BasisFysik A, 1. udgave, 2022

BASISFYSIK A Michael Cramer Andersen Michael Agermose Jensen

H A A S E F O R L AG PRAXIS FORL AG

BASISFYSIK A Af Michael Cramer Andersen og Michael Agermose Jensen © Praxis Forlag A/S 2022 og forfatterne Forlagsredaktion: Michael Haase og Mette Viking Fagkonsulent: Mikkel Lumbye Topsøe Korrektur: Kent Havemann Omslagslayout: Kit Hansen Grafisk tilrettelæggelse: Kit Hansen og Michael Haase Tryk: GPS Group Printed in Slovenia 1. udgave 1. oplag 2022 ISBN: 978-87-29-00544-5 ISBN: 978-87-29-00545-2 (e-bog) Kopiering fra denne bog er kun tilladt ifølge aftale med Copydan.

PRAXIS FORLAG A/S www.praxis.dk

Serien BasisFysik består af: BasisFysik C BasisFysik C. Facit (gratis digital udgave) BasisFysik C. Kernestoffet BasisFysik C. Kernestoffet. Facit (gratis digital udgave) BasisFysik B BasisFysik B. Facit (gratis digital udgave) BasisFysik A BasisFysik A. Facit (gratis digital udgave)

Denne titel indgår i Praxis' fagpakke til fysik, der indeholder adaptive træningsforløb og supplerende temaforløb. Yderligere information samt adgang til download af facitlister findes på forlagets hjemmeside: www.praxis.dk

INDHOLD Velkommen til fysik på A-niveau 5 Til underviseren 7 Oversigt over eksperimenter 8 1 MEKANIK I TO DIMENSIONER 1 Bevægelse i to dimensioner 10 2 Jævn cirkelbevægelse 22 3 Harmonisk bevægelse 26 4 Bevægelse med varierende kraft 31 5 Gnidning 38 6 Stød 49 7 Sammenfatning 56 Opgaver 58 2 FIKTIVE KRÆFTER 1 Accelererede koordinat­systemer 64 2 Sammenfatning 77 Opgaver 78 3 RELATIVITETSTEORI 1 Relativ bevægelse 80 2 Speciel relativitetsteori 93 3 Sammenfatning 114 Opgaver 116 4 TYNGDEFELTER 1 Hvad er et felt? 120 2 Tyngdefelter 126 3 Banebevægelser i tyngdefelter 130 4 Bestemmelse af Jordens masse 154 5 Almen relativitetsteori 158 6 Sammenfatning 170 Opgaver 171 5 ELEKTRISKE FELTER 1 Elektricitet 176 2 Det elektriske felt 178 3 Kapacitorer 190 4 Sammenfatning 198 Opgaver 199

6 MAGNETFELTER 1 Magnetisme 202 2 Magnetfelter fra strømførende ledere 225 3 Magnetisk kraft på ladninger og strømførende ledere 225 4 Sammenfatning 242 Opgaver 244 7 ELEKTROMAGNETISME 1 Elektromagnetismen udforskes 248 2 Magnetisk flux og induktion 252 3 Elektromagnetisme og elektromagnetiske bølger 262 4 Sammenfatning 265 Opgaver 266 8 KVANTEFYSIK 1 Kvantefysikkens historie 268 2 Fotoelektrisk effekt 271 3 Fotonens bevægelsesmængde 277 4 Partikel-bølge-dualiteten 284 5 Dobbeltspalteforsøget 288 6 Heisenbergs ubestemthedsrelationer 297 7 Impulsmoment og elektronens spin 303 8 Anvendelser af kvantefysik 305 9 Sammenfatning 309 Opgaver 310 APPENDIKS A Vektorer i fysik 313 B Flux og Gauss’ lov 322 C Tabeller 331 1. Symboler for fysiske størrelser 2. Fysiske konstanter 3. Vigtige formler 4. Data for Månen 5. Data for planeter i Solsystemet 6. Data for Solen Register Billedfortegnelse

Velkommen til fysik på A-niveau I fysik på A-niveau vil du både komme mere i dybden med emner, der er kendt fra B-niveauet, og møde helt nye emner. BasisFysik A skal læses sammen med BasisFysik B – de to bøger dækker tilsammen kernestoffet på A-niveauet.

Du vil møde disse emner i BasisFysik A: ▶ Mekanik i to dimensioner. Newtons love anvendt på bevægelse i én dimension er beskrevet i BasisFysik B. I dette første kapitel beskrives bevægelser i to dimensioner, herunder det skrå kast, jævn cirkelbevægelse og harmonisk bevægelse samt kraft- og energiforhold i en bevægelse med varierende kraft. Bevægelser, med gnidning eller luftmodstand, behandles nærmere. Elastiske og uelastiske stød i én dimension beskrives ved hjælp af bevægelsesmængde og kinetisk energi. ▶ Fiktive kræfter optræder i accelererede bevægelser, og vi skal se på centrifugal- og corioliskræfterne. ▶ Den specielle relativitetsteori er en indføring i, hvordan bevægelser beskrives med bevægede koordinatsystemer og koordinattransformationer med lysets hastighed som den maksimale hastighed. Den specielle relativitetsteori bliver introduceret med længdeforkortning, tidsforlængelse og relativistiske formler for masse, energi og bevægelsesmængde. ▶ Tyngdefelter – og kraftfelter generelt – er en nyttig udvidelse af kraftbegrebet. Det anvendes på gravitationsfeltet til blandt andet at beskrive satellitter og planeters baner, og det vises, hvordan man beregner den mekaniske energi i tyngdefeltet om et centrallegeme.

Den almene relativitetsteori introduceres også i dette kapitel. ▶ Elektriske felter beskriver det elektriske felt og kraften på en elektrisk ladning. ▶ Magnetfelter giver eksempler på magnetiske felter i blandt andet stangmagneter og elektromagneter. Vi skal se på, hvordan elektriske felter og magnetfelter påvirker bevægelsen af ladede partikler, samt beskrive induktion af elektrisk strøm. ▶ Kvantefysik blev introduceret i BasisFysik B med blandt andet fotonens energi, Bohrs atommodel, radioaktivitet og kernereaktioner.

I dette kapitel ser vi nærmere på anvendelser af fotonens bevægelsesmængde (behandles i kapitel 2), partikel-bølge-dualiteten samt absorption af ioniserende stråling.

VEL KOMMEN TIL F YSIK PÅ A- NIVE AU • 5

Eksperimenter og opgaveregning Et af målene med fysik A er, at du selvstændigt skal kunne tilrettelægge og udføre forsøg, herunder at arbejde med åbne eksperimentelle problemstillinger. Elektronisk dataopsamling anvendes, hvor dette er en fordel.

Fysik A afsluttes blandt andet med en skriftlig eksamen. Det anbefales derfor, at du regner eksamensopgaver fra tidligere år som supplement til bogens opgaver. Ved opgaveløsning anvendes både matematik, numeriske beregninger, graftegning, regression, CAS-værktøjer og videoanalyse.

6 • VEL KOMMEN TIL F YSIK PÅ A- NIVE AU

Til underviseren BasisFysik A indeholder afsnit, der kan anvendes som valgfrie forløb.

Fx kapitel 2 om fiktive kræfter, kapitel 3 om den specielle relativitets­ teori samt dele af kapitel 4 om tyngdefelter. Bogen skal suppleres med materiale til emnet fysik i det 21. århundrede samt tekster på engelsk for at opfylde bekendtgørelsens krav efter 2017-reformen.

I bogens appendikser er samlet en række afsnit, der enten uddyber emnerne i bogen eller understøtter anvendelsen af matematik samt arbejdet med opgaveløsning og projekter. Vektorer, differential- og integralregning anvendes, hvor det giver dybere indsigt. Vektorregning er beskrevet i appendiks A. De dele af integralregningen, der ligger ud over, hvad der forventes på B-niveau i matematik, er behandlet i appendiks A i BasisFysik B. Sidst i bogen findes desuden tabeller med symboler for fysiske størrelser, som introduceres i denne bog, samt fysiske konstanter. Flere nyttige tabeller findes bagest i BasisFysik B. God fornøjelse.

Michael Cramer Andersen Michael Agermose Jensen

TIL UNDERVISEREN • 7

Oversigt over eksperimenter 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 3.1 4.1 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.5 8.1 8.2 8.3 A.1

8 • OVERSIGT OVER EK SPERIMENTER

Skråt kast med fjederkanon 16 Skråt kast med en basketbold 17 Det koniske pendul 25 Hookes lov og fjedre 30 Faldende muffinforme 48 Bevarelse af bevægelsesmængde på skinnebane 51 Newtons love og acceleration 64 Bestemmelse af lysets fart i luft 92 Visualisering af tyngdekraft 135 Fire små forsøg med en plasmakugle 189 Op- og afladning af kapacitorer 197 Måling af magnetfelter med Hall-sonde 206 Undersøgelse af Jordens magnetfelt 210 Legetøjstog og magnetkraft 215 Måling af magnetfelter fra strømførende leder 222 Laplaces lov 234 Små forsøg med din smartphone 240 Fotoelektrisk effekt med elektroskop 289 Plancks konstant bestemt ved fotoelektrisk effekt 290 Dobbeltspalteforsøg 298 Sammensætning af kræfter 317

1

MEKANIK I TO DIMENSIONER Bevægelser kan ske i alle tre dimensioner. Vi har tidligere set på bevægelser med konstant hastighed eller konstant acceleration i én dimension. Her behandles bevægelser i to dimensioner: det skrå kast, jævn cirkelbevægelse og harmoniske svingninger. Vi skal desuden udvide kendskabet til behandling af kræfter med brug af vektorer og kraftdiagrammer og se nærmere på bevægelser med gnidning eller luftmodstand samt elastiske og uelastiske stød.

Ved konstruktionen af rutsjebaner skal man nøje beregne de kræfter, passagererne udsættes for.

1 Bevægelse i to dimensioner Kinematik med vektorer

Uafhængighedsprincippet: Enhver bevægelse kan opdel­es i en vandret og en lodret bevægelse.

I BasisFysik B (kapitel 10) undersøgte vi sammenhængen mellem kræf­ ter og bevægelse og så eksempler på bevægelse i én dimension. Nu vil vi undersøge bevægelser i to dimensioner.

Vi løser et bevægelsesproblem i fysik ved at forsøge at opskrive be­ vægelsesligninger for position, s(t), hastighed, v(t), og acceleration, a(t).

Enhver bevægelse på Jorden kan opdeles i en vandret og en lodret bevægelse. Det kaldes uafhængighedsprincippet. Vi husker, at vektorer benyttes til at angive størrelser, der har en retning, for eksempel ha­ stighed og acceleration.

Stedfunktionen, hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen kan opskrives som vektorer:

( x(t) y(t) ) v (t) v (t) = ( v (t) ) a (t) a (t) = ( a (t))

→

s (t) =

→

x y

→

x y

Hastighed defineres som den tidsafledte af stedfunktionen: →

v=

→

→

ds ∆s ≈ dt ∆t

Acceleration defineres som den tidsafledte af hastighedsfunktionen: →

a=

→

→

dv ∆v ≈ dt ∆t

Vi opskriver bevægelsesligningerne for bevægelse med konstant acce­ leration på vektorform. →

→

→

→

s (t) = ½ ∙ a ∙ t 2 + v 0 ∙ t + s0

→

→

→

v (t) = a ∙ t + v 0

Om vektorer i fysik: Se Appendiks A sidst i bogen. Her bliver vektorbegrebet defineret og anvendt i fysiske situationer. På de følgende sider forudsættes vektorbegrebet kendt.

10 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Det skrå kast Når du kaster (eller sparker til) en genstand, og den påvirkes nedad af tyngdekraften, vil den følge en bestemt bane. Ser vi bort fra luftmod­ stand, vil alle former for projektilbevægelse følge den samme bane­ kurve, der kaldes en kaste­parabel.

Vi tegner et (x,y)-koordinatsystem, så x-aksen peger vandret, og y-aksen peger lodret opad.

Figur 1.1. Projektilbevægelse kun påvirket af tyngdekraften.

y

Ftyngde x

Tyngdekraften er da givet ved Fx = 0, og Fy = –m · g, hvor g = 9,82 m/s2 er tyngdeaccelerationen i Danmark. De to komposanter kan skrives samlet som en vektor: →

F tyngde =

( –m0 · g )

Kaster vi en bold, vil den – hvis vi ser bort fra luftmodstanden – efter → → kastet kun være påvirket af tyngdekraften, og der gælder F res = F tyngde.

Vi kaster bolden til tiden t = 0 med begyndelseshastigheden: → 0

v =

( vv ) = (vv ·· cos(α) sin(α) ) 0, x

0

0, y

0

hvor α er kastets vinkel med vandret. y

Figur 1.2. Skråt kast, der begynder i (0,0) med begyn­ delsesfart v0 og vinkel α.

→

v0 v0,y = v0 · sin(α) α v0,x = v0 · cos(α)

x

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 11

Vi ser på boldens bevægelse efter kastet. Accelerationen er:

( )

0 → a = –g

Der er ingen acceleration i x-retningen, mens accelerationen i y-ret­ ningen er rettet nedad med størrelsen 9,82 m/s2. De generelle bevægel­ sesligninger bliver ved indsættelse af henholdsvis x- og y-komposan­ → → → → terne i stedfunktionen (fra side 10), s (t) = ½ ∙ a ∙ t 2 + v 0 ∙ t + s0: x(t) = v0 ∙ cos(α) · t + x0

Vandret stedfunktion for skråt kast

y(t) = –½ · g · t2 + v0 ∙ sin(α) · t + y0

Lodret stedfunktion for skråt kast

Disse formler er generelle. For sparket med fodbolden er både x0 og y0 = 0. → → Farten i de to retninger er (efter indsættelse af a og v 0 i hastigheds­ → → → funktionen v (t) = a ∙ t + v 0) givet ved: vx (t) = v0 ∙ cos(α) og vy (t) = v0 ∙ sin(α) – g · t Bemærk, at boldens masse ikke indgår i bevægelsesligningerne. Det → → skyldes, at vi har antaget, at F res = F tyngde, hvor der for den lodrette del gælder: m · ay = –m · g. Her kan massen forkortes væk, og vi har: ay = –g K A STE PAR ABLE N

Vi ser på et kast, der begynder i (0,0), det vil sige, at x0 = 0 og y0 = 0, som i figur 1.3.

Det fremgår af den lodrette stedfunktion, y(t), at kastet er en parabel som funktion af ti­ den. Da den vandrette afstand, x(t), er propor­ tional med tiden, bliver y(x) også en parabel.

Vi kan finde ligningen for banekurven – det vil sige y som funktion af x, y(x) – ved at isolere t i ligningen for x(t) og indsætte i lig­ ningen for y(t): x t= v 0 · cos(α) ½·g sin(α) y=– ·x · x2 + (v 0 · cos(α))2 cos(α) =–

½·g · x2 + tan(α) · x (v 0 · cos(α))2

12 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Dette er forskriften for en parabel (y = ax2 + bx + c). Vi har dermed vist, at kastets bane­ kurve, y(x), er en parabel. y

v0,y

v0

α v0,x

x

g

Figur 1.3. Skråt kast med begyndelsesfart v0 og vinkel α.

E K SE MPE L 1.1

Lodret kast Et lodret kast er et kast med vinkel α = 90°. Du kaster en bold lodret opad fra højden y0 = 1,5 m med hastigheden v0,y = 10 m/s. Hvor højt når bolden op? Boldens position regnes fra centrum af bolden (tyng­ depunktet eller massemidtpunktet). v0,y y0

Løsning Vi ser kun på bevægelsen i y-retningen og skal finde ymax. Det er den højde, hvor hastigheden i y-retningen er 0. Vi indsætter α = 90° og sin(α) = sin(90°) = 1 og opskriver stedfunktionen: y(t) = –½ · g · t 2 + v0 ∙ sin(90°) · t + y0

1,5 m

Farten i y-retningen opskrives og sættes lig nul, hvorefter t isoleres: vy(t) = v0 ∙ sin(90°) – g · t = 0

⇔

v0 – g · t = 0

⇔

ttop =

v0 g

Vi indsætter t = ttop i ligningen for y(t):

(vg ) + v ∙ sin(90°) · vg + y 10 m/s 10 m/s = –½ · 9,82 m/s · ( + 10 m/s · 1 · + 1,5 m 9,82 m/s ) 9,82 m/s

y(ttop) = –½ · g ·

0

2

0

0

2

0

2

2

2

= 6,6 m Svar: Bolden når 6,6 m op i luften, før tyngdekraften har bremset dens lodrette bevægelse helt, hvorefter bolden falder ned.

TÆ N K E F TE R 1

a) Hvor er accelerationen størst i det lodrette kast i eksempel 1.1 (efter du har sluppet bolden)? b) Du griber bolden i samme højde, som du kastede. Hvilken hastighed lander bolden med i din hånd? c) Forklar, at ligningen for en kasteparabel beskriver en parabel med nedadvendte grene. d) Konstanten foran x i ligningen for kasteparablen er tan(α).

Hvad svarer det til, matematisk?

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 13

Stighøjde og kastelængde for det skrå kast For det skrå kast kan vi også beregne, hvor højt bolden når, samt hvor langt den når, inden den rammer jorden.

Kastehøjden er den højde, bolden når op i. Banebevægelsen er en parabel, og hastigheden i y-retningen er 0 i toppunktet. Vi skal derfor løse ligningen vy = 0 for at finde den tid, det tager at nå til toppunktet: vy(t) = v0 · sin(α) – g · ttop = 0 ⇔

ttop =

v0,y g

Dette udtryk indsættes i ligningen for y(t): y(ttop) = –½ · g ·

( )

v0,y 2 v v 2 + v0,y ∙ 0,y + y0 = 0,y + y0 g g 2g

Stighøjden, h som er højdetilvæksten fra udgangspunktet, findes ved at sætte y0 = 0: v0,y2

2g

h=

Stighøjden for skråt kast (y0 = 0)

Denne formel kan fx anvendes til at løse problemet i eksempel 1.1.

Længden af kastet kaldes kastelængden (eller kastevidden). Den fin­ der vi ved at løse ligningen y = 0 med hensyn til t: y(t) = –½ · g · t 2 + v0,y ∙ t + y0 = 0 Det er en 2.-gradsligning, hvor vi kun skal bruge den positive løsning: t=

v 0,y + √v0,y2 + 2 · g · y0 g

I det simple tilfælde, hvor kastet begynder ved jorden (y0 = 0), forenk­ les udtrykket til: t=

2v0,y g

hvilket er den dobbelte tid af tiden til toppunktet.

Når vi skal beregne kastelængden L, indsættes tiden i udtrykket for stedfunktionen (med x0 = 0):

y

x(t) = v0 · cos(α) · t L Figur 1.4. Et kast fra højden y0 = 0.

x

I det simple tilfælde (y0 = 0) får vi (idet sin(2 · α) = 2 · cos(α) · sin(α)): 2 · v0, x · v0,y 2 · v 20 · cos(α) · sin(α)

= g g v2 = 0 · sin(2α) Kastelængde for skråt kast (y0 = 0) g

L=

14 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

En alternativ løsning er at sætte y-værdien lig nul og løse for x: y=–

½·g sin(α) ·x=0 · x2 + (v 0 · cos(α))2 cos(α)

x=0

∨

½·g sin(α) · x= (v 0 · cos(α))2 cos(α)

x=0

∨

x=

⇔ ⇔

2 · v 20 · cos(α) · sin(α) v 20 = · sin(2α) g g

Vi finder den samme løsning for kastelængden som før, mens x = 0 svarer til startpunktet.

Hvis begyndelseshøjden er forskellig fra nul, bliver udtrykket mere kom­pliceret. Man kan vise (se opgave 1.6), at kastelængden så er:

y

y0 L

x

Figur 1.5. Et kast fra højden y0.

L=

v 0 · cos(α) · (v0 ∙ sin(α) + √v 02 · sin2(α) + 2 · g · y0) g Kastelængde for skråt kast (y0 vilkårlig)

TÆ N K E F TE R 2

a) Kontrollér, at de to formler for kastelængden stemmer over­ ens, når y0 = 0. b) Hvordan ændres stighøjden, når y0 ≠ 0? c) I matematik lærer du at bestemme toppunktet ved formlen: b 2a hvor a og b er koefficienterne i 2.-gradspolynomiet. Vis ud fra ligningen for y(t), at det giver betingelsen: v · sin(α) ttop = 0 g x=–

d) Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, og hvis y0 = 0 begynder kastet i 0,0, så tmax = 2 · ttop. Bestem ud fra denne betingelse kastelængden.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 15

E K SPE RIME NT 1.1

Skråt kast med fjederkanon Vi skal afprøve formlen for kastelængden af det skrå kast med begyn­ delseshøjde. Eksperimentet er tilrettelagt som en konkurrence, hvor holdet i grupper skyder til måls.

Teori Kastelængden for et skråt kast med starthøjde y0 er: L=

v 0 · cos(α) · (v0 ∙ sin(α) + √v 02 · sin2(α) + 2 · g · y0) g

Apparatur Metalkugler, fjederkanon, målebånd og skydeskive.

Figur 1.6. En fjederkanon fungerer ved, at en kugle an­bringes på toppen af et rør, hvori der er anbragt en fjeder.

Fjeder og kugle trækkes tilbage, og røret kan vinkles.

Når fjederen udløses, sendes bolden af sted som fra en kanon.

Forsøgsgang ▶ Inddel holdet i passende grupper. ▶ Skydeskiven opsættes. (Alle grupper skyder efter samme skive.) ▶ Mundingsfarten, v0 , for kanonen bestemmes. (Tip: Vend kanonen lodret, og isolér v0 i formlen for stighøjden.) ▶ Kastekanonen anbringes på et bord og spændes fast. ▶ Målet anbringes på jorden, og afstanden til hver kanon måles. ▶ Hver gruppe skal nu beregne, hvilken kastevinkel de vil anvende for at ramme så tæt på skydeskiven som muligt. ▶ Grupperne udfører deres skud efter tur. Der måles op, hvor langt skuddet er. Den gruppe, der kommer tættest på målet, vinder.

Databehandling Sammenlign den målte skudlængde med den teoretisk beregnede skud­ længde, og bestem afvigelsen i procent.

Diskussion a) Hvilke fejlkilder og usikkerheder er der i forsøget? b) Bestem ved hjælp af min-max metoden (se Appendiks B i BasisFysik B), hvor meget vinklen maksimalt må variere, hvis kuglen skal lande med en usikkerhed på ±2 cm.

16 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SPE RIME NT 1. 2

Skråt kast med en basketbold Undersøg, om et kast med en basketbold følger ligningerne for et skråt kast, og bestem tyngdeaccelerationen.

Teori En basketbold kastes fra højden h mod en basketkurv i højden H. Boldens tyngdepunkt følger en parabelbane. Accelerationen i y-aksens retning er –g, hvis vi ser bort fra luftmodstand.

Apparatur Basketbold, videokamera (mobiltelefon eller computer), stativ eller stabilt underlag til kameraet, målebånd (mindst 2 m) og en basket­ kurv eller noget andet at skyde til måls efter.

Forsøgsgang Inddel holdet i passende grupper. Lav en video­optagelse af et kast med en basketbold – gerne ét, der går i kurven.

Databehandling ▶ Foretag en videoanalyse med fx LoggerPro eller Capstone. ▶ Bestem ud fra forsøgsresultaterne en værdi af g.

Diskussion a) Bestem den relative afvigelse i procent for jeres værdi af g. b) Gør det nogen forskel, hvis man bruger en tennisbold i stedet for en basketbold?

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 17

Kraftdiagrammer

Et kraftdiagram viser alle de faktiske kræfter med kor­ rekt retning og længde, der virker på en genstand.

Vi har i i BasisFysik B (kap. 8) set, hvordan man tegner kræfter, når kræfterne er i samme retning eller modsatrettede. Her skal det handle om, hvordan kraftdiagrammer tegnes. Et kraftdiagram (engelsk: freebody diagram) viser de faktiske kræfter, der virker på en genstand i en given situation, dvs. at man hverken tegner den resulterende kraft, kræfters komposanter eller fiktive kræfter (fiktive kræfter behandles nærmere i kapitel 2).

Hvis man følger nedenstående fremgangsmåde, er det ikke vanske­ ligt at udarbejde et kraftdiagram. a) I et kraftdiagram tegnes alle de kræfter, der påvirker en enkelt gen­ stand. Hvis der er flere genstande, tegner vi et kraftdiagram for hver genstand. b) Den resulterende kraft skal ikke tegnes, kun rigtige fysiske kræfter. c) Kraftpilene skal vende i den rigtige retning og have længder, der forholdsmæssigt er korrekte. d) Man skal angive skalaen på tegningen ved at afsætte en pil og skrive dens størrelse på. e) For at bestemme kræfternes længde og retning må man bruge parallelogramreglen, se appendiks A. Det kan også være en fordel at bestemme en krafts komposanter, hvis to af kræfterne ikke er vin­ kelrette på hinanden. Komposanter tegnes ikke i kraftdiagrammet.

Her må man lave en hjælpetegning ved siden af. f) Normalkræfter er altid vinkelrette (normal betyder vinkelret) på den flade, genstanden befinder sig på. Normalkræfters startpunkt paral­ lelforskydes fra fladens kontaktpunkt til genstandens tyngdepunkt. g) Kræfterne afsættes fra samme begyndelsespunkt, som er genstan­ dens tyngdepunkt (se BasisFysik B side 129). h) For at kunne regne med kræfterne eller angive deres størrelse i en bestemt retning må vi tilføje et koordinatsystem.

E K SE MPE L 1. 2

Sten i snor En sten af granit med massen m = 1,0 kg hænger i en snor ned fra loftet.

Tegn et kraftdiagram for stenen.

Løsning → Tyngdekraften, Ft, tegnes som en pil, der går ud fra stenens tyngde­ punkt (eller massemidtpunkt), og som er rettet lodret nedad. For at kunne angive fortegnet på kræfterne indlægges et koordinatsystem.

18 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Vælger vi y-aksen opad, får vi for kraftvektoren: →

→

Ft = –m · g Fsnor 10 N

Pilen er rettet nedad på grund af minustegnet. Læng­ den af kraftpilen er: Ft = |–1,0 kg · 9,82 N/kg| = |–9,82 N| = 9,82 N →

Stenen påvirkes også af snorkraften, Fsnor, fra snoren. Da stenen hænger stille, er de to kræfter lige store og mod­ satrettede. Størrelsen af snorkraften er:

Ft

→

Figur 1.7. Kraftdiagrammet med de to kræfter indtegnet samt markering af skala.

→

|Fsnor| = |–Ft| = 9,82 N

Snorkraften er rettet opad, og dens størrelse er derfor positiv. I princippet er der også opdrift på stenen, men den er så lille i forhold til de to andre kræfter, at vi kan se bort fra den.

Vi indsætter en pil med længden 10 N til at markere skalaen på teg­ ningen. Snorkraften afsættes fra tyngdepunktet og langs snoren lodret opad, som vist på figur 1.7.

TÆ N K E F TE R 3

Tegn kraftdiagrammer for nedenstående situationer.

a. En sten falder, ingen luftmodstand.

b. Stenen hænger statisk i to snore.

d. Stenen ligger stille på et skråplan med friktion.

e. Stenen er i toppen af et skråt kast.

c. Stenen glider på et skråplan uden frik­ tion.

f. Stenen svinger i en snor, ingen luft­ modstand.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 19

E K SE MPE L 1. 3

Bil på bakke En bil med massen m holder parkeret på en bakke med håndbremsen trukket, se figur 1.8. Bakkens vinkel med vandret er θ (theta).

Tegn de kræfter, der virker på bilen.

Figur 1.8. Bil på bakke med korrekt kraftdiagram.

N

y

F x θ m·g

θ

Løsning → Tyngdekraften, Ft , tegnes i bilens massemidtpunkt med størrelsen → → Ft = m · g. Bilen påvirkes også af normalkraften (N = FN ) mellem bak­ ken og bilens hjul. Vi indlægger et koordinatsystem med x-aksen rettet opad langs bakken og y-aksen vinkelret på bakken. Analysen deles op i de to koordinatretninger: Da bilen holder stille, er der ligevægt, og der gælder, at summen af kræfterne i x-retningen er nul, og summen af kræfterne i y-retningen er nul:

∑F =0 →

y

og

∑F =0 →

x

→

For y-retningen (vinkelret på bakken) gælder: Størrelsen af N skal være sådan, at den samlede kraft vinkelret på bakken er nul:

∑F =0 →

y

→

→

⇔ Ft ,y = –N ⇒

→

N = |N | = m · g · cos(θ)

For x-retningen (langs med bakken) gælder: Der er en gnidningskraft mellem vejen og hjulene. Størrelsen af gnidningskraften skal være så­ dan, at den samlede kraft langs vejen er nul:

∑F =0 →

x

→

→

⇔ Ft , x = –Fgnid

⇒

→

Fgnid = |Fgnid | = m · g · sin(θ)

Samlet set får vi for kraftvektoren:

∑ F = 0 ⇔ ( FF ) = 0 ⇔ ( –F–F ++FN ) = 0 F = m · g · sin(θ) +F =0 ⇔ (–m–m· g· g· sin(θ) · cos(θ)+ N ) N = m · g · cos(θ) →

x y

gnid

20 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

t,x

t,y

gnid

gnid

Gnidningskraften har altså samme størrelse som tyngdekraften gan­ get med sinus til vinklen. Normalkraften har samme størrelse som tyngdekraften ganget med cosinus til vinklen.

Figur 1.9. Eksempel på konstruktionstegning i Geo­ Gebra. Konstruktionsteg­ ningen bruges til at tegne kræfterne i kraftdiagram­ met med korrekt længde og retning. Bemærk fx, at tyngdekraftens komposan­ ter ikke tegnes med i det færdige kraftdiagram. Den lille vektorpil viser skalaen på tegningen.

TÆ N K E F TE R 4

a) En klods med massen m ligger stille på et skråplan med vinklen θ. Find fejlene i de tre kraftdiagrammer a, b og c. m m

θ

m m

θ

m

θ

a b c

b) En anden klods glider på et skråplan. Hvad er vinklen θ, hvis skråplanet er lodret? c) Hvor stor er normalkraften, hvis skråplanet er lodret? d) Anna påstår, at normalkraften er m · g · cos(θ). Bob påstår, at normalkraften er m · g · sin(θ). Gør ud fra dine svar i b) og c) rede for, hvem der har ret.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 21

2 Jævn cirkelbevægelse v

•m

r

O

Figur 1.10. Cirkel­bevægelse.

Hastigheden er en vektor, der ændrer sig, hvis enten retningen eller størrelsen ændrer sig. Farten er stør­ relsen af hastigheden og er en skalar (et tal med enhed).

y

Vi er omgivet af jævne cirkelbevægelser. Jorden kredser om Solen og Månen om Jorden i baner, der er tæt på at være cirkler. En legeplads­ karrusel, der roterer med konstant periode, eller en bil, der kører med konstant fart i en rundkørsel, udfører en jævn cirkelbevægelse, hvor jævn betyder, at omløbstiden er konstant. En elektrons bevægelse om­ kring kernen i et atom kan også beskrives som en jævn cirkelbevægelse.

Vi ser på en genstand med massen m, der roterer omkring et punkt, O, med konstant afstand r. Den bevæger sig i en cirkel med radius r. Se figur 1.10. Det fremgår, at hastigheden ændrer retning (mens farten er konstant), idet massen m hele tiden flytter sig i en ny retning.

Da det er en jævn bevægelse, er farten konstant. Omkredsen af cirk­ len er s = 2π · r, og det tager tiden T for genstanden at komme én gang rundt. Så farten er givet ved: v = st = 2πT· r .

2π · r = 2π · r · f T

v=

For at beskrive cirkelbevægelsen kan vi indføre polære koordinater (r,θ), hvor r er afstanden til centrum af bevægelsen, og θ er vinklen rundt i cirklen. Vi sætter θ = 0 langs x-aksen. Se figur 1.11.

Vinkelhastigheden ω er tilbagelagt vinkel pr. tid og kan bestemmes som: ω=

vy r

→

v

vx θ

(x,y) x

Fart i cirkelbevægelse

dθ dt

hvor vinklen θ angives i radianer. Radianer anvendes som mål for vinklers størrelse. Der gælder, at 2π radianer = 360°.

For en jævn cirkelbevægelse er vinkelhastigheden konstant. I løbet af en omgang tilbagelægges strækningen T, så: vinkel 2π = = 2π · f Vinkelhastighed tid T Sammenligner vi de to ligninger for henholdsvis farten og vinkelhastig­ heden, får vi sammenhængen mellem den lineære hastighed v og vin­ kelhastigheden ω: Vi får: v v = 2π · r · f = (2π · f ) · r = ω · r ⇔ ω = r ω=

Figur 1.11. Cirkelbevægelse i et (x,y)-koordinatsystem med hastighedsvektor.

Ser vi på, hvor langt rundt på cirklen punktet m er nået, får vi, at vink­ len med x-aksen er proportional med den tid, der er forløbet: θ = ω · t.

Vi kan således skrive ω · t i stedet for θ. Stedvektoren har koordinaterne:

(

)

(

r · cos(ω · t) cos(ω · t) r = r · sin(ω · t) = r · sin(ω · t)

→

22 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

)

Stedfunktion for cirkelbevægelse

Differentieres denne, fås hastighedsvektoren, idet man differentierer en vektorfunktion ved at differentiere koordinatfunktionerne hver for sig:

( )

r (t) r ’(t) = rx’ (t) y’

→

og

(

–r · ω · sin(ω · t) v = r · ω · cos(ω · t)

→

)

Accelerationen findes ved at differentiere igen (ved at benytte, at (cos(x))’ = –sin(x) og (sin(x))’ = cos(x) samt brug af kædereglen):

(

)

(

→ –r · ω2 · cos(ω · t) cos(ω · t) a = –r · ω2 · sin(ω · t) = –r · ω2 · sin(ω · t)

)

Sted- og accelerationsvektorerne er altså proportionale og modsatret­ tede: →

→

a = –ω2 · r

Acceleration i cirkelbevægelse v

→

Størrelsen af a er: a = |a | = ω2 · r. Indsættes udtrykket ω = r heri, får vi størrelsen af centripetal­ac­celerationen, som er den konstante accelera­ tion for en genstand i en jævn cirkelbevægelse: aC =

v2

r

Centripetalaccelerationen

Fortegnet bliver positivt, fordi størrelsen kun angiver længden af vek­ → toren a, | a |, i retning væk fra centrum.

Den resulterende kraft på en genstand, der bevæger sig i en jævn cirkelbevægelse, kaldes centripetalkraften. Den findes ved hjælp af → → Newtons 2. lov (idet aC = –ω2 · r ):

(

)

→ → → cos(ω · t) FC = m · aC = –m · ω2 · r · sin(ω · t) = –m · ω2 · r

Størrelsen af centripetalkraften er: FC = m · a C = m ·

v2 = m · ω2 · r Centripetalkraften r

Bemærk: Når formlerne for aC og FC anvendes, skal man sam­ tidig argumentere for, hvilken retning de peger.

TÆ N K E F TE R 5

På figur 1.11 er hastighedsvektoren for den jævne cirkelbevæ­­ gel­se tegnet i et punkt. Forsøg at tegne den tilhørende accelerations­vektor.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 23

E K SE MPE L 1. 4

Jævn cirkelbevægelse af karrrusel En karrusel udfører en jævn cirkelbevægelse. Vogne og heste bevæger sig på en cirkel med radius 5,0 m. Omløbstiden er 10,0 s.

Bestem vinkelhastigheden, den lineære hastighed og centripetal­acce­ lerationen.

Løsning Vi indsætter i formlerne: ω=

2π 2π = 0,63 s–1 = T 10,0 s

v = ω · r = 0,63 s–1 · 5,0 m = 3,1 m/s aC =

v2 (3,1m/s)2 = = 2,0 m/s2 r 5,0 m

Svar: Vinkelhastigheden er 0,63 s–1, den lineære hastighed er 3,1 m/s, og centripetalaccelerationen er 2,0 m/s2.

24 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SPE RIME NT 1. 3

Det koniske pendul Vi skal undersøge den jævne cirkelbevægelse ved hjælp af et konisk pendul og bestemme tyngde­ accelerationen.

Teori Et pendul, der bringes til at rotere i en cirkelbane, kaldes et konisk pendul, se figur 1.12.

Figur 1.12. Et konisk pendul med snorkraft og tyngdekraft samt den resulterende centripetalkraft.

θ

L

h

Fsnor FC Ftyngde

Centripetalkraften på loddet er givet ved: v2 r

hvor v = ω · r, og ω = 4 · π2 · r Fres = m · T2

Skema I

1

2

3

4

5

m (kg) L (m) t (s) T (s)

r

Fres = m ·

▶ Foretag en serie målinger, hvor du varierer massen m og holder længden L konstant.

2π , hvilket kan reduceres til: r

Man kan ved brug af Newtons 2. lov vise (se be­ viset i opgave 1.7), at der gælder: 4 · π2 g= ·h T2 Apparatur Snor, lodder og ur.

Forsøgsgang ▶ Overvej, hvordan man sørger for, at loddet bevæger sig i en cirkelbane og ikke en ellipse.

Eksperimentér jer frem til en præcis metode til at måle radius, r, i cirkelbanen.

▶ Foretag en anden serie målinger, hvor du vari­ erer længden L og holder massen m konstant. ▶ Mål i alle tilfælde omløbstiden T ved at lade pendulet løbe fx 5 om­gange, og dividér tiden t med 5.

Databehandling ▶ Udfyld et skema som nedenstående for den anden måleserie. ▶ Overvej, hvordan man bestemmer h, når man har målt r og L. ▶ Bestem en værdi af g ud fra forsøgsresulta­ ter­ne.

Skema II

1

2

3

4

5

m (kg) r (m) L (m) h (m) t (s) T (s)

Diskussion a) Afhænger omløbstiden af massen? Af pen­ dullængden? b) Hvor kommer den nødvendige centripetal­ kraft fra? (Tip: Hvilken rolle spiller snorkraf­ ten Fsnor?) c) Bestem den relative afvigelse fra tabelværdien for din værdi af g.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 25

3 Harmonisk bevægelse Harmonisk bevægelse: Kraften er proportional med og modsatrettet udsvinget.

Jævn cirkelbevægelse er et eksempel på en harmonisk bevægelse. En harmonisk bevægelse er defineret ved, at kraften, der giver anledning til bevægelsen, er proportional med og modsatrettet udsvinget.

Andre eksempler på harmonisk bevægelse er et almindeligt pendul eller et fjederpendul, hvor en fjeder med et lod i enden sættes i sving­ ninger.

Matematisk pendul θ

Nu skal vi se på en almindelig pendulbevægelse. Vi ser bort fra alle former for gnidning og antager, at en masse m er anbragt for enden af en masseløs stang med længde L. Den vinkel, pendulet er svunget væk fra lodret (ligevægtsstillingen), kaldes θ, se figur 1.13.

Det vandrette udsving kan beskrives ved en sinuskurve, idet vi sæt­ ter θ til at være 0 til tiden t = 0. x(t) = A · sin(ω · t)

Stedfunktion for harmonisk svingning

Figur 1.13. Matematisk pendul.

hvor A er amplituden, det vil sige det maksimale vandrette udsving.

Figur 1.14. Sinuskurve med amplitude indtegnet.

Udsving

Amplitude Tid

Den vandrette hastighed og acceleration findes ved at differentiere henholdsvis én og to gange: v(t) = ω · A · cos(ω · t)

Hastighed i harmonisk svingning

a(t) = –ω2 · A · sin(ω · t)

Acceleration i harmonisk svingning

Vi observerer, at accelerationsfunktionen er lig stedfunktionen gange faktoren –ω2. Kraften findes ved hjælp af Newtons 2. lov (F = m · a): Fres = –m · ω2 · x(t)

26 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Kraft i harmonisk svingning

Kraften er proportional med udsvinget og (på grund af minusset) mod­ satrettet udsvinget. Der er derfor tale om en harmonisk bevægelse.

Svingningstiden T er for små vinkler givet ved: T = 2π ·

–– L g

√

Svingningstid i et pendul (små vinkler)

For større udsving er ovenstående kun en tilnærmet formel.

DIME NSIONSANALYSE

I fysik er enheder vigtige, og man kan ofte tjekke, om man har regnet rigtigt, ved at kontrollere, at facit har den rigtige enhed.

Men man kan mere end det. Dimensionsanalyse er en teknik, hvor man alene ved at se på dimensionerne – svarende til en­ hederne for de indgående fysiske størrelser – kan sige noget om, hvilken sammenhæng der må gælde.

For det matematiske pendul ønsker vi en formel for pendulets svingningstid T. Enheden for tid er sekunder, s. De fysiske stør­ relser, der indgår i pendulet, er længden L, massen m og tyng­ deaccelerationen g. Enhederne for disse er henholdsvis m, kg og m/s2.

Vi antager, at tiden er proportional med disse tre størrelser i en bestemt potens (hvor k er en dimensionsløs konstant): T = k · La · mb · g c Ser vi på enhederne, giver det: s1 = ma · kgb · (m/s2)c = ma+ c · kgb · s–2c Kilogram og meter indgår ikke på venstre­siden, så vi konklude­ rer, at b = 0 og a = –c.

Ved at matche eksponenter på sekund får vi, at c = –½. Derfor må a = ½.

Ved indsættelse af værdierne af a, b og c i formlen for T fås: T=k·L ·m ·g ½

0

–½

= k · √L · 1 · 1 = k · √g

–

√ Lg

hvilket – for små vinkler – er den korrekte sam­­menhæng, det vil sige længden og tyngdeaccelerationen indgår med den rigtige eksponent. Værdien af konstanten (k = 2π) i formlen kan ikke findes ved dimensionsanalyse, der må stærkere værktøjer til, som ligger uden for gymnasiets pensum.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 27

Hookes lov

Hookes lov for en harmonisk bevægelse: Kraften er pro­ portional med og modsat­ → → rettet udsvinget F = –k · x .

Ud fra antagelsen om en harmonisk sinusbevægelse kunne vi ovenfor udlede den sammenhæng, at kraften (F) er proportional med udsvin­ get, x.

Denne sammenhæng mellem kraft og udsving kaldes Hookes lov.

Med vektorer er den: →

→

F = –k · x

Hookes lov for fjedersvingning →

Størrelsen af kraften er F = |F | = k · x og modsatrettet udsvinget. I det ovenstående har vi antaget, at bevægelsen var harmonisk, og udledt Hookes lov.

Man kan også antage Hookes lov og derudfra udlede bevægelses­ ligningerne for den harmoniske bevægelse. Det over­lades til læseren i opgave 1.13.

TÆ N K E F TE R 6

Figur 1.15. Den engelske na­ turfilosof Robert Hooke (16351703) er mind­re berømt end andre store videnskabsfolk.

Ud over opdagelsen af loven, der bærer hans navn, udførte Hooke vigtigt arbejde i mange grene af videnskaberne. Han var fx en af de første, der be­ nyttede det nyligt opfundne mikroskop videnskabeligt, og han fandt på ordet ’celle’ om den mindste strukturelle og funktionelle enhed i levende organismer.

a) Et pendul bestående af en stang og en svingen­de vægt bruges i gamle mekaniske ure. Hvis uret skal tikke ét sekund, hver gang det passerer bunden af svingningen, hvor lang skal stangen da være? b) Udled ved hjælp af dimensionsanalyse formlen for en bølges fart på lavt vand, v = √ g ∙ d, hvor g er tyngdeaccelerationen, og d er vanddybden. c) Hvilken værdi for k i Hookes lov finder vi for den jævne cirkelbevægelse? d) Hvilken værdi for k skal man benytte for det matematiske pendul?

28 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Elastiske kræfter For en fjeder kaldes kraften i Hookes lov for en elastisk kraft. Konstan­ ten k kaldes fjederkonstanten og har enheden N/m.

Når et lod hænges op i en fjeder, vil fjederen strækkes med længden x, indtil loddets tyngdekraft er lige så stor som fjederkraften, og loddet hænger stille.

Figur 1.16. Forlængelse af fjeder med ophængt lod.

Kraften kan enten måles med et almindeligt dynamo­meter eller med en elektronisk kraftmåler.

Forlængelse

Til computer Kraft

Trækkes der derefter i loddet, vil fjederkraften vokse tilsvarende. Hvor stor en kraft det kræver at strække fjederen, afhænger af fjederkonstan­ ten k. Størrelsen af fjederkonstanten kan bestemmes eksperimentelt.

E K SE MPE L 1. 5

Fjederkraft En fjeder med fjederkonstant k = 100 N/m skal strækkes 10,0 cm. Hvor stor en kraft skal man trække med?

Løsning Man skal trække med en kraft svarende til fjederkraften, men mod­ satrettet: F = k · x = 100

N · 0,100 m = 10,0 N m

Svar: Man skal trække med en kraft på 10,0 N.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 29

E K SPE RIME NT 1. 4

Hookes lov og fjedre Vi skal undersøge, om Hookes lov gælder for en fjeder og en elastik, samt hvordan fjederkonstan­ ten bliver, når man sætter fjedre/elastikker i for­ længelse af hinanden eller parallelt.

Apparatur Fjedre og elastikker, målebånd samt lodder med forskellig masse.

Teori Man kan vise, at der for fjederkonstanterne ved sammensætning af fjedre med fjederkonstanter k1 og k2 gælder: Parallelkobling: kerstat = k1 + k2 Seriekobling: kerstat =

1 1 k1

+

1 k2

Del 1: Sammensætning af fjedre Udførelse Lav en opstilling som i figur 1.16. Hæng forskel­ lige lodder på fjederen, og mål fjederforlængel­ sen x. Bestem fjederkonstanten for to ens fjedre med samme længde og fjederkonstant.

Udfyld en tabel som nedenstående for hver fjederopstilling.

Skema I

1

2

mlod/g

0

…

x/cm

0

…

3

4

5

6

Derefter laves en opstilling med to ens fjedre, koblet sammen henholdsvis parallelt og serielt, og forsøget gentages. Prøv eventuelt med to for­ skellige fjedre.

30 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Databehandling Bestem fjederkonstanten for de to fjedre hver for sig og derefter for parallel- og seriekobling.

Diskussion a) Gælder Hookes lov for en fjeder? b) Er der overensstemmelse mellem formlerne for erstatningsfjederkonstanterne og dine resultater? c) Bestem de relative afvigelser for erstatnings­ fjederkonstanterne i procent.

Del 2: Elastikker Udførelse Lav en opstilling som i figur 1.16, blot med én elastik.

Udfyld en tabel som nedenstående: Skema II

1

2

mlod/g

0

…

x/cm

0

…

3

4

5

6

Lav derefter en opstilling med to ens elastikker, koblet sammen henholdsvis parallelt og serielt, og gentag forsøget.

Databehandling Bestem fjederkonstanten for elastikken.

Diskussion d) Gælder Hookes lov for en elastik? e) Er der overensstemmelse mellem formlerne for erstatningsfjederkonstanterne og dine resultater? f) Bestem de relative afvigelser i procent.

4 Bevægelse med varierende kraft Indtil videre har vi hovedsageligt undersøgt kræfter, der er konstante, fx tyngdekraften og centripetalkraften i en jævn cirkelbevægelse. Kraf­ ten i fjederen i forrige afsnit er derimod ikke konstant, men afhænger af fjederforlængelsen. Når vi skal beregne det arbejde, en varierende kraft udfører, er det mere kompliceret end for konstante kræfter.

Energiforhold og konservative kræfter Vi begynder med et eksempel. To personer skal op på 2. sal. Den ene tager elevatoren, den anden tager trapperne. Vi ser bort fra alle former for gnidning og antager, at tyngdekraften er konstant, det vil sige den kraft, elevatoren skal yde, er også konstant (F). Højdeforskellen mel­ lem stuen og 2. sal er H. Hvert trappetrin har højden h, og der er n trin, så H = n · h.

Figur 1.17. Elevator og trappe.

Elevatoren trækkes op af en motor og en kontravægt. Når man går op ad trappen eller kører med elevator, udføres et arbejde imod tyngdekraften.

Kraften F er den kraft, der skal til for at modvirke tyng­ dekraften.

Elektrisk motor

F Modvægt

For den første person er kraftens arbejde A1 = m · g · H. For hvert trin den anden person tager, er arbejdet ΔA = m · g · h. Det samlede arbejde er: A2 = n · ΔA = n · m · g · h = m · g · H Tyngdekraftens arbejde er uafhængigt af vejen og afhænger kun af højde­ forskellen.

Arbejdet er altså det samme for begge personer. Vi siger, at arbejdet er uafhængigt af vejen. Da tyngdekraften alle steder er modsatrettet kraften F, vil tyngdekraftens arbejde også være ens for de to veje, men negativt.

Da kraften kun udfører et arbejde på de stykker af vejen, hvor man bevæger sig lodret, kan vi vise, at det ikke kun gælder for de to veje, vi valgte ovenfor, men at det gælder for en vilkårlig vej.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 31

Det betyder, at ændringen i potentiel energi kun afhænger af startog sluttilstanden. Der gælder for tyngdekraftens arbejde, at det er lig minus ændringen i potentiel energi: A = –(Epot,slut – Epot,start) = – ΔEpot Konservativ kraft: En kraft, hvor arbejdet kun afhænger af start- og slutpositionen.

Kræfter, der har denne egenskab, kaldes konservative kræfter. Det er fx tyngdekraften på Jorden, den elektriske kraft omkring en ladning (se BasisFysik B side 227) eller kraften i en fjeder.

Gnidningskraften mellem to overflader er et eksempel på en kraft, der ikke er konservativ. Vi vender tilbage til gnidning senere i bogen.

Man kan bestemme det samlede arbejde ved en vilkårlig bevægelse ved at dele bevægelsen op i vandrette og lodrette stykker, hvor tyngde­ kraftens arbejde er nul på de vandrette og ΔA = F · Δy på de lodrette.

Arbejdet kan derfor tilnærmes med summen af de små arbejder fra startpositionen (A) til slutpositionen (B): B A = ΔA =

∑

A →

→

ds3

B

ds2

A

→

→ Ft

Ft

→

Ft

Figur 1.18. Tyngdekraftens arbejde er summen af kraft gange vej.

∑

B

F · Δs =

A

∑F · ds →

→

A

→

hvor F · ds er skalarproduktet af vektorerne. Hvis vi fx bevæger os på en bakke fra A til B (se figur 1.18), er tyngdekraftens arbejde: →

→

ds1

→

B

→

→

→

→

→

A ≈ Ft · ds1 + Ft · ds 2 + Ft · ds 3 + …

Lader vi længden af stykkerne gå imod nul, bliver tilnærmelsen mere præcis, og vi kan i stedet opskrive integralet af kraft gange vej fra start­ positionen (A) til slutpositionen (B): A=

∫

A

B

dA =

∫

A

B →

→

F · ds

I ovenstående eksempel med trappen er tyngdekraften tilnærmelses­ vis konstant. I det tilfælde kan vi sætte kraften uden for integralet, og vi får derved den sædvanlige formel: A=

∫

A

B →

→

→

F · ds = F

∫

A

B

→

→ →

ds = F · s

Begrænser vi os til at regne på størrelserne af kraften og strækningen, fås formlen: A = F · s · cos(v) Denne formel kender vi allerede fra B-niveauet (se BasisFysik B kapitel 11, side 190).

32 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SE MPE L 1.6

Tyngdekraftens arbejde En elevator bevæger sig fra jordoverfladen og 12,0 m opad med kon­ stant fart. Massen af elevator og passagerer er m = 1250 kg.

Bestem det arbejde, tyngdekraften udfører under bevægelsen. Vi ser bort fra gnidningskræfter.

Løsning → → Tyngdekraften er F = m · g , og dens størrelse er: F = m · g = 1250 kg · 9,82 N/kg = 12,3 kN Kraften er konstant og modsatrettet bevægelsen, så: →

→

F · ds = –F · ds = –m · g · ds Vi sætter A til højden 0 m, og B til højden 12 m. Arbejdet er: A=

∫

A

B→

→

F · ds = –F

∫

12,0 m

0 m

m ds = –F · [s ]12,0 = –12,3 kN · 12 m = –147 kJ 0m

Svar: Tyngdekraftens arbejde er –147 kJ. Arbejdet er negativt, da tyng­ dekraften er modsat­rettet bevægelsen.

Senere i bogen ser vi nærmere på anvendelser, hvor tyngdekraften ikke er konstant. Det gælder fx for satellitbevægelser eller andre banebevæ­ gelser i Solsystemet.

Fjederkræfter er et andet eksempel på en variabel kraft, hvor man må finde arbejdet som et integral.

E K SE MPE L 1.7

Fjederkraftens arbejde En fjeder har en hvilelængde på 50 cm. Når der hænges et lod med massen 100 g på fjederen, strækkes den 20 cm fra hvilepositionen. a) Bestem fjederens fjederkonstant. b) Beregn arbejdet, fjederen har udført på loddet. Fjederen antages at være masseløs. c) Den samme fjeder er trukket ud til længden 100 cm. Beregn det arbejde, man udfører, når fjederen trækkes fra en længde på 100 cm til 120 cm.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 33

Løsning a) Vi anvender Hookes lov og sætter fjederkraften lig tyngdekraften: m · g 0,100 kg · 9,82 N/kg = = 4,9 N/m x 0,20 m b) Fjederkraften og loddets bevægelse er modsatrettede, så arbejdet er: F=k·x=m·g ⇔

∫

0,20 m →

∫

k=

0,20 m

m A = – F · ds→ = – k · x dx = –½ · k · [x 2 ]0,20 0m 0 m

0m

= –½ ∙ 4,9 N/m ∙ ((0,20 m)2 – (0 m)2) = –0,098 J

∫

1,20 m → →

∫

1,20 m

m c) A = – F · ds = – k · x dx = –½ · k · [x 2 ]1,20 1,00 m 1,00 m

1,00 m

= –½ ∙ 4,9 N/m ∙ ((1,20 m)2 – (1,00 m)2) = –1,1 J Svar: Fjederkonstanten er 4,9 N/m. Arbejdet er henholdsvis –0,098 J og –1,1 J. Bemærk, at arbejdet er forskelligt, selv om fjederforlængelsen er den samme i de to tilfælde.

Arbejde som areal under graf Hvis man vil bestemme arbejdet og ikke har funktionsudtrykket for kraften, men kun en serie målinger af kraftens størrelse som funktion af en afstand, kan man bestemme arbejdet som arealet under en (s,F)-graf.

Ifølge integralregningens hovedsætning er arealet under en positiv graf lig det bestemte integral. Vi får:

F(s)

s1

s2

s

F(s)

s2

∫ f(s) · ds = F(s ) – F(s ) s2

s1

2

1

Figur 1.19 viser arealet under grafen for en varierende kraft i interval­ let fra s1 til s2. Figur 1.20 viser det samme som figur 1.19, men med et gitter lagt ind, så arealet kan bestemmes ved at tælle tern. Et blåt tern tælles med, hvis mindst halvdelen af ternets areal ligger under grafen.

Et hvidt tern tælles ikke med, hvis mindre end halvdelen af ternets areal ligger under grafen. Hvis ternene er små nok, vil dét, der tælles for meget, og dét, der tælles for lidt, ophæve hinanden.

Figur 1.19. Arbejdet er lig area­let under (s,F)-grafen.

s1

Areal =

s

Figur 1.20. Arealet under gra­ fen kan bestemmes groft ved at tælle, hvor mange tern der er under grafen.

Bemærk: I formlen for arealet er F en stamfunktion til f. Når funktionen, hvis graf der skal findes areal under, er en kraft, skal man være forsigtig med notationen, idet F(x) i matematik normalt er reserveret til stamfunktionen til f(x). For en kraft kaldes funktionen ofte F(x), se eksempel 1.8.

34 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SE MPE L 1. 8

Arbejde som areal under graf Vi vil beregne arealet under en (x,F)-graf, som vist i figur 1.21. Grafen viser sammenhængen mellem den kraft, F, vi trækker med, og den længde, x, en fjeder forlænges.

Bestem det arbejde, kraften har udført på fjederen.

F (N) 20 15 10 5 0

0

5

10

x (cm)

Figur 1.21. Grafen viser kraf­ ten i en fjeder, når forlængel­ sen af fjederen, x, øges.

Løsning Metode 1: Arbejdet bestemmes som arealet under (x,F)-grafen (figur 1.21), idet kraften ikke er konstant. Vi tæller ternene under grafen til: N = 0,5 · 5 · 3,7 = 9,25. Ternstørrelsen er ΔA = 5 N · 2,5 cm = 12,5 N · cm = 0,125 N · m = 0,125 J. Dvs. A = N · ΔA = 9,25 · 0,125 J = 1,16 J ≈ 1,2 J. Metode 2: Hvis vi finder forskriften for F(x), får vi for hældningen af grafen, k = 1,50 N/cm = 150 N/m. Forskriften er F(x) = 150 N/m · x. Vi kan derfor også integrere os frem til arbejdet:

∫

0,125 m

A = 150 N/m · x dx = ½ · 150 N/m · ((0,125 m)2 – (0 m)2) = 1,17 J 0m

Svar: Arbejdet er 1,17 J. De to metoder giver tilnærmelsesvist samme resultat. Hvis målingerne er givet ved en tabel, må man først lave en passende regression for at finde forskriften for kraften som funktion af afstanden, F(x).

Energiforhold ved harmonisk bevægelse For en harmonisk bevægelse kan vi definere bevægelsens kinetiske og potentielle energi. Den kinetiske energi er den velkendte formel: Ekin = ½ · m · v2 Og den potentielle energi er givet ved: Epot = ½ · k · x2 Summen af disse to kaldes som sædvanlig for den mekaniske energi og er konstant, hvis summen af de ydre kræfter er nul, og de indre kræfter er konservative.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 35

E K SE MPE L 1.9

En fjeders potentielle energi En fjeder med en fjederkonstant på 150 N/m trækkes 12,5 cm ud fra ligevægtsstillingen. Hvor stor er den potentielle energi af fjederen?

12,5 cm

Løsning Epot = ½ · k · x2 = ½ · 150 N/m · (0,125 m)2 = 1,17 J Svar: Den potentielle energi i fjederen er 1,17 J, hvilket er i overens­ stemmelse med eksempel 1.8, hvor vi fandt arbejdet på fjederen, da vi trak den 12,5 cm ud. Der gælder, at A = ΔEpot, så de to tal skal være ens.

Potentiel energi i en fjeder Vi kan udlede en formel for den potentielle energi i en fjeder, der pres­ ses sammen med afstanden x1 fra ligevægtsstillingen. Arbejdet er: Afjeder =

∫

x1 →

→

F · ds =

0

∫

0

x1

–F · dx

Bemærk, at fjederkraft og strækning er modsatrettede. Indsættes ud­ trykket for fjederkraften, får vi: Afjeder =

∫

0

x1

[]

x1

–k · x dx = –½ · k · x2 = –½ · k · x12 0

Da afstanden x1 er vilkårlig, kan vi fjerne 1-tallet og blot skrive x.

Vi ved, at Afjeder = –∆Epot, og får endelig formlen for den potentielle energi i en fjeder: Epot = ½ · k · x2 Potentiel energi i en fjeder TÆ N K E F TE R 7

En springmadras består af en række fjedre med samme fjeder­ konstant. En person med massen 60 kg lægger sig på madrassen, der trykkes 10 cm sammen. a) Hvor stor er den samlede fjederkonstant? b) Hvor stor er den potentielle energi i fjedrene? c) En anden person med massen 120 kg lægger sig på en tilsva­ rende madras. Hvor langt trykkes madrassen nu sammen? d) Hvor stor er fjederens potentielle energi nu? e) Forklar, hvorfor personen i c) synker dobbelt så langt ned, men den potentielle energi vokser til det 4-dobbelte. (Tip: Er der energibevarelse?)

36 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Kraftens impuls for varierende kraft Kraftens impuls er ændring i bevægelsesmængde i kraf­ tens retning.

I BasisFysik B (side 173) benyttede vi formlen for kraftens impuls (dvs. ændring i bevægelsesmængde i kraftens retning), Δp = Fydre · Δt, hvor Fydre er den gennemsnitlige ydre kraft i tidsintervallet.

Hvis vi kender kraften som funktion af tiden, F(t), kan vi også be­ stemme kraftens impuls ved at integrere: t2

Δp = ∫ F(t) dt

Impulssætningen

t1

Impulsen svarer til arealet under grafen for F(t) i tidsintervallet fra t1 til t2.

Udledning af impulssætningen Kraften F(t) varierer som funktion af tiden i tidsintervallet t1 til t2, se figur 1.22. Vi inddeler tidsintervallet i en række mindre intervaller.

I et lille tidsrum Δt til tiden ti kan kraften antages at være konstant F(ti). Tilvæksten i bevægelsesmængde, det vil sige impulsen Δp, i dette tidsrum er: Δp(ti) = F(ti) · Δt Den samlede tilvækst er (hvor der summeres over alle tidsintervaller): Δp = ∑iΔp(ti) Lader vi intervalbredden gå mod nul (Δt → 0), fås, at impulsen bliver det bestemte integral svarende til impulssætningen ovenfor.

Ifølge integralregningens hovedsætning svarer dette integral til area­let mellem grafen for F(t) og førsteaksen, se figur 1.22 og 123.

F(t)

F(t) Areal = Δp = F(ti) · Δt

Impuls, Δp

t1

t2

t

t1

Figur 1.22. Impulsen er lig arealet under grafen for F og bestemmes her som summen af rektanglernes areal.

t2

t

Figur 1.23. Impulsen er lig arealet under grafen for F og bestemmes her ved at integrere F(t).

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 37

E K SE MPE L 1.10

Figur 1.24 viser kraften på en ishockeypuck som funktion af tiden. Be­ stem den tilvækst i bevægelsesmængde, pucken får i kraftens retning.

Figur 1.24. Kraften på en ishockeypuck.

1000

Kraft (N)

800 600 400 A1

A2

200 0

0

10

20

30 40 Tid (ms)

50

60

Løsning Først bemærker vi, at enheden på førsteaksen er ms, dvs. millisekund.

Vi skal finde arealet under den røde graf. Det udgøres af to trekanter, hvor arealet for henholdsvis trekant 1 og 2 er: A1 = ½ · 20 ms · 840 N = 8,4 N · s = 8,4 kg · m/s.

A2 = ½ · 14 ms · 840 N = 5,88 N · m/s ≈ 5,9 kg · m/s.

Impulsen er: Δp = 8,4 kg · m/s + 5,9 kg · m/s = 14,3 kg · m/s ≈ 14 kg · m/s.

Svar: Ændringen i puckens bevægelsesmængde er 14 kg · m/s.

5 Gnidning I den omgivende verden er det sjældent, at genstande kun er påvirket af tyngdekraften. Gnidningskræfter er oftest på spil, hvilket man kan konstatere ved at gå eller cykle en tur.

I dette afsnit vil vi se nærmere på bevægelse på et skråplan med gnidning samt gnidning mellem en genstand og den omgivende luft/ væske. Gnidningskraften på et skråplan med en given hældning er konstant, mens gnidningskraften ved bevægelse gennem en gas eller væske ikke er konstant, men afhænger af hastigheden. Her vil vi un­ dersøge gnidning nærmere ved hjælp af vektorer.

38 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Coulombs gnidningslov og luftmodstand er behandlet i Basis­Fysik B kapitel 8 og 10. Coulombs gnidningslov lyder: Fgnid = μ ∙ FN, hvor FN er normalkraften, og μ er en dimensionsløs konstant: gnidningskoeffi­ cienten.

Bevægelse på skråplan med gnidning

FN Fgnid

Ft

θ

Figur 1.25. Kraftdiagram for klods på skråplan med gnidning.

FN Fgnid y

Betragt en klods, som bevæger sig på et skråplan, der hælder vinklen θ med vandret, og hvor den dynamiske gnidningskoefficient mellem klods og skråplan er µ, se figur 1.25.

Klodsen er påvirket af tre kræfter: tyngdekraften, normalkraften og gnidningskraften. Hvis vi antager, at tyngdekraftens projektion langs overfladen er større end gnidningskraften, vil klodsen bevæge sig ned ad skråplanet, og vi skal bruge den dynamiske gnidningskoefficient.

Hvis klodsen ligger stille, skal vi bruge den statiske.

Vi lægger et koordinatsystem ind med x-aksen rettet nedad langs overfladen og y-aksen rettet vinkelret på overfladen, se figur 1.26.

Ifølge Newtons 2. lov gælder: →

→

→

→

→

Fres = Ft + FN + Fgnid = m · ares I retningen langs skråplanet får vi:

x θ

Ft

Figur 1.26. Klods på skråplan med koordinatsystem.

Ft ∙ sin(θ) – Fgnid = m ∙ ax Vinkelret på skråplanet bliver ligningen: –Ft ∙ cos(θ) + FN = m ∙ ay = 0, da klodsen ikke bevæger sig i y-retningen.

Ifølge Coulombs gnidningslov er: Fgnid = μ ∙ FN = μ ∙ m ∙ g ∙ cos(θ) Accelerationen langs skråplanet bliver (idet massen forkortes væk): ax = g ∙ sin(θ) – μ ∙ g ∙ cos(θ) = g ∙ (sin(θ) – μ ∙ cos(θ))

TÆ N K E F TE R 8

a) Hvilken hældning skal skråplanet have, hvis bevægelsen nedad skal foregå med konstant fart? b) Hvad bliver accelerationen, hvis µ = 0? c) Hvad bliver accelerationen, hvis skråplanet er lodret? d) Hvad bliver gnidningskoefficienten, hvis ax = 0?

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 39

E K SE MPE L 1.11

Bremsespor Politiet undersøger bremsesporet fra en bil, der er kørt galt. Gnid­ ningskoefficienten mellem dæk og vej er 0,70. Sporet er 30 meter langt, og bilen vejer 1200 kg med passagerer. Hvor hurtigt kørte bilen, før den bremsede: a) hvis det er på en vandret vej? b) hvis vejen går op ad bakke med med vinklen θ = 5° med vandret?

Løsning a Metode 1 – med bestemmelse af accelerationen. Normalkraften er: FN = m ∙ g = 1200 kg ∙ 9,82 N/kg = 11,8 kN Gnidningskraften Fgnid bliver: Fgnid = μ ∙ m ∙ g = 0,7 ∙ 1200 kg ∙ 9,82 N/kg = 8,25 kN Den resulterende acceleration bliver: ares =

Fres Fgnid –μ · m · g = = = –μ ∙ g = –6,9 m/s2 m m m

Værdien er negativ, da den er rettet modsat bevægelsen. Da vi ikke kender den tid, opbremsningen tog, må vi bruge den nyttige formel til udregning af acceleration, når tiden er ubekendt (se side 192 i Basis­ Fysik B), hvor vslut = 0: a=

v 2slut – v 2før 2·s

⇔

v2før = –2 · ares · s ⇒

vfør = √ 2 · (–ares) · s = √ 2 · μ · g · s = √ 2 · 6,9 m/s2 · 30 m = 20,3 m/s ≈ 73 km/t Metode 2 – med anvendelse af energibevarelse. Gnidningskraften er den ydre kraft, og ændringen i kinetisk energi er derfor lig gnidningskraf­ tens arbejde plus tilvæksten i indre energi. Hvis vi antager, at tilvæksten i indre energi er nul, kan vi vurdere gnidningskraftens arbejde: ∆Ekin = ½ ∙ m ∙ v2før

og

Agnid = Fgnid ∙ s = μ ∙ m ∙ g ∙ s

Vi sætter ∆Ekin = A og løser for vfør: ½ ∙ m ∙ v2før = μ ∙ m ∙ g ∙ s

⇔

vfør = √ 2 · μ · g · s

Altså den samme ligning, som metode 1 gav.

40 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Løsning b I denne situation er der to ydre kræfter: gnidningskraften mod under­ laget og komposanten af tyngdekraften rettet nedad langs vejen. Den → → → resulterende kraft består af summen af to kræfter: Fres = Ft + Fgnid.

Da bevægelsen er op ad vejen, skal vi overveje fortegnet på kræf­ terne i forhold til tekstgennemgangen. I teksten var kræfterne modsat­ rettede, da klodsen bevægede sig ned ad skråplanet. Når bilen kører opad, er både tyngdekraftens komposant og gnidningskraften rettet modsat bevægelsen.

Figur 1.27. Bil på et skråplan med kræfterne indtegnet.

m · g · sin(θ) Fgnid θ

Ft

θ

Den resulterende kraft er rettet nedad med størrelsen: Fres = –m · g ∙ ((sin(θ) + μ ∙ cos(θ)) Som i løsning a) kan den løses på to måder. Vi vælger metode 2 (energi­ bevarelse) og bruger ligningen ∆Ekin = A. Bemærk, at der er to led på højre side af ligningen, da bilens kinetiske energi nu både omdannes til varme af gnidningskraften og til potentiel energi af tyngdekraften: ½ ∙ m ∙ v2før = m · g ∙ ((sin(θ) + μ ∙ cos(θ)) · s ⇔ vfør = √ 2 · g · s · ((sin(θ) + μ · cos(θ))

= √ 2 · 9,82 m/s 2 · 30 m · ((sin(5°) + μ · cos(5°)) = 21,5 m/s ≈ 77 km/t Svar: Farten før opbremsningen på vandret vej var 73 km/t, og op ad bakke var farten 77 km/t.

TÆ N K E F TE R 9

Kontrollér, at der er energibevarelse i ovenstående regne­ stykke, dvs. sammenlign den kinetiske energi før opbrems­ ningen med den potentielle energi efter opbremsningen plus den afsatte ener­g i ved gnidning. Antag, at ændringen i indre energi er nul.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 41

G N IDN ING OG E N E RG IBE VARE LSE

I den virkelige verden sker der varmeudvik­ ling, når man lader en klods glide over et bord, og vi kan derfor ikke se bort fra tilvæksten i indre energi, som observeres ved, at klodsen og bordet bliver varmere. Det er også tilvæk­ sten i indre energi, der gør, at man kan tænde ild ved at gnide to stykker træ mod hinanden, og at man kan få varmen ved at gnide hæn­ derne mod hinanden.

Varmeudviklingen viser sig tydeligt i opta­ gelser med infrarødt kamera, se figur 1.28.

Hvis man trækker en klods hen over et bord med konstant fart, er det samlede arbejde på klodsen nul. Man udfører et positivt arbejde på klodsen, mens gnidningskraften udfører et lige så stort negativt arbejde.

Men, hov? Klodsen bliver jo varmere, og varme er en energiform. Klodsens indre energi er vokset, så hvor kommer energien fra, når den samlede energi skal være konstant?

Forklaringen er, at gnidningskraften er en model. Gnidningen skyldes i virkeligheden

mikroskopiske kræfter mellem atomerne i klods og underlag. Når man trækker klodsen hen over bordet, udfører trækkraften samlet set et arbejde, der svarer til summen af gnid­ ningskræfternes arbejde og tilvæksten i indre energi. Trækkraftens arbejde er altså større end gnidningskraftens arbejde. Forskellen mellem de to er netop lig tilvæksten i indre energi.

Prøv fx at trække to børster hen over hin­ anden. Når den øverste børste i figur 1.29 bevæges tilbage, udfører hånden et arbejde (A = F · s), børstens hår bøjes og bevæger sig derfor en mindre afstand end selve børsten.

Gnidningskraften udfører mindre arbejde end trækkraften. I eksemplet er hårene en model på atomerne i klodsen.

Konklusionen er: I situationer, hvor tilvæk­ sten i indre energi er ukendt, kan gnidnings­ kraftens arbejde ikke beregnes. Hvis vi anta­ ger, at tilvæksten i indre energi er nul, kan vi imidlertid give en vurdering af arbejdet.

Figur 1.28. Foto af blokeret baghjul på en formel 1-racer optaget med et infrarødt kamera. Hjulet glider på banen, og både bane og hjul varmes op.

Figur 1.29. En børste trækkes hen over en anden børste. Børstehårene bøjes under bevægelsen.

42 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Gnidning i væsker og gasser Når en genstand bevæger sig med en stor hastighed igennem en gas eller væske, vil der dannes hvirvler, eller turbulens, efter genstanden.

I dette tilfælde er gnidningskraften tilnærmelsesvis proportional med kvadratet på hastigheden: Fgnid = ½ · cW · ρ · A · v2

Figur 1.30. Formfaktoren c W for en bil bestemmes i en vindtunnel.

cw

0,47

halvkugle

0,42

kegle

0,50

terning

¢

1,05

lang cylinder ¢

0,82

kort cylinder

¢

1,15



0,04



0,09

strømlinet legeme strømlinet halvlegeme



kugle

▲ ¼

Form

Tabel 1.1. Nogle formers form­ faktorer (c W -værdier). Vinden strømmer fra venstre.

v 2-gnidningsloven

A er tværsnitsarealet i bevægelsens retning, og ρ er densiteten af den omgivende gas eller væske. cW er en konstant, der afhænger af formen på det bevægede objekt, og den kaldes formfaktoren. I tabel 1.1 er gen­ givet nogle værdier af cW. Man kan ofte anvende en simplere udgave af v2-gnidningsloven hvor alle de konstante fakto­rer er samlet i konstanten k: Fgnid = k · v2

TÆ N K E F TE R 10

a) Du kaster en bold lodret op i luften og griber den igen.

Der ses ikke bort fra luftmodstand. Hvilken del af boldens bevægelse tager længst tid, turen op til toppunktet eller turen ned? Begrund dit svar. b) Du skal cykle en tur ligeud fra A til B og tilbage til A. Kom­ mer du hurtigere frem og tilbage, når 1) vinden blæser i ret­ ningen fra A til B, 2) når det er vindstille? Begrund dit svar. c) I amerikansk fodbold anvendes en aflang bold. Kan man anvende den simplere udgave af v2-gnidningsloven i et kast, hvor bolden roterer tilfældigt omkring akserne? Begrund dit svar.

Bevægelse med luftmodstand Mange bevægelser er påvirket af en gnidningskraft fra luftmodstan­ den, fx når du cykler eller kører bil.

Når en faldskærmsudspringer er i frit fald, stiger hastigheden på grund af tyngdeaccelerationen, men jo større hastigheden bliver, des­to større bliver også gnidningskraften (eller luftmodstanden), og på et tidspunkt opnår faldskærmsudspringeren en maksimal hastighed. Vi har tidligere anvendt formlen for gnidningskraften, Fgnid = k · v2, i et eksempel med et faldskærmsudspring (side 177 i BasisFysik B). Vi kig­ ger igen på dette eksempel.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 43

E K SE MPE L 1.12

Fgnid

Ft

Hastighed

Tid

Lodret fald med luftmodstand – et faldskærmsudspring Vi ser på et faldskærmsudspring, hvor skærmen udløses med det samme, så bevægelsen begynder med hastigheden 0. Kræfterne, der indgår, er tyngdekraften (Ftyngde = –m · g) og gnid­nings­k raften (Fgnid = k · v2), idet vi regner positivt i opadgående retning.

Den resulterende kraft er Fres = Ftyngde + Fgnid. Indsættes udtryk­ kene for kræfterne, fås: m · ares = –m · g + k · v2 Det er en differentialligning, idet vi kan skrive ligningen m · y’’(t) = –m · g + k · (y'(t))2. Vi er interesserede i at finde en ligning for has­ tigheden som funktion af tiden og benytter udtrykket a(t) = v’(t) til at omskrive differentialligningen til: m · v’(t) = –m · g + k · v(t)2

Figur 1.31. I begyndelsen vokser hastigheden lineært, men flader efterhånden ud mod en konstant værdi.

For at løse denne ligning kræves matematik, der ligger uden for gymnasiets pensum. Alternativt kan man undersøge bevægelsen gennem en simulering.

Når luftmodstanden og tyngdekraften er numerisk lige store (men modsatrettede), er ares = 0, og dermed er venstresiden af lig­ ningen nul. Faldskærmen vil da opnå en konstant sluthastighed (terminal velocity). vslut = –

Højde

med luftmodstand

uden luftmodstand Tid

Figur 1.32. To grafer for et lodret fald, dels uden luftmodstand (en parabel), dels med luftmod­ stand, hvor hastigheden opnår en konstant sluthastighed. I starten følges de to kurver tæt.

√

m∙g k

Med et algebraisk regneprogram, der udnytter avancerede me­toder, kan man finde en analytisk løsning for hastigheds­funktionen (i det tilfælde, at v(0) = 0): v(t) = tanh

( )

–g · t · vslut vslut

hvor tanh(x) =

(

ex – e–x ex + e–x

)

Denne løsning for v(t) starter som et lodret fald uden luftmod­ stand, men glider efterhånden over i en ret linje med konstant hastighed lig vslut. Se figur 1.31.

Stedfunktioner for henholdsvis fald med og uden luftmod­ stand er vist i figur 1.32.

44 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SE MPE L 1.13

Lodret fald med luftmodstand – et hagl Et stålhagl er formet som en kugle med diameteren d = 4,0 mm. En kugle har en formfaktor på cW = 0,47. Hvad er den maksimale hastig­ hed, haglet falder med, hvis det kan falde længe nok, til at luftmod­ standen balancerer tyngdekraften?

Løsning Vi benytter formlen for luftmodstanden med: 1

k = 2 · cW · ρluft · A

og 4

m = ρstål · V = ρstål · 3 · π · r3 r = 2,0 mm, og arealet er givet ved A = π · r2. Her skal man huske, at der er to densiteter, som kaldes henholdsvis ρstål og ρluft. Vi ved (fra ek­ sempel 1.12), at sluthastigheden så bliver (idet vi indsætter udtrykkene for k, m og A): vslut =

√

m·g = k

√½ · c

m·g · ρluft · A

W

=

√

2 · ⁴/₃ · ρstål · π · r3 · g cW · ρluft · π · r2

=

8 · ρstål · r · g W · ρluft

√ 3·c

Værdierne indsættes, idet ρstål = 7,9 · 103 kg/m3: vslut = 8 · ρstål · r · g =

√ 3·c

W · ρluft

√

8 · 7,9 · 103 kg/m3 · 2,0 · 10–3 m · 9,82 m/s2 = 27 m/s 3 · 0,47 · 1,23 kg/m3

Svar: Stålhaglet falder med en sluthastighed på 27 m/s.

TÆ N K E F TE R 11

a) Hvor stor er den kinetiske energi, der omsættes, når haglet i eksempel 1.13 rammer jorden? b) Hvilken forskel gør det i ovenstående eksempel, hvis haglet har en større radius? c) Hvad bliver sluthastigheden, hvis haglet er lavet af bly i stedet for stål? d) I nogle lande affyrer man geværer op i luften ved fx bryl­ lupper. Er det en god idé i forhold til gæsternes sikkerhed?

Begrund dit svar.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 45

Stokes’ lov For genstande, der bevæger sig gennem en væske eller en gas med små hastigheder på en sådan måde, at der ikke dannes hvirvler – såkaldt turbulens – er gnidningskraften ikke proportional med v2, men med v.

For en kugleformet genstand med radius r, der bevæger sig med far­ ten v i en væske med viskositet η, gælder Stokes’ lov, og genstanden påvirkes tilnærmelsesvist af gnidningskraften: Fgnid = 6 · π · η · r · v

Stokes’ lov

Viskositet er et mål for gassen eller væskens sejhed eller træghed, som afhænger af den indre friktion mellem væskedelene. Viskositeten må­ les i enheden N · s/m2 = Pa · s. Dette kaldes også dynamisk viskositet.

Viskositet afhænger af temperaturen. Udvalgte værdier ses i tabel 1.2.

Tabel 1.2. Dynamisk viskositet for udvalgte gasser og væsker.

Stof

Dynamisk viskositet (Pa · s)

Atmosfærisk luft

18,5 · 10 –6 (25 °C)

Nitrogen

17,8 · 10 –6 (25 °C)

Oxygen

20,6 · 10 –6 (25 °C)

Hydrogen Vand

8,9 · 10 –6 (25 °C) 1,00 · 10 –3 (20 °C)

Ethanol

1,1 · 10 –3 (25 °C)

Kviksølv

1,55 · 10 –3 (20 °C)

Glycerol

0,934 (25 °C)

Olivenolie Honning

56 (26 °C) 2000-10 000 (20 °C)

IKKE- N E W TONSKE VÆSKE R

For newtonske væsker gælder det, at viskositeten er uafhængig af, hvor hur­ tigt man rører rundt i den. Væsker, der ikke er newtonske, ændrer visko­ sitet, når man ændrer på omrøringshastigheden. Man siger, at de er enten hastighedsfortyndende (viskositeten falder ved hurtigere omrøring fx maling og ketchup) eller hastighedsfortykkende (vis­kositeten stiger ved hurtig omrøring af fx kviksand eller majs­mel i vand). Kviksand er sand, som er overmættet med vand. Når det er uforstyrret, er det fast, men når det ud­ sættes for et pludseligt tryk – når du træder ned i det – bliver det flydende, da viskositeten mindskes.

46 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SE MPE L 1.14 beholder

olieforstøver

d mikroskop

homogent elektrisk felt elektrisk felt på flere kilovolt

Figur 1.33. Forsimplet opstilling af Millikans eksperiment.

Millikans eksperiment til bestemmelse af elementarladningen Den amerikanske fysiker Robert Millikan udførte i 1909 et berømt eksperiment til bestemmelse af elektronens ladning. Han lod nogle små oliedråber falde i luft, indtil de opnåede terminalhastighed, v1.

En oliedråbe med ladning q = n · e (hvor n er et helt tal, og e er elementarladningen), der falder i luften, påvirkes af tyngde­ kraften, gnidningskraften og opdrift. Opdriften er så lille i for­ hold til de to andre kræfter (da ρluft << ρolie), at vi kan se bort fra den. Ved terminalhastigheden er de to kræfter lige store: Ft = Fgnid ⇔

m · g = 6 · π · η · r · v1

Oliens densitet er ρ = 963 kg/m3, og massen af en dråbe er: m=

4 · π · ρ · r3 3

Kraftligningen bliver så: 4 · π · ρ · r 3 · g = 6 · π · η · r · v1 3 Det viser sig smart at udtrykke dråbens radius ved de øvrige vær­ dier: r=

9 · η · v1

√2·ρ·g

Dernæst tændes et elektrisk felt E, der giver en opadrettet kraft (F = q · E, hvor q = –n · e > 0 er dråbens ladning, som er et helt antal gange elektronens ladning). Oliedråberne bevæger sig opad, og terminalhastigheden, der kaldes v2, måles. Nu bliver kraftlig­ ningen: Ft = Fel – Fgnid ⇔

4 · π · ρ · r3 · g = q · E – 6 · π · η · r · v2 3

Indsættes udtrykket for r i denne ligning, fås ladningen af olie­ dråben: q=

6 · π · η · r · (v1 + v2) E

Millikan målte de to hastigheder, dråbernes radius og det elektri­ ske felt. Han kendte viskositeten af luft. Han nåede frem til stør­ relsen for elektronens ladning q = 1,592 · 10–19 C, hvilket er en smule under den nutidige værdi.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 47

E K SPE RIME NT 1. 5

Faldende muffinforme Vi skal undersøge, hvordan muffinforme falder mod jor­den, og om der er proportionalitet med farten, samt bestemme ter­mi­nalhas­tigheden.

Figur 1.34. Muffinforme af tyndt (bage)papir skal benyt­ tes til dette eksperiment.

Apparatur Muffinforme af papir, kamera (eventuelt højhastigheds-) eller ultra­ lydsafstandsmåler med dataopsamlingssoftware.

Teori og udfordring Kageformene har stor luftmodstand og opnår hurtigt terminalhastighed.

Opstil en kraftligning for problemet, og gør rede for de antagelser, der er gjort. Eftervis, at den teoretiske værdi for terminalhastigheden er: vslut = –

√

m·g k

Bemærk: Minusset betyder, at bevægelsen foregår nedad, og højden måles positivt opad.

Udførelse ▶ Inddel holdet i passende grupper. ▶ Bestem massen af en muffinform, fx ved at veje 20 styk og dividere resultatet med 20. ▶ Lad først en enkelt muffinform falde mod jorden. Optag bevægel­ sen, og analysér den med dit videoanalyseprogram (fx Capstone, LoggerPro eller Tracker), eller mål højden med ultralydsensor. ▶ Gentag derefter eksperimentet med flere muffinforme: 2, 3, 4, …

Databehandling ▶ Fremstil (t,v)- og (t,a)-grafer for hvert eksperiment, og bestem ter­ minalhastigheden. ▶ Udnyt udtrykket for terminalhastigheden og din eksperimentelle værdi af v til at bestemme en værdi for konstanten k i formlen: Fgnid = k · v2 ▶ Undersøg accelerationen i begyndelsen af bevægelsen. ▶ Prøv, om du kan modellere bevægelsen med formlen for hastigheden: v(t) = tanh

(–gv · t) · v slut

slut

Diskussion a) Hvilke fejlkilder er der i eksperimentet? b) Er gnidningskraften proportional med v eller v2?

48 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

6 Stød Et stød kan fx være et sammenstød mellem to biler, en billardkugle, der rammer en anden, eller en hoppebold, der rammer jorden. Hvis man optager en film af et stød, fx et af alfahenfald, og afspiller filmen bag­ læns, vil det se ud som et sammenstød mellem en kerne og en alfa-par­ tikel. Henfaldsprocesser kan derfor også behandles som stødprocesser.

Vi minder om følgende sætning: Den samlede bevægelsesmængde er bevaret i et system uden ydre kraftpåvirkning.

Bevægelsesmængden er p = m · v. Denne gælder også med vektorer, så bevægelsesmængden er bevaret i en vilkårlig retning: →

→

→

∆p = pefter – pfør = 0 Centralt stød: Et stød mel­ lem partikler, der foregår langs samme linje før og efter stødet.

Elastisk stød: Et stød, hvor den kinetiske energi er en bevaret størrelse.

Bevarelse af bevægelsesmængde, når Fydre = 0

Et stød, hvor de to partikler bevæger sig langs samme linje, kaldes et centralt stød. Bevægelsesmængden er bevaret for alle stød, men den kinetiske energi er ikke nødvendigvis konstant i et stød. Et stød, der opfylder, at den kinetiske energi er bevaret, kaldes et elastisk stød.

I BasisFysik B så vi eksempler på stød i én dimension i eksempel 10.3 (et billardstød) og 10.4 (et geværskud i ler). Vi genopfrisker begge eksempler, men ser nu på, hvordan den kinetiske energi ændrer sig.

E K SE MPE L 1.15

Billardstød En billardkugle stødes ind i en anden billardkugle og rammer den lige på. Bortset fra farven er kuglerne ens, begge har en masse på 170 g. Den hvide stødkugles hastighed er 5,0 m/s. Vi ser bort fra alle ydre kræfter, såsom gnidning og luftmodstand. Er den kinetiske energi bevaret?

Løsning Den kinetiske energi før stødet er (vfør er den hvide kugles fart før stødet): Ekin,før = ½ · m · v2før = ½ · 0,170 kg · (5,0 m/s)2 = 2,13 J Efter stødet kender vi ikke farten af den røde kugle, men vi ved, at bevægelsesmængden er bevaret, så farten må være den samme som farten af den hvide kugle før stødet, altså vefter = 5,0 m/s.

Svar: Bevægelsesmængden af den røde kugle efter stødet er den sam­ ­me som bevægelsesmængden af den hvide kugle før stødet. Den røde kugle må derfor have samme fart, som den hvide kugle havde før stø­ det. Den kinetiske energi er således bevaret.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 49

E K SE MPE L 1.16

Før kollision

m1

v1

m2

Geværskud i ler Et gevær skal afprøves, og en geværkugle skydes vandret ind i en klump ler, hvor den sætter sig fast. Vi antager, at der ikke går bevægelses­ mængde tabt i kollisionen. Geværkuglen har en masse på m1 = 30 g, lerets masse er m2 = 200 g. Geværkuglens hastighed er v1 = 400 m/s.

Er den kinetiske energi bevaret?

Løsning Den kinetiske energi før stødet er:

Efter kollision

vfælles

Ekin,før = ½ · m1 · v 21 = ½ · 0,030 kg · (400 m/s)2 = 2,4 kJ Den kinetiske energi efter stødet er:

Figur 1.35. Et projektil skydes ind i en klump ler, hvor den sætter sig fast.

Ekin,efter = ½ · (m1 + m2) · v2fælles vfælles bestemmes ud fra bevarelse af bevægelsesmængde: pfør m ·v pfør = pefter = vfælles · (m1 + m2) ⇒ vfælles = = 1 1 = 52,2 m/s m1 + m2 m1 + m2 Vi får: Ekin,efter = ½ · (0,030 kg + 0,200 kg) · (52,2 m/s)2 = 0,31 kJ Svar: Den kinetiske energi er ikke bevaret. Men den samlede energi er naturligvis bevaret, så den manglende kinetiske energi er blevet om­ dannet til varme i stødet.

Uelastisk stød: Et stød, hvor den kinetiske energi ikke er bevaret.

Fuldstændig uelastisk stød: Et stød, hvor partiklerne hæn­ ger sammen efter stødet.

De to eksempler giver anledning til et par yderligere definitioner: Et stød, hvor den kinetiske energi ikke er bevaret, kaldes et uelastisk stød.

Et stød, hvor partiklerne hænger sammen efter stødet, kaldes et fuldstændig uelastisk stød. Eksemplet med geværkuglen, der skydes ind i ler, er således et fuldstændig uelastisk stød, da kuglen og leret hænger sammen efter sammenstødet.

TÆ N K E F TE R 12

En hoppebold slippes fra en højde på 1,0 m. Den rammer jorden og hopper 0,7 m op. Vi ser bort fra luftmodstand. a) Er den kinetiske energi bevaret i sammenstødet med gulvet?

Hvilken type stød er det? b) Er bevægelsesmængden bevaret. (Tip: Er der ydre kræfter?

Hvad består systemet af?)

50 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

E K SPE RIME NT 1.6

Bevarelse af bevægelsesmængde på skinnebane Bevarelse af bevægelsesmængde skal undersøges. To vogne støder sammen på en skinne- eller luftpudebane, hvor gnidningen mod overfladen er lille.

Figur 1.36. Skinnebane med to vogne.

Apparatur Luftpude- eller skinnebane, fotoceller og timer. Eventuelt kamera, der kan optage video.

Teori For et centralt stød er bevægelsesmængden i retningen langs banen → → bevaret, pfør = pefter, eller: →

→

→

→

m1 · v1,før + m2 · v2,før = m1 · v1,efter + m2 · v2,efter Hastighederne skal altså regnes med fortegn.

Udførelse Del 1: Elastisk stød Figur 1.37. Skitse af bane med de to vogne og ’faner’.

F

F

▶ Bestem massen af de to vogne. ▶ Montér ’faner’ på hver af vognene, og mål længden af disse. ▶ Montér magneter med modsat polaritet eller metalbuffere på fronten. ▶ Sæt de to fotoporte op, og tilslut tælleren. Tælleren sættes til collision. ▶ Sæt de to vogne i gang med retning mod hinanden, og aflæs de fire passagetider (Δt) for vognene (to før stødet og to efter). ▶ Gentag derefter eksperimentet med forskellige hastigheder og masser af vognene. ▶ Udfyld en tabel som denne:

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 51

Forsøg nr

m1 (g)

m2 (g)

Δt1,før (s)

Δt2,før (s)

Δt1,efter (s)

Δt2,efter (s)

1 2 3 …

Bemærk: I stedet for fotoporte og tæller kan du optage stødet med kamera og analysere det med dit videoanalyseprogram (fx Capstone, LoggerPro eller Tracker).

Del 2: Elastisk stød ▶ Montér nu velcro eller lignende på fronten af vognene til et fuld­ stændig uelastisk stød. ▶ Sæt vognene i gang med to forskellige hastigheder (overvej hvor­ for!), og aflæs de tre passagetider. ▶ Lav en tilsvarende tabel som i del 1.

Databehandling a) Beregn for hver passagetid den tilhørende hastighed, bevægelses­ mængde og kinetiske energi. b) Udfyld en tabel som denne: Forsøg nr.

v1,før (m/s)

v2,før (m/s)

vfælles (m/s)

pfør pefter (kg · m/s) (kg · m/s)

Ekin,før (J)

Ekin,efter (J)

Afvigelse (i % af p)

1 2 3 ..

c) Beregn for begge forsøg forskellen i bevægelsesmængden før og efter samt afvigelsen i procent: pefter– pfør · 100 %

p før d) Undersøg, om den kinetiske energi er bevaret i de to slags stød.

52 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Stød i to dimensioner Ikke-centrale stød kan være et sammenstød mellem to biler, hvor den ene rammer den anden fra siden, eller et billardstød, hvor den kugle, man støder til, rammer den anden ude i siden. I sådanne tilfælde skal vi regne bevægelsesmængden ud i to retninger.

E K SE MPE L 1.17

Bilsammenstød Bil A har en masse på m1 = 1100 kg og kører i østgående retning mod et vejkryds med farten v1 = 54,0 km/t. Bil B har en masse på m2 = 1429 kg og kører i nordgående retning med farten v2 = 72,0 km/t.

Begge biler overser den anden, de når ikke at bremse og støder sam­ men midt i krydset. Ved sammenstødet bliver bilerne hægtet fast til hinanden og glider væk fra sammenstødet med en vinkel på θ = 60,0° i forhold til østlig retning.

Figur 1.38. Bilsammenstød mellem bil A og bil B.

N

vefter

θ

v 1 = 54,0 km/t

V

B Ø

A

v 2 = 72,0 km/t B S

Med hvilken fart glider bilerne umiddelbart efter sammenstødet? Vi ser bort fra energitabet, der går til at deformere bilerne.

Løsning Vi indlægger et koordinatsystem med x-aksen i østlig retning og y-ak­ sen i nordlig, se figur 1.39 på næste side. Hastighederne før sammen­ stødet er: →

v1 =

(15,00m/s)

og

→

v2 =

(20,00m/s)

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 53

Bevægelsesmængden før er:

3

→

→

→

→

(15,00m/s) + 1429 kg · (20,00m/s) 1,65 · 10 kg · m/s = ( 2,86 · 10 kg · m/s )

= 1100 kg ·

2 1,5

→

pfør = p1 + p2 = m1 · v1,før + m2 · v2,før

2,5

p

p2

4 4

1

p1 –1,5

–1

–0,5

Størrelsen af bevægelsesmængden findes som:

θ = 60,0°

0,5

→

θ 0

0,5

1

1,5

2

–0,5 –1 –1,5

p2

4

10 kg · m/s

–2 –2,5 –3

Figur 1.39. Skitse af problemet, med bevæ­ gelsesmængdevektorer tegnet ind.

pfør = | pfør| = √ px2 + py2 = √ (1,65 · 10 4 kg · m/s)2 + (2,86 · 104 kg · m/s)2 = 3,30 · 104 kg · m/s Efter sammenstødet er bilernes samlede masse: m1 + m2 = 2529 kg Vi skal bestemme hastigheden vefter. Bevægelsesmængden efter sammenstødet er: →

pefter =

(vv

efter efter

· cos(60°) · sin(60°)

)

Da bevægelsesmængden er bevaret i begge koordinat­ret­ ninger, gælder der, at: px,før = px,efter og py,før = py,efter Vi får: 2529 kg ·

(vv

) (

· cos(60°) 1,65 · 104 kg · m/s = 2,86 · 104 kg · m/s efter · sin(60°)

efter

)

Vi benytter den øverste koordinat i vektorligningen: vefter =

1,65 · 104 kg · m/s = 13,0 m/s cos(60°) · 2529 kg

Svar: Bilerne bevæger sig med hastigheden vefter = 13,0 m/s ≈ 47,0 km/t.

54 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

TÆ N K E F TE R 13

a) Kontrollér, at de nederste koordinater i eksempel 1.17 i udtrykket for beva­relse af bevægelsesmængde giver samme resultat som de øverste. b) Kunne vi have løst opgaven i eksempel 1.17, hvis vinklen var ubekendt? c) Bestem den kinetiske energi før og efter sammenstødet i eksempel 1.17. d) Hvilken type stød er der tale om?

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 55

7 Sammenfatning ▶ For det skrå kast med vinklen α i forhold til vandret gælder følgende: ½·g sin(α) · x + y0 · x2 + − Banekurven er: y = – (v 0 · cos(α))2 cos(α) − Kastelængde med y0 = 0 er: − Kastelængde generelt: L = − Stighøjden er: h =

v0,y 2 2·g

2 · v 20 · cos(α) · sin(α) v 20 = · sin(2α) g g

v 0 · cos(α) · (v0 ∙ sin(α) + √v 02 · sin2(α) + 2 · g · y0 ) g

− Stedfunktioner i x- og y-retningen: x(t) = v0 ∙ cos(α) · t + x0 y(t) = –½ · g · t2 + v0 ∙ sin(α) · t + y0 − Hastighedsfunktioner i x- og y-retningen: vx (t) = v0 ∙ cos(α) vy (t) = v0 ∙ sin(α) – g · t ▶ For en jævn cirkelbevægelse gælder følgende: 2π · r , hvor T er omløbstiden.

T vinkel 2π = og v = ω · r − Vinkelhastigheden er: ω = tid T → cos(ω · t) − Stedfunktionen er: r = r · sin(ω · t)

− Hastigheden er: v =

(

)

− Accelerationen findes ved differentiation af stedfunktionen to gange: v → → a = –ω2 · r, der ved indsættelse af ω = r giver centripetalaccelerationen: v2 aC = r v2 − Centripetalkraften er: FC = m · aC = m · r ▶ Harmonisk bevægelse kan enten foregå langs en cirkel som et pendul, eller den kan være lineær som en fjeder. − En pendulsvingning er en harmonisk svingning, som kan beskrives med stedfunktionen: x(t) = A ∙ sin(ω ∙ t) Accelerationen findes ved differentiation to gange: a(t) = –ω2 ∙ x(t) Kraften er proportional, men modsat­rettet udsvinget: Fres = –m ∙ ω2 ∙ x(t)

√

L

− For små vinkler er svingningstiden i et pendul: T = 2π · g , hvor L er længden af pendulet (snoren), og g er tyngdeaccelerationen. →

→

− En fjedersvingning er beskrevet ved Hookes lov: F = –k · x , hvor k er fjederkonstanten, som har enheden N/m. Det ses, at med k = m · ω2 er fjedersvingningen harmonisk.

56 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

− Tyngdekraftens arbejde er lig minus ændringen i potentiel energi: A = –ΔEpot − Den potentielle energi i en fjeder er lig arbejdet med modsat for­tegn, da fjederen trækker i modsat retning af kraften. Arbejdet er lig integralet af kraften gange strækningen: x →

A = ∫ F · d s og →

0

A = –∆Epot = ½ · k · x2 − Impulssætningen: Kraftens impuls for en varierende kraft er: t2

Δp = ∫ F(t) dt t1

− Accelerationen af en klods nedad på et skråplan er: ax = g ∙ sin(θ) – μ ∙ g ∙ cos(θ) hvor θ er vinklen af skråplanet i forhold til vandret, g er tyngde­accelera­ tionen, og μ er gnidningskoefficienten (enten statisk eller dynamisk og afhængig af materialerne). − Luftmodstanden på et objekt, der bevæger sig gennem luften med farten v, er: Fgnid = ½ · cW · ρ · A · v2 = k · v2 − Gnidningskraften på et objekt, der bevæger sig gennem en væske eller gas med lille fart, v, er beskrevet ved Stokes’ lov: Fgnid = 6 · π · η · r · v →

→

→

▶ For et stød, hvor den ydre kraft er nul, gælder: ∆p = pefter – pfør = 0 ▶ Et centralt stød er et stød, der finder sted langs en linje. ▶ Et elastisk stød er et stød, hvor den kinetiske energi er bevaret. ▶ Et fuldstændig uelastisk stød er et stød, hvor de to partikler hænger sam­ men efter stødet.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 57

OPG AVE R

Skråt kast 1.1 Hvilken kastevinkel for det skrå kast giver den største kastelængde, når a) y0 = 0? b) y0 ≠ 0, og v0 = 10 m/s?

1.2 Figuren viser et basketballkast på tre for­

skellige tidspunkter.

1.4 En golfspiller skyder en bold 200 m fra

start til nedslaget tæt på hullet. Hvilken starthastighed har bolden, hvis den skydes af sted med en vinkel på 45°? (Tip: Isolér v0 i formlen for kastelængden.)

1.5 En kuglestøder støder kuglen fra en højde

a) Rammer bolden kurven? Tag et foto af figuren og indsæt det fx i GeoGebra, LoggerPro eller tilsvarende program. b) Hvor mange billeder skal man bruge for at afgøre, om kurven er en kaste­ parabel?

1.3 En dyrepasser i Zoo vil give en abe en

banan. Aben hænger i en gren i et træ et stykke væk fra dyrepasseren. Hun sigter efter aben og kaster bananen. I det samme hun kaster, lader aben sig falde.

Var det en god idé?

på 2,00 m, hvor v0 = 10 m/s. a) Beregn kastevidden, hvis kastevinklen er 45,0°. b) Beregn kastevidden med den vinkel, du fandt i opgave 1.1b. Hvis du ikke har be­ regnet den, så benyt værdien v = 42,0°. c) I praksis er kastevinklen for de bed­ste kuglestødere 37°. Giv et bud på en forkla­ring (Tip: Det er ikke luft­ modstand).

1.6 I formlen for kastelængden er det antaget,

at starthøjden y0 = 0. Vis, at det generelle udtryk bliver: v · cos(α) L= 0 · (v0 ∙ sin(α) g + √v 02 · sin2(α) + 2 · g · y0)

(Tip: Indsæt den fulde løsning for kaste­ tiden i stedfunktionen x(t)).

58 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

Kraftdiagrammer 1.7 For et konisk pendul gælder: Fres = m ·

Vi skal vise, at: g =

4 · π2 ·h T2

v r

2

1.8 Et stort containerskib trækkes ud på havet

af to slæbebåde.

20° 20°

θ L

h

Fsnor r

FC F tyngde

a) Vis ud fra figuren, at: • Fres = FC = Fsnor ∙ sin(θ) ⇔ v2 m ∙ = Fsnor ∙ sin(θ) r • Ftyngde = Fsnor ∙ cos(θ) ⇔ m ∙ g = Fsnor ∙ cos(θ) r h • = sin(θ) og = cos(θ) L L b) Kombinér de to første ligninger for snorkraften, og vis, at: g v2

= cos(θ) r · sin(θ) c) Benyt den tredje ligning, og vis til slut, at: 4 · π2 g = 2 · h T d) Isolér T i sammenhængen: 4 · π2 ·h g = T2 og argumentér for, at h ≈ L, når θ ≈ 0.

Sammenlign med svingningstiden for et matematisk pendul. e) Hvilken bevægelse fremkommer, hvis cirklen klemmes sammen til en ellipse med maksimal excentricitet? f) Hvad skal ændres på figuren, for at det bliver et kraftdiagram?

Hver båd yder en kraft på 150 000 N og trækker skibet med en vinkel på 20°. Skibet har en masse på 1000 ton (1 ton = 1000 kg). Skibet ligger i udgangs­ punktet stille. Beregn accelerationen af skibet.

1.9 Et fysikeksperiment opstilles som vist på

figuren:

T1 25°

20°

T2

m1 papir

T3

knude

m3

m2

m1 = 0,100kg m2 = 0,0750 kg m3 = 0,0964 kg

En elev anvender lodder med masser som angivet og markerer vinklerne på papiret, som vist på tegningen.

Knuden, der forbinder de tre snore, be­ væger sig ikke, og tyngde­accelerationen sættes til g = 10 m/s2. a) Tegn et vektordiagram med korrekte vinkler og længder. b) Vis, at trækkræfterne T1, T2 og T3 er i lige­vægt, og forklar, hvorfor knuden ikke bevæger sig.

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 59

Jævn cirkelbevægelse 1.10 I en vaskemaskine er tromlens diameter 46 cm, og den kører 1600 omdrejninger pr. minut under centrifugeringen. a) Beregn hastigheden af et punkt på inder­siden af tromlen. b) Bestem centripetalaccelerationen, og sammenlign med tyngdeaccelerationen. c) Forklar, hvorfor tøjet centrifugeres ved afslutningen af vasken? d) Forklar, hvorfor tøjet nogle gange hæn­ ger fast på indersiden af tromlen?

1.11 a) Beregn vinkelhastigheden af et punkt på

ækvator som følge af Jordens rotation. b) Beregn centripetalaccelerationen i samme punkt som spørgsmål a). c) Sammenlign med tyngdeaccelerationen. d) Hvor hurtigt skulle Jorden rotere, for at vandet på overfladen ville blive slynget væk?

1.12 Astronauter træner høje g-påvirkninger i

en centrifuge som den i figur 1.40. a) Beregn hastigheden af et punkt for enden af en centrifuge med en radius på 10 m, når g-påvirkningen er henholds­ vis 2 g, 3 g, 5 g og 10 g. b) Hvad sker der med kroppen ved høje g-påvirkninger? (Søg på internettet, fx efter »High-G training«) c) Hvilken funktion har en g-dragt? d) Vurdér, hvor lang tid et bemandet rum­skib skal accelerere for at nå 1/10 af lysets hastighed. Gør rede for dine antagelser.

Harmonisk bevægelse og Hookes lov 1.13 Antag, at Hookes lov gælder: F=k·x Benyt Newtons 2. lov til at vise, at bevæ­ gelsesligningen for et objekt, der påvirkes af den elastiske kraft F = k · x, bliver en harmonisk bevægelse, x(t) = A ∙ sin(ω ∙ t).

Figur 1.40. Centrifuge til træning af astronauter, her fra det amerikanske luftvåben.

60 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

1.14 Affjedring i en bil virker ved, at alle fire

hjul er forsynet med en fjeder. Hvis bilen med passagerer har en masse på 1600 kg, og den maksimale højdeforskydning må være 1,00 cm, hvad må fjederkonstanten for affjedringen så være?

Dimensionsanalyse 1.15 Udled ved hjælp af dimensionsanalyse et udtryk for den potentielle energi, hvor massen m, højden h og tyngdeacceleratio­ nen g indgår.

1.16 Udled ved hjælp af dimensionsanalyse et

udtryk for den kinetiske energi, hvor mas­ sen m og hastigheden v indgår. Hvordan begrundes faktoren ½? (Tip: Se BasisFysik B, afsnit 11.2.)

Bevægelse med varierende kraft 1.17 Den stærke kernekraft mellem to protoner afhænger af afstanden, r, mellem dem og er i en bestemt model givet ved formlen: H · e –r/r0 F(r) = –

r2 og hvor: H = 3,4 · 10–26 kg · m3/s2 r0 = 1,5 · 10 –15 m Bestem det arbejde, der kræves for at flytte den ene proton fra afstanden r0 til afstan­ den 2 · r0.

1.18 En gruppe elever har lavet et eksperiment,

hvor de har målt kraften, der skal til for at strække en elastik ud som funktion af forlængelsen af elastikken. Data er vist på grafen.

12

F (N)

•

10

•

8 6

•

4

•

•

•

2

•

0 0,00 0,02 0,04

x (m) 0,06 0,08 0,10 0,12

Bestem det arbejde, kraften i elastikken udfører, når elastikken strækkes fra hvile til 10 cm’s længde.

1.19 Med et såkaldt tonometer kan man måle

trykket i et øje. Det sker ved at måle den kraft, der skal til for at sammentrykke øjeæblet i en bestemt afstand. Tabellen nedenfor viser et sæt sammen­hørende målinger af afstand og kraft for et griseøje.

Bestem det arbejde, apparaturet har lavet på øjet.

Afstand (mm)

Kraft (N)

0

0

0,6

0,05

1,3

0,32

1,9

0,51

2,5

0,95

3,2

1,50

3,8

2,37

4,4

3,23

K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER • 61

Kraftens impuls 1.20 Figuren viser den kraft, en bestemt raket yder som funktion af tiden, lige efter den affyres. Bestem rakettens ændring i bevæ­ gelsesmængde.

14 12 Kraft (N)

10 8 6 4 2 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Tid (s)

Gnidning 1.21 Vis, at enheden for viskositet kan skrives som Pa · s.

1.22 En oliedråbe har en radius på 1,0 mm og

falder i atmosfærisk luft. a) Bestem massen af oliedråben og tyngde­k raften på den. b) Bestem opdriften på oliedråben, og sammenlign med dit resultat i a).

62 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER

1.23 Bestem terminalhastigheden ved 25 °C for

en regndråbe med radius r = 5,0 mm. Man har bestemt farten eksperimentelt til ca.

9 m/s. (Tip: Benyt v2-gnidningsloven for luftmodstand.)

1.24 En Mercedes-Benz A-klasse har en cW på

0,22 og et frontareal på 2,19 m2. Bestem luftmodstanden på bilen ved: a) 50 km/t b) 90 km/t c) 130 km/t d) Hvor mange procent vokser luftmod­ standen, hvis man øger hastigheden fra 110 til 130 km/t?

Stød 1.25 Du spiller pool og skyder den hvide kugle, der vejer 160 g, ind i banden med en vinkel på 45° og en fart på 10 m/s. Kuglen forlader banden med en vinkel på 40°. Vi ser bort fra gnidning med underlaget. a) Hvilken slags stød er der tale om? b) Hvad er kuglens hastighed, efter den har ramt banden? (Tip: Hvilke størrelser er bevaret?) c) Hvor meget energi er gået tabt i stødet?

2

FIKTIVE KRÆFTER Vi har tidligere undersøgt sammenhængen mellem kraft og acceleration. Nu skal vi se på situationer, hvor der er acceleration, uden at nogen kraft er årsagen.

Centrifugalkræfter opleves blandt andet i roterende karruseller, og når man skal dreje i et skarpt sving. Når man konstruerer veje og jernbaner, modvirker man effekten ved at tippe vejen eller sporene en smule.

1 Accelererede koordinat­systemer Vi skal undersøge Newtons 2. lov og såkaldte inertialsystemer. Et inertialsystem er defineret således: Et koordinatsystem, der bevæger sig med jævn (retlinet) bevægelse.

Vi indleder med et lille eksperiment.

E K SPE RIME NT 2 .1

Newtons love og acceleration Formålet med eksperimentet er at undersøge New­tons 1. og 2. lov. Inddel jer i grupper med 3-4 elever i hver, og udfør følgende små eksperimenter.

Apparatur Rullebord, små metalkugler, stearinlys og et glas vand.

Forsøgsgang 1) Midt på et rullebord anbringes en lille metalkugle. Overvej, inden I gør noget, hvad der sker med kuglen, hvis bordet bringes i bevægelse ved et skub mod den ene ende af bordet.

Bring nu bordet i bevægelse. Hvad sker der med kuglen? Forklar.

?

2) Tag et glas vand, og sæt det på bordet, som holdes stille. Overvej, hvad der sker med overfladen af vandet i glasset, hvis vi skubber det hen ad bordet med jævn fart i følgende situationer: a) lige idet vi begynder bevægelsen, b) under bevægelsen, c) idet vi holder op med at skubbe.

64 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

Udfør forsøget, og observér, hvad der sker med vandet. Forklar.

?

3) Tænd et stearinlys eller fyrfadslys og placér det på bordet. Hvad mon der sker med flammen, hvis vi begynder at skubbe lyset hen ad bordet, mens bordet står stille?

Udfør forsøget, og notér jeres observationer.

Overvej de samme tre situationer a)-c) som i forsøget med vandglasset i 2). Forklar udfaldet af eksperimentet.

4) Udfør eksperimentet med lyset placeret i en glasbeholder (stor, så flammen ikke går ud), der står på bordet. Skub til den ene ende af bordet og observér, hvad der sker med flammen. Forklar. (Tip: Forklaringen på flam­mens opførsel kræver mere end en henvisning til inerti. Se eventuelt opgave 10.3 i Basis­ Fysik B.) Diskussion Hvad kan I på baggrund af ovenstående eksperi­ menter sige om gyldigheden af henholdsvis New­tons 1. og 2. lov?

Accelererede koordinatsystemer og inertiens lov

Et accelereret koordinat­ system er ikke et inertial­ system. Et roterende koor­ dinatsystem er derfor heller ikke et inertialsystem.

Et eksempel på et inertialsystem er vores laboratorium (fysiklokale), som er lille nok til, at vi kan se bort fra effekter forårsaget af Jordens rotation, hvis vi kun ser på korte tidsintervaller.

Vi ved, at Newtons love gælder i alle inertialsystemer, men som eksperiment 2.1 viser, gælder Newtons love ikke umiddelbart i accelererede koordinatsystemer. Et accelereret koordinatsystem er derfor ikke et inertialsystem.

Lad os se på forsøget med kuglen igen.

Vi så, at når rullebordet blev accelereret, blev kuglen accelereret i forhold til bordpladen og modsat bordets acceleration.

Forsøget kan anskues fra to perspektiver: ▶ En observatør (A) i laboratoriet sidder på en stol. Han bevæger sig ikke i forhold til laboratoriet og er således i et inertialsystem. Denne observatør vil påstå, at bordet accelererer, fordi vi påvirker det med en kraft. Kuglen derimod bevæger sig ikke i forhold til ham, da den ikke er påvirket af nogen kraft (vi ser bort fra gnidning). A vil altså konkludere, at Newtons 2. lov gælder både for bordet og kuglen. ▶ En observatør (B) sidder på rullebordet. Hun vil påstå, at bordet står stille, da det ikke bevæger sig i forhold til hende. Kuglen derimod bevæger sig i forhold til bordet. Observatør B observerer altså, at kuglen accelererer, til trods for at den ikke er påvirket af nogen kraft. Hun konkluderer derfor, at Newtons 2. lov ikke gælder for kuglen.

A

Figur 2.1. Et rullebord med stålkugle påvirkes i den ene ende af en kraft, F.

Det mekaniske relativitets­ princip: Man kan ikke ved at foretage eksperimenter afgøre, hvorvidt man står stille eller bevæger sig med konstant fart.

B

F

Disse fænomener kendes også fra dagligdagen: Man sidder i et tog, der holder ved en perron, og pludselig ser man ud ad vinduet, at perronen bevæger sig. Det kan være svært at afgøre, om det er toget, der bevæger sig, eller om det er perronen. Vi siger, at jævn bevægelse er relativ, hvilket fører os frem til det mekaniske rela­ tivitetsprincip: Al ikke-accelereret bevægelse er relativ. Det vil sige, at man ikke med nogen ret kan afgøre, om det er perronen eller toget, der K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 65

bevæger sig. Det afhænger af observatørens position og bevægelsestilstand (om man følger toget eller perronen).

Acceleration er derimod ikke relativ. Ovenstående eksperiment med rullebordet kan bruges til at afgøre, om man accelererer eller ej.

Vi tager en bold med i toget og lægger den på gulvet i midten af kupeen. Hvis bolden begynder at bevæge sig, er toget ved at accelerere.

Bemærk, at bolden vil fortsætte med at bevæge sig, når toget holder op med at accelerere. Men nu vil den opfylde Newtons 1. lov (inertiens lov), idet den ikke er påvirket af nogen kraft og derfor bevæger sig med jævn fart (som vi også så i eksperimentet med rullebordet).

Centrifugalkraft

B

A

Figur 2.2. Karrusel på lege­ plads.

Figur 2.3. Karrusellen set fra oven. Den grønne pil marke­ rer den bane, A tager, hvis han giver slip.

For en observatør, der be­ væger sig i et accelereret koordinatsystem, gælder Newtons 2. lov ikke.

66 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

Det koniske pendul (se eksperiment 1.3) bevæger sig i en cirkelbane og holdes i banen af en centripetalkraft. Denne centripetalkraft leveres af snorkraften. Centripetalkraften er således ikke en ny kraft, der skyldes en påvirkning fra et andet legeme. Den er en konsekvens af snorkraften, og snorkraften opstår, fordi der er tyngdekraft på pendulet.

Lad os se nærmere på roterende koordinatsystemer og udføre et lille tankeeksperiment.

To personer (A og B) står på en karrusel, der er glat, og som roterer mod uret omkring en lodret akse, se figur 2.2. De holder begge fast i karrusellen. A og B er således accelererede i forhold til jorden, men står fast i forhold til karrusellen.

Hvad sker der, hvis A giver slip?

I et vilkårligt punkt i bevægelsen er hastigheden tangentiel til bane­ kurven. Hvis A giver slip, vil han ikke længere være påvirket af centripetalkraften (når vi ser bort fra eventuel gnidning mellem hans sko og underlaget), og i stedet for at bevæge sig i cirkelbanen vil han fortsætte lige ud langs tangenten til cirklen.

v

A

v

A

Fc

A konkluderer, at han er accelereret væk fra centrum af karrusellen.

Når A giver slip, er han ikke påvirket af nogen kraft, men han er tilsyneladende accelereret. A konkluderer altså, at Newtons 2. lov ikke gælder, idet Fres = 0, men ares ≠ 0.

Fiktiv kraft: En kraft, der ikke skyldes en naturkraft, men er en manifestation af et accelereret koordinat­ system.

Figur 2.4. Holder man fast, opleves centripetalkraften.

Giver man slip, opleves en lige så stor og modsatrettet kraft: centri­fugalkraften. Centripe­ talkraften er den virkelige kraft, der fastholder os i be­ vægelsen. Centrifugalkraften eksisterer ikke rigtigt, men er en repræsentation af den acce­ leration, vi oplever.

Vi kan indføre en ny kraft – centrifugalkraften – så der igen bliver overensstemmelse mellem kraft og acceleration. → → Vi skriver formelt: F centrifugal = m · ares, og ser, at centrifugalkraften er proportional med massen.

Fugal (af latin: fuga) betyder flugt, mens petal (af latin: petere) betyder søge. Centrifugalkraften er ikke en rigtig kraft, men en fiktiv kraft.

Det er meget vigtigt at pointere: Der eksisterer ingen rigtig kraft. Den acceleration, en observatør oplever, skyldes, at bevægelsen foregår i et accelereret koordinatsystem, og vores naturlige bevægelsestilstand er retlinet, idet Newtons 1. lov (inertiens lov) stadig gælder. For en accelereret observatør vil fiktive kræfter derfor virke reelle. Fordi accelerationen skyldes koordinatsystemets bevægelsestilstand, kaldes fiktive kræfter også systemkræfter.

Centrifugalkraften opleves af A som en kraftpåvirkning, fordi han befinder sig i et accelereret koordinatsystem. Størrelsen af den centrifugalkraft, man oplever i en cirkelbevægelse, er den samme som den centripetalkraft, der er nødvendig for at holde én i cirkelbevægelsen, men den er modsatrettet, se figur 2.4.

centripetalkraft

centrifugalkraft

Selv om centrifugalkraften ikke er virkelig, kan vi godt indføre den → → som minus centripetalkraften: F centrifugal = –F centripetal.

Centrifugalkraftens størrelse er givet ved: |Fcentrifugal| = m ·

v2 = m · r · ω2 (ω er vinkelhastigheden) r

Figur 2.5. Centripetalkraften (blå) og centrifugalkraften (rød) er lige store, men mod­satrettede. Den grønne pil viser hastigheden i punktet. centripetalkraft

centrifugalkraft

I et roterende koordinatsystem opleves altså en udadrettet kraft. Princippet udnyttes i en tørretumbler. I en tørretumbler er rotationen i det K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 67

lodrette plan, og tøjet presses ud i siden. Når tøjet kommer op i toppen, sørger tyngdekraften for, at det falder ned, samtidig med at der blæses varm, tør luft op, hvilket giver den tørrende effekt.

Lad os igen se på karrusellen og antage, at A og B holder fast. De står over for hinanden. A kaster en mønt ligeud imod B. Figur 2.6. I en karrusel med to personer kaster den ene en mønt mod den anden.

B

A

B

A

Da A kaster mønten direkte mod B, vil han forvente, at B griber mønten, men da mønten forlader A’s hånd, drejer den ikke længere med karrusellen rundt, og da den når over til den side, hvor B var før, er B roteret længere rundt og vil derfor ikke gribe mønten. A vil undre sig og mene, at mønten må være blevet påvirket af en kraft, der har presset mønten mod højre.

Vi kan udvide Newton 2. lov, så den gælder i ikke-inertialsystemer.

Hvis der optræder både virkelige kræfter og fiktive kræfter, gælder der for Newtons 2. lov: →

→

→

m · ares = Fres + Ffiktiv

Newtons 2. lov med fiktive kræfter

TÆ N K E F TE R 1

a) Hvorfor tørrer en tørretumbler bedre med varm end med kold luft? b) Overvej, om Newtons 3. lov gælder for fiktive kræfter?

68 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

En lodlines vinkel i et accelererende system En metode til at afsløre acceleration er at udnytte det fænomen, vi observerede med vandet i glasset i eksperiment 2.1. Hvis man sætter sig i et tog (eller et fly) og fastgør en line med et lod i togets loft, vil linen – når toget accelererer – ikke hænge lodret ned mod gulvet. Ved at bestemme vinklen kan vi måle accelerationens størrelse. Og omvendt: Hvis accelerationen er kendt, kan vi bestemme vinklen til lodlinen. a

E K SE MPE L 2 .1

Lodlines vinkel i et accelererende fly Et fly accelererer vandret ud ad startbanen med en acceleration på a = 4,0 m/s2. Hvilken vinkel danner en lodline, der er fastgjort i flyets loft, med lodret?

v Ft = m · g

Fcentrifugal = m · a

Løsning Når flyet holder stille eller bevæger sig med jævn hastighed, hænger lodlinen lodret. Når flyet accelererer, danner lodlinen vinklen v med lodret.

Vi benytter den udvidede version af Newtons 2. lov: →

Ft = m · g

Figur 2.7. Et lods udsving med an­givelse af tyngdekraft og centrifugalkraft samt flyets acceleration a.

→

→

m · ares = F res + F fiktiv Den acceleration, loddet oplever i forhold til gulvet, er a. Cen­tri­fu­ galkraften er den kraft, der modsvarer accelerationen, Fcentrifugal = m · a, og den er modsatrettet bevægelsen.

Det fremgår af figur 2.7, at: tan(v) =

m·a a = m·g g

Vi finder derfor vinklen ved at bruge den inverse tangens:

()

(

)

a 4,0 m/s2 v = tan–1 g = tan–1 = 22° 9,82 m/s2

Vinklen med gulvet er: 90° – 22° = 68° Svar: Vinklen er 22° med lodret.

Bemærk: Til skriftlig fysik A-eksamen må du ikke tegne fiktive kræfter. Hvis du skal tegne et kraftdiagram for loddet i figur 2.7, skal du således kun tegne tyngdekraften og snorkraften på loddet.

K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 69

Foucaults pendul

Figur 2.8. Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868). Fransk filosof og idéhistoriker.

Et andet eksempel på en fiktiv kraft er den, der opstår på grund af Jordens rotation. Vi ved, at Jorden roterer, fordi vi observerer, at stjernehimlen roterer over os.

Jordens rotation i forhold til stjernerne kan demonstreres ved at ophænge et pendul, så det kan dreje frit omkring ophængningspunktet.

Pendulet sættes til at svinge frem og tilbage, og på gulvet markeres svingningsplanet. Efterhånden som tiden går, vil Jorden dreje rundt, mens pendulet fortsat vil svinge i samme plan i forhold til stjernerne. Det ser derfor ud, som om gulvet drejer rundt under pendulet, se figur 2.9.

Jean Bernard Foucault demonstrerede princippet i 1851 ved et berømt eksperiment, hvor han ophængte et pendul i et 67,0 meter langt kabel i Panthéon-kirken i Paris.

For små udsving afhænger perioden af et penduls svingning af snorens længde L og tyngdeaccelerationen g:

√

L

T = 2·π · g

Man kan vise, at perioden for en fuld rotation af pendulets cirkelbevægelse i forhold til jordoverfladen under pendulet er: T=

23 t 56 min. sin(φ)

φ er stedets breddegrad, og de 23 timer og 56 minutter er længden af et stjernedøgn, det vil sige Jordens rotationstid målt i forhold til stjernerne (som også kaldes et siderisk døgn).

Figur 2.9. Foucault udfører sit eksperiment i Panthéonkirken i 1851.

70 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

TÆ N K E F TE R 2

Et argument imod Jordens rotation er, at hvis Jorden roterede med en bestemt hastighed, ville man på jordoverfladen opleve en modvind med samme hastighed. Det gør man ikke, derfor kan Jorden ikke rotere. a) Beregn den hastighed, vinden ifølge argumentet skulle have.

Vælg for nemheds skyld at betragte et punkt på ækvator. b) Prøv, om du kan give en anden forklaring (end at Jorden ikke roterer) på, at man ikke oplever modvind.

Figur 2.10. En model af Foucaults pendul findes i dag i Panthéonkirken.

c) Beregn svingningstiden for Foucaults pendul med 3 betydende cifre. d) Beregn rotationstiden for Foucaults pendul. e) Beregn rotationstiden for et Foucault-pendul ved ækvator og i Danmark. f) Hvor på Jorden er rotationstiden præcis 23 timer og 56 minutter?

K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 71

Corioliskraft Man kan konstatere Jordens rotation, idet en kanonkugle affyret mod ækvator afbøjes. Hvis vi affyrer kanonkuglen på den nordlige halvkugle mod et mål længere mod syd, vil både vi, kanonkuglen og målet flytte sig mod øst i det tidsrum, kanonkuglen er i luften. Da omdrejningshastigheden er større, jo tættere man er ved ækvator, vil målet flytte sig længere mod øst, end kanonkuglen gør.

Nordpolen

Figur 2.11. En kanonkugle afskydes fra Nord­polen mod syd. Jordoverfladens (og dermed luftens) rotationsha­ stighed afhænger af bredde­ graden. Når man skyder mod syd, vil man derfor skyde mod områder, hvor overfladen roterer hurtigere.

fa

ækvator

ækv

Nordpolen

Nordpolen tænkt retning

faktisk retning coriolisafbøjning

ækvator

ækvator mål flytter sig

Figur 2.12. Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843). Ud­­ over den matematiske be­ skri­velse af den effekt, han lagde navn til, fandt han også på begrebet arbejde for den energi, der omsættes af en kraft, når en genstand flytter sig.

72 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

Set fra affyringsstedet ser det derfor ud, som om kanonkuglen af­b øjes mod vest, det vil sige mod højre.

Denne effekt kaldes corioliseffekten efter den franske videnskabsmand Gaspard-Gustave de Coriolis, der i 1835 publicerede den matematiske beskrivelse af den dengang allerede kendte effekt.

Vi har allerede set, at mønten i eksemplet med karrusellen (figur 2.6) blev afbøjet mod højre, når den blev kastet. Set fra vores halvkugle

Corioliseffekten: Vind, der blæser nord-syd, afbøjes mod højre på den nordlige halvkugle og mod venstre på den sydlige.

roterer Jorden mod øst, det vil sige mod uret, ligesom karrusellen.

Vind, der blæser til eller fra ækvator, vil opleve samme afbøjning som kanonkuglen i figur 2.11.

Det giver anledning til det mest kendte eksempel på corioliseffekten, nemlig roterende lavtrykssystemer, som fremgår af figur 2.13.

Figur 2.13. Vindens afbøj­ ningsretning afhænger af, hvilken retning den blæser, og på hvilken halvkugle bevægel­ sen foregår.

60º N: 835 km/t

30º N: 1446 km/t

0º N (ækvator): 1670 km/t

rotationsretning

TÆ N K E F TE R 3

a) Med hvilken hastighed bevæger et punkt på jordoverfladen sig mod øst, når man befinder sig på henholdsvis 1) ækvator, 2) Nordpolen, og 3) 45 graders nordlig bredde (Tip: Find en formel for omkredsen som funktion af breddegraden)? b) Forklar de grønne og røde pile på figur 2.13.

K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 73

Figur 2.14. Roterende lavtryks­ system. Satellitfoto af den tropiske orkan Florence ud for den amerikanske østkyst i 2018.

Rotation og luftstrømme Fra rummet kan vi konstatere, at vejrsystemer roterer omkring deres centrum, som det ses af ovenstående satellitfoto.

Vi ser nu på et lavtryk på den nordlige halvkugle. Hvis der er lavtryk, vil vinden bevæge sig fra områder med højere lufttryk hen imod lavtrykket. Når luften bevæger sig hen til lavtrykket, vil den skabe såkaldt konvergens ved jordoverfladen og presse den eksisterende luft opad. I toppen af lavtrykket er der omvendt divergens, det vil sige luften strømmer væk. a

b

Set fra oven:

N

Set fra siden:

V

L

Ø

S Figur 2.16. På den nordlige halvkugle af­bøjes luftstrøm­ me mod højre på vej mod lav­ trykket. Omkring lavtrykket bevæger vinden sig mod uret.

74 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

På grund af Jordens rotation og corioliseffekten bliver luftstrømmene afbøjet på deres vej mod lavtrykket. Når luftstrømmene blæser på den nordlige halvkugle, afbøjes alle luftstrømmene mod højre. Omkring lavtrykket skaber luftstrømmene en samlet rotation mod uret, se figur 2.14 og 2.16.

TÆ N K E F TE R 4

a) Hvilken vej roterer lavtryk på den sydlige halvkugle? b) Ved højtryk er der divergens ved jordoverfladen, det vil sige luftmassen løber væk fra højtrykket, og luften ovenfra synker ned i centrum af højtrykket. Fremstil en tegning af situationen svarende til tegningerne i figur 2.15b og figur 2.16. Hvilken vej roterer højtryk på henholdsvis den nordlige og sydlige halvkugle? c) Billedet til højre viser et lavtryks­ system. Over hvilken halvkugle er fotoet taget?

Figur 2.17. Vaskefad fremstillet af smarte forretningsfolk ved ækvator. Den hvide pil skal illustrere, at vandet på sin vej ud af fadet gennem et afløb i midten roterer mod uret.

Corioliseffekten i hverdagen Hvis man fx rører rundt i en kop te med teblade i, ender bladene på grund af corioliseffekten i midten af koppen og ikke langs kanten, som centrifugalkraften ellers ville sørge for.

Mange steder kan man læse, at corioliseffekten fx har betydning for den måde, hvorpå vandet løber ud af en håndvask. Myten er, at vandet roterer med uret ud af en vask på den nordlige halvkugle og mod uret på den sydlige. Det fænomen har smarte folk gjort til en turistattraktion ved ækvator, men sandheden er, at effekten er for lille til at have indflydelse på en håndvask.

Et objekt, der bevæger sig i et roterende koordinatsystem, påvirkes både af centrifugalkraften og corioliskraften, hvilket kan skrives som: →

→

→

→

m · a res = F res + F centrifugal + F coriolis Corioliskraften på en partikel med massen m, der bevæger sig med → hastigheden v i et roterende koordinat­system, er givet ved: →

→

→

F coriolis = –2 · m · ω × v →

→

hvor ω er vinkelhastigheden (en vektor) for koordinatsystemet, og v er partiklens hastighedsvektor i forhold til det roterende koordinatsystem. Læs mere om krydsprodukter i appendiks A.

K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 75

2 Sammenfatning ▶ Et inertialsystem er et koordinatsystem, der bevæger sig med jævn (retlinet) bevægelse. Her gælder Newtons 2. lov uden modifikationer. ▶ Et accelereret koordinatsystem er ikke et inertialsystem. Her gælder Newtons 2. lov med modifikationer. ▶ Relativitetsprincippet: Al ikke-accelereret bevægelse er relativ. ▶ Fiktive kræfter eksisterer ikke i virkeligheden. Det er kræfter, der ikke skyldes virkelige kræfter, men optræder ved accelererende bevægelse eller rotation. ▶ En fiktiv kraft skal ikke tegnes i et kraftdiagram. ▶ Centrifugalkraften er den udadrettede kraft, en observatør oplever i et roterende koordinatsystem. v2 |Fcentrifugal| = m · = 2m · r · ω2 r → → hvor ω er vinkelhastighedsvektoren, og F centrifugal = –F centripetal ▶ Corioliseffekten: Objekter, der bevæger sig langs jordoverfladen, afbøjes mod højre på den nordlige halvkugle og mod venstre på den sydlige. ▶ Corioliskraften er den fiktive kraft, vi indfører for at beskrive coriolis­effekten. →

→

→

→

▶ Newtons 2. lov med fiktive kræfter, m · ares = Fres + Ffiktiv , hvor Ffiktiv kan være centrifugalkræfter og/eller corioliskraften. ▶ En lodline i et accelererende fly eller tog hænger med vinklen (v) fra lodret, a v = tan–1 g hvor a er accelerationen, og g er tyngdeaccelerationen.

()

▶ Perioden for den cirkulære bevægelse relativt til Jorden af Foucaults pendul afhænger af breddegraden (φ): 23 t 56 min.

T= sin(φ) ▶ Lavtryks- og højtrykssystemer på Jorden roterer henholdsvis mod og med uret på den nordlige halvkugle og i modsatte retninger på den sydlige halvkugle.

76 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

OPG AVE R 2.1 Concorde-fly opererede fra 1976 til 2003.

Et fly af denne type kunne accelerere vandret ud ad startbanen med en acceleration på a = 33 m/s2. Hvilken vinkel danner en lodline, der hænger frit fra loftet, med gulvet i flyet under accelerationen?

2.3 En person holder en spand med vand i en

snor med længden 1,0 m og svinger den rundt (med konstant fart) i en cirkel fra gulvet, op over hovedet og tilbage mod gulvet. vtop

2.2 Betragt eksempel 2.1 (side 69).

a) Fremstil din egen version af figur 2.7 og indtegn snorkraften. Bestem snorkraftens størrelse udtrykt ved m, a og g. b) Hvis loddet i eksempel 2.1 vejer 0,10 kg, hvad bliver da størrelsen af snorkraften? c) Gentag udregningen i b) med samme lod, der nu befinder sig i flyet fra opgave 2.1.

a) Tegn kraftdiagrammer for vandet, når det er i bunden af bevægelsen samt i toppen. (Tip: Hvilke kræfter virker på vandet?) b) I toppen af bevægelsen er farten lig vtop.

Bestem den mindste værdi af vtop, så vandet netop ikke falder ud. (Tip: Hvad er den mindste kraft, spanden kan trykke på vandet med?) c) Hvis vi svinger spanden med konstant fart rundt, hvad er da den største omløbstid, vi kan svinge spanden med, så vi ikke bliver våde? d) Forklar, hvorfor svaret ikke afhænger af mængden af vand. e) Hvis der er 1,0 L vand i spanden, hvor stor er den centrifugalkraft, vandet mærker i bevægelsen, med den fart du beregnede i b)?

K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER • 77

2.4 En vaskemaskine centrifugerer med

1600 omdrejninger i minuttet, og tromlen har en radius på 38 cm. En sok vejer 20 gram. a) Bestem centrifugalkraften på sokken. b) Bestem tyngdekraften på sokken, og sammenlign med dit svar i a). c) Gentag udregningen i a) for en tørretumbler, der roterer med 40 omdrejninger i minuttet og har samme størrelse tromle.

2.5 Figuren nedenfor viser en elev, der svinger

en bold i en snor rundt om sig selv. Idet bolden befinder sig i punkt P, springer snoren. Hvilken af de fem foreslåede baner for boldens bevægelse efter snorens brud er mest korrekt?

2.6 Undersøg skolens håndvaske for coriolis­

effekten. Sæt proppen i. Fyld vasken med vand. Træk proppen op, og notér hvilken vej – hvis nogen – vandet roterer, når det løber ud. Gentag forsøget med flere håndvaske. Overvej, hvor mange vaske der skal afprøves, før vi kan udtale os om resultatet.

2.7 Det lille foto nederst til højre i figur 2.18

viser Jupiter med den såkald­te ’store røde plet’, der er et enormt vejr­system (større end Jorden) i Jupiters atmosfære. a) Benyt nærbilledet af vejrsystemet til at vurde­re, hvilken vej stormen roterer. b) Er den store røde plet på Jupiter et lavtryks- eller et højtrykssystem? (Tip: Nærbilledet vender korrekt, så nord er opad).

1 2

P

3 4 5

Figur 2.18. Nærbillede af Jupiters ’store røde plet’, som er det største vejrsystem i Solsystemet.

78 • K APITEL 2 FIK TIVE K R ÆF TER

3

RELATIVITETSTEORI I dette kapitel skal vi se nærmere på forskellige former for bevægelse og komme frem til de vigtigste resultater af den specielle relativitetsteori. Sammen med kvantefysikken er relativitetsteorien kronjuvelen i det 20. århundredes fysik og hovedårsagen til, at Albert Einstein blev verdensberømt.

De to enæggede tvillinger Scott og Mark der deltog i NASAs eksperiment til under­ søgelse af tvillingeparadokset i 2015. Den ene tvilling tilbragte et år i rummet på den internationale rumstation, den anden blev nede på Jorden. Ifølge Einsteins teori skulle den tvilling, Scott, der tilbragte et år i rummet, være ældet mindst. For­ skerne fandt det modsatte, da livet i rummet påvirker kromosomerne og kroppens immunsystem mere end den relativistiske effekt.

1 Relativ bevægelse Rum og tid regnes normalt for at være en uforanderlig baggrund, som blandt andet bevægelser kan beskrives ved hjælp af. Men når genstande bevæger sig med hastigheder nær lysets, bliver det umuligt at referere til samtidige begivenheder. Den måde, en observatør i bevægelse opfatter afstande og tidsrum på, afhænger af hastigheden. Rum og tid bliver vævet ind i hinanden og ændrer sig relativt til en observatørs bevægelse.

Dette fører blandt andet til paradoks-lignende situationer, og når konsekvenserne beregnes for energi og bevægelsesmængde, fremkommer ligningen E = m · c2.

Vi antager i dette kapitel, at der hverken er acceleration, tyngdefelter eller andre kræfter på spil. Hvis sådanne kræfter skulle være i spil, må man anvende den almene relativitetsteori, se tabel 3.1.

Tabel 3.1. Gyldighedsområder­ ne for Newtons mekanik, den specielle relativitetsteori og den almene relativitetsteori.

Gyldighedsområde

Små hastigheder (v << c)

Store hastigheder (v ≤ c)

Svage tyngdefelter

Newtons mekanik

Speciel relativitetsteori

Stærke tyngdefelter

Almen relativitetsteori

Almen relativitetsteori

Definition af tid og rum Vi indleder med at definere kernebegreberne tid og rum: ▶ Tid defineres som en måling. Tid er det, et ur viser. Tiden løber forlæns, enhver begivenhed kan tidsfæstes og sammenlignes med andre tidspunkter. Derved kan man konstatere, i hvilken rækkefølge begivenheder sker, og om begivenheder eventuelt sker samtidigt. Tiden forløber kontinuert, det vil sige at ethvert tidsinterval kan deles i det uendelige. ▶ 1 sekund er defineret som 9 192 631 770 gange perioden af den stråling, der udsendes ved en bestemt atomar overgang i nuklidet cæsium-133. ▶ Lysets fart i vakuum er pr. definition: c = 299 792 458 m/s.

1

▶ 1 meter er den afstand, lyset tilbagelægger på 299 792 458 sekund.

▶ Rum er den baggrund, som afstande måles i, uanset om rummet er tomt eller ej. Det almindelige rum er tredimensionelt. For at angive en position i rummet forsynes det med et koordinat­ system. Et punkt i rummet kan derved entydigt bestemmes ved dets koor­dinater (x,y,z – længde, højde, bredde). Fysiske processer som fx bevægelse foregår i et rum.

80 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

I den newtonske fysik antages det, at både tid og rum er absolutte størrelser. Dermed findes der kun én opfattelse af såvel længden af tids­intervallet mellem to begivenheder som afstanden mellem netop de to begivenheders positio­ner.

Vi skal se, at Einstein måtte bryde med antagelserne om absolut tid og absolut rum for at udvikle relativitetsteorien.

Tid og rum er absolutte størrels­er i den newtonske fysik.

Koordinater

y

x Figur 3.1. Et todimensio­nelt (x,y)-koor­dinat­system.

z

y

x

x Figur 3.2. Et tredimen­sionelt (x,y,z)-koordinat­system.

I matematik erz vi vant til at arbejde med retvinklede koordinatsystemer, hvor værdien af x afsættes på 1.-aksen og y på 2.-aksen.

Akserne står vinkelret på hinanden. Figur 3.1 viser et velkendt todimensionelt (x,y)-koordinatsystem. y Vi kan tilføje en ekstra dimension i form af en akse vinkelret på de to andre, hvorved vi skaber et tredimensionelt (x,y,z)-koordinatsystem (se x figur 3.2). På 3.-aksen afsættes værdien af z.

I fysik er vi oftest interesserede i, hvordan fysiske størrelser udvikler sig som funktion af tiden. Fx en genstands position s som funktion af tiden t. Dette kaldes en stedfunktion s(t), hvilket vi introducerede i BasisFysik B (kapitel 4).

For at beskrive bevægelser konstruerer vi et (t,s)-koordinatsystem med tiden placeret på 1.-aksen og strækningen på 2.-aksen.

Vi kan illustrere en genstands bevægelse som funktion af tiden ved at tegne grafen for stedfunktionen.

For en bil, der kører med den konstante fart 20 m/s, bliver kurven en linje med forskriften s(t) = 20 m/s · t som vist i figur 3.3. s (m)

s (m) s(t) = 20 m/s · t

200 150

100 50

0

0

2

4

6

8

10

t (s)

Figur 3.3. Et (t,s)-koordinat­system har tiden på 1.-aksen og positionen på 2.-aksen.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 81

5

ALBE RT E INSTE IN OG RE L ATIVITE TSTEORIE N Figur 3.4. Albert Einstein (1879-1955) er mest berømt for sin relativitetsteori, som han offentliggjorde i 1905.

Dengang var teorien så kontro­ versiel, at en nobelpris slet ikke kom på tale, men i 1921 modtog han nobelprisen i fysik for sit arbejde med at forklare den fotoelektriske effekt. Her er Einstein fotograferet i sit hjem i New Jersey i 1940.

Allerede som femårig var Albert Einstein fas­ ci­neret af de usynlige magnetiske kræfter, der kunne påvirke en kompasnål. 12 år gammel var han opslugt af blandt andet geometri og telegrafi og studerede ivrigt populærvidenskabelige bøger. Det gjorde ham allerede tidligt skeptisk over for sin egen jødiske tro – og religion i det hele taget.

En ven af familien introducerede ham til højere matematik og filosofi, og 16 år gammel formulerede Einstein et tankeeksperiment: Hvordan ville en lysstråle se ud, hvis man kunne ’følge efter’ den? Dette spørgsmål optog ham de næste ti år, og som et foreløbigt svar på spørgsmålet formulerede han den specielle relativitetsteori.

Før Einstein havde afsluttet grundskolen i München, havde han søgt om optagelse på det ansete polytekniske universitet ETH i Zürich, Schweiz. Han klarede sig fremragende til prøven i matematik og fysik, men dumpede i fransk, kemi og biologi. Han blev dog opta-

82 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

get – primært på grund af sin høje karakter i matematik – på betingelse af, at han afsluttede skolen. Einstein fik sin skoleeksamen i 1896 og fire år senere sin tekniske eksamen ved ETH. Einstein havde svært ved at få et akademisk job efter sine studier, derfor bad han sin professor om en anbefaling. Fordi han havde pjækket fra mange af professorens forelæsninger for at studere avancerede emner på egen hånd, fik han en dårlig anbefaling. Endelig, efter mange afslag og flere korte jobs som privatunderviser og vikar, blev Einstein i 1902 ansat på et patentbureau i Schweiz’ hovedstad Bern som patentanmelder af tredje rang.

Arbejdet var nemt, så Einstein havde god tid til at forske. Han indså, at lysets hastighed var uafhængig af iagttagerens hastighed, og Ole Rømer havde allerede påvist, at lysets hastighed var endelig. Dette var i modstrid med Newtons bevægelseslove, der ikke opererer med nogen maksimal hastighed. På

den baggrund formulerede Einstein re­ la­ ti­ vitetsprincippet, og i 1905 skrev han sin første artikel om den specielle relativitets­teo­ri.

Samme år fik han udgivet yderligere tre videnskabelige artikler: en artikel om brownske bevægelser med en udregning af størrelsen af molekyler, og en der forklarede den fotoelektriske effekt ved hjælp af Plancks lov for energien af lys, og endelig en artikel om den specielle relativitetsteori, hvor formlen E = m · c2 for første gang blev udledt. Desuden indleverede han sin doktorafhandling. De fire artikler fra 1905 var hver især bane­brydende, og Einstein fik da også rosende kommentarer af Max Planck, datidens mest indflydelsesrige fysiker, hvilket åbnede døre. Han blev nu inviteret til at tale ved konferencer og blev tilbudt professorater ved flere universiteter.

I begyndelsen af 1900-tallet fandtes der to søjler i fysikken: Newtons bevægelseslove og Maxwells teori om lys og elektromagnetisme.

Einstein var den første, der indså, at disse to teoretiske søjler var i indbyrdes modstrid med hinanden, og at den ene måtte væltes, og han satte sig for at modificere Newtons søjle. Når hastigheden af en genstand nærmer sig lysets hastighed, var Newtons love ikke længere tilstrækkelige, her måtte den specielle relativitetsteori anvendes. Newtons love er stadig gyldige, når hastighederne er lave i forhold til lysets hastighed. Det betyder, at Einsteins mere komplicerede teori reduceres til Newtons teori, når hastighederne er små.

Imidlertid havde Einstein antaget, at der ikke virkede nogen kræfter på genstanden, så accelerationen var nul. Den specielle relativitetsteori kan derfor kun anvendes, hvis hastigheden af en genstand er konstant. For at indarbejde accelerationer (og kræfter) i

relativitetsteorien måtte Einstein formulere sin teori geometrisk og inkludere krumning.

Ved at betragte tidskoor­dinater ganget med lysets hastighed som en dimension kan tiden forenes med de tre rumlige koordinater til en firedimensionel rumtid. Einstein indså, at den krumme bane, en genstand der accelereres følger, kan beskrives ved, at rumtiden krummer. Ifølge relativitetsteorien må en fysisk bevægelse ikke afhænge af valget af koordinater.

Nu skulle teorien formuleres i generelle koordinater, et arbejde der afsluttedes med den almene relativitetsteori i 1915. Den almene relativitets­teori indeholder den specielle relativitetsteori og beskriver blandt andet accelerationer som følge af tyngdekraften som en krumning af rum og tid.

Einstein anvendte sin nye teori til at forud­ sige, at lys fra stjerner, der passerer tæt forbi Solens overflade, vil blive afbøjet en lille smule, fordi Solen med sit kraftige tyngdefelt får rummet til at krumme lidt. Dette blev observeret og bekræftet under en total solformørkelse i 1919 af astronomen Arthur Eddington og gjorde Einstein lige så berømt som nutidens filmstjerner (se afsnit 4.5).

På grund af jødeforfølgelserne emmigrerede Einstein i 1933 til USA, hvor han blev ansat på Institute for Advanced Study ved Princeton University. Under 2. Verdenskrig opfordrede han præsident Roose­velt til at igangsætte udviklingen af en atombombe, før Hitler gjorde det.

Projektet blev sat i gang, og atombomben var med til at afslutte Stillehavskrigen. Einstein fortrød siden, at hans teo­­ri blev anvendt militært.

Einstein bidrog også til kvantefysikken.

Han forblev dog hele livet skeptisk over for de tilsyneladende tilfældige kvantespring mellem forskellige tilstande, som blandt andet ses i Bohrs atommodel.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 83

Relativitetsprincippet Når vi måler (eller regner) på fysiske størrelser, kan de være relative eller absolutte. I den klassiske fysik, herunder newtonsk mekanik, er tid og rum som tidligere nævnt absolutte. Massen af en genstand er i den klassiske fysik også absolut, da den er den samme for alle observatører.

Hastighed er derimod en relativ størrelse, da den afhænger af observatørens egen hastighed.

Lad os se på et eksempel, hvor en kugle slippes fra toppen af en mast på et sejlende skib, se figur 3.5. En observatør på skibet ser kuglen falde lodret ned, som om skibet ikke bevægede sig. En observatør på bredden ser kuglen bevæge sig langs en parabelbane. Kuglens bane ser forskellig ud for de to observatører, men de er begge enige om, at kuglen lander for foden af masten.

Figur 3.5. En kugle slippes fra masten på et skib i bevægelse.

Personen på bredden observe­ rer den røde kurve, personen i masten observerer den blå.

I sin bog Dialog om de to store verdenssystemer (1632) diskuterede Galileo Galilei dette eksperiment. Han konkluderede, at hvis eksperimentet med en faldende kugle udføres i et lukket rum, kan man ikke afgøre, om rummet står stille eller bevæger sig med en jævn retlinet bevægelse. Einstein gjorde dette princip om relativ bevægelse til en af grundpillerne i relativitetsteorien.

Bemærk: Vi skal senere i kapitlet se, at tid, rum og masse også kan være relative størrelser.

84 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Huygens og relativitetsprincippet Den hollandske matematiker og astronom Christiaan Huygens (16291695) forestillede sig følgende eksperiment udført med to kugler.

Figur 3.6. Huygens’ eksperi­ ment med to stødende kugler.

Illustration af Huygens, ca.

1668.

Kuglerne hænger (stille) i hver sin snor, som holdes af to personer, der står henholdsvis på bredden og på båden. Båden sejler forbi bredden, og kuglerne bringes til at støde sammen med lige store, men modsatrettede hastigheder (v og –v). Huygens argumenterede for, at de to kugler efter stødet ville bevæge sig væk fra hinanden med de omvendte hastigheder –v og v.

Hvis båden sejler med samme hastighed v i forhold til bredden, vil en observatør på bredden observere en kugle, der med hastigheden 2 · v rammer en anden kugle, der ligger stille.

Figur 3.7. Huygens’ eksperi­ ment før og efter stødet set fra henholdsvis båden og bredden.

Set fra båden

v

–v

–v

v

Set fra bredden

2·v Relativitetsprincippet: Ud­ faldet af et fysisk eksperi­ ment er uafhængigt af has­tigheden af det system, hvori eksperimentet ud­føres – så længe hastigheden er konstant.

2·v

Men udfaldet af eksperimentet skal være det samme, uanset om man ser det fra båden eller fra bredden: De to kugler rammer hinanden og bytter hastigheder.

Huygens konkluderede som Galilei, at bådens hastighed ingen indflydelse har på resultatet af eksperimentet. Da båden bevæger sig relativt i forhold til bredden, kaldes resultatet for relativitetsprincippet.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 85

Hastighed I det almindelige (euklidiske, tredimensionale) rum er afstanden, Δs, mellem to punkter: P1(x1,y1,z1)

P2(x2 ,y2 ,z2)

og

givet ved (idet Pythagoras' sætning udvides til tre dimensioner): ∆s = √ ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 hvor Δx = x2 – x1, Δy = y2 – y1, og Δz = z2 – z1. (Bemærk, at vi bruger betegnelsen Δs frem for den almindelige d.) z

Figur 3.8. Afstand mellem to punkter i rummet.

P2(x2,y2,z2)

•

P1(x1,y1,z1)

∆s

•

y

O

x

En partikels bevægelse i rummet beskrives ved dens stedfunktion s(t).

Som tiden t går, gennemløber partiklen en kurve i koordinatsystemet.

Vi kalder den banekurven ℓ. Til tiden t1 befinder partiklen sig i punktet s(t1) = P1(x1,y1,z1) og til tiden t2 i punktet s(t2) = P2(x2 ,y2 ,z2). z

Figur 3.9. Banekurven for en partikel.

P2(x2,y2,z2) • t2 P1(x1,y1,z1) t1 •

ℓ

O

x

86 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

y

Gennemsnitsfarten –v i tidsrummet Δt = t2 – t1 er givet ved (bemærk stregen over v, der betyder gennemsnit): –v = ∆s ∆t →

Øjeblikshastigheden v i et punkt s(t) = P(x,y,z) er defineret ved grænse­ værdien af ovenstående (bemærk vektorpilene over v og s): →

→

→

∆s ds = ∆t → 0 ∆t dt

v = lim

hvor vektoren ∆s→ er givet ved dens komponenter: → → ∆s = (x2 – x1,y2 – y1, z2 – z1) = (Δx, Δy, Δz), og vi har: ∆s = |∆s | →

Hastigheden v er således også en vektor. Længden af denne vektor sva→ rer til størrelsen af hastigheden, det vil sige farten |v | = v.

Vi kan også beskrive bevægelsen som en vektorfunktion, se figur 3.10.

P2(x2,y2,z2)

z

Figur 3.10. En partikel be­ væger sig langs en banekurve → i rummet. Stedvektoren r går fra origo, O, til punktet P. Hastig­hedsvektoren er tangent til banekurven i punktet P.

P (x,y,z)

•

→

v=

(dxdt , dydt ,dzdt )

→

r = (x,y,z)

O

y

x

Hastighedsaddition Almindelig gang foregår cirka med farten 5 km/t. Vi går nu en tur i en lufthavn og kommer til et ’rullende fortov’ (eller rullebånd), der kører med farten 9 km/t. Hvis vi fortsætter med at gå i almindelig gang, hvor hurtigt kommer vi så fremad?

Et punkt på rullebåndet bevæger sig fremad med v = 9 km/t, og vi bevæger os i forhold til det med farten u’ = 5 km/t. Vores fart i forhold til resten af lufthavnen (u) er derfor: Figur 3.11. Et rullende fortov.

u = u’ + v = 14 km/t

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 87

Vi indfører nu to koordinatsystemer til at beskrive situationen: ▶ (S) Et koordinatsystem, der sidder fast i lufthavnen, dvs. hvert punkt på lufthavnsgangen har et sæt koordinater (x,y,z). Vores hastighed i dette koordinatsystem kaldes u. ▶ (S’) Et koordinatsystem, der følger med et punkt på rullebåndet, fx det punkt hvor vi træder op på båndet. Punkter i S’ kaldes (x’,y’,z’).

Vores hastighed i dette koordinatsystem kaldes u’.

Koordinatsystem S’ bevæger sig altså med farten v i forhold til koordinatsystem S. For at forsimple situationen antager vi, at både vi og rullebåndet bevæger sig langs x-aksen, dvs. vi kan kun gå fremad, hverken sidelæns, opad eller nedad. Figur 3.12 viser de to koordinatsystemer i forhold til hinanden.

Figur 3.12. De to koordinat­ systemer S og S’.

z’

z

→

y’

y →

O’

O

v

x’ x

Begivenhed En begivenhed er angivet med koordinater for både rum og tid.

Hvis vi ser på begyndelsespunktet, der hvor vi træder op på rullebåndet, og måler tiden fra vi træder op, har de to koordinatsystemer samme begyndelsespunkt i både rum og tid til tiden t0 = t0’ = 0. Et punkt angivet med koordinater i både rum og tid kaldes en begivenhed: (x0 ,y0 ,z0 ,t0) = (x0’,y0’,z0’,t0’) = (0,0,0,0) Dette punkt bliver siddende fast i koordinatsystemet S’, der jo følger med ned ad båndet. Set fra S ændres koordinaterne for S’s begyndelsespunkt, idet hastighedsfunktionen for punktet set fra S er givet ved: v=

∆x x – x0 x = = ∆t t – t0 t

⇔

x=v·t

⇔

x–v·t=0

I S’ er punktets x-koordinat x’ = 0, og vi ser, at: x’ = x – v · t Sammenhængen mellem et punkts koordinater i de to koordinat­ systemer kaldes Galilei-transformationen.

88 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Galilei-transformationen: Et punkts x-koordinater set fra et koordinat­system S' i bevægelse er x' = x – v · t, hvor x er koordinaten i S, t er tiden, og v er hastig­ heden af S' i forhold til S.

Galilei-transformationen for bevægelse i x-retningen For koordinaterne i to koordinatsystemer S og S’ gælder ved bevægelse i x-retningen, hvor v er størrelsen af hastigheden af S’ relativt til S: x’ = x – v · t y’ = y z’ = z t’ = t For hastighederne gælder: u = u’ + v ⇔

u’ = u – v

Nu ved vi således, hvordan punkter i de to koordinatsystemer bevæger sig i forhold til hinanden. Hvis vi bevæger os ned ad rullebåndet med farten u’ = 1,5 m/s, og rullebåndet kører med farten v = 2,7 m/s, kan vi beskrive vores bevægelse i de to koordinatsystemer.

Figur 3.13. Grafen for perso­ nens bevægelse set i S og S’.

Begge bevægelser begynder i x0 = x0’ = 0 og t0 = t0’ = 0 Set fra S’ er farten (hældnin­ gen af linjen) u’ = 1,5 m/s.

Men set fra S er farten: u = u’ + v = 4,2 m/s

10

x (m)

10

8

x’ (m)

8

x = 4,2 m/s · t

6

6

4

4

2

2

x'= 1,5 m/s · t’

t’ (s)

t (s) 0

0 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

TÆ N K E F TE R 1

Helten i en actionfilm springer ud fra et tog, der kører med farten 60 km/t. Han løber 25 km/t i tilløbet før springet. a) Med hvilken fart rammer helten jorden, hvis han tager tilløb og hopper 1) ud fra forenden af toget, 2) ud fra bag­enden af toget, 3) vinkelret ud fra siden af toget? b) Forklar, hvorfor helten ikke bliver ramt af toget, inden han i tilfældet 1) lander. c) Løs Tænk efter 10b (side 43) igen.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 89

Lys Indtil Ole Rømers opdagelse af ’lysets tøven’ i 1675 (se side 366, opgave 19.1, i BasisFysik B) havde man antaget, at lys udbredte sig øjeblikkeligt, altså at lysets hastighed var uendelig.

Den næste naturlige overvejelse var, om lysets hastighed så afhænger af observatørens bevægelse, det vil sige om observatørens hastighed og retning har betydning for den lyshastighed, der måles.

ÆTE RTEORIE N

­­I den mekaniske fysik kræver al udbredelse af bølger et medium. Da den italienske præst og videnskabsmand Francesco Grimaldi i midten af 1600-tallet opdagede, at lys udviste bølgeegenskaber, men­­te forskerne, at der måtte være et medium, lyset udbredte sig i, når det bevægede sig fra stjernerne til Jorden. Dette medium kaldtes æteren (engelsk: luminiferous ether).

Hvis lyset udbredte sig i æteren, og æteren var ubevægelig, burde man ifølge hastighedssammenlægning observere forskellig lyshastighed, alt efter ens bevægelse i forhold til æteren.

Solsystemets bevægelse relativt til æteren medfører en ’vind’ modsat Solens bevægelse.

Jorden bevæger sig desuden rundt om Solen.

Når Jorden bevæger sig med æteren, vil lysets hastighed være større, end når den bevæger sig modsat ætervinden. Ifølge æterteorien ville man dermed observere, at lysets hastighed afhang af årstiden. Alternativt til at vente et halvt år mellem målingerne kan man i laboratoriet sende lys i to forskellige retninger, der er vinkelrette på hinanden, og måle om lysets hastighed afhænger af, hvilken retning det bevæger sig.

Michelson-Morley-forsøget (se næste side) påviste, at en sådan afhængighed af lysets bevægelsesretning ikke eksisterer.

90 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

c vJorden æteren

Jorden (efterår) c

r-vJo

ïSolen c

r-vJo

Jorden (forår)

c vJorden Figur 3.14. Jordens bevægelse i forhold til æter­ vinden ifølge æterteorien. De sorte pile er lysets hastighed i forhold til Jorden. De grønne pile er Jordens hastighed i forhold til æteren. De røde pile viser lysets hastighed i forhold til æteren til forskellige årstider.

Lysets hastighed i forhold til æteren (rød pil) findes ved vektoraddition af Jordens hastighed i forhold til æteren (grøn pil) og lysets hastighed i laboratoriet (sort pil).

MIC HE LSON - MORLE Y- FORSØG E T spejl

halvreflekterende spejl spejl

kohærent lyskilde

Figur 3.15. Michelson og Morleys forsøgsopstilling.

lysdetektor

De amerikanske fysikere Albert Michelson og Edward Morley udførte et vigtigt eksperiment i 1887 i Ohio, hvor de sammenlignede lyshastigheden i to retninger vinkelret på hinanden.

Fra en lyskilde blev lys sendt mod et halv­ reflekterende spejl. Her blev det delt i to signaler, der derefter blev reflekteret af hver sit spejl.

Afstanden til spejlene var ens, så de to signaler havde løbet lige langt, når de igen mødtes ved det halvreflekterende spejl. Signalerne fulgtes derefter ad til lysdetektoren.

Da lyset var kohærent, var det fra begyndelsen i fase, og der skulle derfor opstå et interferensmønster, når de to lyssignaler mødtes (se afsnit 19.4 i BasisFysik B). Hvis lysets hastighed var den samme i begge retninger, ville de to lyssignaler ankomme samtidig, og man ville få et normalt interferensmønster. Hvis

der var en forskel i lyshastigheden i de to retninger, ville interferensmønstret afvige fra det normale.

Eksperimentets udfald var entydigt. Der blev ikke observeret nogen afvigelse, og Michelson og Morley konkluderede derfor, at æteren enten ikke eksisterede eller at den fulgte med Jorden rundt i dens bevægelse.

Figur 3.16. Interferensmønster fra et MichelsonMorley-interferometer.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 91

E K SPE RIME NT 3.1

Bestemmelse af lysets fart i luft I en mikrobølgeovn rammer elektromagnetisk stråling vandmolekylerne i madvarer og får dem til at vibrere. Derved opvarmes maden.

Mikrobølgerne udsendes med en frekvens på f = 2,45 GHz og danner stående bølger i mikro­ovnens indre. Hvor den stående bølge har bug, afsættes mest energi, mens der ved knuderne ingen energi afsættes.

Vi skal i dette eksperiment benytte mikrobølgeovnen til at bestem­ ­me lysets hastighed i luft.

Vigtigt: Lad ikke en mikrobølgeovn køre uden noget i til at absorbere energien – det kan den tage skade af.

Forsøgsgang ▶ Fyld et fad med madvarer, der kan smelte, fx chokolade, ost eller skumfiduser. Slå ovnens karruselfunktion fra og tænd mikrobølgeovnen i cirka 30 sekunder. Tiden kan afhænge af mikroovnen og hvad du har valgt at smelte. Prøv jer frem. ▶ Tag fadet ud og mål nu afstanden mellem to af de steder, mad­ varen er smeltet. Denne afstand svarer til halvdelen af den stående bølges bølgelængde λ. Mål derefter afstanden mellem det første og tredje sted, mad­varen er smeltet. Det svarer til en hel bølgelængde.

Derefter mellem første og fjerde sted. ▶ Gentag dette, så du får så mange målinger som muligt.

Nummer på bølgetop n

Afstand (cm) d

1 2 3 …

Databehandling ▶ Udfyld et skema som vist til venstre. ▶ Tegn en graf over d som funktion af n. ▶ Foretag lineær regression og bestem hældningen af linjen. Linjens λ hældning svarer til 2 . Overvej, hvorfor dette gælder. (Tip: Se afsnit 19.4 i BasisFysik B). ▶ Bestem heraf bølgelængden. ▶ Benyt bølgeligningen og den frekvens, der er opgivet på mikrobølgeovnen, til at bestemme lysets fart.

Diskussion a) Bestem afvigelsen i forhold til en tabelværdi for c i vakuum. b) Hvilke fejlkilder og usikkerheder er der i eksperimentet? c) Forklar – eventuelt ved hjælp af en tegning – hvorfor maden smelter med en halv bølgelængdes mellemrum.

92 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

2 Speciel relativitetsteori Albert Einstein udviklede relativitetsteorien på baggrund af Huygens’ og Galileis eksperimenter.

Den specielle relativitetsteori kaldes speciel, fordi resultaterne kun gælder for specielle bevægelser, nemlig dem der ikke er accelererede.

Den specielle relativitetsteori er blevet generaliseret til en almen relativitetsteori, der omhandler accelererede koordinatsystemer.

Einsteins postulater Albert Einstein formulerede den specielle relativitetsteori ud fra tre postulater, det vil sige påstande der er fundamentale og ikke skal bevises ud fra simplere påstande.

1) Der findes ingen æter.

2) Lysets fart c er den samme for alle observatører, der bevæger sig med konstant hastighed i forhold til hinanden.

3) Relativitetsprincippet: Udfaldet af et fysisk eksperiment er uafhængigt af hastigheden af systemet, hvori eksperimentet udføres.

Postulat 1 forklarer udfaldet af Michelson og Morleys eksperiment.

Postulat 2 er tilsyneladende en harmløs betingelse, men det har dramatiske konsekvenser, idet det viser sig at være i modstrid med Galileis hastighedsaddition, som vi vil vise i det følgende.

Vi antager, at observatør A befinder sig i et rumskib, der bevæger sig med den konstante fart v i forhold til observatør B, der står stille, og at begge er langt fra tyngdefelter, som vist i figur 3.17.

Figur 3.17. Et rumskib bevæger sig med farten v og udsender lys med farten c.

A

B lys

c v

Rumskibet udsender et lyssignal i bevægelsesretningen. Set fra observatør A’s position er lysets fart c. Observatør B observerer ifølge Galilei, at lyset har farten v + c. A og B er derfor ikke enige om lysets fart – hvilket er i modstrid med postulat 2. Man ville rent faktisk måle lysets fart til at være c i punkt B. Vi kan altså konkludere, at Galilei-transformationen ikke kan bruges, når hastighederne nærmer sig lysets.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 93

Postulat 3 betyder, at man ikke kan tale om absolut hastighed, kun relativ hastighed.

Du sidder fx i et tog, der holder stille ved en perron. Toget sætter i gang meget langsomt, og du mærker ikke ændringen i bevægelsen direkte på din krop. Hvis du kigger ud ad vinduet, vil det se ud, som om perronen bevæger sig baglæns, selv om toget i virkeligheden bevæger sig fremad. Kun den relative bevægelse mellem perron og tog kan konstateres.

Man kan så overveje, om der findes absolut acceleration, det vil sige om man kan lave et eksperiment, der afgør om toget accelererer. Det er behandlet i eksempel 2.1, side 69.

Tilsammen fører de to sidste, tilsyneladende uskyldige postulater (2 og 3) til et overraskende resultat: For en observatør i hvile går en bevæget observatørs ur langsommere og vice versa.

G ALILE I -TR ANSFORMATION E N OG K AUSALITE T

Hvad ville der ske, hvis lysets hastighed ikke var konstant?

Lad os antage, at vi står i et vejkryds i punktet C. To biler, A og B, nærmer sig krydset med en hastighed tæt på lysets. Bil A ser bil B nærme sig fra siden og drejer voldsomt af mod sin højre side for at undgå en kollision.

Set fra C har lyset fra A i­­følge Galilei-transFigur 3.18. C ser to biler på vej mod et sammenstød.

formationen hastigheden 2 · c, mens lyset fra B kun har hastigheden c, da B jo bevæger sig vinkelret på os. Vi ville derfor observere lyset fra bil A længe før lyset fra bil B. En observatør i punkt C ville derfor se bil A dreje voldsomt til siden, inden bil B overhovedet var dukket op.

Vi ville derfor konkludere, at bil A svingede til siden uden grund.

A A v=c

v=c

✗

C

94 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

B

TÆ N K E F TE R 2

Man hører ofte udsagnet: »Alt er relativt.« Forklar, hvorfor det er forkert.

Tidsmålinger Hvis man vil måle den tid, der er gået mellem to begivenheder, fx to lynnedslag, må man tage hensyn til signalforsinkelsen – det vil sige den tid, der går fra lyset udsendes fra lynnedslaget, til det når frem til observatøren.

Hvis de to lyn slår ned to forskellige steder på to forskellige tidspunkter, kan man i princippet måle tidsforskellen sådan: En observatør står klar på det sted, hvor det første lyn slår ned, og starter sit ur, når det sker. Observatøren bevæger sig derefter hen til stedet for det andet lynnedslag og noterer tiden på sit ur, idet lynnedslag nr. 2 indtræffer (idet vi antager, at observatøren ved, hvor og hvornår lynene slår ned).

I det koordinatsystem, der følger med observatøren, er lynnedslagene sket samme sted men på forskellige tidspunkter. Den tid, der er gået mellem de to begivenheder, kaldes egentidsintervallet.

Figur 3.19. Tidsinterval mellem begivenheder målt med et enkelt ur.

Ikke alle begivenheder har et egentidsinterval. Hvis de to lynnedslag sker så langt fra hinanden, at observatøren ikke kan nå at løbe fra det ene til det andet, findes der ikke et egentidsinterval mellem dem.

Da vi i praksis ikke ved, hvor og hvornår lynet slår ned det andet sted, er en anden – og bedre – måde at måle tidsforskellen mellem de to begivenheder. Vi benytter to observatører med hver sit ur, se figur 3.20 på næste side.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 95

Figur 3.20. Tidsintervallet mel­ lem A’s og B’s observationer af lynet måles med to ure.

A

B

A

B

De to observatører noterer hver især tidspunktet for de to lynnedslag og sammenligner derefter deres tider.

For at det virker, må urene være synkroniserede. Det gøres således: A og B (med ikke-synkroniserede ure) observerer den samme begivenhed og noterer tiden på hver sit ur. De måler derefter hver sin afstand til begivenheden og beregner, hvor lang tid lyset har været undervejs (signalforsinkelsen). Observatørerne kender lysets hastighed og kan dermed beregne, hvornår lynet slog ned. De mødes efterfølgende og sammenligner deres beregninger. Hvis de er forskellige, må det ene ur justeres. På figuren nedenfor er observatør A’s ur 5 sekunder foran B’s. De to observatører ser lynet til forskellige tidspunkter, der skyldes 1) den manglende synkronisering, 2) forskellig afstand til lynnedslaget.

Figur 3.21. Synkronisering af to ure ved observation af signalforsinkelsen fra den samme begivenhed (lynned­ slag). Observatør A måler den største tidsforskel, fordi han er længere væk fra begiven­ heden.

A

B

A

B

Definition af et referencesystem Et referencesystem er et rektangulært koordinatsystem, hvor hvert punkt er forsynet med et synkroniseret ur. Det giver et firedimensio-

96 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Figur 3.22. Referencesystem med synkroniserede ure.

z

y

Begivenhed

x

O Referenceur (ved origo)

Det nærmeste ur måler tidspunktet for en begivenhed

nelt rum med koordinaterne (t, x, y, z). Det er svært at tegne koordinatsystemer med 4 akser, så sædvanligvis tegner man kun en eller to af de rumlige akser. På figur 3.22 er alle tre rumakser tegnet, mens tiden er et bestemt tidspunkt.

Vi opsummerer ovenstående overvejelser i følgende definitioner: ▶ Definition af en observatør: En observatør er et punkt i referencesystemet. ▶ Inertiens lov, Newtons 1. lov: Et objekt, der ikke er påvirket af en kraft, vil enten fortsætte i en jævn bevægelse eller ligge stille. (Se også BasisFysik B, side 167). ▶ Definition af et inertialsystem: Et inertialsystem er et referencesystem, hvor inertiens lov gælder. Et inertialsystem bevæger sig derfor med konstant fart i forhold til alle andre inertialsystemer, og den specielle relativitetsteori gælder for alle inertialsystemer.

TÆ N K E F TE R 3

Hvilke af disse referencesystemer er et inertialsystem? a) Et fly, der letter. b) Et tog, der kører med konstant fart ligeud. c) En karrusel. d) En satellit i omløb om Jorden. e) En elevator, der kører opad med konstant fart.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 97

Tidens relativitet Begrebet samtidighed er vigtigt. Vi definerer: Samtidighed: To begivenheder siges at være samtidige, hvis en observatør, der befinder sig midt imellem positionerne for de to begivenheder, registrerer lys fra de to begivenheder på samme tid.

Samtidighed er relativ Vi skal nu lave et såkaldt tankeeksperiment eller Gedankeneksperiment, som Einstein kaldte dem og ofte anvendte.

3 Et tog med tre vogne kører med en fart, v = 4 c, tæt på lysets hastighed i forhold til skinnerne. På den midterste vogn, en åben ladvogn, står observatør A. Ved siden af skinnerne står observatør B midt imellem enderne af vognen.

To lyn slår ned i toget og sætter mærker af på væggene i begge ender.

Begge observatører hævder at have stået midt imellem de to steder, hvor lynene slår ned, og kan derfor afgøre, om lynnedslagene var samtidige.

Set fra observatør B’s position nåede lysglimtene fra de to lyn frem på samme tid. Observatør B konkluderer derfor, at lynnedslagene skete samtidigt.

Set fra observatør A’s position når lysglimtet fra forenden af togvognen frem først. Observatør A konkluderer derfor, at lynet slog ned i forenden af toget, før det slog ned i bagenden, det vil sige at lynnedslagene ikke skete samtidigt.

Konklusionen er, at begivenheder kan observeres i forskellige inertialsystemer, men observatører med forskellige hastigheder er ikke enige om, hvilke begivenheder der sker samtidig.

Figur 3.23. To lyn slår ned i et tog. Observatør A befinder sig midt i toget. Observatør B ved siden af skinnerne. De orange buer illustrerer bølgefronter af lyset til forskellige tids­ punkter.

A

B A

B A

B

98 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Tidsforlængelse ▲ h

lyspuls

▼ Figur 3.24. Et lysur. En lyspuls udsendes fra gulvet og reflek­ teres i loftet af et spejl tilbage mod gulvet.

Vi starter med at se på en speciel slags ur. Et såkaldt lysur fungerer ved, at lys fra en lyskilde sendes op mod et spejl og reflekteres tilbage til lyskilden, hvor det igen spejles. Lyset kan således bevæge sig frem og tilbage mellem spejlene, og tiden kan bestemmes ved at måle, hvor mange gange lyset har ramt spejlene – når afstanden mellem spejlene er kendt, se figur 3.24.

Vi laver nu et andet tankeeksperiment. En astronaut (A) befinder sig i et rumskib med et lysur. En observatør (B) på Jorden kan kigge ind i rumskibet og se lysuret. Farten af rumskibet i forhold til Jorden er v. Højden af lysuret i rumskibet er h.

v

Figur 3.25. Astronaut (A) i rumskib og observatør (B) på Jorden. spejl

A h ∆τ lyskilde modtager

B

Egentid: Den tid, ∆τ, der er forløbet på et ur i det iner­ tialsystem, hvori genstanden er i hvile.

Koordinattid. Den tid, Δt, der er forløbet set fra det inertialsystem, hvori obser­ vatøren befinder sig.

∆t

Vi anskuer situationen fra de to referencesystemer. Begge observatører ser lyset bevæge sig fra gulv til loft og tilbage igen. De har begge et almindeligt ur.

Set fra A: Astronauten befinder sig i rumskibet og måler tiden Δτ på sit ur. Denne tid kaldes egentid.

Set fra B: Observatør B står stille på Jorden og måler tiden Δt på sit ur. Denne tid kaldes koordinattid.

A og B er enige om, at 1) højden af lysuret i rumskibet er h, og at 2) lysets fart er c.

Men her slutter enigheden.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 99

Figur 3.26. Lysets bevægelse set fra observatør B’s position på Jorden.

s

s

lyset udsendes

s

h

s

L

L

s = √ h 2 + L2

L = v · ∆t 2

Figur 3.27. Trigonometrien i tankeeksperimentet.

v · ∆t L= 2

L

B

h

lyset modtages

∆t

A (i rumskibet) observerer lyset bevæge sig længden 2h, idet det bevæger sig afstanden h op og h nedad igen.

Set fra B’s position har rumskibet, i det tidsrum det tager lyset at be∆t væge sig op og ned, bevæget sig strækningen 2L, hvor L = v · 2 er den længde rumskibet har flyttet sig idet lyset rammer spejlet i loftet. Lyset har bevæget sig strækningen 2s, hvor s = √ h2 + L2 > h, se figur 3.27.

Vi konkluderer derfor, at 2s > 2h, og at lyset set fra B’s position har bevæget sig længere, end det har set fra A’s position. Men da de to observatører er enige om værdien for lysets fart c, må Δt og Δτ være forskellige!

De to observatører er altså uenige om, hvor lang tid der er gået.

TÆ N K E F TE R 4 3

a) Studér figur 3.23. Redegør for, at togets hastighed på v = 4 c er korrekt i forhold til figuren. b) Hvilket ur viser ifølge observatøren på Jorden den største tidsforskel i tankeeksperimentet med lysuret i eksemplet med rumskibet. c) Hvilket ur viser ifølge astronauten den største tidsforskel?

(Tip: Set fra astronautens position er det Jorden der bevæger sig, og rumskibet der står stille.)

100 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Lad os undersøge, hvordan det kan være, at de to ure ikke viser det samme, og finde ud af, hvor meget de to tider afviger fra hinanden.

Det gælder for de tre afstande s, d, L, at c · Δt = 2s, c · Δτ = 2h og v · Δt = 2L. Pythagoras’ sætning anvendt på figur 3.27 giver: s2 = h2 + L2.

Indsættes udtrykkene for de tre afstande i denne ligning, fås et udtryk for h2 (idet faktoren 2, der går igen i alle tre størrelser, forkortes væk): (c · Δt)2 – (v · Δt)2 = (c · Δτ)2 Ud fra denne ligning skal vi finde Δt udtrykt ved Δτ. Svaret bliver: Δt =

Gammafaktoren er forhol­ det mellem koordinattiden Δt og egentiden Δτ. Et ur, der bevæger sig, går lang­ sommere end et ur, der står stille:ΔΔt = γ(v) · Δτ, hvor γ(v) er gammafaktoren.

∆τ

√

1–

v2 c2

Brøken i denne formel optræder så ofte, at den har sit eget navn, gammafaktoren eller Lorentz-faktoren: γ(v) =

1

√

1–

v2 c2

Så: Δt = γ(v) · Δτ Bemærk, at vi har lavet denne udledning under antagelse af, at det er astronaut A, der bevæger sig. Det gælder, at: Δt > Δτ Der er med andre ord gået længere tid på B’s ur end der er på A’s ur, og set fra B’s position går urene i A derfor langsommere end B’s eget ur.

Dette fænomen kaldes tidsforlængelse. Et ur, der bevæger sig relativt til et andet, vil synes at gå langsommere.

Man kunne tro, at A ville hævde, at B’s ur gik for hurtigt, men sådan er det ikke.

Set fra A’s position er v = 0, og det er B, der bevæger sig (med farten –v). Da det er ligegyldigt, om vi indsætter v eller –v i formlen, får vi den samme gammafaktor, hvad enten det er set fra A’s eller B’s position. Set fra A’s position er det derfor B’s ur, der går for langsomt.

Det virker paradoksalt, men giver mening, da vi tidligere har set, at retlinet bevægelse er relativ, det vil sige, vi kan ikke afgøre, om det er toget eller perronen, der flytter sig.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 101

HAFE LE- KE ATING - E K SPE RIME NTE T

I 1971 fløj fysikeren Joseph Hafele og astronomen Richard Kea­ting to gange Jorden rundt i et fly.

Først mod øst, så mod vest. Bagefter sammenlignede de urene, der var fløjet med hver sit fly, med det ur, der blev tilbage på Jorden.

Uret, der bevæger sig mod øst, bevæger sig hurtigere end et, der står stille i forhold til Jorden, mens et, der bevæger sig mod vest, bevæger sig langsommere.

Urene, der fløj øst og vest, viste efter turen en forskel på lidt mere end 330 ns, hvilket var i god overensstemmelse med relativitetsteoriens forudsigelser.

(Læs mere om eksperimentet i Kvant nr. 4 (2015), www.kvant.dk).

Figur 3.28. Hafele og Keating (og en stewardesse) med et af de cæsium­atom­ure de anvendte.

TÆ N K E F TE R 5

Grafen til højre viser gammafaktoren som funktion af v i brøkdele af lysets hastighed. a) Forklar, at gamma­faktoren altid er større end eller lig 1. b) Kan man leve længere ved at bevæge sig meget hurtigt hele tiden? c) Hvor meget længere lever man – set fra Jorden – fx, hvis man bor, og dermed tilbringer hele sit liv om bord, på et fly?

∆t γ = ∆τ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

v

0

0

102 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,9 1,0

Myonens opdagelse 1930’erne var et fantastisk årti for partikelfysikken og især for den amerikanske fysiker Carl David Anderson, der i 1932 opdagede elektronens forudsagte antipartikel, positronen. I 1936 studerede Carl Anderson og kollegaen Seth Neddermeyer den kosmiske stråling og opdagede en hidtil ukendt elektrisk ladet partikel. Ved at eksperimentere med magnetiske felter (som vi vender tilbage til i kapitel 6) kunne de bestemme, at partiklens ladning er negativ, men at den bliver afbøjet langt mindre end elektroner. Anderson og Neddermeyer antog, at det skyldtes, at myonens masse er cirka 200 gange større end elektronens.

I begyndelsen var det svært at se meningen med denne nye partikel, og fysikeren Isaac Rabi udtalte de berømte ord: »Hvem bestilte den?«. Året efter så man myonens spor i et boblekammer, men mysterierne fortsatte. Myoner viste sig nemlig at være ustabile, og de henfalder til en elektron og to neutrinoer med forskelligt leptontal, som vist i figur 3.29.

Figur 3.29. Diagram over myon­henfald. En myon henfalder til en elektron, en antielektronneutrino og en myonneutrino.

νµ µ–

ν–e

W– e–

Myonerne dannes i den øvre atmosfære i flere kilometers højde (se opgave 18.6, side 335 i Basis­Fysik B). Der burde derfor være en meget lille sandsynlighed for, at de kan nå ned til jordoverfladen. På grund af tidsforlængelsen når en del af dem alligevel ned til havoverfladen, hvor man observerer cirka 1 myon pr. kvadratcentimeter pr. minut.

E K SE MPE L 3.1

Myonens rækkevidde Vi skal beregne en myons rækkevidde.

Middellevetiden for en myon er T = 2,197 · 10 –6 s. En myon, der bevæger sig med farten v = 0,99 · c, burde derfor have en rækkevidde på: s = v · T = 0,99 · 3,00 · 108 m/s · 2,2 · 10 –6 s = 652 m Svar: Myonens rækkevidde er 652 meter.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 103

M YON E R OG PY R AMIDE RN E

Kheopspyramiden i Egypten blev opført omkring 2550 f.v.t. som et gravmonument over farao Kheops (eller Khufu). Man har aldrig fundet hans mumie.

I 800-tallet udforskede arabiske opdagelsesrejsende som de første pyramidens indre og fandt tre kamre. I det øverste, største kammer, som de kaldte Kongekammeret, stod en stor, tom sarkofag. Siden har der været spekuleret i, om pyramiden rummer flere uopdagede kamre.

Fra 2015-2017 undersøgte en gruppe franske og japanske forskere pyramidens indre. De fik tilladelse til at anbringe speciel film, der er følsom over for myoner, forskellige steder i pyramidens indre samt optage pyramiden med varmefølsomme kameraer fra ydersiden.

Myoner bevæger sig lettere gennem luft end gennem pyramidens sten, hvor mange af dem stoppes. Ved at måle, hvor mange myoner der trænger igennem i forskellige retninger, kan man sige noget om, hvor meget luft henholdsvis sten de har passeret på deres vej.

Ideen er ikke ny. I slutningen af 1960’erne undersøgte astrofysikeren Luis Alvarez den Figur 3.31. Skematisk frem­ stilling af Kheops­­pyramidens indre med de kendte kamre og det store nyopdagede. Der fin­ des ingen planer om at trænge ind i det nye kammer.

©HIP Institute / ScanPyramids

Figur 3.32. Forsker i færd med at indstille appara­ turet. Tre forskellige slags detektorer anvendes til at måle myoner. Dels en sølvfilm, hvor myonerne spores ved hjælp af en kemisk reaktion, dels to scintillationsdetektorer, der afgiver en lyspuls, når de rammes af en myon, som derefter registreres.

Kongekammeret

Det Store Galleri Dronningekammeret

104 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

næststørste pyramide på Giza-plateauet, Chefren­pyramiden, ved hjælp af myoner. Resultatet var negativt, men teknikken er forbedret dramatisk siden da. De nye resultater var overraskende, men entydige: I Kheopspyra­ midens indre findes et cirka 30 meter stort hulrum, der formentlig har været spærret af i 4500 år.

Nyt stort kammer

T VILLING E PAR ADOK SE T

Det er ikke kun lysure og atomure, der går langsommere, når man bevæger sig – det gør alle ure. Da man kan tage tid ved at tælle hjerteslag, betyder det så også, at hjertet går langsommere, når kroppen er i bevægelse? Og at man derved ældes mindre?

I et berømt tankeeksperiment lader man den ene af to tvillinger rejse i et rumskib, der bevæger sig tæt på lysets hastighed, mens den anden tvilling bliver hjemme på Jorden. Efter nogle år vender tvillingen tilbage med rumskibet.

Ifølge speciel relativitetsteori vil tvillingen på Jorden se den anden tvillings ur gå langsommere, og tvillingen, der har fløjet i rumskib, vil derfor være yngre, når de mødes igen.

Der opstår nu et paradoks: Tvillingen i rumskibet vil se, at tvillingen på Jorden bevæger sig, og at hans ur går langsommere. I den naive fortolkning vil begge tvillinger derfor hævde, at den anden er yngre.

Løsningen på paradokset kan forklares ved hjælp af almen relativitetsteori, men den følgende forklaring anvender kun speciel relativitetsteori og er baseret på artiklen »How does relativity theory resolve the Twin Paradox?« i tidsskriftet Scientific American og bogen About Time af Paul Davies.

Tvillingerne A og B bygger en raket. De nul­stiller deres ure, og tvilling A tager raketten, der accelererer med 2g op til en fart på 0,6 c, og flyver til en stjerne, der set fra Jorden er 6 lysår væk.

Set fra raketten er afstanden på grund af længdeforkortelsen kun 4,8 lysår. For tvilling A tager turen derfor 8 år, mens den, som tvilling B på Jorden ser det, tager 10 år.

Når tvilling A når frem til stjernen, viser hans ur 8 år, men tvilling B ser først tvilling A nå frem til stjernen, da hans ur viser 16 år –

Figur 3.32. Ifølge relativitetsteorien går tiden lang­ sommere, når man bevæger sig i rummet, end på Jorden.

10 år til turen, og signalet (billedet af tvilling A med ur) fra tvilling A skal derefter rejse 6 lysår med lysets hastighed, hvilket tager yderligere 6 år. Tvilling B observerer følgelig, at 8 tvilling A’s ur går med halv hastighed 16 .

Som den rejsende tvilling A ser det, vil tvilling B’s ur se ud som for 6 år siden (da det tager lyset 6 år at nå frem). Tvilling A ser derfor B’s ur vise 4 år (10 – 6) og observerer, at det er B’s ur, der går med halv hastighed 48 .

På hjemturen går A’s ur 8 år frem på kun 4 år set fra Jorden. Det kan vi indse således: Da B så A nå frem til stjernen, viste A’s ur 8 år, mens B’s eget ur viste 16 år. Da A når tilbage, viser A’s ur 16 år (8 år ud og 8 år tilbage), mens B’s eget viser 20. B ser derfor A’s ur gå dobbelt 8 så hurtigt 4 som hans eget.

Som A ser det, går B’s ur fra 4 til 20, det vil sige B’s ur går 16 år frem, mens A’s eget, som han ser det, går fra 8 til 16. A ser altså, at B’s ur går dobbelt så hurtigt 168 som hans eget.

A og B er derfor uenige om, hvis ur der går langsommere/hurtigere på udrejsen/hjemrejsen. Men de er enige om, at da A når tilbage, viser B’s ur 20 år, mens A’s ur viser 16 år. B er derfor ældet 4 år mere end A.

()

()

( )

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 105

TÆ N K E F TE R 6

a) Hvor lang tid tager accelerationen i begyndelsen af tvilling A’s rejse? b) Bestem gammafaktoren, når v = 0,6 c, og kontrollér udregningerne i ovenstående forklaring.

Lorentz-transformationen I den specielle relativitetsteori gælder Galilei-transformationen som nævnt ikke. For at regne imellem koordinater og tider i to koordinatsystemer må vi i stedet bruge Lorentz-transformationen.

Vi ser på to inertialsystemer S og S’, hvor S’ bevæger sig med farten v langs x-aksen i S, og der gælder: x’ = γ(v) · (x – v · t) y’ = y z’ = z v·x t’ = γ(v) · t – 2 c

(

)

Længdeforkortelse Lad os se på en stang, der er i hvile i S’ og altså bevæger sig med farten v i forhold til S. z

Figur 3.33. En stang i bevæ­ gelse beskrevet i observatø­ rens koordinatsystem S og i inertialsystemet S', hvori stangen er i hvile. I forhold til S bevæger stangen sig med farten v.

S’

y

y’

O

x1

Hvilelængde: Den længde en genstand har i det inertial­system, hvori gen­ standen er i hvile.

z’

S

L

x2

x

v

O

x’1

L0

x’2

x’

En observatør i S’ bestemmer stangens endepunkter til x1’= 0, x2’ = L0 .

Det vil sige, at stangens længde i S’ er x2’ – x1’ = L0, som vi kalder hvile­ længden.

Til tidspunktet t = 0 måler en anden observatør, der befinder sig i S, stangens længde.

106 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Ifølge Lorentz-transformationen er endepunkternes koordinater i S’: x2’ = γ · (x2 – v · 0) = γ · x2 x1’ = γ · (x1 – v · 0) = γ · x1 Stangens længde i S kaldes L, og vi får:

(

)

x2’ x1’ x ’ – x1’ L – = 2 = 0 γ γ γ γ

L = x2 – x1 =

L

Vi ser, at L = γ0 . Det vil sige, at en observatør i et koordinatsystem, S, i hvile vil observere en kortere længde, L, af stangen end stangens længde, L0, målt i det bevægede koordinatsystem S’.

Hastighedstransformation Hvis vi har et objekt, der bevæger sig i forhold til koordinatsystemerne S og S’, hvor S’ bevæger sig med farten v i forhold til S, kan man beregne dets hastighed i forhold til både S og S’.

Vi antager, at objektet i forhold til S bevæger sig afstanden dx i tidsdx rummet dt, og farten er u = dt . I forhold til S’ vil afstanden og tiden være givet ved: dx’ = dx – v · dt v2 1– 2

dt’ =

√

c

dt –

dx · v c2

√

v2 c2

1–

Farten af objektet i forhold til S’ bliver så: dx

–v u–v dx’ dx – v · dt dt = u’ = = = v dx dx · v v·u dt’ 1– 2 · dt – 2 1– 2 c

(

c

dt

)

c

TÆ N K E F TE R 7

a) Vis, at når v er lille i forhold til c, reduceres Lorentz-trans­ formationen til Galilei-transformationen. b) Kontrollér, at hvis u og v er meget mindre end c, genfinder vi Galilei-transformationen for hastigheder: u’ = u – v.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 107

K AN MAN BE VÆG E SIG H U RTIG E RE E N D LYSE T ?

Ifølge Einsteins relativitetsteori kan man ikke overskride lysets hastighed, men kan man bevæge sig hurtigere end lyset?

Partikler, der bevæger sig hurtigere end lyset, kaldes tachyoner. De har den egenskab, at de (set fra nogle observatører) kan bevæge sig tilbage i tiden.

Et lille tankeeksperiment demonstrerer, hvor­for det er uheldigt. Vi lader et rumskib være udstyret med en tachyon-stråle og en tachyon-detektor. På et tidspunkt udsender vi et tachyon-signal, der reflekteres af et spejl og modtages tilbage i fortiden, se figur 3.34.

Hvis vi lader rumskibet selvdestruere ved modtagelsen af signalet i position 1, vil det aldrig nå frem til position 2, og dermed vil det ikke kunne udsende tachyonsignalet, der får det til at eksplodere.

Konklusionen er, at signaler, der bevæger sig hurtigere end lyset, bryder kausalitetsprincippet: Årsag kommer før virkning. Vi ender med et logisk paradoks:

a

▶ Hvis rumskibet ikke modtager en tachyon ved position 1 → Rumskibet når frem til position 2 → Rumskibet udsender en tachyon, der bevæger sig tilbage i tiden → Rumskibet modtager en tachyon i position 1. ▶ Hvis rumskibet modtager en tachyon ved position 1 → Rumskibet når ikke frem til position 2 → Rumskibet modtager ikke en tachyon ved position 1.

En anden besynderlig egenskab ved tachyoner er, at den relativistiske masse er imaginær.

Gammafaktoren i udtrykket for massen, m(v) = γ(v) · m0, er: 1

√

1–

v2 c2

For v > c bliver 1 – vc2 < 0. Og vi kan ikke tage kvadratroden (det bliver et imaginært tal).

2

b

2

2

1

1

Figur 3.34. Et rumskib udsender et tachyon-signal i position 2 (a), der reflekteres af tachyon-spejlet og modtages tilbage i tiden i position 1. Ved modtagelsen eksploderer rumskibet (b).

108 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Relativitetsteori i hverdagen Selv om relativistiske effekter først bliver mærkbare ved hastigheder, der nærmer sig lysets, er der mange fænomener, man møder i hverdagen, som har en relativistisk forklaring.

GPS (Global Positioning System) består af en række satellitter, der bevæger sig i baner 20 000 km over jordoverfladen med en hastighed på 10 000 km/t. Den relativistiske tidsforlængelse betyder, at urene taber 7 mikrosekunder hver dag i forhold til ure på jordoverfladen.

Posi­tioner bestemmes ud fra meget nøjagtige målinger af tidsforskelle mellem gps-modtageren og satellitterne. Der skal indarbejdes korrek­ tioner fra relativitetsteorien, ellers ville fejlen på positionerne vokse med flere km om dagen.

Du har måske undret dig over, at guld har en anden farve end sølv.

Platinmetallerne (platin, iridium, palladium, osmium, rhodium og ruthenium) samt sølv og guld har alle den egenskab, at de er svære at oxidere, det vil sige de er modstandsdygtige over for syrer og ruster heller ikke.

Ud fra deres placering i periodesystemet kan man antage, at de tre lette platinmetaller (ruthenium, rhodium og palladium) har samme kemiske egenskaber som de tre tunge platinmetaller (osmium, iridium og platin). Det samme gælder for sølv og guld. Modstanden mod oxidering skyldes, at elektronerne i den yderste skal i de tunge platin­ metaller samt sølv og guld er tæt bundet til atomet, og det er derfor svært at rive dem løs fra atomet.

Figur 3.35. Ædelmetallerne omfatter de seks platinmetal­ ler samt guld og sølv (angivet med blå ramme).

1 1 1,008 1,008

4,003 2 2 4,003

HH

HeHe

hydrogen hydrogen

helium helium

3 3 6,941 6,941 4 4 9,012 9,012

Li Li

5 5 10,81 10,81 6 6 12,01 12,01 7 7 14,01 14,01 8 8 16,00 16,00 9 9 19,00 19,00 10 1020,18 20,18

BeBe

BB

lithium lithium beryllium beryllium

CC

bor bor

22,99 12 1224,31 24,31 11 1122,99

NN

OO

FF

NeNe

carbon carbon nitrogen nitrogen oxygen oxygen

neonneon

26,98 14 1428,09 28,09 15 1530,97 30,97 16 1632,07 32,07 17 1735,45 35,45 18 1839,95 39,95 13 1326,98

NaNa MgMg

AlAl

natrium natrium magnemagnesiumsium

alumialuminiumnium

Si Si

PP

S S

silicium silicium phosphor phosphor svovlsvovl

Cl Cl

ArAr

chlorchlor

argon argon

19 1939,10 39,10 20 2040,08 40,08 21 2144,96 44,96 22 2247,87 47,87 23 2350,94 50,94 24 2452,00 52,00 25 2554,94 54,94 26 2655,85 55,85 27 2758,93 58,93 28 2858,69 58,69 29 2963,55 63,55 30 3065,38 65,38 31 3169,72 69,72 32 3272,64 72,64 33 3374,92 74,92 34 3478,96 78,96 35 3579,90 79,90 36 3683,80 83,80

KK

CaCa

ScSc

Ti Ti

VV

CrCr MnMn FeFe CoCo

kalium kalium calcium calcium scandium scandium titantitan vanadium vanadium chrom chrom mangan mangan

37 3785,47 85,47 38 3887,62 87,62 39 3988,91 88,91 40 4091,22 91,22 41 4192,91 92,91 42 4295,96 95,96 43 43

RbRb

Sr Sr

YY

jern jern

cobalt cobalt

NiNi CuCu ZnZn GaGa GeGe AsAs

SeSe

BrBr

KrKr

nikkel nikkel

selenselen

brom brom

krypton krypton

kobber kobber

zink zink

gallium gallium germagermaniumnium

arsen arsen

44 44101,1 101,1 45 45102,9 102,9 46 46106,4 106,4 47 47107,9 107,9 48 48112,4 112,4 49 49114,8 114,8 50 50118,7 118,7 51 51121,8 121,8 52 52127,6 127,6 53 53126,9 126,9 54 54131,3 131,3

ZrZr NbNb Mo Mo Tc* Tc* RuRu RhRh

rubidium rubidiumstrontium strontium yttrium yttrium zirkonium zirkonium niobium niobium molybmolyb- technetechnedændæn tiumtium

rutheruthe- rhodium rhodium niumnium

PdPd AgAg CdCd palladium palladium

sølv sølv

In In

cadmium cadmium indium indium

SnSn

SbSb

TeTe

I I

XeXe

tin tin

antimon antimon

tellurtellur

iod iod

xenon xenon

55 55132,9 132,9 56 56137,3 137,3 57 57 138,9 138,972 72 178,5 178,5 73 73180,9 180,9 74 74183,9 183,9 75 75186,2 186,2 76 76190,2 190,2 77 77192,2 192,2 78 78195,1 195,1 79 79197,0 197,0 80 80200,6 200,6 81 81204,4 204,4 82 82207,2 207,2 83 83209,0 209,0 84 84

CsCs BaBa LaLa

HfHf TaTa

WW

ReRe OsOs

Ir Ir

cæsium cæsium barium barium lanthan lanthan hafnium hafnium tantal tantal wolfram wolfram rhenium rhenium osmium osmium iridium iridium

87 87

88 88

89 89

104104

105105

106106

107107

108108

109109

Fr* Fr* Ra* Ra* Ac* Ac* Rf* Rf* Db* Db* Sg* Sg* Bh* Bh* Hs* Hs* Mt* Mt* francium francium radium radium actinium actinium

rutherruther- dubnium dubniumseaborgium seaborgiumbohrium bohrium hassium hassiummeitnerium meitnerium fordium fordium

58 58 140,1 140,1 59 59140,9 140,9 60 60144,2 144,2 61 61 lanthanider lanthanider

90 90 232,0 232,0 91 91231,0 231,0 92 92238,0 238,0 93 93

platin platin

110110

AuAu HgHg guldguld

111111

Tl Tl

kviksølv kviksølv thallium thallium

112112

113113

85 85

86 86

PbPb Bi*Bi* Po* Po* At* At* Rn* Rn* bly bly

114114

bismuth bismuth polonium polonium astatastat

115115

116116

117117

radon radon

118118

Nh* Fl*Fl* Mc* Mc* Lv* Lv* Ts* Ts* Og* Og* Ds* Ds* Rg* Rg* Cn* Cn* Nh* nihonium flerovium fleroviummoscovium moscovium livermorium livermoriumtennessin tennessinoganesson oganesson darmdarm- roentroent- copernicium coperniciumnihonium stadtium stadtium genium genium

62 62150,4 150,4 63 63152,0 152,0 64 64157,3 157,3 65 65158,9 158,9 66 66162,5 162,5 67 67164,9 164,9 68 68167,3 167,3 69 69168,9 168,9 70 70173,1 173,1 71 71175,0 175,0

CeCe PrPr NdNd Pm* Pm* SmSm EuEu cerium cerium praseopraseo- neodym neodym promeprome- samarium samariumeuropium europium dymdym thium thium

actinider actinider

PtPt

94 94

95 95

GdGd TbTb DyDy HoHo ErEr TmTm YbYb LuLu K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 109

gadolinium gadoliniumterbium terbium dysprodyspro- holmium holmium erbium erbium thulium thulium ytterbium ytterbium lutetium lutetium siumsium

96 96

97 97

98 98

99 99

100100

101101

102102

103103

Th* Th* Pa* Pa* U*U* Np* Np* Pu* Pu* Am* Am* Cm* Cm* Bk* Bk* Cf* Cf* Es* Es* Fm* Fm* Md* Md* No* No* Lr*Lr*

Figur 3.36. Palladium, guld, sølv og platin. Gulds farve adskiller sig fra de øvrige ædelmetallers.

De seks platinmetaller og sølv har alle en grålig farve. Rent guld er imidlertid mere gulligt.

Hvorfor nu det?

Et stofs farve afhænger af, hvilke bølgelængder der absorberes og reflekteres af materialet som beskrevet i BasisFysik B (side 344). Farven har altså en fysisk og ikke en kemisk forklaring.

Den hvidlige farve for sølv og platin skyldes, at deres absorptionskurve har maksimum ved ultraviolette bølgelængder. Det betyder, at de bedst absorberer lys med ultraviolette bølgelængder og reflekterer synligt lys ved alle bølgelængder lige godt.

For at forstå, hvorfor det er anderledes for guld, må vi se på energiniveauer for elektronerne i guld.

Gulds elektronkonfiguration er den samme som ædelgassen Xenons (atomnummer 54) for de første 4 skaller. Dertil kommer yderligere 25 elektroner i følgende elektronbaner, såkaldte orbitaler: 4f 14 5d 10 6s 1.

På grund af elektronernes høje hastigheder kommer der relativistiske effekter, og elektronerne i guld ’oplever’ en kortere vej rundt om kernen – ligesom myonerne i eksempel 3.1 side 103 »ser« en kortere vej ned til jordoverfladen, end der faktisk er. Banen ser ud til at være tættere på kernen, og elektronen har derfor mindre energi. Det betyder, at energiforskellen mellem energiniveauerne bliver mindre målt i elektronernes referencesystem.

Guld har én elektron i yderste skal, i 6s-orbitalen. Det lys, der absorberes af guld, er hovedsagelig mellem 5d-orbitalen og 6s-orbitalen.

På grund af de relativistiske effekter bliver energiforskellen mellem de to energiniveauer cirka 2,3 eV i stedet for de cirka 4,0 eV, man får hvis man regner ikke-relativistisk. Det betyder, at de bølgelængder, der absorberes, er i det blå område i stedet for det ultraviolette, som er tilfældet for de andre ædelmetaller.

Figur 3.37. Energiforskellen mellem 5d- og 6s-orbitalen i guld er cirka 2,3 eV. Det er medvirkende til at give guldet dets farve.

6s-orbital lysstråle

E ≈ 2,3 eV

5d-orbital

ELEKTRON I EXCITERET TILSTAND E3 absorption af lys

E2 udsendelse af

iniveau

110 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

energi afgives

Når guld absorberer mere blåt lys, bliver det reflekterede lys mere gulligt, idet blå og gul er komplementærfarver. Det er dette, der giver guld dets karakteristiske farve.

TÆ N K E F TE R 8

a) Hvilken bølgelængde for lys svarer en energiforskel på 4,0 eV henholdsvis 2,3 eV til? b) Hvilken farve lys svarer de to bølgelængder til?

Relativistisk dynamik Vi skal se, hvordan begrebet masse påvirkes af relativitetsteorien.

I newtonsk mekanik er bevægelsesmængden givet ved: →

p =m·

→

dx dt

→

hvor m er partiklens masse, og dx /dt er hastigheden (se eventuelt Basis­Fysik B side 169).

Ifølge relativitetsteorien er tiden afhængig af observatøren, og vi kan derfor også differentiere med hensyn til egentid.

Vi benytter, at: dt = dτ · γ

⇔

dt =γ dτ

og anvender kædereglen fra differentialregning og får: →

p=m·

Hvilemasse er den masse, en partikel har i det koordinat­ system, hvor den er i hvile.

Relativistisk masse er den hastighedsafhængige masse: m(v) = γ(v) · m 0

→

→

dx dx dt dx → =m· · =m· · γ(v) = γ(v) · m · v dτ dt dτ dt

Vi ser, at i et inertialsystem, hvor partiklen bevæger sig med farten v, er partiklens bevægelsesmængde større end i det inertialsystem, hvor den ligger stille.

Ofte beskriver man denne sammenhæng ved at skrive massen af partiklen som: m(v) = γ(v) · m0, hvor m0 er partiklens hvilemasse, mens m(v) er partiklens relativistiske masse.

Einsteins formel, E = m · c2, ændres tilsvarende: E = m · c2 = γ(v) · m0 · c2

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 111

Energi-bevægelsesmængde-relationen Vi vil nu kombinere de to relativistiske formler p = γ(v) · m0 · v og E = γ(v) · m0 · c2 til én ligning.

Vi ser først på den højre ligning. For at komme af med kvadrat­ roden i gammafaktoren kvadrerer vi ligningen E = γ(v) · m0 · c2 og får: E2 =

1 v 1– 2 c

2

· m 02 · c 4 =

c4 v 1– 2 c

2

· m 02 =

c2 · (c2 – v2 + v2) v2 1– 2 c

· m 02

Ved det sidste lighedstegn har vi trukket v2 fra og lagt det til igen. Desuden har vi sat c2 uden for parentes i tælleren. Nu deler vi brøken op i to og sætter c2 ned foran brøkstregen i den første brøk:

(

) ( )

v2 c2 v2 v2 E 2 = c2 · c2 · · m 02 = c2 · c2 + · m 02 + 2 2 v v v2 1– 2 1– 2 1– 2 c c c 1–

= m 02 · c 4 +

m02 · v2 v2 1– 2 c

· c2

= m 02 · c 4 + p 2 · c2 Bemærk, at vi til sidst udnyttede, at p = γ(v) · m0 · v.

Vi finder til slut sammenhængen mellem E og p: E2 = m 02 · c 4 + p 2 · c2

Energi-bevægelsesmængde-relationen

I tilfælde, hvor bevægelsesmængden p = 0, reduceres udtrykket til den velkendte formel E = m0 · c2.

Hvis p > 0, bliver energien derimod større, idet vi kan betragte p · c som en energi.

TÆ N K E F TE R 9

Kontrollér, at udtrykket p · c har den samme enhed som energi.

112 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

Fotonens bevægelsesmængde Hvis massen af en partikel er nul, finder vi at: E = p · c eller p =

E c

Det vil sige, at fotoner har bevægelsesmængde, selv om deres masse er nul.

E K SE MPE L 3. 2

Fotonens bevægelsesmængde En foton er et masseløst lyskvant med energi E = h · f. Ifølge oven­ stående har lys også bevægelsesmængde, som kan beregnes ud fra formlen: E h·f p= = c c

Benyttes bølgeligningen, kan vi også skrive: p=

h λ

Beregn bevægelsesmængden af en foton med bølgelængden 650 nm.

Løsning h 6,63 · 10–34 J · s p= = = 1,02 · 10 –27 kg · m/s λ 650 · 10–9 m

Svar: Fotonens bevægelsesmængde er 1,02 · 10–27 kg · m/s.

TÆ N K E F TE R 10

a) Forklar, at fotoner kan udøve tryk. b) Hvordan kan man udnytte dette til at accelerere rumfartøjer?

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 113

3 Sammenfatning ▶ Lysets fart i vakuum, c = 299 792 458 m/s, er konstant for alle observatører. ▶ Relativitetsprincippet: Udfaldet af et fysisk eksperiment er uafhængigt af hastigheden (så længe denne er konstant) af systemet, hvori eksperimentet udføres. ▶ Inertiens lov: En genstand, der ikke er påvirket af kræfter, vil enten ligge stille eller bevæge sig retlinet med konstant fart. ▶ Inertialsystem: Et koordinatsystem, hvor inertiens lov gælder. ▶ Egentid: Den tid, Δτ, der er forløbet på et ur i det inertialsystem, hvori genstanden er i hvile. ▶ Koordinattid: Den tid, Δt, der er forløbet set fra det inertialsystem, hvori observatøren befinder sig. ▶ Tidsforlængelsen er den tid, der går for en observatør i bevægelse, set fra en observatør i hvile: Δt =

∆τ

√

1–

v2 c2

= γ(v) · Δτ

Gammafaktoren: γ(v) =

1

√

1–

v2 c2

▶ Hvilelængde L0: Den længde, en genstand har i det inertialsystem, hvori genstanden er i hvile. ▶ Længdeforkortelse er den længde, et objekt i bevægelse ser ud til at have fra en observatør i hvile: L L= 0 γ ▶ Hvilemasse: Den masse, en partikel har i det inertialsystem, hvori den er i hvile. ▶ Relativistisk masse afhænger af hastigheden: m(v) = γ(v) · m0 ▶ Energi-bevægelsesmængde-relationen: E2 = m02 · c4 + p2 · c2 ▶ Fotonens bevægelsesmængde er givet ved: h p= λ

114 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

▶ For objekter, der bevæger sig med små hastigheder, kan vi benytte Galilei-transformationen til at omregne positioner og hastigheder mellem forskellige koordinatsystemer.

For koordinaterne i to inertialsystemer S og S’, hvor S’ bevæger sig med farten v langs x-aksen i S, gælder: x’ = x – v · t y’ = y z’ = z t’ = t For fart u og fart u’ gælder: u = u’ + v ⇔ u’ = u – v hvor v er farten af S’ relativt til S. ▶ For objekter, der bevæger sig med hastigheder tæt ved lysets hastighed, benyttes Lorentz-transformationen.

For koordinaterne i de to inertialsystemer S og S’ gælder: x’ = γ(v) · (x – v · t) y’ = y z’ = z v·x t’ = γ(v) · t – 2 c

(

)

For hastighederne gælder: dx’ dx – v · dt u’ = = = dx · v dt’ dt –

c2

dx –v u–v dt = v·u v dx 1– 2 1– 2 · c c dt

(

)

hvor v er farten af S’ relativt til S, u er farten i S, og u’ er farten i S’.

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 115

OPG AVE R

Relativ bevægelse 3.1 Beregn Jordens middelafstand til Solen i lysminutter, hvor 1 lysminut er den afstand, lyset tilbagelægger på 1 minut.

3.2 I 1965 opdagede man, at Universet er fyldt

med mikrobølgestråling, den såkaldte mikrobølgebaggrund. Strålingens bølgelængde er på 1,063 mm. a) Benyt Wiens lov (se BasisFysik B, side 421) til at eftervise, at strålingen har en sortlegemetemperatur på 2,725 K. b) Forklar, at hvis man på Jorden måler denne temperatur, så varierer den med årstiden.

Solen bevæger sig i forhold til baggrunden imod et punkt i stjernebilledet Løven med en hastighed på 370 km/s. c) Beregn dopplerforskydningen (det vil sige ændringen i bølgelængde) af lys med en bølgelængde på 1,063 mm.

Speciel relativitetsteori 3.3 a) Beregn gammafaktoren for følgende værdier af v: 1) v = 0, 2) et rumskib der bevæger sig med hastig­heden v = 10 km/s, 3) en elektron med v = 0,5 c, 4) lyshastigheden c, 5) en myon med v = 0,99 c. b) Hvad sker der med gammafaktoren, når v → c? c) Bestem den fart, der svarer til en gammafaktor på 100.

116 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

3.4 Udfyld detaljerne i udledningen af gam-

mafaktoren på side 101.

3.5 a) Beregn levetiden for en myon med has-

tighed v = 0,99 · c set fra jordsystemet.

Benyt oplysningerne på side 103. b) Hvor langt når myonen på den tid? (Tip: Benyt formlen for tidsforlængelse.)

3.6 Kontrollér i figur 3.29, at den elektriske

ladning og leptontallet er bevarede størrelser i henfaldet.

3.7 En elektrons hastighed omkring kernen er

givet ved formlen: Z · e2 Z c v = ≈ · 2 · ε0 · n · h n 137

hvor Z er atomnummeret, e er elementarladningen, h er Plancks konstant, ε0 er vakuumpermittiviteten (ε0 = 8,85 · 10 –12 F/m) og n er skalnummeret (n = 1, 2, 3, …). a) Beregn hastigheden af en elektron i guld, der befinder sig i 1s- henholdsvis 6s-orbitalen (n = 1 og n = 6). Kommentér på resultatet. b) Kontrollér ved indsættelse af naturkonstanterne, at der gælder: e2 1

≈ 2 · ε0 · h · c 137 c) Hvad ville hastigheden af 1s-elektronen blive i det hypotetiske grundstof nr. 137 – kaldet ’feynmanium’? Hvorfor ville det ikke være stabilt?

3.8 En GPS-satellit bevæger sig med hastig-

heden v = 10 000 km/t i forhold til jordoverfladen. a) Beregn gammafaktoren. (Tip: Du skal regne med mange betydende cifre.) b) Beregn, hvor meget tid et ur på GPSsatellitten i forhold til Jorden taber pr. dag. c) Hvor langt bevæger lyset sig i det tidsrum, du fandt i b)?

3.9 I et medium afhænger lysets hastighed af

brydningsindekset, n, og er givet ved: c v lys = n For vand er brydningsindekset n = 1,33.

Meget få ting bevæger sig hurtigere end dette, men elektroner, der udsendes fra

kerneprocesser, kan have så stor kinetisk energi, at velektron > v lys. a) Bestem lysets fart i vand. b) Bestem den kinetiske energi, en elektron må have for at opnå den fart, du beregnede i a).

Når elektrisk ladede partikler bevæger sig gennem et materiale med en fart, der overskrider lysets i materialet, udsendes en særlig elektromagnetisk stråling, en såkaldt Čerenkov-stråling. Strålingen skyldes, at elektronerne forstyrrer vandmolekylerne. Efter elektronens passage vender vand­molekylerne tilbage til deres grundtilstand og udsender elektromagnetisk stråling.

Man kan vise, at vinklen, θC , mellem elektronens bevægelsesretning og fronten for de bølger af stråling, der udsendes, er givet ved: c cos(θC) = n·v hvor c er lysets fart i vakuum, v er elektronens fart, og n er brydningsindekset.

•

Figur 3.38. Fotografi taget ned gennem køle­ vandet på en kørende reaktor. Det blålige skær stammer fra hurtige elektroner, der bevæger sig fra reaktorkernen op gennem vandet og udsender Čerenkov-stråling.

θC

Figur 3.39. En elektron bevæger sig mod højre og udsender kuglebølger (illustreret ved cirkler) af Čerenkov-stråling. Bølgerne danner en bølgefront, der bevæger sig mod højre fra elektronens bane med en vinkel på θ C . (Om bølgefronter: se kapitel 19.4 i BasisFysik B).

K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI • 117

En elektron bevæger sig gennem vand med farten v = 0,90 · c. c) Bestem vinklen θC. d) Prøv om du kan udlede formlen c cos(θC) = n·v (Tip: Hvis vi ser på elektronen i figur 3.39 og lader tidsrummet t forløbe, hvor langt når elektronen så? Hvor langt når strålingen?)

Relativistisk dynamik 3.10 Beregn bevægelsesmængden af en foton med bølgelængden 532 nm.

3.11 Den japanske rumsonde Ikaros benytter

et solsejl. I 2010 rapporterede projektet, at man havde målt en kraft på 1,12 mN på sejlet.

Figur 3.40. Modeltegning af Ikaros’ solsejl.

a) Ikaros har en masse på 315 kg. Hvilken acceleration får den? b) Sejlets størrelse er 14 m × 14 m. Hvor stort er trykket på sejlet? c) Hvis vi antager, at sejlet reflekterer 100 %, hvor mange af fotonerne i opgave 3.10 rammer så sejlet pr. sekund?

(Tip: Hvor stor er Solens effekt?)

118 • K APITEL 3 REL ATIVITE T STEORI

3.12 a) Vis, at formlen nederst side 107 kan om-

skrives til:

u =

u’ + v 1+

v · u’ c2

Benyt fx dit CAS-værktøj. b) Vi ser på et rumskib, der bevæger sig med hastigheden v = 0,4 · c i forhold til S. Rumskibet udsender lys, så u’ = c.

Vis, at u = c, altså at lyshastigheden er den samme i både det koordinatsytem, der følger med rumskibet, og det, der står stille i forhold til rumskibet. c) Vis, at det gælder generelt – uanset hastigheden af rumskibet – at hvis u’ = c, så fås u = c.

4

TYNGDEFELTER Felter spiller en stor rolle i fysik og den teoretiske beskrivelse af fysiske fænomener. I dagligdagen er man måske ikke opmærksom på deres eksistens, men de optræder i medierne, når man fx taler om elektromagnetiske felter fra højspændingsledninger. I dette kapitel skal vi introducere feltbegrebet, forklare hvorfor det er vigtigt samt se nærmere på bevægelser i tyngdefeltet.

Geoiden er en matematisk model af jordoverfladen, hvor der er taget hensyn til tyngdefeltets variation. På kortet ses, at der er et ’hul’ lige syd for Indien. Det be­ tyder, at tyngdefeltet er svagere på dette sted, der ’mangler’ noget masse neden­ under. Hullets dybde er 106 m svarende til, at hvis der var vand på hele jordover­ fladen, ville vandstanden syd for Indien være 106 m lavere end gennemsnittet.

1 Hvad er et felt?

Et felt er en størrelse, der kan variere kontinuert i forhold til tid og rum.

Der findes mange slags felter, der forklarer hverdagsfænomener: Tyn­g­ de­feltet på Jorden forklarer, hvorfor bolden ruller ned ad bakken, mag­ netfelter forklarer, hvorfor legetøjstog kun kan sættes sammen i den ene retning. Vi er også omgivet af elektromagnetiske felter fra elektro­ nik, telemaster og elektriske ledninger. Endelig er Universet ifølge de nyeste resultater fyldt med et særligt felt, Higgs-feltet, der giver masse til de kendte partikler.

En simpel definition af et felt lyder: Et felt er en størrelse, der kan variere kontinuert i forhold til tid og rum.

Det minder ret meget om det, vi i matematik kalder en kontinuert funktion.

Skalarfelter En skalar er en størrelse der også kan have et fortegn.

Elektrisk ladning kan have et fortegn, mens masse kun kan være positiv eller nul.

Figur 4.1. Et højdekort, her over København og Amager.

120 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

En skalar kender du fra matematik. Skalar er blot et andet navn for et tal. I fysik vil der også være en enhed knyttet til en skalar eller skalar størrelse. Eksempler på skalarer er masse, fart, lufttryk, temperatur.

Et eksempel med en skalar størrelse er et højdekort, se figur 4.1.

Højden over jordoverfladen er en skalar. Værdien svarer til højden, og fortegnet afgør, om det er under (–) eller over havets gennemsnit­ lige overflade (+). Et højdekort angiver værdien af højden i forhold til havoverfladen i alle punkter på kortet, hvor der er land. For et givent punkt kaldes denne højde punktets kote. Disse værdier er uafhængige af en eventuel placering af et koordinatsystem.

Vi kan gengive samme kort med højder kun med konturlinjer. En kon­ turlinje er en kurve, langs hvilken højden er den samme. Et kort med sådanne kurver kaldes et konturplot, se figur 4.2.

4.000 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500

Figur 4.2. Et konturplot. Punk­ ter med samme højde over havoverfladen forbindes med kurver. Jo tættere linjerne lig­ ger, desto stejlere er bakken.

0 0 3.50 3.00 2.500 0 2.00 1.500 000 1 500

0

Temperatur og lufttryk er også skalarer. Figur 4.3 viser et temperatur­ kort på et givent tidspunkt. Hvis vi afbilder temperaturen på et an­ det tidspunkt, vil kortet se anderledes ud. Et temperaturfelt er altså en værdi (temperaturen), der varierer kontinuert fra sted til sted og i tid. Figur 4.4 viser et konturplot over lufttryk. Kurverne, der kaldes isobarer, forbinder steder med samme lufttryk.

Figur 4.3. Temperaturkort over USA. Kortet viser tempera­ turfeltet, det vil sige temperaturen alle steder. Temperatur­ skalaen over kortet er angivet i fahrenheit.

Figur 4.4. Isobarer på kort over USA. Isobarerne forbinder steder med samme lufttryk.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 121

TÆ N K E F TE R 1

a) Hvor på kortet i figur 4.3 ændrer temperaturen sig mest, når man bevæger sig fra sted til sted på landjorden? b) Hvor på kortet i figur 4.4 er der højtryk og lavtryk? c) Kan du komme på andre skalarer, der kan indtegnes som et konturplot?

G R ADIE NTE N AF E T SK AL ARFE LT E R E T VE K TORFE LT

Gradienten har både en størrelse og en ret­ ning, så gradienten er en vektor.

Gradienten af en funktion af to variable er en vektor:

Ud fra eksemplerne på de foregående sider konkluderer vi, at det er interessant at vide, hvor et givent felt har den største eller mindste værdi, og hvor feltet ændrer sig hurtigst. Ændringen i værdien af feltet svarer i figur 4.5 til det sted, hvor bakken er stejlest og høj­ dekurverne ligger tættest. Det kender vi fra differentialregning som tangenthældningen eller den afledede funktion f ’(x) for en funk­ tion f(x) af én variabel, eller gradienten ∇f(x,y) for en funktion af to variable, f(x,y).

Symbolet ∇ betyder altså gradient. Bemærk, at det er en generalisering af differentialkvo­ tienten, når vi går fra en funktion af én varia­ bel til en funktion af flere variable.

Figur 4.5. Højdekort og konturplot. Den røde bold befinder sig i punktet (x0 ,y0) og bevæger sig i retningen markeret med den grønne pil. Gradienten (den blå pil i punktet (x0 ,y0) peger i den retning, hvor højden vokser hurtigst, så den peger mod­ sat den grønne pil.

122 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

( ) ∂f(x,y)

∇f(x,y) =

∂x ∂f(x,y) ∂y

hvor komponenterne er de partielle afledede funktioner. Da gradienten er defineret i alle punkter, definerer gradienten derfor et felt, hvor der i alle punkter er defineret en vektor: ∇f(x,y).

Ovenstående leder os til at konkludere, at: Gradienten af et skalarfelt er et vektorfelt. z

y y

x x

Vektorfelter En vektor adskiller sig fra en skalar ved både at have en størrelse og en retning. Det har vi allerede stiftet bekendtskab med i kapitel 1 (og behandles også i appendiks A).

Eksempler på størrelser, der er repræsenteret ved vektorer, er: kraft, hastighed og acceleration. Omkring år 1900 blev vektorer almindelig anvendt i fysik, og begrebet vektorfelt blev indført. Et vektorfelt er en angivelse af en vektorstørrelse i alle punkter i rummet.

Lad os fx se på et vindkort. Vind har både en hastighed og en ret­ ning, så vind er en vektorstørrelse, og vindkortet viser vindens retning og størrelse alle steder på et landkort.

Figur 4.6. Vindkort fra dmi.dk. Kortet viser vind­ feltet, det vil sige vindhas­ tigheden alle steder. Pilene har sam­me længde og viser kun retningen. Vind­­­has­tig­ heden er i stedet markeret med forskellig farve.

TÆ N K E F TE R 2

Gå ind på DMI’s vejrkort: www.dmi.dk/vejrkort/ Se på kort over forskellige meteorologiske størrelser. Hvilke størrelser er skalarer? Hvilke størrelser er vektorer?

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 123

Hvorfor har vi brug for felter?

Ovenstående er eksempler på anvendelser af skalarfelter og vektorfel­ ter til illustration af værdierne af en størrelse. Det er et nyttigt værktøj, hvis man skal lave en vejrudsigt eller skal deltage i et orienteringsløb, men i fysik har vi også brug for felter af andre årsager.

Newton forklarede, at tyngdekraften mellem to objekter med mas­ ser m og M placeret i afstanden r mellem dem er givet ved den univer­ selle tyngdelov: F=G·

Fjernvirkning: En kraft der virker mellem to legemer uden nogen mekanisk kon­ takt.

Figur 4.7. Hvirvler i rummet, illustration fra Descartes’ bog Principia Philosophiae (1644).

124 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

M·m r2

G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2, og kraften er i retningen langs forbindelses­ linjen mellem de to objekter.

På Newtons tid var der modstand mod hans formel. For hvordan kan to masser påvirke hinanden, uden at de rører hinanden? Hvor­dan kan Solen trække i Jorden på en afstand af 150 millioner km?

Kontaktkræfter giver mening, idet en bold, der rammer jorden, mærker kraften fra Jorden på sig. Men denne ’fjernvirkning’ (engelsk: action at a distance) var mystisk. På hvilken måde ’mærker’ bolden tyngdekraften fra Jorden, idet den falder nedad?

Som kommentar til dette bemærkede Newton lidt kryptisk i anden­ udgaven af Principia Mathe­­matica (1713): Hypotheses non fingo (»Jeg udtænker ikke hypoteser«). Eller med andre ord: Det må I selv finde ud af.

Den franske matematiker René Descartes forsøgte at forklare tyng­ dekraften ved at postulere, at rummet var fyldt med hvirvler, der trans­ mitterede den nødvendige kraft fra ét objekt til et andet, se figur 4.7.

Newton afviste i Principia Mathematica Descartes’ teori med hen­ visning til kometers baner, som han mente var for komplicerede til at kunne forklares med hvirvler i rummet.

Hvis man i videnskab har to konkurrerende hypoteser, der forklarer det samme fænomen, bør man vælge den simpleste, den med færrest antagelser. Dette princip kaldes Ockhams ragekniv. Her er det klart, at Newtons model er bedre end Descartes’, der introducerer en unødven­ dig hjælpehypotese (hvirvlerne) og ikke forklarer mere end Newtons teori.

Magnetfelter I naturen observeres andre eksempler på fjernvirkning. I antikken var grækerne klar over, at en bestemt type sten tiltrækker jern, uden at stenen og jernet er i berøring.

Hvis man tager en stangmagnet og lægger den på en overflade med jernspåner, fordeler jernspånerne sig efter et sindrigt mønster, der ser ud til at udspringe fra magnetens ender, se figur 4.8.

Figur 4.8. Jernspåner omkring en stangmagnet.

Fysikeren Michael Faraday (1791-1867) var den første, der (skriftligt) benyttede ordet »felt«, hvilket skete i hans dagbog i 1845. Men allerede i 1830’erne studerede han magnetfelter og brugte ord som »magnetiske kurver« og »magnetiske kraftlinjer« om eksperimenter som det, der er gengivet i figur 4.8. Han definerede en feltlinje som en linje, langs hvil­ ken en lille magnet vil indstille sig, hvis man bringer den tæt på stang­ magneten (som i figur 4.9).

Et kraftfelt er et vektorfelt, der beskriver fjernvirkningen på en partikel i rummet.

S

N

Figur 4.9. Magnetfeltlinjer for en stangmagnet. Nålen i det lille kompas indstiller sig, så den er langs med feltlinjerne.

Den elektriske kraft er også en fjernvirkning, og alle naturkræfter kan beskrives med felter. I de følgende kapitler skal vi se nærmere på elek­ triske felter og magnetfelter.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 125

2 Tyngdefelter Newtons universelle tyngdekraft skrevet med vektorer er: → →

Fg(r ) = –G ·

→

M·m r · → r2 |r |

→

→

z

Q

y

x

hvor r er en vektor fra M i retning af m, og kraften Fg er kraften fra M på m. Minusset skyldes, at kraften fra M på m er rettet mod­ → → → sat r . Størrelsen r / |r | er en enhedsvektor i retning fra M til m.

Som beskrevet ovenfor er kraften et udtryk for et felt. Enhver masse giver anledning til et tyngdefelt omkring sig, og Jorden be­ væger sig derfor i feltet fra Solen, Månen og de andre planeter. → → Vi indfører tyngdefeltet g (r ), der defineres som: Tyngdefeltet i et punkt, P, i rummet er lig den tyngdekraft, en lille masse, m, der placeres i punktet, oplever, divideret med massen. → →

Figur 4.10. Massetiltrækning om­ kring massen M anbragt i punktet Q. Pilene illustrerer retning og størrelse af tiltrækningen.

Q

Figur 4.11. Forenkling af figur 4.10: Kun pilene i det vandrette plan er tegnet.

Q

Figur 4.12. Yderligere forenkling af figur 4.11: Kun 8 linjer er tegnet.

126 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Newtons gravitationslov

g (r ) =

→ →

F g(r )

m

Definition af tyngdefeltet

Tyngdefeltet måles i enheden N/kg.

Tyngdefeltet er et vektorfelt, idet tyngdekraften både har en → → retning og en størrelse. r = QP er en vektor fra punktet Q, hvor → → massen M er anbragt, til det punkt, P, vi kigger på. Vektoren g (r ) → → angiver retningen af tyngdefeltet, og |g (r )| er størrelsen af feltet.

Ligesom magnetfeltlinjerne i figur 4.9 har tyngdefeltlinjerne også en retning, som vi symboliserer med en lille pil, se figur 4.10.

For en punktmasse med masse M, anbragt i punktet Q, ved vi, at en lille masse, der anbringes i nærheden, vil tiltrækkes mod Q. Jo tættere den lille masse er på Q, desto større tiltrækning. Tredi­ mensionale tegninger kan hurtigt blive uoverskuelige. Derfor af­ bildes feltet ofte kun i ét plan som vist på figur 4.11 og 4.12.

Hvis man har flere masser, kan man lade antallet af linjer, der udspringer fra hver af masserne, være proportional med masser­ nes størrelse. Tætheden af linjer bliver proportional med tyngde­ feltets størrelse. Når man skal tegne linjerne, skal de ende på den masse, de repræsenterer, som vist på figur 4.12. Idet masserne er tiltrækkende, vil enhver linje med pil pege i samme retning som massetiltrækningen. → → Tyngdefeltet g (r ) indeholder altså information om afstanden til massen og massens størrelse. Matematisk kan dette udtrykkes ved styrken og formen af tyngdefeltet. Før vi anbringer en anden masse i tyngdefeltet, er der ingen tyngdekraft. Hvis der er flere masser, giver de hver især anledning til et tyngdefelt, og man fin­ der kraften på en lille masse ved at lægge felterne sammen efter

Feltlinjer er en mental kon­ struktion til visualisering af feltet.

de samme regler for vektoraddition, som når man lægger kræfter og hastigheder sammen.

Bemærk, at feltlinjer kun er en mental konstruktion til visuali­sering af feltet. Tyngdefeltet kan ikke ses, kun måles, idet der virker en kraft (tyng­ de­k raften) på en genstand med masse.

E K SE MPE L 4 .1

P•

→

r

Q

Tyngdefeltet omkring en punktmasse Tyngdefeltet i et punkt P omkring en punktmasse M anbragt i punktet Q er givet ved: → → → Fg (r ) M r → → g (r ) = = –G · 2 · → r |r | m →

→

hvor r = QP er en vektor mellem punktmassen i Q og det sted, P, vi vil finde tyngdefeltet i. Minusset skyldes, at kraften peger ind mod Q og → derfor er modsatrettet r .

Vi kan se, at tyngdefeltet er uafhængigt af retningen og kun afhæn­ ger af afstanden r. Størrelsen af tyngdefeltet i afstanden r er ifølge defi­ → → nitionen af g (r ) på foregående side: → →

g (r) = |g (r )| = G ·

M r2

Svar: Tyngdefeltets størrelse omkring en punktmasse i afstanden r er: g (r) = G ·

M r2

Bemærk: Små masser, som fx den i eksempel 4.1, kaldes test-­ eller prøvemasser. Grunden til, at det skal være en lille masse er, at massen m også selv frembringer et tyngdefelt, hvormed den påvirker den oprindelige masse. Det vil vi gerne undgå og vælger derfor testmassen m så lille, at ændringen er ubetydelig.

TÆ N K E F TE R 3

a) Hvordan ser kurverne for konstant tyngdefeltstyrke ud for en punktmasse? (Tip: Kraften afhænger kun af afstanden.) b) Lav en tegning af en punktmasse med tyngdefeltlinjer og kurver for konstant feltstyrke.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 127

Tyngdefeltet nær Jorden Man kan vise, at tyngdefeltet uden for en kugleformet masse er det samme, som hvis al massen var samlet i centrum af kuglen (se afsnittet om Gauss’ lov i Appendiks B).

Vi kan derfor tegne tyngdefeltlinjerne for en kugleformet masse præcis som for en punktmasse – de skal blot ende på overfladen.

Med denne observation in mente kan vi beregne tyngdefeltet ved Jordens overflade og udad.

Figur 4.13. Tyngdefeltet om­kring Jorden. Tyngdefelt­ linjerne ender på Jordens overflade. Hvis vi forlænger pilene, ender de alle i Jordens centrum.

E K SE MPE L 4 . 2

Tyngdefeltet ved Jordens overflade Vi skal bestemme tyngdefeltet ved Jordens overflade.

Løsning Tyngdefeltets størrelse ved Jordens overflade bestemmes ved at beregne feltets størrelse i afstanden lig Jordens middelradius fra centrum: g =G·

Mjord r 2jord

= 6,6743 · 10 –11 = 9,797

N · m2 5,9712 · 1024 kg · kg 2 (6,378 ·10 6 m) 2

N m = 9,797 2 kg s

Svar: Ved Jordens overflade er tyngdefeltet 9,797 m/s2.

Tyngdefeltets størrelse er identisk med tyngde­ accelerationen.

Standardtyngdeaccelera­ tionen for Jorden er define­ ret som tyngdeacceleration ved 45° nordlig bredde: g = 9,80665 m/s2

Eksempel 4.2 viser, at tyngdefeltets størrelse (næsten) er den velkendte værdi for tyngdeaccelerationen.

Værdien af g afhænger af, hvilken værdi for r vi indsætter i lig­ ningen. Da Jorden ikke er perfekt kuglerund, er g ikke en konstant.

På grund af Jordens rotation er Jorden en smule fladtrykt, så radius er lidt større ved ækvator og lidt mindre ved polerne. Det betyder, at tyngde­accelerationen er størst ved polerne (g = 9,83 m/s2) og mindst ved Ækvator (g = 9,79 m/s2).

Standardtyngdeaccelerationen er værdien af g ved 45 ° nordlig bred­ ­de: g = 9,80665 m/s2.

Tyngdefeltet aftager med højden, h, over jordoverfladen, og størrel­ sen af tyngdefeltet i afstanden r fra Jordens centrum beregnes stadig med formlen: g=G·

128 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Mjord r2

10

Blot skal man huske, at r = rjord + h. I højden h over jordoverfladen er størrelsen af g tilnær­ melsesvis givet ved:

Tyngdefeltets størrelse (m/s2)

9 8 7 6

g(h) = g ·

5 4

rjord rjord + h

)

2

Grafen for g(h) er vist i figur 4.14, hvor værdien af standardtyngde­ accelerationen er anvendt som g.

3 2 1 0

(

0

250

500 750 1000 1250 1500 1750 2000 Højde over jordoverfladen (km)

Figur 4.14. Tyngdefeltets af­ hængighed af højden h over jordoverfladen.

E K SE MPE L 4 . 3

Tyngdeacceleration på Mount Everest Benyt den tilnærmede formel for tyngdeaccelerationen til at bestemme værdien af g på toppen af Mount Everest med 4 betydende cifre, og vis at det giver samme resultat som den eksakte formel.

Løsning På toppen af Mount Everest, 8849 m over havets overflade, er tyngde­ acce­lerationen: Figur 4.15. Toppen af Mount Everest i Himalaya er Jordens højeste punkt.

g(8849 m) = g ·

(

)

2 6,378 · 106 m = 9,770 m/s2 6,378 · 106 m + 8849 m

Det er samme resultat, som hvis vi indsætter i den generelle formel: g(8849 m) = 6,6743 · 10–11

N · m2 5,9712 · 1024 kg · kg 2 (6,378 · 106 m + 8849 m)2

= 9,770 m/s2 Svar: Tyngdeaccelerationen g på toppen af Mount Everest er 9,770 m/s2.

TÆ N K E F TE R 4

a) Hvad sker der med værdien af tyngdeaccelerationen, hvis vi borer os dybere ned i Jordens indre? b) Hvad er værdien af g i Jordens centrum?

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 129

3 Banebevægelser i tyngdefelter I BasisFysik B kapitel 6 er Keplers love, der beskriver banebevægelser i Solsystemet, behandlet. Planeterne og de store måner bevæger sig i baner, der er meget tæt på at være cirkulære. Plutos bane, derimod, er mere ellipseformet, og nogle kometer har endog meget elliptiske baner. Formlen for sammenhængen mellem en planets (eller et andet himmellegemes) omløbstid, T, og planetens middelafstand, a, er: T2 =

4π2 ∙ a3 G ∙ (M + m)

Keplers 3. lov

Da planetmassen ofte er meget mindre end stjernens masse, m ≪ M, kan denne formel tilnærmes med: T2 =

4π2 ∙ a3 G∙M

Keplers 3. lov (forsimplet)

Den ikke-tilnærmede formel udleder vi nu ud fra Newtons love. Vi ser på Solen med massen M og en planet med massen m, der bevæger sig omkring deres fælles tyngdepunkt (også kaldet barycentrum) med samme omløbstid. Vi ser bort fra påvirkningen fra andre planeter.

Afstanden fra Solen til det fælles tyngdepunkt er r1, og fra planeten til barycentrum er der afstanden r2. Afstanden mellem planeten og So­ len er r = r1 + r2, som vist på figur 4.16.

Figur 4.16. Solen og en planet kredser omkring deres fælles tyngdepunkt. Afstanden til barycentrum er henholdsvis r1 og r2. Det fælles tyngdepunkt ligger på tegningen inde i Solen, hvilket også er tilfældet i forholdet mellem Solen og Jorden.

For to himmellegemer er omløbs­tiden omkring deres fælles tyngdepunkt (bary­ centrum) den samme.

Solen

r1

X

r2 planet

Solens massecentrum

Ifølge Newtons 3. lov er kraften fra Solen på planeten lige så stor som og modsatrettet kraften fra planeten på Solen. Den nødvendige centri­ petalkraft på Solen og planeten er derfor lige store, og omløbs­tiden for Solen og planeten omkring tyngdepunktet er den samme.

Tyngdekraften mellem Solen og planeten er: F=G·

130 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

barycentrum for Solen og planet

M·m r2

Centripetalkraften fandt vi i kapitel 1. For Solen er den: FC,Sol = M ·

4π2 ∙ r1 T2

Centripetalkraften for planeten er: FC,planet = m ·

4π2 ∙ r2 T2

Vi samler formlerne: G·

M·m 4π2 4π2 = M · ∙ r = m · ∙ r2 1 T2 T2 r2

Hvis vi anvender det sidste lighedstegn i ovenstående ligning fås: M · r1 = m · r2. Anvendes r = r1 + r2 ⇔ r2 = r – r1, som indsættes, bliver ligningen: r1 =

m m = M · r2 M · (r – r1)

Isoleres henholdsvis r1 og r2 i dette udtryk, finder vi til slut: r1 =

m ·r M+m

og

r2 =

M ·r M+m

Vi får derfor: Figur 4.17. Sirius er den klare­ ste stjerne på nattehimlen og ses sydvest for stjernebilledet Orion i forlængelse af Orions Bælte (de tre stjerner på linje).

G·

M·m 4π2 m 4π2 M ∙ · r = m · ∙ ·r = M · 2 2 2 r T M+m T M+m

De to sidste udtryk er identiske, og vi får derefter ved at flytte rundt: G·

M · m M · m r3 · og dermed = 4π 2 M + m T2

r 3 G · (M + m) = T2 4π 2

Vi har nu udledt Keplers 3. lov.

Figur 4.18. Billede af Sirius A og B (den lille lysende plet ne­ derst til venstre for stjernen) taget med Hubble-teleskopet.

Usynlig kompakt stjerne opdaget med Keplers 3. lov At Jorden og de andre planeter i Solsystemet bevæger sig rundt om So­ len er en åbenlys kendsgerning, men planeternes påvirkning får fak­ tisk også Solen til at rokke lidt i sin bane. Denne effekt blev første gang udnyttet i 1844 af Friedrich Bessel til at opdage, at den klare stjerne Sirius havde en usynlig makker. Den svage stjerne blev observeret 18 år senere i teleskoper og kaldes Sirius B (se figur 4.18).

Bessels metode blev forfinet, og i dag benyttes den til at finde plane­ ter omkring andre stjerner end Solen.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 131

Lagrangepunkter Et Lagrangepunkt er et eksempel på tre-legeme-problemet. I nærheden af to himmellegemer vil der være punkter i rummet, hvor et tredje (me­ get mindre) himmellegeme eller en satellit kan bevæge sig med samme omløbstid omkring det fælles massemidtpunkt mellem de to store him­ mellegemer.

Vektorsummen af de to store himmellegemers tyngdekræfter giver anledning til den nødvendige centripetalkraft på det lille himmel­ legeme.

Figur 4.19. Lagrangepunktet mellem Jorden og Månen er det sted i rummet, hvor for­ skellen mellem tyngdefelterne fra Jorden og Månen netop svarer til den nødvendige centripetalkraft i afstanden.

Figuren er ikke skalatro.

L1

•

E K SE MPE L 4 . 4

Lagrangepunkt mellem Jorden og Månen Beregn, hvor langt Lagrangepunktet på aksen mellem Jorden og Må­ nen ligger fra Månen. Se bort fra Solens påvirkning. Punktet er mar­ keret med L1 på figur 4.19.

Løsning Den søgte afstand fra Månens centrum til L1 kaldes x. Afstanden mel­ lem Jorden og Månens centre kaldes d. Afstanden mellem Jorden og L1 er altså d – x.

Vi antager, for at lette udregningen, at tyngdepunktet ligger i Jor­ dens centrum samt at bevægelsen af L1 omkring tyngdepunktet er en jævn cirkelbevægelse.

Forskellen mellem tyngdekræfterne er lig centripetalkraften og gi­ ver ligningen, hvor den lille masse m fx kan betegne massen af en sa­ tellit eller en lille måne: G·

m · Mjord (d – x)2

–G·

m · Mmåne x2

=m·

4π 2 T2

· (d – x)

Vi får ved omskrivning af Keplers 3. lov (fra side 132 med m = 0 og a = d) følgende nyttige formel: G·

132 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Mjord d2

=

4π 2 T2

·d

Første ligning omskrives (dividér m ud, og omskriv brøkerne): G·

Mjord

·

d2

(

1

1–x d

)

2

–G·

Mmåne x2

=

4π 2 · d T2

( )

x · 1 – d

Nu kan vi indsætte Keplers 3. lov: G·

Mjord d

·

(

1

1–x d

)

2

–G·

Mmåne

=G·

Mjord

( )

x · 1 – d

x d 1 x Det viser sig, at x << d, så er et lille tal. Brøken d 1–x 2

2

2

(

tilnærmes:

(

1

1–x d

)

2

≈1+2·

d

)

2

kan derfor

x d

Dette indsættes, der flyttes rundt på leddene, og vi får til slut: G·

Mjord

3G ·

d

2

(

)

( )

x x Mmåne Mjord · 1 + 2 · – G · 2 = G · 2 · 1 – d d x d

Mjord · x d3

=G·

Mmåne x2

⇔

x=

√ 3M 3

Mmåne jord

⇔

·d

Indsættes talværdier, fås afstanden mellem L1 og Månen: x=

√ 3 · 5,97 · 10 3

7,35 · 1022 kg 24

kg

· 3,84 · 108 m = 6,15 · 107 m

Svar: Afstanden fra Månen til Lagrangepunktet L1 er 61 500 km. Af­ standen fra Jorden til Lagrangepunktet L1 er cirka 323 000 km.

TÆ N K E F TE R 5

a) Forklar, hvorfor der findes flere Lagrangepunkter for Jordens og Månens tyngdefelt. b) Undersøg ved hjælp af nettet, hvor Lagrangepunkterne er placeret i forhold til Jorden og Månen. Find også ud af, hvor James Webb Space Telescope er anbragt.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 133

Banehastighed

Banehastigheden i en jævn cirkelbevægelse omkring et centralt legeme med massen M er:

v=

√ G ·rM

Vi ved fra kapitel 1 om en jævn cirkelbevægelse, at den nødvendige fart 2 (banehastighed) for et legeme i afstanden r opfylder FC = m · vr . Denne er lig gravitationskraften: G·M·m Fgrav = r2 Så vi får for farten (banehastigheden) i en jævn cirkelbevægelse om­ kring et centrallegeme med masse M: m·

v2 G · M · m = r r2

⇔

v2 =

G· M r

⇒

v=

√

G·M r

E K SE MPE L 4 . 5

Månens banehastighed omkring Jorden Bestem Månens hastighed rundt om Jorden med formlen ovenfor, og sammenlign med hastigheden for en cirkelbevægelse.

Løsning På en måned tilbagelægger Månen afstanden s = 2π · r. Det vil sige, 2π · 384 400 km = 2,415 · 106 km. En måned (et omløb om Jorden i for­hold til stjernerne) svarer til: t = 27,32 døgn = 27,32 · 86 400 s = 2,360 · 106 s.

Hastigheden er: s 2,415 · 106 km v= = = 1,023 km/s = 1023 m/s t 2,360 · 106 s

Ovenstående formel for banebevægelsen omkring Jorden giver: v=

√

G·M r

=

√

6,6743 · 10–11 N · m2/kg2 · 5,9712 · 1024 kg = 1018 m/s 384 400 km

Svar: De to formler giver tilnærmelsesvis samme resultat for Månens hastighed omkring Jorden, 1020 m/s.

TÆ N K E F TE R 6

a) Forklar, hvorfor barycentrum mellem Jorden og Solen ikke er et Lagrangepunkt. b) Hvis vi anbringer to testmasser i henholdsvis barycentrum og Lagrangepunktet L1, hvad sker der så med dem?

134 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

E K SPE RIME NT 4 .1

Visualisering af tyngdekraft I dette eksperiment skal vi undersøge nogle kvalitative egenskaber ved en tiltrækkende kraft.

Apparatur Kraftig flad magnet, lille stålkugle (eller kugle af andet magnetisk ma­ teriale), stort tyndt stykke pap.

Forsøgsgang Anbring magneten på et stort bord eller på gulvet. Læg pappet ovenpå og tegn på oversiden en cirkel, der markerer det sted, hvor magneten er placeret. Cirklen skal være lidt større end magneten.

Skub nu forsigtigt til kuglen, så den triller hen forbi det sted, hvor den skjulte magnet er, og observér, hvad der sker med kuglen. Gentag for­ søget med forskellige startparametre for kuglen: ▶ ▶ ▶ ▶

Hastighed Hvor tæt på magneten den bevæger sig Retningen den rulles i Startafstand fra magneten

Diskussion a) Hvilke af startparametrene har betydning for kuglens afbøjning, og hvilken betydning? b) Hvorfor kan man bruge en magnet og en kugle af magnetisk ma­ teriale til at illustrere tyngdekraft? Hvad repræsenterer kuglen og magneten? c) Hvordan ’mærker’ kuglen, at magneten er der? d) Kan du nævne en ting ved dette eksperiment, der ikke fungerer som Newtons tyngdelov? (Tip: Hvad sker der med magneten?)

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 135

Mørkt stof Planeterne i Solsystemet opfylder Keplers love, herunder den 3. lov: T2 =

4π2 ∙ a3 G ∙ (M + m)

Figur 4.20. Omløbstiden for en planet er en voksende funktion af middelafstan­ den til Solen. Grafen viser sammenhængen for de første otte planeter i Solsystemet.

Omløbstid (år)

Af formlen ses det, at omløbstiden (T) forøges, når middelafstanden (a) til centralmassen også forøges – og dermed selvfølgelig, at omløbs­ tiden afta­ger, når middelafstanden mindskes. Vi afbilder sammen­ hængen i en graf: 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

•

• •••• 0

• 5

10

15

20

25

Middelafstand (AE)

Banehastigheden (v) for planeter­ne aftager som 1 , når a forøges, hvil­ √a ket ses i tabel 4.1 og figur 4.21:

Planet

Middelaf­ stand til Solen (AE)

√

G·M a

Bane­ hastighed (km/s)

Merkur

0,387098

47,4

Venus

0,723332

35,0

Jorden

1,00000

29,8

Mars

1,523679

24,1

Jupiter

5,20260

13,1

Saturn

9,554909

9,7

Uranus

19,2184

6,8

Neptun

30,110387

5,4

Tabel 4.1. Data for planeterne i Sol­systemet.

136 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

50

Banehastighed (km/s)

v=

• Merkur

40

• Venus 30

• Jorden • Mars

20

• 10

Jupiter Saturn

•

•

Uranus Neptun

•

0 0

10

20

30

40

50

Middelafstand til Solen (AE) Figur 4.21. Planeternes banehastighed af­tager med afstanden til Solen.

I en galakse som fx Mælkevejen bevæger stjernerne sig rundt om ga­ laksens centrum. Vi vil nu se på, hvordan banehastigheden for enkelt­ stjerner afhænger af afstanden til galaksens centrum. Vi forventer som udgangspunkt, at stjernerne også opfylder Keplers 3. lov.

Ser vi på en anden galakse end Mælkevejen, vil hele galaksen be­ væge sig i forhold til Mælkevejen, og derfor har den en rød- eller blå­ forskydning. For en spiralgalakse kan vi optage lyset fra enkelte stjer­ ner i spiral­armene og se, hvor stor rød- eller blåforskydningen er i forhold til galaksen som helhed, se figur 4.22.

A

Figur 4.22. Spiralgalakse. Lyset fra stjerner, der bevæger sig imod os (A) eller væk fra os (C), vil være mere blåforskudt (A) eller rødforskudt (C) end lyset fra galaksen som helhed (B).

B

C

A

B

C mere blåligt

bølgelængde

mere rødligt

Ud fra rødforskydningen kan vi bestemme stjernernes hastighed som funktion af afstanden fra galaksens centrum, v(r).

For Solsystemet er 99 % af massen koncentreret i Solen. Forskellen i resultatet for en udregning af tyngdefeltet – hvad enten vi regner, som om al massen er placeret i Solen eller regner bidragene fra planeternes masse med – er meget lille. En galakse er imidlertid mere kompliceret, fordi der er stjerner hele vejen ud fra centrum til kanten. Det betyder, at det er sværere at bestemme, hvor meget masse der befinder sig inden for en given stjernes afstand til galaksens centrum.

For en galakse kan man bestemme massefordelingen, det vil sige massen som funktion af radius M(r). Her er det vigtigt at forstå, at det

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 137

er al massen inden for afstanden r, der bidrager til regnestykket, ikke kun den del, der består af lysende stjerner.

Hvis man ser på en spiralgalakse, er det tydeligt, at tætheden af stjerner aftager med afstanden til galaksens centrum. Man kan for­ søge at bestemme massen som funktion af afstanden til galaksens cen­ trum ved at se på de stjerner, der lyser, og bestemme deres masse. Det er imidlertid kompliceret, så her vil vi kun se på stjerner, der ligger i yderkanten af Mælkevejen.

Kun meget få stjerner i Mælkevejen befinder sig mere end 25 000 lysår fra centrum. Vi burde derfor kunne beregne bevægelsen for stjer­ ner med r > 25 000 lysår ud fra den antagelse, at de bevæger sig rundt om en central masse. Banehastigheden for disse stjerner burde derfor også aftage på samme måde som planeterne i Solsystemet (vist i figur 4.21), idet: v=

√ G ·r M

E K SE MPE L 4 .6

Mælkevejens masse Solen kredser tilnærmelsesvis i en cirkelbane omkring Mælke­vejens centrum med en radius på 26 700 lysår og en banehastighed på 240 km/s.

Bestem Mælkevejens masse inden for Solens bane.

Løsning r · v2 ⇔ G 2,67 · 104 · 9,46 · 1015 m · (2,40 · 105 m/s)2 M= = 2,18 · 1041 kg 6,6743 · 10–11 N · m2/kg2

v=

√

G·M r

⇔ M=

Svar: Mælkevejens masse inden for Solens bane er 2,18 · 1041 kg sva­ rende til 1,1 · 1011 solmasser.

Rotationskurver Midt i 1960’erne opdagede astronomerne, at stjernernes bevægelser ikke forholder sig, som teorierne forudsagde. Det viste sig, at bane­ hastigheden for stjerner ikke aftager, når afstanden for r > 20 000 lysår vokser, men er nogenlunde konstant.

I figur 4.23 er vist en graf, tegnet på grundlag af målinger for stjer­ ners banehastigheder i Mælkevejen. En graf for v som funktion af r 138 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Figur 4.23. Rotationskurve for Mælkevejen. Den røde kurve viser den beregnede hastighed som funktion af r, når man tager hensyn til den lysende masse. Den hvide kurve viser den observerede hastighed som funktion af r.

Galaksens skive har en radius på omkring 50 000 lysår, men der observeres stjerner helt ud til omkring den dobbelte afstand.

Banehastighed (km/s) 300 200

Solen

•

målt

100

beregnet 50 000

100 000

Afstand fra galaksens centrum (lysår)

kaldes en rota­tionskurve. Grafen viser henholdsvis den forventede og den observerede rotationskurve. Det har vist sig, at der for andre galak­ ser kan udarbejdes tilsvarende rotationskurver som for Mælkevejen.

Stjerner langt ude i en galakse bevæger sig altså ’for hurtigt’. Eller sagt på en anden måde: Der mangler noget lysende masse længere ude i galakserne til at forklare stjernernes hastigheder. Denne manglende masse kaldes mørkt stof, fordi det er stof, der ikke lyser, men stadig medvirker til tyngdekraften. Præcis, hvad det mørke stof består af, fin­ des der mange teorier om, men ingen af dem er bekræftede.

K AN DIDATE R TIL DE T MØRKE STOF

Nogle af de vigtigste kandidater til, hvad det mørke stof kan være, er: ▶ MACHOs (massive astrofysiske kompakte halo-objekter). I galak­sernes ydre dele (halo­en) kunne der være mange svage stjerner (brune dværge) og kompakte stjernerester (sorte huller, neutronstjerner og hvide dværge). ▶ Sorte huller dannet i det tidlige univers udgør en væ­sentlig del af galakserne i dag.

Det kunne forklare de meget tunge sorte huller i galaksernes centrum. ▶ Neutrinoer findes i et meget stort antal, og de har en ganske lille masse. ▶ WIMPs (svagt vekselvirkende massive par­

tikler) er forudsagt af nogle teorier inden for partikelfysikken. Det kunne fx være supersymmetriske partnere til kvarker, leptoner og kraft­partikler (bosoner). ▶ Andre partikler forudsagt af par­tikel­ fysikken, og som kan fungere som kandi­ dater til mørkt stof, inkluderer: »axioner«, »gravitinoer«, »Kaluza-Klein«-partikler og »sterile neutrinoer«.

Et forsøg på at løse problemet uden at indføre nye partikler går ud på at modificere (ændre) teorien om tyngdekraften. Det kaldes MOND (MOdified Newtonian Dynamics). I MOND ændres enten Newtons 2. lov for accelereret bevægelse eller Newtons tyngdelov.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 139

Energiforhold i tyngdefeltet

Konservativt felt: Et felt, hvor arbejdet er uafhængigt af vejen.

I kapitel 1 viste vi, at den potentielle energi kun afhænger af start- og sluttilstanden for tyngdekraften. Felter og kræfter, der opfylder denne betingelse, kaldes konservative felter og konservative kræfter.

Der gælder: Afelt = –ΔEpot = –Epot,slut + Epot,start, som betyder, at minus ændringen i potentiel energi er lig feltkraftens arbejde. Vi skal nu ud­ lede formlerne for den potentielle energi i tyngdefeltet fra Jorden.

Hvis vi flytter en genstand indad mod en central masse, dvs. fra punk­ tet r2 til r1, hvor r2 > r1 (se figur 4.24), er feltkraftens arbejde positivt (der tabes potentiel energi) og lig integralet af kraft gange vej. Arbejdet er: A = ∫r F · ds r1 →

→

2

Det er dog kun den del af bevægelsen, der er parallel med tyngdekraf­ ten, som giver et arbejde, så vi får: A = ∫r F(r) dr = Epot(r1) – Epot(r2) r1

⇔

2

Epot(r1) = ∫ F(r) dr + Epot(r2) = –∫ F(r) dr + Epot(r2) r1

r2

r2

Figur 4.24. Når vi flytter en genstand fra r2 til r1 , er ar­ bejdet lig arealet mellem grafen for F(r) og 1.-aksen i intervallet fra r1 til r2 . Bemærk at 2.-aksen peger nedad.

0

r1

0 r1

r2

r

Graf for F (r)

F(r)

Vi mangler at vælge et nulpunkt for den potentielle energi. Da det kun er forskelle i den potentielle energi, der har fysisk betydning, kan vi vælge nulpunktet frit. Vi vælger at sætte nulpunktet for den potentielle energi til at være i afstanden r0, og udtrykket Epot(r0) sættes derfor lig 0.

Vi får derfor specielt: Epot(r1) = –∫ F(r) dr + Epot(r0) = –∫ F(r) dr r0

r1

r0

r1

Den potentielle energi i punktet r1 er altså lig minus integralet af felt­ kraften, når vi flytter fra r1 til nulpunktet.

140 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Tyngdefeltet nær Jorden Tyngdefeltet ved Jordens overflade er næsten homogent, det vil sige at tyngdekraften har samme størrelse og samme retning alle steder. → → → → Tyngdekraften på en masse m kan skrives F (r ) = m · g , hvor g er en kon­­stant størrelse og rettet nedad.

Figur 4.25. Tyngdefeltet tæt ved Jordens overflade. Felt­ linjerne er med god tilnær­ melse parallelle og har samme tæthed overalt. Feltet er med god tilnærmelse homogent.

Sammenlignet med figur 4.13 har vi zoomet ind på overfla­ den og tilføjet flere feltlinjer.

→

g

Den potentielle energi i punktet r1 beregnes ifølge ovenstående: Epot(r1) = –∫ F (r ) · ds = –∫ m · g · ds r0 →

→

→

r1

Figur 4.26. Jordens tyngde­ felt tæt ved overfladen, og eksempel på vej fra r1 (x1,y1) til r0 (x0 ,y0).

r0

→

→

→

r1

y

r1 (x1,y1)

→

g

r0(x0,y0) x

0

Arbejdet i x-retningen (vandret) er nul, så vi kan nøjes med at se på → → flytning i y-retningen, hvor det gælder, at g · ds = g · dy. Ovenstående reduceres derfor til: Epot(y1) = –m · g ∫ dy = –m · g · (y0 – y1) = m · g · y1 – m · g · y0 y0

y1

Når vi regner på tyngdekraften nær jordoverfladen, er det naturligt at vælge jordoverfladen (y = 0) som nulpunkt. Vi sætter derfor Epot(0) = 0 og får den velkendte formel: Epot(y) = m · g · y

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 141

Tyngdefeltet som afstandskvadratlov Hvis vi bevæger os lidt væk fra jordoverfladen, er feltet ikke længere homogent, idet tyngdefeltet aftager med afstanden, og feltlinjerne er ikke parallelle. Ændringen i potentiel energi ved en lille flytning, ds, (se kapitel 1) er: dEpot = –dA

så

→

→

dEpot = –F · ds

Som omtalt i forrige afsnit (4.2) er det kun den del af flytningen, der er parallel med feltlinjerne, som giver et bidrag, og vi får: Figur 4.27. Tyngdefeltet om­ kring Jorden. Feltet aftager med kvadratet på afstanden.

→

→

dEpot = –F · ds = F (r) dr =

G·M·m dr r2

Den samlede ændring i potentiel energi findes ved at integrere begge sider af ovenstående ligning: Epot(r) = ∫ dEpot dr = –

G·M·m +C r

Vi har anvendt integralet ∫ r12 dr = – r1 , og C er en integrationskonstant, der svarer til en potentiel energi. For at forstå betydningen af C lader vi r → ∞ og får så: Epot → 0 + C

⇔

C = Epot for r → ∞

Integrationskonstanten svarer derfor til den potentielle energi uende­ lig langt væk. Vi vælger at sætte den potentielle energi til at være nul, når vi er uendelig langt væk, Epot,∞ = 0.

Det lyder måske underligt, at nulpunktet skal anbringes i uendelig, men det skyldes, at rækkevidden af tyngdekraften er uendelig. Med dette valg af nulpunkt får vi grafen i figur 4.28 for den potentielle ener­gi som funktion af afstand.

Figur 4.28. Potentiel energi som funktion af afstanden r fra Jordens centrum.

142 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Epot 0

afstand r

Grafen viser, at den potentielle energi er negativ og vokser mod 0, når afstanden r forøges mod uendelig.

Ud fra den generelle formel for potentiel energi, som vi netop har udledt, kan vi selvfølgelig også udlede den tilnærmede formel for tyng­ defeltet nær Jordens overflade (Epot = m · g · y), som vi fandt på side 141.

Vi anbringer en masse m ved jordoverfladen, så r = Rjord. Den poten­ tielle energitilvækst er, når vi flytter massen fra overfladen til højden h (hvor r = Rjord + h): Epot(Rjord + h) – Epot(Rjord ) = –

(

G·M·m G·M·m – – Rjord + h Rjord

= G·M·m·

=

)

–Rjord + (Rjord + h) (Rjord + h) · Rjord

G·M G·M·m·h ·h =m· (Rjord + h) · Rjord (Rjord + h) · Rjord

Vi har altså, at forskellen i potentiel energi er: Epot(Rjord + h) – Epot(Rjord) = m ·

G·M ·h (Rjord + h) · Rjord

Da højden h er lille i forhold til Jordens radius (h ≪ Rjord), kan brøken på højresiden af ovenstående tilnærmes med – idet vi genkender form­ len for g: G·M G·M ≈ 2 =g (Rjord + h) · Rjord R jord

Vi får til slut, at forskellen i potentiel energi er proportional med høj­ deforskellen: Epot(Rjord + h) – Epot(Rjord) = m · g · h Sætter vi nulpunktet til at være ved jordoverfladen, Epot(Rjord) = 0, får vi den velkendte formel: Epot(h) = m · g · h Undslippelseshastighed Hvis vi skyder et objekt af sted fra jordoverfladen med en bestemt has­ tighed, v, kommer det oftest tilbage. Men der findes en bestemt hastig­ hed, hvormed objektet kan undslippe Jordens tyngdekraft.

Når projektilet bevæger sig opad, aftager hastigheden, samtidig med at den potentielle energi vokser.

Skal vi undslippe til uendelig, må den kinetiske energi være større end det maksimale tab i potentiel energi.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 143

Det maksimale tab i potentiel energi er: Epot(Rjord) = G ·

Mjord · m Rjord

For at undslippe skal der dermed gælde: Ekin = ½ · m · v2 > G ·

Mjord · m Rjord

Vi finder undslippelseshastigheden ved at isolere v i dette udtryk: Undslippelseshastighed: For at undslippe fra over­ fladen af et legeme med masse M og radius r, skal hastigheden være:

v≥

√ 2 ·RG · M = v jord

undslip

vundslip =

√ 2 ·RG · M = √ 2 · g ∙ R jord

jord

For Jorden får vi værdien vundslip = 11,2 km/s.

Som ovenstående udregning viser, er et objekt bundet af Jordens tyngdekraft, hvis den kinetiske energi er mindre end minus den po­ tentielle energi: Ekin < –Epot ⇔

Ekin + Epot < 0 ⇔

Emek < 0

Vi har derfor tre muligheder for den mekaniske energi, se tabel 4.2.

Tabel 4.2. Muligheder for banekurver afhængig af den mekaniske energi.

E mek

Objektets bevægelse

Banekurve

Emek < 0

objektet er gravitationelt bundet

ellipse eller cirkel

Emek = 0

objektet kan netop undslippe til uendelig

parabel

Emek > 0

objektet er ikke bundet

hyperbel

Det vil føre for vidt her at argumentere for formen af de enkelte banekurver, men de er dog illustreret nedenfor.

Figur 4.29. De forskellige typer banekurve omkring Jorden.

hyperbel

cirkel parabel

ellipse 144 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

E K SE MPE L 4 .7

Banekurve for ISS Den internationale rumstation ISS befinder sig i en bane 420 km over jordoverfladen og har en masse på 420 tons. Den kredser omkring Jor­ den én gang på 92 minutter.

Figur 4.30. Den internationale rumstation ISS har været i kredsløb om Jorden siden 1998.

Hvis vi antager, at banen for ISS er cirkulær bestem da den potentielle, kinetiske og mekaniske energi af rumstationen.

Løsning N · m2

Epot = –

G · M · m 6,6743 · 10 –11 kg · 5,9712 · 1024 kg · 4,20 · 105 kg = r 6,378 · 106 m + 0,420 · 106 m 2

= –2,462 · 1013 J Hastigheden er v = s/t, og den kinetiske energi er: Ekin = ½ · m · v2 = ½ m · = ½ · 4,20 · 105 kg ·

(

( st )

2

)

2π · (6,378 · 106 m + 0,420 · 106 m 2 = 1,257 · 1013 J 92 · 60 s

Den mekaniske energi er summen af disse: Emek = Epot + Ekin = –2,462 · 1013 J + 1,257 · 1013 J = –1,205 · 1013 J Svar: Den potentielle energi er –2,462 · 1013 J, den kinetiske energi er 1,257 · 1013 J, og den mekaniske energi er –1,205 · 1013 J. Vi konkluderer, som forventet, at rumstationen er bundet til Jordens tyngdefelt.

Bemærk, at den mekaniske og den kinetiske energi har cirka samme størrelse, men modsat fortegn. Dette resultat er generelt og kaldes virial­sætningen.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 145

Virialsætningen En planet, måne, satellit eller andet objekt, der bevæger sig i en cirkel­ bane omkring et centrallegeme, vil ikke kun have en potentiel energi som vist ovenfor, men også en kinetisk energi, Ekin = ½ · m · v2.

Den mekaniske energi er: Emek = Epot + Ekin = –G ·

M·m + ½ · m · v2 r

På grund af fortegnet for den potentielle energi kan den mekaniske energi være både positiv og negativ.

2 Fra afsnittet om jævn cirkelbevægelse i kapitel 1 ved vi, at vr = FC. Den nødvendige centripetalkraft er her lig gravitationskraften fra Jor­ den, så vi får v 2 = G ·rM . Dette indsættes i formlen for mekanisk energi: M·m + ½ · m · v2 r M·m M M·m = –G · + ½ · m · G · = –½ · G · = konstant r r r

Emek = –G ·

Den mekaniske energi er derfor det halve af den potentielle energi: Emek = ½ · Epot Virialsætningen. For partik­ ler, der bevæger sig i et tyngdefelt, gælder: Den kinetiske energi plus halv­ delen af den potentielle energi er lig 0.

Og dermed må det også gælde, at den kinetiske energi er halvdelen af den potentielle energi med omvendt fortegn: Ekin = ½ · G ·

M·m

r

Virialsætningen

Virialsætningen gælder også for andre typer banebevægelser, fx ellip­ sebaner, når blot vi anvender gennemsnitsværdien af r, som kaldes a.

E K SE MPE L 4 . 8

Figur 4.31. Edmond Halley (1656-1742), engelsk astronom og matematiker.

146 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Halleys komet Edmond Halley opdagede i 1705, at de store kometer, der blev observeret i 1456, 1531, 1607 og 1682, i virkeligheden var en og samme. Han bereg­ nede kometens bane ved hjælp Newtons teori for tyngdekraften og for­ udså, at den ville vise sig igen i 1757. På grund af de store planeters ind­ virkning på kometen var den imidlertid forsinket. Så meget, at skeptikerne nåede at fejre det, inden kometen meldte sin ankomst på nattehimlen den 25. december 1758. Halley nåede ikke selv at opleve kometen, men han kom til at lægge navn til den. Hvert 75. eller 76. år passerer Halleys komet gennem det indre af Solsystemet. Næste gang bliver i 2061.

Bestem kometens banehastighed i perihelium (tættest på Solen) og aphelium (længst fra Solen). Vis, at Halleys komet er bundet til Solen.

Figur 4.32. Halleys komet ved sidste passage i det indre solsystem i 1986.

Perihelium afstand (AE)

0,587 Aphelium afstand (AE)

35,11 Gennemsnitlig afstand, a, (AE)

17,84 Dimensioner (km)

16 × 8 × 8 Densitet (kg/m ) 3

100 Masse (kg)

ca. 1 · 1014 Tabel 4.3. Data for Halleys komet.

Løsning For en komet i en ellipsebane er afstanden til Solen, r, ikke konstant, og vi skal bruge formlen for den mekaniske energi med den gennem­ snitlige afstand a i stedet for r: Emek = –½ · G ·

M·m = konstant a

Et vilkårligt sted i banen, med afstand r til Solen, er den mekaniske energi givet ved det generelle udtryk: Emek = Epot + Ekin = –G ·

M·m + ½ · m · v2 r

Sætter vi de to udtryk for den mekaniske energi lig hinanden, får vi: –½ · G ·

M·m M·m = –G · + ½ · m · v2 = konstant a r

Heraf kan vi isolere kometens hastighed som funktion af afstanden til Solen: v=

√

(

)

G·M 2·a –1 · a r

Vi får således nu for perihelhastigheden: vperihel =

√

(

) = 54,5 km/s

(

) = 0,900 km/s

N·m 6,6743 · 10–11 kg · 1,989 · 1030 kg 2 · 17,84 AE –1 · 0,587AE 17,84 AE 2

2

Og aphelhastigheden: vaphel =

√

6,6743 · 10–11 Nkg· m · 1,989 · 1030 kg 2

2

17,84 AE

·

2 · 17,84 AE –1 35,11AE

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 147

Undslippelseshastigheden for Halleys komet finder vi ved at indsætte periheliumafstanden som værdi for r i formlen, idet kometen jo ikke er på overfladen af Solen, men i afstanden r: vundslip =

√

2 · G · Msol r

=

√

N · m2

6,6743 · 10–11 kg · 1,989 · 1030 kg 0,587 AE 2

= 55,0 km/s

Svar: Kometens hastighed ved perihelium og aphelium er henholdsvis 54,5 km/s og 0,9 km/s. Undslippelseshastigheden ved perihelium er 55,0 km/s. Det er lidt større end kometens hastighed, så Halleys komet er bundet i sin bane til Solen.

TÆ N K E F TE R 7

a) Vis, at vi genfinder formlen for jævn cirkelbevægelse, hvis vi sætter a = r i formlen for kometens hastighed. b) Beregn den mekaniske energi for Halleys komet i perihelium og aphelium, og vis, at den er konstant.

Figur 4.33. Raketter udslynger brændstoffet og udnytter be­ varelse af bevægelsesmængde til at forøge hastigheden fremad.

148 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Raketligningen En raket bevæger sig ved, at det medbragte brændstof slynges bagud med en bestemt hastighed. Da bevægelsesmængden er bevaret, får ra­ ketten forøget sin fremadrettede bevægelsesmængde. Vi vil nu under­ søge, hvordan en raket, der opsendes fra jordoverfladen, bevæger sig i Jordens tyngdefelt.

Vi benævner brændstoffets konstante udslyngningshastighed u og rakettens variable hastighed v.

Rakettens masse, m, varierer også, da mængden af brændstof i ra­ ketten aftager med tiden. Derfor gælder der, at m = m(t).

Til at begynde med ser vi bort fra tyngdekraften og luftmodstan­ den, så Fydre = 0.

Til tiden t, før brændstoffet udslynges, er rakettens (og den samlede) bevægelsesmængde m · v. Til tiden t + Δt, efter udslyngningen, er den samlede bevægelsesmængde opad: (m – Δm) · (v + Δv) + (v – u) · Δm hvor Δm > 0 er massen af det udslyngede brændstof, og Δv > 0 er raket­ tens hastighedstilvækst. Brændstoffets hastighed i forhold til Jorden

Figur 4.34. Bevarelse af bevæ­ gelsesmængde for en raket.

Hastighed: v + Δv

Tid: t + Δt

Hastighed: v

Masse: m – Δm

Tid: t Udslyngnings­ hastighed u relativt til raketten

Masse: m

Udslyngnings­ hastighed i forhold til Jorden:

v–u

bliver (ved hastighedsaddition) v – u, da det bevæger sig med hastig­ heden u relativt til raketten.

De to udtryk for bevægelsesmængden sættes lig hinanden: m · v = (m – Δm) · (v + Δv) + (v – u) · Δm

⇔

m · v = m · v + m · Δv – v · Δm – Δm · Δv + v · Δm – u · Δm Dette udtryk reduceres (leddet Δm · Δv er meget lille, så det smider vi væk): 0 = m · Δv – u · Δm

⇔

Δm 1 = · Δv ⇔ m u

Δv = u ·

Δm m

Vi ser nu på en raket, hvor brændstoffet udslynges med en bestemt rate, R, det vil sige at mængden af brændstof, der udslynges pr. tid, er konstant: R=

Δm Δt

Hvis vi dividerer ligningen Δv = u · (Δm/m) med Δt på begge sider (og ganger med m på begge sider), får vi den såkaldte thrust, T, på raketten: T=m·

Δv Δm =u· = u·R Δt Δt

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 149

Lader vi tidsintervallet gå mod nul, Δt → 0, bliver nogle af de andre størrelser også meget små, og vi laver følgende udskiftninger: Δt → dt, Δv → dv, Δm → –dm (minusset skyldes, at Δm er en positiv størrelse, men dm/dt er ændringen af massen pr. tid, og den er negativ, da mas­ sen aftager), og ligningerne bliver: T=m·

dv = R · u, dt

dv 1 dm = –u · · dt m dt

Massen af raketten som funktion af tiden aftager lineært: m(t) = m0 – R · t hvor m0 er startmassen af raket inklusive brændstof. Vi kan bestemme dm/dt ved at differentiere dette udtryk: dm/dt = m’(t) = –R, som er negativt.

Raketligningen fremkommer ved at gange ovenstående udtryk for dv/dt med dt på begge sider og integrere udtrykket for dv: dv = –u · dm/m.

Vi ender med: v(t) – v0 = –u · ln

m(t)

m0

Raketligningen

hvor v0 er rakettens hastighed til tiden t = 0. Minusset skyldes igen, at hastighedsændringen er positiv.

Vi ser, at rakettens hastighedstilvækst afhænger af den hastighed, hvormed brændstoffet bliver udslynget, og forholdet mellem rakettens masse og startmassen. m Massen uden brændstof kaldes mf , og forholdet m0 kaldes masse­ f for­holdet. Rakettens totale hastighedstilvækst kan beregnes som m Δv = u · ln( m0f ). Det betyder, at et større masseforhold giver en større hastighedstilvækst.

Figur 4.35. Sammenhængen mellemΔΔv/u og masseforhol­ det m 0 /mf . Grafen viser den afledte sammenhæng: m0 Δv mf = exp u

( )

( )

Masseforhold 40

30

20

10

0 0

150 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

1

2

3

4

Δv u

Hvis en raket opsendes lodret i tyngdefeltet, vil tyngdekraften påvirke den. Den resulterende kraft bliver: Fres = m · ares = T – Ft = –u ·

dm – m·g dt

Ud fra denne kraftligning findes rakettens resulterende acceleration (ved at dividere med m): ares =

dv 1 dm –g = –u · · dt m dt

Den kan vi så igen integrere til en ligning for hastigheden: – g·t (m(t) m )

v(t) – v0 = –u · ln

0

E K SE MPE L 4 .9

Sluthastighed for raket SpaceX Falcon Heavy-raketten er en totrinsraket, det vil sige at raket­ ten består af to trin med hver sin raket. Når raketten i første trin har opbrugt sit brændstof, kobles den fra resten af raketten og vender til­ bage til Jorden.

For første trin er thrust, T, ved opsendelsen 22,8 MN. Totalvægten m0 er 1420 tons, heraf er brændstoffet i første trin, mb, 734 tons.

Bestem sluthastigheden for første trin, hvis raketten er tændt i 180 s, og vi ser bort fra luftmodstand.

Løsning Vi finder slutmassen til mf = m0 – mb = 1420 t – 734 t = 686 t. Brænd­ stoffets udslyngningshastighed er: u=

T T T · Δt 22,8 · 106 N · 180 s = = = = 5,59 km/s R Δm Δm 734 · 103 kg Δt

Vi sætter g = 9,81 m/s2, da opsendelsen finder sted i Florida. Slut­has­ tigheden bliver: Δv = u · ln

m0 –g·t mf

= 5,59 km/s · ln

1420 t – 9,81 m/s2 · 180 s = 2,30 km/s 686 t

Svar: Efter første trin har raketten en hastighed på 2,30 km/s.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 151

Bestemmelse af en rakets tilbagelagte strækning Hvis vi skal bestemme en rakets tilbagelagte strækning, skal vi integrere lig­ ningen for hastigheden:

∫

t

∫

t

s(t) – s0 = v(t) dt 0

=

0

– g · t) dt (–u · lnm(t) m 0

= –u ·

∫

t

= –u ·

∫

t

0

0

t m(t) ln dt – g · t dt m0 0

∫

ln(m(t)) dt + u ·

∫

0

t

∫

t

ln(m0) dt – g · t dt 0

Det første integral (i sidste formellinje) ser vanskeligt ud, men hvis vi anven­ der udtrykket for m(t) = m0 – R · t til at skifte integrationsvariabel, bliver det lidt nemmere: dm = –R dt

⇒

1 dt = – · dm R

Desuden benyttes integrationsreglen ∫ ln(x) dx = x · ln(x) – x: s – s0 =

t t t 1 · u · ∫ ln(m(t)) dm + u · ∫ ln(m0) dt – g · ∫ t dt 0 0 0 R

= u · [m(t) · ln(m(t)) – m(t)]0t + u · ln(m0) · [t]0t – g · [½t 2]0t R =

u · (m(t) · ln(m(t)) – m(t) – (m0 · ln(m0) – m0)) + u · ln(m0) · t – ½ · g · t2 R

Til sidst reduceres udtrykket til (idet vi anvender, at m0 = m(t) + R · t, og at m0 – m(t) = R · t): s – s0 =

u m(t) · m(t) · ln + u · t – ½ · g · t2 m0 R

Med denne formel kan vi bestemme en rakets tilbagelagte strækning, s, fra begyndelsespositionen, s0, ud fra startmassen, m0, udslyngningshastighe­ den, u, og den tid, t, raketten har bevæget sig i Jordens tyngdefelt, g. Endelig indgår også rakettens masse til tiden t, m(t) samt den rate, R, brændstoffet udslynges med.

152 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

E K SE MPE L 4 .10

Stighøjde for en raket Hvor højt er SpaceX Falcon Heavy-raketten nået ved afslutningen af første trin? Benyt talværdierne for thrust, masse og brændstof fra ek­ sempel 4.9.

Løsning Formlen, vi skal benytte, er: s – s0 =

u m(t) · m(t) · ln + u · t – ½ · g · t2 m0 R

Værdierne, der skal indsættes i ligningen for s, er: s0 = 0 g = 9,81 m/s2 t = 180 s u = 5,59 km/s

m(t) = m0 – R · t m0 = 1420 t 734 t R= = 4,08 · 103 kg/s 180 s

Først beregner vi m(t) = m0 – R · t. Da tiden t netop er efter alt brænd­ stoffet i første trin er opbrugt, får vi: m(t) = mf = 686 t = 6,86 · 105 kg Vi indsætter værdierne i ligningen for strækningen og får for stighøjden:

s=

(

5,59 · 103 m/s 6,86 · 105 kg · 6,86 · 105 kg · ln 3 4,08 · 10 kg/s 1,42 · 106 kg

)

+ 5,59 km/s · (180 s) – ½ · 9,81 m/s2 · (180 s)2 = 163 km Svar: Ved afslutningen af første trin er rakettens højde 163 km.

Og hvad med luftmodstanden?

Raketten i eksempel 4.9 og 4.10 har så stor hastighed, at vi ikke kan se bort fra luftmodstand, hvis resultaterne skal være nøjagtige. Hvis luftmodstanden skal regnes med, ændres kraftligningen til: Fres = m · ares = T – Ft – Fgnid = –u ·

dm – m · g – k · v2 dt

Denne differentialligning kan vi imidlertid ikke løse eksakt, og man må anvende numeriske metoder for at bestemme v(t) og s(t).

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 153

4 Bestemmelse af Jordens masse Newton havde vist, at kraften mellem himmellegemer afhang af deres respektive masser. På den tid kendte man ingen af disse masser, og be­ hovet for en metode til bestemmelse af Jordens masse meldte sig derfor hurtigt. I formlen for Keplers 3. lov, r 3 G · (M + m) = T2 4π 2

er der to ukendte masser, idet hverken Solens masse M eller planetens masse m er kendte størrelser. Hvis vi kunne bestemme m for Jorden, kan man benytte Keplers 3. lov til at finde Solens masse, M, og derfra bestemme de øvrige planetmasser ud fra observationer af T og r.

Newton skriver i bogen Principia, Vol. II: The System of the World: Hence a sphere of one foot in diameter, and of a like nature to the earth, would attract a small body placed near its surface with a force 20 000 000 times less than the earth would do if placed near its surface; but so small a force could produce no sensible effect. If two such spheres were distant but by ¼ of an inch, they would not, even in spaces void of resistance, come together by the force of their mutual attraction in less than a month’s time; and lesser spheres will come together at a rate yet slower, namely in the proportion of their diameters. Nay, whole mountains will not be sufficient to produce any sensible effect. A mountain of a hemispherical figure, three miles high, and six broad, will not, by its attraction, draw the pendulum two minutes out of the true perpendicular; and it is only in the great bodies of the planets that these forces are to be perceived …

Figur 4.36. Newton skrev på latin. Her forsiden af anden­ udgaven af den engelske oversættelse.

154 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Newton angiver altså to metoder til at bestemme massetiltrækningen mellem objekter.

Den første metode beskriver to sfærer, der anbringes tæt på hinan­ den og ved tyngdekraften alene bevæger sig mod hinanden.

Den anden går ud på at finde et konisk bjerg og anbringe en lod­ line. Loddet vil, på grund af bjergets masse, trækkes væk fra normalen.

Newton anslår effektens størrelse til mindre end 2 bueminutter, sva­ rende til 1/30 grad, for et bjerg, der er 3 miles højt og 6 miles bredt.

Han forholder sig skeptisk til chancerne for at opnå målbare resul­ tater i nogen af eksperimenterne.

Andre var mere optimistiske.

Newtons første metode: Cavendishs forsøg I 1797-1798 udførte den engelske fysiker Henry Cavendish (1731-1810) en række forsøg til bestemmelse af Jordens densitet. Eksperimentet foregik med en såkaldt torsionsvægt (figur 4.37), som mange fysik­ samlinger har et mere moderne eksemplar af (figur 4.38). To blykugler, hver med en masse på 730 g og diameter på 51 mm, blev anbragt et stykke fra hinanden. På en afstand af 230 mm fra hver af de små kugler anbragte Cavendish to meget tungere blykugler, hver med en masse på 158 kg. Eksperimentet målte tyngdekraften mellem de små og de store kugler.

Figur 4.37. Cavendishs tegning af eksperimentet. På figuren ses de to små og de to store blykugler. Udsvinget aflæses igennem to kikkerter, der er indbygget i væggene.

Figur 4.38. En moderne tor­ sions­­vægt til bestemmelse af G.

Man kan nogle steder læse, at Cavendish målte gravitationskonstanten (G), men denne betegnelse brugte man slet ikke før mange år senere.

Cavendish fandt derimod frem til, at forholdet mellem Jordens den­ sitet og vands densitet var 5,448 – hvilket ligger en smule under den moderne værdi på 5,51. Cavendish refererede selv til sit eksperiment som »vejning af Jorden«.

Newtons anden metode: Maskelynes forsøg Det andet eksperiment blev første gang forsøgt i 1749 på bjerget Chim­ borazo i Peru, hvor den forudsagte effekt blev observeret, uden at man dog kom frem til nogen talværdi for Jordens masse. I 1774 besluttede den skotske astronom Nevil Maskelyne (1732-1811) sig for at gentage eksperimentet på bjerget Schiehallion i Skotland.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 155

Figur 4.39. Principtegning af Maskelynes forsøg.

« «

«

«

«

«

« N

S

«

« «

Schiehallion

T A

1,31 km

B

Jordoverflade

T Bjergets tyngdepunkt A Lodline ophængt på bjergets nordside, træk­ kes mod syd på grund af bjergets masse O Jordens centrum

O’

B Lodline ophængt på bjergets sydside, træk­ kes mod nord på grund af bjergets masse O’ Skæringspunkt mellem lod­linerne O

Maskelyne observerede positionen af 37 stjerner, på både nord- og syd­ siden af bjerget (se figur 4.39). En stjernes position burde afvige med forskellen i breddegraden af de to observationssteder, som var 42,94", svarende til 1,31 km.

Den observerede forskel var imidlertid 54,6". Maskelyne konklude­ rede, at forskellen på 11,6" skyldtes bjergets massetiltrækning. Bjergets densitet ved overfladen var 2,5 g/cm3, og man antog, at densiteten var den samme ind til midten af bjerget.

Jordens størrelse var allerede kendt, så for at bestemme massen af Jorden skulle man bestemme densiteten af Jorden. Hvis man regnede med, at Jorden havde samme densitet som bjerget, kunne man vise, at lodlinen blev påvirket med 20,9" mere end forskellen i breddegrad.

Da den påvirkning, som Maskelyne målte, var mindre end beregnet, måtte det betyde, at bjergets masse i forhold til Jorden er mindre end forventet. Jordens densitet var derfor større end forventet.

Maskelyne fandt, at densititeten af Jorden var: ρjord =

156 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

20,9 · 2,5 g/cm3 = 4,5 g/cm3 11,6

Figur 4.40. Nevil Maskelyne valgte det skotske bjerg Schiehallion til sine under­ søgelser på grund af dets regelmæssige form.

Ud fra Maskelynes bestemmelse af Jordens densitet og dermed dens masse kunne man efterfølgende beregne gennemsnitsdensiteten af So­ len, Månen og de andre planeter i Solsystemet.

Kender man værdien af g og G, kan man også bestemme Jordens masse. Dette var en udregning, Newton ikke var i stand til at ud­ føre med den viden, der var tilgængelig på hans tid. Newtons 2. lov, F = m · a, anvendes med a = g, så tyngdekraften på en genstand med massen m er: F = m · g.

Ifølge gravitationsloven er kraften: F=G·

M·m r2

Sætter vi de to udtryk lig hinanden, idet tyngdeacceleration g svarer til, at vi indsætter r = Rjord, og M = Mjord, får vi: m·g = G·

Mjord · m Rjord2

⇔

Mjord = g ·

Rjord2 G

TÆ N K E F TE R 8

a) Find værdierne for Rjord og G i bogens tabeller (Appendiks F) og indsæt dem i ovenstående formel for Mjord. b) Hvordan stemmer dit resultat overens med tabelværdien?

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 157

5 Almen relativitetsteori Fra kapitel 2 husker vi Einsteins postulat: Intet kan bevæge sig hurti­ gere end lysets hastighed i vakuum, c.

Med fjernvirkning mellem himmellegemer opstår der imidlertid et problem, idet der intet er til hinder for, at fjernvirkningen kan bevæge sig hurtigere end lyset. I Newtons tyngdelov er tyngdens »fart« uen­ delig, det vil sige, tyngdekraften udbreder sig med uendelig fart, og alle ændringer i tyngdefeltet udbredes øjeblikkeligt. Hvis vi forestiller os, at Solen pludselig forsvinder, ville planeterne i Solsystemet med det samme begynde at bevæge sig tangentielt ud af deres banekurver, mens lyset fra Solen (der jo bevæger sig med lysets fart) ville fortsætte med at kunne ses på Jorden de næste 8 minutter (se figur 4.41 på næste side). Det er et paradoks.

I 1800-tallet var man klar over problemerne: ▶ I Newtons tyngdelov indgår afstanden r mellem fx Solen og Jor­ den. Men r er ikke en relativistisk invariant størrelse, så afstanden afhænger af observatørens bevægelsestilstand. ▶ Banerne for himmellegemer bliver ikke ellipser, medmindre tyng­ dekraftens hastighed er uendelig. Det skyldes, at hvis man skal regne med endelig vtyngde, så bliver tyngdekraften ikke rettet direkte mellem masserne, fordi planeten når at flytte sig på den tid, det tager tyngdekraften at nå frem til positionen. ▶ Laplace beregnede i 1805, at vtyngde måtte være mindst 7 millioner gange større end v lys = c.

Man kan derfor ikke kombinere Newtons tyngdelov med relativitets­ teorien. En ny teori måtte konstrueres.

Konklusionen på ovenstående er, at tyngdens fart må være den samme som lysets fart. Det vil sige: vtyngde = c

Tyngdekraftens hastighed er lig lysets hastighed

Indførelse af tyngdefeltet ophæver paradokset. Hvis Solen pludselig ændrer bane, skaber dens bevægelse »krusninger« (excitationer) i feltet.

Krusningerne bevæger sig med en karakteristisk hastighed fra Solen til Jorden. Når krusningerne når ned til Jorden, »mærkes« ændringen, se figur 4.41. Den karakteristiske hastighed er netop lysets hastighed, og ændringer i tyngdekraften bevæger sig altså med lysets hastighed. I den almene relativitetsteori er dette indbygget i ligningerne.

158 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Figur 4.41. Solen ændrer sin bane eller eksploderer. Lys­ signalet fra eksplosionen A når frem til Jordens verdens­ linje ved B.

Tid

Solens verdenslinje

Jordens verdenslinje B

nal

ig

lyss A

Solen observeres fra Jorden at eksplodere

Solen eksploderer Jorden

Solen

Afstand

1 AE

Inertialsystemer og tyngdekraft Den specielle relativitetsteori handler om inertialsystemer. I tyngde­ felter er mange bevægelser accelererede, og Einstein var klar over, at accelererede koordinatsystemer krævede en ny teori.

I tyngdefelter kan inertialsystemer kun være lokale. Hvis vi fx ser på Einsteins eksempel med et tog i frit fald i Jordens tyngdefelt og sætter et koordinatsystem fast på togvognen, vil koordinatsystemet hurtigt blive deformeret i forhold til togvognen, som antydet af forskellene på de to piles retning og længde i figur 4.42. Passagererne i hver sin ende af en frit faldende togvogn vil opleve, at de bevæger sig mod hinanden i modstrid med, at togvognen er et inertialsystem. I en lodret faldende togvogn vil passagererne i bunden opleve en større acceleration end dem i toppen, igen i modstrid med at togvognen er et inertialsystem. I et inertial­system vil observatørerne jo netop være i hvile i forhold til hinanden.

Figur 4.42. I en togvogn, der falder frit i Jordens tyngde­ felt, vil observatører i hver sin ende opleve forskellig acceleration.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 159

Ækvivalensprincippet Ækvivalensprincippet: En observatør kan ikke skelne mellem, om vedkommende er i et accelereret koordinat­ system med acceleration a = g eller i et tyngdefelt med feltstyrke g.

Figur 4.43. Det samme ekspe­ riment udføres i en kasse på jordoverfladen og i en eleva­ tor i rummet, der accelererer.

Dette tankeeksperiment kal­ des en Einstein-elevator.

Newton indførte ækvivalensprincippet: Masse og inerti er det samme.

Den masse, der indgår i Newtons tyngdelov, og den masse, der indgår i Newtons 2. lov, er den samme. Vi har også set, at en genstands vægt ikke kun afhænger af dens masse, men også af tyngdeacceleration, det vil sige vægt afhænger af tyngdefeltets størrelse.

Vi laver et tankeeksperiment. Vi anbringer en observatør (A) i en lukket kasse på jordoverfladen, hvor tyngdefeltet er g. En anden obser­ vatør (B) anbringes i en elevator, der bevæger sig i det tomme rum langt fra Jorden med en acceleration på a = g.

A

B

Nr. 2 B forned for ove fornem lige er

B

Begge observatører udfører nu det samme eksperiment og lader en bold falde til jorden. A observerer, at bolden falder til gulvet med en acce­leration på g. B observerer det samme, bolden accelereres mod gulv­et med accelerationen g.

Raketmotor under B (begg Einsteins forklaring på ovenstående var revolutionerende: Der er in­ gen tyngdekraft. Tyngdekraft og acceleration er ifølge ækvivalensprin­ cippet det samme, og objekter falder mod jorden, fordi de accelereres.

Objekter accelereres, fordi rummet krummer omkring Jorden, og ob­ jektet blot følger rummets krumning. Rummet krummer på grund af Jordens masse.

Indholdet af den almene relativitetsteori kan opsummeres således: Masse fortæller rummet, hvordan det skal krumme, rummet fortæller masse, hvordan det skal bevæge sig.

160 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Et mere jordnært eksempel er Jordens overflade, der også er krum.

Den korteste vej for et fly, der bevæger sig mellem to byer, fx Madrid og New York er ikke »ligeud« langs breddegraden. Den er derimod langs en storcirkel i forhold til Jordens overflade, som vist i figur 4.44.

Figur 4.44. »Ligeud«, der på kortet til højre svarer til kur­ ven langs breddegraden, er ikke den korteste rute mellem New York City og Madrid.

Fordi Jordens overflade er krum, er kurven langs en storcirkel kortere, hvilket ses på det nederste kort.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 161

TÆ N K E F TE R 9

Figur 4.45. Google Earth-skærmbillede af den korteste vej mellem New York City og Madrid.

a) Benyt Google Earth til at finde den korteste afstand mellem New York City og Madrid. b) Bestem, hvor mange km en længdegrad er på den bred­ degrad, New York City og Madrid befinder sig. (Tip: En bredde­grad er en cirkel med omkreds 2π · r, bestem først r.) c) Bestem, hvor mange længdegrader der er mellem Madrid og New York City. d) Bestem afstanden mellem Madrid og New York City langs bredde­­graden og sammenlign med dit resultat i a).

De klassiske tests Albert Einstein foreslog i 1916 tre fænomener, der kunne benyttes til test af hans almene relativitetsteori:

on

ssi æce

Pr

1) Merkurs periheldrejning 2) Lysets afbøjning i tyngdefelter 3) Lys rødforskydes i et tyngdefelt

Solen Merkur ved perihel

Merkurs bane

Figur 4.46. Merkurs perihel­ drejning.

162 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Den første blev hurtigt bekræftet. Det var kendt, at Merkurs bane om­ kring Solen var noget elliptisk, og periheliet (det punkt i banen, hvor Merkur er tættest på Solen) flytter sig med tiden. Newtons teori for tyngdekraften forudsiger en sådan periheldrejning, men præcise be­ regninger kan kun forklare halvdelen af den observerede effekt. Ein­ steins ligninger gav derimod præcis det dobbelte af Newtons resultat og var dermed i overensstemmelse med eksperimentelle data.

Den tredje test måtte vente med at blive bekræftet til 1959, hvor man målte, at lys, der bevæger sig opad i Jordens tyngdefelt, blev rødfor­

Figur 4.47. Tyngdefeltet omkring Solen. Solens masse krummer rummet, og pla­ neterne bevæger sig i det krumme rum.

Mars

komet

Jorden

Solen

Figur 4.48. I en elevator, der accelererer opad, vil lys fra en lommelygte ramme længere nede på væggen, end da elevatoren stod stille. Tilsyne­ ladende er lyset blevet afbøjet nedad.

skudt. Det vil sige, at lyset mistede energi, når det bevægede sig opad imod tyngdefeltets retning.

Det var den anden test, der gjorde Einstein verdenskendt. Planeter i elliptiske baner om Solen bevæger sig på den bane, der følger rummets krumning, det vil sige de bevæger sig ligeud. Vi erstatter altså modellen med en kraft, der bøjer planeten af i dens bane, med et krumt rum, hvor planeten bevæger sig »ligeud« og dermed følger den korteste bane.

Rummet kan krumme selv lys. Vi vender tilbage til observatør B i ele­vatoren og giver ham en lommelygte, som han lyser på væggen med.

Inden elevatoren letter fra Jorden, retter han lyset vandret mod væggen og sætter et mærke der, hvor det rammer. Mens elevatoren accelere­ rer, gentager han forsøget. I den tid, der går fra lygten tændes, til lyset rammer væggen, har elevatoren bevæget sig et stykke, og lyset rammer derfor væggen lidt under prikken, han satte på væggen (se figur 4.48).

Observatør B konkluderer, at elevatorens acceleration har afbøjet lyset.

På grund af ækvivalensprincippet konkluderer vi derfor, at også tyngde­kraft vil afbøje lys. Newtons teori forudsagde også, at tyngdekraft kunne afbøje lyset, men kun med halvt så meget som Einsteins teori.

Einsteins forudsigelse af lysets afbøjning i et tyngdefelt er svær at afprøve på Jorden, fordi tyngdefeltet skal være stort, hvis effekten skal være observerbar. Man behøvede heldigvis ikke vente længe, for 29. maj 1919 var der en total solformørkelse, der gjorde det muligt at observere stjerner tæt på Solens placering. Ved at observere en stjernes position på himlen under solformørkelsen og sammenligne med den »normale« position kunne man afgøre, om teorien var korrekt. Astro­ nomen Arthur Eddington anførte en ekspedition til øen Principe ved Afrikas vestkyst, mens en anden ekspedition rejste til Brasilien. Der er nogen tvivl om, hvor overbevisende resultaterne egentlig var, men i november 1919 konkluderede Eddington, at man havde observeret den forudsagte effekt, og publicerede resultaterne. Dagen efter var Einstein på forsiden af aviser fra hele kloden med overskrifter som ’Revolution i videnskab’ og ’Ny teori om Universet’.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 163

Figur 4.49. Samtidig tegning af eksperimentet, bragt i The Illustrated London News, 22. november 1919, viser totalitetens bane over jordoverfladen og de to observationssteder. Solen bøjer lyset fra en bagvedliggende stjerne, så dens position på himlen tilsyneladende ændres.

164 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

Gravitationslinsen forstærker lyset og danner fire Supernova i en kopier af billedet af supernovaen fjern galakse Galakse i forgrunden

Teleskop

Figur 4.50. Gravitationslinse.

Lysets afbøjes og giver an­ ledning til, at vi ser flere kopier af den samme galakse.

I dette tilfælde en supernova i en fjern galakse. Lyset op­­­­ fanges af fx Hubble-rum­ teleskopet.

TILBAG KIGGER

TID E I FOR

EN

`

Siden 1979 har man taget billeder af fjerne galakser, hvis lys afbøjes af mellemliggende galakser, såkaldte gravitationslinser. I 2002 lykkedes det endda at måle lysets afbøjning fra en fjern kvasar (det vil sige en aktiv galaksekerne med et stort sort hul), da det passerede Jupiter på vejen til Jorden.

Figur 4.51 viser lys, der passerer tæt forbi Solen. Afbøjningsvinklen kaldes θ, og den mindste afstand, lyset passerer Solen, kaldes d.

1,75“

svej afbøjet ly

Figur 4.51. Lys, der passerer tæt forbi et tungt legeme, afbøjes.

Jorden

θ

e fra stjern

d Solen

g nde retnin tilsynelade til stjerne lys fra stjerne sædvanlig retning til stjerner

TÆ N K E F TE R 10

a) Vis ved at benytte dimensionsanalyse – se side 27 – at afbøj­ ningsvinklen kan skrives som: G·M θ=k· hvor k er en dimensionsløs konstant c2 · d b) Hvis lyset passerer tæt forbi Solen, kan vi benytte d ≈ R, hvor R er Solens radius. Beregn afbøjningen af lys, der passerer tæt forbi Solen med k = 1 og sammenlign med 1,75'' (Tip: 1'' = 1/3600°).

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 165

Sorte huller I afsnit 4.3 beregnede vi undslippelseshastigheden for forskellige him­mel­legemer og kom frem til formlen:

sol

vesc = hvid dværgstjerne

neutronstjerne sort hul

Figur 4.52. Rummetssingularitet krumning omkring Solen sammenlignet med en hvid dværg, en neutron­stjerne og et sort hul.

Schwarzschild-radius: Den afstand, der for en given masse giver en undslippel­seshastighed lig lysets hastighed.

RSch =

2·G·M c2

166 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

2·G·M r

Den engelske præst og filosof John Michell (1724-1793) indså i 1783, at hastigheden var et forhold mellem masse og størrelsen af objektet: jo større densitet, desto større undslippelsesfart. I Newtons teori for lys er lyset en par­ tikel og kan derfor afbøjes af tyngdekraft. Michell over­ vejede, om undslippelsesfarten for en passende stjerne kunne være lig lysets fart:

√ begivenhedshorisont

√

2·G·M =c r

En stjerne, der opfylder denne ligning, kaldte Michell en mørk stjerne, idet den vil være usynlig for omverdenen.

Presser vi Solen sammen, så den bliver mindre, indtil r er lille nok, kan Solen opfylde ligningen. Isoleres r i ovenstående ligning, fås: r=

2·G·M = RSch c2

Den radius, r, der svarer til, at undslippelseshastigheden for en given masse, M, bliver lig c, kaldes Schwarz­schildradius, RSch. Når en tung stjerne kollapser, bliver dens radius mindre. I det øjeblik den bliver mindre end dens egen Schwarz­schild-radius, er der dannet et sort hul. Intet, der kommer inden for afstanden af Schwarz­ schildradius fra massen, kan undslippe igen, men må fort­ sætte ind mod centrum af det sorte hul. Overfladen ved det sorte huls Schwarz­schild-radius kaldes derfor begivenhedshorisonten.

Når det sorte hul er dannet, er der ingen vej tilbage, og stjernen fortsætter kollapset, i princippet indtil ra­ dius er 0. Denne tilstand kaldes singulariteten. Da vi ikke kan se ind i et sort hul, ved vi ikke, hvad der faktisk sker ved singulariteten.

E K SE MPE L 4 .11

Schwarzschild-radius Beregn Solens Schwarzschild-radius.

Løsning

2·G·M c2 2 · 6,6743 · 10 –11 N · m2/kg2 · 1,989 · 1030 kg = = 2,95 km (2,998 · 108 m/s)2 RSch =

Svar: Solens Schwarzschild-radius er 2,95 km.

Einsteins almene relativitetsteori er formuleret matematisk som 10 differentialligninger. Den radius, hvor Solen forsvinder bag sin egen begivenhedshorisont, er opkaldt efter Karl Schwarzschild, der i 1916 som den første fandt en løsning til ligningerne. Løsningen beskrev netop et sort hul med en begivenhedshorisont ved: Begivenhedshorisonten for et sort hul svarer til Schwarz­ schild-radius og er den afstand fra en masse M, hvor lys ikke kan undslippe.

RSch =

2·G·M c2

Det er meget vanskeligt at løse ligningerne, men der er senere fundet andre løsninger. En af de mest interessante er ormehullet, der beskriver

Figur 4.53. Et ormehul i rumtiden. Ved at rejse gennem ormehullet kan man skyde genvej i universet.

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 167

T Y NG DE BØLG E R

Tyngdekraften bevæger sig ligesom den elek­ tromagnetiske kraft med lysets hastighed og har uendelig rækkevidde. Et elektrisk felt, der ændres, udsender elektromagnetiske bølger (se kapitel 6), og det samme gælder for tyng­ dekraften. Einstein forudsagde, at ændringer i tyngdefeltet kunne udsende tyngdebølger.

Tyngdebølger er imidlertid så svage, at de er meget svære at detektere. Da de fleste begi­ venheder, der er kraftige nok til at udsende tyngdebølger af en vis størrelse, er meget langt væk, er den teknologiske udfordring enorm.

LIGO-projektet (LIGO er en forkortelse for Laser Interferometer Gravitational-wave Ob­ ser­­vatory) omfatter to anlæg, et i Hanford, Washington, og et i Livingston, Louisiana.

Hvert anlæg består af to lange rør med samme længde, der er placeret vinkelret på hinanden.

Der sendes laserlys igennem rørene, hvor det Hanford, Washington

reflekteres af et spejl for enden. Lyset samles igen, når det kommer tilbage til begyndelsen af rørene, og et interferensmønster dannes.

Tyngdekraften kan påvirke lys, og hvis en tyngdebølge er kraftig nok, vil den forstyrre lyset, og ændringerne i interferensmønstret kan måles.

Hvis signalet opfanges af begge anlæg, kan man ud fra tidsforskellen og signalets sam­ mensætning bestemme retningen, hvorfra tyngdebølgen er kommet.

I september 2015 lykkedes det for første gang at registrere en tyngdebølge fra to kolli­ derende sorte huller. Ud fra data har forskerne beregnet de to sorte hullers masser til 29 og 36 solmasser.

Nobelprisen i fysik gik i 2017 til tre af fysi­ kerne bag projektet, Rainer Weiss, Kip Thorne og Barry Barish.

• 30 (± 10

30

m

km

s)

•

Livingston, Louisiana

Figur 4.54. LIGO-eksperi­men­ tets to detektorer be­finder sig henholdsvis i Hanford (i staten Washington) og i Livingston (i staten Louisiana).

168 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

en rum-tid, der ligner det sorte hul, blot uden begivenhedshorisonten.

Ormehullet er desuden åbent i begge ender, så man i princippet kan rejse igennem det og komme ud et helt andet sted i Universet. Bereg­ ninger viser, at det er svært at holde et ormehul åbent, og et orme­hul kan i teorien anvendes som tidsmaskine.

Tidsmaskiner giver anledning til nogle ubehagelige paradokser, hvor man kan rejse tilbage i fortiden og ændre den, så nutiden påvirkes på en måde, der umuliggør tidsrejsen.

TÆ N K E F TE R 11

a) John Michell beregnede, at en stjerne med samme densitet som Solen og 500 gange større diameter ville opfylde betin­ gelsen for at være en mørk stjerne. Kontrollér hans resultat. b) Et ormehul kan i teorien bruges til at rejse fra A til B, hurti­ gere end lyset, der tager den lange vej udenom. Kan du for­ klare, hvorfor man kan bruge et ormehul som tidsmaskine? c) I 2017 observerede LIGO-forskerne tyngdebølger fra to kol­ liderende neutronstjerner 100 millioner lysår væk. Tyngde­ bølgesignalet ankom 1,7 sekunder før man observerede gammastråling fra begivenheden. Hvad fortæller det os om hastigheden af tyngdebølger? d) Afstanden mellem LIGO-detektorerne i Hanford og Livings­ ton er 3030 km. Hvad er den maksimale tidsforskel for et tyngdebølgesignal, der opfanges af begge detektorer? (Tip: Fra hvilken retning kommer tyngdebølgen?)

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 169

6 Sammenfatning ▶ Newtons universelle lov for tyngdekraften mellem to masser, M og m i afstanden r, med vektorer: → → M·m r F = –G · 2 · → |r | r → → M·m r ▶ Tyngdefeltet omkring en punktmasse er: F = –G · 2 · → |r | r ▶ For feltlinjer omkring en punktmasse gælder det, at antallet af linjer er proportionalt med massen og illustrerer tyngdefeltets størrelse.

▶ Tyngdefeltet tæt ved jordoverfladen i højden h er: g(h) = g ·

rjord rjord + h

▶ Den potentielle energi i højden y tæt ved jordoverfladen er: Epot(y) = m · g · y ▶ Den potentielle energi i afstanden r fra Jordens centrum er: M·m Epot(r) = –G · r ▶ Undslippelseshastighed fra et legeme med massen M i afstanden r fra centrum af massen er: v =

√

2·G·M Rjord

▶ Virialsætningen: For et objekt i en cirkelbane, med radius r, om et centrallegeme med massen M, gælder om objektets kinetiske og potentielle energi: M·m Ekin = ½ · Epot = –½ · G · r ▶ En Schwarzschild-radius er den afstand, hvor lys ikke kan undslippe fra en masse: 2·G·M RSch = c2

170 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

OPG AVE R

Felter 4.1 Figuren viser en metalplade, hvor tempe­ raturen (i ºC) er målt forskellige steder.

Antag, at temperaturen varierer kontinuert mellem målepunkterne, fx er temperatu­ ren midt imellem 90 og 120 lig 105 ºC. 65 •

95 •

115 •

150 •

185 •

100 •

150 •

200 •

250 •

300 •

130 •

170 •

235 •

275 •

350 •

125 •

170 •

230 •

250 •

295 •

90 •

120 •

160 •

170 •

175 •

4.3 Beregn værdien af g med 3 decimalers

nøjagtighed for: a) Mexico City, 2250 meter over havets overflade. b) ISS i 400 km’s højde.

4.4 Bestem værdien af tyngdefeltet ved over­

fladen af: a) Månen. b) Mars.

4.5 Bestem, hvor mange gange større tyngde­

kraften fra Solen på Jorden er i forhold til tyngdekraften på Jorden fra Månen.

4.6 I Jules Vernes roman Autour de la Lune

Indtegn på figuren isotermerne (kurver med samme temperatur) for henholdsvis 100 ºC, 200 ºC og 300 ºC. Tyngdefeltet 4.2 Se på tegningen. I to punkter på hver af akserne i afstanden 2 m fra O, er anbragt masser på 4 kg. Beregn tyngdefeltets stør­ relse og retning i punktet O. y

(Rundt om Månen) fra 1870 kommer måneraketten til et punkt i rummet, hvor tyngdekræfterne fra Jorden og Månen op­ hæver hinanden, det vil sige, at de er lige store. Beregn hvor langt dettte punkt er fra Jordens centrum

Banebevægelser i tyngdefeltet 4.7 Beregn, hvor langt Lagrangepunktet, L1, på linjen mellem Jorden og Solen, ligger fra Solens centrum.

4.8 a) Bestem Jordens banehastighed rundt

om Solen ud fra formlen:

4 kg

v = 2m

4 kg

O

•

x

√

G·M r

b) Sammenlign din værdi i a) med vær­ dien, du finder ud fra formlen: s v = t hvor strækningen er en jordbanes længde, og tiden er 1 år.

2m

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 171

c) Bestem Solsystemets banehastighed rundt om Mælkevejens centrum, idet afstanden er 26 700 lysår, og omløbs­ tiden er 226 millioner år. d) Benyt formlen i a) til at vurdere den masse, der er inden for Solens bane omkring Mælkevejens centrum.

4.9 Forfatteren Arthur C. Clarke foreslog i

tidsskriftet Wireless World i 1945, at satel­ litter kunne bruges til kommunikation, hvis de blev anbragt i en cirkulær bane over ækvator med samme omløbstid som Jordens rotationstid. På den måde ville satellitten forblive på himlen over samme punkt på ækvator. En sådan bane kaldes geostationær eller geosynkron. a) Bestem satellittens højde over jordover­ fladen, hvis vi sætter et døgn til 23 t og 56 min. (Tip: Benyt Keplers 3. lov.) b) Beregn den nødvendige centripetalacce­ leration for en geostationær satellit, der bevæger sig i den højde, du fandt i a).

Kommentér resultatet.

4.10 Bestem den hastighed, der skal til for at

undslippe fra overfladen af: a) Solen. b) Månen. c) Asteroiden Ceres. d) Mælkevejen. (Tip: Find Mælkevejens masse og radius i eksempel 4.6.)

4.11 Rumsonden New Horizons blev opsendt

med en Atlas V-raket fra Cape Canaveral den 19. januar 2006. Næsten 9 år senere, et halvt år før mødet med dværgplaneten Pluto, blev rumsonden vækket til live.

Sonden passerede Pluto i juli 2015 efter en rejse på 5,25 milliarder km (se figur 4.55).

Den er nu på vej igennem Kuiper-bæltet og ud i det interstellare rum. Ved opsendelsen var sondens hastighed 16,26 km/s. a) Vis, at New Horizons ikke havde energi nok til at undslippe Solens tyngdefelt.

(Tip: Bestem undslippelseshastigheden for Solen i den rigtige afstand.)

Figur 4.55. New Horizons’ banekurve gennem Solsystemet og dens position maj 2021. Banekurven op­ dateres løbende på: http://pluto.jhuapl.edu/Mission/Where-is-New-Horizons.php

172 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

13 måneder efter opsendelsen passerede rumsonden Jupiter for et såkaldt gravity assist, hvor man udnytter planetens tyngde­k raft til at tilføre rumsonden me­ kanisk energi. Efter mødet med Jupiter var rumsondens hastighed 23 km/s. b) Vis, at sonden efter mødet med Jupiter havde energi nok til at undslippe Sol­ systemet.

4.12 Saturn V-raketten, der blandt andet blev

benyttet til at sende de første mennesker til Månen, var en tretrinsraket. Første trin havde en brændtid på 168 s, thrust på 35,1 MN og startmasse m0 = 2,97 · 106 kg.

Brændstoffets masse var mb = 2,16 · 106 kg. a) Bestem udslyngningshastigheden af brændstoffet. b) Bestem sluthastigheden for trin 1. c) Hvor højt er raketten nået op ved slut­ ningen af trin 1? Vi ser bort fra luft­ modstanden.

4.13 Vi ser på første trin i opsendelsen af

raketten Falcon Heavy i eksempel 4.9, hvor kraften er konstant, F = 22,8 MN, og brændtiden er Δt = 180 s. Bestem ændrin­ gen i bevægelsesmængde for raketten, der skyldes: a) Raketmotoren. b) Tyngdekraften (hvor vi antager, at tyngde­acce­lerationen er konstant, g = 9,81 m/s2).

4.14 Betragt figur 4.35. Forklar, hvorfor masse­

forholdet ved Δv = 0 har en værdi på 1. u

Mørkt stof 4.15 Benyt data fra tabellen med »Data for planeter i Solsystemet« i Appendiks F til at bestemme banehastigheden for Sol­ systemets 8 planeter på to måder: v= og

√

G·M r

s 2π · a v= = t T

Kontrollér, at de to metoder giver samme resultat.

4.16 Vi har observeret en rotationskurve, hvor

v(r) er konstant for r > 25 000 lysår. Benyt Keplers 3. lov, G·M v2 = , r til at bestemme, hvordan massen M(r) afhænger af r, når v(r) er konstant.

4.17 a) Benyt Mælkevejens rotationskurve i

figur 4.23 til at bestemme rotations­ hastigheden i afstanden 50 000 lysår.

Vi antager, at der kun er lysende masse ud til Solens afstand fra centrum (26 700 lysår), og sætter derfor Mælke­ vejens masse til at være 2,18 · 1041 kg. b) Anvend Keplers 3. lov til at bestemme den forventede rotationshastighed i afstanden 50 000 lysår, og sammenlign med dit svar i a).

Bestemmelse af Jordens masse 4.18 Foretag en simulering af, hvor lang tid det tager to masser, som Newton beskriver (side 154), at støde sammen. Benyt følgen­ de værdier i din udregning: s = ¼ tomme (1 tomme = 2,54 cm) d = 1 fod (1 fod = 30,48 cm) ρ = 5,5 g/cm3

K APITEL 4 T YNGDEFELTER • 173

4.19 Beregn tyngdekraften mellem en lille og

en stor blykugle, som dem Cavendish brugte i sit eksperiment og i samme af­ stand som i eksperimentet.

4.20 Vis, at en afstand på 1,31 km på jordover­

fladen cirka svarer til en vinkel på 42,94" til Jordens centrum, se figur 4.39.

Almen relativitetsteori 4.21 Beregn Jordens Schwarzschild-radius.

4.22 Beregn undslippelseshastigheden for en

neutronstjerne med en radius på 10 km og en masse på 3 solmasser.

4.23 I Mælkevejens centrum, i stjernebilledet

Skytten, befinder sig en meget kraftig røntgenkilde, Sgr A* (se figur 4.56). Stjer­ nerne i nærheden bevæger sig omkring røntgenkilden med meget store hastig­ heder. Stjernen S2 bevæger sig i en stærkt excentrisk bane med en middelafstand på 970 AE og en omløbstid på 16,05 år.

Benyt Keplers 3. lov til at bestemme massen af centralmassen inden for S2’s bane:

Figur 4.56. Mælkevejens centrum med røntgen­ kilden Sgr A* (ved krydset) og en tætliggende stjerne (S2) markeret.

174 • K APITEL 4 T YNGDEFELTER

r3 G · M = T2 4π 2

Kommentér resultatet.

4.24 Der er blevet spekuleret i, om hele Univer­

set er ét sort hul. a) Beregn det synlige univers’ Schwarz­ schild-radius, idet vi sætter massen af Universet til 1,5 · 1053 kg, og sammen­ lign med det synlige univers’ radius, som er 46,5 milliarder lysår. b) Gentag beregningen, hvis vi inklude­ rer mørkt stof, så massen er fem gange større.

4.25 Vi skal beregne afbøjningen af lys ved

hjælp at Newtons teori for tyngdekraften. a) Beregn, hvor lang tid det tager lyset at passere Solen, det vil sige at lyset bevæ­ ger sig en afstand svarende til Solens diameter. b) Idet lyset passerer Solen, accelereres det ind mod Solen i den tid, du har bereg­ net i a). Bestem, hvor stor lysets hastig­ hed er ind mod Solen efter denne tid.

Vi antager, at vinklen er lille, så vi kan benytte den sædvanlige tilnærmelse θ ≈ tan(θ). c) Vis ved hjælp af dine svar i a) og b) samt trigonometri, at vinkelafbøjningen bliver cirka 4 · 10 –6 radianer. d) Regn dit svar i c) om til buesekunder (hvor et buesekund er lig 1’’ = 1/3600°).

Sammenlign resultatet med dit svar i Tænk efter 10b og den korrekte værdi, som er 1,75’’.

5

ELEKTRISKE FELTER Samfundet et helt afhængigt af elektricitet og elektriske apparater. I dette kapitel ser vi nærmere på den teoretiske beskrivelse af elektriske felter, og hvordan de bestemmer elektriske ladningers opførsel.

En gnist springer mellem to elektriske ledere, når den elektriske spændingsforskel bliver stor nok til, at ladning kan løbe gennem luften.

1 Elektricitet Elektrisk ladning og elektrisk strøm

glas folie

folie

Figur 5.1. Leydnerflasken inde­holder luft. Den indvendige folie er forbundet via en metalkæde til en metalstang i toppen af flasken, hvorfra den kan tilføres elektrisk ladning.

Elektrostatisk kraft: Den elektriske kraft, der skyldes kraften fra elektriske ladninger, der ikke er i bevægelse (statiske).

Figur 5.2. Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) var en fransk militæringeniør og fysiker, der bl.a. arbejdede med elektrostatik og gnidning.

Allerede i antikken, omkring 600 f.v.t., opdagede grækerne, at rav kun­ne tiltrække hår og tørt strå, hvis man gned på det med et skind.

Det var statisk elektricitet, de havde opdaget.

I 1700-tallet eksperimenterede flere fysikere med statisk elektrici­ tet og fandt ud af, hvilke stoffer der var gode ledere, og hvilke der var dårlige, men endnu var man kun i stand til at skabe elektricitet ved at gnide to materialer mod hinanden.

Opfindelsen af leydnerflasken i 1745 gjorde det muligt at lagre elektrisk ladning (med modsatte fortegn) på både inder- og ydersiden af flasken. Den var en tidlig form for en kapacitor, det vil sige en elektrisk komponent, der kan op­bevare elektrisk energi bundet til ladninger. I modsætning til et batteri, der kan levere en vedvarende strøm af ladninger, kan leydnerflasken blot oplades med statisk elektricitet, som senere kan aflades. Den kunne altså ikke anvendes som strømkilde.

Ved at eksperimentere med leydnerflasken opdagede Benjamin Frank­lin (1706-1790), at elektriciteten strømmede som en væske, og han indførte betegnelserne negativ og positiv ladning. (Om elektriske ladninger, se også BasisFysik B, kapitel 13).

Leydnerflasken var et fremskridt i undersøgelsen af elektrisk ladning, men det var endnu ikke muligt at opbygge elektriske kredsløb med den. I 1784 lykkedes det imidlertid for Charles-Augustin de Coulomb at påvise, at den elektrostatiske kraft mellem to punktladninger aftog med kvadratet på afstanden imellem dem.

I år 1800 opdagede den italienske fysiker Alessandro Volta (17451827), at elektricitet kunne dannes gennem kemiske processer. Han konstruerede en såkaldt voltasøjle – et primitivt batteri, men dog en stabil strømkilde. Voltasøjlen blev hurtigt anvendt til at undersøge elek­triske gnister, som fx i jakobsstigen (se figur 5.3 på næste side).

Jakobsstigen blev et af de første spæde skridt hen imod at skabe en elektrisk lyskilde. Gnisterne kan sammenlignes med små lyn, der leder strøm gennem luften.

Efter samme princip som jakobsstigen blev der i 1815 konstrueret en kulbuelampe (se figur 5.4), hvor der springer en elektrisk strøm mellem spidserne på to grafitstave. I processen frigøres kulstof, som brænder i en lysende bue – deraf navnet kulbue­lampe.

De to anvendelser af elektrisk strøm, som åbenbart kan ledes gennem luft, antyder, at ladningerne kan mærke hinanden på afstand på

176 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

WC

Figur 5.3. En jakobsstige er opbygget af to ledende metaltråde, som buer væk fra hinanden. Når strømmen tilsluttes, dannes en gnist mellem trådene i bunden, hvorefter gnisten bevæger sig opad.

Figur 5.4. I en kulbuelampe opstår lyset mellem spidser­ne på to grafitstave. Kulbuelampen kaldes også en davylampe efter den engelske kemiker sir Hum­phry Davy (1778-1829), som konstruerede den.

samme måde som masser, der tiltrækkes mod hin­anden på store afstande.

Siden antikken har man kendt til særlige magnetiske sten, som kan tiltrække jern. Magneter kan både være tiltrækkende og frastødende på grund af deres modsatte poler (nord og syd). Det vender vi tilbage til i kapitel 6.

Opdagelsen i 1780'erne af, at både den elektriske og magnetiske kraft opfyldte afstandskvadratloven, samt fjernvirkningen mellem elek­­­triske ladninger ledte omkring år 1800 fysikerne til at søge efter flere analogier. Det var ud fra disse generelle erkendelser, man fandt frem til, at et elektrisk felt er analogt til et tyngdefelt.

TÆ N K E F TE R 1

a) I en jakobsstige dannes en gnist mellem to elektroder, der er sat i en vinkel, se figur 5.3. Kan du forklare, hvorfor gnisten dannes i bunden af stigen? (Tip: Hvor er feltet størst?) b) Hvis man lader spændingskilden være tilsluttet til jakobsstigen, bevæger gnisten sig opad. Kan du forklare, hvorfor den gør det?

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 177

2 Det elektriske felt Elektrisk ladning

+

-

+

-

+

+ -

-

Figur 5.5. Ladninger med mod­satte fortegn tiltrækker hinanden, mens ladninger med samme fortegn fra­ støder hinanden.

torsionshoved glasrør torsionstråd

låg cylindrisk glasbeholder skala

Figur 5.6. Coulombs snovægt (torsionsvægt). En stang med to kugler hænger i en snor i midten. Den gule og blå kugle har samme ladning og frastøder hinanden, hvorved snoren vrides rundt. Drejningsvinklen er et udtryk for kraften.

Vi har i BasisFysik B (kapitel 13) introduceret nogle grundlæggende egenskaber ved elektriske ladninger. Elektrisk ladning benævnes med symbolet Q og måles med enheden coulomb (C).

En elektron har en elektrisk ladning på 1,602 · 10–19 C. For elektriske ladninger gælder en bevarelseslov: Den samlede ladning ændres ikke – den er konstant. Ladninger kan enten tiltrække eller frastøde hinanden (se figur 5.5).

I det følgende skal vi kigge nærmere på den elektriske kraft og det elektriske felt.

Coulombs kraftlov Omkring år 1784 undersøgte Coulomb kræfterne mellem elektriske ladninger. For at måle de svage kræfter konstruerede han en meget følsom snovægt (torsionsvægt). Den bygger på princippet om, at kraften og drejningsvinklen er proportionale (se figur 5.6). Coulomb fandt, at kugler, der var opladet med samme ladning, blev frastødt af hinanden med en kraft, der var omvendt proportional med afstanden mellem de to kuglers centre. Princippet er det samme, som vi så i afsnit 4.4, hvor Cavendish benyttede en torsionsvægt til at bestemme tyngdekraften mellem to metalkugler.

Coulomb bestemte den relative størrelse af ladningerne ved først at oplade én kugle og derefter lade den røre en identisk, men uladet kugle, så ladningen blev fordelt med halvdelen på hver af de to kugler. Ved at gentage processen kunne han halve­ ­re ladningen flere gange og undersøge kraften mellem kugler med forskellige ladninger.

Coulomb viste, at kraften dels afhænger af produktet mellem de to ladninger q og Q, regnet med fortegn, og at kraften er omvendt proportional med afstanden, r, mellem de to ladningers centre: F = kC ·

q·Q r2

Coulombs kraftlov for elektrostatiske ladninger

Med vektorer skrives Coulombs kraftlov: →

F = kC ·

178 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

q·Q r

2

·

→

r |r| →

→

→

→

Hvis r er en vektor fra Q til q, så er F = FQ q den elektriske kraft fra Q på q, svarende til den røde pil på figur 5.7. →

→

r

F

→

•

•

Figur 5.7. Kraften fra Q på q. Kraften er frastødende, hvis ladningerne har samme fortegn, og tiltrækkende, hvis de har modsat fortegn.

F

Q⏟ q r

Kraften fra q på Q kan findes ved anvendelse af Newtons 3. lov: →

→

Fq Q = –FQ q Proportionalitetskonstanten, kaldet Coulombs konstant, har værdien: kC = 8,987552 ∙ 109

N · m2 C2

kC udtrykker styrken af den elektrostatiske kraft. Konstanten skrives nogle gange som: kC = Vakuumpermittiviteten ε 0 beskriver, hvor svært det er for det elektriske felt at gennemtrænge vakuum.

1 C2 ε0 = 8,854188 ∙ 10 –12 N · m2 4π · ε0

ε0 kaldes vakuumpermittiviteten og beskriver, hvor svært det er for det elektriske felt at gennemtrænge vakuum.

Kraften er tiltrækkende, når ladningerne har forskellige fortegn, og frastødende, når ladningerne har samme fortegn (se figur 5.5).

TÆ N K E F TE R 2

a) Hvorfor benyttede Coulomb en snovægt til sit eksperiment?

(Tip: Overvej, hvor stor tyngdekraften fra Jorden ville være i en lodret opstilling, og om tyngdekraften mellem de ladede kugler har indflydelse.) b) Kunne Coulomb fastlægge værdien af konstanten kC med sit forsøg? (Tip: Læs afsnit 4.4).

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 179

Elektrisk felt

r

Q M

2r

Figur 5.8. Figuren viser elektriske feltlinjer, der udgår fra en positiv punktladning Q. Feltstyrken aftager med kvadratet på afstanden:

Q r2

E = kC ·

En elektrisk ladning danner et elektrisk felt omkring ladningen. Dette er analogt med tyngdefeltet fra Jorden, der påvirker en genstand med masse (se faktaboksen på næste side). → → Analogt til tyngdefeltet definerer vi det elektriske felt, E (r ), i et punkt i rummet som den kraft en lille ladning q, der anbringes i feltet, påvirkes med, divideret med ladningen: → →

E (r ) =

→ →

→

→

Q r F elektrisk = kC · 2 · → q r |r|

Elektrisk felt omkring punktladning

Det er også analogt til tyngdefeltet omkring en punktmasse (se afsnit 4.2), og feltets størrelse afhænger kun af størrelsen af ladningen, Q, samt afstanden, r, i anden potens i nævneren. Feltet opfylder med andre ord afstandskvadratloven.

Størrelsen af det elektriske felt kaldes den elektriske feltstyrke E. Feltstyrken fra en punktladning Q i afstanden r er givet ved:

→

→

E

E

Definition af elektrisk felt

Feltstyrken måles i enheden N/C eller V/m.

Ligesom tyngdefeltet har det elektriske felt både størrelse og retning. Da der findes to slags elektriske ladninger, kan feltlinjer både begynde og ende på en ladning. Reglen er, at feltlinjerne udgår fra positive ladninger og ender på negative ladninger. I appendiks B går vi mere i dybden med feltlinjer.

Ovenstående definition giver os sammen med Coulombs lov det elektriske felt omkring en punktladning Q: E (r ) =

E

→

→

Felektrisk

q

E = kC ·

→

E

→

E

|Q| r2

Kraften på en elektrisk punktladning, q, der befinder sig i et elektrisk felt, kan skrives som en vektor ved hjælp af den elektriske feltvektor: →

→

Felektrisk = q ∙ E

→

E

Figur 5.9. Elektriske felter omkring to punktladninger med samme fortegn (øverst) og to punktladninger med modsat fortegn (nederst).

Kraften på en punktladning i et elektrisk felt

Bemærk, at kraftens retning følger feltets retning. Det betyder, at man kan aflæse kraftpåvirkningen på en tegning af de elektriske feltlinjer.

Hvis man fx har to punktladninger med henholdsvis positivt og negativt fortegn, vil feltlinjerne udgå fra den positive ladning og ende i den negative ladning (se figur 5.9).

Det elektriske felt tjener større formål end som illustration af retningen af kraften på en ladning. Coulombs lov antyder, at kraften overføres øjeblikkeligt. Det er ikke korrekt.

180 • K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER

ANALOG I ME LLE M DE T E LE K TRISKE FE LT OG T Y NG DE FE LTE T

Der er en stærk analogi mellem det elek­triske felt og tyngdefeltet: ▶ Begge kræfter aftager med kvadratet på afstanden. ▶ Begge kræfter frembringes af punkt-»ladninger«, elektrisk ladning og masse.

Tyngdekraften mellem en genstand med en lille prøvemasse m og en større masse M er beskrevet af Newtons tyngdelov. Da m << M, vil en prøve­masse ved Jordens overflade bevæge sig i det tyngdefelt, som Jorden skaber. Dette kan udtrykkes med tyngdeaccelerationen g (med en­heden N/kg = m/s2), der samler udtrykket i parentesen, hvor M = MJord og r = r Jord:

( M)

Man kan ikke se tyngdefeltet, men kun måle dets påvirkning ved, at der virker en kraft (tyngdekraften) på en genstand med masse.

Tilsvarende vil en lille prøveladning q i nærheden af en større ladningsfordeling Q være beskrevet af Coulombs lov. Da q << Q, vil en prøve­ ladning i nærheden af en større ladning bevæge sig i det elektriske felt, som ladningsfordelingen skaber. Det elektriske felt E (med enheden N/C = V/m) samler udtrykket i parentesen:

( Qr ) = q · E

F=q· k·

2

Man kan ikke se det elektriske felt, men kun måle dets påvirkning ved, at der virker en elektrisk kraft på en genstand med ladning.

F = m · G · 2 = m · g r Den elektriske kraft på en lad­ning i et elektrisk felt er:

Tyngdekraften nær Jordens overflade er:

Fg = m · g ⇒ g =

Fg m

g er tyngdefeltet, som svarer til kraft pr. masse.

Det måles i enheden N/kg.

Q M

Fe = q · E ⇒ E =

Fe q

E er det elektriske felt, der svarer til kraft pr. ladning.

Det måles i enheden N/C.

Allerede i afsnit 4.5 omtalte vi problemerne ved en model, hvor kraft­ overførslen af tyngdekraften er øjeblikkelig. Hvis vi flytter en elektrisk ladning, Q, vil effekten af denne ikke udbredes øjeblikkeligt. Som det gælder for tyngdefeltet vil virkningen af at flytte ladningen Q udbredes med lysets hastighed. Effekten på ladning q ved flytning af elektrisk ladning Q mærkes først, når ændringen i feltet har bevæget sig hen til ladning q’s position.

En antenne er et godt eksempel på dette. Når ladningen Q i antennen bevæges, udsendes elektromagnetisk stråling, der bevæger sig væk fra antennen med lysets hastighed. Disse radiobølger kan opfanges af en anden antenne, hvor ladningen q påvirkes. Ifølge Coulombs lov sker ændringen i kraften på q i samme øjeblik, vi flytter ladningen Q. Dette står i modsætning til det, der faktisk måles.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 181

E K SE MPE L 5.1

Elektrisk felt fra proton i brintatomet I brintatomet bevæger en enkelt negativt ladet elektron sig omkring en positivt ladet proton. a) Bestem den elektriske feltstyrke fra protonen i afstanden én Bohrradius. b) I hvilken retning peger feltet?

Løsninger a) Én Bohr-radius svarer til 5,292 ·10 –11 m. Det elektriske felt i den afstand er: E = kC ·

2 |Q| 1,602 · 10–19 C 9 N· m = 5,141 · 1011 V/m = 8,988 · 10 · r2 C2 (5,292 · 10–11 m)2

b) Protonens ladning er positiv, så feltlinjerne begynder på protonen og fortsætter radialt ud.

Svar: Den elektriske feltstyrke fra protonen i afstanden én Bohr-radius er 5,141 · 1011 V/m, og retningen er radialt væk fra ladningen.

I eksempel 13.2 i BasisFysik B beregnede vi den elektriske kraft mellem en proton og en elektron til 8,2 · 10–8 N. Det stemmer overens med ovenstående, idet: E=

F 8,2 · 10–8 N N = 5,1 · 1011 = C q 1,6 · 10–19 C

Coulombbarrieren Ved nuklear fusion støder to elektrisk ladede atomkerner sammen.

For at kernerne kan fusionere, skal de klassisk set have nok kinetisk energi til at overvinde den elektriske frastødning fra de positive kerner. Dette kaldes coulombbarrieren.

En atomkernes størrelse er cirka r kerne = 1,0 · 10 –15 m, hvilket også er den afstand, hvor den tiltrækkende kernekraft overvinder den elektriske frastødning.

Analogt til tyngdefeltet kan vi definere et elektrisk potential UE i afstanden r fra en elektrisk ladning Q: UE(r) = kC ·

Q r

Den elektriske potentielle energi Eelektrisk for en ladning q er defineret som Eelektrisk = q · U. For at overvinde coulombbarrieren skal den ene partikel have en kinetisk energi, der er større end den elektrisk potentielle energi.

182 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

E K SE MPE L 5. 2

Elektriske potentielle energi Bestem den elektriske potentielle energi for en proton i afstanden r kerne af en anden proton.

Løsning Ladningerne er ens, så der gælder: q = Q = e. Den elektriske potentielle energi er: e k E = e · kC · r = e2 · r C kerne kerne (1,6 · 10–19 C)2 · 9,0 · 109 = 1,0 · 10–15 m

N · m2 C2

= 2,3 · 10 –13 J

Bemærk, at enheden som forventet bliver N · m = J. Svar: Den elektriske potentielle energi for en proton i afstanden r kerne af en anden proton er 2,3 · 10 –13 J.

TÆ N K E F TE R 3

Bemærk: Spørgsmål e) og f) kræver et faradaybur. a) Hvad ville der ske, hvis en proton og en elektron ikke havde præcis samme ladning? b) Hvilken slags elektrisk ladning svarer masse til? c) Hvad ville være konsekvensen af, at der fandtes negativ masse? d) Et faradaybur (se BasisFysik B, side 239) består af et metal­ gitter, som forhindrer at der springer gnister ind i buret, hvis det påføres elektrisk ladning. Årsagen er, at det elektriske felt er nul inde i buret. Kan du forklare, hvorfor det elektriske felt er nul? (Tip: Tegn feltlinjerne fra ladningen.) e) Prøv at hænge små metalkugler, fx af alufolie, op i et faradaybur, en indvendig og en udvendig. Tilfør buret ladning, observér, hvad der sker med de to kugler og forklar det. f) Undersøg, om man kan ringe til en mobiltelefon, der befinder sig i et fara­ day­bur med ladning på overfladen.

(Tip: Hvad består den mikrobølge­ stråling af, som en mobiltelefon kommunikerer med?)

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 183

DY R ME D E LE K TRISKE SANSE R

Der findes flere eksempler på dyr, der benytter elektriske felter til navigation og positionsbestemmelse af bytte. Nogle fiske­arter, blandt andet elektrisk ål, elektrisk rokke og elektrisk

malle, kan udsende elektriske pulser, der kan lamme byttedyr. Deres elektriske organ sætter dermed fisken i stand til at spotte føde uden for sit synsfelt.

Figur 5.10. En fisk frembringer ved hjælp af et or­ gan et elektrisk felt omkring sig. Feltstyrken måles af receptorer på overfladen. Byttedyr, der kommer i nærheden, forstyrrer det elektriske felt og ænd­ rer feltstyrken, hvilket påvirker receptorerne.

Figur 5.11. Et næbdyrs næb er fyldt med elektroreceptorer, der kan opfange elektriske felter. Det benytter dyret til at lokalisere byttedyr og vand i jorden.

Elektronkanon En elektronkanon (figur 5.12) er en elektrisk komponent, der benyttes til at løsrive elektroner og accelerere dem. Før LED-teknologien vandt indpas, var der en elektronkanon i ethvert tv-apparat. En elektron­ kanon er også hovedkomponenten i et katodestrålerør (se Basis­Fysik B, side 224).

Figur 5.13. Principtegning af en elektronkanon. Elektroner rives løs ved katoden (negativ pol) og accelereres mod anoden (positiv pol).

katode anode opvarmningsspænding (0-6,3 V)

elektronstråle

accelerationsspænding Vb

184 • K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER

vakuumrør

I et katodestrålerør varmes katoden op, og elektroner rives løs. Et spændingsfald accelererer dem mod anoden, hvor de passerer et hul i centrum og danner en tynd stråle af hurtige elektroner. I Basis­Fysik B (opgave 14.6) bestemte vi for et rør med U = 10 kV hastigheden af sådanne elektroner. I de fleste anvendelser har man brug for at afbøje strålen, så den kan ramme andre steder end direkte foran hullet i anoden.

Til det formål kan man enten benytte magnetfelter (se kapitel 6) eller efter anoden indsætte et sæt parallelle plader, der danner et homogent elektrisk felt. Det vender vi tilbage til, men først et eksempel.

E K SE MPE L 5. 3

Van de Graaff-accelerator En elektronkanon er ét eksempel på en elektrostatisk accelerator, hvor der anvendes et statisk elektrisk felt til at accelerere partikler. Et andet eksempel er en van de Graaff-accelerator, hvor man udnytter en van de Graaff-generator til at opbygge en spændingsforskel. Van de Graaff-generatoren benyttes til at skabe (positive) ioner på en metal­kugle, der derefter kan accelereres (ikke vist på figur 5.13) som i elektron­kanonen. hul metalkugle

a) Vis, at den maksimale hastighed, en elektron kan opnå, er: v=

metalbørste til opsamling af ladning

ladning transportbånd

√

2e · U m

hvor U er spændingsforskellen

b) Bestem hastigheden af en elektron, der rives løs fra katoden i en van de Graaff-accelerator med en potentialforskel på U = 1,00 kV.

ladning motor

metalbørste

remskive

Figur 5.13. Principtegning af en van de Graaff-accelerator.

Løsninger a) Ændringen i kinetisk energi må være lig ændringen i elektrisk potentiel energi, e · U = ½ m · v2. I denne ligning isolerer vi hastigheden og får:

√ b) v = √ v=

2e · U m 2e · U me

=

√

2 · 1,60 · 10–19 C · 1,00 · 103 V 9,11 · 10–31 kg

= 1,87 · 107 m/s

Svar: Hastigheden af elektronen er 1,87 · 107 m/s.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 185

Homogent elektrisk felt Ovenfor har vi undersøgt det elektriske felt fra en punktladning. Vi fandt, at feltet aftog med afstanden til ladningen. Der findes imidlertid også felter, hvor feltstyrken er nogenlunde konstant.

En såkaldt pladekondensator består af to plader, der kan påføres elektrisk ladning. Imellem pladerne vil de elektriske feltlinjer med god tilnærmelse være parallelle og kun bue ved enderne, se figur 5.14.

Figur 5.14.

a. En pladekondensator til skole­ forsøg.

b. Tegning af de elektriske feltlinjer.

c. Det elektriske felt visualiseret med et elektrisk polært materiale, der flyder på olie.

Det elektriske felt mellem to parallelle plader er homogent, undtagen tæt ved enderne af pladerne, og er givet ved: E=

U d

Elektrisk felt mellem to parallelle plader

U er spændingsfaldet mellem pladerne, og d er afstanden mellem pladerne. Feltets retning går fra den positive ladning til den negative.

Figur 5.15. Det elektriske felt mellem to parallelle plader er homogent.

U

186 • K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER

E

d

Udledning af formlen E =

U d

For at flytte en ladning fra den ene af to parallelle plader til den anden skal den elektriske feltkraft udføre et arbejde (idet kraften er F = q · E, og strækningen kaldes d): Afelt = F · s = q · E · d Sammenhængen mellem dette arbejde og spændingsfaldet definerede vi i Basis­Fysik B, side 240: Afelt U= q Vi kombinerer de to formler og får: Afelt q · E · d U = q = q = E · d dvs. U = E · d

eller

E=

U d

I appendiks B udledes et udtryk for det elektriske felt ud fra størrelsen af den påførte ladning: E=

Q A · ε0

E K SE MPE L 5. 4

Bevægelse i homogent elektrisk felt To parallelle metalplader anbringes med en afstand på 10 cm og en spændingsforskel på U = 1,0 · 104 V. a) Bestem størrelsen af det elektriske felt mellem pladerne.

En elektron sendes ind mellem pladerne som på figuren: Figur 5.16. En elektron bevæger sig ind i et homogent elektrisk felt og påvirkes af en elektrisk kraft.

U

q

b) Bestem størrelse og retning af kraften på elektronen, når den er mellem pladerne (q på tegningen). c) Bestem størrelse og retning af elektronens lodrette acceleration.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 187

Løsninger U 1,0 · 104 V = 1,0 · 105 V/m a) E = = d 0,10 m b) Feltlinjerne peger nedad, og elektronens ladning er negativ, så kraften er rettet opad. Størrelsen af kraften er: F = |q| · E = 1,6 · 10 –19 C · 1,0 · 105 V/m = 1,6 · 10 –14 N c) a =

F 1,6 · 10–14 N = 1,8 · 1016 m/s2 = m 9,1 · 10–31 kg

Accelerationen har samme retning som kraften.

Svar: Feltstyrken mellem pladerne er 1,0 ·105 V/m. Kraften på en elektron er 1,6 ·10 –14 N, og accelerationen er 1,8 ·1016 m/s2. Både kraft og acceleration er rettet opad. Accelerationen er meget stor, da elektronens masse er så lille.

Pladerne i figur 5.16 kan som nævnt afbøje en elektrisk ladet partikel i lodret retning. I 1898 udviklede den tyske fysiker Wilhelm Wien (1864-1928) dette til hastigheds­filteret, der kombinerer et elektrisk felt med et magnetfelt.

Hvis elektronen kommer ind mellem pladerne med farten vx i vandret retning, kan vi bestemme, hvilken tilvækst i fart den får i y-retningen. Vi antager, at pladernes længde er l, og elektronens masse er m. Accelerationen bliver da:

vy q

vx

ay =

l Figur 5.17. En ladet partikel med ladningen q, der kommer ind mellem to plader med farten vx , vil blive accelereret i lodret retning af det elektriske felt mellem pladerne og kommer ud med farten vy i lodret retning, givet ved formlen ovenfor.

F q·E = m m

Den tid, det tager elektronen at bevæge sig forbi pladerne, er: t=

l vx

Til­væksten i y-hastighed er derfor: vy = ay · t =

|q| · E l e·E·l · = m vx m · vx

TÆ N K E F TE R 4

Hvilken banekurve følger elektronen? (Tip: Benyt analogien mellem det elektriske felt og tyngdefeltet).

188 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

E K SPE RIME NT 5.1

Fire små forsøg med en plasmakugle Formålet med disse forsøg er at give indtryk af elektriske felter.

En plasmakugle kan bruges som en højspændingskilde og til at undersøge elektriske felter. Kuglen, der er lavet af glas, indeholder en gas, typisk en ædelgas ved lavt tryk. I centrum af kuglen skabes højfrekvent strøm med lav strømstyrke og meget høj spænding, i nogle tilfælde mere end 100 kV. Figur 5.18. En plasmakugle.

Plasma er den fjerde tilstandsform, som er karakteriseret ved, at nogle af elektronerne i atomerne er løsrevet. Man finder fx plasma i en flamme og i Solens indre.

A: Kunstige lyn Anbring en mønt på toppen af kuglen. Placér din finger på mønten, og observér, hvad der sker.

B: Elektrisk felt kvalitativt Tag fat omkring et lysstofrør i den ene ende, og hold det i god afstand fra plasmakuglen (en LED-pære kan også benyttes). Observér, hvad der sker med lysstofrøret, når det føres tættere på plasmakuglen.

Anbring nu røret (eller LED-pæren) helt tæt på plasmakuglen uden at røre den. Tag derefter fat midt på lysstofrøret. Observér og forklar.

C: Elektrisk felt kvantitativt med oscilloskop Hvis skolen har et oscilloskop og en elektromagnetisk probe, kan I undersøge det elektriske felt uden for kuglen.

Forbind proben til indgangen på oscilloskopet. Undersøg, hvordan signalet afhænger af afstanden til plasmakuglen. Hvilken sammenhæng er der mellem afstanden og E-feltstyrken?

D: Spektralanalyse af gassen i kuglen Med et spektrometer kan man undersøge spektret fra udladningerne (trådene af glødende ioniseret luft). Foretag en spektralanalyse (se Basis­Fysik B, eksperiment 19.3), og bestem den eller de gasser, der er inde i plasmakuglen.

Bemærk: Hvis man bringer plasmakuglen i en situation (fx som i forsøg A), hvor udladningen samles i én stråle, er der risiko for, at den overop­hedes. De elektriske udladninger kan give små ufarlige stød ved berøring af glaskuglen.

Kuglen udsender elektromagnetisk stråling med radiofrekvenser, så sørg for at holde god afstand til al elektronik, herunder laptops.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 189

Figur 5.19. Forskellige typer kapacitorer.

3 Kapacitorer Kapacitorer og kapacitans

Figur 5.20. Kredsløbssymbol for kapacitor.

En kapacitor er en elektrisk komponent, der lagrer elektrisk energi ved hjælp af et elektrisk felt. I elektriske kredsløb kan man fx oplade en kapacitor for senere at aflade den igen. Det benyttes blandt andet til at få strømstyrken i et elektrisk kredsløb til at ændre sig langsommere, når man tænder og slukker for strømmen til kredsløbet.

En kapacitor består af to elektrisk ledende plader anbragt parallelt i afstanden d. Mellem pladerne er placeret en elektrisk isolator, fx glas, porcelæn eller luft. Den slags materialer kaldes dielektriske.

Hvis pladerne tilsluttes en spændingsforsyning, påføres de begge en elektrisk ladning. Ladningerne må nødvendigvis være lige store med modsat fortegn, Q og –Q, se figur 5.21. +Q

Figur 5.21. Principtegning af en pladekapacitor med et dielektrisk materiale (blåt) mellem pladerne. Pladernes afstand kaldes d og arealet af pladerne A.

d

–Q

190 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

elektrisk felt E

Givet spændingen U og ladningen Q defineres kapacitansen som den ladning, der opbygges, divideret med den påtrykte spænding: C=

Q

U

Definition af kapacitans

Kapacitansen, C, måles i farad, F. Der gælder, at F = C/V. Én farad er en meget stor enhed og typiske kapacitorer har kapacitanser på nogle pF eller µF. Vi kan også sige, at der er proportionalitet mellem ladningen og spændingen, Q = C · U.

Kapacitansen af en pladekapacitor Vi ser på en kapacitor som på figur 5.15, hvor mellemrummet er tømt, så der er vakuum mellem pladerne.

I appendiks B sidst i bogen anvender vi Gauss’ lov til at vise, at det elektriske felt – når der er vakuum mellem pladerne – er: E=

Q A · ε0

Sammen med ovenstående formler kan vi udlede et udtryk for kapacitansen af kapacitoren: U=E·d=

Q ·d A · ε0

⇔

Q A · ε0 = d U

Kapacitansen af en pladekapacitor bliver derfor: C = ε0 ·

A

d

Kapacitans af pladekapacitor

E K SE MPE L 5. 5

Areal af pladekapacitor En pladekapacitor er konstrueret, så afstanden mellem pladerne er d = 0,100 mm, og kapacitansen 1,00 µF. Bestem det nødvendige areal, A, hvis der er vakuum mellem pladerne.

Løsning C = ε0 · A=

A d

⇔

C · d 1,00 · 10–6 F · 0,100 · 10–3 m = 11,3 m2 = 8,854 · 10–12 C2/N · m2 ε0

Svar: Pladernes areal skal være 11,3 m2.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 191

Stof

εr

Luft

1,0006

Papir

1,3-1,6

Plexiglas

3,4

Glas

4-10

Vand

80

Tabel 5.1. Typiske relative permittiviteter.

Figur 5.22. Et dielektrisk materiale polariseres af feltet mellem pladerne.

Arealet af pladekapacitoren i ovenstående eksempel er meget stort. For at gøre det mindre vil man i praksis rulle pladerne sammen, hvorved man får en cylinderformet kapacitor (se figur 5.19).

En anden metode til at gøre arealet mindre er at fylde mellemrummet mellem pladerne op. Hvis mellemrummet fx fyldes ud med et dielektrisk materiale som porcelæn, ændres kapacitansen. Materia­let polariseres af feltet (se figur 5.22), hvorved der opstår et overskud af positive ladninger nær den negativt ladede plade og et overskud af negativ ladning nær den positivt ladede plade. Mellem de polariserede ladninger skabes et nyt elektrisk felt, der er modsatrettet det oprindelige. Når feltet mellem pladerne bliver mindre, falder spændingen over pladerne også. Men ladningen er uændret, så kapacitansen bliver større.

Vi definerer permittiviteten ε og den relative permittivitet εr (også kaldet dielektricitetskonstanten) for det dielektriske materiale, så: ε = εr · ε 0 Kapacitorens kapacitans bliver: C=ε·

A d

TÆ N K E F TE R 5

a) Forklar, hvorfor det elektriske felt, som de polariserede ladninger i figur 5.22 danner, er modsatrettet feltet fra pladerne. b) Hvilken formel kan du bruge til at forklare, hvorfor spændingsfaldet over pladerne bliver mindre, når feltstyrken mellem pladerne falder? c) Hvilken formel kan du bruge til at argumentere for, at når spændingsfaldet bliver mindre og ladningen er uændret, så vokser kapacitansen? d) Hvad er enhederne for ε og εr? e) Hvad er den relative permittivitet af vakuum?

192 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

Serie- og parallelkobling af kapacitorer I BasisFysik B (kapitel 15) så vi, at man i elektriske kredsløb kan sætte flere resistanser sammen enten i serie- eller i parallelkoblinger. Til­sva­ rende kan kapacitorer sættes i serie- eller parallelforbindelse.

Parallelkobling Vi ønsker at bestemme kapacitansen for én kapacitor, der kan erstatte de to, uden at strømstyrken eller spændingen ændres.

Vi tilslutter to kapacitorer med kapacitanserne C1 og C2 i parallelforbindelse som illustreret på figur 5.23.

Figur 5.23. Parallelkobling af kapacitorer. Spændingsfaldet over kapacitorerne er det samme.

• U

+ –

U1

Q1 +

+

Q2

C1 –

–

C2

U2

• –– Q

kontakt Den samlede ladning Q fordeler sig på hver af kapacitorerne i ladnin• gerne Q1 og Q2, hvor Q = Q1 + QU2.2 V Pladerne er forbundet parallelt, og viAser af figur 5.23, at spændingsforskellen over begge kapacitorer er den samme, det vil sige at U1 = U2 = U. Der gælder for ladningerne:

Q1 = C1 · U

og

Q 2 = C2 · U

Og for erstatningskapacitoren får vi: Q = Cerstat · U hvor Cerstat er erstatningskapacitansen.

Q = Q1 + Q2 ⇔ Cerstat · U = C1 · U + C2 · U = (C1 + C2) · U = Cerstat · U Og vi ser, at: Cerstat = C1 + C2

Erstatningskapacitans for parallelkobling

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 193

Seriekobling For to kapacitorer tilsluttet i serieforbindelse med en spændingskilde er det samlede spændingsfald U. Vi kan nu udlede formlen for erstatningskapacitansen ved at erstatte de to kapacitorer med en enkelt med kapacitans Cerstat.

U1 Figur 5.24. Seriekobling af to kapacitorer.

U2

C1 + – Y

+ – C2

X

V

A

R U

Når strømmen sluttes, vil der på pladerne i kapacitorerne sætte sig samme ladning, Q og –Q. Ladningen på pladerne mellem de to kapacitorer dannes ved, at ladningen –Q strømmer fra pladen X over på pladen Y. Vi har for ladningerne: Q = C1 · U1 og Q = C2 · U2.

Som for parallelforbindelsen gælder for ladningen på erstatningskapacitoren, Q = Cerstat · U. For spændingsfaldet over erstatningskapacitoren gælder, at det er lig summen af spændingsfaldene over de to kapacitorer: U = U1 + U2. Indsættes udtrykkene for ladningerne heri, fås:

(

)

Q Q Q 1 1 = + =Q· + og dermed: C1 C2 C C1 C2 1 Cerstat

=

1 C1

+

1 C2

Erstatningskapacitans for seriekobling

TÆ N K E F TE R 6

a) Kan du ud fra opbygningen af en kapacitor forklare, hvorfor kapacitansen af en parallelforbindelse bliver større? b) Hvad kan man sige om kapacitansen af en erstatnings­ kapacitor for en serieforbindelse i forhold til hver af de to kapacitorer?

194 • K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER

E K SE MPE L 5.6

Beregning af erstatningskapacitans To forskellige kapacitorer har kapacitanser på henholdsvis C1 = 470 µF og C2 = 100 µF. Bestem erstatningskapacitanserne for serie- og parallelkobling af de to kapacitorer.

Løsning Cparallel = C1 + C2 = 570 µF Cserie =

1 1 + 1 C1 C2

=

1

1 + 1 470 µF 100 µF

= 82,5 µF

Svar: De to erstatningskapacitanser er for henholdsvis parallel- og serie­forbindelse: Cparallel = 570 µF, Cserie = 82,5 µF.

Opladning og afladning af en kapacitor Kapacitorer er nyttige i elektriske kredsløb og elektronik, fordi de hurtigt kan op- og aflades. Et RC-kredsløb består af en resistor med resistans R og en kapacitor med kapacitans C, i serieforbindelse med en spændingskilde med spænding U. kontakt Figur 5.25. Et RC-kredsløb består af en kapacitor forbundet til en spændingskilde, en resistor og en kontakt til at slutte kredsløbet.

R

I

•

C

U

+ Q –

Q

•

V

+

Når kontakten– sluttes, kan kredsløbet lede strøm og der tilføres ladU2 ning på kapacitoren. Derfor vokser spændingsfaldet over kapacitoren, mens det falder tilsvarende over resistoren. A Ifølge Ohms lov gælder: U = R · I, så efterhånden som kapacitoren oplades, aftager strømstyrken i kredsløbet.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 195

Man kan vise, at der for strømstyrken som funktion af tiden gælder: – ·t I = I0 · e ( RC ) 1

hvor I0 = U/R. Produktet RC kaldes for kredsløbets tidskonstant.

Spændingen over kapacitoren er givet ved:

(

UC = U · 1 – e –( RC ) · t 1

)

Når kapacitoren er fuldt opladet, løber der ingen strøm i kredsløbet, og I = 0 samt UC = U. Efterfølgende kan man aflade kapacitoren ved at fjerne spændings­ kilden fra kredsløbet i figur 5.25.

For afladning gælder da, at strømstyrken igen aftager eksponentielt efter samme formel som ved opladning, mens spændingen nu aftager eksponentielt: UC = U · e –( RC ) · t 1

Figur 5.26. Opladnings- og afladningskurver for spændingen over en kapacitor.

a

b

Uc

Uc opladning

tid

afladning

tid

TÆ N K E F TE R 7

Vi ser på et kredsløb. Til at begynde med er kontakten åben, og kapacitoren er ikke C ladet op.

Kontakten sluttes. a) Forklar, hvad der gradvist sker med kontakt batteri pæren, efter kontakten sluttes. b) Vi aflader kapacitoren, åbner kon­tak­ten og tilføjer endnu en kapacitor på den anden side af pæren, så der er en kapacitor på hver side af pæren. Kontakten sluttes igen. Hvad sker der nu gradvist med pæren?

196 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

E K SPE RIME NT 5. 2

Op- og afladning af kapacitorer Vi skal undersøge op- og afladning af kapacitorer.

Apparatur Spændingskilde, kapacitorer, resistor, kontakt og multimeter.

Forsøgsgang Opbyg en opstilling som angivet i figur 5.27 med C = 100 µF og R = 10 kΩ. kontakt ved opladning

Figur 5.27. Kredsløbsdiagram til opladning og afladning.

R kontakt ved afladning

U

C

+ –

UC

+ –

Slut kontakten til positionen ’opladning’, og lad kapacitoren op til 5,0 V, samtidig med at spændingen over kapacitoren noteres med jæv­ne mellemrum.

Efter endt opladning flyttes kontakten til afladningspositionen, og A spændingen over kapacitoren noteres igen med jævne mellemrum.

Databehandling ▶ Udfyld en tabel som nedenfor for både opladning og afladning. t /s UC / V

▶ Fremstil grafer over spændingen som funktion af tiden for henholdsvis op- og afladning. ▶ Lav en passende regression, og bestem heraf en værdi for kapacitorens tidskonstant, R · C. Diskussion a) Beregn afvigelsen for tidskonstanten for kapacitoren i forhold til de påtrykte værdier på resistor og kapacitor. b) Hvilke fejlkilder og usikkerheder er der i eksperimentet?

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 197

4 Sammenfatning ▶ Ifølge Coulombs kraftlov for elektrostatiske ladninger afhænger kraften af produktet af de to ladninger q og Q (regnet med fortegn) og er omvendt proportional med afstanden i anden potens mellem de to ladningers centre: q·Q F = kC · 2 kC er Coulombs konstant, kC = 9,0 · 109 N · m2/C2 r ▶ Et elektrisk felt defineres som:

→

→

F E (r ) = elektrisk q → →

F elektrisk er den elektriske kraft på en lille ladning q. ▶ Det elektriske felt, der udgår fra en elektrisk ladning, har SI-enheden V/m eller N/C. ▶ Det elektriske felt E, i afstanden r fra en kuglesymmetrisk ladning Q, er givet ved: |Q| E = kC · 2 r ▶ Kraften F på en punktladning q i et punkt, hvor det elektriske felt er E, har størrelsen: F = q · E. Kraften har samme retning som det elektriske felt, når q er positiv, og kraften er modsatrettet det elektriske felt, når q er negativ. ▶ Det elektriske felt, E, mellem to parallelle plader med indbyrdes afstand d er: U E= d hvor U er spændingsfaldet mellem pladerne. Det elektriske felt er homo­ gent og har samme retning som spændingsfaldet fra plus til minus. ▶ Sammenhængen mellem en kapacitors kapacitans C, den påførte spænding U og ladningen Q på hver af pladerne er givet ved: Q = C · U. ▶ En pladekapacitor med pladearealet A og afstanden d mellem pladerne har kapacitansen C givet ved: A C = ε0 · d hvor ε0 = 8,854188 ∙ 10 –12 C2/(N · m2) er vakuumpermittiviteten. ▶ Permittiviteten er givet ved ε = εr · ε0, hvor εr er den relative permittivitet. ▶ Erstatningskapacitansen af to kapacitorer med kapacitans C1 og C2 er for henholdsvis parallel- og seriekobling: 1 1 1 Cerstat = C1 + C2 og = + C erstat C 1 C 2

198 • K APITEL 5 ELEK TRISKE FELTER

OPG AVE R

Elektriske felter 5.1 Kontrollér, at der gælder om enhederne, at: V N = m C 5.2 Tre partikler med forskellige ladninger

er anbragt som vist på figuren. Alle tre partikler er i hvile. Bestem ladningen af partikel 3.

–4,0 nC

q=?

+2,0 nC

1

2

3

10 mm

30 mm

5.3 Tre ladninger er anbragt som vist på

figuren. Bestem den elektriske kraft på ladningen yderst til venstre.

Q1 = +15 µC

Q2 = –4 µC

10 mm

Q3 = –11 µC

20 mm

5.4 Lyn kan forekomme, når der opbygges

elektrisk ladning i luften, og en tilsvarende ladning med modsat fortegn induceres i jordoverfladen (se side 238 i BasisFysik B).

Luft er en dårlig elektrisk leder. Hvis et lyn skal kunne ’slå ned’, skal den elektriske feltstyrke være stor nok til, at der kan løbe strøm gennem luften. Dette kaldes dielektrisk sammenbrud. For en bestemt luftmængde sker det dielektriske sammenbrud ved en feltstyrke på 3,0 MV/m.

En sky befinder sig 1 km over jordoverfladen. Hvor stor skal spændingsforskellen mellem skyen og jordoverfladen være, før lynet kan springe?

5.5 I en model for en tordensky er lad­ningen

fordelt, så en positiv ladning på 40 C befinder sig i 8 kilometers højde over jordoverfladen. En negativ ladning på –20 C befinder sig i højden 2 km.

Beregn størrelsen og retningen af det elektriske felt ved jordoverfladen, der skyldes disse ladninger, og som befinder sig i et punkt lodret under skyen.

Coulombbarrieren 5.6 Vi ser på en alfapartikel (He-kerne), der skydes ind i en kulstof-12-kerne. Helium­ kernens radius er cirka r He = 0,84 · 10 –15 m, og ladningen er q = 2e. Kulstofkernens radius er cirka rC = 2,7 · 10 –15 m, og ladningen er Q = 6e. a) Bestem coulombkraftens størrelse mellem de to kerner i den afstand, der svarer til, at overfladerne rører hinanden. b) Bestem det elektriske potential U0 fra kulstofkernen ved dens overflade. c) Hvor stor kinetisk energi (målt i MeV) skal alfapartiklen have, for at coulombbarrieren netop overvindes? (Tip: Alfapartiklen kommer fra uendelig, hvor potentialet fra kulstofkernen er nul.)

Homogene elektriske felter 5.7 Gentag udregningen i spørgsmål b) fra eksempel 5.3, blot med en acceleratorspænding på U = 2,0 MV. Kommentér svaret.

5.8 Vi ser på et gammeldags tv med et katode-

strålerør, hvor accelerationsspændingen er U = 24,0 kV, og afstanden mellem katoden og anoden er d = 5,0 cm.

Bestem størrelsen af det elektriske felt mellem anoden og katoden.

K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER • 199

Kapacitorer 5.9 Figuren herunder viser en kobling af tre kapacitorer. Bestem erstatningskapacitansen for koblingen.

2,5 μF

10 μF

5.13 En elektrisk fluesmækker har et greb med

kontakt og plads til et batteri samt et ’hoved’, der består af en række tynde parallelle metalwirer. Når man slutter kontakten, oplades en kapacitor fra batteriet. Wirerne er placeret, så de skiftevis er positive og negative, og der opstår en spændingsforskel mellem nabowirer. For en bestemt fluesmækker er spændings­forskellen mellem wirerne U = 1000 V.

3,0 μF

5.10 Vis, at halveringstiden for afladning af en kapacitor er givet ved formlen:

T½ = R · C · ln(2) (Tip: Lad UC være lig U/2 i ligningen fra 1 side 196, UC = U · e –( RC ) · t, og tag den naturlige logaritme på begge sider.)

5.11 Et RC-led består af en kapacitor med C = 1,00 µF, der sættes i serie med en resistor på R = 100 Ω. Bestem halveringstiden for RC-leddet.

5.12 Bevis formlen for opladning af en kapa­ citor: U ( RC1 ) · t I = I0 · e – hvor I0 = R

(Tip: Opstil et differentielt udtryk for afladningen, ΔU –1 = ·U Δt R · C

og argumentér for opladningen derudfra.

Strømmen findes med Ohms 1. lov).

200 • K APITEL 5 ELEK TRISK E FELTER

A Når en flue rammer wirerne, mens knappen er holdt inde, aflades kapacitoren. Den maksimale elektriske ladning, et menneske kan tåle, er Q = 45 µC. Hvad er den maksimale kapacitans, kapacitoren kan have, hvis en person kommer til at røre ved fluesmækkeren?

APPENDIKS A. Vektorer i fysik Nogle fysiske størrelser har både en størrelse og en retning, fx hastig­ hed eller kræfter. Dette er beskrevet i BasisFysik B, kapitel 8.

Vi benytter vektorer til at beskrive disse størrelser. Vektorer repræ­ senteres ved en pil med et angrebspunkt, en retning og en længde. → Hastigheden skrives v , hvor pilen symboliserer, at der er tale om en vektor. Dens størrelse kaldes fart og bestemmes som længden af vek­ → toren v = | v |, hvor de lodrette streger viser, at det er vektorens længde.

Bemærk, at farten, v, ikke har nogen pil over symbolet.

E K SE MPE L A .1

Addition af vektorer og multiplikation med tal En båd bevæger sig med farten 10 m/s mod nordøst, se figur A.1a.

Vektorer kan ganges med tal. Hvis vi sætter bådens hastighed op til det dobbelte (figur A.1b), bliver farten 20 m/s, og hastighedsvektoren → → bliver dobbelt så lang: v ny = 2 ∙ v før I matematik lærer man, at vektorer kan lægges sam­men ved at ad­ dere længden af pilene, hvis de er i samme retning, og trække dem fra hinanden, hvis de er modsatrettede.

Vores båd sejler med farten 10 m/s ind i et område med modvind, det vil sige vindretningen er fra nordøst (figur A.1c). Vindens hastig­ hed er 3 m/s. Bådens fart bliver: vny = vfør – vvind = 10 m/s – 3 m/s = 7 m/s Figur A.1. a En båd sejler med en has­ tighed angivet med en pil. b Båden sejler med den dob­ belte hastighed. Pilen er dobbelt så lang som før. c Båden sejler med modvind.

v = 10 m/s

a

v = 20 m/s

b

vny = 7 m/s

c

Appendik s A . Vek torer i f ysik • 313

Parallelogramreglen: Addition af to vektorer I den virkelige verden er det sjældent, at kræfter og hastigheder går i samme retning. Hvis vektorerne ikke er ensrettede eller modsatrettede, er det lidt mere kompliceret at lægge dem sammen. Vektorer adderes ved parallelogramreglen, som vist i figur A.2. I praksis gøres det ved, at den ene pil lægges ind med begyndelsespunkt i origo, derefter afsættes den næste pil med begyndelsespunkt i den første pils endepunkt.

Figur A.2. Parallelogram­ reglen. Summen af de to vektorer er diagonalen i parallelo­grammet.

→

b 5 m/s →

→

a+b 10 m/s

→

a 5 m/s

10 m/s 5 m/s

Båden fra før sejler nu ind i et område, hvor der ikke er vind, men en strøm kommer fra siden med farten 5 m/s, som vist i figur A.3. Vi overfører hastighederne fra figur A.3 til figur A.4, hvor kun kræfterne og deres indbyrdes retning og størrelse er vist:

Figur A.3. Båden sejler med en strøm i vandet, der kommer vinkelret fra siden.

vstrøm

v båd v ny

Figur A.4. Vektoraddition af bådens hastighed og strøm­ hastigheden. vstrøm adderes til v båd ved at afsætte den samme pil i slutpunktet for v båd . vny tegnes derefter fra udgangspunktet for v båd til slutpunktet for den parallel­ forskudte vstrøm .

vstrøm

Hvis vi vil bestemme den nye fart, skal vi bestemme længden af vek­ toren vny i figur A.4.

314 • Appendik s A . Vek torer i f ysik

Opgaven kan løses på mange måder. Den nemmeste anvender simpel tri­ gonometri. Pythagoras’ sætning anvendt på trekanten i figur A.4 giver umid­ delbart længden af vektoren i diagonalen (i mellemregningerne ude­lades en­ hederne): →

| v ny | = √ 102 + 52 = √ 125 ≈ 11,2 Farten er derfor 11,2 m/s.

Lidt mere avanceret er vektorregning med koordinater. I figur A.5 er vek­ torerne lagt ind i et koordinat­system.

Figur A.5. Vektor­ad­di­ tion med koor­di­na­ter. v båd afsættes fra origo (0,0) som en vektor med længde 10.

Vektor­en for vstrøm (ved båden) parallelforsky­ des og afsættes des­ uden fra endepunktet for v båd som en vektor med længde 5.

6

5

vstrøm

4

v båd 3

2

vny

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–1

–2

vstrøm

–3

–4

TÆ N K E F TE R 1

a) Kontrollér på figur A.5, at vstrøm har størrelsen 5, og at v båd har størrelsen 10 (figuren er målfast). b) Tegn en figur som figur A.5, men hvor strømmen i vandet kommer vinkelret fra den modsatte side af båden.

Appendik s A . Vek torer i f ysik • 315

11

Længden af en vektor Længden af en vektor med koordinaterne (a1,a2) findes som før nævnt ud fra Pythagoras’ sætning, og formlen er:

v strøm

10 9

→

| a | = √ a12 + a22

8 7 6

Vi skal finde længden af vny og ser ud fra figur A.5, at den har koordi­ naterne (og vektorernes koordinater er skrevet over hinanden):

v ny

v båd

5

Derfor er længden:

3 2

→

| v ny | = √ 112 + 22 = √ 125 ≈ 11,2

1 0

( ) ( ) ( )

8 3 11 v = 6 + –4 = 2

→ ny

4

vstrøm 1

2

3

4

5

6

Figur A.6. Vektoraddition med koordinater. Koordinatsyste­ met er drejet, så vektorerne er parallelle med koordinat­ akserne.

Det vil sige farten er 11,2 m/s, som vi også fandt ovenfor.

Hvis vi i stedet drejer koordinatsystemet, så 2.-aksen peger i samme retning som bådens sejlretning – før der var strøm – ser det ud som i figur A.6.

Vi får som før for længden af vektoren i diagonalen: →

| v ny | = √ 102 + 52 = √ 125 ≈ 11,2 Hvis man sejler, er man ikke kun interesseret i bådens fart, men også i, hvilken retning man sejler.

I BasisFysik B (kapitel 11) har vi set på opløsning af en vektor i dens komposanter. En vektors komposanter er en opløsning af vektoren i to vektorer, der er parallelle med hver sin koordinatakse, og hvis længder svarer til den originale vektors koordinater.

Figur A.7. Hastighedsvektor med dens komposanter i x- og y -retningen.

→ y

v

→

v

θ

→ x

v

En hastighedsvektors koordinater kan findes ved hjælp af vinklen θ: vx = v ∙ cos(θ) og

vy = v ∙ sin(θ)

hvor θ er vinklen mellem v og vx.

316 • Appendik s A . Vek torer i f ysik

E K SE MPE L A . 2 v strøm →

10

Fart og retning for båd En motorbåd sejler mod nord med farten 10 m/s, det vil sige, at dens → 0 . Strømmens hastighed er → hastighed er: v båd = (10 v strøm = ( 50 ), så den ) samlede hastighed bliver:

9 8 7 6 5

v båd →

v ny →

Farten er 11,2 m/s. Vinklen findes ud fra formlen for tangens i en ret­ vinklet trekant:

4

10

tan(θ) = 5

3 2

θny

⇔

( 10 )

θ = tan–1 5 = 63,43°

Vinklen med nord bliver derfor: θ

1 0

( ) ( ) ( )

0 5 5 v ny = 10 + 0 = 10

→

1

θny = 26,57°

v strøm →

2

3

θny = 90° – 63,43° = 26,57° 4

5

θ = 63,43°

Figur A.8. Hastighedsvektorer med vinkler indsat.

TÆ N K E F TE R 2

a) Når man kører i bil over en bro i sidevind, hvordan skal man da orientere rattet på bilen? b) På Storebæltsbroen er pylonerne hæftet ved to tårne. Hvad skal man passe på, når der er sidevind og man i bil passerer tårnene?

Figur A.9. Storebæltsbroens ene tårn med pyloner.

Appendik s A . Vek torer i f ysik • 317

Vektorer i rummet På A-niveau skal vi i nogle sammenhænge anvende vektorer i rummet, fx inden for elektriske og magnetiske felter. Vektorer i rummet kan gan­ges sammen på to forskellige måder. → →

1. Det normale skalarprodukt: a · b = a1 ∙ b1 + a2 ∙ b2 + a3 ∙ b3 Skalarproduktet kaldes også prikproduktet. Resultatet bliver et tal, en skalar. → → 2. Vektorprodukt a × b . Vektorproduktet kaldes også krydsproduktet. Resultatet bliver en ny vektor. →

→

→

→

Længden af vektorproduktet er givet ved |a × b | = |a | ∙ |b | ∙ sin φ, hvor φ er vinklen mellem de to vektorer. →

Figur A.10. To vektorer og deres vektorprodukt.

→

a×b

→

φ

b

→

a

→

→

Retningen af a × b bestemmes af højrehåndsreglen (se figur A.11), idet → → → → → a × b er vinkelret på både a og b . Hvis vi drejer a i positiv omløbsret­ ning (mod uret) for at dreje den over i b, peger vektorproduktet opad → → (i tommelfingerens retning). Bytter vi om på a og b , peger vektor­ produktet nedad.

Figur A.11. Illustration af hen­ holdsvis højre­håndsreglen og vektor­produktets retning.

→

→

→

→

a×b a×b

→

→

→ →

→

→

c = a × bc = a × b

→

→

a

φ

→

a

→

→

b×a

→

b

318 • Appendik s A . Vek torer i f ysik

→

b

→

a→

→

b×a

b φ

→

b a→

E K SPE RIME NT A .1

Sammensætning af kræfter Vi skal undersøge sammensætningen af kræfter ved parallelogram­ reglen.

Forsøgsgang ▶ Lav en opstilling som vist på figur A.12. Sørg for, at lodderne hæn­ ger stille.

Figur A.12. Forsøgsopstilling.

Tre lodder ophænges ved hjælp af to trisser øverst, og snorene forbindes i midten.

De tre lodder hænger stille, så der er ligevægt.

▶ Indsæt en kraftmåler (kaldes også dynamo­meter eller newton­meter) ved hver af de tre snore, se figur A.13. Bestem vinklerne mellem snorene, og aflæs kraften på hver af kraft­målerne.

Figur A.13. Forsøgsopstilling med kræfter indtegnet. Kraft­ målere indsættes i krogen ved hvert lod.

Databehandling a) Tegn de tre kræfter, der virker på knuden i midten, ind på millime­ terpapir. b) Bestem den samlede kraft ved vektoraddition. Hvilken størrelse og retning har den samlede kraft på knuden?

Appendik s A . Vek torer i f ysik • 319

OPG AVE R A.1 En båd sejler med 10 m/s mod nord,

vind­en er modsatrettet med 3 m/s, og strømmen er vinkelret på båden med farten 5 m/s. a) Fremstil en tegning af situationen. b) Hvad bliver bådens fart? c) Hvilken retning sejler båden? Det vil sige, hvad er vinklen med nord?

A.2 Bane 22L/04R i Kastrup Lufthavn løber i

retning sydvest (220°) – nordøst (40°). Et fly skal lande på bane 04R, det vil sige i retningen 40° med uret fra retningen nord som vist på figuren med en rød pil.

A.3 Corioliskraften (se kapitel 2) på en partikel

med massen m, der bevæger sig med has­ → tigheden v i et roterende koordinat­system, er givet ved: →

→

→

F coriolis = –2 · m · ω × v →

hvor ω er vinkelhastigheden (en vektor) → for koordinatsystemet, og v er partiklens hastighedsvektor i forhold til det roterende koordinatsystem. Jorden drejer omkring sin akse mod øst, og vinkelhastigheden peger op langs rotationsaksen, mod nord. →

ω

-

22L

12

N

22R

KASTRUP

30 ØRESUND

04R

04L

TAKEOFF LANDING

Flyets fart i forhold til jordover­fladen er 80 m/s. På landingstidspunktet er der imidlertid sidevind fra retningen 270°, det vil sige fra vest, med en fart på 10 m/s.

Hvilken retning skal piloten pege flyets næse ved landing?

320 • Appendik s A . Vek torer i f ysik

Vi ser på situationen, hvor en kanonkugle med massen m = 100 kg afskydes fra Nord­ polen og bevæger sig mod syd med ha­stig­ heden v = 1000 m/s. a) Hvad er vinklen mellem vinkel­ hastigheden og hastighedsvektoren? b) Gør rede for, i hvilken retning coriolis­ kraften på kanonkuglen peger. (Tip: Brug højrehåndsreglen.) c) Bestem størrelsen af Jordens vinkel­ hastighed. d) Bestem størrelsen af corioliskraften. e) Sammenlign størrelsen af coriolis­ kraften med tyngdekraften på kanonkuglen.

A.4 Vi repeterer opgave 11.11 fra BasisFysik B.

En kraft beskrives generelt som en vektor.

Når en kraft virker i en lidt anden retning, end bevægelsen foregår i, har man brug for at bestemme størrelsen af kraften (kompo­ santen) i bevægelsesretningen. I figuren → nedenfor er tegnet en vektor F og dens → → komposanter F s og F n henholdsvis langs med og vinkelret på bevægelsen.

Fn

F

v

Fs

a) Fremstil en retvinklet trekant ud af de tre vektorer således, at kraften F er hypotenuse, og de to komposanter er kateter. b) Begrund, hvorfor den vandrette komposant af kraften har størrelsen: Fs = F · cos(v) c) Opskriv det tilsvarende udtryk for den vinkelrette komposant Fn. d) Overvej, hvorfor der må gælde, at: F 2 = Fs2 + Fn2

Appendik s A . Vek torer i f ysik • 321

B. Flux og Gauss’ lov Feltlinjer I kapitlerne 4, 5 og 6 om felter har vi tegnet feltlinjer omkring masser, elektriske ladninger og magneter. Nedenstående skema viser reglerne for at tegne felt­linjer i de tre tilfælde.

Tabel B.1. Regler for tegning af feltlinjer for henholdsvis masser, ladninger og mag­ neter.

En dipol er et objekt, hvori to slags ladning befinder sig adskilt. Et vand­molekyle er fx en elektrisk dipol.

En monopol er et objekt, der kun indeholder én slags ’ladning’. Fx indeholder en elektron kun en negativ elektrisk ladning.

MASSER

LADNINGER

MAGNETER

1

Alle linjer skal ende på en masse.

Elektriske feltlinjer begynder på positive ladninger og ender på negative ladninger.

Magnetfeltlinjer er altid lukkede og retningen er fra nord­ poler og mod sydpoler.

2

Linjer kan ikke krydse.

3

Antallet af linjer, der ender på en masse/ladning/magnetpol, er proportionalt med massen/ladningen/magnetfeltstyrken.

4

Tætheden af linjer et sted i rummet er proportional med feltets størrelse på stedet.

5

Retningen af kraften på en testmasse/testladning/testkompas (det vil sige en partikel eller genstand, som påvirkes af feltet, men ikke selv påvirker kilden til feltet), der anbringes i et punkt, er tangentiel til nærmeste feltlinje.

6

Hvis der er flere kilder (henholdsvis masser, ladninger, magneter), beregnes det samlede felt af hver type for sig ved at addere felterne som vektorer i hvert punkt.

7

Feltlinjer, der ender på en overflade eller går ud igennem en overflade, skal være vinkelret på overfladen.

Ved tegning af feltlinjer gælder regel nr. 2-7 i alle tre slags felter, mens regel nr. 1 er forskellig for hvert af tilfældene. Det skyldes: ▶ En elektrisk ladning er enten positiv eller negativ. Elektriske felt­­ linjer begynder på positive ladninger og ender på negative ladnin­ ger. ▶ Der findes ikke magnetiske ladninger. Alle magnetfeltlinjer skal således være ’lukkede kurver’.

En ’ladning’, der ikke er bundet til andre ladninger, fx en positron i sol­vinden, der bevæger sig mod Jorden, kaldes en elektrisk monopol.

322 • APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov

Tyngdefeltet Når vi tegner feltlinjer for fx tyngdefeltet i én dimension, er det mere overskueligt. Det har til gengæld den ulempe, at tegningen ikke kan illustrere afstandskvadratloven – tyngdefeltstyrken aftager med kva­ dratet på afstanden. Afstandskvadratloven for tyngdefeltet lyder: g = –G ·

M M

r

2r

Vi illustrerer problemet i figur B.1. Vi ser på en masse M og tegner N linjer for at symbolisere størrelsen af massen og feltet. To koncentri­ ske cirkler med radius r og 2 · r har omkredse på henholdsvis 2π · r og 2π(2 · r) = 4π · r. Tætheden af linjer for de to cirkler bliver: N 2π · r

Figur B.1. Feltlinjer omkring en masse M og koncentriske cirkler med radius r og 2 · r.

M r2

og

N 4π · r

Vi ser, at tætheden af linjer kun aftager til det halve, når radius for­ dobles, så tætheden aftager proportionalt med r. Vi må derfor se på feltlinjerne i det tredimensionelle billede.

Vi betragter igen en masse M og tegner N linjer for at illustrere fel­ tet omkring massen. To koncentriske kugler med radius r og 2 · r har overfladearealerne π · r2 og π(2 · r)2 = 4π · r2. Arealet vokser med kvadra­ tet på afstanden. Tætheden af linjer bliver derfor: N π ·r2

og

N 4π · r 2

Vi ser, at tætheden af linjer aftager til ¼, når radius fordobles, hvorved tætheden aftager proportionalt med r2.

Feltlinjer i rummet kan derfor repræsentere den egenskab ved tyng­ defeltet, at det aftager som afstandskvadratloven. Når vi tegner feltlin­ jer i planen, er det kun en illustration af feltstyrken.

Figur B.2. En tredimensio­ nel illustration af figur B.1.

Feltlinjerne går i alle retninger i rummet. Tætheden af felt­ linjer aftager proportionalt med kvadratet på afstanden fra massen M. Antallet af felt­linjer gennem fladen er uændret, mens arealet vokser med kvadratet på afstanden.

M

|

r

|

2r

APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov • 323

Flux Flux beskriver, hvor meget af en størrelse der passerer gennem en flade, uanset om det er noget, der bevæger sig (fx energi, strå­ ling eller vand), eller om det er et vektorfelt.

Tætheden af linjer gennem en flade optræder i mange sammen­ hænge, og vi indfører et nyt begreb: flux.

Flux er et mål for, hvor meget af en størrelse der strømmer gen­ nem en flade på et givent tidspunkt. Det kan være vand i et vand­ rør, men det kan også være flux af et vektorfelt gennem en kugle­ overflade.

De ting, der har betydning for fluxen, er: ▶ ▶ ▶ ▶

A

B

C

størrelsen af feltet retningen af feltet overfladens størrelse feltets orientering i forhold til fladen

Til eksempel kan vi samle vand op med en spand under et vandfald som illustreret i figur B.3. Hvor meget vand vi henter ned i span­ den, afhænger af: vandfaldets styrke, spandens størrelse og hvilken retning vi vender spanden i forhold til vandstrømmen. Fluxen er maksimal, når feltet er vinkelret på overfladen af spandens åbning (spand A), og nul, når feltet er parallelt med overfladen (spand B).

Den grå plade i bunden af hver spand viser orienteringen af span­ dens åbning.

Hvis feltet hverken er vinkelret eller parallelt med overfladen (spand C), beregnes fluxen som et skalarprodukt mellem feltvekto­ ren og en vektor, der er vinkelret på overfladen.

Eksemplet med vandfaldet er en analogi til feltet. Når vi taler om fluxen af et felt, er der ikke nødvendigvis noget, der strømmer forbi fladen. Fluxen er et mål for antallet af feltlinjer, der passerer gennem overfladen.

Vi kan opstille denne sammenhæng: Total flux = feltets styrke · overfladens størrelse · fladens orientering

Figur B.3. De røde pile er feltlin­ jer, den sorte pil er en vektor vin­ kelret på spandens åbning. Fluxen er størst, når spanden er vinkelret på vandets bevægelse. Fluxen af­ hænger af vinklen mellem feltet og spandens overflade.

Da feltstyrken kan variere, må vi dele overfladen ind i små stykker, hvor feltet er konstant på hvert lille stykke. Herefter kan vi bereg­ ne delfluxen med formlen ovenfor og dernæst lægge alle stykkerne sammen.

Vi kender allerede denne metode fra integralregning, hvor vi be­ regner arealet under en kurve ved at tilnærme det med rekt­angler, beregner arealet af hvert rektangel og derefter adderer arealerne af rektanglerne.

Vi er nu klar til at definere flux.

324 • APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov

Definition af flux → Fluxen dΦ af et vektorfelt F , der krydser en (lille) overflade med areal dA, defineres som skalarproduktet:

→

F

→

→

→

F er feltets størrelse og retning, hvor feltet krydser overfladen. Og dA er en vektor, der er vinkelret på overfladen, og hvis størrelse er propor­ → → → tional med arealet: dA = n · dA. Her er n en enhedsnormalvektor, der → vender ud af fladen, |n | = 1 (se figur B.4).

Den totale flux gennem en flade S, med arealet A, er en skalar, givet ved summen:

→

F

→

n

dA

Flux af et vektorfelt

→

S dA

→

dΦ = F · dA

→

n

S

→

→ →

Φ = ∑dΦ = ∑F · dA = ∑F · n dA Gør vi arealerne små nok, kan vi erstatte summen over de små arealer, dA, med et integral:

→

Figur B.4. F er en feltvektor, → og n er en enhedsnormalvek­ tor til fladen. Fluxen gennem fladen S beregnes ved at dele S op i et antal små flader med areal dA , som det røde rektangel på nederste figur → → illustrerer. dA er en vektor i r → n ’s retning, hvis størrelse er P• proportional med arealets størrelse.

∫

∫

→

→

Φ = dΦ = F · dA

hvor de små arealer, dA, tilsammen har arealet A. Hvis vinklen mel­ lem feltvektoren og fladens normalvektor kaldes θ, gælder der: Q

Φ = F · A · cos(θ)

Flux af felt F gennem flade med areal A

Hvis fladen er parallel med feltet, er fluxen nul, det vil sige, der lø­ ber ingen feltlinjer gennem fladen. Hvis fladen er vinkelret på feltet, er θ = 0° og cos(θ) = 1, så Φ = F · A (se figur B.5).

Flux af tyngdefeltet For tyngdefeltet giver ovenstående ligning for fluxen: Φ = g · A · cos(θ)

Flux af tyngdefelt g gennem flade A

Enheden for flux af tyngdefeltet er m/s2 · m2 = m3/s2 = Figur B.5. Oversigt over flux i forhold til fladens orientering.

N · m2 . kg →

A →

A

θ = 0° →

→

F

F

θ

→

A A →

→

Φ = F ·A = F·A

A┴ →

→

θ = 90°

→

θ

F

A

A

Φ = F · A = F · A · cos(θ)

→

→

Φ = F · A = F · A · cos(90°) = 0

APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov • 325

M-orbit

E K SE MPE L B .1

→

r M

dA →

g

→

n

S Figur B.6. En kugle med radius r omkring massen M.

Flux af tyngdefelt ud gennem en kugleflade Vi skal beregne fluxen af tyngdefeltet ud gennem en kugleflade, S, med radius r.

Løsning → → → Vi vælger n ud af kuglen, så n · r = r, se figur B.6 (og bemærk omskriv­ ning markeret med blåt).

Kuglens areal er A = ∫ dA = 4π · r 2. Tyngdefeltet på overfladen er: →

g =–

→

G·M r · r2 r →

→

Bemærk, at g peger indad mod kuglens centrum, og r peger udad. Vi får for fluxen (hvor vi benytter, at overfladearealet af en kugle er 4π · r2):

∫

∫

→

→

∫

∫

→ →

Φ = dΦ = g · dA = g · n · dA = –

→

G·M r → · · n · dA r2 r

→

Her har vi indsat udtrykket for g . De konstante faktorer sættes uden for integralet og benytter, at skalarproduktet af to enhedsvektorer er 1.

Vi får: Φ =–

G·M r2

→

∫ rr · n · dA = – Gr· M ∫ 1 dA = – Gr· M 4π · r = –4π · G · M →

2

2

2

Svar: Fluxen af tyngdefeltet ud gennem en kugleflade er –4π · G · M.

En flade kaldes konveks, hvis den har den egenskab, at forbindelseslinjen mellem to vilkårlige punkter på fladen ligger fuldt inde i fladen.

En kugle, en cylinder og en terning er eksempler på konvekse flader.

Gauss’ lov Resultatet i eksempel B.1 kaldes Gauss’ lov. Man kan vise, at Gauss’ lov gælder for en vilkårlig lukket flade omkring massen M, så længe feltlinjerne ikke krydser fladen mere end én gang. En flade, hvor dette gælder, kaldes konveks. Læg mærke til, at: ▶ Fluxen er uafhængig af r. Det skyldes, at tætheden af feltlinjer af­ 1 tager som r 2 , men samtidig vokser arealet af fladen som r2. ▶ Fluxen er altid negativ. Det skyldes, at feltlinjerne peger ind mod massen.

Gauss’ lov for masse Fluxen af tyngdefeltet, gennem en lukket flade, er proportional med massen inden i det volumen, fladen omkranser, og er givet ved:

∫

→

→

Φ = dΦ = g · dA = –4π · G · M Gauss’ lov for masse

326 • APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov

E K SE M PE L B . 2

Flux fra Jorden Beregn fluxen gennem en vilkårlig (konveks) flade af tyngdefeltet fra Jorden.

Løsning: Φ = –4π · G · M = –4π · 6,6741 · 10–11 = –5,008 · 1015

N · m2 · 5,9712 · 1024 kg kg2

N · m2 kg

Svar: Fluxen fra Jordens masse ud gennem en flade er: –5,008 · 1015

N · m2 kg

Flux af et elektrisk felt Som omtalt i kapitel 5, er der en stor lighed mellem tyngdefeltet og det elektriske felt. Elektrisk flux defineres som for tyngdefeltet, blot er det flux af elektriske feltlinjer.

Den elektriske flux gennem en flade med arealet A er: ΦE = E · A · cos(θ)

Flux af elektrisk felt E gennem flade A →

→

hvor θ er vinklen mellem feltvektoren E og fladens normalvektor n .

Enheden for elektrisk flux er (V/m) · m2 = V · m.

Gauss’ lov for det elektriske felt udledes helt analogt med tyngdefel­ → Q → r · · : tet, blot med den elektriske feltvektor E = kC r 2 r

∫

∫

→

→

∫

→

→

∫

ΦE = dΦE = E · dA = E · n dA = kC · = kC ·

∫

→

Q r → · · n dA r2 r

Q Q 1 dA = kC · 2 · 4π · r2 = 4π · kC · Q 2 r r

Vi husker fra kapitel 5, at coulombkonstanten nogle gange skrives kC = 1 . Ved indsættelse af dette fås endelig: 4π · ε0

∫

Φ = dΦ =

Q

ε0

Gauss’ lov for elektrisk felt

Sætningens indhold er, at den elektriske flux ud gennem en lukket fla­ de er proportional med den elektriske nettoladning, Q, inden i fladen.

Fluxen har samme fortegn som ladningen.

APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov • 327

E K SE MPE L B . 3

Elektrisk flux fra metalplade I kapitel 5 fandt vi formlen for E-feltet mellem to elektrisk ledende plader: U E= d Nu ser vi på en plade med ladningen Q > 0 fordelt på overfladen med arealet A.

+

+

+ + + + + + + + + +

Figur B.7. Feltlinjer fra en elektrisk ledende plade med ladning +Q. Den stiplede kasse uden om pladen er en Gaussflade.

a) Bestem det elektriske felt uden for pladen. b) Bestem det elektriske felt imellem to plader med ladning henholds­ vis Q og –Q. Dette kaldes en pladekapacitor.

Løsninger a) Hvis vi betragter pladen som uendelig stor, kan vi se bort fra effekter langs randen. Vi tænker os, at kassen lukkes inde i en Gauss­flade, se figur B.7. Det elektriske felt har overalt og på begge sider samme størrelse og er vinkelret på fladen. Ifølge Gauss’ lov gælder for flux ud af kassen: Φ = 2 · A · E · cos(θ) =

Q ε0

2-tallet skyldes, at der er to flader på Gaussfladen, hvor fluxlinjerne går gennem. Da feltet er vinkelret på begge flader, er cos(0°) = 1, og vi får: Q = 2·A·E ε0 Den elektriske feltstyrke bliver: E=

+

–

+

+ + + + + + + + + +

–

– – – – – – – – – –

Q 2 · A · ε0

Feltstyrken er uafhængig af afstanden til pladen, fordi pladen er uende­lig stor. b) Mellem pladerne vil feltlinjerne fra hver af pladerne pege i samme retning, se figur B.8. Uden for pladerne er det samlede felt nul. Vi får fra Gauss’ lov for feltet mellem pladerne: E = 2·

Figur B.8. En pladekapacitor: To ladede plader med ladning Q og –Q.

Q Q = 2 · A · ε0 A · ε0

Svar: a) Det elektriske felt fra én plade er: E =

Q 2 · A · ε0

b) Det elektriske felt mellem de to plader: E =

328 • APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov

Q A · ε0

Flux af et magnetfelt Den magnetiske flux gennem en flade med arealet A udledes på samme måde som tyngdefeltet og det elektriske felt: ΦB = B · A · cos(θ) Flux af magnetfelt B gennem flade med arealet A →

→

θ er vinklen mellem feltvektoren B og fladens normalvektor n . En­ heden for magnetisk flux er T · m2, der også kaldes weber (Wb).

Her hører ligheden op. Da der ikke findes magnetiske ladninger, kan vi ikke tegne en kugle omkring en ladning, som vi kunne for mas­ se (se figur B.1).

Gauss’ lov for magnetfeltet udtrykker, at nettofluxen ud gennem en lukket flade er nul. Der går lige mange fluxlinjer ind i fladen, som der går ud af fladen. Dette skyldes, at alle feltlinjer, der går væk fra mag­ netens nordpol, vender tilbage gennem fladen til magnetens sydpol, se figur B.9. magnetfeltlinjer →

→

ΦB = ∫ dΦB = ∫ B · dA = 0

N ▼

▼

▼

ds →

n

S

lukket flade

▼

▼

▼

▼▼▼ ▼▼▼

Figur B.9. Stangmagnet om­ sluttet af en lukket flade.

Feltlinjerne udgår gennem fladen fra magnetens nordpol og vender tilbage gennem fladen til sydpolen. Den totale flux gennem fladen er nul.

Gauss’ lov for magnetfelter

▼

→

B

APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov • 329

OPG AVE R B.1 Figuren viser feltlinjerne for to objekter

påvirket af et felt.

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

a) Kan du alene ud fra tegningen afgøre, hvilken slags felt, de to objekter befinder sig i? b) Hvis figuren viser to masser og deres tyngdefeltlinjer, hvilken masse er så størst, og hvor meget større?

B.2 Benyt Gauss’ lov til at forklare, hvorfor

tyngdefeltet uden for Jordens nuværende radius ville være uændret, hvis vi pres­ sede Jorden sammen til et sort hul på en Jordmasse.

330 • APPENDIK S B. Flux og Gauss’ lov

B.3 Newton undersøgte denne problemstil­

ling: En sfærisk (kuglerund) masseforde­ ling af stjerner omkredses af en enlig stjer­ ne. Massen af stjernerne giver anledning til en vis tyngdekraft på stjernen. Hvad sker der med tyngdekraften på stjernen, hvis massefordelingen udvider sig, så den stadig er kuglesymmetrisk, men større?

(Det vil sige, at nogle af masserne kommer tættere på den enlige stjerne, mens andre kommer længere væk).

1) Tyngdekraften bliver større.

2) Tyngdekraften bliver mindre.

3) Tyngdekraften forbliver uændret.

Begrund dit valg.

B.4 Benyt Gauss’ lov til at forklare den kends­

gerning, at det elektriske felt er nul inden i et faradaybur (Tip: Se kapitel 5 i denne bog og side 239 i BasisFysik B).

B.5 a) Bestem et udtryk for det elektriske

potential omkring en punktladning. b) Hvordan ser ækvipotentialfladerne, det vil sige flader med samme værdi af potentialet, omkring ladningen ud?

(Tip: Benyt analogien med tyngdefeltet til besvarelse af begge spørgsmål.)