p
ABECEDARIUM
De P van Heeft iedereen het symbool herkend in de titel? Misschien was ‘De P van Pi’ duidelijker geweest maar ik kon het niet laten. Excuses! OK, Pi dus, enfin p dus. Roept het nog iets op? Een getal? Zeker. Iets met cirkels? Ja, dat ook. Oei, hoor ik de lezer denken, dat wordt hier een wiskundige column, ik ga er niets van begrijpen. Maar mag het voor één keer? Tot nu toe heb ik het in dit abecedarium qua wiskunde zeer rustig gehouden. Slechts twee keer is de koningin der wetenschappen ter sprake gekomen. In ‘De K van Knoop’, dat was een beetje onvermijdelijk, en in ‘De H van Humor’ en dat was onverwacht. Toegegeven, dat is niet meteen de sterkste motivering om het nu wel over wiskunde te hebben maar het punt dat ik wil maken is wel degelijk een filosofisch en geen mathematisch punt. Dat laatste hoort trouwens thuis in de meetkunde. Het gaat dus wel en niet over wiskunde. Laat ik starten met een eenvoudige opdracht om niemand kwijt te spelen. Neem een blad papier en teken twee cirkels, een grote en een kleine cirkel, naast elkaar. Streef geen perfectie na, als de figuren er cirkelachtig uit zien is dat al ruim voldoende voor wat komt. Bekijk die twee figuren. Wat hebben ze gemeenschappelijk? Welja, dat het cirkels zijn, zo van die ronde figuren. Nog iets? Euh, ze hebben alletwee een straal of een diameter. Ah wacht, beide hebben een ‘binnen’ en een ‘buiten’. Dat zal het wel zijn, neen? Niet helemaal. Neem een touwtje dat je probeert zo goed mogelijk langs één van de twee cirkels te leggen. Meet de lengte van het touwtje, dat geeft een maat voor de omtrek van de cirkel. Meet nu de diameter. Noem die getallen omtrek-cirkel-1 en diametercirkel-1, afgekort OC-1 en DC-1. Doe nu hetzelfde voor de andere cirkel. Op analoge wijze vinden we twee getallen OC-2 en DC-2. Pak een rekenmachine en bereken eerst OC-1, gedeeld
50 > april 2021
door DC-1 en vervolgens OC-2, gedeeld door DC-2. In mensentaal: voor beide cirkels bereken je de verhouding van de omtrek tot de diameter. Zelfs met niet al te precieze tekeningen zal je zien dat je hetzelfde getal bekomt. Dat getal is p! Die verhouding blijft dus ongewijzigd. Hoe groot of hoe klein ook de cirkel, de verhouding van de omtrek tot de diameter blijft hetzelfde getal. Wat betekent dit?
Het antwoord heeft te maken met schaal. De kleine cirkel kunnen we zien als een schaalmodel van de grotere cirkel. Op het eerste gezicht lijken ze duidelijk verschillend op alle vlakken: andere grootte, andere omtrek, andere diameter. Maar op het tweede gezicht zijn er ook aspecten die gelijk blijven zoals die verhouding tussen omtrek en diameter. Het zijn precies die aspecten – met een chiquere term worden ze invarianten genoemd – die de koppeling maken tussen model en origineel. Daarom hebben wegenkaarten zin, want, als ik van A naar B moet en op de kaart is die afstand 10 cm en plaats C ligt halverwege A en B dus op 5 cm van A en B, dan moet dat ‘in het echt’ ook zo zijn. Niet dat C op 5 cm van A ligt natuurlijk maar wel dat C halverwege ligt. Daarom kan een architect met een schaalmodel voor de dag komen om een idee te geven van het origineel. En vooral daarom is een inzicht nodig in wat invariant is en wat niet. Zeg nooit tegen een architect dat die de kluit belazert omdat je ‘in het echt’ nooit een gebouw kan maken van karton of
omdat de ramen geen dubbelglas hebben. Het bestaan van een getal zoals p is dus een aanwijzing dat we in schalen mogen denken. Dat we modellen kunnen maken van de wereld, dat we dus, onder andere, aan wetenschap kunnen doen. Had ik meer plaats dan zou ik nog iets zeggen over het curieuze fenomeen dat p overal in de wiskunde opduikt, ook daar waar je het helemaal niet verwacht. In de plaats een bescheiden voorbeeld om af te sluiten. De natuurlijke getallen kennen we allemaal: 1, 2, 3, 4, 5 … Kwadraten ook. Het kwadraat van een getal n is dat getal vermenigvuldigd met zichzelf dus n x n = n², dus 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25 … dat levert de rij op: 1, 4, 9, 16, 25 … Hebben we kwadraten dan kunnen we spreken van het omgekeerde van een kwadraat: 1/n². Dat geeft de rij: 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25 … En nu de vraag: stel dat je al die omgekeerde kwadraten wilt optellen, dus 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … Welk getal levert dat op? Het antwoord is er pas gekomen in 1735 en er was het genie van Leonhard Euler voor nodig om met een ‘kaduuk’ bewijs toch het juiste antwoord te vinden, namelijk … p²/6. Huh!? Wat komt die p daar in hemelsnaam doen? Kijk, dit is één van de redenen waarom wiskundigen (en sommige filosofen) zo lyrisch kunnen vertellen over hun koningin, wier schoonheid niet te overtreffen is. Jean Paul Van Bendegem
DEGEUS
