3º Básico Matemática by espaciosinnovadores

Matemática 3.° Básico Directora de la colección: Guillermina Herrera Peña

Maestra de educación primaria, Licenciada en letras y filosofía, Lingüista e Investigadora Lingüista. Miembro de Número de la Academia Guatemalteca de la Lengua Española, miembro de la comisión para la creación de la Academia de las Lenguas Mayas de Guatemala. Escritora y autora de libros de diferentes temas. Columnista en periódicos de Guatemala y colaboradora en publicaciones especializadas en lingüística, español, lenguas mayas, educación intercultural bilingüe, feminismo, equidad de género, literatura, filosofía y políticas públicas y política y planificación lingüísticas. Autora de peritajes lingüísticos para litigios de orden civil y litigios estratégicos.

ISBN 9789929614369 Reimpresión 2020 Impreso en IGER Talleres Gráficos

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibido la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización de Asec Ediciones. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Ediciones ASEC, de la Asociación de Servicios Educativos y Culturales, ofrece al sistema educativo guatemalteco su Programa Logos, una colección de textos escolares cuyas características proveen a los estudiantes de contenidos educativos de calidad, pertinentes, actualizados y que responden al Currículum Nacional Base promovido por el Ministerio de Educación. El nombre de nuestro programa editorial refiere al concepto logos (del griego λóγος) en su significado más amplio: inteligencia, pensamiento y sentido, desde una visión integral que permitirá a los estudiantes identificar, interpretar, argumentar y resolver problemas del contexto con propiedad y ética desde el saber ser, el saber hacer y el saber conocer. Programa Logos se adhiere al Currículum Nacional Base buscando el desarrollo de competencias. En este horizonte, nuestros textos procuran aprendizajes que desarrollan capacidades basadas en conocimientos, habilidades, destrezas, carácter y valores para ayudar a los estudiantes a enfrentar adecuadamente sus interacciones en los ámbitos personal y social, mediante procesos de reflexión crítica y de adaptaciones creativas a nuevas situaciones de la vida. Siguiendo estos lineamientos, nuestros contenidos educativos permiten a los jóvenes estudiantes aprendizajes para comprender el mundo en el que se desenvuelven, así como para usar su creatividad para transformarlo de manera positiva. Nuestros textos han sido diseñados para promover un aprendizaje significativo. Buscan que el estudiante construya conocimientos a partir de los que ya posee o al relacionar los nuevos con otros que domina previamente. Asimismo, han sido diseñados para que los estudiantes se sientan dispuestos favorablemente a llevar a cabo la construcción creativa y armónica de su desarrollo educativo. Con nuestros textos fomentamos la autodisciplina, la autorregulación de los aprendizajes y la metacognición. Apostamos por la evaluación formativa, que informa de los logros y advierte de las dificultades permitiendo la búsqueda de nuevas estrategias de aprendizaje. Para las materias evaluadas periódicamente por el Ministerio de Educación, incorporamos las pruebas liberadas correspondientes, de modo que los estudiantes puedan prepararse mejor. Ediciones ASEC respalda sus textos escolares en su equipo de autoría, mediación pedagógica y diseño, formado por profesionales especializados en cada materia y con larga y productiva experiencia en la elaboración de materiales educativos. Programa Logos es una apuesta nacional por la calidad de la educación. Nuestro fin es ofrecer textos accesibles, de la mejor calidad académica, que doten a estudiantes y profesores de una herramienta imprescindible para allanar el camino de la juventud guatemalteca en la maravillosa tarea de su superación. En Ediciones ASEC estamos convencidos de que la educación es la base del desarrollo.

Índice Índice ..............................................................................................................................................................................................

Presentación ............................................................................................................................................................................... VII

Unidad 1 Funciones..............................................................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido!: Las funciones a través de la historia ..................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Funciones y su clasificación..................................................................................................................................................... a. Función inyectiva................................................................................................................................................................... b. Función sobreyectiva............................................................................................................................................................ c. Función biyectiva................................................................................................................................................................... d. Función cuadrática................................................................................................................................................................ Gráfica de la función cuadrática ........................................................................................................................................... Pasos para trazar la gráfica de la función cuadrática..................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

3 4 4 4 5 6 8 8 9 11 13 14 15 16

Unidad 2 Sistemas de ecuaciones......................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido!: ¿Cómo se resuelve una ecuación? ......................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas ........................................................................................................... Método de igualación................................................................................................................................................................ Método de sustitución ............................................................................................................................................................. Método de reducción ............................................................................................................................................................... a. Números primos en la variable a eliminar................................................................................................................... b. Signos iguales en la variable a eliminar........................................................................................................................ Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones................................................................................................ Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

23 24 24 24 26 27 28 29 30 33 35 36 37 38

Índice – Matemática

Unidad 3 Factorización algebraica...................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido!: Descomposición en factores...................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Factorización de expresiones algebraicas ......................................................................................................................... a. Factorización por factor común....................................................................................................................................... b. Factorización por agrupación........................................................................................................................................... c. Factorización por diferencia de cuadrados................................................................................................................. d. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto .................................................................................................... e. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c .......................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

43 44 44 45 47 48 49 51 52 54 55 56 57

Unidad 4 Potenciación y radicación algebraicas ..........................................................................................

¡Prepárate para el recorrido!: Potenciación de números enteros........................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Potenciación de expresiones algebraicas .......................................................................................................................... a. Regla del producto de potencias de igual base ....................................................................................................... b. Regla del cociente de potencias de igual base ........................................................................................................ c. Regla de la potencia de una potencia........................................................................................................................... d. Regla del exponente cero.................................................................................................................................................. e. Regla de la potencia de una fracción algebraica ..................................................................................................... f. Regla del exponente negativo ........................................................................................................................................ Radicación de expresiones algebraicas .............................................................................................................................. a. Regla del producto de radicales ..................................................................................................................................... b. Regla del cociente de radicales ...................................................................................................................................... c. Regla de la raíz de una potencia .................................................................................................................................... El exponente del radicando y el índice de la raíz son iguales.................................................................................... El exponente del radicando es distinto del índice de la raíz....................................................................................... d. Raíz de una raíz...................................................................................................................................................................... Radicales semejantes ................................................................................................................................................................ Suma y resta de radicales semejantes................................................................................................................................. Multiplicación y división de radicales ................................................................................................................................. a. Multiplicación de radicales con índices iguales......................................................................................................... b. División de radicales con índices iguales..................................................................................................................... Taller de prácticas......................................................................................................................................................................

63 64 64 64 64 64 65 66 66 68 68 68 69 69 69 69 70 70 70 70 71 72

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba! .......................................................................................................................................................................

75 76 77 78

Unidad 5 Ecuaciones cuadráticas.......................................................................................................................................

¡Prepárate para el recorrido!: ¿Cuántos monos hay en la manada?.................................................................... 83 Taller de matemática .............................................................................................................................................................. 84 Ecuaciones cuadráticas.............................................................................................................................................................. 84 Clasificación de ecuaciones cuadráticas............................................................................................................................. 85 a. Ecuaciones cuadráticas completas................................................................................................................................. 85 b. Ecuaciones cuadráticas incompletas ............................................................................................................................ 85 Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas...................................................................................................... 86 a. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + bx = 0 ................................................................................................. 86 b. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + c = 0 .................................................................................................... 87 Resolución de ecuaciones cuadráticas completas.......................................................................................................... 88 a. Resolución por factorización............................................................................................................................................. 88 b. Resolución por la fórmula general.................................................................................................................................. 90 Resolución de problemas de ecuaciones cuadráticas................................................................................................... 92 Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... 94 Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... 97 Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... 98 Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. 99 ¡Ponte a prueba!......................................................................................................................................................................... 100

Unidad 6 Geometría I: Sólidos de revolución....................................................................................................

103

¡Prepárate para el recorrido!: Recuerda el perímetro y área de las figuras planas......................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Geometría del espacio y cuerpos sólidos........................................................................................................................... El cono.............................................................................................................................................................................................. Área del cono................................................................................................................................................................................ Área total del cono (At)............................................................................................................................................................. Volumen del cono........................................................................................................................................................................ El cilindro......................................................................................................................................................................................... Área total de un cilindro............................................................................................................................................................ Volumen del cilindro ................................................................................................................................................................. La esfera ......................................................................................................................................................................................... Área de la esfera .........................................................................................................................................................................

105 106 106 106 106 107 108 109 109 111 112 112

Índice – Matemática

III

Volumen de la esfera ................................................................................................................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

113 115 119 120 121 122

Unidad 7 Geometría II: Poliedros.............................................................................................................................

125

¡Prepárate para el recorrido!: Fuego, aire, agua, tierra… sólidos platónicos...................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Poliedros.......................................................................................................................................................................................... Clasificación.................................................................................................................................................................................... a. Poliedros regulares............................................................................................................................................................... El cubo.............................................................................................................................................................................................. Área del cubo ............................................................................................................................................................................... Volumen del cubo ...................................................................................................................................................................... Poliedros irregulares................................................................................................................................................................... El prisma.......................................................................................................................................................................................... Clasificación de los prismas..................................................................................................................................................... Área del prisma............................................................................................................................................................................. Volumen del prisma.................................................................................................................................................................... La pirámide ................................................................................................................................................................................... Clasificación de las pirámides regulares ............................................................................................................................ Área de una pirámide regular ................................................................................................................................................ Volumen de la pirámide ........................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

127 128 128 128 128 129 129 130 132 132 132 133 134 136 136 137 139 141 144 145 146 147

Unidad 8 Ley de senos y ley de cosenos......................................................................................................

151

¡Prepárate para el recorrido!: Trigonometría y razones trigonométricas............................................................ Taller de matemáticas............................................................................................................................................................. Triángulo oblicuángulo.............................................................................................................................................................. Resolución de un triángulo oblicuángulo.......................................................................................................................... Ley de senos.................................................................................................................................................................................. Problemas de aplicación...........................................................................................................................................................

153 154 154 154 155 158

Tercer grado – ciclo básico

Ley de cosenos.............................................................................................................................................................................. Problemas de aplicación........................................................................................................................................................... Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

162 164 166 169 170 171 172

Unidad 9 Medidas de dispersión y probabilidad.........................................................................

175

¡Prepárate para el recorrido!: La media aritmética..................................................................................................... Taller de matemática............................................................................................................................................................... Medidas de dispersión.............................................................................................................................................................. Rango o amplitud (R) ................................................................................................................................................................ Desviación de datos sin agrupar (d).....................................................................................................................................

177 178 178 178 180

Desviación media de datos sin agrupar (Dm)................................................................................................................... Desviación típica o estándar (σ)............................................................................................................................................. Desviación típica de datos sin agrupar............................................................................................................................... La probabilidad............................................................................................................................................................................. ¿Cómo medimos la probabilidad?: Fórmula de Laplace.............................................................................................. Taller de prácticas...................................................................................................................................................................... Desarrolla tu pensamiento lógico..................................................................................................................................... Aumenta tu velocidad de cálculo .................................................................................................................................... Revisa tu aprendizaje ............................................................................................................................................................. ¡Ponte a prueba!.........................................................................................................................................................................

182 184 184 186 186 188 190 192 193 194

Anexo Pruebas liberadas Mineduc ................................................................................................................................................. 197 Bibliografía................................................................................................................................................................................... 223

Índice – Matemática

Tercer grado – ciclo básico

Matemática – 3º básico ¡Bienvenida y bienvenido! Haremos un recorrido por el fascinante mundo de las matemática. Lo importante es la dedicación y el esfuerzo que pongas para aprender. Todos los días, casi sin fijarnos, utilizamos nuestros conocimientos matemáticos; hacemos cuentas, pagamos un pasaje, recibimos vuelto y medimos el tiempo. El curso de matemática del tercer grado del ciclo básico busca que tú desarrolles las competencias marcadas por el Currículo Nacional Base (CNB) y responden a esta competencia superior: Desarrolla su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlos a la realidad de su vida cotidiana.

¿Cómo es tu libro? Funciones ¿Qué sabes del

unidad

Este libro tiene nueve unidades. Cada unidad inicia con uncionesy unaunidad la portada que presenta el número de laFunidad ¿Qué sabe s del tem a? breve introducción que, bajo el título de ¿Qué sabes del tema?, te ayudará a despertar tus conocimientos previos sobre lo que trata esa unidad.

tema?

Todos los días utilizam función de os cantida la des y con función de otra. Por ejemplo: frecuencia La nota obt lo que sab están una almacén enida en en está en fun emos del tema. La cantida una prueba está ción de las en d de gan Las funcio ventas rea ancias de nes se util lizadas. un izan en mu chas situaci • El cál ones de la culo de inte vida diaria rés como: • La des composició n de nes químic as de prim sustancias radioa ctivas y otr er orden • El cre as reaccio cimiento de la pob lación • La tas a de dep reciación En esta uni de equipa dad aprend miento eremos dis tintas cla ses de fun ciones.

n una en frecuencia está idades y con ba está en utilizamos cant nida en una prue Todos los días plo: La nota obte idad de ganancias de un otra. Por ejem tema. La cant función de la del mos que sabe zadas. función de lo las ventas reali ia como: en función de almacén está es de la vida diar muchas situacion se utilizan en Las funciones és de inter y otras reaccio• El cálculo ivas oact radi ancias osición de sust n • La descomp de primer orde nes químicas lación nto de la pob • El crecimie iento ción de equipam recia dep de s. • La tasa s de funcione s distintas clase aprenderemo En esta unidad

¿Qué enco

ntrarás en

a unidad? ontrarás en est

¿Qué enc

ad?

¡Prepára te para el recorrido ! Las funcio nes a través

a el recorrido! ¡Prepárate par és de la historia

Le sigue este apartado. Es la ruta para saber qué encontrarás: lectura, contenidos y actividades. Siempre aparecen tres secciones. Las funciones

esta unid

Taller de

a trav

de la histor

matemáti

Funciones . Clasificac ión: • Funció n inyectiva • Funció n sobreyect iva • Funció n biyectiva • Funció n cuadrática

emática

Taller de mat

ificación: Funciones. Clas ctiva • Función inye eyectiva • Función sobr ctiva • Función biye rática • Función cuad

Taller de

prácticas

Ejercicios de repaso de la unidad Desarroll a tu pensam iento lóg • Resolu ico ción de sec uencias lóg Aumenta icas tu velocidad de cálcul • Opera o ciones com binadas

En la página siguiente aparece la tabla con las competencias del Currículo Nacional Base que trabajarás en cada unidad. cticas

Taller de prá

so de la unidad Ejercicios de repa lógico pensamiento Desarrolla tu lógicas de secuencias • Resolución lo cidad de cálcu Aumenta tu velo binadas com nes racio • Ope

¿Cómo saber si las has alcanzado? Para 1ello, el CNB propone indicadores de logro, que ves en la segunda columna. Estos indicadores o criterios son como un termómetro que mide tu desempeño en cada competencia.

¿Qué lo

mática

grarás en

Unidad 1 – Mate

Compete

Unidad 1

esta unid

ncia

2. Con struye mo delos ma máticos teen la rep resentaci y análisis ón de cuantitativ relaciones as.

Indicado r de log ro 2.1 Emite juicios en discusion ofreciend es o argum entos y justificand o sus pas os y resultados . 2.3 Usa modelos matemátic al repres os entar y res olver problema s.

3. Utiliza los diferen tes tipos de operacion es en el conjunto de aplicando números reales, sus propie y obteni dades endo res ultados correctos .

En la tercera columna aparecen las actividades que te ayudan a desarrollar cada competencia.

5. Aplica métodos de razonamiento, el lengua je y la simbologí a matem ática en interpreta la ción de situacione de su ent s orno.

– Matem

ática

ad?

3.1 Utiliza eficientem ente los diferentes tipos de operaciones en el conjun to de números rea sus propie les, aplicando dades y verificando que sus resultados correctos son . 5.1 Realiza operacion es de pensam iento lóg ico.

Actividade s Construye una líne a del tiempo con la histor ia de las funciones . Clasifica y repres enta fun nes inyect cioivas, sob rey biyectiva s y cuadrá ectivas, ticas. Grafica fun ciones cua dráticas. Practica el cálcul o menta con ope l raciones combinadas.

Completa secuencia s lógicas. Resuelve

problema

Presentación – Matemática 2

Tercer gra

do – cicl

o básico

VII

Prepárate para el recorrido Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua. De la misma manera, esta sección te propone entrar con suavidad en el tema de la unidad, mediante estas actividades: • • •

ido! para el recorr ¡Prepárate ación? ve una ecu

uel ¿Cómo se res incógnita x el valor de la fica obtener ecuación signi resolver una Recuerda que dad. Para ello: dera una igual nita y en incóg que haga verda con términos éticos). bro todos los (términos aritm el primer miem Reunimos en dades conocidas v bro las canti ta que: el segundo miem debemos tener en cuen do, restando. trasla bro el r miem hace Al al otro sumando, pasa ndo. está ino suma térm bro • Si un otro miem ndo, pasa al ino está resta con un solo un miembro, • Si un térm iplicando en de signo. ino está mult , sin cambiar • Si un térm al otro miembro dividiendo ino, un solo térm término, pasa miembro, con iendo en un signo. ino está divid cambiar de iplicando, sin • Si un térm ción. miembro mult bro de la ecua pasa al otro s en cada miem jante seme los términos Reducimos os su valor. v y encontram la incógnita Despejamos v = 35 4x + 5x – 10 + 10 4x + 5x = 35 ejemplo: Veamos un inos. 10 pasa posición de térm trans está la s ue Realizamo ndo porq v miembro suma al segundo 9x = 45 restando. s. 45 inos semejante x= 9 Reducimos térm 9 que v os su valor. bro x y encontram Despejamos x= 5 segundo miem v do pasa al . está multiplican cambiar de signo – 10 = 35 5x x + de dividiendo, sin 4x el valor sustituyendo 10 = 35 el resultado, 4(5) + 5(5) – Verificamos original. = 35 20 + 25 – 10 en la ecuación 45 – 10 = 35

Recordar conocimientos previos. Conocer datos curiosos relacionados con el tema. Presentar la vida de matemáticos destacados.

Taller de matemática El propósito de este taller es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Profundizarás y enriquecerás tus conocimientos de Álgebra, Geometría y Estadística.

Taller de ma

temática

Sistemas

de dos ecu

aciones con

35 = 35

Si en tu pece ra puedes plan hay 7 peces y quie res averigua tear la ecua r cuántos ción x + y Donde x son mach =7 será el núm os y cuán ero número de tas hembras machos com de hembras y y el , de forma número de o el de hem que todas machos o bras solo las posib : puede ser + 18ersa. Tanto 6xvicev 3 =ero ntes ecuaciones les soluciones son: 9x –núm siguie 3) un las entero y posit el Resuelve ivo, x 0 1 2 – 10 5x 2 = 4y – 3 4 1) 3x + 4 = 5 4)6 9y + 5 y 7 6 7 5 4 Aunque tene 3 2 1 + 11todas = 2y mos 0 + 2reto las 2) en5yconc ática cuántos mach soluciones posib les, en tear dos ecua Unidad 2 – Matem ciones, con os y cuántas hembras realidad no pode mos llega las cuales sin una segu Un sistema r a saber establecer nda cond de un sistema. ición para que verificarse dos ecuaciones planlineales es a la vez. un conjunto En general de dos ecua un sistema ciones, que lineal se repre tienen senta por:

dos incóg

nitas

¡A trabajar!

¿Cómo saber que estás alcanzando los logros que te llevan a desarrollar las competencias? Resolver los ejercicios te permitirá comprobar si comprendes los contenidos propuestos y por lo tanto si vas alcanzando los logros.

Donde a,

ax + by = m cx + dy = n b, c, d, m, n son cons

Un ejemplo

de sistema

x + y = 10

Método de

tantes reale s. podría ser:

Las dos ecua x – y = –6 ciones form cógnitas. an un siste Se llaman ma de dos así porque ecuaciones una depe Hay vario simultáne s métodos nde de la as con dos otra para para reso tres: méto inhallar la solu lver do de igua lación, méto sistemas de ecuacion ción. do de susti es. tución y méto En este curso estu diaremos do de redu cción. Este méto do igualar las consiste en despejar expresion la misma es varia procedim resultante ble en las iento es el s y formar dos ecuacion siguiente: una nuev es, para a ecuación con una incó después gnita. El • Escoger y despejar una variable • Igualar en las dos las expresion ecuaciones. es que resul • Resolver tan. la ecuación y hallar el • Sustituir valor de una el valor enco incógnita. ntrado en les y halla una r el valor de la otra incó de las dos ecuacion • Verificar es originagnita. el resultado , sustituye ecuaciones ndo los valor originales es en cualq . uiera de las

Ten presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario te permitirá ir ganando seguridad y agilidad.

Taller de prácticas

Tercer grado

igualació

– ciclo básic

Encontrarás una serie de ejercicios en los que practicarás contenidos básicos, con distintos niveles de dificultad. Además, hallarás dos secciones más: de prácticas

Taller

uno representa mina si cada sagital y deter clase. diagrama ifica de qué atención cada función espec Observa con de que sea y en el caso respuesta 1 1) a 2 b 3 c 4 d

Ejercicio 1

Desarrolla

• Aumenta tu velocidad de cálculo. Si logras realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta con agilidad, tu cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.

ca tu o no. Justifi una función

A. Completa cada 1

a b

3 Aumenta tu velocidad de cálculo

Criterio:

Para ganar agilidad mental y rapidez en el cálculo, debes

practicar constantemente. Comprueba tú mismo qué 1 atan rápido puedes resolver todo tipo de operaciones. Escribe el resultado lo más rápido que puedas. No utilices calculadora. Escribe 2 con lápiz. Así, si te equivocas, puedes borrar. b 3 c A. Resuelve operaciones combinadas de suma y multiplicación. Recuerda la jerarquía de operación. 4 d

a 2)

b 3) c d 4)

5) 6)

7x9+2=

9 x 3 +11 2

11) 3 + 1 x 9 = 12) 5 + 3 x 7 =

8 x 5 + 20 3 =

13) 4 + 5 x 8 =

1 x 7 + 94=

14) 8 + 2 x 1 =

6 x 6 + 10 =

15) 5 + 6 x 2 =

6) a

4 x 5 + 151=

16) 3 + 9 x 3 =

7)b

5 x 3 + 30 3=

17) 4 + 3 x 6 =

2 x 9 + 12 =4

18) 3 + 5 x 10 = d 1 – Matemática Unida

5 x 10 + 50 =

19) 2 + 4 x 8 =

10)

7 x 70 + 6 =

20) 6 + 2 x 5 =

B. Aplica la jerarquía de las operaciones al resolver los ejercicios. 1) 5 + 9 ÷ 3 =

9–1÷1=

2) 4 + 6 ÷ 3 =

6–4÷2=

3) 6 + 8 ÷ 4 =

10)

• Desarrolla tu pensamiento lógico. Te ayudará a entrenarte y aplicar los conocimientos a la resolución de problemas.

11)

2–5÷5=

12)

12 – 14 ÷ 7 =

6) 8 + 8 ÷ 4 =

13)

15 – 18 ÷ 9 =

7) 10 + 10 ÷ 2 =

14)

10 – 20 ÷ 10 =

C. Aplica la jerarquía de las operaciones al resolver los ejercicios.

Por último está la sección ¡Ponte a prueba! que te prepara poco a poco para las pruebas de matemática que realiza el Ministerio de Educación. 1) 5 + 2 x 5 =

5) 8 + 2 x 4 =

2) 4 + 9 x 3 =

6) 7 + 2 x 2 =

3) 1 + 3 x 2 =

7) 4 + 1 x 0 =

4) 5 + 2 x 3 =

8) 8 + 3 x 5 =

Cada número

be qué criter

consecutivo

io sigue. Tiene

es el siguiente

Criterio:

Criterio: B. La balan za

equilibrada En esta activ idad nes entre distin pretendemos que desa rrolles estra tos elemento tegias de obse s abstractos Imagina que . rvación y análi el rombo, el sis para estab balanza, el círculo y el lecer relaciopeso sería trébol tiene igual a dos tréboles, como n peso. Si acomodam os un romb se muestra o y tres círcu en la figura Fig. 1 los en una 1.

los estulectora a todos de comprensión Estas pruebas tienen el matemática y Laprueba figuras 2demuesel último año de diversificado. realiza cada año básico o tra otra cond ciclo de Educación de nuestro país. trébo año del les. educativa ición El Ministerio equilibrada. que te cursando el último a mejorar la calidad pesopara de dos círcu diantes que están r información que permit una pruebaElcorta los y tres romb de 2cada unidad obtene ado al finalFig. propósito de os es igual iva, hemos prepar al peso de educat tres con esta mejora Consecuentes vayas preparando. : ciones Instruc tas. para leer las pregun ala. s solo En Recórt . página estas prueba la figura 3, ior a la 1. Utiliza ¿cuáposter a la resntos romb tra en la hoja corresponde encuen se balan os za cuatro stas se qued las debe de respue e equilibrades. Solo una n colocar adem 2. La hoja de opcion a? ás de los círcu ado y las cuatro los del plato pregunta o enunci Fig. 3 en tu hoja de derecho para 3. Lee cada corresponde ta. que la círculo que le puesta correc D) y rellena el to. ta (A, B, C o s el círculo correc la opción correc ate de que rellena 4. Selecciona cuidado y asegúr o negro. respuestas. Ten solamente lapicer menor el utilizar s en deberá as hacerlo der esta prueba a hasta que consig Practic . 5. Para respon prueba la en resolver tiempo que tardas 6. Mide el . tiempo posible ro. ejemplo del recuad Guíate por el Unidad 1 – Matemátic a 13

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Tercer grado – ciclo básico

0. a la pregunta para responder

o unidos as, y polvo cósmic de gas, planet en el Universo. estrellas, nubes es de galaxias un conjunto de de cien millon Una galaxia es que existen más ente. Se cree ? gravitatoriam , la Vía Láctea nuestra galaxia las estrellas de formado por el es to de conjun 0. ¿Qué clase D. Infinito C. Vacío B. Finito a. A. Unitario correct sta de la respue s rellenar el círculo respuestas deberá En tu hoja de

Tercer grado – ciclo básico

s: Lee el texto Instruccione

VIII

s un ejemplo.

13 número prim

A continuación, aparece el cuadro que te ayudará a verificar si alcanzaste los logros propuestos.

3–8÷4=

4) 9 + 3 ÷ 3 = 5) 7 + 8 ÷ 2 =

ento lógico

a y luego escri

tu pensami

secuencia lógic

Tercer grado

– ciclo básico

De esta forma

debes rellenar

el círculo.

unidad

Funciones ¿Qué sabes del tema? Todos los días utilizamos cantidades y con frecuencia están una en función de la otra. Por ejemplo: La nota obtenida en una prueba está en función de lo que sabemos del tema. La cantidad de ganancias de un almacén está en función de las ventas realizadas. Las funciones se utilizan en muchas situaciones de la vida diaria como: •

El cálculo de interés

•

La descomposición de sustancias radioactivas y otras reacciones químicas de primer orden

•

El crecimiento de la población

•

La tasa de depreciación de equipamiento

En esta unidad aprenderemos distintas clases de funciones.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Las funciones a través de la historia

Taller de matemática

Funciones. Clasificación: • Función inyectiva • Función sobreyectiva • Función biyectiva • Función cuadrática

Taller de prácticas Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Resolución de secuencias lógicas Aumenta tu velocidad de cálculo • Operaciones combinadas

Unidad 1 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 2. Construye modelos matemáticos en la representación y análisis de relaciones cuantitativas.

Indicador de logro 2.1 Emite juicios en discusiones ofreciendo argumentos y justificando sus pasos y resultados. 2.3 Usa modelos matemáticos al representar y resolver problemas.

Actividades

Construir una línea de tiempo con la historia de las funciones.

Clasificar y representar funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas y cuadráticas.

Representar gráficamente funciones cuadráticas.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Practicar el cálculo mental en operaciones combinadas.

5. Aplica métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación de situaciones de su entorno.

5.1 Realiza operaciones de pensamiento lógico.

Completar secuencias lógicas.

Resolver problemas.

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Las funciones a través de la historia La mayor parte de los historiadores de matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323 – 1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en utilizar diagramas para representar magnitudes variables en un plano. En el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos que podían ser expresadas en términos matemáticos. Galileo Galilei (1564 – 1642) pareció entender el concepto de función con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la comprensión de una relación entre variables. Casi al mismo tiempo que Galileo, Renè Descartes (1596 – 1650) desarrolló las ideas que siglos atrás se habían usado para representar relaciones entre magnitudes en el plano. A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero fue en 1748 cuando el concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos, publicó su libro, Introducción al análisis infinito, en el que define "función". “Si algunas cantidades dependen de otras, de tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas”. Texto tomado y adaptado de: archive.geogebra.org

¡A trabajar! Construye una línea de tiempo con los datos que te dan en la lectura. 1323 – 1382 Nicole Oresme

Unidad 1 – Matemática

Taller de matemática Funciones y su clasificación Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos X y Y, en la cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final. Simbólicamente representamos una función como:

f:X→Y Se lee: "función f de X en Y". Para que una relación sea función todos los elementos del dominio deben tener una imagen y solo una. Recuerda que al conjunto de imágenes en el conjunto final se le llama "codominio". Para identificar de qué clase de función se trata, centraremos nuestra atención en el codominio.

Función inyectiva

Si consideramos la función: "A cada estudiante le corresponde su número de carné", afirmamos que los números de carné no se repiten porque hay un solo número para cada estudiante. Esta relación es una función inyectiva. Se define como: Una función es inyectiva cuando los elementos del codominio son imagen de un solo elemento del dominio. Veamos otro ejemplo: Dada la función f definida en los números naturales tal que y es igual al valor de x elevado al cuadrado.

f: N → N | y = f(x) = x2 En una tabla, damos una serie de valores a x en la columna izquierda, aplicamos la función y en la columna derecha escribimos los valores de y. Los valores de ambas columnas las trasladamos a un diagrama sagital.

f(x) = x2

f(x)

y = x2

Esta relación es inyectiva porque a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen en el codominio.

Tercer grado – ciclo básico

¿Qué pasaría si esa misma función estuviera definida en los números enteros (Z)?

f: Z → Z | y = f(x) = x2 Si la función f está definida en los números enteros, x puede tomar valores negativos. Fíjate en la tabla.

f(x) = x2

f(x)

y = x2

–2

–1

Esta función no es inyectiva porque los elementos –2, 2 del dominio tienen la misma imagen. Lo mismo sucede con la pareja –1 y 1.

Función sobreyectiva

Si pensamos en los seres vivos y en los reinos de la naturaleza podemos definir la función “Todo ser vivo pertenece a un reino". Como bien sabes, hay solo cinco reinos en la naturaleza y una cantidad muy grande de seres vivos. Por lo tanto, cada elemento del codominio será imagen de varios elementos del dominio. Una función como esta se llama sobreyectiva. Se define: Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio son imagen de por lo menos un elemento del dominio. Un buen ejemplo de función sobreyectiva es la función definida en Z que vimos en la parte superior de esta página. f: Z → Z | y = f(x) = x2 Otro ejemplo: Dados los conjuntos N (números naturales) y P (números pares positivos) y la función f tal que "a cada elemento x le corresponde un elemento y que es un número par positivo".

f: N → P | y = f(x) = 2x

Como las veces anteriores, damos una serie de valores a x que pertenecen al conjunto de los números naturales. f(x)

y = 2x

f(x) = 2x

Al aplicar la función obtenemos otros valores, todos pertenecientes al conjunto P (números pares naturales). Por lo tanto, la función es sobreyectiva. Además, todos los elementos de P son imagen de otros tantos elementos de N, puesto que este último tiene infinitos elementos y a todos ellos se les puede hallar su doble. Unidad 1 – Matemática

Sin embargo, esa misma función f(x) = 2x, definida en el conjunto de Ν a Ν no es sobreyectiva, porque ningún elemento de Ν tiene como imagen un número impar y al conjunto de los números naturales pertenecen todos los números: pares e impares.

f: N → N | y = f(x) = 2x Y

f(x)

Función biyectiva

Una función f del conjunto A en B es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y. Es decir, si todos los elementos del conjunto de salida o dominio tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada o codominio. Y, además, a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. Por ejemplo, si consideramos el conjunto A de las capitales de Centroamérica y el conjunto B de países de Centroamérica y establecemos entre ambos conjuntos la función "Ser capital de..." podemos afirmar que cada capital corresponde a un solo país centroamericano y que todo país centroamericano tiene solo una capital. Funciones como estas, que cumplen esa doble condición, son llamadas biyectivas. Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

f(x) = "es capital de" A

Guatemala

San Salvador

El Salvador

Tegucigalpa

Honduras

Managua

Nicaragua

San José

Costa Rica

Comprueba en el diagrama sagital cómo a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento en el segundo conjunto y viceversa. Todos y cada uno de los elementos del segundo conjunto son imagen de un único elemento del primero. Toma nota: Todas las funciones lineales que estudiaste en 2º Básico son funciones biyectivas.

Tercer grado – ciclo básico

Ejercicio 1 A. Escribe si las siguientes funciones son inyectivas o no son inyectivas. Justifica tu respuesta. 1) La función que asigna a cada persona la fecha de su cumpleaños. Función: 2) f : N → N | y = f (x) = x2 − 2

Función:

B. Establece si las siguientes funciones son sobreyectivas o no. Justifica tu respuesta. 1) La función entre el conjunto de ciudadanos de Guatemala y el estado civil de las personas. Función: 2) f : N → N | y = f (x) = mx + n Función: C. Establece si las siguientes funciones son biyectivas o no. 1) La función que asigna a cada dedo de las dos manos un número dígito. Función: 2) f : N → N | y = f (x) = 3x Función:

Unidad 1 – Matemática

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la variable x es 2. Se puede escribir como una ecuación de la forma:

f (x) = ax2 + bx + c Ejemplos de funciones cuadráticas son: Fíjate, a nunca es igual a cero.

y = f (x) = x2 + 3x + 7 y = f (x) = x2 – 5 y = f (x) = 3x2 + 2x – 4

En los dos primeros ejemplos a = 1. En el tercer ejemplo a = 3.

Gráfica de la función cuadrática El procedimiento para representar gráficamente una función cuadrática es el mismo que aprendiste para la función lineal, pero en una función cuadrática la figura geométrica que resulta es una parábola. Una parábola es una curva abierta simétrica respecto a una línea recta o eje. La parábola tiene las siguientes características: •

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

La parábola es cóncava si sus ramas se orientan hacia arriba.

La parábola es convexa si sus ramas se orientan hacia abajo.

La orientación está definida por el signo del término cuadrático (ax2). Si el valor de a es positivo la parábola es cóncava y si es negativo, la parábola es convexa.

ramas de la parábola

y = ax2 x

y = – ax2

•

Puntos de la parábola

Los puntos de la parábola están dados por los valores de x que se determinan. Para calcular algunos puntos escogemos un intervalo que representa a x.

El intervalo va, en general, de – 2 a 2 y se representa entre corchetes: [– 2, 2].

Veamos un ejemplo: Grafiquemos la función f (x) = x2 en el intervalo [–2, 2]. Aplicamos la función en el intervalo definido. A cada elemento de x le corresponde un valor de y que está dado por la función x2.

y = f (x) = x2 f (– 2) = (– 2)2 = 4 f (– 1) = (– 1)2 = 1 f (0) = (0)2 = 0 f (1) = (1)2 = 1 f (2) = (2)2 = 4

–2

–1

1 -2

-1

Los puntos encontrados serán los puntos de la parábola.

Tercer grado – ciclo básico

•

Eje de simetría o simetría

El eje de simetría de una parábola es la recta vertical que divide simétricamente la curva y la separa en dos partes semejantes.

•

Vértice

El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje.

Si el coeficiente de x2 es positivo, el vértice será el punto más bajo de la forma “U”.

Si el coeficiente de x es negativo, el vértice será el punto más alto en la gráfica, en la parte alta de la forma “∩”.

eje de simetría

vértice

Pasos para trazar la gráfica de la función cuadrática Para dibujar la gráfica de una función cuadrática seguimos estos pasos: •

Sustituimos los valores del intervalo en x. Como ya dijimos, normalmente el intervalo es [–2, 2].

•

Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha los valores de la función y.

•

Graficamos la función en el plano cartesiano con los pares ordenados resultantes (x, y) .

f (x) = 2x2 = y

Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Grafiquemos f (x) = 2x2 definida en el intervalo [–2, 2]

f (– 2) = 2(– 2)2 = 8

•

f (– 1) = 2(– 1)2 = 2

Sustituimos los valores del intervalo en x,aplicamos la función y calculamos el valor de y.

f (0) = 2(0)2 = 0 f (1) = 2(1)2 = 2 f (2) = 2(2)2 = 84

•

Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha los valores de y.

•

Graficamos la función en el plano cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes. Los puntos de x se marcan sobre el eje horizontal y los puntos de y sobre el eje vertical.

–2

–1

(-2,8)

(2,8)

8 6 4

(-1,2) -2

(1,2)

2 -1

Unidad 1 – Matemática

¡Otro ejemplo! Grafiquemos f

(x) = –3x2 definida en el intervalo [–2, 2] • Sustituimos los valores del intervalo en x. f (x) = –3x2 f (–2) = –3(– 2)2 = – 3 • 4 = –12 f (–1) = –3(– 1)2 = – 3 • 1 = –3 f (0) = –3(0)2 = – 3 • 0 = 0 f (1) = –3(1)2 = – 3 • 1 = – 3 f (2) = –3(2)2 = – 3 • 4 = –12 •

Trasladamos los valores obtenidos a una tabla. En la columna izquierda escribimos los elementos de x y en la derecha los valores de y.

•

Graficamos la función en un diagrama cartesiano con los pares ordenados (x, y) resultantes. y

–2

– 12

–1

–3

– 12

12 9 6 3 -2

-1

-3 -6 -9 -12

Ejercicio 2 Sigue los pasos de los ejemplos. Representa gráficamente en tu cuaderno las funciones definidas en el intervalo [ 2, –2 ]

1) f (x) = x2 – 4

5) f (x) = 2x2 + 1

2) f (x) = – x2 + 7

6) f (x) = x2 – 1

3) f (x) = – x2 – 2

7) f (x) = – 2x2

4) f (x) = x2 + 1

8) f (x) = 2x2 – 1

Tercer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 Observa con atención cada diagrama sagital y determina si cada uno representa una función o no. Justifica tu respuesta y en el caso de que sea función especifica de qué clase. 1)

b 2 c 3

2 b 3

b 2 c

b 2 c 3 d 4 5)

a 1 b 2 c 3

2 b 3 c 4

Unidad 1 – Matemática

Ejercicio 2 A. Determina si las siguientes funciones son inyectivas y represéntalas en un diagrama sagital, como se hizo en los ejemplos del contenido. 1) f : Z → Z | f (x) = 2x + 1

2) f : Q→ Q | f (x) = 2x + 1

B. Determina si las siguientes funciones son sobreyectivas y represéntalas en un diagrama sagital.

1) f : Z → Z | f (x) = x + 7

2) f : R → R | f (x) = 2x – 3

3) f : R→ R | f (x) = – x + 5

Ejercicio 3 Indica hacia dónde se da la abertura de la curva de las funciones cuadráticas siguientes y explica por qué. 1) f (x) = –9x2 2) f (x) = –x2 + 6x 3) f (x) = –3x2 + 2

Ejercicio 4 Representa gráficamente en tu cuaderno las siguientes funciones cuadráticas definidas en el intervalo [– 2, 2]. 1) f (x) = x2 + 3

5) f (x) = 4x2 + 1

2) f (x) = x2 – x

6) f (x) = – x2 + 2

3) f (x) = x2 + x + 1

7) f (x) = – 4x2 + 3

4) f (x) = x2 + 2

8) f (x) = – 3x2

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Completa cada secuencia lógica y luego escribe qué criterio sigue. Tienes un ejemplo. 0)

Criterio: Cada número consecutivo es el siguiente número primo.

Criterio:

B. La balanza equilibrada

En esta actividad pretendemos que desarrolles estrategias de observación y análisis para establecer relaciones entre distintos elementos abstractos.

Imagina que el rombo, el círculo y el trébol tienen peso. Si acomodamos un rombo y tres círculos en una balanza, el peso sería igual a dos tréboles, como se muestra en la figura 1. Fig. 1

La figura 2 muestra otra condición equilibrada. El peso de dos círculos y tres rombos es igual al peso de tres tréboles. Fig. 2

En la figura 3, ¿cuántos rombos se deben colocar además de los círculos del plato derecho para que la balanza quede equilibrada? Fig. 3

Unidad 1 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo Para ganar agilidad mental y rapidez en el cálculo, debes practicar constantemente. Comprueba tú mismo qué tan rápido puedes resolver todo tipo de operaciones. Escribe el resultado lo más rápido que puedas. No utilices calculadora. Escribe con lápiz. Así, si te equivocas, puedes borrar. A. Resuelve operaciones combinadas de suma y multiplicación. Recuerda la jerarquía de operación. 1) 7 x 9 + 2 =

11) 3 + 1 x 9 =

2) 9 x 3 + 1 =

12) 5 + 3 x 7 =

3) 8 x 5 + 20 =

13) 4 + 5 x 8 =

4) 1 x 7 + 9 =

14) 8 + 2 x 1 =

5) 6 x 6 + 10 =

15) 5 + 6 x 2 =

6) 4 x 5 + 15 =

16) 3 + 9 x 3 =

7) 5 x 3 + 30 =

17) 4 + 3 x 6 =

8) 2 x 9 + 12 =

18) 3 + 5 x 10 =

9) 5 x 10 + 50 =

19) 2 + 4 x 8 =

10) 7 x 70 + 6 =

20) 6 + 2 x 5 =

B. Aplica la jerarquía de las operaciones al resolver los ejercicios. 1) 5 + 9 ÷ 3 =

8) 9 – 1 ÷ 1 =

2) 4 + 6 ÷ 3 =

9) 6 – 4 ÷ 2 =

3) 6 + 8 ÷ 4 =

10) 3 – 8 ÷ 4 =

4) 9 + 3 ÷ 3 =

11) 2 – 5 ÷ 5 =

5) 7 + 8 ÷ 2 =

12) 12 – 14 ÷ 7 =

6) 8 + 8 ÷ 4 =

13) 15 – 18 ÷ 9 =

7) 10 + 10 ÷ 2 =

14) 10 – 20 ÷ 10 =

C. Aplica la jerarquía de las operaciones al resolver los ejercicios.

1) 5 + 2 x 5 =

5) 8 + 2 x 4 =

2) 4 + 9 x 3 =

6) 7 + 2 x 2 =

3) 1 + 3 x 2 =

7) 4 + 1 x 0 =

4) 5 + 2 x 3 =

8) 8 + 3 x 5 =

Tercer grado – ciclo básico

9) 8 + 8 x 2 =

14) (6 + 1) + (2 + 2) =

10) 15 – 2 x 5 =

15) (2 + 1) + (5 + 1) =

11) 10 – 3 x 1 =

16) (5 + 5) + (3 + 2) =

12) 18 – 4 x 0 =

17) (6 + 0) + (4 + 6) =

13) 34 – 9 x 3 =

18) (3 + 1) + (3 + 3) =

D. Calcula el valor de y si x = 3. 1) y = 4x + 1 y =

7) y = x + 52 y =

2) y = x + 10 y =

8) y = 4x + 3 y =

3) y = x + 8 y =

9) y = 2x + 8 y =

4) y = x + 12 y =

10) y = 3x + 6 y =

5) y = x + 18 y =

11) y = 6x + 4 y =

6 ) y = x + 37 y =

12) y = 5x + 2 y =

E. Calcula el valor de y si x = 4. 1) y = x + 9 y =

7) y = x y =

2) y = x + 15 y =

8) y = 4x y =

3) y = x + 11 y =

9) y = 6x y =

4) y = x + 26 y =

10) y = 8x y =

5) y = x + 30 y =

11) y = 7x y =

6) y = x + 45 y =

12) y = 9x y =

Revisa tu aprendizaje Después de estudiar...

Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Construyo una línea del tiempo con la historia de las funciones. Clasifico y represento funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas y cuadráticas. Practico cálculo mental con operaciones combinadas y ecuaciones sencillas. Resuelvo secuencias lógicas.

Unidad 1 – Matemática

¡Ponte a prueba! El Ministerio de Educación realiza cada año pruebas de matemática y de comprensión lectora a todos los estudiantes que están cursando el último año del ciclo básico o el último año de diversificado. Estas pruebas tienen el propósito de obtener información que permita mejorar la calidad educativa de nuestro país. Consecuentes con esta mejora educativa, hemos preparado al final de cada unidad una prueba corta para que te vayas preparando. Instrucciones: 1.

Utiliza estas páginas solo para leer las preguntas.

La hoja de respuestas se encuentra en la hoja posterior a la prueba. Recórtala.

Lee cada pregunta o enunciado y las cuatro opciones. Solo una de las cuatro corresponde a la respuesta correcta.

Selecciona la opción correcta (A, B, C o D) y rellena el círculo que le corresponde en tu hoja de respuestas. Ten cuidado y asegúrate de que rellenas el círculo correcto.

Para responder esta prueba deberás utilizar solamente lapicero negro.

Mide el tiempo que tardas en resolver la prueba. Practica hasta que consigas hacerlo en el menor tiempo posible.

Guíate por el ejemplo del recuadro.

Instrucciones: Lee el texto para responder a la pregunta 0. Una galaxia es un conjunto de estrellas, nubes de gas, planetas, y polvo cósmico unidos gravitatoriamente. Se cree que existen más de cien millones de galaxias en el Universo. 0. ¿Qué clase de conjunto es el formado por las estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea? A. Unitario

B. Finito

C. Vacío

D. Infinito

En tu hoja de respuestas deberás rellenar el círculo de la respuesta correcta.

0. A.

1. A.

2. A.

3. A.

Tercer grado – ciclo básico

De esta forma debes rellenar el círculo.

Lee con atención cada enunciado y en la hoja de respuestas rellena el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) La función que asigna a cada persona su tipo de sangre es...

A. Inyectiva

C. Sobreyectiva

B. Biyectiva

D. Ninguna de las anteriores.

2) La función que asigna a cada número natural un número ordinal es...

A. Inyectiva

C. Sobreyectiva

B. Biyectiva

D. Todas son correctas.

3) La función que asigna a cada número natural su doble más uno es...

A. Inyectiva

C. Sobreyectiva

B. Biyectiva

D. Todas son correctas.

4) Si ƒ(x) = 3x + 5, el valor de ƒ(6) es... A. 21 C. 23 B. 24 D. 30 5) Si ƒ(x) = 7x + 2, el valor de ƒ(0) es... A. 9 C. 7 B. 2 D. 0 6) Si ƒ(x) = 9x + 3, el valor de ƒ(1) es... A. 13 C. 12 B. 11 D. 10 7) Si ƒ(x) = 6x + 4, el valor de ƒ(7) es... A. 44 C. 46 B. 48 D. 50 8) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = 3x + 1

C. ƒ(x) = 2x + 1

y = ƒ(x)

B. ƒ(x) = 2x + 2

D. Ninguna de las anteriores.

9) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = 6x + 3

C. ƒ(x) = 5x + 1

y = ƒ(x)

B. ƒ(x) = 7x + 3

D. Ninguna de las anteriores.

Unidad 1 – Matemática

10) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = 4x + 4 C. ƒ(x) = 4x – 4

y = ƒ(x)

B. ƒ(x) = 5x + 4 D. ƒ(x) = 5x – 4

y = ƒ(x)

11) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = 6x + 5 C. ƒ(x) = 6x – 5

B. ƒ(x) = 5x + 5 D. ƒ(x) = 5x – 5

12) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = 4x + 5 C. ƒ(x) = 3x + 5

y = ƒ(x)

B. ƒ(x) = 5x + 3 D. ƒ(x) = 5x + 4

13) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = x + 9 C. ƒ(x) = 4x + 9

y = ƒ(x)

B. ƒ(x) = 9x + 1 D. ƒ(x) = 12x + 2

14) La función que hace verdadera la tabla de la derecha es... A. ƒ(x) = 8x + 6 C. ƒ(x) = 10x + 8

y = ƒ(x)

B. ƒ(x) = 3x + 10 D. ƒ(x) = 8x + 10

15) ¿Cuál de los siguientes diagramas digitales representa una función? A.

A 2

2

3

1

4

5

2

1

0

3

2

Tercer grado – ciclo básico

1 0 3

2 4

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

13. A.

14. A.

15. A.

Unidad 1 – Matemática

unidad

Sistemas de ecuaciones ¿Qué sabes del tema? Los babilonios ya resolvían sistemas de ecuaciones lineales y llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1 anchura + longitud = 7 manos 4 longitud + anchura = 10 manos

En nuestra notación plantearíamos el sistema de la siguiente forma: Anchura: x Longitud: y

1 x+y=7 4 x + y = 10

Esta semana, tú vas a aprender a resolver problemas semejantes a este. (Tomado y adaptado de http://thales.cica.es/)

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

¿Cómo se resuelve una ecuación?

Taller de matemática

• Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas • Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

Taller de prácticas Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas que se resuelven con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Aumenta tu velocidad de cálculo • Cálculo mental con ecuaciones de primer grado

Unidad 2 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

Actividades

1. Utiliza las relaciones y propiedades entre diferentes patrones algebraicos en la representación de información y la resolución de problemas.

1.1 Resuelve ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones.

Resolver sistemas de ecuaciones por los tres métodos: igualación, sustitución y reducción.

2. Utiliza modelos matemáticos en la representación de resultados.

2.1 Utiliza igualdades con variables para representar cantidades.

Transcribir enunciados del lenguaje común al lenguaje simbólico para plantear problemas.

3. Traduce información que obtiene de su entorno y la traduce a lenguaje lógico simbólico.

3.1 Selecciona la estrategia más apropiada a la resolución de problemas.

Resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones para su resolución.

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! ¿Cómo se resuelve una ecuación? Recuerda que resolver una ecuación significa obtener el valor de la incógnita x que haga verdadera una igualdad. Para ello: v

Reunimos en el primer miembro todos los términos con incógnita y en el segundo miembro las cantidades conocidas (términos aritméticos). Al hacer el traslado, debemos tener en cuenta que: •

Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando.

•

Si un término está restando, pasa al otro miembro sumando.

•

Si un término está multiplicando en un miembro, con un solo término, pasa al otro miembro dividiendo, sin cambiar de signo.

•

Si un término está dividiendo en un miembro, con un solo término, pasa al otro miembro multiplicando, sin cambiar de signo.

Reducimos los términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

Despejamos la incógnita y encontramos su valor.

Veamos un ejemplo:

4x + 5x – 10 = 35

Realizamos la transposición de términos. 10 pasa al segundo miembro sumando porque está restando.

4x + 5x = 35 + 10

Reducimos términos semejantes.

Despejamos x y encontramos su valor. 9 que está multiplicando pasa al segundo miembro dividiendo, sin cambiar de signo.

x =

Verificamos el resultado, sustituyendo el valor de x en la ecuación original.

9x = 45 45 9 x = 5

4x + 5x – 10 = 35 4(5) + 5(5) – 10 = 35 20 + 25 – 10 = 35

45 – 10 = 35

35 = 35

¡A trabajar! Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) 3x + 4 = 5x – 2

3) 9x – 3 = 6x + 18

2) 5y + 2 = 2y + 11

4) 9y + 5 = 4y – 10

Unidad 2 – Matemática

Taller de matemática Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Si en tu pecera hay 7 peces y quieres averiguar cuántos son machos y cuántas hembras, puedes plantear la ecuación x + y = 7 Donde x será el número de hembras y y el número de machos o viceversa. Tanto el número de machos como el de hembras solo puede ser un número entero y positivo, de forma que todas las posibles soluciones son:

x y

Aunque tenemos todas las soluciones posibles, en realidad no podemos llegar a saber en concreto cuántos machos y cuántas hembras sin una segunda condición para plantear dos ecuaciones, con las cuales establecer un sistema. Un sistema de dos ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones, que tienen que verificarse a la vez. En general un sistema lineal se representa por:

ax + by = m cx + dy = n Donde a, b, c, d, m, n son constantes reales. Un ejemplo de sistema podría ser:

x + y = 10 x – y = –6 Las dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Se llaman así porque una depende de la otra para hallar la solución. Hay varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. En este curso estudiaremos tres: método de igualación, método de sustitución y método de reducción.

Método de igualación Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones, para después igualar las expresiones resultantes y formar una nueva ecuación con una incógnita. El procedimiento es el siguiente:

Tercer grado – ciclo básico

•

Escoger y despejar una variable en las dos ecuaciones.

•

Igualar las expresiones que resultan.

•

Resolver la ecuación y hallar el valor de una incógnita.

•

Sustituir el valor encontrado en una de las dos ecuaciones originales y hallar el valor de la otra incógnita.

•

Verificar el resultado, sustituyendo los valores en cualquiera de las ecuaciones originales.

Resolveremos con un ejemplo un sistema de ecuaciones por el método de igualación.

x + 4y = 19 x + 2y = 11 •

•

Escogemos una variable para despejar en las dos ecuaciones. En este caso despejamos x.

x = 19 – 4y

Igualamos los dos valores de x obtenidos.

x = 11 – 2y 19 – 4y = 11 – 2y

x = •

Resolvemos la ecuación resultante como hemos aprendido.

19 – 4y = 11 – 2y

Realizamos la transposición de términos.

– 4y + 2y = 11 – 19

Reducimos términos semejantes.

– 2y = – 8

Despejamos la variable y.

y =

Encontramos su valor.

y = 4

–8 –2

Ya tenemos el valor de la incógnita y. Falta averiguar el valor de x. •

•

x + 4(4) = 19

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar el valor de x.

x + 16 = 19

Despejamos x

x = 19 – 16

Hallamos su valor.

x = 3

Verificamos el resultado, sustituyendo los valores obtenidos en cualquiera de las dos ecuaciones.

x + 2y = 11

3 + 2(4) = 11

La igualdad se cumple. La solución del sistema es:

3 + 8 = 11

11 = 11

x = 3

y = 4

Ejercicio 1 Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método de igualación. 1) x + y = 2

3) 5x – y = 3

5) 5x – 3y = 14

7) 3x + 2y = 33

x + 3y = – 4

2x + 3y = 8

7x + 6y = 40

2) 3x + 5y = 7

4) 3x + 5y = 31

6) x + 5y = 13

2x – y = – 4

4x – y = 26

x–y=7

7x + y = 44

8) 3x + 2y = 7 4x – 3y = –2

Unidad 2 – Matemática

Método de sustitución El método de sustitución consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación. Los pasos a realizar son: •

Despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.

•

Sustituir el valor de la incógnita que despejaste en la segunda ecuación.

•

Resolver la ecuación resultante.

•

Sustituir el valor de la segunda incógnita en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.

•

Verificar el resultado, sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales.

Resolvamos el sistema de ecuaciones.

x – y = – 6 x + y = 10

•

Despejamos x en la primera ecuación.

x = – 6 + y

•

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación y lo escribimos dentro de un paréntesis.

(– 6 + y) + y = 10

•

Eliminamos el paréntesis, despejamos la variable y y encontramos su valor.

– 6 + 2y = 10 2y = 10 + 6

2y = 16 y = 16 2 y = 8 •

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x.

x – 8 = – 6 x = – 6 + 8

•

Verificamos el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones.

La igualdad se cumple. La solución es:

x = 2

x + y = 10

2 + 8 = 10

10 = 10

x = 2

y = 8

Ejercicio 2 Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método de sustitución. 1) x + y = 6 x–y=2 2) 2x + 3y = 12

3x + 2y = 13

Tercer grado – ciclo básico

3) 2x + y = 7

x + 3y = 11

4) 3x + y = 11 4x + 2y = –2

5) x + y = 11 x – y = –3

7) 3x + 7y = 8

6) x + 3y = 9

8) 2x + y = 11

2x – y = 4

7x + 8y = 2 3x – y = 9

Método de reducción Como su nombre indica, este método consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola, eliminando una variable a través de una suma algebraica. El procedimiento es el siguiente: •

Multiplicar una o las dos ecuaciones por un número, tal que en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales y de signo contrario.

•

Sumar miembro a miembro el sistema de ecuaciones para eliminar una variable.

•

Resolver la ecuación que resulta (ecuación con una incógnita).

•

Sustituir el valor de la incógnita hallada en una de las ecuaciones originales y despejar la otra incógnita.

•

Verificar el resultado.

Resolvamos el sistema de ecuaciones.

2x – y = 9 x – 3y = 1

•

Multiplicamos la primera ecuación por 3 para que los coeficientes de y sean iguales.

3(2x + y = 9)

x – 3y = 1

Sumamos miembro a miembro el sistema de ecuaciones. Así eliminamos la variable y. (+ 3y – 3y = 0)

6x +3y = 27

•

Resolvemos la ecuación resultante.

x = 28 7 x = 4

•

Sustituimos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de y.

2(4) + y = 9 8 + y = 9 y = 9 – 8 y = 1

•

Verificamos la respuesta en cualquiera de las ecuaciones.

4 – 3(1) = 1 4 – 3 = 1 1 = 1

La igualdad se cumple. La solución del sistema es:

•

x – 3y = 1

= 28

x = 4 y = 1

Ejercicio 3 Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método de reducción. 1) x +3y = –5 2x – y = –3

3) 3x + 3y = 6 5x – 3y = 10

5) x + y = 5

2) 10x – 3y = 36 2x + 5y = – 4

4) 2x + 3y = 8

6) x + y = 2

8) 3x – y = 9

5x – 3y = 10

2x + y = 6

x + 3y = 7

x– y=1

7) x – 3y = 0

5x – y = –14

Unidad 2 – Matemática

Al aplicar el método de reducción se pueden presentan dos casos:

a. Números primos en la variable a eliminar Cuando los coeficientes de la variable a eliminar son números primos o no son múltiplos el uno del otro, multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda y la segunda ecuación por el coeficiente de la primera. Ejemplo Resolvamos el sistema de ecuaciones: Eliminaremos, en primer lugar, la variable y. •

•

3x – 2y = 5 2x + 5y = – 3

Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 2, para igualar los coeficientes de y.

5(3x – 2y = 5)

2(2x + 5y = – 3)

Sumamos miembro a miembro el sistema de ecuaciones. Así eliminamos y.

15x – 10y = 25

(– 10y + 10y = 0)

•

Resolvemos la ecuación resultante.

•

Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de y.

4x + 10y = – 6 19x = 19 x = 19 19 x = 1

2(1) + 5y = – 3

2 + 5y = – 3

5y = – 3 – 2 5y = –5 Despejamos y y hallamos su valor.

y = – 5 5 y = – 1

•

Verificamos la respuesta en una de las ecuaciones originales.

La igualdad se cumple. La solución del sistema es:

2(1) + 5(– 1) = – 3

2 – 5 = – 3

– 3 = – 3

x = 1 y = – 1

Tercer grado – ciclo básico

b. Signos iguales en la variable a eliminar Cuando los coeficientes de la variable a eliminar tienen el mismo signo, multiplicamos cualquiera de las ecuaciones por un número negativo para obtener signos contrarios. Ejemplo Resolvamos el sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 18 3x +4y = 25

Eliminaremos, en primer lugar, la variable x. •

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por (–2), para obtener coeficientes iguales y de signo contrario.

3(2x + 3y = 18) – 2(3x + 4y = 25)

Sumamos miembro a miembro el sistema de ecuaciones y eliminamos x.

6x + 9y = 54

•

Resolvemos la ecuación resultante.

•

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales para hallar el valor de x.

2x + 3(4) = 18

•

– 6x – 8y = – 50 y = 4

2x + 12 = 18 2x = 18 – 12

Despejamos x y hallamos su valor.

2x = 6 x = 6 2 x = 3

•

Verificamos la respuesta en cualquiera de las ecuaciones originales.

La igualdad se cumple. La solución del sistema es:

3(3) + 4(4) = 25

9 + 16 = 25

25 = 25

x = 3 y = 4

Unidad 2 – Matemática

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones son un buen recurso para solucionar algunos problemas. Lo importante es saber plantear las ecuaciones que nos ayuden a resolverlos. Veamos unos ejemplos que están resueltos con los métodos estudiados.

Ejemplo 1: Problema resuelto por el método de igualación. a. Leemos el problema, identificamos las cantidades desconocidas y asignamos una variable. Lucía pagó Q25.00 por 1 libra de frijol y 4 libras de azúcar. Al día siguiente compró, a los mismos precios, 1 libra de frijol y 2 libras de azúcar y pagó Q15.00. ¿Cuál es el precio de una libra de frijol y una libra de azúcar? Precio de una libra de frijol: x

Precio de una libra de azúcar: y

4 libras de azúcar: 4y

2 libras de azúcar 2y

b. Expresamos el problema como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

x + 4y = 25 x + 2y = 15

c. Resolvemos el sistema por el método de igualación. •

Despejamos x en las dos ecuaciones.

•

Igualamos los valores de x obtenidos.

25 – 4y = 15 – 2y

•

Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de y.

– 4y + 2y = 15 – 25 – 2y = – 10 y = 5

•

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones

x + 4(5) = 25 x + 20 = 25 x = 25 – 20 x = 5

•

Verificamos el resultado.

5 + 4(5) = 25 5 + 20 = 25 25 = 25

Respuesta:

x = 25 – 4y x = 15 – 2y

La libra de frijol cuesta Q5.00 La libra de azúcar cuesta Q5.00

Ejercicio 4 Resuelve por el método de igualación los siguientes problemas. Trabaja en tu cuaderno. 1) Karen pagó 16 quetzales por media docena de lápices y 5 lapiceros. Más tarde regresó para comprar 3 lápices y 7 lapiceros y pagó 17 quetzales. ¿Cuánto pagó por cada lápiz y por cada lapicero? 2) En una librería vendieron 20 libros a dos precios distintos; unos a Q30.00 y otros a Q40.00. El total de la cuenta es Q660.00, ¿cuántos libros de cada precio vendieron?

Tercer grado – ciclo básico

Ejemplo 2: Problema resuelto por el método de sustitución. a. Leemos el problema e identificamos las cantidades conocidas y desconocidas. Un comerciante desea preparar 20 garrafas de un detergente para venderlo a Q75.00 el garrafón. Para ello, mezcla detergente de Q65.00 el garrafón con detergente de Q90.00 el garrafón. ¿Cuánto detergente de cada uno utiliza? Sea x = cantidad en garrafones de detergente de Q65.00. y = cantidad en garrafones de detergente de Q90.00. b. Planteamos el sistema de ecuaciones: Sabemos que x + y = 20

x garrafones de detergente de Q65.00 valen 65x

y garrafones de detergente de Q90.00 valen 90y

20 garrafones de detergente de Q75.00 valen 75 • 20 = Q1,500.00

Luego: 65x + 90y = 1500

El sistema a resolver es:

x + y = 20 65x + 90y = 1500

c. Resolvemos el sistema por el método de sustitución. •

Despejamos y en la primera ecuación.

y = 20 – x

•

Sustituimos y en la segunda ecuación.

65x + 90 (20 – x) = 1500

•

Resolvemos la ecuación.

65x + 1800 – 90x = 1500 1800 – 1500 = 90x – 65x

300 = 25x 300 = x 25 x = 12

12 + y = 20 y = 20 – 12 y = 8

•

Sustituimos el valor de x en la primera ecuación.

•

Verificamos el resultado.

12 + 8 = 20 20 = 20

Respuesta: El comerciante mezcla 12 galones de Q65.00 y 8 galones de Q90.00.

Ejercicio 5 Resuelve por el método de sustitución los siguientes problemas. Trabaja en tu cuaderno. 1) En una granja hay pollos y vacas, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos vacas y pollos hay? 2) En una empresa trabajan 60 personas. Usan lentes el 16 % de los hombres y el 20 % de las mujeres. Si el número total de personas que usan lentes es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? 3) La suma de dos números es 165 y su diferencia es 61. Hallar los números. Unidad 2 – Matemática

Ejemplo 3: Problema resuelto por el método de reducción. a. Leemos el problema e identificamos las cantidades conocidas y desconocidas.

En una granja hay pavos y ovejas. Si contamos en total 23 cabezas y 66 patas, ¿cuántos pavos y ovejas hay? pavos: x ovejas: y patas de los pavos: 2x

patas de las ovejas: 4y

b. Expresamos el problema con un sistema de ecuaciones.

x + y = 23

•

Las cabezas de los pavos y de las ovejas suman 23.

•

Las patas de los pavos y de las ovejas suman 66.

2x + 4y = 66

c. Resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar las cantidades. •

Multiplicamos la primera ecuación por (–2) para que los coeficientes de x sean iguales y de signo contrario.

–2(x + y = 23) 2x + 4y = 66

•

Sumamos miembro a miembro.

–2x – 2y = – 46 2x + 4y = 66 2y = 20

•

Resolvemos la ecuación resultante y hallamos el valor de y.

y =

20 2 y = 10

Como habíamos asignado la variable y a las ovejas, ya sabemos que hay 10 ovejas. Ahora averiguamos cuántos pavos hay. Para ello: •

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones.

•

Verificamos si la respuesta es correcta en las dos ecuaciones.

El número de cabezas suman 23.

13 + 10 = 23

El número de patas suman 66.

26 + 40 = 66

x + (10) = 23 x = 23 – 10 x = 13

Respuesta: En la granja hay 13 pavos y 10 ovejas.

Ejercicio 6 Resuelve por el método de reducción los siguientes problemas. Trabaja en tu cuaderno. 1) Para una función de circo se vendieron 300 boletos y se recaudaron Q10,000.00. Si el boleto de niño costaba Q30.00 y el de adulto Q50.00, ¿cuántos niños y adultos asistieron a la función?. 2) Felipe colocó maíz en bolsas de 2 y 5 libras cada una. Si preparó 18 bolsas que pesaban 60 libras en total, ¿cuántas bolsas de 2 libras de cuántas bolsas de 5 libras preparó?

Tercer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Considera el sistema de ecuaciones que tienes a continuación. Luego rellena el círculo de la opción que responde correctamente las preguntas de los ítems 1), 2) y 3).

–2x + 4y = 7 3x – 5y = 4

1) ¿Por qué números debemos multiplicar la primera y la segunda ecuación respectivamente para que los coeficientes de "x" sean iguales y de signo contrario?

2 y –3

2) ¿Cuál es el resultado de multiplicar por 5 la primera ecuación?

– 10x + 4y = 7

3 y –2 3y2

– 10x + 20y = 35 – 10x + 5y = –20 3) ¿Por qué números debemos multiplicar la primera y segunda ecuación respectivamente para que los coeficientes de "y" sean iguales y de signo contrario?

–5y–4 5y4 4y–5

B. Resuelve cada sistema de ecuaciones y rellena el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) El sistema 3x + y = 5 x – y = 3, tiene por solución:

x = 2 y=3

x = 2 5 y= 2 x = 2 y=–1 2) El sistema 2x + 3y = –2 x – 4y = –12 tiene por solución:

x = – 4 y=2

x = 2 y=4 x = – 4 y=–3 3) La suma de dos números es igual al triple del menor y la diferencia de ambos números disminuida en 10 es igual al mayor, ¿De qué números se trata?

2 y 4 – 20 y – 10 – 60 y – 30

Unidad 2 – Matemática

Ejercicio 2 A. Resuelve los sistemas de ecuaciones por igualación. 1) x – y = 2

x – 3y = – 4

2) 5x + y = 18

–2x + y = 10

3) 2x + y = 8

5x + y = 14

5) 2x + y = –1

5x + y = –22 6) x + 2y = 14

x – 3y = –2 7) x + 5y = 9

x – 3y = 1

4) x + y = 21

8) x + y = 6

x – 3y = –63

4x + y = 84

B. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución. 1) 2x + y = 3

5) x – 5y = 8

3x – 7y = 30

–7x + 8y = 25

2) x + 3y = 6

6) x + y = 11

5x – 2y = 13

x – y = –3

3) x + y = 4

7) x + 6y = 27

x–y=2

7x – 3y = 9

4) –5x + y = –7

8) x + y = 12

3x + 2y = 12

x – y = 8

C. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción. 1) 3x + 2y = 12

x+y=5

5) 4x + 5y = 2

– 4x –10y = –7

2) 4x – 2y = 10

6) x – 2y = 13

3x – y = 8

x + 6y = –3

3) x – y = 1

7) 2x + y = 11

x+y=7

3x – y = 9

4) x + y = 9

8) x + 3y = –1

5x – y = 3

2x – y = 5

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los problemas mediante sistemas de ecuaciones. Utiliza cualquier método o el que te indique tu profesor o profesora. 1) Un hotel tiene 16 habitaciones. Unas son simples (una cama) y otras son dobles (dos camas). Si en total hay 25 camas, ¿cuántas habitaciones simples y cuántas dobles hay? 2) El perímetro de un terreno rectangular mide 28 metros. Si el largo mide 4 metros más que el ancho, ¿cuáles son las medidas del terreno? 3) En una librería, cada lápiz cuesta Q2.00 y cada lapicero Q4.00. Si Rubén dispone de Q32.00 para comprar 12 objetos, ¿cuántos lápices y cuántos lapiceros puede comprar sin que le sobre ni le falte dinero? 4) Marisol compró 2 libras de uvas y 5 de manzanas por Q55.00. Raúl compró 3 libras de uvas y 2 libras de manzanas por Q55.00. ¿Cuál es el precio de la libra de uvas y de manzanas? 5) Un comerciante vende café de dos clases: A y B. Cuando toma 2 lb de la clase A y 3 lb de clase B, la mezcla cuesta Q110.00. Cuando toma 3 lb de clase A y 2 lb de clase B, la mezcla cuesta Q115.00. ¿Cuál es el precio de cada clase de café? 6) Sara y Rocío estudian lagartijas y arañas en la universidad. Si estudian 9 animales que tienen en total 56 patas, ¿cuántas arañas y cuántas lagartijas tienen? 7) Mi mamá compró dos tipos de aluminio para arreglar el canal de agua de la casa. En total compró 40 metros. El primer tipo de aluminio cuesta 12 quetzales el metro y el segundo, 18 quetzales el metro. Si ha pagado lo mismo por cada tipo de aluminio, ¿cuántos metros ha comprado de cada uno? 8) En una cafetería se sirven dos menús a dos precios diferentes: en uno los desayunos cuestan 9 quetzales y en el otro cuestan 15 quetzales. Si al finalizar el horario de comidas, se han servido 36 desayunos y en caja hay 414 quetzales, ¿cuántos menús de cada tipo se han servido? 9) La suma de dos números es 14. La diferencia entre el triple del número más pequeño y el número mayor es 6. Encontrar los números. 10) Un joyero tiene dos barras de aleación de oro: una es de 12 quilates y la otra, de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro; el de 12 quilates corresponde a 12/24 de pureza; el de 18 a 18/24 de pureza y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates? 11) Francisco pagó 50 quetzales por 3 cajas de tornillos y 5 cajas de armellas. A los mismos precios, Camila compró 5 cajas de tornillos y 7 de armellas, en total pagó 74 quetzales. ¿Cuál es el precio de cada caja de tornillos y de armellas? 12) Carolina y Alfredo hacen helados para vender. La materia prima necesaria para hacer un helado grande cuesta Q5.00 y para un helado pequeño Q3.00. Si disponen de Q570.00 y quieren hacer 150 helados, ¿cuántos helados de cada tamaño podrán hacer? 13) Alberto compró 10 libras de manzanas y 4 libras de uvas por 98 quetzales. En la misma tienda, Lucía compró 2 libras de manzanas y 1 libra de uvas por 22 quetzales. ¿Cuánto pagaron por cada libra de manzanas y por cada libra de uvas? 14) Laura tiene ahorrado el triple de dinero que Aníbal y entre los dos han juntado Q400.00. ¿Cuánto dinero ha ahorrado cada uno? Unidad 2 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo Comprueba qué tan rápido puedes resolver ecuaciones sencillas, dando valor a una variable. A. Calcula el valor de x si y = 2. 1) x = y + 5

7) x = y + 9

2) x = y + 3

8) x = y + 12

3) x = y + 7

9) x = y + 14

4) x = y + 6

10) x = y + 20

5) x = y + 8

11) x = y + 22

6) x = y + 2

12) x = y + 26

B. Calcula el valor de y si x = 3. 1) y = 4x + 1

7) y = x + 52

2) y = x + 10

8) y = 4x + 3

3) y = x + 8

9) y = 2x + 8

4) y = x + 12

10) y = 3x + 6

5) y = x + 18

11) y = 6x + 4

6) y = x + 37

12) y = 5x + 2

C. Calcula el valor de y si x = 4.

1) y = x + 9

y = x

2) y = x + 15

y = 4x

3) y = x + 11

y = 6x

4) y = x + 26

10) y = 8x

5) y = x + 30

11) y = 7x

6) y = x + 45

12) y = 9x

Tercer grado – ciclo básico

Resuelve correctamente las ecuaciones en el menor tiempo posible. D. 1) x + 9 = 12

4) x + 3 = 25

7) y + 5 = 19

2) x + 6 = 14

5) x + 5 = 80

8) y + 6 = 22

3) x + 2 = 19

6) x + 9 = 20

9) x – 5 = 18

1) y – 5 = 7

4) x – 6 = 14

7) x – 20 = 15

2) x – 6 = 4

5) x – 3 = 18

8) x – 16 = 14

3) x – 5 = 12

6) x – 6 = 12

9) y – 10 = 20

1) 2x = 50

5) 6x = 24

9) 10y = 50

2) 4x = 32

6) 6y = 42

10) 10y = 10

3) 5x = 30

7) 5y = 20

11) 14x = 28

4) 3x = 15

8) 6y = 36

12) 12x = 36

G. 1)

x = 5 4

y =1 1

y =2 16

x = 10 6

y =4 4

y = 10 20

y = 6 2

y = 9 9

y =3 15

y = 3 8

y = 3 7

12)

y =4 10

Revisa tu aprendizaje Después de estudiar...

Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Defino qué es un sistema de ecuaciones con dos variables. Resuelvo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por los métodos de igualación, sustitución y reducción. Aplico sistemas de dos ecuaciones para la resolución de problemas. Resuelvo ecuaciones de primer grado como ejercicio de cálculo mental.

Unidad 2 – Matemática

¡Ponte a prueba! Toma en cuenta las instrucciones dadas en la Unidad 1 y utiliza la hoja de respuestas para responder. 1) El doble de la suma de dos números se expresa por… A. 2x + y

B. 2(x + y)

C. x + 2y

D. 2(x – y)

Para responder a los ítems 2 y 3 considera el sistema de ecuaciones: 5x + 6y = 20 4x – 3y = –23 2) El despeje correcto de “x” de la primera ecuación es… A. x =

20 – 5y –5

20 + 6y 5

20 – 6y 5

D. Ninguna es correcta

3) El despeje correcto de “y” en la primera ecuación es… A. y =

20 + 5x 6

–20 – 5x 6

20 – 6x 5

20 – 5x 6

Para responder a los ítems 4 y 5 considera el sistema de ecuaciones: 8x – 7y = – 4 –x + 2y = – 4 4) ¿Por qué número se debe multiplicar la segunda ecuación para que los coeficientes de “x” sean iguales y de signos contrarios? A. 8

B. – 8

C. 1

D. – 1

5) ¿Por cuáles números se deben multiplicar la primera y segunda ecuación del sistema para que los coeficientes de “y” sean iguales y con signo contrario? A. –2 y 7

B. 7 y –2

C. 2 y 7

D. 2 y – 7

6) La suma de dos números es 58. Si uno de los números es 12 unidades más que el otro número, ¿cuáles son los números? A. 34 y 21

B. 35 y 23

C. 40 y 28

D. 37 y 25

El perímetro de un terreno rectangular es 40 m y el largo es triple que el ancho. 7) ¿Cuál es el ancho del terreno? A. 12 m

B. 30 m

C. 10 m

D. 9 m

C. 25 m

D. 10 m

8) ¿Cuál es el largo del terreno? A. 44 m

B. 30 m

En una bolsa hay 16 monedas con valor de 220 centavos. Las monedas son de 5 centavos y de 25 centavos. 9) ¿Cuántas monedas hay de 25 centavos? A. 3

B. 4

C. 6

D. 7

C. 7

D. 6

10) ¿Cuántas monedas son de 5 centavos? A. 9

B. 8

Tercer grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 2 – Matemática

unidad

Factorización algebraica ¿Qué sabes del tema? ¿Sabías que las redes Wi–Fi se relacionan directamente con el álgebra y más concretamente con los polinomios? Los aparatos electrónicos fabricados y preparados para funcionar con Wi–Fi se pueden conectar a internet por medio de puntos que pueden encontrarse a 20 metros de distancia. Cada punto es una pequeña antena que esparce ondas electromagnéticas a través de las cuales "viaja" la señal de internet. Los últimos modelos de estas antenas están diseñados empleando polinomios llamados de Chevyshev, que les permite alcanzar una distancia mayor, mejorando el servicio. Fíjate cómo se relaciona el álgebra y todas sus operaciones con aspectos tan importantes para nosotros como el internet y la tecnología.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Descomposición en factores ¡Haz memoria!

Taller de matemática

Factorización de expresiones algebraicas • Factor común • Factorización por agrupación • Factorización por diferencia de cuadrados • Factorización de un trinomio cuadrado perfecto • Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c

Taller de prácticas Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas que relacionan geometría y álgebra • Juego lógico Aumenta tu velocidad de cálculo • Operaciones con monomios

Unidad 3 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

Indicador de logro

Actividades

1.1 Aplica la factorización de polinomios al simplificar fracciones algebraicas y dividir polinomios.

Factorizar números naturales y los expresa como producto de sus factores primos.

Escribir expresiones algebraicas como producto de su factorización.

Factorizar por: • factor común, • agrupación, • diferencia de cuadrados, • trinomio cuadrado perfecto • trinomios de la forma: x2 + bx + c.

2. Construye modelos matemáticos en la representación y análisis de relaciones cuantitativas.

2.2 Reconoce las ideas matemáticas abstractas que simboliza, grafica e interpreta.

Aplicar la factorización a la resolución de problemas que involucran figuras geométricas.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Practicar el cálculo mental con operaciones con monomios.

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Descomposición en factores ¡Haz memoria!

Seguro que recuerdas la diferencia entre un número primo y un número compuesto. Un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene exactamente dos factores, 1 y el mismo número. Por el contrario, un número compuesto es un número entero mayor que 1 que tiene más de dos factores. Si quisiéramos expresar el número 36 como producto de sus factores primos, ¿cómo lo haríamos? Podemos expresar el número 36 así:

36 18 9 3 1

36 = 22 • 32 22 y 32 son factores del número 36

2 2 3 3

36 es un número compuesto que también puede expresarse como producto de otros factores. Veamos: 36 = 1 • 36 36 = 2 • 18 36 = 3 • 12

36 = 4 • 9 36 = 6 • 6

Factorizar consiste en encontrar aquellos factores o términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión dada.

¡A trabajar! Factoriza los siguientes números y exprésalos como producto de sus factores primos. Luego haz lo mismo pero utilizando todos los factores compuestos posibles. 1) 64 =

2) 16 =

Unidad 3 – Matemática

Taller de matemática Factorización de expresiones algebraicas De la misma manera que descomponemos un número en factores, también podemos factorizar una expresión algebraica. Por ejemplo, si tenemos el producto 2 • 7 = 14, decimos que 2 y 7 son factores o divisores de 14. Asimismo, si tenemos la expresión algebraica a (a + b) = a2 + ab, decimos que a y (a + b) son factores o divisores de a2 + ab. Observa atentamente la relación entre multiplicar y factorizar. Multiplicar

Factorizar

(x) (36x) = 36x2

36x2 = (x) (36x)

(2x) (18x) = 36x2

36x2 = (2x) (18x)

(3x) (12x) = 36x2

36x2 = (3x) (12x)

(4x) (9x) = 36x2

36x2 = (4x) (9x)

Factorizar una expresión algebraica consiste en descomponer esa expresión en un producto de dos o más factores. Si los factores son números primos decimos que la factorización es completa. Hay varios maneras de factorizar. En esta unidad estudiaremos: •

Factorización por factor común

•

Factorización por agrupación de términos

•

Factorización por diferencia de cuadrados

•

Factorización del trinomio cuadrado perfecto

•

Factorización del trinomio de la forma x2 + bx + c

Ejercicio 1 Escribe cada producto como factorización. Multiplicar

Factorizar

(6a) (4a) = 24a2

24a2 = (

)(

)

(12a) (2a) = 24a2

24a2 = (

)(

)

(8a) (3a) = 24a2

24a2 == (

)(

)

(a) (24a) = 24a2

24a2 = (

)(

)

Tercer grado – ciclo básico

Factorización por factor común

Observa atentamente las expresiones algebraicas y fíjate si puedes descubrir un patrón:

2x + 2y = 2(x + y) 3x2 + 6x =3x(x + 2) En ambas hay un factor que divide exactamente a todos los términos de la expresión. Analicemos la factorización de la primera. El factor que divide a todos los términos es 2.

2x + 2y =

Dividimos los dos términos entre el factor común 2.

2x 2y + = (x + y) 2 2

Expresamos la respuesta. Fuera del paréntesis va el factor común (2) y dentro del paréntesis el resultado de la división (x + y).

2x + 2y = 2(x + y)

Del ejemplo anterior ya podemos deducir los pasos para factorizar un binomio, polinomio o, en general, cualquier expresión algebraica por factor común. Lee con atención: •

Calculamos el máximo común divisor (Mcd) de los coeficientes numéricos y buscamos la variable común, con el menor exponente, para obtener el factor común.

•

Dividimos cada término de la expresión dada entre el factor común encontrado.

•

Expresamos la respuesta. Fuera del paréntesis escribimos el factor común y del paréntesis el resultado de la división.

Sigue los pasos en la factorización de otros ejercicios. Factorizar por factor común el binomio:

5a – 10b

•

Calculamos el máximo común divisor (Mcd) de los coeficientes numéricos.

5 1

•

Buscamos la variable común con su menor exponente. En este caso no hay una variable común, así que el factor común es 5.

Mcd (5, 10) = 5

•

Dividimos cada término de la expresión entre el factor común encontrado.

5a 10b – = (a – 2b) 5 5

•

Expresamos la respuesta. Fuera del paréntesis escribimos el factor común y dentro el resultado de la división.

5a – 10b = 5 (a – 2b)

10 5 2

Unidad 3 – Matemática

¡Otro ejemplo!

25x2y2 – 5xy – 30xy2

Factorizar •

Calculamos el máximo común divisor (Mcd) de los coeficientes numéricos.

25 5 5 1

30 5 6

Mcd (25, 5, 30) = 5 • Buscamos las variables comunes con su menor exponente. El factor común es

x2, x

y2, y xy 5xy

•

Dividimos cada término de la expresión entre el factor común.

25x2y2 5xy 30xy2 – – = 5xy 5xy 5xy = 5xy – 1 – 6y

•

Ya podemos escribir los dos factores. Fuera del paréntesis ponemos el factor común y dentro del paréntesis el resultado de la división.

5xy (5xy – 1 – 6y)

•

Escribimos la expresión algebraica y su factorización completa.

25x2y2 – 5xy – 30xy2 = 5xy (5xy – 1 – 6y)

Ejercicio 2 Practica la factorización por factor común. 1) 3x + 6y =

2) 3xy – 6y =

3) 28x3 + 35x2 =

4) 24xy2 – 27x2y = 5) 2x3 – 4x2 + 8x = 6) 6x3 + 12x2 + 18x = 7) 2y3 – 6y2 +9y = 8) 25a2b3 – 5ab – 30a3b2 = 9) 10x6 – 15x5 + 20x4 + 30x2 = 10) 16p2 q3 – p2 q + 11p3q2 – 4p4 q2 =

Tercer grado – ciclo básico

Factorización por agrupación

La factorización por agrupación se emplea en expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la asociación de términos con factor común. Para hacerlo seguimos los siguientes pasos: •

Asociamos los términos de manera que cada grupo tenga un factor común y cada término pertenezca a un grupo.

•

En cada grupo, factorizamos por factor común.

•

Tomamos el factor común y los términos repetidos de ambas agrupaciones para escribir el resultado final.

Veamos un ejemplo

x + x2 + 2x + 2

Factoricemos:

(x + x2) + (2x + 2)

•

Agrupamos los términos que tengan factor común.

•

En cada grupo, factorizamos por factor común.

•

Tomamos el factor común de ambas agrupaciones y los términos repetidos para escribir el resultado final. (x + 1)

(x + x2) = x(1 + x) (2x + 2) = 2(x + 1)

x,2

El factor que se repite (x + 1) será una parte del resultado. El segundo binomio se forma por la unión de los factores comunes x y 2; (x + 2).

x + x2 + 2x + 2 = (x + 1)(x + 2) ¡Otro ejemplo! Factoricemos

ab + 3a + bc + 3c

•

Agrupamos los términos con factor común.

(ab + 3a) + (bc + 3c)

•

En cada grupo, factorizamos por factor común.

(ab + 3a) = a(b + 3) (bc + 3c) = c(b + 3)

•

Tomamos el factor común de ambas agrupaciones y los términos repetidos para escribir el resultado final.

(b + 3) a, c

El factor que se repite (b + 3) será una parte del resultado y el segundo factor se forma por la unión de los factores comunes a y c (a + c).

ab + 3a + bc + 3c = (b + 3) (a + c)

Ejercicio 3 Practica en tu cuaderno la factorización por agrupación de términos. 1) a2 + ab + ax + bx =

5) a4 + ab2 – a3b – b3 =

2) 20ac + 15bc + 4ad + 3bd =

6) abx + 3x – 10ab – 30 =

3) 18a + 12a – 15a – 10 =

7) 3ax – 3bx – ay + by =

4) 4x3 – 5x2 – 4x + 5 =

8) 2ax + 2x + ay + y =

Unidad 3 – Matemática

Factorización por diferencia de cuadrados

En general decimos que la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia de las raíces cuadradas.

a2 – b2 = (a + b) (a – b) Para factorizar por diferencia de cuadrados obtenemos las raíces cuadradas de los términos y hallamos los factores. Fíjate en el proceso de factorización. •

Tomamos la expresión a factorizar.

•

Obtenemos la raíz cuadrada de los dos términos del binomio, sin tomar en cuenta el signo.

•

Expresamos el binomio como el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas.

a2 – b 2 a2 = a ; b 2 = b a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Otro ejemplo •

Tomamos la expresión a factorizar.

•

Obtenemos la raíz cuadrada de los dos términos del binomio, sin tomar en cuenta el signo.

•

Expresamos el binomio como el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas.

4x2 – 25y2 4x2 = 2x ; 25y2 = 5y 4x2 – 25y2 = (2x + 5y) (2x – 5y)

Ten presente que el signo menos de la expresión permite identificar la diferencia de cuadrados y que para hallar las raíces no se toma en cuenta el signo menos.

Ejercicio 4 Practica la factorización de la diferencia de cuadrados.

1) x2 – 49 =

7) 25n2 – 9 =

2) 9x2 – 1 =

8) a2b2 – 100 =

3) y2 – 121 =

9) 4 – 36n2 =

4) e2 – 81 =

10) 1 – m2n4 =

5) 16x2 – 81 =

11) b2 – 64 =

6) 25x2 – y2 =

12) 36 – c2 =

Tercer grado – ciclo básico

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

¿Qué factores multiplicamos para obtener la expresión a2 + 2ab + b2? Recuerda que un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos unidos por los signos más o menos. Elevar al cuadrado el binomio a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo, es decir: (a + b)2 = (a + b)(a + b). Si calculamos el producto tenemos

a+b a+b a2 + ab + ab + b2 2 a + 2ab + b2

Por lo tanto, el trinomio cuadrado perfecto es el equivalente al cuadrado de la suma o de la diferencia de dos cantidades. Para que un trinomio sea cuadrado perfecto debe cumplir con estas características: •

Está formado por tres términos y el primer término y el tercero son positivos.

•

El primer término y el tercero tienen raíz cuadrada exacta.

•

El segundo término resulta de multiplicar por 2 la raíz cuadrada del primero por la del tercero.

•

Si el trinomio cumple con las tres características, podemos expresar el trinomio como el cuadrado de un binomio.

a2 + 2ab + b2

1 2 3 a2 = a

b2 = b

2 • a • b = 2ab

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Sigue el procedimiento con un ejemplo. Factoricemos el trinomio r2 + 4rs + 4s2 . Revisemos sus características: •

Comprobamos que está formado por tres términos.

r2 + 4rs + 4s2

1 2 3

•

Hallamos la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces cuadradas deben ser exactas.

•

El segundo término debe ser 2 veces la raíz cuadrada del primero por la del tercero.

2 • r • 2s = 4rs

•

Expresamos el trinomio como el cuadrado de un binomio.

r2 + 4rs + 4s2 = (r + 2s)2

r2 = r

4s2 = 2s

Unidad 3 – Matemática

¡Un ejemplo más! Factoricemos el trinomio x2 + 6x + 9. Revisemos sus características: •

Está formado por tres términos y el primer término y el tercero son positivos.

x2 + 6x + 9

1 2 3

•

Hallamos la raíz cuadrada de los términos primero y tercero. Las raíces deben ser exactas.

•

El segundo término es dos veces la raíz del primero por la del tercero.

2 • x • 3 = 6x

•

Expresamos el trinomio como el cuadrado de un binomio.

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 = x

9=3

¿Qué sucede si el segundo término es negativo? Recuerda que al elevar al cuadrado el binomio a – b se tiene:

(a – b)2 = (a – b) (a – b). Si multiplicamos tenemos:

a–b a–b a2 – ab – ab + b2 2 a – 2ab + b2

En general, podemos decir que

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Siguiendo los mismos pasos que aprendimos, factoricemos el trinomio:

9x2 – 12x + 4y2 •

Comprobamos si está formado por tres términos y si el primero y el tercero son positivos.

9x2 – 12xy + 4y2

•

Hallamos la raíz cuadrada del primer término y del tercero. Las raíces deben ser exactas.

1 2 3 9x2 = 3x 4y2 = 2y

•

El segundo término debe ser menos dos veces (–2) la raíz cuadrada del primero por la raíz del tercero.

•

Expresamos el trinomio como el cuadrado de la resta de un binomio.

–2 • 3x • 2y = –12xy

9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2

Ejercicio 5 Practica en tu cuaderno la factorización de trinomios cuadrados perfectos.

1) x2 – 8x + 16 =

5) a2 – 10a + 25 =

9) 4a2 + 20ab + 25b2 =

2) x2 + 6x + 9 =

6) 9a2 + 12ab + 4b2 =

10) 100x4 – 60x2y + 9y2 =

3) a2 + 8a + 16 =

7) 4x2 – 20xy + 25y2 =

11) n2 + 16n + 64 =

4) 25y2 – 10y + 1 =

8) 9a2 – 42ab + 49b2 =

12) x2 – 12x + 36 =

Tercer grado – ciclo básico

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c

Factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c •

Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios). Para ello obtenemos la raíz cuadrada del primer término. El resultado será el primer término de los dos factores en los que se dividirá el trinomio.

x2 = x (x + ) (x + )

•

Elegimos dos números (p, q) que al sumarse den como resultado el término b y al multiplicarse den como resultado el término c.

p+q=b p•q=c

•

El trinomio factorizado es el producto de dos binomios.

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)

x2 + bx + c x2 + bx + c

Hagamos un ejemplo Factorizar x2 + 3x + 2 •

x2 = x

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término. El resultado es el primer término de los dos factores en los que se dividirá el trinomio.

(x + ) (x + )

•

Elegimos dos números cuya suma sea 3 y su producto sea 2.

1+2=3 1 • 2 = 2

•

Formamos los dos bionomios.

(x + 2) (x + 1)

•

Expresamos la factorización final del trinomio cuadrado perfecto.

x2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)

x2 + 3x + 2 x2 + 3x + 2

Un ejemplo más Factorizar y2 + 2y – 15 •

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término. El resultado será el primer término de cada uno de los dos factores.

(y + ) (y – )

•

Elegimos dos números cuya suma sea 2 y su producto sea –15.

5 + (–3) = 2 5 • (–3) = –15

•

Formamos los dos bionomios.

(y + 5) (y – 3)

•

Expresamos la factorización final del trinomio cuadrado perfecto.

y2 + 2y – 15 = (y + 5) (y – 3)

y2 = y

Ejercicio 6 Practica en tu cuaderno la factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c. 1) x2 – 5x + 4 =

5) x2 – 7x – 8 =

9) x2 + 5x – 24 =

2) x2 – 5x – 6 =

6) x2 + 9x + 20 =

10) x2 – 11x + 28 =

3) x2 – 6x – 7 =

7) y2 + 10y + 21 =

11) a2 + 5a – 36 =

4) y2 – 3y + 2 =

8) x2 + 13x + 22 =

12) y2 + 20y + 84 = Unidad 3 – Matemática

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Rellena el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) Los factores de 12a2 – 18a son: 2) El factor común de 6x2 + 12x es: 3) El factor común es 4mn – 2n es: 4) Los factores de 4y + 28 son: 5) Los factores de 6a – 5b + 12ad – 10bd son: 6) La solución correcta al factorizar 4x2 – 20x + 25 es: 7) El resultado correcto de factorizar x2 + x – 6 es: 8) Los dos factores que resultan de factorizar x2 + 12x + 27 son:

9) La respuesta correcta al factorizar y2 – 20y + 100 es:

10) La respuesta correcta al factorizar x2 + 2x – 80 es:

11) De los siguientes, un trinomio cuadrado perfecto es:

Tercer grado – ciclo básico

6a (2a – 3) 6 (2a2 – 3a) 4a (3a – 12) 6 3x 6x 2 2n 2mn 2(2y + 14) 4(y + 7) 4(y – 7) (1 – 2d) (6a – 5b) (1 + 2d) (6a – 5b) (1 – 2d) (6a + 5b) (2x – 5)2 (2x + 5)2 (x – 5)2 (x + 2) (x – 3) (x – 2) (x + 4) (x – 2) (x + 3) (x + 9) (x + 3) (x – 9) (x – 3) (x + 9) (x – 3) (y – 10)2 (y – 20)2 (y + 10)2 (x – 10) (x – 8) (x + 10) (x – 8) (x – 10) (x + 8) x2 – 6x – 9 x2 + 6x – 9 x2 – 6x + 9

Ejercicio 2 A. Factoriza las siguientes expresiones por factor común. Intenta escribir la respuesta directamente. 1) a2 + ab =

7) 4x – 8y =

13) b4 – b3 =

2) x3 – 4x2 =

8) 10x – 15x2 =

14) 3a3 – a2 =

3) a3 + a2 + a =

9) ax + bx =

15) 15c3d2+60c2 d3 =

4) 24a – 12ab =

10) x2 + x =

16) 15y3 + 20y2 – 5y

5) 8a3 – 6a2 =

11) 8m2 – 12mn =

17) 4m2 – 20am =

6) b + b2 =

12) 6x – 12 =

18) 4a3bx – 8bx =

B. Factoriza por agrupación. Trabaja en tu cuaderno. 1) 20ac + 15bc + 4ad + 3bd =

4) 2ax + 2x + ay + y =

7) 3ax – 3bx – ay + by =

2) ay2 + ax2 – by2 – bx2 =

5) 18a3 + 12a2 – 15a – 10 =

8) 5ax – 5bx – 2ay + 2by =

3) abx + 3x – 10ab – 30 =

6) a4 + ab2 – a3b – b3 =

9) 12mn –4n2 + 6mp –2np =

C. Factoriza las diferencias de cuadrados. Intenta escribir la respuesta directamente. 1) x2 – 49 =

5) 9x2 – 1 =

9) y2 – 121 =

2) e2 – 81 =

6) 16x2 – 81 =

10) 25x2 – y2 =

3) n2 – 25 =

7) a2b2 – 100 =

11) 4 – 36x2 =

4) 1 – m2n2 =

8) 4b2 – 9 =

12) 36m2 – 4 =

D. Factoriza los trinomios cuadrados perfectos. Intenta escribir la respuesta directamente. 1) a2 + 8a + 16 =

6) x2 + 2x + 1 =

11) x2 + 6x + 9 =

2) y2 – 2y + 1=

7) y2 – 4y + 4 =

12) x2 + 20x + 100 =

3) x2 + 18x + 81 =

8) x2 + 8x + 16 =

13) y2 + 6yw + 9w2=

4) 16m2 + 40m + 25 =

9) 49s2 – 14s + 1 =

14) x2 + 6x + 9 =

5) 16x2 + 8x + 1 =

10) y2 + 10y + 25 =

15) 4y2 – 24y + 36 =

E. Factoriza los trinomios cuadrados de la forma x2 + bx + c. 1) x2 + 3x + 2 =

6) y2 + 2y – 15 =

11) x2 + 5x + 6 =

2) x2 + 8x + 12 =

7) x2 – 4x – 12 =

12) x2 – 7x – 8 =

3) x2 + 5x + 4 =

8) x2 – 11x + 30 =

13) x2 – 4x2 – 21 =

4) y2 + 7x + 12 =

9) x2 + 11x + 30 =

14) x2 – 2x – 3 =

5) x2 – x – 20 =

10) x2 + 15x + 54 =

15) x2 + 6x + 8 = Unidad 3 – Matemática

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Podemos asociar algunas expresiones algebraicas con el cálculo de áreas de figuras geométricas. Por ejemplo, si tenemos un rectángulo de lados a y b (piensa que a y b son dos números enteros), podemos calcular el perímetro y el área.

P = a + b + a + b = 2a + 2b

A=b•h A=a•b

Encuentra una expresión algebraica para el área de las figuras siguientes:

(12x – 2)

3.5x 1.5x

a=x–1

B. Resuelve el siguiente rompecocos. ¿Cuál es el orden de los pueblos? Aplica tus conocimientos de cómo interpretar una tabla de doble entrada para encontrar el orden en que se encuentran los pueblos del ejercicio siguiente. Cinco pueblos: A, B, C, D y E (no necesariamente en ese orden) se encuentran a lo largo de una carretera. La distancia, en kilómetros, entre ellos se muestra en la tabla siguiente. Pueblo

A B C D E

Escribe en cada cuadro el pueblo que continúa y verifica en la tabla de arriba que las distancias sean las correspondientes entre cada uno. Te damos el primero. Rellena el círculo de la opción que presenta el orden correcto de estos pueblos. A 1

A C D B E

CADBE

CDABE

C B D A E

EABCD

ABDCE

Tercer grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Realiza lo más rápido que puedas las siguientes sumas de monomios. 1) 7a + 3a =

6) 3b + 6b =

11) 4x + 3x + 2x =

2) 5x + 3x =

7) 2b + 5b =

12) 7x + 10x + x =

3) 6x + 2x =

8) 8ab + 3ab =

13) 7x + 3x + 9x =

4) 4x + x =

9) 10x + 3x =

14) 3x+ 3x + 12x =

5) 4z + 3z + 9z =

10) 5x + x + 8x =

15) ab + 3ab + 6ab =

B. Realiza lo más rápido que puedas las siguientes restas de monomios. 1) 9a2 − 3a2 =

6) −y2 − 5y2 =

11) − 8x −15x =

2) 5x3 − 3x3 =

7) 8ab − 3ab =

12) − 4ab − 6ab =

3) 4x2 − x2 =

8) 3a − 4b =

13) 12xz2 − 3xz2 =

4) 4zx − 3zx =

9) 8x5y − 4x5y =

14) 19a2b − 3a2b =

5) 3a4b − 12a4b =

10) 12x2 − x2 =

15) 15x3z − 13x3z =

C. Resuelve lo más rápido que puedas los siguientes productos de monomio por monomio. 1) (4a) (5a) =

9) (6a3) (3b) =

17) (7a3) (3a3) =

2) (2x) (3y) =

10) (12x) (2y) =

18) (8mn) (9mn) =

3) (10b) (4a2) =

11) (6b) (6a2) =

19) (–2x) (3y) =

4) (3x) (7x) =

12) (7y) (8x) =

20) (–6x) (10x) =

5) (9x) (9x2) =

13) (2a) (5b2) =

21) (–4x) (–y) =

6) (9x) (3x) =

14) (10x) (9x) =

22) (–2a) (10a) =

7) (5ab) (5ab2) =

15) (7ab) (5ab2) =

23) (–9b) (8b) =

8) (3ab3) (4ab2) =

16) (4ab3) (6a) =

24) (6x3) (7x3) = Unidad 3 – Matemática

D. Realiza lo más rápido que puedas las siguientes divisiones de monomios. 1) 27a2 ÷ 3a =

6) 5y2 ÷ 5y2 =

11) − 35x2y2 ÷ −7x =

2) 25x3 ÷ 5x =

7) 8a2b ÷ 2a =

12) − 20a5b3 ÷ 4ab =

3) 14x2 ÷ 7x =

8) 12bc2 ÷ 4c =

13) 12x6 z4 ÷ 3x2 z2 =

4) 4zx ÷ 2zx =

9) 28x5y3 ÷ 4xy =

14) −18a2b ÷ −3a =

5) 40b ÷ 8b =

10) −12x2 ÷ 6x =

15) 45x7z4 ÷ 15x3z2 =

Revisa tu aprendizaje

Después de estudiar...

Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Factorizo números naturales y los expresa como producto de sus factores primos. Escribo expresiones algebraicas como producto de su factorización. Factorizo por: factor común, agrupación, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2 + bx + c. Aplico la factorización a la resolución de problemas que involucran figuras geométricas. Practico el cálculo mental con operaciones con monomios.

Tercer grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! 1)

El factor común de 6x2 + 12x es…

A. 6x

El resultado de factorizar 4y + 28 es…

A. 2(2y + 14)

El resultado de factorizar 4x2 – 20x + 25 es…

A. (2x – 5)2

El resultado de factorizar x2 + 2x – 15 es…

A. (x+ 3) (x – 5)

El producto (x + 5)(x + 4) es el resultado de factorizar…

A. x2 + 9x +9

El factor común de 6m2n3z4 + 8mn4z3 es…

A. 2mn3z3

El resultado de factorizar 8x3 + 4x2 – 16x es…

A. 4x(2x2 + x − 4)

Los factores de 6a − 5b + 12ad −10bd son…

A. (1 − 2d) (6a − 5b)

Los factores de 4y – 28 son…

A. 2(2y – 14)

10)

Al factorizar y2 − 20y + 100 el resultado es…

A. (y − 10)2

11)

Al factorizar 4x2 − 20x + 25 el resultado es…

A. (2x − 5)2

12)

La expresión (x − 5)2 es el resultado de factorizar…

A. x2 + 10x + 25

B. 6x2

C. 3x

D. 6

B. 4(y + 7)

C. 4(y – 7)

D. 2(2y – 14)

C. (x – 5)2

D. (x + 5)2

D. (x – 3)(x + 5)

B. (2x + 5)2

B. (x + 15)(x – 1)

B. x2 + x + 9

B. 2m2n4z4

C. x2 – 4x+ 12

D. x2 + 9x + 20

C. 2mn4z3

D. 2m2nz3

B. (2x + 5)2

B. x2 − 10x + 25

C. x(8x2 + 4x − 16)

D. 4(2x3 + x2 − 4x)

C. (1 − 2d) (6a +5b)

C. 4(y – 7)

D. 2(2y − 28)

C. (y + 10)2

D. ( y + 20)2

C. (x − 5)2

D. (x − 5)2

D. x2 − 10x − 25

B. (1 + 2d) (6a − 5b)

B. (y − 20)2

C. (x + 5) (x – 3)

B. 2x(4x2 + 2x − 8)

B. 2(y – 7)

C. x2 + 10x − 25

D. (1 + 2d) (6a + 5b)

Unidad 3 – Matemática

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 3 – Matemática

Potenciación y radicación algebraicas

unidad

¿Qué sabes del tema? Si estás parado en el suelo sobre un terreno plano, seguramente muchos objetos te impedirán ver el horizonte. Pero si observas desde lo alto de un edificio o desde la cima de una montaña tu visión alcanzará una distancia mayor. Un estimado de qué tan alto podemos llegar a ver en un día claro viene dado por la fórmula v = 1.225 a . Donde v representa la visibilidad expresada en millas y a es la altitud, en pies. Toma esto en cuenta y resuelve este problema: Si una persona desde una avioneta puede ver 49 millas al horizonte. ¿Qué tan alto del suelo está? Pues bien, esta es una aplicación del tema de radicación, parte del contenido que estudiaremos en esta unidad.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Repaso de la potenciación de números enteros

Taller de matemática

• • • •

Potenciación de expresiones algebraicas Reglas de la potenciación Radicación de expresiones algebraicas Reglas de los radicales

Taller de prácticas Ejercicios de repaso y refuerzo de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Resolución de problemas Aumenta tu velocidad de cálculo • Potencias de números enteros

Unidad 4 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

Indicador de logro 1.1 Aplica la factorización de polinomios al simplificar fracciones algebraicas y dividir polinomios.

Actividades

Aplicar las reglas de potenciación en expresiones algebraicas.

Aplicar las reglas de la radicación en expresiones algebraicas.

Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Practicar el cálculo mental mediante la resolución de operaciones con potencias y ecuaciones de primer grado.

5. Aplica métodos de razonamiento, lenguaje y simbología matemática en la interpretación de situaciones su entorno

5.1 Realiza operaciones de pensamiento lógico.

Resolver problemas en los que integrará sus conocimientos anteriores con el tema de la unidad.

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Comencemos recordando la potenciación de números enteros y las reglas para multiplicar y dividir potencias. ¿Lo recuerdas? Repásalo, porque te ayudará a comprender el tema de esta unidad.

Potenciación de números enteros Una potencia se compone de una base y un exponente. • La base es el número que se multiplica por sí mismo.

exponente

base

53 = 5 x 5 x 5 • El exponente indica el número de veces que se multiplica la base. Por ejemplo: 53 = 5 • 5 • 5 = 125 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16 Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Por ejemplo: 42 • 43 = 42 + 3 = 45 5 • 53 = 51 + 3 = 54 Cociente de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Por ejemplo: 98 ÷ 95 = 98 – 5 = 93 74 ÷ 72 = 74 – 2 = 72

¡A trabajar! Aplica las reglas de la potenciación para expresar cada operación como una sola potencia. Tienes un ejemplo. 0) 32 • 35 =

4) 85 ÷ 82 =

1) 78 • 76 =

5) 125 ÷ 12 =

2) 34 • 39 =

3) 10 • 102 =

7) 107 ÷ 102 =

6) 154 ÷ 15 =

Unidad 4 – Matemática

Taller de matemática Potenciación de expresiones algebraicas En la sección Prepárate para el recorrido vimos que una potencia está formada por una base y un exponente. Este concepto se aplica tanto a números enteros como a expresiones algebraicas. Presta atención a la tabla. Potenciación de números enteros

Potenciación de expresiones algebraicas

52 = 5 • 5

x2 = x • x

24 = 2 • 2 • 2 • 2

y4 = y • y • y • y

a. Regla del producto de potencias de igual base Para multiplicar expresiones que tienen la misma base, copiamos la base y sumamos los exponentes.

xa • xb = xa+b Por ejemplo:

x2 • x3 = x2 + 3 = x5

k2 • k7 = k5 + 7 = k12

b. Regla del cociente de potencias de igual base Para dividir expresiones algebraicas de la misma base, copiamos la base y restamos los exponentes.

xa = xa–b xb Por ejemplo:

x12 12 – 5 = x7 x5 = x

xa ÷ xb = xa–b

ℎ7 ÷ ℎ6 = ℎ7 – 6 = ℎ1 = ℎ

c. Regla de la potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la base y multiplicamos los exponentes. (x a) b = x a • b Por ejemplo:

(h5)3 = h5 • 3 = h15

(a2)7 = a2 • 7 = a14

Veamos el ejemplo de una potencia que afecta a dos factores agrupados dentro de un paréntesis. Presta atención.

(2y4)3 = (2)3 (y4)3 = 8y4 • 3 = 8y12 Observa que la potencia 3 se aplica a los dos factores que están dentro del paréntesis: a 2 y a y4.

Tercer grado – ciclo básico

d. Regla del exponente cero Cualquier expresión, excepto cero, elevada al exponente 0 da como resultado la unidad (1).

x0 = 1 Por ejemplo:

a0 = 1

(2y)0 = 1

2x0 = 2(1) = 2

Ejercicio 1 A. Aplica la regla del producto. Tienes un ejemplo. 1) a4 • a5 =

4) h9 • h3 =

2) y8 • y6 =

5) x10 • x7 =

3) k5 • k6 =

6) b12 • b4 =

a 4 + 5 = a9

B. Aplica la regla del cociente. Tienes un ejemplo.

1) b 3 =

b 7 – 3 = b4

2) a 2 =

3) x 4 =

y9 y5 =

z10 z3 =

d8 d8 =

C. Aplica la regla de la potencia de una potencia. 1) (x 4)6 =

4) (x 3)3 =

2) (y2)5 =

5) (y 5)3 =

3) (x 2)3 =

6) (b 4)7 =

D. Aplica la regla de la potencia de una potencia a cada factor dentro del paréntesis. Tienes un ejemplo. 1) (3a 4)2 =

(3)2(a4)2 = 9a4 • 2 = 9a8

4) (5x3y3)3 =

2) (2x 2)3 =

5) (4a 4b5)2 =

3) (a3b2)5 =

6) (6y 5z3)2 =

Unidad 4 – Matemática

e. Regla de la potencia de una fracción algebraica Para elevar una fracción a una potencia se eleva cada uno de los términos del numerador y del denominador al exponente.

() a b

Veamos un ejemplo

an bn

( )

a2b5 2 = ab 2

( aabb ) 2

5 2

(a 2 b 5 ) 2 (ab 2) 2

•

Elevamos el numerador y el denominador a la potencia 2.

•

Aplicamos la regla de la potencia de una potencia para simplificar numerador y denominador.

a 4b10 a 2 • 2b 5 • 2 1•2 2•2 = a 2b 4 a b

• Aplicamos la regla del cociente: copiamos la base y restamos los exponentes.

= a4 – 2b10 – 4 = a2b6

( ) a2b5 ab 2

• Escribimos el resultado.

= a2 b 6

f. Regla del exponente negativo Una potencia de exponente negativo es igual al inverso de la base con el mismo exponente, pero positivo:

1 a –n = a n Cualquier potencia con exponente negativo se puede escribir como la unidad dividida por la potencia con el exponente positivo. Fíjate en los ejemplos. •

(2ab) –3 =

Para convertir el exponente –3 en exponente positivo, invertimos la base.

•

2ab–3 = 2ab–3 =2a • 13 = 2a3 Para convertir el exponente –3 en exponente positivo, b b

(2ab) –3 =

1 (2ab)3

invertimos la base.

En este segundo ejemplo, como el exponente negativo solo afecta a la variable b, solo invertimos la base b.

Exponente negativo en una fracción algebraica Una fracción elevada a un exponente negativo es igual al inverso de la fracción elevada al mismo exponente pero positivo.

( ab ) = ( ba ) –n

Cuando realizamos el inverso de una fracción, el numerador pasa a ser denominador y el denominador pasa a ser numerador.

Tercer grado – ciclo básico

Una vez que hemos convertido la fracción algebraica de signo negativo en fracción algebraica de signo positivo, aplicaremos las reglas que hemos aprendido para simplificar y llegar a un resultado. Apliquemos la regla del exponente negativo en una fracción negativa.

( bc a )

–3

( ) ( ) b 4a c5

–3

•

Invertimos las fracciones y escribimos el exponente positivo.

•

Elevamos numerador y denominador a la potencia 3.

•

Aplicamos la regla de la potencia de una potencia.

c5 • 3 = b 4 • 3a 3

•

Escribimos el resultado en orden alfabético.

c5 b 4a

(c 5)3 (b 4 a)3

c 15 a 3b 12

Ejercicio 2 A. Aplica la regla del exponente negativo para convertir los exponentes negativos en positivos. Toma en cuenta los paréntesis. Tienes un ejemplo.

1 5 5 x2 = x2

1) 5x = –2

4) 14m–5 =

2) a–8 =

5) (10v) –3 =

3) b–5 =

6) 25w–8 =

B. Aplica la regla de la potencia a las siguientes fracciones algebraicas. 1)

(

( )

( 2zz xx ) =

( 6x5xyy ) =

2t ( 3xy )

5a2 b 3a4 b2

)

2 3

4 2

2y2b6 3y4 b 2 3

)

2t 4 = 3xy 2 5

C. En tu cuaderno aplica la regla de exponente negativo a las siguientes fracciones algebraicas. 1)

( )

5a 3 4

–3

3a 3b 10c

= –2

( )

2a 2 3b 4a 6b 2

–3

–2

5x 2 3y 3

9 2n 2

–3

Unidad 4 – Matemática

Radicación de expresiones algebraicas Así como aprendimos las reglas de la potenciación, ahora conoceremos algunas reglas o propiedades que se aplican a los radicales.

a. Regla del producto de radicales La raíz de un producto es igual al producto de las raíces, con el mismo índice. n

a•b = a • b

Apliquemos la regla del producto a:

64 • 25a2 • 36b2

•

Separamos los factores y escribimos cada uno con su radical.

64 • 25a2 • 36b2

•

Obtenemos la raíz de cada factor y multiplicamos para hallar el resultado.

•

Escribimos el resultado.

8 • 5a • 6b = 240ab 240ab

b. Regla del cociente de radicales Cuando dentro del radical hay un cociente, podemos separar el dividendo y el divisor en un cociente de dos raíces con el mismo índice. n

a b

Apliquemos la regla del cociente en este ejemplo: •

Separamos el dividendo y el divisor, cada uno con su radical.

•

Obtenemos la raíz de cada término y simplificamos.

•

Escribimos el resultado.

Ejercicio 3 A. Aplica la regla del producto a las siguientes raíces. 1)

100 • 16y2 =

3) 16m2 • 36n2 =

81 • 4x2 =

4) 4e2 • 25f 2 =

B. Practica la regla del cociente.

64 = 9

81 = y2

Tercer grado – ciclo básico

9y2 = 25x2 16m2 = 4n2

100x2 25y2 100x2 25y2 10x = 2x y 5y 2x y

c. Regla de la raíz de una potencia En esta regla se pueden presentar dos casos.

El exponente del radicando y el índice de la raíz son iguales Cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz, estos se anulan y solo se copia el radicando. n

an =

an = a

Por ejemplo 3

(5x)3 =

(5x)3 = 5x

x4 =

x4 = x

El exponente del radicando es distinto del índice de la raíz Cuando el exponente del radicando es diferente al índice de la raíz, se divide el exponente entre el índice y obtenemos una potencia fraccionaria. n

am = am/n

Por ejemplo 6

410 = 410/5 = 42 = 16 x5 = x5/6

Raíz de una raíz

Cuando una raíz tiene como radicando otra raíz, se puede simplificar multiplicando los índices de las raíces y copiando el radicando de la raíz interna. m

m•n

Por ejemplo

Apliquemos la regla de la raíz de una raíz: •

Multiplicamos los índices y copiamos el radicando de la raíz interna.

•

Escribimos el resultado.

5•3

5x =

Ejercicio 4 A. Resuelve directamente los radicales. 1) 2)

(25w)4 =

2 2 4) 16x y =

27a3

4 4 5) 36x y =

49x4y2 =

6) 64x

B. Aplica la propiedad de la raíz de una raíz para resolver los ejercicios. 3

1) 2)

b =

45 =

5x =

18xy =

= Unidad 4 – Matemática

Radicales semejantes Decimos que dos o más radicales son semejantes cuando comparten el mismo índice e igual radicando, aunque fuera del radical tengan distinto signo o diferente coeficiente. Por ejemplo:

−3y 4x

5 4x

2 4x 5

En todos los ejemplos el índice de la raíz es 2 y el radicando es 4x, aunque tengan signos o coeficientes distintos.

Suma y resta de radicales semejantes Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes. Para sumar y restar radicales semejantes se operan los coeficientes externos y se copian índice y radicando.

a d + b d − c d = (a + b − c) n

16 x2b + 9 x2b − x2b =

Sumemos los radicales. •

Operamos los coeficientes: 16 + 9 − 1.

•

Copiamos el índice y el radicando.

(16 + 9 − 1) x2b = 24 x2b

Multiplicación y división de radicales a.

Multiplicación de radicales con índices iguales

Para multiplicar radicales con índices iguales, se multiplican los radicandos y, si es posible, se simplifica el resultado. La multiplicación de radicales con índices iguales se representa con la fórmula: n

a• b• d= a•b•c

Hagamos un ejemplo:

Multipliquemos los radicales siguientes.

•

Como ambos tienen el mismo índice, incluimos todos los radicandos dentro de la misma raíz y copiamos el índice.

•

Ordenamos y operamos primero los valores numéricos y después las variables. (4 = 22)

Fíjate, han quedado dentro de la raíz dos potencias con el mismo índice que la raíz. Separamos de nuevo las raíces.

Aplicamos la regla de la raíz de una potencia.

Escribimos el resultado final.

Tercer grado – ciclo básico

4x • 2x =

4x • 2 • x =

22 • 2 • x • x = 22 • 2 • x2

22 • 2 • 2

x2 =

22 • x2 • 2 =

2x 2

b. División de radicales con índices iguales Para dividir radicales con el mismo índice, dividimos los radicandos y, si es posible, simplificamos el resultado. La división de radicales con índices iguales se representa con la fórmula: n n

a a = b b

Por ejemplo: 2

Resolvamos la división.

2 2

10a2 2a 10a2 2a

•

Incluimos numerador y denominador en un solo radical y copiamos el índice.

•

Dividimos y ordenamos valores numéricos y variable.

5 • a2 − 1

•

Expresamos el resultado.

Ejercicio 5 A. Resuelve las siguientes sumas y restas. 1) 5 xy + 7 xy =

4) 9a 2b − 4a 2b =

2) 2a 3 + 3a 3 + 5a 3 =

5) 4 a3 + 7 a3 − 3 a3 =

2 2 3) 7x y 5 − 3x y 5 =

6) 4a 2 + 2a 2 – a 2 =

B. En tu cuaderno practica la multiplicación y división de radicales con índices iguales. 1)

6a2 • 3b2 =

72x3 = 2x

18 • 14x =

27y4 = 3y

2x2y • 4xy =

18 = 2

15mn2 • 5m2n =

3 10) 63y =

18x2y2 • 6xy4 =

5 11) 15x =

50ab • 10a2b4 =

12)

30a5 = 5a Unidad 4 – Matemática

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Aplica la regla del producto de potencias de igual base. 1) x8 • x =

6) y4 • y6 =

11)

412 • 415 =

2) a7 • a5 =

7) k10 • k =

12)

x4 • x16 =

3) 83 • 86 =

8) z • z =

13)

s15 • s12 =

4) y9 • y9 =

9) k2 • k2 =

14)

t6 • t6 =

5) b • b12 =

10)

15)

h10 • h3 =

b10 • b0 =

B. Aplica la regla del cociente para simplificar las potencias. 1)

x12 = x7

10 5) 7 3 =

37 = 35

x9 = x5

2 6) h =

10)

z5 = z4

7 3) b6 =

a7 = a3

11)

x5 = x5

y8 = y

m = m

12)

h10 = h3

C. Aplica la regla del exponente cero y/o la regla de la potencia de una potencia para simplificar. 1) (y5)6 =

5) (x10)0 =

9) (45)3 =

2) (x3)3 =

6) (y9)7 =

10)

(2x6)4 =

3) (h6)4 =

7) (xy3)5 =

11)

(5x2y2)0 =

4) (53)3 =

8) (y2 x3)2 =

12)

(x0)5 =

D. Aplica la regla del producto a cada factor para simplificar las potencias. 1) (ab2)(a3b) =

6) (2x2)(x) =

2) (xy4)(x) =

7) (a)(3ab) =

3) (a3b3)(a2) =

8) (6x2)(3xy2) =

4) (x5y2)(xy) =

9) (2xy)(2xy) =

5) (xy2)(x2y2) =

10)

Tercer grado – ciclo básico

(ab2c3)(abc2) =

E. Aplica la regla del cociente a cada literal para simplificar las potencias. 5 7 1) a b4 =

9 3 4) a b =

8 3 2) x y2 =

6 10 3) c d2 =

7 6 6) x5y3 =

ab y

a7b = a2 b xy

F. Realiza las operaciones necesarias para eliminar los exponentes negativos de las potencias. 1) 5y–3 =

6) 25 • 2–6 =

2a–3 = b3

7) –5x–6 =

1 = x–1

8) –4y–3 =

6x = 4x–2

9) x6 • x–2 =

3 = 5y–2

10)

8x–4 = 2x2

Ejercicio 2 A. Transforma los radicales en potencias. 1)

(6x)3 =

53 =

16 =

(y)4 =

(8a)4 =

10)

3) 4) 5)

(4a)3 = 4

(3x)3 =

(ab)4 = (10xy)3 = 7 5

B. Transforma las potencias en radicales.

1) (8xy)3/2 =

6) (65)3/4 =

2) 1001/3 =

7) (25pq)5/2 =

3) 251/4 =

4) (3w)3/2 =

9) (18mn)4/5 =

5) (5xy)2/5 =

10)

a b

2x 3y

3/2

6/7

= Unidad 4 – Matemática

C. Aplica las reglas de los radicales y simplifica tu respuesta donde sea posible. 0)

(5xy)4 =

(8cd) = 5)

25 • 9 =

6) 100 =

50 =

6h = 7)

(30k)2 =

(45g) = 8)

(45ab)6 =

9) =

2x 3y

D. Resuelve las sumas y las restas de radicales semejantes. Si es posible, simplifica los resultados. 1) 5 2a + 7 2a =

3b2 + 2 3b2 + 4 3b2 =

3 3 3 5) 3 5x − 2 5x − 2 5x =

6) 23 8abc − 8abc + 2 8abc =

2 2 3) 3x 5xy + 4x 5xy =

7) 14 6y3 − 12 6y3 − 2 6y3 =

4) 2b ab + 7b ab =

8) 3a 5 + 5a 5 − a 5 =

E. Multiplica. Si es posible, simplifica. 5)

15x • 3 12x =

5ab • 25a2 =

24ab • 2 3ab • 6ab =

7xy • 3xy =

2y • 6 • 8x =

1) 8x2 • 2x = 2)

4) 2a 3 • 3b 21 =

5a2 • 4 =

F. Divide. Si es posible, simplifica. 1)

64 = 64

a2 − b2 = a+b

121 = 81

ab3 = a2b2

250 = 16

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas de porcentajes. 1)

El precio de un carro nuevo es Q70,000.00. Alejandra lo compra con un descuento del 7%. ¿Cuánto paga por el carro?

La cuota que cada trabajador paga al IGSS es 4.83% de su sueldo mensual. Si Antonio tiene un sueldo de Q2,600.00, ¿cuánto tiene que pagar al IGSS?

Sara ahorró Q4,000.00. Destina el 43% para realizar arreglos en su casa y utiliza el 37% para pagar sus estudios. ¿Cuánto le queda de lo ahorrado?

Una encuesta estableció que de 250 000 estudiantes del último año de bachillerato: el 45% desea estudiar carreras relacionadas con la salud, el 32% administración de empresas, el 18% quiere estudiar derecho y el 5% quiere estudiar arte. Calcula el número exacto de estudiantes para cada carrera.

Mercedes y Ramiro son socios. Pagan Q1,500.00 de renta por un local comercial. Mercedes paga Q575.00 y Ramiro Q925.00. ¿Qué porcentaje de la renta paga cada uno?

El 75% de un amueblado de comedor es de Q4,500.00, ¿cuál es el valor total del amueblado?

De una muestra de 435 estudiantes, 220 son mujeres y 215 son hombres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres y de hombres según la muestra?

Estela compra un equipo de sonido que cuesta Q1,700.00. Si el vendedor le hace un descuento del 21%, ¿cuánto debe pagar en total?

Un equipo de basquetbol tuvo 29 derrotas durante 80 juegos, ¿cuál fue el porcentaje de victorias?

10) Andrea contestó 90 de 120 preguntas de la prueba del Ministerio de Educación. Si está segura de haber contestado correctamente 70% de las 90, ¿cuántas preguntas de las restantes deberá contestar acertadamente para tener el 70% del examen bien contestado? 11) Para aprobar un examen de 60 preguntas, los estudiantes deben contestar correctamente el 75% de las preguntas. ¿Cuál es el mínimo de preguntas que deberán contestar acertadamente para aprobar la prueba? 12) Un depósito de agua con capacidad para 800 litros está lleno en sus dos quintas partes. Si se agregan 80 litros más, ¿qué porcentaje del depósito está lleno? Unidad 4 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Resuelve correctamente y tan rápido como puedas cada potencia. 1) 32 =

6) 42 =

11) 23 =

2) 12 =

7) 62 =

12) 33 =

3) 52 =

8) 90 =

13) 102 =

4) 72 =

14) 122 =

5) 30 =

10) 22 =

15) 202 =

B. Completa cada producto con el factor que falta. 1) 6 x

= 36

6) 8 x

= 56

11)

x 5 = 25

2) 5 x

= 20

7) 6 x

= 30

12)

x 7 = 21

3) 2 x

= 14

8) 4 x

= 32

13)

x 3 = 18

4) 9 x

= 27

9) 9 x

= 18

14)

x 8 = 24

5) 7 x

= 35

10) 3 x

= 12

15)

x 6 = 30

C. Multiplica potencias de la misma base y expresa el resultado como otra potencia. 1) 34 • 36 =

6) 146 • 146 =

11) 1212 • 120 =

2) 112 • 117 =

7) 265 • 269=

12) 232 • 238 =

3) 152 • 159 =

8) 190 • 191 =

13) 102 • 101 =

4) 272 • 274 =

9) 281 • 281 =

14) 301 • 300 =

5) 30 • 310 =

10) 322 • 321 =

15) 200 • 202 =

D. Aplica la potencia de una potencia. Expresa el resultado también como potencia.

1) (52)4 =

6) (42)7 =

11) (183)3 =

2) (12)3 =

7) (62)6 =

12) (133)9 =

3) (72)0 =

8) (90)5 =

13) (152)10 =

4) (32)8 =

9) (81)1 =

14) (163)12 =

5) (60)4 =

10) (22)2 =

15) (100)15 =

Tercer grado – ciclo básico

E. Calcula el valor de la variable en cada ecuación. 1) x + 9 = 12

5) x + 5 = 80

2) x + 6 = 14

6) x + 9 = 20

3) x + 2 = 19

7) y + 5 = 19

4) x + 3 = 25

8) y + 6 = 22

F. Calcula el valor de la variable en cada ecuación. . 1) y – 5 = 7

5) x – 3 = 18

2) x – 6 = 4

6) x – 6 = 12

3) x – 5 = 12

7) x – 20 = 15

4) x – 6 = 14

8) x – 16 = 14

G. Calcula el valor de la variable en cada ecuación. 1) 2x = 50

7) 5y = 20

2) 4x = 32

8) 6y = 36

3) 5x = 30

9) 10y = 50

4) 3x = 15

10) 10y = 10

5) 6x = 24

11) 14x = 28

6) 6y = 42

12) 12x = 36

Revisa tu aprendizaje

Después de estudiar...

Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Aplico las leyes de potenciación para resolver potencias de expresiones algebraicas. Aplico las reglas de: producto, cociente, potencia y raíz de otra raíz a la radicación con exactitud. Identifico radicales semejantes y aplico las reglas. Sumo, resto, multiplico y divido expresiones algebraicas que contienen radicales semejantes. Desarrollo mi razonamiento lógico en la solución de problemas. Mejoro mi habilidad de cálculo mental al efectuar multiplicaciones, potencias y resolver mentalmente ecuaciones de primer grado. Unidad 4 – Matemática

¡Ponte a prueba! Toma en cuenta las instrucciones dadas en la Unidad 1 y utiliza la hoja de respuestas para responder. 1) La opción que presenta una operación correcta es: 3

2) El resultado de

C. 5 + 1 5 = 5

D. 25 = 5

B. 270xy

C. 150 • 81y

B. 4 3

C. 22 2

D. 2 3

B. 2xy

C. 2x

D. 2xy2

B. b9

C. b

D. b2

B. h6

C. h14

D. h3

B. 2a6

C. 2a2

D. 2a

B. 9x5

C. 9x6

D. 27x6

B. 2m

C. 18m

D. 18mn

A. 3 135 + 5 = 10 5

B. 24 • 2 = 6

36 • 25x • 81y es: 4

A. 270x2y

25x4

3) El resultado de 48 es: A. 24 2 4) El resultado de

36x2 es: 9y2

A. 18x2

5) El valor de b4 • b5 es: A. b20 6) El valor de h12 • h2 es: A. h10 7) El resultado de (2a4)2 es: A. 4a8 8) El resultado de (3x2)3 es: A. 6x6 2 9) El resultado de 36m es:

9n2

A. 9m

10) El resultado de convertir en potencia y5 es: A. y5/6

B. y6

11) El resultado de sumar 2 xy + 3 xy es: A. 5 xy

B. xy6 4

12) El resultado de multiplicar 5a2 • 4 A. 10a4

Tercer grado – ciclo básico

C. 5 xy

D. 5xy

es:

B. 20a2

2 C. 10a

D. 20a

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 4 – Matemática

unidad

Ecuaciones cuadráticas ¿Qué sabes del tema? La altura h en metros recorrida en t segundos por un objeto que cae desde un punto sobre la superficie de la Tierra se determina con la fórmula:

h = 4.9t 2 Por ejemplo podríamos preguntarnos: ¿Desde qué altura fue dejado caer un objeto que tardó 10 segundos en caer? La fórmula h = 4.9t 2 es en realidad una ecuación cuadrática o de segundo grado. ¿Cómo explicarías con tus palabras que se trata de una ecuación? ¿Y por qué crees que se llama de segundo grado?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Los monos de la manada

Taller de matemática

Ecuaciones cuadráticas • Cuadráticas completas • Cuadráticas incompletas • Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas. Aumenta tu velocidad de cálculo • Ecuaciones sencillas de primer grado.

Unidad 5 – Matemática

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

2. Construye modelos matemáticos en la representación y análisis de relaciones cuantitativas.

2.4 Utiliza diferentes métodos en la resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Actividades

Resolver un problema clásico de la cultura India.

Identificar los términos de una ecuación cuadrática en distintos ejemplos.

Clasificar y resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización y por fórmula general.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Resolver mentalmente ecuaciones de primer grado.

5. Aplica los métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación de situaciones de su entorno.

5.1 Realiza operaciones de pensamiento lógico.

Resolver problemas aplicando ecuaciones cuadráticas.

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! ¿Cuántos monos hay en la manada? En la antigüedad estaba muy extendida en la India una diversión singular: la solución de rompecabezas en competiciones públicas. Los manuales de matemáticas de ese país contribuían a la celebración de tales campeonatos de cálculo mental. En uno de esos manuales se puede leer: “Aplicando las reglas aquí expuestas –escribía su autor–, una persona inteligente puede idear miles de problemas semejantes. Así como el Sol hace palidecer las estrellas con sus destellos, un hombre discreto eclipsa la gloria de otro hombre en los concursos populares, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. En el original, estas palabras presentan un aspecto más poético porque el libro está escrito en verso. Los problemas también aparecen versificados. Lee atentamente este curioso cuento: Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total? Veamos qué datos nos da el problema: La manada La octava parte

x x 8

La octava parte al cuadrado

( 8x )

Doce monos atronando (gritando)

+12

Si el número total de la manada es x, entonces, con los datos de la tabla podemos formar una ecuación: x 2 + 12 = x 8

()

Al terminar el estudio de la unidad ¡averigua cuántos monos son! (El texto está tomado y adaptado de http://www.librosmaravillosos.com)

Unidad 5 – Matemática

Taller de matemática Ecuaciones cuadráticas Recuerda que una ecuación lineal es aquella que tiene una incógnita, generalmente x, elevada a la primera potencia o exponente 1 y que al solucionarla hallamos un valor que convierte en verdadera la igualdad. Por ejemplo:

x – 10 = 6 x = 6 + 10 x = 16

A diferencia de la ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas, también llamadas ecuaciones de segundo grado, tienen estas características: •

La incógnita está elevada al cuadrado o exponente dos: ( x 2 ) .

•

La ecuación puede tener dos soluciones, aunque en algunos casos tienen una sola solución o ninguna.

En general, una ecuación cuadrática se expresa de la forma:

ax2 + bx + c = 0 Donde:

ax 2: es el término cuadrático. El coeficiente numérico (a) es siempre distinto de cero. a ≠ 0 bx : es el término de primer grado. Puede estar formado por un coeficiente numérico (b) y la variable (x) o solo por la variable. c : es el término independiente formado solo por un coeficiente numérico.

Ejercicio 1 Identifica los términos de una ecuación cuadrática en los siguientes ejemplos. Rellena el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado. 1) El término cuadrático de la ecuación 2x2 – 14x + 152 = 0 es...

2x2

– 14x

+ 152

2) El término independiente de la ecuación 10x2 + 36x – 2 = 0 es...

10x2

+ 36x

–2

3) El término de primer grado de la ecuación x2 + 3x – 28 = 0 es...

Tercer grado – ciclo básico

+ 3x

– 28

Clasificación de ecuaciones cuadráticas a.

Ecuaciones cuadráticas completas

Una ecuación de segundo grado se considera completa cuando los tres coeficientes numéricos a, b y c son distintos de cero. Se representa por:

ax2 + bx + c = 0 Fíjate en los ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas y en cómo se han identificado los coeficientes a, b y c.

x2 − 5x + 4 = 0 – 5x2 + 13x + 6 = 0 a = 1 a = – 5 b = –5 b = 13 c = 4 c = 6

Ecuaciones cuadráticas incompletas

En una ecuación cuadrática no puede faltar el término ax2 , pero sí puede faltar el término de primer grado ( bx), el término independiente (c) o ambos. En cualquiera de los casos se trata de una ecuación cuadrática incompleta. Se pueden presentar tres casos de ecuaciones cuadráticas incompletas: •

Falta el término de primer grado y el término independiente.

ax2 = 0

Por ejemplo:

16x2 = 0

•

Falta el término independiente.

ax2 + bx = 0

Por ejemplo:

3x2 + 2x = 0

•

Falta el término de primer grado.

ax2 + c = 0

Por ejemplo:

2x2 – 32 = 0

Ejercicio 2 Rellena el círculo de la opción correcta. 1) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación cuadrática?

3x – 4 = 0

3x + 1 + 3 = 27

2x2 – 5 = 0

2) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación cuadrática?

5x2 – 5x + 3 = 0

4x + 6x + 2 = 0

16x = – 8

3) Entre las siguientes, ¿cuál es una ecuación cuadrática incompleta?

3x – 4 = 0

3x + 1 + 3 = 27

2x2 – 5 = 0

Unidad 5 – Matemática

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas a.

Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + bx = 0

Estas ecuaciones incompletas presentan las siguientes características:

Carecen del término independiente. (c = 0)

Una de las soluciones es siempre cero. (x1 = 0) El procedimiento para llegar a la solución comprende los pasos siguientes. •

Factorizar por factor común.

•

Igualar cada factor a cero.

•

Resolver las dos ecuaciones de primer grado resultantes.

Hagamos un ejemplo

x2 – 5x = 0 • Factorizamos por factor común. x (x – 5) = 0 • Igualamos cada factor a cero. x=0 x – 5 = 0 • Resolvemos las ecuaciones resultantes. x=0 x = + 5 • Escribimos las dos soluciones. x1 = 0 x2 = 5 Sigue los pasos para resolver la ecuación:

¡Otro ejemplo!

Resolver la ecuación cuadrática incompleta:

•

Factorizamos por factor común.

4x2 – 8x = 0 4x (x – 2) = 0

• Igualamos cada factor a cero. 4x = 0 x – 2 = 0

0 =0 4 x = + 2

Ejercicio 3

•

Resolvemos las ecuaciones resultantes.

•

Escribimos las dos soluciones.

x1 = 0

x2 = 2

Resuelve en este espacio las ecuaciones cuadráticas incompletas que tienes a continuación.

1) x2 + 6x = 0

3) x2 – x = 0

2) 5x2 – 15x = 0

4) 6x2 + 12 x = 0

Tercer grado – ciclo básico

Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + c = 0

Las ecuaciones incompletas de la forma ax2 + c = 0 tienen estas características:

No aparece el término de primer grado. (bx = 0)

Tienen dos soluciones distintas de cero: x1 y x2 . El procedimiento para llegar a la solución comprende los pasos siguientes. •

Aislar el término cuadrático en el primer miembro de la ecuación.

•

Despejar x, hallando la raíz cuadrada de los dos miembros.

•

Escribir las dos soluciones.

Hagamos un ejemplo Sigue los pasos para resolver la ecuación: x2 – 9 = 0 •

Aislamos el término de x2 en el primer miembro.

•

Despejamos x y hallamos la raíz cuadrada.

x2 = + 9 x2 = 9

x = ± 3 • Escribimos las dos soluciones. x1 = 3 x2 = –3 ¡Otro ejemplo! Resolver la ecuación cuadrática incompleta: •

Aislamos el término de x2 en el primer miembro.

2x2 – 162 = 0 2x2 = + 162

162 2 2 x = 81 •

Despejamos x2. x2 =

x2 = 81 x = ± 9 • Escribimos las dos soluciones. x1 = 9 x2 = –9 •

Hallamos la raíz cuadrada.

Ejercicio 4 Resuelve en este espacio las ecuaciones cuadráticas incompletas que tienes a continuación. 1) x2 – 4 = 0

3) 4x2 – 16 = 0

2) 3x2 – 192 = 0

4) 11x2 – 99= 0

Unidad 5 – Matemática

Resolución de ecuaciones cuadráticas completas Las ecuaciones cuadráticas completas del tipo ax2 + bx + c = 0 se pueden resolver por varios métodos. Nosotros estudiaremos dos:

Por factorización

Por fórmula general o fórmula de Vieta

Resolución por factorización

En la unidad 3 aprendiste a factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c. Así que este procedimiento te va a resultar sencillo porque resolver ecuaciones cuadráticas por factorización consiste en tomar el trinomio ax2 + bx + c = 0 de la ecuación cuadrática y expresarlo como producto de sus factores. Sigue los pasos. •

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término en cada binomio.

•

Buscamos dos números que cumplan la doble condición: w Su suma es igual al valor numérico del término de primer grado, bx. w Su producto es igual al término independiente, c.

•

Expresamos los binomios como factores y los igualamos a cero.

•

Tomamos cada factor por separado, lo igualamos a 0 y despejamos la variable.

•

Por último, comprobamos el resultado en la ecuación original.

Veamos un ejemplo

x2 + 5x + 6 = 0

Resolvamos: Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término en cada binomio.

x2 = x (x + ) (x +

•

Buscamos dos números cuya suma sea 5 y su producto, 6. Esos números son 2 y 3.

2+3=5 2•3=6

•

Expresamos los binomios como factores y los igualamos a cero.

(x + 2) (x + 3) = 0

•

Tomamos cada factor por separado, lo igualamos a 0 y despejamos la variable.

x + 2 = 0 x1 = –2

•

Verificamos las soluciones sustituyendo x por su valor, en la ecuación original

•

Si x = –2

x2 + 5x + 6 = 0 (–2)2 + 5(–2) + 6 = 0 4 + (–10) + 6 = 0 –6 + 6 = 0 0=0

Si x = –3

La igualdad se cumple. Escribimos la respuesta.

Tercer grado – ciclo básico

)

x+3=0 x2 = –3

x2 + 5x + 6 = 0 (–3)2 + 5(–3) + 6 = 0 9 + (–15) + 6 = 0 –6 + 6 = 0 0=0 x1 = –2 x2 = –3

Otro ejemplo

x2 – 11x + 28 = 0

Resolvamos: •

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático x2 . Este resultado será el primer término en cada binomio.

x2 = x (x + ) (x + )

•

Buscamos dos números cuya suma sea – 11 y su producto, + 28. Esos números son – 4 y –7.

(– 4) + (–7) = –11 (– 4) • (–7) = + 28

•

Expresamos los binomios como factores y los igualamos a cero.

(x – 4) (x – 7) = 0

•

Tomamos cada factor por separado, lo igualamos a 0 y despejamos la variable.

x – 4 = 0 x1 = 4

•

Verificamos las soluciones sustituyendo x por su valor, en la ecuación original.

•

Si x = 4

x2 – 11x + 28 = 0 (4)2 – 11(4) + 28 = 0 16 – 44 + 28 = 0 44 – 44 = 0 0=0

x–7=0 x2 = 7

Si x = 7 x2 – 11x + 28 = 0 (7)2 – 11(7) + 28 = 0 49 – 77 + 28 = 0 77 – 77 = 0 0=0

La igualdad se cumple. Escribimos la respuesta.

x1 = 4 x2 = 7

Ejercicio 5 Practica en esta página la resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización. Verifica en tu cuaderno los resultados que obtengas. 1) x2 + 10x + 24 = 0

4) x2 – 3x + 2 = 0

7) x2 + 10x + 21 = 0

2) x2 – 5x – 4 = 0

5) x2 – 7x – 8 = 0

8) x2 + 13x + 22 = 0

3) x2 – 5x – 6 = 0

6) x2 + 9x + 20 = 0

9) x2 – 15x + 56 = 0

Unidad 5 – Matemática

Resolución por la fórmula general

Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas consiste en aplicar la fórmula general, también llamada fórmula cuadrática o fórmula de Vieta. La fórmula de Vieta es muy práctica y cuenta con una doble ventaja:

•

Permite resolver todo tipo de ecuaciones cuadráticas.

•

Se trabaja solo con los coeficientes a, b y c de la ecuación.

Simbólicamente se representa:

– b ± b2 – 4ac 2a

Analicemos e identifiquemos todos sus componentes:

Representa las dos soluciones de la ecuación cuadrática: x1 y x2.

Es el coeficiente del término de primer grado bx. A la izquierda del radical, se multiplica por el signo menos (–b). Dentro del radical se eleva al cuadrado(b2).

±: El símbolo formado por el signo más y el signo menos indica que toda

raíz cuadrada puede tener dos resultados: uno positivo y otro negativo.

Por ejemplo:

9 = ± 3

porque: 32 = 3 • 3 = 9

(–3)2 = (–3) • (–3) = 9

– 4:

Es un factor constante.

Es el coeficiente del término cuadrático (ax2) y nunca es igual a cero. Dentro del radical, se debe multiplicar por –4 y por c. En el denominador se multiplica por 2.

Es un factor constante en el denominador.

Para aprender a utilizar adecuadamente la fórmula de Vieta iremos resolviendo paso a paso una ecuación cuadrática. Resolvamos la ecuación cuadrática: x2 •

Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c. 2 x = – b ± b – 4ac 2a

+ 6x + 5 = 0

a=1

b=6

•

Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en el lugar que corresponde dentro de la fórmula. Operamos potencias y productos.

•

Operamos la resta dentro del radical.

•

Extraemos la raíz cuadrada.

Tercer grado – ciclo básico

c=5 – (6) ± (6)2 – 4(1)(5) 2 (1) –6±

36 – 20 2

– 6 ± 16 2

•

Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.

–6+4 2

x1 = •

Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2 .

–6±4 2

x2 =

–6–4 2

– 2 –1 x = – 10 = = –5 2 2 2

x1 =

x1 = – 1

x2 = – 5

¡Otro ejemplo!

2x2 – 3x + 1 = 0

Resolvamos por la fórmula de Vieta la ecuación cuadrática: •

Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c. 2 x = – b ± b – 4ac 2a

a=2

b = –3

c=1

– (–3) ±

(–3)2 – 4(2)(1) 2 (2)

•

Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. Operamos potencias y productos.

•

Operamos la resta dentro del radical.

3± 9–8 4

•

Extraemos la raíz cuadrada.

3± 1 4

•

Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, subdividimos la expresión en x1 con signo + y x2 con signo –.

•

Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2 .

3±1 4

x1 =

3+1 4

x2 =

3–1 4

x1 =

4 =1 4

x2 =

2 4

x1 = 1

x2 =

1 = 2

1 2

Ejercicio 6 Sigue los pasos del ejemplo y resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general. 1) x2 + 7x + 12 = 0

4) 6x2 = x + 222

2) 5x2 – 7x – 90 = 0

5) 3x2 – 5x + 2 = 0

3) x2 = 16x – 63

6) 8x2 – 2x – 3 = 0

Unidad 5 – Matemática

Resolución de problemas de ecuaciones cuadráticas Hay muchos problemas cuya solución es posible aplicando ecuaciones cuadráticas. Recuerda que es importante interpretar muy bien los datos que te proporcionan para plantear la ecuación correcta. Utilizaremos la fórmula de Vieta para resolver el problema que sigue.

Andrea es tres años mayor que Beto. Si el producto de las dos edades es 108, ¿cuál es la edad de cada uno?

•

Expresamos los datos del problema en una tabla. Edad de Beto

Edad de Andrea

Producto de edades

x+3

x (x + 3) = 108

•

Formamos y expresamos la ecuación.

x2 + 3x = 108

•

Igualamos la ecuación a 0.

x2 + 3x – 108 = 0

•

Escribimos la fórmula de Vieta.

•

Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. a = 1; b = 3; c = –108. Operamos potencias y productos.

•

Resolvemos las operaciones del radical.

– 3 ± 9 + 432 2

•

Extraemos la raíz cuadrada.

– 3 ± 441 2

•

Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.

•

2 x = – b ± b – 4ac 2a

– (3) ± 32 – 4(1)(–108) 2 (1)

– 3 ± 21 2

x1 =

– 3 + 21 2

x2 =

– 3 – 21 2

Hallamos los valores de x1 y x2.

x1 =

18 – 3 + 21 = =9 2 2

x2 =

–3 – 21 –24 = = –12 2 2

Descartamos x2= –12 porque no existen edades negativas.

Para comprobar el resultado, sustituimos la solución que consideramos válida en el planteamiento inicial de las edades.

x=9

•

Edad de Beto:

•

Edad de Andrea: (x + 3) = (9 + 3) = 12

Respuesta: Beto tiene 9 años y Andrea 12.

Tercer grado – ciclo básico

¡Otro ejemplo!

Luis tiene 7 quetzales más que Dora. Si el producto de lo que tienen los dos es 144 quetzales, ¿cuánto tiene cada uno?

•

Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla. Dinero de Dora

Dinero de Luis

Producto y dinero total

x+7

x (x + 7) = 144

•

Formamos y expresamos la ecuación.

x2 + 7x = 144

•

Igualamos la ecuación a 0.

x2 + 7x – 144 = 0

•

Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. a = 1; b = 7; c = –144. Operamos potencias y productos.

•

Resolvemos las operaciones del radical.

•

Extraemos la raíz cuadrada.

•

Subdividimos la expresión en x1 y x2.

– (7) ±

72 – 4(1)(–144) 2 (1)

– 7 ± 49 + 576 2 – 7 ± 625 2 – 7 ± 25 2

Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.

x1 =

– 7 + 25 18 = =9 2 2

x2 =

– 7 + 25 2

x1 = x2 =

– 7 – 25 2

–7– 25 –32 = = –16 2 2

Descartamos –16 porque el dinero que se tiene no se representa con cantidades negativas.

Comprobamos, sustituyendo la solución en el planteamiento inicial. •

Dinero de Dora: x = 9

•

Dinero de Luis:

(x + 7) = (9 + 7) = 16

Respuesta: Dora tiene 9 quetzales y Luis 16.

Ejercicio 7 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas por el método que te indique tu profesor. 1) ¿Cuál es el número positivo que sumado con su cuadrado da como resultado 132? 2) Elisa tardó dos horas menos que Felipe en recorrer una distancia en bicicleta. Si el producto de los dos tiempos es 48 horas, ¿cuánto tardó cada uno? 3) El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho. Si el área del rectángulo es 88 cm2, ¿cuánto mide el ancho y el largo? Unidad 5 – Matemática

Taller de prácticas Ejercicio 1 Observa con atención las ecuaciones, determina si son completas o incompletas y escribe los coeficientes de cada término. 1) x2 + 5x + 4 = 0

6) 3x2 – 5x + 2 = 0 coeficiente a = coeficiente b = coeficiente c =

2) x2 – 10x = 0

coeficiente a = coeficiente b = coeficiente c =

7) 5x = –2 – x2

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

3) x2 + 6x – 27 = 0

8) 0 = –2 + 3x2

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

4) x2 – x = 0

9) 7 = 2x2

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

5) 2x2 + 5x + 2 = 0

10) x(x + 3) = 5x + 3

coeficiente a =

coeficiente b =

coeficiente c =

Ejercicio 2 Resuelve en este espacio las ecuaciones cuadráticas incompletas que siguen a continuación. 1) x2 + 2x = 0

Tercer grado – ciclo básico

2) x2 – 100 = 0

3) x2 – 16 = 0

4) 2x2 = 64

6) x2 – 7x = 0

8) 2x2 = 50x

5) 4x2 – 25 = 0

7) 3x (x + 4) = 0

9) 2x2 – 50x = 0

Ejercicio 3 A. Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1) x2 + 8x + 7 = 0

6) x2 – 4x – 21 = 0

11) x2 – x – 12 = 0

2) x2 + 12x + 32 = 0

7) x2 – x – 2 = 0

12) x2 – 7x + 12 = 0

3) x2 + 12x + 27 = 0

8) x2 + 2x – 8 = 0

13) x2 – 5x + 4 = 0

4) x2 + 15x + 50 = 0

9) x2 – 10x + 24 = 0

14) x2 – 14x + 45 = 0

5) x2 – 12x – 28 = 0

10) x2 – 17x + 72 = 0

15) x2 + 7x – 8 = 0

Unidad 5 – Matemática

B. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula de Vieta. 1) x2 + 4x – 21 = 0

7) x2 + 7x + 12 = 0

13) x2 + 6x – 27 = 0

2) x2 + 4x + 3 = 0

8) x2 + 8x + 12 = 0

14) 3x2 – 5x – 2 = 0

3) x2 + 6x + 5 = 0

9) 2x2 + 5x – 3 = 0

15) 2x2 + 5x – 7 = 0

4) 8x2 – 20x + 12 = 0

10) 3x2 + 4x – 4 = 0

16) x2 – 9x – 22 = 0

5) 5x2 + 13x – 6 = 0

11) x2 – x – 20 = 0

17) 4x2 + 10x – 6 = 0

6) x2 + 10x – 11 = 0

12) x2 + 3x – 28 = 0

18) 0.5x2 + 3x + 2.5 = 0

Ejercicio 4 Lee cada problema y escribe la ecuación que te llevaría a la solución. Solo la ecuación, en este ejercicio no te piden la solución. Puedes hacerlo con la ayuda de una tabla para organizar bien los datos. 1) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

2) Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 78 m y su área es 378m2.

3) El producto de dos números enteros positivos es 56. Averigua ambos números sabiendo que el mayor es igual al doble del menor más 6.

4) En t segundos la altura h de un proyectil, en metros sobre el nivel del suelo está dada por la ecuación h = 80t – 5t2 . ¿Cuánto tardará el proyectil en alcanza una altura de 320 m?

5) El producto de dos números enteros positivos pares es 48. ¿Qué ecuación te permitirá averiguar esos números?

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1) Arturo es 5 años mayor que Beatriz. El producto de sus edades es 374. Calcula la edad de cada uno. 2) Halla dos números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 45. 3) Encuentra dos números cuya suma sea 28 y cuyo producto sea 187. 4) Encuentra tres números consecutivos cuyos cuadrados sumen 77. 5) Si un terreno rectangular tiene un perímetro de 88 m y un área de 475 m2, ¿cuáles son sus dimensiones? 6) El producto de dos números es 36. Si se sabe que uno de los dos números es 5 unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números? 7) Luisa es 4 años mayor que Rubén. ¿Cuántos años tiene cada uno, si se sabe que el producto de las edades es igual a 60? 8) Calcula dos números consecutivos que al multiplicarlos entre sí den como resultado 30. 9) El largo de un cancha de futbol sala mide el doble que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha si se sabe que el área es igual a 72 metros cuadrados? 10) La altura de un triángulo rectángulo mide 2 centímetros más que su base. Si el área es igual a 40 centímetros cuadrados, ¿cuánto miden la altura y la base del triángulo? 11) Encuentra dos números que al sumarlos den 15 unidades y al multiplicarlos 54. 12) Si al abrir un libro vemos que el producto de los números de página es igual a 90, ¿en qué páginas abrimos el libro? 13) El largo de un terreno rectangular mide 10 metros más que su ancho. Si el área mide 75 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 14) Pedro es 2 años mayor que Alba y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 15) Separa 15 en dos partes de tal manera que al multiplicar ambas su producto sea 56. B. Resuelve el siguiente rompecocos. Mi abuelo siempre me cuenta historias de su juventud. La que más le gusta es una en la que su hermano y él tuvieron que pelar 300 papas. Él, por supuesto, era más rápido y pelaba un 50% más de papas que su hermano. Es decir, por cada dos papas que pelaba su hermano, él pelaba tres. ¿Cuántas papas peló cada uno?

Unidad 5 – Matemática

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Calcula el valor dela incógnita y escríbelo en la línea, a la par de cada ecuación. 1) x – 10 = 1

6) x – 8 = 10

11) x – 7 = 13

2) 3 + x = 9

7) x + 6 = 18

x+ =

12) x + 10 = 25

3) x + 3 = 7

8) x – 3 = –9

13) x + 5 = 15

4) x – 12 = 4

9) x + 12 = 15 x =

14) x + 10 = 30

5) x + 7 = 20

10) 8 + x = 24

15) y + 5 = 16

B. Despeja el valor de x. 1) 3x = 30

6) 9x = 90

11) 2x = 8

2) 4x = 12

7) 3x = 24

12) 3x = 12

3) 5x = 30

8) 7x = 49

13) 3x = 30

4) 2x = 20

9) 4x = 36

14) 5x = 25

5) 8x = 80

10) 4x = 16

15) 7x = 14

C. Calcula el valor de y si x = 5, escriba la respuesta sobre la línea.

1) y = x + 4

5) y = 2x – 7

2) y = x + 2

7) y = 2x – 4

3) y = x + 6

8) y = 3x – 6

4) y = x + 9

9) y = 2x – 3

5) y = x + 12

10)y = 5x – 20

Tercer grado – ciclo básico

D. Calcula el valor de x, si y = 4. Escribe la respuesta sobre la línea. 1) x = y + 9

6) x = 4y – 9

2) x = y + 12

7) x = 5y – 7

3) x = y + 19

8) x = 6y – 8

4) x = y + 15

9) x = 7y – 6

5) x = y + 33

E. Calcula el valor de

10) x = 9y – 10

w, si x = 2, y = 10. Escribe tu respuesta sobre la línea.

1) w = x3

6) w = y2

2) w = x2

7) w = y3

3) w = x0

8) w = y0

4) w = x4

9) w = y1

5) w = x1

10) w = y4

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en no logrado proceso logrado

Resuelvo un problema clásico de la cultura India. Identifico los términos de una ecuación cuadrática en distintos ejemplos. Clasifico y resuelvo ecuaciones cuadráticas completas e incompletas. Resuelvo ecuaciones cuadráticas por factorización y por fórmula general Resuelvo mentalmente ecuaciones de primer grado. Resuelvo problemas aplicando las ecuaciones cuadráticas. Unidad 5 – Matemática

¡Ponte a prueba! Lee atentamente cada ejercicio y utiliza la hoja de respuestas para responder. 1) Entre las siguientes ecuaciones, una ecuación cuadrática es… A. 6x – 8 = 0

B. 4x + 3 = 11

C. x2 – x – 20 = 0

D. 4x – 3 = 0

2) Entre las siguientes ecuaciones, una ecuación cuadrática incompleta es… A. x2 + 5x + 4 = 0

B. x2 + 6x = 25

C. x2 – 10 = 0

5x + 2 = 2x2

3) Al resolver la ecuación x2 + 8x + 15 = 0 sus soluciones son… A. –3 y –5

B. 1 y 6

C. 2 y 3

D. –1 y –6

4) El producto de dos números naturales consecutivos es 30. Los números son… A. 1 y 2

B. 2 y 3

C. 3 y 4

D. 5 y 6

5) Sara tiene el doble de la edad que tenía hace 11 años. ¿Qué edad tiene ahora? A. 13 años

B. 22 años

C. 16 años

D. 24 años

C. x1 = 5; x2 = –2

D. x1= 2; x2 = –3

6) Las soluciones de la ecuación x2 – 3x – 10 = 0 son: A. x1 = 2; x2 = 3

B. x1 = –6; x2 = –4

7) La suma de dos números es igual al triple del menor y la diferencia de ambos números disminuida en 10 es igual al mayor. ¿De qué número se trata? A. 2 y 4

B. –20 y –10

C. 4 y –8

D. –60 y –30

8) ¿Cuál de estas ecuaciones de segundo grado tiene por raíces 3 y – 6? A. x2 + 3x – 18 = 0

B. x2 – 3x – 18 = 0

C. −x2 – 3x + 18 = 0

D. −x2 – 3x − 18 = 0

9) El producto de las raíces de una ecuación cuyas soluciones son las opuestas que las de x2 + 9x + 20 = 0 es: A. 180

B. 29

C. –9

D. 20

10) La ecuación cuyas raíces son el cuadrado de las raíces de la ecuación x2 + 3x = 4 es: A. x2 – 17x + 16 = 0

B. x2 + 9x − 16= 0

C. x2 + 9x + 16= 0

D. x2 − 3x + 4= 0

C. Tiene una D. Tiene dos soluciones única solución

11) La ecuación 3x2 – x – 2 = 0: A. No tiene solución

Tiene infinitas soluciones

12) La ecuación 20x2 – 19x + 3 = 0 tiene por soluciones: A. x1 = 1 ; x2 = 3

100

Tercer grado – ciclo básico

x1 = 1 ; x2 = – 3 5 4

C. x1 = 2 ; x2 = 5

D. x1 = 2; x2 = 3

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 5 – Matemática

101

Geometría I: Sólidos de revolución

unidad

¿Qué sabes del tema? En 1969 ocurrió uno de los hechos históricos más sobresalientes de la humanidad, tres astronautas viajaron a la Luna, dos caminaron sobre ella y todos regresaron sanos y salvos a la Tierra. La nave en la que viajaron estaba compuesta por varios módulos. El más importante era el módulo de mando, un vehículo encargado de transportar a los astronautas hasta la Luna, mantenerlos allí y regresarlos a la Tierra. Este módulo tenía forma de cono, con una altura de 3.18 metros y una base de 3.90 metros de diámetro. Se construyó con esta forma porque ayudaba a dispersar el calor generado por el roce con las capas de la atmósfera terrestre. Además, reducía la velocidad del vehículo al volver a entrar en la Tierra.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Perímetro y área de figuras planas

Taller de matemática

Sólidos de revolución • El cono • El cilindro • La esfera

Taller de prácticas Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas de aplicación de los sólidos de revolución. Aumenta tu velocidad de cálculo • Operaciones con números enteros y con monomios.

Unidad 6 – Matemática

103

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

1.1 Elabora diseños reconociendo las figuras utilizadas, sus relaciones y propiedades.

2. Utiliza gráficas y símbolos en la representación de información.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

104

Tercer grado – ciclo básico

1.2 Resuelve problemas que involucran cálculo de medidas y aplicación de propiedades de figuras planas y cuerpos sólidos.

2.3 Construye figuras para representar la información.

3.1 Opera con seguridad las operaciones aplicadas a la Geometría.

Actividades

Definir sólidos de revolución.

Identificar cono, cilindro y esfera.

Calcular áreas y volúmenes de cono, cilindro y esfera.

Resolver problemas que involucran sólidos de revolución.

Trazar figuras geométricas para representar objetos reales.

Construir un cono y un cilindro.

Calcular área y volumen de conos, cilindros y esferas.

Practicar la velocidad de cálculo mediante operaciones con números enteros y monomios.

¡Prepárate para el recorrido! Recuerda el perímetro y área de las figuras planas La geometría plana estudia las figuras que tienen solo dos dimensiones: largo y ancho. Es necesario recordar el perímetro y área de las figuras planas porque te servirán para calcular el área y el perímetro de los cuerpos sólidos que estudiaremos en esta unidad y en la siguiente. Aquí tienes las principales. Figura

Perímetro

Área

P = l1 + l2+ l3

A= b•h 2

Triángulo

Círculo

P = 2πr

A = πr2

Cuadrado

P=4•l

A=l2

P = 2b + 2a

A=b•a

P=n•l

A=P•a 2

Rectángulo

Polígonos regulares

Hexágono

Veamos un ejemplo. Calcular el perímetro y el área de un pentágono que mide 4 cm de apotema y 6 cm de lado. Polígono

pentágono

P=n•l P = 5 • 6 cm P = 30 cm

6 cm 4 cm A=P•a 2 30 cm • 4cm A= 2 2 A = 120 cm 2 A = 60 cm2

¡A trabajar! Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras planas. Trabaja en tu cuaderno. 1) Círculo de radio igual a 3 cm. 2) Triángulo cuyos lados miden: 7.2 pies, 6 pies y 3.4 pies. 3) Hexágono que mide 2.5 cm por lado y 2 cm de apotema. 4) Octágono que mide 21 cm de lado y 25 cm de apotema. Unidad 6 – Matemática

105

Taller de matemática Geometría del espacio y cuerpos sólidos A nuestro alrededor hay objetos que no podemos ubicar en el plano, como una caja de zapatos, nuestro salón de clases, una pelota de futbol, etc. La geometría del espacio estudia no solo la forma sino también la extensión de los objetos ubicados en el espacio. Para hacerlo, los representa a través de figuras geométricas llamadas sólidos. Los sólidos son regiones con tres dimensiones: largo, ancho y alto, que ocupan un lugar en el espacio y tienen un volumen. Parte de los cuerpos sólidos son los sólidos de revolución.

Sólidos de revolución Los sólidos de revolución son cuerpos que se originan por el giro completo, de 360°, de una figura plana o de una línea alrededor de una recta fija. Los sólidos de revolución más comunes son el cono, el cilindro y la esfera.

El cono El cono se define como un cuerpo geométrico formado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de la línea que determina su altura. El triángulo, al girar, forma una superficie lateral curva y un círculo que da origen a la base.

Elementos del cono

eje de giro

En un cono se pueden distinguir los elementos siguientes:

• Eje de giro: línea imaginaria vertical fija sobre la cual gira el triángulo rectángulo. • Base (b): círculo sobre el que descansa el cono.

• Radio (r): distancia del centro de la base a cualquier punto de la circunferencia.

• Vértice (v): es la cúspide del cono. • Generatriz (g): línea trazada desde el vértice hasta un punto del contorno de la base.

• Altura (h): distancia que va del centro de la base hasta el vértice. sector circular

Área del cono

círculo

106

Tercer grado – ciclo básico

Al extender el cono sobre un plano se obtienen dos áreas, un círculo y un sector circular. Fíjate en la figura de la izquierda. Para calcular el área del cono, hay que averiguar la medida de ambas figuras: el área lateral, que es el área del sector circular, y el área de la base, que es el área del círculo.

a. Área lateral (Al) Es el área del sector circular que forma el cono. Se obtiene con la fórmula: Al = rg

Donde:

= 3.14 r = radio del círculo de la base g = generatriz

b. Área de la base (Ab) Es el área del círculo donde descansa el cono. Como el área de un círculo es r2, entonces el área de la base del cono es: Ab = r2

Área total del cono (At) El área total se obtiene al sumar el área lateral y el área de la base. At = Al + Ab At = rg + r2 Como r aparece dos veces, podemos aplicar el factor común para simplificar la fórmula. At = r(g + r) Resolvamos un ejemplo de aplicación del área total del cono. Se desea elaborar un cono cerrado de dos colores. El área lateral de color rojo y la base de color azul. Si el radio mide 10 cm y la generatriz 15 cm, ¿qué cantidad de cartulina de cada color se necesita? ¿Cuál es el total de la cartulina empleada? • Escribimos los datos del problema. • •

Calculamos el área lateral. Sustituimos los datos en la fórmula y operamos. Cartulina roja

• Calculamos el área de la base. • Sustituimos en la fórmula y operamos. Cartulina azul

h r

r = 10 cm

g = 15 cm

Al = rg Al = (3.14)(10 cm)(15 cm) Al = (3.14)(150 cm2) Al = 471 cm2 Ab = r2 Ab = (3.14)(10 cm)2 Al = (3.14)(100 cm2) Al = 314 cm2

Para saber qué cantidad de cartulina se ha empleado hallamos el área total. • Aplicamos la fórmula del área total. At = Al + Ab • Sustituimos en la fórmula y operamos. At = 471 cm2 + 314 cm2

Cartulina total empleada

At = 785 cm2

Unidad 6 – Matemática

107

Volumen del cono Observa estos cuerpos geométricos. Supongamos que el cilindro está vacío y el cono está lleno de agua. Tanto la altura y el radio del cilindro como los del cono miden lo mismo.

Si vaciamos el líquido del cono dentro del cilindro, llenaremos solo una tercera parte de la capacidad del cilindro. Eso quiere decir que el volumen del cono es la tercera parte del volumen de un cilindro.

Bases iguales

Por eso, la fórmula para calcular el volumen del cono es la misma que utilizaremos para calcular el volumen del cilindro, solo que dividido entre tres. V=

(Ab)(h) 3

Ab = el área de la base del cono h = altura del cono Pero podemos hallar el volumen tomando un camino más corto sustituyendo Ab por su valor ( r2). La fórmula del volumen del cono queda así: V=

r2h 3

Hagamos un ejemplo Los vasos utilizados en una venta de granizadas tienen forma de cono. El radio mide 4 cm y la altura 10 cm. ¿Cuál es el volumen de cada vaso? • Escribimos los datos del problema. • Copiamos la fórmula. • Sustituimos los valores y operamos.

h = 10 cm

r = 4 cm

r2h 3 (3.14)(4 cm)2(10 cm) V= 3 (3.14)(16 cm2)(10 cm) V= 3 502.4 cm3 V= = 167.47 cm3 3

El volumen de cada vaso es 167.47 cm3

Ejercicio 1 Aplica lo aprendido para resolver los problemas. Trabaja en tu cuaderno. 1) Un ingeniero debe construir un silo de almacenamiento con forma cónica de 3 metros de radio y 4 metros de generatriz. a.

¿Qué cantidad de aluminio necesita?

Si quiere reforzar la base con acero inoxidable, ¿qué cantidad de acero necesita?

2) En una fábrica de dulces se elaboran chupetes con forma cónica de 1 cm de radio y 6 cm de altura. ¿Cuántos chupetes se producen por cada litro de miel, sabiendo que 1 litro equivale a 1000 cm3?

108

Tercer grado – ciclo básico

El cilindro Un cilindro se define como un cuerpo geométrico formado por un rectángulo que gira alrededor de un eje. Este rectángulo forma una superficie lateral curva y dos círculos iguales que forman las bases. En un cilindro podemos distinguir estos elementos: • Eje de giro: línea imaginaria vertical fija sobre la cual gira la generatriz. • Generatriz (g): línea paralela al eje, que gira para formar el cilindro. • Bases (b): dos círculos perpendiculares al eje. • Altura (h): distancia entre las bases, tiene la misma medida que la generatriz. • Radio (r): distancia entre el eje de giro y la generatriz.

eje de giro b

Área total de un cilindro

Para conocer el área de un cilindro necesitamos descomponerlo en sus partes. Si extendemos el cilindro sobre un plano, obtenemos un rectángulo y dos círculos, como vemos en la figura. El cálculo del área nos permite conocer la cantidad de material necesario para elaborar tubos, latas, etc.

El cilindro tiene dos áreas: el área lateral y el área correspondiente a las dos bases.

2 r

El área lateral (Al) es el área del rectángulo que forma el cilindro y la obtenemos con la fórmula del área para un rectángulo.

h Ab

A=bxh Si observas la figura, verás que la base del rectángulo es igual al perímetro del círculo (P = 2 r) y la altura (h) corresponde a la altura del cilindro. Por lo tanto, el área lateral del cilindro es:

Recuerda: El perímetro de un círculo es P = 2 r El área es A = r2

Al = 2 rh = 3.14 r = radio del círculo de la base h = altura del cilindro. El área de las bases (Ab) es el área de los círculos que cierran el cilindro. El área de un círculo es (A = r2), entonces para los dos círculos será: Ab = 2( r2) El área total (At) es el resultado de sumar el área lateral y el área de las dos bases. At = Al + Ab At = 2 rh + 2( r2)

Unidad 6 – Matemática

109

Resolveremos un ejemplo para aplicar las áreas lateral y total de un cilindro. Un tambor como el de la ilustración está construido de madera y cuero. Calcular la cantidad de madera y la cantidad de cuero que se necesita para construir un tambor de 60 cm de alto y 20 cm de radio. La madera corresponde al cuerpo del tambor y el cuero a las dos bases. Para calcular la cantidad de madera tomamos la información de altura y radio que nos proporciona el problema. h = 60 cm

r = 20 cm

Podemos averiguar la cantidad de madera con la fórmula de área lateral. • Copiamos la fórmula.

A l = 2 rh

• Sustituimos los datos y operamos.

A = 2 (3.14) (20 cm) (60 cm)

A = (2 x 3.14 x 20 x 60) (cm x cm)

Al = 7536 cm2

La cantidad de madera necesaria para hacer un tambor es 7536 cm2. Nos falta determinar la cantidad de cuero, lo haremos con la fórmula del área de las bases. • Copiamos la fórmula. • Sustituimos y operamos.

Ab = 2 ( r2) 2

A = 2 (3.14) (20 cm)

Ab = 2512 cm

Se necesitan 2512 cm2 de cuero para construir el tambor. Si deseamos saber el área completa del tambor, sin importar con qué materiales se hizo, sumaremos el área lateral más el área de las bases, o lo que es lo mismo, aplicaremos la fórmula de área total. At = Al + Ab At = 7536 cm 2 + 2512 cm2 At = 10 048 cm2 • Respuesta: El área total del tambor es 10 048 cm2.

Ejercicio 2 Resuelve en tu cuaderno. 1) Calcula la cantidad de plástico que se necesita para fabricar un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 4 cm de radio. (Toma en cuenta que un vaso solo tiene una base). 2) Calcula la cantidad de hojalata que se necesita para elaborar un tonel cuya altura es 1.5 m y el radio 0.5 m. 3) Una pajilla mide 200 mm de largo, 3mm de radio. ¿Cuál es el área lateral de la pajilla? 4) Calcula la cantidad de aluminio que se necesita para fabricar un recipiente de forma cilíndrica de 2 cm de radio y 12 cm de altura.

110

Tercer grado – ciclo básico

Volumen del cilindro El volumen de un cilindro es muy útil cuando necesitamos saber el espacio que ocupa o la capacidad de líquido, sólido o gas que puede contener. Para calcular el volumen se multiplica el área de la base por la altura. El área de la base es A = r2 y la altura la representamos con h. Entonces el volumen de un cilindro será: V = r2h Ejemplo ¿Cuántos litros de jugo caben en una lata cilíndrica de 3 cm de radio y 12 cm de alto, sabiendo que 1 litro equivale a 1000 cm3? Para averiguarlo, debemos utilizar la fórmula del volumen. • Escribimos los datos del problema.

h = 12 cm

r = 3 cm

• Copiamos la fórmula.

V = r2h

• Sustituimos los datos y operamos.

V = (3.14) (3 cm)2 (12 cm)

V = (3.14 x 9 x 12) (cm2 x cm)

V = 339.12 cm3

El volumen de jugo que cabe en el recipiente es 339.12 cm3. ¡Atención!, aún no hemos terminado. El resultado en cm3 debemos expresarlo en litros. •

Planteamos una regla de tres.

1000 cm3

339.12 cm3

3 x = 339.12 cm x 13 litro 1000 cm

1 litro

x litros

x = 0.33912 litros

• Respuesta: En la lata caben 0.34 litros de jugo.

Ejercicio 3 Resuelve en tu cuaderno. 1) Calcula la cantidad de agua que cabe en un tonel de 1 m de alto y 0.5 m de radio. 2) En algunas construcciones, columnas cilíndricas sostienen el techo de los edificios o puentes. Calcula el volumen de una columna de 4 metros de alto y 0.5 metro de radio. 3) Una lata para jugo mide 12.5 cm de alto y 3.25 cm de radio. a ¿Qué cantidad de material utilizaron para su fabricar la lata? b. ¿Cuánto jugo le cabe a la lata?

Unidad 6 – Matemática

111

La esfera La esfera es el último cuerpo de revolución que estudiaremos en esta unidad. La esfera es un cuerpo geométrico formado por una superficie curva, cuyos puntos están a la misma distancia del centro. En una esfera podemos distinguir estos elementos: Centro (C): punto interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la superficie. d

Radio (r): distancia del centro a un punto de la superficie esférica. Diámetro (d): segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie.

Área de la esfera

ul o cí r c

má x

im o

Si se corta una esfera en dos partes iguales, de cada parte se obtiene un círculo de diámetro igual al de la esfera. Este círculo recibe el nombre de círculo máximo. Para cubrir totalmente la superficie de una esfera, necesitamos el área de cuatro círculos máximos, de tal manera que la fórmula para calcular el área de la esfera es: A = 4 ( r2)

Resolvamos un ejemplo en el que aplicaremos el área de la esfera. Una fábrica de dulces tiene su presentación de dulces esféricos recubiertos con chocolate. ¿Cuánto chocolate es necesario para recubrir un dulce de 5 mm de radio? • Escribimos el dato del problema.

r = 5 mm

• Copiamos la fórmula del área de la esfera.

A = 4 ( r2)

• Sustituimos en la fórmula y operamos.

A = 4(3.14)(5 mm)2

A = (12.56)(25 mm2)

A = 314 mm2

• Respuesta: Se necesitan 314 mm2 de chocolate. ¡Otro ejemplo! Una pelota de basket tiene un diámetro de 24 cm, ¿cuál es su superficie? • Escribimos el dato del problema.

r = 12 cm

• Copiamos la fórmula del área de la esfera.

A = 4 ( r2)

• Sustituimos en la fórmula y operamos.

A = 4(3.14)(12 cm)2

A = (12.56)(144 cm2)

A = 1808.64 cm2

• Respuesta: La superficie de la pelota es de 1808.64 cm2.

112

Tercer grado – ciclo básico

Volumen de la esfera Si queremos averiguar la cantidad de líquido para llenar este jarrón esférico, debemos conocer el volumen del recipiente. La fórmula para calcular el volumen de una esfera es: V=

4 r3 3

Ejemplo ¿Qué volumen de agua cabe en un bidón de forma esférica, de 10 cm de radio? r = 10 cm

• Escribimos el dato del problema.

4 r3 3

• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera.

• Sustituimos en la fórmula y operamos.

4 (3.14)(10 cm)3 3

(12.56)(1000 cm3) 3

12 560 cm3 3

V = 4186.67 cm3

Otra forma de escribir la fórmula del volumen de la esfera es: V = 4 r3 3

Escribimos la respuesta: en el bidón caben 4186.67 cm3 de agua. Otro ejemplo ¿Cuántos litros de helado caben en un recipiente esférico de 8 cm de radio? r = 8 cm

• Escribimos el dato del problema.

4 r3 3

• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera.

• Sustituimos en la fórmula y operamos.

4 (3.14)(8 cm)3 3

(12.56)(512 cm3) 3

6430.72 cm3 3

V = 2143.57 cm3

• Respuesta: En el recipiente caben 2143.57 cm3 de helado.

Unidad 6 – Matemática

113

Para responder correctamente al problema debemos convertir los centímetros cúbicos a litros. (1 litro equivale a 1000 cm3)

1000 cm3

1 litro

2143.57 cm3

x litros

x =

2143.57 cm3 x 1 litro 1000 cm3

x = 2.14357 litros • Respuesta: En el recipiente caben 2.14 litros de helado.

Ejercicio 4 A. Observa con atención la esfera y responde. 1) ¿Qué elemento de la esfera forma el segmento CF?

2) ¿Qué elemento de la esfera es el punto C?

3) ¿Qué elemento de la esfera es el segmento EG?

B. Resuelve en tu cuaderno los problemas que tienes a continuación. 1) ¿Cuánto vidrio se necesita para fabricar una bombilla esférica de 3 cm de radio? 2) Una empresa fabrica pelotas de futbol de 11 cm de radio. Si el material que utiliza es cuero, ¿cuánto cuero se necesita para fabricar una pelota? 3) ¿Cuál es el área de una vejiga esférica que tiene 10 cm de radio? 4) ¿Cuánta plasticina se necesita para elaborar una esfera de 2 cm de radio? 5) ¿Qué cantidad de líquido le cabe a un pachón plástico con forma de pelota de futbol si tiene 4 cm de radio? 6) ¿Qué cantidad de acero se empleó para fabricar una munición esférica de 1.5 mm de radio? a)

¿Qué cantidad se emplea para fabricar 100 municiones?

¿Qué cantidad se emplea para fabricar 1000 municiones?

7) El envase de una loción tiene forma de esfera con un radio de 2.1 cm. ¿Qué cantidad de loción contiene?

114

Tercer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Escribe sobre cada línea el elemento del cono señalado en el esquema. 3)

B. Identifica las partes del cilindro como en el ejercicio anterior. 6)

C. Haz lo mismo que en el ejercicio anterior respecto de la esfera.

Ejercicio 2 A. Calcula el área total y el volumen de cada cono con las medidas indicadas. 1)

Área total

Volumen

2.8 m

Unidad 6 – Matemática

115

Área total

Volumen

20 cm

19 cm

6 cm

B. Sigue practicando en tu cuaderno. Calcula el área total y el volumen de cada cono con las siguientes medidas. 1) r = 5 cm, h = 6 cm, g = 8 cm 2) r = 10 cm, h = 74 cm, g = 75 cm 3) r = 1.5 m , h = 3.5 m, g = 4 m C. Calcula el área total y el volumen de cada cilindro con las medidas indicadas. Área total

Volumen

Área total

Volumen

25 cm

10 cm

20 pies

10 pies

D. En tu cuaderno calcula el área y el volumen de los cilindros con los siguientes datos. 1) r = 2 m y h = 3 m

4) r = 3 m y h = 2 m

2) r = 1 cm y h = 2 cm

5) r = 1.5 m y h = 2 m

3) r = 2 m y h = 1 m

6) r = 2.5 cm y h = 3.5

E. Calcula el área total y el volumen de cada esfera con las medidas indicadas. 1)

Área total 1m

116

Tercer grado – ciclo básico

Volumen

Área total

Volumen

12 cm

Ejercicio 3 A. Construye un cono. Sigue las indicaciones.

Ten a mano cartulina o papel grueso, regla, compás, tijeras, pegamento y lápiz.

Observa con atención los dibujo.

Cópialos y dibújalos en una cartulina midiendo los lados.

Recorta la figura.

Dobla las aristas, las pestañas y forma el cono.

Aplica pegamento en los espacios adicionales y únelos.

r = 5 cm

g = 15 cm

Unidad 6 – Matemática

117

B. Construye un cilindro. Sigue las mismas instrucciones de la construcción del cono.

3 cm

pestañas

12 cm

19 cm

3 cm

118

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve los problemas en tu cuaderno. 1) Se desea fabricar un cono abierto que tenga estas medidas: 10 cm de radio y 18 cm de generatriz. ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan? 2) El techo de una casa tiene forma de cono. Sus medidas son: 2 metros de radio y 3 metros de generatriz. Calcula el área lateral de la superficie del techo de la casa. 3) En un puesto del mercado entregan las especies en conos de papel periódico. Las medidas del cono son 6 cm de radio y 10 de generatriz. ¿Cuánto papel se necesita para fabricar cada cono? 4) Sabiendo que un mililitro es equivalente a un centímetro cúbico ( 1ml = 1 cm3), ¿cuántos mililitros de agua caben en una taza cilíndrica de 7 cm de radio y 8 cm de altura? 5) José desea forrar con papel celofán una pelota de 11 cm de radio. Para esto debe utilizar el doble de la superficie de la pelota, ¿cuántos centímetros cuadrados de papel necesita? 6) En una heladería, los conos tienen estas medidas: 4 cm de radio y 15 cm de altura. Si la bola de helado se derrite, ¿cuántos cm3 de helado caben en cada cono? 7) Un pichel y un vaso tienen forma cilíndrica. El pichel mide 25 cm de alto y 8 cm de radio. El vaso mide 12 cm de alto y 3 cm de radio. ¿Cuántos vasos de agua puede contener el pichel? 8) ¿Cuántos metros cúbicos de tierra es necesario extraer para abrir un pozo de 2 metros de diámetro y 8 metros de profundidad? 9) ¿Cuál es la capacidad de agua en galones de una cubeta de forma cilíndrica cuyas medidas son: 1 pie de radio y 2 pies de altura? (1 pie cúbico es equivalente a 7.5 galones de agua) 10) Un artesano fabrica embudos de hojalata de 9 cm de radio y 18 cm de generatriz.

¿Qué cantidad de material necesita para cada embudo?

¿Cuántos embudos se pueden obtener de una plancha de hojalata que mide 5000 cm2?

11) La Nasa necesita construir un módulo de mando en forma cónica para una nave espacial. Debe medir 2 m de radio y 4 m de generatriz. ¿Cuál será el costo de producción del módulo si el metro cuadrado de acero cuesta Q5,000.00? B. Resuelve el siguiente rompecocos.

¿Cuántos cuadrados ves?

¡Ejercita tu mente! Este ejercicio te ayudará a mejorar tu atención porque deberás concentrarte en las formas.

No todo es lo que parece. Observa con atención y encuentra todos los cuadrados posibles en la figura. Marca cada cuadrado —solo cuadrados, no rectángulos— con un color diferente. Unidad 6 – Matemática

119

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Multiplica números enteros. No olvides la ley de signos. 1) (–6) • 4 =

6) 9 • (–3) =

11) (–2) • (–7) =

2) (–7) • 3 =

7) 7 • (–8) =

12) (–8) • (–4) =

3) (–2) • 5 =

8) 2 • (–6) =

13) (–4) • (–2) =

4) (–8) • 6 =

9) 7 • (–6) =

14) (–6) • (–6) =

5) (–5) • 5 =

10) 5 • (–5) =

15) (–4) • (–3) =

1) 63 ÷ 3 =

6) 27 ÷ (–3) =

11) (–25) ÷ 5 =

2) 30 ÷ 5 =

7) 42 ÷ (–6) =

12) (–36) ÷ 4 =

3) 64 ÷ 8 =

8) 36 ÷ (–9) =

13) (–54) ÷ 6 =

4) 81 ÷ 9 =

9) 48 ÷ (–6) =

14) (–72) ÷ (–8) =

5) 42 ÷ 6 =

10) 16 ÷ (–8) =

15) (–16) ÷ (–8) =

1) (32) (34) =

6) (134) (133) =

11) (200) (202) =

2) (45) (46) =

7) (183) (1811) =

12) (173) (177) =

3) (62) (64) =

8) (124) (126) =

13) (325) (329) =

4) (32) (35)=

9) (248) (246) =

14) (10010) (1000) =

5) (66) (60) =

10) (105) (102) =

15) (1200) (1200) =

1) (98) ÷ (94) =

5) (166) ÷ (160) =

9) (148) ÷ (146) =

2) (55) ÷ (50) =

6) (134) ÷ (133) =

10) (105) ÷ (10) =

3) (412) ÷ (44) =

7) (1513) ÷ (1511) =

11) (105) ÷ (100) =

4) (37) ÷ (35) =

8) (1212) ÷ (126) =

12) (303) ÷ (300) =

B. Divide números enteros.

C. Multiplica potencias de igual base.

D. Divide potencias de igual base.

120

Tercer grado – ciclo básico

E. Multiplica monomios. 1) (x2) (x) =

6) (b5) (b8) =

11) (y9) (y5) =

2) (a2) (a2) =

7) (y5) (y7) =

12) (k6) (k3) =

3) (b4) (b) =

8) (k6) (k4) =

13) (b8) (b11) =

4) (x2) (x2) =

9) (w2) (w9) =

14) (h15) (h7) =

5) (h3) (h2) =

10) (x7) (x8) =

15) (a12) (a6) =

1) (x) ÷ (x) =

6) (9b2) ÷ (3b) =

11) (12k6) ÷ (4k3) =

2) (k2) ÷ (k) =

7) (4x2) ÷ (4x) =

12) (20x9) ÷ (5x4) =

3) (x6) ÷ (x2) =

8) (8h6) ÷ (2h4) =

13) (24y7) ÷ (6y6) =

4) (h9) ÷ (h3) =

9) (6k2) ÷ (3k) =

14) (28x5) ÷ (4x2) =

5) (y5) ÷ (y5) =

10) (10h7) ÷ (2h5) =

15) (32b8) ÷ (8b5) =

F. Divide monomios.

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Defino e identifico los cuerpos sólidos de revolución.

Después de estudiar...

Identifico un cono, sus partes y calculo su área y volumen. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cono. Identifico un cilindro, sus partes y calculo su área y volumen. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cilindro. Identifico las partes de una esfera, calculo el área y el volumen. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas del área y el volumen de la esfera. Practico el cálculo mental con números enteros y monomios.

Unidad 6 – Matemática

121

¡Ponte a prueba! Lee aatentamente cada pregunta y utliza la hoja de respuestas para responder. 1) ¿Qué forma tiene el objeto de la figura? A. cono

C. cilindro

B. cubo

D. esfera

2) El cuerpo de la figura representan a un: A. cono

C. cilindro

B. cubo

D. pirámide

3) ¿Qué forma tiene el objeto de la figura? A. cono

C. cilindro

B. cubo

D. esfera

4) ¿Cómo se llama la línea paralela al eje que gira para formar el cilindro? A. Base

B. Altura

C. Eje

D. Generatriz

5) ¿Cuál es el volumen de una lata cilíndrica que mide 3 cm de radio y 10 cm de alto? A. 402.4 cm3

C. 282.6 cm3

B. 502.8 cm3

D. Ninguna respuesta es correcta.

6) Si la altura del cono es 0.7 m y el radio es 0.3 m, ¿cuál es el volumen del cono? A. 0.066 m3

B. 0.198 m3

C. 0.219 m3

D. 0.098 m3

7) Si el volumen del cilindro es 50.24 cm3 y el radio es 0.1 m, ¿cuál es la altura del cilindro? A. 16 cm

B. 160 cm

C. 1,600 cm

D. 16,000 cm

8) ¿Qué figura debe girar alrededor de un eje imaginario para formar un cilindro? A. Línea

B. Triángulo

C. Rectángulo

D. Circunferencia

9) Si el área de una esfera es 314 cm2, ¿cuál es el radio de esa esfera? A. 5 cm

B. 25 cm

C. 10 cm

D. 15 cm

10) ¿Qué cuerpo se forma mediante un giro completo de 360° de un triángulo alrededor de un eje imaginario?

A. Una esfera

Un cono

Un cilindro

11) ¿Cuál es la capacidad del envase de la figura? A. 188.4 cm3

C. 376.8 cm3

B. 942 cm3

D. 576 cm3

12 cm 5 cm

12) ¿Cuál es el volumen de una esfera que tiene 5 cm de radio? A. 314.4 cm3

C. 523.3 cm3

B. 502.8 cm3

D. Ninguna respuesta es correcta.

122

Tercer grado – ciclo básico

Una pirámide

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 6 – Matemática

123

Geometría II: Poliedros

unidad

¿Qué sabes del tema? Los mayas fueron grandes escultores y arquitectos. Muestra de ello son las pirámides, templos, estelas y los bloques de piedra que forman las construcciones. El arte es diverso en las distintas zonas que habitaron. En el área central se caracteriza por sus formas suaves, inspiradas en la naturaleza, y por la representación realista de la figura humana. En el área norte hallamos formas geométricas diversas: tetraedros, cilindros, prismas, etc. que simbolizan seres divinos y humanos, animales y vegetales. Los mayas también expresaban su arte en los tejidos, ¿Qué figuras geométricas observas en los tejidos típicos actuales?

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Fuego, aire, agua, tierra... Sólidos platónicos

Taller de matemática

Poliedros • Poliedros regulares • Hexaedro o cubo • Prisma • Pirámide

Taller de prácticas Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas de aplicación de poliedros Aumenta tu velocidad de cálculo • Producto y división de potencias

Unidad 7 – Matemática

125

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

1.2 Resuelve problemas que involucran cálculo de medidas y aplicación de propiedades de figuras planas y cuerpos sólidos.

Actividades

Definir: poliedros regulares, hexaedro, prisma y pirámide.

Identificar y localizar los elementos de poliedros, prismas y pirámides.

Calcular áreas y volúmenes de poliedros, prismas y pirámides.

2. Utiliza gráficas y símbolos en la representación de información.

2.1 Construye figuras para representar la información.

Construir un prisma.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Calcular área y volumen de cubos, prismas y pirámides.

Resolver problemas que involucran cuerpos sólidos.

Practicar el cálculo mental con operaciones con potencias y monomios.

126

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Fuego, aire, agua, tierra… sólidos platónicos

En geometría, los sólidos regulares son conocidos formalmente como poliedros (del griego polys que significa "muchas" y edra que significa "cara"). Un poliedro es una región con tres dimensiones, largo, ancho y alto, cerrada por polígonos regulares que ocupan un lugar en el espacio y, en consecuencia, tienen un volumen. El primero en hacer una descripción detallada de estos poliedros fue el filósofo griego Platón, de esta cuenta son conocidos como "sólidos platónicos". Platón fue quien asoció cada uno de los cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra a un poliedro, de la siguiente manera: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro o cubo. Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecaedro, al Universo.

¡A trabajar! Observa detenidamente la ilustración de los poliedros.

tetraedro

hexaedro

octaedro

dodecaedro

icosaedro

Si quisiéramos meter un poliedro dentro de otro hasta quedarnos con uno solo, ¿cuál sería el orden en que deben colocarse? Analiza las posibilidades y escribe el nombre de los poliedros en el orden que deben ir. Puede ser de adentro hacia afuera o viceversa.

Unidad 7 – Matemática

127

Taller de matemática Poliedros Definimos un poliedro como un sólido o cuerpo geométrico delimitado por superficies planas que son polígonos. Los polígonos son las caras del poliedro. Los lados de los polígonos forman las aristas y estas se cortan en puntos o vértices.

Clasificación Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares.

a. Poliedros regulares Son poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares de la misma forma y tamaño. Solo hay cinco poliedros regulares, que ya los has conocido como sólidos platónicos. N° de caras

Caras en forma de

N° aristas

N° vértices

tetraedro

triángulo equilátero

octaedro

triángulo equilátero

icosaedro

triángulo equilátero

hexaedro o cubo

cuadrado

dodecaedro

pentágono

Poliedro

De los poliedros regulares nos detendremos en el estudio del hexaedro o cubo.

128

Tercer grado – ciclo básico

El cubo A nuestro alrededor hay muchos objetos que tienen forma de cubo: dados, cajas, bloques… El cubo o hexaedro (hexa = seis, edro = caras) es un poliedro limitado por seis cuadrados iguales.

cara

Un cubo tiene los siguientes elementos:

6 caras: las superficies planas que forman el cubo,

12 aristas: las líneas donde se encuentran dos caras,

8 vértices: los puntos donde se unen las aristas.

arista

vértice

Área del cubo Si desdoblamos una caja en forma de cubo, podemos ver que está formada por seis cuadrados iguales que ocupan una superficie. Para calcular el área que cubre, se halla el área de un cuadrado y el resultado se multiplica por seis. 2

La fórmula del área de un cuadrado es: A = Por lo tanto, como el cubo tiene seis caras, la fórmula del área de cubo es:

A=6

Ejemplo La fábrica “La luz” tiene un pedido de cajas de cartón en forma de cubo de 10 cm por lado. Necesitan calcular el área de cada caja para utilizar la cantidad exacta de cartón. 2

•

Copiamos la fórmula del área de un cubo.

A=6

•

Sustituimos el dato.

A = 6 (10 cm)

•

Operamos.

A = (6 x 10 x 10)(cm x cm)

A = (6 x 100) cm2 A = 600 cm2 •

Respuesta: Para fabricar una caja se necesitan 600 cm2 de cartón.

Ejercicio 1 Afianza tu conocimiento de la estructura de un hexaedro y sigue las instrucciones con relación a la figura. a) Dibuja un punto rojo en los vértices. b) Repasa con color azul las aristas. (Utiliza una regla para trazar las aristas). c) Pinta con distintos colores las caras del cubo.

Unidad 7 – Matemática

129

Volumen del cubo Recuerda que el concepto de volumen está relacionado con la capacidad y el espacio. De manera sencilla podemos definir el volumen como la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de un cubo se multiplican las tres dimensiones: largo, alto y ancho. Como las tres dimensiones de un cubo son de la misma longitud ( ), entonces la fórmula para calcular su volumen es: V=(

)( )( )

Ejemplo Sara es la encargada de la bodega de un almacén y quiere saber qué espacio ocuparán diez cajas de forma cúbica. Cada caja mide 0.5 m por lado. Ayudemos a Sara a calcular el volumen de cada caja. 3

•

Copiamos la fórmula del volumen de un cubo. V =

•

Sustituimos el dato.

V = (0.5 m)3

•

Realizamos los cálculos.

V = (0.5 x 0.5 x 0.5) (m x m x m)

V = 0.125 m3 Hemos averiguado el volumen de una caja. Falta calcular el volumen que ocuparán las 10 cajas. V = 0.125 m3 x 10 V = 1.25 m3 •

Respuesta: Diez cajas ocuparán 1.25 m .

¡Un ejemplo más! Un depósito para agua mide 4 m por lado y está lleno. ¿Qué cantidad de agua hay en el depósito? 3

•

Copiamos la fórmula.

•

Sustituimos el dato.

V = (4 m)3

•

Realizamos los cálculos.

V = (4 x 4 x 4)(m x m x m)

V = 64 m3 •

130

Tercer grado – ciclo básico

Respuesta: En el depósito hay 64 m3 de agua.

Ejercicio 2 A. Practica el cálculo del área y volumen del cubo para resolver los problemas. 1) Calcula cuánto papel se necesita para forrar una caja de cartón de 30 cm por lado.

2) ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartón necesitas para construir un cubo de 5 cm por lado?

3) Una caja que mide 5 cm de lado, contiene dados. Calcula el volumen de la caja y la cantidad de dados que hay dentro, si cada dado mide 1 cm por lado.

4) Un depósito de agua para una comunidad tiene forma cúbica y mide 5 metros por lado. a.

¿ Cuántos metros cúbicos de agua le caben al depósito?

¿Cuál es su capacidad en litros si cada metro cúbico equivale a 1000 litros?

5) ¿Cuántos metros cúbicos de agua puede contener una pila con forma cúbica si sus dimensiones son 2 metros por lado? a.

Expresa el resultado también en litros.

Unidad 7 – Matemática

131

Poliedros irregulares Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos pero no todas iguales. En esta unidad estudiaremos dos clases de poliedros irregulares: el prisma y la pirámide.

El prisma Un prisma es un poliedro formado por dos bases iguales con forma de polígono regular y varias caras laterales que pueden ser cuadrados o rectángulos. Todos los prismas, cualquiera que sea su forma, tienen en común estos elementos: base superior

altura

•

Base superior e inferior: dos polígonos iguales sobre los cuales se apoya el prisma. Las bases pueden ser triángulos, cuadrados, pentágonos, etc.

•

Caras laterales (Cl): un prisma tiene tantas caras como lados tiene el polígono de la base. Las caras pueden tener forma de cuadrados o de rectángulos.

•

Altura (h): distancia que separa las dos bases del prisma.

caras laterales

base inferior

Clasificación de los prismas Los prismas se clasifican de acuerdo al polígono que forma la base. En la tabla puedes ver algunos ejemplos. prisma

base

Prisma triangular 2 triángulos como bases 3 caras laterales

Prisma cuadrangular 2 cuadrados como bases 4 caras laterales

Prisma pentagonal 2 pentágonos como bases 5 caras laterales

Prisma hexagonal 2 hexágonos como bases 6 caras laterales

132

Tercer grado – ciclo básico

Área del prisma Al extender el prisma sobre un plano se obtienen dos áreas, el polígono que forma la base y los rectángulos que forman las caras laterales. Para hallar el área del prisma, debemos averiguar las medidas de ambas figuras: el área de la base que es el área del polígono y el área lateral que es el área de los rectángulos.

área lateral

Área de la base (Ab)

área de la base

La fórmula dependerá del polígono de la base: triángulo

Ab =

b•h 2

cuadrado

Ab =

polígono regular

Ab =

•a

n• 2

Área lateral (Al) El área lateral es el área que comprenden las caras del prisma. La obtenemos multiplicando el número de caras (n) por el área de una cara (Ac).

prisma triangular (3 caras, n = 3)

Al = n(Ac) h

Como las caras del prisma son rectángulos, el área de una cara debe ser Ac = b • h. Si sustituimos A c por (b • h), obtenemos la fórmula:

base (b)

Al = n (b • h)

Área total (At) Se obtiene sumando el área de las dos bases (2Ab) más el área lateral (Al): At = 2Ab + Al Apliquemos las fórmulas a un ejemplo Una fábrica de botes de aluminio debe producir recipientes en forma de prisma hexagonal cuyas medidas sean 12 cm por lado de la base y 10 cm de apotema. La altura debe medir 20 cm. ¿Qué cantidad de aluminio se necesita para cada recipiente? •

¿Qué datos tenemos?

prisma

hexagonal

•

Calculamos el área de una base con la fórmula del polígono regular.

Ab = n •

•

Sustituimos y operamos.

Ab =

•

a 12 cm

10 cm

•a

(6)(12 cm)(10 cm) 2 720 cm2 Ab = 2 Ab = 360 cm2

Respuesta: Se necesitan 360 cm2 para cada recipiente. Unidad 7 – Matemática

133

Volumen del prisma El volumen de un prisma es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es: V = Ab • h h

Donde: Ab = área de la base del polígono h = altura del prisma

base (b)

Para aplicar la fórmula del volumen primero debemos calcular el área de la base.

Ejemplo

a = 2.4 cm

¿Con cuánto jugo de naranja se puede llenar un vaso, cuya base es un prisma octagonal? La altura del vaso es de 10 cm y la base mide 2 cm por lado y 2.4 cm de apotema.

h = 10 cm

= 2 cm

•

¿Qué datos tenemos?

prisma octogonal

n 8

•

Calculamos el área de una base.

Sustituimos los datos y operamos

Ab =

a 2.4 cm

2 cm

n•

•

(8)(2 cm)(2.4 cm) 2 2 38.4 cm Ab = 2

Ab = 19.2 cm2

•

Calculamos el volumen.

V = Ab • h

•

Sustituimos los datos y operamos.

•

h 10 cm

V = (19.2 cm2 • 10 cm) V = 192 cm3

Respuesta: El vaso se puede llenar con 192 cm3 de jugo de naranja.

¡Una pregunta más! ¿Cuántos vasos se necesitan para repartir 1920 cm3 de jugo?

134

•

Dividimos el volumen a repartir entre el volumen de un vaso.

Se necesitan 10 vasos.

Tercer grado – ciclo básico

1920 cm3 ÷ 192 cm3 = 10

Ejercicio 3 A. Escribe el nombre de las partes del prisma señaladas en el esquema. 3)

B. Resuelve en esta misma hoja los problemas que tienes a continuación. 1) Un carpintero fabrica esquineras de madera con forma de prisma triangular. La altura mide 100 cm y el triángulo de la base mide 50 cm por lado y 43 cm de altura. ¿Cuánta madera necesita para fabricar cada esquinera? ht = 43 cm

= 50 cm

h = 100 cm

2) Calcula la cantidad de mermelada que se puede envasar en un frasco que tiene forma de prisma hexagonal. El frasco mide 15 cm de altura y el polígono de la base 6 cm por lado y 5 cm de apotema.

3) Un bebedero para pollos tiene forma de prisma triangular con las medidas que se muestran en la figura. ¿Cuál es la capacidad del bebedero? b = 25 cm ht = 22 cm h = 50 cm

Unidad 7 – Matemática

135

La pirámide Una pirámide se define como un poliedro formado por un polígono llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice. En una pirámide podemos distinguir estos elementos: v

•

Base (b): Polígono donde descansa la pirámide.

•

Caras laterales (Cl): Triángulos que se unen en el vértice de la pirámide. El número de caras laterales es igual al número de lados de la base.

•

Vértice de la pirámide (v):Punto superior donde se unen las caras laterales.

a •

Altura de la pirámide (h): Distancia del vértice de la pirámide al centro de la base.

•

Altura de la cara (hc): Distancia del centro de un lado de la base hasta el vértice de la pirámide.

•

Apotema (a): Distancia del centro de la base hasta el centro de uno de sus lados.

Clasificación de las pirámides regulares Las pirámides regulares se clasifican según la forma de la base. Veamos algunos ejemplos. pirámide Pirámide triangular: 3 caras y la base formada por un triángulo.

Pirámide cuadrangular: 4 caras y la base formada por un cuadrado.

Pirámide pentagonal: 5 caras y la base formada por un pentágono.

Pirámide hexagonal: 6 caras y la base formada por un hexágono.

136

Tercer grado – ciclo básico

base

Área de una pirámide regular Al igual que un cubo y un prisma, una pirámide se puede descomponer extendiéndola sobre un plano, como se muestra en la figura.

Su área es la cantidad de superficie que ocupa. Está formada por la base y las caras laterales. Para calcular la medida del área, primero hallamos el área de la base (Ab) y después el área lateral (Al). Área de la base (Ab), siempre que la base sea un polígono regular, se utiliza la fórmula: Ab =

n•

•a

Área lateral (Al) es el área comprendida por las caras de la pirámide.

Primero calculamos el área de una cara (Ac), como es un triángulo, entonces utilizamos la fórmula: Ac =

b•h 2

base (b)

El resultado se multiplicará por el número de caras (n) de la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es: A l = n • Ac Área total de la pirámide es la suma del área de la base y del área lateral. At = Ab + Al Para simplificar el procedimiento del cálculo es mejor escribir n • Ac. La fórmula de área total de la pirámide que utilizaremos es: At = Ab + (n • Ac ) Esta fórmula se lee: Área de una pirámide es igual al área de la base más el área de una cara lateral multiplicada por el número de caras.

Unidad 7 – Matemática

137

Ejemplo Una cooperativa fabrica velas con forma de pirámide cuadrangular y quiere empacarlas. Si la cara de la pirámide tiene una altura de 6 cm y el lado de la base mide 5 cm, ¿cuánto papel se necesita para empacar cada vela? Analicemos el problema respondiendo las preguntas: •

¿Qué nos pide el problema?

Calcular cuánto papel se utiliza para envolver cada vela. Para obtener el resultado, es necesario saber cuál es el área total. •

¿Que datos tenemos?

pirámide

cuadrangular

h 5 cm

6 cm

Con esos datos calculamos el área total. Área de la base: 2

•

Como la base es un cuadrado, la fórmula es:

Ab =

•

Sustituimos el dato.

Ab = (5 cm)2

•

Operamos.

Ab = (5 x 5)(cm x cm)

•

Escribimos la respuesta.

Ab = 25 cm2

Área lateral: •

Para hallar el área lateral, primero calculamos el área de una cara. • • •

b•h 2 (5 cm)(6 cm) Sustituimos los datos. Ac = 2 (5 x 6)(cm x cm) Operamos. Ac = 2 30 cm2 Ac = 2 Escribimos la respuesta.

Ac =

Ac = 15 cm2

Área total: •

Copiamos la fórmula.

At = Ab + (n • Ac)

•

Sustituimos los datos.

At = 25 cm2 + (4 • 15 cm2)

•

Operamos. At = 25 cm2 + 60 cm2

•

138

Tercer grado – ciclo básico

At = 85 cm2

Respondemos: Para empacar cada vela se necesitan 85 cm2 de papel.

Volumen de la pirámide El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es: V=

Ab • h 3

La fórmula se lee: volumen de una pirámide es igual al área base por la altura de la pirámide, dividido entre tres.

Ab = área de la base (polígono regular) h = altura de la pirámide. Para aplicar la fórmula debemos calcular primero el área de la base. Atención: la altura de la pirámide es diferente a la altura de las caras. Ejemplo En la cooperativa donde fabrican velas tienen un pedido de velas con forma de pirámide cuadrangular. Si la base mide 10 cm por lado y la altura es de 12 cm, ¿qué cantidad de parafina se necesita para fabricar una vela? •

¿Qué datos tenemos?

pirámide

cuadrangular

10 cm

12 cm

Primero calculamos el área de la base. •

Copiamos la fórmula del área del cuadrado.

Ab =

•

Sustituimos los datos en la fórmula.

Ab = (10 cm)2

•

Operamos.

Ab = (10 x 10)(cm x cm)

•

Escribimos la respuesta.

Ab = 100 cm2

Ahora sí calculamos el volumen.

•

Copiamos la fórmula.

Ab • h 3

•

Sustituimos los datos.

(100 cm2)(12 cm) 3

•

Operamos.

(100 x 12)(cm2 x cm) 3

1200 cm3 3

V = 400 cm3

Respuesta: Se necesitan 400 cm3 de parafina para fabricar una vela. Unidad 7 – Matemática

139

Ejercicio 4 A. Afianza tu conocimiento de la estructura de una pirámide y sigue las instrucciones con relación a la figura. a. Dibuja con lápiz un punto grueso en el vértice de la pirámide.

b. Pinta de color azul la altura de la cara.

c. Pinta de color rojo la altura de la pirámide.

d. Pinta de color negro la apotema de la base.

e. Pinta de color verde las caras.

B. Identifica cada pirámide con su nombre correcto de acuerdo a su base.

0) pirámide

cuadrangular

Resuleve los problemas aplicando las fómulas de área y volumen de la esfera. 1) ¿Qué cantidad de cartón se necesita para construir una pirámide de base octagonal con las medidas siguientes?

Altura de las caras : 4 cm Apotema de la base: 5 cm Lado de la base: 3 cm

2) Se necesita pintar la carpa de un circo que tiene forma de pirámide dodecagonal, la base mide 5 metros por lado, la altura de una cara es 20 metros. 2 Si un galón de pintura cubre 50 m , ¿cuántos galones de pintura habrá que comprar?

3) La base de una pirámide cuadrangular mide 6 cm por lado, la altura de las caras es de 10 cm y la altura de la pirámide mide 8 cm. ¿Cuál es su área total y su volumen?

140

Tercer grado – ciclo básico

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Escribe sobre la línea los elementos del prisma señalados en la ilustración. Luego, responda las preguntas. 3)

1) a. ¿Cuántas caras tiene el prisma de la figura? b. ¿Qué nombre recibe? B. Completa la tabla indicando el número de caras, vértices y aristas. Caras

Vértices

Aristas

Prisma cuadrangular Cubo Pirámide hexagonal C. Responde las siguientes preguntas. 1) ¿Qué nombre recibe la línea que se forma por la unión de dos caras en un poliedro? 2) ¿Qué nombre reciben los puntos donde se unen las aristas? 3) ¿Cómo se llaman las superficies planas que forman el cubo? 4) ¿Cúal es el sólido geométrico limitado por seis caras iguales? 5) ¿Qué tipo de triángulo forman las caras de una pirámide? 7) ¿Cuál es la base de un prisma octagonal? 8) ¿Cuántas caras tiene un prisma octagonal? Unidad 7 – Matemática

141

Ejercicio 2 A. Calcula el área total y el volumen de cada figura, según las medidas indicadas. 1)

= 11.5 mm Área total

Volumen

Área total

Volumen

Área total

Volumen

Área total

Volumen

Área total

Volumen

2) Prisma cuadrangular lado de la base: 10 cm altura del prisma: 50 cm

3) Prisma pentagonal lado de la base: 30 cm apotema: 20 cm altura: 60 cm

4) Pirámide cuadrangular altura de las caras: 2 m altura de la pirámide: 1.6 m lado de la base: 1 m

5) Pirámide pentagonal altura de las caras: 8 mm altura de la pirámide: 7.2 m apotema de la base: 6 m lado de la base: 3.6 m

142

Tercer grado – ciclo básico

Ejercicio 3 A. Dibuja el desarrollo de un prisma pentagonal e indica cuántos vértices y aristas tiene.

B. Sigue cuidadosamente las instrucciones y construye un tetraedro.

Prepara los materiales a utilizar: cartulina o papel grueso, lápiz, regla, tijeras y pegamento.

Sigue los pasos: 1) Traza un triángulo equilátero como la figura de abajo (mayor de 10 cm por lado). 2) Marca la mitad de cada lado. 3) Traza líneas uniendo la mitad de cada lado para formar otro triángulo interno (observe la figura). 4) Dibuja unas pestañas en los lados como en la figura. 5) Recorta el dibujo. 6) Dobla la figura por las líneas marcadas. 7) Aplica pegamento en las pestañas y forma el tetraedro.

Unidad 7 – Matemática

143

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes. 1) Calcula el volumen de un prisma cuadrangular, sabiendo que el perímetro de la base mide 16 cm y la altura 6 cm. 2) Determina la capacidad de un depósito de forma de prisma cuadrangular, de 2.5 m de altura y 6 m de perímetro de base. 3) El soporte de un velador tiene la forma de un prisma triangular. El lado de la base del prisma mide 20 cm y la altura 50 cm. Si el soporte debe ser revestido de vidrio, determina la superficie del material que será utilizado en la construcción de 30 veladores. 4) En un día de lluvia, los desagües de un edificio se atascan y el agua se acumula en el sótano. La base del edificio es un rectángulo de 20 cm de altura y base 30 cm, respectivamente. ¿Cuál es el volumen de agua acumulada, si su nivel alcanza 10 cm? 5) ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de dimensiones: 60 cm de largo por 40 cm de ancho y 50 cm de altura, si el material con el que está construido cuesta 18 quetzales el metro cuadrado? 6) ¿Cuántos litros de plomo fundido necesitaremos para construir 10 cubos cuyas aristas sean de 50 cm? 7) ¿Cuántos metros cúbicos de concreto se necesitan para construir una columna con forma de prisma cuadrangular de 3 metros de altura, si la base mide 0.5 metros por lado? 8) Un puente se sostiene con 8 columnas de concreto con forma de prisma octogonal. La altura de cada columna es de 8 m y la base mide 1 m por lado y 1.2 m de apotema. Con estos datos: a. Calcula la cantidad de concreto que se necesita para fabricar una columna.

b. Calcula el costo de cada columna si el metro cúbico de concreto cuesta Q900.00

9) El techo de un gallinero tiene forma de pirámide octogonal. La base mide 2 m por lado y la altura de las caras es de 5 m. Si su propietario quiere revestirlo de material impermeable, ¿qué cantidad de material tendrá que comprar? 10) Una empresa fabrica chocolates en forma de pirámide cuadrangular. Para cada unidad la base mide 2 cm por lado. La altura de la pirámide es de 3 cm y la altura de las caras 3.5 cm. a. ¿Qué cantidad de envoltura se necesita para envolver 100 unidades? b. ¿Cuánto chocolate gastarán para fabricar esas 100 unidades? 11) En la cúpula de una iglesia se desea colocar una pirámide pentagonal de 3 metros de altura, cuya base mida 1 m de apotema y 1.5 m por lado. a.

¿Qué cantidad de concreto se necesita para construirla?

b. Si se pinta el área lateral de la pirámide, ¿qué área se debe pintar, sabiendo que la altura de una cara es de 3.2 metros?

144

Tercer grado – ciclo básico

Aumenta tu velocidad de cálculo A. Multiplica números enteros. Aplica la ley de signos. 1) (–6) • 3 =

6) 4 • (–3) =

11) (–2) • (–2) =

2) (–4) • 7 =

7) 7 • (–6) =

12) (–3) • (–7) =

3) (–2) • 9 =

8) 2 • (–9) =

13) (–4) • (–5) =

4) (–3) • 5 =

9) 8 • (–8) =

14) (–9) • (–9) =

5) (–1) • 6 =

10) 5 • (–8) =

15) (–4) • (–7) =

1) 36 ÷ 3 =

6) 21 ÷ (–3) =

11) (–30) ÷ 2 =

2) 42 ÷ 2 =

7) 54 ÷ (–3) =

12) (–56) ÷ 2 =

3) 28 ÷ 2 =

8) 45 ÷ (–3) =

13) (–60) ÷ 3 =

4) 18 ÷ 1 =

9) 48 ÷ (–3) =

14) (–72) ÷ (–2) =

5) 42 ÷ 6 =

10) 16 ÷ (–2) =

15) (–14) ÷ (–2) =

B. Divide números enteros.

C. Multiplica potencias de igual base y expresa el resultado como potencia. 1) 36 • 33 =

6) 114 • 113 =

2) 45 • 46 =

7) 153 • 1511 =

3) 72 • 74 =

8) 124 • 126 =

4) 32 • 35 =

9) 148 • 146 =

5) 62 • 64 =

10) 105 • 102 =

D. Divide potencias con bases distintas y exponentes iguales lo más rápido que puedas. 1) 185 ÷ 25 =

7) 255 ÷ 55 =

13) 364 ÷ 94 =

2) 633 ÷ 73 =

8) 186 ÷ 36 =

14) 202 ÷ 52 =

3) 324÷ 84 =

9) 543 ÷ 63 =

15) 459 ÷ 59 =

4) 122 ÷ 22 =

10) 908 ÷ 108 =

16) 706 ÷ 56 =

5) 819 ÷99 =

11) 505 ÷ 105 =

17) 285 ÷ 45 =

6) 496 ÷ 76 =

12) 723 ÷ 83 =

18) 426 ÷ 66 =

Unidad 7 – Matemática

145

E. Multiplica monomios con coeficientes diferentes. Recuerda. 1) 5w • 3w =

6) 4b3 • 2b2 =

11) 6x4 • 4x2 =

2) 6h2 • 4h =

7) 9y2 • 3y4 =

12) 9y3 • 6y3 =

3) 3x2 • x3 =

8) 4k 2 • 3k =

13) 3b4 • 3b3 =

4) 7b2 • 4b =

9) 5h3 • 3h4 =

14) 5h2 • 7h5 =

5) 2h • 9h3 =

10) 7x2 • 8x3 =

15) 4x3 • 7x2 =

F. Divide monomios con coeficientes iguales y diferentes. 1) x ÷ x =

6) 9b2 ÷ 3b =

11) 12k6 ÷ 4k3 =

2) k 2 ÷ k =

7) 4x2 ÷ 4x =

12) 20x9 ÷ 5x4 =

3) x6 ÷ x2 =

8) 8h6 ÷ 2h4 =

13) 24y7 ÷ 6y6 =

4) h9 ÷ h3 =

9) 6k 2 ÷ 3k =

14) 28x5 ÷ 4x2 =

5) y5 ÷ y5 =

10) 10h7 ÷ 2h5 =

15) 32b8 ÷ 8b5 =

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Identifico los sólidos platónicos como poliedros regulares.

Después de estudiar...

Calculo el área y el volumen de un hexaedro o cubo. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. Identifico y clasifico diferentes prismas según el polígono de sus bases. Calculo el área y el volumen de diferentes prismas. Identifico y clasifico pirámides según el polígono de su base. Calculo el área y el volumen de pirámides distintas. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cubo, prisma y pirámide. Practico el cálculo mental con potencias y monomios.

146

Tercer grado – ciclo básico

en no logrado proceso logrado

¡Ponte a prueba! En la hoja de respuestas rellena el círculo de la opción que presenta la respuesta correcta. 1) El número de caras de un tetraedro es: A. 8 y todas cuadradas

C. 8 y todas triángulos equiláteros

B. 4 y todas cuadradas

D. 4 y todas triángulos equiláteros

2) Dos rectas paralelas en un cubo se corresponden con: A. Dos aristas unidas por un vértice común

C. Dos aristas opuestas

B. Dos caras paralelas

D. Dos diagonales de la misma cara

3) Si un poliedro regular tiene 8 aristas y 5 caras, ¿cuántos vértices tendrá? A. 4

B. 6

C. 8

D. 5

C. 6 dm3

D. 1 dm2

4) El área total de un cubo de 1 dm de arista es: A. 6 cm3

B. 6 dm2

5) Un aula tiene 8.25 m de largo, 7 m de ancho y 3.45 m de alto. ¿Qué volumen de aire contiene? A. 200 m3

B. 199, 237 m3

C. 188 m3

D. 188.67 m3

6) ¿Cuál es el área de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero, si la arista de la base mide 0.8 dm y la lateral de 10 cm? A. 109.92 m2

B. 64.24 m2

C. 137.52 cm2

D. 110.48 m2

C. 12 aristas

D. 8 aristas

7) ¿Cuántas aristas tiene un cubo? A. 6 aristas

B. 7 aristas

8) Un prisma cuadrangular se compone de: A. 4 caras rectangulares y 2 bases cuadradas

C. 6 caras iguales rectangulares

B. 2 bases triangulares y 3 caras rectangulares

D. 6 caras iguales cuadradas

9) ¿Cómo se llama el punto más alto de una pirámide? A. Altura

B. Apotema

C. Cara lateral

D. Vértice

C. Hexagonal

D. Triangular

10) ¿Qué nombre recibe la pirámide formada por cinco caras? A. Cuadrangular

B. Pentagonal

Unidad 7 – Matemática

147

148

Tercer grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 7 – Matemática

149

Ley de senos y ley de cosenos ¿Qué sabes del tema? Se llama paralaje al ángulo formado por las líneas de observación a un objeto desde dos puntos suficientemente separados. En el campo de la Astronomía, para calcular la distancia que hay entre una estrella y la Tierra, se utiliza “la paralaje”, que es un ángulo bajo el cual se ve la órbita terrestre desde una estrella.

unidad

Fondo lejano

Objeto observado

Para realizar los cálculos se aplican las leyes del seno y coseno. Este será el tema de la unidad.

¿Sabes cuál es la estrella más lejana a la Tierra? Investígalo en internet y comparte el resultado de tu investigación con tus compañeros y compañeras.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

Repaso de las razones trigonométricas

Taller de matemática

Triángulo oblicuángulo • Ley de senos • Ley de cosenos

Taller de prácticas

Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Problemas que se resuelven aplicando las leyes del seno y del coseno Aumenta tu velocidad de cálculo • Ecuaciones de primer grado y operaciones con la unidad seguida de ceros.

Unidad 8 – Matemática

151

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia 1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

Indicador de logro 1.3 Aplica la trigonometría a la resolución de problemas.

Actividades

Identificar un triángulo oblicuángulo y apreciar la diferencia respecto al triángulo rectángulo.

Conocer y aplicar las leyes de senos y cosenos en ejercicios prácticos.

Resolver triángulos aplicando las leyes de senos y cosenos.

Resolver problemas aplicando las leyes de senos y cosenos.

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Practicar el cálculo mental.

5. Aplica métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación de situaciones de su entorno.

5.1 Realiza operaciones de pensamiento lógico.

Resolver problemas que involucran las leyes de senos y cosenos para su solución.

152

Tercer grado – ciclo básico

¡Prepárate para el recorrido! Trigonometría y razones trigonométricas Recuerda que la palabra trigonometría significa “medición de triángulos”. La trigonometría es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de cualquier triángulo. A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se les llama funciones o razones trigonométricas. Recuerda brevemente las relaciones trigonométricas con respecto a un ángulo α, en un triángulo rectángulo ABC. Razones trigonométricas Seno: Cateto opuesto dividido entre hipotenusa.

sen α = a/c

Coseno: Cateto adyacente entre hipotenusa.

cos α= b/c

Tangente: Cateto opuesto entre cateto adyacente. Cotangente: Cateto adyacente entre cateto opuesto.

Ángulo α

tan α = a/b cot α = b/a

Secante: Hipotenusa entre cateto adyacente.

sec α = c/b

Cosecante: Hipotenusa entre cateto opuesto.

csc α = c/a

β c

Recuerda: Adyacente significa “a la par” y opuesto, "enfrente".

¡A trabajar! Practica las razones trigonométricas para resolver estos problemas. 1) Un topógrafo debe medir la longitud de una cuesta que forma un ángulo de 30° con la horizontal. La altura de la colina es de 15 metros. A

2) Obtén la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.

b = 4.33 m

60º

Unidad 8 – Matemática

153

Taller de matemáticas Triángulo oblicuángulo Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto, o lo que es lo mismo, los tres tienen medidas distintas de 90°. Esta característica hace que no se pueda resolver directamente por el teorema de Pitágoras, como lo hacías con un triángulo rectángulo. Mira la ilustración y observa cómo el triángulo oblicuángulo –a la izquierda– no tiene ningún ángulo de 90°. Puedes comprobarlo midiendo con un transportador. B

c A

γ b

Triángulo oblicuángulo

α b

Triángulo rectángulo

Resolución de un triángulo oblicuángulo Recuerda que resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver un triángulo oblicuángulo: •

Debes calcular tres de sus elementos (pueden ser dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado).

•

Como requisito indispensable, debes conocer los otros tres elementos. Al menos uno de esos elementos debe ser un lado.

•

Utilizar uno o más de los recursos que te presenta la tabla siguiente. Suma de los ángulos de un triángulo

Ley o teorema del seno

α + β + γ = 180º sen α sen β sen γ = = a b c a2 = b2 + c2 – 2bc (cos α)

Ley o teorema del coseno

b2 = a2 + c2 – 2ac (cos β) c2 = a2 + b2 – 2ab (cos γ)

154

Tercer grado – ciclo básico

Ley de senos La ley o teorema de senos es una relación de proporcionalidad entre la longitud de cada lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto. Dicha relación de proporcionalidad se compone de tres igualdades que se cumplen siempre entre los ángulos y los lados de cualquier triángulo. La gráfica nos muestra un triángulo oblicúangulo al lado izquierdo y, a la derecha, la relación de proporcionalidad entre lados y ángulos.

γ b A

a b c = = sen a sen b sen g

β c

Aplicaciones Aplicamos la ley de senos para resolver triángulos en dos casos. • Cuando conocemos dos ángulos y un lado del triángulo. • Cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados. Veamos un ejemplo Calcular la longitud del lado b y el ángulo γ de un triángulo, tal que el ángulo α mide 65°, el ángulo β, 83° y el lado a mide 10 cm. •

Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados y completamos en la tabla los datos conocidos. Ángulos

α = 65° β = 83° γ = ¿?

Lados

a = 10 cm b = ¿? c = ¿?

β c

•

Copiamos la fórmula para averiguar el ángulo γ.

α + β + γ = 180°

•

Despejamos el ángulo que buscamos, γ.

γ = 180° − (65° + 83°)

•

Sustituimos en la fórmula los datos conocidos.

γ = 180° − (148°)

γ = 32° El ángulo γ mide 32° Para calcular el lado b aplicamos la ley de senos.

a b = sen α sen β 10 cm b = sen 65° sen 83°

•

Sustituimos los datos que conocemos.

•

Despejamos para averiguar el lado b.

(10 cm) (sen 83°) sen 65°

•

Averiguamos con la calculadora el valor de sen 83º y sen 65º.

9.9 cm (10 cm) (0.99) = 0.90 0.90

El lado b mide 11.69 cm

b = 11 cm Unidad 8 – Matemática

155

Otro ejemplo De un triángulo sabemos que: a = 6 m, β = 45° y γ = 105°, determinemos el resto de los elementos. •

Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, y completamos la tabla con los datos conocidos. Ángulos

α = ¿? β = 45° γ = 105º

A α

Lados

a=6m b = ¿? c = ¿?

b γ C

β a=6m

Conocemos los valores de los ángulos β y γ. •

Por la suma de ángulos, podemos determinar el valor del ángulo α.

α + β + γ = 180º

α = 180° – (β + γ)

•

α = 180° – (45° + 105°)

Sustituimos los datos conocidos.

α = 180° – 150°

α = 30°

El ángulo α mide 30° Ya tenemos el valor de todos los ángulos. Nos falta averiguar la medida de los lados b y c. •

Aplicamos la ley de senos para calcular el lado b.

a b = sen α sen β

•

Sustituimos los datos conocidos.

6m b = sen 30° sen 45°

6 m (sen 45°) sen 30°

4.2 m = 8.4 m 0.5

El lado b mide 8.4 metros. •

De nuevo aplicamos la ley de senos para calcular el lado c.

a c = sen a sen g

•

Sustituimos los datos conocidos.

6m c = sen a sen g

6 m (sen 105°) sen 30°

5.76 m = 11.5 m 0.5

El lado c mide 11.5 metros.

156

b = 8.4 m

Tercer grado – ciclo básico

c = 11.5 m

Ejercicio 1 1) Resuelve el triángulo de la figura si sabes que las medidas de las que dispones son las de la tabla. C Ángulos

Lados

α = 52º β = 70° γ = ¿?

a = ¿? b = ¿? c = 26.7

γ b

52º 70º B c = 26.7

a. Averigua en primer lugar la medida del ángulo desconocido.

α + β + γ = 180º

C b

El ángulo γ mide:

52º 70º B c = 26.7

b. Calcula la medida del lado a.

a b c = = sen a sen b sen g C

γ b

El lado a mide:

52º 70º B c = 26.7

c. Calcula la medida del lado b..

a b c = = sen a sen b sen g C b

El lado b mide:

γ a

52º 70º B c = 26.7

Unidad 8 – Matemática

157

Problemas de aplicación La resolución de triángulos se emplea en la navegación, la elaboración de mapas, la astronomía, la ingeniería (altura de edificios, por ejemplo) y en otros fenómenos como la transmisión de sonido o el flujo de corriente. Sirve especialmente para calcular distancias que no pueden ser medidas de forma directa porque son inaccesibles, como puede ser la distancia que hay entre el planeta Tierra y una de sus estrellas. Veamos un ejemplo. Una avioneta vuela de Guatemala a Izabal, de Guatemala a Sololá y de Sololá a Izabal. El recorrido que hace la avioneta forma un triángulo como el que se muestra.

Ángulos

α = 102º β = ¿? γ = 53º

Lados

a = ¿? b = 140 km c = ¿?

B b

b = 140 km

Si entre Guatemala y Sololá recorre un tramo de 140 kilómetros, ¿cuál es la distancia que recorre entre Guatemala (α) e Izabal (β)? Los datos que tenemos son:

A: Guatemala

El ángulo que forma la avioneta al salir de Guatemala y volar hacia Izabal y hacia Sololá es: a = 102°

B: Izabal

El ángulo que forma la avioneta al salir de Izabal hacia Guatemala y Sololá no lo conocemos: b = ¿?

C: Sololá

El ángulo que forma la avioneta de Sololá hacia Izabal y Guatemala es: g = 53°

Lado b: tramo recorrido entre Guatemala y Sololá

Lado b= 140 km

Con esta información, podemos encontrar el ángulo β.

α + β + g = 180º

•

Despejamos el ángulo β que es el que buscamos.

β = 180° − ( α + γ)

•

Sustituimos en la fórmula los datos conocidos.

β = 180° − (53° + 102°)

β = 180° − (155°) β = 25° El ángulo β mide 25°.

158

Tercer grado – ciclo básico

Ahora averiguaremos cuántos kilómetros recorrió la avioneta para ir de Guatemala a Izabal. Este recorrido lo representa el lado c. Aplicamos la ley de senos para averiguar el lado c.

b c = sen b sen g

•

Sustituimos los datos que conocemos.

140 km c = sen 25° sen 102º

•

Despejamos c.

(140 km) (sen 102º) sen 27º

•

Operamos con la calculadora:

c =

(140 km) (0.98)

0.45 137.2 km 0.45

c = 304.88 ≅ 305 km La avioneta recorrió 305 km entre el punto A y B, es decir entre Guatemala e Izabal. Otro ejemplo •

Calcula el perímetro de un estanque triangular, cuyas medidas son las que aparecen en la tabla: Ángulos

Lados

α = 45º β = 30º γ = ¿?

a = 102 m b = ¿? c = ¿?

C b

a = 102 m

b B

Buscamos en primer lugar la medida del ángulo γ.

α + β + g = 180º

•

Aplicamos la suma de ángulos.

•

Despejamos el ángulo desconocido γ.

γ = 180° − (α + β)

•

Sustituimos en la fórmula los datos conocidos:

γ = 180° − (45° + 30°)

γ = 180° − 75° γ = 105° El ángulo γ mide 105° •

Aplicamos la ley de senos para averiguar el lado c.

a c = sen a sen g

•

Sustituimos los datos que conocemos.

102 m c = sen 45º sen 105º

•

Despejamos c.

(102 m) (sen 105º) sen 45º

•

Operamos.

(102 m) (0.97) 0.71

c =

98.9 m 0.71

c = 139.3 ≅ 139 m Unidad 8 – Matemática

159

Aplicamos la ley de senos para averiguar el lado b.

a b = sen a sen b

•

Sustituimos los datos que conocemos.

102 m b = sen 30º sen 45º

•

Despejamos para averiguar el lado b.

(102 m) (sen 30º) sen 45º

•

Operamos con la calculadora.

(102 m) (0.5) 0.71 51 m 0.71

b = 71.8 ≅ 72 m El perímetro del estanque es: P = 102 m + 139 m + 72 m = 313 m

Ejercicio 2 1. Calcula la distancia que debe recorrer un trabajador para subir y bajar una carretilla por una rampa, si sabes que la base mide 28 metros y tiene una inclinación de 28° en la subida y 45° en la bajada.

Te ayudamos con los datos en la tabla. Ángulos

α = 28º β = 45º γ = ¿?

Lados

a = ¿? b = ¿? c = 28 m

b A

160

Tercer grado – ciclo básico

a b

α c = 28 m

a. Aplica la suma de ángulos para averiguar el ángulo γ. α + β + g = 180º

El ángulo γ mide:

b. Aplica la ley de senos para averiguar el lado b.

a b c = = Sen a Sen b Sen g

C g

El lado b mide:

a b

α c = 28 m

c. Aplica la ley de senos para averiguar el lado a.

a b c = = Sen a Sen b Sen g

C g

El lado a mide:

a b

α c = 28 m

La distancia que recorre el trabajador para subir y bajar la rampa es de :

Unidad 8 – Matemática

161

Ley de cosenos ¿Recuerdas el teorema de Pitágoras? c2 = a2 + b2? El teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar el lado de cualquier triángulo rectángulo. La ley de cosenos podemos considerarla como una ampliación del teorema de Pitágoras, aplicable a todos los triángulos. La ley de cosenos nos dice: El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. En cualquier triángulo ABC, como el de la figura, se cumplen las siguientes ecuaciones:

a c B

a2 = b2 + c2 − 2bc (cos α) b2 = a2 + c2 − 2ac (cos β)

g a

c2 = a2 + b2 − 2ab (cos γ)

Aplicaciones La ley de cosenos sirve para resolver triángulos en los siguientes casos. • •

Cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Cuando conocemos sus tres lados.

Hagamos un ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura el lado a mide 9 m, el lado b mide 5 m y el ángulo γ mide 132°. Encontrar la longitud del tercer lado. •

Ponemos todos los datos ordenados en la tabla.

Ángulos

b = ¿? a = ¿? γ = 132º •

Para calcular el valor del lado c empleamos la ley de cosenos:

•

Copiamos la ecuación que relaciona los lados y ángulos que conocemos con el lado que buscamos.

•

162

Lados

a=9m b=5m c = ¿?

c2 = a2 + b2 – 2ab (cos γ)

Sustituimos en la fórmula y operamos.

c2 = (9 m)2 + (5 m)2 – 2(9 m) (5 m) cos 132°

c2 = (81 m2 + 25 m2) – 90 m2 (– 0.669)

c2 = (106 m2) – 90 (– 0.669)

c2 = 106 m2 + 60.21)

c2 = 166.21 m2 c2 = 166.21 m2

c = 12.89 m ≅ 13 m

El lado c mide 13 m

Tercer grado – ciclo básico

Otro ejemplo Calcular el valor del lado a del triángulo de la figura. •

•

Ángulos

Lados

α = 60º β = 30º γ = ¿?

a = ¿? b=3m c=4m

b a g C

c=4m 60º b=3m A

Aplicamos la fórmula en función del lado a.

a2 = b2 + c2– 2bc (cos α)

•

Completamos la tabla con los datos conocidos.

Sustituimos los valores y operamos. a2 = (3 m)2 + (4 m)2 – 2(3 m) (4 m) cos 60°

a2 = 9 m2 + 16 m2 – (24 m2) (0.5)

a2 = 25 m2 – 12 m2

a2 = 13 m2 a2 = 13 m2

a = 3.6 m

El lado a mide 3.6 metros.

Ejercicio 3 1. Determina el lado desconocido del triángulo que se muestra en la figura. C Ángulos

b = 26º a = ¿? γ = ¿?

Lados

b = ¿? a = 12 m c = 10 m

b A

a = 12 m

c = 10 m

26º

a) ¿Cuál de las fórmulas de la ley del coseno debes aplicar?

Cópiala y sustituye en ella para llegar a la solución.

El lado b mide

metros.

Unidad 8 – Matemática

163

Problemas de aplicación Algunos problemas requieren la solución de triángulos oblicuángulos que tienen los datos de dos lados y el ángulo común a estos. Veamos: Queremos construir una maqueta del patio triangular de un museo. Para ello hemos medido la longitud de dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre ambos. ¿Cómo podremos hallar la medida del tercer lado del triángulo para construir la maqueta? En primer lugar conviene siempre hacer un dibujo que te pueda dar luz sobre la ubicación de los lados y ángulos que se buscan. Para aproximar lo más posible el dibujo a los datos, utiliza el transportador para medir los ángulos. A la par, la tabla te ayudará a visualizar los datos disponibles y los que te faltan. C Ángulos

α = 35º β = ¿? γ = ¿?

Lados

a = ¿? b = 105 m c = 210 m

b = 105 m A

35º

c = 210 m

•

Conocemos los lados b y c, así como el ángulo α que se forma entre ambos. Por lo tanto, podemos aplicar la ley de cosenos.

•

De las tres ecuaciones de la ley de cosenos elegimos la ecuación en función del lado desconocido, a.

•

a2 = b2 + c2– 2bc (cos α)

Sustituimos los datos en la ecuación:

a2 = (105 m)2 + (210 m)2 – 2(105 m) (210 m) (cos 35°)

•

a2 = (11 025 m2 + 44 100 m2) – (44 100 m2) (0.82)

Operamos:

a2 = (55 125 m2) – (36 162 m2)

a2 = 18,963 m2

a = 137.71 m

El tercer lado del triángulo mide 137.7 m

Ejercicio 4 Para resolver el problema que tienes a continuación debes aplicar la ley de senos y la ley de cosenos. Alma es guardabosques y se encuentra en el punto A. Observa un foco de incendio a un ángulo de 58°. Rodrigo, el guardabosques del punto B, lo observa en un ángulo de 47°. Si ambos están separados a una distancia de 500 m entre sí, ¿qué distancia tiene que recorrer cada guardabosques para apagar el foco de incendio? ¿Quién llegará primero?

164

Tercer grado – ciclo básico

C Ángulos

a = 58º b = 47º γ = ¿?

Lados

a = ¿? b = ¿? c = 500 m

a c = 500 m

a. Calcula en primer lugar el ángulo desconocido con la suma de ángulos. α + β + g = 180º

b. Averigua el lado b, es decir la distancia a la que está Alma del foco de incendio.

Para hacerlo aplica la ley de senos:

•

Sustituye los datos:

El lado b mide:

b c = sen b sen g

c. Ahora averigua el lado a, la distancia a la que está Rodrigo.

Para hacerlo aplica la ley de cosenos:

•

a2 = b2 + c2 − 2bc (cos α)

Sustituye los datos:

¿Quién llega primero? Unidad 8 – Matemática

165

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Aplica la ley de senos para calcular el ángulo o el lado solicitado en cada ejercicio. Considera el triángulo como modelo en el que puedes ubicar los datos que te proporcionan. 1) a = 43°, a = 20, b = 112°, calcular el lado b

3) γ = 74.39°, c = 12, b = 58.18°, calcular el lado b

2) a = 28°, a = 21, b = 15.56°, calcular el lado b

4) b = 102°, b = 22, γ = 51.61°, calcular el lado c

166

Tercer grado – ciclo básico

B. Resuelve cada ejercicio aplicando la ley de cosenos: 1) a = 116°, c = 12, b = 18, calcular el lado a

3) a = 60°, b = 25, c = 18, calcular el lado a

2) a = 13, b = 15, c = 17, calcular el ángulo a

4) b = 45°, a = 6, c = 9, calcular el lado b.

Unidad 8 – Matemática

167

C. Resuelve los triángulos. Utiliza la ley de senos. 1) b = 20°, γ = 80° y c = 7 m

3) b = 49°, γ= 60° y c = 540 m

2) a = 40°, γ= 76° y a = 10 m

4) b = 60°, a = 15 m y b = 10 m

168

Tercer grado – ciclo básico

Desarrolla tu pensamiento lógico 1) Un guardacostas de Monterrico coloca un dispositivo localizador a un pelícano para una investigación. En un momento dado, el pelícano vuela 5 km en dirección sur, después cambia su vuelo con una dirección 15° al oeste. Si voló 7 km, ¿a qué distancia se encuentra del punto de partida? 2) Se construye una jardinera en forma de triángulo. Dos de sus ángulos miden 42.5 ° y 23° respectivamente y el lado entre los dos ángulos mide 3 metros de largo. Si en su perímetro se sembrará grama, C ¿cuál es el perímetro que se debe sembrar de grama? g

3) Para evitar que se caiga un poste que se encuentra con una inclinación de 75° con relación al suelo, se colocó una viga de acero con una inclinación de 55°, con respecto al suelo. Si el poste mide 3.4 m, ¿cuánto mide la viga?

a a c

b B

4) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro lado y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla. 5) Desde un punto A de un pueblo se observa un globo con un ángulo de 50º. En otro punto B, situado al otro lado y en línea recta, se observa el mismo globo con un ángulo de 40º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 2.38 kilómetros del punto A y a 2 kilómetros del punto B, calcula la distancia entre los los puntos A y B. 6) Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 40º con la base. Si el triángulo tiene 60 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados. 7) Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Estela hay 15 metros, y entre Estela y Camila, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camila es de 10º. Calcula la distancia entre Alberto y Camila. 8) Un pino, una araucaria y un cedro están dispuestos en forma triangular. La distancia entre el pino y la araucaria es de 10 metros, entre la araucaria y el cedro es de 14 metros y el ángulo que forman el cedro y la araucaria es de 45°. Calcula la distancia entre el cedro y el pino. 9) Un lazo de 10 pies no es lo suficientemente largo para medir la longitud que hay entre dos puntos A y B situados en los extremos de una piscina en forma de riñon. Un tercer punto C se halla situado de tal manera que la distancia entre A y C es de 10 pies. Se ha determinado que el ángulo g es de 115° y que el ángulo b es de 35°. Encuentre la distancia entre A y B.

B b

a b

10) De un depósito de agua salen dos tubos, uno de 175m y otro de 205m que abastecen a dos casas A y B. Si el ángulo que forman los tubos entre sí es de 105º ¿Cuál es la distancia entre las casas? 11) Dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. Otro punto C se localiza en el mismo lado que B a una distancia de 230 metros de B. Si el ángulo b es de 105° y el ángulo g es de 20°, encuentra la distancia entre A y B.

Unidad 8 – Matemática

169

Aumenta tu velocidad de cálculo Resuelve mentalmente el valor de la variable que hace verdadera la ecuación, escribe la respuesta sobre la línea. A. Averigua el valor de la variable de cada suma indicada. 1) 8 + w = 25

8) 18 + w = 36

2) 9 + x = 10

9) x + 20 = 40

3) 5 + y = 30

10) y + 25 = 33

4) 7 + z = 17

11) z + 16 = 32

5) 10 + a = 35

12) a + 12 = 25

6) 14 + b = 23

13) b + 45 = 50

7) 22 + c = 31

14) c + 26 = 96

B. Averigua el valor de la variable de cada resta indicada. 1) 6 – x = 4

8) 45 – x = 40 x =

2) 8 – y = 0

9) y – 10 = 18

3) 2 – z = 1

10) z – 12 = 12

4) 14 – a = 10

11) a – 15 = 7

5) 18 – b = 12

12) b – 20 = 9

6) 36 – c = 22

13) c – 45 = 15

7) 84 – w = 70

14) w – 16 = 16

C. Multiplica por la unidad seguida de ceros. 1) 2.6 × 10 =

7) 0.05 × 10 =

2) 6.9 × 10 =

8) 125 × 10 =

3) 0.2 × 10 =

9) 2.42 × 100 =

4) 0.75 × 10 =

10) 36.1 × 100 =

5) 3.12 × 10 =

11) 0.25 × 100 =

6) 45.2 × 10 =

12) 0.07 × 100 =

170

Tercer grado – ciclo básico

13) 15.5 × 100 =

16) 25.12 × 1000 =

14) 3.54 × 100 =

17) 34.62 × 1000 =

15) 1.45 × 1000 =

18) 90.01 × 1000 =

D. Divide entre la unidad seguida de ceros. 1)

1.4 ÷ 10 =

10)

100 ÷ 10 =

9.4 ÷ 10 =

11)

987 ÷ 100 =

0.2 ÷ 10 =

12)

76.5 ÷ 100 =

24 ÷ 10 =

13)

4.81 ÷ 100 =

0.01 ÷ 10 =

14)

1.20 ÷ 100 =

1.25 ÷ 10 =

15)

0.31 ÷ 100 =

2.25 ÷ 10 =

16)

0.01 ÷ 100 =

32.4 ÷ 10 =

17)

0.29 ÷ 100 =

578 ÷ 10 =

18)

3.30 ÷ 100 =

Revisa tu aprendizaje

Después de estudiar...

Marca con un cheque

en no logrado proceso logrado

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

Identifico y diferencio triángulos oblicuángulos y rectángulos. Identifico las leyes de seno y coseno. Resuelvo triángulos oblicuángulos aplicando la ley de seno y coseno. Resuelvo problemas aplicando leyes de seno y coseno. Calculo ecuaciones sencillas y operaciones con la unidad seguida de ceros. Resuelvo problemas de trigonometría. Unidad 8 – Matemática

171

¡Ponte a prueba! Lee atentamente cada ítem y utliza la hoja de respuestas para responder. Se va a construir un parque infantil de forma triangular, si las distancias son las que aparecen en la figura, responde:

A c = 10

26º

a g

a = 12

1) ¿Cuál es el valor del ángulo α? A. 180°

B. 81.89°

C. 72.11°

D. 26º

C. 72.11°

D. 26º

C. 72.11°

D. 26º

2) ¿Cuál es el valor del ángulo β? A. 180°

B. 81.89°

3) ¿Cuál es el valor del ángulo g? A. 180°

B. 81.89°

4) Dado el triángulo ABC donde el ángulo α = 60°, el ángulo β =40° y el lado c = 5 cm; el lado b mide: A. 32.6 cm

B. 3.26 cm

C. 44.1 cm

D. 4.41 cm

5) Calcula el lado a del triángulo ABC si el lado b mide 7 cm, el lado c mide 5 cm y el ángulo α mide 40°. A. 4.5 cm

B. 20.4 cm

C. 9 cm

D. 2 cm

6) Dos puntos A y B están en las orillas opuestas de un río. Otro punto C está en la misma orilla del río que B a una distancia de 230 pies. Si el ángulo β es de 105° y el ángulo g 20°, ¿cuál es la distancia entre A y B? A. 271.12 pies

B. 96 pies

C. 127.72 pies

D. 69.17 pies

7) El teorema del coseno relaciona: A. El cuadrado de un lado con los otros dos lados

C. Los tres lados y el coseno del ángulo que forman dos de ellos

B. El cuadrado de un lado con uno de los ángulos

D. El cuadrado del coseno y uno de los lados

8) Un triángulo tiene un lado a que mide 7 m, un lado b que mide 6 m y un lado c que mide 9 m. Utilizando la ley de cosenos averigüa cuánto mide el ángulo g. A. 87.27°

B. 50.98°

D. Ninguno es correcto

C. 41.75°

9) El valor de x en la figura es: A. 10.4 cm

C. 11.4 cm

B. 12.4 cm

D. 13.4 cm

30º

10) La medida del lado c es: A. 11.8 cm

C. 10.8 cm

B. 12.8 cm

D. 13.8 cm

172

Tercer grado – ciclo básico

x A

20 120º

10 cm

3cm C

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

Unidad 8 – Matemática

173

Medidas de dispersión y probabilidad

unidad

¿Qué sabes del tema? Si escuchas las noticias en la televisión o por la radio podrás conocer el pronóstico del clima. Esta información nos ayuda, entre otras cosas, a planificar actividades, vestirnos adecuadamente para el tiempo que hará o averiguar si tenemos que llevar paraguas o no. La meteorología es una ciencia que emplea la matemática, especialmente en el cálculo de la probabilidad de precipitaciones u otro tipo de fenómenos atmosféricos. Una forma de conseguirlo es a través de las predicciones y modelos probabilísticos. Así que, aunque parezca sencillo, detrás de cada imagen del pronóstico del tiempo hay mucho trabajo matemático.

¿Qué encontrarás en esta unidad?

¡Prepárate para el recorrido!

La media aritmética (repaso)

Taller de matemática

Medidas de dispersión • El rango o amplitud • La desviación media • La desviación típica Probabilidad de eventos

Taller de prácticas Ejercicios de repaso de la unidad Desarrolla tu pensamiento lógico • Resolución de casos sencillos de estadística Aumenta tu velocidad de cálculo • Cálculo mental de porcentajes y decimales

Unidad 9 – Matemática

175

¿Qué lograrás en esta unidad? Competencia

Indicador de logro

3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos.

Calcular directamente porcentajes.

Multiplicar y dividir números decimales por simple inspección.

4. Emite juicios referentes a preguntas que se ha planteado buscando, representando e interpretando información de diferentes fuentes.

4.1 Analiza conjuntos de datos aplicando medidas de tendencia central y dispersión.

Calcular el rango de una distribución de datos.

Calcular la desviación de datos sin agrupar.

Calcular la desviación típica en datos sin agrupar.

Explicar qué es probabilidad.

Identificar casos posibles y casos favorables.

Calcular probabilidades utilizando la fórmula de Laplace.

Resolver problemas aplicando los temas vistos en la unidad.

Analizar y resolver casos sencillos con medidas de dispersión y probabilidad.

4.2 Utiliza conceptos probabilísticos al resolver problemas.

5. Aplica métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación de situaciones de su entorno.

176

Tercer grado – ciclo básico

5.1 Realiza operaciones de pensamiento lógico.

Actividades

¡Prepárate para el recorrido! La media aritmética Comencemos esta unidad con un repaso de la media aritmética. ¿La recuerdas? Es una de las medidas de tendencia central que representa el promedio de los datos de una distribución. Veamos un ejemplo.

Los meteorólogos del Insivumeh quieren averiguar cuál de los dos departamentos, San Marcos o Petén, tiene una temperatura más constante. Para calcularlo, registraron las temperaturas máximas en grados centígrados (°C) durante cinco días. Los resultados se muestran en la tabla. Temperaturas Días

San Marcos

Petén

lunes

32 ºC

34 ºC

martes

32 ºC

29 ºC

miércoles

31 ºC

36 ºC

jueves

30 ºC

27 ºC

viernes

30 ºC

29 ºC

Obtenemos la media de las temperaturas de cada departamento con esta fórmula: X=

San Marcos X =

∑x

32 + 32 + 31 + 30 + 30 5

X = 31 ºC

Petén

X = 31 ºC

34 + 29 + 36 + 27 + 29 5

155 = 31 5

Observa que en los dos departamentos se obtiene la misma media ( x = 31 °C). Pero este dato no nos permite responder la pregunta de cuál de los dos tiene la temperatura más constante porque, como puedes ver en la tabla, las temperaturas varían durante la semana. Para medir esa variación y saber cuál es el departamento que se mantiene con una temperatura más constante, necesitamos las medidas de dispersión, el tema que estudiaremos en esta unidad.

Unidad 9 – Matemática

177

Taller de matemática Medidas de dispersión Acabamos de ver que las medidas de tendencia central no son suficientes para describir adecuadamente una distribución de datos. Caeríamos en un error si nos guiáramos solo por el valor de la media para indicar la constancia de un valor determinado. Para describir correctamente los datos, debemos emplear otras mediciones estadísticas que se llaman medidas de dispersión o variabilidad. Las medidas de dispersión son aquellos valores que indican cuánto se acerca o se aleja un conjunto de datos de la media, la mediana y la moda. Esta semana estudiaremos tres de estas medidas:

• El rango o amplitud

• La desviación media

• La desviación típica

Rango o amplitud (R) El rango o amplitud relaciona todos los valores de una distribución, sin entrar en detalles. Mide la diferencia entre el dato mayor y el dato menor en una distribución. Se representa con la letra (R) y se calcula con esta fórmula: R = dato mayor – dato menor Aunque los valores de distintas distribuciones tengan la misma media, el rango nos permite ver las diferencias. •

Un rango alto indica que los valores en la distribución están muy alejados entre sí y por lo tanto de la media.

•

Un rango bajo indica que los valores están muy cercanos entre sí y del valor central.

Ejemplo Calculemos el rango de temperatura de los departamentos de San Marcos y de Petén que vimos en el apartado anterior, así sabremos cuál de los dos mantiene una temperatura más constante.

Rango de San Marcos R = valor más alto – valor más bajo

•

R = 32 – 30

•

R=2

Rango de Petén R = valor más alto – valor más bajo •

R = 36 – 27

•

R=9

San Marcos tiene el rango menor. Esto significa que la temperatura varía menos que en Petén, por lo tanto es el departamento que tiene la temperatura más constante.

178

Tercer grado – ciclo básico

¡Otro ejemplo! Un almacén quiere averiguar con qué banco le conviene trabajar el crédito a sus clientes. En la tabla se muestran los días que tardan dos bancos del sistema en autorizar un crédito, según una muestra de cuatro clientes. Días para autorizar el crédito Cliente

Banco Quetzal

Banco Tecún Umán

Pérez Quilá Morán Suc

12 14 20 14

15 16 14 15

La media en ambos bancos es de 15 días. X = 15 Calculemos el rango de cada banco y determinemos cuál le conviene más al almacén.

Rango banco Quetzal Rango banco Tecún Umán

R = valor más alto – valor más bajo

•

R = 20 – 12

•

R = 8 •

R = 16 – 14 R=2

El banco Tecún Umán presenta un rango menor. Esto significa que el tiempo para autorizar el crédito varía menos que en el banco Quetzal, por lo tanto es el banco que más le conviene al almacén.

Ejercicio 1 Un agricultor quiere averiguar con qué transportista le conviene enviar su producto a la cabecera departamental. La tabla muestra las horas que tarda cada transportista en llevar el producto, según una muestra de dos clientes. La media de ambos es de 6 horas (X = 6). Tiempo para llevar el producto Cliente A B

Transportista 1 7 hrs 5 hrs

Transportista 2 4 hrs 8 hrs

Calcula el rango. Luego, indica qué transportista le conviene más al agricultor.

Rango transportista 1 Rango transportista 2

R = valor más alto – valor más bajo

R =

R = valor más alto – valor más bajo

R =

El transportista que más le conviene al agricultor es:

Unidad 9 – Matemática

179

Desviación de datos sin agrupar (d) Otra medida de dispersión es la desviación. A diferencia del rango, esta medida permite ver la variación de cada elemento de la distribución, con respecto a la media. En estadística, la desviación se define como la diferencia entre los valores observados (x) y la media (X). Esta medida puede tener valores positivos o negativos. Se calcula con esta fórmula:

d=x–X Ejemplo Según la Organización Mundial de la Salud (Oms), la estatura media de niños sanos de 7 años de edad es de 120 cm. (X = 120) En el puesto de salud de una aldea tomaron una muestra al azar de seis niños de esa edad para determinar si su crecimiento está dentro de ese valor. Los resultados de la desviación nos dirán cuánto se acercan o se alejan los valores de la estatura media. Si los valores se acercan, significa que el crecimiento de los niños es normal. Si se alejan, quiere decir que los niños evaluados tienen problemas de crecimiento. La desviación es la diferencia entre los valores observados (x) y la media establecida por la Oms. (X = 120 cm) • Los resultados de la observación se muestran en la tabla. •

Calculamos la desviación (d) para cada niño, en la columna de la derecha. Niño(a)

Estatura en cm

d=x–X

Juana

110

d = 110 – 120 = –10

Ester

108

d = 108 – 120 = –12

Francisco

110

d = 110 – 120 = –10

Pedro

109

d = 109 – 120 = –11

Rolando

120

d = 120 – 120 = 0

Mariana

112

d = 112 – 120 = –8

Interpretación de resultados Los datos indican que solo Rolando cumple con la estatura media establecida por la Oms. Los demás niños están por debajo de esa medida. Si estos datos se repitieran en otros municipios y departamentos de Guatemala, el Ministerio de Salud deberá implementar medidas para mejorar la salud alimentaria y nutricional de los niños del país.

Ejercicio 2 Reflexiona sobre los valores de crecimiento infantil de esa aldea. Responde y comparte en clase con tus compañeras y compañeros. 1) ¿Crees que son datos cercanos a la realidad de Guatemala? 2) ¿Qué puedes hacer en tu papel de joven estudiante para cambiar los datos negativos?

180

Tercer grado – ciclo básico

¡Otro ejemplo! La esperanza de vida al nacer indi ca la cantidad de años que viviría un recién nacido si los patrones de mortalidad vigentes al momento de su nacimie nto no cambian a lo largo de su vida. La tabla muestra la esperanza de

vida en cuatro países de Centroa

mérica.

País

Esperanza de vida

Guatemala

71.2

El Salvador

73.6

Nicaragua

70.0

Costa Rica

76.4

Calculemos la desviación de cad a país con respecto a la media de la región X = 73.6 años (la media incluye los datos de Honduras). País

Esperanza de vida

d=x–X

Guatemala

71.2

El Salvador

71.2 – 73.6 = –2.4

73.6

Nicaragua

73.6 – 73.6 = 0

70.0

Costa Rica

70.0 – 73.6 = –3.6

76.4

Analiza e interpreta

76.4 – 73.6 = 2.8

¿Qué países están por encima de la media? ¿Cuáles están por debajo? El país que está por encima de la media es Costa Rica. El Salvador está justo en la media. Guatemala y Nicaragua están por debajo de la media. Estos resultados pueden servir al gobierno de cada país para la imp lementación de programas que contibuyan a aum entar la esperanza de vida de sus habitantes.

Ejercicio 3 La tabla registra la cantidad de vitamina A que contiene el azúcar de cuatro productores distintos. El control de calidad acepta una media de 22 kg de vitamina (X =22) por cada 100 kg de azúcar, con una desviación de 2 kg. Los productores que no cumplan con este requerimiento serán multados. Calcula la desviación para cada valor. Luego, responde a las preguntas. Productor

Vit. A / kg

24 kg

19 kg

23 kg

22 kg

d=x–X

1) ¿Qué productores cumplen con los requerimientos de control de calidad? 2) ¿Qué productores serán multados?

Unidad 9 – Matemática

181

Desviación media de datos sin agrupar (Dm) La desviación media es el promedio de las desviaciones de una distribución, expresadas en valores absolutos. A diferencia de las otras medidas que hemos estudiado, la desviación media toma en cuenta todos los datos y permite conocer, en promedio, la distancia de cada valor con respecto a la media aritmética. Se calcula con esta fórmula:

Dm =

∑ |d| N

Donde:

Dm = desviación media

∑ |d| = sumatoria de (d) en valores absolutos

N = número total de datos Hagmos un ejemplo. La tabla muestra el peso en libras de cinco niños que asisten a un centro de salud. Calculemos cuánto varía cada dato respecto a la media (X = 25 libras) que establece el Ministerio de Salud. Niño (a)

•

Ana

Ernesto

Luisa

Azucena

Natalia

Calculamos la desviación (d) para cada valor en la tercera columna. Peso en libras

d=x–X

Ana

27 – 25 = 2

Ernesto

34 – 25 = 9

Luisa

28 – 25 = 3

Azucena

19 – 25 = – 6

Natalia

30 – 25 = 5

Niño (a)

•

Peso en libras

Aplicamos la fórmula de la desviación media. Dm =

∑ |d|

N 25 2+9+3+6+5 Dm = = 5 5 Dm = 5 El valor de la desviación media indica que el peso de los niños de la muestra varía entre 5 libras más o 5 libras menos, con respecto al promedio. Las autoridades del centro de salud deberán actuar sobre los niños, como Azucena, que tienen bajo peso y como Ernesto que tiene sobrepeso.

182

Tercer grado – ciclo básico

¡Otro ejemplo! La tabla presenta el registro de los tiempos de dos corredores en cuatro carreras de 200 metros planos. El entrenador quiere conocer la desviación media de esos tiempos, para seleccionar al corredor que representará al equipo en la competencia nacional. Tiempo en segundos por carrera Corredor

Hilda

Carlos

•

La media de los tiempos de los dos corredores es la misma: X = 20 segundos.

•

Calculamos la desviación (d) de los tiempos de cada corredor con respecto a la media.

Hilda Carlos

d = 19 – 20 = –1

d = 18 – 20 = –2

d = 21 – 20 = 1

d = 20 – 20 = 0

d = 22 – 20 = 2

d = 20 – 20 = 0

•

Calculamos la desviación media (Dm) para saber qué corredor es el más constante. El atleta elegido será el que obtenga la desviación menor.

Hilda

Carlos

1+1+0+0 2 = 4 4 2+0+2+0 4 Dm = = 4 4

Dm = 0.5

Dm =

Dm = 1

la atleta elegida es Hilda, porque presenta la desviación media menor (Dm = 0.5). Esto significa que su tiempo varía menos que el de Carlos. Terminará la carrera 0.5 segundos antes o después del tiempo promedio (X = 20), mientras que Carlos lo haría 1 segundo antes o después del tiempo medio.

Ejercicio 4 Lee atentamente el enunciado del caso que se propone. Una cooperativa de mujeres fabrica jaleas artesanales y las envasa en recipientes de 100 g. El departamento de control de calidad acepta un peso mínimo de 98 g y máximo de 102 g. Si los frascos se llenan con más o menos producto, la cooperativa deberá ajustar el proceso de llenado para alcanzar el peso medio.

La tabla presenta el peso en gramos de 5 recipientes llenos de jalea. Peso en gramos 100

100

1) ¿Se está cumpliendo con los requisitos de control de calidad? 2) ¿Es necesario hacer ajustes en el proceso de llenado?

Unidad 9 – Matemática

183

Desviación típica o estándar (σ) La desviación típica o estándar es la medida principal de variabilidad y debe calcularse siempre que sea posible. Se representa con la letra griega sigma σ. La desviación típica es la más significativa de las desviaciones porque nos indica con mayor precisión cómo se aleja o se acerca un conjunto de datos de la media.

Desviación típica de datos sin agrupar La desviación típica es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones. Para calcularla, utilizamos la fórmula:

∑ d2 N

σ=

Vamos a explicar esta fórmula con un ejemplo. Calculemos la desviación estándar de las notas de 6 estudiantes en una prueba calificada sobre 50 puntos. Las notas son: 47, 43, 40, 38, 37, 35. •

Calculamos la media X de los puntajes.

∑x N

X= X =

47 + 43 + 40 + 38 + 37 + 35 6

= 240 6

X = 40 •

•

184

Calculamos la desviación de cada dato con respecto a la media. Anotamos los resultados en la tabla.

d=x–X

47 – 40 = 7

43 – 40 = 3

40 – 40 = 0

38 – 40 = − 2

37 – 40 = − 3

35 – 40 = − 5

Elevamos al cuadrado cada una de las desviaciones obtenidas en el paso anterior.

Tercer grado – ciclo básico

−2

−3

−5

•

Aplicamos la fórmula con los datos que hemos obtenido.

∑ d2 σ= N

49 + 9 + 0 + 4 +9 +25 σ=

96 σ= 6

16 σ=

σ = 4 La desviación estándar entre las calificaciones es de 4 puntos por encima o por debajo de la media (40 puntos). Es decir, la mayoría de notas está entre 36 y 44 puntos.

Ejercicio 5 Calcula la desviación estándar de la edad a la que cinco bebés empezaron a caminar. Los meses son: 9, 11, 10, 13, 12. ∑x

•

Calcula la media X de los puntajes. X =

•

Calcula la desviación de cada dato con respecto a la media. Anota los resultados en la tabla.

d=x–X

•

Eleva al cuadrado las desviaciones obtenidas en el paso anterior y escribe los resultados en la columna correspondiente.

•

Aplica la fórmula con los datos obtenidos.

σ =

∑ d2 N

Unidad 9 – Matemática

185

La probabilidad ―¿Qué tan posible es que en tu aula de clases haya un compañero o compañera que cumpla años el mismo día que tú? ―¿Qué tan probable es que te sientes a la par de una persona conocida en la camioneta? Estas preguntas se refieren a sucesos o hechos de la vida que parecen cuestión de azar, pero su ocurrencia se puede explicar y hasta pronosticar mediante el cálculo de probabilidades. La probabilidad es una herramienta matemática que permite predecir, de forma numérica, la posibilidad de que un suceso ocurra. Tiene aplicaciones en contextos tan diversos como la toma de decisiones, las ciencias, los juegos de azar o las relaciones personales. La probabilidad se puede calcular en tres tipos distintos de sucesos: • Sucesos imposibles. Este tipo de sucesos tiene resultados improbables, no pueden ocurrir. Por ejemplo, es un suceso imposible que saques un dulce de menta de una bolsa que solo contiene dulces de coco. • Sucesos posibles. Son acontecimientos que pueden presentar más de un resultado. Por ejemplo, en cada nacimiento que se registra hay dos posibilidades: que el bebé que nazca sea hombre o que sea mujer. • Sucesos seguros. Son los hechos que van a dar siempre un resultado conocido. Por ejemplo, es seguro que vamos a sacar una moneda de cinco centavos de una bolsa que solo contiene monedas de cinco centavos.

¿Cómo medimos la probabilidad?: Fórmula de Laplace En la medición de la probabilidad intervienen dos variables: casos posibles y casos favorables. •

Casos posibles (N): son todos los resultados que se pueden obtener. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, puede caer cara o puede caer escudo. Los casos posibles son dos. (N = 2)

•

Casos favorables (F): son los resultados que cumplen con la condición que estamos buscando. Por ejemplo, si queremos que al lanzar la moneda caiga escudo, entonces solo tendremos un caso favorable. (F = 1)

El cálculo se realiza aplicando la fórmula de Laplace:

P(A) =

F N

Donde: P(A) = probabilidad F = número de casos favorables N = número de casos posibles

186

Tercer grado – ciclo básico

Apliquemos la fórmula para calcular la probabilidad en este ejemplo: En un examen hay cuatro variantes de una prueba: forma A, forma B, forma C y forma D. ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le corresponda la forma B? Al calcular la probabilidad resultan números muy pequeños, por eso los expresamos en forma de porcentaje.

•

Establecemos el número de casos posibles (N). Hay 4 variantes de prueba.

N=4

•

Establecemos el número de casos favorables (F). Hay 1 posibilidad de que le toque la forma B.

F=1

•

Sustituimos en la fórmula y operamos.

P(A) =

•

Expresamos el resultado como porcentaje.

P(A) = 0.25 x 100 = 25%

1 F = = 0.25 4 N

La probabilidad de que al estudiante le corresponda la forma B es del 25%. Veamos otro ejemplo. Para la rifa de un carro se colocan 20 tarjetas dentro de un sobre: 8 tienen dibujado un carro, 12 están en blanco. Gana la primera persona que saque una de las tarjetas con el dibujo del carro. Calculemos la probabilidad de que al sacar la primera tarjeta salga premiada. •

Establecemos el número de casos posibles (N). Hay 20 tarjetas.

N = 20

•

Establecemos el número de casos favorables (F). Hay 8 tarjetas con premio.

F=8

•

Sustituimos en la fórmula y operamos.

P(A) =

•

Expresamos el resultado como porcentaje.

P(A) = 0.4 x 100 = 40%

F 8 4 = = = 0.4 N 20 10

La probabilidad de ganar el carro al sacar la primera tarjeta es del 40%.

Ejercicio 6 A. Escribe sobre la línea el tipo de suceso (imposible, posible, seguro) al que se refiere cada enunciado. 1) Ganar la lotería sin comprar un boleto.

2) Que al lanzar un dado salga el número 3.

3) Sacar un cinco rojo de una bolsa de cincos rojos. 4) Que al lanzar una moneda caiga escudo.

B. Aplica la fórmula de Laplace para resolver el ejercicio siguiente. 1) Encuentra la probabilidad de que al lanzar un dado al aire salga:

a. Un número par

b. Un número impar

Unidad 9 – Matemática

187

Taller de prácticas Ejercicio 1 A. Responde las preguntas: 1) ¿Qué es probabilidad? Explícalo con tus palabras. 2) ¿Cuántos y cuáles son los casos posibles al lanzar una moneda al aire? 3) ¿Cuántos y cuáles son los casos posibles al lanzar un dado?

4) ¿Cuántos casos posibles hay de sacar un as de una baraja de 52 cartas? B. Ejercita el cálculo de las medidas de dispersión aprendidas en esta unidad. 1) Localiza el rango (R) y la desviación (d) de las siguientes distribuciones. a.

34, 45, 58, 66, 71, 84.

99, 11, 20, 30, 44, 59.

2) Obtén la desviación media (Dm) de los siguientes datos: 34, 36, 38, 44, 56, 77, 22, 14 y 15.

3) Calcula la desviación típica (σ) para los datos que aparecen en la tabla.

La media de la distribución es 14. X = 14

17 16 13

4) Localiza la desviación típica o estándar de los datos que aparecen en la tabla.

Ve anotando los resultados parciales en la tabla.

5 4 3 2

188

Tercer grado – ciclo básico

Ejercicio 2 A. Lee cada enunciado y realiza las actividades. 1) Una distribuidora de café quiere saber qué caficultor ofrece el peso exacto para seguir comprando su producto. La decisión se basará en la exactitud del peso ofrecido con respecto a la media aceptada, que es de 105 libras por costal.

La tabla presenta los registros del peso en libras de 5 costales de café de tres caficultores distintos.

Peso en libras por costal de café Caficultor 1

Caficultor 2

Caficultor 3

la desviación (d)

103

106

103

105

102

la desviación media (Dm).

105

104

103

106

103

104

105

Calcula :

el rango (R),

Indica a qué caficultor le seguirá comprando producto.

2) La tabla muestra la cantidad de goles anotados por jugador en los dos últimos partidos del campeonato de papi fútbol. La media de goles anotados es X = 4. El capitán del equipo quiere saber qué jugadores están por debajo de la media, para reforzar su entrenamiento. a.

Calcula: la desviación.

Jugador

Indica qué jugadores necesitan refuerzo.

Partido 1

Partido 2

Carlos

Lucía

Eduardo

Flora

Elena

3) Completa la tabla escribiendo el tipo de suceso al que corresponde cada enunciado. Toma en cuenta la información siguiente. Para escoger los números de una placa de cuatro dígitos se siguen estas reglas:

• El primer número es menor que 10 y mayor que 8

• El segundo número es menor que 9 y mayor que 1

• El tercer número es menor que 8 y mayor que 5

• El cuarto número es menor que 7 y mayor que 1 Suceso Que el primer dígito de la placa sea 9

Tipo de suceso seguro

Que el segundo número sea menor que 6

Que el tercer número sea 11 Que el cuarto número sea mayor que 2

Unidad 9 – Matemática

189

Desarrolla tu pensamiento lógico A. Aplica lo que has aprendido sobre las medidas de dispersión para resolver los problemas. 1) La tabla muestra el número de personas que se recuperaron con los medicamentos A y B en los meses de enero, febrero y marzo. Calcula el rango y determina cuál es el medicamento más efectivo. Mes

Medicamento A Medicamento B

enero

febrero

marzo

2) La energía renovable es aquella que se obtiene de fuentes naturales que, inicialmente, no se pueden agotar. Lee los datos que presenta la gráfica de la inversión en energías renovables por países en América Latina, durante el año 2010. Luego, responde: a.

¿Cuál es el porcentaje más alto de inversión y qué país lo tiene?

Honduras 4%

Brasil 56%

Perú 4% Chile 4%

¿Cuál es el porcentaje más bajo de inversión y qué países lo tienen?

¿Cuál es el rango de inversión en energía renovable en América Latina?

Panamá 8%

México 24%

3) La gráfica muestra el consumo de energía eléctrica en kilovatios de la familia Boror, durante los meses indicados. Calcula la Dm. Luego, haz una predicción de cuántos kilovatios consumirá la familia en el mes de junio, si su consumo no registra variaciones significativas. Consumo de energía eléctrica en kW de la familia Boror 100 90 80 70

75 60

40 30 20 10 0

190

Tercer grado – ciclo básico

enero

febrero

marzo

abril

mayo

B. Aplica la fórmula de Laplace y calcula la probabilidad de cada suceso. 1) En un avión viajan 34 pasajeros guatemaltecos, 18 salvadoreños, 10 británicos y 50 mexicanos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión sea salvadoreño? 2) Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 10 blancas y 6 negras. Calcule la probabilidad de que la bola:

a. Sea roja

b. Sea blanca

c. No sea blanca

3) En una bolsa hay 50 vejigas de colores diferentes: 16 rojas, 20 blancas, 14 amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vejiga que se extraiga sea de color.

a. Rojo

b. Blanco

c. Amarillo

4) En una tienda, las monedas para dar el vuelto están en una gaveta sin divisiones. En total hay 80 monedas: 24 de Q0.05, 15 de Q0.10, 8 de Q0.25, 20 de Q0.50 y 13 de Q1.00. Cuál es la probabilidad de que al tomar una moneda al azar esta sea de:

a. Q0.01

b. Q0.10

c. Q1.00

5) En una reunión de 60 personas hay 6 hombres que son médicos, 24 hombres que no son médicos, 24 mujeres médicas y 6 que no son médicas. Calcule la probabilidad de que al seleccionar una persona al azar:

a. Sea médico o médica

b. Sea mujer y no sea médica

6) Encuentre la probabilidad de que al lanzar un dado al aire salga:

a. Un número par

b. Un número impar

7) Según el departamento de control de calidad de una fábrica de bombillas, de cada 125 bombillas, en promedio 5 se queman antes del tiempo estimado. ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar una bombilla se queme antes del tiempo? 8) El registro del aeropuerto indica, que durante el mes de junio, los vuelos procedentes de México han llegado: 9 veces antes de tiempo, 15 veces a tiempo, y 6 veces después del tiempo estimado. ¿Cuál es la posibilidad de que un día cualquiera el vuelo procedente de México llegue: antes de tiempo, a tiempo, después del tiempo estimado?

Unidad 9 – Matemática

191

Aumenta tu velocidad de cálculo Mejora tu agilidad de cálculo con porcentajes. Recuerda que el 50% equivale a la mitad, el 25% a la cuarta parte y el 10% a un décimo. A. Calcula directamente el 50% de cada cantidad. 1) 50% de 30 =

8) 50% de 29 =

15) 50% de 47 =

2) 50% de 62 =

9) 50% de 36 =

16) 50% de 14 =

3) 50% de 80 =

10) 50% de 52 =

17) 50% de 59 =

4) 50% de 30 =

11) 50% de 54 =

18) 50% de 34 =

5) 50% de 35 =

12) 50% de 38 =

19) 50% de 72 =

6) 50% de 28 =

13) 50% de 45 =

20) 50% de 75 =

7) 50% de 13 =

14) 50% de 63 =

21) 50% de 40 =

B. Calcula directamente el 25% de cada cantidad. 1) 25% de 12 =

8) 25% de 44 =

15) 25% de 160 =

2) 25% de 16 =

9) 25% de 48 =

16) 25% de 200 =

3) 25% de 24 =

10) 25% de 56 =

17) 25% de 280 =

4) 25% de 50 =

11) 25% de 80 =

18) 25% de 240 =

5) 25% de 36 =

12) 25% de 60 =

19) 25% de 320 =

6) 25% de 28 =

13) 25% de 100 =

20) 25% de 400 =

7) 25% de 20 =

14) 25% de 120 =

21) 25% de 360 =

C. Calcula directamente el 10% de cada cantidad. 1) 10% de 28 =

8) 10% de 68 =

15) 10% de 31 =

2) 10% de 10 =

9) 10% de 40 =

16) 10% de 50 =

3) 10% de 15 =

10) 10% de 55 =

17) 10% de 82 =

4) 10% de 25 =

11) 10% de 36 =

18) 10% de 65 =

5) 10% de 30 =

12) 10% de 44 =

19) 10% de 73 =

6) 10% de 16 =

13) 10% de 52 =

20) 10% de 90 =

7) 10% de 14 =

14) 10% de 70 =

21) 10% de 81 =

192

Tercer grado – ciclo básico

D. Multiplica con decimales. 1) 6.0 x 10 =

8) 13.6 x 10 =

15) 3.96 x 100 =

2) 3.6 x 10 =

9) 5.89 x 10 =

16) 4.98 x 100 =

3) 1.2 x 10 =

10) 35.4 x 10 =

17) 0.37 x 100 =

4) 0.8 x 10 =

11) 5.6 x 100 =

18) 6.82 x 100 =

5) 0.5 x 10 =

12) 6.9 x 100 =

19) 17.9 x 100 =

6) 15.8 x 10 =

13) 0.3 x 100 =

20) 25.8 x 100 =

7) 24.9 x 10 =

14) 0.1 x 100 =

21) 34.7 x 100 =

1) 5.4 ÷ 10 =

8) 6.21 ÷ 10 =

15) 23.9 ÷ 100 =

2) 9.6 ÷ 10 =

9) 3.87 ÷ 10 =

16) 6.48 ÷ 100 =

3) 2.4 ÷ 10 =

10) 9.45 ÷ 10 =

17) 9.95 ÷ 100 =

4) 71.6 ÷ 10 =

11) 387 ÷ 100 =

18) 491.3 ÷ 100 =

5) 94.1 ÷ 10 =

12) 253 ÷ 100 =

19) 132.6 ÷ 100 =

6) 56.5 ÷ 10 =

13) 698 ÷ 100 =

20) 14.36 ÷ 100 =

7) 19.4 ÷ 10 =

14) 44.7 ÷ 100 =

21) 0.174 ÷ 100 =

E. Divide con decimales.

Revisa tu aprendizaje Marca con un cheque

la casilla que mejor indique tu rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Después de estudiar...

Calculo el rango de una distribución de datos. Calculo la desviación de datos sin agrupar. Calculo la desviación típica en datos sin agrupar. Explico qué es probabilidad. Identifico casos posibles y casos favorables. Calculo probabilidades utilizando la fórmula de Laplace. Resuelvo problemas aplicando los temas vistos en la unidad. Calculo porcentajes y opero números decimales por simple inspección. Unidad 9 – Matemática

193

¡Ponte a prueba! Lee atentamente cada item, haz las operaciones necesarias en otra hoja y responde en la hoja de respuestas. 1) Cuando se suman todas las puntuaciones de una prueba y luego se divide el resultado entre el número total de las puntuaciones obtenemos: A. media

mediana

moda

D. desviación estándar

2) Indica cuál es la media en la siguiente distribución; 10, 5, 15, 10, 20, 22, 9, 5, 15 y 19: A. 15

B. 13

C. 10

D. 20

3) ¿Cómo se define el rango? A. R = valor más bajo – valor más alto

C. R = valor promedio – valor más alto

B. R = valor promedio – valor más bajo

D. R = valor más alto – valor más bajo

4) La desviación es… A. La diferencia entre cada valor de x y la media

C. La diferencia entre el valor más alto y la media

B. La diferencia entre la media y cada valor de x

D. La diferencia entre el valor más bajo y la media

5) Amalia tiene 8 pañuelos: 2 negros, 3 azules, 1 rosado y 2 blancos. Si toma uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que salga un pañuelo azul? A. 37.5 %

B. 12.5 %

C. 25%

D. 40 %

6) En un frutero hay 3 naranjas, 2 bananos, 4 manzanas y 6 mandarinas. ¿Cuál es la probabilidad de tomar una naranja al azar? A. 25%

B. 17%

C. 20%

D. 40 %

7) Las notas de un alumno en matemática son 48, 52, 65, 38 y 54. Su media aritmética es: A. 52.3

B. 60.7

C. 48.6

D. 51.4

8) Las estaturas en cm de un grupo de cinco jóvenes son: 150, 160, 164, 158, 183. La desviación media es: A. 9.4

B. 6.4

C. 7.4

D. 8.4

9) Valor de un dato que aparece con mayor frecuencia en un grupo de datos: A. la mediana

C. la moda

B. la desviación estándar

D. la media

10) El inspector de control de calidad de una empresa arrocera, durante una semana, selecciona 100 bolsas de arroz de 1000 gramos cada una, para examinar y registrar el peso exacto de cada bolsa. Teniendo en cuenta la información anterior, ¿cuál es la población estudiada? A. 100 bolsas de arroz

C. Producción de arroz empacado

B. La empresa arrocera

D. El inspector de control de calidad

11)

Calcula la desviación media de los siguientes datos: 4, 7, 5, 3, 6.

A. 1.2

194

B. 2.1

Tercer grado – ciclo básico

C. 2

D. 1

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

•

Borra bien los errores.

0. A.

1. A.

2. A.

3. A.

4. A.

5. A.

6. A.

7. A.

8. A.

9. A.

10. A.

11. A.

12. A.

Unidad 9 – Matemática

195

Anexo Pruebas liberadas del Mineduc Formas: MATE GRAD - B MATE GRAD - C MATE GRAD - D

Prueba liberada Mineduc – Matemática

197

MATE GRAD-B

Evaluación corta de Matemáticas

EVALUACIÓN CORTA DE MATEMÁTICAS

Graduandos

FORMA MATE GRAD-B INSTRUCCIONES: 1. Use este folleto para practicar. 2. Lea cada pregunta o enunciado así como las cuatro posibles respuestas u opciones que la completan. 3. Seleccione la correcta. Solamente una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta.

EJEMPLOS: A. Sume 2.3 + 5.1 + 4.7 =

a) 12.1 b) 11.1 c) 1.21 d) 1.11

B. En la expresión 2x - 4 = 6, ¿cuál es el valor de x? a) –1 b) 1 c) 2 d) 5

-DIGEDUCA-

198

Material gratuito para uso didáctico

Tercer grado – ciclo básico

Prueba liberada Mineduc – Matemática

199

MATE GRAD-B

Evaluación corta de Matemáticas

5. La tabla representa el número de mujeres y hombres inscritos en el curso de Geometría que se imparte en las secciones A y B. Si se elige a un estudiante de este curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y esté en la sección A? Sección “A” 31 17 48

Mujeres Hombres a) 17/48 b) 17/90

Sección “B” 24 18 42

Total 55 35 90

c) 17/35 d) 48/90

6. La interpretación verbal de es: a) Los 3/5 del cuadrado de x más el triplo de y al cuadrado. b) Los 3/5 de la suma de x al cuadrado más 3y elevada al cuadrado. c) Los 3/5 del cuadrado de la suma de x al cuadrado más 3y. d) El producto de los 3/5 del cuadrado de x sumado con 3y. 7. ¿Cuál es el área del piso que no está sombreada, si el bloque que se tomó de muestra ABCD, tiene forma cuadrada de 12 metros por lado? B

a) 36 m2 b) 48 m2

-DIGEDUCA-

200

c) 72 m2 d) 144 m2

Material gratuito para uso didáctico

Tercer grado – ciclo básico

MATE GRAD-B

Evaluación corta de Matemáticas 8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) 5 2 + 2 5 = 7 7 b) 5 2 ⋅ 5 5 = 510

c) 5 2 ⋅ 5 5 = 5 7 d) 5 2 ⋅ 2 5 = 10 7

9. Si a=3x–5 y b=5x+2, ¿cuál es el valor de a2+b2? a) 34x2–21 b) 34x2+29 10.Resuelva la siguiente operación:

5 3 2 ÷ −  16  8 5 

15 16

b) −

34x2–10x+29 34x2–5x+29

c) d)

c) −

4 50

11. ¿Cuál es el valor de a) 314 b) 294

25 2

si x = 2ey = –3? c) d)

284 264

12.Roberto recibe una herencia e invierte 2/5 de la misma en un negocio. Del resto le presta a su hermana Q10, 000.00 y le quedan Q50, 000.00. ¿De cuánto fue la herencia que recibió? a) Q100, 000.00 b) Q150, 000.00

c) Q125, 000.00 d) Q60, 000.00

13. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación a) 1/3 b) 73/23

-DIGEDUCA-

? c) 13/27 d) 73/27

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Prueba liberada Mineduc – Matemática

201

Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-B

14. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? a)

15. Para poder completar una parte de la vía del tren, se va a construir a través de una montaña un túnel rectangular. La entrada a la montaña debe medir 5 metros de alto y 9 metros de ancho. Si se calcula que la longitud del túnel será de 25 metros, ¿cuántos metros cúbicos de tierra se deben remover para poder construirlo? a) 45 m3 b) 125 m3

c) 225 m3 d) 1,125 m3

16. Un tanque de combustible con capacidad de 1,000 litros, tiene ahora 240 litros de gasolina. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se usa una manguera para llenar lo que bombea a 25 litros por minuto? La ecuación que resuelve el problema es: a) 1, 000 + 25t = 240 b) 25t = 1, 240

c) 240 + 25t = 1, 000 d) 240 (t + 25) = 1, 000

17. Soraya fue a una entrevista de trabajo y se perdió en el edificio. Empezó en el primer piso y luego decidió subir 4 pisos. Después bajó 3 pisos, luego subió otros 7; y por último bajó otro piso hasta dar con la oficina donde la habían citado. Tomando en cuenta que cada bajada de piso le lleva 26 segundos y cada subida le toma 34 segundos, ¿cuánto tiempo tardó Soraya en encontrar la oficina que buscaba? a) 5 minutos con 18 segundos b) 7 minutos con 58 segundos

c) 8 minutos con 36 segundos d) 7 minutos con 26 segundos

18. La distancia entre dos ciudades es de 42 km. Usualmente toma 28 minutos ir de una ciudad a otra pero, debido a las reparaciones que se están haciendo en la carretera, el viaje toma ahora 14 minutos más de tiempo. Encuentre la velocidad a la que se puede manejar ahora. (Recuerde d = vt) a) 90 km/h b) 60 km/h

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202

c) 30 km/h d) 180 km/h

Material gratuito para uso didáctico

Tercer grado – ciclo básico

MATE GRAD-B

Evaluación corta de Matemáticas

19. Un supermercado oferta esta semana una marca de leche a Q7.95 el litro, pero una persona puede llevar como máximo 6 litros a precio de oferta, el resto de litros los puede comprar a precio normal de Q10.25. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el total a pagar si una persona compra más de 6 litros de leche? a)T = 7.95 (6) + 10.25 (n - 6) b) T = 7.95n + 10.25 (n - 6)

c) T = 10.25n + 7.95 (n - 6) d) T = 10.25n + 7.95 (6)

20. Un comerciante vendió 2 automóviles, un automóvil modelo 2009, cuyo precio original era de Q78, 500.00, fue vendido en las 3/4 de su precio. El otro, un automóvil modelo 2011, fue vendido a 7/9 de su precio, el cual era de Q90, 000.00. ¿Cuánto dinero perdió el vendedor? a) Q128, 875.00 b) Q39, 625.00

c) Q20, 000.00 d) Q19, 625.00

Nota: las respuestas correctas de esta prueba las encontrará en un archivo adjunto con el nombre de “Solución de la evaluación corta de Matemáticas forma GRAD-B” en la página web http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/.

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Prueba liberada Mineduc – Matemática

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Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

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Borra bien los errores.

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Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-C

EVALUACIÓN CORTA DE MATEMÁTICAS

Graduandos

FORMA MATE GRAD-C INSTRUCCIONES: 1. Use este folleto para practicar. 2. Lea cada pregunta o enunciado así como las cuatro posibles respuestas u opciones que la completan. 3. Seleccione la correcta. Solamente una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta.

EJEMPLOS: A. Sume 2.3 + 5.1 + 4.7 = a) 12.1 b) 11.1 c) 1.21 d) 1.11

B. En la expresión 2x - 4 = 6, ¿cuál es el valor de x? a) -1 b) 1 c) 2 d) 5

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2 Prueba liberada Mineduc – Matemática

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Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-C

Instrucciones: resuelva los siguientes ejercicios. Los dibujos NO están a escala. 1. Resuelva la siguiente operación: 6 1 2  − ∗  5 3 3 a) –

2. Luis invierte tres cuartos de su dinero al 12% de interés anual y el resto al 8% de interés anual. Si su ingreso anual debido a las inversiones es de Q2, 500.00, ¿cuánto invirtió al 12%? La ecuación que resuelve el problema es: a)

3. Doña Berta pone un negocio en el que hace una inversión inicial de Q21, 600.00. En promedio vende diariamente Q1, 200.00 pero tiene gastos diarios equivalentes al 60% de sus ingresos. ¿En cuántos días recupera su inversión? a) 18 días b) 29 días

c) 45 días d) 72 días

4. El área del triángulo de la figura mide:

a) 2 b) 60 c) 30 d) 48

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208

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Tercer grado – ciclo básico

Prueba liberada Mineduc – Matemática

209

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Tercer grado – ciclo básico

Prueba liberada Mineduc – Matemática

211

Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-C

18. La tabla muestra la temperatura (en grados centígrados) para algunos departamentos: Departamentos Máxima Mínima Cobán 26 16 Escuintla 31 20 Flores 33 22 Guatemala 26 17 Huehuetenango 25 14 Quetzaltenango 23 13 Puerto Barrios 31 23 Zacapa 32 22 Para los departamentos de la tabla, ¿cuál es el promedio de las temperaturas máximas? a) Aproximadamente 28°C b) Aproximadamente 18ºC

c) Aproximadamente 23°C d) Aproximadamente 25ºC equivale a:

19. a)

20. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? a)

Nota: las respuestas correctas de esta prueba las encontrará en un archivo adjunto con el nombre de “Solución de la evaluación corta de Matemáticas forma GRAD-C” en la página web http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/.

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Tercer grado – ciclo básico

Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

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Borra bien los errores.

0. A.

1. A.

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Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-D

EVALUACIÓN CORTA DE MATEMÁTICAS

Graduandos

FORMA MATE GRAD-D INSTRUCCIONES: 1. Use este folleto para practicar. 2. Lea cada pregunta o enunciado así como las cuatro posibles respuestas u opciones que la completan. 3. Seleccione la correcta. Solamente una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta.

EJEMPLOS: A. Sume 2.3 + 5.1 + 4.7 =

a) 12.1 b) 11.1 c) 1.21 d) 1.11

B. En la expresión 2x - 4 = 6, ¿cuál es el valor de x? a) -1 b) 1 c) 2 d) 5

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2 Prueba liberada Mineduc – Matemática

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Tercer grado – ciclo básico

MATE GRAD-D

Evaluación corta de Matemáticas 6. ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta? a) (72)(7)(74)=76 b) (72)(7)(74)=77

c) 72+7+74=217 d) 72+7+74=77

7. ¿Cuál de las siguientes series de números está en orden decreciente? a) 0.045, 0.37, 0.009, 0.4 b) 0.015, 0.03, 0.042, 0.005

c) 0.374, 0.3, 0.042, 0.005 d) 0.1, 0.12, 0.084, 0.09

, si p = − 4 y b = 4, ¿cuál es el valor de q ?

8. En la fórmula, a) 84

c) -32

b) -28

d) -70

9. ¿Cuál es el valor de

en la ecuación

a) 9/13

c) 13/9

b) 11/9

d) 5/9

10. Si z= - 25, 5w + z = 425, entonces el valor de w es: a) 80 b) 90

c) 300 d) 550

11. De las 1,500 mujeres que viven en la aldea El Soñador, el 60% son casadas y de las mujeres casadas, el 70% son mayores de 30 años. ¿Cuántas mujeres casadas tienen menos de 30 años? a) 900 b) 630

c) 600 d) 270

12. ¿Cuál es el valor numérico de a) 24 b) 26

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? c) 16 d) 33

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MATE GRAD-D

Evaluación corta de Matemáticas

13. Un patio rectangular de 4.50 metros de largo por 3 metros de ancho se desea colocar piso con baldosas cuadradas de 30 cm por lado. ¿Cuántas baldosas se necesitan? a) 15 b) 150

c) 1, 500 d) 15, 000

14. Se encuestó a 1, 200 personas sobre la preferencia de varios productos similares, los datos obtenidos se muestran en el gráfico. ¿Cuántas personas prefirieron el producto C?

15% 28% 20%

a) 444 b) 600

c) 630 d) 756

15. ¿Cuál es el valor de n?

a) 225 b) 25

c) 9 d) 1

16. Considere los números siguientes: N = 3.1415 , M = 3.2304

y L = 3.1998 .

Si d = 8.4329 , ¿cuál de los ordenamientos siguientes es el correcto? a)

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Tercer grado – ciclo básico

Evaluación corta de Matemáticas

MATE GRAD-D

17. El perímetro de un rectángulo mide 96 cm y el largo mide 12 cm más que el ancho. ¿Cuánto mide el área del rectángulo? a) 540 b) 693

c) 1, 260 d) 2, 268

18. Un caracol avanza a una velocidad de 3 metros por hora y cada dos horas se detiene por 6 minutos. ¿En cuánto tiempo recorrerá 21 metros? a) 7 horas 21 minutos b) 7 horas 42 minutos

c) 7 horas 18 minutos d) 7 horas 6 minutos

19. Un tigre es capaz de correr durante tres horas a una velocidad de 30 km/h una distancia llamada de resistencia máxima. Si un venado corre a 45 km/h y su resistencia máxima es el doble que la del tigre, ¿en cuánto tiempo recorre esta distancia? a) 1 hora 30 minutos b) 2 horas 30 minutos

c) 4 horas d) 6 horas

20. Una agencia de viajes está promocionando por 3 mil dólares paquetes turísticos a China que cubrirán: transporte, hospedaje, cita de negocios, traductor y desayuno. ¿Cuál es el promedio en dólares para cubrir cada uno de estos rubros? a) 300 dólares b) 600 dólares

c) 750 dólares d) 1, 500 dólares

Nota: las respuestas correctas de esta prueba las encontrará en un archivo adjunto con el nombre de “Solución de la evaluación corta de Matemáticas forma GRAD-D” en la página web http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/.

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Hoja de respuestas Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES •

Rellena con lapicero negro.

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Borra bien los errores.

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Prueba liberada Mineduc – Matemática

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Bibliografía AGUILAR MÁRQUEZ, A. Matemáticas simplificadas. Pearson, segunda edición. México, 2009 CARRASCO, A. Matemáticas ES, curso 2 y 3. Colección aula 360°. Edelvives. España, 2011. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2014). Matemática. Tomo 7. Grupo Quiriguá. Primero y segundo semestre. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2012). Matemática. Tomo 8. Grupo Utatlán. Primero y segundo semestre. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2014). Matemática. Tomo 9. Grupo Zaculeu. Primero y segundo semestre. Guatemala: IGER. ZILL, D. Álgebra y trigonometría. Mcgraw- Hill, segunda edición. Colombia, 1992.

Páginas web consultadas http://www.aritor.com/trigonometria/aplicaciones_trigonometria.html http://cnbguatemala.org http://lametriadelostrigonos.blogspot.com/2012/02/concepto-de-trigonometria.html http://www.ditutor.com/trigonometria/ley_seno.html http://recursostic.educacion.es/descartes/ http://www.vadenumeros.es/primero/trigonometria-resolver-triangulos.htm http://docente.ucol.mx/narahita/leyes/sen2.htm http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sistemas_ecuaciones.html http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/inyectivo-sobreyectivo-biyectivo.html http://www.ingenieria.unam.mx/ http://www.disfrutalasmatematicas.com http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/elemen_mate/ejercicios-resueltos/resueltos-3.pdf http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.html http://platea.pntic.mec.es http://www.profesorenlinea.cl

Bibliografía – Matemática

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3º Básico Matemática

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Prepárate para el recorrido!: La media aritmética

Desarrolla tu pensamiento lógico

Ley de senos y ley de cosenos

Desarrolla tu pensamiento lógico

Medidas de dispersión y probabilidad

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Volumen de la pirámide

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Área total del cono (At

Geometría I: Sólidos de revolución

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Volumen del cilindro

b. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + c = 0

Prepárate para el recorrido!: ¿Cómo se resuelve una ecuación?

Prepárate para el recorrido!: Descomposición en factores

Sistemas de ecuaciones

Potenciación y radicación algebraicas

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Factorización algebraica