Los encontramos en nuestro propio cuerpo y en toda la naturaleza. Estamos rodeados de conjuntos formados por seres vivos y objetos. A cualquier lugar donde dirijamos nuestra vista nos encontramos con grupos de objetos.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Ejercicio de ingenio

Taller de matemática

La lógica

• Clasificación de proposiciones • Proposición compuesta

Conjuntos y su clasificación • Representación de conjuntos • Relaciones entre conjuntos • Operaciones entre conjuntos Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 1 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

2. Utiliza gráficas y símbolos en la representación de información.

2.1 Construye proposiciones compuestas usando conectivos lógicos.

2.1 Define conjuntos y los representa.

1.2 Define cardinalidad y clasifica conjuntos por su cardinalidad.

Clasificar expresiones en proposiciones y no proposiciones. Negar proposiciones. Transformar proposiciones abiertas en cerradas. Clasificar proposiciones en simples y compuestas. Representar proposiciones compuestas empleando conectivos lógicos. Explicar el significado de conjunto. Representar conjuntos en sus diferentes formas. Determinar la cardinalidad de conjuntos. Clasificar conjuntos de acuerdo al número de elementos. Establecer relaciones de pertenencia, no pertenencia, contención y no contención.

2.2 Establece relaciones de elementos con conjuntos y de conjuntos con conjuntos.

Actividades

3. Calcula operaciones de números naturales.

Primer grado – ciclo básico

3.1 Opera con seguridad.

Resolver operaciones de cálculo mental.

¡Prepárate para el recorrido! Prueba tu ingenio Utiliza tu pensamiento lógico para resolver el siguiente ejercicio de ingenio. La familia López tienen cuatro hijas: María, Cristina, Josefa y Paula. Todas ellas están haciendo una actividad distinta. Una está escribiendo, otra está haciendo tareas, una tercera, leyendo y la cuarta pintando. La pregunta es:

¿Qué está haciendo cada una?

Hechos:

María no está escribiendo ni pintando.

Cristina no está leyendo ni escribiendo.

Si Cristina está pintando. Paula está escribiendo.

Josefa no está leyendo y no está escribiendo.

Paula no está leyendo y no está pintando.

¡A trabajar! Sigue las instrucciones de los hechos y marca una una y deducirás las respuestas. Nombre

Escribiendo

O en el cuadro para indicar lo que no está haciendo cada

Haciendo tareas

Leyendo

Pintando

María Cristina Josefa Paula ¿Has deducido tus respuestas?, ¿has conseguido llegar a conclusiones por medio del razonamiento? Iniciamos este curso de matemática con el estudio de la Lógica.

Unidad 1 – Matemática

Taller de matemática La lógica

La ciencia del razonamiento correcto Si en el titular de una noticia leyeras: Los seres humanos pertenecen a la familia de las aves, tu sentido de la lógica te advertiría inmediatamente de que es una afirmación falsa. La lógica es la ciencia que estudia métodos, procedimientos y técnicas para distinguir el razonamiento correcto o verdadero del incorrecto o falso. La palabra lógica proviene de la palabra griega logos, que significa pensamiento o razón.

Esta ciencia utiliza un lenguaje propio y que principalmente se expresa por enunciados llamados proposiciones.

Las proposiciones y su representación Una proposición es una oración o enunciado que se puede calificar como verdadero o falso. Cada proposición se puede representar con cualquier letra minúscula, las más usadas son: p, q, r, s, t… Algunos ejemplos de proposiciones son: p: El sol sale todos los días. q: El año comienza con el mes de enero. r: Un cuadrado tiene cuatro lados iguales. ¡Atención! No son proposiciones las expresiones como: ¿Qué tal?, ¡Adiós!, ¿Qué hora es?, porque de ellas no podemos sacar una conclusión. Tampoco son proposiciones las oraciones que indican una orden (imperativas): Cierra la puerta; ni las que expresan un deseo (desiderativas): Ojalá que llueva.

Proposiciones verdaderas y falsas De una proposición siempre se obtiene una conclusión: o bien es verdadera o bien es falsa.

Si una proposición es verdadera, se califica con la letra v Si una proposición es falsa, se califica con la letra f

Fíjate en los ejemplos: s: El rojo es un color primario. t: El doble de 7 es 23.

Proposición verdadera (v) Proposición falsa (f)

Negación de proposiciones ~ En lógica, como en nuestra vida cotidiana, podemos negar una proposición. La negación se representa con el signo negador "~" antepuesto a la letra minúscula que representa la proposición. Este signo se puede leer como: "no", "es falso que", "no es cierto que". Observa el ejemplo: q: El doble de 8 es 15.

~q: El doble de 8 no es 15.

~q: Es falso que el doble de 8 es 15. ~q: No es cierto que el doble de 8 es 15.

Primer grado – ciclo básico

Clasificación de las proposiciones Las proposiciones lógicas se clasifican en simples y compuestas. Todas las proposiciones que hemos visto hasta ahora son simples. Estas, a su vez, pueden ser cerradas y abiertas.

Proposición simple cerrada Una proposición simple cerrada es un enunciado que podemos calificar directamente como verdadero o falso. Presta atención a los ejemplos.

p: Guatemala está en Centroamérica. Es una proposición verdadera (v).

s: 4 por 8 es igual a 12. Es una proposición falsa (f).

Proposición simple abierta Una proposición simple abierta es un enunciado que depende del valor asignado a la variable para convertirse en verdadero o falso. Por ejemplo, la expresión:

p: "x" es el mes que sigue a marzo.

Esta proposición solo será verdadera si el valor de "x" es abril.

Será falsa si a "x" se le asigna un valor distinto, como enero o diciembre.

En conclusión podemos decir que una proposición simple abierta se transforma en simple cerrada y verdadera si se sustituye la variable por el valor correcto.

Proposición compuesta Una proposición compuesta consta de dos proposiciones simples que se unen mediante conectivos lógicos. Por ejemplo, tomemos dos proposiciones cualesquiera. p: La Tierra es un planeta. v q: El Sol es un satélite. f Si te fijas, estas proposiciones son independientes, pero pueden unirse para formar una proposición compuesta. La Tierra es un planeta y el Sol es un satélite. p nexo q El nexo "y" une las dos proposiciones p y q.

Unidad 1 – Matemática

Ejercicio 1 A. Lee atentamente cada expresión y clasifícala como proposición o no proposición. Escribe una equis (x) en la columna correspondiente. Tienes un ejemplo. Expresión

Proposición

p: El manatí es un animal acuático.

No proposición

b: ¿Le gusta la matemática? q: Guatemala es un país productor de azúcar. m: ¡Ayuda! B. Lee cada proposición y escríbela debajo en forma negativa. Recuerda que puedes utilizar cualquiera de las expresiones, "no", "es falso que" y "no es cierto que". 1) r: Solo los niños varones pueden jugar futbol. 2) q: La vitamina A fortalece los huesos. 3) p: Miguel Ángel Asturias ganó el Premio Nobel de la Paz. C. Rellena el círculo del valor que transforma las proposiciones abiertas en proposiciones cerradas y verdaderas. Luego, escríbelas sobre la línea. 1) r: h es una escritora guatemalteca.

Rosa Montero

Gioconda Belli

Carmen Matute

México

Guatemala

r: 2) p: x es un país de Centroamérica.

Italia

p: D. Lee cada proposición y escribe sobre la línea si es simple o compuesta. 1) Tengo un primo de seis años y una prima de tres. 2) Venus es una estrella visible desde la Tierra.

3) El jaguar es un carnívoro y el venado es un herbívoro. 4) Te llamo por teléfono y te envío un mensaje de texto. 5) La limonada está hecha con limón.

6) Las frutas son saludables.

7) Las abejas fabrican miel a partir del néctar de las flores. 8) El libro es pesado.

9) Mi casa está a cinco kilómetros del parque.

Primer grado – ciclo básico

Conjuntos Nuestra vida cotidiana está rodeada de conjuntos: el conjunto de nuestros familiares, el conjunto de compañeros y compañeras de clase o el conjunto de libros que utilizas en primero básico, y tantos otros. Un conjunto es una agrupación de elementos que poseen una o más características comunes. Veamos las características de un conjunto:

Está formado por elementos: cada persona, animal u objeto que lo forma.

Se nombra siempre con una letra mayúscula: A, B, C o cualquier letra del alfabeto.

Posee cardinalidad: el número total de elementos que lo forman.

Por ejemplo: Dado el conjunto D de los dedos de la mano: — Letra con que se nombra: D — Elementos: pulgar, índice, medio, anular, meñique — Cardinalidad: 5, porque tiene cinco elementos

Clases de conjuntos Los conjuntos se clasifican de acuerdo al número de elementos, es decir, según su cardinalidad.

Conjunto finito Es el conjunto que es posible contar sus elementos. El conjunto H de los huesos del esqueleto tiene 206 elementos. Es un conjunto finito. Otros ejemplos de conjuntos finitos:

El conjunto S de los días de la semana, porque tiene 7 elementos.

El conjunto D de los departamentos de Guatemala, porque tiene 22 elementos.

Conjunto infinito ¿Cuántos elementos tiene el conjunto E de las estrellas del firmamento? Es imposible llegar a saber cuántas estrellas hay porque no se pueden contar todas. Es un conjunto infinito. Un conjunto infinito es aquel que no es posible llegar a saber cuántos elementos tiene. Su cardinalidad es indeterminada. Otros ejemplos: el conjunto N de números naturales, el conjunto M de múltiplos de un número, el conjunto D de números decimales, etc.

Unidad 1 – Matemática

Conjunto unitario Cuenta la tradición maya que todo niño que nace viene acompañado de su nahual. El nahual es como su sombra protectora y generalmente es un animal. El conjunto N de los nahuales de un niño está formado por un solo elemento, por lo tanto, el conjunto N es un conjunto unitario. El conjunto unitario es aquel que tiene un solo elemento.

Conjunto vacío (Ø) Consideremos el conjunto P de peces que viven en el aire. ¿Cuántos elementos tiene? No tiene elementos, por tanto su cardinalidad es cero porque no hay peces que vivan en el aire. P es un conjunto vacío. Lo representamos P = Ø , y se lee: ‟P es igual a un conjunto vacío". El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Su cardinalidad es cero.

Conjunto universo (U) Todos los conjuntos se obtienen de un conjunto mayor llamado conjunto Universo que se identifica con la letra U. Por ejemplo: El conjunto C formado por los países de Guatemala, El Salvador y Honduras se obtiene de un conjunto mayor U, el conjunto formado por todos los países de Centroamérica.

Ejercicio 2 Lee atentamente la descripción de cada conjunto y responde las preguntas. 1) Si consideramos el conjunto I de los números impares divisibles exactamente entre dos:

¿Podemos saber cuántos elementos tiene?

¿Por qué?

Entonces, ¿qué tipo de conjunto es el conjunto I?

2) Dado el conjunto C de los continentes:

¿Cuál es la cardinalidad de este conjunto?

¿Qué clase de conjunto es?

3) Si consideremos el conjunto R formado por los ríos Motagua, Achiguate y Usumacinta. ¿Cuál es su conjunto U?

4) Si consideramos el conjunto F formado por las frutas papaya, piña y pera? ¿Cuál es su conjunto U?

Primer grado – ciclo básico

Representación de conjuntos ¿Cómo representarías una manzana? —Hay diferentes formas de hacerlo:

Puedes llamarla por su nombre: manzana.

Describirla: fruta redonda hundida por los extremos, de cáscara delgada y lisa, de color rojo, verde o amarillo, con sabor ácido o dulce.

o también puedes dibujarla.

Como la manzana, los conjuntos también se pueden representar de diferentes formas.

Forma descriptiva La forma descriptiva es una manera abreviada de representar conjuntos porque solo nombramos una propiedad común a todos los elementos. Para representar conjuntos en forma descriptiva:

Escribimos la letra mayúscula que representa el nombre del conjunto, seguido del signo igual.

Detrás de la llave de apertura, describimos una característica de los elementos y cerramos la llave.

Ejemplo:

P = {Países del mundo}

Se lee:

‟P es igual al conjunto de los países del mundo".

Forma enumerativa Enumerar es contar, hacer listas. La representación enumerativa consiste en nombrar uno a uno todos los elementos del conjunto. Se suele utilizar para conjuntos con pocos elementos. Para representar conjuntos en forma enumerativa:

Escribimos todos los elementos separados por comas dentro de llaves.

Cuando un elemento se repite, solo se escribe una vez.

Por ejemplo: El conjunto L de las letras de la palabra mapa. L = {m, a, p} Aunque la "a" se repite dos veces en la palabra "mapa", solo se escribe una vez.

Representación enumerativa especial La forma de representación enumerativa especial se utiliza para conjuntos muy numerosos, cuyos elementos tienen un orden establecido. Por ejemplo: el conjunto de las letras del alfabeto, el conjunto formado por números pares, impares, etc. Para representar conjuntos en forma enumerativa especial:

Escribimos los tres primeros elementos separados por comas, puntos suspensivos y detrás el último elemento, si lo hay.

Los puntos suspensivos […] representan los elementos que faltan.

Por ejemplo: Conjunto A de las letras del alfabeto. A = {a, b, c,… z} Se lee: ‟El conjunto A de las letras del alfabeto de la a a la z". Unidad 1 – Matemática

Forma gráfica o diagrama de Venn Para representar un conjunto de forma gráfica, se utiliza un diagrama de Venn o cualquier figura geométrica simple. Los conjuntos deben tener pocos elementos para que la representación sea clara. Veamos cómo hacerlo:

Dibujamos un óvalo, ese será nuestro diagrama de Venn.

Dentro del diagrama escribimos los elementos del conjunto, colocándoles un punto a la izquierda. Si un elemento está repetido, solo lo ponemos una vez.

Escribimos el nombre del conjunto fuera de la figura, en otro círculo pequeño.

Observa cómo está representado el conjunto N de los números del 3 al 7, en la figura de abajo. N •3 •4

•5

•6

•7

Ejercicio 3 1) Expresa en forma descriptiva el conjunto. El conjunto T de los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. T= 2) Observa los conjuntos en forma descriptiva y exprésalos en forma enumerativa. a. N = {Letras de la palabra ‟roma"}

b. A = {Números naturales entre 5 y 13}

3) Representa en forma enumerativa especial. El conjunto P de los números pares del 8 al 456. P= 4) Los conjuntos C y P están expresados en forma descriptiva. Represéntalos gráficamente. C = {Cifras del número 435,534}

Primer grado – ciclo básico

P = {Puntos cardinales}

Relaciones entre conjuntos Relación de pertenencia ( ) La relación que se establece entre un elemento con uno o más conjuntos de los cuales forma parte se llama relación de pertenencia. La relación de pertenencia se representa con el símbolo

y se lee: "pertenece a".

Veamos un ejemplo: si consideremos el conjunto V = {letras vocales} y la letra "u", podemos establecer una relación de pertenencia entre la letra y el conjunto. Esta relación se simboliza: Se lee:

"El elemento u pertenece al conjunto V de las letras vocales".

La relación de pertenencia se establece siempre entre un elemento y uno o más conjuntos.

Relación de no pertenencia ( ) La no pertenencia es la relación que se establece entre un elemento y uno o más conjuntos de los que no forma parte. Para representar esta relación se utiliza el símbolo

y se lee: "no pertenece a".

Por ejemplo, si consideremos el conjunto I de los números dígitos impares: I = {1, 3, 5, 7, 9}, el elemento 8, por tratarse de un número par, no pertenece al conjunto I. Esta relación se simboliza:

Se lee: ‟El elemento 8 no pertenece al conjunto I".

Relación de contención (f) La relación de contención se establece entre dos conjuntos cuando todos los elementos del conjunto menor están incluidos en un conjunto mayor. Por ejemplo, todos los elementos del conjunto A formado por las aves están incluidos en el conjunto U de los animales. Podemos afirmar que el conjunto A está contenido en el conjunto U. Esta relación se simboliza:

AfU

Se lee: "El conjunto A está contenido en el conjunto U". Otro ejemplo, dado el conjunto de los dígitos:

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Y el conjunto de dígitos pares: P = {0, 2, 4, 6, 8} Como todos los elementos de P están incluidos en D, decimos que P f D Se lee: "El conjunto P está contenido en el conjunto D".

Unidad 1 – Matemática

Relación de no contención ( ) La no contención es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando algunos o todos los elementos de uno no están incluidos en el otro conjunto. Por ejemplo, si consideremos los conjuntos: L = {Letras consonantes del alfabeto castellano} y V = {a, e, i, o, u} Ningún elemento de V está incluido en L porque ninguna vocal es consonante. L

Esta relación se simboliza así: V

Se lee: "El conjunto V de vocales no está contenido en el conjunto L de consonantes".

Ejercicio 4 1) Considera el conjunto M = {animales mamíferos} y establece la relación de pertenencia ( ) o no pertenencia ( ) en cada inciso. a. gallina

d. oveja

g. ornitorrinco

b. ballena

e. delfín

h. quetzal

c. abeja

marmota

tiburón

2) Considera el conjunto L = {letras del alfabeto castellano}

Escribe en el espacio de cada inciso el símbolo

, según corresponda.

a. a

d. $

g. Ω

b. m

e. b

h. V

c. 6

3) Expresa en lenguaje matemático la relación que se indica en cada numeral. Utiliza los signos a. El número 6 pertenece al conjunto D de los números dígitos.

b. El número 25 no pertenece al conjunto D de los números dígitos. 4) Considera los conjuntos: P = {números pares menores que 18}; H = {10, 14}; I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; J = {10, 12, 14, 16} y K = {1, 3, 5}

Escribe en el espacio vacío de cada inciso el símbolo corresponda.

a. H

d. K

g. I

b. I

h. K

c. J

Primer grado – ciclo básico

(contenido) o

(no contenido), según

Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos (,) La unión de dos o más conjuntos es otro conjunto que está formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La unión se representa con el símbolo , y se expresa como: A , B. Se lee: A unión B. Fíjate en el ejemplo.

Sean los conjuntos: A = {1, 3, 7} y B = {2, 3, 9} A , B = {1, 3, 7, 2, 9} Observa: el 3 está en ambos conjuntos, solo se escribe una vez.

•1

•2 •3

•7

•9

Intersección (+) La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a dichos conjuntos. La intersección se representa con el símbolo + y se expresa como: A + B. Se lee: A intersección B. A Por ejemplo.

Dados los conjuntos: A = {7, 8} y B = {8, 9} A + B = {8}

•7

•8

•9

El conjunto intersección es unitario, solo el elemento 8 pertenece a los dos conjuntos. En el diagrama de Venn los elementos que pertenecen a la intersección se ubican en la zona de traslape de los dos conjuntos.

Diferencia ( – ) Se llama diferencia del conjunto A respecto del conjunto B al conjunto formado por los elementos que solo pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B. La operación diferencia de conjuntos se simboliza con el signo menos ( – ) y se expresa como A – B. Se lee: A diferencia B.

Por ejemplo. Dados los conjuntos: A = {s, o, l} y B = {m, o, l, e} A – B = {s}

•s

•o •l

•m •e

El elemento "s" es el único elemento propio de A.

Unidad 1 – Matemática

Diferencia simétrica ( ∆) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos de A o B, excepto los elementos comunes a ambos. La diferencia simétrica también podemos definirla como la unión de dos diferencias. A Δ B = (A – B) , (B – A) Se lee: A diferencia simétrica B, es igual a la diferencia de A con B, unión, la diferencia de B con A. La diferencia simétrica A Δ B incluye a todos los elementos de ambos conjuntos, excepto aquellos que tienen en común. Veamos un ejemplo. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 7, 9} Para calcular A Δ B, sigue estos pasos

Efectuamos A – B = {2, 4, 5}

Resolvemos B – A = {7, 9}

Unimos ambas diferencias:

A •2 •5

A Δ B = {2, 4, 5, 7, 9}

•4

•1 •3

•7 •9

Comprueba en el diagrama de Venn cómo a la diferencia simétrica pertenecen todos los elementos de ambos conjuntos menos aquellos que tienen en común.

Operación complemento ( AC ) El complemento de un conjunto A está formado por los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual al conjunto Universo "U". Simbólicamente se expresa por Ac Se lee: El complemento de A es igual al conjunto de los elementos que pertenecen al conjunto universo y no pertenecen al conjunto A. Veamos un ejemplo: Dados los conjuntos U = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} y A = {2, 4, 6} Ac = {8, 10, 12, 14} U

A •8

• 12

•2 •4

• 10

•6

• 14

Observa: En el diagrama de Venn se sombrea únicamente el área del conjunto universo.

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 5 A. Dados los conjuntos: A = {a, b, c}, B = {a, c, e} y C = {a, 1, 2, 3}, realiza las operaciones en forma enumerativa y gráfica. 1) A , B = {

}

2) B , C = {

}

3) A , C = {

}

B. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, a, 2, b, 3, c} y C = {a, e, i, o, u}, realiza las operaciones en forma enumerativa y gráfica. 1) A + B = {

}

2) B + C = {

}

3) A + C = {

}

C. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3} y C = {3, 4, 5}, realiza las operaciones en forma enumerativa y gráfica. 1) A – B = {

}

2) B – C = {

}

3) A – C = {

}

D. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, a, 2, b, 3, c} y C = {a, e, i, o, u}, realiza las operaciones en forma enumerativa y gráfica. 1) A ∆ B = {

}

2) B ∆ C = {

}

3) A ∆ C = {

}

E. Dados los conjuntos: U = {Planetas del sistema solar} y T = {Tierra, Venus}, realiza las operaciones en forma enumerativa y gráfica.

Expresa el conjunto complemento de T en forma enumerativa. Tc= {

}

Unidad 1 – Matemática

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Lee cada expresión y clasifícala como proposición o no proposición. 1) s: El antónimo de claro es oscuro. 2) j: ¿Escuchaste las noticias?

3) w: La honestidad es un valor. B. Inventa y escribe tres proposiciones simples. 1)

C. Escribe tres expresiones que no sean proposiciones. 1) 2) 3) D. Niega las proposiciones con cualquiera de las formas: "no", "es falso que", "no es cierto que". 1) p: Todos los metales son reciclables. 2) q: Solo las vitaminas nos mantienen sanos. 3) m: Los niños deben trabajar en las coheterías.

Ejercicio 2 A. Determina la cardinalidad de los siguientes conjuntos. 1) El conjunto S de los órganos de los sentidos. 2) El conjunto I de los números impares entre 0 y 20. 3) El conjunto P de los números pares entre 5 y 25. B. Identifica cada conjunto por su número de elementos: finito o infinito. 1) El conjunto M de los meses de 31 días. 2) El conjunto R de las letras de la palabra "América". 3) El conjunto L de los litros de agua que tiene el océano. 4) El conjunto J de cerebros de una persona. C. Escribe el conjunto universo U del que se obtuvo cada uno de los siguientes conjuntos. 1) El conjunto R formado por blusa, falda, corte, vestido y medias. 2) El conjunto J formado por Guatemala y Costa Rica. 3) El conjunto P formado por Motagua, Coyolate, Polochic y Guacalate.

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 3 A. Representa los conjuntos en forma descriptiva. 1) El conjunto C formado por Guatemala, Belice, El Salvador, Honduras, Nicaragua, Costa Rica y Panamá. 2) El conjunto A de los números 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. B. Representa los conjuntos en forma gráfica. 1) El conjunto A formado por los divisores de 6: 1, 2, 3 y 6. 2) El conjunto L formado por las letras de la palabra "escuela". C. Representa los conjuntos en forma enumerativa. 1) El conjunto M formado por los meses del año que tienen 30 días. 2) El conjunto N formado por los números pares entre 9 y 21. D. Escribe los siguientes conjuntos en forma enumerativa especial. 1) El conjunto E formado por los planetas del sistema solar. 2) El conjunto F formado por las letras del abecedario.

Ejercicio 4 A. Considera el conjunto P = {Números pares hasta 1000} y escribe con el símbolo correcto si cada elemento pertenece o no pertenece al conjunto P. 1) 1

4) 86

7) 50

2) 5

5) 17

8) 100

3) 4

6) C

9) 14

B. Considera las siguientes parejas de conjuntos y establece la relación de contención o no contención entre cada pareja con el símbolo correcto. 1) N = {2, 4, 7, 10} y M = {Números pares} 2) V = {perro, gato, vaca} y S = {Animales de cuatro patas} 3) D = {Petén, Quiché, Santa Ana} y K = {Departamentos de Guatemala}

Ejercicio 5 A. Dados los conjuntos:

N = {p, o, i, u, 9, 5, 1}

T = {5, u, 4, i, f, 2, d}

R = {a, s, d, f, 6, 5, 1, 2}

H = {o, q, w, 7, 4, 1}

Representa en forma enumerativa la unión de los siguientes conjuntos. 1) N , R = {

}

R,T={

}

2) N , T = {

}

R,H={

}

3) N , H = {

}

T,H={

}

B. Con los mismos conjuntos N, R, T y H representa en forma enumerativa y gráfica la intersección de: 1) N + R

3) N + H

5) T + H

2) R + T

4) R + H

6) N + T Unidad 1 – Matemática

C. Dados los conjunto: A = {n, i, j, v, f, 1, 5, 9, 3, 6, 8} B = {j, e, v, 8, 1, f}

C = {9, 5, f, I, v, 1, 8} D = {e, n, 3, 9, 6, f, v}

Representa en forma enumerativa y gráfica la diferencia de los siguientes conjuntos. 1) A – B

2) B – C

3) D – A

4) C – A

5) D – B

6) C – D

D. Dados los conjuntos:

T = {n, i, v, 1, 9, 6, 8}

Calcula la diferencia simétrica de los siguientes conjuntos y expresa los resultados en forma enumerativa y gráfica. 1) T ∆ Y

2) K ∆ L

K = {9, I, V, 8}

3) L ∆ T

Y = {j, e, 8, 1}

4) Y ∆ K

5) T ∆ K

L = {e, 3, 9, v}

6) L ∆ Y

E. Dado el conjunto , = {q, w, e, r, p, o, i, u, 9, 5, 1, 3, 6, 8}

Determina en forma enumerativa y gráfica los complementos de los siguientes conjuntos: 1) L = {w, p, 6, 9} 2) K = {3, u, r, 5, q, e, 6}

3) H = {p, q, e, 5, 9, 3, i} 4) G = {q, p, 9, 8}

5) F = {w, o, 1, 6, 8} 6) D = {1, 3, 5, 6, 8, 9}

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Lee con atención cada texto y los enunciados que le acompañan. Luego, escribe en la línea de la derecha una v, si el enunciado es verdadero o una f, si es falso. 1) Un jardinero riega sus plantas todos los días. Los días pares riega las plantas interiores. Los días impares riega las plantas exteriores. a. El jardinero riega sus plantas diariamente. b. El primer día de cada mes, el jardinero riega sus plantas exteriores. c. Si el jardinero riega una planta interior, entonces es un día par. 2) Una maestra de baile enseña a sus estudiantes ritmos distintos en la semana.

Los lunes, miércoles y viernes da clases de salsa. Los martes y jueves da clases de merengue o de bachata. a. La maestra de baile enseña ritmos diferentes en la semana. b. Si la clase de hoy es de salsa, entonces hoy es martes. c. Si la clase de hoy es de bachata, entonces mañana será de merengue.

3) Un comedor ofrece un menú semanal. Los lunes hay caldo de mariscos. Los martes y los jueves pollo con loroco. Los miércoles y los viernes sirven pepián. a. El menú ofrece un platillo diferente para cada día de la semana. b. Si hoy sirven pollo con loroco, entonces mañana servirán pepián. c. Si ayer sirvieron caldo de mariscos, entonces hoy es martes. B. Resuelve en tu cuaderno los siguientes rompecocos. 1) Todas mis camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son grises menos dos. ¿Cuántas camisas tengo de cada color? 2) En una caja de fósforos solo queda un fósforo. En una noche fría, tú entras a una habitación donde hay una candela, una lámpara de gas y una estufa, todo apagado. A fin de calentarte lo más rápidamente posible y encender todos los elementos, ¿en qué orden te conviene encender los elementos?

Primer grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo Para ganar agilidad mental y rapidez en el cálculo, debes practicar constantemente. Comprueba tú mismo qué tanto dominas las tablas de multiplicar. Escribe el resultado de las operaciones lo más rápido que puedas. No utilices calculadora. Escribe con lápiz. Así, si te equivocas, puedes borrar. A. Multiplica tan rápido como puedas. 1) 1 x 4 =

11) 3 x 6 =

21) 3 x 1 =

2) 2 x 5 =

12) 3 x 5 =

22) 4 x 6 =

3) 3 x 7 =

13) 2 x 6 =

23) 4 x 4 =

4) 4 x 2 =

14) 1 x 9 =

24) 4 x 3 =

5) 2 x 3 =

15) 3 x 6 =

25) 3 x 9 =

6) 4 x 8 =

16) 1 x 5 =

26) 2 x 8 =

7) 2 x 1 =

17) 3 x 4 =

27) 3 x 7 =

8) 2 x 9 =

18) 4 x 5 =

28) 1 x 9 =

9) 1 x 8 =

19) 1 x 3 =

29) 4 x 7 =

20) 2 x 2 =

30) 4 x 5 =

10) 2 x 7 =

B. Encuentra el factor que completa la multiplicación. 1) 4 x

= 8

11)

x 8 = 32

21) 3 x

= 27

2) 5 x

= 40

12)

x 3 = 12

22) 6 x

= 24

3) 5 x

= 20

13)

x 5 = 15

23) 2 x

= 16

4) 5 x

= 25

14)

x 9 = 36

24) 5 x

= 30

5) 5 x

= 35

15)

x 3 = 18

25) 4 x

= 28

6) 4 x

= 16

16)

x 5 = 30

26) 3 x

= 18

7) 5 x

= 45

17)

x 8 = 48

27) 6 x

= 36

8) 4 x

= 24

18)

x 9 = 54

28) 3 x

= 24

9) 5 x

= 10

19)

x 10 = 60

29) 6 x

= 42

10) 4 x

= 4

20)

x 10 = 50

30) 7 x

= 63

Unidad 1 – Matemática

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Conozco el campo de estudio de la lógica. Distingo una proposición de una expresión que no es proposición. Distingo entre una proposición simple cerrada y una abierta. Represento proposiciones en forma simbólica y realizo su negación.

Después de estudiar...

Identifico proposiciones compuestas. Expreso qué es un conjunto. Identifico los elementos de un conjunto y determino su cardinalidad. Clasifico conjuntos de acuerdo al número de elementos. Puedo representar los conjuntos en diferentes formas. Comprendo y determino relaciones de pertenencia y no pertenencia. Asocio relaciones de pertenencia y contención a situaciones cotidianas. Defino y realizo la unión e intersección de conjuntos. Defino y determino diferencia y diferencia simétrica entre conjuntos. Defino y determino el complemento de un conjunto. Resuelvo con éxito los problemas. Realizo con agilidad y certeza operaciones de cálculo.

Primer grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! El Ministerio de Educación realiza cada año pruebas de matemática y de comprensión lectora a todos los estudiantes que están cursando el último año del ciclo básico y a los estudiantes del último año de diversificado. Estas pruebas tienen el propósito de obtener información que permita mejorar la calidad educativa de nuestro país. Consecuentes con esta mejora educativa, hemos elaborado al final de cada unidad una prueba corta para que te vayas preparando poco a poco. Instrucciones: 1. Usa estas páginas solo para leer las preguntas. 2. La hoja de respuestas se encuentra en la hoja posterior a la prueba. Recórtala. 3. Lee cada pregunta o enunciado y las cuatro opciones. Solo una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta. 4. Selecciona la opción correcta (A, B, C o D) y rellena el círculo que le corresponde en tu hoja de respuestas. Ten cuidado y asegúrate de que rellenas el círculo correcto. 5. Para responder esta prueba, deberás utilizar solamente lapicero negro. 6. Mide el tiempo que tardas en resolver la prueba. Practica hasta que consigas hacerlo en el menor tiempo posible. Guíate por el ejemplo del recuadro.

Instrucciones: Lee el texto para responder a la pregunta del inciso 0. Una galaxia es un conjunto de estrellas, nubes de gas, planetas, y polvo cósmico unidos gravitatoriamente. Se cree que existen más de cien millones de galaxias en el Universo. 0) ¿Qué clase de conjunto es el formado por las estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea? A. unitario

B. finito

C. vacío

D. infinito

En tu hoja de respuestas deberás rellenar el círculo de la respuesta correcta. 0. A.

1. A.

2. A.

3. A.

De esta forma debes rellenar el círculo

Unidad 1 – Matemática

1) A una oración o enunciado que se puede determinar como verdadero o falso se le llama… A. lógica

B. variable

C. proposición

D. preposición

C. ¡Hola!

D. ¿Qué tal?

2) De las siguientes expresiones, una proposición es… A. linda noche

B. 7 es número impar

3) Una proposición formada por dos proposiciones simples se llama… A. simple

B. atómica

C. compuesta

D. común

4) El valor de "x" que transforma q: x es un país de C.A. en proposición cerrada es… A. Italia

B. México

C. Guatemala

D. Bolivia

5) La proposición m: "Berta es guatemalteca y César es hondureño" es una proposición… A. simple

B. compuesta G

C. atómica

D. común

C. G , P

D. P – G

6) La operación que representa el diagrama A. P ∩ G

B. G − P

7) El diagrama de Venn que representa correctamente la operación A , B es... A.

8) La representación gráfica correcta de C + D es... A.

9) De los siguientes diagramas de Venn, ¿cuál es el que representa X – Y? A.

10) La diferencia entre los conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {1, 3, 6, 9, 13} está representada por... A. A – B = {5, 7}

B. A – B = {1, 3, 9}

C. A – B = {1, 3, 6, 9, 13}

D. A – B = {9, 5, 7}

11) La diferencia entre el conjunto J = {Cobán, Huehuetenango, Quetzaltenango} y K = {Zacapa, Chiquimula, Cobán} es... A. J – K = {Huehuetenango, Quetzaltenango} B. J – K = {Cobán} C. J – K = {Cobán, Huehuetenango, Quetzaltenango, Zacapa, Chiquimula} D. J – K = {Huehuetenango, Quetzaltenango, Zacapa, Chiquimula}

Primer grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 0. A.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

Unidad 1 – Matemática

Los números naturales

unidad

¿Qué sabes del tema? Los números naturales nacieron para satisfacer una necesidad del ser humano, la de contar sus pertenencias, calcular distancias y medir el tiempo. •

¿Cómo te imaginas el mundo sin números?

•

¿Conoces a alguien que no sepa contar?

•

¿Qué ganarías o perderías en tu vida si no supieras contar?

¿Qué encontrarás en esta unidad? ¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo nacieron los números?

Taller de matemática Los números naturales • Características • Representación sobre una semirrecta • Comparación y orden de series de naturales • Operaciones y sus propiedades • Potenciación y radicación

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 2 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos.

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

2. Utiliza gráficas y símbolos en la representación de información.

2.1 Representa sobre la semirrecta numérica a los números naturales.

Trazar semirrectas numéricas, graduarlas y localizar números naturales en ellas.

3. Calcula operaciones de números naturales con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Compara y ordena números naturales.

Comparar dos números naturales. Ordenar series de números naturales. Realizar operaciones con números naturales. Resolver operaciones de cálculo mental.

Primer grado – ciclo básico

3.2 Opera con seguridad justificando los pasos que sigue y verificando los resultados.

¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo nacieron los números?

Hace muchos, muchísimos años, las personas vivían en pequeños grupos, en cuevas donde se escondían de los animales peligrosos y se protegían del mal tiempo. Cazaban animales para alimentarse y para saber cuántos habían atrapado, marcaban un palo con señales. Pasaron muchos años para cambiar la forma de vida: las personas se organizaron en tribus, se dividieron el trabajo entre sus miembros, etc. Los pastores, por ejemplo, se encargaron de guardar los rebaños, recoger la lana de las ovejas y su leche. Y estos pastores, ¿cómo hacían para contar las ovejas? Probablemente, según salía cada animal a pastar al campo, el pastor metía una piedra en su morral. Comparando cantidades, la humanidad construyó el concepto de número. Para los primitivos, el hecho de contar debía de estar muy relacionado con piedras, palos, marcas, dedos, etc. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad de contar objetos. Texto adaptado de "La maravillosa historia de los números". Museo virtual de la ciencia. Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), España.

¡A trabajar! 1) Según la lectura, ¿cuál fue la primera forma de ‟contar" del ser humano? 2) El conteo de objetos se dio ¿cómo una distracción, como una necesidad o por casualidad?

Unidad 2 – Matemática

Taller de matemática Los números naturales (N) Tú conoces muy bien los números naturales porque los utilizas siempre desde que aprendiste a contar y los sigues utilizando a diario, ¿verdad? El conjunto de los números naturales está formado por los números que se utilizan para contar. Este conjunto se identifica con la letra N mayúscula. En el principio, el conjunto de los números naturales estaba formado por los números del 1 en adelante. Luego, en el siglo VII d.C., los hindúes inventaron el símbolo que representa el vacío, la nada, ese símbolo es el número cero. A partir de entonces el conjunto de los números naturales está formado por los números del 0 hasta el infinito: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…}

Características de los números naturales El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:

Su primer elemento es el número cero.

Es un conjunto infinito. No podemos conocer el último número.

Es un conjunto ordenado. Todo número natural, menos el cero, tiene un número que lo antecede y un número que lo sucede.

Representación de los números naturales sobre la semirrecta numérica Los números naturales se pueden representar por medio de puntos sobre una semirrecta. Semirrecta: cada una de las partes en que queda dividida una recta. Tiene un punto de origen y, por otra parte se extiende hacia el infinito.

Conozcamos la forma de representarlos:

Dibujamos una semirrecta y, en el lado izquierdo, señalamos el punto de inicio de la semirrecta. Hacia la derecha marcamos puntos equidistantes1.

Escribimos el cero (0) debajo del punto de origen y a su derecha los números consecutivos. 0

puntos equidistantes: puntos sobre una recta ubicados a la misma distancia unos de otros.

Primer grado – ciclo básico

6...

Comparación y orden de los números naturales Para comparar y ordenar dos o más números naturales entre sí utilizamos los símbolos de comparación.

> (mayor que)

< (menor que)

= (igual que)

Veamos el ejemplo: La familia Pérez tiene 4 hijos. En la tabla tenemos el nombre y la edad de cada uno. Nombre Edad

Carlos

Emilia

René

Rosario

Un truco para no confundir los signos mayor que y menor que: Mano derecha signo > (mayor que).

Al comparar la edad de algunas parejas de hermanos tenemos:

Carlos es mayor que Emilia porque 17 es mayor que 15.

Matemáticamente lo expresamos: 17 > 15 Se lee: 17 es mayor que 15

Mano izquierda signo < (menor que).

Rosario es menor que René.

Escribimos: 12 < 15 Emilia tiene la misma edad que René. 15 = 15

Recuerda que una de las características de los números naturales es que forman un conjunto odenado. Por lo tanto, podemos ordenar los números de forma ascendente (de menor a mayor) y de forma descendente (de mayor a menor). Veamos un ejemplo:

En la Tierra, hay catorce montañas que superan los 8,000 metros de altitud. Una alpinista tiene planeado subir a cuatro de estas montañas, durante los próximos cinco años. Piensa hacerlo de forma ascendente, de la montaña más baja a la más alta. Ayudémosle a ordenar su ruta:

Montaña

Altura

Cho Oyu

8201 m

Monte Everest

8848 m

Manaslu

8163 m

Kanchenjunga

8586 m

Para ordenar una serie de menor a mayor (orden ascendente):

Hacemos una lista de las alturas, identificamos la más baja y la señalamos: 8201 – 8848 – 8163 – 8586

Escribimos la menor altura (8163) para iniciar la serie y a continuación, a la derecha y en orden de menor a mayor las alturas: 8163 < 8201 < 8586 < 8848

El recorrido de la alpinista será: Manaslu (8163 m), Cho Oyu (8201 m), Kanchenjunga (8586 m) y Everest (8848 m).

Unidad 2 – Matemática

Pero, ¿qué pasaría si la alpinista hiciera su recorrido al revés? Para ordenar una serie de mayor a menor (orden descendente):

Hacemos la lista identificamos la montaña más alta y la señalamos: 8201 – 8848 – 8163 – 8586

Escribimos la mayor altura (8848) para iniciar la serie. Luego, escribimos a la derecha y en orden de mayor a menor, las alturas: 8848 > 8586 > 8201 > 8163

¡Listo! Como ves es muy fácil ordenar una serie de números de forma ascendente o descendente. Solo debes tener cuidado con los signos.

Ejercicio 1 A. Localiza en la semirrecta los números de cada conjunto. Algunos ya están localizados. 1) A = {0, 3, 5, 11, 13}

2) B = {0, 4, 7, 11}

B. Compara cada pareja de números y escribe en el espacio el símbolo > , < o =, según corresponda. 1) 5

3) 15

5) 18

7) 89

2) 7

4) 18

6) 99

100

8) 875

98 857

C. Ordena esta serie de números en forma ascendente. 175, 342, 198, 411, 61, 111:

D. Ordena esta serie de números en forma descendente. 23, 17, 56, 67, 124, 41:

E. Ordena los acontecimientos históricos que se presentan, del más antiguo (1519) al más reciente (1991) y represéntalos en una línea de tiempo. Trabaja en tu cuaderno. Teoría atómica de la materia (1803)

Primera transfusión de sangre (1625)

Desaparece la Unión Soviética (Urss) (1991)

Primer hombre en el espacio (1961)

Muere Leonardo da Vinci (1519)

Graham Bell inventa el teléfono (1807)

Newton formula la Ley de Gravitación (1687)

Descubrimiento de la penicilina (1928)

Primer grado – ciclo básico

Operaciones en el conjunto de los números naturales (N) y sus propiedades Las operaciones suma, resta, multiplicación y división son ya conocidas desde la primaria. En esta unidad las recordaremos brevemente.

Suma de números naturales La suma o adición es la operación que consiste en reunir varias cantidades en una sola. sumandos Las cantidades que se reúnen se llaman sumandos y la cantidad que resulta es la suma o total. suma a+b=c 4 + 3 = 7

Propiedades de la suma

Conmutativa: de la palabra conmutar, que significa intercambiar o cambiar una cosa por otra.

Propiedad conmutativa a+b=b+a

La propiedad conmutativa expresa que el orden de los sumandos no altera el resultado.

18 + 12 = 12 + 18 30 = 30

Propiedad asociativa La propiedad asociativa afirma que no importa cómo se agrupen los sumandos para operarlos, el resultado es el mismo.

Elemento neutro El elemento neutro es aquel que al sumarlo a cualquier número natural, da como resultado el mismo número. El elemento neutro de la suma es el 0.

(a + b) + c = a + (b + c) (9 + 8) + 2 = 9 + (8 + 2)

17 + 2 = 9 + 10

19 = 19 a+0=a 14 + 0 = 14

Resta de números naturales La resta o sustracción es la operación inversa a la suma. Se utiliza para hallar la diferencia entre dos cantidades. El minuendo es el número mayor, al que se le resta otra cantidad. El sustraendo es el número menor, es la cantidad restada. El resultado es la diferencia.

Asociativa: de la palabra asociar, que significa juntar o asociar cosas o ideas.

minuendo sustraendo

a–b=c

diferencia

8–2=6

Propiedades de la resta La resta solo cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 0 ocupe la posición del sustraendo.

a–0=a 7–0=7

Unidad 2 – Matemática

Multiplicación o producto de números naturales Multiplicar es la operación que consiste en aumentar un número (multiplicando) tantas veces como indica el multiplicador, para obtener un resultado o producto. El multiplicando es el número que se repite, el multiplicador es el número que indica cuántas veces se repite y el resultado se llama producto.

multiplicando

multiplicador

axb=c 27 x 5 = 135

producto

Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa Al multiplicando y al multiplicador se les conoce también como factores.

axb=bxa 5x8=8x5 40 = 40

La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que el orden de los factores no altera el producto.

Propiedad asociativa (a x b) x c = a x (b x c)

La propiedad asociativa de la multiplicación dice que la manera en que se agrupan los factores no altera el producto. Esta propiedad nos permite agrupar los factores de la forma más conveniente para facilitar la operación.

(4 x 2) x 5 = 4 x (2 x 5)

8 x 5 = 4 x 10 40 = 40

Distributiva del producto respecto de la suma y la resta La propiedad distributiva dice que para multiplicar un número natural por una suma o una resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o se restan los resultados. a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Distributiva respecto de la suma:

a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

Distributiva respecto de la resta:

Elemento neutro El elemento neutro del producto es el 1. Multiplicar cualquier número natural por 1 da como resultado el mismo número natural.

Primer grado – ciclo básico

7 x (3 + 2) = (7 x 3) + (7 x 2) 7 x 5 = 21 + 14 35 = 35

9 x (8 – 3) = (9 x 8) – (9 x 3) 9 x 5 = 72 – 27 45 = 45 ax1=a 7x1=7

División de números naturales La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en repartir una cantidad en partes iguales. dividendo

El dividendo es la cantidad que se reparte y el divisor es la cantidad que indica en cuántas partes se divide. El resultado se llama cociente.

divisor cociente

D÷d=c

Propiedades de la división Elemento neutro

a÷1=a

La división solo cumple con la propiedad del elemento neutro siempre que el 1 ocupe la posición del divisor.

7÷1=7

Ejercicio 2 Practica lo aprendido sobre las operaciones y sus propiedades. A. Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa de la suma.

1) 8 + 7 = 7 + 8 =

2) 5 + 9 = 9 + 5 =

3) 6 + 14 = 14 + 6 =

B. Haz lo mismo con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

1) 7 x 5 = 5 x 7

2) 4 x 9 = 9 x 4 =

3) 21 x 10 = 10 x 21 =

C. Aplica la propiedad asociativa de la multiplicación y comprueba que el resultado no cambia. 1) 3 x (2 x 5) = (3 x 2) x 5 2) (2 x 3) x 6 = 2 x (3 x 6) = = = = D. Comprueba cómo al aplicar la propiedad distributiva el resultado no cambia. 1) 2 x (3 + 2) = (2 x 3) + (2 x 2)

5 x (10 – 2) = (5 x 10) – (5 x 2)

E. Comprueba que el 1 es el elemento neutro de la división cuando ocupa el lugar del divisor.

24 ÷ 1 =

2) 204 ÷ 1 =

3) 576 ÷ 1 =

Unidad 2 – Matemática

Potenciación de números naturales Gracias a Descartes, filósofo y matemático francés, tenemos una forma rápida de escribir un número que se multiplica varias veces por sí mismo. Esta operación es la potenciación. Una potencia es la forma abreviada de expresar una multiplicación de un número por sí mismo. Toda potencia se compone de dos partes: La base es el número que se multiplica dos o más veces por sí mismo. El exponente indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

exponente

base

23 = 2 x 2 x 2

Por ejemplo: Para expresar el producto 3 x 3, escribimos:

Para expresar el producto 4 x 4 x 4 x 4 x 4, escribimos:

Todo número está elevado a la potencia 1, pero el exponente no se escribe 51 = 5.

¿Cómo se leen las potencias? En general, para leer una potencia, primero se menciona la base, luego la expresión ‟elevado a..." y, por último, el exponente.

Cuando el exponente es 2 se dice ‟elevado al cuadrado". Cuando el exponente es 3, ‟elevado al cubo". En el resto de los casos, solo se nombra el número que indica el exponente.

Practica la lectura de potencias, puedes empezar con estos ejemplos: 45 52 63 39

Se lee: cuatro elevado a cinco. Se lee: cinco elevado al cuadrado. Se lee: seis elevado al cubo. Se lee: tres elevado a la nueve.

Desarrollo de una potencia Desarrollar una potencia es calcular el resultado de la multiplicación que expresa. Para hacerlo:

Multiplicamos la base tantas veces como indique el exponente. Fíjate en los ejemplos de desarrollo de potencias:

32 = 3 x 3 = 9 53 = 5 x 5 x 5 = 125 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Primer grado – ciclo básico

Reglas de la potenciación Antes de empezar con las reglas de la potenciación, recuerda que la potenciación consiste en multiplicar un número por sí mismo. ¡No lo olvides! 32 no es igual que 3 x 2. 32 ≠ 3 x 2

32 = 3 x 3 = 9 Para calcular potencias de números naturales, en primer lugar, debes tomar en cuenta estas dos reglas y memorizarlas. Regla 1

Todo número natural elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1).

a0 = 1

Esta regla no se cumple cuando la base es cero. 00 ≠ 1

250 = 1

Regla 2

Todo número natural elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número.

a1 = a 191 = 19

Producto y división de potencias Además de las reglas que acabamos de estudiar, hay cuatro reglas para multiplicar y dividir potencias de forma sencilla y rápida. Estas reglas son:

Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes.

an x am = an + m 32 x 33 = 32 + 3= 35 65 x 67 = 65 + 7= 612

Producto de potencias de bases diferentes y exponentes iguales Para multiplicar potencias de bases diferentes y exponentes iguales, se multiplican las bases y se copia el exponente.

an x bn = (a x b)n 23 x 43 = (2 x 4)3 = 83 35 x 55 = (3 x 5)5 = 155

División de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes.

an ÷ am = an – m 25 ÷ 22 = 25 – 2 = 23

División de potencias de bases diferentes y exponentes iguales Para dividir potencias de bases distintas y exponentes iguales, se dividen las bases y se copia el exponente.

an ÷ bn = (a ÷ b)n 62 ÷ 32 = (6 ÷ 3)2 = 22

Unidad 2 – Matemática

Ejercicio 3 A. Desarrolla las potencias. Guíate por los ejemplos estudiados. 1) 73 =

4) 33 =

2) 54 =

5) 105 =

3) 27 =

6) 46 =

B. Recuerda las reglas de potenciación y resuelve los ejercicios. 1) 100 =

2) 92 =

3) 103 =

4) 5250 =

5) 1000 =

C. Escribe el exponente que haga cierta cada potencia. 1) 8--- = 1

2) 25--- = 625

3) 101--- = 1 4) 10--- = 1000

Completa la regla y resuelve los ejercicios. Expresa el resultado como potencia. y se

D. Para multiplicar potencias con igual base, se los exponentes. 1) 7⁶ x 7⁸ =

4) 15⁷ x 15⁵ =

2) 2² x 2⁶ =

5) 87² x 87⁴ =

3) 9³ x 9⁴ =

6) 718 x 71 =

E. Para multiplicar potencias de bases diferentes y exponentes iguales, se se el exponente. 1) 7⁴ x 4⁴ =

4) 10² x 2² =

2) 6⁴ x 3⁴ =

5) 128 x 28 =

3) 9⁵ x 2⁵ =

6) 10⁷ x 1⁷ =

F. Para dividir potencias de igual base, se 1) 78⁵ ÷ 783 =

la base y se

5) 65¹⁶ ÷ 65²

2) 9¹² ÷ 9⁶ =

6) 99 ÷ 99

3) 7⁸ ÷ 7² =

7) 103⁷ ÷ 103² =

4) 14⁷ ÷ 144 =

8) 298⁸ ÷ 298³ =

G. Al dividir potencias con bases distintas y exponentes iguales, se el exponente.

1) 18⁵ ÷ 2⁵ =

6) 49² ÷ 7² =

2) 634 ÷ 74 =

7) 25⁷ ÷ 5⁷ =

3) 35² ÷ 5² =

8) 18⁶ ÷ 3⁶ =

4) 12² ÷ 2² =

9) 54² ÷ 6² =

5) 81⁸ ÷ 9⁸ =

10) 90³ ÷ 9³ =

Primer grado – ciclo básico

las bases y

los exponentes.

las bases y se

Radicación de números naturales La radicación es la operación inversa de la potenciación. La raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea igual al número que tenemos. Por ejemplo: ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 4?

Atención: la raíz cuadrada de 1 es 1 porque 1 x 1 = 12 = 1

¡Efectivamente! La respuesta es 2, porque 2 x 2 = 22 = 4 Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 es 2 y lo expresamos así: 4 = 2 Otro ejemplo: ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 16? ¡Claro! La respuesta es 4, porque 4 x 4 = 42 = 16 Por lo tanto, la raíz cuadrada de 16 es 4 y lo expresamos: 16 = 4

Cálculo de la raíz cuadrada exacta Cuando la raíz de un número es un número entero, decimos que es una raíz exacta. Por ejemplo 81 = 9 o 100 = 10 Calculemos la raíz cuadrada de 36

Buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a 36.

La respuesta es 6, porque 62 = 36. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 36 es 6.

En lenguaje matemático se expresa:

36 = 6 porque 62 = 36

Otros ejemplos

64 = 8

porque

82 = 64

25 = 5

porque

52 = 25

Ejercicio 4 Relaciona tus conocimientos de potenciación y calcula las raíces exactas. 1)

9 =

81 =

36 =

49 =

5) 25 =

16 =

64 =

100 =

4 =

Unidad 2 – Matemática

Procedimiento para extraer raíces cuadradas de cantidades grandes Cuando las cantidades son pequeñas es fácil calcular su raíz si sabemos las tablas de multiplicar, pero cuando las cantidades son grandes, debemos seguir un procedimiento. La mejor manera de comprenderlo es con un ejemplo. Calculemos la raíz cuadrada de 1764. 1. Primero colocamos el número dentro del radical separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.

17´64

2. Luego, buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, (17), o un valor menor lo más cercano. El número que más se aproxima es 4, porque 42 = 16. Luego, escribimos:

El número 4 en el resultado.

Elevamos al cuadrado el 4 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades (17 – 16 = 1)

17´64 4 – 16 1

Bajamos el siguiente grupo, 64 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 164.

17´64 4 – 16 1 64

El resultado parcial 4 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 8.

17´64 4 4x2=8 – 16 1 64

3. Buscamos un número que acompañe a 8, que multiplicado por ese mismo número nos dé 164 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.

17´64 4 8 – 16 1 64

4. El número buscado es 2 porque al agregárselo a 8 se forma el número 82, y 82 x 2 es igual 164. Escribimos el resultado y lo restamos de 164.

17´64 4 82 x 2 = 164 – 16 1 64 – 1 64 0

5. Subimos el 2 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (42). Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.

Primer grado – ciclo básico

17´64 42 82 x 2 = 164 – 16 1 64 – 1 64 0

Ejercicio 5 Ahora practica resolver raíces de cantidades grandes en espacios más pequeños y en menos tiempo. 1)

169 2) 256

3136

5476 6) 77

965

Unidad 2 – Matemática

Taller de prácticas Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

Ejercicio 1 A. Para cada inciso traza una semirrecta, marca los puntos equidistantes y localiza los números naturales de cada conjunto. 1) J = {2, 4, 6, 8, 10}

4) N = {1, 3, 5, 7, 9}

7) H = {4, 8, 12, 16}

2) L = {7, 8, 9, 10}

5) M = {2, 3, 7, 11}

8) Q = {5, 10, 15}

3) K ={3, 6, 9, 12}

6) P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

9) T = {6, 9, 12}

B. Compara cada pareja de números y escribe el resultado a la par con el signo =, >,

<, según corresponda.

1) 9 y 12

4) 651 y 651

7) 73 y 85

2) 54 y 89

5) 3999 y 3998

8) 812 y 802

3) 92 y 89

6) 710 y 709

9) 99 y 101

C. Ordena las cantidades: 78, 85, 16, 59, 203, 167, 55, 93 en forma descendente. D. Ordena las cantidades: 88, 56, 14, 98, 84, 123, 145, 49 en forma ascendente. E. En una tabla ordena los nombres de acuerdo a las notas obtenidas. Hazlo de la nota más alta (mayor) a la nota más baja (menor).

Luisa 89 Fernando 65 Irma 75

Francisco Fabiola Carlos

54 97 85

Ejercicio 2 A. Escribe el nombre de la propiedad que se aplica en cada operación. 1) 24 + 5 = 5 + 24 2) (32 + 8) + 5 = 32 + (8 + 5) 3) 101 + 0 = 101 4) 2 x (7 x 4) = (2 x 7) + (2 x 4) 5) 34 x 1 = 34

Primer grado – ciclo básico

B. Comprueba en tu cuaderno la propiedad conmutativa de la suma. 1) 14 + 6 = 6 + 14

3) 18 + 23 = 23 + 18

2) 35 + 9 = 9 + 35

4) 45 + 18 = 18 + 45

C. Comprueba en tu cuaderno la propiedad conmutativa de la multiplicación. 1) 7 x 5 = 5 x 7

3) 24 x 2 = 2 x 24

2) 12 x 5 = 5 x 12

4) 20 x 5 = 5 x 20

D. Aplica la propiedad asociativa de la multiplicación y comprueba que el resultado no cambia. 1) (7 x 3) x 2 = 7 x (3 x 2)

3) (8 x 2) x 5 = 8 x (2 x 5)

2) 5 x (2 x 3) = (5 x 2) x 3

4) 5 x (2 x 4) = (5 x 2) x 4

E. Comprueba que se cumple la propiedad del elemento neutro de la suma. 1) 42+ 0 =

2) 7769 + 0 =

3) 523 + 0 =

F. Comprueba que se cumple la propiedad del elemento neutro de la multiplicación. 1) 27 x 1 =

2) 1 x 234 =

3) 59 x 1 =

G. Aplica la propiedad asociativa de la suma o de la multiplicación para resolver los ejercicios. 1) 8 + 7 + 4 =

6) 3 x 9 x 12 =

2) 7 + 5 + 15 =

7) 8 x 5 x 10 =

3) 10 + 15 + 11 =

8) 6 x 12 x 8 =

4) 5 + 2 + 3 + 5 =

9) 21 x 2 x 2 =

5) 24 + 21 + 6 + 9 =

10) 6 x 2 x 12 =

H. Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta. 1) 6 x (7 + 2) =

4) 8 x (10 – 4) =

2) 7 x (4 + 3) =

5) 200 x (5 – 3) =

3) 4 x (5 + 6) =

6) 13 x (4 – 2) =

Unidad 2 – Matemática

Ejercicio 3 A. Escribe en forma de potencia cada multiplicación. =

3) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =

5) 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 =

2) 2 x 2 x 2 =

4) 8 x 8 x 8 x 8

6) 6 x 6 x 6 x 6

1) 3 x 3

B. Expresa cada potencia como producto. 3

1) 4 = 5

2) 16 =

3) 39 =

4) 7 =

C. Desarrolla cada potencia. Toma en cuenta las reglas de potenciación. 2

5) 11

4) 10

2) 17 =

6) 2

1) 3

3) 14 =

D. Realiza las operaciones de potencias y expresa el resultado como potencia. 1) 8

÷8 =

6) 3 x 3

11) 27 ÷ 9

12) 35 ÷ 7

7) 8 x 2 =

8) 18 ÷ 3 =

13) 24 ÷ 24 =

14) 16 ÷ 16 =

10) 81 ÷ 9 =

15) 12 ÷ 12 =

2) 2 x 2 3) 3 x 3 4) 5 x 5 5) 4 x 2

9) 3 ÷ 3 8

E. Resuelve las raíces cuadradas exactas. Comprueba tu respuesta elevando el resultado al cuadrado. 1)

4 = 5)

64 =

1 =

36 = 6)

10)

100 =

25 =

81 = 7)

144 = 11)

49 =

9 = 8)

121 = 12)

F. Atrévete ahora a resolver raíces de números más grandes. Comprueba tu respuesta elevando el resultado al cuadrado. 1)

676

2) 3)

225 =

484

1024 =

5) 4225 =

6561 =

1225 =

6) 256

9216 =

Primer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Deja escritas todas las operaciones que realices. 1) Don Beto tiene 5 camiones y cada uno tiene 6 llantas. a.

¿Qué cantidad de llantas suman todos los camiones?

Si cada llanta cuesta Q1,500.00, ¿cuánto dinero necesita para poner llantas nuevas a uno de los camiones?

2) En una maquila se empacan 7 docenas de pantalones por caja. a.

¿Cuántos pantalones se empacan en 1 caja?

¿Cuántos pantalones se empacan en 5 cajas?

3) Se prepararon bolsas de dulces para los niños y las niñas de la comunidad. Cada bolsa tiene 8 caramelos, 3 paletas y 6 chicles. a.

¿Cuántas paletas se empacaron en 10 bolsas?

¿Cuántos caramelos hay en 7 bolsas?

4) En un centro comercial están ubicados 25 negocios. El dueño de cada negocio paga 8 quetzales diarios por la extracción de basura. a.

¿Cuánto recibe la empresa por un día de extracción de basura?

Si se agregan 5 negocios, ¿cuál será el total que deben pagar?

5) El calendario agrícola de los mayas tiene 18 meses de 20 días cada uno, más un período de 5 días. ¿Cuántos días tiene en total el calendario agrícola de los mayas? 6) Se reparte una colección de discos entre tres ganadores de un premio. A cada ganador se le entregan 15 discos y sobran 2. ¿Cuántos discos había en la colección? 7) Alicia compró un equipo de sonido en 8 cuotas de 233 quetzales cada una. a.

¿Cuánto tendrá que pagar en total por el equipo de sonido?

Si le descuentan 23 quetzales en cada pago, ¿cuál es el precio final?

8) El día de tu cumpleaños decides invitar al cine a dos primas y a un amigo. Si la entrada cuesta 35 quetzales: a.

¿Cuánto gastarás en total?

¿Qué cantidad te devuelven si pagas con dos billetes de 100 quetzales?

B. Resuelve los siguientes quiebracocos. 1) Un tren eléctrico va en dirección Este – Oeste con velocidad de 120 km/h. ¿Qué dirección toma el humo que sale de la locomotora? 2) Si tienes una bolsa con tres manzanas, ¿cómo harías para darles a tres niños una manzana a cada uno y que quede una manzana en la bolsa?

Unidad 2 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo A.

Resuelve las operaciones en el menor tiempo posible. 1) 7 x 1 =

11) 8 x 7 =

21) 1 x 7 =

2) 8 x 2 =

12) 8 x 8 =

22) 8 x 1 =

3) 8 x 5 =

13) 3 x 7 =

23) 8 x 6 =

4) 7 x 4 =

14) 4 x 7 =

24) 8 x 3 =

5) 7 x 7 =

15) 5 x 7 =

25) 4 x 8 =

6) 7 x 3 =

16) 6 x 7 =

26) 8 x 5 =

7) 8 x 7 =

17) 8 x 8 =

27) 6 x 8 =

8) 7 x 8 =

18) 8 x 9 =

28) 8 x 7 =

9) 7 x 9 =

19) 9 x 7 =

29) 7 x 4 =

10) 8 x 10 =

20) 10 x 7 =

30) 7 x 6 =

Sigue practicando el cálculo mental. 1) 8 x 9 =

11) 9 x 10 =

21) 4 x 9 =

2) 7 x 9 =

12) 10 x 5 =

22) 8 x 2 =

3) 5 x 9 =

13) 9 x 1 =

23) 6 x 3 =

4) 3 x 9 =

14) 7 x 2 =

24) 7 x 4 =

5) 7 x 10 =

15) 5 x 3 =

25) 9 x 5 =

6) 4 x 9 =

16) 3 x 4 =

26) 3 x 6 =

7) 3 x 10 =

17) 2 x 5 =

27) 6 x 7 =

8) 2 x 9 =

18) 3 x 6 =

28) 8 x 10 =

9) 9 x 9 =

19) 9 x 7 =

29) 6 x 9 =

10) 10 x 2 =

20) 3 x 8 =

30) 10 x 4 =

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Después de estudiar...

Defino con mis palabras el conjunto N de los números naturales. Represento sobre una semirrecta numérica el conjunto N de los números naturales. Recuerdo y realizo operaciones de números naturales. Reconozco e identifico las partes de las operaciones con números naturales. Comprendo y compruebo algunas propiedades de las operaciones de naturales. Resuelvo con acierto los problemas propuestos. Resuelvo con agilidad las hojas de cálculo.

Unidad 2 – Matemática

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas, rellena el círculo que corresponde a la respuesta correcta. 1) En la serie de números naturales: 23, 17, 56, 67, 124, 41, el menor es: A. 23

B. 17

C. 41

D. 56

C. conmutativa

D. asociativa

2) La operación 7 + 0 = 7 es un ejemplo de la propiedad: A. elemento neutro

B. elemento unitario

3) Una operación que ejemplifica la propiedad conmutativa es... A. 0 + 5 = 5

B. 8 x 1 = 8

C. 7 + 1 = 8

D. 3 + 5 = 5 + 3

4) La expresión 5 x (4 + 3) = (5 x 4) + (5 x 3) es un ejemplo de la propiedad... A. elemento neutro

B. conmutativa

C. distributiva

D. asociativa

C. distributiva

D. elemento neutro

C. residuo

D. cociente

C. 78

D. 87

C. sustraendo

D. diferencia

5) La expresión a x b = b x a identifica la propiedad... A. conmutativa

B. asociativa

6) En la operación 14 ÷ 2 =7 el número 2 es el... A. dividendo

B. divisor

7) El resultado de dividir 87 ÷ 1 es... A. 1

B. 0

8) En la resta 11 – 4 = 7 el número 4 recibe el nombre de... A. cociente

B. minuendo

9) La expresión 5 + (4 + 3) = (5 + 4) + 3 es un ejemplo de la propiedad... A. asociativa

B. conmutativa

C. elemento neutro D. distributiva

10) El elemento neutro de la suma de números naturales es... A. 1

Primer grado – ciclo básico

B. 2

C. 0

D. 3

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES • Rellena con lapicero negro •

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 2 – Matemática

unidad

Teoría de los números ¿Qué sabes del tema? La antigua cultura griega mostró auténtica pasión por los números. Decía Pitágoras, a quien conoceremos más adelante, que el número es la esencia de la realidad y que todo lo real puede ser expresado en relaciones numéricas. Pitágoras al frente de su escuela, los pitagóricos, enunció la teoría de la oposición, llamada también armonía de los contrarios. Esos contrarios en matemáticas son los números pares e impares. De estos y otros números trataremos en esta unidad.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Biografía de Pitágoras Taller de matemática

• • • • • •

Múltiplos y divisores de un número y sus propiedades Divisibilidad de números naturales Números primos y compuestos Expresar números compuestos como producto de sus factores primos Mínimo Común Múltiplo (mcm) Máximo Cómún Divisor (Mcd)

Taller de prácticas

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Ejercicios de repaso

Unidad 3 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos.

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

3. Calcula operaciones de números naturales con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Opera con seguridad, justificando los pasos y métodos que sigue y verificando el resultado.

Determinar conjuntos de múltiplos y divisores de un número. Diferenciar número primo y compuesto. Aplicar los criterios de divisibilidad. Descomponer un número en sus factores primos. Obtener el mcm de dos o más números. Obtener el Mcd de dos o más números. Resolver problemas de mcm y Mcd.

Primer grado – ciclo básico

¡Para iniciar el recorrido! Pitágoras Pitágoras nació en la isla de Samos, en la actual Grecia. Fue filósofo y matemático. Hacia el año 530 a. C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, allí fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. Los pitagóricos aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos, se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados. En aritmética, desarrollaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo.

Pitágoras (582 a.C. – 500 a.C)

A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría, el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como Teorema de Pitágoras. El pitagorismo acabó por convertirse en una fuerza política que despertó hostilidad, lo que originó una revuelta que obligo a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida privado de la libertad. Texto adaptado de Biografía de Pitágoras. centros5.pntic.mec.es/ies.juan.de.mairena/biopit.htm

¡A trabajar! 1) Menciona tres aportes de los pitagóricos a la matemática: a. b. c. 2) ¿Qué significaba el concepto de número para los pitagóricos? Explícalo con tus palabras.

Unidad 3 – Matemática

Taller de matemática Múltiplos de un número natural Los múltiplos de un número natural son los números que se obtienen al multiplicar dicho número por otros números naturales: 0, 1, 2, 3… Desde la primaria has venido practicando las tablas de multiplicar. Los resultados que has memorizado son ejemplos de múltiplos.

7 7 7 7 7

x x x x x

1 2 3 4 5

= 7 = 14 = 21 = 28 = 35

7 7 7 7 7

x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

= 42 = 49 = 56 = 63 = 70

Los resultados o productos: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 y 70 son múltiplos de 7. El conjunto de los múltiplos se nombra con la letra M mayúscula y entre paréntesis se escribe el número del cual enumeramos los múltiplos. M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...} Hagamos un ejemplo: Obtengamos los cinco primeros múltiplos de 3 y 4. Para hacerlo, multiplicamos el 3 y el 4 por los cinco primeros números naturales: 0, 1, 2, 3, 4.

3 3 3 3 3

x x x x x

0 1 2 3 4

= 0 = 3 = 6 = 9 = 12

4 4 4 4 4

x x x x x

0 1 2 3 4

= 0 = 4 = 8 = 12 = 16

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12…} M(4) = {0, 4, 8, 12, 16…} Generalmente, calculamos los primeros múltiplos de un número, pero ¿podríamos calcular todos los múltiplos de un número? —No, porque como ya estudiamos, el conjunto de los números naturales es infinito, por lo tanto, el conjunto de múltiplos también es infinito.

¿Cómo sabemos si un número es múltiplo de otro? Para averiguar si un número es múltiplo de otro, dividimos el número mayor entre el número menor. Si la división es exacta, el número es múltiplo. Si la división es inexacta, el número no es múltiplo. Por ejemplo: ¿15 es múltiplo de 3 y de 6? Para saberlo, dividimos 15 entre 3 y 6? La división es exacta. Por lo tanto 15 es múltiplo de 3.

Primer grado – ciclo básico

5 3 15 – 15 0

2 6 15 – 12 3

La división es inexacta. Por lo tanto 15 no es múltiplo de 6.

Ejercicio 1 A. Obtén los cinco primeros múltiplos de 6, 8, 11 y 15.

M(6) = {

}

M(11) = {

}

M(8) = {

}

M(15) = {

}

B. Responde a las preguntas y explica tu respuesta. 1) ¿14 es múltiplo de 2?

2) ¿25 es múltiplo de 15?

3) ¿143 es múltiplo de 11? 4) ¿83 es múltiplo de 5? C. Piensa y completa las siguientes expresiones. 1) 24 es múltiplo de 3 porque... 2) 25 es múltiplo de 5 porque… 3) 72 es múltiplo de 8 porque… 4) 63 es múltiplo de 9 porque… D. Responde las preguntas y justifica tu respuesta apoyándote en las propiedades de los múltiplos. 1) ¿Cuál es el primer múltiplo de 456? 2) ¿El número 1454 es múltiplo de sí mismo? 3) ¿589 es múltiplo de 1? 4) 90 = 2 x 15 x 3, ¿90 es múltiplo de 2? E. Opera para comprobar que el resultado de multiplicar dos o más números es múltiplo de dichos números. 1) Como 40 = 2 x 4 x 5, comprueba que 40 es múltiplo de 2, 4 y 5. 2) Como 50 = 1 x 5 x 10, comprueba que 50 es múltiplo de 1, 5 y 10. 3) Como 90 = 3 x 5 x 6, comprueba que 90 es múltiplo de 3, 5 y 6. 4) Como 192 = 4 x 6 x 8, comprueba que 192 es múltiplo de 4, 6 y 8.

Unidad 3 – Matemática

Propiedades de los múltiplos de números naturales Los múltiplos de los números naturales cumplen con algunas propiedades.

El cero es el primer múltiplo de todo número natural. Ejemplos: 3x0=0

15 x 0 = 0

Todo número, distinto de cero, es múltiplo de sí mismo y de la unidad (1). Ejemplos: 3 = 1 x 3 y 3=3x1 723 = 1 x 723

723 = 723 x 1

El resultado de multiplicar dos o más números es múltiplo de dichos números. Ejemplo: 42 = 2 x 3 x 7 42 es múltiplo de 2, 3 y 7 porque:

42 = 2 x 21

42 = 3 x 14

42 = 7 x 6

La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número. Ejemplo: 21 y 35 son múltiplos de 7 porque:

21 = 7 x 3 35 = 7 x 5

La suma de 21 + 35 también es múltiplo de 7.

21 + 35 = 56

56 = 7 x 8 Otro ejemplo, 15 y 45 son múltiplos de 5 porque:

15 = 5 x 3

45 = 5 x 9 La suma de 15 + 45 también es múltiplo de 5.

15 + 45 = 60

60 = 5 x 12

Primer grado – ciclo básico

Divisores de un número natural Un divisor es un número que divide a otro un número exacto de veces. Por ejemplo: 5 es un divisor de 15 porque 15 ÷ 5 = 3

5 divide a 15 tres veces exactas.

Para determinar el conjunto de divisores de un número, empezamos a dividir sucesivamente dicho número entre 1, 2, 3,… Si la división es exacta, lo anotamos como divisor. Todos los números que dividen exactamente a otro forman el conjunto de sus divisores.

4 1 4 –4 0

2 2 4 –4 0

1 3 4 –3 1

1 4 4 –4 0

Los números 1, 2, y 4 forman el conjunto de los divisores de 4. Lo escribimos así:

D(4) = {1, 2, 4}

El conjunto de divisores se nombra con la letra D y seguido, entre paréntesis, se escribe el número del cual enumeramos los divisores. A diferencia del conjunto de los múltiplos que son infinitos, los divisores sí pueden determinarse, por lo tanto forman un conjunto finito.

¿Cómo sabemos si un número es divisor de otro? Para averiguar si un número es divisor de otro, dividimos el número mayor entre el número menor.

Si la división es exacta, el número menor es divisor. Si la división es inexacta, el número menor no es divisor.

Comprobemos si 3 y 9 son divisores de 24. Dividimos:

8 3 24 – 24 0

La división es exacta. Entonces, 3 es divisor de 24.

2 9 24 – 18 6

La división es inexacta. Por lo tanto, 9 no es divisor de 24.

Ejercicio 2 Completa el conjunto de los divisores de los números que te indican. 1) D(24) = {

}

3) D(18) = {

}

2) D(30) = {

}

4) D(50) = {

}

Unidad 3 – Matemática

Propiedades de los divisores de números naturales Los divisores de los números naturales cumplen con algunas propiedades.

El número 1 es divisor de todos los números. El resultado de cualquier número dividido entre 1 es igual al mismo número. Ejemplo: 798 ÷ 1 = 798

Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo. Todo número dividido entre sí mismo da como resultado 1. Ejemplo: 521 ÷ 521 = 1

Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de este. Por ejemplo: Si 4 es divisor de 12. Y 24 es múltiplo de 12, entonces, 4 también es divisor de 24. Comprobemos. 12 ÷ 4 = 3 24 ÷ 4 = 6 12 x 2 = 24

}

Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia. Por ejemplo: Ya hemos demostrado que 4 es divisor de 12 y de 24. Comprobemos que también es divisor de la suma y diferencia entre ambos.

12 + 24 = 36 24 – 12 = 12

36 ÷ 4 = 9 12 ÷ 4 = 3

Efectivamente, 4 es divisor de la suma y la resta entre 24 y 12.

Ejercicio 3 A. Rellena el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) ¿Qué operación ejemplifica la propiedad: "El 1 es divisor de todos los números"?

9 ÷ 9 = 1

0 ÷ 4 = 0

57 ÷ 1 = 57

2) ¿Cuál es el primer divisor del conjunto de divisores de 150?

0 150 1

B. Escribe en forma enumerativa al conjunto de todos los divisores de:

1) D(10) = {

}

3) D(12) = {

}

2) D(14) = {

}

4) D(40) = {

}

Primer grado – ciclo básico

Criterios de divisibilidad de los números naturales Cuando la división entre dos números es exacta, decimos que hay entre ellos una relación de divisibilidad. El camino más corto para averiguar esa relación de divisibilidad entre dos o más números consiste en aplicar los criterios de divisibilidad. Los criterios de divisibilidad son reglas fijas que nos permiten reconocer si un número es divisible entre otro, sin realizar la división. Conoceremos los criterios de divisibilidad de los números 2, 3, 5, 25 y de la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.).

Divisibilidad entre 2 Un número es divisible entre 2, cuando la última cifra es cero o cifra par. Por ejemplo son divisibles entre 2: 40 52 774

1636

897558

Divisibilidad entre 3 Un número es divisible entre 3, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo: Comprobemos que el número 615 es divisible entre 3.

6 + 1 + 5 = 12

12 = 3 x 4

Divisibilidad entre 5 Un número es divisible entre 5 cuando la cifra de sus unidades es 0 o 5. Por ejemplo:

325

4630

46785

478235

3456720

Divisibilidad entre 25 Un número es divisible entre 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 25: 25, 50, 75. Son divisibles entre 25: 2700

8350

656775

9300

Divisibilidad entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.) Un número es divisible entre 10 cuando termina en cero; entre 100, si termina en dos ceros; entre 1000, si termina en tres ceros y así sucesivamente.

Entre 10: Entre 100: Entre 1000:

340 7800 3000

4560 98760 56400 75911200 50000 100000

568780 654300 8573000

Unidad 3 – Matemática

Ejercicio 4 A. Encierra en un círculo los números que son divisibles entre 2. 8

546

345

706

342

403

181

876

196

135

236

105

685

231

434

230

506

344

903

545

126

987

870

805

B. Aplica la regla de divisibilidad del 3 para determinar si cada número dado es divisible entre 3. Indica la divisibilidad escribiendo Sí o No en la casilla correspondiente. Número

Suma de las cifras

¿Es divisible entre 3?

27 139 56373 131457 654328 723452 1) Encierra en un círculo los números divisibles entre 5.

552 –

3120

– 444675 –

8756 –

55559 –

4461125

–

6765431

2) Encierra en un círculo los números divisibles entre 25.

35475 – 83455 – 43350 –

758970

– 3632300

3) Encierra en un círculo los números divisibles entre 100.

650

–

3500

– 356000 – 98700 – 20450 – 9300

Primer grado – ciclo básico

– 3876300

Números primos Hay algunos números que solo tienen dos divisores, por ejemplo:

El 2 solo puede dividirse entre 1 y 2 El 3 solo puede dividirse entre 1 y 3 El 7 solo puede dividirse entre 1 y 7

Los números como 2, 3 y 7 que solo tienen dos divisores se llaman números primos. Un número natural es primo cuando sus únicos divisores son el mismo número y la unidad. Los números primos que hay entre los primeros cien números son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 Características de los números primos Los números primos tienen características especiales que grandes matemáticos han estudiado desde hace muchos años. Veamos algunas:

Todos los números primos, excepto el 2, son impares.

Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3.

El conjunto de los números primos es infinito.

El número 1 no se considera número primo. Se conoce como elemento unitario porque solo se divide entre sí mismo.

¿Cómo reconocemos un número primo mayor que 100? — No hay ninguna fórmula. Hay que ensayar y aplicar las reglas de divisibilidad. Si solo es divisible entre la unidad y él mismo, entonces se trata de un número primo.

Números compuestos Todo número natural es compuesto cuando tiene otros divisores además de sí mismo y de la unidad. Todos los números que no son primos son compuestos. Observa el conjunto de los divisores de los números 10 y 12: D(10) = {1, 2, 5, 10}; D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Los números 10 y 12 tienen más de dos divisores, por lo tanto son números compuestos.

Unidad 3 – Matemática

Factorización de números compuestos en factores primos Factorizar un número compuesto es expresarlo como producto de sus factores primos. Para ello, dividimos el número compuesto entre los números primos, de menor a mayor, hasta que el cociente de la división sea la unidad. Veamos un ejemplo: Expresemos el número 18 como producto de sus factores primos.

Escribimos el número 18 y a su derecha trazamos una línea vertical.

Dividimos 18 entre el menor factor primo, que es 2, lo escribimos a la derecha de la línea y a la izquierda escribimos el cociente (9) debajo de 18.

18 2 9

Dividimos 9 entre 3 y escribimos el resultado (3) abajo.

Seguimos dividiendo cada cociente entre el menor factor primo hasta que el cociente sea 1.

Los números que han quedado a la derecha de la línea: 2, 3 y 3 son los factores primos de 18. Si los multiplicamos todos, nos dará 18.

El resultado de expresar 18 como producto de sus factores primos es:

18 2 9 3 3 18 2 9 3 3 3 1 18 2 9 3 3 3 1

18 = 2 x 3 x 3

Ejercicio 5 En tu cuaderno descompón los números en factores primos y exprésalos como producto.

10)

13)

241

11)

129

14)

780

420

150

100

12)

639

15)

160

Primer grado – ciclo básico

Múltiplos comunes Antes de empezar a calcular el mínimo común múltiplo, nos interesa recordar qué son los múltiplos comunes a dos o más cantidades. Los múltiplos comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de múltiplos. Veamos un ejemplo.

Estela tiene un huerto sembrado con zanahoria y tomate. Riega el cultivo de zanahoria cada 2 días, y el de tomate cada 3 días. ¿Qué días debe regar a la vez los dos cultivos, a lo largo del mes? Para averiguarlo, hemos marcado en el calendario los días que riega cada uno. Suponemos que empieza a regar las zanahorias el día 2 del mes y los tomates el día 3 del mes.

5 6 7 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 12 13 14 8 9 10 11 8 9 10 11 12 13 14 19 20 21 15 16 17 18 15 16 17 18 19 20 21 26 27 28 22 25 24 23 22 23 24 25 26 27 28 29 30

29 30 Hemos marcado en rojo los días en que coincide el riego de zanahorias, con el de tomates.

Observa: En el calendario de riego de zanahorias, se han marcado los múltiplos de 2. El conjunto de múltiplos de 2 es: M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30}

En el calendario de riego de los tomates, se han marcado los múltiplos de 3. El conjunto de múltiplos de 3 es: M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}

Estela riega los dos cultivos a la vez los días: 6, 12, 18, 24 y 30. Pues bien, estos números son los múltiplos comunes de 2 y 3.

Ejercicio 6 Guíate del ejemplo y resuelve en tu cuaderno el ejercicio siguiente. Eunice y Julio son hermanos. Eunice visita a sus padres cada 4 días y Julio cada 6 días. Hoy coincidieron los dos en la visita. ¿Dentro de cuántos días volverán a encontrarse?

Unidad 3 – Matemática

Mínimo común múltiplo (mcm) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño, distinto de cero. Se representa con las iniciales minúsculas mcm. Aprenderemos a calcular el mcm de dos formas: por el método de inspección y por descomposición en factores primos.

Cálculo del mcm por inspección El método de inspección consiste en reconocer el mcm a simple vista. Mira el ejemplo: Determinemos el mcm de 6 y 9. Para hacerlo, calculamos los seis primeros múltiplos de 6 y 9, diferentes de cero. M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36} M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54} Los primeros múltiplos comunes, diferentes de cero, son: 18 y 36.

De los múltiplos comunes, ¿cuál es el menor? El menor es 18.

Entonces, el mínimo común múltiplo (mcm) de 6 y 9 es 18.

Cálculo del mcm por descomposición en factores primos La descomposición en factores primos es la forma más práctica de encontrar el mcm de cualquier grupo de números. Para calcularlo, se siguen estos pasos: Observa: con ambos métodos llegamos al mismo resultado.

Descomponer cada número en sus factores primos. Escribir cada número como producto de sus factores primos y, cuando se pueda, como potencia. Multiplicar los factores, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Por ejemplo: Calculemos el mcm de 6 y 9.

Descomponemos los números 6 y 9 en sus factores primos.

Escribimos cada número como producto de sus factores primos.

Multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Escribimos la respuesta.

Primer grado – ciclo básico

6 2 3 3 1

9 3 3 3 1

6 = 2 x 3

9 = 3 x 3 = 32

2 x 32 = 18 2 x 9 = 18 mcm (6 y 9) = 18

Problemas que se resuelven aplicando el mcm Aplicamos el mcm para resolver problemas en los que es necesario hallar la menor cantidad que sea común a dos o más números dados. Por ejemplo:

¿Cuál es la menor cantidad de tiempo que debe pasar para que coincidan personas, transportes o acontecimientos en un lugar o en un horario?

¿Cuál es la menor longitud en la que podemos cortar o repartir varios trozos de tela, alambre, lana, etc.?

¿Cuál es la menor cantidad que podemos comprar de dos o más productos que se venden en empaques o cantidades distintas?

Veamos un ejemplo:

Carmen prepara salchichas y pan para la venta de refacciones. ¿Cuál es el menor número de paquetes de salchichas y de pan que ella debe comprar sin que le sobre nada, si las salchichas se venden en paquetes de 12 unidades y los panes en paquetes de 10 unidades? Para resolver el problema debemos calcular el mcm de 12 y 10. 12 2 6 2 3 3 1

12 = 2 x 3

10 2 5 5 1 10 = 2 x 5

mcm = 2 x 3 x 5 = 4 x 15 = 60 ¡Atención! con el mcm (60) obtenemos el número total de salchichas y panes, pero no hemos respondido a la pregunta del problema: ¿Cuántos paquetes de salchichas y cuántos paquetes de pan debe comprar? Para averiguarlo, dividimos el mcm (60) entre el número de salchichas y el número de panes que tiene cada paquete. 60 ÷ 12 = 5 60 ÷ 10 = 6

Ahora sí, escribimos la respuesta al problema. Carmen debe comprar 5 paquetes de salchichas y 6 paquetes de pan para que no le sobre nada.

Unidad 3 – Matemática

Ejercicio 7 A. Por simple inspección calcula el mcm de: 1) 6 y 8

2) 18 y 24

3) 4 y 15

4) 10 y 12

B. Por descomposición en factores primos calcula el mcm de: 1) 18 y 24

4) 5 y 16

7) 9, 10 y 15

2) 31 y 35

5) 12 y 15

8) 6, 15 y 18

3) 4 y 15

6) 24 y 48

9) 15, 30 y 45

C. Resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes. 1) Un comerciante desea colocar en bolsas 28 naranjas y 72 mandarinas de tal manera que cada bolsa contenga el mismo número de naranjas y de mandarinas, además debe empacar la mayor cantidad de frutas en cada bolsa. ¿Qué cantidad de naranjas y de mandarinas debe haber en cada bolsa? 2) Tres buses salen de Cobán. El bus A sale cada 6 horas, el bus B sale cada 8 horas y el bus C sale cada 12 horas. Si todos empiezan su recorrido a la misma hora, ¿en cuántas horas vuelven a salir juntos? 3) ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para poder comprar un número exacto de libras de manzanas que cuestan 4 quetzales, 6 quetzales y 9 quetzales cada libra? 4) Luisa y José quieren comprar paletas para el cumpleaños de Laura. A la fiesta es posible que lleguen 6 u 8 niños. ¿Cuántas paletas deben comprar para que todos los niños, sean 6 o sean 8, reciban la misma cantidad y no sobre ninguna paleta? 5) Tres barcos salen del mismo puerto. El primero sale cada 15 días, el segundo cada 12 días y el tercero cada 20 días. Hoy salen los tres juntos. ¿Cuántos días tendrán que pasar para que vuelvan a salir juntos? 6) Los tres hijos de doña Susana son agentes viajeros. El mayor vuelve a casa cada 8 días, el mediano cada 10 días y el menor cada 12 días. Si el día de Navidad lo pasan los tres con sus padres, ¿cuántos días tendrán que pasar para que se junten otra vez en casa de sus padres? ¿Qué día y de qué mes volverán a juntarse? 7) En la terminal de autobuses hay dos líneas de camionetas hacia destinos diferentes. La camioneta que viaja de la Capital a Río Dulce sale cada 4 horas y la que viaja de la Capital a San Marcos sale cada 6 horas. Si ambas realizan su primera salida a las 6 de la mañana, ¿dentro de cuántas horas volverán a salir juntas de la terminal? ¿Qué hora será entonces?

Primer grado – ciclo básico

Divisores comunes

¿Qué son divisores comunes? Los divisores comunes son los números que se repiten en dos o más conjuntos de divisores. Leamos un ejemplo:

Isabel tiene 6 rosas y 9 claveles. Quiere hacer el mismo número de ramos combinando las rosas y los claveles. Veamos cómo lo puede hacer. Para ello obtenemos todos los divisores de 6 y de 9.

Divisores de 6:

6÷1=6

9÷1=9

6÷2=3

9÷3=3

6÷3=2

6÷6=1

Divisores de 9:

9÷9=1

Para que Isabel tenga el mismo número de ramos, debe dividir las flores entre un divisor común a 6 y 9. Revisemos en los conjuntos de divisores cuáles son los repetidos: D(6) = {1, 2, 3, 6} D(9) = {1, 3, 9} Los divisores comunes son 1 y 3. Isabel puede hacer un solo ramo con todas las flores o puede hacer tres ramos. Para saber cuántas flores deben ir en cada ramo, divide el número de rosas y el número de claveles entre el divisor común. Así: 6 ÷ 3 = 2 y 9 ÷ 3 = 3.

Cada ramo tiene dos rosas y tres claveles

Unidad 3 – Matemática

Máximo común divisor (Mcd) El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes que puede dividir exactamente a esos números. El máximo común divisor se representa con las iniciales mayúsculas Mcd. Aprenderemos a calcular el Mcd por el método de inspección y por el método de descomposición en factores primos.

Cálculo del Mcd por inspección El método de inspección consiste en reconocer el Mcd a simple vista en los conjuntos de divisores de dos o más números. Hagamos un ejemplo. Determinemos el Mcd de 20 y 30.

Obtenemos los conjuntos de divisores de 20 y 30 y señalamos al mayor divisor común. D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Los divisores comunes de 20 y 30 son: 1, 2, 5 y 10.

De los divisores comunes, el mayor es 10.

El Mcd de 20 y 30 es 10

Escribimos la respuesta

Mcd(20 y 30) = 10

Cálculo del Mcd por descomposición en factores primos Observa: con ambos métodos llegamos al mismo resultado.

La forma más práctica de hallar el Mcd es aplicar la descomposición en factores primos. Para hacerlo seguimos estos pasos:

Descomponer cada número en sus factores primos. Escribir cada número como producto de sus factores primos y, cuando se pueda, como potencia. Multiplicar solo los factores repetidos con el menor exponente.

Por ejemplo, calculemos el Mcd de 20 y 30.

Descomponemos cada número en sus factores primos.

Escribimos cada número como producto de sus factores primos.

Multiplicamos solo los factores que se repiten con el menor exponente.

Primer grado – ciclo básico

20 2 10 2 5 5 1 20 = 22 x 5

30 2 15 3 5 5 1 30 = 2 x 3 x 5 5 x 2 = 10

Mcd(20 y 30) = 10

Un caso especial... En algunos casos, dos o más números no tienen factores primos comunes, distintos de 1. Cuando esto sucede, el Mcd de esos números es la unidad. Veamos un ejemplo. Obtengamos el Mcd de 8 y 9. Obtenemos los divisores de 8. Obtenemos los divisores de 9.

D(8) = {1, 2, 4, 8} D(9) = {1, 3, 9}

Los números 8 y 9 no tienen factores comunes. Por lo tanto: Mcd(8 y 9) = 1

Problemas que se resuelven calculando el Mcd Aplicamos el Mcd para resolver problemas en los que se pide hallar la mayor cantidad posible que divida exactamente a dos o más números dados. Por ejemplo: Partir un material (hierro, lana, tela, tabla, lazo, etc) en trozos iguales y de la mayor longitud posible.

Formar grupos iguales con distinto número de personas, distinto número de productos, etc.

Fraccionar terrenos de distinto tamaño para obtener lotes iguales y de la mayor superficie posible.

Veamos un ejemplo:

Un albañil compra hierro en varillas de dos tamaños: 18 y 24 metros. Quiere cortarlas en trozos iguales y de la mayor longitud posible para no desperdiciar material. Quiere saber: a. ¿Qué longitud tendrá cada trozo? b. ¿Cuántos trozos obtendrá? Para resolver el problema, calculamos el Mcd de 18 y 24. 24 2 12 2 6 2 3 3 1

18 2 9 3 3 3 1

18 = 2 x 3

18 ÷ 6 = 3

24 ÷ 6 = 4

3+4=7

24 = 2 x 3

MCD (18 y 24) = 2 X 3 = 6 Ra/ El albañil debe cortar cada varilla en trozos de 6 metros de largo. Para la respuesta del inciso b, dividimos las dos longitudes entre el Mcd. Sumamos las cantidades de los dos resultados: Rb/ El albañil obtendrá 7 trozos en total.

Unidad 3 – Matemática

Ejercicio 8 A. Por inspección calcula el Mcd de: 1) (12 y 25)

3) (4 y 14)

5) (10 y 15)

2) (7 y 8)

4) (18 y 23)

6) (9 y 27)

B. Por descomposición en factores primos calcula el Mcd de: 1) (12 y 48)

3) (15 y 60)

5) (35 y 105)

2) (120 y 480)

4) (30 y 300)

6) (49 y 105)

C. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1) Un padre quiere repartir entre sus hijos dos terrenos que miden 300 varas cuadradas y 750 varas cuadradas respectivamente, en lotes iguales y de la mayor superficie posible, ¿Cuál será la superficie de cada lote? ¿Cuántos lotes iguales hay? Si tiene 5 hijos, ¿cuántos lotes corresponden a cada uno? 2) ¿Se pueden dividir tres varillas de 18, 36 y 48 centímetros en pedazos de igual longitud, sin que sobre ni falte material? ¿De qué longitud deben ser? 3) Queremos dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible dos tiras de plástico de 28 y 35 metros de longitud. ¿Cuál debe ser la longitud de cada pedazo? 4) Se quieren dividir tres lazos de 40, 25 y 20 metros en partes iguales y de la mayor longitud posible,

¿cuánto medirá cada pedazo?

¿cuántas partes se obtienen de cada lazo?

¿cuántos pedazos se reúnen en total de los tres lazos?

5) Tres tiendas entregaron paquetes de billetes en su corte de caja. En la tienda A hay 4500 quetzales, en la tienda B hay 5240 quetzales y en la C hay 6500 quetzales. Si todos los billetes son del mismo valor,

¿cuál es el valor de cada billete?

¿cuántos billetes hay en cada paquete?

Practica en la red: Aprende más sobre el M.c.d. Visita esta dirección: https://goo.gl/9PaafU

Primer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Repasa todo el contenido de la unidad, resolviendo los ejercicios siguientes.

Ejercicio 1 A. Escribe el conjunto de los seis primeros múltiplos de cada número propuesto. 1) M(8) = {

}

4) M (7) = {

}

2) M(5) = {

}

5) M(10) = {

}

3) M(3) = {

}

6) M(14) = {

}

B. Subraya en los conjuntos de la izquierda los números que pertenezcan a los conjuntos de divisores de la derecha y luego completa el conjunto de divisores. 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

D(5) = {

}

2) B = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}

D(9) = {

}

3) C = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 18, 20}

D(18) = {

}

4) D = {1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

D(6) = {

}

5) E = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 15, 14}

D(14) = {

}

6) F = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20}

D(20) = {

}

Ejercicio 2 A. Subraya los números divisibles entre 5 de la serie. 558

–

3120

–

412675

– 9756

– 23559

–

581125

–

9865000

B. Subraya los números divisibles entre 25. 25475 –

89655 – 46550

–

897970

–

2365300 –

5678975

C. Subraya los números divisibles entre 3. 663

–

712

–

96321

– 843222

– 738241

–

777656

–

689745

D. Subraya los números entre los cuales sean divisibles los números dados. 1) El número 15 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

2) El número 66 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

3) El número 90 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

4) El número 102 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

Unidad 3 – Matemática

5) El número 299 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

6) El número 459 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

7) El número 500 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

8) El número 1236 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

9) El número 3000 es divisible entre :

2 – 3 – 5 – 10

E. Rellena el círculo de la opción que responde correctamente a cada pregunta. 1) ¿Qué clase de conjunto es el conjunto de los divisores de un número natural?

finito

infinito

vacío

2) ¿Cuál es el primer múltiplo del conjunto de múltiplos de 12?

3) ¿De qué número es divisor el número 3?

4) Un número divisible entre 3, 5 y 10 es…

150

entre 10 y 100

entre 10, 100 y 1000

5) 79000 es divisible…

solo entre 10

6) Todos los números pares son divisibles entre…

125

551

7) ¿De qué número es divisor 5?

Ejercicio 3 A. Escribe en tu cuaderno el nombre de cada concepto que se describe. 1) Número natural que solo tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. 2) Número natural que tiene otros divisores además del 1 y de sí mismo. 3) Operación que consiste en descomponer un número en sus factores primos. 4) Múltiplo común más pequeño, distinto de cero de dos o más números. 5) El mayor de los divisores comunes que dividen exactamente a dos o más números. B. Escribe el conjunto de todos los divisores de los números dados y si el número es primo o compuesto. 1) D(21) = {

}

2) D(36) = {

}

Primer grado – ciclo básico

3) D(83) = {

}

4) D(96) = {

}

5) D(175) = {

}

6) D(257) = {

}

7) D(388) = {

}

C. Descompón los siguientes números en sus factores primos. 1) 18 =

5) 99 =

2) 40 =

6) 345 =

10) 120 =

3) 46 =

7) 137 =

11) 76 =

4) 216 =

8) 350 =

12) 231 =

64 =

D. Por descomposición en factores primos, determina el mcm de los siguientes números. 1) (12 y 16)

4) (65 y 80)

(18 y 22)

2) (110 y 130)

5) (12 y 14)

(15 y 32)

3) (20, 25 y 20)

6) (21, 41 y 60)

(100, 125 y 60)

E. Por descomposición en factores, calcula el Mcd de los siguientes números. 1) (75 y 80)

4) (12 y 18)

(24 y 36)

2) (14 y 15)

5) (39 y 45)

(49 y 63)

3) (75 y 90)

6) (25, 60 y 90)

(75, 80 y 90)

Unidad 3 – Matemática

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los problemas.

Toma en cuenta que primero debes identificar si se debe calcular el mcm o el Mcd. 1) Se recibió un pedido de aceite en tres partes: la primera de 161 galones, la segunda de 253 galones y la tercera de 207 galones. Se quiere envasar el aceite de modo que los envases tengan la misma medida y sean del mayor tamaño posible. a.

¿de cuántos galones debe ser cada envase?

¿cuántos envases se necesitan para cada entrega?

2) ¿Cuál es la mayor longitud de una cinta con la que se puede medir el largo y ancho de un terreno que tiene 2280 m de largo y 1700 m de ancho? 3) Una cadena de televisión emite documentales sobre naturaleza cada 6 horas y otra cadena los emite cada 4 horas. ¿Cada cuántas horas coincide la transmisión de documentales sobre naturaleza en las dos cadenas? 4) La bodega de una imprenta tiene 475 libros de Matemática y 375 libros de Ciencias Sociales. Se quieren empacar en cajas que tengan la mayor cantidad posible de libros, sin que sobren ni falten. En cada caja debe haber libros de una sola materia. a.

¿Cuántos libros de Matemática se deben empacar en cada caja?

¿Cuántos libros de Ciencias Sociales?

¿Cuántas cajas se necesitan?

5) Una serie navideña tiene luces blancas, rojas, azules y amarillas. Las luces blancas están fijas, las rojas encienden cada 2 segundos, las azules cada 4 segundos y las amarillas cada 6 segundos. Si en este momento están todas encendidas, ¿en cuánto tiempo volverán a estar todas encendidas? B. Resuelve los siguientes rompecocos. 1) Tú tienes dos relojes, uno está parado (no funciona) y otro que se atrasa un minuto al día. ¿Cuál de los dos es el más exacto? 2) El reloj de una iglesia tarda 5 segundos en dar 6 campanadas. ¿Cuánto tardará en dar 12 campanadas?

Primer grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Repasa las tablas del 6, 7 y 8 de manera divertida. Multiplica cada número del 1 al 10 por el número que tienes en el centro y escribe el resultado en los círculos externos. Sigue el sentido de las agujas del reloj. El punto rojo indica la multiplicación por 1. Tienes algunas ayudas.

18 6

B. Multiplica 1) 1 x 7 =

5) 5 x 7 =

9) 9 x 3 =

2) 2 x 8 =

6) 6 x 6 =

10) 10 x 2 =

3) 3 x 9 =

7) 7 x 5 =

11) 9 x 6 =

4) 4 x 8 =

8) 8 x 4 =

12) 8 x 7 =

C. Divide 1) 50 ÷ 5 =

5) 25 ÷ 5 =

9) 54 ÷ 6 =

2) 72 ÷ 9 =

6) 35 ÷ 7 =

10) 16 ÷ 4 =

3) 45 ÷ 5 =

7) 72 ÷ 8 =

11) 18 ÷ 9 =

4) 10 ÷ 5 =

8) 45 ÷ 9 =

12) 64 ÷ 8 =

Unidad 3 – Matemática

D. Escribe el resultado o el número que falta para que la operación sea correcta. Trata de hacerlo en el menor tiempo posible. 1) 5 x 9 =

11) 7 x 5 =

21) 7 x

2) 8 x 5 =

12) 6 x 7 =

22)

3) 5 x 7 =

13) 7 x 7 =

23) 5 x 7 =

4) 6 x 5 =

14) 8 x 7 =

24)

5) 5 x 5 =

15) 7 x 9 =

25) 5 x

6) 9 x 6 =

16) 5 x 8 =

26)

7) 6 x 8 =

17) 8 x 6 =

27) 9 x 3 =

8) 7 x 6 =

18) 7 x 8 =

28) 4 x

9) 6 x 6 =

19) 8 x 9 =

29)

x 9 = 54

10) 5 x 6 =

20) 4 x 8 =

30)

x 8 = 56

= 63 x 8 = 72

x 6 = 48 = 45 x 7 = 42

= 28

E. Escribe el número que falta para que la división sea correcta. Recuerda que la división es la operación inversa a la multiplicación. 1) 24 ÷

11) 64 ÷

21) 64 ÷

2) 35 ÷

12) 80 ÷

22) 17 ÷

= 17

3) 42 ÷

13)

÷ 3 = 5

23) 18 ÷

4) 72 ÷

14)

÷ 5 = 1

24) 100 ÷

= 20

5) 32 ÷

15)

÷ 4 = 4

25) 20 ÷

6) 49 ÷

16)

÷ 7 = 9

26) 90 ÷

= 10

7) 48 ÷

17)

÷ 8 = 8

27) 80 ÷

= 16

8) 21 ÷

18)

÷ 2 = 16

28) 45 ÷

9) 54 ÷

19)

÷ 1 = 17

29) 49 ÷

10) 28 ÷

20)

÷ 5 = 10

30) 36 ÷

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Identifico múltiplos y divisores. Defino y aplico criterios de divisibilidad. Diferencio los números primos y compuestos.

Después de estudiar...

Escribo ejemplos de números primos y compuestos. Puede descomponer números en sus factores primos. Expreso un número compuesto como productos de sus factores primos. Defino y obtengo múltiplos comunes. Determino del mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números. Aplico el mcm en la resolución de problemas. Defino y obtengo divisores comunes. Defino y obtengo el máximo común divisor (Mcd) de dos o más números. Aplico el Mcd para la resolución de problemas. Resuelvo problemas matemáticos y juegos lógicos con éxito.

Unidad 3 – Matemática

¡Ponte a prueba! 1) ¿De qué número es múltiplo el 28? A. 4

B. 5

C. 8

D. 12

C. 36

D. 46

2) ¿De qué número es divisor 16? A. 16

B. 26

3) ¿Cuál es el primer elemento del conjunto de los múltiplos de 5? A. 0

B. 1

C. 5

D. 10

4) ¿Cuál es el divisor más grande del conjunto de los divisores de 100? A. 0

B. 100

C. 1000

D. infinito

5) ¿De qué número son divisores los números 2, 5 y 10? A. 10

B. 15

C. 25

D. 35

C. solo entre 9

D. entre 2 y 3

C. 25

D. 30

C. 7753

D. 5432

6) El número 18 es divisible… A. solo entre 2

B. solo entre 3

7) Un número divisible entre 2, 3 y 5 es… A. 15

B. 20

8) Un número divisible entre 3 es… A. 2431

B. 6345

9) Entre los siguientes números, un número compuesto es… A. 11

B. 14

C. 17

D. 23

10) La suma de los números primos comprendidos entre 10 y 15 es… A. 26

B. 25

C. 24

D. 23

B. 3

C. 9

D. 27

C. 24

D. 30

11) El Mcd de 9 y 3 es… A. 1

12) El mcm de 6 y 8 es el número… A. 12

B. 18

Primer grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 3 – Matemática

Los números enteros

unidad

¿Qué sabes del tema? Los números negativos aparecieron por primera vez en el siglo VII en un libro escrito por el matemático hindú, Brahmagupta. En este libro se hacía distinción entre los bienes, las deudas y la nada, refiriéndose a los números positivos, negativos y el cero. Sin números negativos, ¿cómo expresaríamos las pérdidas en un negocio?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Desde la cima hasta el abismo

Taller de matemática

• • • • • • • • •

El conjunto de los números enteros Representación en la recta numérica Valor absoluto de números enteros Orden y comparación de números enteros Utilidad de los números enteros Operaciones en el conjunto de los número enteros Suma, resta, multiplicación y división Potenciación y radicación Operaciones combinadas y jerarquía operacional

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso Desarrolla tu pensamiento lógico

• Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático.

Unidad 4 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos.

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

2. Utiliza gráficas en la representación de información.

2.1 Construye rectas numéricas.

Trazar y graduar rectas numéricas.

3. Calcula operaciones de números enteros con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Opera con seguridad, justificando los pasos y métodos que sigue y verificando el resultado.

Completar el mapa conceptual del conjunto de enteros. Localizar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Resolver operaciones combinadas de números enteros. Escribir números en forma de potencia y expresar potencias como productos. Desarrollar potencias de enteros. Aplicar reglas de la potenciación.

Primer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Desde la cima hasta el abismo Los números negativos no solo son útiles para expresar deudas o pérdidas monetarias, también se emplean para indicar altitudes respecto al nivel del mar. Observa la ilustración:

El yak vive en el Himalaya, en Asia, a 4800 metros de altura.

5000 4500

Sobre el nivel del mar

4000

El oso panda vive en el Tíbet, en Asia, a 3500 metros de altura.

3500 3000 2500 2000 1500

El hipopótamo vive en los lagos saharianos, África, a 675 metros de altura.

1000

Bajo el nivel del mar

500

La ballena vive en la superficie de los océanos y baja hasta los 500 metros.

–500 –1000

El cachalote vive bajo el agua a unos 900 metros de profundidad.

–1500 –2000

¡A trabajar! Observa la gráfica y escribe en números a qué altura o a qué profundidad viven los siguientes animales. Tienes un ejemplo.

El yak

La ballena

El hipopótamo

+ 480 m

El oso panda

El cachalote

Unidad 4 – Matemática

Taller de matemática El conjunto de los números enteros (Z) Los números enteros nos permiten contar y ordenar otros números que no están incluidos en el conjunto de los números naturales.

Números enteros

Z–

Z+

Enteros negativos

Enteros positivos (N)

El conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos (números naturales N) y los números enteros negativos. Se identifica con la letra Z mayúscula. Se llaman enteros porque, sean positivos o negativos, representan una cantidad que no se puede fraccionar. En forma enumerativa, el conjunto de los números enteros se expresa: Z = {–…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …+} Se lee: El conjunto de los números enteros es igual a todos los números enteros desde menos infinito hasta más infinito. Los números positivos pueden llevar o no antepuesto el signo más (+). Los conocemos como números naturales y los utilizamos para contar. Los números negativos llevan obligatoriamente el signo menos (–) antepuesto. Sirven para representar valores por debajo de cero y para realizar operaciones en las que el conjunto de los números naturales es insuficiente.

Representación en la recta numérica Los números enteros se pueden representar en una recta numérica, con puntas de flecha a ambos lados. Ubicamos el centro, ese será el punto cero. – ... –6 –5 –4 –3 –2 –1

+ 1 2 3 4 5 6 ...

La recta numérica permite ver mejor algunas relaciones de los números enteros:

El conjunto de los números enteros es infinito, no tiene primer elemento.

A la derecha del cero se extienden indefinidamente los enteros positivos, a la izquierda los negativos. El cero no es positivo ni negativo.

Entre un número entero y el siguiente no existe otro número entero.

Primer grado – ciclo básico

Valor absoluto de un número entero (| |) El valor absoluto de un número entero representa la distancia que separa a ese número del cero, sin tomar en cuenta el signo.

–3 –2 –1

distancia: 3 unidades

Si observas la gráfica, puedes comprobar que:

La distancia de 0 a 3 es la misma que de 0 a –3: 3 unidades. Por tanto, podemos decir que 3 es el valor absoluto de +3 y –3.

El valor absoluto de un número se representa encerrando ese número entre barras verticales. |+a| = |– a| = a Por ejemplo:

|–18| = 18; se lee: El valor absoluto de –18 es 18.

Recuerda: El valor absoluto de un número siempre es positivo.

Orden y comparación de los números enteros El conjunto de los números enteros, como el de los números naturales, es un conjunto ordenado. Por lo tanto, podemos comparar dos números y establecer cuál es el menor o cuál es el mayor. También podemos ordenar una serie de números en forma ascendente (de menor a mayor) y en forma descendente (de mayor a menor).

Comparación de dos números enteros Para comparar dos números enteros debemos tomar en cuenta estas reglas:

Números positivos: es mayor el de mayor valor absoluto. 7 > 4 Números negativos: es mayor el de menor valor absoluto. –3 > –8

Ordenación de series de números enteros Podemos ordenar los números enteros de forma ascendente (de menor a mayor) y de forma descendente (de mayor a menor). En orden ascendente (de menor a mayor) Por ejemplo: Para ordenar de menor a mayor la serie –11, 14, 5, –18, –6, 9

Clasificamos los números en negativos y positivos.

Negativos: –11, –18, –6 Positivos: 14, 5, 9

Escribimos el menor de los negativos y a su derecha seguimos ordenándolos de menor a mayor, hasta llegar al número mayor de la serie. –18 < –11 < –6 < 5 < 9 < 14

Unidad 4 – Matemática

En orden descendente (de mayor a menor) Ordenemos de mayor a menor la serie de números: 8, –3, –15, 10, –9, –5

Clasificamos los números en positivos y negativos. Positivos: 8, 10 Negativos: –3, –15, –9, –5

Escribimos el mayor de los positivos y a su derecha seguimos ordenando los de valor inferior, hasta llegar al menor de la serie.

10 > 8 > –3 > –5 > –9 > –15

Ejercicio 1 A. Localiza y escribe, bajo el punto correspondiente, los números de cada conjunto. Algunos ya están identificados. 1) M = { –2, 3, –6, 5 }

–2

2) N = {2, –3, –5, 4, 6}

–3

B. Determina el valor absoluto de los siguientes números. 1) | 2 |

| 18 | =

| –89 | =

2) | –23 | =

| –14 | =

| –123 | =

C. Compara las siguientes parejas de números enteros y escribe en el espacio el símbolo > (mayor que) o el símbolo < (menor que). 1) –5

–2

–6

–8

–98

–16

2) 3

–4

4) –15

–3

–14

D. Ordena las series de números en forma ascendente. 1) –200, –45, 32, 104, –7, 56

2) 14, –56, –23, 96, 32, –1

R/ R/

E. Ordena las siguientes series de números en forma descendente.

1) –501, 403, 203, –107, –96, 34

2) 430, 659, –780, 456, 109, 200

Primer grado – ciclo básico

Utilidad de los números enteros Los números enteros permiten contar y ordenar el tiempo en la historia, la temperatura, la altura y la profundidad o las deudas y los bienes, entre otras actividades.

Para medir el tiempo en la historia Antes o después de Cristo Muchas civilizaciones reconocen el nacimiento de Cristo como el año cero. Este acontecimiento divide la historia en dos períodos: todos los hechos sucedidos antes del nacimiento de Cristo se identifican como a. C. (antes de Cristo) y se representan con números negativos. Todo lo sucedido después del año cero se identifica como d. C. (después de Cristo) y se representa con números positivos. Ejemplo:

La Gran Muralla China se empezó a construir en el año 221 a. C. (–221). Fue declarada Patrimonio de la Humanidad en el año 1987 (+1987).

Para medir temperaturas Sobre cero o bajo cero La congelación del agua se considera el punto cero para medir temperaturas. Las temperaturas inferiores a cero grados Celsius (0 ºC) se expresan con números negativos y las temperaturas superiores a 0 ºC con números positivos. Ejemplo:

En enero, las temperaturas mínimas del área de Los Cuchumatanes pueden bajar hasta 10 grados Celsius bajo cero (–10 ºC) y en el área de la ciudad Capital se pueden registrar temperaturas mínimas de 5 grados Celsius (5 ºC).

Medir la altura y la profundidad Sobre o bajo el nivel del mar El nivel del mar se toma como valor cero (0); así, la profundidad bajo el nivel del mar se expresa con números negativos y la altura sobre el nivel del mar con números positivos.

El cachalote es uno de los mejores buceadores de la naturaleza. Puede llegar a sumergirse hasta mil metros de profundidad (–1000 m).

Calcular ingresos y gastos Los antiguos chinos representaban los ingresos con las bolas negras del ábaco y las deudas con las bolas rojas y que de ahí viene la expresión ‟estar en números rojos”. Actualmente, expresamos los ingresos o entradas con números positivos y los gastos, deudas o egresos con números negativos.

Ingresos

Sueldos Gastos

Egresos

Q 5 1 0 0

– Q 4 4 0 0

Unidad 4 – Matemática

Operaciones en el conjunto de los números enteros Suma de números enteros Como estamos acostumbrados a resolver sumas de números naturales, esperamos que el resultado de la suma sea un número mayor que los sumandos, pero con los números enteros no es siempre así, todo depende del signo de los sumandos.

Suma de enteros con signos iguales Para sumar dos o más números enteros con el mismo signo, se suman los valores absolutos y se conserva el signo de los sumandos. Ejemplo:

Ana quiere averiguar la altura de un árbol, cuyo tronco mide 5 pies y la copa 12 pies.

Como las dos cantidades son números positivos: Sumamos los valores absolutos y al resultado le ponemos el signo de los sumandos. En el ejemplo, el signo es más.

5 + 12 = 17

El árbol mide 17 pies.

Toma nota: No es necesario anteponer el signo más cuando los números son positivos.

De ahora en adelante, vamos a escribir los números enteros negativos entre paréntesis, para no confundirlo con el signo de la operación.

Suma de enteros con signos diferentes Para sumar dos números enteros con signos diferentes restamos los valores absolutos (el mayor menos el menor) y copiamos el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo:

5 + (–7) =

Restamos los valores absolutos (el mayor menos el menor).

El resultado tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. Como el mayor es –7 entonces el resultado es negativo.

– (7 – 5) = –2 5 + (–7) = –2

Cuando hay más de dos números enteros con signo diferente. (–12) + 14 + 16 + (–21) + (–11) =

Sumamos los positivos.

Sumamos los negativos.

Restamos y al resultado final le ponemos el signo del número con mayor valor absoluto.

14 + 16 = 30 – (12 + 21 + 11) = –44 – (44 – 30) = –14

Con un poco de práctica, podrás hacer estas sumas directamente, siguiendo mentalmente el razonamiento propuesto en los ejemplos.

Primer grado – ciclo básico

Resta de números enteros En la unidad 2 estudiamos que la resta es la operación inversa a la suma. Por lo tanto, restar un número es igual que sumar su opuesto. Para restar números enteros, sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo. Vamos a hacerlo paso a paso, separando las distintas partes de la resta en una tabla. Fíjate en el ejemplo: Restemos: 8 – (–4) = resta

minuendo

sustraendo

opuesto del sustraendo

resolución

resultado

8 – (–4) =

(–4)

8+4=

No confundas el signo de operación con el signo del número.

Sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo.

Utilizar la tabla evitará que te confundas, pero para agilizar el procedimiento puedes hacer estas restas directamente. Mira el ejemplo: Restemos: (–21) – (–10) =

Sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.

(–21) + 10 =

Seguimos el procedimiento de la suma de dos números con distinto signo.

= –11

El signo menos delante de un signo de agrupación Hasta ahora solo hemos utilizado el paréntesis para separar el signo de operación de un número negativo. Pero el paréntesis es además un signo de agrupación, junto con los corchetes y las llaves. En este apartado resolveremos sumas y restas agrupadas, para lo cual utilizaremos los signos de agrupación y tendremos en cuenta lo siguiente: Un signo menos delante de un signo de agrupación, cambia los signos de todos los números que están dentro de él. Te resultará más claro con un ejemplo. Resolvamos la siguiente operación. El primer paso es eliminar el paréntesis. Como delante del paréntesis hay un signo menos, cambia el signo de todos los números que están dentro.

10 – (7 – 5 + 3) – 2 = 10 – 7 + 5 – 3 – 2 =

Eliminados los paréntesis, aplicamos las mismas reglas que en la suma de más de dos números enteros:

Sumamos los positivos.

Sumamos los negativos.

Restamos los resultados parciales y ponemos el signo del mayor.

10 + 5 = 15 – (7 + 3 + 2) = –12 15 – 12 = 3

Unidad 4 – Matemática

Ejercicio 2 A. Resuelve las operaciones siguientes. Puedes realizarlas en tu cuaderno o, si te atreves, puedes resolverlas mentalmente. 1) 5 + (– 8) =

5) 17 + (–45)

9) 9 + (–22) + 33 + (–45) =

2) –9 + 6

6) –21 + 17

10) 17 + (–2) + (–19)

3) 14 + (–6) =

7) 34 + (–21) + 7

11) 28 + 8 + (–11)

4) –24 + 12 =

8) (–17) + 26 + (12) =

12) (–53) + (–28) + 2

B. Resuelve en tu cuaderno los problemas aplicando la suma de enteros. 1) Un avión volaba a 2100 pies de altura y luego ascendió otros 882 pies. ¿Qué altura alcanzó el avión? 2) En una comunidad cavaron un pozo de 35 metros de profundidad pero no encontraron agua. Al cavar 17 metros más encontraron agua. ¿A qué profundidad encontraron agua? C. Resuelve las siguientes operaciones. Intenta resolverlas mentalmente, si aún te falta práctica, siempre puedes ayudarte haciéndolas en tu cuaderno. 1) (–14) – (–8) =

6) (–9) – (–6) =

11) (–12) – (–6) =

2) 11 – 15

7) (12) – 8

3) (–7) – (–10) =

8) 14 – (–6) =

13) (–32) – 7 =

4) (–18) – 20 =

9) 25 – 12

14) 49 – 58 =

5) (–16) – 8 =

10) (–25) – 15 =

15) (–22) – 31 =

12) 25 – (–15) =

D. Resuelve las siguientes operaciones. Recuerda que el signo menos delante de un signo de agrupación cambia los signos de todos los números que están adentro.

1) 5 – (–23 + 7 + 2) =

6) 77 – (73 + 11) =

11) 73 – (–14 + 13)

2) 17 – (31 + 41)

7) 49 + (–14 + 3) =

12) – (79 – 2 + 12 – 33)

3) 18 + (25 – 6 + 19) =

8) 15 – (7 + 2)

13) (85 + 63 – 9)

4) (33 – 26 – 8) + 28 =

9) 9 + (–41 + 3) =

14) –(52 + 2) – (7 + 5) + 3 =

5) –(47 – 26) + 11 =

10) (21 + 12) + 25 =

15) –(25 + 33) + (36 – 2) =

Primer grado – ciclo básico

Producto de números enteros Multiplicar números enteros es muy sencillo, lo hacemos como aprendimos con los números naturales, solo tenemos que respetar la ley de signos que dice: El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número entero positivo.

El producto de dos números enteros con signo diferente es un número entero negativo.

Observa atentamente en el cuadro los principios de la ley de signos con un ejemplo. Ley de signos

+ x + = +

–

+ x – = –

–

– = + + = –

Más por más es igual a más

3 x 7 = 21

Menos por menos es igual a más

(–3) x (–7) = 21

Más por menos es igual a menos

3 x (–7) = –21

Menos por más es igual a menos

(–3) x 7 = –21

Producto de números enteros con más de dos factores El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de aplicar la ley de signos.

Veamos los pasos a seguir en el ejemplo: (–3) x 2 x (–1) =

Multipliquemos:

Asociamos y multiplicamos los números enteros en parejas.

Multiplicamos primero los signos y luego los valores absolutos.

(–6) x (–1) =

Por último multiplicamos el resultado parcial con el otro factor para encontrar el resultado final.

[(–3) x 2] x (–1) =

Recuerda la propiedad asociativa de la multiplicación: La manera en que se agrupan los factores no altera el producto. Comprobemos. [(–3) x (2)] x (–1) = (–3) x [(2) x (–1)]

(– 6 ) x (–1) = (–3) x (–2) 6=6

Unidad 4 – Matemática

División de números enteros La división de dos números enteros es otro número entero que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de aplicar de la ley de los signos. La ley de signos para la división es la misma que para la multiplicación, solo cambia la operación. Practicaremos la división de enteros con un ejemplo.

Al final del mes, los 3 socios de la empresa “La luz” se reparten los beneficios. Si este mes, los beneficios del negocio son de 6,000 quetzales, ¿cuánto le corresponde a cada uno? Beneficios de mes: Número de socios:

+6000 +3

Realizamos una división de números enteros.

6000 ÷ 3 = 2000

Aplicamos la ley de signos y dividimos:

Cada socio recibe Q2000 de beneficios. Seguimos con el ejemplo:

Al mes siguiente, las ventas de la empresa bajaron y el negocio reportó 900 quetzales de pérdidas, ¿qué cantidad le toca asumir a cada socio?

Pérdidas del mes: Número de socios:

(–900) +3

Resolvemos con una división:

Aplicamos la ley de signos y dividimos los valores absolutos:

(–900) ÷ 3 = –300 Cada socio asume Q300 de pérdidas.

Ejercicio 3 A. Practica el producto de números enteros. 1) [(–2) x (–5)] x 17 =

4) (–12) x (–1) x (–8) x 2

2) (–7) x (–10) x 5 =

5) 15 x 3 x 12 x (–5)

3) 14 x 21 x (–1)

6) (–1) x (–4) x 2 x 13 x (–9) =

B. Practica la división de números enteros. =

4) 100 ÷ (–10) =

7) (–60) ÷ 10 =

2) (–10) ÷ (–5) =

5) (–18) ÷ (–2) =

8) (–48) ÷ (–6) =

3) 40 ÷ 20

6) 28 ÷ (–4)

9) 84 ÷ (–3)

1) 12 ÷ 12

Primer grado – ciclo básico

Potenciación de números enteros Recuerda la definición de potencia que vimos en la unidad 2. Una potencia es la forma abreviada de expresar la multiplicación de un número por sí mismo.

Reglas de potenciación de números enteros Para calcular potencias de números enteros debes tomar en cuenta las siguientes reglas: Regla 1 Si la base es positiva, el resultado es positivo.

4 = 4 x 4 = 16

Si la base es negativa, se pueden dar dos casos:

a) Exponente par, resultado positivo.

b) Exponente impar, resultado negativo.

(–2) = (–2) x (–2) x (–2) = – 8

(–3) = (–3) x (–3) = + 9 3

Regla 2 Todo número entero elevado a 0 da como resultado 1.

(–15) = 1

Regla 3 Todo número entero elevado a 1 da como resultado el mismo número.

(–12) = –12

En el siguiente cuadro vamos a recordar las propiedades de las potencias

Propiedades de la potenciación Producto de potencias de igual base: se copia la base y se suman los exponentes. Producto de potencias de bases diferentes y exponentes iguales: multiplicamos las bases y copiamos el exponente. División de potencias de igual base: se copia la base y se restan los exponentes. División de potencias de bases diferentes y exponentes iguales: se dividen las bases y se copia el exponente.

(–a) x (–a) = (–a) 5

5+7

(–5) x (–5)7 = (–5)

n+m

= (–5)

a x (–b) = [a x (–b)] 3

2 x (–4) = [2 x (–4)] = (–8)

(–a) ÷ (–a) = (–a) 5

5–2

(–3) ÷ (–3) = (–3) n

n–m

= (–3)

a ÷ (–b) = [a ÷ (–b)] 2

6 ÷ (–3) = [6 ÷ (–3)] = (–2)

Unidad 4 – Matemática

Radicación de números enteros De la unidad 2 podemos recordar que la radicación es la operación inversa a la potenciación. Se aplican las mismas propiedades que con los números naturales, y se toman en cuenta unas características adicionales.

Reglas de radicación Para calcular raíces de números enteros, debemos tomar en cuenta las siguientes reglas:

Cuando el radicando es un número positivo:

Si la raíz es impar, el resultado es positivo.

Si la raíz es par, se obtienen dos respuestas: una positiva y otra negativa.

125 = 5 5 x 5 x 5 = 125

81 = ±9 9 x 9 = 81 y (–9) x (–9) = 81

Cuando el radicando es un número negativo:

Si la raíz es impar, el resultado es negativo.

–64 = (–4)

(–4) x (–4) x (–4)= –64

Si la raíz es par, no existe un resultado real en el conjunto de los números enteros.

–49 = ∄

7 x 7 = 49 y (–7) x (–7) = 49

Ejercicio 4 Repasa la potenciación y radicación de enteros y practica con los ejercicios que siguen. A. Multiplica potencias. 1) (–6)⁵ x (–6)² =

5) (–10)⁵ x (–10)² = 1

2) (–2) x (–2)³ =

6) (–12) x (–12)⁴ =

3) (–6)⁴ x 3⁴ =

7) 12 x (–2) =

4) 9⁵ x (–2)⁵ =

8) 10⁷ x (–1)⁷

B. Divide potencias. 1) 78⁵ ÷ 78¹

5) (–6)¹⁶ ÷ (–6)² =

2) (–9)6 ÷ 9⁶ =

6) (45)² ÷ (–45)2 =

3) (–35)² ÷ 5² =

7) 18⁶ ÷ (–3)⁶ =

4) 12² ÷ (–2)² =

8) 54² ÷ (–6)² =

C. Resuelve las raíces. 1) 196 =

2) 36

4) (–216) =

3) 8 3

Primer grado – ciclo básico

1024 =

9) 81 =

10) 49 =

25 =

11) 4 =

(–64) =

12) –25 =

–1

Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones Una operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola. Para resolver correctamente estas operaciones, debemos aplicar la jerarquía de las operaciones que, como su nombre indica, establece el orden y la forma de operar. Para resolver correctamente un ejercicio debes seguir estas reglas: Regla 1. Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación, de dentro hacia fuera: paréntesis, corchetes y llaves. Regla 2. Se operan las potencias y las raíces. Regla 3. Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones, en orden de izquierda a derecha. Regla 4. Por último, las sumas y restas, también de izquierda derecha, en el orden en que se presenten.

{[( )]}

an n a x ÷ + –

Si la operación no tiene signos de agrupación, solo se aplican las reglas 2, 3 y 4. Si dos operaciones son de la misma categoría, se realizan en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Resolvamos como ejemplo la operación del lado derecho:

Primero hemos resuelto la potencia. Después la división y la multiplicación.

Por último las sumas y restas que quedaron del paso anterior.

9÷3+3 –4x5+2= 9÷3+9–4x5+2= 3 + 9 – 20 + 2 = 12 – 20 + 2 = –8 + 2 = –6

Ejercicio 5 Resuelve las operaciones, intenta hacerlas mentalmente. Si se te complica, utiliza tu cuaderno. 1)

4+2x3+7

10) {9 x [5 x (−7) + 41]} =

12 + 5 x 4 – 3

11) 24 ÷ 6 + 2 x 10

4 x 32 – 8 + 15

12) 42 ÷ 7 + 8 – 3 x 22 =

8 + 7 x 3 – 14 ÷ 23 =

13) 55 + 4 x 33 – 5 x 7 =

28 – 52 x 4 + 16

14) 2 x 4 + 3 – 8

27 – 4 x (6 + 9)

15) 19 – 32 + 5 x 4

(3 − 8)+ [5 − (−2)] =

16) −(4 x 9 + 10 ÷ 5)

(17 − 15) − (7 − 12) =

17)

88 − (−2 x 9 + 1)

18) (60 ÷ 10 x 8)+ 54 =

5) 6)

25 ÷ 5 −(8 x 12)

Unidad 4 – Matemática

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Completa el mapa conceptual del conjunto de los números enteros.

Z Z+

Z–

B. Traza una recta numérica para cada conjunto y localiza en ella los valores de cada uno. 1) A = {–7, –4, –2, 0, 2, 6}

B = {–5, –3, –1, 0, 2, 3}

2) C = {–6, –3, –2, 0, 1, 7}

D= {–4 , –1, 2, 4, 6 }

C. Determina el valor absoluto de los números dados. 1) |–9| =

3) |–104| =

5) |–1234| =

2) |89| =

4) |675| =

6) |9870| =

Ejercicio 2 A. Compara las siguientes parejas de números enteros. Escribe nuevamente las cantidades en la línea de la derecha, en lugar de la y , escribe el símbolo > (mayor que) o el símbolo < (menor que). 1) –8 y –20

4) 0 y 8

7) 7 y –5

10) –14 y –15

2) 16 y –16

5) –15 y 16

8) –9 y 0

11) –150 y 100

3) –43 y 43

6) 93 y 64

9) 8 y –1

12) –321 y –317

B. Lee la siguiente información sobre la altura y temperatura promedio de algunos departamentos del Occidente de Guatemala. En tu cuaderno, construye otra tabla con dos columnas y ordena en forma ascendente los departamentos por su altura. Construye otra tabla con dos columnas y ordena en forma descendente los departamentos por sus temperaturas máximas. Por último, haz lo mismo con las temperaturas mínimas. Altura (sobre el nivel del mar)

Temperatura máxima registrada

Temperatura mínima registrada

San Marcos

2398 m

23 °C

1 °C

Quiché

2021 m

19 °C

–1 °C

Huehuetenango

2000 m

22 °C

–2 °C

Totonicapán

2495 m

18 °C

–5 °C

Quetzaltenango

2333 m

22 °C

–6 °C

Departamento

Primer grado – ciclo básico

C. Ordena las siguientes series numéricas en forma descendente. 1) –8, 45, 33, –29, 142, –175, 89, 23

2) 21 , 0, –18, 12, –45, –67, –93

D. Ordena las siguientes series numéricas en forma ascendente. 1) –18, 45, 33, 76, –10, 8, –17

2) 68, –19, – 4, –79, 12, 83

Ejercicio 3 A. Realiza las operaciones de números enteros con signos iguales y signos diferentes. 1) (–6) + (–8) =

11) 12 + 8

21) (–21) + (–7) + (–1) =

2) (–3) + (–2) =

12) (–2) + (–16) =

22) 28 + 14 + 2

3) (–9) + (–4) =

13) 13 + 4

23) (–31) + (–6) – (–18) =

4) 7 + 2

14) (–6) + (–5) =

24) 19 + 23 + 8

5) 12 – 4

15) 19 + (–3)

25) (–13) + 7 – (–14)

6) 16 – 8

16) 14 + (–4)

26) (–21) – 14 + (–2)

7) 10 – 9

17) 15 + (–9)

27) 17 + 6 – 24

8) 9 – 12

18) (–7) + 3

28) 1 + 37 – 6

9) 8 – 15

19) (–4) + 8

29) 18 + (–2) – 31

10) 6 – 10

20) (–6) + 7

30) 17 – 19 + (–21)

= =

B. Resuelve las operaciones de varios enteros. 1) (–35) + 89 + (–3)

3) 45 + (–76) + (–89) + (–102) + 34 =

2) (–57) + (–342) + 645 =

4) 35 + 56 + (–32) + (–89) + (–72) =

Ejercicio 4 A. Realiza las restas. Recuerda, debes sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. 1) (–14) – (–8) =

5) (–5) – (–12) =

2) 19 – 20

6) (–3) – 9

3) (–22) – 12 =

7) 15 – (–3)

4) 9 – (–4)

8) (–7) – (–14) =

B. Suma y resta. Inicia eliminando signos de agrupación. Recuerda que un signo menos delante, cambia todo lo que está dentro. 1) 5 – (–3 + 7 + 2)

4) –8 – (3 + 5 + 6) + 2 =

2) 7 – (–4 – 6 – 9 + 6) =

5) –4 + (6 + 2 – 3)

3) 5 – [(–4) + 2]

6) 2 – (7 + 5 – 6)

Ejercicio 5 A. Multiplica y divide números enteros. Toma en cuenta la ley de signos. 1) (–2) x 7

6) (–8) ÷ 2

2) 23 x 2

7) 35 ÷ (–7)

3) 5 x (–3) =

8) 49 ÷ (–7)

4) (–8) x (–3) = 5) 8 x (–5) =

9) (–72) ÷ (–8) = 10) 36 ÷ (–6) =

Unidad 4 – Matemática

B. Resuelve las operaciones siguiendo los pasos que estudiaste. 1) [5 x (–2)] x 3

7) [(–63) ÷ (–9)] x (–5)

2) (–4) x (–2) x 5 =

8) [(–3) x (–8)] ÷ [(–2) x 2] =

3) 6 x 7 ÷ (–1)

9) (8 ÷ 2) x [ 3 x (–2)]

4) 9 x 8 ÷ (–4)

10) [63 ÷ (–9) ] x [(–4) x (–2)] =

5) [3 x (–5)] x (–3) =

11) (–1) x (–5) x 9 ÷ 3

6) [36 ÷ (–6)] x 7 =

12) [2 x (–3)] x [4 x (–3)]

Ejercicio 6 Practica operaciones combinadas. Toma en cuenta la jerarquía de operaciones. 1) [(–6) + 4 x 2 +3] + [(–2) x 5 + (–4)] = 3

2) 5 + (–12) ÷ 3 3

8) [( 16 – 2) x (12 ÷ 6)]

9) [18 ÷ (–3)] x [5 + (–15)]

3) 2 + 6 ÷ 2

10) (–6) + 9 + (–3) + 25 ÷ 5

4) 36 ÷ 18 x 6

11) (–6) + 4 x 1 + 3 + (–5)

12) [(4 x 5) – (3 + 6)]

5) 5 – [(4 + 3) x (7 – 4)] 3

6) 65 + [(14 ÷ 7) x 3 ] 2

7) 6 x (–4) + 25 ÷ 5 + (–1)

13) 7 + [(18 – 15) x (3 + 2)]

14) 5 x [(–10) ÷ 5] + [ 16 ÷ (–4)] =

Ejercicio 7 A. Expresa en forma de potencia las multiplicaciones. =

3) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =

5) 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 =

2) 2 x 2 x 2 =

4) 8 x 8 x 8 x 8

6) (–4) x (–4) x (–4)

1) 3 x 3

B. Expresa cada potencia como producto. 3

1) 4 =

2) 16 =

3) 39 =

4) 7

C. Desarrolla cada potencia. Ten en cuenta las reglas de la potenciación. 2

1) 3 =

4) (–3) =

5) (–6) =

6) 11 =

2) 17 = 3) 14 =

D. Realiza las operaciones y expresa el resultado como potencia. 10

9) 18 ÷ 3 =

2) 2 x 2

10) 3 ÷ 3

11) 24 ÷ (–3) =

4) (–7) x (–3) =

12) 81 ÷ 9 =

13) 27 ÷ 9

1) 8 ÷ 8 3) 3 x 3 2

6) 4 x 2

14) 35 ÷ 7 =

7) 3 x 3

15) 24 ÷ 24

16) (–6) x (–2) =

5) 5 x 5

8) 8 x 2

Primer grado – ciclo básico

= 4

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los siguientes incisos en tu cuaderno. Toma en cuenta que algunos problemas necesitan más de una operación. 1) Una cámara de frío se encuentra a –18 °C. Si cada 10 minutos desciende 3 °C. ¿Qué temperatura tendrá al cabo de 30 minutos? 2) Una piscina vacía tiene capacidad para 1260 litros de agua. Si se llena a razón de 180 litros por hora, ¿cuántas horas demorará en llenarse completamente? 3) Isabel realiza 5 llamadas telefónicas diarias, cada una con una duración de 6 minutos. Luego de 7 días, ¿cuántos minutos habrá hablado en total? 4) En una campaña de vacunación fueron vacunados 97 niños. Si cada vacuna costaba Q28.00, ¿cuánto se gastó en total? 5) Un pintor está pintando las ventanas de un edificio de dos pisos que tiene 40 ventanas en cada piso. Si en un día pintó 5 ventanas de cada piso, ¿cuántas ventanas le faltan para terminar? 6) El dueño de un almacén compró 26 cámaras fotográficas por un total de 13,520 quetzales. Si vendió 4 cámaras al precio que le costaron, ¿a cuánto debe vender las cámaras restantes si desea obtener un beneficio total de 880 quetzales? 7) La dueña de una tienda deportiva compró 31 pelotas de fútbol a 125 quetzales cada una. Vendió 8 pelotas a 140 quetzales cada una y el resto las vendió al precio que las compró. ¿Cuánto ganó por la venta de todas las pelotas? 8) Don Beto, el dueño de un depósito, vendió 821 paquetes de galletas el sábado. Si por 31 docenas y media de paquetes recibió 756 quetzales, ¿cuál fue la recaudación por la venta de todos los paquetes? B. Resuelve los siguientes rompecocos. Pon a funcionar todo tu ingenio. 1) Un camión A sale a las 8:00 a.m. de la capital a Jalapa a 75 km/h. A la misma hora sale un camión B de Jalapa a la capital a 60 km/h. Cuando se crucen, ¿cuál de los dos camiones estará más cerca de Jalapa? 2) Escribe el número que falta en el séptimo círculo. Los primeros seis números están relacionados entre sí con un orden lógico. 1

Practica en la red: www.vitutor/di/e/a_1.html Esta página te servirá para reforzar tus conocimientos sobre números enteros, valor absoluto y representación de números enteros. Además puedes resolver ejercicios interactivos.

Unidad 4 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Realiza las operaciones mentalmente y escribe el resultado. Házlo lo más rápido que puedas. Si no sabes la respuesta, no te detengas y pasa a la siguiente operación. Controla tu tiempo, debes hacer todos los ejercicios en un máximo de 3 minutos. 1) 3 x 4 =

5) 8 x 4 =

9) 7 x 6 =

2) 4 x 2 =

6) 9 x 4 =

10) 6 x 7 =

3) 5 x 5 =

7) 10 x 5 =

11) 5 x 8 =

4) 6 x 5 =

8) 9 x 6 =

12) 4 x 9 =

B. Escribe el número que falta para que la multiplicación sea correcta. 1) 2 x

= 16

x 4 = 28

= 16

2) 8 x

= 64

x 9 = 72

10)

= 30

3) 7 x

= 63

x 9 = 81

11)

= 49

4) 6 x

= 45

x 6 = 24

12)

C. Completa las siguientes divisiones en el espacio de cada operación. 1) 30 ÷ 10 =

5) 28 ÷

= 7

÷8=8

2) 9 ÷ 3

6) 48 ÷

10)

÷3=7

3) 36 ÷ 6 =

7) 42 ÷

11)

÷9=8

4) 40 ÷ 5 =

8) 72 ÷

= 9

12)

÷7=7

D. Busca el factor o factores que completan cada producto. 1)

x 9 = 72

5) 8 x

= 56

= 72

x 7 = 63

6) 3 x

= 27

10)

= 56

x 4 = 32

7) 6 x

= 24

11)

= 63

x 9 = 45

8) 7 x

= 49

12)

= 24

E. Escribe el número que falta para que la división sea correcta. Tiene un ejemplo. 1) 45 ÷

÷9=9

2) 63 ÷

÷6=6

10)

3) 35 ÷

÷5=7

11)

4) 48 ÷

÷9=8

12)

F. Suma mentalmente y escribe el resultado. 1) 4 + 2 + 3 =

5) 8 + 3 + 2 =

9) 10 + 3 + 2 =

2) 7 + 3 + 2 =

6) 9 + 2 + 1 =

10) 9 + 7 + 2 =

3) 2 + 4 + 2 =

7) 2 + 2 + 2 =

11) 7 + 6 + 9 =

4) 6 + 5 + 2 =

8) 5 + 3 + 5 =

12) 8 + 1 + 3 =

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Defino e identifico números enteros. Localizo números enteros sobre la recta numérica. Comparo y ordeno números enteros.

Después de estudiar...

Resuelvo sumas y restas de números enteros. Conozco y aplico la ley de signos para la multiplicación y división. Leo y escribo correctamente potencias de números enteros. Sé de memoria y aplico las reglas para calcular potencias de números enteros. Identifico la radicación como la operación inversa de la potenciación. Conozco las reglas de la radicación y las aplico. Realizo con éxito operaciones combinadas aplicando la jerarquía de operaciones. Multiplico y divido correctamente potencias y raíces de números enteros. Efectúo con rapidez y exactitud operaciones de cálculo mental. Resuelvo con éxito problemas matemáticos y juegos lógicos.

Unidad 4 – Matemática

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas, rellena el círculo que corresponde a la respuesta correcta. Para contestar las preguntas 1 y 2 considera la siguiente recta numérica. cero m 0 1) ¿Qué número entero representa la letra m? A. – 1

B. –3

C. 1

C. 5

–5

C. –13

C. 13

C. –32

C. 4

2) ¿Qué número entero representa la letra e? A. 2

B. 3

C. –4

3) ¿Cuál es el resultado de la operación 28 + ( – 34)? A. 6

B. –6

4) ¿Cuál es el resultado de ( –6 ) + ( – 7)? A. –1

B. 13

5) ¿Cuál es el resultado de ( –10) – ( –3)? A. –13

B. –7

6) ¿Cuál es el resultado de (– 8) x 4 ? A. –24

B. 24

7) ¿Cuál es el resultado de (–8) ÷ (–2 )? A. –4

B. –2

8) ¿Cuál es el orden en que deben eliminarse los signos de agrupación? A. corchetes, paréntesis, llaves.

paréntesis, llaves, corchetes.

B. llaves, corchetes, paréntesis.

paréntesis, corchetes, llaves

9) En una biblioteca hay 7 libreras con 7 estantes y cada estante tiene 7 libros. ¿Cuántos libros hay en total? A. 21 libros

B. 49 libros

C. 343 libros

D. 147 libros.

10) Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta –15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos? A. 360 segundos

100

B. 100 segundos

Primer grado – ciclo básico

C. 72 segundos

D. 60 segundos

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 4 – Matemática

101

Los números racionales

unidad

¿Qué sabes del tema? El matemático Fibonacci introdujo en Europa la forma de operar fracciones y de expresarlas en forma vertical. Si queremos dividir 7 entre 4, vemos que 4 no es divisor de 7, por lo tanto no es posible obtener como resultado un número entero. ¿Cómo expresarías ese resultado?

De este tipo de números, que viene a añadirse a los conjuntos numéricos que ya conoces, trataremos en esta unidad.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido! Biografía de Leonardo Fibonacci

Taller de matemática • El conjunto de los números racionales • Suma y resta de fracciones • Operaciones combinadas con suma y resta • Multiplicación de fracciones • División de fracciones • Potenciación de fracciones • Operaciones combinadas

Taller de prácticas Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 5 – Matemática

103

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos.

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

2. Utiliza gráficas en la representación de información.

2.1 Construye modelos para representar fracciones.

Construir modelos para representar fracciones.

3. Calcula operaciones de números racionales con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Opera con seguridad, justificando los pasos y métodos que sigue y verificando el resultado.

Completar el mapa conceptual del conjunto de racionales. Leer y escribir fracciones. Clasificar fracciones. Comparar y ordenar números fraccionarios. Sumar, restar, multiplicar y dividir números fraccionarios. Resolver operaciones combinadas de números fraccionarios. Desarrollar potencias de racionales. Aplicar las reglas de la potenciación. Realizar operaciones combinadas.

104

Primer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci, notable matemático, nació en Pisa, Italia, en 1170 y murió en 1250. Su papá era comerciante y este hecho le dio la oportunidad, durante su niñez y su juventud, de viajar y de aprender matemáticas con profesores árabes. Hacia el año 1200, se dedicó a escribir un libro que recogía sus conocimientos matemáticos. En él aparecieron, por primera vez en Europa, las cifras del 0 al 9 y las reglas para realizar operaciones con números enteros y con fracciones. En ese libro, también introdujo la barra horizontal para separar numerador y denominador de una fracción.

Leonardo Fibonacci (1170–1250)

3 12 Esta forma de escribir los números racionales, aunque ya era conocida en el mundo árabe, se generalizó en Europa 300 años después de que Fibonacci la presentara. Este aporte tardó en popularizarse, pero hoy día lo seguimos utilizando para escribir fracciones. Texto adaptado de www.ite.educación.es

¡A trabajar! Una ficha es una herramienta de estudio que permite la descripción de las características generales de un personaje o de un tema. El objetivo es recolectar los datos más importantes de forma sencilla. Realiza una ficha biográfica de Leonardo Fibonacci. Para hacerlo completa los datos propuestos. Tómalos de la lectura y, si puedes, contrasta la información consultando en internet.

Nombre: Nació en el año

y murió en el año

Sus aportes matemáticos fueron:

Unidad 5 – Matemática

105

Taller de matemática El conjunto de los números racionales ( Q ) Q

Números racionales

Números enteros

Números fraccionarios

En la unidad anterior aprendimos que al agregar los números enteros negativos a los números naturales, se forma el conjunto de los números enteros. En esta unidad añadiremos los números fraccionarios para formar un nuevo conjunto: el conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q. Simbólicamente se representa por: Q = {Z U Fr} En esta unidad estudiaremos los números fraccionarios o fracciones.

Las fracciones o números fraccionarios Fracción viene del latín fractio que significa porción. Las fracciones son porciones iguales de una unidad que se ha dividido en varias partes. Por eso, también podemos definir una fracción como una división indicada. Por ejemplo, pensemos en un queso cuadrado cortado en 4 partes iguales. El queso entero es la unidad y cada cuarto es una fracción de la unidad.

4 4

Partes de una fracción Una fracción se compone de dos partes, numerador y denominador, separados por una línea horizontal.

1 4

numerador denominador

Numerador: indica el número de partes iguales que se toman de la unidad. Denominador: indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad.

106

Primer grado – ciclo básico

Lectura y escritura de fracciones Cuando leemos o escribimos una fracción, debemos seguir ciertas normas. Posiblemente ya las conoces, pero vamos a recordarlas. Para leer una fracción:

Leemos primero el numerador y después el denominador. Cuando el numerador es 1 se lee ‟un”, del 2 en adelante se lee como cualquier número entero: dos, cuatro, etc. El denominador recibe un nombre específico del 2 al 10. Observa: 2 se lee medios 5 se lee quintos 8 se lee octavos 3 se lee tercios 6 se lee sextos 9 se lee novenos 4 se lee cuartos 7 se lee séptimos 10 se lee décimos

Presta atención a los ejemplos:

1 1 6 un tercio un séptimo seis décimos 7 3 10 Al denominador de 11 en adelante se le agrega la terminación ‟avos” y se escribe como una sola palabra: onceavos, doceavos, etc.

Ejemplo: 8 ocho veintiunavos 21 13 56

–

trece cincuentaiseisavos

2 12

menos dos doceavos

23 75

veintitrés setentaicincoavos

Representación gráfica de fracciones Todo número fraccionario o fracción se puede representar gráficamente de dos formas.

El signo menos de una fracción negativa se escribe siempre a la par de la línea horizontal.

Por medio de figuras geométricas Una figura geométrica representa la unidad. Para representar una fracción se divide en tantas partes iguales como indique el denominador y se señala el número de partes que indica el numerador. 5 8 Dividimos la figura en 8 partes iguales. Pintamos o sombreamos cinco partes.

Por ejemplo, para representar la fracción

Fracciones sobre la recta numérica

Fracciones positivas

Para localizar fracciones positivas menores que la unidad, tomamos solo el segmento de la recta que va de 0 a 1. Veamos un ejemplo. 5 Localicemos 8 Dividimos la unidad (el espacio entre 0 y 1) en 8 partes iguales, como indica el denominador. Marcamos cada división con una raya.

Contamos del cero hacia la derecha 5 rayas, como indica el numerador. 5 8 –1

0 1 Unidad 5 – Matemática

107

Fracciones negativas

Para localizar fracciones negativas tomamos el segmento de la recta, del cero hacia la izquierda, que va de 0 a –1. Localicemos – 7 10 Dividimos la unidad, de 0 a –1, en las 10 partes iguales que indica el denominador.

Contamos del cero hacia la izquierda 7 partes como indica el numerador. –

7 10

–1

0 1

Ejercicio 1 A. Representa gráficamente las fracciones:

1 2 8 4; 6; 8

B. Localiza las fracciones sobre la recta numérica. 3 1) 9

9 10

2) –

108

2 6

–1

Primer grado – ciclo básico

Clases de fracciones Según sea el valor del numerador de la fracción, respecto al valor de su denominador, las fracciones pueden ser de dos clases: propias e impropias.

Fracciones propias: menores que la unidad Una fracción propia representa una cantidad menor que la unidad. Es fácil de identificar porque el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo:

2 3

6 9

2 5

3 7

Fracciones impropias: mayores que la unidad Una fracción impropia representa una cantidad mayor que la unidad. Se identifica porque el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo: Pedro corta varios quesos en cuarterones para venderlos. Al final del día, le sobran cinco cuarterones. A Pedro le sobra un queso completo y un cuarto más.

4 4 5 + = 4 1 4

Ejercicio 2 A. Encierra en un círculo solo las fracciones impropias. 11 ; 5

3 ; 8

6 ; 7

22 ; 2

2 ; 15

4 ; 23

15 ; 14

6 9

B. Escribe qué fracción impropia representa cada gráfica.

Unidad 5 – Matemática

109

Números mixtos: Un caso especial de fracciones impropias Los números mixtos están formados por una parte entera y una parte fraccionaria. Se derivan de las fracciones impropias.

Parte entera

1 2

Parte fraccionaria

Por ejemplo: ¿Cuántos limones son siete mitades de limón? El número entero del número mixto se escribe de mayor tamaño que la fracción.

6 1 7 + = = 2 2 2

La fracción impropia

7 corresponde al número mixto 3 1 2 2

Puesto que una fracción impropia es mayor que la unidad, se puede convertir en un número mixtos y viceversa. Veamos cómo se hace.

Conversión de fracciones impropias a números mixtos Para convertir una fracción impropia a número mixto, seguimos los pasos del ejemplo.

17 a número mixto. 5 Dividimos numerador entre denominador.

El cociente, 3, es el número entero del número mixto.

3 5 17 – 15 2

El residuo, 2, es el numerador de la fracción.

El denominador 5 es el mismo de la fracción impropia.

Convertir

2 17 se convirtió en el número mixto 3 La fracción 5 5

17 2 =3 5 5

Conversión de números mixtos a fracciones impropias Podemos expresar todo número mixto como fracción impropia. Veamos cómo hacerlo. Convertir 3

2 en fracción impropia: 5

Copiamos el denominador del número mixto, es decir 5.

Para obtener el nuevo numerador: multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado, le sumamos el numerador del número mixto. + 2 (5 x 3) + 2 = 15 + 2 = 17 35 = 5 5 5 x

110

Primer grado – ciclo básico

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma fracción con números distintos. A simple vista podemos observar que un medio 2 . 4

( )

1 2

≡

( )

1 del pastel es igual a dos cuartos 2

En algunos libros se utiliza el signo = (igual) en lugar del signo ≡ (equivalente).

2 4

Se lee: ‟un medio es equivalente a dos cuartos”

Veamos otro ejemplo: Determinemos gráficamente si las fracciones

1 3 y son equivalentes. 3 6

Dibujamos dos figuras geométricas iguales. La primera la dividimos en tres partes iguales y pintamos una de ellas. La segunda, la dividimos en 6 y pintamos 3. Si nos fijamos en la parte coloreada, claramente podemos apreciar 3 1 que y no son fracciones equivalentes porque no re6 3 presentan la misma cantidad.

1 3

3 6

Productos cruzados Un procedimiento más práctico para establecer si dos fracciones son equivalentes, es obtener productos cruzados. ¿

Multiplicamos los numeradores y los denominadores en forma cruzada: El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda fracción. 2 5

4 2 es equivalente a ? 10 5

4 10

5 x 4 = 20 2 x 10 = 20

Si el resultado de ambos productos es igual, las fracciones son equivalentes.

4 2 ≡ 10 5

Unidad 5 – Matemática

111

Amplificación de fracciones Amplificar significa aumentar, extender, hacer más grande. Amplificar una fracción es convertirla en otra fracción con números de mayor valor. Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Ejemplo:

3 . Multiplicamos 4 el numerador y el denominador de la fracción por 2: Amplifiquemos al doble la fracción

3x2 6 = 4x2 8 3 Comprobamos con productos cruzados: 4

6 8

24 24

3 4

≡ 68

Simplificación de fracciones Lo contrario de amplificar es simplificar. Simplificar significa acortar, reducir, hacer más simple. Cuando simplificamos una fracción la transformamos en otra fracción de números de menor valor. Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador entre el Mcd de ambos. Veamos cómo se simplifica con un ejemplo. 12 Simplificar la fracción 18

Calculamos el Mcd del numerador y del denominador. 12 = 22 x 3 Mcd (12 y 18) = 2 x 3 = 6 18 = 2 x 32

Dividimos numerador y denominador de la fracción entre el Mcd. 12 ÷ 6 2 = 18 ÷ 6 3

12 18

2 3

≡

Ejercicio 3 A. Convierte las fracciones impropias en números mixtos. 10 1) = 7

5 2) = 2

18 3) = 5

B. Convierte los números mixtos en fracciones impropias. 4 2 2 1) 6 = 2) 7 = 3) 9 = 5 4 3

23 4) = 7

4) 4

1 = 3

C. Simplifica las siguientes fracciones. Recuerda que primero debe calcular el Mcd. 21 1) = 48

112

36 2) = 60

Primer grado – ciclo básico

26 = 39

8 4) = 10

Suma y resta de fracciones Suma y resta de fracciones de igual denominador La suma y resta de fracciones de igual denominador son las operaciones más sencillas con fracciones. Para sumar o restar fracciones de igual denominador: se suman o restan los numeradores y se copia el denominador. Suma: Sumamos los numeradores y copiamos el denominador. 4 5 3 4+5+3 12 4 1 = = =1 + + = 9 9 9 9 9 3 3 Resta: Restamos los numeradores y copiamos el denominador. 1 5 3 5–2 2 – = = = 3 9 9 9 9

Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador Observa las fracciones:

3 2 1 , , 4 3 6

— ¿Podríamos decir a simple vista cuál de ellas es mayor? — No, ¿verdad? porque estas fracciones tienen distinto denominador y no corresponden a la misma porción en que fue dividida la unidad. Para comparar fracciones tenemos que reducirlas a un denominador común. Reducir fracciones a denominador común es encontrar otras fracciones equivalentes, de forma que todas tengan igual denominador. Cuando una serie de fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor. Comparemos las fracciones del inicio:

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. El mcm será el denominador común de las fracciones equivalentes. 4 2 2 2 1 4 = 2 2

3 3 1

3 = 3

6 2 3 3 1

mcm (4, 3 y 6) = 22 x 3 = 12

6=2x3

Unidad 5 – Matemática

113

Para calcular el numerador de cada nueva fracción, dividimos el mcm entre el denominador original y lo multiplicamos por el numerador.

3 4

(12 ÷ 4) x 3 12

3x3 9 = 12 12

3 4

≡

9 12

2 3

(12 ÷ 3) x 2 12

4x2 12

8 12

2 3

≡

8 12

1 6

(12 ÷ 6) x 1 12

2x1 12

2 12

1 6

≡

2 12

Comparamos las fracciones y las ordenamos de mayor a menor. Será mayor la que tenga mayor numerador. 9 12

8 12

2 3 por lo tanto 12 4

2 3

1 6

¡Ahora un problema!

Mateo vendió 3/4 de un queso de leche de cabra y 5/9 de un queso de leche de vaca. ¿Cuál de los quesos se vendió más?

Obtenemos el mcm de los denominadores. mcm (4 y 9) = 22 x 32 = 36

Calculamos los nuevos numeradores:

3 4

(36 ÷ 4) x 3 36

9x3 36

27 36

3 4

≡

27 36

5 9

(36 ÷ 9) x 5 36

4x5 36

20 36

5 9

≡

20 36

Comparamos las fracciones: 27 36

20 3 por lo tanto 36 4

5 9

R/ El queso de leche de cabra se vendió más.

Ejercicio 4 Compara y ordena los grupos de fracciones. Realiza las operaciones en tu cuaderno y escribe acá el resultado. 1) De mayor a menor

3 4 1 , y 4 5 2

2) De menor a mayor

3 5 4 , y 4 6 5

3) De mayor a menor

9 7 11 , y 10 5 6

114

Primer grado – ciclo básico

Suma y resta de fracciones de diferente denominador La reducción de fracciones a común denominador es un paso imprescindible para sumar o restar fracciones de distinto denominador. Seguimos estos pasos: Hallamos el denominador común (mcm de los denominadores). Obtenemos los nuevos numeradores. El numerador de cada nueva fracción es el resultado de dividir el mcm entre el denominador original y multiplicar por el numerador. Resolvamos un problema de suma de fracciones

En una cooperativa de café mezclan y empacan bolsas de 2/4 de libra de café de Antigua con 3/6 de libra de café de Huehuetenango. ¿Cuánto pesa cada bolsa de café?

Calculamos el mcm de 4 y 6 para obtener el denominador común. mcm (4 y 6) = 12

Calculamos los nuevos numeradores, sumamos y simplificamos: 6+6 3 2 12 (12 ÷ 4) x 2 + (12 ÷ 6) x 3 (3 x 2) + (2 x 3) + = = = = =1 12 6 4 12 12 12

R/ Cada bolsa de café pesa 1 libra.

Ejercicio 5 Realiza las sumas y restas de fracciones de diferente denominador. Simplifica el resultado. 1)

3 1 + = 5 15

3 3 – 6) 4 9

8 2 – = 9 6

2 4 6 + + 7) = 9 3 27

5 9 – = 2 8

3 2 4 + + 8) = 4 5 6

1 3 + = 4 6

1 2 5 + + 9) = 2 4 10

4 5 + = 3 6

10)

24 5 – 32 16

Unidad 5 – Matemática

115

Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador En este apartado sumaremos fracciones que tienen distinto signo y denominador diferente. Recuerda los pasos que seguimos en el apartado anterior para sumar y restar fracciones de diferente denominador.

Hallamos el denominador común calculando el mcm.

Calculamos los nuevos numeradores.

Sumamos o restamos las fracciones y simplificamos.

Sumemos:

–

3 7 + 4 5

Calculamos el mcm de 5 y 4 para obtener el denominador común. mcm (5 y 4) = 20

Calculamos los nuevos numeradores: –

4 x (–7) + 5 x 3 7 3 (20 ÷ 5) x (–7) + (20 ÷ 4) x 3 + = = = 20 5 4 20

Sumamos:

–28 + 15 13 =– 20 20

Ejercicio 6 Resuelve en tu cuaderno las sumas de fracciones positivas y negativas de diferente denominador. 1)

116

1 2 + – = 4 3

( )

6) –

1 1 2 + + – = 4 2 3

1 3 + = 2 5

7) –

2 1 3 + – + – = 5 12 10

–

( )

8 1 + – = 9 6

–

1 3 + = 2 4

( )

8 7 + – = 9 3

Primer grado – ciclo básico

( )

( ) ( ) ( )

8 1 5 + + – = 9 2 6

9) –

7 8 + 9 12

12 9 10) + = 3 7

Operaciones combinadas Suma y resta de fracciones, mixtos y enteros En unidades anteriores aprendiste que una operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola. Ahora trabajaremos una clase especial de operaciones combinadas: la suma y resta de fracciones, números mixtos y números enteros. Para poder resolver estas sumas y restas, necesitamos convertir todos los números en fracciones. Sigue los pasos del ejemplo: Resolvamos:

3 2 –2= + 4 3

Convertimos el número mixto en fracción impropia:

Expresamos el número entero como fracción:

Resolvemos

5 2 = 3 3

–2 = –

2 1

5 3 2 + – = 3 4 1

mcm (3, 4 y 1) = 12

(12 ÷ 3) x 5 + (12 ÷ 4) x 3 – (12 ÷ 1) x 2 3 2 5 + – = = 12 4 1 3 20 + 9 – 24 29 – 24 5 4 x 5 + 3 x 3 – 12 x 2 = = = 12 12 12 12

Ejercicio 7 Resuelve en tu cuaderno las sumas y restas de fracciones, números enteros y números mixtos. Sigue los pasos aprendidos. 1)

1 3 + 2 = 4 4

1 5 – 2 = +3 5 15

1 3 – 2 = 3 4

1 3 + 5 2

1 + 2 = 3

–4

1 +3 3

–

4 1 +1 + 3 = 5 5

5 3 –2 – 1 = 6 4

Unidad 5 – Matemática

117

Multiplicación de fracciones El resultado de multiplicar dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador, el producto de los denominadores. Es decir que para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican “en línea”:

Numerador por numerador.

Denominador por denominador.

3 1 3 x = 10 2 5

El resultado de multiplicar dos fracciones es positivo si las fracciones tienen el mismo signo y negativo si los signos son diferentes. Por ejemplo: –

( )

1 2 2 1 x – = = 4 5 20 10

–

1 1 2 2 x =– =– 10 4 5 20

División de fracciones La división de fracciones consiste en dividir una fracción entre otra fracción. Puede realizarse de varias formas. Nosotros vamos a conocer dos:

División por productos cruzados. División por producto de extremos y medios.

Vamos a practicar las dos. Luego, tú decides cuál utilizar.

División por productos cruzados Como su nombre indica, este método consiste en multiplicar en forma cruzada.

Cuando una o ambas fracciones son negativas, primero se multiplican los signos.

Para hallar el numerador se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

Para calcular el denominador se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

Dividamos: –

–

118

Primer grado – ciclo básico

3 7 ÷ = 5 8

24 3x8 7 3 =– =– ÷ 35 5x7 8 5

Producto de extremos y medios Otro método para dividir fracciones es la ley de extremos y medios o “ley del sándwich”. Para aplicar esta ley debemos:

Formar una fracción con las dos fracciones que se dividen: La primera fracción será el numerador y la segunda fracción, el denominador.

Multiplicar los números que quedan en los extremos para formar el numerador y multiplicar los medios para formar el denominador.

3 7 ÷ = 5 8 Escribimos la división como una fracción: la primera fracción es el numerador y la segunda fracción, el denominador.

Ejemplo:

–

– extremos

3 5 7 8

Como una de las fracciones es negativa, primero multiplicamos los signos.

medios

Luego multiplicamos los extremos para obtener el numerador y los medios para obtener el denominador.

–

3 5

=–

7 8

Escribimos la respuesta: –

3x8 24 =– 5x7 35

3 7 24 ÷ =– 5 8 35

Observa que de las dos formas se obtiene el mismo resultado.

Ejercicio 8 A. Multiplica las fracciones y simplifica el resultado.

( )

6 1 x 4 8

3 7 x – = 9 5

1 3 4 x x = 2 4 8

4) –

( )

6 2 x – = 7 4

5) –

8 3 x = 10 6

5 4 x 9 3

B. Divide las fracciones por el método que quieras y simplifica la respuesta si es posible. Procura practicar los dos métodos. 1)

1 5 ÷ = 3 8

3) –

1 6 ÷ = 4 4

3 1 ÷ = 6 9

1 1 ÷ = 9 2

8 3 ÷ 5) = 7 10

6) –

8 3 ÷ = 10 6

Unidad 5 – Matemática

119

Potencia de una fracción Del mismo modo que aplicamos la potenciación a los números naturales y enteros, la aplicaremos a los números fraccionarios. Si la base de una potencia es una fracción, debemos elevar el numerador y el denominador al exponente indicado y desarrollar cada potencia. Sigue con atención el proceso en el ejemplo. Resolvamos:

( ) 2 3

23 3

8 2x2x2 = 27 3x3x3

Reglas de la potenciación En la unidad 4 de números enteros aprendimos estas reglas para operar potencias. Veamos cómo se aplican para calcular potencias de fracciones. Regla 1

Si la fracción es positiva, el resultado es positivo.

Si una fracción negativa está elevada a una potencia par, el resultado es positivo.

Si una fracción negativa se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo.

Regla 2 Toda fracción elevada al exponente 0, es igual a la unidad. Regla 3 Toda fracción elevada a 1, es igual a la misma fracción.

Ejercicio 9 Aplica las reglas de potenciación para resolver las potencias de fracciones.

( )

1 3 5 9 3 8

120

–

2 5

Primer grado – ciclo básico

6 11 1 2

–

6 9

5 8

( ) ( ) ( ) 2 3

–

1 2

–

1 2

( ) 5 7

( ) 4 3

8 27 1 16

=–

1 8

1 =1 1

4 3

Operaciones combinadas con fracciones Ya conoces la jerarquía de las operaciones combinadas, ahora las aplicaremos a las distintas operaciones con fracciones. Ejemplo: Resolvemos los paréntesis. Fíjate que el segundo incluye una potencia.

Resolvemos el producto de izquierda a derecha.

Por último resolvemos la suma. (El denominador común de 4 y 12 es 12).

(

1 2 + 4 4

) ( ) +

1 2

1 = 3

1 1 3 x = + 4 3 4 1 3 = + 12 4

(3 x 3) + (1 x 1) 9+1 10 5 (12 ÷ 4) x 3 + (12 ÷ 12) x 1 = = = = 12 12 12 6 12

Ejercicio 10 Resuelve las operaciones combinadas. Toma en cuenta la jerarquía de operaciones. 1)

( ) (

(

1 1 1 x ÷ 5 2 2

(

1 2 1 2 – – 2 3 5

( ) (

1 1 ÷ 3 6

(

) (

( ) (

–

1 2

–

)

1 = 3

1 1 1 8) ÷ + 3 4 2

1 2 2 – 9) x 2 3 7

10)

(

11)

( ) (

1 1 3 – ÷ = 3 6 3

12)

( ) (

1 1 1 – x = 2 2 4

2 1 + 4 3

) ( )

1 3

)

3 1 2 1 ÷ – + 5 3 2 2

–

2 3

1 1 x 3 4

)

( )

7) –

1 3

(

) ( )

(

)

–

) (

–

2 3

1 2

1 = 3 =

1 1 3 1 ÷ – + 5 5 4 8

)

Practica en la red: Profundiza en el tema de las fracciones. Visita: es.wikipedia.org/wiki/Fraccion Unidad 5 – Matemática

121

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Escribe cómo se leen las fracciones. 4 7 8 3 2 – 1) 2) 3) 4) – 5) 9 11 10 7 15 B. Expresa en números las siguientes fracciones. 1) cuatro novenos

2) siete octavos

3) tres sextos

4) ocho tercios

Ejercicio 2 A. Representa gráficamente las fracciones con una figura geométrica. 1)

3 1 7 5 2) 3) 4) 4 6 9 8

4 10

B. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica. 1)

4 7 4 5 3 – – 2) 3) 4) 5) 6 8 4 6 2

Ejercicio 3 A. En el siguiente grupo de fracciones, encierra en un círculo las fracciones propias, en un cuadrado las impropias y en un triángulo los números mixtos. 2 , 3

1 , 4

9 19 , , 5 25

9 , 10

61 , 70

11 3 7 2 , , , –2 , 10 8 9 15

–

5 9

B. Convierte las fracciones impropias en números mixtos. 1)

16 12 68 13 77 55 2) 3) 4) 5) 6) 3 5 7 2 9 6

C. Convierte los números mixtos en fracciones impropias. 1)

1 4 3 1 6 2 2) 6 3) 9 4) 4 5) 3 6) 1 4 9 4 2 8 3

Ejercicio 4 A. Utiliza el método de productos cruzados para comprobar si las fracciones son equivalentes. En tu respuesta utiliza el símbolo de o . 1)

24 12 y 15 30

8 7 y 10 5

6 12 y 7 14

1 3 y 3 9

4 8 y 5 10

6 1 y 18 3

122

Primer grado – ciclo básico

B. Resuelve en tu cuaderno la suma y resta de fracciones de diferente denominador. 1)

14 2 + = 8 4

3 4 4) – = 4 5

8 4 7) + = 9 6

3 5 + = 9 3

3 5 5) – = 4 6

1 2 8) – = 2 3

3 3 + = 7 5

1 1 6) + = 9 2

5 5 9) + = 6 7

C. Resuelve en tu cuaderno las sumas y restas de fracciones de diferente signo y denominador. 1)

5 6 – = 6 12

4) –

5 18 + = 7 21

4 7 – = 12 18

5) –

6 10 – = 8 12

3 10 8) – 5 15

8 7 – = 9 6

6) –

9 5 + = 8 6

2) – 3)

8 2 + = 9 3

7) –

9) –

11 7 + = 4 3

D. Resuelve las sumas y restas de fracciones, enteros y números mixtos.

3 2 – = 2 7

1 2 + = 4 4 3 2 +1 = 9 3

4) 7 –

5) 3

2 8

4 –1 7 3 –1 6

2 5 7) + 3 3 6

3 = 5

8) – 4 + 2

2 = 5

3 5

= =

3 2 –1– = 5 10

Ejercicio 5 Simplifica las fracciones a su menor expresión. 1)

5 = 15

72 4) = 80

– 7)

11 = 121

25 10) = 40

14 = 21

7 5) = 49

36 8) = 99

54 11) = 66

10 = 80

36 6) = 48

9 9) = 45

12) –

90 = 120

Ejercicio 6 Convierte a denominador común cada pareja de fracciones. fracciones

fracciones equivalentes

2 4 y 3 5

4 5

2 3

7 2 y 8 3

2 3

7 8

9 5 y 21 7

5 7

9 21

Unidad 5 – Matemática

123

Ejercicio 7 A. Multiplica las fracciones. Simplifica el resultado 1)

12 3 x = 15 2

3 6 4) x = 4 8

4 7) – x 72 = 11

7 x 2 4

4 4 5) x = 5 6

11 5 8) x = 15 3

3 3 x = 7 4

2 1 9) – x = 6 2

2 3 x = 7 8

3) –

B. Divide utilizando el método de multiplicación en forma cruzada.

(

12 1 ÷ = 5 2

5 1 ÷ = 9 3

2) –

4) –

)

9 2 5) ÷ = 11 3

1 3 ÷ = 10 5

4 1 6) ÷ = 5 2

2 1 3) ÷ – 5 3

C. Divide utilizando el producto de extremos y medios. 1)

2 5 ÷ = 3 6

1 4 ÷ – 3 5

(

)

8 2 ÷ = 7 3

3) –

2 1 5) ÷ = 3 2

(

4 2 6) ÷ – 5 3

7 3 4) ÷ = 9 5

)

Ejercicio 8 A. Desarrolla las potencias de fracciones. 1)

( ) 1 2

( )

5 2) 6

( )

2 3) 3

( )

1 4) 3

B. Convierte los números mixtos en fracciones impropias y desarrolla las potencias de fracciones. 1)

(

)

11 3

(

2) 2

12 6

)

(

3) 8

)

(

11 3 = 2

4) 2

C. Aplica las reglas de potenciación para resolver las potencias de fracciones. 1) 2)

( ) ( ) 3 5

6 2

( ) ( )

2 3) 9

= =

4) –

1 3

( ) ( )

3 5) 7

= =

5 7

6) –

= =

D. Resuelva las operaciones combinadas utilizando la jerarquía de operaciones. 1) 2)

124

( (

1 2 + 6 6 1 2 – 3 4

) ( ) )( ) –

1 2

1 3 3

1 = 2

1 = 4

Primer grado – ciclo básico

( ) ( 2 3

1 4 – = 2 9

1 2 + 5 3

) ( x

3 2 – 6 3

)

3 4

)

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los problemas con los temas vistos en esta unidad. 1) Para pintar una casa se emplearon 2/3 de galón de pintura de color blanco y 1/3 de galón de pintura de color rojo. ¿Cuántos galones de pintura se emplearon en total? 2) Un bus inició su recorrido con el tanque de gasolina lleno. Si en el viaje gastó 5/12 de ida y 1/2 de vuelta. ¿Cuánta gasolina le queda en el tanque? 3) Un restaurante prepara un evento para 120 personas. 2/3 de los invitados se colocarán en el salón A y el resto en el salón B. Si en cada mesa caben 8 personas, ¿cuántas mesas se colocarán en cada salón? 4) Leonor gana 2100 quetzales al mes. 1/3 de su sueldo lo utiliza para pagar el alquiler y de lo que le sobra, la mitad lo emplea en alimentación y transporte. a.

¿Cuánto dinero paga de alquiler?

¿Cuánto dinero gasta en alimentación y transporte?

5) Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Un trozo del cable mide 5/6 del total del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo? 6) José gana 2/3 de 120 quetzales por cada día de trabajo. Si trabajó 17 días, ¿cuál fue su sueldo? 8 7) Se compraron 20 libras de dulces para los más chiquitos de la escuela y se colocaron en bolsas de 10 1 libras. 5 a. ¿Cuántas bolsas se llenaron? b.

Si cada día se reparten 4 bolsas, ¿para cuántos días alcanzarán los dulces que se compraron?

B. Resuelve los siguientes rompecocos. 1) Dos padres y dos hijos entran al cine. Compran solo tres entradas y entran sin problema. ¿Cómo lo hicieron? 2) ¿Cuántas veces puede restarse 5 de 2?

Unidad 5 – Matemática

125

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Resuelve tan rápido como puedas todas las operaciones de cálculo. 1) 5 x 9 =

11) 7 x

5 =

21) 7 x

2) 8 x 5 =

12) 6 x

7 =

22)

3) 5 x 7 =

13) 7 x

7 =

23) 5 x 7 =

4) 6 x 5 =

14) 8 x

7 =

24)

5) 5 x 5 =

15) 7 x

9 =

25) 5 x

6) 9 x 6 =

16) 5 x

8 =

26)

7) 6 x 8 =

17) 8 x

6 =

27) 9 x 3 =

8) 7 x 6 =

18) 7 x

8 =

28) 4 x

9) 6 x 6 =

19) 8 x

9 =

29)

x 9 = 54

20) 4 x

8 =

30)

x 8 = 56

10) 5 x 6 =

= 63 x 8 = 72

x 6 = 48 = 45 x 7 = 42

= 28

B. Escribe el número que falta para que la división sea correcta. Recuerda que la división es la operación inversa de la multiplicación. 1) 24 ÷

5) 32 ÷

9) 54 ÷

2) 35 ÷

6) 49 ÷

10) 28 ÷

3) 42 ÷

7) 48 ÷

11) 64 ÷

4) 72 ÷

8) 21 ÷

12) 80 ÷

C. Busca el factor o factores que completan cada producto. 1)

x 5 = 45

= 81

= 72

x 9 = 72

6) 8 x

= 56

10)

= 56

x 7 = 63

= 27

11)

= 63

x 4 = 32

= 24

12)

= 24

D. Escribe el número que falta para que la división sea correcta. 1) 63 ÷

4) 81 ÷

7) 32 ÷

2) 35 ÷

5) 56 ÷

8) 40 ÷

3) 48 ÷

6) 72 ÷

9) 42 ÷

E. Suma mentalmente y escribe el resultado. 1) 7 + 3 + 2 =

4) 3 + 3 + 3 =

7) 2 + 2 + 2 =

2) 2 + 4 + 2 =

5) 8 + 3 + 2 =

8) 5 + 3 + 5 =

3) 6 + 5 + 2 =

6) 9 + 2 + 1 =

9) 7 + 3 + 2 =

126

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Defino el conjunto de los números racionales. Leo y escribo correctamente fracciones. Represento fracciones con figuras geométricas y sobre una recta numérica.

Después de estudiar...

Identifico y clasifico las diferentes clases fracciones. Convierto fracciones impropias en números mixtos y viceversa. Defino e identifico fracciones equivalentes. Amplifico y simplifico fracciones. Aprendo y practico sumas y restas de fracciones de igual denominador. Aprendo y practico sumas y restas de fracciones de diferente denominador. Resuelvo sumas y restas de fracciones positivas y negativas de diferente denominador. Resuelvo sumas y restas de fracciones y números mixtos. Resuelvo problemas matemáticos y juegos lógicos. Agilizo mi velocidad de cálculo mental resolviendo operaciones.

Unidad 5 – Matemática

127

¡Ponte a prueba! Rellena el círculo de la opción correcta en tu hoja de respuestas. 1) Entre las siguientes fracciones, una fracción impropia es… 5 3 7 4 B. C. D. 6 2 9 5

2) Entre las siguientes fracciones, una fracción propia es… 7 5 9 11 B. C. D. 4 6 8 10

3) La fracción impropia que corresponde al número mixto 5 A.

3 es… 4

23 19 12 4 B. C. D. 4 4 4 23

4) El número mixto que corresponde a la fracción 11/4 es… 2 3

A. 3

2 3

B. 4

C. 2

1 4

D. 2

3 4

5) La fracción simplificada de 60/120 es… A.

1 15 3 30 B. C. D. 2 30 6 60

6) El resultado de sumar 2/4 + 3/5 es… A.

3 5 1 7 B. 1 C. 1 D. 1 10 10 10 10

7) El resultado de restar –7/5 – 3/4 es… A.

11 13 B. 20 20

C. –

43 20

D. –

13 20

C. –

6 35

D. –

15 14

C. –

2 3

D. –

3 8

C. –

15 15 D. 9 9

8) El resultado de multiplicar –3/7 x 2/5 es… A.

15 6 B. 14 35

9) El resultado de dividir (–1/2) ÷ ( –3/4) es… 2 3 B. 3 8

10) El resultado de desarrollar A. –

(1 ) 2 3

es…

125 125 B. 27 27

11) Una mezcla está compuesta por 3/4 de trigo, 5/12 de arroz y 1/6 de avena. ¿Cuáles son los dos cereales presentes en mayor cantidad? A. trigo y avena

B. arroz y avena

C. trigo y arroz

D. ninguna es correcta

12) En una tienda de disfraces se emplearon 2/3 de yarda de tela verde, 2/4 de tela amarilla y 2/7 de tela roja para confeccionar un disfraz de flor. ¿Cuántas yardas se utilizaron en total para confeccionar 5 disfraces? A.

128

5 yardas 12

Primer grado – ciclo básico

5 yardas 24

7 yardas 24

D. ninguna es correcta

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 5 – Matemática

129

Los números decimales

unidad

¿Qué sabes del tema? ¿Cuánto mides? Seguro que no puedes expresar tu altura con un número entero. En nuestro diario vivir, hacemos alguna transacción o tomamos algunas mediciones en las que las cantidades no son números enteros. En la presente unidad nos ocuparemos de un conjunto numérico más, el conjunto de los números decimales.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Sistema de numeración decimal Taller de matemática

• • • • •

Fracciones decimales y números decimales Lectura y escritura de números decimales Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales División de números decimales

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 6 – Matemática

131

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos.

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

3. Calcula operaciones de números racionales con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Opera con seguridad, justificando los pasos y métodos que sigue y verificando el resultado.

Expresar fracciones decimales como números decimales. Identificar la parte entera y la parte decimal de un número decimal. Leer y escribir números decimales. Sumar y restar números decimales. Multiplicar con agilidad números decimales. Dividir con agilidad números decimales. Resolver con rapidez y seguridad operaciones de hojas de cálculo mental.

132

Primer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Sistema de numeración decimal El origen del sistema de numeración decimal se explica por el número total de dedos de las dos manos. El sistema decimal ha sido universalmente adoptado desde el tuareg* que cuenta con los dedos hasta el matemático que maneja instrumentos de cálculo. Todos contamos de diez en diez. Dadas las diferencias profundas entre los pueblos, semejante universalidad es sorprendente. La forma de contar es uno de los pocos asuntos en los que los seres humanos estamos de acuerdo. Fragmento adaptado de “El hombre que calculaba" Malba Tahan

El sistema de numeración decimal emplea diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar todos los números. Es un sistema posicional y tiene como base el número diez. Refresca la memoria y recuerda la tabla de posiciones de los números enteros. Observa los ejemplos. 1) Miguel Ángel Asturias nació en 1899. unidades de mil (UM)

Centenas (C)

Decenas (D)

Unidades (U)

2) La arroba de azúcar cuesta 83 quetzales en el mercado UM

Esta semana estudiaremos los números decimales y recordaremos cómo se escriben en la tabla de posiciones.

¡A trabajar! Representa en la tabla de posiciones los números enteros. UM

1) 635 2) 2010

* Tuareg: nómada norteafricano que habita en el desierto del Sahara. Unidad 6 – Matemática

133

Taller de matemática Fracciones decimales y números decimales Las fracciones que tienen como denominador a la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000…) se llaman fracciones decimales. Todas las fracciones decimales pueden expresarse como números decimales. Un número decimal es todo número formado por una parte entera y una parte decimal. Las posiciones de la parte decimal se nombran del punto decimal a la derecha, como vemos en la tabla de posiciones. C

•

décimas centésimas milésimas diezmilésimas (d) (c) (m) (dm)

punto decimal

Para escribir una fracción decimal como número decimal:

Se escribe el numerador.

Se cuenta, iniciando en la última cifra de la derecha, tantos lugares como ceros tiene el denominador y se coloca el punto decimal.

Veamos unos ejemplos: 1 denominador 10, corremos el punto decimal 1 espacio. 10 24 denominador 100, corremos dos espacios. 100 1456 denominador 1000, corremos tres espacios. 1000 75 denominador 10 000 corremos el punto decimal cuatro espacios. Agregamos ceros para completar 10 000 las posiciones.

•

Lectura y escritura de números decimales

134

Para leer un número decimal, se expresa primero la parte entera (si la hay) y a continuación la parte decimal, dándole el nombre de las unidades inferiores.

Primer grado – ciclo básico

Ejemplos: Se lee: cinco unidades, siete décimas Se lee: cincuenta y nueve centésimas

Se lee: siete unidades, sesenta y dos milésimas

Para escribir un número decimal, debes fijarte en el último dígito de la parte decimal y escribir el número respetando el orden de las cifras (décimas, centésimas, milésimas…)

Ejemplos: Expresemos con cifras los siguientes números decimales: U

1) siete unidades, cuarenta y cinco centésimas

2) ocho unidades, seis milésimas

3) doscientas treinta y cuatro diezmilésimas

Ejercicio 1 A. Convierte las fracciones decimales en números decimales y escríbelos en la tabla de posiciones.

56 = 100

357 = 1000

27 3) = 10 119 4) = 100

1185 = 10 000

146 = 10

12 7) = 100

225 8) = 1000

•

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

B. Escribe cómo se leen los siguientes números decimales. 1) 1.2

6) 9.3451

2) 53.63

7) 47.024

3) 0.28

8) 100.001

4) 0.123

9) 200.233

5) 30.05

10) 548.636

C. Escribe sobre la línea los números decimales. 1) dos unidades, trescientos cuarenta y seis milésimos 2) mil seiscientas treinta y ocho diezmilésimas 3) tres unidades, setenta y ocho centésimas 4) setecientas ochenta y cuatro milésimas 5) una unidad, noventa y nueve milésimas 6) cinco centésimas

Unidad 6 – Matemática

135

Suma y resta de números decimales Suma de números decimales en forma vertical

Se escribe una cifra debajo de la otra, alineando el punto decimal, es decir colocándolo exactamente en la misma posición.

Se suman las cantidades como si se tratara de números naturales y en el resultado se escribe el punto decimal también en la misma posición.

Ejemplos: 1) 18.5 + 3.573 + 0.65 = Para que no te confundas, puedes añadir ceros e igualar el número de cifras decimales. El cero a la derecha del punto decimal no altera el valor del número.

1 8 . 5 0 0 3 . 5 7 3 + 0 . 6 5 0 2 2 . 7 2 3

2) 0.18 + 2 + 3.6 = Cuando uno de los sumandos es un número entero, (2) lo convertimos en decimal poniéndole el punto decimal y añadiendo un cero, 2 = 2.0

0 . 1 8 + 2 . 0 3 . 6 5 . 7 8

Resta de números decimales

Se escribe una cifra debajo de la otra, alineando el punto decimal. Se resta y en el resultado se escribe el punto decimal en la misma posición que el del minuendo y sustraendo.

Ejemplo:

8.9 – 3.26 = Si el minuendo tiene menos cifras decimales que el sustraendo, se agrega la cantidad de ceros que sea necesario.

8 . 9 0 – 3 . 2 6 5 . 6 4

Ejercicio 2 Efectúa en tu cuaderno las sumas y restas de números decimales. Luego, escribe los resultados. 1) 0.3 + 0.87 + 5 =

6) 51.62 + 0.8 =

11) 53.6 – 4.93 =

2) 0.19 + 3081 =

7) 3 + 0.18 + 3.16 =

12) 27 – 19.12 =

3) 15 + 0.54 =

8) 2.59 – 0.18 =

13) 45.6 – 0.24 =

4) 3.6 + 4.9 =

9) 16.18 – 4.241 =

14) 39.2 – 2.140 =

5) 8.93 + 0.16 =

10) 0.8 – 0.17 =

15) 6.75 – 2.675 =

136

Primer grado – ciclo básico

Multiplicación de números decimales Multiplicación de un número decimal por un entero Para multiplicar un número decimal por un número entero:

Multiplicamos el número entero por todas las cifras del número decimal, de la misma forma que multiplicamos números naturales y enteros.

Separamos en el producto, de derecha a izquierda, el número de cifras que tenga el factor decimal.

0 . 5 3 x 7 3 . 7 1

Ejemplo: 0.53 x 7 =

2 cifras decimales se separan 2 cifras decimales de derecha a izquierda

Multiplicación de un decimal por otro decimal Para multiplicar un número decimal por otro número decimal:

Multiplicamos los números decimales como si fueran enteros.

En el producto, separamos con un punto decimal, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como tengan ambos factores.

Ejemplos: 1) 3.62 x 0.8 = 2 decimales

3 . 6 2 x 0 . 8 2 . 8 9 6

1 decimal

Total 3 decimales

se separan 3 decimales de derecha a izquierda

2) 0.123 x 2.7 = 0 . 1 2 x 2 0 8 6 0 2 4 6 0 . 3 3 2

3 . 7 1

3 decimales Total 4 decimales 1 decimal

1 se separan 4 decimales de derecha a izquierda

Unidad 6 – Matemática

137

Producto de un decimal por la unidad seguida de ceros Multiplicamos por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, 10 000...), corriendo el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Por ejemplo:

34.68 x 10 =

Como 10 tiene un cero, corremos el punto un espacio hacia la derecha. 34.68 x 10 = 3 4 6 . 8 ¡Otro ejemplo!

16.567 x 100 =

Como 100 tiene dos ceros, corremos el punto dos espacios a la derecha. 16.567 x 100 = 1 6 5 6 . 7 ¡Un caso especial! Si al correr el punto, los decimales no alcanzan, los espacios se completan con ceros. Por ejemplo:

2.3 x 1000 =

En este caso debemos correr el punto tres espacios hacia la derecha porque el número mil tiene tres ceros. Como 2.3 solo tiene una cifra después del punto decimal, tenemos que agregar dos ceros. 2.3 x 1000 = 2 3 0 0

Cuando el punto decimal queda al final de una cantidad no debe escribirse.

Ejercicio 3 A. Practica la multiplicación de decimal por entero. 1) 3.14 x 9 =

3) 3.534 x 6 =

5) 61.72 x 4 =

2) 0.12 x 35=

4) 49 x 0.03 =

6) 0.45 x 7=

B. Practica la multiplicación de decimal por decimal. 1) 0.18 x 7.4 =

3) 35.6 x 1.2 =

5) 45.78 x 5.7 =

2) 3.233 x 0.68 =

4) 325.4 x 2.8 =

6) 3.47 x 8.08 =

C. Multiplica por la unidad seguida de ceros 10, 100, 1000. 1) 2.8 x 10 =

3) 3.8 x 1000 =

5) 39.76 x 100 =

2) 0.453 x 100 =

4) 5.3164 x 100 =

6) 43.534 x 1000 =

D. Completa las multiplicaciones con la unidad seguida de ceros que falta. 1) 3.5 x

= 350

3) 0.345 x

= 3.45

5) 4.567 x

= 456.7

2) 0.56 x

= 56

4) 0.0018 x

= 0.18

6) 0.07863 x

= 78.63

138

Primer grado – ciclo básico

División de números decimales En la división de números decimales, se pueden presentar los siguientes casos:

El dividendo es número decimal y el divisor es número entero (40.5 ÷ 5) El dividendo es entero y el divisor es decimal (12 ÷ 2.5) Dividendo y divisor son decimales (4.5 ÷ 2.5) El dividendo es decimal y el divisor es la unidad seguida de ceros (2.5 ÷ 10)

Veamos cómo se resuelven estas divisiones paso a paso.

División con dividendo decimal y divisor entero Para dividir un número decimal entre un número entero:

Dividimos como si ambos números fueran números enteros.

Al bajar la primera cifra decimal del dividendo, subimos el punto decimal al cociente.

Por ejemplo, para dividir 40.5 ÷ 5 =

Dividimos la parte entera como división entre enteros.

Luego, al bajar la primera cifra decimal (5) subimos el punto decimal al cociente.

Seguimos dividiendo en la forma conocida (5 entre 5) hasta terminar la división.

Escribimos el resultado. 40.5 ÷ 5 = 8.1

8 5 4 0 . 5 – 4 0 0 8 . 1 5 4 0 . 5 – 4 0 0 5 – 5 0

¡Un caso especial! Hasta ahora hemos divido cantidades en las que el dividendo es mayor que el divisor, pero no siempre es así. — ¿Cómo se resuelve una división en la que el dividendo es menor que el divisor? Sigamos los pasos del ejemplo para comprenderlo. Dividir:

9.1 ÷ 11 =

Como 9 es menor que 11, escribimos un 0 en el cociente y el punto decimal. Dado este paso, dividimos de la forma acostumbrada (91 entre 11). Escribimos la división inicial con el resultado. 9.1 ÷ 11 = 0.8

0 . 8

1 1 9 . 1 – 8 8 3

Unidad 6 – Matemática

139

División de un número entero entre un decimal Para dividir un número entero entre un número decimal:

Convertimos el divisor decimal en número entero, multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

Multiplicamos el dividendo por el mismo número que el divisor, agregando tantos ceros como ceros acompañen a la unidad.

Finalmente, dividimos como si fueran números enteros.

Ejemplo: 1) 85 ÷ 0.2 =

Convertimos el divisor (0.2) en número entero.

Como tiene una cifra decimal, lo multiplicamos por 10: 0.2 x 10 = 2

Multiplicamos el dividendo por el mismo número (10): 85 x 10 = 850

Finalmente dividimos como si fueran números enteros: 850 ÷ 2 =

Escribimos la división inicial con el resultado, 85 ÷ 0.2 = 425

4 2 5

2 8 5 0 – 8 0 5 – 4 1 0 – 1 0 0

División de un decimal entre otro decimal Para dividir un número decimal entre otro número decimal:

Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. De esa manera el divisor se convierte en número entero.

Dividimos el dividendo entre el divisor entero.

Escribimos la división inicial con el resultado.

Ejemplo: En la práctica, se corre el punto decimal en el divisor y el dividendo una cantidad de lugares igual al número de cifras decimales del divisor. 3.6 ÷ 0.21 = 360 ÷ 21

Dividir:

3.6 ÷ 0.21 =

El divisor tiene dos cifras decimales, por lo tanto multiplicamos el divisor y el dividendo por 100.

0.21 x 100 = 21

3.6 x 100 = 360

Luego dividimos 360 ÷ 21 =

Escribimos la división inicial con el resultado.

1 7

3.6 ÷ 0.21 = 17

140

Primer grado – ciclo básico

2 1 3 6 – 2 1 1 5 – 1 4

0 0 7 3

División de un decimal entre la unidad seguida de ceros Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc) corremos el punto decimal hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga la unidad. Por ejemplo: 1) 78.2 ÷ 10 = 10 tiene un cero, corremos el punto decimal un espacio a la izquierda. 78.2 ÷ 10 = 7.82 2) 3.45 ÷ 100 = 100 tiene dos ceros, corremos el punto decimal dos espacios a la izquierda. 3.45 ÷ 100 = 0.0345 3) 569.1 ÷ 1000 = 1000 tiene tres ceros, corremos el punto decimal tres espacios a la izquierda. 569.1 ÷ 1000 = 0.5691

Ejercicio 4 A. En tu cuaderno, divide un número decimal entre un número entero. Sigue los pasos que aprendiste en los ejemplos. 1) 51.6 ÷ 6 =

5) 314.7 ÷ 21 =

687.75 ÷ 6 =

2) 31.2 ÷ 8 =

6) 68.76 ÷ 33 =

10) 36.27 ÷ 5 =

14) 3.18 ÷ 5 =

3) 12.40 ÷ 2 =

7) 524.8 ÷ 50 =

11) 0.076 ÷ 6 =

15) 0.216 ÷ 12 =

4) 451.6 ÷ 15 =

8) 99.16 ÷ 9 =

16) 3.445 ÷ 9 =

12) 0.0016 ÷ 2 =

13) 0.0967 ÷ 8 =

B. En tu cuaderno, efectúa las divisiones de un entero entre un decimal. 1) 57 ÷ 0.8 =

3) 735 ÷ 12.3 =

5) 3467 ÷ 2.6 =

2) 9 ÷ 0.052 =

4) 85 ÷ 0.016 =

6) 24 ÷ 0.85 =

C. En tu cuaderno, efectúa las divisiones de un número decimal entre otro número decimal. Sigue los pasos como los que estudiaste en los ejemplos. 1) 0.125 ÷ 0.5 =

4) 3.1416 ÷ 0.8 =

7) 0.7777 ÷ 0.11 =

2) 0.32 ÷ 0.2 =

5) 0.729 ÷ 0.009 =

8) 12.78 ÷ 123.1 =

3) 31.63 ÷ 8.184 =

6) 0.1284 ÷ 0.4 =

9) 0.243 ÷ 0.081 =

D. Divide cada número decimal de la primera columna entre 10, 100 y 1000. ÷

100

1000

45.67

890.78

123.67

345.89

98.12

0.89

0.456

36.657

100

1000

Unidad 6 – Matemática

141

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Escribe cómo se leen las siguientes fracciones decimales. 1)

7 57 11 3 17 2) 3) 4) 5) 100 10 10 10 000 10 000

B. Convierte las fracciones decimales a números decimales. 1)

23 56 34 6 2) 3) 4) 100 10 000 1000 10

C. Resuelve las sumas con números decimales. Escribe las cifras en su posición y verifica que los puntos decimales queden alineados. 1) 7.890 + 23.004 =

4) 319.6 + 64.987 =

2) 94.23 + 0.258 =

5) 14 + 78.02 + 0.654 =

3) 582.9 + 6.21 =

6) 76.231 + 982 + 0.001 =

D. Resuelve las restas con números decimales. Escribe las cifras en su posición y verifica que los puntos decimales queden alineados 1) 56.8 – 17.45 =

4) 987.21 – 23.008 =

2) 39.45 – 8.9 =

5) 5129 – 87.92 =

3) 4.742 – 2.37 =

6) 1000 – 895.98 =

Ejercicio 2 A. Completa las tablas multiplicando el número decimal de la primera columna por la unidad seguida de ceros: 10, 100 y 1000. x

142

100

1000

7.23

0.777

90.01

58.234

72.11

0.001

12.34

Primer grado – ciclo básico

100

1000

B. Multiplica un número entero por un número decimal. 1) 2 x 25.2 =

5) 6 x 24.3 =

2) 5 x 74.09 =

6) 70 x 0.5 =

3) 40 x 0.2 =

7) 35 x 0.01 =

4) 3 x 45.1 =

8) 4 x 40.25 =

C. Multiplica un número decimal por otro número decimal. 1) 9.8 x 2.3 =

5) 1.23 x 6.7 =

2) 0.2 x 7.4 =

6) 14.8 x 0.1 =

3) 8.5 x 2.5 =

7) 7.45 x 2.25 =

4) 6.2 x 0.7 =

8) 1.8 x 6.18 =

Ejercicio 3 A. Completa las tablas dividiendo el número decimal de la primera columna por la unidad seguida de ceros: 10, 100 y 1000. ÷

100

1000

723.4

777.7

900.1

5823.4

31.5

72.11

1000.2

123.4

100

1000

B. Divide un número decimal entre un número entero. 1) 44.2 ÷ 5 =

4) 55.6 ÷ 4 =

2) 15.6 ÷ 3 =

5) 27.3 ÷ 9 =

3) 25.4 ÷ 2 =

6) 80.2 ÷ 4 =

C. Divide un número entero entre un número decimal. 1) 80 ÷ 4.5 =

4) 45 ÷ 2.2 =

2) 90 ÷ 3.3 =

5) 44 ÷ 4.4 =

3) 50 ÷ 5.5 =

6) 92 ÷ 1.6 =

D. Divide un número decimal entre un número decimal. 1) 25.5 ÷ 5.5 =

4) 38.64 ÷ 4.2 =

2) 42.4 ÷ 3.2 =

5) 13.8 ÷ 2.3 =

3) 67.80 ÷ 1.5 =

6) 11.34 ÷ 6.3 =

Unidad 6 – Matemática

143

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1) En la prueba de salto largo, Lucía saltó 3.145 m y César saltó 2.99 m. ¿Cuál es la diferencia entre el salto de Lucía y el salto de César? Expresa tu respuesta en metros. 2) La tortuga de cabeza ancha vive en el sur de Asia. Es una tortuga excepcional por el gran tamaño de su cola que mide 7.5 cm. Además la cabeza mide 9.65 cm y su caparazón 15 cm. ¿Cuál es la longitud total de la tortuga de cabeza ancha? 3) Un frasco lleno pesa 1.2 libras. Si el contenido del frasco pesa 0.950 libras, ¿cuánto pesa el frasco vacío? 4) En cierta fecha, el valor del euro, moneda de Europa, era de 1.37 dólares por un euro. ¿Cuántos dólares se pagaban por 10 euros en esa fecha? 5) En condiciones normales, una tortuga se desplaza a 1.17 metros por minuto y un caracol a 0.084 metros por minuto. Si un caracol y una tortuga partieran al mismo tiempo en línea recta, en el mismo sentido y desde el mismo punto:

¿A qué distancia se encontrarían uno del otro, al cabo de 3 minutos?

¿A qué distancia se encontrarían uno del otro, al cabo de 5 minutos?

6) 50 personas contratan una camioneta para ir de excursión. Si les cobran Q3,362.50 por el viaje de ida y vuelta. ¿Cuánto le cuesta el viaje a cada uno? 7) Una cooperativa de pescadores ha vendido 1233 libras de pescado por Q22,810.50. ¿A cuántos quetzales han vendido la libra de pescado? 8) Luis ha gastado Q53.375 en pollo y Q88.50 en carne de res. Si la libra de pollo vale Q15.25 y la libra de carne de res Q29.50, ¿cuántas libras de pollo y cuántas libras de carne ha comprado? B. Resuelve los siguientes rompecocos. 1) En un corral hay diez animales entre ovejas y gallinas. Si se cuentan las patas, hay 26. ¿Cuántas gallinas y cuántas ovejas hay en el corral? 2) ¿Cómo podría una madre repartir 3 manzanas entre sus cuatro hijos?

144

Primer grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Refuerza la multiplicación. Busca el factor que completa cada producto. 1)

x 5 = 40

x 8 = 48

13)

x 6 = 54

x 9 = 72

x 3 = 24

14)

x 8 = 80

x 7 = 56

x 6 = 42

15)

x 7 = 70

x 5 = 35

10)

x 8 = 64

16)

x 8 = 32

x 9 = 27

11)

x 9 = 54

17)

x 3 = 30

x 5 = 25

12)

x 5 = 40

18)

x 5 = 20

B. Escribe el divisor correcto. 1) 30 ÷

6) 90 ÷

2) 42 ÷

7) 100 ÷

3) 35 ÷

8) 80 ÷

4) 60 ÷

= 10

9) 20 ÷

5) 70 ÷

= 10

10) 10 ÷

=9 = 10

C. Suma. 1) 7 + 3 =

4+7=

2) 9 + 8 =

8+8=

3) 5 + 7 =

7+6=

4) 6 + 9 =

6+7=

5) 6 + 8 =

10) 5 + 9 =

Unidad 6 – Matemática

145

D. Busca el factor que completa cada producto. 1)

x 5 = 35

x 7 = 28

15)

x 10 = 100

x 9 = 54

x 4 = 32

16)

x 8 = 48

x 7 = 49

10)

x 9 = 90

17)

x 6 = 30

x 4 = 36

11)

x 6 = 36

18)

x 7 = 21

x 9 = 45

12)

x 8 = 40

19)

x 10 = 60

x 5 = 50

13)

x 3 = 30

20)

x 5 = 10

x 9 = 81

14)

x 6 = 48

21)

x 10 = 90

E. Escribe el divisor que completa las divisiones. 1) 28 ÷

= 7

6) 40 ÷

= 8

11) 48 ÷

= 8

2) 32 ÷

= 8

7) 100 ÷

= 10

12) 36 ÷

= 9

3) 90 ÷

= 10

8) 21 ÷

= 3

13) 81 ÷

= 9

4) 50 ÷

9) 48 ÷

= 6

14) 24 ÷

= 8

5) 49 ÷

10) 54 ÷

= 9

15) 30 ÷

= 10

F. Realiza mentalmente las sumas. Luego escribe el resultado. 1) 4 + 5 + 3 =

6) 8 + 7 + 2 =

2) 7 + 6 + 2 =

7) 9 + 5 + 1 =

3) 2 + 7 + 2 =

8) 2 + 3 + 2 =

4) 6 + 8 + 2 =

9) 5 + 6 + 5 =

5) 3 + 9 + 3 =

10) 7 + 4 + 2 =

146

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Después de estudiar...

Expreso fracciones decimales como números decimales. Leo y escribo números decimales. Sumo y resto con seguridad números decimales. Multiplico con agilidad un número decimal por un número entero, un número decimal por otro número decimal y un número decimal por la unidad seguida de ceros. Divido números enteros entre números decimales, números decimales entre números enteros y decimales entre la unidad seguida de ceros.

Unidad 6 – Matemática

147

¡Ponte a prueba! 1) ¿Cómo se escribe "seis milésimos" en números? A. 0.6

B. 0.06

C. 0.006

D. 0.0006

2) ¿Cuál es el número decimal que corresponde a 345/100? A. 3.45

B. 34.5

C. 0.345

D. 0.0345

C. 155.4

D. 15.54

C. 453.6

D. 0.4536

C. 0.63

D. 0.0063

C. 1.575

D. 0.1575

C. 0.026775

D. 26.775

C. 5 780 000

D. 5780

C. 392.7

D. 3927

C. 90.856

D. 9085.6

3) ¿Cuál es el resultado de sumar 15 + 0.54? A. 0.69

B. 0.069

4) ¿Cuál es el resultado de restar 41.6 – 0.24? A. 4.536

B. 41.36

5) ¿Cuál es el resultado de restar 0.8 – 0.17? A. 6.3

B. 0.063

6) ¿Cuál es el resultado de 0.45 x 3.5? A. 157.5

B. 15.75

7) ¿Cuál es el resultado de 0.765 x 0.35? A. 0.26775

B. 2.6775

8) ¿Cuál es el resultado de 57.8 x 100 A. 57 800

B. 578 000

9) ¿Cuál es el resultado de 3.1416 ÷ 0.8? A. 39.27

B. 3.927

10) ¿Cuál es el resultado de 908.56 ÷ 100? A. 9.0856

B. 0.90856

11) La panadería "El buen sabor" ganó Q12,536.90 en el mes de enero. Con ese dinero se pagó: un salario de Q2,200.50; servicios de agua, luz y teléfono por Q2,020.95 y el alquiler del local por Q1,800.00. ¿Qué ganancia le quedó al dueño de la panadería? A. Q6,515.45

B. Q6,151.54

C. Q7,525.75

D. Q5,615.45

12) 18.84 litros de agua se depositan en 6 recipientes. Si en cada recipiente se depositó la misma cantidad, ¿cuántos litros de agua quedaron en cada recipiente? A. 1.14 litros

148

B. 2.17 litros

Primer grado – ciclo básico

C. 3.41 litros

D. 3.14 litros

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 6 – Matemática

149

Proporcionalidad

unidad

¿Qué debes saber? El uso de porcentajes está presente en nuestra vida diaria, los vemos cuando leemos noticias o los utilizamos cuando hacemos compras con descuento. Es uno de los lenguajes matemáticos más extendidos, por lo que su comprensión y dominio es muy importante. ¿En qué otros casos empleas los porcentajes?

¿Qué encontrarás en esta unidad? ¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo medir distancias en un mapa?

Taller de matemática • Razón • Proporción • Proporcionalidad directa e inversa • Regla de tres directa • Regla de tres inversa • Porcentaje

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 7 – Matemática

151

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Identifica elementos comunes en patrones aritméticos.

1.1 Resuelve problemas aritméticos y juegos lógicos.

Resolver problemas de su entorno y juegos lógicos para desarrollar su pensamiento lógico.

2. Utiliza gráficas y símbolos en la representación de información.

2.1 Construye gráficas para representar la información.

Representar porcentajes en figuras geométricas.

3. Calcula operaciones de números naturales con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Opera con seguridad las operaciones con números naturales aplicadas a la proporcionalidad.

Definir el término razón. Definir el término proporción. Aplicar la propiedad fundamental. Hallar el término desconocido en una proporción. Resolver problemas de Regla de Tres directa e inversa. Resolver casos de porcentaje. Resolver problemas de porcentaje.

152

Primer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo medir distancias en un mapa? Un mapa es la representación geográfica de la Tierra o de alguna parte de ella. Las representaciones en un mapa se realizan estableciendo una relación entre la extensión y la localización real de un lugar y su representación en el mapa. Esa relación es la escala. La escala indica la relación matemática entre dos puntos en la realidad y esos mismos puntos representados en el mapa. Generalmente, la relación se expresa de forma numérica. Si en un mapa observamos la relación 1:2000, nos indica que 1 unidad del mapa es equivalente a 2000 unidades en la realidad. Para calcular la distancia real, debemos medir la distancia en un mapa y multiplicarla por la escala. Observa abajo el mapa de Belice:

Toma tu regla y mide la distancia que hay entre Belmopán y Orange WalK.

¿Cuántos centímetros hay?

La escala del mapa es 1:25 y las unidades son kilómetros, así que multiplica el número de centímetros por 25.

¿A cuántos kilómetros está Orange Walk de Belmopán?

Muy bien! Orange WalK está a 87.5 ≈ 88 kilómetros de Belmopán.

Ahora determina a cuántos kilómetros está Big CreeK de Belmopán. Sigue los pasos del ejemplo anterior. La escala es una razón matemática. La escala 1:25 también la podemos representar 1 o 1/25 así: 25

Unidad 7 – Matemática

153

Taller de matemática Razón Razones y proporciones tienen mucho que ver con nuestra vida diaria. Una aplicación muy práctica la encontramos en las recetas de cocina.

Refresco de verano Ingredientes 1 naranja 3 limones 1 taza de azúcar 4 vasos de agua natural 2 vasos de agua mineral

Fíjate cómo se relacionan los ingredientes en la receta:

Una naranja por cada tres limones. La relación es de 1 a 3.

Una taza de azúcar por cada dos vasos de agua mineral. La relación es de 1 a 2.

Cuando realizamos comparaciones entre dos cantidades y establecemos una relación entre ellas, establecemos una razón. Una razón es una relación entre dos cantidades, es decir es una fracción. Una razón se compone de dos términos: antecedente, el numerador, y consecuente, el denominador. Veamos la razón entre el número de naranjas y el número de limones:

1 3

antecedente consecuente

Para leer una razón, leemos en primer lugar el antecedente y después el consecuente. El ejemplo se lee: “uno es a tres". El orden de los términos, antecedente y consecuente, indica la forma en que se hace la comparación. En el ejemplo se establece la comparación entre la cantidad de naranjas (antecedente) y la cantidad de limones (consecuente). Si la comparación fuera entre limones y naranjas, la razón sería inversa:

3 1

154

Primer grado – ciclo básico

antecedente consecuente

Proporción En matemática se define proporción como la igualdad de dos razones. Una proporción está formada por dos razones unidas por el signo igual. 2 4 = 6 12

Se lee: dos es a seis, como cuatro es a doce.

Pongamos un ejemplo. Según los consejos para la reforestación de nuestros bosques, por cada árbol que se corta, hay que sembrar cuatro. Podemos construir una tabla que establezca cuántos árboles habría que sembrar si se cortaran 2, 3, etc.

árboles cortados

árboles sembrados

Expresamos la relación entre árboles cortados y árboles sembrados con dos razones y formamos una proporción que se lee: ‟uno es a cuatro, como dos es a ocho".

1 = 4

2 8

Términos de una proporción: extremos y medios Toda proporción tiene cuatro términos: dos extremos y dos medios. Los extremos son el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda. 4 2 1 = 2 Los medios son el denominador de la primera razón y el numerador de la segunda.

medios extremos

Propiedad fundamental de las proporciones La propiedad fundamental de las proporciones dice: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Pongamos un ejemplo:

En la aldea Bosque Bello acaban de cortar cuatro árboles. El grupo defensores de la Naturaleza han decidido organizar una jornada de siembra de 16 árboles para repoblar. ¿Han cumplido con el consejo de reforestar a razón de 1/4 con los 16 árboles nuevos? Planteamos la proporción.

1 4 = 4 16

Aplicamos la propiedad fundamental: producto de extremos es igual a producto de medios. Multiplicamos los extremos: 1 x 16 = 16 Multiplicamos los medios: 4 x 4 = 16

Como el producto de extremos es igual al producto de medios, entonces

4 1 = es una proporción. 16 4

R/ El grupo ha cumplido con sembrar 4 árboles por cada 1 cortado. Unidad 7 – Matemática

155

Aplicaciones de la propiedad fundamental Gracias a la propiedad fundamental podemos hallar el valor de un término desconocido en una proporción, ya sea uno de los extremos o uno de los medios.

Cuando se desconoce uno de los extremos Para averiguar el extremo desconocido de una proporción, se multiplican los medios y el resultado se divide entre el extremo conocido. Por ejemplo:

Si tres cajas de cereal pesan cinco libras, ¿cuánto pesarán seis? 6 3 = 5

Planteamos la proporción. Al término desconocido lo llamaremos

Para hallar el término desconocido, multiplicamos los medios y dividimos entre el extremo conocido.

Completamos los cuatro términos de la proporción.

Sustituimos el valor de en la proporción y comprobamos el resultado:

Respondemos a la pregunta: Seis cajas de cereal pesan 10 libras

5x6 = 10 3 6 3 = 10 5 5 x 6 = 30 3 x 10 = 30

6 3 = 10 5

Cuando se desconoce uno de los medios Para encontrar el medio desconocido, se multiplican los extremos y el resultado se divide entre el medio conocido. Ejemplo:

Un litro de leche contiene 560 calorías. Si un litro equivale a cuatro vasos, ¿cuántos vasos de leche deberá consumir una persona para tomar 140 calorías?

156

4 = 560 140

Planteamos la proporción.

Para hallar el termino desconocido, multiplicamos los extremos y dividimos el resultado entre el medio conocido.

Completamos los cuatro términos de la proporción.

Sustituimos el valor de en la proporción y comprobamos el resultado.

R/ Una persona debe tomar un vaso de leche para consumir 140 calorías.

Primer grado – ciclo básico

4 x 140 = 560 = 1 560 560 1 4 = 140 560

1 4 = 140 560

1 x 560 = 560 4 x 140 = 560

Ejercicio 1 A. Escribe la proporción. 1) En carretera, un carro emplea 1 galón de gasolina para recorrer 50 kilómetros y 3 galones de gasolina para recorrer 150 kilómetros. proporción gasolina

kilómetros

150

2) En una fábrica resultan 2 productos defectuosos por cada 500 que producen y 4 defectuosos por cada 1000. proporción defectuosos

producidos

500

1000

B. Aplica la propiedad fundamental y comprueba si las siguientes razones forman una proporción. Indica tu conclusión rellenando el cuadro. Producto de extremos:

Sí

Producto de medios:

Sí

7 14 = 2) 6 3

Producto de extremos:

Sí

Producto de medios:

Sí

Producto de extremos:

Sí

Producto de medios:

Sí

Producto de extremos:

Sí

Producto de medios:

Sí

Producto de extremos: Producto de medios:

x x

= =

Sí Sí

No No

6 12 = 1) 8 4

5 15 = ) 3 9 3 2 8 = 4) 10 4

3 6 = 5) 5 10

C. Calcula el medio desconocido en las proporciones. proporción 1) 2) 3)

procedimiento

comprobación

5 10

3 = 4 8 8

5 10

Unidad 7 – Matemática

157

Proporcionalidad directa e inversa En el apartado 2 aprendimos que una proporción es la relación de igualdad que se establece entre dos razones. Ahora aprenderemos que la proporción puede estar en relación directa o inversa.

Proporción directa Dos razones están en relación directa cuando: Al aumentar una razón, la otra también aumenta. Por ejemplo:

Si compras más productos, gastas más dinero. Si recorres más kilómetros, tardas más tiempo.

Al disminuir una razón, la otra también disminuye. Por ejemplo:

Si consumes menos electricidad, pagas menos quetzales. Si un carro recorre menos distancia, consume menos combustible.

Proporción inversa Dos razones están en relación inversa cuando: Al aumentar una razón, la otra disminuye. Por ejemplo:

Si quieres ahorrar más, tienes que gastar menos. Si caminas más rápido, tardas menos tiempo en llegar.

Al disminuir una razón, la otra aumenta. Por ejemplo:

Si hay menos gallinas, el maíz para alimentarlas dura más tiempo. Si un carro va a menos velocidad, tarda más tiempo en recorrer un camino.

Ejercicio 2 Lee cada problema, piensa y responde solo las preguntas. No tienes que dar una solución numérica. 1) En una imprenta 5 máquinas tardan 15 días en sacar un pedido. Si solo tuvieran 3 máquinas, ¿el pedido saldría en más o en menos tiempo? ¿Esta relación es directa o inversa?

2) Un depósito de agua alcanza para 5 días si se gastan 6 galones diarios. ¿Cuántos galones diarios deben gastarse para que el depósito alcance para 10 días? ¿Esta relación es directa o inversa?

3) Un taxi cobra 30 quetzales por 10 kilómetros recorridos. Si recorre 45 kilómetros, ¿cobrará más o menos dinero? ¿Esta relación es directa o inversa?

158

Primer grado – ciclo básico

Regla de tres directa La regla de tres directa permite hallar el término desconocido de una proporción que está en relación directa. Se aplica la propiedad fundamental pero se plantean las razones de forma horizontal. Veamos un ejemplo.

6 4 = 10

Dada la proporción directa:

Planteamos la regla de tres:

Para calcular el valor de x, multiplicamos en forma cruzada (6 x 10) y dividimos el resultado entre la tercera cantidad conocida (4).

4 6

Una regla de tres se lee como una proporción: ‟cuatro es a diez, como seis es a x".

60 6 x 10 = = 15 4 4

= 15

La regla de tres es muy útil para resolver problemas. Por ejemplo:

Para obtener 1 libra de sal se necesitan 18 litros de agua de mar. ¿Cuántos litros de agua de mar son necesarios para obtener 3 libras de sal? Establecemos si la proporción está en relación directa o inversa. A más libras de sal son necesarios más litros de agua de mar. La proporción es directa. sal

Planteamos la regla de tres. A la izquierda libras de sal y a la derecha, litros de agua salada.

Operamos. =

Multiplicamos en forma cruzada (3 x 18) y dividimos entre (1).

agua 18

1 3

54 3 x 18 = = 54 1 1 = 54

R/ Para obtener 3 libras de sal son necesarios 54 litros de agua de mar.

Regla de tres inversa La regla de tres inversa permite hallar el término desconocido de una proporción que está en relación inversa. Veamos un ejemplo.

Dada la proporción inversa:

Planteamos la regla de tres:

Para calcular el valor de x, multiplicamos en forma horizontal (2 x 10) y dividimos el resultado entre la tercera cantidad conocida (5).

5 2 = 10 2 5

20 2 x 10 = =4 5 5 =4

Unidad 7 – Matemática

159

Resolvamos un problema como ejemplo. Si 3 personas necesitan 12 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 personas para realizar el mismo trabajo?

Determinamos si la proporción es inversa. A más trabajadores, menos tiempo empleado. La proporción es inversa.

Planteamos la regla de tres. Del lado izquierdo, número de trabajadores y del lado derecho, días empleados.

Operamos. Como es una proporción inversa, multiplicamos en forma horizontal y el resultado lo dividimos entre la tercera cantidad conocida.

trabajadores 3

días 12

36 3 x 12 = =2 18 18 =2

R/ 18 personas necesitarán 2 días para realizar el mismo trabajo.

Ejercicio 3 A. Resuelve cada regla de tres en forma directa y en forma inversa. Regla de tres 1)

12 6

directa

inversa

2) 5 4

3) 3 5

B. Te planteamos problemas de regla de tres directa o inversa. Lee, analiza si la proporción es directa o inversa y aplica el procedimiento apropiado para encontrar la respuesta. 1) Una antena de radio de 7 metros de altura proyecta una sombra de 5 metros. ¿Cuál será la altura de un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 10 metros? 2) Un barco lleva comida para 8 tripulantes en una travesía de 15 días. Si solo viajan 6 tripulantes, ¿para cuántos días les alcanzará la comida? 3) El precio de 8 menús es Q320.00 ¿cuánto costarán 5 menús? 4) El pelo de una persona sana crece 1.25 centímetros por mes. ¿Cuántos centímetros crece en un año? 5) Para obtener 63 litros de jugo de uva se necesitan 180 libras de uvas, ¿cuántos litros de jugo de uva tendremos con 20 libras de uvas?

160

Primer grado – ciclo básico

El porcentaje la palabra porcentaje está muy ligada a nuestra vida diaria. La relacionamos con datos estadísticos, descuentos en la compra (ropa, libros, aparatos eléctricos), intereses por el ahorro o préstamo de dinero, etc. El porcentaje es una cantidad que representa una parte de cada cien. El signo que se utiliza es % y se lee “por ciento". Por ejemplo:

15% se lee “quince por ciento" y significa que tomaremos 15 partes de cada 100. 15 100

También lo podemos expresar como fracción o como número decimal

0.15

Cálculo de porcentajes a. Cuando la cantidad desconocida es una parte del total El porcentaje se calcula por medio de una regla de tres simple directa. Lo practicaremos con un ejemplo.

Según la Organización Mundial de la Salud (Oms), una persona adulta y sana necesita una dieta de 2000 calorías diarias para conservar la salud. La dieta debe contener:

15 % de proteínas (carne, pescado, leche, huevos, incaparina, queso)

57 % de carbohidratos (maíz, frijol, yuca, papa, trigo, azúcar, frutas)

25 % de grasas (aceite, manteca, crema, mantequilla, margarina)

3 % de fibras (frutas y verduras frescas, semillas y granos con cáscara)

¿Cuántas calorías debe consumir de proteínas?

100 % 15 %

Recuerde: Para dividir un número entre 100, copiamos el número y corremos el punto decimal dos espacios hacia la izquierda. Ejemplo:

15 100 = 0.15

2000 cal

Planteamos una regla de tres directa. Las 2000 calorías representan el 100 %

15 x 2000 100

Calculamos el valor de x multiplicando en forma cruzada (15 x 2000) y dividimos el resultado entre el tercer dato (100).

30 000 = 300 100

R/ Una persona adulta debe consumir 300 calorías diarias de proteínas.

Unidad 7 – Matemática

161

¿Cuántas calorías debe consumir de fibra?

2000 cal

100 % 3 %

Planteamos una regla de tres directa.

Calculamos el valor de

R/ Debe consumir 60 calorías diarias en fibra.

3 x 2000 100

6000 = 60 100

b. Cuando la cantidad desconocida es el valor total ¿Cómo averiguar el 100 % cuando la cantidad desconocida es el valor total? Responderemos la pregunta a través de un ejemplo.

Para recuperar una zona de bosque de la comunidad, un grupo de Muchachas Guías sembraron cierta cantidad de árboles. Si sobrevivieron 160 árboles, equivalente al 80 %, ¿cuántos árboles sembraron inicialmente? La cantidad desconocida en este problema es el total, es decir, el 100 %. Para hallarlo planteamos la regla de tres, relacionando el 80 % con 160 árboles y el 100 % con el valor desconocido.

Planteamos una regla de tres directa igual a los casos anteriores, pero ahora es el 100 %.

Calculamos el valor de

R/ Las Muchachas Guías habían sembrado 200 árboles.

100 x 160 80

80 % 100 %

160

16 000 = 200 80

Ejercicio 4 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1) Una caja de cereales en oferta contiene 25 % más producto. Si la caja normal pesa 250 gramos de cereal, ¿cuánto cereal más tiene la caja en oferta? 2) Los músculos de una persona representan, aproximadamente, el 50 % de su peso total. Si un varón pesa 150 libras, ¿cuánto pesan sus músculos? 3) En el aula de Primero Básico hay 40 estudiantes, de los cuales 24 son niñas, ¿cuál es el porcentaje de niñas en el grupo? 4) En la librería Grandes Títulos, han puesto los libros en oferta. El libro El Principito cuesta ahora 18 quetzales. Esta cantidad representa el 90 % de su precio normal. ¿Cuál es su precio normal? 5) Pedro dio 300 quetzales como enganche de un televisor cuyo precio es de 1,125 quetzales. ¿Qué porcentaje le falta pagar?

162

Primer grado – ciclo básico

c. Porcentaje en figuras geométricas El porcentaje también lo podemos aplicar a figuras geométricas cuando se dividen o se componen de varias partes. Veamos un ejemplo. Observa la figura con atención y calcula el porcentaje que representa la parte sombreada.

Planteamos una regla de tres directa. La figura está dividida en 8 partes iguales (100 %) y de estas 4 están sombreadas.

Calculamos el valor de .

8 4

100 %

4 x 100 8

400 = 50 8

Escribimos la respuesta: El 50 % de la figura está sombreada.

Ejercicio 5 Resuelve en tu cuaderno los problemas de porcentajes. 1) Observa la figura con atención y calcula el porcentaje que representa la parte sombreada. Guíate por el ejemplo anterior.

2) Observa la figura con atención y calcula el porcentaje que representa la parte sombreada.

Practica en la red: www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.htm Esta página te servirá para: Repasar tus conocimientos sobre razón, proporción, proporcionalidad directa e inversa, problemas de regla de tres directa e inversa.

Unidad 7 – Matemática

163

Taller de prácticas Ejercicio 1 Resuelve en tu cuaderno los ejercicios que te presentamos a continuación. A. 1) Copia la tabla en tu cuaderno. Lee los datos sobre la población de Rusia y exprésalos como razón matemática.

Según estimaciones de 2002, la población de Rusia está formada así: 79 de cada 100 personas son rusas; 2 de cada 50 son tártaros; 12 de cada 300 son ucranianos y el resto, 30 de cada 200, proviene de otros lugares.

Población

Razón

rusos tártaros ucranianos otros

2) En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la cantidad de pintura empleada.

metros de valla

1.5

galones de pintura

4.5

Calcula los valores a y b de la tabla.

B. Escribe cómo se leen las siguientes proporciones. 1)

4 2 = 10 5

18 3 = 12 2

3 9 = 5 15

6 42 = 7 49

100 5 = 80 4

4 20 = 12 60

C. Escribe los porcentajes en forma de fracción y en número decimal. Porcentaje

164

Fracción

Decimal

Porcentaje

12 %

75 %

40 %

55 %

72 %

68 %

Primer grado – ciclo básico

Fracción

Decimal

Ejercicio 2 Calcula en tu cuaderno el término desconocido ("x") de cada proporción. 1)

1 3 = 2 x

10 5 = x 6

x = 10 20 4

x = 6 8 4

x = 4

x = 21

x = 32

3 x = 9 27

32 4 = x 12

Ejercicio 3 A. Lee cada enunciado y responde las preguntas. 1) Un árbol de 12 metros de altura da una sombra de 2 metros a las tres de la tarde. a.

La sombra que proyecta un árbol de 7 metros de altura a la misma hora, ¿es mayor o menor de 2 metros?

La relación proporcional entre la altura del árbol y la longitud de la sombra que proyecta, ¿es directa o inversa?

2) Una ciclista tardó 6 horas en recorrer una etapa, a 45 kilómetros por hora. a.

Si la velocidad de otra ciclista fue de 55 kilómetros por hora, ¿tardo más de 6 horas o menos de 6 horas?

La relación proporcional entre la velocidad y el tiempo ¿es directa o inversa?

B. Resuelve los siguientes planteos como una regla de tres directa. 1) 3 6

5 5) 5 x 8

15 x

2) 40 60

20 6) 12 8 x 6 x

3) 12 5

60 7) 7 14 x 5 x

4) 7 9

21 8) 14 12 x 28 x

Unidad 7 – Matemática

165

C. Resuelve los siguientes planteos como una regla de tres inversa. 1) 15 6

22 x

5) 10 2

2) 3 6

3) 3 2

10 7) 12 x 6

4) 10 5

4 8) 10 x 15

6) 20 12

x 3

Ejercicio 4 A. Resuelve los ejercicios de porcentaje. 1) Calcula el 40 % de 580. 2) Halla una cantidad sabiendo que el 32 % de ella es 152. 3) Encuentra una cantidad sabiendo que el 60 % de ella es 252. 4) Calcula el 28 % de 375. 5) Calcula el 88 % de 325. B. Resuelve los siguientes ejercicios de porcentajes. 1) Al momento de comprar un televisor que cuesta Q1,900.00 hacen un descuento del 12 %, ¿cuánto tendríamos que pagar entonces? 2) Un colegio tiene 850 alumnos en total; 255 de esos estudiantes salieron de excursión. ¿Qué porcentaje de alumnos se quedó en el colegio? 3) El número de turistas que visitaron una playa durante el mes de mayo fue de 1500. En el mes de junio hubo un 45 % más de visitantes, y en julio, un 20 % más que en junio. ¿Cuántos turistas visitaron esa playa en julio? 4) El número de habitantes de una determinada comunidad, hace dos años, era de 8500 personas. El año pasado, el crecimiento poblacional fue de 2 %, y este año ha sido de 10 %. ¿Cuántos habitantes hay actualmente?

166

Primer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Te planteamos problemas matemáticos de regla de tres directa e inversa. Lee cada problema, analiza si la proporción es directa o inversa y aplica el procedimiento apropiado para encontrar la respuesta. 1) Si un automóvil tarda 2 horas en recorrer 180 km, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 720 km? 2) Un autobús viaja de una ciudad a otra y tarda 3 horas, a una velocidad de 60 km por hora, ¿cuánto tardará en realizar el mismo recorrido a una velocidad de 40 km por hora? 3) En una imprenta 4 personas encuadernan cierta cantidad de libros en 10 horas. Si se contrata a una persona más, ¿en cuánto tiempo encuadernarán la misma cantidad de libros? 4) En una panadería se venden 700 champurradas a la semana. ¿Cuántas champurradas se venden en 3 días? 5) 10 albañiles construyen una obra en 18 días. ¿Cuántos albañiles se necesitan para construir la misma obra en 9 días? 6) Por el alquiler de un local se pagan 800 quetzales mensuales. ¿Cuánto se pagará en un año? 7) Silvia y Luis han comprado víveres para 15 días. Si llegan sus abuelitos (dos personas más) a pasar una temporada con ellos, ¿para cuántos días alcanzarán los víveres? 8) En un bosque, el 78 % de los árboles que hay son pinos. El número de árboles es de 12 000. ¿Cuántos pinos hay? 9) En una tienda comenzaron las ofertas. Si un suéter costaba Q180.00 y ahora su precio es de Q135.00, ¿de cuánto fue el porcentaje de descuento? 10) ¿Cuál es el precio que le debemos poner a un artículo para tener una ganancia del 10 % y cuya compra ha ascendido a Q1,500.00?

B. Atrévete: ¿Cuántos cuadrados hay?

Este juego te ayudará a mejorar tu atención porque tendrás que concentrarse en la formas de las figuras. ¡Ejercita tu mente realizando este ejercicio para convertirte en un gran creador!

No todo es lo que parece. Observa con atención y encuentra todos los cuadrados posibles en la siguiente figura.

¿Cuántos cuadrados encontraste?

Unidad 7 – Matemática

167

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Escribe el factor que completa cada producto. 1)

= 25

= 36

= 54

= 40

= 49

= 30

= 35

= 48

= 45

10)

= 63

B. Escribe el divisor o el dividendo que completa la operación de forma correcta. 1)

32 ÷

= 4

÷ 9 = 8

64 ÷

÷ 7 = 5

56 ÷

= 7

÷ 5 = 9

45 ÷

= 5

÷ 6 = 7

63 ÷

= 7

10)

÷9=9

C. Realiza mentalmente las sumas y restas combinadas. 1)

2+3–1=

9 + 5 – 11 =

5+2–6=

3 – 13 + 7 =

6+5–8=

4 + 13 – 8 =

7+2–9=

5+3–9=

8–9+8=

10)

3+3+4=

D. Resuelve mentalmente los problemas y escribe el resultado. 1)

Ismael tiene 7 canicas y su hermana Luisa, 2 canicas y 12 cromos, ¿cuántas canicas poseen entre los dos? R/

Verónica dispone de 100 centavos en una moneda de quetzal. Si gasta 52 centavos, ¿cuántos le quedan? R/

168

Primer grado – ciclo básico

E. Encuentra el producto o el factor que falta. 1)

9x8=

= 35

11)

x 2 = 18

5x7=

= 8

12)

x 5 = 45

6x4=

= 63

13)

x 8 = 56

2x3=

= 49

14)

x 5 = 40

8x3=

10)

= 54

15)

x 7 = 42

F. Encuentra el divisor o el cociente que falta. 1)

56 ÷ 7 =

32 ÷

= 8

11)

54 ÷

70 ÷ 10 =

24 ÷

= 4

12)

63 ÷

8 ÷ 1 =

24 ÷

= 3

13)

72 ÷

3 ÷ 1 =

27 ÷

= 9

14)

60 ÷

48 ÷ 6 =

10)

35 ÷

15)

35 ÷

G. Suma números enteros. 1)

(–4) + 2

(–4) + 5 =

(–1) + 5 =

(–9) + (–4) =

(–5) + 8 =

10)

(–2) + 5 =

(–5) + ( –6) =

(–9) + 5 =

11)

(–8) + 5 =

(–6) + (–9) =

(–6) + 4 =

12)

(–3) + 5 =

H. Resuelve mentalmente los problemas. 1)

Antonio tiene 7 monedas de 25 centavos y 5 de 10 centavos. ¿Cuántas monedas tiene en total?

Laura compra un libro de 160 páginas. Si el primer día lee 50 páginas, ¿cuántas le quedan por leer?

Unidad 7 – Matemática

169

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Defino razón y proporción. Identifico los términos de una razón y de una proporción.

Después de estudiar...

Aplico la propiedad fundamental de las proporciones. Hallo el valor de un término desconocido en una proporción. Planteo correctamente una regla de tres. Diferencio la regla de tres directa de la regla de tres inversa. Resuelvo problemas con regla de tres directa e inversa. Represento un porcentaje en forma de fracción y como número decimal. Calculo porcentajes. Resuelvo problemas de porcentajes y juegos lógicos. Resuelvo con agilidad operaciones de cálculo mental.

170

Primer grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! Sigue las instrucciones dadas en la prueba de la Unidad 1. 1) ¿Cuál de las siguientes expresiones es una proporción? A. 1 = 4 3 5

3 = 2 7 3

C. 2 = 6 8 24

D. 4 = 7 5 6

2) En la proporción 2 = 4 , ¿cuáles son los extremos ? 3 6 A. 2 y 4

B. 3 y 6

C. 3 y 4

D. 2 y 6

C. 10 y 5

D. 12 y 6

C. 8

D. 14

C. 10

D. 12

C. 15

D. 16

3) En la proporción 10 = 5 , ¿cuáles son los medios? 12 6 A. 12 y 5

B. 10 y 6

4) ¿Cuál es el valor de "x" en la proporción 5 = 10 6 x A. 10

B. 12

5) ¿Cuál es el valor de "x" en la proporción 2 = 6 ? x 24 A. 8

B. 9

6) ¿Cuál es el valor de "x" en la proporción 5 = x ? 21 7 A. 18

B. 20

7) Si una mano de naranja cuesta 4 quetzales, ¿cuánto costarán 30 naranjas? A. 18

B. 15

C. 20

D. 24

8) Un taxista cobra 30 quetzales por cada 6 kilómetros. ¿Cuánto cobrará por 18 Kilómetros de recorrido? A. 90 quetzales

B. 80 quetzales

C. 60 quetzales

D. 100 quetzales

9) Un árbol de 12 metros de altura da una sombra de 2 metros a las tres de la tarde. A esa misma hora, ¿cuál será la longitud de la sombra de un árbol de 15 metros de altura? A. 2.1 metros

B. 2.3 metros

C. 2.4 metros

D. 2.5 metros

10) Un ciclista tardó 6 horas en recorrer una etapa a 45 kilómetros por hora. Si su velocidad hubiera sido de 60 kilómetros por hora, ¿cuánto habría tardado? A. 4.3 horas

B. 4.5 horas

C. 4.2 horas

D. 4.4 horas.

11) Si en el comité pro mejoramiento de una población, el 55 % son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de hombres? A. 45 %

B. 35 %

C. 30 %

D. 25 %

B. 16

C. 18

D. 10

12) ¿Cuál es el 80 % de 20? A. 12

Unidad 7 – Matemática

171

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 7 – Matemática

173

Geometría

unidad

¿Qué sabes del tema? Para comprender mejor el mundo en que vivimos, el estudio de la Geometría se inició hace más de 4,000 años. Tanto la Naturaleza como las obras que el hombre realiza están formadas por figuras geométricas. En donde te encuentres, mira a tu alrededor, ¿cuántas figuras geométricas has identificado?

¿Qué encontrarás en esta unidad? ¡Prepárate para el recorrido! ¡Caja de herramientas geométricas!

Taller de matemática • La línea • El ángulo • Polígonos • Triángulos • Cuadriláteros • Polígonos regulares Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos geométricos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 8 – Matemática

175

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 1. Identifica elementos comunes en patrones geométricos.

Indicador de logro 1.1 Elabora diseños reconociendo las figuras utilizadas, sus relaciones y propiedades.

Actividades

Definir punto, línea y plano. Identificar y trazar líneas. Definir ángulo. Identificar tipos de ángulos. Definir polígono y triángulo. Identificar las partes de los polígonos. Clasificar polígonos y triángulos. Definir área y perímetro.

2. Utiliza gráficas y símbolos en la representación de información.

2.1 Construye figuras para representar la información.

Trazar figuras geométricas para representar objetos reales.

3. Calcula operaciones de números naturales con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados.

3.1 Opera con seguridad las operaciones con números naturales aplicadas a la Geometría.

Calcular perímetro y áreas de triángulos, cuadrados y rectángulos.

Resolver problemas geométricos.

176

Primer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Caja de herramientas de geometría Los griegos consideraron la geometría como una ciencia formativa, es decir, como una ciencia que enseña a razonar y afina la inteligencia. Platón, un gran filósofo, en su escuela llamada La Academia, donde se discutían los más difíciles problemas de la lógica, de la política, del arte, de la vida y de la muerte, había mandado escribir encima de la puerta:

No entre aquí el que no sepa geometría

En esta unidad estudiaremos geometría y así como un electricista necesita alicates, pinzas, cinta de aislar, etc., para poder realizar su trabajo, tú también necesitarás una serie de materiales para aprender y practicar geometría. Veamos qué necesitas:

Regla Compás Escuadra y transportador

Lápiz y crayones de colores

Goma

Tijeras

Hojas cuadriculadas

Estos materiales los venden en cualquier librería y son económicos. Si los cuidas y guardas bien, te servirán durante todo el ciclo básico.

Unidad 8 – Matemática

177

Taller de matemática Punto, línea y plano La geometría es la parte de la matemática que estudia el espacio y las figuras que se pueden formar en él a partir de puntos, líneas, planos y volúmenes. Las primeras ideas que vamos a recordar de geometría son el punto, la línea y el plano. A

El punto: es la menor expresión geométrica que podemos trazar, el origen de todo cuerpo geométrico. Se representa con una letra mayúscula: A. La línea: es la sucesión continua de puntos. El plano: es el espacio donde trazamos puntos, líneas y figuras.

Las líneas y su clasificación Por su forma:

Línea recta: es una sucesión de puntos situados en la misma dirección, sin principio ni fin.

Segmento: fragmento de recta comprendido entre dos puntos A y B. Se representa AB .

Línea curva: es la línea en la que algunos de sus puntos no se encuentran en una misma dirección y sufre variaciones.

Línea quebrada: es aquella formada por segmentos rectos que no están en la misma dirección.

Por su posición en el espacio:

Línea horizontal: se traza de izquierda a derecha o viceversa.

Línea vertical: se traza de arriba hacia abajo o viceversa.

Línea diagonal: se traza de abajo a arriba y de izquierda a derecha o viceversa.

Por su relación con otras líneas:

178

Primer grado – ciclo básico

Líneas paralelas: dos o más lineas en la misma posición y dirección. Son infinitas y nunca se tocan.

Líneas perpendiculares: líneas que se cruzan formando una escuadra perfecta.

El ángulo Un ángulo es la abertura entre dos líneas que se unen en un punto.

Partes de un ángulo

Las líneas son los lados del ángulo. El vértice es el punto donde se cortan las dos líneas. La abertura es el ángulo y se representa con una línea curva.

L1 án

lo L2

vértice

Representación de un ángulo Los ángulos se representan con una letra minúscula. Se miden en grados, indicados con un pequeño círculo en la esquina superior derecha. Por ejemplo: a = 45°. Se lee: el ángulo a es igual a 45 grados.

a = 45°

Clasificación de los ángulos Por su abertura

Dependiendo de su abertura, los ángulos se clasifican en:

a = 90°

Ángulo recto: mide 90°.

b < 90°

Ángulo agudo: mide menos de 90°. d

c > 90° < 180°

Ángulo obtuso: mide más de 90° y menos de 180°.

d = 180°

Ángulo llano: mide 180°.

Atendiendo a la suma de sus medidas dos ángulos pueden ser:

55°

135°

45°

35°

Ángulos complementarios: La suma de sus medidas es igual a 90°. Los ángulos a y b son complementarios porque: 35° + 55° = 90°

Ángulos suplementarios: La suma de sus medidas es igual a 180°. Los ángulos c = 45º y d = 135° son suplementarios porque: 45° + 135° = 180°

Unidad 8 – Matemática

179

Por su posición entre dos rectas paralelas cortadas por una perpendicular: a

Ángulos internos: Son los ángulos situados entre las rectas paralelas. En la gráfica los ángulos internos son a, b, c y d.

Ángulos externos: Son los ángulos situados afuera de las rectas paralelas. En la gráfica los ángulos externos son e, f, g y h.

Polígonos La palabra polígono viene del griego polýgonon que significa muchos ángulos. Un polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectos. Todo polígono tiene el mismo número de lados, vértices y ángulos, por ejemplo: El triángulo tiene tres lados tres vértices y tres ángulos.

Clasificación de los polígonos Según su forma

Polígonos convexos.

Polígonos cóncavos.

Polígonos regulares.

Polígonos irregulares.

Cada uno de sus ángulos interiores miden menos de 180°.

Uno o más de sus ángulos interiores miden más de 180°

Todos sus lados y ángulos iguales.

Todos o algunos lados desiguales.

pentágono

hexágono

5 lados

6 lados

nonágono

decágono

Por su número de lados:

triángulo 3 lados

heptágono 7 lados

cuadrilátero 4 lados

octágono 8 lados

9 lados

10 lados

Los demás polígonos se nombran por el número de sus lados. Por ejemplo: polígono de trece lados, de catorce lados, etc.

180

Primer grado – ciclo básico

Los triángulos Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura.

altura

La base es el lado del triángulo en el que "se apoya". Observa:

base

La altura es la línea perpendicular del vértice superior a la base o a su prolongación.

Clasificación de los triángulos

Si la línea de la base es muy corta, podemos alargarla para que la línea de la altura sea perpendicular.

Los triángulos se clasifican de acuerdo al tamaño de sus lados y según la medida de sus ángulos. Presta atención a la tabla: Por sus lados

Por la medida de sus ángulos

Triángulo equilátero, los tres lados iguales.

Triángulo rectángulo, un ángulo recto y dos ángulos agudos.

Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno diferente.

Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.

Triángulo escaleno, los tres lados distintos.

Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.

Perímetro y área de un triángulo a. Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados. Se representa con la fórmula:

Se lee: El perímetro de un triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados.

Unidad 8 – Matemática

181

Por ejemplo: m

Calculemos el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente. Sigamos los pasos:

4 cm

Copiamos la fórmula. Sustituimos y operamos.

P= 1+ 2+ 3 P = 3 cm + 4 cm + 5 cm

Escribimos la respuesta.

P = 12 cm

b. Área de un triángulo

área del rectángulo: A=bxh

altura

base

Si cortamos un rectángulo por la mitad con una línea diagonal, se forman dos triángulos iguales que comparten la misma base y altura que el rectángulo. Por eso, el área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo.

3 cm

base

área del triángulo: A= bxh 2

Se lee: El área de un triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos. Por ejemplo: Calculemos el área de un triángulo que mide 12 cm de base y 5 cm de altura.

Copiamos la fórmula.

bxh 2

Sustituimos los datos y operamos.

(12 cm)(5 cm) 2

60 cm2 2

Escribimos la respuesta

A = 30 cm2

Ejercicio 1 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1) La estructura metálica de un techo tiene forma triangular. Si la base mide 6 metros y la altura 5 metros, ¿qué área tiene la lámina que cubre la estructura? 2) El jardín de un parque tiene forma triangular con las medidas 4 m, 10 m y 11 m. a. Si se quiere cercar, ¿cuánta malla se necesita? b. Si se quiere sembrar grama en todo el jardín, ¿cuál es el área que hay que cubrir?

182

Primer grado – ciclo básico

Cuadriláteros Los cuadriláteros son los polígonos más comunes. A nuestro alrededor puertas, ventanas, libros, mesas, etc. tienen forma de cuadrilátero. Estudiemos los cuadriláteros más utilizados.

Clasificación de cuadriláteros

cuadrado

4 lados iguales. 4 ángulos rectos.

rectángulo

Lados opuestos iguales. 4 ángulos rectos.

rombo 4 lados iguales. 2 ángulos agudos iguales y 2 ángulos obtusos iguales.

romboide Lados y ángulos opuestos iguales.

El cuadrado: perímetro y área Perímetro El perímetro de un cuadrado es igual a la medida de uno de los lados por cuatro.

P=4x 2m

Ejemplo:

Calcular el perímetro de una mesa de forma cuadrada que tiene una longitud de 2 m por lado.

2m 2m

Escribimos la fórmula.

P=4 x

Sustituimos en la fórmula y operamos.

P=4x2m=8m

Respuesta: La mesa tiene un perímetro de 8 m.

Área El área del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados.

Ejemplo:

Calcular el área de una ventana cuadrada que mide 3 metros por lado.

Escribimos la fórmula.

Sustituimos en la fórmula y operamos.

A= 2 A = (3 m)2 A = (3 x 3) (m x m) A = 9 m2 2

Respuesta: El área de la ventana es de 9 m . Unidad 8 – Matemática

183

El rectángulo: perímetro y área Perímetro En un rectángulo sus lados son iguales dos a dos. La fórmula del perímetro de un rectángulo es: P = 2b + 2a Se lee: El perímetro de un rectángulo es igual a dos veces la base más dos veces la altura. Encontremos el perímetro de un rectángulo resolviendo un problema:

Sara camina alrededor de un parque rectangular que mide 25 metros de base y 15 metros de altura. ¿Cuántos metros camina en una vuelta?

15 25

Copiamos la fórmula.

P = 2b + 2a

Sustituimos y operamos. Respuesta: Sara camina 80 metros.

P = 2(25 m) + 2(15 m) P = 50 m + 30 m = 80 m

Área Para calcular el área de un rectángulo se multiplica la base por la altura. A =bxa Se lee: El área de un rectángulo es igual a la medida de la base por la medida de la altura.

Calcular el área de una cancha que mide 20 metros de largo por 10 metros de ancho.

10 m

20 m

Copiamos la fórmula.

A=bxa

Sustituimos en la fórmula y operamos.

A = 20 m x 10 m

A = (20 x 10) (m x m)

A = 200 m

Respuesta: La cancha tiene un área de 200 m .

Ejercicio 2 Calcula el área de los siguientes rectángulos.

184

11 cm

5 cm

12 cm

7 cm

10 cm

6 cm

4 cm

3 cm

Primer grado – ciclo básico

A=bxa

Respuesta

Polígonos regulares Los polígonos regulares comparten una serie de elementos comunes. lados ( ): rectas de la misma longitud. vértices (v): puntos donde se unen dos lados del polígono. centro (C): punto interior a la misma distancia de cada vértice. radio (r): recta que va del centro a cada vértice. apotema (a): recta que va del centro al punto medio del lado. ángulos internos ( ): aberturas iguales entre los lados del polígono.

v C

Perímetro y área de polígonos regulares Perímetro de los polígonos El perímetro de un polígono es la medida de su contorno, se representa por la letra P. Si n es el número de lados que tiene un polígono y es la medida de cada lado, el perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado ( ). P=nx

= 10 cm

Se lee: el perímetro de un polígono es igual a n por la medida del lado. Por ejemplo: Si el lado del hexágono de la figura mide 10 cm ( = 10), ¿cuánto mide su perímetro? Antes de aplicar la fórmula debemos responder las preguntas: ¿Cuál es el valor de n en un hexágono? ¡Muy bien! n = 6 Con la información anterior calculamos el perímetro.

Copiamos la formula.

P=nx

Sustituimos los datos y operamos.

P = 6 x 10 cm = 60 cm

Escribimos la respuesta: El hexágono tiene un perímetro de 60 cm.

Área de los polígonos

Todos los polígonos regulares se pueden descomponer en triángulos isósceles iguales. Para calcular el área de un polígono regular, multiplicamos el número de triángulos por el área de uno de estos. Veamos: La base del triángulo es la medida del lado ( ) del polígono y su altura es la xa A= medida de la apotema (a). El área de 2 este triángulo es:

Como n es el número de lados de un polígono, n también es el número de triángulos del polígono. Al multiplicar el número de triángulos por el área de un triángulo, obtenemos:

Si observamos la fórmula vemos que el producto “n x " equivale al perímetro del polígono (P = n x ). Si en lugar del producto escribimos P, obtenemos:

Pxa 2

Puedes utilizar cualquiera de las dos fórmulas para resolver problemas. Unidad 8 – Matemática

185

Ejemplo: Laura necesita tela y encaje para elaborar un tapete en forma de octágono de 21 cm por lado y 25 cm de apotema. El encaje servirá para adornar la orilla. ¿Cuánto encaje y cuánta tela debe comprar? Para ayudarte a resolver este problema, te recomendamos utilizar el esquema siguiente. Extrae los datos del problema y anótalos en una tabla: polígono

nº de lados (n)

octágono

longitud de ( 21 cm

)

apotema (a) 25 cm

Reflexionar: ¿cómo puedo resolver el problema con los datos anteriores? La cantidad de encaje se obtiene por medio del perímetro.

Copiamos la fórmula.

P=nx

Sustituimos los datos y operamos.

P = 8 x 21 cm = 168 cm

Respuesta: Laura debe comprar 168 cm de encaje.

Ahora calculemos la cantidad de tela por medio del área. Como ya conocemos el perímetro de la figura, podemos utilizar la segunda fórmula para calcular el área.

Copiamos la fórmula.

Sustituimos los datos y operamos.

A =

Pxa 2 (168 cm)(25 cm) 2 4200 cm2 = 2100 cm2 2

Respuesta: Laura debe comprar 2100 cm2 de tela.

Ejercicio 3 Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 1) Clara quiere agregar una orilla de encaje a un mantel cuadrado. Si el mantel mide 50 cm por lado, ¿cuánto encaje debe comprar? 2) ¿Qué área tiene un cuadrado que mide 2 m por lado? 3) El libro de matemática mide 21 cm de base y 27 cm de altura. ¿Cuál es el perímetro del libro? 4) Los estudiantes de Primero Básico hicieron una rifa para donar un televisor de pantalla plana de 54 cm de largo por 36 cm de alto a un asilo de ancianos. ¿Cuál es el área de la pantalla del televisor? 5) El título de maestra de doña Eva está en un marco que tiene 25 cm de base y 39 cm de altura. ¿Cuál es el perímetro y el área del marco?

186

Primer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Escribe dentro del paréntesis el número de la definición que corresponde al concepto de la columna derecha. 1) Líneas que tienen la misma dirección y nunca se tocan.

( ) recto

2) Ángulo formado por una escuadra perfecta.

( ) grados

3) Nombre que recibe el ángulo de 180º.

( ) vértice

4) Medida que se utiliza para los ángulos.

( ) paralelas

5) Mínima expresión geométrica.

( ) llano

6) Punto en el que se originan las líneas que forman un ángulo.

( ) punto

B. En el cuadro hay rectas paralelas y perpendiculares. Repasa de color rojo las líneas paralelas y de color azul las líneas perpendiculares.

C. Con ayuda de la cuadrícula traza: 1) 2 líneas paralelas a la recta AB

3) 1 línea perpendicular a la recta EF

2) 3 líneas paralelas a la recta CD

4) 1 línea perpendicular a la recta GH

E B

F H

Unidad 8 – Matemática

187

Ejercicio 2 A. Escribe debajo de cada figura si el ángulo que forma es recto, agudo u obtuso. 1)

B. Clasifica los ángulos de acuerdo a su medida. Ángulo

Clasificación

Ángulo

a = 75°

f = 10°

b = 125°

g = 35°

c = 95°

h = 45°

d = 90°

i = 179°

e = 180°

j = 110°

Clasificación

C. Dibuja un ángulo recto, agudo y obtuso. Utiliza una cuadrícula para cada uno. 1)

188

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 3 A. Dibuja en tu cuaderno: un polígono convexo, otro cóncavo, uno regular y otro irrregular. B. Completa la tabla, escribiendo en la columna derecha el nombre que corresponde al polígono por su número de lados. nº lados

nº lados

polígono

Ejercicio 4 Escribe sobre la línea el nombre del triángulo que corresponde a cada definición. 1) Sus tres lados son iguales. 2) Uno de sus ángulos es obtuso. 3) Tiene un ángulo recto y dos agudos. 4) Tiene dos lados iguales y uno diferente. 5) Sus tres ángulos son agudos. 6) Sus tres lados son distintos.

Ejercicio 5 Completa las tablas. Calcula el perímetro y el área de los triángulos con los siguientes datos. Perímetro del triángulo medida

Área del triángulo Respuesta

1, 2 y 3 m

1 cm

3 cm

6, 5 y 3 cm

6 cm

2 cm

1.5, 4 y 6 cm

0.5 cm 2.5 cm

bxh 2

Respuesta

Unidad 8 – Matemática

189

Ejercicio 6 A. Dibuja y escribe el nombre de los cuatro cuadriláteros estudiados.

B. Completa las tablas calculando el perímetro y el área de los cuadrados. perímetro de cuadrados lado

P=4x

área de cuadrados respuesta

lado

respuesta

C. Completa las tablas calculando el perímetro y el área de los rectángulos. área de rectángulos

perímetro de rectángulos lado

altura

P = 2b x 2a

respuesta

lado

altura

190

Primer grado – ciclo básico

A=bxa

respuesta

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 1) Las líneas que sirven de separación en los carriles de la carretera se pintan de color amarillo de manera que no se junten nunca para que los carros no choquen. Por su relación, ¿qué nombre reciben este tipo de líneas? 2) Para jugar futbol se necesitan dos porterías. ¿Qué tipo de ángulos tienen estas porterías?

Le pedimos dos: el ángulo que forma la malla con el suelo y el ángulo que forma el arco con el suelo.

3) Coloca dos lapiceros uno a la par del otro, sin tocarse pero rectos. ¿Qué tipo de líneas forman? 4) Los cables de electricidad no pueden tocarse porque provocarían un corto circuito. ¿Qué tipo de líneas deben formar dos cables? 5) Traza una línea diagonal, luego una línea perpendicular a ella y señala los ángulos que resultan. 6) Daniela desea colocar una baranda alrededor de su jardín en forma de triángulo equilátero que mide 3 metros por lado. Si el metro de baranda cuesta Q40.00, ¿cuánto gastará en total? 7) Un galón de pintura alcanza para pintar aproximadamente 12 m². Teresa compró un galón de pintura para pintar una pared de 2.5 m de alto por 4 m de largo. ¿Le alcanzó la pintura? 8) Por medidas de higiene, una comunidad decide colocar baldosa en el centro de salud. El local mide 10 metros de frente por 12 metros de fondo. Si el metro cuadrado de baldosa vale Q35.00, ¿cuánto debe invertir la comunidad en la baldosa para el centro de salud? 9) Un albañil cobra Q90.00 por construir un metro cuadrado de pared. ¿Cuánto cobraría por construir una pared de 2 metros de altura por 6 metros de largo? 10) Una cooperativa confecciona frazadas. Utiliza cuadrados de lana de 0.4 metros por lado. Si desean hacer una frazada que mida 2 metros de largo y 1.6 metros de ancho, ¿cuántos cuadrados de lana necesitan? B. Resuelve los siguientes juegos geométricos. ¿Cuántos cuadrados y cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

Cuadrados

rectángulos

Unidad 8 – Matemática

191

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Resuelve las multiplicaciones de números enteros lo más rápido que puedas. Ten presente la ley de signos. 0)

4 x

4 =

10) 3 x (–2) =

20) (–9) x 7 =

5 x

5 =

11) 6 x (–9) =

21) (–6) x 9 =

7 x

7 =

12) 8 x (–5) =

22) (–5) x

(–9) =

3 x

7 =

13) 2 x (–7) =

23) (–6) x

(–2) =

8 x

9 =

14) 8 x

(–10) =

24) (–4) x

(–3) =

5 x

6 =

15) 9 x

(–10) =

25) (–3) x

(–3) =

6 x (–3) =

16) (–8) x 5 =

26) (–4) x

(–6) =

3 x (–8) =

17) (–8) x 7 =

27) (–2) x

(–5) =

2 x (–6) =

18) (–4) x 8 =

28) (–4) x

(–6) =

4 x (–5) =

19) (–9) x 9 =

29) (–6) x

(–3) =

B. Resuelve las divisiones de números enteros. 0) 40 ÷ 5 =

10) 12 ÷ (–3) =

20) (–18) ÷ (–3) =

1) 16 ÷ 4 =

11) 12 ÷ (–2) =

21) (–54) ÷ (–9) =

2) 56 ÷ 7 =

12) 18 ÷ (–3) =

22)

(–70) ÷ (–10) =

3) 30 ÷ 6 =

13) 24 ÷ (–8) =

23)

(–90) ÷ (–10) =

4) 72 ÷ 9 =

14) 12 ÷ (–6) =

24)

(–20) ÷ (–5) =

5) 36 ÷ 6 =

15) 20 ÷ (–5) =

25)

(–56) ÷ (–8) =

6) 81 ÷ 9 =

16) 14 ÷ (–7) =

26)

(–40) ÷ (–5) =

7) 63 ÷ 7 =

17) 18 ÷ (–3) =

27)

(–45) ÷ (–9) =

8) 70 ÷ 7 =

18) 16 ÷ (–2) =

28)

(–28) ÷ (–7) =

9) 63 ÷ 9 =

19) 24 ÷ (–6) =

29)

(–48) ÷ (–8) =

192

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Identifico y trazo distintos tipos de líneas.

Después de estudiar...

Identifico diferentes tipos de ángulos. Reconozco polígonos cóncavos, convexos, regulares e irregulares. Nombro polígonos por su número de lados. Marco ángulos y vértices en distintas figuras geométricas. Clasifico triángulos y cuadriláteros. Calculo áreas y perímetros de triángulos, cuadrados y rectángulos con las fórmulas correspondientes. Desarrollo mi pensamiento lógico resolviendo problemas relacionados con área y perímetro de cuadrados y rectángulos y problemas geométricos. Resuelvo con rapidez y exactitud las operaciones de las hojas cálculo.

Unidad 8 – Matemática

193

¡Ponte a prueba! Sigue las instrucciones dadas en la prueba de la Unidad 1 1) A una sucesión de puntos situados en la misma dirección se le llama… A. línea curva

B. línea cerrada

C. línea recta

D. línea quebrada

2) A las líneas que tienen la misma posición y dirección se les llama… A. perpendiculares

B. verticales

C. diagonales

D. paralelas

3) A un ángulo que mide menos de 90 grados se le llama... A. agudo

B. obtuso

C. recto

D. llano

C. heptágono

D. decágono

4) A un polígono de seis lados se le llama: A. pentágono

B. hexágono

5) El nombre del triángulo que tienen sus tres lados y ángulos iguales es… A. isósceles

B. obtusángulo

C. escaleno

D. equilátero

6) Al cuadrilátero en el que los lados y los ángulos opuestos son iguales se le llama… A. triángulo

B. romboide

C. rombo

D. trapecio

7) A un polígono que tienen sus lados y ángulos iguales se le llama… A. irregulares

B. convexos

C. regulares

D. cóncavos

8) La casa de Marta mide 6 m de frente y 10 m de fondo. ¿Cuál es el perímetro de la casa de Marta? A. 32 m

B. 30 m

C. 36 m

D. 40 m

C. 60 m2

D. 50 m2

9) ¿Qué área ocupa la casa de Marta? A. 100 m2

B. 80 m2

El pintor guatemalteco Juan Sisay pintó un paisaje del lago de Atitlán en un cuadro de 45 cm por lado. Con la información anterior responde: 10) ¿Cuál es el perímetro del cuadro? A. 90 cm

B. 100 cm

C. 180 cm

D. 200 cm

B. 2025 cm2

C. 2520 cm2

D. ninguna es correcta

11) ¿Cuál es el área del cuadro? A. 2000 cm2

194

Primer grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

195

Álgebra

unidad

¿Qué sabes del tema? La Matemática tiene un lenguaje especial y utiliza símbolos para expresar cantidades y expresiones del lenguaje común, a lenguaje matemático. Por ejemplo: En lenguaje común decimos un número equis más treinta y cinco es igual al doble del número menos cuarenta y cuatro, y en lenguaje matemático lo representamos x + 35 = 2x – 44. ¿Cómo te imaginas el estudio de la Matemática sin símbolos?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido! El lenguaje algebraico

Taller de matemática • Conceptos algebraicos básicos • Clasificación de expresiones algebraica • Valor numérico de expresiones algebraicas • Ecuaciones de primer grado • Resolución de problemas con ecuaciones

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 9 – Matemática

197

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 1. Utiliza las relaciones y propiedades entre diferentes patrones algebraicos en la representación de información y la resolución de problemas.

Indicador de logro 1.1 Opera polinomios (suma, resta, multiplicación y división)

Actividades

Identificar partes de términos algebraicos. Definir e interpretar términos semejantes. Clasificar expresiones algebraicas. Ordenar polinomios. Determinar el valor numérico de polinomios. Sumar y restar polinomios. Multiplicar y dividir polinomios.

2. Utiliza modelos matemáticos en la representación de resultados.

2.1 Utiliza variables para representar cantidades.

Transcribir frases del lenguaje común al lenguaje simbólico.

3. Traduce información que obtiene de su entorno y la traduce a lenguaje lógico simbólico.

3.1 Selecciona la estrategia más apropiada a la resolución de problemas.

Resolver problemas para desarrollar su pensamiento lógico.

198

Primer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Lenguaje algebraico: letras y números El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números expresiones del lenguaje común. Utiliza letras para representar cualquier número, establecer fórmulas y resolver problemas de forma fácil. Todas las fórmulas que aprendimos en semanas anteriores son expresiones algebraicas. Por ejemplo, en lenguaje común definimos: "el área de un rectángulo es igual a la base por la altura". Sin embargo, traducido al lenguaje algebraico, podemos decir lo mismo, mediante signos: A = b x h A representa el área, b la base y h la altura del rectángulo. Toda letra en lenguaje algebraico, x, y, z, es un número desconocido al cual se le puede asignar cualquier valor numérico. Aprendamos a expresarnos en lenguaje algebraico. Lee con atención.

lenguaje común

lenguaje algebraico

El triple de un número desconocido.

Un número elevado al cubo.

Un número desconocido menos dos. La tercera parte de un número desconocido. Seis más un número elevado al cuadrado.

y-2 w 3 6 + x2

¡A trabajar! Traduce las expresiones de lenguaje común a lenguaje algebraico. Utiliza la letra x para representar el valor desconocido. lenguaje común

lenguaje algebraico

Un número elevado al cuadrado más tres. Un número desconocido más cinco. El doble de un número. Dos más un número elevado al cubo. Un número elevado al cuadrado menos tres.

Unidad 9 – Matemática

199

Taller de matemática Conceptos algebraicos básicos Término algebraico Un término algebraico es la mínima expresión algebraica. Podemos definirlo como un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación o la división. En un término algebraico podemos identificar estas partes: coeficiente

-3a2

signo

exponente

variable

el signo, puede ser positivo o negativo. Solo se escribe el negativo y siempre delante del coeficiente, el coeficiente, valor numérico que va delante de la variable, la variable que puede ser cualquier letra minúscula, el exponente o potencia. En álgebra suponemos que el coeficiente y la o las variables están multiplicándose cuando entre ellos no aparece el signo más (+) o el signo menos (–). Ejemplo:

3ab = (3)(a)(b)

Atención:

Si un término algebraico aparece sin signo, se supone que es positivo (+).

Si un término algebraico aparece sin exponente y sin coeficiente, para ambos suponemos que es uno (1).

Ejercicio 1 Completa la tabla escribiendo la parte del término algebraico que corresponde. término

y -2a 5x2y -xy 2 x3 5 -wz

200

Primer grado – ciclo básico

signo

coeficiente

variable y exponente

Términos semejantes Las mismas letras Son términos semejantes aquellos que tienen la misma parte literal: las mismas letras, elevadas al mismo exponente, aunque el coeficiente sea diferente. Ejemplo:

6b2, -2b2 son términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente (b2)

1 x5z, x5z son términos semejantes porque ambos tienen las mismas varia3 bles con el mismo exponente (x5z)

3a2c, 4ac2

no son términos semejantes porque el exponente de a es dos (a2) en el primer término y uno (a) en el segundo. Lo contrario sucede con la variable c.

Dos o más términos algebraicos, se pueden combinar por las operaciones de suma y resta, formando expresiones algebraicas más extensas. Por ejemplo: 6x + 7 - 2x + 3 Atención:

Por ejemplo:

Los términos semejantes se pueden sumar o restar y el resultado es otro término semejante.

6x - 2x = 4x

Los términos no semejantes, no se pueden sumar o restar. Por ejemplo: 3a2 + 2a = 3a2 + 2a

Ejercicio 2 Rellena el círculo de la opción que responde correctamente la pregunta. 1) ¿Cuál es un término semejante de 4x2y2?

4xy

x2y2

4x2y

xy2

7a2

3a3

5xy

5x2y

2) ¿Cuál es un término semejante de 5a2?

1 4 2 a

3) ¿Cuál es el resultado de 7a

- 3a? 4a2

4) ¿Cuál es el resultado de 4x2 + y?

4x2 + y

5x2 + y

Unidad 9 – Matemática

201

Clasificación de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican por el número de términos que las forman. Veamos.

Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término algebraico, en el cual las potencias de las variables son números enteros positivos. Por ejemplo:

–4a3b2

Un monomio indica siempre el producto de dos o más factores, o lo que es lo mismo, todos los valores numéricos y literales se multiplican entre sí. En el ejemplo, los factores son: -4, a3, b2. El coeficiente (-4) es el factor numérico y las variables (a3, b2) son los factores literales. Un monomio se compone de las mismas partes que un término algebraico: • • • •

signo coeficiente variable exponente

7, 2a; -5b; -2xy3; -x2y4z; 2 b2c3 5 4y2 Expresiones que no son monomios. 2a + b; 2a + b + 1; 5w1/2; x3

Algunos ejemplos de monomios.

No son monomios porque el primero tiene dos términos algebraicos, el segundo tiene tres, el tercero tiene variable con exponente fraccionario y el último indica una división de dos monomios.

Polinomio Llamamos polinomio a la suma o la resta algebraica de dos o más monomios. Si un polinomio está formado por dos monomios recibe el nombre de binomio.

2c + d

Si un polinomio está formado por tres monomios recibe el nombre de trinomio.

3y2 + 4z - x

Si tiene cuatro o más monomios recibe el nombre de polinomio.

x3 + x2 + x + 1

Grado de un polinomio El grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables que forman un monomio. El grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables que forman un monomio. El grado absoluto es 5 porque la suma de los exponentes es 2 + 3 = 5.

202

Primer grado – ciclo básico

4b2c3

El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable determinada. Un polinomio tendrá tantos grados relativos como variables. El grado relativo respecto a la variable x es 4 porque es su mayor exponente. El grado relativo respecto de y es 2 porque es su mayor exponente.

2x4y + 3x2y2

Polinomios ordenados Un polinomio se puede escribir o expresar en orden alfabético o en orden ascendente y descendente según los exponentes.

Orden alfabético Se escriben las variables de acuerdo al orden del alfabeto.

a+b+c

Orden descendente Se ordenan de mayor a menor valor de los exponentes.

x3 + x2 + x

Atención: cuando un polinomio tiene dos o más variables, se escribe en orden descendente respecto de la primera letra y en orden ascendente respecto de la segunda. Por ejemplo.

Orden ascendente Se ordenan de menor a mayor valor de los exponentes.

1 + x + x2 + x3

Ejercicio 3 A. Escribe sobre la línea si la expresión algebraica es monomio o no y explica por qué. 1)

2x + 1

5x3y

2c a3

B. Completa la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escribe el grado relativo respecto a la variable indicada. polinomio

clasificación

grado de x

grado de

2x3y + 2x2y + y2 x3y + xy2 3x5y + 4x4y3 + x2

Unidad 9 – Matemática

203

Valor numérico de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de dicha expresión por valores numéricos asignados a cada letra y desarrollar las operaciones indicadas, respetando la jerarquía de las operaciones.

Expresión algebraica con una sola variable Si x

4x 3 + x 2 + 5

= 2, calculemos el valor numérico de:

Sustituimos la variable por su valor.

Operamos según la jerarquía de las operaciones.

= 4 (2) 3 + (2) 2 + 5 = 4 (8) + 4 + 5 = 32 + 9

Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si x

= 2

= 41 4x3 + x2 + 5 = 41

Expresión algebraica con dos o más variables Si a

= 3, b = -2, c = 2, calculemos el valor numérico de:

Sustituimos cada variable por su valor.

Operamos según la jerarquía de las operaciones.

Obtenemos el valor numérico.

3ab2 - c3 + ac

= 3(3)(-2)2 - ( 2) 3 + (3) (2) = 3 (3) (4) - 8 + 6 = 36 - 2 = 34

Escribimos la respuesta: Si a

= 3, b = –2, c = 2

3ab2 – c3 + ac = 34

Ejercicio 4 En tu cuaderno calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas según los valores asignados. 1) Si a

= 1 y b = 2, calcula el valor numérico de: 3a + 2b

2) Si c

= 2 y d = 3, calcula el valor numérico de: 2c3 + cd 2 – d

3) Si a

= 4 y b = 5, calcula el valor numérico de: 2a – b

4) Si a

= -1 y b = 2, calcula el valor numérico de: 3ab2 + b2

5) Si c

= 3 , calcula el valor de numérico de: c3 + 2c2 – 3c + 4

6) Si b

= 1, c = 3 y d = 4, calcula el valor de numérico de: 2b + 3c – 2d

7) Si a

= 2, b = 1 y c = 3, calcula el valor de numérico de: 2ab2 + c2

8) Si x

= 3 y z = 4, calcula el valor de numérico de: x3z -2x2z2+ xz

204

Primer grado – ciclo básico

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación es una igualdad en la que aparecen valores constantes y una o más variables llamadas incógnitas, relacionadas por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, etc. La ecuación que tiene una variable con exponente 1 se llama ecuación de primer grado con una incógnita. Por ejemplo: 3 + x = 5

Partes de una ecuación Una ecuación consta de estas partes: signo

4x – 6 = 2x + 4 primer miembro

segundo miembro

El signo igual (=) indica que las expresiones en ambos lados son iguales.

Los miembros de la ecuación son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual. La expresión del lado izquierdo es el primer miembro y la expresión del lado derecho es el segundo miembro.

Los términos son cada una de las expresiones algebraicas separadas por el signo más (+) o el signo menos (-).

Ejemplo: En la ecuación 3x - 5 = 7x + 11 El grado de la ecuación es 1 porque x tiene exponente 1.

El primer miembro es 3x

Los términos semejantes con incógnita son: 3x y 7x

Los términos semejantes conocidos son: 5 y 11

-5 El segundo miembro es 7x + 11 Tiene cuatro términos: 3x, 5, 7x, 11

Ejercicio 5 Rellena el círculo de la opción correcta. 1) ¿Cuál es el segundo miembro de la ecuación: 3x

6 + 3

2) ¿Cuántos términos forman la ecuación: 2x

= 6 + 3? 3x + 6

= 8 + 2? 3

3) ¿Cuáles son los términos conocidos en la ecuación: 6x

6x, -8

6x, 4

- 8 = 4?

8, 4

Unidad 9 – Matemática

205

Resolución de ecuaciones enteras de primer grado Resolver una ecuación es calcular el valor de la incógnita que hará idénticas las cantidades en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, para resolver la ecuación 3 + x = 5 debemos preguntarnos ¿qué número sumado a 3 es igual a 5? A simple vista obtenemos la respuesta 2, es decir x

= 2, porque 3 + 2 = 5.

Pero no siempre es posible encontrar la solución tan fácilmente. Aprenderemos el procedimiento general para resolver ecuaciones de primer grado. Veamos los pasos.

a. Realizar la transposición de términos. b. Reducir términos semejantes. c. Despejar la incógnita. d. Hallar el valor de la incógnita. a. La transposición de términos consiste en reunir en un miembro los términos con incógnita, y en el otro miembro, los términos conocidos. Esto significa que hay que trasladar términos de un lugar a otro, pero debemos respetar las reglas siguientes: Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando.

y+3=4

y=4-3

Si un término está restando, pasa al otro miembro sumando.

m-6=8

m=8+6

Si un término está multiplicando, pasa a dividir al otro miembro, sin cambiar de signo.

Si un término está dividiendo, pasa a multiplicar al otro miembro, sin cambiar de signo.

b. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los términos semejantes, hasta reducirlos a la mínima expresión.

206

3x = 18

z 4 =8

x = 18 3

z = 8(4)

5x - 3x = 2x 8-4+3=7

c. Despejar la incógnita significa aislarla de un lado de la igualdad.

4x = 20

x = 20 4

d. Hallar el valor de la incógnita es encontrar a qué valor numérico representa.

x= 5

Primer grado – ciclo básico

Hagamos un ejemplo: Resolvamos la ecuación 2x

+ 4 = 10

Realizamos la transposición de términos. El 4 que está sumando pasa a restar al segundo miembro.

Reducimos términos semejantes. Restamos 10 - 4

2x = 6

Despejamos la incógnita. El 2 que está multiplicando, pasa a dividir.

x= 6 2

Hallamos el valor de la incógnita.

x= =3

Verificamos la respuesta. Sustituimos la incógnita de la ecuación por el valor hallado.

2x + 4 = 10 2x = 10 - 4

2x + 4 = 10 2 (3) + 4 = 10 6 + 4 = 10 10 =10

La solución x

= 3 es correcta.

Ecuaciones enteras con varios términos Las ecuaciones con varios términos son aquellas en las que las variables y los términos conocidos se encuentran en uno o ambos miembros de la ecuación. Para encontrar el valor de la variable debemos transponer y reducir términos semejantes, hasta transformarla en una ecuación simple y fácil de resolver. Sigue el procedimiento. Resolvamos la ecuación

Realizamos la transposición de términos.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la variable. El 9 pasa a dividir y encontramos el valor de x.

4 x - 10 = 35 - 5x 4x + 5x = 35 + 10 9x = 45 x = 45 9

x= =5

Para verificar la respuesta, sustituimos x por su valor en la ecuación dada. Si la igualdad se cumple, la respuesta es correcta.

4(5) - 10 = 35 - 5(5) 20 - 10 = 35 - 25 10 = 10

Unidad 9 – Matemática

207

Ecuaciones enteras con signos de agrupación Recuerda que un signo de agrupación en una ecuación, como en cualquier operación aritmética, indica el orden para operar los términos. En una ecuación que contiene signos de agrupación, primero debemos eliminarlos para convertirla en una ecuación que podamos resolver con los pasos ya vistos. Resolvamos la ecuación

El signo menos (–) delante del paréntesis afecta a todos los términos que estén dentro y cambia el signo de todos ellos.

Eliminamos los paréntesis en ambos lados de la ecuación.

Realizamos la transposición de términos. Reducimos términos semejantes.

x + 2 + 3(x - 3) = x - (4x - 14)

x + 2 + 3x - 9 = x - 4x + 14

x + 3x - x + 4x = 14 - 2 + 9 7x = 21

Despejamos la variable y encontramos el valor de x.

x = 21 7 x= = 33 3 + 2 + 3 (3 - 3) = 3 - [4 (3) - 14 [

Verificamos la respuesta, sustituyendo x por su valor en la ecuación original.

[

3 + 2 + 3 (0) = 3 -[ 12 - 14 3 + 2 + 3 (0) = 3 - (- 2) 3+2+0 = 3+2 5=5

Resolución de problemas con ecuaciones La resolución de problemas es un proceso que fortalece nuestro pensamiento. Más allá de la aplicación de fórmulas, los problemas nos ayudan a ordenar nuestras ideas y a expresar el lenguaje común en lenguaje algebraico. En esta unidad desarrollaremos la habilidad de plantear una ecuación que haga posible la solución de un problema. Para resolver problemas aplicando ecuaciones, toma en cuenta estos pasos: a. Lee cuidadosamente el problema e identifica los datos conocidos y los que debes buscar.

Cuando sea posible dibuja un esquema, un diagrama o una tabla para analizar mejor el problema.

Escoge una variable para representar una cantidad desconocida y representa las demás cantidades en función de esa variable.

b. Determina la ecuación que contenga la variable y que traduzca al álgebra el planteamiento verbal. c. Resuelve la ecuación para encontrar todas las cantidades desconocidas. d. Comprueba todas las respuestas del problema.

208

Primer grado – ciclo básico

Recuerda que el lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente expresamos con palabras. Veamos algunos ejemplos. lenguaje común

lenguaje algebraico

El doble de un número más cinco.

2x + 5 x 5

La quinta parte de un número. La suma de dos números enteros consecutivos.

x + (x + 1)

El cuadrado de un número menos tres.

x2 - 3

Un número impar.

2x + 1

El doble de un número impar.

2(2x + 1)

Problemas de edades En este apartado aprenderemos a analizar y resolver problemas de edades con los pasos que se explicaron en la página anterior. ¡Empecemos! a. Leemos el problema.

Karen es 3 años mayor que Carlos. Si ambas edades suman 47 años, ¿cuántos años tiene cada uno? Asignamos una variable a una de las cantidades desconocidas y relacionamos las demás en función de esta.

Edad de Carlos : x Edad de Karen: x + 3

b. Expresamos el problema como una ecuación.

x + (x + 3) = 47 x + (x + 3) = 47

Las edades de Carlos y Karen suman 47 años.

c. Resolvemos la ecuación para hallar las cantidades desconocidas.

Transponemos términos.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la variable.

Escribimos la respuesta.

Edad de Carlos

x + x + 3 = 47 x + x + 3 = 47

x = 25 años

Edad de Karen x

x + x = 47 - 3 x + x = 47 - 3 2x = 44 2x = 44 x = 44 2 x = 44 2 x = 22 x = 22

+ 3 = 25 años x + ( x + 3) = 47 x + ( x + 3) = 47 + 22 (22 + 3) = 47 22 + (22 + 3) = 47

Unidad 9 – Matemática

209

Problemas de geometría Hay un tipo de problemas de geometría en los cuales debemos relacionar las fórmulas que aprendimos de perímetro, y área con las ecuaciones. En ellos se trata de cambiar la variable original de la fórmula, por otra variable que utilizaremos como incógnita. Veamos los ejemplos. a. Leemos el problema.

La altura de un triángulo rectángulo mide 3 cm más que la base y el lado más largo es el doble de la base menos 3 cm. ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo si el perímetro mide 36 cm?

Asignamos una variable a cada uno de los datos desconocidos (los lados) y relacionamos los demás en función de este.

Dibujamos el triángulo para facilitar el planteamiento.

base:

altura:

=x+3

lado más largo:

= 2x – 3

b. Expresamos el problema como una ecuación.

El perímetro mide 36 cm.

c. Resolvemos la ecuación.

Transponemos los términos.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la variable.

+ 2+ 3=P x + (x + 3) + (2x – 3) = 36 1

x + x + 3 + 2x - 3 = 36 x + x + 2x = 36 - 3 + 3 4x = 36 x = 36 4 x= = 99

Escribimos la respuesta: base x = 9 cm altura 9 + 3 = 12 cm lado más largo 2(9) - 3 d. Comprobamos la respuesta en la ecuación inicial del problema

= 15 cm

x + x + 3 + 2x - 3 = 36 9 + (9 + 3) + [ 2 (9) - 3] = 36 9 + 12 + 15 = 36 36 = 36

210

La igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente.

Primer grado – ciclo básico

Problemas con números En este apartado aprenderemos a representar números enteros.

En general, cualquier número entero se representa con la variable x.

Un número par lo representaremos con la expresión 2x, porque cualquier número entero multiplicado por 2 se convierte en número par. Por ejemplo: Si x

2x = 2 x 3 = 6

¿Y cómo se expresa un número impar? Sencillamente sumando una unidad al número par. La expresión algebraica de un número impar es:

(2x + 1).

Por ejemplo, si x

= 3,

= 3

(2x + 1) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7

Dos o más números consecutivos.

Puesto que el conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, cada número consecutivo se obtiene sumando una unidad al número anterior.

Por lo tanto, si el primer número es x, los consecutivos serán etc.

Ejemplo, si x

= 3,

(x + 1), (x + 2),

(x + 1) = 3 + 1 = 4 (x + 2) = 3 + 2 = 5

Dos o más números pares consecutivos se obtienen sumando dos unidades al número par anterior.

Si el primer número par es etc.

Ejemplo si

x = 3,

2x, los pares consecutivos serán (2x + 2), (2x + 4), 2x = 2(3) = 6

(2x + 2) = 2(3) + 2 = 8 (2x + 4) = 2(3) + 4 = 10

Dos o más números impares consecutivos se obtienen sumando dos unidades al número impar anterior.

Si el primer número impar es (2x + 3), (2x + 5), etc.

Ejemplo si x

= 3,

(2x + 1), los siguientes impares consecutivos serán

(2x + 1) = 2(3) + 1 = 7 (2x + 3) = 2(3) + 3 = 9

Unidad 9 – Matemática

211

Veamos un ejemplo: a. Leamos el problema.

Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma es 36.

Definiamos los tres números pares consecutivos.

Primer número: 2x; segundo número: (2x + 2); tercer número: (2x + 4)

b. Expresamos la ecuación.

1er

La suma de los números es 36.

2do

3er

2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 36

c. Resolvemos la ecuación.

Eliminamos los paréntesis.

Transponemos términos.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos x.

Hallamos el valor de x.

Escribimos la respuesta:

Primer número 2(5)

= 10

d. Comprobamos la respuesta: 10

2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 36 2x + 2x + 2x = 36 - 2 - 4 6x = 30 x = 30 6 x=5

segundo (10

+ 2) = 12 tercero (10 + 4) = 14

+ 12 + 14 = 36

Ejercicio 6 A. Resuelve los problemas de edades. 1) La edad de Tomás y Marisol suman 44 años. Si Tomás es 8 años mayor que Marisol, ¿qué edad tiene cada uno? 2) La edad de Susana es el doble que la edad de Pedro. Si ambas edades suman 42 años, ¿qué edad tiene cada uno? 3) Juan tiene 25 años más que su hija. Si ambas edades suman 41 años, ¿qué edad tiene cada uno? B. Resuelve los siguientes problemas con números. 1) Si a un número le restamos 24 obtenemos 76, ¿cuál es el número? 2) Encuentra un número tal que la suma de su sexta parte y su novena parte sea 15. 3) Encontrar tres números impares consecutivos cuya suma sea 51. 4) La suma de dos números enteros consecutivos es 31. ¿Cuáles son esos números? 5) La suma de tres números enteros consecutivos es 30. ¿Cuáles son esos números? 6) La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Encuentra los números. 7) La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Encuentra los números.

212

Primer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Traduce del lenguaje común al lenguaje algebraico. lenguaje común

lenguaje algebraico

El triple de un número elevado la potencia cuatro. Un número más cinco. El doble de un número menos tres. Un número menos once. Un número elevado al cuadrado. El triple de un número más cuatro. B. Completa la tabla escribiendo la parte del término algebraico que corresponde. término

signo

coeficiente

variable y exponente

2x2y -3x 4mn 8y2 -5 3x 7np2 C. Subraya el término semejante al término dado. 1) El término semejante a 3x2y

3xy 3xy2 2x3y 4x2y 2) El término semejante a 4m2

2m 7mn

m2 5x

3) El término semejante a 4xyz2 1 xyz2 5xy2z 3x2yz 4xyz 2

Unidad 9 – Matemática

213

Ejercicio 2 Escribe sobre la línea qué clase de polinomio es y explica por qué. 1)

5a3b

xy + 2z

6d2c

20x + 3

3x + 2y

2abc

ab2

Ejercicio 3 Completa la tabla escribiendo si el polinomio es un binomio o trinomio. Luego, escribe el grado respecto a la variable indicada. polinomio

clasificación

2a b + 2a b + 8b

a3 + 3b

12a5b – 6a4b3c + c2

6a4d2 + 4b3c5

10a5y4 + 21a6b

5a2 – 2b2

grado de b

grado de a

Ejercicio 4 Calcula el valor de las expresiones algebraicas si

a = 3, b = 2 y x = 4

2x + 1

4a3 + 5b2 – 3x3 =

3a2 + 2x3 – 2x2 + 4 =

2b2 + x

a3 – 7a + 3

a2 + 3ab + 2b2 =

b3 – 3a2 + 5b

x2 – 4x + 5

4b2 – 3x + 2a

10)

3x2 – 2a + 3b

214

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 5 A. Halla a simple vista el valor de la incógnita. 1)

x + 7 = 13

x + 11 = 21

5 + x = 11

x – 9 = 5

x + 3 = 15

7) 11 – x

x + 9 = 16

= 4

x + 41 = 52

x= x=

B. Siguiendo las pasos indicados resuelve en tu cuaderno las ecuaciones.

y 7 =3 x 7) =5 10

15 + m = 29

6t = 48

2w + 4 = 12

8) 4x

2x – 5 = 1

y – 8 = 42

10)

–3=9

5w + 2 = 22 m =6 7

C. Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones con varios términos. 1)

3x – 1 = 2x + 5

2x + 4x – 10 = 9x + 11

3x + 1 = 2x + 3

3x + 1 = 2x + 3 + 2x

2x – 3 = 6 + x

8) 5x

+ 3 – 2x = x – 15

4x – 9 = 2x + 3

9) 3x

+ 5 = 5x – 13

4x + 5x – 10 = 35

10)

x + 2x = 21 – 4x

D. Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones con signos de agrupación. 1)

2(2x – 3) = 6 + x

3(x – 5) = 2(x + 2)

4(x – 10) = –6(2 – x)-6x

x + 2+ 3(x – 3) = x –(4x – 14)

2(x + 1) –3(x – 2) = x + 6

8) 4x

3(x – 4) + 5x = 20

2(x + 1) –3(x – 2) = x + 6

10)

+ (x – 6) – (x – 2) = 16 – x

3(2x + 5) –2(4 + 4x) = 7 6 (2x – 2) = 2(3x + 9)

Unidad 9 – Matemática

215

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los siguientes problemas. 1) Compré un libro que me costó 175 quetzales y otro de 156 quetzales para la Biblioteca. Si contábamos con un fondo de 500 quetzales para la compra de libros, ¿cuánto dinero del fondo me queda disponible? 2) Cada uno de seis hermanos, recibió una herencia de 1500 quetzales más que el anterior por orden de edad. Si el segundo recibió 3500 quetzales, ¿cuánto recibió cada uno? 3) ¿Cuál es la población de un país constituido por tres regiones, sabiendo que la región occidental tiene 52 642 habitantes más que la región central; la región central tiene 309 845 habitantes y la región oriental tiene 169 834 más que la región occidental? 4) Un comerciante pide 3000 libras de mercadería. Primero le mandan 854 libras, más tarde 123 libras menos que la primera vez y después 754 libras. ¿Cuánto deben mandarle en el último envío para completar el pedido? 5) En un bus viajan 24 personas entre hombres y mujeres. Si bajaran 3 hombres, quedarían en el bus el doble de mujeres que de hombres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres quedan en el bus? 6) La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor es 46. ¿Cuál es el número menor? 7) En un terreno rectangular el largo mide 15 m más que el ancho. Si el perímetro es 150 m, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 8) En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 3 cm menos que los lados iguales. Si el perímetro mide 21 cm, ¿cuánto mide cada lado del triángulo? 9) El ancho de una tabla rectangular mide 1/4 de su longitud. Si el perímetro de la tabla es de 90 pulgadas, encuentra la longitud y el ancho de la tabla. B. Resuelve los siguientes rompecocos. 1) Un sastre tiene 26 yardas de tela y cada día corta 2 yardas de la misma. ¿Al cabo de cuántos días habrá cortado completamente la pieza de tela? 2) ¿Qué nuevo parentesco adquiere el hombre que se casa con la hermana de su viuda?

216

Primer grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Calcula mentalmente el valor de x en las sumas, escribe la respuesta sobre la línea. 1)

x + 5 = 20 x =

x - 7 = 10

x + 3 = 17

x - 8 = 11

x + 4 = 12

x - 6 = 17

x + 6 = 19

x - 3 = 19

x + 9 = 14

x - 9 = 23

10)

B. Calcula mentalmente el valor de x en las restas, escribe la respuesta sobre la línea. 1)

x – 5 = 4

x – 17 = 5

x – 2 = 9

x – 12 = 6

x – 4 = 6

x – 10 = 4

x – 3 = 9

x – 15 = 7

x – 5 = 8

x – 13 = 5

10)

C. Calcula mentalmente el valor de x en cada producto, escribe la respuesta sobre la línea. 1)

4x = 8

6x = 24

3x = 6

4x = 32

2x = 10

10)

7x = 28

4x = 12

11)

5x = 30

3x = 15

12)

6x = 30

5x = 20

13)

4x = 36

3x = 18

14)

5x = 35

Unidad 9 – Matemática

217

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento

Identifico términos algebraicos y términos semejantes en una expresión algebraica. Transformo expresiones escritas en lenguaje común a lenguaje algebraico.

Después de estudiar...

Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos. Identifico el grado relativo de un polinomio. Escribo expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente. Calculo el valor numérico de una expresión algebraica. Defino una ecuación e identifico todas sus partes como una igualdad. Resuelvo ecuaciones de primer grado. Resuelvo problemas y quiebracocos para desarrollar mi pensamiento. lógico. Resuelvo ecuaciones para mejorar mi cálculo mental.

218

Primer grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! 1) En el término algebraico –5x3, –5 es… A. el signo

B. el coeficiente

C. la variable

D. el exponente

2) En el término -8m3n5 el coeficiente es… A.

–8

–3m2n

8m2n2

–y2

10y

–7y5

3a + b

a – b

–2a + b

3) Un término algebraico semejante a 8m2n es… A.

–2mn2

5mn

4) Un término semejante a -2y es… A.

3y3

5) Un ejemplo de monomio es… A.

7ab

6) El grado relativo de 3xy

+ x2 + 5x3y2 respecto a “x" es…

7) Al resolver 15

+ m = 29, el valor de m es…

8) Al resolver: 2x A.

- 34 = 120 el valor de x es…

9) Al resolver

B. n = 5 el valor de 6

n es…

5 6

10) ¿Cuál es el segundo miembro de la ecuación 2x A.

2x + 4

11) ¿Cuál es el primer miembro de la ecuación 3x A.

3x + 2

x – 4

+ 4 = 0? C.

+ 2 = x - 4? C.

2 + x

12) El enunciado : "Un número menos 7 unidades es igual a 11" expresado como ecuación es… A.

x + 7 = 11

7 + x = 11

x – 7 = 11

7 – x = 11

Unidad 9 – Matemática

219

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 9 – Matemática

221

Introducción a la estadística

unidad

¿Qué sabes del tema? Una de las ciencias que aportan más información práctica para nuestra vida diaria es la estadística. Basta echar una mirada a la prensa para comprobar en cuántos campos nos auxilia: medicina, comercio, deportes, ambiente, etc. Consulta los periódicos de la última semana y extrae titulares, artículos y gráficas que contengan datos estadísticos. Te sorprenderás.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Historia de la estadística Taller de matemática

• • • • •

Estadística Términos estadísticos Organización de datos Gráficos estadísticos Medidas de tendencia central

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso

Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas matemáticos y juegos lógicos

Aumenta tu velocidad de cálculo • Hojas de cálculo matemático

Unidad 10 – Matemática

223

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

4. Interpreta información estadística representada en tablas, esquemas y gráficas.

4.1 Aplica métodos estadísticos y medidas de tendencia central al resolver problemas.

Actividades

224

Primer grado – ciclo básico

Identificar aplicaciones estadísticas. Identificar términos estadísticos. Organizar datos nominales y ordinales. Elaborar e interpretar diagramas de barras e histogramas. Calcular el valor de la media, mediana y moda.

¡Prepárate para el recorrido! Historia de la estadística Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, piezas de madera y paredes de cuevas, para contar personas, cosechas, animales u objetos. La información más antigua sobre el uso de la estadística la encontramos en Egipto, alrededor del año 3050 a.C., mucho antes de construir las pirámides. Esta civilización ya analizaba los datos de la población y los relacionaba con los tributos. También en Babilonia, 3000 a.C., usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y las especies vendidas o cambiadas mediante trueque. Así mismo, dejaron información de sus registros estadísticos en Grecia, Roma y China. Ya en nuestra era Guillermo I, rey de Inglaterra, en 1086 encargó un censo para registrar nacimientos y defunciones. Este censo es reconocido como el primer censo de población. El desarrollo pleno de la estadística se inicia entre finales del siglo XVII y principios del XVIII. El término "estadística" fue introducido por Gottfried Achenwall, profesor y economista alemán, quien lo utilizaba para el análisis de datos del Estado. Ya en el siglo XIX el término "estadística" adquirió el significado actual de recolectar y clasificar datos. Tomado y adaptado de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/estadisticaHistoria.htm

¡A trabajar! Con la información de la lectura completa la línea de tiempo. Escribe el nombre de la civilización o persona que aplicó la estadística. Tienes un ejemplo. 3050 a.C.

3000 a.C.

1086

siglo XIX

egipcia

Unidad 10 – Matemática

225

Taller de matemática Estadística Recolección de datos En nuestros días, la estadística se ha convertido en una ciencia útil a toda actividad humana. Es aplicable a la medicina, la biología, la física, todas las ciencias sociales, etc. como método efectivo para describir, relacionar y comparar datos. La estadística es la rama de la matemática encargada de la recopilación, organización y análisis de datos numéricos y observaciones, para la toma de decisiones o para explicar y predecir un acontecimiento en particular. La estadística se divide en dos grandes ramas, dependiendo de su aplicación: la estadística descriptiva y la estadística inferencial.

Estadística descriptiva La estadística descriptiva se encarga de reunir, organizar y analizar datos para presentarlos de manera ordenada. Por ejemplo, si queremos hacer un estudio de la población escolarizada de Guatemala, nos preguntaremos ¿cuántos estudiantes hay en las escuelas del país?, ¿cuántos en cada departamento?, ¿qué edad tienen?, etc. Al responder estas preguntas, la estadística descriptiva nos ayudará a reunir, ordenar y organizar la información, de tal manera que sea fácil de interpretar. En esta unidad estudiaremos parte de la estadística descriptiva. Aprenderemos a organizar información, realizar gráficas y extraer algunas medidas importantes como la media, la mediana y la moda.

Estadística inferencial La estadística inferencial se ocupa de sacar conclusiones más allá de los datos recogidos, para hacer predicciones generales. Por ejemplo, de acuerdo a los registros del número de pacientes atendidos en un centro hospitalario durante un año, se puede estimar el número de pacientes que se atenderán en el año próximo. Otro ejemplo puede ser la opinión de un grupo de personas sobre un programa radial. Según los resultados, se pueden tomar decisiones para mejorarlo.

226

Primer grado – ciclo básico

Términos estadísticos La estadística, como todas las ciencias, se expresa con una serie de términos que le son propios o que toman un significado especial. Aprendamos el significado de estos términos. Población. En estadística, población es el conjunto de elementos sobre el que queremos hacer un estudio. Por ejemplo, los niños y las niñas que han participado en una jornada de vacunación o la producción de caña en nuestro país. Muestra. Es un subconjunto de la población que elegimos al azar para hacer un estudio más reducido. Por ejemplo, para determinar la calidad de la caña, podemos tomar al azar una muestra en cada departamento productor de caña. Variables y datos. Las variables son aquellos aspectos que se van a estudiar. Los datos son los valores que se obtienen de las variables. Por ejemplo, una variable puede ser la profesión de una población o muestra y el dato será el resultado: albañil, abogada, secretaria, etc. Es posible clasificar las variables de acuerdo a los valores que toma, de la siguiente manera:

Variables cualitativas Describen cualidades, características o atributos de los elementos en estudio. A su vez se clasifican en: Nominales: son las variables que solo se pueden describir con un nombre, porque no se pueden medir de otra forma. Por ejemplo: estado civil, sexo, religión, etc. Ordinales: permiten clasificar a los objetos o sujetos según el orden que ocupan en una medición. Son variables ordinales: índice de alfabetismo (alto, medio o bajo), opinión sobre el servicio de un restaurante (regular, bueno, muy bueno), grado de escolaridad (primaria, básico, diversificado), etc.

Variables cuantitativas Son las variables que se miden con cantidades numéricas. Se clasifican en: Discretas: son las variables que pueden tomar únicamente valores enteros en la medición. Por ejemplo, el número de hijos por familia. Los datos que se podrían obtener son: 0, 1, 2, 3 hijos, etc. Continuas: son las variables que pueden tomar cualquier valor decimal en la medición. Por ejemplo, la estatura media de las niñas. Los datos que se podrían obtener son: 1.32, 1.35, 1.37 metros, etc.

Unidad 10 – Matemática

227

Ejercicio 1 A. Identifica población, muestra, dato y variable en los siguientes enunciados. 1) Un estudio de 2006 determina que la estatura media de los hombres guatemaltecos, de 20

años en adelante, es de 1.68 metros. Para ello se tomó la estatura de 3000 jóvenes.

La población es:

La muestra es:

La variable es:

El dato es:

2) Un granjero seleccionó 60 pollos sobre un total de 900, para determinar la cantidad de concen-

trado que consume cada pollo por día. El resultado que obtuvo es 0.3 libras promedio. a.

La población es:

La muestra es:

La variable es:

El dato es:

Responde: ¿Qué otra variable se podría estudiar de la población de pollos?

3) El Instituto Nacional de Estadística registró en 2006 el número de hijos de 1500 familias guate-

maltecas. Determinó que el promedio de hijos por familia es 3.

La población es:

La muestra es:

La variable es:

El dato es:

B. Rellena el círculo que responde si la variable citada es cualitativa, cuantitativa, nominal, ordinal, discreta o continua. 1) Edad

ordinal

cualitativa

cuantitativa

cualitativa

cuantitativa

ordinal

continua

discreta

continua

2) Estado civil

continua

3) Estatura

cualitativa

4) Número de habitantes

228

nominal

Primer grado – ciclo básico

Organización de datos Los datos en estadística se organizan en una tabla de frecuencias. Frecuencia es el número de veces que se repite cada dato. Por lo tanto, una tabla de frecuencias es la representación de un conjunto de datos que nos permite observar qué tan seguido ocurre algo. La tabla de frecuencias está formada por dos columnas, en una escribimos los datos y en la otra las frecuencias.

Organización de datos nominales Los datos nominales se organizan en una tabla de frecuencias según sus cualidades o características comunes. Por ejemplo:

En la fiesta de una comunidad participaron 140 personas (N = 140). Del total 25 eran niños, 40 jóvenes, 55 adultos y 20 ancianos. Podemos representar esta información en la tabla de frecuencias siguiente. participantes

frecuencia ( f )

niños

jóvenes

adultos

ancianos

total (N)

140

Observa que en la última fila hemos escrito el total de los datos (N) que representa el total de la población. La suma de todas las frecuencias debe coincidir con el total (N).

Organización de datos ordinales Los datos ordinales se organizan en una tabla de frecuencias de acuerdo a un orden específico. Bien en orden ascendente, de menor a mayor valor, o en orden descendente, de mayor a menor valor. Veamos un ejemplo:

Se desea saber la distribución por niveles de 100 alumnos de un colegio. Los datos obtenidos son: 14 cursan el nivel preprimario, 48 el nivel primario, 31 el nivel básico y 7 el nivel diversificado. Ordenamos los datos en una tabla de frecuencias. nivel

frecuencia ( f )

Preprimario

Primario

Básico

Diversificado

total (N)

100

Observa que hemos ordenado los datos de la primera columna del nivel inferior de escolaridad (preprimario) al nivel superior (diversificado), es decir, hemos aplicado un orden ascendente. Unidad 10 – Matemática

229

Conteo y organización de datos ordinales Una promotora de salud ha registrado el crecimiento de 15 bebés durante los primeros de 6 meses de vida. Los resultados, en centímetros, se muestran a continuación, al lado izquierdo: crecimiento

frecuencia ( f )

9 cm

8 cm

7 cm

6 cm

5 cm

total (N)

Los datos que vemos a la izquierda aportan poca información. Es necesario ordenarlos en la tabla de frecuencias. Escribimos en la primera columna la variable crecimiento, en orden descendente, luego contamos las veces que se repite cada dato y registramos los resultados en la columna frecuencia. De esta forma es fácil ver que solo un niño creció 9 cm, 2 niños crecieron 8 cm, etc. ¡Otro ejemplo! Elaboremos una tabla de frecuencias con los datos de la información siguiente:

En un curso de computación, el profesor registra la edad de sus 12 estudiantes (N = 12).

Veamos los resultados: edad

Observe que ordenamos la variable edad, de mayor a menor, es decir, en orden descendente.

230

frecuencia( f )

total (N)

En la tabla observamos que:

3 estudiantes tienen 22 años, 2 tienen 20 años, etc.

La mayor frecuencia se registra en la edad de 18 años.

La menor frecuencia se registra en la edad de 20 años.

Primer grado – ciclo básico

Gráficas estadísticas Después de recopilar, organizar y analizar los datos; se pueden presentar por medio de gráficas. Seguramente las has visto en periódicos y revistas. Por ejemplo, la gráfica de imágenes o pictograma que vemos a continuación está tomada de una publicación de la Unesco sobre la situación mundial del agua.

Disponibilidad de recursos hídricos en el mundo

8 % 13 %

15 % 8 %

AMÉRICA DEL NORTE Y CENTRAL

25 % 6 %

11 % 13 % ÁFRICA

36 % 60 % ASIA

5 % <1 % OCEANÍA

Fuente:

unesco.

AMÉRICA DEL SUR

EUROPA

Elaboración propia

Las gráficas deben ofrecer la mayor información posible a simple vista. Observa cómo se han utilizado dos símbolos fáciles de reconocer: la gota, que representa la disponibilidad de agua, y la silueta humana, para representar el porcentaje de población. Además, ambas imágenes se han distribuido sobre un mapa mundi, para identificar esos porcentajes en cada continente. Vemos claramente que Asia tiene el mayor porcentaje de población (60 %) y el mayor porcentaje de disponibilidad de agua ( 36 %).

Unidad 10 – Matemática

231

Tipos de gráficas estadísticas En este apartado estudiaremos dos tipos de gráficas: diagrama de barras y polígono de frecuencias.

Diagrama de barras El diagrama de barras o histograma es una representación de datos cualitativos o cuantitativos en un plano cartesiano por medio de rectángulos, en los cuales la altura de cada rectángulo depende de la frecuencia de los datos. Las columnas pueden estar en posición vertical u horizontal. Las partes que componen un diagrama de barras son: El título en la parte superior.

El eje x para las variables.

El eje y para las frecuencias.

[ Título de la gráfica ]

60 50

frecuencias ( f)

40 30 20

Las barras que ilustran la información.

10 0

variable

Veamos un ejemplo: Representemos en un diagrama de barras la información de la tabla que contiene la ocupación de 100 personas tomadas como muestra en la comunidad “La Esperanza".

Dibujamos un plano cartesiano y escribimos el título en la parte superior: Ocupación de 100 personas en la comunidad “La Esperanza"

En el eje x escribimos las variables: artesanos, estudiantes y carpinteros. En el eje y distribuimos las frecuencias de 10 en 10.

Sobre el eje x dibujamos una barra para cada variable, de altura proporcional al valor de la frecuencia. ocupación frecuencia( f )

Ocupación de 100 personas en la comunidad “La Esperanza"

artesanos

estudiantes

carpinteros

100

total

30 20 10 0

232

Primer grado – ciclo básico

artesanos

estudiantes

carpinteros

Polígono de frecuencias El polígono de frecuencias es un gráfico que representa la información a través de puntos y rectas. La construcción de este gráfico es muy parecida al diagrama de barras, solo que en lugar de columnas se trazan puntos en el plano cartesiano, para luego unirlos por medio de líneas rectas. Veamos un ejemplo:

Uno de los Objetivos del Milenio (odm), en concreto el Objetivo 5, propone la reducción de la mortalidad materna. El informe del Sistema de las Naciones Unidas en Guatemala, presentado en 2008, indica la evolución de la mortalidad por cada 100 000 nacidos vivos. Los datos se presentan en la tabla. año

Los Objetivos de Desarrollo del Milenio (odm) son ocho propósitos de desarrollo humano que los 193 países miembros de las Naciones Unidas acordaron conseguir para el año 2015.

mortalidad

1989

248

2000

153

2006

140

Representemos los datos en un polígono de frecuencias.

Dibujamos un plano cartesiano, escribimos el título en la parte superior.

En el eje x ubicamos las variables (los años) y en el eje y las frecuencias (número de muertes).

Sobre cada variable trazamos una línea suave hasta llegar al punto donde coincide con su frecuencia. Allí marcamos un punto.

Una vez marcados todos los puntos, los unimos con líneas rectas.

Para reflexionar: observa la gráfica y fíjate en el avance ante este problema. Esto nos hace pensar que cuando nos proponemos metas y luchamos por lograrlas, a pesar del tiempo, las podemos alcanzar. Reducción de la mortalidad materna en Guatemala de 1989 – 2006 300 250 200 150 100 50 0

1989

2000

2006

Unidad 10 – Matemática

233

Ejercicio 2 Para que pongas en práctica la representación gráfica en diagrama de barras y polígono de frecuencias. 1) ¡Hazte donante de sangre!

Las transfusiones de sangre salvan vidas. Solo la donación regular de voluntarios puede garantizar el suministro de sangre segura. La Organización Mundial de la Salud presentó en el informe de 2007 este incremento en las donaciones.

Elabora un diagrama de barras con la información de la tabla. No olvides poner el título de la gráfica.

origen de las donaciones % aumento ( f )

Países en desarrollo

Países en transición

Países desarrollados

60 40 20 10 0

2) Una taza de yogur contiene 5 % de proteínas, 2 % de grasas y 4 % de azúcar. Escribe los datos en la tabla y dibuja un diagrama de barras con la información.

nutrientes

Porcentaje de nutrientes que contiene una taza de yogur

proteínas

grasas

azúcar

4 2 0

proteínas

grasas

azúcar

3) La desnutrición infantil es un problema grave de nuestro país, que se acentúa en ciertas áreas. La tabla de frecuencias presenta el porcentaje de niños y niñas menores de 5 años con desnutrición en el área Noroccidente de 1987 a 2002, según el informe del Sistema de las Naciones Unidas en Guatemala, presentado en 2008. Representa los datos de la tabla en un polígono de frecuencias. Porcentaje de niños y niñas con desnutrición en el área Noroccidente de Guatemala

año

% desnutrición

1987

1995

1998

2002

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

1987

La gráfica nos indica que se ha reducido la desnutrición infantil, pero el nivel aún es alto. Participa en los programas locales para que este problema desaparezca lo antes posible.

234

Primer grado – ciclo básico

Medidas de tendencia central Se llaman medidas de tendencia central de una distribución de datos a aquellos valores que indican el centro de la distribución y pretenden representar todos los datos en un solo punto. En este apartado estudiaremos tres medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

La media aritmética ( X ) Definimos la media como un promedio. Suele ser la más importante de las medidas de tendencia central porque representa el punto medio de un conjunto de datos. En estadística la representamos así X . Por ejemplo:

Según el informe de 2007 de los Objetivos de Desarrollo del Milenio (ODM), el promedio de estudiantes que empiezan primer grado de primaria y terminan sexto grado, en Centroamérica, es de 71.4 %. Este dato significa que de cada 100 niños y niñas que ingresan a primer grado, 71, aproximadamente, terminan sexto primaria. El dato representa a la mayoría de los estudiantes de Centroamérica y se le conoce como la media o promedio. La media se obtiene sumando todos los valores de la serie y dividiendo el total entre el número de ellos. Se obtiene con la fórmula: Media aritmética =

Suma de todos los valores observados Número total de observaciones !x X= N

Se lee: La media aritmética es igual a la sumatoria de todos los valores de x dividido entre N (el número de valores). Donde: X = media aritmética ! (sigma) = sumatoria o suma de valores

x = conjunto de valores de la variable N = número total de valores o datos

Unidad 10 – Matemática

235

Veamos un ejemplo: El porcentaje de estudiantes que empiezan primer grado de primaria y terminan sexto grado, en algunos países de América del Sur es: Chile

Perú

Argentina

Colombia

Venezuela

Brasil

95 %

90 %

89 %

88 %

81 %

76 %

¿Cuál es el porcentaje promedio de estudiantes que terminan la primaria en estos países de América del Sur? Calculemos la media ! X= x N

Copiamos la fórmula.

Sustituimos y sumamos los valores de x. El resultado lo dividimos entre el número de valores (N = 6). X =

95 + 90 + 89 + 88 + 81 + 76 519 = 6 = 86.5 6

X = 86.5

Escribimos la respuesta: Una media del 86.5 % de los estudiantes en América del Sur termina la primaria.

¡Otro ejemplo! Según las tablas de crecimiento para Guatemala, la estatura media en niños de 13 años es de 152 cm. En un centro nutricional están atendiendo a 6 niños de 13 años cuyas estaturas son: Jorge

Estela

Marcos

Nicolás

Alba

María

143 cm

145 cm

149 cm

151 cm

152 cm

155 cm

¿Está este grupo de niños dentro de la media nacional? Averigüémoslo calculando la media aritmética. ! X= x N

Copiamos la fórmula.

Sumamos los valores de x y dividimos entre N. X=

143 + 145 + 149 + 151 + 152 + 155 6

895 6 = 149.17

X = 149.17

236

Respuesta: Este grupo de niños no alcanza la estatura media nacional. En promedio le falta 2.83 cm.

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 3 Resuelve los ejercicios siguiendo los pasos que aprendiste en el apartado anterior. 1) Según el Instituto Nacional de Estadística (INE), los días que llovió en Puerto Barrios durante la época de invierno 2009 fueron:

mes

mayo

junio

julio

agosto

septiembre

octubre

días de lluvia

Determina el promedio de días que llovió cada mes.

2) Según la Gremial de Recicladoras de Guatemala, en un año esta gremial recicló los siguientes materiales: producto reciclado

papel

plástico

llantas

vidrio

metales

toneladas

42 100

15 000

5000

19 200

100 000

Determina la media de material reciclado.

3) Una cooperativa forestal sembró durante el último año estas hectáreas de árboles: 15, 24, 25, 36, 45, 65, 52, 30 y 18. ¿Cuál es la media de hectáreas sembrados?

4) Calcula la media para los datos siguientes: 7, 5, 8, 9, 7, 6, 7, 6, 1, 3, 5

5) Calcula la media para los datos siguientes: 25, 18, 16, 22, 16, 14, 23, 19, 18, 21

Unidad 10 – Matemática

237

La mediana (Me) En el centro

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de una serie de datos ordenados. Esta medida indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. No debemos confundir el valor de la media con el de la mediana. Recuerda que la media es un valor numérico promedio, mientras que la mediana indica la posición central en una serie ordenada. Fíjate en la gráfica que muestra el número de mujeres que ocupaban un puesto en el Congreso de su país en 2009.

país Haití

nº de mujeres diputadas 4

Mujeres diputadas en el Congreso 2009 32

28 23

24 19

Guatemala

Nicaragua

México

Perú

16 12

4 Haití

Guatemala Nicaragua

México

Perú

¿Qué país se ubica justo a la mitad de la gráfica? efectivamente, Nicaragua. Eso significa que Nicaragua, con 19 diputadas, ocupa el lugar de la mediana en esta distribución de datos.

La mediana para una cantidad impar de datos Seguiremos los pasos para calcular la mediana con el ejemplo anterior. Averiguemos la posición de la mediana mediante una fórmula muy sencilla:

238

Posición de la mediana =

5+1 6 N+1 = = =3 2 2 2

Sustituimos el dato en la fórmula

Ordenamos los datos de menor a mayor.

4 , 12 , 19 , 23 , 29

Contamos de izquierda a derecha tantos lugares, como indica el valor de la posición de la mediana.

Me = 19

Respuesta: La mediana de mujeres en el congreso es 19.

Primer grado – ciclo básico

N+1 2

La mediana para una cantidad par de datos Si el número de datos es par, hay dos valores centrales. En tal caso, el valor de la mediana se obtiene calculando el promedio de ambos valores centrales. Hagamos un ejemplo. En una prueba de lectura aplicada a 6 estudiantes, la cantidad de palabras leídas por minuto fue: 134, 140, 138, 145, 136, 149 ¿Cuál es la mediana de palabras leídas por minuto?

6+1 7 N+1 = = = 3.5 2 2 2

Calculamos la posición de la mediana.

Dado que es imposible destacar la posición 3.5, es necesario promediar los valores de las posiciones tercera y cuarta para calcular una mediana equivalente. Contamos de izquierda a derecha en los datos ordenados y tomamos los valores 3 y 4.

134, 136, 138, 140, 145, 149 138 + 140 278 = = 139 2 2

Calculamos la media de ambos valores.

Ese será el valor de la mediana.

Me = 139

Respuesta: La mediana fue 139 palabras por minuto.

Ejercicio 4 1) La tabla refleja la temperatura registrada a las 6 de la tarde en siete departamentos de Guatemala.

Guatemala

Cobán

Esquipulas

Flores

Huehuetenango

Quetzaltenango

Retalhuleu

¿Cuál es la mediana de las temperaturas?

2) Calcula la mediana para los datos siguientes:

7, 5, 8, 9, 7, 6, 7, 6, 1, 3, 5

3) Calcula la mediana para los datos siguientes:

25, 18, 16, 22, 16, 14, 23, 19, 18, 21

4) Las calorías que contienen una pieza de fruta de tamaño regular son:

fruta

durazno

mandarina

manzana

pera

naranja

mango

calorías

¿Cuál es la mediana de calorías que contienen las frutas de la tabla anterior y a qué fruta o frutas corresponden?

5) En una fábrica de productos lácteos se llenan recipientes de crema en unidades de 100 gramos. El departamento de control de calidad está verificando el peso de los envases y ha registrado los datos siguientes: 100, 97, 101, 98, 103, 99, 102, 100

¿A qué peso le corresponde la mediana?

Unidad 10 – Matemática

239

La moda (Mo) Cuando hablamos de moda pensamos en objetos, modos o costumbres que son de uso muy común durante algún tiempo. Por ejemplo, la ropa, peinados, zapatos, etc. En estadística la moda es el dato que se repite más veces, es decir, el que tiene mayor frecuencia y se representa como Mo. En una distribución de datos puede haber más de una moda, si las frecuencias más altas son iguales. Veamos un ejemplo: Esmeralda tiene una venta de frutas. De las 38 personas que llegaron a comprar un día, las preferencias fueron: fruta

manzana

piña

banano

sandía

papaya

naranja

pera

frecuencia ( f )

¿Qué fruta representa la moda? En la tabla observamos que la fruta de mayor venta es la papaya, por lo tanto, representa la moda. Mo = papaya Un ejemplo más: Los sabores de helado más vendidos en un kiosco son: sabor

fresa

piña

crema

mora

lima

chocolate

coco

frecuencia ( f )

¿Qué sabor representa la moda? Como las frecuencias más altas corresponden a dos sabores diferentes, en este caso hay dos modas. Mo = lima y coco

Ejercicio 5 1) Se realizó una encuesta a 100 personas acerca de la red social que utilizan. Se obtuvieron los siguientes datos: red social Myspace Twitter

Facebook

total

240

frecuencia ( f ) 18

100

Primer grado – ciclo básico

¿Qué red social representa la moda? Mo =

2) Angelina tiene una zapatería y las ventas durante el mes de mayo fueron tipo de zapato

pares vendidos ( f )

tenis

mocasín

zapato casual

botas sandalias

5 10

¿Qué tipo de zapato representa la moda? Mo = Explica tu respuesta: 3) Una promotora de salud registró la estatura de 22 niños de 2 años de edad. Los datos en centímetros fueron: estatura en cm 83 85 87 83 88 85 88 89 84 86 86 84 84 85 85 84 88 87 86 87 86 85

frecuencia

83 84 85 86 87 88 89 total (N)

a. ¿Qué estatura presenta la mayor frecuencia? b. La estatura ideal en niños de 2 años es de 87 cm. De acuerdo a los datos, ¿qué puede deducir de la estatura que presenta la mayor frecuencia?

Practica en la red: www.vitutot.com/estadistica/descriptiva/a_1.html En esta página podrás reforzar y ampliar tus conocimientos y realizar ejercicios sobre los temas vistos en la esta unidad. Unidad 10 – Matemática

241

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Subraya el enunciado que indica una aplicación estadística.

Investigar cuántos niños nacen en Guatemala cada año.

Estudiar un fósil de dinosaurio.

Averiguar la edad promedio de los estudiantes de Primero Básico.

Estudiar la historia de la Conquista de Guatemala.

Calcular el porcentaje de guatemaltecos que tienen teléfono celular.

Conocer los accidentes geográficos de Alta Verapaz.

Investigar cuántas personas utilizan el transporte urbano en la Capital.

Mejorar la ortografía y la comprensión lectora.

B. Recuerda los términos estadísticos que aprendiste en esta unidad. 1) Un ejemplo de población es el número de pinos amarillos que hay en Guatemala. Anota dos ejemplos más de población. a. b. 2) Si deseamos saber el porcentaje de personas mayores de 30 años que practican algún deporte, sería imposible preguntar a todos los habitantes del país, entonces elegimos una muestra que represente la población. Escribe dos casos en los que es necesario elegir una muestra. a. b. 3) La cantidad de personas que habitan una casa es un ejemplo de variable cuantitativa discreta. Escribe dos variables de este tipo. a. b. 4) Las variables cualitativas describen cualidades, atributos, de los elementos en estudio. Un ejemplo de estas variables es el estado civil de las personas. Escribe dos variables cualitativas. a. b.

242

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 2 A. Lee el siguiente caso y presta atención a la información proporcionada.

La empresa de agua pura Delirrica desea saber cuántos guatemaltecos consumen su producto en todo el país y qué opinión tienen del agua pura. Para obtener esta información, encuestaron a una muestra de 5000 personas y les hicieron las preguntas siguientes. 1) ¿Consume agua Delirrica?

sí

2) ¿Cuántas botellas de agua Delirrica consume en una semana?

1 a 3

4 a 6

7 o más

3) ¿Cómo le parece el sabor de la bebida Delirrica?

malo

regular

deliciosa

4) ¿Cómo es el envase de la bebida Delirrica?

común

sencillo

original

5) ¿Qué le parece la publicidad en la televisión?

aburrida

llamativa

la desconoce

B. Responde a las preguntas. a. ¿Qué dato representa la población? b. ¿Qué dato representa la muestra? c. ¿Qué tipo de variable representa el dato de la respuesta de la primera pregunta? d. ¿Qué tipo de variable representa el dato de la respuesta de la segunda pregunta? e. ¿A qué tipo de variable responden los datos de las respuestas de las preguntas 3, 4 y 5?

Unidad 10 – Matemática

243

Ejercicio 3 A. Determina población, muestra, dato y variable en los enunciados siguientes. 1) En el curso de Ciencias Naturales, un grupo de estudiantes calculó que la temperatura mínima promedio en abril de 2014, en la ciudad de Guatemala, fue de 17 °C. Para ello, registraron las temperaturas de 10 días del mes. La población es:

La muestra es:

La variable es:

El dato es:

2) El Ministerio de Salud Pública determinó que el peso promedio de los bebés recién nacidos en Guatemala es de 7 libras. Para ello, registró el peso de 600 bebés. La población es:

La muestra es:

La variable es:

El dato es:

B. Realiza las actividades que siguen. 1) Lee la información, organiza los datos en la tabla de frecuencias y contesta las preguntas.

Las temperaturas máximas en grados Celsius (ºC), en la región noroccidente del país, durante los primeros 14 días de febrero de 2014, fueron: 10, 22, 16, 19, 18, 16, 14, 21, 28, 24. a.

¿Qué temperatura registra la mayor frecuencia?

Si consideramos un día caluroso cuando la temperatura es igual o mayor a 24 oC, ¿cuántos días calurosos hubo?

C. Elabora una tabla de frecuencias con los datos que se presentan en cada enunciado y contesta las preguntas. 1) En una jornada de la salud se registró el peso de 16 niños de 10 años de edad. Los datos, en libras, se presentan a continuación. peso en lb

frecuencia ( f )

65 65 66 68 68

70 66 70 73

65 70 66 66

68 72 72 68

72 73 total (N)

Según la Organización Mundial de la Salud -Oms-, el peso ideal para niños de 10 años es 70 lb.

a. ¿Cuántos niños están por debajo del peso ideal?

b. ¿Cuántos niños tienen el peso ideal?

c. ¿Cuántos niños están por encima del peso ideal?

244

Primer grado – ciclo básico

Ejercicio 4 A. El número de días que llovió en junio de 2009 en los municipios de Morazán, Cuilapa, Cobán, La Unión y Huité está registrado en la tabla. Con la información elabora un diagrama de barras. municipio

nº días

Morazán

Cuilapa

Cobán

La Unión

Huité

30 25 20

15 10 5 0

Morazán

Cuilapa

Cobán

La Unión

Huité

B. Lee la información y observa la gráfica para resolver este inciso. El Índice de Desarrollo Humano (Idh) mide la capacidad de una sociedad para satisfacer sus necesidades básicas. Este indicador se mide de 0 (la nota más baja) hasta 1 (la nota más alta). En 2010, algunos países de América Latina y El Caribe obtuvieron las calificaciones siguientes.

Bajo

México

0.756

Belice

0.732

El Salvador

0.662

Guatemala

0628

Honduras

0.617

Nicaragua

0.614

Haití

0.471

0.662

0.628

0.617 0.614 0.471

alto

medio

Haití

0.763

Nicaragua

Costa Rica

0.822 0.808 0.763 0.756 0.732

Honduras

0.808

Guatemala

Argentina

Índice de Desarrollo Humano 2010

El Salvador

0.822

Belice

Chile

México

Medio

IDH 2010

Costa Rica

Alto

País

Argentina

Nivel

Chile

bajo

a. Según la gráfica, ¿qué país tiene el mejor IDH? b. ¿Cuál es la diferencia de IDH entre Chile y Guatemala? c. Escribe dos acciones para aumentar el IDH en el área de educación. Te ayudamos con una: •

Mejorar la educación, salud y economía

•

Unidad 10 – Matemática

245

Ejercicio 5 A. Calcula la media, la mediana y la moda para los datos siguientes: 7, 5, 8, 9, 7, 6, 1, 3, 5 B. Calcula la media , la mediana y la moda para los datos siguientes: 1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, C. Una cooperativa forestal sembró durante el último año estas hectáreas de árboles: 12, 20, 26, 35, 48, 60, 58, 19 y 15.

¿Cuál es la media y la mediana de hectáreas sembradas?

D. En cierta empresa el registro de entrada de los empleados en un día es el siguiente: 6:36, 6:39, 6:40, 6:40, 6:43, 6:51, 6:53, 6:55, 6:56, 6:58, 7:00, 7:02, 7:05 a. ¿A qué hora le corresponde la mediana? b. ¿Cuántos empleados llegaron antes de la mediana? c. ¿Cuántos empleados llegaron después de la mediana, pero antes de las 7:00? E. El Instituto Nacional de Sismología, Vulcanología, Meteorología e Hidrología (Insivumeh) registró, en los primeros 6 meses de 2007, las temperaturas máximas en la ciudad de Guatemala. mes

ene

feb

mar

abr

may

jun

temperatura máxima (°C)

a. Calcula la media de temperaturas máximas. b. Calcula la mediana de la temperatura máxima. F. Una atleta corrió, durante una semana, las distancias siguientes: día

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

domingo

distancia en km

a. Calcula la distancia promedio que corrió por día. b. Calcula la distancia que representa la mediana. c. Calcula la distancia que representa la moda.

246

Primer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. A continuación te proponemos una serie de acertijos matemáticos. Resolverlos te ayudará a desarrollar el pensamiento lógico y a mejorar la capacidad de razonar. Determina el número que cumple con las condiciones que se dan en cada inciso. 1) Busca un número que cumpla con las cuatro condiciones que siguen:

El número es menor que 50

c. El número es un múltiplo de 8

El número es mayor que 32

d. Es divisible entre 10

2) Busca el número que cumpla con las 4 condiciones.

El número es menor que 150

c. El número es un múltiplo de 25

El número es mayor que 100

d. La suma de sus dígitos es igual a 8

El número es: 3) Busca el número que cumpla con las 4 condiciones.

El número es múltiplo de 4

c. No es divisible entre 7

Es un número de dos dígitos

d. La suma de sus dígitos es igual a 12

El número es: 4) Busca el número que cumpla con las 4 condiciones.

El número está entre 350 y 400

b. El número es divisible entre 5 El número es:

c. Cada dígito es impar d. La suma de sus dígitos es igual a 15

5) Busca el número que cumpla con las 4 condiciones.

El número es menor que 60

b. El número es mayor que 24 El número es:

c. La suma de sus dígitos es igual 11 d. El número es un múltiplo de 8

6) Busca el número que cumpla con las 4 condiciones.

Es un número menor que 151

b. Es un número mayor que 131 El número es:

c. Es un número primo d. La suma de sus dígitos es igual a 13

7) Busca el número que cumpla con las 4 condiciones.

a. Es un número de 3 dígitos b. Es múltiplo de 2, 4, 5 y 10 El número es:

c. Es divisor de 1000 d. La suma de sus dígitos es igual a 1

Unidad 10 – Matemática

247

Aumenta tu velocidad de cálculo Aumenta la velocidad de cálculo realizando las siguientes operaciones. Hazlo lo más rápido que puedas, no utilices calculadora. Toma tu tiempo, debes realizarlas en menos de tres minutos. A. Escribe el factor que falta para que la operación sea correcta. 1) 5 x

= 35 6) 3 x

= 9

11) 4 x

= 20

2) 6 x

= 18 7) 9 x

= 36

12) 6 x

= 54

3) 9 x

= 45 8) 6 x

= 48

13) 8 x

= 40

4) 8 x

= 64 9) 5 x

= 35

14) 9 x

= 72

5) 2 x

= 12

= 56

15) 7 x

= 49

10) 7 x

B. Escribe el factor que falta para que la operación sea correcta. 1)

x 3 = 27 6)

x 8 = 0

11)

x 4 = 28

x 9 = 9 7)

x 6 = 30

12)

x 7 = 63

x 4 = 12 8)

x 7 = 21

13)

x 5 = 30

x 6 = 24 9)

x 5 = 45

14)

x 9 = 81

x 9 = 18

x 2 = 16

15)

x 6 = 42

10)

C. Desarrolla las potencias. 1) 12 =

5) 82 =

9) 52 =

2) 42 =

6) 90 =

10) 23 =

3) 30 =

7) 72 =

11) 43 =

4) 62 =

8) 13 =

12) 33 =

D. Resuelve las potencias. 1) 22 =

5) 42 =

2) 52 =

6) 82 =

10)

= 81

3) 90 =

7) 10 =

11)

= 49

4) 32 =

8) 02 =

12)

= 36

E. Resuelve las raíces. 1) 4 =

16 =

49 =

2) 9 =

64 =

10)

100 =

3) 1 =

36 =

11)

144 =

4) 25 =

81 =

12)

121 =

248

Primer grado – ciclo básico

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento

en no logrado proceso logrado

Conozco la evolución de la estadística a través de la historia.

Después de estudiar...

Defino qué es la estadística. Explico qué es población, muestra, variables y datos. Organizo datos nominales y ordinales en una tabla de frecuencias Elaboro diagramas de barra y polígonos de frecuencias. Analizo e interpreto datos y hechos tomados del entorno mediante gráficas. Obtengo la media, mediana y la moda a partir de una distribución de datos. Resuelvo acertijos matemáticos para mejor el razonamiento lógico. Resuelvo hojas de cálculo mental con multiplicaciones, potencias y raíces.

Unidad 10 – Matemática

249

¡Ponte a prueba! 1) A un subconjunto de la población que elegimos al azar para hacer un estudio reducido, se le llama…

A. población

B. muestra

C. variable

D. dato

2) Al conjunto de elementos sobre el que queremos hacer un estudio se le llama…

A. variable

B. dato

C. muestra

D. población

3) El estado civil de las personas es un ejemplo de variable…

A. discreta

B. nominal

C. ordinal

D. continua

4) El número de hijos por familia es un ejemplo de variable…

A. nominal

B. ordinal

C. discreta

D. continua

5) La variable “estatura" es un ejemplo de variable…

A. discreta

B. continua

C. ordinal

D. nominal

6) La variable “grado escolar" es un ejemplo de variable…

A. nominal

B. discreta

C. continua

D. ordinal

Lee la información, observa la tabla de frecuencias y responde a las preguntas 7 y 8

Durante una jornada de nutrición se ha registrado el peso de un grupo de niñas de 12 años de edad. Con los datos obtenidos se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias. Peso (lb)

frecuencia ( f )

100

105

7) El número de niñas que fueron pesadas es...

A. 27

B. 16

C. 30

D. 32

8) ¿Cuántas mujeres resultaron con peso menor que 100?

A. 10

B. 11

C. 9

D. 7

9) La gráfica que se representa con puntos y rectas para representar la información es el…

A. Diagrama de barras C. Polígono de frecuencias

250

Primer grado – ciclo básico

B. Diagrama de Sectores D. Histograma

Tomando en cuenta la siguiente información:

Un ciclista se está preparando para la competencia ciclística más importante del año: La Vuelta a Guatemala. Observa con atención la gráfica, en el eje x se representa la distancia en kilómetros y en el eje y la altura en metros. Responde las preguntas 10 y 11 Recorrido de un ciclista en su entrenamiento 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

100

110

10) La altura a la que el ciclista inició su recorrido es…

A. 0 metros

B. 25 metros

C. 50 metros

D. 1000 metros.

11) El número de metros a los que ascendió en los primeros 10 kilómetros es…

A. 100 metros

B. 200 metros

C. 250 metros

D. 300 metros

12) Tomando en cuenta los datos: 27, 29, 30, 33, 31, 30, el valor de la media es…

A. 25.5

B. 31.5

C. 33

D. 30

Unidad 10 – Matemática

251

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores. Puedes utilizar corrector. 1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 10 – Matemática

253

Bibliografía INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2014). Matemática. Tomo 7. Grupo Quiriguá. Primer y segundo semestre. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2012). Matemática. Tomo 8. Grupo Utatlán. Primer y segundo semestre. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2013). Matemática. Tomo 9. Grupo Zaculeu. Primer y segundo semestre. Guatemala: IGER. REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. (2003). Diccionario de la lengua española. Madrid: Espasa Calpe.

Páginas web consultadas Diccionario de la Real Academia Española: http://goo.gl/KUUuR Diccionario panhispánico de dudas: http://goo.gl/hhr94c Fundación del Español Urgente (Fundéu): http://goo.gl/LOZoSv Juegos de lógica y estrategia: http://goo.gl/B0gYFw Recursos de educación y matemáticas: http://goo.gl/eV1Sh7 Vídeos, apuntes, ejercicios resueltos de matemáticas. http://goo.gl/euAEh

Bibliografía – Matemática

255

1º Básico Matemática

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